KULIAH 26 TRANSFORMASI LAPLACE DAN INVERSNYA A. Pendahuluan Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menemukan transformasi Laplace dari suatu fungsi dan menentukan invres invres transformasi t ransformasi Laplace. Jika fungsi variabel t , f (t ) e t diintegralkan seperti ber ikut
f (t )t dt t e p
p
0
t
dt p! ( p 1) F ( p )
0
p); maka F ( p p) merupakan yakni diperoleh suatu fungsi yang merupakan fungsi dari variabel p, F ( p p) transformasi integral dari f (t ) atau sebaliknya, f (t ) adalah invers tranformasi dari F ( p
B. Transformasi Laplace f ) atau F ( p p): Transformasi Laplace dari f (t ) dilambangkan dengan L( f
L ( f ) f (t )e
pt
dt F ( p )
(26.1)
0
dengan f (t ) = 0 untuk t < 0 (banyak definisi yang dipergunakan; perlu kehat i-hatian ketika menggunakannya). Sebagai contoh, f (t ) 1 maka transformasi Laplace dari f (t ) adalah
L ( f ) e
1
pt
dt
0
p
e
pt
0
1 p
(26.2)
dengan p > 0 (jika p bilangan bila ngan kompleks, maka Re p > 0). at Jika f (t ) e maka transformasi Laplace dari f (t ) adalah
L ( f ) e
1
( a p ) t
dt
0
a p
e
( a p ) t
1 t 0 a p
(26.3)
dengan (a + p) > 0 Beberapa kaidah pada transformasi Laplace 1. Transformasi Laplace dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah dari transformasi Laplacenya. Hal dapat dibuktikan sebagai berikut
L[ f (t ) g (t )] [ f (t ) g (t )]e
pt
dt
0
L[ f (t ) g (t )] f (t )e
pt
dt g (t )e dt
0
2.
pt
0
(26.4) L[ f (t ) g (t )] L( f ) L( g ) Transformasi Laplace dari konstanta ka li suatu fungsi sama dengan konstanta kali transfor masi Laplace dari fungsi tersebut
L[cf (t )] [cf (t )]e
pt
dt c f (t )e
0
pt
dt
0
L[cf (t )] cL( f )
(26.5)
ia maka Sebagai ilustrasi diberikan contoh sebagai berikut; jika pada (26.3) a diganti diganti dengan – ia iat f (t ) e cos at i sin at dan transformasi Laplacenya adalah
F ( p )
1 p ia
p p
2
a2
Transformasi Bentuk Integral
i
a p
2
a2 Fisika Matematika II
TI - 1
Dengan demikian dapat dituliskan L (eiat ) L (cos at i sin at ) L (cos at ) iL(sin at )
p p
2
a
i 2
a p
a2
2
(26.6)
Jika a diganti dengan ia maka f (t ) e iat cos at i sin at dan transformasi Laplacenya adalah 1 p a F ( p ) 2 2 i 2 2 p ia p a p a Dengan demikian dapat dituliskan p a L (e iat ) L (cos at i sin at ) L (cos at ) iL(sin at ) 2 (26.7) i 2 2 2 p a p a Jika (26.6) ditambah (26.7) maka dapat diperoleh hasil p (26.8) L(cos at ) 2 2 p a yang merupakan pembuktian L4 (lihat Tabel 1) Jika (26.6) dikurangi dengan (26.7) maka dapat diperoleh hasil a (26.9) L(sin at ) 2 2 p a yang merupakan pembuktian L3
Jika pers (26.8) dituliskan secara lengkap L (cos at ) e pt cos at dt 0
p p 2 a 2
kemudian didiferensialkan terhadap a maka akan diperoleh
L(t sin sin at ) e pt t sin sin at dt 0
2ap
p
2
a2
2
(26.10)
yang merupakan pembuktian L11. Beberapa hasil transformasi Laplace ditunjukkan oleh Tabel 1. Tabel 1. Transformasi Laplace y f (t ); t 0 Kode y f (t ) 0; t 0
L1
1
L2
e at
L3
sin at
L4
cos at
L5
t k ; k 1
L6
t k e at ; k 1
L7
e
at
e bt ba
Transformasi Bentuk Integral
L ( y ) Y F ( p ) f (t )e
pt
dt
Persyaratan
0
1
Re p 0
p
1
Re( p a) 0
p a a p
2
Re p Im a
a2 p
p k ! p
k 1
a2 (k 1)
atau
k ! k 1
p a
2
atau
p
k 1
(k 1) p a k 1
1
p a p b
Fisika Matematika II
Re p Im a
Re( p a) 0 Re( p a) 0 Re( p a ) 0 Re( p b) 0
TI - 2
Kode y f (t ); t 0 y f (t ) 0; t 0
L ( y ) Y F ( p ) f (t )e
pt
Persyaratan
dt
0
L8
ae
at
bebt a b
L9
sinh at
L10
cosh at
L11
t sin at
L12
t cos at
L13
e
at
L14
e at cos bt
L15 L16
sin bt
1 cos at at sin at
L17
sin at at cos at
L18
e at 1 at
L19
L20
L21
L22
L23
sin at t sin at cos bt t a 0; b 0
e
at
ebt t
a 2 t a0
1 erf
J 0 (at )
Transformasi Bentuk Integral
p
p a p b a p
2
p
2
Re p Re a
a2 p
Re p Re a
a2
2ap
p
a2 2 2 p a p 2 a 2 2 2
2
b
p a 2 b 2 p a p a 2 b 2 a
a3 2
2
a2
2a 3
p
2
a2
2
p
p a 2 arctan
a p
a b a b 1 arctan arctan p p 2
ln
p b p a
1 p
e
Re p Im a Re p Im a Re p a Im b Re p a Im b
2
p p 2 a 2 p p
Re( p a) 0 Re( p b) 0
a
p
1 p 2 a 2
Fisika Matematika II
Re p Im a Re p Im a Re p Im a
Re( p a) 0 Re p Im a
Re( p a) 0 Re( p a) 0 Re( p b) 0 Re p 0 Re p Im a jika a real 0 Re a 0
TI - 3
Kode
L24
y f (t ); t 0 y f (t ) 0; t 0
L ( y ) Y F ( p ) f (t )e
dt
Persyaratan
0
1, t a 0 f (t ) 0, t a
1 p
[fungsi berundak, dituliskan f (t ) u (t a ) ]
e pa
Re p 0
f (t ) u (t a ) u (t b)
L25
1
e
ap
a
ebp p
t L26
pt
Setiap p
b
1 1
t
a
2a
3a
p
ap 2
tanh
Re p 0
-1
(t a) ; a 0
L27 L28
g (t a ), t a 0 0, t a f (t ) g (t a)u (t a )
f (t )
e paG ( p )
G ( p ) adalah L( g ) G ( p a )
e at g (t )
L29
g (ta ) ; a 0
L30 L31
e pa
1 a
g (t ) t
p a
G
G(u)du
dapat diintegralkan
p
n
( 1)
n
L32
t g (t ) t
L33
n
1
g ( ) d
p
0
d G ( p) dp n
G p
t
g (t )h( )d 0
L34
G p H ( p )
t
h(t ) g ( )d 0
(konvolusi, g*h) Transformasi dari turunan y L35
y y y
Transformasi Bentuk Integral
n
L( y) pY y0 L( y) p 2Y py0 y0 L( y) p Y p y0 p y0 y0 3
2
L( y n ) p nY p n 1 y0 p n 2 y0 ... y0n 1
Fisika Matematika II
TI - 4
Invers dari transformasi Laplace ditentukan dengan menuliskannya ke dalam bentuk seperti bentuk 1 p dalam table kemudian menemukan fungsinya dari Tabel 1. Sebagai contoh, invers dari p 2 2 adalah ditentukan dengan menuliskannya ke dalam bentuk 1 p 1 p
p 22
p 2 2 p 22
Dengan membandingkan suku pertama dengan L6 pada Tabel 1 dapat diperoleh bahwa 2 t k 1 and a 2 ; sehingga invers dari suku pertama adalah f t te . Dengan cara yang sama invers suku kedua dapat diperoleh dengan membandingkannya dengan L18 untuk memperoleh 1 p 2t a 2 sehingga invers suku kedua adalah f t e 1 2t . Dengan demikian invers dari p 2 2 adalah f t te 2t e 2t 1 2t e 2t 1 t
(26.11)
Soal-soal 26
1. Tulislah L2 dalam bentuk
e
a p t
0
dt
1 a p
dan kemudian diferensialkan terhadap p untuk
1 t
membuktikan L5 and L6. Tunjukkan bahwa L
p
2. 3. 4. 5. 6.
Dengan menggunakan L2, buktikan L7 dan L8 Dengan menggunakan L2 atau L3 dan L4 bukt ikan L9 dan L10 Dengan pendiferensialan suatu formula terhadap a buktikan L12 Dengan pengintegrlan suatu formula terhadap a buktikan L19 Dengan mengganti a pada L2 dengan a + ib dan kemudian dengan a – ib dan penjumlahan dan pengurangan hasilnya, buktikan L13 dan L14 7. Buktikan L15, L16, L17, dan L18 dengan kombinasi formula-formula yang cocok 8. Tunjukkan bahwa kombinasi antara L3 dengan L10, L13, L14, dan L18 akan memberikan Ap B invers transformasi dari suatu fungsi yang berbentuk 2 Cp Dp E 9. Buktikan L32 untuk n = 1 (diferensialkan persamaan (26.1) t erhadap p) 10. Gunakan L32 dan L3 untuk membuktikan L11 11. Gunakan L32 dan L11 untuk memperoleh L (t 2 sin at ) 12. Gunakan L31 untuk membuktikan L21 13. Buktikan L29dengan formula transformasi Laplac e (26.1) 14. Gunakan L29 untuk membuktikan L6, L13, L14, dan L18 15. Gunakan L29 dan L11 untuk memperoleh L (te at sin at ) dan L(te at cos at ) yang tidak terdapat pada tabel. 16. Buatlah grafik sin t ; sin( t / 2) ; sin( t / 2) dan amatilah bagaimana grafik bergeser
sin( t / 2), t / 2 17. Gunakan L28 untuk menentukan transformasi Laplace dari f (t ) 0, t / 2 sin( x vt ), t x / v 18. Tentukan transformasi dari f (t ) ( x dan v konstan) t x v 0 , /
19. Gunakan L28 untuk menunjukkan bahwa J 0 (t )dt 1 0
20. Gunakan L15 dan L31 untuk menentukan transformasi Laplace dari
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
1 cos at t
.
TI - 5
21. Gunakan L32 dan L9 untuk menentukan transformasi Laplace dari t sinh at . 22. Gunakan L13 untuk menentukan transformasi Laplace dari sin at sinh at .
23. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menghitung t 3e 4 t sinh 2t dt 0
n 1
24. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menghitung
1 te n
n 0
2t
dt
n
h J 0 untuk menunjukkan fungsi J 0 t dan J 0 n t adalah
25. Gunakan L23 dan L34 dengan g orthogonal pada 0 , .
Tentukan invers transformasi Laplace dari 8 p 26. (gunakan L6 & L18) p 22 29. 32. 37. 42. 46.
2 p 1 p
p p 4
2 p 10
2 3
4
33.
1 p 2 p 1 p 2
p
(gunakan L13 & L14)
38.
a 2 p 2 p 1 p 2 4 p 5 2
2 2
43. 47.
Transformasi Bentuk Integral
1 p 4
1
p p 6
2
5
64
a
2
2 3
p
p
30. 34.
1
p
27.
39.
44.
2
1 p 2 4
48.
5 2 p
p 2 3 p 10 2 p 25 p 1 p p 2 1 p 12 2 p p 1 p
2
(use L7 and L8)
31. 35. 40.
1
p
2
a
2
p 1 p 2 4
p p 4
3
16
p p 4
1
36. 41.
3 p 2 3 p 2 5 p 2 6 p p
2
4 p 20
3 p 2 p 3 8 p
p a 3
45. pe p ( p 2 1)
p
28.
Fisika Matematika II
49.
e 2 p p 2
. (gunakan L5&L7)
TI - 6
KULIAH 27 Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace A. Pendahuluan Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan transformasi Laplace. B. Solusi Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace Pada saat menyelesaikan PDB dengan sisi kana n tidak sama dengan nol akan ditemui dua hal yakni banyak kerja untuk menemukan solusinya dan yang ditemukan adalah solusi umum sehingga untuk menentukan solusi khusus harus dilakukan per hitungan dengan memasukkan syarat awal yang diberikan. Salah satu cara untuk menyederhanakan kesulitan ini adalah dengan menggunakan transformasi Laplace.
Transformasi Laplace dari y
dy dt
Dengan menggunakan integral parsial u v y maka dapat diperoleh
L ( y) ye
pt
pt
dt e y (t )
0
0
adalah L ( y) ye pt dt 0
e pt sehingga
du
pe pt dt dan
dv ydt sehingga
p ye pt dt 0
L ( y) y ( 0) pL( y ) pY y0 (dengan L( y ) Y dan y ( 0) y0 ).
Dengan cara yang sama maka L( y) y(0) pL( y) L ( y) y0 p ( pY y0 ) p 2Y py0 y0
Dengan melanjutkan untuk turunan yang lebih t inggi maka akan diperoleh sebagaimana L35 pada Tabel 1. Contoh 1 Tentukan solusi dari y 4 y 4 y t 2e 2t jika y0 0 ; y0 0 .
Gunakan L35 yakni L ( y 4 y 4 y ) p 2Y py0 y0 4 pY 4 y0 4Y dan L6 yakni L(t 2e 2t )
2
p 2
3
untuk memperoleh ( p 2
4 p 4)Y p0 y y 0
2
p 23
Substitusikan syarat awal untuk mendapatkan 2 2 ( p 2 4 p 4)Y atau Y p 23 p 2 5 Setelah menemukan Y , langkah berikutnya adalah menentukan y dengan invers transformasi. Dengan L6 maka diperoleh solusi PDB yaitu t 4 2 t 2t 4e 2 t e y 4! 12 Contoh 2 Tentukan solusi dari y 4 y sin 2t jika y0 10 ; y0 0 .
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 7
Gunakan L35 yakni L ( y 4 y ) p 2Y py0 y0 4Y dan L3 yaitu L(sin 2t ) mendapatkan ( p 2
4)Y py0 y 0
2 p
2
4
untuk
2 p 2
4
Substitusikan syarat awal untuk mendapatkan 2 10 p 2 ( p 2 4)Y 10 p 2 atau Y 2 2 p 4 p 4 p 4
2
Dengan bantuan L4 dan L17 diperoleh invers transformasinya sebagai solusi dari PDB yakni 1 y 10 cos 2t (sin 2t 2t cos 2t ) 8 t 1 y 10 cos 2t sin 2t cos 2t 8 4 Pada kedua contoh ini, invers transformasi langsung dapat dilihat pada tabel karena bentuknya sederhana. Adakalanya bentuk terpisah (seperti contoh 2) dapat ditemukan pada tabel sehingga 10 p 2 tidak perlu digabungkan. Sebagai ilustrasi diambil contoh 2; Y 2 dapat langsung 2 2 p 4 p 4
ditemukan pada tabel tetapi bila digabungkan; Y
40 p 2 malah tidak dapat ditemukan 2 2 p 4
10 p
3
pada tabel. Adakalanya hasil penggabungan ditemukan pada tabel seda ngkan bentuk terpisahnya malah tidak ditemukan pada tabel. Contoh
4 1 4 p 3 1 p 2 1 p 3 p 2 1 p 3 1 1 p 1 Y ( p 1)( p 1) ( p 3) ( p 1)( p 3) Y
1
Contoh 3 Tentukan solusi dari y 4 y 13 y 20e t jika y0 1 ; y 0
3.
Gunakan L35 yaitu L ( y 4 y 13 y ) p 2Y py0 y0 4 pY 4 y0 13Y dan L2 L( 20e t )
20 p 1
untuk memperoleh p 2 Y py 0
y 0 4 pY 4 y 0 13Y
20 p 1
Substitusikan syarat awal untuk mendapatkan 20 p 2Y p 3 4 pY 4 13Y p 1
20 p 7 p 2 4 p 13 p 1 2 p 8 p 27 Y p 1 p 2 4 p 13 2 p 8 p 27 Y p 1 p 2 2 9 Y
1
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 8
Bentuk ini belum dapat ditemukan pada tabel, tet api dengan pengubahan penyebutnya agar seperti penyebut pada L2, L13 atau L14 maka akan dapat ditentukan inversnya. Cara pengubahan penyebutnya adalah sebagai berikut. A Bp C 8 p 27 p 1 p 2 4 p 13 p 1 p 2 4 p 13 p
2
Dengan prinsip penyamaan pada penyebutnya, maka diperoleh p 2 8 p 27 A( p 2 4 p 13) ( p 1)( Bp C ) p 2 8 p 27 ( A B ) p 2 ( 4 A B C ) p (13 A C ) Persamaan ini benar jika dipenuhi A B 1 dan 4 A B C 8 dan 13 A C 27 sehingga diperoleh A 2 , B 1 , dan C 1 . Dengan demikian diperoleh 2 p 1 Y 2 p 1 p 2 9
Y
2 p 1
2 3 p 2 p 3 2 p 22 9 p 1 p 22 9 p 22 9
Dengan menggunakan L2, L13 dan L14 akan diperoleh y 2e t e 2t sin 3t e 2 t cos 3t Contoh 4 Tentukan solusi dari set PDB yang tergandeng berikut y 2 y z 0 z y 2 z 0 jika y0 1 ; z0 0 .
Transformasi Laplace dari masing-masing PDB L ( y 2 y z ) pY y0 2Y Z L z y 2 z pZ z0
Y 2 Z
Substitusi syarat awal akan menghasilkan ( p 2)Y Z 1 Y ( p 2)Z 0 Dua persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara substitusi, eliminasi, determinan atau cara yang lain. Jika diselesaikan dengan cara eliminasi, maka kalikan persamaan pertama dengan ( p 2) p 2 kemudian tambahkan dengan persamaan kedua untuk memperoleh Y dan p 22 1 1 Z p 22 1 Dengan L14 akan diperoleh y e 2 t cos t dan dengan L13 akan diperoleh z e 2 t sin t Cara lain untuk memperoleh z adalah dengan menggunakan PDB, misal PDB yang pertama z 2 y y 2e 2t cos t 2e 2t cos t e 2t sin t e2 t sin t Selain untuk menyelesaikan persamaan diferensial, transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan integral. Contoh 5
e
2 t
1 cos 3t dt dapat ditentukan dengan menggunakan L15 untuk p 2; a 3 :
0
0
e
2 t
1 cos 3t dt
32 2( 22 32 )
Transformasi Bentuk Integral
9 26 Fisika Matematika II
TI - 9
Soal - Soal 27 Tentukan solusi PDB dengan syarat awal yang diberikan dengan transformasi Laplace 1. y y 2et dengan y0 0 2. y 4 y 4 y e 2t dengan y0 0 ; y0 4
3. y y sin t dengan y0 1 ; y0 0
4. y y sin t dengan y0 0 ; y0
5. y 6 y 9 y te dengan y0 0 ; y0 5
6. y 4 y 4 y 4 dengan y0 0 ; y0
1 2
2 7. y 16 y 8 cos 4t dengan y0 0 ; y0 0 8. y 16 y 8 cos 4t dengan y0 0 ; y 0 8 9. y 4 y 4 y 6e 2 t dengan y0 0 ; y0 0 10. y 4 y 4e 2t dengan y0 0 ; y0 1 11. y y e t 2te t dengan y0 1 ; y0 2 12. y y 5 sinh 2t dengan y0 0 ; y0 2 13. y 4 y 4te 2t dengan y0 0 ; y0 1 14. y 9 y cos 3t dengan y0 0 ; y0 6 15. y 9 y cos 3t dengan y0 2 ; y0 0 16. y 5 y 6 y 12 dengan y0 2 ; y0 0 17. y 4 y 3e t dengan y0 1 ; y0 3 18. y y 5 y e2t dengan y0 1 ; y0 2 19. y 8 y 16 y 32t dengan y0 1 ; y0 2 20. y 4 y 5 y 26e3t dengan y0 1 ; y0 5 21. y 2 y 5 y 10 cos t dengan y0 2 ; y0 1 22. y 2 y 5 y 10 cos t ; y0 0 ; y 0 3 23. y 2 y y 2 cos t dengan y0 5 ; y0 2 24. y 4 y 5 y 2e 2 t cos t ; y0 0 ; y 0 3 25. y 2 y 10 y 6e t cos 3t dengan y0 0 ; y0 1 3t
Tentukan solusi dari set PDB berikut dengan metode transfor masi Laplace y0 y0 0 y0 26. y z 3z 0 27. y z 2 cos t y z 0
28. y z 2 y 1 z y t
30. y z z 0
z0
z y 1
3 4
y0 z0
29. y 2 z 1
1
2 y z 2t 31. z 2 y 0
0; y0 1 y z 2 z 1 et z0 1 ; z0 1 32. y z y cos t y0 y0 0 z0 0 y y 2 z 0 y0
y 2 z 2
1 z0 1 y0 0 z0 1 y0 z0 0
Hitunglah integral berikut dengan menggunakan transformasi Laplace
33.
e
2 t
sin 3t dt
34.
0
t
e 1 cos 2t dt
38.
0
41.
sin 5t dt
35.
0
37.
te
t
e
t e
3t
t
e 2t t
dt
39.
0
sin 2t t
0
0
1
e
e
2 t
dt
e 2et t
36.
t e 5
2 t
dt
1
2 t
sin t 2 dt
0
dt
40.
t e
0
t 3
sin 2t cos t dt
0
42.
tJ (2t )e 0
t
dt
0
Tentukan persamaan diferensial berikut dengan transformasi Laplace 43. y y sec 2 t 44. y y t sin t
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 10
KULIAH 28 Transformasi Fourier A. Pendahuluan Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial, sin, dan cos dari fungsi tidak periodik. B. Transformasi Fourier Untuk pembandingan, deret Fourier bentuk kompleks sebagaimana telah dibahas pada Bab I didefinisikan sebagai berikut.
c e
f(x)
in x l
n
(28.1)
n l
cn
1 f(x) e 2l l
in x
dx
l
(28.2)
Transformasi Fourier bentuk eksponensial ident ik dengan deret Fourier bentuk eksponensial. Transformasi Fourier didefinisikan sebagai berikut.
g ( ) e
f ( x)
i x
1
2
g ( )
f ( x) e dx
f ( x) e i x dx 2
g ( ) e i x d (28.2a)
f ( x)
1
g ( )
i x
g ( ) e i x d
2
f ( x)
d
1
f ( x) e i x dx (28.2b)
g ( )
f ( x ) dan g ( ) adalah pasangan transformasi Fourier. Pada umumnya g ( ) adalah transformasi
Fourier dari f ( x ) dan f ( x ) adalah invers transformasi Fourier dari g ( ) . Namun karena dua integral hanya berbeda sedikit pada tanda eksponensial maka keduanya dapat dipertukarkan atau secara sederhana salah satu adalah tansformasi Fourier dari yang lain. Untuk penerapan pada fisika pasangan variabel x menjadi pasangan variabel x k ; x p atau t atau sehingga bentuk transformasi Fourier menjadi
f ( x)
g (k ) e ikx dk
2
f ( x)
1
2
g (k )
f ( x) e
ikx
2 p
( x)
2
; f ( x )
h
( p) e
h
( x ) ; dan g ( k )
2 ipx / h
dp
( x)
( x) e 2 h
2 ipx / h dx
( p )
f (t )
i t g ( ) e d
f (t )
g ( )
1
f (t ) e 2
i t dt
Transformasi Bentuk Integral
g ( )
(D3.a)
g (k )
f ( x) e ikx dx (D3.b)
1
( p) e
h
1
( x) e h
2 ipx / h
dp
2 ipx / h dx
2
( x)
h
2
( p)
h
g (k ) eikx dk
( p ) maka
2
1
Jika k
( p )
f ( x)
ikx f ( x ) e dx 2
h
g (k ) e ikx dk
1
g (k )
dx
1
1
2 1
i t g ( ) e d
f (t ) e 2
i t dt
Fisika Matematika II
f (t )
( p) e
2 ipx / h
( x) e
2 ipx / h dx
dp
g ( ) e
g ( )
i t d
(D4.a)
i t dt
(D4.b)
f (t ) e
TI - 11
1. Transformasi Fourier Bentuk Sin Jika f ( x ) fungsi ganjil maka
2
f s ( x)
g ( ) sin x d
2
g s ( )
(28.5a)
s
0
f ( x) sin x dx
0
(28.5b)
s
2. Transformasi Fourier bentuk cos Jika f ( x ) fungsi genap maka
2
f c ( x )
g ( ) cos x dx
g c ( )
2
(28.6a)
c
0
f ( x) cos x dx
0
(28.6b)
c
Jika suatu fungsi diberikan pada x 0 , maka dapat ditentukan transformasi Fourier bentuk s in atau bentuk cos dengan mengembangkannya menjadi fungsi ganjil atau genap. Hal tersebut juga dapat ditentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial jika pada interval lain bernilai nol. Contoh 1 Sebuah fungsi rektanguler non periodik diberikan oleh 1, 1 x 1 (D7.a) f ( x) x 0 , 1
1
memiliki transformasi Fourier sebagai berikut 1 1 1 i x i x g ( ) dx dx f ( x) e e 2 2 1 i x 1 1 e sin (D7.b) g ( ) 2 i 1 Fungsi
sin
1
-1 Gambar 1a sinc
didefinisikan sebagai fungsi
sinc . sinc memiliki sifat sinc 0 = 1 sinc n = 0 untuk n integer
Gambar 1b
sin c d 1
Jadi dapat disimpulkan bahwa transformasi dari fungsi rekatanguler adalah fungsi sinc. Contoh 2 Untuk menentukan nilai integral tertentu, jika disubstitusikan g ( ) dalam persamaan (D7.b) ke dalam f ( x) dalam persamaan (D7.a) maka diperoleh
f ( x)
g ( )e
i x
d
2
0
sin cos x
d .
Dengan demikian hasil ini dapat digunakan untuk menentukan nilai dari Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 12
0
sin cos x
d
2
f ( x)
(28.8a)
Jika f ( x ) adalah fungsi rektanguler sebagaimana gambar atas pada contoh 1 maka
untuk x 1 2 sin cos x d f x ( ) 4 untuk x 1 0 2 0 untuk x 1
(28.8b)
(pada x = 1 nilai konvergensi f ( x) adalah pada titik tengahnya).
Untuk x = 0 maka
sin
0
d
2
.
(28.8c)
Sebagaimana kita pelajari pada Bab I bahwa kita dapat menentukan deret Fourier cos atau deret Fourier sisn dari suatu fungsi yang diberikan hanya pada interval x 0 dengan cara mengembangkannya menjadi fungsi genap atau fungsi ganjil. Dengan cara yang sama, transformasi Fourier yang diberikan pada interval x 0 dapat dijadikan menjadi transformasi Fourier cos dengan mengembangkannya ke arah x 0 untuk menjadi fungsi genap. Kita juga dapat menentukan transformasi Fourier sin dengan menjadikannya fungsi ganjil pada x 0 Contoh 3 Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi di bawah ini (lihat gambar 2a) 1 , 0 x 1 (28.9) f ( x ) , x 0 1
Kita kembangkan fungsi pada daerah x 0 sehingga menjadi fungsi genap (fungsi ini sama dengan fungsi pada contoh 1). Oleh karenanya kita akan mendapatkan hasil yang sama se bagaimana pada persamaan in (28.8a). Untuk membuktikannya, kita tentukan transformasi Fourier bentuk cos sebagai berikut 2
sin c
1
1 Gambar 2a
Gambar 2b
2
g c
f c x cos x dx
0
2 sin x
g c
1
0
2 sin
21
cos x dx 0 (see Figure 2b)
(28.10)
Substitusikan (28.9b) ke dalam f ( x) pada (28.5a) untuk memperoleh
f c x
2 sin cos x
g cos x d
0
sin cos x
0
d
2
d .
f c x
(28.11)
(sebagaimana (28.8a)) Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 13
Contoh 4 Tentukan transform Fourier bentuk sin dari fungsi pada co ntoh 3. Untuk itu, kita kembangkan fungsi pada x 0 sehingga menjadi fungsi ganjil seperti ditunjukkan Gambar 3 di samping. Transform Fourier bentuk sin ditentukan sebagai berikut g s
2
1 – 1
21
f x sin x dx sin x dx 0 s 0 1 2 cos x 2 1 cos g s 0
1 – 1 (28.12) Gambar 3
Substitusikan (28.12) ke dalam f ( x) pada (28.6a) untuk memperoleh f s x
2
0
g s sin x d
2 1 cos
0
sin x d
(28.13a)
Kita dapat menggunakan (28.13a) untuk menghitung integral t ertenti. Dengan menggunakan f ( x ) pada gambar di atas, kita peroleh
, 1 x 0 2 1 cos ,0 x 1 sin x d f x 2 s 0 2 0, x 0, x 1 , x 1 4
(28.13b)
Untuk x = 1, kita peroleh
1 cos
0
sin d
4
(28.13c)
Soal – Soal 28 1. Turunkan bentuk transformasi Fourier cos.
1, 0 x 1 Kerjakan seperti contoh jika fungsi f ( x) adalah f ( x ) x 1 0, Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari f ( x) yang diberikan dan tentukan f ( x) sebagai bentuk integral (setelah g ( ) disubstitusikan) 2.
3.
6.
1, x 0 f ( x) 1, 0 x 0, x x, x 1 f ( x) 0, x 1
Transformasi Bentuk Integral
1, / 2 x 4. f ( x ) selainnya 0,
1, 0 x 1 5. f ( x) 0, selainnya
x , x 1 7. f ( x) 0, x 1
x, 0 x 1 8. f ( x ) 0, selainnya
Fisika Matematika II
TI - 14
9.
2a
10.
2a
a
-a
a
-a
-2a
cos x, 11. f ( x) 0,
/ 2 x / 2 x / 2
sin x, x 12. f ( x) x 0,
/ 2 / 2
Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi yang dituliskan nomor soalnya dan tentukan f ( x) sebagai bentuk integral (set elah g ( ) disubstitusikan). Tunjukkan hasilnya sama sebagaimana yang diperoleh pada transformasi Fourier bentuk eksponensial. 12. soal no 4 13. soal no 7 14. soal no 9 15. soal no 11 Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi yang dituliskan nomor soalnya dan tentukan f ( x) sebagai bentuk integral (set elah g ( ) disubstitusikan). Tunjukkan hasilnya sama sebagaimana yang diperoleh pada transformasi Fourier bentuk eksponensial. 16. soal no 3 17. soal no 6 18. soal no 10 19. soal no 12 20. Tentukan transformasi Fourier dari f ( x) e
x 2 /(2 2 )
x , 1 x 1 j x d ( ) sin 2 1 0 x 1 0, 1 cos 1 cos sin d ; sin d
21. Tunjukkan bahwa
22. Tunjukkan bahwa
0
2
0
4
23. (a). Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari f ( x) e
cos x
2
0
1
2
e
x
x
(jawabnya adalah
); (b) Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari soal a; (c) Tentukan
transformasi Fourier bentuk cos dari f ( x)
1 1 x 2
sin x, 0 x 24. (a) Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari f ( x ) ; selainnya 0, (b) Tunjukkan bahwa hasil soal a adalah f ( x)
25. Tunjukkan bahwa
1 cos
0
2
d
1
cos x cos ( x )
0
1 2
d
2
Tentukan (a) transformasi Fourier bentuk cos, (b) transfor masi Fourier bentuk sin dari 2 x 4 1, 0 x / 2 1, 26. f ( x) 27. f ( x) x / 2 0, 0, 0 x 2, x 4 Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 15
1, 28. f ( x) 1, 0,
0 x 2 2 x 3 x 3
1 x / 2, 0 x 2 29. f ( x) 0, x 2
2 x 0 . Tentukan transformasi Fourier eksponensial g . , x 1 0 2 cos 2 1 sin 2 Tuliskan f x sebagai integral dan gunakan hasilnya untuk menghitung d 0 0 x 1 x , 31. Diberikan f x 2 x , 1 x 2 . Tentukan transformasi Fourier cos g . Tuliskan f x 0 , x 2 1 , 30. Diberikan f x
sebagai integral dan gunakan hasilnya untuk menghitung
cos
2
0
sin2 / 2 d 2
32. Dengan pengubahan variable z x tunjukkan bahwa transformasi Fourier sin dari x 1 / 2 adalah 1 / 2 33. Gunakan J 0 x
J 0 x adalah
2
/ 2
cos x sin d untuk menunjukkan bahwa transformasi Fourier cos dari 0
2 1 , 0 1 , . Tunjukkan bahwa 1 2 0 , 1
J xdx 1 0
0
34. Gunakan tabel transformasi Laplave untuk menentukan transformasi Fourier sin dan cos dari e x dan xe x
2a x , 35. Tentukan transformasi Fourier eksponensial dari f x 0 ,
x x
2a 2a
36. Buktikan teorema pergeseran atau translasi transformasi Fourier berikut ini. Jika g adalah transformasi Fourier dari f x maka a. transformasi Fourier dari f x a adalah e ia g b. transformasi Fourier dari e ix f x adalah g
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 16
KULIAH 29 Konvolusi A. Pendahuluan Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menentukan transformasi Four ier dari konvolusi, transformasi Laplace dari konvolusi dan menerapkan teorema Parseval untuk menyelesaiakan permasalahan yang terkait. B. Definisi Konvolusi Konvolusi fungsi g t dan ht didefinisikan sebagai berikut t
f (t ) g (t ) h(t )
g (t )h( )d
(29.1)
0
Pengertian konvolusi diilustrasikan oleh gambar di bawah. Fungsi ht ditunjukkan oleh gambar 4a di bawah ini. Anggao g t adalah fungsi tidak simetris sebagaimana ditunjukkan oleh gambar 4b. Fungsi h , fungsi yang digeser g t dan perkalian fungsi g t h ditunjukkan oleh gambar 4c. Konvolusi g t dan ht adalah f t yang ditunjukkan oleh gambar d. Konvolusi ini adalah luas dibawah kurva perkalian fungsi g t h untuk seluruh nilai t . Hasil perkaliannya tidak nol hanya pada daerah g t yang tidak nol yaitu daerah di mana kedua kurva t umpang tindih. h(t)
a t
g(t)
b h()
t g(t-) h()g(t-) c
f(t)
d
Gb 4
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 17
Sebagai contoh, jika g (t ) e 3t dan h(t ) e 2 t maka tentukan g (t ) h(t ) dan h(t ) g (t ) t
Karena g (t ) h(t ) g (t )h( ) d maka berdasarkan soal yang diberikan 0
g (t ) e
3( t )
dan h( ) e 2 sehingga dapat diperoleh
t
t
g (t ) h (t ) e
3( t ) 2
e d e
3t
0
e
d e
3t
e 2t
0
t
Karena h(t ) g (t ) h(t ) g ( ) d maka berdasarkan soal yang diberikan 0
h(t ) e 2( t ) dan g ( ) e3 sehingga dapat diperoleh t
t
h(t ) g (t ) e
2 ( t ) 3
e d e
2 t
0
e d e
3t
e 2t
0
Dengan demikian terlihat bahwa g (t ) h(t ) = h(t ) g (t ) 1. Transformasi Laplace dari Konvolusi Jika G ( p) dan H ( p ) adalah transformasi Laplace dari g (t ) dan h(t ) maka berdasarkan definisi dapat diperoleh
G ( p) H ( p)
g (t )e
pt
dt . h(t )e
0
pt
dt
(29.2)
0
Karena variabel adalah variabel dummy maka bentuk di atas dapat dituliskan dengan variabel lain
G ( p) H ( p)
g ( )e
p
0
d . h ( )e
p
d
0
e
p ( )
g ( )h( ) d d
(29.3)
0 0
Dengan pengubahan variabel t pada integrasi terhadap (variabel tetap) maka dapat diperoleh d dt , batas integralnya menjadi t (saat 0 ) dan t (saat ), dan
G ( p) H ( p)
e
pt
g (t ) h( ) dt d
(29.4)
0 t
Integral lipat dua dalam persamaan (29.4) dilakukan pada luasan segitiga pada kuadran pertama di bawah garis t (lihat gambar 5). Pada persamaan (29.4) integral dilakukan terhadap variable t dulu kemudian terhadap . The limit of integration is t : t to : 0 to Now, we integrate with respect to first and then with respect to t . From Figure 3, we find the limit of integration is : 0 to t t : 0 to Using this change of the order of integrat ion, we get
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
Gambar 5
TI - 18
Dengan pengubahan urutan integral maka dapat diperoleh
G ( p) H ( p)
t
e
pt
g (t ) h( ) dt d
t 0 0
G ( p ) H ( p)
e
pt
0
t g (t )h( )d dt 0
G ( p) H ( p) L( g * h) (29.5) (sebagaimana pada L34 dalam tabel transformasi Laplace) Salah satu aplikasi transformasi Laplace dari suatu konvolusi adalah untuk penyelesaian persamaan diferensial. Sebagai contoh adalah penentuan solusi dari y 3 y 2 y e t jika y 0
y 0 0 . Tentukan transformasi Laplace untuk masing-masing suku pada sisi k iri dan biarkan
sisi kanan. p 2Y 3 pY 2Y L (e t ) atau Y
1
L(e t ) p 3 p 2 2
Dengan menggunkan L7 pada tabel transformasi Laplace maka dapat dipreoleh Y L(e t e 2t ) L (e t ) G ( p) H ( p ) y (invers dari Y ) adalah konvolusi g (t ) dan h(t ) dengan g (t ) e t e 2t dan h(t ) e t . Dengan menggunakan g (t ) h(t ) = h(t ) g (t ) untuk menentukan fungsi yang paling sederhana u ntuk
variabel t maka dapat diperoleh t
y
g (t ) h(t ) g ( )h(t )d 0
t
y
e e
2
e
t
2 ( t )
d e
t
0
y
1 e
d
0
te t e 2t e t
2. Transformasi Fourier dari Konvolusi Jika g1 ( ) dan g 2 ( ) adalah transformasi Fourier dari f 1 ( x ) dan f 2 ( x) maka berdasarkan definisi (pers 28.2) dapat dituliskan g1 ( ).g 2 ( ) g1 ( ).g 2 ( )
1 2 1
f1 (v )e
i v
dv.
1
f (u)e 2
i u
2
du
e 2
i ( v u )
f1 (v ) f 2 (u ) dv du
(29.6)
Pengubahan variabel x g1 ( ).g 2 ( ) g1 ( ).g 2 ( )
1
v u akan memberikan hasil
e 2
1
dx dv pada integral v dan
i x
i x
2
e
f1 ( x u ) f 2 (u ) dx du
f1 ( x u ) f 2 (u )du dx
(29.7)
Jika didefinisikan konvolusi dari f 1 ( x) dan f 2 ( x) sebagai
f 1 * f 2
f ( x u) f (u )du 1
(29.8)
2
maka
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 19
1
g1 ( ).g 2 ( )
2
1
2
f1 * f 2 e
i x
1
2
dx
. transformasi Fourier dari f1 * f2
(29.9) Dengan kata lain g1 . g 2 dan
1 2
f1 f 2 merupakan pasangan transformasi Fourier atau secara
matematis dapat dituliskan 1 1 f1 f 2 g1.g 2 ei x d 2 2 g1.g2
(29.10a)
f1 f 2 e i x dx
(29.10b)
1
2
1 2
Dengan cara yang maka dapat diperoleh 1 i x 1 f1 x . f 2 x g * g 2 e d 2 1 2
1
2
.transformasi Fourier transform dari g1 * g 2 (29.11)
dengan g1 g 2
g ( ) g ( ) d
1
(29.12)
2
1 2
atau dengan kata lain
g1 g 2 dan f 1 . f 2 merupakan pasangan transformasi Fourier
3. Teorema Parseval Untuk deret Fourier yang berbentuk kompleks
f(x)
c e
in x l
n
n
l
dengan cn
1 f(x) e 2l l
in x l
dx
berlaku teorema Parseval 1
f ( x)2 dx =
2
c
2
n
.
n
Analog dengan ini, untuk transformasi Fourier yang berbentuk 1 i x f ( x ) g ( ) e d 2
1
f ( x) e 2
g ( )
i x
dx
berlaku teorema Parseval
2
g ( d
2
f ( x) dx
(29.13)
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Pertama adalah menentukan transformasi Fourier dari fungsi konjuget f ( x) dengan cara sebagai berikut. 1
f ( x) e 2
g1 ( )
i x
1
dx
(29.14)
Konjaget (29.14) adalah 1 i x g1 ( ) f1 ( x) e dx 2
(29.15)
Kalikan (29.15) dengan g 2 ( )
1
f (x) e 2 2
i x
dx integralkan terhadap
*
g1 ( ) g 2 ( ) d
2 1
Transformasi Bentuk Integral
*
f1 ( x ) e
i x
dx g 2 d
Fisika Matematika II
(29.16) TI - 20
Kita ubah urutan integral sisi kanan (29.16) sehingga kita integralkan pertama kali terhadap
g1 ( )
*
g 2 ( )d f1 dx *
1
2
g 2 ( x) e
i x
d
(29.17)
Berdasarkan definisi transformasi Fourier yang kita terapk di sini maka dipero leh
*
g1 ( ) g 2 ( )d
(29.18)
g 2 g dan
Jika kita set g1 Fourier
*
f1 f 2 x dx
2
g d
f 1
f 2 f maka kita peroleh teorema Parseval untuk transformasi
2
f x dx
(29.31)
sebagaimana dituliskan di depan. Soal-soal 29 1. Dengan substitusi u t , tunjukkan bahwa g h h g
2.
Gunakan L34 dan L2 untuk menentukan invers t ransform dari G ( p ) H ( p ) jika G ( p ) dan H ( p )
1 p a
1 p b
Gunakan integral konvolusi untuk menentukan invers transform dari p p 1 1 p 3. . 2 4. 5. 2 2 2 p 1 p 1 p a p b p a p b2 p 2 1
6. 9. 12.
1
7.
p a p 2 b2 2 p p 2 3
p
p a p 2 b 2
10.
1
p p 2 a
2 2
8.
1
p a p b p c
11.
p
p
2
a
2
p
2
b2
1
p p
2
a 2 p 2 b2 t
13. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menentukan f (t ) e sin( t ) d 0
Tentukan solusi PDB berikut dengan menggunakan konvolusi 14. y 5 y 6 y e 2 t ; y0 y0 0 15. y 3 y 4 y e3t ; y0
y0 0
16. y y sec 2 t 17. y y t sin t
0, t 0 18. Tentukan solusi PDB y a 2 y f (t ) dengan f (t ) dan y 0 t 1 , 0
y 0 0
19. Gerak harmonik sederhana diwakili oleh PDB y 2 y f (t ) . Tentukan y jika
1, 0 t a f (t ) 0, yang lain
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 21
Buktikan teorema Parseval untuk fungsi berikut 1
1, 1 x 1 20. f ( x) x 1 0, 1
-1 21. f x e x
2
/ 2
2
x
22. f ( x) e
23. Tentukan bentuk teorema Parseval untuk transformasi Fourier s in dan cos cos x, / 2 x / 2 24. Gunakan teorema Parseval dan f ( x) untuk menghitung x 0 , / 2
cos
2
/ 2
1
2 2
d
0
25. Tunjukkan bahwa jika transformasi Fourier didefinisikan sebagai
f ( x )
g ( ) ei xd
g ( )
1
2
f ( x) e i x dx
maka Torema Parseval menjadi
1
f ( x ) 2
2
dx
26. Gunakan substitusi
f ( x)
2
dx
( x) ( p )
g ( )
2
2 p h
; f ( x )
g ( )
2
d
( x ) ; dan g ( )
h
2
( p) pada
d untuk menunjukkan bahwa
1
( p) e h
1
( x) e h
2 ipx / h
dp
2 ipx / h dx
( x)
2
dx
( p)
2
dp
27. Tentukan normalisasi ( N ) dari fungsi f x e x
2
/ 2
2
( x) Nf ( x ) untuk
. Kemudian misalkan
menentukan ( p ) sebagaimana pada soal no 26. Tunjukkan bahwa
2
( p ) dp
1
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 22
KULIAH 30 TRANSFORMASI LAPLACE DAN FOURIER DARI FUNGSI DELTA DIRAC A. Pendahuluan Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menentukan transformasi Laplace dari fungsi delta Dirac, transformasi Fourier dari fungsi delta Dirac dan menyelesaikan respon dari impuls satuan B. Fungsi Delta Dirac Fungsi delta Dirac dari variabel t dilambangkan dengan (t ) . Fungsi ini diusulkan oleh Dirac untuk mengembangkan formula pada mekanika kuantum. Ia membutuhkan fungsi yang nilainya nol di mana saja kecuali pada sat u titik yang diskontinyu dan berperilaku sebagai tinggi takhingga dan menjulang tajam dengan luas kurvanya satu. Dengan demikian fungsi delta Dirac didefinisikan se bagai 0, t t 0 (30.1) (t t 0 ) t t , 0
yang karena luas kurvanya sama dengan satu, maka normalitasnya sama dengan satu
(t t )dt 1
(30.2)
0
dan
f (t ) (t t )dt f (t ) 0
(30.3)
0
Beberapa fungsi delta Dirac untuk variabel bentuk yang lain (t ) (t ) (t ) ( at ) a 1 (t 2 a 2 ) (t a) (t a) 2a
(30.4) (30.5) (30.6)
1. Transformasi Laplace dari Fungsi delta Dirac
L ( (t a ) (t a )e
pt
dt e
pa
(30.7)
0
Contoh: Tentukan solusi dari persamaan diferensial y 2 y
(t t 0 ) dengan syarat y 0 y 0 0
Jawab: Transformasi Laplace kedua sisi menghasilkan L ( y 2 y ) L( (t t 0 ) ( p
2
2
)Y e
pt 0
atau Y
e p
pt 0
2
2
Invers dari Y ditentukan dengan bantuan L3 dan L28 yakni 1 y sin (t t 0 ) 2. Transformasi Fourier dari fungsi delta Dirac g ( )
1
2
( x a) e i x dx
Transformasi Bentuk Integral
1 2
e
i a
(30.8a)
Fisika Matematika II
TI - 23
( x a)
e
i ( x a )
d
(30.8b)
Contoh, gelombang listrik yang berbentuk f (t ) A sin 0 t memiliki transformasi Fourier g ( )
1
i t dt f (t ) e
2
A 1
A
e
i ( 0 )t
2
e i ( ) t 0
2i
dt
1 it ( ( ) t ) it ( ( )t ) g ( ) e dt e dt 2i 2 2 0
0
Dengan bantuan (30.8b) dan sifat (t ) (t ) maka dapat diperoleh A A g ( ) i ( 0 ) i ( 0 ) 2 2 Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa transformasi Fourier dar i fungsi sin adalah fungsi delta Dirac yang dapat digambarkan sebagai berikut
A 2
sin 0t
i
0 0
Soal – Soal 30
1. Tentukan invers transformasi Laplace dar i
e 2 p p 2
dengan integral konvolusi
2. Buktikan L24 dengan integral konvolusi. 3. Buktikan L28 dengan integral konvolusi.
n; t t t 1 ne n (t t ) ; t t 0 0 Tunjukkan bahwa f n (t ) dt 1 untuk f n (t ) dan f n (t ) 0 n 0 yang lain 0 yang lain Tentukan solusi dari persamaan diferensial y 2 y f (t ) , y 0 y 0 0 dengan n; t t t 1 0 f n (t ) 0 n . Ambil n dan tunjukkan bahwa solusi persamaan diferensial 0 yang lain
4. 5.
1
sin (t t 0 ) untuk t t 0 6. Anggaplah suatu sistem listrik atau mekanika dideskripsikan oleh persamaan diferensial A y B y Cy f (t ) dengan y 0 y 0 0 . (a) Tentukan solusi persamaan diferensial dengan adalah y
0
integral konvolusi. Jika y jika f (t )
n; t t t 1 0 f n (t ) 0 n maka tentukan y untuk 0 yang lain
(t t 0 ) ; (c) Solusi y pada bagian (a)
n . (b) Tentukan
dan (b) disebut sebagai respon sistem
terhadap impuls satuan. Tunjukkan bahwa respon sistem pada impuls satuan pada t 0
0 adalah
invers transformasi Laplace dari fungsi transfer. Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 24
Dengan mengunakan transformasi fungsi delta Dirac, tentukan respon dar i masing-masing sistem terhadap impuls satuan (lihat soal 6 c) dengan y 0 y 0 0 7. y 2 y y 10. y 9 y
(t t 0 )
(t t 0 )
8. y 4 y 5 y 11.
d 4 y 4
dt
(t t 0 )
9. y 2 y 10 y
(t t 0 )
(t t 0 )
Daftar Rujukan 1. Mary L. Boas, ‘Mathematical Methods in the Physical Sciences’, 3rd edition, John Wiley & Son, 2005. 2. K.F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, ‘Mathematica l Methods for Physics and Engineering’, 3rd edition, Cambridge University Press, 2006. 3. K.T. Tang, ‘Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1, 2, 3’, Springer Verlag, Berlin, 2006. 4. Tai L. Chow, ‘Mathematical Methods for Physicists: A Concise Introduction’, Cambridge University Press, 2003. 5. Arfken & Weber, ‘Mathematical Methods for Physicist’, Elsevier Academic Press, California, USA, 2005
Transformasi Bentuk Integral
Fisika Matematika II
TI - 25
