MATERI MATRIKS
MAKALAH INI DIAJUKAN UNRUK MEMENUHI SALAH SATU TUGAS MATA KULIAH FISIKA MATEMATIKA
Dosen Pengampu:
Fahrizal Eko Setiono, M.Pd. Disusun Oleh:
1. Fenty Yuniar
(K2316021)
2. Indra Mawarwati
(K2316026)
3. Mochammad Irsyadul Haj
(K2316031)
4. Puput Cahyo Setyo Nugroho
(K2316042)
5. Santi Wulandari
(K2316052)
Pendidikan Fisika 2016/B
UNIVERSITAS SEBELAS MARET Jalan Ir. Sutami No. 36A, Kota Surakarta, Jawa Tengah, 57126 Tlp. (0271) 646994
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Alhamdulillah, segala puji bagi Allah Subhanallahu wa Ta’ala yang telah menurunkan Al Qur’an Al-Karim, shalawat serta salam semoga tetap tercurah kepada junjungan kita nabi Muhammad Shallallahu’alaihi Wa Sallam beserta sahabat, keluarga, dan para pengikutnya sampai yaumil akhir. Karena atas limpahan rahmat dan hidayah- Nya makalah yang berjudul “Matriks” ini dapat diselesaikan. Makalah ini kami sampaikan kepada Pembina matakuliah Deret dan Bilangan Kompleks bapak Fahrizal Eko Setiono, S. Pd, M.Pd. sebagai tugas akhir bab mata kuliah ini. Tidak lupa kami mengucapkan banyak terimakasih kepada bapak dosen matakuliah Deret dan Bilangan Kompleks yang telah mencurahkan ilmunya kepada kami dan juga atas pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Berpijak dari Hadits nabi Muhammad Shallallahu’alaihi Wa Sallam. “ al insan mahallul khotho’ wan nisyan”, yang artinya “ Manusia adalah tempat kesalahan dan lupa”. Maka kami menyadari bahwa dalam makalah ini ada kekurangan bahkan mungkin sekali terjadi kesalahan baik dari bahasa maupun kontennya. Oleh dari itu saran, kritik, dan masukkan dari para pembaca kami harapkan. Semoga makalah tentang Matriks ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca. Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh
Surakarta, 23 Mei 2017
Penyusun
DAFTAR ISI Halaman Makalah ................................................................................................................ Kata Pengantar ..................................................................................................................... Daftar Isi .............................................................................................................................. Pembahasan Pengertian Matriks ............................................................................................................... A. Aljabar Matriks 1. Kesamaan Matriks ........................................................................................... 2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks .......................................................... 3. Perkalian dengan skalar ................................................................................... 4. Perkalian dua matriks ...................................................................................... 5. Transpose dari sebuah matriks ........................................................................ 6. Diagonal trace ................................................................................................. B. Matriks Istimewa 1. Matriks Bujursangkar ...................................................................................... 2. Matriks Diagonal ............................................................................................ 3. Matriks Segitiga .............................................................................................. 4. Matriks Simetris .............................................................................................. 5. Matriks Identitas .............................................................................................. 6. Matriks Konjugat ............................................................................................. 7. Matriks Hermite .............................................................................................. 8. Matriks Invertibel ............................................................................................ 9. Matriks Kofaktor ............................................................................................. 10. Matriks Adjoint ............................................................................................... C. Determinan 1. Mencari Determinan Dengan Cara Perkalian Diagonal .................................. 2. Perhitungan Determinan Dengan Cara Kofaktor ............................................. 3. Perhitungan Determinan Dengan Cara Reduksi Baris .................................... D. Matriks invers 1. Dengan Cara Perkalian Martiks ........................................................ 2. Dengan Cara Kofaktor ..................................................................................... 3. Dengan Cara Reduksi Baris .............................................................................
=
i ii iii 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 9 11 11 11
I. PEMBAHASAN Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom atau persegi panjang. Matriks dilambangkan dengan huruf besar, misalkan matriks A dapat dituliskan sebagai berikut :
…… = … … …… … = , , … , =
Bilangan-bilangan
yang menyusun matriks disebut elemen atau unsur dari
matriks. Indeks pertama i dari elemen menunjukan nomor baris dan indeks kedua j menunjukkan nomor kolom, jadi adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke- j. Matriks sering kali ditulis dalam elemennya misal matriks
×
. Orde (atau ukuran) sebuah matriks ditentukan oleh
banyaknya baris dan kolomnya, misalnya pada matriks A di atas menunjukan orde . Sebuah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau satu kolom disebut matriks (vektor ) baris atau matriks (vektor ) kolom. Sedangkan matriks yang seluruh elemennya bernilai nol disebut matriks nol dan biasanya dinotasikan dengan O. Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya yaitu , dinamakan matriks bujursangkar dan disebut matriks bujursangkar orde n. Elemen-elemen disebut
= = , , … ,
elemen diagonal . Jumlah elemen-elemen diagonal suatu matriks bujursangkar A disebut trace A. Matriks yang seluruh elemen takdiagonalnya sama dengan nol dinamakan matriks diagonal . A. Aljabar Matriks 1. Kesamaan Matriks Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, jika semua elemen yang seletak sama nilainya. Jadi A dan B merupakan dua buah matriks yang sama, jika semua untuk semua nilai i dan j. Hal
=
ini hanya akan dipenuhi oleh dua matriks yang ukurannya sama. Contoh 4.1 Jika
2 1 = 3 6 = 3 = 6 = 1 = 2 , maka
,
,
,
2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, jika dan hanya jika keduanya berukuran sama. Jadi, hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks yang tidak sama ukurannnya tidak terdefinisi. Jumlah dari matriks A dan B yang seukuran (ordenya sama), yaitu jumlah baris dan kolomnya sama, ditulis dengan notasi adalah suatu matriks (misal matriks C) yang diperoleh dengan menjumlahkan masing-masing elemen yang seletak dari matriks A dan B.
atau
…… …… = = … … …… …… … …… … = …… … … … … … =
Pengurangan A dan B ditulis dengan notasi adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan masing-masing elemen yang seletak dari A dan B.
…… = … … …… … = = = 0. = 0 = 0 3 3 0 6 = 20 223 , = 4 5 2 3 0 20 3 6 5 2 3 = 02 = 4 3 50 2 1 5 20 3 6 1 2 9 = 23 = 02 43 50 2 7 5 …… …… = … … …… … = … … …… … Atau
Hasil penjumlahan dan pengurangan matriks memiliki ukuran yang sama dengan matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Jika A, B dan C adalah matriks yang seukuran, maka berlaku identitas dibawah ini: 1. , sifat asosiatif 2. , sifat komutatif 3. Contoh
3. Perkalian dengan skalar Hasil kali skalar dengan matriks
, ditulis dengan notasi adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks dengan skalar .
Matriks a dan matriks ka mempunyai orde yang sama. Jika dan skalar dan A, B merupakan dua matriks berukuran sama, maka berlaku identitas berikut ini : (nanti selesaikan) Contoh 4.3 4. Perkalian dua matriks Hasil kali matriks A dan B ada , jika dan hanya jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Perkalian matriks A dan B (ditulis dengan notasi AB) adalah suatu matriks yang jumlah barisnya sama denga jumlah baris matriks A dan jumlah kolomnya sama dengan jumlah kolom matriks B. Elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke- j diperoleh dari perkalian antara elemenelemen pada beris ke-i matriks A dengan elemen-elemen kolom ke- j matriks B.
…… …… = … … …… …… … …… … … … … … … … … … … … … … … = … … ……… … Contoh 4.4
=
3 1 2 4 57 = 132.54.7 = 31028 = 35 =1.5122.24,01.=6250 10610, 5 14 = 3.55.4.1 6.0 33.645.2106. =4 15 2223 34 = 0.110. 3 0. 2 10. 4 = 30 40 = = = == = = 1 = 1 1 9 9, = 199 = 14 25 36, = 123 456 a.
b.
Contoh 4.4 menunjukan bahwa perkalian matrik tidak bersifat komutatif. Perkalian matriks memenuhi sifat-sifat berikut ini :
a. b. c. d. 5. Transpose dari sebuah matriks Transpos dari sebuah matriks A (ditulis A’ atau AT ) adalah matriks yang diperoleh dengan cara menuliskan kolom-kolom dari matriks A sebagai baris-baris dari matriks transpose A. sehingga
Contoh 4.5
a.
maka
b.
maka
Jadi transpose dari sebuah vektor baris adalah sebuah vektor kolom. Demikian pula sebaliknya, tranpose sebuah vektor kolom adalah seuah vektor baris. Dari contoh diatas juga dapat disimpulkan bahwa jumlah matriks B sama dengan jumlah kolom matriks transpose B. Misalkan A dan B adalah matriks dan K adalah skalar. Maka transpose dari jumlah dan hasil kali matriks-matriks tersebut dapat didefinisikan sebagai beriku :
= = == = …… = … … …… … = = = ⋯
a. b. c. d. 6. Diagonal trace Jika ) adalah matriks bujursangkar orde n. Diagonal utama dari A terdiri dari elemen-
elemen dengan indeks atau subskrip yang sama, yaitu berikut :
Trace dari A, ditulis Jika
berikut ini :
dan
, , … , ,
seperti terlihat dalam matriks
adalah jumlah dari elemen-elemen diagonalnya, yaitu adalah matriks bujursangkar dan k adalah skalar, maka berlaku identitas
= = == = = × × × 1 2 2 5 4 2 = 19 23 85 = 43 23 60 6 6 4 1 0 8 4 = 123 46 811 2 = 218 46 1610 27 2318 5022 = 54 13 29 = 13 2 8 5 16 2 48 = = ,0, ……, 0 = …00 …0 ……… …0 1 0 0 1 0 = 0 6 = 00 60 08 1,6 1,6,8 = 0 > = 0 > 0 …… = …0 …0 …… …
a. b. c. d. e. B. Matriks Istimewa 1. Matriks Bujursangkar Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Matriks bujursangkar dikatakan matrik berorde n dan dinamakan matriks bujursangkar orde n. Secara spesifik, operasi penjumlahan, perkalian skalar dan transpose dapat dilakukan pada sembarang matriks , dan hasilnya juga berupa matriks . Contoh 4.6 Matriks bujur sangkar berorde 3 dan
Berikut ini operasi-operasi dari matriks A dan B juga berorde 3, ,
,
2. Matriks Diagonal
Matriks bujur sangkar
disebut matriks diagonal , jika sluruh elemennya kecuali
pada diagonal utamanya adalah 0 matriks seperti ini dinotasikan dengan diag
dengan beberapa atau seluruh contoh 4.7
mungkin bernilai nol.
,
A dan B adalah matriks-matriks diagonal, yang masing-masing dapat dipresentasikan dengan diag dan diag . 3. Matriks Segitiga Matriks segitiga merupakan matriks bujursangkar yang seluruh elemen dibawah diagonal utamanya sama dengan nol. Matriks bujursangkar A yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol
disebut matriks segitiga atas, sedangkan matriks bujursangkar A yang
elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol
adalah matriks segitiga atas.
disebut matriks segitiga bawah.
0 …… 00 = … … …… … = = = = = = 0 4 2 3 4 2 3 = 23 98 91 = 23 98 91 = 0 5 3 0 5 3 = 35 90 09 = 35 90 09 = adalah matriks segitiga bawah.
4. Matriks Simetris Matriks A disebut matriks simetris, jika
Dengan kata lain
disebut matriks simetris, jika elemen-elemennya simetris, yaitu jika
. Matriks A disebut simetris miring, jika
atau setiap
=
. Jadi jelas bahwa pada matriks simetris miring pada diagonal-diagonal utamanya
pasti nol, karena memenuhi
, maka mengimplikasikan
.
Contoh 4.8
dan
Jadi A merupakan matriks simetris, karena memenuhi dan
B merupakan matriks simetris miring karena elemen-elemen simetrik nya adalah negatif satu sama lain atau memenuhi . 5. Matriks Identitas Matriks identitas atau matriks suatu orde n dinotasikan I yaitu matriks bujursangkar yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1 dan semua elemen pada bagian lainnya bernilai 0. Matriks identitas I mirip dengan nilai skalar 1 , sehingga didalam sembarang matriks bujursangkar dipenuhi hubungan
= = 1 0 0 = 00 10 01 1 0 0 0 = 000 100 010 001 = = Contoh 4.9
, matriks identitas berorde 3
, matriks identitas berorde 4
Untuk sembarang nilai k , matriks kI yang mengandung k pada diagonal utamanya dan 0 dibagian lainnya disebut matriks skalar yang terkait dengan skalar k , sehingga 6. Matriks Konjugat Jika matriks A merupakan matrik kompleks, yaitu mempunyai elemen bilangan kompleks, maka matriks konjugat A adalah matriks yang elemen-elemennya sama dengan konjugat dari elemen matriks A, dinotasikan A. Contoh 4.10
1 83 ̅ = 1 83 , = 2 9 2 9 = 7. Matriks Hermite
Matrik bujur sangkar
merupakan matriks hermite, jika dipenuhi
= 1 3 4 1 3 4 = [3 4 7 0 ], = [34 7 0 ] = [3 41 37 04 ] = =− − = = 21 253,5 =3135 52 = 1 32.315.12 2. 55.2 1 0 =3 1.533.215 1. 53.2 = 0 1 = 1 3.2215.31 3. 5 5. 3 1 0 = 1.22.1 1.52.3 = 0 1 Tau
untuk semua nilai i dan j. Dengan kata lain, matriks A merupakan matriks hermite, jika
konjugat dari matriks transposenya sama dengan A. Jadi elemen-elemen diagonal suatu matriks hermite adalah bilangan real. Contoh 4.11
8. Matriks Invertibel Suatu matriks bujursangkar dikatakan invertibel (memiliki invers), jika ada suatu matriks B yang memenuhi , dengan I merupakan matriks identitas. Matriks B disebut invers matriks
A dan dinotasikan dengan . Hubungan A dan B adalah simetris yaitu jika B adalah invers dari A maka A juga invers dari B, sehingga Contoh 4.12
Jadi A dan B adalah saling invers 9. Matriks Kofaktor (dibahas pada materi tentang determinan) 10. Matriks Adjoint Matriks adjoint merupakan matris yang elemen-elemennya merupakan tranpose dari elemenelemen matriks kofaktor, adj Lebih lanjut pada materi tantang invers matriks. Beberapa matriks istimewa yang lain, diantaranya: 11. Jika adj , maka A dikatakan matriks self-adjoint. 12. Jika , maka A dikatakan matriks involuntari. 13. Jika , maka A adalah matriks real. 14. Jika , maka A adalah matriks ortogonal. 15. Jika , maka A adalah matriks uniler. 16. Jika , maka A adalah matriks ortogonal. 17. Jika , maka A adalah matriks imajiner murni. 18. Jika , maka A adalah matriks idempoten (idempoten matrix). C. Determinan Determinan hanya didefinisikan untuk matriks bujursangkar saja. Determinan adalah nilai dari sebuah matriks bujursangkar. Determinan matriks A orde n ditulis
= == = = ̅ =+ = ̅ += =
…… = = | | = … … …… … 1×1 = = || = |34| = 34, |8| = 8, | 3| = 3 2×2 = = |34| = 34 |8| = 8 | 3| = 3 3×3 = = == 14 25 36 14 25 36 14 25 7 8 9 7 8 97 8 | | 1 1 | | = = = 2 3 5 | | = 63 61 04 2 3 5 = 63 61 04 = 36 40 = 24 Det
det
1. Mencari Determinan Dengan Cara Perkalian Diagonal Perhitungan cara diagonal ini hanya berlaku hingga matriks orde 3 saja.
Determinan Orde Satu
Determinan suatu matriks berorde
seperti
adalah bilangan
itu sendiri,
sehingga Contoh 4.13
Determinan Orde Dua Jika A adalah matriks
, maka det A dinyatakan sebagai
det
Contoh 4.14 ,
,
Determinan Orde Tiga Jika A adalah matriks
maka det A dinyatakan sebagai
det
det det Contoh 4.15 det
adalah
2. Perhitungan Determinan Dengan Cara Kofaktor Cara ini sering juga dinamakan ekspansi atau pengembangan Laplace. Untuk dapat menerapkan cara ini, maka perlu dipahami dulu tentang minor dan matriks kofaktor .
Minor Jika dalam determinan dihapuskan baris ke-i dan kolom ke- j, lalu dibentuk suatu determinan baru dari semua elemen-elemennya yang tertinggal maka akan diperoleh determinan dengan
baris dan
Maka minor
Contoh 4.16
kolom. Determinan baru ini didefinisikan sebagai minor elemen
dinyatakan dengan
, misal
= 632 631 045 = 23 54 = 7 2 3 5 = 63 61 04 = 23 36 = 3 2 3 5 = 63 61 04 = 31 50 = 5 2 3 5 = 63 61 04 = 62 13 = 20 = = 1+ 1+ …… …… (… … … … …) 3 5 1 = 27 01 34 == 11++..012 343 == 313 7 4 = 1++.527 101 = 2 = 1 . = 19 1 4 == 11++.. 373 145 == 532 + 75 11 = 1+. 03 31 = 15 = 1+. 23 35 = 7 = 1 . 2 0 = 10 3 13 2 = 1915 75 1032
Matriks kofaktor Matriks kofaktor adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari seuatu
matriks, dinotasikan dengan
. Elemen matriks kofaktor dinotasikan dengan
sebagai minor
bertanda,
Perhatikan bahwa tanda yang menyertai minor membentuk pola seperti papan catur dengan tanda + pada diagonal utamanya seperti
Contoh 4.17
Tentukan matriks kofaktor dari matriks
Jadi matriks kofaktor dari matriks A adalah
×
Dengan menggunakan pengembangan laplace, determinan matriks A yang berukuran dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam satu beris atau kolom dengan kofaktornya, kemudian hasil-hasil tersebut ditambahkan.
= ∑ = ⋯ = ⋯ 1 1 7 8 9 | | = 000 300 260 148 = 1 1 4 2 8 = 1. 00 20 84 = 1.3. 0 4 = 3. 8 = 24 1 1 5 || = 32 66 91 == 1.1 +6 91.1+ 3 95.1+ 3 6 6 1 2 1 2 6 = 601. 155.30 = 105
det
Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j. det
Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i. det Nampak bahwa denga cara uu, untuk menghitung determinan matriks orde n dapat dilakukan dengan ccara menghitung sejumlah n determinan matriks orde . Contoh 4.18 a.
b.
Dengan melihat kedua contoh diatas, nampak bahwa cara ini cukup efisien untuk menghitung determinan matriks yang elemennya kebanyaan bernilai nol. 3. Perhitungan Determinan Dengan Cara Reduksi Baris Perhitungan matriks sering kali dapat dipermudah dengan menggunakan sifat-sifat determinan. Perhitungan dengan cara reduksi baris memanfaatkan sifat-sifat determinan berikut : a. Pertukaran dua kolom atau dua baris pada suatu matriks akan merubah tanda determinan dari matriks tersebut. Contoh 4.19
| ↔| = 636 525 = 1512 = 3 ↔32 23 = 1215 = 3 5 6 = 1215 = 3 | | = 13 26 = 1.6 2.3 = 0, || = 11 22 = 1.2 1.2 = 0 0 0 0 0 1 || = 0 2 = 0, | | = 41 52 63 = 0
b. Nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, jika terdapat dua baris atau dua kolom pada matriks tersebut yang sama atau sebanding. Contoh 4.20
c.
Jika semua elemen dalam satu baris atau satu kolom bernilai nol, maka determinan sama dengan nol. Contoh 4.21
d. Jika suatu determinan dikalikan dengan skalar k , maka determinan matriksbaru sama dengan determinan matriks tersebut, hanya dengan satu baris atau satu kolom saja yang dikalikan dengan skalar k , Contoh 4.22
| | = =3 362=253 2|= 2,| =2.3 = 6 6 5 2| || = 2363 252 = 226..33 2.252 = 666 245 = 3024 = 6 2| = 26 5 = 2. 6 5 = 12 5 = 3024 = 6 | | = 36 25 = 3 | | = 32 65 = 3 0 4 9 | | = 50 121 106 = 51+ = 541 96 = 5.15 = 75 | ↔| = 214 4310 = 64 = 2 ↔ 21 63 = 1210 = 2 1 4 = 86 = 2 0 | | = 00 00 0 1 7 8 9 | | = 000 300 260 148 = 1.3. 2. 4 = 24 0 1 5 || = 32 66 91 03 61 95 ↔ 1. 30 61 95 ÷ 310 21 35 261 261 261 Jika
e. Determinan dari suatu matriks adalah sama dengan determinan matriks transposenya. Contoh 4.23
f.
Jika hanya satu elemen dalam satu baris atau kolom y;ang bernilai bukan nol, maka determinan sama dengan hasil kali elemen itu dengan kofaktornya. Contoh 4.24
g. Jika elemen pada suatu baris atau kolom ditambah dengan k kali elemen baris atau kolom yang lain, maka determinan matriks nilainya tetap. Contoh 4.25
Determinan suatu matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris. Reduksi biasa dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat determinan. Tujuan dari mereduksi baris yaitu agar matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas ataupun bawah, sehingga determinan matriks tersebut sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, misal untuk 4x det
Contoh 4.26
Penyelesaian :
− 310
21 35 − 310 21 35 0 10 5 0 0 55 = 31.1.55 = 165 = = 20 11 −− = = 202 11 2 =10 011 0 = 0 1 == 01 22 == 10 == 11⁄⁄22 − = 1⁄02 1⁄12 − = || = 20 11 | | == 20111+ =20 = 1.=12= 1 ; + = 1 = 1 . 0 = 0 = = 110+, = =1.1 ==11 ;1 = 1+ = 1 . 2 = 2 1 2 − = = 01 21 = || 0 2 0 1 | 2 |− | |− D. Matriks invers 1. Dengan Cara Perkalian Martiks
Contoh 4.27
Dengan mengguakan perkalian matriks tentukan invers dari matriks Penyelesaian: Misal
Dari kesamaan matriks diperoleh SPL:
Jadi
2. Dengan Cara Kofaktor
Contoh 4.28
Dengan menggunakan cara kofaktor tentukan invers matriks Penyelesaian:
Invers matriks:
3. Dengan Cara Reduksi Baris Untuk menggunakan cara ini, pertama- tama dibentuk matriks perluasan yang ukurannya yaitu matriks yang terdiri dari matriks pada kolom pertama dan matriks pada kolom selanjutnya. Untuk memperoleh invers dilakukan operasi baris sehingga mencapai matriks perluasan Operasi baris elementer pada suatu matriks d ilakukan dengan menggunaka sifat- sifat matriks, antara lain: 1. Menukarkan letak dari dua baris matriks tersebut 2. Mengalikan elemen suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Menambah elemen suatu baris dengan kelipatan elemen baris lain Contoh 4.29 a.
= 20 11 2|1 →1 |0− 1 1/2 1/2 0 0 10 1 0−1 0 1 /2 01 01 1010/2 1/21 − 10 1/21/21 101/2 = 0 1 1 0 1 = 22 11 12 12 01 1110 01 00 −− 10 10 11 21 01 00 − 21 10 210 10 10 0 +−0 11 00 20 1 0 11 1 00 10 11 20 11 01 00 10 010 2 10 11 − = 01 2 110 111 Tentukan invers dari matriks:
Jawab:
Jadi,
b. Tentukan invers matriks Penyelesaian:
Jadi
E. Sistem persamaan linear F. Matriks tranformasi
