MEDIDAS DE POSICIÓN. Las medidas de posición se usan para describir la posición que tiene un dato específico en relación con el resto de los datos. Dos de estas medidas de posición más conocidas son los cuartiles y los percentiles.
Cuartiles. Son los valores de una variable que dividen en cuartos a los datos ordenados; Cada conjunto de datos posee tres cuartiles. El primer cuartil, Q 1, es el número tal que cuando mucho el 25% de los datos es menor que el valor de Q 1. El segundo cuartil es la mediana. El tercer cuartil, Q 3, es un número tal que cuando mucho el 75% de los datos es menor que Q 3. Esto se muestr muestra a en el sigu siguient iente e esquem esquema: a: 25%
25%
Min
Q 1
25%
25%
Q 2
Q 3
Max
Percentiles. Son los valores de una variable que dividen al conjunto de datos ordenados en 100 subconjuntos; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles. El k-esimo percentil, P k, es un valor tal que cuando mucho (100-k) % de los datos es mayor. Esto se muestra en el siguiente esquema:
1
1
%
Min
1
%
P1
P2
1
%
1
%
P3
P4
1
%
P5
1
%
P6
%
P7
Así hasta
P97
1
1
1
%
%
%
P98
P99
Max
Observaciones. El primer cuartil y el 25avo percentil son iguales; es decir, Q 1=P25. También, Q3=P75. La mediana, el segundo cuartil Q 2, y el 50avo percentil son iguales, Mediana = Q 2
=
P50 , así
cuando se pida encontrar encontrar Q 2 o P50, aplique el procedimiento para encontrar la mediana.
CUARTILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS.
El procedimiento para determinar el valor de los cuartiles es el mismo que para los percentiles y se muestran a continuación:
Paso 1. Ordenar los datos del menor al mayor. Paso 2. Calcular
nk 100
, donde n es el tamaño de la muestra y k la medida de posición
buscada (cuartil o percentil).
Paso 3. a) Si el resultado del cálculo anterior (
nk 100
b) Si el resultado del cálculo anterior (
) es un número entero, se le deberá sumar 0.5 nk
100
)
no es un número entero , este se deberá
tomar como el siguiente entero más grande.
Paso 4. Con la posición encontrada en el paso anterior, remitirse a los datos ordenados y verificar a que valor de nuestros datos le corresponde la posición buscada.
Ejemplo resuelto. Los siguientes datos corresponden al número de autos que llegan a diario al taller de la empresa Dodge para su reparación, durante los meses de marzo y abril (40 días), de lunes a viernes. Determinar: a) Primer cuartil Q 1 b) Tercer cuartil Q 3 c) El 45 percentil. 10
17
10
11
12
11
22
18
14
25
19
17
22
10
24
18
15
20
24
21
24
15
21
19
15
20
22
14
25
18
20
13
11
19
20
10
19
17
16
12
Paso 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 10
10
10
10
11
11
11
12
12
13
14
14
15
15
15
16
17
17
17
18
18
18
19
19
19
19
20
20
20
20
21
21
22
22
22
24
24
24
25
25
Para el primer cuartil Q 1. Paso 2 . n= 40 datos, k=25, ya que Q 1= P25 (primer cuartil es igual al 25 percentil) Q1=
nk
Q1=
100
Paso 3. Como
40( 25) 100
nk 100
=
1000 100
= 10
= 10, el 10 es un número entero, por lo que se deberá de agregar 0.5,
entonces el Q1 se encuentra en la posición 10.5, entonces está entre 10 y 11avo dato.
Paso 4. Q1 en este caso está entre 13 y 14 autos, Q 1=
13 + 14 2
=
27 2
= 13.5
Q1=13.5 autos.
Para el tercer cuartil cuartil Q 3. Paso 2. n= 40 datos, k=75, ya que Q 3= P75 (tercer cuartil es igual al 75 percentil) Q3=
nk
Q3=
100
Paso 3. Como
40(75) 100
nk 100
=
3000 100
=
30
= 30, 30, el 30 es un número entero se deberá de agregar 0.5, por lo que Q 3
se encuentra en la posición 30.5
Paso 4. Entonces Q 3 está entre 30 y 31avo dato, Q 3 está en este caso entre 20 y 21autos, Q3=
20 + 21 2
=
41 2
=
20.5
Q3=20.5 autos.
Para el 45 percentil P 45. Paso 2. n= 40 datos, k=45 P45=
nk
P45=
100
Paso 3. Como
40( 45)
nk 100
100
=
1800 100
= 18
= 18, el 18 es un número entero entero se deberá de agregar 0.5, por lo que
P45 se encuentra en la posición 18.5, entonces está entre 18 y 19avo dato.
Paso 4. P45 en este caso está entre 17 y 17 autos, P 45=
17 + 17 2
=
34 2
= 17.5
P45=17.5 autos.
CUARTILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS.
Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencia, los cuartiles y los percentiles se determinan de la siguiente manera:
El primer cuartil es aquel que divide al 25% de los elementos del 75% de los valores restantes, en una muestra o población y se calcula utilizando, la siguiente expresión:
n Q1
=
L
ri
+
4
−
f
Fa (Ac)
Donde: Q1=Primer cuartil. Lri=Límite real inferior de la clase que contiene el primer cuartil. n= Tamaño de muestra. Fa= Número acumulado de las observaciones que preceden a la clase que contiene el primer cuartil.
f = Frecuencia de la clase que contiene al primer cuartil. Ac= Es el tamaño o amplitud de la clase donde se localiza el primer cuartil.
El tercer cuartil , es el valor que separa al 75% del 25% superior de los elementos de una muestra y lo podemos obtener de la siguiente forma:
3n Q3
=
L
ri
+
4
Fa
−
(Ac)
f
Q3= Tercer cuartil. Lri=Límite real inferior de la clase que contiene el tercer cuartil. n= Tamaño de muestra. Fa= Número acumulado de las observaciones que preceden a la clase que contiene el tercer cuartil.
f = Frecuencia de la clase que contiene al tercer cuartil. Ac= Es el tamaño o amplitud de la clase donde se localiza el tercer cuartil.
La amplitud cuartilica será = Q 3 - Q1
De manera semejante, 99 percentiles dividen a una distribución en 100 partes iguales. La amplitud percentilica percentili ca es por lo general la distancia entre percentil 10 y el percentil 90. Los percentiles se calculan de manera semejante a los cuartiles, Utilizando las siguientes expresiones:
10n 10°Percentil = L
ri
+
−
100
ri
+
(Ac)
f
90n 90°Percentil = L
Fa
100
−
f
Fa ( Ac)
Ejemplo resuelto. Si los datos del ejercicio anterior se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, hallar el primer cuartil (Q 1), el tercer cuartil (Q 3) y el 45 percentil (P 45) Tabla de distribución de frecuencias frecuencia
Clase
Lími Límite tess de de cla clase se
Lími Límittes rea reales les de de cla clase se
Frecuencia
marca de
frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
clase
acumulada
acumulada
N°
Li
Ls
Lri
Lrs
fi
fri
mi
fai
frai
1
9
11
8.5
11.5
7
0.175
10
7
0.175
2
12
14
11.5
14.5
5
0.125
13
12
0.3
3
15
17
14.5
17.5
7
0.175
16
19
0.475
4
18
20
17.5
20.5
11
0.275
19
30
0.75
5
21
23
20.5
23.5
5
0.125
22
35
0.875
6
24
26
23.5
26.5
5
0.125
25
40
1
40
Primer cuartil. Como
n 4
=
40
n Q1
=
L
ri
+
−
4
= 11.5 +
Q1
= 11.5 +
Q1
= 11.5 +
Fa (Ac)
f 40
Q1
en el decimo dato esta esta el primer cuartil, el cual corresponde a la clase 2.
= 10
4
4
−7
5 10 − 7 5
(3)
(3)
9
5 Q1 = 11.5 + 1.8 = 13.3
Por lo tanto el cuartil Q 1 es 13.3 autos.
Tercer cuartil (Q 3). Como
3n 4
=
3(40)
=
4
120
=
4
en el 30avo dato esta el tercer cuartil, el cual cual corresponde a la
30
clase 4.
3n Q3
=
L
ri
4
+
Fa
−
(Ac)
f 3(40)
Q3
= 17.5 +
Q3
= 17.5 +
Q3
= 17.5 +
4
− 19
(3)
11
30 − 19 11
(3)
11
(3) 11 Q 3 = 17.5 + (3) Q3 es de 20.5 autos.
Percentil 45 P 45 Como
45( 40) 100
=
1800 100
= 18 ,
en el 18avo dato esta el P 45, el cual corresponde a la clase a la
clase 3.
45n 45°Percentil = L
ri
+
−
100
Fa
45( 40) 100 7
45°Percentil = 14.5 +
45°Percentil = 14.5 +
45°Percentil = 14.5 +
( Ac)
f
18 − 12 7 6 7
− 12
(3)
(3)
(3)
45°Percentil = 14.5 + 2.57 = 17.07 45°Percentil es
de 17.07 autos.
