Bab I Deret Pangkat I.1 Pendahuluan (Deret Geometri) Banyak kasus solusi masih fisis sangat sulit Masih berharap ada solusi alternatif Solusi pendekatan (proklamasi) Solusi ini muncul dalam bentuk deret Perhatikan deret bilangan : 1, , ,
(i)
(ii) a, ar, ar 2, ar 3, ar 4
,
Bilangan di atas membentuk barisan geometri If (i) dijumlahkan 1+ +
+
+
+ ………….(1)
Disebut deret Penjumlahan dilakukan tanpa henti dinyatakan tiga titik dibelakang disebut tak hingga (infinite series) (1) Ditulis Ditulis dalam dalam bentuk bentuk a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …………(2) (a = 1 dan r = 2/3 ) Deret geometri Sn = a + ar + ar 2 + ….. + ar n-1 ……..(3)
Sn = a Jika n
, maka
(4)
S=
Sn .
(5)
Deret hanya mempunyai jumlah berhingga jika hanya │r│< 1 I.2 definisi dan Notasi Banyak deret tak hingga bukan deret geometri cs: (i) 1 + 4 + 9 + 16 + …… + + +
(ii)
+
(iii)
+ ………. -
+ ………
Secara umum deret- deret tersebut ditulis a1 + a2 + a3 + …… + an + …….. atau dalam bentuk notasi
Sebagaimana deret geometri didefinisikan Sn Sn = Or S=
Sn
disebut jumlah parsial
disebut jumlah dari deret
Konvergen dan divergen. - Jika s berupa satu nilai tertentu = disebut konvergen - Jika s tidak berupa satu nilai tertentu = disebut divergen
Cs Teliti (selidiki) jumlah s dari pers 1 + 4 + 9
Jwb Untuk n
S maka n 2
+
16
+
……
=
Dmk S = dikatakan jumlah s tidak ada (karena bukan bilangan ttt, ingan s bukanlah bilangan Deret divergen Cs Tentukan an dan selidiki jumlah deret S dari deret : 1 – 1 + 1 – 1 +1 – 1 + …. Jwb 1 – 1 + 1 – 1 + 1
–
1
+
…..
Dmk S dapat nol atau satu karena itu S tidak tertentu dan deret dikatakan divergen. Uji konvergensi Uji pendahuluan dinyatakan o
Suatu deret = Adalah Divergen jika suku tak hingga deret tersebut tidak menuju nol. Dengan kata lain: Jika
maka deret divergen
Contoh 3: Tentukan konvergensi deret 1 + 4 + 16 +... (menggunakan uji pendahuluan) Jawab: dari contoh 1 kita dapatkan ɑn = n2 mx ɑn
=
n2 =
Demikian deret divergen (seperti contoh 1 ) Contoh 4: tentukan deret konvergen 1+ + Jawab : suku ke- n deret tersebut adalah ɑn = sehingga ɑn
=
=
Maka deret apa...? Ingat, uji pendahuluan hingga dapat menyimpulkan Jika
ɑn
Jika
ɑn
•
dan tidak mengatakan apa-apa = 0karena itu diperlukan cara pengujian yang lain
uji integral: menyatakan deret
konvergen jika berhingga
berhingga dan divergen jika tak
hingga = CS 5. Tentukan konvergensi deret Jawab : suku ke n deret ,u= = Disimpulkan diret divergen CS 6 Tentukan konvergen deret pada contoh 4 menggunakan uji integral Jawab: Suku an= = ln =
Divegen CS 7 : Tentukan konvergen deret
Jawab : Uji integral tidak bisa menentukan konvergensi deret tersebut kita selidiki
dengan uji pendahuluan
Kedua uji tersebut tidak dapat menetukan konvergensi
Sehingga perlu uji yang lain •
Uji banding (the comparison test) Dalam uji banding terdapar dua deret yaitu : 1.Deret yang akan di tentukan konvergensinya :
2.Deret yang diketahui konvergensinya:
Uji banding menyatakan : Jika
konvergen dan
Jika
divergen dan
Jika yang tersebut adalah kebalikan dari keduanya maka uji banding tidak dapat memberikan kesimpulan apa – apa. CS 8 Selidiki konvergensi deret pada contoh 7 dengan uji banding .............................................. Dari soal contoh 7: ...............................
Untuk n
berlaku ln n < n atau
Karena
divergen maka
divergen
CS 9 : tentukan konvergen deret persamaan (6 (ii))
Jawab: uji banding: kesulitan mencari pembandingya Uji integral: tidak sederhana (integral no simple) Uji pendahuluan : memberikan
dn = 0 tidak dapat ditentukan penentukan
konvergennya. Misalkan n
adalah perbandingan atau rasio antara suku ke (n+1) dan suku ke-
dan untuk n besar 5 elkah
Jika : deret konvergen konvergen tidak diketahui deret divergen CS 10: tentukan konvergensi deret (contoh 9)
Jawab: suku ke (n+1) dan ke n deret diatas:
Sehingga
Demikian deret
CS.11: tentukan konvergensi deret:
Jawab: Karena
deret tersebut konvergen
Contoh-contoh diatas di bahas deret dengan suku positif Now Deret bolak-balik (alternating series) (8) (9) Uji konvergensi bolak-balik dilakukan sebagai berikkut: Deret bolak-balik konvergen jika
<
dan
Tentukan konvergen deret
Jelas bahwa
Jadi deret konvergen tetapi deret positifnya divergen, deret seperti ini disebut deret konvergen bersyarat. Jika keduanya (+,-) konvergen maka disebut konvergen mutlak. •
Deret Pangkat Dua deret pertama pada persamaan (6) i. ii. iii.
Ditulis (10)
Perhatikan contoh dereet berikut: a. b. c. Seperti masalah sebelumnya tentang konvergen deret. Karena deret pangkat diekspansi dlam variabel x, persoalannya penentuan selang konvergensi (dengan uji rasio) Tentukan selang konvergensi deret:
Jawab: suku ke n deret bersangkutan adalah:
Maka
Dan Deret akan konvergen jika Selang konvergen:
Telah selidiki Konvergen X=-1 deret menjadi
PR Tentukan daerah konvergen deret:
•
Deret Fungsi Bahas fungsi Misal
F (x)= cos x
...................................................(I) Punya ekspansi
Cos x= Langkah ke dua tentukan koefisien
.........................(II)
(if x=0, ruas kiri ke kanan
Kedua suku di differensialkan, diperoleh
Pada x=0 kedua suku terdeferensiasi Didefferensialkan lagi f” Diperoleh
Pada x=0
-1= Differensial lebih lanjut x=0
Diperoleh
0=5.4.3.2
Secara umum Demikian X=0
......................(12) Prosedur diatas digeneralisasi sebagai berikut fungsi f(x)
diekspansi sekitar x=0
F (x)=f (0)+ f’(x) disebut deret Maclaurin, mirip bentuk khusus dari deret Taylor
......................................(13) Nyatakan funsi ex dalam deret Jawab: pada x=0 , e 0=1 Karena
......................................(x) Maka
............................................(xx) Substitusi (x) => (xx) ke dalam persamaan 12
Karena itu cos x konvergen untuk semua x
Beberapa fungsi dasar dalam bentuk cuspansi deret
untuk semua
untuk semua
untuk semua
untuk -1
untuk -1
Deret binomial, q mirip bilangan real (+,-) CS 16. Benda bermassa m diikat tali sepanjang l dan ditahan gaya F untuk. Tentukan gaya perbandingan untuk dalam ekspansi Jawab: F=T sin W= T cos
Dengan q=
Demikian:
•
Pemakaian kompensasi numerik Solusi aproksmasi, semakin dekat aproksmasi dan sesungguhnya
makin absah solusi tersebut tapi solusi eksak tidak diketahui keabsahannya maka solusi aproksmasi bersifat terkaan untuk itu perlu konsep “nilai sisa” R n(x) sebagai selisih antara nilai sesungguhnya fungsi dan jumlah dari n+1 suku dari deret tayllor fungsi :
.........................(15)
Untuk deret konvergen
Nilai sisa Rn(x) diatas diberikan oleh:
Misal suku dalam kurung kanan persamaan (15)adalah Pn (x) maka ................(17a) . ...............(17b) Jika Pn (x) dipakai untuk menaksir f(x) dengan kesalahan atas taksiran tersebut adalah
CS. 17 Hitung cos 33,6 0 dalam deret seperti suku ke-4 dan taksir pula kesalahannya. Jawab: uraian deret Taylor cos x sampai suku ke-4
Ambil b=300 maka x-b= Cos 33,60=cos 300
Kesalahan taksiran R 1 (33,60)
R 2 (22,60)=
