Catatan Fisika Matematika II

Catatan Kuliah :

Fisika Matematika II Muhammad Fauzi Mustamin

𝛁

\𝒊𝒏𝒇𝒕𝒚 press 2016

𝟐

Muhammad Fauzi Mustamin

Catatan Kuliah: Fisika Matematika 2 Edisi Pertama \𝑖𝑛𝑓𝑡𝑦 press ©2016

KATA PENGANTAR

Berbagai fenomena alam menunjukkan pola keteraturan. Fisika diamanahkan sebagai cabang pengetahuan untuk menjabarkan keteraturan tersebut. Menggunakan alat matematis, fenomenafenomena tersebut diformulasikan sedemikian rupa agar terstruktur untuk dipahami. Hasil kajian para fisikawan inilah kemudian yang menurun kepada bidang-bidang lain untuk ditelaah lebih lanjut kajian teknisnya. Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti perkuliahan Fisika Matematika II di program studi Fisika, Universitas Hasanuddin, ditambah dengan hasil telaah otodidak penulis. Terinspirasi dari hadits Rasulullah, “Ikatlah ilmu dengan menuliskannya”, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan risalah ini. Setelah beberapa bulan, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika. Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin, Bannu, M.Si., dan Dr. Tasrief Surungan, serta teman-teman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester genap 2015, saya mengucapkan banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan. Bagi teman-teman,

para pembaca sekalian,

[email protected].

Makassar, Januari 2016 Muhammad Fauzi Mustamin

saran dan feedback selalu dinanti di

DAFTAR ISI 1. Fungsi Khusus ....................................................................................................................... 1 1.1 Fungsi Gamma ................................................................................................................... 1 1.2 Hubungan Fungsional ........................................................................................................ 3 1.3 Fungsi Beta ........................................................................................................................ 4 1.4 Forulasi Stirling ................................................................................................................. 5 2. Persamaan Diferensial Lanjut .............................................................................................. 7 2.1 Persamaan Diferensial Legendre ........................................................................................ 7 2.2 Persamaan Diferensial Bessel........................................................................................... 13 2.3 Persamaan Diferensial Hermite ........................................................................................ 17 2.4 Persamaan Diferensial Lauerre......................................................................................... 20 2.5 Persamaan Diferensial Chebyshev ................................................................................... 24 3. Persamaan Diferensial Parsial ............................................................................................ 30 3.1 Persamaan Diferensial Secara Umum ............................................................................... 30 3.2 Separasi Variabel ............................................................................................................. 31 3.3 Superposisi Solusi Terpisah ............................................................................................. 33 3.4 Separasi Variabel pada Kordinat Polar ............................................................................. 35 4. Fungsi Kompleks ................................................................................................................. 42 4.1 Fungsi Variabel Kompleks ............................................................................................... 42 4.2 Hubungan Cauchy-Rieman .............................................................................................. 42 4.3 Integral Kompleks............................................................................................................ 44 4.4 Teorema Cauchy .............................................................................................................. 45 4.5 Integral Cauchy................................................................................................................ 46 4.6 Deret Taylor dan Laurent ................................................................................................. 47 4.7 Teorema Residu ............................................................................................................... 51

4.8 Integrasi Kontur untuk Integral Tentu .............................................................................. 53 5. Kalkulus Variasi .................................................................................................................. 54 5.1 Persamaan Euler-Lagrange .............................................................................................. 54 5.2 Penggunaan Persamaan Euler-Lagrange ........................................................................... 57 5.3 Persamaan Lagrange ........................................................................................................ 58 5.4 Notasi Variasi .................................................................................................................. 60 Daftar Pustaka ........................................................................................................................ 62

1. FUNGSI KHUSUS

1.1 Fungsi Gamma Fungsi gamma merupakan fungsi spesial yang sering muncul dalam pembahasan suatu fenomena fisis. Fungsi ini muncul disetiap ekspansi Taylor. Pada pelajaran lebih lanjut, fungsi gamma sering ditemukan dengan argument setengah bilangan bulat dan dibutuhkan untuk nilai non-integral secara umum dalam banyak ekspansi, seperti fungsi Bessel untuk urutan bukan bilangan bulat. Fungsi gamma tidak selalu mendeskripsikan sebuah kuantitas fisis, namun muncul sebagai faktor dalam ekspansi dari kuantitas fisis yang relevan. Fungsi gamma memiliki beberapa definisi dalam penggunaannya. Definisi pertama muncul setelah didefinisikan oleh Euler : 1∙2∙3∙∙∙𝑛 𝑛𝑧 , 𝑛→∞ 𝑧(𝑧 + 1)(𝑧 + 2) ∙ ∙ ∙ (𝑧 + 𝑛 )

Γ(𝑧) ≡ lim

𝑧 ≠ 0, −1, −2, …

(𝟏. 𝟏)

Dengan melakukan subtitusi 𝑧 = 𝑧 + 1, didapatkan hubungan : Γ(𝑧 + 1) = 𝑧Γ(𝑧)

(𝟏. 𝟐)

Dari definisi juga dapat dilihat bahwa : 1∙2∙3∙∙∙𝑛 𝑛=1 𝑛→∞ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ 𝑛 (𝑛 + 1)

Γ(1) = lim Sehingga membentuk pola

Γ(2 ) = 1 Γ(3) = 2Γ(2) = 2 Γ(4) = 3Γ(3) = 2 ∙ 3 Atau : Γ(𝑧 ) = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ (𝑧 − 1 ) = (𝑧 − 1 )!

(𝟏. 𝟑)

Definisi kedua yang sering disebut integral Euler didefinisikan sebagai : 1

∞

Γ(𝑧) = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑧−1 𝑑𝑡,

Re(𝑧) > 0

(𝟏. 𝟒)

0

Perlu diperhatikan bahwa nilai real dari 𝑧 haruslah konvergen. Saat fungsi gamma muncul dalam masalah fisis, sering dijumpai dalam beberapa variasi seperti : ∞ 2

Γ(𝑧) = 2 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 2𝑧−1 𝑑𝑡,

Re(𝑧) > 0

(𝟏. 𝟓)

0

yang dapat dibuktikan dengan melakukan subtitusi 𝑡 = 𝑡 2 pada persamaan (𝟏. 𝟒). Persamaan (𝟏. 𝟏) dan (𝟏. 𝟒) dapat dibuktikan dengan memperhatikan fungsi dua variabel : 𝑛

𝑡 𝑛 𝐹 (𝑧, 𝑛) = ∫ (1 − ) 𝑡 𝑧−1 𝑑𝑡, 𝑛

Re(𝑧) > 0

(𝟏. 𝟔)

0

Dengan 𝑛 adalah bilangan bulat positif. Fungsi tersebut dipilih karena eksponensialnya memiliki definisi : 𝑡 𝑛 lim (1 − ) ≡ 𝑒 −𝑡 𝑛→∞ 𝑛 Fungsi pada persamaan (𝟏. 𝟔) dapat dilihat memenuhi persamaan (𝟏. 𝟒) : ∞

lim 𝐹 (𝑧, 𝑛) = 𝐹(𝑧, ∞) = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑧−1 𝑑𝑡 = Γ(𝑧)

𝑛→∞

(𝟏. 𝟕)

0

Sementara dengan melakukan subtitusi = 𝑡/𝑛 : 1

𝐹(𝑧, 𝑛) = 𝑛 𝑧 ∫(1 − 𝑢)𝑛 𝑢 𝑧−1 𝑑𝑢 0

Persamaan (𝟏. 𝟏) didapatkan dengan integral parsial : 1

𝐹 (𝑧, 𝑛) 𝑢𝑧 1 𝑛 𝑛 = [( 1 − 𝑢 ) ] + ∫(1 − 𝑢)𝑛−1 𝑢 𝑧 𝑑𝑢 𝑛𝑧 𝑧 0 𝑧 0

2

Dengan melakukan sebanyak 𝑛 kali, integral parsialnya diabaikan, kita dapatkan : 1

𝑛(𝑛 − 1) ∙∙∙ 1 ∫ 𝑢 𝑧+𝑛−1 𝑑𝑢 𝐹 (𝑧, 𝑛) = 𝑛 𝑧 𝑧 ( 𝑧 + 1) ⋯ (𝑧 + 𝑛 ) 0

𝐹 (𝑧, 𝑛) =

1 ∙ 2 ∙3⋯𝑛 𝑛𝑧 𝑧(𝑧 + 1)(𝑧 + 2) ⋯ (𝑧 + 𝑛)

yang merupakan persamaan (𝟏. 𝟏) : lim 𝐹(𝑧, 𝑛) = 𝐹(𝑧, ∞) ≡ Γ(𝑧)

𝑛→∞

1.2 Hubungan Fungsional Salah satu hubungan relasi yang memenuhi persamaan fungsi gamma adalah persamaan pantulan (reflection formula) : π sin 𝑧𝜋

Γ(𝑧 )Γ(1 − z) =

(𝟏. 𝟖)

Salah satu cara untuk membuktikannya adalah dengan memulai dengan produk dari integral Euler : ∞

∞

Γ(𝑧 + 1)Γ(1 − z) = ∫ 𝑒 −𝑠 𝑠 𝑧 𝑑𝑠 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 −𝑧 𝑑𝑡 0 ∞

0 ∞

𝑣 𝑧 𝑑𝑣 ∫ 𝑢 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 =∫ 2 (𝑣 + 1) 0

0

Yang didapat dari subtitusi 𝑢 = 𝑠 + 𝑡 dan 𝑣 = 𝑠/𝑡. Kita juga membutuhkan Jacobian dari transformasi ini : 1 𝐽−1 = − |1 𝑡

1 𝑠 + 𝑡 (𝑣 + 1)2 𝑠|= = − 2 𝑡2 𝑢 𝑡

Integrasi terhadap 𝑢 menjadi sama dengan 1! sementara integrasi terhadap 𝑣 didapatkan dengan metode integrasi-kontur : 3

∞

𝑣 𝑧 𝑑𝑣 𝜋𝑧 ∫ = (𝑣 + 1)2 sin 𝜋𝑧 0

Dengan mengganti Γ(𝑧 + 1) menjadi 𝑧Γ(𝑧) dan didapatkan persamaan (𝟏. 𝟗). Kasus spesial didapatkan untuk 𝑧 = 1/2, dimana (mengambil akar kuadrat positif) Γ(1/2) = √𝜋 .

(𝟏. 𝟏𝟎)

1.3 Fungsi Beta Haasil dari fungsi gmma dapat diidentifikasi sebagai penjabaran dari integral yang mengandung unsur fungsi sin dan cos. Integral tersebut dapat lebih lanjut dimanipulasi untuk mengevaluasi sebuah angka yang besar dari integral. Hal tersebut menjadi dasar pendefinisian fungsi beta. Secara umum fungsi beta dalam bentuk integral memiliki formasi : 1

𝐵(𝑚, 𝑛) = ∫ 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 𝑑𝑥

(𝟏. 𝟏𝟏)

0

yang konvergen untuk 𝑚 > 0, 𝑛 > 0, dengan 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan real. Hal yang menarik jika melakukan subtitusi 𝑥 = 1 − 𝑦. Subtitusi tersebut memberikan sifat simetri antara 𝐵(𝑚, 𝑛) = 𝐵(𝑛, 𝑚). Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma dapat dijabarkan dengan melakukan perkalian dua fungsi gamma dalam bentuk (𝟏. 𝟓) : ∞

∞

2

2

Γ(𝑚)Γ(𝑛) = 4 ∫ 𝑒 −𝑠 𝑠 2𝑚−1 𝑑𝑠 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 2𝑛−1 𝑑𝑡 0

0

∞

∞

= 4 ∫ ∫ 𝑒 −(𝑠 0

2+𝑡 2 )

𝑠 2𝑚−1 𝑡 2𝑛−1 𝑑𝑠 𝑑𝑡

0

dengan mengubahnya dalam kordinat polar (𝑟, 𝜃), 𝑠 = 𝑟 sin 𝜃, 𝑡 = 𝑟 cos 𝜃 : 𝜋 2

∞

2

Γ(𝑚)Γ(𝑛) = 4 ∫ ∫ 𝑒 −𝑟 sin2𝑚−1 𝜃 cos 2𝑛−1 𝜃 𝑟 2𝑚−1 𝑟 2𝑛−1 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 0 𝜋 2

0

= 4 ∫ sin 0

∞ 2𝑚−1

𝜃 cos

2𝑛−1

2

𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑒 −𝑟 𝑟 2(𝑚+𝑛)−1 𝑑𝑟 0

4

𝜋 2

= 2 ∫ sin2𝑚−1 𝜃 cos 2𝑛−1 𝜃 𝑑𝜃 Γ(𝑚 + 𝑛) 0

Untuk bentuk integral cos dan sin, dengan subtitusi 2𝑛 − 1 = 2(𝑛 − 1) + 1 (demikian juga dengan bagian 𝑚) dapat dijabarkan : 𝜋 2

𝜋 2

2 ∫ sin2(𝑚−1)+1 𝜃 cos 2(𝑛−1)+1 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ sin2(𝑚−1) 𝜃 cos 2(𝑛−1) 𝜃 2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 0

0

Fungsi beta didapatkan dengan kembali melakukan subtitusi = sin2 𝜃 : 𝜋 2

1

∫ sin2(𝑚−1) 𝜃 cos 2(𝑛−1) 𝜃 2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ x (𝑚−1) (1 − 𝑥)(𝑛−1) 𝑑𝑥 = 𝐵(𝑚, 𝑛) 0

0

Sehingga hubungan antara fungsi gamma dan fungsi beta : 𝐵(𝑚, 𝑛) =

Γ(𝑚 )Γ(𝑛 ) Γ(𝑚 + 𝑛)

(𝟏. 𝟏𝟐)

1.4 Formula Stirling Sebuah persamaan yang mengandung 𝑛! Ataupun Γ(𝑝) tidak dapat secara sederhana didiferensialkan. Disini kita menggunakan pendekatan untuk fungsi faktorial atau fungsi Γ yang disebut persamaan Stirling. Persamaan ini didapatkan dengan fungsi gamma : ∞

∞

Γ(𝑧 + 1) = 𝑧! = ∫ 𝑡 𝑧 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 𝑧 ln 𝑡−𝑡 𝑑𝑡 0

(𝟏. 𝟏𝟑)

0

Dengan melakukan subtitusi 𝑡 = 𝑧 + 𝑦√𝑧, 𝑑𝑡 = √𝑧 𝑑𝑦 : ∞

𝑧! = ∫

𝑒 𝑧 ln(𝑧+𝑦√𝑧)−(𝑧+𝑦√𝑧) √𝑧𝑑𝑦

− √𝑧

Untuk 𝑧 dengan nilai besar, bentuk logaritma dapat diekspansi menurut deret pangkat : ln(𝑧 + 𝑦√𝑧) = ln 𝑧 + ln (1 +

𝑦 √𝑧

) = ln 𝑧 +

𝑦 √𝑧

−

𝑦2 +⋯ 2𝑧

5

Sehingga didapatkan : ∞

𝑧! ~ ∫

𝑒

𝑧 ln 𝑧+𝑦√𝑧−(

𝑦2 )−𝑧−𝑦√𝑧 2

√𝑧𝑑𝑦

−√𝑧 ∞

= 𝑒

𝑧 ln 𝑧−𝑧

√𝑧 ∫

𝑒

−(

𝑦2 ) 2 𝑑𝑦

− √𝑧 ∞ 𝑧 −𝑧

= 𝑧 𝑒

√𝑧 [∫ 𝑒

−(

𝑦2 ) 2 𝑑𝑦

− √𝑧

−∫

−∞

𝑦2 −( ) 𝑒 2

𝑑𝑦]

−∞

Untuk integral pertama didapatkan √2𝜋. Untuk integral kedua bernilai nol untuk 𝑝 → ∞, dan kita dapatkan formula Stirling : 𝑧! ~𝑧 𝑧 𝑒 −𝑧 √2𝜋𝑧

(𝟏. 𝟏𝟒)

Adapun untuk ekspansi asymtot Γ(𝑧 + 1) didapatkan : Γ(𝑧 + 1) = 𝑧! = 𝑧 𝑧 𝑒 −𝑧 √2𝜋𝑧 (1 +

1 1 + + ⋯) 12𝑧 288𝑧 2

(𝟏. 𝟏𝟓)

Bagian pertama yang merupakan formula Stirling merupakan pendekatan yang baik digunakan untuk 𝑧 bernilai besar dan bagian keduanya dapat digunakan untuk memperkirakan kesalahan relatif fungsi tersebut. Bentuk yang sering dijumpai dalam formula Stirling adalah nilai ln 𝑧! dengan nilai 𝑧 besar. Pada kasus ini, formula Stirling memberikan hubungan : ln 𝑧! = ln(𝑧 𝑧 𝑒 −𝑧 √2𝜋𝑧) = ln 𝑧 𝑧 + ln 𝑒 −𝑧 + ln √2𝜋𝑧 = 𝑧 ln 𝑧 − 𝑧 + ln √2𝜋𝑧 Karena nilai 𝑧 besar, bagian ln √2𝜋𝑧 dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan umum : ln 𝑧! = 𝑧 ln 𝑧 − 𝑧

(𝟏. 𝟏𝟔)

6

2. PERSAMAAN DIFERENSIAL LANJUT

2.1 Persamaan Diferensial Legendre Persamaan diferensial Legendre memiliki bentuk umum : (1 − 𝑥 )2 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0

(𝟐. 𝟏)

𝑙 adalah konstanta. Titik singularnya 𝑥 = −1,1, ∞. Pada penggunaan normalnya, variabel 𝑥 biasanya berbentuk kosinus dari sudut kordinat bola yang implikasinya −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. Solusi dari persamaan diferensial ini disebut fungsi Legendre. Solusi umumnya didapatkan dengan menggunakan konsep ekspansi deret 𝑦 = ∑𝑎𝑛 𝑥 𝑛 . Substitusikan untuk nilai 𝑦 ′′ , 𝑦 ′ , dan 𝑦 pada persamaan (𝟐. 𝟏) didapatkan : ∞

∑ [𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2 − 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛 − 2𝑛𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑙 (𝑙 + 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ] = 0 𝑛=0

Melakukan simplifikasi : ∞

∑ {(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+2 − [𝑛(𝑛 + 1) − 𝑙 (𝑙 + 1)]𝑎𝑛 }𝑥 𝑛 = 0 𝑛=0

Sehingga didapat hubungan rekursif : 𝑎𝑛+2 =

[𝑛(𝑛 + 1) − 𝑙 (𝑙 + 1)] 𝑎𝑛 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

(𝟐. 𝟐)

Nilai 𝑛 = 0,1,2, …. Jika 𝑎0 = 1 dan 𝑎1 = 0 solusi pertama didapat : 𝑦1 (𝑥 ) = 1 − 𝑙 (𝑙 + 1)

𝑥2 𝑥4 + 𝑙(𝑙 + 1)(𝑙 − 2)(𝑙 + 3) − ⋯ 2! 4!

(𝟐. 𝟑)

Serta jika 𝑎0 = 0 fsn 𝑎1 = 1 solusi kedua didapat : 𝑦2 (𝑥 ) = 𝑥 − (𝑙 − 1)(𝑙 + 2)

𝑥3 𝑥5 + (𝑙 − 1)(𝑙 + 2)(𝑙 − 3)(𝑙 + 4) − ⋯ 3! 5!

(𝟐. 𝟒) 7

Persamaan tersebut konvergen unutuk |𝑥 | < 1 sehingga radius konvergensinya bersatu. Karena kedua persamaan tersebut bebas secara linear satu sama lain, solusi umum dari persamaan (𝟐. 𝟏) diperoleh : 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 𝑦1 (𝑥 ) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) Dalam banyak aplikasi fisis, parameter 𝑙 pada persamaan Legendre adalah bilangan bulat 𝑙 = 0,1,2, …. Berdampak pada hubungan rekursif : 𝑎𝑙+2 =

[𝑙(𝑙 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1)] 𝑎𝑙 = 0 (𝑙 + 1)(𝑙 + 2)

Membuat deretnya terhenti dan didapatkan solusi polynomial dengan orde 𝑙. Secara terpisah, saat 𝑙 genap, 𝑦1 (𝑥) tereduksi menjadi sebuah polynomial sementara saat 𝑙 ganjil, 𝑦2 (𝑥) yang menjadi polynomial. Solusi ini disebut polynomial Legendre berorde 𝑙. Beberapa polynomial Legendre awal : 𝑃0 (𝑥 ) = 1 ;

𝑃1 (𝑥 ) = 𝑥 ;

1 𝑃2 (𝑥) = (3𝑥 2 − 1) ; 2

1 𝑃𝑥 (3) = (5𝑥 3 − 3𝑥) 2

Gambar 2.1 Empat polynomial Legendre awal 2.1.1 Sifat-sifat Polynomial Legendre Formula Rodrigues merupakan suatu bentuk umum untuk mendefinisikan suatu polynomial. Untuk polynomial Legendre, formula Rodrigues nya adalah : 8

1 𝑑𝑙 (𝑥 2 − 1) 𝑃𝑙 (𝑥 ) = 𝑙 2 𝑙! 𝑑𝑥 𝑙

(𝟐. 𝟓)

Hal ini dapat dibuktikan dengan memisalkan 𝑢 = (𝑥 2 − 1)𝑙 , sehingga 𝑢′ = 2𝑙𝑥(𝑥 2 − 1)𝑙−1 dan (𝑥 2 − 1)𝑢′ − 2𝑙𝑥𝑢 = 0 Dengan diferensiasi 𝑙 + 1 kali menggunakan teorema Leibnitz, dapat dilihat hubungan : [(𝑥 2 − 1)𝑢𝑙+2 + 2𝑥(𝑙 + 1)𝑢𝑙+1 + 𝑙 (𝑙 + 1)𝑢𝑙 ] − 2𝑙[𝑥𝑢𝑙+1 + (𝑙 + 1)𝑢𝑙 ] = 0 Atau tereduksi menjadi : (𝑥 2 − 1)𝑢𝑙+2 + 2𝑥𝑢𝑙+1 − 𝑙(𝑙 + 1)𝑢𝑙 = 0 Mengganti tanda dari persamaan tersebut, didapatkan bentuk yang identic dengan persamaan Legendre (𝟐. 𝟏) dengan 𝑢𝑙 sebagai variabel terikat. Agar dapat sesuai dengan formula Rodrigues, kita dapat mengambil bentuk : 𝑢𝑙 (𝑥 ) = 𝑐𝑙 𝑃𝑙 (𝑥 ) Dimana konstanta 𝑐𝑙 bergatung pada 𝑙. Nilai 𝑙 didapatkan dengan memperhatikan bahwa bagian dimana turunan ke 𝑙 dari (𝑥 2 − 1)𝑙 tidak memiliki sebuah faktor 𝑥 2 − 1, sehingga tidak hilang pada 𝑥 = 1, adalah (2𝑥 )𝑙 𝑙! (𝑥 2 − 1)0. Mengambil 𝑥 = 1, 𝑃𝑙 (1) = 1 sehingga 𝑐𝑙 = 2𝑙 𝑙! yang melengkapi formula Rodrigues. Persamaan Legendre merupakan bentuk Sturm-Lioville dengan 𝑝 = 1 − 𝑥 2 , 𝑞 = 0, 𝜆 = 𝑙 (𝑙 + 1), dan 𝜌 = 1, dan interval alaminya adalah [−1,1]. Karena polynomial Legendre 𝑃𝑙 (𝑥 ) teratur pada titik akhir 𝑥 = ±1, persamaan tersebut orthogonal satu sama lain pada interval tersebut, sehingga : 0

1

∫ 𝑃𝑙 (𝑥 )𝑃𝑘 (𝑥 )𝑑𝑥 = { −1

;𝑙 ≠ 𝑘

2 ; 𝑙=𝑘 2𝑙 + 1

(𝟐. 𝟔)

Hal ini dapat dibuktikan dengan menuliskan persamaan diferensial Legendre dengan solusi 𝑃𝑙 (𝑥) dalam bentuk modifikasi : [(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑙′ ]′ + 𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 = 0

9

Kalikan dengan 𝑃𝑘 (𝑥 ) lalu integralkan dari = −1 sampai 𝑥 = 1 : 1

1

∫ 𝑃𝑘 [(1 − −1

𝑥 2 )𝑃𝑙′ ]′ 𝑑𝑥

+ ∫ 𝑃𝑘 𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 𝑑𝑥 = 0 −1

Integralkan secara parsial bagian pertama : 1

−∫

1

𝑃𝑘′ (1

−

𝑥 2 )𝑃𝑙′ 𝑑𝑥

+ ∫ 𝑃𝑘 𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 𝑑𝑥 = 0

−1

−1

Membalik aturan untuk 𝑙 dan 𝑘 dan mengurangkan, dapat kita simpulkan : 1

[𝑘(𝑘 + 1) − 𝑙 (𝑙 + 1)] ∫ 𝑃𝑘 𝑃𝑙 𝑑𝑥 = 0 −1

Karena 𝑘 ≠ 𝑙, maka terbukti bahwa syarat orthogonalitas pertama terpenuhi. Untuk syarat kedua orthogonalitas, dapat dibuktikan dengan menggunakan formula Rodrigues untuk persamaan Legendre saat = 𝑙 : 1

∫ 𝑃𝑙 (𝑥 )𝑃𝑙 (𝑥 )𝑑𝑥 = −1

1 1 𝑑 𝑙 ( 𝑥 2 − 1)𝑙 𝑑 𝑙 (𝑥 2 − 1)𝑙 ∫ [ ][ ] 𝑑𝑥 22𝑙 (𝑙!)2 −1 𝑑𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑙

Integrasikan secara parsial dengan smua syarat batas habis mereduksi menjadi persamaan : 1

∫ 𝑃𝑙 (𝑥 )𝑃𝑙 (𝑥 )𝑑𝑥 = −1

=

1 (−1)𝑙 𝑑 2𝑙 2 ( ) (𝑥 2 − 1)𝑙 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −1 2𝑙 2 2𝑙 ( ) 2 𝑙! 𝑑𝑥 −1 1 (2𝑙 )! (𝑥 2 − 1)𝑙 𝑑𝑥 ∫ 22𝑙 (𝑙!)2 −1

Integrasikan bagian integral secara parsial : 1

1

∫ (𝑥 2 − 1)𝑙 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑙𝑥 2 (𝑥 2 − 1)𝑙−1 𝑑𝑥 −1

−1 1

= ∫ 2[𝑙 − 𝑙 (1 − 𝑥 2 )](𝑥 2 − 1)𝑙−1 𝑑𝑥 −1 1

= 2𝑙 ∫ (1 − 𝑥

1 2 )𝑙−1

−1

𝑑𝑥 − 2𝑙 ∫ (1 − 𝑥 2 )𝑙 𝑑𝑥 −1

= 2𝑙 𝐾𝑙−1 − 2𝑙 𝐾𝑙 10

1

Dimana 𝐾𝑙 = ∫−1(𝑥 2 − 1)𝑙 𝑑𝑥, sehingga didapat relasi (2𝑙 + 1)𝐾𝑙 = 2𝑙 𝐾𝑙−1 yang menghasilkan nilai : 𝐾𝑙 =

22𝑙+1 (𝑙!)2 (2𝑙 + 1)!

Sehingga, persamaan orthogonalitas saat 𝑘 = 𝑙 didapatkan : 1

∫ 𝑃𝑙 (𝑥 )𝑃𝑙 (𝑥)𝑑𝑥 = −1

(2𝑙 )! 22𝑙+1 (𝑙!)2 2𝑙 (2𝑙 − 1)! 22𝑙 2 (𝑙!)2 2 = = 2𝑙 2 2𝑙 2 2 (𝑙!) (2𝑙 + 1)! 2 (𝑙!) (2𝑙 + 1)2𝑙(2𝑙 − 1)! (2𝑙 + 1)

Sifat lain dari polynomial Legendre adalah fungsi pembangkit. Fungsi pembangkit merupakan alat yang sangat berguna dalam memanipulasi urutan dari fungsi atau kuantitas dari suatu variabel bilangan bulat. Kegunaan mendasarnya diimplementasikan pada teori probabilitas. Secara umum, fungsi pembangkit dari suatu fungsi 𝑓𝑛 (𝑥 ) untuk 𝑛 = 0,1,2, … adalah sebuah fungsi 𝐺(𝑥, ℎ) dimana 𝑥 suatu variabel bebas dengan ℎ variabel dummy sehingga : ∞

𝐺 (𝑥, ℎ) = ∑ 𝑓𝑛 (𝑥 )ℎ𝑛 𝑛=0

Untuk penerapan di polynomial Legendre, fungsi pembangkitnya : ∞

𝐺 (𝑥, ℎ) = (1 − 2𝑥ℎ + ℎ

2 )−1/2

= ∑ 𝑃𝑛 (𝑥)ℎ𝑛

(𝟐. 𝟕)

𝑛=0

Dengan melakukan diferensial terhadap 𝑥, didapatkan : ℎ(1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 )−3/2 = ∑ 𝑃𝑛′ ℎ𝑛

(𝟐. 𝟖)

serta melakukan diferensial terhadap ℎ : (𝑥 − ℎ)(1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 )−3/2 = ∑ 𝑛𝑃𝑛 ℎ𝑛−1

(𝟐. 𝟗)

Persamaan (𝟐. 𝟖) dapat ditulis : ℎ ∑ 𝑃𝑛 ℎ𝑛 = (1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 ) ∑ 𝑃𝑛′ ℎ𝑛

11

menyamakan koefisien dari ℎ𝑛+1 , didapatkan hubungan rekursif : ′ ′ 𝑃𝑛 = 𝑃𝑛+1 − 2𝑥𝑃𝑛′ + 𝑃𝑛−1

(𝟐. 𝟏𝟎)

Sementara mengkombinasikan persamaan (𝟐. 𝟖) dan (𝟐. 𝟗) : (𝑥 − ℎ) ∑ 𝑃𝑛′ ℎ𝑛 = ℎ ∑ 𝑛𝑃𝑛 ℎ𝑛−1 menyamakan koefisien dari ℎ𝑛 didapatkan hubungan rekursif kedua : ′ 𝑥𝑃𝑛′ − 𝑃𝑛−1 = 𝑛𝑃𝑛

(𝟐. 𝟏𝟏)

Adapun dengan mengkombinasikan (𝟐. 𝟏𝟏) dengan (𝟐. 𝟏𝟎) lalu mengganti 𝑛 dengan 𝑛 − 1 dan menambahkan dengan , kita dapatkan hubungan rekursif ketiga : (1 − 𝑥 2 )𝑃𝑛′ = 𝑛(𝑃𝑛−1 − 𝑥𝑃𝑛 )

(𝟐. 𝟏𝟐)

2.1.2 Fungsi Legendre Asosiasi Persamaan umumn dari fungsi Legendre asosiasi adalah : (1 − 𝑥 2 )𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + [𝑙(𝑙 + 1) −

𝑚2 ]𝑦 = 0 1 − 𝑥2

(𝟐. 𝟏𝟑)

Dengan tiga titik singular pada 𝑥 = −1,1, ∞ dan tereduksi menjadi persamaan Legendre normal saat 𝑚 = 0. Setiap solusi dari persamaan tersebut dikenal dengan fungsi Legendre asosiasi. Solusi dari ekspansi deret 𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , dapat diturunkan sesuai dengan persamaan Legendre normal. Hasil dari langkah tersebut menghasilkan solusi umum yakni fungsi Legendre Asosiasi : 𝑦 = (1 − 𝑥

𝑚 2) 2

𝑑𝑚 𝑃 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑚 𝑙

(𝟐. 𝟏𝟒)

atau lebih sering dituliskan sebagai : 𝑃𝑙𝑚 (𝑥 )

𝑚

= (1 − 𝑥 2 ) 2

𝑑𝑚 𝑃 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑚 𝑙

(𝟐. 𝟏𝟓)

Sama halnya dengan persamaan Legendre, persamaan Legendre asosiasi juga memiliki sifat orthogonalitas, bentuknya :

12

1

∫ 𝑃𝑙𝑚 (𝑥 ) 𝑃𝑘𝑚 (𝑥 )𝑑𝑥 −1

={

0

;𝑙 ≠ 𝑘

2 (𝑙 + 𝑚 )! 2𝑙 + 1 (𝑙 − 𝑚)!

;𝑙 = 𝑘

(𝟐. 𝟏𝟔)

Hasil ini didapat dengan menggunakan formula Rodrigues pada persamaan (𝟐. 𝟓) dan persamaan fungsi Legendre asosiasi (𝟐. 𝟏𝟓). Sifat lain dari persamaan Legende asosiasi adalah fungsi pembangkit yang memenuhi : 𝑚

𝐺 (𝑥, ℎ) =

(2𝑚)! (1 − 𝑥 2 ) 2 2𝑚 𝑚! (1

− 2ℎ𝑥 +

1 ℎ2 )𝑚+2

∞ 𝑚 (𝑥 )ℎ𝑛 = ∑ 𝑃𝑛+𝑚

(𝟐. 𝟏𝟕)

𝑛=0

yang diperoleh dari penurunan sebanyak 𝑚 kali dari dari fungsi pembangkit persamaan polynomial Legendre (𝟐. 𝟕). Hal terakhir dari sifat persamaan Legendre asosiasi yang perlu diketahui adalah hubungan rekursif. Beberapa diantaranya : 𝑃𝑛𝑚+1 =

2𝑚𝑥 (1 −

𝑚 1 𝑃𝑛 𝑥 2 )2

+ [𝑚(𝑚 − 1) − 𝑛(𝑛 + 1)]𝑃𝑛𝑚−1

𝑚 𝑚 (2𝑛 + 1)𝑥𝑃𝑛𝑚 = (𝑛 + 𝑚)𝑃𝑛−1 + (𝑛 − 𝑚 + 1)𝑝𝑛+1 1

𝑚+1 𝑚+1 (2𝑛 + 1)(1 − 𝑥 2 )2 𝑃𝑛𝑚 = 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛−1

(𝟐. 𝟏𝟖) (𝟐. 𝟏𝟗) (𝟐. 𝟐𝟎)

yang berlaku untuk 𝑚 positif maupun negatif.

2.2 Persamaan Diferensial Bessel Persamaan Bessel memiliki bentuk umum : 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + (𝑥 2 − 𝑣 2 )𝑦 = 0

(𝟐. 𝟐𝟏)

Memiliki singularitas dititik 𝑥 = 0, ∞. Parameter 𝑣 sebuah konstanta yang ≥ 0. Digunakan pada persamaan fisis mirip dengan persamaan Legendre, namun untuk kordinat silinder. Persamaan tersebut dapat disederhanakan : 1 𝑣2 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + (1 − 2 ) 𝑦 = 0 𝑥 𝑥

(𝟐. 𝟐𝟐)

13

𝑛 dengan menggunakan solusi deret 𝑦 = 𝑥 𝜎 ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 yang disubstitusi pada persamaan (𝟐. 𝟐𝟐)

dan dikalikan dengan 𝑥 2−𝜎 didapatkan : ∞

∞ 2

∑[(𝜎 + 𝑛)(𝜎 + 𝑛 − 1) + (𝜎 + 𝑛) − 𝑣 ] 𝑎𝑛 𝑥 + ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛+2 = 0 𝑛=0

𝑛

𝑛=0

yang disederhanakan : ∞

∞

∑[(𝜎 + 𝑛)2 − 𝑣 2 ] 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛+2 = 0 𝑛=0

𝑛=0

Perhatikan koefisien dari 𝑥 0 , didapatkan hubungan : 𝜎2 − 𝑣2 = 0 sehingga 𝜎 = ±𝑣. Untuk koefisien dari pangkat lebih tinggi : [(𝜎 + 1)2 − 𝑣 2 ]𝑎1 = 0 [(𝜎 + 𝑛)2 − 𝑣 2 ]𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−2 = 0

𝑛≥2

dengan substitusi 𝜎 = ±𝑣, didapatkan hubungan rekursif : (1 ± 2𝑣)𝑎1 = 0 𝑛(𝑛 ± 2𝑣)𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−2 = 0

(𝟐. 𝟐𝟑) 𝑛≥2

(𝟐. 𝟐𝟒)

Persamaan (𝟐. 𝟐𝟑) memberikan dampak 𝑎1 = 0. Sekarang solusi umum dari persamaan Bessel terdapat dua syarat : saat 𝑣 sebuah bilangan bulat dan saat bukan bilangan bulat. 2.2.1 Fungsi Bessel untuk 𝒗 Bukan Bilangan Bulat Saat 𝑣 bukan bilangan bulat, 𝜎1 = 𝑣 dan 𝜎2 = −𝑣 tidak akan berubah oleh sebuah bilangan bulat sehingga didapatkan dua solusi independen dalam bentuk deret Frobenius. Kondisi khusus saat 𝑣 = 𝑚/2 untutk 𝑚 = 1,3,5, …, dan 𝜎1 − 𝜎2 = 2𝑣 = 𝑚 adalah bilangan bulat ganjil positif. Hubungan rekursif (𝟐. 𝟐𝟑) dan (𝟐. 𝟐𝟒) menjadi :

14

𝑎𝑛 = −

𝑎𝑛−2 𝑛(𝑛 ± 2𝑣)

untuk 𝑛 = 2,4,6, … ,

=0

untuk 𝑛 = 1,3,5, …,

Mengambil nilai 𝑎0 = 1 pada setiap kasus, didapatkan dua solusi : 𝑦±𝑣 (𝑥 ) = 𝑥 ±𝑣 [1 −

𝑥2 𝑥4 + − ⋯] 2(2 ± 2𝑣) 2 × 4(2 ± 𝑣)(4 ± 2𝑣)

dengan bantuang fungsi gamma, dapat dituliskan : 𝑎0 =

1 2±𝑣 Γ(1 ±

v)

yang merupakan generalisasi dari fungsi faktorial. Pemaparan tersebut mengantarkan pada dua solusi persamaan Bessel yang biasa dilambangkan 𝐽𝑣 (𝑥 ) dan 𝐽−𝑣 (𝑥 ) : 𝐽𝑣 (𝑥 ) =

1 𝑥 𝑣 1 𝑥 2 1 1 𝑥 4 ( ) [1 − ( ) + ( ) −⋯] (𝑣 + 1)(𝑣 + 2) 2! 2 Γ(𝑣 + 1 ) 2 𝑣+1 2

atau ∞

𝐽𝑣 (𝑥 ) = ∑ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 𝑣+2𝑛 ( ) 𝑛! Γ(𝑣 + 𝑛 + 1) 2

(𝟐. 𝟐𝟓)

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛−𝑣 ( ) 𝑛! Γ(𝑛 − 𝑣 + 1) 2

(𝟐. 𝟐𝟔)

serta solusi keduanya ∞

𝐽−𝑣 (𝑥 ) = ∑ 𝑛=0

Fungsi 𝐽𝑣 (𝑥 ) dan 𝐽−𝑣 (𝑥) disebut juga solusi fungsi Bessel jenis pertama. Sehingga untuk 𝑣 bukan bilangan bulat, persamaan diferensial Bessel mempunyai solusi umum : 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 𝐽𝑣 (𝑥 ) + 𝑐2 𝐽−𝑣 (𝑥 ) 2.2.2 Fungsi Bessel untuk 𝒗 Bilangan Bulat Saat 𝑣 berupa bilangan bulat, solusi Bessel tipe pertama tidak memenuhi syarat tersebut. Saat mengganti 𝑣 dengan −𝑣, didapat hubungan : 15

𝐽−𝑣 (𝑥 ) = (−1)𝑣 𝐽𝑣 (𝑥) Sehingga keduanya bergantung secara linear. Hal ini membuat kedua fungsi 𝐽𝑣 (𝑥 ) dan 𝐽−𝑣 (𝑥) solusi umum pada jenis pertama tidak sesuai, sehingga didefinisikan fungsi : 𝑌𝑣 (𝑥 ) =

𝐽𝑣 (𝑥 ) cos 𝑣𝜋 − 𝐽−𝑣 (𝑥 ) sin 𝑣𝜋

(𝟐. 𝟐𝟕)

yang disebut fungsi Bessel jenis kedua dengan orde 𝑣 atau biasa dikenal dengan fungsi Neumann. Kombinasi linear dari fungsi Bessel dari jenis pertama dan jenis kedua berkesesuaian dengan : (1) 𝐻𝑣 (𝑥 ) = 𝐽𝑣 (𝑥 ) + 𝑖𝑌𝑣 (𝑥),

(2) 𝐻𝑣 (𝑥 ) = 𝐽𝑣 (𝑥 ) − 𝑖𝑌𝑣 (𝑥 )

(𝟐. 𝟐𝟖)

keduanya disebut sebagai fungsi Hankel tiper pertama dan tipe kedua. 2.2.3 Sifat-sifat Fungsi Bessel 𝑱𝒗 (𝒙) Karena tidak memiliki batas tertentu, fungsi Bessel dapat dimislkan berada pada batas [𝑎, 𝑏] untuk menyelidiki sifat ortogonalitasnya. Bentuk umum dari sifat ortogonalitas fungsi Bessel : 0 𝑣2 2 𝑏 ∫ 𝑥𝐽𝑣 (𝛼𝑥 )𝐽𝑣 (𝛽𝑥)𝑑𝑥 = {1 2 [(𝑥 − ) 𝐽𝑣 (𝛼𝑥) + 𝑥 2 [𝐽𝑣′ (𝛼𝑥)]2 ] 𝑎 2 2 𝛼 𝑎 𝑏

;𝛼 ≠ 𝛽 ;𝛼 = 𝛽

(𝟐. 𝟐𝟗)

Untuk menentukan kondisi batas dari hasil pertama, saat 𝛼 ≠ 𝛽, didefinisikan fungsi 𝑓 (𝑥 ) = 𝐽𝑣 (𝛼𝑥 ) dan 𝑔(𝑥 ) = 𝐽𝑣 (𝛽𝑥 ) yang harus memenuhi kondisi : 𝑥 2 𝑓 ′′ + 𝑥𝑓 ′ + (𝛼 2 𝑥 2 − 𝑣 2 )𝑓 = 0 𝑥 2 𝑔′′ + 𝑥𝑔′ + (𝛽 2 𝑥 2 − 𝑣 2 )𝑔 = 0 Selain itu, juga terdapat hubungan rekursif : 𝑑 𝑣 [𝑥 𝐽𝑣 (𝑥)] = 𝑥 𝑣 𝐽𝑣−1 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑 −𝑣 [𝑥 𝐽𝑣 (𝑥 )] = −𝑥 −𝑣 𝐽𝑣+1 (𝑥 ) 𝑑𝑥

(𝟐. 𝟑𝟎) (𝟐. 𝟑𝟏)

Ekspansi turunan pada ruas kiri persamaan (𝟐. 𝟑𝟎) dan bagi dengan 𝑥 𝑣−1 : 𝑥𝐽𝑣′ (𝑥 ) + 𝑣𝐽𝑣 (𝑥 ) = 𝑥𝐽𝑣−1 (𝑥)

(𝟐. 𝟑𝟐) 16

Serta dengan ekspansi turunan pada ruas kiri persamaan (𝟐. 𝟑𝟏) dan kalikan dengan 𝑥 𝑣+1 : 𝑥𝐽𝑣′ (𝑥) − 𝑣𝐽𝑣 (𝑥) = −𝑥𝐽𝑣+1 (𝑥 )

(𝟐. 𝟑𝟑)

Tambahkan (𝟐. 𝟑𝟐) dengan (𝟐. 𝟑𝟑) didapatkan : 𝐽𝑣−1 (𝑥 ) − 𝐽𝑣+1 (𝑥 ) = 2𝐽𝑣′ (𝑥 )

(𝟐. 𝟑𝟒)

Serta dengan mengurangkan (𝟐. 𝟑𝟐) dengan (𝟐. 𝟑𝟑) didapatkan : 𝐽𝑣−1 (𝑥 ) + 𝐽𝑣+1 (𝑥 ) =

2𝑣 𝐽 (𝑥 ) 𝑥 𝑣

(𝟐. 𝟑𝟓)

Sifat lain dari funsi Bessel jenis pertama adalah fungsi pembagkit yang memenuhi persamaan : 𝐺(𝑥, ℎ) =

𝑥 1 𝑒 [2(ℎ−ℎ)]

∞

= ∑ 𝐽𝑛 (𝑥 )ℎ𝑛

(𝟐. 𝟑𝟔)

𝑛=−∞

Dengan menggunakan fungsi pembangkit tersebut, fungsi Bessel dapat dijabarkan dalam bentuk integral : 𝐽𝑛 (𝑥 ) =

1 𝜋 ∫ cos(𝑛𝜃 − 𝑥 sin 𝜃) 𝑑𝜃 𝜋 0

(𝟐. 𝟑𝟕)

2.3 Persamaan Diferensial Hermite Persamaan Hermite memiliki bentuk umum : 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 2𝑣𝑦 = 0

(𝟐. 𝟑𝟖)

dengan singularitas di titik 𝑥 = ∞. Parameter 𝑣 adalah bilangan real, meski lebih sering berupa bilangan bulat pada pengaplikasian. Persamaan Hermite muncul dalam mendeskripsikan fungsi gelombang dari osilasi harmonik. Setiap solusi dari persamaan ini disebut fungsi Hermite. Karena 𝑥 = 0 adalah titik biasa dari persamaan, kita bias mencari dua solusi independen dalam bentuk deret pangkat : ∞

𝑦 = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 𝑚=0

17

dengan melakukan substitusi pada persamaan Hermite, diperoleh bentuk : ∞

∑ [(𝑚 + 2)(𝑚 + 1)𝑎𝑚+2 + 2(𝑣 − 𝑚)𝑎𝑚 ] 𝑥 𝑚 = 0 𝑚=0

yang menghasilkan hubungan rekursif : 𝑎𝑚+2 = −

2(𝑣 − 𝑚 ) 𝑎 (𝑚 + 2)(𝑚 + 1) 𝑚

Jika dipilih 𝑣 = 𝑛 dimana 𝑛 adalaha bilanga bulat positif, dapat dilihat 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+4 = ⋯ = 0, sehingga satu solusi dari persamaan Hermite adalah polynomial dengan orde 𝑛. Untuk 𝑛 genap, 𝑛

dipilih 𝑎0 = (−1) 2 𝑛!/ (𝑛/2)!, sementara untuk 𝑛 ganjil digunakan 𝑎1 = (−1)

𝑛−1 2

1

2𝑛!/ [2 (𝑛 −

1)] !. Pilihan ini memungkinkan solusi umum ditulis sebagai : 𝐻𝑛 (𝑥 ) = (2𝑥 )𝑛 − 𝑛(𝑛 − 1)(2𝑥)𝑛−1 +

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) (2𝑥 )𝑛−4 − ⋯ 2!

Atau disederhanakan : 𝑛 2

𝐻𝑛 (𝑥 ) = ∑ (−1)𝑚 𝑚=0

𝑛! (2𝑥 )𝑛−2𝑚 𝑚! (𝑛 − 2𝑚)!

(𝟐. 𝟑𝟗)

dimana 𝐻𝑛 (𝑥 ) disebut polynomial Hermite dan notasi 𝑛/2 menotasikan bagian bilangan bulat dari 𝑛/2 . Dapat pula dilihat hubungan 𝐻𝑛 (−𝑥 ) = (−1)𝑛 𝐻𝑛 (𝑥). Beberapa nilai pertama dari polynomial Hermite : 𝐻0 (𝑥) = 1,

𝐻1 (𝑥 ) = 2𝑥,

𝐻2 (𝑥 ) = 4𝑥 2 − 2,

𝐻3 (𝑥 ) = 8𝑥 2 − 12𝑥

18

Gambar 2.2 Skema beberapa nilai pertama polynomial Hermite 2.3.1 Sifat-sifat Polynomial Hermite Sifat pertama adalah formula Rodrigues dari polynomial Hermite : 𝐻𝑛 (𝑥 ) = (−1)𝑛 𝑒 𝑥

2

𝑑𝑛 2 (𝑒 −𝑥 ) 𝑛 𝑑𝑥

(𝟐. 𝟒𝟎)

Didapatkan dengan menggunakan teorema Leibniz. Karena polynomial Hermite 𝐻𝑛 (𝑥) merupakan solusi dari persamaan Hermite dan memiliki interval alami [−∞, ∞], keduanya harus orthogonal berdasarkan pada fungsi pemberat 𝜌 = 𝑒 −𝑥

2

: ∞ 0 2 ∫ 𝐻𝑛 (𝑥 )𝐻𝑘 (𝑥 )𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = { 𝑛 2 𝑛! √𝜋 −∞

;𝑛 ≠ 𝑘 ;𝑛 = 𝑘

(𝟐. 𝟒𝟏)

yang dapat dibuktikan dengan menggunakan formula Rodrigues. Hal lain dari polynomial Hermite yang penting diketahui adalah fungsi pembangkit yang sesuai dengan persamaan : ∞

𝐺 (𝑥, ℎ) = 𝑒

2ℎ𝑥−ℎ 2

=∑ 𝑛=0

𝐻𝑛 (𝑥 ) 𝑛 ℎ 𝑛!

(𝟐. 𝟒𝟐)

dimana dapat diturunkan dua hubungan rekursif yang paling sering digunakan : 19

𝐻𝑛+1 (𝑥 ) = 2𝑥𝐻𝑛 (𝑥 ) − 2𝑛𝐻𝑛−1 (𝑥 ) 𝐻𝑛′ (𝑥 ) = 2𝑛𝐻𝑛−1 (𝑥 )

(𝟐. 𝟒𝟑) (𝟐. 𝟒𝟒)

2.4 Persmaan Diferensial Laguerre 2.4.1 Persamaan Umum dan Solusi Umu Persamaan Laguerre memiliki bentuk umum : 𝑥𝑦 ′′ + (1 − 𝑥 )𝑦 ′ + 𝑣𝑦 = 0

(𝟐. 𝟒𝟓)

yang memiliki sigularitas regular pada 𝑥 = 0 dan titik singularitas esensinya pada 𝑥 = ∞. Parameter 𝑣 merupakan bilangan real, meski pada penggunaannya dalam aplikasi fisika hampir selalu menggunakan bilangan genap. Persamaan Laguerre ini muncul dalam mendeskripsikan fungsi gelombang atom hidrogen. Setiap solusi dari persamaan Laguerre disebut fungsi Laguerre. Karena 𝑥 = 0 merupakan titik singular regular persamaan tersebut, kita dapat mencari solusi dalam bentuk deret Frobenius : ∞

𝑦(𝑥) = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚+𝜎 𝑚=0

Substitusi ke persamaan (𝟐. 𝟒𝟓) dan membagi dengan 𝑥 𝜎−1 , kita dapatkan : ∞

∑ [(𝑚 + 𝜎)(𝑚 + 𝜎 − 1) + (1 − 𝑥 )(𝑚 + 𝜎) + 𝑣𝑥 ]𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0 𝑚=0

Substitusi 𝜎 = 0 dan membuat koefisien 𝑥 𝑚+1 lenyap, didapatkan hubungan rekursif : 𝑎𝑚+1 =

𝑚−𝑣 𝑎 (𝑚 + 1 )2 𝑚

Ingat bahwa 𝑣 merupakan bilangan bulat dalam aplikasi fisis. Sehingga, jika 𝑣 = 𝑛, dimana 𝑛 adalah bilangan bulat positif, didapatkan 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+2 = ⋯ = 0, dan solusi dari persamaan Laguerre adalah sebuah polynomial orde 𝑛. Secara koncensional, dengan memilih 𝑎0 = 1 didapatkan solusi :

20

𝐿 𝑛 (𝑥 ) =

(−1)𝑛 𝑛 𝑛2 𝑛−1 𝑛2 (𝑛 − 1)2 𝑛−2 [𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − ⋯ + (−1)𝑛 𝑛!] 𝑛! 1! 2! 𝑛

= ∑ (−1)𝑚 𝑚=0

𝑛! (𝑚!)2 (𝑛

− 𝑚 )!

𝑥𝑚

(𝟐. 𝟒𝟔)

(𝟐. 𝟒𝟕)

dimana 𝐿𝑛 (𝑥) disebut juga 𝑛 polynomial Laguerre. Perlu dicatat bahwa 𝐿𝑛 (0) = 1. Beberapa nilai awal dari polynomial Laguerre adalah : 𝐿0 (𝑥 ) = 1;

𝐿1 (𝑥 ) = −𝑥 + 1;

2! 𝐿2 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 2;

3! 𝐿3 (𝑥 ) = −𝑥 3 + 9𝑥 2 − 18𝑥 + 6

Gambar 2.3 Skema beberapa nilai awal polynomial Laguerre 2.4.2 Sifat-sifat Polynomial Laguerre Sifat pertama adalah formula Rodrigues polynomial Laguerre : 𝑒 𝑥 𝑑𝑛 (𝑥 𝑛 𝑒 −𝑥 ) 𝐿 𝑛 (𝑥 ) = 𝑛! 𝑑𝑥 𝑛

(𝟐. 𝟒𝟕)

yang dapat diturunkan dari persamaan Leibniz. Sifat selanjutnya adalah ortogonalitas dari polynomial Laguerre. Karena polynomial Laguerre adalah solusi dari suatu persamaan dengan regular pada titik akhirnya, polynomial tersebut haruslah ortogonal sepanjang interval tersebut dengan memperhitungkan fungsi pemberat = 𝑒 −𝑥 :

21

∞

0 ,𝑛 ≠ 𝑚 ∫ 𝐿𝑛 (𝑥)𝐿𝑚 (𝑥)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = { 1 ,𝑚 = 𝑚 0

(𝟐. 𝟒𝟖)

yang diperoleh dengan menurunkan formula Rodrigues polynomial Laguerre. Hal lain adalah bentuk dari fungsi pembangkit. Untuk polynomial Laguerre, fungsi pembangkitnya memenuhi persamaan : ∞

𝑒 −𝑥ℎ /(1 − ℎ) 𝐺 (𝑥, ℎ) = = ∑ 𝐿 𝑛 (𝑥 )ℎ 𝑛 1−ℎ

(𝟐. 𝟒𝟗)

𝑛=0

Dari fungsi pembangkit tersebut, dengan menurunkan terhadap 𝑥 dan ℎ, kita dapat memperoleh hubunganrekursif berkaitan dengan polynomial Laguerre. Bebeapa bentuk rekursif dari polynomial Laguerre adalah sebagai berikut : (𝑛 + 1)𝐿𝑛+1 (𝑥 ) = (2𝑛 + 1 − 𝑥 )𝐿𝑛 (𝑥) − 𝑛𝐿𝑛−1 (𝑥 ) 𝐿𝑛−1 (𝑥 ) = 𝐿′𝑛−1 (𝑥 ) − 𝐿′𝑛 (𝑥)

(𝟐. 𝟓𝟎) (𝟐. 𝟓𝟏)

𝑥𝐿′𝑛 (𝑥) = 𝑛𝐿𝑛 (𝑥) − 𝑛𝐿𝑛−1 (𝑥 )

(𝟐. 𝟓𝟐)

Hubungan pertama dan kedua didapatkan dari fungsi pembangkit sementara hubungan ketiga merupakan kombinasi dari hubungan pertama dan kedua. 2.4.3 Fungsi Laguerre Asosiasi Persamaan Laguerre asosiasi memiliki bentuk umum : 𝑥𝑦 ′′ + (𝑚 + 1 − 𝑥 )𝑦 ′ + 𝑛𝑦 = 0

(𝟐. 𝟓𝟑)

Titik singularitas regulat di 𝑥 = 0 dan titik singularitas esensi 𝑥 = ∞. Nilai 𝑛 dan 𝑚 dalam aplikasi fisis adalah bilangan bulat positif. Digunakan pada aplikasi mekanika kuantum. Setiap solusi dari persamaan ini disebut fungsi Laguerre asosiasi. Solusi untuk 𝑛 dan 𝑚 positif diberikan oleh polynomial Laguerre asosiasi : 𝑚 𝐿𝑚 𝑛 = (−1)

𝑑𝑚 (𝑥 ) 𝐿 𝑑𝑥 𝑚 𝑛+𝑚

(𝟐. 𝟓𝟒)

Pembuktian ini dapat dilakukan dengan melakukan substitusi 𝐿𝑛 (𝑥 ) pada persamaan Laguerre non asosiasi : 22

𝑥𝐿′′𝑛+𝑚 + (1 − 𝑥 )𝐿′𝑛+𝑚 + (𝑛 + 𝑚)𝐿𝑛+𝑚 = 0 Turunkan 𝑚 kali dengan teorema Leibniz lalu mengurutkannya kita dapatkan : (𝑚+2)

(𝑚+1)

(𝑚)

𝑥𝐿𝑛+𝑚 + (𝑚 + 1 − 𝑥 )𝐿𝑛+𝑚 + 𝑛𝐿𝑛+𝑚 = 0 (𝑚)

𝑚 Kalikan dengan (−1)𝑚 dan dengan 𝐿𝑚 𝑛 = (−1) 𝐿𝑛+𝑚 , didapatkan : ′′ 𝑚 ′ 𝑚 𝑥 (𝐿𝑚 𝑛 ) + (𝑚 + 1 − 𝑥 )(𝐿𝑛 ) + 𝑛𝐿𝑛 = 0

yang memperlihatkan bahwa 𝐿𝑚 𝑛 adalah solusi dari persamaan (𝟐. 𝟓𝟒). Beberapa nilai awal dari polynomial Laguerre asosiasi adalah : 𝐿𝑚 0 (𝑥 ) = 1 𝐿𝑚 1 (𝑥 ) = −𝑥 + 𝑚 + 1 2 2! 𝐿𝑚 2 (𝑥 ) = 𝑥 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + (𝑚 + 1)(𝑚 + 2)

Secara umum, polynomial Laguerre asosiasi biasa memiliki bentuk : 𝑛

𝐿𝑚 𝑛 (𝑥 )

= ∑ (−1)𝑘 𝑘=0

(𝑛 + 𝑚 )! 𝑥𝑘 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 𝑚)!

(𝟐. 𝟓𝟓)

2.4.4 Sifat-sifat Polynomial Laguerre Asosiasi Formula Rodrigues dari polynomial Laguerre asosiasi diberikan oleh : 𝐿𝑚 𝑛 (𝑥 )

𝑒 𝑥 𝑥 −𝑚 𝑑 𝑛 (𝑥 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑥 ) = 𝑛! 𝑑𝑥 𝑛

(𝟐. 𝟓𝟔)

yang didapatkan dari turunan ke 𝑛 dengan teorema Leibniz. Dengan fungsi pemberat 𝜌 = 𝑥 𝑚 𝑒 −𝑥 , sifat ortogonalitas polynomial Laguerre asosiasi dapat dituliskan : ∞

∫ 0

𝑚 𝑚 −𝑥 𝐿𝑚 𝑛 (𝑥 )𝐿𝑘 (𝑥 )𝑥 𝑒 𝑑𝑥

0 ( = { 𝑛 + 𝑚 )! 𝑛!

,𝑛 ≠ 𝑘 ,𝑛 = 𝑘

(𝟐. 𝟓𝟕)

yang dapat dibuktikan dengan menggunakan formula Rodrigues. 23

Adapun fungsi pembangkit dari polynomial Laguerre asosiasi diberikan oleh persamaan : ∞

𝑒 −𝑥ℎ/(1−ℎ) 𝑛 ( ) 𝐺 𝑥, ℎ = = ∑ 𝐿𝑚 𝑛 (𝑥 )ℎ (1 − ℎ)𝑚+1

(𝟐. 𝟓𝟖)

𝑛=0

yang didapatkan dengan menurunkan fungsi pembangkit polynomial Laguerre biasa sebanyak 𝑚 kali terhadap 𝑥 dan menggunakan persamaan (𝟐. 𝟓𝟒). Dari persamaan fungsi pembangkit polynomial Laguerre asosisasi tersebut dapat diturunkan hubungan rekursif : 𝑚 𝑚 (𝑛 + 1)𝐿𝑚 𝑛+1 (𝑥 ) = (2𝑛 + 𝑚 + 1 − 𝑥 )𝐿𝑛 (𝑥 ) − (𝑛 + 𝑚 )𝐿𝑛−1 (𝑥 ) 𝑚 ′ 𝑚 𝑥(𝐿𝑚 𝑛 ) (𝑥 ) = 𝑛𝐿𝑛 (𝑥 ) − (𝑛 − 𝑚 )𝐿𝑛−1 (𝑥 )

(𝟐. 𝟓𝟗) (𝟐. 𝟔𝟎)

2.5 Persamaan Diferensial Chebyshev 2.5.1 Persamaan Umum dan Solusi Umum Persamaan Chebysehev memiliki bentuk umum : (1 − 𝑥 2 )𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑣 2 𝑦 = 0

(𝟐. 𝟔𝟏)

dengan titik singularitas di 𝑥 = −1, 1, ∞. Solusi dari persamaan diferensial ini disebut sebagai fungsi Chebyshev. 𝑚 Solusi umumnya didapatkan melalui solusi deret 𝑦 = ∑∞ 𝑚=0 𝑎𝑚 𝑥 dimana dengan substitusi 𝑥 =

cos 𝜃 persamaan Chebyshev (dengan 𝑣 = 𝑛) menjadi : 𝑑2𝑦 + 𝑛2𝑦 = 0 𝑑𝜃 2 Membentuk persamaan osilasi harmonik dengan solusi cos 𝑛𝜃 dan sin 𝑛𝜃. Hal ini membuat solusi linear dari persamaan Chebyshev menjadi : 𝑇𝑛 (𝑥) = cos(𝑛 cos −1 𝑥)

dan

𝑈𝑛 (𝑥) = sin(𝑛 cos −1 𝑥)

(𝟐. 𝟔𝟐)

Dengan 𝑇𝑛 (𝑥) adalah polynomial sementara 𝑈𝑛 (𝑥 ) bukan polynomial. Hal ini dapat ditunjukkan dengan mencari bentuk ekspansi dari perpaduan kedua fungsi tersebut. Bentuk superposisi dalam bentuk kompleksnya memberikan : 24

𝑇𝑛 (𝑥) + 𝑖𝑈𝑛 (𝑥 ) = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = (𝑥 + 𝑖 √1 − 𝑥 2 )

𝑛

Dimana |𝑥 | ≤ 1. Dengan konsep ekspansi binomial : 𝑛

𝑛 (𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑚 𝑏𝑚 𝑚 𝑛

(𝟐. 𝟔𝟑)

𝑚=0

Bentuk superposisi kompleksnya didapatkan : 𝑛

𝑛 𝑇𝑛 (𝑥) + 𝑖𝑈𝑛 (𝑥) = ∑ ( ) 𝑥 𝑛−𝑚 (1 − 𝑥 2 )𝑚/2 𝑚 𝑚=0

Atau dalam bentuk ekspansinya : 𝑛 𝑛 𝑇𝑛 (𝑥 ) = 𝑥 𝑛 − ( ) 𝑥 𝑛−2 (1 − 𝑥 2 ) + ( ) 𝑥 𝑛−4 (1 − 𝑥 2 )2 − ⋯ 2 4 𝑛 𝑛 𝑛 𝑈𝑛 (𝑥 ) = √1 − 𝑥 2 [( ) 𝑥 𝑛−1 − ( ) 𝑥 𝑛−3 (1 − 𝑥 2 ) + ( ) 𝑥 𝑛−5 (1 − 𝑥 2 )2 − ⋯ ] 1 3 5

(𝟐. 𝟔𝟒) (𝟐. 𝟔𝟓)

𝑛!

𝑛 )= Dimana (𝑚 adalah koefisien binomial, 𝑇𝑛 (𝑥) bentuk pertama polynomial Chebyshev, 𝑚!(𝑛−𝑚)!

dan 𝑈𝑛 (𝑥) bentuk kedua polynomial Chebyshev. Beberapa nilai awal untuk polynomial Chebyshev bentuk pertama : 𝑇0 (𝑥 ) = 1 ;

𝑇1 (𝑥 ) = 𝑥 ;

𝑇2 (𝑥 ) = 2𝑥 2 − 1 ;

𝑇3 = (𝑥)4𝑥 3 − 3𝑥

25

Gambar 2.4 Beberapa nilai awal polynomial Chebyshev bentuk pertama Sedang beberapa nilai awal untuk polynomial Chebyshev bentuk kedua : 𝑈0 (𝑥 ) = 1 ;

𝑈1 (𝑥 ) = 2𝑥 ;

𝑈2 (𝑥 ) = 4𝑥 2 − 1 ;

𝑈3 (𝑥 ) = 8𝑥 3 − 4𝑥

Gambar 2.4 Beberapa nilai awal polynomial Chebyshev bentuk kedua Bentuk lain didapatkan saat mensubstitusikan 𝑥 = cos 𝜃, maka 𝑇𝑛 (𝑥 ) = cos 𝑛𝜃. Dari persamaan euler : 𝑒 𝑖𝑛𝜃 + 𝑒 −𝑖𝑛𝜃 = 2 cos 𝑛𝜃 1

1

Sehingga 𝑇𝑛 (𝑥) = 2 (𝑒 𝑖𝑛𝜃 + 𝑒 −𝑖𝑛𝜃 ) = 2 {(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 )𝑛 + (cos 𝜃 − 𝑖 sin 𝜃 )𝑛 }

26

atau 𝑇𝑛 (𝑥 ) =

𝑛 𝑛 1 {(𝑥 + 𝑖 √1 − 𝑥 2 ) + (𝑥 − 𝑖 √1 − 𝑥 2 ) } 2

Dengan teorema binomial : (𝑥 ± 𝑖 √1 −

𝑥 2)

𝑛

𝑛

= ∑ 𝐶𝑟𝑛 𝑥 𝑛−𝑟 (±𝑖 √1 − 𝑥 2 )

𝑟

𝑟=0

sehingga

𝑛

𝑛

𝑟=0

𝑟=0

𝑟 𝑟 1 𝑇𝑛 (𝑥 ) = {∑ 𝐶𝑟𝑛 𝑥 𝑛−𝑟 (+𝑖√1 − 𝑥 2 ) + ∑ 𝐶𝑟𝑛 𝑥 𝑛−𝑟 (−𝑖√1 − 𝑥 2 ) } 2 𝑛

=

1 ∑ 𝐶𝑟𝑛 𝑥 𝑛−𝑟 (𝑖)𝑟 (1 − 𝑥 2 )𝑟/2 {1 + (−1)𝑟 } 2 𝑟=0

Hanya berlaku untuk 𝑟 genap, sehingga : 𝑛

𝑇𝑛 (𝑥) = ∑ 𝐶𝑟𝑛 𝑥 𝑛−𝑟 (𝑖)𝑟 (1 − 𝑥 2 )𝑟/2 𝑟=0

Dengan memisalkan 𝑟 = 2𝑠 𝑛/2 𝑛 𝑛−2𝑠 𝑇𝑛 (𝑥 ) = ∑ 𝐶2𝑠 𝑥 (𝑖)2𝑠 (1 − 𝑥 2 )𝑠 𝑠=0

Sehingga solusi pertama dalam bentuk polynomial: 𝑛/2 𝑛 𝑛−2𝑟 𝑇𝑛 (𝑥 ) = ∑ 𝐶2𝑟 𝑥 (−1)𝑟 (1 − 𝑥 2 )𝑟

(𝟐. 𝟔𝟔)

𝑟=0

Dengan melakukan langkah serupa, solusi kedua dalam bentuk polynomial adalah : (𝑛−1)/2 1

𝑛 𝑈𝑛 (𝑥 ) = ∑ 𝐶2𝑟+1 𝑥 𝑛−2𝑟−1 (−1)𝑟 (1 − 𝑥 2 )𝑟+2

(𝟐. 𝟔𝟕)

𝑟=0

27

2.5.2 Sifat-sifat Polynomial Chebyshev Polynomial Cheyshev dapat dituliskan dalam bentuk formula Rodrigues : 1

1 (−1)𝑛 √𝜋(1 − 𝑥 2 )2 𝑑 𝑛 2 )𝑛−2 ( ) ( 𝑇𝑛 𝑥 = 1 − 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑛 2𝑛 (𝑛 − 2) ! 1 (−1)𝑛 √𝜋(𝑛 + 1) 𝑑𝑛 2 )𝑛+2 ( 𝑈𝑛 (𝑥 ) = 1 − 𝑥 1 1 𝑑𝑥 𝑛 2𝑛 (𝑛 + 2) ! (1 − 𝑥 2 )2

(𝟐. 𝟔𝟖)

(𝟐. 𝟔𝟗)

Sementara sifat orthogonalitasnya memenuhi persamaan : 0 𝜋 ∫ 𝑇𝑛 (𝑥)𝑇𝑚 (𝑥 )(1 − 𝑥 2 )−1/2 𝑑𝑥 = {𝜋 −1 2 1

;𝑛 ≠ 𝑚 ;𝑛 = 𝑚 = 0

(𝟐. 𝟕𝟎)

; 𝑛=𝑚≠0

Hasil ini didapatkan dengan subtitusi 𝑇𝑛 (𝑥 ) = cos 𝑛𝜃 dan 𝑇𝑚 (𝑥 ) = cos 𝑚𝜃 pada persamaan orthogonalitas. Dengan memisalkan 𝑥 = cos 𝜃, 𝑑𝑥 = − sin 𝜃 𝑑𝜃 kita dapatkan : 𝜋

∫ cos 𝑛𝜃 cos 𝑚𝜃 𝑑𝜃 0

Dengan identitas trigonometry : 1 cos 𝑛𝜃 cos 𝑚𝜃 = (cos(𝑛 + 𝑚)𝜃 + cos(𝑛 − 𝑚)𝜃) 2 Sehingga 1 𝜋 ∫ (cos(𝑛 + 𝑚)𝜃 + cos(𝑛 − 𝑚)𝜃) 𝑑𝜃 2 0 Dimna saat 𝑚 = 𝑛 ≠ 0 didapatkan : 1

∫ 𝑇𝑛 (𝑥 )𝑇𝑚 (𝑥)(1 − 𝑥

2 )−1/2

−1

1 𝜋 1 1 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 = ∫ (cos 2𝑛𝜃 + 1) 𝑑𝜃 = ([ sin 2𝑛𝜃] + 𝜋) = 0 2 0 2 2n 2

Dan saat = 𝑚 = 0 : 1

𝜋

∫ 𝑇𝑛 (𝑥)𝑇𝑚 (𝑥)(1 − 𝑥 2 )−1/2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜃 = 𝜋 −1

0

28

Sementara saat ≠ 𝑛 : 1

1 1 1 𝜋 𝜋 ∫ 𝑇𝑛 (𝑥)𝑇𝑚 (𝑥 )(1 − 𝑥 2 )−1/2 𝑑𝑥 = ([ sin(𝑛 + 𝑚)𝜃] + [ sin(𝑛 − 𝑚)𝜃] ) = 0 0 0 2 𝑛+𝑚 𝑛−𝑚 −1 Sifat lain yang penting diketahui adalah fungsi pembangkit polynomial Chebyshev. Bentuk umunya adalah : ∞

1 − 𝑥ℎ 𝐺1 (𝑥, ℎ) = = ∑ 𝑇𝑛 (𝑥 )ℎ𝑛 1 − 2𝑥ℎ + ℎ2

(𝟐. 𝟕𝟏)

𝑛=0 ∞

1 𝐺2 (𝑥, ℎ) = = ∑ 𝑈𝑛 (𝑥 )ℎ𝑛 1 − 2𝑥ℎ + ℎ2

(𝟐. 𝟕𝟐)

𝑛=0

yang dapat diturunkan untuk mendapatkan bentuk lain persamaan polynomial : 𝑛 2

𝑇𝑛 (𝑥 ) =

(𝑛 − 𝑚 − 1 )! 𝑛 (2𝑥 )𝑛−2𝑚 ∑ (−1)𝑚 2 𝑚! (𝑛 − 2𝑚)!

(𝟐. 𝟕𝟑)

𝑚=0 𝑛 2

𝑈𝑛 (𝑥 ) = ∑ (−1)𝑚 𝑚=0

(𝑛 − 𝑚 )! (2𝑥 )𝑛−2𝑚 𝑚! (𝑛 − 2𝑚)!

(𝟐. 𝟕𝟒)

Sementara hubungan rekursif dapat diporeleh dari : 𝑇𝑛 (𝑥 ) = 𝑇𝑛 (cos 𝜃) = cos 𝑛𝜃 𝑈𝑛 (𝑥) = 𝑈𝑛 (cos 𝜃) =

sin(𝑛 + 1) 𝜃 sin 𝜃

29

3. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan yang menghubungkan fungsi tidak diketahui (variabel bergantung) dari dua atau lebih variabel terhadap turunan parsial dengan mengacu pada variabel tersebut. Variabel tidak bergantung yang paling sering dijumpai adalah posisi dan waktu.

3.1 Persamaan Diferensial Parsial Secara Umum Kebanyakan PDP pada gejala fisis merupakan orde kedua dan linear. Untuk mendapat kesan terhadap bentuk umumnya, berikut diperkenalkan beberapa bentuk PDP dalam sistem fisis. Persamaan gelombang, ∇2 𝑢 =

1 𝜕2𝑢 𝑐 2 𝜕𝑡 2

(𝟑. 𝟏)

Mendeskripsikan fungsi posisi dan waktu perpindahan dari titik kesetimbangan 𝑢(𝐫, 𝑡), dari tali atau membran bergetar, gas atau cairan. Persamaannya juga muncul pada elektromagnetik, dimana 𝑢 dapat merupaan medan listrik atau medan magnet dalam gelombang elektromagnetik atau arus maupun tegangan sepanjang garis transmisi. Nilai 𝑐 merupakan kecepatan rambat gelombang. Persamaan difusi, 𝜅∇2 𝑢 =

𝜕𝑢 𝜕𝑡

(𝟑. 𝟐)

Mendeskripsikan temperature 𝑢 pada suatu wilayah tanpa mengandung sumber panas. Persamaan ini juga berlaku untuk difsui kimia dengan konsentrasi 𝑢(𝐫, 𝑡). Konstanta 𝜅 disebut difusifitas. Persamaannya jeas terlihat terdiri dari tiga variabel spasial berorde dua dan satu variabel waktu berorde satu. Persamaan Laplace, 𝜅∇2 𝑢 = 0

(𝟑. 𝟑)

Didapatkan dengan pada kondisi 𝜕𝑢/𝜕𝑡 = 0 pada persamaan difusi, dan mendeskripsikan, misalnya, distribusi temperature steady-state pada sebuah padatan dimana tidak ada sumber panas. Persamaan Laplace juga dapat digunakan dalam mendeskripsikan potensial gravitasi pada wilayah tidak ada benda atau potensial listrik pada wilayah tidak adanya muatan. Lebih jauh, aplikasinya dapat diterapkan pada fluida tidak tertekan dengan tidak ada sumber. Persamaan Poisson, 𝜅∇2 𝑢 = 𝜌(𝐫)

(𝟑. 𝟒)

30

juga mendeskripsikan situasi fisis sama dengan persamaan Laplace, namun pada wilayah mengandung benda, muatan, atau sumber panas atau cairan. Fungsi 𝜌(𝐫) disebut rapat sumber dan pada aplikasi fisis biasanya mengandung konstanta fisis. Misalnya, jika 𝑢 adalah potensial listrik pada suatu daerah dalam ruang, dimana 𝜌 adalah rapat muatan listrik, maka ∇2 𝑢 = −𝜌(𝐫)/𝜖0 , dengan 𝜖0 permitivitas ruang hampa. Persamaan Schrodinger, ℏ2 2 𝜕𝑢 − ∇ 𝑢 + 𝑉 (𝐫)𝑢 = 𝑖ℏ 2𝑚 𝜕𝑡

(𝟑. 𝟓)

Mendeskripsikan fungsi mekanika kuantum 𝑢(𝐫, 𝑡) dari partikel non-relaivistik bermassa 𝑚, ℏ adalah konstanta Planck dibagi 2𝜋. Seperti persamaan difusi, bentuknya juga berorde dua dalam tiga variabel spasial dan berorde satu dalam waktu.

3.2 Separasi Variabel Misalkan kita mencari solusi 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) untuk persamaan diferensial parsial dalam kordinat Kartesian. Bentuk awalnya dapat dimisalkan dalam bentuk 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥 )𝑌(𝑦)𝑍(𝑧)𝑇(𝑡)

(𝟑. 𝟔)

Solusi dengan bentuk seperti ini dikatakan terpisah dengan variabel 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝑡, dan mencari solusinya disebot motode separasi variabel. Untuk persamaan diferensial parsial secara umum, kelihatannya sulit mendapatkan solusi terpisah. Namun untuk beberapa persamaan umum dan persamaan fisis, memiliki solusi dengan bentuk ini. Untuk menjabarkan lebih jauh, dapat ditinjau persamaan gelombang dalam tiga dimensi ∇2 𝑢 (𝐫) =

1 𝜕 2 𝑢 (𝐫) 𝑐 2 𝜕𝑡 2

(𝟑. 𝟕)

yang dalam kordinat Kartesian 𝜕2𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 1 𝜕2𝑢 + + = 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2

(𝟑. 𝟖)

dengan substitusi persamaan (3.6) didapatkan 𝑑2 𝑋 𝑑2𝑌 𝑑2𝑍 1 𝑑2𝑇 𝑌𝑍𝑇 + 𝑋 𝑍𝑇 + 𝑋𝑌 𝑇 = 𝑋𝑌𝑍 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 𝑐2 𝑑𝑡 2

(𝟑. 𝟗)

dan lebih mudah dilihat dengan notasi 𝑋 ′′ 𝑌𝑍𝑇 + 𝑋𝑌 ′′ 𝑍𝑇 + 𝑋𝑌𝑍 ′′ 𝑇 =

1 𝑋𝑌𝑍𝑇 ′′ 𝑐2

(𝟑. 𝟏𝟎)

Melakukan pembahian persamaan tersebut dengan 𝑢 = 𝑋𝑌𝑍𝑇, maka didapatkan bentuk 31

𝑋 ′′ 𝑌 ′′ 𝑍 ′′ 1 𝑇 ′′ + + = 2 𝑋 𝑌 𝑍 𝑐 𝑇

(𝟑. 𝟏𝟏)

Bentuk ini merupakan dasar dari metoda separasi variabel. Bagian pertama hanya bergantung pada 𝑥, bagian kedua pada 𝑦, bagian ketiga pada 𝑧, serta bagian sisi kanan persamaan hanya bergantung pada 𝑡. Persamaan (3.7) dapat dipenuhi untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝑡 jika setiap bagian tidak bergantung terhadap variabel bebas namun haruslah sebuah konstanta. Untuk mengilustrasikan pemisalan, dipilih −𝑙 2 , −𝑚2 , −𝑛2 untuk tiga konstanta pertama. Konstanta yang berhubungan dengan sisi sebelah kanan persamaan haruslah memenuhi −𝜇2 = −(𝑙 2 + 𝑚2 + 𝑛2 ). Penjabaran ini kemudian membuat persamaan (3.7) dapat dituliskan dalam empat persamaan diferensial biasa 𝑋 ′′ 𝑌 ′′ 𝑍 ′′ 1 𝑇 ′′ = −𝑙 2 , = −𝑚2 , = −𝑛2 , 2 = −𝜇2 𝑋 𝑌 𝑍 𝑐 𝑇

(𝟑. 𝟏𝟐)

Penyederhanaan ini merupakan alat untuk mengasumsikan sebuah solusi terpisah, PDP memiliki turunan terhadap empat variabel bebas dalam satu persamaan, telah direduksi menjadi empat PDB terpisah. Persamaannya dihubungkan dengan empat parameter konstan yang memenuhi ungkapan aljabar. Konstanta ini disebut juga konstanta separasi. Solusi umum dari persamaan (3.8) kemudian dapat langsung dideduksi 𝑋 (𝑥 ) = 𝐴𝑒 𝑖𝑙𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑙𝑥 𝑌 (𝑦) = 𝐶𝑒 𝑖𝑚𝑦 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑚𝑦 𝑍 (𝑧) = 𝐸𝑒 𝑖𝑛𝑧 + 𝐹𝑒 −𝑖𝑛𝑧 𝑇(𝑡) = 𝐺𝑒 𝑖𝑐𝜇𝑡 + 𝐻𝑒 −𝑖𝑐𝜇𝑡

(𝟑. 𝟏𝟑)

dengan 𝐴, 𝐵, … , 𝐻 adalah konstanta, diperoleh dengan menggunakan syarat batas dari suatu solusi. Bentuk alternatif solusinya dapat pula dituliskan 𝑋(𝑥 ) = 𝐴′ cos 𝑙𝑥 + 𝐵′ sin 𝑙𝑥 𝑌(𝑦) = 𝐶 ′ cos 𝑚𝑦 + 𝐷′ sin 𝑚𝑦 𝑍(𝑧) = 𝐸 ′ cos 𝑛𝑧 + 𝐹 ′ sin 𝑛𝑧 𝑇(𝑡) = 𝐺 ′ cos(𝑐𝜇𝑡) + 𝐻′ sin(𝑐𝜇𝑡)

(𝟑. 𝟏𝟒)

dimana 𝐴′ , 𝐵′ , … , 𝐻′ merupakan konstanta lain. Pemilihan bentuk dalam merepresentasikan solusi bergantung pada permasalahannya. Sebagai gambaran, dengan memasukkan syarat batas misalnya, didapatkan solusi 𝑋(𝑥 ) = 𝑒 𝑖𝑙𝑥 𝑍(𝑧) = 𝑒 𝑖𝑛𝑧

𝑌 (𝑦) = 𝑒 𝑖𝑚𝑦 𝑇(𝑡) = 𝑒 −𝑖𝑐𝜇𝑡

hal ini memberikan solusi umum persamaan diferensial parsial (3.6) sebagai

32

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒 𝑖𝑙𝑥 𝑒 𝑖𝑚𝑦 𝑒 𝑖𝑛𝑦 𝑒 −𝑖𝑐𝜇𝑡 = 𝑒 𝑖(𝑙𝑥+𝑚𝑦+𝑛𝑦−𝑐𝜇𝑡) Dalam notasi konvensional teori gelombang, 𝑙, 𝑚, 𝑛 adalah komponen dari vektor gelombang 𝐤, dimana besarnya 𝑘 = 2𝜋/𝜆, dengan 𝜆 panjang gelombang. Adapun 𝑐𝜇 adalah frekuensi sudut 𝜔 dari gelombang. Sehingga, persamaannya dapat dituliskan 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦+𝑘𝑧 𝑧−𝜔𝑡) = 𝑒 𝑖(𝐤∙𝐫−𝜔𝑡) Metode separasi variabel ini dapat diaplikasikan untuk banyak PDP yang muncul pada fenomena fisis.

3.2 Superposisi Solusi Terpisah Saat persamaan diferesial parsial berbentuk linear (seperti persamaan Laplace, Schrodinger, difusi dan gelombang), solusi matematis dapat dibentuk dari prinsip superposisi untuk nilai berbeda setiap konstanta separasi. Mengambil dua variabel misalnya 𝑢𝜆𝑖 (𝑥, 𝑦) = 𝑋𝜆1 (𝑥 )𝑌𝜆1 (𝑦) merupakan solusi PDP dengan memberikan konstanta separasi variabel 𝜆1 , maka hasil superposisi 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 𝑋𝜆1 (𝑥 )𝑌𝜆1 (𝑦) + 𝑎2 𝑋𝜆2 (𝑥 )𝑌𝜆2 (𝑦) + ⋯ = ∑ 𝑎𝑖 𝑋𝜆𝑖 (𝑥 )𝑌𝜆𝑖 (𝑦)

(𝟑. 𝟏𝟓)

𝑖

juga merupakan solusi untuk setiap konstanta 𝑎𝑖 , dengan 𝜆𝑖 adalah nilai yang memenuhi konstanta separasi 𝜆, diberikan oleh syarat batas. Nilai dari superposisi merupakan hasil dari syarat batas, katakanlah 𝑢(𝑥, 𝑦) memiliki bentuk tertentu 𝑓(𝑥 ) pada 𝑦 = 0, dapat ditemukan dengan memilih konstanta 𝑎𝑖 sedemikian rupa 𝑓 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑖 𝑋𝜆𝑖 (𝑥)𝑌𝜆𝑖 (0) 𝑖

Secara umum, hal ini akan memungkinkan fungsi 𝑋𝜆𝑖 (𝑥 ) membentuk kumpulan fungsi, seperti halnya fungsi sinusoidal pada deret Fourier. Untuk menggambarkan penggunaan prinsip superposisi pada penyelesaian PDP, misalkan sebuah logam segi empat semi-takberhingga berada apada daerah 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞ dan 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏 pada bidang𝑥𝑦. Temperatur pada ujung jauh dari logam dan kedua sisi lainnya adalah 0°C.

33

Gambar 3.1 Semi-takberhingga plat logam dengan setiap sisi bertemperatur tetap

Saat temperatur dari logam di 𝑥 = 0 juga tetap dan diberikan oleh 𝑓 (𝑦), distribusi temperatur keadaan tunak 𝑢(𝑥, 𝑦) dari logam dapat dicari dengan menggunakan persamaan difusi 𝜅(

𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 + 2) = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑡

Namun karena kondisinya tunak, 𝜕𝑢/𝜕𝑡 = 0, membuat persamaannya direduksi menjadi persamaan Laplace 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 Menggunakan asumsi 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋 (𝑥)𝑌(𝑦), solusinya dapat dipenuhi oleh persamaan 𝑋(𝑥 ) = 𝐴𝑒 𝑖𝑙𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑙𝑥 ,

𝑌 (𝑦) = 𝐶𝑒 𝑖𝑚𝑦 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑚𝑦

atau 𝑋 (𝑥 ) = 𝐴′ cos 𝑙𝑥 + 𝐵′ sin 𝑙𝑥 ,

𝑌(𝑦) = 𝐶 ′ cos 𝑚𝑦 + 𝐷′ sin 𝑚𝑦

Pada kasus ini, persamaan haruslah memenuhi syarat batas 𝑢(𝑥, 0) = 0 = 𝑢(𝑥, 𝑏) dan terlihat solusi sinusoidal pada bagian 𝑦 cukup sesuai. Lebih jauh, karena syarat lain 𝑢(∞, 𝑦) = 0 maka solusi dari bagian 𝑥 dapat dipilih dalam bentuk eksponensial. Solusi terpisah dari kasus ini kemudian dapat dituliskan 𝑢(𝑥, 𝑦) = (𝐴𝑒 𝜆𝑥 + 𝐵−𝜆𝑥 )(𝐶 cos 𝜆𝑦 + 𝐷 sin 𝜆𝑦) Dengan menyesuaikan dengan syarat batas 𝑢(∞, 𝑦) = 0 mengharuskan 𝐴 = 0 jika diambil 𝜆 > 0. Selanjutnya, karena 𝑢(𝑥, 0) = 0 mengharuskan 𝐶 = 0. Dengan menyerap konstanta 𝐷 ke 𝐵, menyisakan

34

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐵𝑒 −𝜆𝑥 sin 𝜆𝑦 Namun dengan kondisi lain, 𝑢(𝑥, 𝑏) = 0, mengharuskan 𝜆 = 𝑛𝜋/𝑏, dengan 𝑛 bilangan bulat positif. Hal ini membuat terdapat 𝑛 buah solusi dari persamaan. Menggunakan prinsip superposisi, solusi umum untuk memenuhi syarat batas dapat dituliskan ∞

𝑛𝜋𝑥 𝑏

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝐵𝑛 𝑒 −

sin

𝑛=1

𝑛𝜋𝑦 𝑏

(𝟑. 𝟏𝟔)

untuk suatu konstanta 𝐵𝑛 . Bilangan bulat 𝑛 negatif tidak disertakan karena akan membuat solusinya divergen saat 𝑥 → ∞. Syarat batas tersisa adalah 𝑢(0, 𝑦) = 𝑓 (𝑦), dan mengharuskan konstanta 𝐵𝑛 memenuhi ∞

𝑓(𝑦) = ∑ 𝐵𝑛 sin 𝑛=1

𝑛𝜋𝑦 𝑏

Bentuk ini tidak lain adalah ekspansi deret Fourier untuk bagian sinus, sehingga konstanta 𝐵𝑛 dapat ditelusuri dengan 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐵𝑛 = ∫ 𝑓(𝑦) sin ( ) 𝑑𝑦 𝑏 0 𝑏 dengan 𝑓(𝑦) = 𝑢0 , maka 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝐵𝑛 = ∫ 𝑢0 sin ( ) 𝑑𝑦 𝑏 0 𝑏 2 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 = [−𝑢0 cos ( )] 𝑏 𝑛𝜋 𝑏 0 2𝑢0 [cos 𝑛𝜋 − 1] =− 𝑛𝜋 4𝑢0 2𝑢0 𝑛 [(−1) − 1] = { 𝑛𝜋 =− 𝑛𝜋 0

𝑛 ganjil 𝑛 genap

Dengan substitusi pada (3.12), didapatkan solusi akhirakhir 𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑛 ganjil

4𝑢0 −(𝑛𝜋𝑥) 𝑛𝜋𝑦 𝑒 𝑏 sin ( ) 𝑛𝜋 𝑏

3.3 Separasi Variabel pada Kordinat Polar Dalam banyak sistem fisis pada dua dan tiga dimensi secara alami diekspresikan dalam bentuk koordinat polar, dimana banyak keuntungan dapat diambil dari bentuk simetrinya. Hal tersebut menjadi alasan untuk menelaah separasi variabel pada koordinat bidang polar, silinder, dan bola. 35

Banyak PDP mengandung operator ∇2 , seperti di persamaan gelombang, persamaan difusi, persamaan Schrodinger dan persamaan Poisson. Pada pembahasan kalkulus vektor, bentuk operator ∇2 untuk koordinat bidang polar, silinder dan bola secara berurut diberikan oleh 1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 ∇ = (𝜌 ) + 2 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 2 1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 𝜕2 ∇2 = (𝜌 ) + 2 + 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 2 𝜕𝑧 2 1 𝜕 𝜕 1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 ∇2 = 2 (𝑟 2 ) + 2 (sin 𝜃 ) + 2 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 2 2

(𝟑. 𝟏𝟕) (𝟑. 𝟏𝟖) (𝟑. 𝟏𝟗)

Persamaan paling sederhana dengan ∇2 adalah persamaan Laplace, ∇ 2 𝑢 ( 𝒓) = 0

(𝟑. 𝟐𝟎)

Dari penjabaran persamaan ini dapat diperoleh penjabaran untuk bentuk persamaan lain yang lebih kompleks. 3.3.1 Persamaan Laplace di Bidang Polar Misalkan untuk mecari solusi (𝟑. 𝟐𝟎) pada lingakaran 𝜌 = 𝑎. Pencarian solusi akan mengarah pada variabel 𝜌 dan 𝜙 dengan mengakomodasi syarat batas di 𝜌 = 𝑎. Menuliskan 𝑢(𝜌, 𝜃) = 𝑃(𝜌)Φ(𝜙) dan menggunakan (𝟑. 𝟏𝟕) diperoleh Φ 𝜕 𝜕𝑃 𝑃 𝜕2Φ (𝜌 ) + 2 =0 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 2 mengalikan dengan 1/𝑃Φ dan 𝜌2 , 𝜌 𝜕 𝜕𝑃 1 𝜕2Φ (𝜌 ) + =0 𝑃 𝜕𝜌 𝜕𝜌 Φ 𝜕𝜙 2 membuat persamaannya dapat dipisah menjadi dua bentuk PDB 𝜌 𝜕 𝜕𝑃 (𝜌 ) = 𝑛2 𝑃 𝜕𝜌 𝜕𝜌 1 𝜕2Φ = −𝑛2 Φ 𝜕𝜙 2

(𝟑. 𝟐𝟏) (𝟑. 𝟐𝟐)

dengan 𝑛2 adalah konstanta pemisah. Secara umum nilai 𝑛 ini adalah suatu bilangan (bisa dalam bentuk kompleks).

36

Pertama, untuk 𝑛 ≠ 0, persamaan (𝟑. 𝟐𝟐) memiliki bentuk umum Φ(𝜙) = 𝐴𝑒 𝑖𝑛𝜙 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑛𝜙

(𝟑. 𝟐𝟑)

Sementara persamaan (𝟑. 𝟐𝟏) berbentuk persamaan homogeny 𝜌2 𝑃′′ + 𝜌𝑃′ − 𝑛2 𝑃 = 0 yang dapat diselesaikan dengan menggunakan deret pangkat 𝜌, atau dapat juga dengan substitusi 𝜌 = 𝑒 𝑡 untuk mendapatkan 𝑃 (𝜌) = 𝐶𝜌𝑛 + 𝐷𝜌−𝑛

(𝟑. 𝟐𝟒)

Substitusi ulang (𝟑. 𝟐𝟑) dari persamaan azimuthal (𝟑. 𝟐𝟐), dapat dilihat bahwa jika 𝚽, dan kemudian 𝑢, memilliki nilai tunggal dan tidaklah berubah ketika 𝜙 meningkat 2𝜋 maka 𝑛 haruslah bilangan bulat. Secara matematis, nilai lain dari 𝑛 memungkinkan, namun ini tidaklah mendeskripsikan situasi fisis yang ril. Dari hasil ini, diperoleh solusidari persamaan Laplace dua dimensi 𝑢(𝜌, 𝜙) = (𝐴 cos 𝑛𝜙 + 𝐵 sin 𝑛𝜙)(𝐶𝜌𝑛 + 𝐷𝜌−𝑛 ) dengan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 adalah suatu konstanta dan 𝑛 adalah bilangan bulat. Ketika 𝑛 = 0 solusi (𝟑. 𝟐𝟏) dan (𝟑. 𝟐𝟐) adalah Φ(𝜙) = 𝐴𝜙 + 𝐵 𝑃(𝜌) = 𝐶 ln 𝜌 + 𝐷 Namun, agar 𝑢 = 𝑃Φ bernilai tunggal, kita perlukan 𝐴 = 0, sehingga solusi untuk 𝑛 = 0 adalah 𝑢(𝜌, 𝜙) = 𝐶 ln 𝜌 + 𝐷 . Melakukan superposisi terhadap solusi untuk nilai 𝑛 berbeda-beda, solusi umum persamaan Laplace pada bidang polar adalah ∞

𝑢(𝜌, 𝜙) = (𝐶0 ln 𝜌 + 𝐷0 ) + ∑ (𝐴𝑛 cos 𝑛𝜙 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜙)(𝐶𝑛 𝜌𝑛 + 𝐷𝑛 𝜌−𝑛 )

(𝟑. 𝟐𝟓)

𝑛=1

untuk 𝑛 bentuknya bilangan bulat. Nilai 𝑛 negatif telah lingkupi oleh nilai 𝑛 positif. Karena ln 𝜌 singular di 𝜌 = 0, saat menyelesaikan persamaan Laplace pada daerah dengan titik awal, 𝐶0 haruslah nol.

37

3.3.2 Persamaan Laplace pada Silinder Dalam koordinat silinder, persamaan Laplace secara umum berbentuk 1 𝜕 𝜕𝑢 1 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 (𝜌 ) + 2 + = 0. 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 2 𝜕𝑧 2

(𝟑. 𝟐𝟔)

Seperti sebelumnya, solusinya dapat dimisalkan 𝑢(𝜌, 𝜙, 𝑧) = 𝑃 (𝜌)Φ(𝜙)𝑍(𝑧) dimana saat disubstitusi ke (𝟑. 𝟐𝟔) dan melakukan pembagian terhadap 𝑢 = 𝑃Φ𝑍 memberikan 1 𝑑 𝑑𝑃 1 𝑑2Φ 1 𝑑2𝑍 (𝜌 ) + + =0. 𝑃𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜌 Φ𝜌2 𝑑𝜙 2 𝑍 𝑑𝑧 2 Bagian terakhir hanya bergantung terhadap 𝑧, sementara bagian pertama dan kedua secara berurut bergantung pada 𝜌 dan 𝜙. Mengambil konstanta separasi 𝑘 2 , diperoleh 1 𝑑2𝑍 = 𝑘 2, 𝑍 𝑑𝑧 2 1 𝑑 𝑑𝑃 1 𝑑2Φ (𝜌 ) + + 𝑘2 = 0 . 𝑃𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜌 Φ𝜌2 𝑑𝜙 2 Persamaan pertama memiliki solusi 𝑍(𝑧) = 𝐸𝑒 −𝑘𝑧 + 𝐹𝑒 𝑘𝑧 . Mengalikan persamaan kedua dengan 𝜌2 , diperoleh 𝜌 𝑑 𝑑𝑃 1 𝑑2Φ (𝜌 ) + + 𝑘 2 𝜌2 = 0, 𝑃 𝑑𝜌 𝑑𝜌 Φ 𝑑𝜙 2 dengan bagian keduanya hanya bergantung pada Φ sementara bagian lain bergantung pada 𝜌. Mengambil konsanta separasi 𝑚2 , didapatkan 1 𝑑2Φ = −𝑚2 , Φ 𝑑𝜙 2 𝜌

(𝟑. 𝟐𝟕)

𝑑 𝑑𝑃 (𝜌 ) + (𝑘 2 𝜌2 − 𝑚2 )𝑃 = 0 𝑑𝜌 𝑑𝜌

(𝟑. 𝟐𝟖)

38

Persamaan pada sudut azimuth 𝜙 memiliki solusi yang tidak asing lagi Φ(𝜙) = 𝐶 cos 𝑚𝜙 + 𝐷 sin 𝑚𝜙 Sama halnya pada dua dimensi, sifat nilai tunggal dari 𝑢 membuat 𝑚 haruslah suatu bilangan bulat. Namun saat 𝑚 = 0, solusinya memberikan Φ(𝜙) = 𝐶𝜙 + 𝐷 . Bentuk ini sesuai untuk sebuah solusi dengan simetri aksial (𝐶 = 0) atau sebuah nilai banyak, seperti potensial skalar magnet diasosiasikan dengan arus 𝐼. Terakhir, persamaan dengan 𝜌, (𝟑. 𝟐𝟖), bisa ditransformasikan ke dalam persamaan Bessel berorde 𝑚 dengan menuliskan 𝜇 = 𝑘𝜌. Hal ini memberikan solusi 𝑃(𝜌) = 𝐴𝐽𝑚 (𝑘𝜌) + 𝐵𝑌𝑚 (𝑘𝜌) . Dari pembahasan persamaan Bessel, 𝑌𝑚 (𝑘𝜌) singular pada 𝜌 = 0, sehingga saat mencari solusi persamaan Laplace pada koordinat silinder dalam suatu daerah dengan 𝜌 = 0, nila 𝐵 = 0. Solusi separasi variabel keseluruhan untuk persamaan Laplace ∇2 𝑢 = 0 pada silinder dapat dituliskan 𝑢(𝜌, 𝜙, 𝑧) = [𝐴𝐽𝑚 (𝑘𝜌) + 𝐵𝐽𝑚 (𝑘𝜌)][𝐶 cos 𝑚𝜙 + 𝐷 sin 𝑚𝜙][𝐸𝑒 −𝑘𝑧 + 𝐹𝑒 𝑘𝑧 ].

(𝟑. 𝟐𝟗)

Prinsip superposisi dapat diterapkan untuk membangun solusi lebih umum dengan menambahkannya bersama dengan solusi (𝟑. 𝟐𝟗) untuk nilai memungkinkan dari konstanta separasi 𝑘 dan 𝑚. 3.3.3 Persamaan Laplace pada Bola Dalam koordinat bola, persamaan Laplace, ∇2 = 0, memiliki bentuk 1 𝜕 2 𝜕𝑢 1 𝜕 𝜕𝑢 1 𝜕 2𝑢 (𝑟 )+ 2 (sin 𝜃 ) + 2 2 =0 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 2

(𝟑. 𝟑𝟎)

yang merupakan persamaan dengan aplikasi luas dalam fisika. Sulusinya dimisalkan 𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅 (𝑟)Θ(𝜃)Φ(𝜙) . Substitusi ke persamaan (𝟑. 𝟑𝟎) dan dibagi dengan 𝑢 = 𝑅ΘΦ, kemudian mengalikannya dengan 𝑟 2 , diperoleh 1 𝑑 2 𝜕𝑅 1 𝜕 𝜕Θ 1 𝜕2Φ (𝑟 )+ (sin 𝜃 ) + =0. 𝑅 𝑑𝑟 𝜕𝑟 Θ sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 Φ sin2 𝜃 𝜕𝜙 2

(𝟑. 𝟑𝟏)

Bagian pertama bergantung hanya pada 𝑟, sementara bagian kedua dan ketiga, secara berurutan, bergantung pada 𝜃 dan 𝜙. Sehingga persamaan (𝟑. 𝟑𝟏) akan ekuivalen dengan dua persamaan

39

1 𝑑 2 𝜕𝑅 (𝑟 )=𝜆, 𝑅 𝑑𝑟 𝜕𝑟

(𝟑. 𝟑𝟐)

1 𝜕 𝜕Θ 1 𝜕2Φ (sin 𝜃 ) + = −𝜆 . Θ sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 Φ sin2 𝜃 𝜕𝜙 2

(𝟑. 𝟑𝟑)

Persamaan (𝟑. 𝟑𝟐) merupakan persamaan homogen, 𝑑2𝑅 𝑑𝑅 𝑟 + 2𝑟 − 𝜆𝑅 = 0 , 𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 2

yang dapat direduksi dengan substitusi 𝑟 = 𝑒 𝑡 (menuliskan 𝑅(𝑡) = 𝑆(𝑡)) menghasilkan 𝑑 2 𝑆 𝑑𝑆 + − 𝜆𝑆 = 0 . 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Persamaan ini memberikan persamaan 𝑆 (𝑡) = 𝐴𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝐵𝑒 𝜆2 𝑡 , serta solusi untuk persamaan radial 𝑅(𝑟) = 𝐴𝑟 𝜆1 + 𝐵𝑟 𝜆2 , dengan 𝜆1 + 𝜆2 = −1 dan 𝜆1 𝜆2 = −𝜆. Dapat pula diambil 𝜆1 dan 𝜆2 sebagai 𝑙 dan −(𝑙 + 1), memberikan 𝜆 bentuk 𝑙 (𝑙 + 1). Sampai disini, telah diperoleh informasi dari solusi faktor pertama dari keseluruhan solusi, dimana bentuknya 𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [𝐴𝑟 𝑙 + 𝐵𝑟 −(𝑙+1) ]Θ(𝜃)Φ(𝜙) ,

(𝟑. 𝟑𝟒)

dengan Θ dan Φ harus sesuai dengan (𝟑. 𝟑𝟑) dengan 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1), sehingga 1 𝜕 𝜕Θ 1 𝜕2Φ (sin 𝜃 ) + = −𝑙 (𝑙 + 1) . Θ sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 Φ sin2 𝜃 𝜕𝜙 2 Kalikan dengan sin2 𝜃 serta melakukan pengurutan ulang diperoleh [

sin 𝜃 𝑑 𝜕Θ 1 𝜕2Φ (sin 𝜃 ) + 𝑙 (𝑙 + 1) sin2 𝜃] + =0. Θ 𝑑𝜃 𝜕𝜃 Φ 𝜕𝜙 2

(𝟑. 𝟑𝟓)

Mengambil konstanta pemisah 𝑚2 , persamaan dalam sudut azimut 𝜙 memiliki solusi yang sama untuk solusi dalam bentuk silinder, yaitu Φ(𝜙) = 𝐶 cos 𝑚𝜃 + 𝐷 sin 𝑚𝜃 . Ketunggalan nilai dari 𝑢 membuat nilai 𝑚 haruslah bilangan bulat. Untuk 𝑚 = 0, didapatkan Φ(𝜙) = 𝐶𝜙 + 𝐷. Sekarang tersisa persamaan dengan variabel Θ(𝜃), dimana 40

sin 𝜃 𝑑 𝑑Θ (sin 𝜃 ) + 𝑙 (𝑙 + 1) sin2 𝜃 = 𝑚2 . Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃

(𝟑. 𝟑𝟔)

Perubahan variabel bebas dari 𝜃 menjadi 𝜇 = cos 𝜃, sin 𝜃 = (1 − 𝜇2 )1/2 membuat persamaan ini tereduksi ke bentuk khusus. Memberikan 𝑑𝜇 = − sin 𝜃 , 𝑑𝜃

𝜇 = cos 𝜃 ,

𝑑 𝑑 = −(1 − 𝜇2 )1/2 , 𝑑𝜃 𝑑𝜇

persamaan untuk 𝑀(𝜇) ≡ Θ(𝜃) dapat dituliskan 𝑑 𝑑𝑀 𝑚2 ]𝑀 = 0 . [( 1 − 𝜇 2 ) ] + [𝑙(𝑙 + 1) − 𝑑𝜇 𝑑𝜇 1 − 𝜇2

(𝟑. 𝟑𝟔)

Persamaan khusus ini disebut persamaan Legendre asosiasi. Saat 𝑚 = 0, persamaan ini tereduksi menjadi persamaan Legendre dan memiliki solusi 𝑀(𝜇) = 𝐸𝑃𝑙 (𝜇) + 𝐹𝑄𝑙 (𝜇) .

(𝟑. 𝟑𝟕)

Solusinya diberikan oleh fungsi Legendre asosiasi 𝑃𝑙𝑚 (𝜇) dan 𝑄𝑙𝑚 (𝜇), dimana 𝑃𝑙𝑚 (𝜇)

= (1 − 𝜇

2 )|𝑚|/2

𝑑 |𝑚| 𝑚 𝑃 , 𝑑𝜇 |𝑚| 𝑙

(𝟑. 𝟑𝟖)

demikian juga untuk 𝑄𝑙𝑚 . Dari hasil ini kemudian diperoleh 𝑀(𝜇) = 𝐸𝑃𝑙𝑚 + 𝐹𝑄𝑙𝑚

(𝟑. 𝟑𝟗)

dengan 𝑚 haruslah bilangan bulat, 0 ≤ |𝑚| ≤ 𝑙. Perlu dicatat, jika solusi untuk persamaan Laplace terbatas saat 𝜇 = cos 𝜃 = ±1 (misalnya pada sumbu polar dimana 𝜃 = 0, 𝜋), mengharuskan konstanta 𝐹 = 0 pada (𝟑. 𝟑𝟕) dan (𝟑. 𝟑𝟗) karena 𝑄𝑙𝑚 divergen pada ±1. Dari penjabaran tersebut, solusi dari setiap tiga PDB yang terdiri dari 𝑅, Θ dan Φ telah didapatkan. Solusi total dari persamaan Laplace dengan separasi variabel pada koordinat bola kemudian memiliki bentuk 𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = (𝐴𝑟 𝑙 + 𝐵𝑟 −(𝑙+1) )(𝐶 cos 𝑚𝜙 + 𝐷𝜙)[𝐸𝑃𝑙𝑚 (cos 𝜃) + 𝐹𝑄𝑙𝑚 (cos 𝜃)],

(𝟑. 𝟒𝟎)

ketiga faktor di dalam kurung dihubungkan hanya dengan parameter 𝑙 dan 𝑚, 0 ≤ |𝑚| ≤ 𝑙. Sama seperti sebelumnya, solusi lebih umum dapat dilakukan dengan melakukan superposisi solusi ini untuk nilai yang memenuhi konstanta separas 𝑙 dan 𝑚.

41

4. FUNGSI KOMPLEKS 4.1 Fungsi Variabel Kompleks Suatu fungsi 𝑓 (𝑧) dikatakan fungsi variabel kompleks 𝑧 jika setiap nilai 𝑧 pada suatu daerah tertentu di 𝑅 (pada diagram Argand) memiliki satu atau lebih nilai 𝑓 (𝑧). Fungsi 𝑓(𝑧) dapat berupa fungsi yang terdiri dari bagian ril dan bagian imajiner, dimana secara umum merupakan fungsi 𝑥 dan 𝑦. 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

(𝟒. 𝟏)

Fungsi 𝑓 (𝑧) dengan nilai tunggal pada domain 𝑅 dapat didiferensialkan pada titik 𝑧 saat turunannya 𝑓(𝑧 + Δz) − 𝑓(𝑧) ] 𝑓 ′ (𝑧) = lim [ Δz→0 Δ𝑧

(𝟒. 𝟐)

ada dan unik. Hal ini berarti nilainya tidak bergantung pada arah di diagram Argand dimana Δ𝑧 menuju nol. Perhatikan fungsi 𝑓 (𝑧) = 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑖2𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 = 𝑧 2 . Dengan mencoba persamaan (𝟒. 𝟐), (𝑧 + Δ𝑧)2 − 𝑧 2 ] 𝑓 𝑧) = lim [ Δ𝑧→0 Δ𝑧 Δ𝑧(2𝑧 + Δ𝑧) ] = lim [ Δ𝑧→0 Δ𝑧 𝑓 ′ (𝑧) = 2𝑧 ′(

terlihat bahwa 𝑓 (𝑧) = 𝑧 2 terdiferensiasi untuk semua 𝑧 berhingga. Sebuah fungsi dengan nilai tunggal dan dapat didiferensialkan pada semua titik di domain 𝑅 dikatakan analitik di 𝑅. Suatu fungsi juga dapat memiliki satu atau lebih titik yang tidak analitik meski titik lain pada domain 𝑅 analitik. Titik yang tidak analitik ini disebut juga singularitas dari 𝑓 (𝑧).

4.2 Hubungan Cauchy-Rieman Jika suatu limit 𝐿 = lim [ Δ𝑧→0

𝑓(𝑧 + Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧) ] Δz

(𝟒. 𝟑)

terdefinisi dan unik, dapat didiferensialkan, maka setiap dua cara spesifik untuk Δ𝑧 → 0 haruslah menghasilkan limit yang sama. Secara khusus, bergerak paralel terhadap sumbu ril dan bergerak paralel terhadap sumbu imajiner haruslah menghasilkan hal tersebut.

42

Saat memisalkan 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) dan Δ𝑧 = Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦, maka 𝑓 (𝑧 + Δ𝑧) = 𝑢(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) + 𝑖𝑣 (𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) dan dengan menerapkan limit pada persamaan (𝟒. 𝟑), 𝐿=

𝑢(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) + 𝑖𝑣 (𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ] lim [ Δ𝑥,Δ𝑦→0 Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦

Jika Δ𝑧 hanya terdiri dari bagian ril, maka Δ𝑦 = 0, didapatkan 𝐿=

𝜕𝑢 𝜕𝑣 +𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(𝟒. 𝟒)

dan jika Δ𝑧 hanya terdiri dari bagian imajiner, maka Δ𝑥 = 0, didapatkan 𝐿=

𝜕𝑣 𝜕𝑢 −𝑖 𝜕𝑦 𝜕𝑦

(𝟒. 𝟓)

Agar 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik 𝑧, persamaan (𝟒. 𝟒) dan (𝟒. 𝟓) harus identik, maka 𝜕𝑢 𝜕𝑣 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝑢 𝜕𝑣 =− 𝜕𝑦 𝜕𝑥

dan

(𝟒. 𝟔)

Kedua kesamaan ini dikenal dengan hubungan Cauchy-Riemann. Hubungan ini dapat digunakan dala menentukan keanalitikan suatu fungsi. Dari persamaan di atas untuk 𝑓(𝑧) = 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑖2𝑥𝑦, 𝜕𝑢 𝜕𝑣 = 2𝑥 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦

dan

𝜕𝑢 𝜕𝑣 = −2𝑦 = − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Terlihat bahwa jika suatu fungsi 𝑓 (𝑧) analitik, maka fungsi tersebut haruslah memenuhi hubungan Cauchy-Riemann. Hasil penting lain dari hubungan Cauchy-Riemann adalah saat mendiferensialkan hubungan ini dengan suatu variabel bebas. 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑣 𝜕 𝜕𝑣 𝜕 𝜕𝑢 ( )= ( )= ( )=− ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑣 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑣 ( )=− ( )=− ( )=− ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 dimana 𝑢 dan 𝑣 secara terpusah adalah solusi dai persamaan Laplace pada dua dimensi 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

dan

𝜕2𝑣 𝜕2𝑣 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

43

Sebelum lebih jauh, untuk suatu titik dimana 𝑓(𝑧) tidak analitik pada diagram Argand, titik tersebut disebut sebagai titik singular fungsi kompleks 𝑓 (𝑧). Saat 𝑓(𝑧) analitik disemua rentang domain namun terdapat titik singular hanya di 𝑧 = 𝑧0 , maka 𝑧0 disebut titik singular terisolasi.

4.3 Integral Kompleks Proses integrasi untuk bilangan ril sudah biasa dilakukan. Berkenaan dengan diperkenalkannya bilangan kompleks, tentu tinjauan integral bilangan kompleks menjadi perlu untuk diperbincangkan. Karena bidang-𝑧 terdiri dari dua dimensi, terdapat kebebasan lebih tinggi serta ambiguitas dengan integral bilangan kompleks. Jika fungsi 𝑓(𝑧) bernilai tunggal dan kontinu pada suatu daerah 𝑅 di bidang kompleks, maka dapat didefinisikan integral kompleks dari 𝑓(𝑧) antara dua titik 𝐴 dan 𝐵 sepanjang suatu kurva di 𝑅; nilainya akan bergantung pada lintasan yang diambil antara 𝐴 dan 𝐵. Namun untuk suatu lintasan, terdapat perbedaan tetapi memikul hubungan nilai integral satu dengan yang lain tidak bergantung pada lintasan mana yang dipilih. Misalkan lintasan 𝐶 dideskripsikan oleh parameter ril kontinu 𝑡 (𝛼 ≤ 𝑡 < 𝛽 ) yang memberi posisi 𝐶 sebelumnya dengan persamaan 𝑥 = 𝑥 (𝑡 ),

𝑦 = 𝑦 (𝑡 )

dengan 𝑡 = 𝛼 dan 𝑡 = 𝛽 bergantung pada titik 𝐴 dan 𝐵. Maka integral sepanjang lintasan 𝐶 dari fungsi kontinu 𝑓 (𝑧) dituliskan ∫ 𝑓 (𝑧) 𝑑𝑧

(𝟒. 𝟕)

𝐶

dan secara eksplisit sebagai penjumlahan dari integral ril ∫ 𝑓 (𝑧) 𝑑𝑧 = ∫ (𝑢 + 𝑖𝑣)(𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦) 𝐶

𝐶

= ∫ 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ 𝑢 𝑑𝑦 + 𝑖 ∫ 𝑣 𝑑𝑥 − ∫ 𝑣 𝑑𝑦 𝐶 𝛽

𝐶

𝐶

𝐶

𝛽 𝛽 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑡 − ∫ 𝑣 𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑢 𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼

(𝟒. 𝟖)

Gambar 4.1 Integral dari 𝐴 dan 𝐵 pada diagram bilangan kompleks 44

Sebagai penerapan, integral dari 𝑓 (𝑧) = 𝑧 −1 sepanjang lingkaran |𝑧| = 𝑅, berawal dan berakhir di 𝑅, dengan lintasan 𝐶1 memiliki parameter 𝑧(𝑡) = 𝑅 cos 𝑡 + 𝑖𝑅 sin 𝑡 ,

0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

sehingga 𝑓 (𝑧) memiliki persamaan 𝑓 (𝑧 ) =

1 𝑥 − 𝑖𝑦 = 2 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑦 2

yang dapat diperoleh bagian ril dan imajinernya sebagai 𝑢=

𝑥 𝑅 cos 𝑡 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑅2

dan

𝑣=−

𝑦 𝑅 sin 𝑡 = − 𝑥2 + 𝑦2 𝑅2

Menggunakan persamaan (𝟒. 𝟖) maka 2𝜋 2𝜋 2𝜋 1 cos 𝑡 sin 𝑡 cos 𝑡 ( ) ( ) ∫ 𝑑𝑧 = ∫ −𝑅 sin 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ (− ) 𝑅 cos 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ ( ) (𝑅 cos 𝑡)𝑑𝑡 𝑅 𝑅 𝑅 𝐶! 𝑧 0 0 0 𝛽

sin 𝑡 ) (𝑅 sin 𝑡)𝑑𝑡 𝑅 𝛼 = 0 − 0 + 𝑖𝜋 + 𝑖𝜋 = 2𝜋𝑖 + 𝑖 ∫ (−

Hal yang penting dari hasil ini adalah nilainya tidak bergantung terhadap 𝑅.

4.4 Teorema Cauchy Untuk 𝑓(𝑧) sebuah fungsi analitik dan 𝑓 ′ (𝑧) kontinu pada setiap titik dalam suatu kontur tertutup 𝐶, maka teorema Cauchy menyatakan ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0

(𝟒. 𝟗)

𝐶

Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Green yang tidak lain adalah bentuk dua dimensi dari teorema divergen. Teoremanya mengatakan, jika 𝑝 dan 𝑞 adalah dua fungsi dengan diferensial pertama kontinu dalam suatu kontur tertutup 𝐶 pada bidang-𝑥𝑦, maka ∬( 𝑅

𝜕𝑝 𝜕𝑞 + ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∮ (𝑝 𝑑𝑦 − 𝑞 𝑑𝑥 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐶

Sehingga, untuk 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 dan 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦, 𝐼 = ∮ 𝑓 (𝑧) 𝑑𝑧 = ∮ (𝑢 𝑑𝑥 − 𝑣 𝑑𝑦) + 𝑖 ∮ (𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑑𝑦) 𝐶

𝐶

𝐶

memberikan 𝐼=∬( 𝑅

𝜕(−𝑣) 𝜕(−𝑢) 𝜕(𝑢) 𝜕 (−𝑣) + ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬ ( + ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑅 45

Karena 𝑓 (𝑧) analitik, maka hubungan Cauchy-Riemann terpenuhi, berlaku persamaan (𝟒. 𝟔) sehingga 𝐼 = 0. Teorema Cauchy terbukti. Aplikasi penting teorema Cauchy adalah membuktikan bahwa pada kasus tertentu, kontur tertutup 𝐶 dapat dideformasi menjadi kontur tertutup lain 𝛾 sedemikian rupa, sehingga integral dari fungsi 𝑓 (𝑧) di sekitar setiap kontur memiliki nilai yang sama. ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 𝐶

(𝟒. 𝟏𝟎)

𝛾

Perhatikan dua kontur tertutup 𝐶 dan 𝛾 pada gambar 3.9 dengan kontur 𝛾 berada seluruhnya pada kontur 𝐶. Dua garis paralel 𝐶1 dan 𝐶2 menghubungkan 𝛾 dan 𝐶. Terbentuk kontur baru, katakanlah Γ, terdiri dari 𝐶, 𝐶1 , 𝛾 dan 𝐶2 .

Gambar 4.2 Dua kontur, 𝐶 dan 𝛾 berada pada bidang Argand Dalam luasan yang dilingkupi Γ, fungsi 𝑓 (𝑧) analitik, sehingga berlaku teorema Cauchy, ∫Γ 𝑓 (𝑧) 𝑑𝑧 = 0 . Sekarang, bagian 𝐶1 dan 𝐶2 melingkar pada arah berlawanan, dan batas dimana keduanya saling berdekatan, kontribusi dari luasan Γ akan habis, sehingga menyisakan ∮ 𝑓 (𝑧) 𝑑𝑧 + ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 0 𝐶

𝛾

Didapatkan esensi integral sekitar 𝛾 berlawanan dengan integral sekitar 𝐶, sehingga dengan memutar balik arah melingkar 𝛾, diperoleh persamaan (𝟒. 𝟏𝟎).

4.5 Integral Cauchy Ketika fungsi 𝑓 (𝑧) analitik dalam sebuah kontur tertutup 𝐶 dan 𝑧0 suatu titik di dalam kontur tertutup tersebut, maka 𝑓 (𝑧0 ) =

1 𝑓 (𝑧 ) ∮ 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 𝐶 𝑧 − 𝑧0

(𝟒. 𝟏𝟏)

46

Persamaan (𝟒. 𝟏𝟏) menyatakan bahwa nilai dari fungsi analitik dimanapun di dalam kontur tertutup secara unik ditentukan oleh nilainya pada kontur dan penyajian spesifik persamaan ini dapat diberikan untuk titik interior. Pembuktian persamaan ini dilakukan dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏𝟎) dan mengambil 𝛾 sebagai lingkaran dengan titik pusat di 𝑧 = 𝑧0 , dengan jari-jari cukup kecil 𝜌 sehingga semuanya berada dalam 𝐶. Karena 𝑓 (𝑧) analitik di dalam 𝐶, nilai integrasi 𝑓(𝑧)/(𝑧 − 𝑧0 ) analitik pada ruang antara 𝐶 dan 𝛾. Maka dari persamaan (𝟒. 𝟏𝟎), integral sekitar 𝛾 memiliki nilai sama dengan integral sekitar 𝐶. Kemudian digunakan fakta bahwa titik 𝑧 pada 𝛾 diberikan oleh 𝑧 = 𝑧0 + 𝜌 exp(𝑖𝜃) sementara 𝑑𝑧 = 𝑖𝜌 exp 𝑖𝜃 𝑑𝜃. Maka nilai integral sekitar 𝛾 2𝜋 ( 𝑓 (𝑧 ) 𝑓 𝑧0 + 𝜌 exp 𝑖𝜃) 𝑑𝑧 = ∫ 𝑖𝜌 exp 𝑖𝜃 𝑑𝜃 𝜌 exp 𝑖𝜃 𝛾 𝑧 − 𝑧0 0

𝐼=∮

2𝜋

= 𝑖 ∫ 𝑓(𝑧0 + 𝜌 exp 𝑖𝜃)𝑑𝜃 0

Jika jari-jari dari lingkaran 𝛾 menyusut menuju nol, 𝜌 → 0, maka 𝐼 = 2𝜋𝑖𝑓(𝑧0 ), yang membuktikan persamaan (𝟒. 𝟏𝟏). Hal menarik didapatkan ketika menelusuri perolehan 𝑓 ′ (𝑧0 ), dengan menggunakan persamaan dasar turunan 𝑓 (𝑧0 + ℎ) − 𝑓 (𝑧0 ) ℎ→0 ℎ 1 𝑓 (𝑧 ) 1 1 ∮ = lim [ ( − ) 𝑑𝑧] ℎ→0 2𝜋𝑖 𝐶 ℎ 𝑧 − 𝑧0 − ℎ 𝑧 − 𝑧0 1 𝑓 (𝑧 ) ∮ = lim [ 𝑑𝑧] ℎ→0 2𝜋𝑖 𝐶 (𝑧 − 𝑧0 − ℎ )(𝑧 − 𝑧0 )

𝑓 ′ (𝑧0 ) = lim

dengan ℎ → 0, maka diperoleh 𝑓 ′ (𝑧0 ) =

1 𝑓 (𝑧 ) ∮ 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 𝐶 (𝑧 − 𝑧0 )2

(𝟒. 𝟏𝟐)

atau secara umum, 𝑓 𝑛 (𝑧0 ) =

𝑛! 𝑓 (𝑧 ) ∮ 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 𝐶 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛+1

(𝟒. 𝟏𝟑)

4.6 Deret Taylor dan Laurent Jika 𝑓 (𝑧) analitik di dalam lingkaran 𝐶 dengan jari-jari 𝑅 dengan titik pusat 𝑧 = 𝑧0 , dan 𝑧 berada di dalam 𝐶, maka

47

∞

𝑓 (𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛

(𝟑. 𝟏𝟒)

𝑛=0

dimana 𝑎𝑛 diberikan oleh 𝑓 𝑛 (𝑧0 )/𝑛!. Ekspansi Taylor berlaku di dalam daerah analitik dan untuk setiap 𝑧0 memiliki nilai unik. Pembuktian persamaan tersebut dapat dimulai dengan persamaan Cauchy 𝑓 (𝑧 ) =

1 𝑓 (𝜉 ) ∮ 𝑑𝜉 2𝜋𝑖 𝐶 (ξ − z)

dengan 𝜉 berada di 𝐶. Faktor (𝜉 − 𝑧)−1 dapat diekspansi sebagai deret geometri dengan (𝑧 − 𝑧0 )/(𝜉 − 𝑧0 ), ∞

1 1 𝑧 − 𝑧0 = ∑( ) 𝜉 − 𝑧 𝜉 − 𝑧0 𝜉 − 𝑧0

𝑛

𝑛=0

sehingga ∞

𝑛

1 𝑓 (𝜉 ) 𝑧 − 𝑧0 ∮ 𝑓 (𝑧 ) = ∑( ) 𝑑𝜉 2𝜋𝑖 𝐶 𝜉 − 𝑧0 𝜉 − 𝑧0 𝑛=0

∞

=

1 𝑓 (𝜉 ) ∑ (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 ∮ 𝑑𝜉 𝑛+1 2𝜋𝑖 𝐶 (𝜉 − 𝑧0 ) 𝑛=0 ∞

=

1 2𝜋𝑖 𝑓 𝑛 (𝑧0 ) ∑ (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 2𝜋𝑖 𝑛!

(𝟑. 𝟏𝟓)

𝑛=0

menyederhanakan persamaan dengan menghilangkan faktor 2𝜋𝑖 diperolehlah (𝟑. 𝟏𝟒) dengan 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 (𝑧0 )/𝑛!. Jika 𝑓 (𝑧) memiliki singularitas di dalam 𝐶 pada titik 𝑧 = 𝑧0 , maka fungsi tersebut tidak dapat diekspansi dengaan teorema Taylor. Namun dengan memisalkan 𝑓 (𝑧) memiliki kutub dengan orde 𝑝 pada 𝑧 = 𝑧0 namun analitik di titik lain dan di dalam 𝐶. Maka fungsi 𝑔(𝑧) = (𝑧 − 𝑧0 )𝑝 𝑓(𝑧) analitik pada 𝑧 = 𝑧0 dan dapat di ekspansi sebagai deret Taylor disekitar 𝑧 = 𝑧0 ∞

𝑔(𝑧) = ∑ 𝑏𝑛 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 ,

(𝟑. 𝟏𝟔)

𝑛=0

sehingga untuk semua 𝑧 di dalam 𝐶, 𝑓 (𝑧) akan memiliki deret pangkat dengan bentuk 𝑓 (𝑧 ) =

𝑎−𝑝 𝑎−1 + ⋯+ + 𝑎0 + 𝑎1 (𝑧 − 𝑧0 ) + 𝑎2 (𝑧 − 𝑧0 )2 + ⋯ 𝑝 (𝑧 − 𝑧0 ) 𝑧 − 𝑧0

(𝟑. 𝟏𝟕)

dengan 𝑎−𝑝 ≠ 0. Deret tersebut adalah perluasan dari deret Taylor yang lebih dikenal dengan deret Laurent. Dengan membandingkan koefisien persamaan (𝟑. 𝟏𝟔) dan (𝟑. 𝟏𝟕), dapat dilihat bahwa 48

𝑎𝑛 = 𝑏𝑛+𝑝 . Koefisien 𝑏𝑛 pada ekspansi Taylor 𝑔(𝑧), dengan memanfaatkan persamaan (𝟑. 𝟏𝟑), diberikan oleh 𝑏𝑛 =

𝑔𝑛 (𝑧0 ) 1 𝑔 (𝑧 ) ∮ = 𝑑𝑧 𝑛! 2𝜋𝑖 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛+1

dan koefisien 𝑎𝑛 𝑎𝑛 =

1 𝑔(𝑧 ) 1 𝑓 (𝑧 ) ∮ ∮ 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛+1+𝑝 2𝜋𝑖 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛+1

dimana berlaku baik untuk 𝑛 positif atau negatif. Bagian pada deret Laurent untuk 𝑛 ≥ 0 disebut bagian analitik, sementara bagian lain, terdiri dari pangkat invers dari 𝑧 − 𝑧0 , disebut bagian prinsipil. Tergantung sifat alami dari titik 𝑧 = 𝑧0 , bagian prinsipil dapat mengandung takberhingga bagian, sehingga +∞

𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛

(𝟒. 𝟏𝟕)

𝑛=−∞

Pada kasus ini, bagian prinsipil konvergen hanya saat |(𝑧 − 𝑧0 )−1 | kurang dari suatu konstan, misalnya diluar suatu lingkaran dengan pusat 𝑧0 . Namun, bagian analitik akan konvergen di dalam suatu lingkaran juga berpusat 𝑧0 . Jika lingkaran pada bagian analitik ini jari-jarinya lebih besar maka deret Laurent akan konvergen di daerah 𝑅 antara dua lingkaran, selain itu deretnya tidak konvergen. Jika 𝑓 (𝑧) tidak analitik di 𝑧 = 𝑧0 , maka dua kasus muncul (i) Dapat dicari bilangan bulat 𝑝 dimana 𝑎−𝑝 ≠ 0 tapi 𝑎−𝑝−𝑘 = 0 untuk semua 𝑘 > 0. (ii) Tidak mungkin menemukan nilai lebih rendah dari −𝑝.

Gambar 4.3 Bagian konvergen 𝑅 untuk deret Laurent dari 𝑓(𝑧) pada sekitar 𝑧 = 𝑧0 dengan 𝑓(𝑧) memiliki singularitas 49

Pada kasus (i), 𝑓 (𝑧) diperoleh dari (𝟑. 𝟏𝟕) dan medeskripsikan terdapat kutub berderajat 𝑝 pada 𝑧 = 𝑧0 ; nilai 𝑎−1 disebut sebagai residu dari 𝑓(𝑧) pada kutub 𝑧 = 𝑧0 . Sementara kasus (ii), saat pangkat menurun negatif dari (𝑧 − 𝑧0 ) tidak habis, 𝑓 (𝑧) dikatakan memiliki singularitas esensial. Misalnya, mencari deret Laurent pada pada titik singlaritas 𝑧 = 0 dan 𝑧 = 2 pada fungsi berikut 𝑓 (𝑧 ) =

1 . 𝑧 (𝑧 − 2)3

Untuk deret Laurent di 𝑧 = 0, faktor dalam kurung pada pembagi diubah kebentuk (1 − 𝛼𝑧), dengan 𝛼 konstan, sehingga 𝑓 (𝑧 ) = −

1

𝑧 3 8𝑧 (1 − ) 2 1 𝑧 𝑧 2 𝑧 3 ( ) ( )( ) ( )( )( ) = − [1 + −3 (− ) + −3 −4 (− ) + −3 −4 −5 (− ) … ] 8𝑧 2 2 2 2 1 3 3𝑧 5𝑧 =− − − − −⋯. 8𝑧 16 16 32

Karena pangkat paling kecil dari 𝑧 adalah −1, titik 𝑧 = 0 merupakan kutub dengan orde 1. Residu dari 𝑓(𝑧) pada 𝑧 = 0 adalah koefisien dari 𝑧 −1 pada ekspansi Laurent di titik tersebut dan memiliki nilai, seperti dapat dilihat, −1/8. Untuk 𝑧 = 2, dengan memisalkan 𝑧 = 2 + 𝜉, maka 𝑓 (𝑧 ) =

1 1 = 3 𝜉 (2 + 𝜉 )𝜉 2𝜉 3 (1 + 2)

1 𝜉 𝜉 2 𝜉 3 = 3 [1 − ( ) + ( ) − ( ) + ⋯ ] 2𝜉 2 2 2 1 1 1 1 = 3− 2+ − +⋯ 2𝜉 4𝜉 8𝜉 16 1 1 1 1 = − + − +⋯. 3 2 2(𝑧 − 2) 4(𝑧 − 2) 8(𝑧 − 2) 16 Terlihat bahwa di titik 𝑧 = 2 kutubnya berorde 3 dan residu dari 𝑓 (𝑧), koefisien dari (𝑧 − 2)−1 , adalah 1/8. Untuk 𝑓(𝑧) dengan kutub berorde 𝑚 pada 𝑧 = 𝑧0 , dengan deret Laurent 𝑓 (𝑧 ) =

𝑎−𝑚 𝑎−1 + ⋯+ + 𝑎0 + 𝑎1 (𝑧 − 𝑧0 ) + 𝑎2 (𝑧 − 𝑧0 ) + ⋯ 𝑚 (𝑧 − 𝑧0 ) (𝑧 − 𝑧0 )

mengalikan kedua ruas dengan (𝑧 − 𝑧0 )𝑚 , (𝑧 − 𝑧0 )𝑚 𝑓 (𝑧) = 𝑎−𝑚 + 𝑎−𝑚+1 (𝑧 − 𝑧0 ) + ⋯ + 𝑎−1 (𝑧 − 𝑧0 )𝑚−1 + − ⋯ . 50

Melakukan diferensial 𝑚 − 1 kali, ∞

𝑑 𝑚−1 [(𝑧 − 𝑧0 )𝑚 𝑓(𝑧)] = (𝑚 − 1)! 𝑎−1 + ∑ 𝑏𝑛 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 , 𝑑𝑧 𝑚−1 𝑛=1

untuk suatu koefisien 𝑏𝑛 . Pada limit 𝑧 → 𝑧0 , bagian dalam sigma akan habis, dan setelah melakukan beberapa penyusunan ulang didapatkan bentuk 𝑅(𝑧0 ) = 𝑎−1 = lim { 𝑧→𝑧0

1 𝑑 𝑚−1 [(𝑧 − 𝑧0 )𝑚 𝑓(𝑧)] } , (𝑚 − 1)! 𝑑𝑧 𝑚−1

(𝟒. 𝟏𝟖)

dimana bentuk tersebut adalah nilai residu dari 𝑓(𝑧) di titik 𝑧 = 𝑧0 . Untuk 𝑓(𝑧) dengan kutub sederhana di 𝑧 = 𝑧0 , kutub berorde 1, maka residunya dengan mudah dapat diperoleh dengan 𝑅 (𝑧0 ) = lim [(𝑧 − 𝑧0 )𝑓 (𝑧)] . 𝑧→𝑧0

(𝟒. 𝟏𝟗)

Jika disamping memiliki kutub sederhana di 𝑧 = 𝑧0 dan 𝑓(𝑧) juga berbentuk 𝑔(𝑧)/ℎ(𝑧) dengan 𝑔(𝑧) analitik dan tidak nol di 𝑧0 dan ℎ(𝑧0 ) = 0, maka (𝟒. 𝟏𝟗) menjadi (𝑧 − 𝑧0 )𝑔(𝑧) (𝑧 − 𝑧0 ) = 𝑔(𝑧0 ) lim 𝑧→𝑧0 𝑧−𝑧0 ℎ (𝑧) ℎ (𝑧 ) 1 = 𝑔(𝑧0 ) lim ′ 𝑧→𝑧0 ℎ (𝑧0 ) ( ) 𝑔 𝑧0 𝑅(𝑧0 ) = ′ ℎ (𝑧0 ) 𝑅(𝑧0 ) = lim

(𝟒. 𝟐𝟎)

dimana digunakan dalil l’Hopital pada pendekatan limitnya.

4.7 Teorema Residu Dari teorema Cauchy telah diketahui bahwa nilai integral sekitar kontur tertutup 𝐶 nol jika fungsi yang diintegralkan analitik di dalam kontur. Saat fungsi tidak analitik di dalam 𝐶, maka perlu dilakukan kajian lebih jauh. Misalkan 𝑓 (𝑧) berkutub 𝑚 di 𝑧 = 𝑧0 , sehingga dapat diekspansi dengan deret Laurent disekitar 𝑧0 ∞

𝑓 (𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0 )𝑛 .

(𝟒. 𝟐𝟏)

𝑛=−𝑚

Untuk integral 𝐼 dari 𝑓 (𝑧) disekitar kontur tertutup 𝐶 yang mencakup 𝑧 = 𝑧0 , namun tidak titik singular lain. Menggunakan teorema Cauchy, integral ini memiliki nilai sama untuk integral disekitar lingkaran 𝛾 dengan radius 𝜌 berpusat di 𝑧 = 𝑧0 , karena 𝑓(𝑧) analitik di daerah antara 𝐶 dan 𝛾. Pada lingkaran diperoleh 𝑧 = 𝑧0 + 𝜌𝑒 𝑖𝜃 , 𝑑𝑧 = 𝑖𝜌𝑒 𝑖𝜃 𝑑𝜃, sehingga

51

𝐼 = ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 𝛾 ∞

= ∑ 𝑎𝑛 ∮ (𝑧 − 𝑧0 )𝑚 𝑑𝑧 𝑛=−𝑚 ∞

2𝜋

= ∑ 𝑎𝑛 ∫ 𝑖𝜌𝑛+1 𝑒 [𝑖(𝑛+1)𝜃] 𝑑𝜃 . 0

𝑛=−𝑚

Untuk setiap bagian dengan 𝑛 ≠ −1, didapatkan 2𝜋

2𝜋

∫ 𝑖𝜌

𝑛+1 [𝑖(𝑛+1)𝜃]

𝑒

0

𝑖𝜌𝑛+1 𝑒 [𝑖(𝑛+1)𝜃] [ ] =0, 𝑑𝜃 = 𝑖 (𝑛 + 1) 0

namun untuk bagian 𝑛 = −1 didapatkan 2𝜋

∫ 𝑖𝑑𝜃 = 2𝜋𝑖 . 0

Sehingga dapat dilihat hanya bagian (𝑧 − 𝑧0 )−1 berkontribusi pada nilai integral sekitar 𝛾, begitupun 𝐶, dan 𝐼 kemudian dapat dituliskan 𝐼 = ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑎−1 .

(𝟒. 𝟐𝟐)

𝐶

Dari hasil ini didapatkan bahwa integral disekitar kontur tertutup dengan mengandung satu kutub berorde 𝑚, singularitas esensial, nilainya adalah 2𝜋𝑖 dikalikan residu dari 𝑓(𝑧) pada 𝑧 = 𝑧0 . Untuk kasus dimana 𝑓(𝑧) di dalam dan pada sebuah kontur tertutup 𝐶 dan analitik, kecuali untuk kutub dengan nilai berhingga, di dalam 𝐶, teorema residu memberikan ∮ 𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑗 , 𝐶

(𝟒. 𝟐𝟑)

𝑗

dengan ∑𝑗 𝑅𝑗 adalah penjumlahan residu dari 𝑓(𝑧) pada masing-masing kutub di dalam 𝐶. Metode pembuktiannya dapat memperhatikan gambar 4.4. Pada (a) menunjukkan kontur 𝐶 dari persamaan (𝟒. 𝟐𝟑) dan (b) menunjukkan kontur 𝐶 ′ dengan nilai yang sama untuk integralnya, karena 𝑓 analitik di 𝐶 dan 𝐶 ′ . Kontribusi dari integral untuk 𝐶 ′ dari segitiga yang menghubungkan ketiga titik adalah nol, karena 𝑓 juga analitik di dalam 𝐶 ′ . Sehingga nilai keseluruhan integral diberikan oleh lingkarannya, sesuai (𝟒. 𝟐𝟐), setiap kontribusi ini adalah 2𝜋𝑖 dikalikan dengan residu pada kutub yang dicakup. Kesemua lingkaran berputar pada arah positif jika 𝐶 berputar dan teorema residu berlaku. Secara formal, teorema residu Cauchy pada (𝟒. 𝟗) adalah kasus spesial dari (𝟒. 𝟐𝟑) untuk kontur 𝐶 tidak mengandung kutub.

52

4.8 Integrasi Kontur untuk Integral Tentu Ada beberapa bentuk fungsi untuk penerapan integrasi kontur. Salah satunya adalah integrasi fungsi sinusoidal dengan bentuk 2𝜋

∫ 𝐹(cos 𝜃 , sin 𝜃 )𝑑𝜃 . 0

Integral tersebut dapat diubah menjadi integral kontur dengan melakkan substitusi 𝑧 = 𝑒 𝑖𝜃 , dimana kemudian 1 1 cos 𝜃 = (𝑧 + 𝑧 −1 ), sin 𝜃 = − 𝑖 (𝑧 − 𝑧 −1 ), 2 2

𝑑𝜃 = −𝑖𝑧 −1 𝑑𝜃

(𝟒. 𝟐𝟒)

Sebagi latihan, untuk 2𝜋

𝐼=∫ 0

𝑑𝜃 , 5 + 4 cos 𝜃

dengan substitusi 𝑧𝑒 𝑖𝜃 , 𝜃 akan memiliki batas 0 sampai 2𝜋, membentuk kurva tertutup berbentuk lingkaran berjari-jari 1. Melakukan substitusi nilai cos 𝜃 dan 𝑑𝜃 dari (𝟒. 𝟐𝟒), 𝐼=∮

−𝑖𝑧 −1 𝑑𝑧 1 𝑑𝑧 1 𝑑𝑧 = ∮ = ∮ . −1 2 5 + 2(𝑧 + 𝑧 ) 𝑖 5𝑧 + 2𝑧 + 2 𝑖 (2𝑧 + 1)(𝑧 + 2)

Terlihat fungsinya memiliki kutub di 𝑧 = −1/2 dan 𝑧 = −2. Namun, hanya titik 𝑧 = −1/2 yang berada pada cakupan kurva tertutup. Residu dari fungsi di 𝑧 = −1/2, dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏𝟗), didapatkan 𝑅 (−1/2) = lim1 [(𝑧 + 1/2) 𝑧→− 2

1 ] (2𝑧 + 1)(𝑧 + 2)

(𝑧 + 1/2) 1 1 = = . 1 𝑧→−1/2 2(𝑧 + 1/2)(𝑧 + 2) 2 (− 2 + 2) 3

= lim

Dari teorema residu, (𝟒. 𝟐𝟐), didapatkan 1 2𝜋 𝐼 = 2𝜋𝑖𝑅(−1/2) = 𝑖 3 nilai integral awal yang diinginkan.

53

5. KALKULUS VARIASI Apakah jarak terpendek dari dua titik? Untuk suatu fungsi kalkulus biasa 𝑓(𝑥) misalnya, nilai minimum dan maksimum dapat dicari dengan 𝑓 ′ (𝑥) = 0. Hal ini dapat memberikan nilai minimum, maksimum, dan titik belok fungsi tersebut. Titik ini dikenal sebagai titik stasioner fungsi, mencari nilai minimumnya berperan sebagai dasar pembahasan kalkulus variasi. Untuk menambah khasanah, misalkan cahaya dari titik 𝐴 = (𝑥1 , 𝑦2 ) menuju titik 𝐵 = (𝑥2 , 𝑦2 ) lewat pemantulan di titik 𝑃. Lintasan 𝐷 yang merupakan lintasan 𝐴𝐵 dapat dituliskan 𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐵 = √(𝑥 − 𝑥1 )2 + 𝑦12 + √(𝑥2 − 𝑥 )2 + 𝑦22 .

Gambar 5.1 Cahaya dari titik 𝐴 ke titik 𝐵 melewati 𝑃. Jarak terpendeknya, sesuai prinsip kalkulus, adalah 𝑑𝐷 1 2(𝑥 − 𝑥1 ) 1 2(𝑥2 − 𝑥 )(−1) = + = 0, 𝑑𝑥 2 √(𝑥 − 𝑥1 )2 + 𝑦12 2 √(𝑥2 − 𝑥 )2 + 𝑦22 atau 𝑥 − 𝑥1 √(𝑥 − 𝑥1 )2 + 𝑦12

=

𝑥2 − 𝑥 √(𝑥2 − 𝑥 )2 + 𝑦22

sin 𝜃 = sin 𝜙. yang menunjukkan bahwa 𝜃 = 𝜙, persamaan dasar dari pantulan pada optik. Awal yang menarik untuk kalkulus variasi.

5.1 Persamaan Euler-Lagrange Bentuk umum persamaan yang hendak dipecahkan dalam kalkulus variasi adalah 𝑥2

𝐼 = ∫ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )𝑑𝑥 ,

(𝟓. 𝟏)

𝑥1

54

dengan 𝐹 adalah suatu fungsi dan 𝑦 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Kurva 𝑦 yang membuat 𝐼 stasioner disebut ekstermal. Perlu diperhatikan bahwa pada titik 𝑥1 dan 𝑥2 dapat dilalui oleh kurva apa saja dengan nilai yang kecil, tidak hanya kurva ekstermal. Kurva yang lain ini disebut kurva variasi; terdapat takhingga banyaknya sedekat mungkin dari ekstermal. Dipilih suatu 𝜂 (𝑥 ) sembarang sebagai representasi fungsi-𝑥 bernilai nol di 𝑥1 dan 𝑥2 , serta memiliki turunan kedua kontinu pada interval tersebut. Selanjutnya didefinisikan fungsi 𝑌(𝑥 ) dengan persamaan 𝑌(𝑥 ) = 𝑦(𝑥 ) + 𝜖𝜂 (𝑥),

(𝟓. 𝟐)

dengan 𝑦(𝑥 ) adalah kurva ekstermal dan 𝜖 adalah sebuah parameter. Karena 𝜂 (𝑥 ) dapat berupa apa saja, 𝑌(𝑥 ) merepresentasikan setiap kurva (dengan turunan kedua kontinu) sepanjang (𝑥1 , 𝑦1 ), dan (𝑥2 , 𝑦2 ).

Gambar 5.2 Kurva ekstermal 𝑦 dan kurva variasi 𝑌.

Gambar 5.3 Kurva bernilai nol di 𝑥1 dan 𝑥2 . Dari kurva variasi didapatkan 𝑥2

𝐼 (𝜖 ) = ∫ 𝐹 (𝑥, 𝑌, 𝑌′) 𝑑𝑥,

(𝟓. 𝟑)

𝑥1

dan kita menginginkan (𝑑/𝑑𝜖 ) 𝐼(𝜖 ) = 0 saat 𝜖 = 0. Perhatikan bahwa 𝑌 dan 𝑌 ′ merupakan fungsi dari 𝜖. Melakukan diferensiasi 𝐼 terhadap 𝜖, 𝑥2 𝑑𝐼 𝜕𝐹 𝑑𝑌 𝜕𝐹 𝑑𝑌 ′ =∫ ( + ) 𝑑𝑥. 𝑑𝜖 𝜕𝑌 𝑑𝜖 𝜕𝑌 ′ 𝜕𝜖 𝑥1

atau, karena diinginkan jarak terpendek (𝑑𝐼/𝑑𝜖 = 0 di 𝜖 = 0, 𝑌 = 𝑦), maka

55

(

𝑥2 𝑑𝐼 𝜕𝐹 𝜕𝐹 ) = ∫ [ 𝜂(𝑥 ) + ′ 𝜂′ (𝑥 )] 𝑑𝑥 = 0. 𝑑𝜖 𝜖=0 𝜕𝑦 𝑥1 𝜕𝑦

(𝟓. 𝟒)

Mengasumsukan 𝑦 ′′ kontinu, baian kedua dapat diintegralkan secara parsial 𝑥2

𝑥2 𝜕𝐹 ′ 𝜕𝐹 𝑥2 𝑑 𝜕𝐹 ( ) ( ) ∫ ∫ 𝜂 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜂 𝑥 | − ( ′ ) 𝜂 (𝑥 ) 𝑑𝑥. ′ 𝜕𝑦 ′ 𝑥1 𝑥1 𝜕𝑦 𝑥1 𝑑𝑥 𝜕𝑦

Bagian teringtegrasi bernilai nol karena syarat 𝜂(𝑥 ) di 𝑥1 dan 𝑥2 . Hal ini membuat persamaannya 𝑥2 𝑑𝐼 𝜕𝐹 𝑑 𝜕𝐹 ( ) =∫ [ − ( )] 𝜂(𝑥 ) = 0, 𝑑𝜖 𝜖=0 𝑑𝑥 𝜕𝑦 ′ 𝑥1 𝜕𝑦

karena 𝜖 bernilai sembarang, diperoleh 𝑑 𝜕𝐹 𝜕𝐹 ( ′) − = 0. 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

(𝟓. 𝟓)

Kesamaan ini disebut sebagai persamaan Euler (atau dikenal juga sebagai Euler-Lagrange). Dari tahapan tersebut, dapat dlihat, untuk setiap masalah pada kalkulus variasi diselesaikan dengan menentukan integral yang akan dibuat stasioner, menuliskan fungsi dari 𝐹, substitusi ke persamaan Euler, dan menyelesaikan persamaan diferensial. Menggunakan persamaan ini, dapat ditunjukkan bahwa kurva terdekat penghubung dua titik adalah sebuah garis lurus. Sebagai gambaran, misalkan dua titik, 𝐴 dan 𝐵, berada pada kordinat (𝑎, 𝑦(𝑎)) dan (𝑏, 𝑦(𝑏)). Apapun bentuk yang diambil sebagai penghubung, panjang dari sebuah elemen lintasan 𝑑𝑠 adalah 𝑑𝑠 = √(𝑑𝑥 )2 + (𝑑𝑦)2 = √1 + 𝑦 ′ 2 𝑑𝑥,

Gambar 5.4 Kurva sembarang penghubung 𝐴 dan 𝐵.

56

dan total lintasannya sepanjang kurva, 𝐿, adalah 𝑏

𝐿 = ∫ √1 + 𝑦 ′ 2 𝑑𝑥. 𝑎

Lintasan terdekat dieroleh dengan menggunakan prinsip kalkulus variasi sehingga 𝐿 stasioner. Dapat dilihat bahwa 𝐹 = √1 + 𝑦 ′ 2 dan dari persamaan Euler-Lagrange 𝜕𝐹 = 𝜕𝑦 ′

𝑦′

𝜕𝐹 = 0, 𝜕𝑦

,

√1 + 𝑦 ′ 2

sehingga menyisakan 𝑦′

𝑑 𝑑𝑥 (

√1 +

= 0, 𝑦 ′2

)

yang membuat 𝑦′ √1 +

= 𝑘. 𝑦 ′2

Dengan melakukan beberapa operasi sederhana, diperoleh 𝑦′ =

𝑑𝑦 𝑘 𝑘 = →𝑦= 𝑥 + 𝑐, 𝑑𝑥 √1 − 𝑘 2 √1 − 𝑘 2

dimana, sesuai perkiraan, persamaannya adalah sebuah garis lurus dari 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐, dengan 𝑚 = 𝑘/(1 − 𝑘 2 )1/2 .

5.2 Penggunaan Persamaan Euler-Lagrange Sejauh ini telah digunakan variabel 𝑥 dan 𝑦 pada kordinat kartesian. Namun matematika tentuya akan sama saja jika menggunakan variabel lain, seperti variabel 𝑟 dan 𝜃 pada kordinat bola. Bentuk persamaan yang akan dibuat stasioner adalah ∫ 𝐹(𝑟, 𝜃, 𝜃′)𝑑𝑟 ,

dimana 𝜃 ′ =

𝑑𝜃 . 𝑑𝑟

Solusinya diperoleh dari persamaan Euler-Lagrange 𝑑 𝜕𝐹 𝜕𝐹 ( ′) − = 0. 𝑑𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃

(𝟓. 𝟔)

Dalam penerapan fisis, eposisi dan waktu tidak bisa dipisahkan. Hal ini membuat penggunaan variabel 𝑥 sebagai posisi (dalam dimensi-1) dan 𝑡 sebagai waktu membuat persamaan yang hendak 57

diminimalkan menjadi ∫ 𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑥̇ )𝑑𝑡 dimana 𝑥̇ = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 dan solusinya dapat ditelusuri dengan persamaan Euler-Lagrange 𝑑 𝜕𝐹 𝜕𝐹 − = 0. 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥

(𝟓. 𝟕)

Sebagai penggunaan persamaan tersebut, misalkan sebuah sinar cahaya memberikan suatu lintasan, dimana indeks biasnya sebanding dengan 𝑟 −2 , digunakan kordinat polar. Persamaan yang akan dibuat stasioner adalah ∫ 𝑛 𝑑𝑠, atau ∫ 𝑟 −2 𝑑𝑠 = ∫ 𝑟 −2 𝑑𝑠 = ∫ 𝑟 −2 √𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 = ∫ 𝑟 −2 √1 + 𝑟 2 𝜃 ′ 2 𝑑𝑟. Persamaan Euler dengan 𝐹 = 𝑟 −2 √1 + 𝑟 2 𝜃 ′ 2 dapat ditelusuri untuk mencari solusi persamaan. Karena 𝜕𝐹/𝜕𝜃 = 0, tersisa 𝑑 𝜃′ ( ) = 0, 𝑑𝑟 √1 + 𝑟 2 𝜃 ′ 2

atau

𝜃′ √1 + 𝑟 2 𝜃 ′ 2

= 𝐾.

Melakukan sedikit perhitungan diperoleh 𝜃′ =

𝑑𝜃 𝑘 𝑘 = →𝜃=∫ 𝑑𝑟, 𝑑𝑟 √1 − 𝑘 2 𝑟 2 √1 − 𝑘 2 𝑟 2

dimana dengan melakukan substitusi 𝑟 = sin 𝜃 / 𝑘, akan diperoleh 𝜃 = sin−1 𝑘𝑟 + 𝑐, dengan 𝑐 adalah sebuah konstanta.

5.3 Persamaan Lagrange Suatu sistem tentu tidak hanya bergantung pada satu variabel saja. Pada kalkulus dasar ditemui permasalahan suatu titik minimal pada 𝑧 = 𝑧(𝑥 ) adalah 𝑑𝑧/𝑑𝑥 = 0 dan untuk fungsi dengan dua variabel 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) diperlukan dua kondisi, 𝜕𝑧/𝜕𝑥 = 0 dan 𝜕𝑧/𝜕𝑦 = 0. Analogi yang sama ditemui pada kalkulus variasi. Misalkan suatu fungsi 𝐹 terdiri dari 𝑦, 𝑧, 𝑑𝑦/𝑑𝑥, 𝑑𝑧/𝑑𝑥, dan 𝑥, dan akan dicari dua kurva 𝑦 = 𝑦(𝑥 ) dan 𝑧 = 𝑧(𝑥 ) untuk membuat 𝐼 = ∫ 𝐹 𝑑𝑥 stasioner. Nilai dari integral 𝐼 begantung pada 𝑦(𝑥 ) dan 𝑧(𝑥) dan dapat diperhatikan bahwa akan didapatkan dua persamaan Euler, satu untuk 𝑦 dan satu untuk 𝑧, katakanlah 𝑑 𝜕𝐹 𝜕𝐹 ( ′) − = 0, 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝑑 𝜕𝐹 𝜕𝐹 ( ′) − =0. 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧

(𝟓. 𝟕)

Jika masih terdapat variabel bergantung (dengan hanya satu variabel bebas), maka persamaan Euler untuk setiap variabel bergantung harus dituliskan, tentu saja. Terdapat banyak aplikasi penting dari persamaan (𝟓. 𝟕) pada mekanika. Pada fisika dasar, kaidah Newton pertama 𝐅 = 𝑚𝐚 adalah persamaan mendasar. Pada mekanika lebih lanjut, penjabaran persamaan gerak dimulai dari asumsi berbeda namun tetap berkesesuai dengan pendahulunya. 58

Asumsi ini dikenal dengan prinsip Hamilton. Prinsipnya mengakatan bahwa setiap partikel 𝑡 ataukah sistem partikel selalu bergerak sedemikian rupa dengan 𝐼 = ∫𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡 stasioner, dimana 1

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 disebut sebagai Lagrangian; 𝑇 sebagai energi kinetik, dan 𝑉 adalah energi potensial dari partikel atau sistem partikel. Sebagai penerapan, misalkan sebuah partikel bergerak berada pada pengaruh gravitasi bumi bermassa 𝑚. Menggunakan prsinsip Hamilton, persamaan geraknya dapat diperoleh. Pertama tentukan energi kinetik 𝑇 dan energi potensial 𝑉 dari partikel 1 1 𝑇 = 𝑚𝑣 2 = 𝑚(𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2 ), 2 2 𝑉 = 𝑚𝑔𝑧, dan Lagrangiannya 1 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚(𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2 ) − 𝑚𝑔𝑧. 2 Perhatikan bahwa 𝑡 sebagai variabel bebas dan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sebagai variabel bergantung, sementara 𝐿 adalah 𝐹 pada awal pembahasan. Untuk membuat 𝐼 = ∫ 𝐿 𝑑𝑡 stasioner, dituliskan persamaan Euler untuk setiap variabel bergantung. Pada mekanika, persamaan Euler ini lebih dikenal dengan persamaan Lagrange. 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0. 𝑑𝑡 𝜕𝑧̇ 𝜕𝑧

Melakukan substitusi 𝐿 pada persamaan ini didapatkan 𝑑 (𝑚𝑥̇ ) = 0, 𝑑𝑡

𝑑 (𝑚𝑦̇ ) = 0, 𝑑𝑡

𝑑 (𝑚𝑧̇ ) + 𝑚𝑔 = 0, 𝑑𝑡

atau 𝑥̇ = 𝑘𝑜𝑠𝑛𝑡𝑎𝑛,

𝑦̇ = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛,

𝑧̈ = −𝑔.

Hal ini merupakan persamaan yang umum diperoleh pada kaidah Newton. Persamaannya menyatakan bahwa pada medan gravitasi di dekat permukaan bumi, kecepatan horizontalnya konstan dan percepatan vertikalnya adalah – 𝑔. Penerapan pada kasus ini mungkin terlihat sederhana. Namun pada kasus yang lebih kompleks, persamaan ini akan menunjukkan keunggulannya. Penerapan lain adalah untuk menjabarkan gerak sebuah partikel pada kodinat polar dengan variabel 𝑟 sebagai jejari dan 𝜃 sebagai sudut. Elemen dari panjangnya adalah 𝑑𝑠 dimana 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 , dan kecepatan partikel bergerak adalah 𝑑𝑠/𝑑𝑡, sehingga

59

𝑑𝑠 2 𝑑𝑟 2 𝑑𝜃 2 2 𝑣 = ( ) = ( ) + 𝑟 ( ) = 𝑟̇ 2 + 𝑟 2 𝜃̇ 2 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

1

Energi kinetic kita ketahui adalah 2 𝑚𝑣 2 , maka 1 𝑇 = 𝑚(𝑟̇ 2 + 𝑟 2 𝜃̇ 2 ), 2 1 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚(𝑟̇ 2 + 𝑟 2 𝜃̇ 2 ) − 𝑉(𝑟, 𝜃), 2 dengan 𝑉 (𝑟, 𝜃) sebagai energi potensial partikel. Persamaan Lagranga pada 𝑟 dan 𝜃 adalah 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑟̇ 𝜕𝑟 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − =0. 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 Substitusi 𝐿 memberikan 𝑑 𝜕𝑉 (𝑚𝑟̇ ) − 𝑚𝑟𝜃̇ 2 + = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝑑 𝜕𝑉 (𝑚𝑟 2 𝜃̇ ) − = 0. 𝑑𝑡 𝜕𝜃 Persamaan gerak untuk 𝑟 adalah 𝑚(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 ) = −

𝜕𝑉 , 𝜕𝑟

sementara untuk 𝜃 adalah 𝑚(𝑟 2 𝜃̈ + 2𝑟𝑟̇ 𝜃̇) = −

𝜕𝑉 1 𝜕𝑉 → 𝑚(𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ ) = − . 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃

Kuantitas −𝜕𝑉/𝜕𝑟 dan −(1/𝑟) (𝜕𝑉/𝜕𝜃) adalah komponen dari gaya, 𝐅 = −𝛁𝑉, pada partikel pada arah 𝑟 dan 𝜃. Persamaan tersebut adalah komponen dari 𝑚𝐚 = 𝐅; komponen percepatannya adalah 𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 ,

𝑎𝜃 = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ .

Bagian kedua pada 𝑎𝑟 adalah percepatan sentripetal 𝑣 2 /𝑟 untuk 𝑣 = 𝑟𝜃̇ (tanda negatif menandakan menuju titik awal). Bagian kedua pada 𝑎𝜃 disebut percepatan Coriolis.

5.4 Notasi Variasi Simbol 𝛿 telah diperkenalkan pada permulaan pembahasan kalkulus variasi sebagai indikasi diferensial terhadap 𝜖. Maknanya serupa dengan simbol 𝑑 pada diferensial. Notasi 𝛿 kurang digunakan dalam matematika, namun pada penggunaan pada penerapan akan memperjelas maknanya. Kuantitas 𝛿𝐼 adalah sebuah diferensial 60

𝛿𝐼 = dengan

𝑑𝐼 𝑑𝜖

𝑑𝐼 𝑑𝜖, 𝑑𝜖

dievaluasi pada 𝜖 = 0. Simbol 𝛿 (dibaca “variasi dari”) diperlakukan sama sebagai

operator diferensial untuk 𝐹, 𝑦, dan 𝑦 ′ . Sehingga, mengacu pada pembahasan sebelumnya, 𝑌(𝑥, 𝜖 ) = 𝑦(𝑥 ) = 𝜖𝜂 (𝑥 ), 𝑌 ′ (𝑥, 𝜖 ) = 𝑦 ′ (𝑥 ) + 𝜖𝜂′ (𝑥 ). Maka makna dari 𝛿𝑦 adalah 𝛿𝑦 = (

𝜕𝑌 ) 𝑑𝜖 = 𝜂(𝑥 )𝑑𝜖 ; 𝜕𝜖 𝜖=0

hal ini mirip untuk diferensial 𝑑𝑌 jika 𝜖 sebagai variabel. Makna dari 𝛿𝑦 ′ adalah 𝜕𝑌 ′ 𝛿𝑦 = ( ) 𝑑𝜖 = 𝜂′ (𝑥)𝑑𝜖 . 𝜕𝜖 𝜖=0 ′

Hal ini identic dengan 𝑑 𝑑 (𝛿𝑦) = [𝜂(𝑥 )𝑑𝜖 ] = 𝜂′ (𝑥 )𝑑𝜖 𝑑𝑥 𝑑𝑥 karena 𝑥 dan 𝜖 merupakan variabel bebas; dengan kata lain, 𝑑 dan 𝛿 komut. Makna dari 𝛿𝐹 adalah 𝛿𝐹 =

𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝛿𝑦 + ′ 𝛿𝑦 ′ ; 𝜕𝑦 𝜕𝑦

ini merupakan diferensial total 𝑑𝐹 = (𝜕𝐹/𝜕𝜖 )𝜖=0 𝑑𝜖 dari fungsi 𝐹 [𝑥, 𝑌(𝑥, 𝜖 ), 𝑌 ′ (𝑥, 𝜖 )] pada 𝜖 = 0 dengan 𝜖 dianggap sebagai variabel satu-satunya. Maka variasi dari 𝐼 adalah 𝑥2

𝑥2

𝛿𝐼 = 𝛿 ∫ 𝐹 𝑑𝑥 = ∫ 𝛿𝐹 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥2

𝑥1

𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝛿𝑦 + ′ 𝛿𝑦 ′ ) 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑥1 𝑥2 𝜕𝐹 𝜕𝐹 = ∫ [ 𝜂(𝑥 )𝑑𝜖 + ′ 𝜂′ (𝑥 )𝑑𝜖] 𝑑𝑥. 𝜕𝑦 𝑥1 𝜕𝑦 =∫ (

Hasil ini memberikan indikasi bahwa 𝛿𝐼 = 0, atau dengan kata lain variasi dari 𝐼 adalah nol.

61

DAFTAR PUSTAKA [1]. K. F. Riley, M. P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, 3rd Ed., Cambridge University Press, London, (2006) [2]. Mary L. Boas, Mathematical Methods in The Physical Sciences, 3rd Ed., John Wiley and Soons, New Jersey, (2006) [3]. T.Surungan, Fisika Matematika, Vol. 1, Lembaga Kajian dan Pengembangan Pendidikan Universitas Hasanuddin, Makassar, (2012)

62