MECANICA DE FLUIDOS FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS
INTEGRANTES: NICOLAS DAZA LUIS CARLOS MOSCOTE HERNANDO VILLAMIL NAVARRO
PRESENTADO A: JAVIER OROZCO ING. CIVIL
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR FACULTAD DE INFENIERIAS Y TECNOLOGIAS PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL VALLEDUPAR 2009
INTRODUCCION Un fluido es un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante y es estático si todas y cada una de sus partículas se encuentran en reposo o tienen una velocidad constante con respecto a un punto de referencia inercial, de aquí que la estática de fluidos cuente con las herramientas para estudiarlos, con la certeza de que en este caso no tendremos esfuerzos cortantes y que manejaremos solo distribuciones escalares de presión, lo cual es el objetivo principal de esta práctica. Esta distribución de presiones a lo largo de toda el área finita puede reemplazarse convenientemente por una sola fuerza resultante, con ubicación en un punto específico de dicha área, el cual es otro punto que le corresponde cuantificar a la estática de fluidos.
OBJETIVOS
GENERALES Análisis práctico-teórico de las fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida en un fluido incompresible en reposo. ESPECIFICOS Análisis cualitativo de las fuerzas ejercidas por el fluido sobre la superficie plana sumergida. Determinación práctica de la fuerza de presion ejercida sobre la superficie y su ubicación. Determinación teórica de la fuerza de presion y la ubicación dentro de la superficie sumergida. Comparación de los datos teóricos y prácticos de la experiencia. Análisis del momento con respecto al eje de giro de una compuerta.
MARCO TEÓRICO FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS Superficies Horizontales Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido en reposo está sujeta a una presion constante. La magnitud de la fuerza que actúa sobre la superficie es: Fp = ∫ p dA = p ∫ dA = pA Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y tienen el mismo sentido. Por consiguiente, la suma escalar de todos estos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.
Figura 1 Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia esta si p es positiva. Para encontrar la línea de acción de la resultante, es decir, el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida alrededor de cualquier eje a través del punto es 0, se seleccionan arbitrariamente los ejes xy, tal como se muestra en la figura.1. Puesto que el momento de la resultante debe ser igual al momento del sistema de fuerzas distribuidas alrededor de cualquier eje, por ejemplo el eje y, pAx’ = ∫A xp dA Donde x’ es la distancia desde el eje y hasta la resultante. Como p es constante, x’= 1/A ∫A x dA =
xg
en la cual xg es la distancia al centroide del área. Por consiguiente, para un área horizontal sujeta a una presión estática, la resultante pasa a través del centroide del área.
Superficies Planas Inclinadas En la figura 2 se indica una superficie plana por la línea A’B’. Esta se encuentra inclinada un ángulo θ desde la horizontal. La intersección del plano del área y la superficie libre se toma como el eje x. el eje y se toma como el plano del área, con el origen O, tal como se muestra en la superficie libre. El área inclinada arbitraria esta en el plano xy. Lo que se busca es la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido que actúa sobre un lado del área.
Figura 2 La magnitud de la fuerza δF que actúa sobre un electo con un área δA en forma de banda con espesor δy con sus bordes largos horizontales es: δF = p δA = γh δA = γy sen θ δA Debido a que todas estas fuerzas elementales son paralelas, la integral sobre el área es la magnitud de la fuerza F, que actúa sobre un lado del área. F = ∫A pdA = γ sen θ ∫ ydA = γ sen θ y A = γhA = pGA con la relaciones tomadas de la figura ysen θ=h y pG =γh la presión en el centroide del área. En palabras, la magnitud de la fuerzas ejercida en uno de los lados del área plana sumergida en un líquido es el producto del área por la presion en su centroide. En esta forma se debe notar que la presencia de una superficie libre no es necesaria. Para determinar la presión en el centroide cualquier medio se puede utilizar. El sentido de la fuerza es empujar el área si pG es positiva. Como todos los elementos de fuerzas son perpendiculares a la superficie, la línea de acción de la resultante también es perpendicular a la superficie. Cualquier superficie puede rotarse alrededor de cualquier eje que pase por su centroide sin cambiar la magnitud de su resultante, si el área total permanece sumergida en el líquido estático.
Centro de Presión La línea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de aplicación sobre la superficie en un punto conocido como centro de presión, con coordenadas (xp , yp) apreciable también en la figura. A diferencia de lo que ocurre con una superficie horizontal, el centro de presión de una superficie inclinada no se encuentra en el centroide. Para encontrar el centro de presión, se igualan los momentos de la resultante xpF y ypF al momento de las fuerzas distribuidas alrededor de los ejes x y y , respectivamente; por consiguiente, xpF = ∫A xp dA
y ypF = ∫A yp dA
El elemento de área de xpF debe ser δxδy. Al resolver las coordenadas para el centro de presión se obtiene: xp = 1/F ∫A xp dA
y
yp = 1/F ∫A yp dA
en muchas de las aplicaciones de estas ecuaciones pueden ser evaluadas en una forma más conveniente a través de una integración gráfica; para áreas simples, éstas pueden transformarse en ecuaciones generales así: xp = 1/(γygAsenθ) ∫A xγysenθ dA = 1/(ygA) ∫A xy dA = Ixy/ygA obteniendo finalmente: xp = Ixy g/ygA + xg aquí debemos aclarar para xp que:
xp > xg, entonces el centro de presión está a la izquierda del centro de gravedad. xp< xg, el centro de presión está a la derecha del centro de gravedad. xp = 0, el centro de presión esta justamente por debajo del centro de gravedad y el Ixy g =0
Cuando cualquiera de los ejes centroidales x=xg y y=yg se encuentra sobre un eje de simetría de la superficie, Ixy g desaparece y el centro de presión se encuentra en x=xg. Debido a que Ixy g puede ser positivo o negativo, el centro de presión puede estar a cualquier lado de la línea x=x. Para calcular yp procedemos así: yp = 1/(γygAsenθ) ∫A yγysenθ dA = 1/(ygA) ∫A y2 dA = Ix/ygA
En el teorema de ejes paralelos para momentos de inercia Ix = IG + yg2A en el cual IG es el segundo momento de área alrededor de su eje centroidal horizontal. Si Ix se elimina de la ecuación, tenemos: yp = IG /ygA + yg
o
yp – yg = IG/ygA
IG siempre es positivo, por consiguiente, yp – yg siempre es positivo y el centro de presión siempre está por debajo del centroide de la superficie. Se debe enfatizar que yg y yp – yg son distancias en el plano de la superficie. El Prisma de Presión
Figura 3 Otro enfoque al problema de determinar la fuerza resultante y la línea de acción de la fuerza sobre una superficie plana está dado por el concepto de un prisma de presión. Este es un volumen prismático con su base conformada por el área superficial dada y con altitud sobre cualquier punto de la base dada por p=γh, h es la distancia vertical hasta la superficie libre como se observa en la figura 3. (Se puede utilizar una superficie libre imaginaria para definir h si no existe una superficie libre real). En la figura, γh puede dibujarse en cualquier escala conveniente de tal manera que su traza sea OM. La fuerza que actúa sobre un elemento de área diferencial δA es: δF = γhδA = δV el cual es un elemento de volumen del prisma de presión. Después de integrar, F= V, el volumen del prima de presión es igual a la magnitud de la fuerza resultante que actúa en uno de los lados de la superficie. Y tememos que:
xp = 1/V ∫V x dV y yp = 1/V ∫V y dV Lo cual muestra que xp y yp son las distancias al centroide del prima de presion, por consiguiente, la línea de acción de la resultante pasa a través del centroide del prima de presión. Para algunas áreas simples, el prima de presión es más conveniente que la integración o que el uso de ecuaciones. Por ejemplo un área rectangular con uno de sus bordes en la superficie libre tiene un prisma en forma de cuña. Su centoide está a 1/3 de la altitud desde la base; por consiguiente, el centro de presión se encuentra a 1/3 de la altitud desde su borde más bajo. Efectos de la Presión Atmosférica Sobre las Fuerzas en Áreas Planas En la discusión sobre fuerzas de presión, la presión datum no se mencionó. Las presiones se calcularon mediante p=γh en donde h es la distancia vertical por debajo de la superficie libre. Por consiguiente el datum tomado fue una presión manométrica 0, o la presión atmosférica local. Cuando el lado apuesto de la superficie se encuentra abierto a la atmósfera, se ejerce una fuerza sobre ésta, causada por la atmósfera, igual al producto de la presión atmosférica p0 y al área p0A, basado en el 0 absoluto como datum. En el lado líquido la fuerza es: ∫ (p0 + γh) dA = p0A + γ∫ h dA El efecto de p0A de la atmósfera actúa en forma igual a ambos lados y no contribuye a la fuerza resultante o a su localización. Mientras se seleccione la misma presión datum para todos los lados de un cuerpo libre, la fuerza resultante y el momento pueden determinarse construyendo una superficie libre a presión 0 de este datum y utilizando los métodos anteriores.
MATERIALES Un banco hidrostático provisto de: una bomba de pie, un tanque presurizado, un recipiente rectangular transparente, con su aditamento giratorio para medición de fuerzas sobre superficies planas y un mesón de soporte en acero inoxidable. Juego de pesas, monedas, arandelas metálicas y en general todo lo que pueda ser colocado en el platillo de la balanza. Cinta métrica, regla o escuadra. Balanza. Limpiones.
PROCEDIMIENTO La recolección de los datos correspondientes a esta experiencia se dio de la siguiente manera: 1.
Se midieron las dimensiones de la sección rectangular de la superficie.
2. Se midió la distancia desde el punto C del eje sobre el cual se realizará momento hasta el extremo donde se colocan los pesos para equilibrar el sistema. 3. Se suministró agua al sistema exactamente hasta el borde superior de la sección transversal rectangular del elemento sumergido. 4. Se equilibró la superficie colocando pesos en uno de los extremos del eje al cual está conectado el elemento. 5. Se Tomó la lectura de la altura que alcanzó el agua dentro del recipiente rectangular. 6. Se Llevaron todos los pesos colocados para equilibrar el elemento a la balanza y se registró su masa. 7. Se repitieron los pasos anteriores para diferentes alturas del nivel del agua dentro del recipiente y se registraron cada uno de estos datos. 8.
Se Calculó la fuerza de presión por el método del prisma de presiones.
9. Se Comprobó matemáticamente, utilizando los datos recolectados, que el sistema estaba en equilibrio. 10. Se Calculó teóricamente el peso W necesario para tal equilibrio, en cada caso, y se hizo una tabla comparativa entre estos datos y los prácticos.
MONTAJE
DATOS Dimensiones del Área transversal b = 10cm = 0.1m h = 7.8cm = 0.078m Área de la sección transversal A = 0.1m * 0.078m = 7.8 *10-3 Altura del recipiente H = 25.5cm = 0.255m Distancia del punto O hasta donde se aplica el peso K = 31.5cm = 0.315m Los demás datos se encuentran en las figuras correspondientes a cada paso del procedimiento experimenta CÁLCULOS
1
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero*.
2
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero*.
3
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la figura). La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el resultado debe dar aproximadamente cero*.
ANALISIS DE RESULTADOS Y OBSERVACIONES (*) A causa de errores milimétricos en los que se incurre al efectuar mediciones y practicas de este tipo, o a la supresión de algunos decimales en el momento de realizar los cálculos, el resultado se aproxima, Pero en realidad es muy difícil que sea exactamente cero.
CASO
Tabla Comparativa W. EXPERIMENTAL(N) W. TEORICO(N)
1
2.5
2.26
2
4.02
3.71
3
4.82
4.54
Los resultados de los análisis matemáticos y teóricos, arrojaron datos muy cercanos a los obtenidos de manera práctica, lo que nos indica que en realidad los métodos de cálculo fueron realmente acertados. Aunque el equipo de laboratorio no esta perfectamente calibrado, pudimos realizar un experimento satisfactorio. Una leve corriente de aire impidió por momentos que el sistema estuviera realmente estático. Lo mismo ocasiono el movimiento natural del fluido al ser introducido en el recipiente. El elemento equilibrante, nunca estuvo en una posición totalmente horizontal, pero su inclinación era en realidad tan insignificante, que decidimos despreciarla.
CONCLUSION Así como en otras experiencias, pudimos darnos cuenta, que, aunque muy cercanos, los valores arrojados por la teoría y la practica, no son exactamente iguales; debemos presumir que dicho margen de error se debe a la mala calibración de los instrumentos, al error humano que se introduce en cualquier tipo de medición, a factores ambientales como corrientes de aire y al apremio, que no nos permitió esperar a que el fluido estuviera totalmente en reposo. De todos modos fue muy gratificante comprobar mediante la experiencia, que los métodos matemáticos que hemos estado estudiando son en realidad útiles y fáciles de aplicar. La observación de la utilidad práctica de los estudios de física y matemáticas lleva a que el estudiante sienta un mayor interés por la materia. Acá comprendimos la importancia de conocer como se puede utilizar el método matemático a la hora de resolver un problema cotidiano de cualquier ingeniero de nuestra rama o de una rama afín.
BIBLIOGRAFIA
Victor L. Streeter; Mecánica de Fluidos Novena edición. Editorial Mc Graw Hill
Irving H. Shames; Mecánica de los Fluidos. Editorial Mc Graw Hill.
Sotelo, Gilberto; Hidraulica general. Ed. Limusa Noriega Editores.
http://www.loner.ccsr.uiuc.edu/
Fuentes suministradas por el docente y monitor de laboratorio.
EL PRINCIPIO DE LOS VASOS COMUNICANTES Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la Ecuación Fundamental de la Hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir: Luego si PA = PB necesariamente las alturas hA y hB de las respectivas superficies libres han de ser idénticas hA = hB. Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si PA = PB, se tendrá que esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida.
Por ejemplo consideremos la figura anterior, allí tenemos recipientes de diferente forma y de secciones S diferentes, todos conectados a un pequeño tubo a través del cual se le adiciona agua al sistema. Si inicialmente teníamos un nivel diferente en cada tubo, al abrir el tubo de comunicación y permitir el paso del agua la altura del agua en todos los recipientes será igual, pues ella pasa del de mayor altura al de menor altura hasta lograr un equilibrio sin variar la cantidad de fluido dentro del sistema, de modo que: S1h1+S2h2 = S1hinicial1+S2 hinicial2 Donde hinicia1 y 2 corresponden a las altura que tenia el liquido antes de abrir el tuvo de comunicación.
La deducción de la variación de la altura en este caso se explica por medio del teorema de Torricelli afirma que la velocidad de salida de un fluido por un orificio situado en el fondo de un recipiente es: V = (2gh) ^1/2 Siendo h la altura del fluido en el recipiente por encima del orificio. Si ahora tenemos dos depósitos conectados, podemos simular el comportamiento de los vasos comunicantes suponiendo que la velocidad de fluido en el tubo de comunicación es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de alturas que alcanza el fluido en ambos recipientes. V= [2g(h-h)] ^1/2 La cantidad del fluido que sale del primer recipiente a través del tubo que comunica ambos recipientes en la unidad de tiempo es VS, y en el tiempo dt será VSdt. La disminución de la altura h1 en el primer recipiente se expresa del siguiente modo: -S1dh1= S[2g(h-h)]1/2*dt Escribiendo h2 en función de h1, podemos integrar fácilmente esta función: ∫ dh/ (h-h)^1/2= S/S[2g(1+S/S)]1/2 ∫ dt Donde t tiene limite de 0 a t. Se alcanza la altura de equilibrio después de un tiempo t que se calcula poniendo en la ecuación precedente h1=hequilibrio. VASOS COMUNICANTES Se denomina así a un sistema abierto por ambos extremos, formados por recipiente vinculados por un tubo en forma de U. De acuerdo con la formula de la columna hidráulica, si se supone que en uno de los recipientes el nivel del liquido es mas alto que en el otro, existirá una diferencia de presiones en la parte inferior del tubo; que será igual a la diferencia de alturas entre ambos niveles. De acuerdo con el principio de Pascal, la presion mayor tendera a transmitirse hacia la menor hasta que ambas se igualen y se neutralicen. También ocurrirá, como resultado de la formula de la columna hidráulica, que el equilibrio se producirá cuando el liquido se encuentre al mismo nivel en ambos recipientes o extremos de los vasos comunicantes. La diferencia de presiones en un sistema de vasos comunicantes determina que el líquido se encuentre al mismo nivel. Ley fundamental de la hidrostática Si en un sistema de vasos comunicantes se colocan dos líquidos de distintos pesos específicos (por ejemplo agua y mercurio) las presiones en uno y otro lado del sistema se igualaran cuando en ambos
lados soporte igual peso. Dado que el peso específico del mercurio es superior se requerirá un mayor volumen de agua, la cual quedara a mayor altura. Debido ala diferencia de pesos específicos la igualdad de presiones se producirá cuando las columnas tengan alturas diferentes. En conclusión la ley fundamental de la hidrostática expresa que las diferencias de presiones entre dos puntos de un mismo liquido es igual al producto del peso especifico del liquido por la diferencias de niveles. La capilaridad contradice el principio o ley hidrostática de los vasos comunicantes, según la cual una masa de líquido tiene el mismo nivel en todos los puntos; el efecto se produce de forma más marcada en tubos capilares (del latín capillus, pelos, cabello), es decir, tubos de diámetros muy pequeños. La capilaridad, o acción capilar, depende las fuerzas creadas por la atención superficial o por el mojado de las paredes del tubo. Si las fuerzas de adhesión del liquido al solidó (mojado) supera las fuerzas de cohesión dentro del liquido (tensión superficial), la superficie del liquido será cóncava y el liquido subirá por el tubo, es decir, ascenderá por enzima del nivel hidrostático. Este efecto ocurre por ejemplo con agua en tubos de vidrios limpios. Si las fuerzas de cohesión superan a las fuerzas de adhesión, la superficie del líquido será convexa y el líquido caerá por debajo del nivel hidrostático. Así sucede con agua en tubos de vidrios grasientos (donde la adhesión es pequeña) o con mercurio en tubos de virios limpios (donde la ecuación es grande). La absorción de agua por una esponja y la ascensión de la será fundida por el pabilo de una vela son ejemplos familiares de ascensión capilar. El agua sube por la tierra debida en parte a la capilaridad, y algunos instrumentos de escritura como la pluma estilográfica (fuente) o el rotulador (plumón) se basa en este principio. Oscilaciones en Dos Vasos Comunicantes Sean h01 y h02 las alturas iniciales del fluido en cada uno de los recipientes, y S1 y S2sus secciones respectivas, la altura de equilibrio h se obtiene de la relación: S1*h01 + S2*h02 = (S1 + S2) h Cuando el fluido en el primer recipiente se desplaza X1 de la posición de equilibrio, en el segundo recipiente se desplazara X2 de la posición de equilibrio. Como el volumen total de fluido en ambos recipientes es constante, la relación entre estos desplazamientos será: S1*X1 = S2*X2
(1)
Ecuación de continuidad Si V1 es la velocidad de fluido en el primer recipiente, V2 en el segundo y U en el tubo que comunica ambos recipientes se cumplirá por la ecuación de continuidad que: S1*V1 =S2*V2 = SU Balance energético
(2)
Las masas de fluidos que hay en cada uno de los recipientes y en el tubo de comunicación en un instante t determinado, serán respectivamente: Masa en el primer recipiente: m1 = ρS1(h – X1) Masa en el segundo recipiente : m2 = ρS2(h –X2 ) Masa en el tubo de comunicación: m = ρSd Donde S es la sección del tubo de comunicación y d su longitud. Variación de energía cinética entre el instante t y el instante t + dt. ∆E = m1V1dv1 + m2V2dv2 + mUdU Variación de la energía potencial: una masa dm pasa de la posición inicial h +X2 a la posición h – X1. ∆E = Einicial – Efinal = dm’g(h + X2) - dm’g(h –X1) Donde: dm = -ρgS1dX1, ya que X1 disminuye. Principio de conservación de la energía ∆Ek = ∆Ep m1V1dv1 + m2V2dv2 + mudu = dm’g(X1 +X2)
