Contenido -
Definición de propiedades geométricas de sección. Propiedades Propiedades del acero de presfuerzo. Definición de cargas. Cálculo de pérdidas de presfuerzo. Revisión de esfuerzos en la transferencia y etapa de servicio. Revisión de esfuerzos cortantes por última resistencia. Revisión de Deflexiones.
1
1.
Propiedades geométricas de la viga.
a) Constantes de diseño.
E p = 2,000,000kg / cm 2 f ´c = 200kg / cm 2 E c = 15,100 f `c = 213,546kg / cm 2 f ´c p = 400kg / cm 2 E cp = 15,100 f `c p = 302,000kg / cm 2
f `c i = 0 .6 f `c p = 240 kg / cm 2 E ci = 15 ,100 0 . 6 f `c i = 233 ,928 kg / cm 2
∆ t = 30 hrs . C % = 0 .80 E cc = 15 ,100
f `c p ⋅ ( C % ) = 270 ,117 kg / cm 2
b) Coordenadas de la sección simple. Coordenada 1 2 3 4 5 6 7 8
X (cm) 0.00 0.00 4.00 4.25 9.25 9.50 13.50 13.50
2
Y (cm) 0.00 5.00 5.00 12.00 12.00 5.00 5.00 0.00
A ss = 104.25cm 2 I ss = 1,140.90cm 4 Y iss = 4.60cm Y sss = 12 − 4.6 = 7.40cm W propio = 25.02kg / m A sp = 5 ⋅ (.1963cm 2 ) = .981cm 2 e´=
∑ A ⋅ d ∑ A si
i
= 3.76cm
si
e ss = 4.6 − 3.76 = 0.84cm c)
Cálculo de módulos de sección de la viga.
S ssi =
I ss
S sss =
I ss
2.
Y iss Y sss
= 248.3cm 3 = 154.1cm 3
Propiedades geométricas de sección compuesta.
a) Cálculo de Inercia y Módulos de sección compuesta.
I sc = 4,898.3cm 4 e sc = 5.40cm Y isc = 9.16cm
3
Y 1 = 12 − 9.16 = 2.84cm Y 2 = Y isc = 9.16cm Y 3 = 14 − 9.16 = 4.84cm Y 4 = 10 − 9.16 = 0.84cm S sc1 =
I sc
S sc 2 =
I sc
S sc 3 =
I sc
S sc 4 =
I sc
Y 1 Y 2 Y 3 Y 4
=
4,898.3
=
4,898.3
=
4,898.3
=
4,898.3
2.84 9.16 4.84 0.84
= 1,723.7cm 3 = 534.8cm3 = 1011.7cm 3 = 5,819.7cm 3
b) Revisión de ancho efectivo de sección compuesta.
be = 16t + bv = 16( 4) + 13.5 = 77.5 > 61.5cm b = 61.5cm n=
Ec Ecp
=
15,100 200 15,100 400
= 0.7071
n ⋅ be = 43.49cm c)
Datos de la bovedilla.
Peso( peralte.10) = 6.3kg / pza _ (Cemento − arena) Medidas → 10 x 48 x 20cm. Pzas / m 2 = 8.13 pzas / m 2 Atrans = 500cm 3.
2
Propiedades del acero de presfuerzo.
4
f pu = 16,900kg / cm 2 f py = 0.90 ⋅ f pu f py = 0.90 ⋅ (16,900kg / cm 2 ) = 15,210kg / cm 2 P t = 0.94 f py ≤ 0.80 f pu 0.94 f py = 0.94 ⋅ (15,210) = 14,297kg / cm 2 0.80 f pu = 13,520kg / cm
2
P i = 0.82 ⋅ f py ≤ 0.74 ⋅ f pu 0.82 ⋅ f py = 12,472kg / cm 2 0.74 ⋅ f pu = 12,506kg / cm 2 Esfuerzo → P i = 12,472kg / cm 2 Fuerza → P i = 12,472 ⋅ (0.9817) = 12,244kg P t =
P i 0.95
4.
= 13,129kg / cm 2
Definición de cargas para losa de entrepiso (habitacional).
a) Carga viva máxima y carga viva sostenida.
CV viva. max = 170kg / m 2 W viva. max = CV viva. max ⋅ ( Ancho) = 170kg / m 2 ⋅ (0.615m) = 104.55kg / m CV viva. sost = 70kg / m 2 W viva. sost = 70kg / m 2 ⋅ (0.615m) = 43.05kg / m b) Carga muerta.
CM peso. propio = C bovedilla + C concreto + C viga = 192kg / m C bovedilla = 8.13 pzas / m2 ⋅ (6.3kg ) = 51.22kg / m 2 W bovedilla = 51.22kg / m 2 ⋅ (0.615m) = 31.5kg / m C concreto = 37.88kg / m 2
W concreto = 2,400 kg / m 3 ⋅ (0.615m * .14m − .050 m 2 − .01043m 2 ) = 61.61kg / m W viga = 2,400 kg / m 3 ⋅ (.01043m 2 ) = 25.03kg / m CM acabados = 100 kg / m 2 W acabados = 61.5kg / m CM total = 179.60kg / m
5
c)
Resumen de cargas.
Wmuertasin viga = 155kg / m Wmuertacon.viga = 180kg / m CV = 104.55kg / m CV sost . = 43.05kg / m El cálculo del claro máximo de la viga pretensada se resuelve a través de iteraciones, y se revisarán los esfuerzos reales de la viga, las pérdidas de presfuerzo, los esfuerzos cortantes horizontales y verticales, y las deflexiones. L = 4.42 m 5.
Revisión de esfuerzos en la transferencia.
a) Cálculo de esfuerzos permisibles.
fc = 0.6 ⋅ f `ci = 192kg / cm 2 ft = 0.80 ⋅ f `ci = −14.31kg / cm 2 b) Esfuerzos en la fibra superior de la viga.
f s =
P i A ss
+
M ppv S sss
P i ⋅ e ss
−
S sss
( 25.03) ⋅ L2
M ppv =
= 58.38kg − m = 6,110kg − cm 8 (6,110) 12,244 ⋅ 0.84 f s = 117 + − = 91kg / cm 2 ≤ 192kg / cm 2 154.1 154.1 c)
f i =
Esfuerzos en la fibra inferior de la viga.
P i A ss
−
f i = 117 −
M ppv S iss 6,110 248.3
+
P i ⋅ e ss
+
S iss 12,244 ⋅ (0.84) 248.3
f i = 134kg / cm ≤ 192kg / cm 2 2
6.
Cálculo de pérdidas de presfuerzo.
a) Pérdidas Inmediatas. a. Acortamiento Elástico.
6
E p ⋅ f ∆ AE = E cpi cgp P i P i ⋅ e ss2 M ppv⋅e ss + − f cgp = A ss
I ss
I ss
12,244 ⋅ (0.84) 2 6,110 ⋅ (0.84) − = 108kg / cm 2 f cgp = 0.9 ⋅ 117 + 1140.9 1140.9 2,000,000 ⋅108 = 800kg / cm 2 ∆ AE = 15,100 320
b.
Relajación del Acero en la transferencia.
f ⋅ log(t ) ⋅ t − 0.55 ⋅ f t 10 f py 1 13,129 ∆ RE 1 = ⋅ log(30) − 0.55 ⋅13,129 10 15,210 ∆ RE 1 = 607 kg / cm 2 ∆ RE 1 =
1
b) Pérdidas Diferidas. a. Contracción del concreto
∆C c = 1,193 − 10.5 ⋅ H H = 70% ∆C c = 1,193 − 10.5 ⋅ (70) = 458kg / cm 2 b.
Flujo plástico
∆ FP = 12 ⋅ f cgp − 7 ⋅ f cds ≥ 0 f cds =
M cm I ss
M cm = f cds =
⋅ e ss
155 ⋅ ( 4.42) 2
8 37,852
1140.9
⋅100 = 37,852kg − cm
⋅ (0.84) = 27.72kg / cm 2
∆ FP = 12 ⋅ f cgp − 7 ⋅ f cds = 1,102kg / cm 2 c.
Relajación del acero en la transferencia
Para relevado de esfuerzos
7
∆ RE 2 = 1408 − 0.4 ⋅ (∆ AE ) − 0.2 ⋅ (∆C c + ∆ FP ) ∆ RE 2 = 1408 − 0.4 ⋅ (800) − 0.2 ⋅ (458 + 1,102) ∆ RE 2 = 776kg / cm 2 c)
Resumen de pérdidas. 2
Acortamiento Elástico Relajación Instantánea Contracción Concreto Flujo Plástico Relajación Diferida
= 801 kg/cm 2 = 607 kg/cm 2 = 458 kg/cm 2 = 1,113 kg/cm 2 = 773 kg/cm 2
Total de Pérdidas
= 3,743 kg/cm
d) Cálculo de la fuerza efectiva de presfuerzo.
f f = P i −
∑ Pérdidas
f f = 12,244 / 0.981 − 3,743 = 8,729kg / cm 2 P e = 8,720 ⋅ (0.981) = 8,570kg 7.
Revisión de esfuerzos en vigas después de pérdidas de presfuerzo. a.
Esfuerzos permisibles
f c1 = 0.45 ⋅ 400 = 180kg / cm 2 f c 2 = 0.60 ⋅ 400 = 240kg / cm 2 f t = 1.6 ⋅ 400 = 32kg / cm b.
f s = f s =
P e A ss
+
104.3
M sct =
Revisión fibra superior con carga máxima
M ppv
8,570
S sss
+
2
+
M sct
6,110 154.1
S sc1
+
−
P e ⋅ e ss
60,547.82 1723
(104.55 + 155) ⋅ 4.42 8 c.
S sss
−
8,570 ⋅ (0.84) 154.1
= 112kg / cm 2 ≤ 240kg / cm 2
2
⋅100 = 63,383kg ⋅ cm
Revisión fibra superior con carga viva sostenida.
8
P e
f s =
A ss
+
M ppv
+
S sss
M csost
−
S sc1
P e ⋅ e ss S sss
f s = 82.2 + 39.6 + 28.6 − 46.42 = 103kg / cm 2 ≤ 240kg / cm 2 M csost S sc1
1 ((180 + 43.05) ⋅ 0.615)) ⋅ 4.42 2 ⋅ ⋅100 8 = = 28kg / cm 2 1723.74
d.
f i =
P e A ss
+
P e ⋅ e ss S ss 2
f i = 82.2 +
P e A ss
−
−
M ppv
−
M sct
−
6,110
S ss 2
8,570 ⋅ (0.84) 248.3 e.
fi =
Revisión esfuerzos fibra inferior con carga máxima.
S sc 2 248.3
−
63,383 534.85
= −32.07kg / cm 2 ≅ −32kg / cm 2
Revisión esfuerzos fibra inferior con carga sostenida.
M ppv S sss
−
M csost S sc1
+
P e ⋅ e ss S sss
f s = 82.2 − 90.4 − 24.6 + 28.84 = −4kg / cm 2 > −32kg / cm 2 f.
Revisión de esfuerzos en la capa de compresión. i. Esfuerzos permisibles
f c = 0.45 ⋅ f `c = 90kg / cm
2
f t = 1.6 ⋅ f `c = −22.62kg / cm 2 ii. Fibra superior
f s = n ⋅
M sct max . S sc 4
M sct max =
f i = n ⋅
8.
= 0.7071⋅
40,550 1,011.17
(104.55 + 61.5) ⋅ ( 4.42) 2 8
M sct max S sc 4
= 0.7071 ⋅
40,550 5,819.7
= 28kg / cm 2 ≤ 90kg / cm 2
⋅100 = 40,550kg − cm
= 5kg / cm ≤ 90kg / cm 2
ii. Fibra inferior 2
Revisión de esfuerzos cortantes por última resistencia. a.
Cortante actuante.
9
V u = 1.4CM + 1.7CV = 1.4 ⋅ (180 + 104.55) + 1.7 ⋅ (170) = 429kg / m V u max = 429 ⋅ ( 4.42) / 2 = 950kg Revisión a h/2 del apoyo
x = 5 +
h ss
= 11cm 2 V ux = 902 ⋅ kg
M ux =
(902 + 950) ⋅11
= 10,187kg ⋅ cm
2 d v = 12 − 3.76 = 8.24cm V u
M u
⋅ d v = 0.73 ≤ 1 b.
Cortante resistente.
bw = 5.5 + .7071⋅ (13.5 − 5.5) = 11.15cm h`= 0.7071⋅ (14 − 12) + 12 = 13.41cm d p = 10.7cm φ V c max = 0.85 ⋅ (1.3) ⋅ 400 ⋅11.15 ⋅13.41 = 1,563kg
φ V c1 = 0.85 ⋅ 0.16 ⋅ 400 + 49 ⋅
V u d u bw d p = 2,343kg M u
φ V c 2 = 0.85 ⋅ (0.55) 400 ⋅ bw ⋅ d p = 661kg V u M u
d v = 0.73 ≤ 1.0
φ V c ≥ V u max 1,563 ≥ 880kg c.
Revisión de cortante horizontal por fricción.
V u = 950kg V nh = 5.6 ⋅ bv ⋅ d V u ≤ φ V nh V nh = 5.6 ⋅ (53) ⋅ (6.59) = 1,956kg bv = 5 + bcorona = 53cm φ V nh = 0.85 ⋅ (1956) = 1663kg ≥ 928kg 9.
Revisión de deflexiones a.
Revisión de deflexiones en la transferencia.
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∆ pt =
P i ⋅ e ss ⋅ L2 8 ⋅ E cc ⋅ I ss
E cc = 15,100 ⋅ f `cc = 270,117kg / cm2 f `cc = 0.8 ⋅ f `c = 320kg / cm2
∆ P ins tan táneas = 1,407kg / cm2 P i = 12,244 − 0.981⋅ (1,407) = 10,904kg ∆ pt =
10,904 ⋅ (0.84) ⋅ (442) 2 8 ⋅ (270,117) ⋅1,140.9 5 ⋅ ω pp L4
∆ pp =
384 ⋅ E cc ⋅ I ss
= 0.73cm
5 ⋅ ( 25.02 / 100) ⋅ 442 4
=
384 ⋅ ( 270,117) ⋅ 1,140.9
= 0.4cm
∆ inst = 0.72 − 0.4 = 0.32cm(↑) = −0.32cm ∆ Admtransf =
L
300 1.44 ≥ −0.32cm b.
∆ pf =
= 1.44cm
Revisión de deflexiones en la etapa final.
P e ⋅ e sc ⋅ L2 8 ⋅ E cp ⋅ I sc
8,729 ⋅ (.981) ⋅ (5.4) ⋅ ( 442) 2
=
= 0.76cm
8 ⋅ (302,000) ⋅ 4,898.3
f se = 12,472 − 3,743 = 8,729kg / cm 2
∆ ppl =
5 ⋅ ω ppl ⋅ L4 384 ⋅ E cp ⋅ I sc
∆ acab = ∆ CV =
5 ⋅ ω acab ⋅ L4 384 ⋅ E cp ⋅ I sc 5 ⋅ ω cv ⋅ L4
384 ⋅ E cp ⋅ I sc
=
5 ⋅ (155 / 100)(442) 4 384(302,000)(4,898.3)
= =
= 0.53cm
5 ⋅ (61.5 / 100)(442) 4 384(302,000)(4,898.3) 5 ⋅ (104.55 / 100)(442) 4
384(302,000)(4,898.3)
= 0.20cm
= 0.35cm
∆T = −0.76 − (0.73 + 0.76) ⋅ (2.4 / 2) + (0.4 + 0.53 + 0.2) ⋅ (1 + 2.4) + 0.35 = 1.64cm ∆ Adm Diferido =
L 240
+ 0.5 =
442 240
+ 0.5 = 2.34cm ≥ 1.64cm
Referencia bibliográfica. Manual de Diseño de Estructuras Prefabricadas y Presforzadas. Anippac / Instituto de Ingeniería UNAM. Reglamento para las Construcciones de Concreto Estructural ACI 318-02 Aceros para pretensado en la EHE, Calidad Siderúrgica, S.R.L.
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Ing. Roberto Aranda
[email protected] [email protected] Ing. Carlos Rivera
[email protected]
DEACERO, S.A. DE C. V. Ave. Lázaro Cárdenas 2333 Ote. Col. Valle Oriente 66260 Garza García, N. L. México Tel. +52 (81) 8368.1100
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