FISIKA MATEMATIKA 1 DERET
Anggota Kelompok : 1.
Ginanjar Putri Utami
1111!"#
$.
Mo%&ama' Ri(alul Fikri
1111!"1$
!.
)o*ita Sari
1111!"1+
+.
,irna Sur-ani
1111!"$"
PRGRAM STUDI PE)DIDIKA) FISIKA FAKU/TAS KEGURUA) DA) I/MU PE)DIDIKA) U)I0ERSITAS MUAMMADI2A MUAMM ADI2A PRF. PR F. DR. AMKA AMKA $1!
DERET 1
De3ini4i 'an nota4i Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan dari banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang mempunyai nilai terbatas dan ada juga yang mempunyai nilai tak hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa rumus tertentu juga ada berupa bilangan yang tidak dapat dirumuskan. Contoh
1+
1 1 1 + + +…. 2 3 4
Dalam Dalam banya banyak k bentuk bentuk,, deret deret dapat dapat dirumu dirumuska skan n ke dalam dalam suatu suatu bentuk bentuk perula perulanga ngan n (loopi (looping) ng) yang yang bergan bergantun tung g pada pada suatu suatu nilai nilai variabel variabel yang membesar ketika berulang. berulang. eperti eperti !ontoh !ontoh diatas, diatas, dapat dilihat penyebut dari bilangan penyyusunannya membesar dengan
beda
satu,
artinya nya
setiap
perulan langan
bilangan
penyusunannya (penyebutnya) ditambah satu. "ntuk merumuskan deret di atas dapat digunakan variabel n yang membesar dengan beda satu, digunakan sebagai penyebut bilangan penyusun deret, ∞
dan operasi penjumlahan penjumlahan digunakan digunakan dengan dengan notasi
❑ ∑ = n 1
atau
sigma sigma yang yang artiny artinya a perula perulanga ngan n n dimula dimulaii dari dari satu satu sampa sampaii tak ∞
hingga.
#erumusan
1 1 1 + + +…. 2 3 4
deret
di
atas
adalah
1 ∑ = 2 n 1
$
1 +
Contoh ∞
1 1 1 1 =1 + + + + … . ∑ 2 3 4 = 2 n
n 1
∞
1 =1 + 1 + 1 + 1 + … . ∑ 2 6 24 = n! n 1
$
Deret Kon*ergen 'an Deret Di*ergen
Dere Derett tak tak hing hingga ga terb terbag agii menj menjad adii dua dua yaitu yaitu,, dere derett tak tak hing hingga ga yang yang konvergen dan deret tak hingga yang divergen. %injau suatu deret berikut &
∑ ( = ∞
n 0
1 2
) = +( ) +( ) +( ) + +( ) + n
1
1 2
2
1 2
3
1 2
4
….
1 2
n
….
'amakan deret dengan n &
n $
( )+ n
1 1 1 1 1 1 + + + + … + 2 4 8 16 2
…
ita kalikan n dengan akan didapat &
n $
n+ 1
()
1 1 1 1 + + + … + 1 2 4 8 16 2
+…
*umlahkan n dengan (1-) n akan didapat &
n $
( )+
1 1 1 1 1 1 + + + + … + 2 4 8 16 2
n
…
n +1
()
1 1 1 1 1 + + + … + 2 4 8 16 2
1- n $
+…
+
n+ 1
() 1 2
n $ 1
Dengan demikian kita dapat menghitung nilai deret di atas
n $
$
n +1
()
1−
1 2
1 2
lim Sn n →∞
$ -
leh karena nilai dapat dihitung dan bernilai batas maka deret tersebut dinamakan deret konvergen. *ika tidak dapat dihitung atau bernilai tak hingga hingga maka maka deret deretnya nya dinama dinamakan kan deret deret diverg divergen. en. uatu uatu barisa barisan n (n) (n) dikatakan konvergen ke suatu bilangan hingga s jika berlaku Artinya & untuk sembarang bilangan positi/
ϵ
lim Sn = s n →∞
.
ke!il, ada bilangan bulat
posi positi ti// m, sede sedemi miki kian an sehi sehing ngga ga untu untuk k n 0 m, maka maka
|s− sn|< ∈ n
mempunyai limit disebut barisan konvergen, tapi jika baris tak mempunyai limit maka barisan disebut divergen.uatu barisan (n) dikatakan divergen ke atau
lim Sn = ∞ n →∞
jika jika untu untuk k semb sembar aran ang g bila bilang ngan an posi positi ti// m
bagaimana besarnya, selalu ada bilangan positi/ m, sedemikian sehingga
untuk n 0 maka
|Sn| 0 m atau jika n 0 m,
lim Sn=+ ∞ n →+ ∞
dan
lim Sn =−∞
n →− ∞
Dalil dalil untuk barisan 1
eti etiap ap bari barisa san n tak tak trun trun (tak (tak naik naik)) tet tetap apii ter terba bata tas s kon konv verge ergen n
-
etiap iap ba barisan ta tak te terbatas ad adalah lah di diverge rgen
2
uatu barisan konvergen (divergen) akan tetap konvergen (divergen) jika beberapa atau semua suku 3 suku ditukar
4
5imit dari barisan konvergen adalah unik
lim Sn =s n →∞
dan
lim tn =t
b →− ∞
lim ( Sn±tn ) =s + t
6
n →∞
7
n →∞
8
n →∞
9
lim ( k . S n ) = k . s
lim ( Sn.tn ) =s . t
*ika n ad adalah bari baris san ya yang suk suku 3 suk sukunya nya tak tak nol nol dan dan jik jika lim Sn = ∞ n →∞
;
1 Sn $ :
maka lim
*ika a 0 1 maka
lim a
n →+∞
n
=+ ∞
1:
!
*ika |r| < 1 maka
lim r
n
=0
n →∞
Uji De Deret Ko Kon*ergen 'an Di Di*ergen
uatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diujji dengan beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang si/at konvergen. Ada beberapa jennis uji konvergensi bagi deret, diantaranya 1
"ji A=al (#reliminary %est) "ji ini dilaku dilakukan kan pertam pertama a kali kali sebaga sebagaii uji apaka apakah h deret deret bisa bisa bersi/at konvergen atau bahkan divergen. >elalui uji ini, suatu deret dapat langsung dinyatakan bersi/at divergen, atau deret masih masih memilik memilikii kemun kemungki gkinan nan bersi/ bersi/at at konver konvergen gen dari dari deret deret tersebut. lim an= 0
, ada kemungkinan deret konvergen
n →∞
lim an ≠ 0
, deret pasti divergen
n →∞
Dalil ∞
*ika
a ∑ = n 1
n
konvergen, maka
lim an
n →∞
$ :
Dalil ini tidak bisa dibalik, jadi jika diperoleh
lim an
n →∞
$ : belum
∞
dapat dikatakan bah=a deret uji yang lain)
a ∑ = n 1
n
konveregen (lanjutkan ke
Contoh ∞
1 1 1 1 =1 + + + + … … ∑ 2 3 4 = 2 n 1
lim an= 0
n →∞
, dere derett belu belum m past pastii dive diverg rgen en teta tetapi pi memb member erik ikan an
kemu kemung ngki kina nan n
dere derett
konv konver erge gen n
(=al (=alau aupu pun n
akhi akhirny rnya a
dere derett
divergen). ?arus dilakukan uji lain yang dapat memastikan deret konvergen. -
"ji "ji #er #erba band ndin inga gan n deng dengan an Dere Derett 5ain 5ain (Com (Compa pari riso son n %est) st) etelah melalui uji a=al dan ada kemungkinan deret konvergen, dilakukan uji perbandingan untuk memastikan deret konvegen. ∞
b ∑ =
uat uatu u deret deret
n
n 1
yang yang telah diketahui diketahui bersi/at bersi/at konvergen konvergen
diguna digunakan kan untuk untuk memban membandin dingka gkan n (uji (uji perban perbandin dingan gan)) deret deret ∞
a ∑ =
n
n 1
, dimana
∞
a ∑ =
∞
<
n
n 1
∞
a ∑ =
b ∑ =
∞
n
n 1
, deret
a ∑ =
n
n 1
∞
0
n
n 1
b ∑ = n 1
n
, digu diguna naka kan n uji uji lain lain untu untuk k mene menent ntuk ukan an
∞
a ∑ = n 1
konvergen
n
konvergen atau divergen.
Contoh &
∞
"ji deret deret
1 ∑ = n! n 1
dengan uji banding, gunakan sebagai deret
∞
1 ∑ = 2
pembanding
n 1
n
yang merupakan deret konvergen
Bandingkan
'
1
-
2
4
6
n@
1
-
-
-
7
-4
1-:
4
9
1 6
17
1 24
2-
1 120
2
"ji ntegral
2
1 ∑ = n! n 1
konveregen
n
0
1 2
0
1 4
0
1 8
<
1 16
<
1 32
untuk n 4
∞
>aka deret
1 1 2
1 1 < n! 2n
1
1 n!
n
∞
∫ a dn n
N
∞
∞
∫ f ( ( n ) dn
∫ f ( ( x ) dx
N
∞
∫ f ( ( x ) dn
N
N
$
∞
∫❑ f ( ( x ) dx ∞
∫❑ f ( ( x ) dx
etentuan jika
∞
1
a ∑ =
'ilainya berhingga maka deret
n
n 1
konvergen
∞
-
'ilainya tak berhingga maka deret
a ∑ =
divergen
n
n 1
"ntuk "ntuk lebih lebih memud memudahk ahkan, an, batas batas integr integral al bisa bisa ditinj ditinjau au batas batas atasnya saja
Contoh ∞
elidiki kekonvergenan deret
k ∑ = e
k 2
k 1
#enyelesaian ∞
∫ 1
b
a k dk = lim
∫
b→∞ 1
k
dk = k 2
a
−1 2
|
−k 2 b
lim e b→ ∞
1
¿
−1 2
lim b→∞
(
1
1 e
)
− = b 2
e
1 2e
1 2 e maka deret
arena integral tak =ajar di atas kekonvergen
∞
∑ = e k 1
4
1 2 e dan
k
konvergen ke
2
k
∞
k = 1 ∑ 2e = e k 1
k 2
"ji 'isbah (test dEallembert) %eorema
| |
kemudian
kesi kesimp mpul ulan an
(dil (dilak akuk ukan an
∞
%injau njau deret eret
lakukan
a ∑ =
n
n 1
lalu !ari nilai
ρn=
a n+ 1 an
lim ρ n= ρ
n →∞
*ika & ρ < 1 , konvergen konvergen ρ > 1 ,divergen
ρ =1 , pengujia pengujian n gagal gagal
mela melaku kuka kan n
dengan tes lain) Contoh ∞
elidiki kekonvergenan deret
k ∑ = k! k 1
*a=ab
>isal
ak =
1 k ! maka
lim k →∞
ak +1 a k
= lim k→∞
1 =0 k + 1
∞
1 ∑ = k!
*adi deret
6
konvergen
k 1
%es Akar (%est Cou!hy) ∞
>isal
a ∑ =
deret positi/ dan
k
k 1
lim k →∞
√ a = a k
k
>aka ∞
1
a ∑ =
Bila a < 1 maka deret
k 1
k
konvergen
∞
-
Bila a 0 1 atau a $ maka deret
2
a ∑ =
k
k 1
divergen
Bila ila a $ 1 ma maka tes tes ga gagal gal mela melaku kuk kan kesim esimp pulan lan (d (dilak ilakuk uka an dengan tes lain) Contoh
∑ ( = ∞
%entukan kekonvergenan deret
k 1
3 k + 2 2 k −1
)
k
*a=ab &
>isal
(
ak =
3 k + 2 2 k −1
∑ ( = ∞
*adi deret
7
k 1
)
k
maka
3 k + 2 2 k − 1
%es 5imit #erbandingan
)
k ak √ k →∞
lim
k
konvergen
$
lim k →∞
3 k + 2 3 = 2 k −1 2
∞
a ∑ =
>isal
lim k →∞
k 1
ak b k
∞
k
da dan
b ∑ =
meru merupa paka kan n dere derett posi positi ti// dan dan
k
k 1
=1 >aka kedua deret konvergen atau divergen se!ara
bersama 3 sama bila 1 < dan 1 F : Contoh ∞
1 ∑ = k −1
%entukan konvergensi deret
k 2
2
*a=ab ∞
#and #andan ang g dere derett 3 p,
bk =
1 2 maka k −1 ma
1 ∑ = k k 2
lim k →∞
2
konve konverge rgen. n. >isal >isal
ak b k $
ak =
1 2
k
dan
2
k −1 lim 2 k →∞ k
$ 1 *adi deret ret
∞
1 ∑ = k −1 k 2
+
2
konvergen
Deret 5olak67alik 8Al 8Alter ternating ing Serie49
Dere Derett bola bolak kba bali lik k adal adalah ah dere derett yang yang suku sukus suk ukun unya ya berg bergan anti ti tand tanda. a. ebagai !ontoh, n+ 1
(−1) 1 1 1 1− + − + … + 2 3 4 n
∞
(−1 ) + a ∑ = n 1
Deret Deret bolakbalik bolakbalik
n
n 1
an
, denga dengan n
positi/, konvergen
jika memenuhi dua syarat syarat berikut& 1 etiap iap sukusuku deret ini ini se!ara num numerik rik kuran rang dari suk suku suku sebelumnya,
|a n+1|<|a n|
.
lim |a n|=0.
-
a→∞
"
DERET PA)GKAT 1
De3ini4i 'eret pangkat ∞
∑ C n ( x − a)
n
= co + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a) 2 + c 3 ( x − a ) a + ...
n =0
C n
X
dimana
adalah variabel
a
dan
konstanta
#erhatikan bah=a dalam notasi deret pangkat telah sengaja
memilih indeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, yang yang selan selanjut jutnya nya diseb disebut ut suku suku keno kenoll .?al .?al ini diguna digunaka kan n untuk memudahkan penulisan ,terutama ketika membahasa pernyataan suatu /ungsi dalam deret pangkat . Beberapa !ontoh deret pangkat &
1
-
2
4
$
TEREMA DERET PA)GKAT Kon4ep Da4ar Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga ∞
∑a
m
( x − x 0 ) m = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + a3 ( x − x 0 ) 3 + .....
m=0
(1) x
0
Dias Diasum umsi sika kan n G,
,
ai dan koe/is e/isie ien n
merupakan merupakan bilangan bilangan
real. *umlah parsial untuk n suku pertama bentuk di atas s n adalah
yang
dapat
dituliskan
sebagai
s n ( x) = a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) 2 + ......a n ( x − x 0 ) n
(-)
Rn Dan sisa deret pangkat (1) dide/inisikan sebagai Rn ( x) = a 0+1 ( x − x 0 ) n +1 + a n + 2 ( x − x 0 ) n + 2 + ......
(2) "ntuk persamaan (1) di atas dapat diperoleh
s 0 = a 0 R 0 = a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + a 3 ( x − x 0 ) 3 + .... s1 = a 0 + a1 ( x − x 0 ) R1 = a 2 ( x − x 0 ) 2 + a 3 ( x − x 0 ) 3 + a 4 ( x − x 0 ) 4 + ... s 2 = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 R 2 = a 3 ( x − x 0 ) 3 + a 4 ( x − x 0 ) 4 + a 5 ( x − x 0 ) 5 + ...
2
Kon*ergen4i *ika *ika diam diambi bill suat suatu u nila nilaii G $ G1 maka maka dere derett pang pangka katt (1) (1) dinyatakan konvergen jika lim ❑ n →∞
hadir sebagai suatu bilangan real.
ebali ebalikny knya a deret deret pangk pangkat at itu akan akan diverg divergen en jika jika
lim ❑ n →∞
tidak hadir sebagai suatu bilangan real.jika deret (1) adalah x = x1 konv konver erge gen n pada pada
,dan ,dan jumlah jumlah deret deret terseb tersebut ut untuk untuk
dapat dituliskan sebagai
>aka untuk tiap n tertentu dapat dituliskan
(4)
#ada kasus konvergensi ,untuk suatu nilai positi/
tertentu
terd terdap apat at sua suatu tu nil nilai ai ' (y (yang ang terg tergan antu tung ng ter terha hada dap p
)
sedemikian sehingga ,untuk (4)
un untuk setiap n0'
e!ara e!ara geomet geometris ris ini berart berartii bah=a bah=a semua semua
n0' n0' ,ter ,terle leta tak k anta antara ra
dan
(6 )
dengan dengan
deng dengan an n0' n0' ,ter ,terle leta tak k anta antara ra
."ntuk ."ntuk deret yang konvergen konvergen ,kita
dapat dapat menent menentuka ukan n nilai nilai pendek pendekata atan n dari dari
untuk untuk
dengan mengambil harga n yang !ukup besar .
+
Ra'iu4 Kon*ergen4i "ntu "ntuk k
mene menent ntuk ukan an nila nilaii
konvergen konvergen,tes ,tes rasio (Boas, (Boas,
G,
yang ang 1;92) 1;92)
meng mengha hasi silk lkan an dere derett dapat dapat digunaka digunakan.% n.%e es
rasio menyatakan bah=a jika rasio absolute dari suku ke
m+1 terhad terhadap ap suku suku ken ken mendek mendekati ati suatu suatu nilai nilai
karena karena
,mak ,maka a deret eret dika ikatak takan konver nverg gen jik jika
dan
divergen jika
(7)
(8) Dimana
atau *ika
limit
ada
,mak maka
deret
(9) adalah
konvergen
,dan
ξ < 1 konvergensi menyatakan
,sehingga
x − x o < R (;) H adalah adalah radius radius konve konverge rgens nsii ,dan ,dan deret deret akan akan konver konvergen gen pada interval
x0 − R < x < x 0 + R (1:) *ika deret konvergen ,maka deret yang diperoleh dari hasil turunannya juga konvergen. "ntuk "ntuk deret deret pangka pangkatt yang yang diberi diberikn kn pada pada persa persamaa maan n (1) hanya terdapat tiga kemungkinan
x − xo 1
Deret tersebut konvergen hanya ketika diperoleh harga H$:
,jika
x − xo < R -
Deret te tersebut ko konvergen pa pada
,jika diperoleh
harga H$1 2
Der Deret ters terseb ebut ut konv onvergen rgen untu ntuk semu semua a G,jik ,jika a dipe iperole roleh h ∞
harga H$ "ntuk tiap G yang membuat membuat deret(1 deret(1)) konvergen konvergen ,maka ,maka deret deret ini akan akan mengha menghasil silkan kan nilai nilai terten tertentu tu s(G) s(G) .Dapat .Dapat dituli dituliska skan n /ungs /ungsii s(G) s(G) yang yang konve konverge rgen n dalam dalam interv interval al berikut& ∞
s( x) =
∑ a m ( x − x0 )
m
( x − x 0 < R )
m=0
(11) Contoh 1 elidikilah konvergensi dari deret berikut & ∞
∑ m! x
m
= 1 + x + 2 x 2 + 6 x 3 + .....
m=0
#enyelesaian
&
a m = m! Dari deret di atas ,diperoleh R = lim
m→∞
R = lim
m→∞
R = lim
m→∞
R = 0
am a m=a m! ( m + 1)! 1
m +1
,dengan demikian
>enurut tes rasio ,kenvergensinya ,kenvergensinya menyatakan bah=a
ξ =
1 R
x − x 0 =
1 R
x <1
x ≠ 0 Deret Deret ini diverg divergen en untuk untuk
dengan demikian deret ini
konvergen hanya ketika G$: Contoh elidikilah konvergensi deret geometri berikut & ∞
1 1 − x
=
∑ x
m
= 1 + x + x 2 + ......
( x < 1)
m=0
#enyelesaian &
am = 1 Dari Dari deret deret geometri geometri di atas atas dipero diperoleh leh
untuk setiap
m ,sehingga R = lim
m → x
am a m +1
R = 1
>enurut tes rasio ,konvergensinya ,konvergensinya menyatakan bah=a
ξ =
1 R
Dari ari
x − x 0 = x < 1
tes tes
rasi rasio o
did didapa apatka tkan
x < 1 konvergen untuk
bah=a h=a
deret ret
geome ometri tri
ini ini
"
Penu Penuru run nan 'an Pengi engint nteg egrralan alan Deret eret Pang angkat kat ( x )
*ika y
meru merupa paka kan n /ung /ungsi si dari dari dere derett pang pangka katt pada pada
persamaan (1) ∞
y ( x) =
∑ am( x − x 0 )
m
m=0
>empunyai >empunyai radius radius konvergen konvergensi si H 0 : ,maka hasil turunan turunan dan dan inte integr gras asii dari dari dere derett pang pangka katt ters terseb ebut ut pada pada sela selang ng x − x 0 < R diberikan oleh ∞
y ' ( x ) = ∑ ma m ( x − x 0 ) m −
1
m −1
(12) ∞
y ' ' ( x ) = ∑ m( m − 1) a m ( x − x 0 ) m − 2 m −1
(13)
( x − x 0 ) m +1
∞
∫ y( x ) dx = ∑ a
m
m =0
m +1 (14)
Penjumla&an Dua deret pangkat dapat dijumlahkan,misalkan ∞
f ( x ) =
∑ a m ( x − x 0 )
m
m=0
(16) ∞
g ( x ) =
∑ bm ( x − x 0 )
m
m=0
(17)
>emiliki radius konvergensi positi/ (H0:) dan jumlah dari /(G) dan g(G) dapat dituliskan sebagai berikut ∞
∑ ( a m + bm ) ( x − x 0 )
m
m =0
(18) onver onvergen gensi si dari dari /ungsi /ungsi hasil hasil penju penjumla mlahan han ini terlet terletak ak di dalam interval konvergensi dari tiaptiap /ungsi asal . Perkalian Dua Dua dere derett pang pangka katt /(G) /(G) dan dan g(G) g(G) yang yang diny dinyat atak akan an pada pada pers persam amaa aan n (16) (16) dan dan (17) (17) dapa dapatt dipe diperl rlak akuk ukan an oper operas asii perkalian ,dengan hasil berikut ∞
∑ ( a 0 bm + a1 bm 1 + .....a m b0 ) ( x − x 0 ) −
m =0
(19)
= a 0 b0 + ( a 0 b1 + a1b0 ) ( x − x 0 ) + ( a 0 b 2 + a1b1 + a 2 b0 ) ( x − x 0 ) 2 + ..... onvergensi dari /ungsi hasil perkalian ini terletak di dalam interval konvergensi dari tiaptiap /ungsi asal.
#
Ek4pan4i Deret adang kala dalam menyelesaikan sebuah permasalahan dalam /isika, sebuah /ungsi diekspansikan ke dalam bentuk deret agar memper mempermud mudah ah penye penyeles lesaia aian n
perma permasal salaha ahan n terseb tersebut. ut. ebuah ebuah
/ungsi /ungsi /(G) /(G) jika jika dieksp diekspan ansas sasika ikan n menjad menjadii bentuk bentuk deret deret disebu disebutt bderet %aylor 3 >! 5aurin
Dengan
n
f
(:) adalah turunan ke 3 n dari /(G)
>isalkan /(G) $ sin G I maka & C: $ : C1 $ 1 C- $ : 1 ! C2 $ 3
ehingga sin G $ !:G: + !1G1 +!-G-+!2G2+......
Dengan Dengan !ara yang serupa,ben serupa,bentuk tuk deret dapat didapatka didapatkan n untuk untuk beberapa /ungsi lainnya
"ntuk nilai G sangat ke!il, maka &
in G $ G Cos G $1 JGp (G) $1+G #ende #endekat katan an nsema nsema!am !am ini kadang kadang dijump dijumpai ai pada pada bidang bidang ilmu ilmu mekanika misalnya pada ayunan bandul dengan sudut simpangan yang ke!il. Bukti & Deret %aylor onse onsep p deret deret ini sunggu sungguh h tidak tidak sulit sulit jika jika kita kita sudah sudah menge mengenal nal konsep derivati/. angat mudah.. Berikut adalah /ormula yang dikenl dengan nama Deret Ta-lor "ntuk setiap /ungsi /(G) yang di/erensiabel di titik !, maka berlaku ekspansi dari /(G) sebagai berikut .
f ( c ) 11 (G!) +
K(G) $ /(!)+
f ( c ) f ( c ) ( x −c )2 + ( x −c )3 2! 3!
%eorema %aylor "ntuk "ntuk /ungsi /ungsi /(G) /(G) yang yang di/ere di/erensi nsiabe abell dititik dititik !, maka maka hanya hanya akan akan terdapat 1 /ungsi yang memenuhi kondisi berikut. 2
K(G) $ a: + a1(G!)+a- ( x −c ) + … Conto soal & Dike Diketa tahu huii /(G) /(G) $
3
2
x + 3 x + 2 x + 1 , dengan !$1 , berapakah nilai
daro a:,a1,a-,a2,dst,, yang memenuhi persamaan berikut L 2
K(G) $ a:+a1(G!)+a- ( x −c ) *a=ab &
2
+a2 ( x −c )
+...
Kungsi Kungsi di atas atas merupa merupakan kan polino polinomia miall yang yang berder berderaja ajatt 2. leh leh karena itu , kita tidak perlu memperhatikan derajat yang lebih besar dari dari 2 , sepe sepert rtii
( x −c )4 , ( x −c )5 . Artinya , nilai yang perlu di!ari
adalah nilai a:,a1,a-,dan a2 saja. (sisanya bernilai nol). oal oal
ini ini
dapa dapatt
diker ikerja jaka kan n
den dengan gan
pen penjab jabaran aran
bias biasa a(yan (yang g
sesung sesungguh guhny nya, a, akan akan lebih lebih e/ekti e/ekti// menggu menggunak nakan an /ormul /ormula a Deret Deret %aylor). 3
2
3
2
x + 3 x
x + 3 x
2
+-G+1 $ a:+a1(G1)+a- ( x −c )
3
+a2 ( x −1 )
2
❑
$a:+a1(G1)+a- ( x −2 x + 1 )
+-G+1
+a2
x ( ¿ ¿ 3− 3 x 2 + 3 x −1 )
¿
etelah dikalikan dan dijumlahkan menjadi sbb& 3
2
3
2
x + 3 x + 2 x + 1= ( a 3 ) x + ( a 2− 3 a 3 ) x + ( a 1− 2 a 2+ 3 a 3 ) x +( a 0− a 1 + a 2−a 3 )
Dengan menghubunghubungkan koe/isien ruas kiri dan kanan , kita akan menemukan ja=aban & A: $ 8 , a1$11,a-$7,dan a2$1. Bukti Deret %aylor %aylor Dari %eorema %aylor , didapat /ungsi yang dide/inisikan sbb& K(G)$a:+a1(G!)+a-(G!)-+a2(G!)2+.....+an(G!)n+... Baga Bagaim iman ana a jika jika /ung /ungsi si ters terseb ebut ut kita kita turu turunk nkan an 1 kali, kali,- kali, kali,da dan n seterusnyaL?asilnya seterusnyaL?asilnya ditunjukkan diba=ah
KE(G)$a1+-a-(G!)+2a2(G!)-+..... KEE(G)$ -a-+22.-..a2(G!)+4.2a4(G!)-+... KEEE(G)$2.-.a2+4.2.-.a4(G!)+..... Kn(G)$ n@(an)+(n+1)@an+1(G!)+(n+-)@an+-(G!)-+....(dst) emudian, pada /ungsi a=al dan /ungsi/ungsi turunan tersebut , jika kita bmenetapkan G$!, G$!, maka & K(!)$a: KE(!)$a1 / EE(!)
[email protected]/ EEE(!)
[email protected] dengan memasukkan harga a :, a1, a-, a2, dst, maka Deret %aylor pun terbukti f ( c ) f ( c ) f ( c ) ( x −c )2 + ( x −c )3+ …dst x −c )+ /(G)$/(!)+ 1 ! ( x 2! 3!
/ati&an Soal ∞
1
%entukan de deret be berikut menggunakan uji a= a=al
#enyelesaian
n
2
∑ = ( n +1 ) n 1
2
lim n →∞
n
2
2
n
lim ( n + 1 )2 $ n →∞ ( n2+ 2 n + 1 ) $ 1 (divergen)
1 2
-
∫ 1dx + x
?itung
2
dengan pengembangan deret satelit empat
0
desimal. #enyelesaian 2
1 − x + x 1 2
¿
4
1 2
∫ 1dx ∫¿ + x
6
8
10
12
x + x − x + x −… . ¿ dx
2
0
0
[
3
5
7
9
x x x x x x − + − + − … 3 5 7 9
]
1 /2 o
❑
1 2 3
1 1 1 1 1 − − + + +… 2.23 5.25 7.27 2.29 11.211
:,6:::: 3 :,:4178 + :,::7-6 3 :,::111- 3 :,:::4 +:,::::1 M
0,4636
∞
2
elidiki konvergensi deret
1 ∑ − n log n n 2
#enyelesaian ukusuku dari deret ini lebih ke!il dari sukusuku deret harmonis %etapi tidak dapat kita ambil kesimpulan x log ¿
¿ ¿ = lim log log log log x|
log x
b→∞
d¿
¿
%etapi
∞
dx = ¿ x log x 2
∫
∞
∫¿ 2
Deret tersebut divergen
∞
4
elidiki konvergensi dari deret
#enyelesaian un =
log n 0 n
1 3 n untuk n
log n ∑ n − n 1
∑ n1
Diketahui deret
divergen, maka deret tersebut diatas
divergen.
∞
6
elidiki konvergensi dari deret
log n ∑ n! − n 1
#enyelesaian n +1
lim 2
u n+1 n! =¿ n → ∞ . n un ( n + 1 ) ! 2 $ lim ¿
lim 2 n→∞
n +1
=0
n →∞
∞
7
elidiki konvergensi dari deret
∑ − n 1
n
n n!
#enyelesaian
lim n →∞
lim ( n + 1 )
u n+ 1 un
n ! . n $ n
n→∞
$
$
n+ 1
( n +1 ) !
.
( )
2
e 11.
elidiki konvergensi deret
#enyelesaian
n +1
n +1 n
( )= >
1 lim 1 + n n →∞
∞
8
lim n + 1 n→∞
∑ = n 1
n
2 1.3.5 … … … .. ( 2 n + 1 )
n
lim 2
n
u n +1 n→∞ =¿ un 1.3.5 … … … .. ( 2 n + 1 )( 2 n+ 3 ) lim ¿ n →∞
$
2 =¿ 2 n +3 Deret onvrgen. lim ¿ n→∞
∞
9
elidiki konvergensi deret
2
n
n +2 n 2 2 n
∑
n →1
#enyelesaian 2
n
n + 2 1 un= n 2 = n + 2 n 2
1 2
n
∑ 21
>asingmasing deret
dan
n
∑ n1
2
konvegen. >aka
jumlah dari dua deret konvergen konvergen pula.
∞
;
ln n −1 ∑ = 2n
elidiki konvergensi dari deret
n 1
3
#enyelesaian 1
Dapat dipahami bah=a ln n < n dan
ln n
>aka &
3
2n
−1
"
n 3
n
2n
3
1
$
n
2
. Deret
"
−1
∑ n1
2
1
n
3
konvergen.
∞
1 ∑ = n
%ernyata deret
n 1
2
konvergen.
∞
1:
elidiki konvergensi dari deret
#enyelesaian ∞
∫ 1
x dx = lim 2 x + 1 # →∞
#
∫ x x dx +1 2
1
x #
(¿ ¿ + )
∫ d x +21 1 2
1
¿
1 lim ¿ 2 # →∞
2
¿
1 2
x ln ( ¿ + 1 )| # 1❑ lim ¿ # → ∞
$
# ( ¿ ¿ 2 + 1 )−ln 2 ln ¿
¿ ¿
lim
¿
# → ∞
$
∞
Deret divergen
n ∑ = n +1 n 1
2
∞
11
− (−1 ) ∑ =
elidiki konvergensi dari deret
n 1
n 1
n 2
n +1
#enyelesaian
|un|=
n
|un +1|=
2 n + 1 dan
n +1
( n + 1 )2+ 1
*elas un + 1 < un untuk n 1
lim un
edangkan
n →∞
lim n →∞
$
1
n+1 n
$ :
Deret alternative konvergen, tetapi deret dengan suku 3 suku ∞
∑ n n+1
positi/
1-
2
1
elidikilah ko konvergensi de deret be berikut ∞
x
e =
∑ m=0
x m m!
= 1 + x +
x 2 2!
+ .....
#enyelesaian & >enurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bah=a
ξ =
1 R
x − x 0 =
1 R
x <1
∞
arena harga H$
,maka deret di atas konvergen untuk semua x < ∞
G ,dan dari tes rasio diperoleh 12
%entukan radius konvergensi dari deret berikut ∞
∑
( − 1) m
m =0
8
m
x
3m
= 1−
x 3 8
+
x 6 64
−
x 9 512
+ ..... − .....
#enyelesaian t = x 3
Deret ini merupakan deret dengan pangkat
denga
a m = (−1) m / 8 m ,
koe/isien
maka
R = lim
m→∞
R = lim
m→∞
am a m =1 8 m +1 8m
R = 8
>enurut tes rasio ,konvergensi menyatakan menyatakan bah=a bah=a
ξ =
1 R
x − x 0 =
1 R
x3 < 1
t = x 3 < 8 Dengan demikian deret ini konvergen untuk
x < 2 memenuhi 14
Nunakan ratio test
yang
n
2 2 n −1 ( n + 1)
(n + 1)
2 2 2 = un = $ un+1= 2 n− 1 2 ( n + 1 )− 1 2 n + 1 (n + 1)
lim n →∞
u n+ 1 un
= lim n →∞
2 2 n +1 n
2 2 n− 1 ( n + 1)
2 2 n−1 ¿ lim n n →∞ 2 n + 1 2
n
2 .2 2 n−1 ¿ lim n n →∞ 2 n + 1 2
¿ lim n →∞
4 n −2 2 n+1
4n 2 + n n ¿ lim n →∞ 2 n +1 n n
¿
¿
4 ∞ 2 + ∞ ∞ 2 ∞ 1 + ∞ ∞
4 2
¿ 2 divergen
16 ∞
∑ = n 1
Nunakan Cou!hy test
(( + ) ) n
1 n
n
n 1 e
(
n un= ( n +1 ) en
) =(
lim √ u n= lim n
n →∞
n→ ∞
1 n
√(
)
n n
n
n e +1 e
n
n
ne
n
+ 1 en
¿ lim n →∞
¿ lim n →∞
¿ lim n →∞
[(
)
1 n
1 n
n
n
n e +1 e
[( )]
n
1 n
n ne + e
( ) n
1 2 n
1 n
ne + e
1
n nn 2 n
2
2
¿
1
ne n n n
¿
2
∞ ∞+ ∞
¿∞
1
2
2
+e
n
2
n
)]
1 n n
n
2
1 n
17
Jkspansikan /u /ungsi
% f ( ( x )=cosx disekitar x = 2 @
#enyelesaian
f ( x )=−sin x
% )=−1 f ( )=− 2
f ( x x )=−cos x
% f ( )= 0 2
f ( x )=sin x
f
( &' &' )
f
( ' ) )
f
&' ) ( x ) f ( &'
( x ) =cos x
f ( ' ) )
( x )=−sin x
( '& )
f
()
% =1 2
()
f ( '& )
( x ) =−cos x
3
()
% =0 2
% =−1 2
()
% =0 2
!
% % ( x − ) ( x − ) 2 2 % − +… cos x =− x − + 2 3! 5!
( )
18
Jkspansikan /ungsi f ( ( x )=sin x , f ( ( x ) =cos x , f ( ( x x ) : f ( ( x )= ln ( x + 1 ) di sekitar sekitar 0
#enyelesaian & 3
5
7
x x x sin x = x − + − + .. 3! 5 ! 7 ! 4
6
x x x cos x =1 − + − + .. 2 4! 6!
2
x e =1 + x + 2 ! +M x
2
3
x x ln ( 1 + x ) = x + − … 2 3 −2 x
18
Eksp Ekspan ansi sika kan n ke ke dal dalam am dere derett tay tayl lrr dan dan ma! ma! la" la"ri rins ns #
den$an % & 0 dan n & 4 penyelesaian # −2 x
f ( ( x )=e
−2. b
f ( ( b ) = e
− 2 x
f ( x ) =e &
. −2=−2 e −2 x
f ( x )=−2 e & &
−2 x
f ( x ) = 4 e & &&
−2 x &
−2.b 2. b
f ( b )=−2 e
−2 x & &
−2 x &&&
. − 2=−8 e
f
f
= 4 e−0=−4
( b )=−8 e−2 b=−8 e−0=8
−2 x & '
. −2=16 e
=−2 e−0 =−2
−2 b
f ( b ) =4 e
.− 2 =4 e
− 2 x
f ( x ) =−8 e & '
=e−2.0= e−0 =−1
( b ) =16 e−2 b =16 e−0 =−16
f ( ( x )= e
2 1/ 2
19
Eksp Ekspan ansi sika kan n ke ke dal dalam am dere derett tay tayl lrr dan dan ma' ma' la" la"ri rins ns.. f ( ( x )=( 1+ x
)
enyelesian # 2 1/ 2
f ( ( x )=( 1+ x )
den$an % & 0 dan n & 3
f ( ( b )=(1 + b ) =( 1 + 0 ) =√ 1= 1
2 1/ 2
2 1 /2
f ( ( x )=( 1+ x )
−1 /2
− 1/ 2
1 2 f ( b )= ( 1 + b ) 2
1 2 f ( x ) = ( 1 + x ) 2 &
2 1/ 2
&
1 2
= (1 +02 )−1/ 2=
1 /2 1 = √ 1 2
−3 /2 − 1 2 ( 1 + x ) f ( x )= & &
4
−3 / 2 −3 / 2 − − −1 / 4 −1 1 1 2 2 ( 1+ b ) = ( 1+ 0 ) = 3 = f ( b ) = &&
4
&& &
f ( x )=
√ 1
4
3 ( 1 + x 2 )−5 /2 8
&&&
f
( b )= 3 ( 1 + b 2)
− 5/ 2
8
4
eret taylr # &
&&
& &&
f f 1 2 f 3 f ( ( x )= f ( ( b ) + ( x − b ) + ( x −b ) + ( x −b ) + … … 1! 2! 3!
¿ 1+
−1 / 4 1/ 2 3/ 8 ( x −0 )1 + ( x −0 )2+ ( x − 0)3 +… … 1! 2! 3! 1 2
1 4
3 8
¿ 1+ x − x 2 + x 3 + … … ..
3 8
−5 / 2
= ( 1 + 02 )
=
3/8 5 1 √
=
3 8
eret ma! la"rins &
&&
&&&
& '
f ( b ) f ( b ) f ( b ) f ( b ) ( x )1+ ( x )2+ ( x )3 + ( x ) 4 + … … … f ( ( x )= f ( ( b ) + 1! 2! 3! 4!
¿ 1+
−1 / 4 2 3 / 8 3 1/ 2 ( x )1 + ( x ) + ( x ) + … … 1! 2! 3! 1 2
1 4
3 8
¿ 1+ x − x 2 + x 3 + … … ..
-:
1
Jksp Jkspan ansi sika kan n keda kedala lam m dere derett tay taylor lor dan dan ma! ma! lau lauri rins ns ( ( x )= e b =0 n=5 x
( x )= e f ( ( b )=e =1 f ( x
0
f ( x ) =e .1 f ( ( b ) = e = 1
x
0
f ( x x )= e .1 f ( b )=e =1
x
0
f ( x )=e .1 f ( b ) =e =1
x
0
f ( x ) =e .1 f ( b )=e =1 v
x
v
0
f ( x ) = e .1 f ( b ) =e = 1 v
x
Deret taylor
v
0
( ) ( ) ( ) f ( b ) ( x −b )1+ f b ( x − b )2+ f b ( x −b )3+ f b ( x −b ) 4 ( ( x )= f ( ( b ) + 1! 2! 3! 4!
+ f v ( b ) 5!
v
( x − b )5
¿ 1+
1 1 1 1 1 ( x −0 )1 + ( x −0 )2 + ( x −0 )3+ ( x −0 )4 + ( x −0 )5 1! 2! 3! 4! 5!
¿ 1+
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 x + x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5!
Deret ma! laurin f ( b ) 1 f ( b ) 2 f ( b ) 3 f ( b ) 4 f ( b ) 5 ( ( x )= f ( ( b ) + x + x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5!
2
( ( x )=
v
¿ 1+
1 1 1 2 1 3 1 1 5 x + x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5!
¿ 1+
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 x + x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5!
1
b= 0 n=5
( x + 1)
−1
−1
f ( ( x )=( x + 1 ) f ( ( b )=( 0 + 1 ) =1
−2
( ( )
−2
f ( x ) =−1 ( x + 1 ) f b =−1 ( 0 + 1 ) =−1 −3
−3
f ( x x )= 2 ( x + 1 ) f ( b ) = 2 ( 0 + 1 ) =2
−4
( ( )
−4
f ( x )=−6 ( x + 1 ) f b =−6 ( 0 + 1 ) =−6
v
−5 v
−5
f ( x ) =24 ( x + 1 ) f ( b )=24 ( 0 + 1 ) =24 v
Deret taylor
( ) ( ) ( ) f ( b ) 4 ( x −b )1 + f b ( x −b )2+ f b ( x −b )3 + f b ( x ( ( x )= f ( ( b ) + x −b ) 1! 2! 3! 4!
¿ 1+
(−1 ) 1!
( x −0 )1+
v
(−6 ) 2 24 ( x −0 )2 + ( x − 0)3 + ( x −0 )4 2! 3! 4!
¿ 1− x + x 2− x 3+ x 4
Deret mac laurin f ( b ) 1 f ( b ) 2 f ( b ) 3 f ( b ) 4 f ( b ) 5 ( ( x ) = f ( ( b ) + x + x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5!
¿ 1+
(−1 ) 1!
1
x +
v
2 2 (−6 ) 3 24 4 x + x + x 2! 3! 4!
¿ 1− x + x 2− x 3+ x 4
21
*ent"k nt"kan an kn+ kn+er er$e $en n ata ata" " di+ di+er er$e $en n den$ den$an an men$ men$$" $"na nakan kan inte$ral test 1
(n) & sin n penyelesaian # - (n) & sin n
u
∫ f ( ( x ) dx = lim ∫ sin x dx u→∞ 1
1
|
¿ lim cos x u u →∞
1
¿ lim ( cos u− cos1 ) u →∞
¿ cos −cos1 ¿ − 0,99=
-
(n) &
50 n +1
misal & t $ G+1
dt =1 dx dx = dt
u
∫ f ( ( x ) dx = lim ∫ 50t dt 1
u→∞ 1
u
¿
∫ 1t dt
lim 50 u →∞
1
[
u ¿ lim 50 ( lnt ln t ) u →∞
1
[
¿ lim 50 . ln ( x + 1 ) u u →∞
1
¿ 50 ( ln ( + 1 )− ln ( 1 + 1 ) ) ¿ 50 ( 0 −0,693 ) ¿− 34,65
karena
−34,65 < 1 maka dise%"t kn+er$en
