Liceo Naval Teniente Clavero
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MODA (Mo) De un conjunto de datos la moda es aquel dato que se presenta con mayor frecuencia. Una distribuci\u00f3n puede ser unimodal (Una sola moda) bimodal (dos modas) trimodal (tres modas, etc. Si no existiese moda el sistema ser\u00eda amodal.
Resoluci\u00f3n:
Edades
fi
15
13
11 13 14
PARA DATOS NO TABULADOS
18 20
Ejemplo 5
Sean las edades de 10 alumnos del LNTC 18 14 La moda es:
6
15 17
19 17
15 16
La moda es:
Sean las notas de 15 alumnos del LNTC en el curso de Aritm\u00e9tica
La moda es:
16 11 09
10 13 19
17 18 11
19 12 14
11 y 19
4 7 6
9 11
15
Para datos continuos: Mo
15 se repite 3 veces.
11 19 16
7
20 15
3er A\u00f1o Secundaria
d1 \ue002 \ue005 \ue001 \ue003 \ue006 Lo \ue000 Wo \ue003 \ue006 d 1 \ue000 d2 \ue004 \ue007
donde: Lo : L\u00edmite inferior de la clase modal Wo : Ancho de la clase modal d1 : Diferencia entre la frecuencia de la clase y la frecuencia de la clase anterior a ella d2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
Sean los pesos de 5 alumnos del LNTC 45
52
58
49
60
No hay moda
Ejemplo En el siguiente cuadro estad\u00edstico
[Li -Ls\ue000 fi
PARA DATOS TABULADOS Cuando los datos se encuentran en un tabla de distribuci\u00f3n de frecuencias.
[12 [15 [18 [21 [24
-
Si los datos son discretos la moda ser\u00e1 la variable que posee la mayor frecuencia. Determinar la moda Ejemplo: En el siguiente cuadro estad\u00edstico:
Edades 11 13 14 15 18 20
Determinar la moda:
fi
4 7 6 13 9 11
10 15\ue001 15 18\ue001 25 21\ue001 20 24\ue001 10 27\ue001
Resoluci\u00f3n:
[Li -Ls\ue000 fi
10 [12 - 15\ue001 15 [15 - 18\ue001
25 [18 - 21\ue000 20 [21 - 24\ue001 10 [24 - 27\ue001
Lo = 18 Wo = 3 d1 = 25 \u2013 15 = 10 d2 = 25 \u2013 20 = 5
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3er A\u00f1o Secundaria
MEDIANA (Me)
n 2
100
\ue000
2
50
\ue000
De un conjunto de datos la mediana es aquel dato que tiene la propiedad de dividir al conjunto en dos La mediana ser\u00e1: 17 partes igualmente numerosas. Si el n\u00famero de datos fuese impar se tomara como mediana el valor Para datos continuos: central, pero si el n\u00famero de datos fuese par se tomar\u00e1 como mediana la semisuma de los datos n centrales siempre y cuando los datos est\u00e9n 2 Me \ue002 L m \ue000 Wm ordenados de menor a mayor o viceversa.
\ue003 \ue004 \ue007 \ue004 \ue007 f m \ue004 \ue007 \ue004 \ue007 \ue005 \ue0
PARA DATOS NO TABULADOS Ejemplo:
Donde:
1
Lm Wm n Fm-1
Se tiene el coeficiente de inteligencia de 5 alumnos del LNTC ordenados de menor a mayor 100 ; 110 ;
118 ; 120 ; 130
La mediana ser\u00e1: 2
fm
11 8
Se tiene los pesos de 6 alumnos del tercer grado de educaci\u00f3n secundaria del LNTC 8 ; 11 ; 14
14 ; 16 ; 20 ; 25 \ue000 16
2 La mediana ser\u00e1:
F m \ue001 1
: : : :
Limite inferior de la clase mediana Ancho de la clase mediana N\u00famero total de datos Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana : Frecuencia absoluta simple de la clase mediana
Ejemplo: En el siguiente cuadro estad\u00edstico
[Li -Ls\ue000 fi
\ue001 15
[10 [20 [30 [40 [50
PARA DATOS TABULADOS
-
8 20\ue001 12 30\ue001 10 40\ue001 5 50\ue001 15 60\ue001
Cuando los datos se encuentran en un tabla de distribuci\u00f3n de frecuencias. Si los datos son discretos la mediana ser\u00e1 la variable cuya frecuenciaSe pide determinar la mediana. absoluta acumulada es igual o exceda a la mitad del total de datos. Resoluci\u00f3n:
Ejemplo:
[Li -Ls\ue000 fi
8 [10 - 20\ue001 12 [20 - 30\ue001
En el siguiente cuadro estad\u00edstico
Edades 8 10 12 15 17 20 TOTAL
10 [30 - 40\ue000
fi
5 [40 - 50\ue001 15 [50 - 60\ue001 TOTAL 50
8 16 12 9 24 31 100
n 2
Determinar la mediana.
Resoluci\u00f3n:
Edades 8 10 12 15
17
20 TOTAL
fi
8 16 12 9
24
31 100
Fi
8 24 36 45
69
100
50
\ue000
2
25
\ue000
Lm : 30 Wm : 10 n : 50 Fm-1 : 20 fm : 10
Fi
8 20
30 35 50
\ u e 0 0 0 Clase mediana es:
\ue00 \ue004 \ue007 2 30 \ue000 10 35 \ue007 \ue002 \ue002 \ue004 10 \ue004 \ue007 \ue005 \ue0 50
Me
[ 30 - 40 \ue000
20
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3er A\u00f1o Secundaria
MEDIA ARITM\u00c9TICA ( X ) Se define como la suma de los valores observados en la muestra dividida por el n\u00famero total de observaciones.
PARA DATOS NO TABULADOS Sean los siguientes datos: d1; d2; d3; d4; ..........; dn X
d1
\ue001
3
4
........
d \ue000 n
n
n : N\u00famero total de datos
Donde:
Ejemplo: Sean los puntajes obtenidos en 5 ex\u00e1menes de Aritm\u00e9tica: 15 ; 12 ; 10 ; 18 ; 20 determinar la nota media o promedio. X
15
\ue001
12 \ue000 10 \ue000 18 \ue000 20 \ue000 5
75
\ue001
5
15 \ue001
PARA DATOS TABULADOS Cuando los datos se encuentran en un tabla de distribuci\u00f3n de frecuencias. K
x .f \ue001 i
i
1 X \ue000 n
i
\ue000
4 [ 2 - 4 \ue001 6 [ 4 - 6 \ue001 8 [ 6 - 8 \ue001 12 [ 8 - 10\ue001 20 [10 - 12\ue001 TOTAL 50 X
d \ue000 d \ue000 d \ue000 .......... \ue000 2
[Li -Ls\ue000fi
k
\ue001
X \ue000 x i .h i i 1
\ue000
donde: k : N\u00famero de intervalos xi : Marcas de clase fi : Frecuencias absolutas hi : Frecuencias relativas n : N\u00famero total de datos
Ejemplo: En el siguiente cuadro estad\u00edstico
[Li -Ls\ue000 fi
[ 2 - 4 \ue0014 [ 4 - 6 \ue0016 [ 6 - 8 \ue0018 12 [ 8 - 10\ue001 20 [10 - 12\ue001 determinar la media o promedio.
426
\ue000
50
8,56
\ue000
xi
3 5 7 9 11
xi.fi
12 30 56 108 220
426
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3er Año Secundaria
PRACTICA DIRIGIDA
01. Se tiene las notas de 11 alumnos en un examen de matemática:
05. En el “LNTC” se hizo un estudio sobre las edades de los trabajadores y se obtuvo.
Edad
10 ; 12 ; 09 ; 12 ; 08 ; 14 12 ; 10 ; 11 ; 12 ; 08
[20 [30 [40 [50 [60
¿Cuál es la moda? B) 10 E) 9
A) 8 D) 12
C) 11
B) 10,5 E) 12
C) 10
Si se elimina la mayor nota. ¿Cuál es la mediana de las notas restantes? A) 10 D) 11,5
B) 10,5 E) 12
A) 40,6 D) 41,7
C) 6
[16 [32 [48 [64 [80
calcule la media Aritmética, mediana y moda. Dar como respuesta la suma.
determinar el promedio entre la media, moda y mediana A) 4,12 B) 4,21 C) 5,21 D) 5,12 E) 6,12
18 20 16 17
20 18 21 18
21 17 19 16
de
5 4 6 3 2
Determinar el promedio mediana y la moda. A) 20 B) 22 D) 24 E) 26
aritmético
entre
la
C) 23
08. Dado el siguiente cuadro estadístico. Calcula la moda.
Xi
19 18 16 18
se puede decir entonces que es sistema es: A) Unimodal B) Bimodal C) Amodal D) Trimodal E) Multimodal
C) 3
fi
20 22 24 26 28
1 ; 1 ; 2; 3 ; 2 ; 5 ; 7 ; 8 ; 6 14 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 13 ; 7 ; 8
16 19 21 16
6 n 8 3n 3
B) 2 E) 5
Xi
03. Para el siguiente conjunto de datos:
edades
32 48 64 80 96
fi
07. Dada la tabla de distribución de frecuencias.
C) 44
las
-
A) 1 D) 4
08; 04; 12; 15; 20; 20; 18; 06; 09; 11
04. Se tiene a continuación 20 alumnas del LNTC.
C) 41,4
Se pide calcular el valor de”n” sabiendo que la moda es 60 y pertenece al tercer intervalo.
02. Se tiene los siguientes datos:
B) 43,8 E) 45
B) 41 E) 42
[Li -Ls
C) 11
B) 5 E) 3
A) 43 D) 44,6
20 16 28 11 5
06. Dada la siguiente distribución de frecuencias:
Si el profesor decide desaprobar a los alumnos cuya nota sea menor que la moda ¿Cuántos aprueban? A) 4 D) 7
30 40 50 60 70
¿Cuál es la media de las edades de los trabajadores? (aproximadamente)
¿Cuál es la mediana? A) 9 D) 11
-
fi
6 8 10 13 15 A) 6 D) 13
fi 6 8 B) 8 E) 15
Fi 4
15 20 C) 10
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3er Año Secundaria
09. Dada la siguiente distribución de frecuencias.
fi
[Li -Ls
[20 [26 [32 [38 [44
-
13. Dado el siguiente histograma:
8 4 n 6 10
26 32 38 44 50
Calcular el valor de “n” sabiendo que la mediana vale 36 y que pertenece al tercer intervalo.
Calcular la moda
A) 8 D) 14
A) 12 D) 13
B) 10 E) 16
C) 12
10. Dada la siguiente distribución de frecuencias. 10 19 28 37 46
– – – – –
19 28 37 46 55
fi
[Li -Ls
6 10 2n 14 3n
12
[20 [ - 36
Calcular la moda
A) 1 D) 4
A) 46 D) 40
B) 2 E) 5
C) 3
11. Dado el siguiente cuadro estadístico con ancho de clase constante igual a 4.
- 22
xi
fi
Fi 9
5 10
xi.fi
hi 0,15
xi
[Li -Ls
fi
C) 17,2
C) 50
Fi 23 40
- 120
30
B) 17,1 E) 17,5
B) 48 E) 60
15. Se tiene una distribución de frecuencias de 50 muestras de un análisis clínico de un laboratorio con ancho de clase constante igual a 20.
8 24 48
Determine la media de los datos. A) 17 D) 17,3
Fi
60
Calcular el valor de “n” sabiendo que la moda es 42 y pertenece al cuarto intervalo.
[Li -Ls
C) 12,6
14. En el siguiente cuadro estadístico:
fi
[Li -Ls
B) 12,4 E) 13,04
50
Calcular la mediana. A) 80,42 B) 82,35 D) 83,53 E) 85,42
xi.fi
300 400 350 440
C) 81,47
16. Dado el siguiente cuadro estadístico. 12. Dado el siguiente cuadro referente a las notas de 3 alumnos en Aritmética. Alumnos
A B C
Promedio de Practicas 08 05 10
Examen parcial 10 12 08
[Li -Ls
[17 [24 [31 [38 [45
Examen final 12 10 06
-
24 31 38 45 52
fi
x 15 x+3 8 11
Si el examen final tiene peso 2 y la nota aprobatoria es 10. ¿Quiénes aprobaron el curso?
Calcular el valor de “x” sabiendo que la moda vale 15 y que pertenece al segundo intervalo.
A) A D) A y B
A) 7 D) 10
B) B E) B y C
C) C
B) 8 E) 11
C) 9
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3er Año Secundaria
17. La siguiente tabla muestra la distribución de las notas de un grupo de alumnos.
fi
[Li -Ls
[0 [ [ [
[0 [12 [24 [36 [48
4/x 2/x 4/x 6/x
Hallar la nota promedio del grupo A) 8 D) 15
B) 9 E) 18
C) 12
18. Las notas de 50 alumnos se clasificaron en una tabla de frecuencias con cuatro clases de igual amplitud. Se pide calcular la moda, sabiendo que: x2 = 50 ; f1 = 4 ; F2 = 20 ; f3 = 25 y Ma = 62,4 A) 60 D) 66,2
B) 63,5 E) 65,2
A) 2506,4 D) 2508,4
B) 2507,4 E) 1723,4
xi
[8 -
fi
18
22
0,36 0,04
xi.fi 70 72
Si los intervalos tiene igual ancho de clases. Hallar la media A) 12,96 D) 14
B) 13 E) 14,64
C) 13,52
B) 5 E) 8
C) 6
22. Dado el siguiente cuadro estadístico:
[Li -Ls
10 20 30 40 50
– – – – –
20 30 40 50 60
fi
10 m 12 3m 14
Calcular el valor de “m” sabiendo que la moda es 46 y que pertenece al cuarto intervalo. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 23. Dado el siguiente cuadro estadístico
[Li -Ls
C) 1823
hi
24 k 10 3 7
12 24 36 48 60
A) 4 D) 7
[200 [ [ [ - 1000
20. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias de las edades de 50 alumnos.
[Li -Ls
-
Calcular el valor de “k” sabiendo que la mediana vale 14 y que pertenece al segundo intervalo.
C) 64,3
19. Una empresa tiene 12 empleados que cobran 7000 soles en 2 meses, 20 empleados que cobran 2800 soles al mes y 35 que cobran 500 soles a la semana. Calcular el salario medio mensual de los empleados si se sabe que dicho mes tiene 28 días.
fi
[Li -Ls
hi
x 15 x+3 8
- x
21. Dado el siguiente cuadro estadístico:
Xi
fi
10
10
f2
5
f
3
Sabiendo que: 3 ; además X 580 ¿Cuántas familias obtuvieron un ingreso entre 480 y 760 soles? A) 48 D) 58
B) 50 E) 62
C) 54
