FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS PARCIALMENTE SUMERGIDAS
OBJETIVOS
Llevar a cabo con la experiencia los datos teóricos dictados en clase.
Determinar la posición del centro de presiones sobre una superficie plana parcialmente sumergida en reposo.
Aplicar cálculos aproximados.
adecuados
para
hallar resultados exactos
o
Determinar que para cada fuerza ejercida habrá un determinado Centro de Presión.
CONCEPTO DE PRESIONES 1.- OBJETIVO Determinar la presión del centro de presiones sobre una superficie plana parcialmente sumergida en un líquido en reposo.
2.- EQUIPO NECESARIO Banco hidráulico y equipo de presión sobre superficies.
3.- INMERSIÓN PARCIAL El centro de presiones es el punto por el cual se ejercen las líneas de acción de las fuerzas que ejercen presión sobre un cuerpo sumergido en un líquido. El centro de presiones y el centro de gravedad no coinciden en ningún punto. Ya que el centro de presiones siempre está por debajo del centro de gravedad, esto es porque la fuerza resultante aplicada está por debajo del centro de gravedad y el centro de presiones corresponde a la misma distancia de ubicación de la fuerza resultante.
4.- DETERMINACION DEL CENTRO DE PRESIONES La línea de acción de la fuerza resultante F corta a la superficie en un punto que se llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden). Para determinar las coordenadas del centro de presiones, se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes”
Las coordenadas están dadas por las fórmulas:
Tomando momentos con respecto del eje en que se apoya el brazo basculante, obtenemos la siguiente relación:
Donde
: Es el peso específico del agua e igual a 1000 kg / cm3. b=72 mm d=103mm L=285 mm
5.- FUNDAMENTO TEORICO FUERZAS PROVOCADAS POR LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA
Se trata de calcular que fuerza ejerce un fluido sobre una superficie. Por tanto deberemos averiguar, el módulo de la fuerza, así como su dirección y sentido. Se trata de conseguir el símil mecánico, representado por un vector fuerza. I. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS A. SUPERFICIES HORIZONTALES
El caso más simple de fuerza provocada por la presión hidrostática es cuando tenemos un depósito de paredes rectas. En este caso, como la profundidad se mantiene constante sobre toda la superficie, la presión también lo será:
De la ecuación general de la hidrostática:
Así, como la altura se mantiene constante sobre toda la superficie, la presión hidrostática será Mantendrá también constante. Para calcular la fuerza equivalente que la presión ejerce sobre la superficie del fondo:
∫
Ahora hay que determinar cuál es la dirección y el sentido. Pero antes vamos a abordar una característica común a todos los casos. La fuerza que ejercerá la presión hidrostática siempre será perpendicular a la superficie que baña .
II. SUPERFICIES VERTICALES
En las superficies verticales, a diferencia de lo que ocurría en las horizontales, ahora, la presión no es constante, sino que varía con la profundidad h.
Hay una variación continua de la presión con la profundidad, por tanto, ya no podemos calcular la fuerza como presión por área, sino que tendremos que tener en cuenta esta variación, lo que matemáticamente equivale a utilizar una integración a través de toda el área.
Imaginemos una superficie vertical, y sobre ella vamos a calcular la fuerza debida a la presión hidrostática sobre una superficie muy pequeña, diferencia, sobre la cual podemos suponer que como es de dimensiones tan pequeñas, la presión la podemos considerar como constante en toda ella.
La presión en un punto y de la superficie diferencial valdrá, y por tanto, la presión sobre la superficie la podemos calcular como:
Consideremos una superficie rectangular plana, de L de ancho y H de longitud. Para calcular la fuerza sobre la superficie, podemos actuar por integración:
∫ ∫ ∫
Es decir, la fuerza sobre la superficie rectangular se puede calcular como:
¿Qué significado físico tiene esta fórmula? En el siguiente dibujo se explica. Como se puede ver, la presión en el CDG es la presión promedio sobre la superficie, por tanto, tiene lógica que al multiplicar la presión promedio por el A nos de cómo en el caso de las superficies horizontales la fuerza ejercida por la presión hidrostática sobre la superficie.
Acabamos de deducir la expresión para la fuerza sobre una superficie plana rectangular, pero ¿qué ocurre cuando la superficie que tengo es triangular, circular, elíptica o tiene una forma indefinida? El proceso es análogo:
dF= y dA
F=
y dA = ydA A
A
Ahora lo que debemos hacer es resolver esa integral. Pero como esto puede llegar a ser engorroso, podemos hacer uso de una definición muy conocida Definición de las coordenadas
YCG =
y,x del centroide del área A
XCG =
dF= y dA
F=
1
ydA A A
1 A
XdA A
y dA = ydA = y A
A
CG
A
Como podemos ver, la fuerza sobre una superficie vertical debida a la presión hidrostática la podemos calcular siempre como la presión hidrostática sobre el centro de gravedad de la superficie multiplicada por el área de la misma.
Ya tenemos calculado el módulo de la fuerza, ahora nos falta calcular donde colocar el punto en el que aplicaremos esta fuerza.
Veamos que ocurre para el caso particular en que la superficie es rectangular, es decir A=H.L. Para que la fuerza la podamos utilizar como el equivalente mecánico, el vector fuerza ha de producir el mismo par que la distribución original, por tanto:
∫ ∫ ( ) ∫ ( ) Al punto de aplicación de la fuerza resultante (x c ,y c ) se le llama centro de presiones
Así pues, la fuerza la aplicaremos a una distancia de 2/3 de la longitud de la superficie. ¿Tiene lógica? Para contestar a esta pregunta, debemos utilizar la forma alternativa de calcular la fuerza, dibujando su distribución a escala:
Como es una distribución triangular, el área que coincide con la magnitud de la fuerza valdrá: F
1 2
base x altura
1 2
H gHL
H 2
gA
hCG gA
Y se aplicará sobre el centro de gravedad de la superficie, que por ser un triángulo está a 2/3 del vértice. Igual que antes cabe preguntarse por el caso general, en el que la superficie tiene una forma cualquiera. Para ello, de forma análoga tendremos que:
F.yc = y.dF= A
A
2
y.P b (y).dA= y .y. .g.dA= .g y .dA A
A
Que nos queda una integral que deberíamos resolver para cada caso. Pero, podemos hacer uso de otra definición para facilitarnos el trabajo.
= x .dA
Definición de los momentos de inercia respecto
I xx = y 2 .dA
de los ejes x, e y del área A
I yy
A
2
A
Con lo que tendríamos que:
( .yCG .A).yc =
y.( .y)dA= A
A
y 2 .dA
yC =
A
y CG A
La coordenada en x se obtendría de forma análoga:
2
y .dA
yC
I XX y CG A
6.- EQUIPOS Y MATERIALES DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO PRINCIPAL
VISTA GENERAL DEL EQUIPO
El accesorio consiste en un cuadrante montado sobre el brazo de una balanza que bascula alrededor de un eje. Cuando el cuadrante está inmerso en el depósito de agua, la fuerza que actúa sobre la superficie frontal, plana y rectangular, ejercerá un momento con respecto al eje de apoyo. El brazo basculante incorpora un platillo y un contrapeso ajustable. Deposito con patas regulables que determina su correcta nivelación. Dispone una válvula de desagüe. El nivel alcanzado por el agua en el depósito se indica en una escala graduada.
ESPECIFICACIONES
Capacidad del depósito: 5.5 litros Distancia entre las masas suspendidas y el punto de apoyo: 285 mm Área de la sección: 0.007 m2 Profundidad total del cuadrante sumergido: 100 mm Altura del punto de apoyo sobre el cuadrante: 100 mm Se colocara un juego de pesas de acuerdo al peso que se quiera tener para realizar el ensayo ya sea de 100g, 50g, 20g, 10g, 5g.
MATERIALES
Pesas calibradas: Que se colocaran en el platillo, las pesas usadas son de 100 g., 50 g., 20 g., 10g., 5 g. Fluido: El fluido que se utilizo fue agua. Probeta: Se usó para vaciar el agua al depósito hasta que el brazo horizontal este equilibrado.
7.- PROCEDIMIENTO 1. Acoplar el cuadrante al brazo basculante enclavándolo mediante los dos pequeños tetones y asegurándolo después mediante el tornillo de sujeción. 2. Medir y tomar nota de las cotas designadas por a, L, d y b; estas últimas correspondientes a la superficie plana situada al extremo del cuadrante. 3. Con el depósito emplazado sobre el banco hidráulico, colocar el brazo basculante sobre el apoyo (perfil afilado) y colgar e] platillo al extremo del brazo. 4. Conectar con la espita de desagüe del depósito un tramo de tubería flexible, y llevar su otro extremo al sumidero. Extender, asimismo, la alimentación de agua desde la boquilla impulsora del banco hidráulico
hasta la escotadura triangular existente en ]a parte superior del depósito. 5. Nivelar el depósito actuando convenientemente sobre los pies de sustentación, que son regulables, mientras se observa el "nivel de burbuja". 6. Desplazar el contrapeso del brazo basculante hasta conseguir que éste se encuentre horizontal. 7. Cerrarla espita de desagüe del fondo del depósito. 8. Introducir agua en el depósito hasta que la superficie libre de ésta quede a nivel de la arista superior de la cara plana que presenta el cuadrante en su extremidad, y el brazo basculante esté en posición horizontal con ayuda de pesos calibrados situados sobre el platillo de balanza. 9. El ajuste fino de dicho nivel se puede lograr sobrepasando ligeramente el llenado establecido y, posteriormente, desaguando lentamente a través de la espita. Anotar el nivel del agua indicado en el cuadrante, y el valor del peso situado en el platillo. 10. Incrementar el peso sobre el platillo de balanza y añadir, lentamente agua hasta que el brazo basculante recupere la posición horizontal. 11. Tomar nota del nivel de agua y del peso correspondiente. 12. Repetir la operación anterior, varias veces, aumentando en cada una de ellas, progresivamente, el peso en el platillo hasta que, estando nivelado el brazo basculante. El nivel de la superficie libre del agua alcance la cota máxima señalada por la escala del cuadrante. 13. A partir de ese punto, y en orden inverso a como se fueron colocando sobre el platillo, se van retirando los incrementos de peso añadidos en cada operación. Se nivela el brazo (después de cada retirada)
utilizando la espita de desagüe y se van anotando los pesos en el platillo y los niveles de agua.
.-RECOMENDACIONES
Nivelar con mucho cuidado el equipo de presión sobre superficies.
Evitar que al momento de vaciar el agua para nivelar el brazo basculante, quede un poco de agua en la parte superior del equipo.
Leer con precisión las lecturas de la altura del nivel de agua.
.- CONCLUSIONES
Con esta práctica de laboratorio nos podemos dar cuenta de la diferencia y variación de magnitud que existe entre las fuerzas experimentales determinadas con la práctica y las fuerzas teóricas determinadas por fórmulas tal y como se muestra en el grafico siguiente.
La variación que existe entre la teoría y la práctica quizá se deba a la mala toma de datos al momento de hacer las prácticas experimentales una recomendación seria tratar de llevar a cabo la toma de datos con el mayor cuidado posible.
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS TOTALMENTE SUMERGIDAS OBJETIVOS
Medir la fuerza hidrostática que ejerce un fluido sobre la superficie totalmente sumergida y comparar el momento causado por ésta con el momento causado por las pesas colocadas.
Determinar la posición del centro de presiones sobre una superficie totalmente sumergida en un líquido en reposo.
Determinar que para cada fuerza ejercida habrá un determinado Centro de Presión.
Aplicar cálculos aproximados.
adecuados
para
hallar resultados exactos
o
Comprobar que la distribución de presiones a lo largo de toda superficie finita puede remplazarse convenientemente por una fuerza resultante con ubicación en un punto específico de dicha área.
CONCEPTO DE PRESIONES 1.- OBJETIVO Determinar la presión del centro de presiones sobre una superficie plana parcialmente sumergida en un líquido en reposo.
2.- EQUIPO NECESARIO Banco hidráulico y equipo de presión sobre superficies.
3.- INMERSIÓN TOTAL Tomando elementos respecto del eje en que se apoya el brazo basculante, obtenemos la siguiente relación:
Dónde:
: Es el peso específico del agua e igual a 1000 kg / cm3. b=72 mm d=103mm L=285 mm
4.- FUNDAMENTO TEORICO FUERZAS PROVOCADAS POR LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA
Se trata de calcular que fuerza ejerce un fluido sobre una superficie. Por tanto deberemos averiguar, el módulo de la fuerza, así como su dirección y sentido. Se trata de conseguir el símil mecánico, representado por un vector fuerza. I. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS B. SUPERFICIES HORIZONTALES
El caso más simple de fuerza provocada por la presión hidrostática es cuando tenemos un depósito de paredes rectas. En este caso, como la profundidad se mantiene constante sobre toda la superficie, la presión también lo será:
De la ecuación general de la hidrostática:
Así, como la altura se mantiene constante sobre toda la superficie, la presión hidrostática será Mantendrá también constante. Para calcular la fuerza equivalente que la presión ejerce sobre la superficie del fondo:
∫
Ahora hay que determinar cuál es la dirección y el sentido. Pero antes vamos a abordar una característica común a todos los casos. La fuerza que ejercerá la presión hidrostática siempre será perpendicular a la superficie que baña .
II. SUPERFICIES VERTICALES
En las superficies verticales, a diferencia de lo que ocurría en las horizontales, ahora, la presión no es constante, sino que varía con la profundidad h.
Hay una variación continua de la presión con la profundidad, por tanto, ya no podemos calcular la fuerza como presión por área, sino que tendremos que tener en cuenta esta variación, lo que matemáticamente equivale a utilizar una integración a través de toda el área.
Imaginemos una superficie vertical, y sobre ella vamos a calcular la fuerza debida a la presión hidrostática sobre una superficie muy pequeña, diferencia, sobre la cual podemos suponer que como es de dimensiones tan pequeñas, la presión la podemos considerar como constante en toda ella.
La presión en un punto y de la superficie diferencial valdrá, y por tanto, la presión sobre la superficie la podemos calcular como:
Consideremos una superficie rectangular plana, de L de ancho y H de longitud. Para calcular la fuerza sobre la superficie, podemos actuar por integración:
∫ ∫ ∫
Es decir, la fuerza sobre la superficie rectangular se puede calcular como:
¿Qué significado físico tiene esta fórmula? En el siguiente dibujo se explica. Como se puede ver, la presión en el CDG es la presión promedio sobre la superficie, por tanto, tiene lógica que al multiplicar la presión promedio por el A nos de cómo en el caso de las superficies horizontales la fuerza ejercida por la presión hidrostática sobre la superficie.
Acabamos de deducir la expresión para la fuerza sobre una superficie plana rectangular, pero ¿qué ocurre cuando la superficie que tengo es triangular, circular, elíptica o tiene una forma indefinida? El proceso es análogo:
dF= y dA
F=
y dA = ydA A
A
Ahora lo que debemos hacer es resolver esa integral. Pero como esto puede llegar a ser engorroso, podemos hacer uso de una definición muy conocida Definición de las coordenadas
YCG =
y,x del centroide del área A
XCG =
dF= y dA
F=
1 A 1 A
ydA A
XdA A
y dA = ydA = y A
A
CG
A
Como podemos ver, la fuerza sobre una superficie vertical debida a la presión hidrostática la podemos calcular siempre como la presión hidrostática sobre el centro de gravedad de la superficie multiplicada por el área de la misma.
Ya tenemos calculado el módulo de la fuerza, ahora nos falta calcular donde colocar el punto en el que aplicaremos esta fuerza.
Veamos que ocurre para el caso particular en que la superficie es rectangular, es decir A=H.L. Para que la fuerza la podamos utilizar como el equivalente mecánico, el vector fuerza ha de producir el mismo par que la distribución original, por tanto:
∫ ∫ ( ) ∫ ( ) Al punto de aplicación de la fuerza resultante (x c ,y c ) se le llama centro de presiones
Así pues, la fuerza la aplicaremos a una distancia de 2/3 de la longitud de la superficie. ¿Tiene lógica? Para contestar a esta pregunta, debemos utilizar la forma alternativa de calcular la fuerza, dibujando su distribución a escala:
Como es una distribución triangular, el área que coincide con la magnitud de la fuerza valdrá: F
1 2
base x altura
1 2
H gHL
H 2
gA
hCG gA
Y se aplicará sobre el centro de gravedad de la superficie, que por ser un triángulo está a 2/3 del vértice. Igual que antes cabe preguntarse por el caso general, en el que la superficie tiene una forma cualquiera. Para ello, de forma análoga tendremos que:
F.yc = y.dF= A
A
2
y.P b (y).dA= y .y. .g.dA= .g y .dA A
A
Que nos queda una integral que deberíamos resolver para cada caso. Pero, podemos hacer uso de otra definición para facilitarnos el trabajo.
= x .dA
Definición de los momentos de inercia respecto
I xx = y 2 .dA
de los ejes x, e y del área A
I yy
A
2
A
Con lo que tendríamos que:
( .yCG .A).yc =
A
y.( .y)dA= y 2 .dA A
yC =
A
y CG A
La coordenada en x se obtendría de forma análoga:
2
y .dA
yC
I XX y CG A
5.- EQUIPOS Y MATERIALES DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO PRINCIPAL
El accesorio consiste en un cuadrante montado sobre el brazo de una balanza que bascula alrededor de un eje. Cuando el cuadrante está inmerso en el depósito de agua, la fuerza que actúa sobre la superficie frontal, plana y rectangular, ejercerá un momento con respecto al eje de apoyo.
El brazo basculante incorpora un platillo y un contrapeso ajustable.
Deposito con patas regulables que determina su correcta nivelación.
Dispone una válvula de desagüe.
El nivel alcanzado por el agua en el depósito se indica en una escala graduada.
PONER FOTOS Vista general del equipo
ESPECIFICACIONES
Capacidad del depósito: 5.5 litros Distancia entre las masas suspendidas y el punto de apoyo: 285 mm Área de la sección: 0.007 m2 Profundidad total del cuadrante sumergido: 100 mm Altura del punto de apoyo sobre el cuadrante: 100 mm Se colocara un juego de pesas de acuerdo al peso que se quiera tener para realizar el ensayo ya sea de 100g., 50g., 20g., 10g., 5g.
FUNDAMENTO DEL EQUIPO EN LA PRÁCTICA
La fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie sólida que está en contacto con él es igual al producto de la presión ejercida sobre ella por su área. Esta fuerza, que actúa en cada área elemental, se puede representar por una única fuerza resultante que actúa en un punto de la superficie llamado centro de presión. Si la superficie sólida es plana, la fuerza resultante coincide con la fuerza total, ya que todas las fuerzas elementales son paralelas. Si la superficie es curva, las fuerzas elementales no son paralelas y tendrán componentes opuestas de forma que la fuerzas resultante es menor que la fuerza total. Inmersión Parcial. Tomando momentos respecto del eje (figura 1) en que se apoya el brazo basculante se obtiene la siguiente relación:
Dónde: = Es el peso específico del agua 1000kg/m3.
MATERIALES
Pesas calibradas: Que se colocaran en el platillo, las pesa usadas son de 100 g., 50 g., 20 g., 10 g., 5 g.
Fluido: El fluido que se utilizo fue agua.
Probeta: Se usó para vaciar el agua al depósito hasta que el brazo horizontal este equilibrado.
6.- PROCEDIMIENTO 1. Acoplar el cuadrante al brazo basculante enclavándolo mediante los dos pequeños tetones y asegurándolo después mediante el tornillo de sujeción. 2. Medir y tomar nota de las cotas designadas por a, L, d y b; estas últimas correspondientes a la superficie plana situada al extremo del cuadrante. 3. Con el depósito emplazado sobre el banco hidráulico, colocar el brazo basculante sobre el apoyo (perfil afilado) y colgar e] platillo al extremo del brazo. 4. Conectar con la espita de desagüe del depósito un tramo de tubería flexible, y llevar su otro extremo al sumidero. Extender, asimismo, la alimentación de agua desde la boquilla impulsora del banco hidráulico hasta la escotadura triangular existente en ]a parte superior del depósito. 5. Nivelar el depósito actuando convenientemente sobre los pies de sustentación, que son regulables, mientras se observa el "nivel de burbuja". 6. Desplazar el contrapeso del brazo basculante hasta conseguir que éste se encuentre horizontal. 7. Cerrarla espita de desagüe del fondo del depósito. 8. Introducir agua en el depósito hasta que la superficie libre de ésta quede a nivel de la arista superior de la cara plana que presenta el cuadrante en su
extremidad, y el brazo basculante esté en posición horizontal con ayuda de pesos calibrados situados sobre el platillo de balanza. 9. El ajuste fino de dicho nivel se puede lograr sobrepasando ligeramente el llenado establecido y, posteriormente, desaguando lentamente a través de la espita. Anotar el nivel del agua indicado en el cuadrante, y el valor del peso situado en el platillo. 10. Incrementar el peso sobre el platillo de balanza y añadir, lentamente agua hasta que el brazo basculante recupere la posición horizontal. 11. Tomar nota del nivel de agua y del peso correspondiente. 12. Repetir la operación anterior, varias veces, aumentando en cada una de ellas, progresivamente, el peso en el platillo hasta que, estando nivelado el brazo basculante. El nivel de la superficie libre del agua alcance la cota máxima señalada por la escala del cuadrante. 13. A partir de ese punto, y en orden inverso a como se fueron colocando sobre el platillo, se van retirando los incrementos de peso añadidos en cada operación. Se nivela el brazo (después de cada retirada) utilizando la espita de desagüe y se van anotando los pesos en el platillo y los niveles de agua.
