.
CURSO: ALUMNOS:
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS I Paz Pastor Roberto Carlos Juárez Pozo Jhony Alexander Livaque Monteza Wilmer Wilmer Condor Tapia Fernando Vazquez Vazquez Paredes Fabiola
FUERZAS DE PRESIÓ PRESIÓN N SOBRE SUPERFICIES CURVAS
FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS • La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF ser dF perpendicular perpendicular en todo momento momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. • Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.
COMPONENTES DE LA FUERZA • Si se tiene la superficie mostrada en la figura.
• La fuerza de presión en este caso está dada por: dF = PdA
• La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial: .
=
• Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:
= + +
• Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como: =
. . =
=
.
. . =
=
.
. . =
.
DONDE: θx, θy, θz. son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i , j y k respectivamente. Por lo tanto dA x , dA y y dA z son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x , y, e z respectivamente.
Aquí se pueden diferenciar dos casos: • Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales. • La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso Del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre.
• Esto, ya que, si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que: = .
• Obtenemos lo siguiente: =
. . =
∀
. . =
∀
LÍNEA DE ACCIÓN DE LA FUERZA: • Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momen momentos tos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al momento de la fuerza distribuida, respecto al mismo eje.
Así se tiene:
´ = ( ( + ) +
´ = (( + ) +
´ = ( ( + ) +
CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES • Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x dirección x.. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección.
• En este caso las componentes de la fuerza se expresan: . = . . =
= . . = .
• Y la línea de acción se obtiene con las expresiones: ´ = .
´ =
. .
= . ∀ ∀
∀
• Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia, es decir:
= . . Donde: R: radio del cilindro W : ancho de la superficie θ: ángulo de barrido de la circunferencia. De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:
= . . . = . . . . .
• Donde θes el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l .
PROBLEMAS DE APLICACION APLICACION
Problema 1: La presa mostrada en la figura tiene soportes cada 3.00 .Determinar la fuerza sobre la misma, despreciando el peso de la presa.
Solución: DCL
Tomando momentos en c
Primero hallamos momentos en c
3
= − 1 − 2 = 0
Calculo de F:
1 = . ℎ . = 1000 1000 3
=
1 0.60 0.60 (1.20 (1.203) 3
Calculo de F1:
2 (1.20) ℎ1 = 3 = .
1 =
1 = . ℎ1 . 1 1 0.80 0.80 (3 (33 3) 3 = 1 = 1 + 1 . 1 1 = 0.6 +
3(1.203 )/12 0.60 ∗ 3.60
= . 1 = 3.60 − 0.80 = .
Calculo de 2 : ℎ
2.40 3 = .
ℎ = 3 ∗ sin
2 =
2 = . ℎ2 . 2 1000 1000 2.40 2.40 (3 (33) 3
= 2 =
2 +
2 = 3 +
2 . 2
3(33 )/12
3.9 2 = 3.25
2 = 4.5 − 3.25 2 = 1.25
PROBLEMA 4 La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un tirante. El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio. Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la pared.
Solución: a)
Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante
Ph
hG A (1000Kg
Ph
4320Kg
m3
)(0.60m)(6.00x1.20m2 ) 4320Kg
1 x1.20m) 0.40m arriba de “C” 3
La posición de “P” está a ( Reemplazando Reemplazando valores:
hP 0.80m T 3458Kg ó
Pv
W 6m
r 2 4
6m(1.20m)2 1000
Kg m3
6785Kg
6785Kg Pv Pv
a:
4r 3
4(1.20m) 3
0.51m
x p
0.51m
Para calc
Reemplazando valores:
T 3458 Kg
a)
Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta.
P
(4320) 2
(6785) 2 8043Kg P 8043Kg
Las S concluye
a) Determinar la Fuerza Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando despreciando el peso de de la pared.
F
H
T Ph R h
R h R h
T Ph
(3458 4320)kg
R h 862kg
F
V
R V PV R V
R V
6785kg
PV Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es:
R h
862kg R (862)2 (6785)2
6839Kg
R = 6839 Kg.
2- La presa cuya sección se muestra en la figura, está destinada al represamiento de agua, para las condiciones mostradas. Se pide para para la superficie curva de un cuarto de cilindro, AB, determinar: a. Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción, b. La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante, c. El punto de intersección de la fuerza hidrostática con el paramento AB.
a) Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción
Cálculo de la fuerza hidrostática horizontal por unidad de longitud ℎ = ℎ Donde: γ =1000 kg/m3 ℎ = 19 A = 10 m2 Reemplazando valores en la l a expresión anterior, encontramos: ℎ = 190 000
Cálculo de la fuerza hidrostática vertical por unidad de longitud = Donde: = + (0.252 + 18 ∗ 2 ∗ )3 = (0.25 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: = 195 705 Cálculo de la línea de acción acci ón de las Componentes de la Fuerza Hidrostática De la Componente Horizontal(F h):
= +
YG= 19 m ℎ3
IX = 12 A = 10 m2 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: YP = 19.018 m
De la Componente Vertical(FV): Ubicamos el centroide de los volúmenes de agua ubicados sobre la superficie curva AB, aplicando el teorema te orema de Varigñon, Varigñon, tomando momentos respecto al a l plano que pasa por DEA, de estos dos pesos de los volúmenes de agua correspondientes,
1 () 2 (4 (4) + 2 3 = Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: XP = 0.988 m Por lo tanto, las líneas de acción de las componentes de las fuerzas hidrostáticas son: Para la Componente vertical, tomada con respecto al eje “y”, que pasa por la recta DEA: = 0.988 0.988
EJERCICIO .En la figura se muestra un deposito que contiene agua sobre la cual actúa la presión Pa . se desea determinar determinar la fuerza sobre la puerta A-B producida por las presiones interior y exterior
solucion
h=0.75 x sen30 H= 3 + 0.75 x sen30 .
= x A = x H x A = (1000
. 3
= 15187.5 . .
) (3 + 0.75 x sen30)m x (4.5 2 )
