MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Existen diversas medidas de dispersión, algunas de ellas son: • Rango • Desviación media • Desviación estándar • Varianza RANGO El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R. Requisitos del rango Ordenamos los números según su tamaño. Restamos el valor mínimo del valor máximo
Datos no agrupados El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos. Hay 2 maneras de expresar ésta medida: 1) La diferencia entre los valores mayores y menor 2) Los valores mayor y menor del grupo Datos agrupados Hay dos formas para determinar el rango para datos agrupados: 1) Rango = punto medio de la clase más alta – punto medio de la más baja 2) Rango = límite superior de la clase más alta – límite inferior de la más baja Ventajas • Es relativamente sencilla su obtención • El significado de ésta medida es fácil de comprender Limitaciones • Considera sólo los valores extremos de un conjunto, y no proporciona mayor información respecto a los demás valores del mismo • Tiene una limitada utilidad para los distintos tipos de análisis estadísticos
Ejemplo Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de: Medio rango o Rango medio El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:
Ejemplo Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rangoresolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:
DESVIACIÓN MEDIA La desviación media o desviación promedio es abreviada por MD. Mide la desviación promedio de valores con respecto a la media del grupo, sin tomar en cuenta el signo de la desviación. Datos no agrupados X es la media aritmética de los números y es el valor absoluto de la desviación de xj respecto de x. (El valor absoluto de un número es el número sin signo y se denota con dos barras verticales).
Datos agrupados Si x1, x2,…, xk ocurren con frecuencias f1, f2,…, fk, respectivamente, la desviación media es:
Donde: xj = los puntos medios de las clases fj = correspondientes frecuencias de clase
Ejemplo ilustrativo: Calcular la desviación media de la distribución: 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18
Solución: Se calcula la media aritmética.
Se calcula la desviación media.
DESVIACIÓN TÍPICA La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés. La desviación estándar se denota por s. Datos no agrupados Se define como
Datos agrupados
Si x1, x2, …, xk ocurren con frecuencias f1, f2, …, fk, respectivamente, la desviación típica se expresa como:
VARIANZA La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones. Se define como el cuadrado de la desviación estándar y se representa como s2 Datos no agrupados
Datos agrupados
Ejemplo de varianza y desvicion estandar Ejemplo ilustrativo N° 1 Considere que los siguientes datos corresponden al sueldo de una población: $350, $400, $500, $700 y $1000 1) Calcular la desviación estándar. 2) ¿Cuál es el intervalo que está dentro de k = 2 desviaciones estándar de la media?. ¿Qué porcentaje de las observaciones se encuentran dentro de ese intervalo? Solución: 1) Para la calcular la desviación estándar se sigue los siguientes pasos: a) Se calcula la media aritmética.
b) Se aplica la respectiva fórmula para calcular la varianza
c) Se calcula la desviación estándar.
Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia La varianza para una población se calcula con:
Donde f= frecuencia absoluta. La desviacion estandar poblacional se calcula con:
La varianza de la muestra se calcula con:
La desviacion estandar de una muestra se calcula con:
Ejemplo ilustrativo: Calcular la desviación estándar de los siguientes datos correspondientes a una muestra.
Solución: a) Se llena la siguiente tabla:
b) Se calcula la media aritmética.
Se llena la siguiente tabla:
Se calcula la desviacion estandar:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN La variación o dispersión real, tal como se determina de la desviación estándar u otra medida de dispersión, se llama dispersión absoluta. La dispersión relativa es:
A la dispersión relativa se le llama coeficiente de variación o coeficiente de dispersión si la dispersión absoluta es la desviación estándar s y el promedio es la media x. Se define como:
RESUMEN La dispersión indica que tan cercanos o lejanos se encuentran los valores unos de otros. Dichos valores pueden pertenecer a un conjunto de datos agrupados (distribuciones de frecuencias) o no agrupados (ordenados de acuerdo a su magnitud). Las medidas de dispersión que son más comunes son: rango, desviación media, desviación estándar, varianza. Las medidas de dispersión que utilizan la media como referencia son: desviación media, desviación estándar, varianza. Las medidas de dispersión vistas fueron para datos muéstrales.
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/BV/L0706/U4/lec_43_TeoriaMedidasDdispersion.pdf http://www.monografias.com/trabajos89/medidas-de-dispersion/medidas-dedispersion.shtml http://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_dispersi%C3%B3n