SOLUCIONARIO MATEMATICA USM-MA01-4M-2018
1. La alternativa correcta es C 1 2 2+
1 2
=
1 2 = 4+1 2
1 2 5 2
1 2
=
·
2 5
2. La alternativa correcta es D
0
0,29
I) II) III)
0,63
1
3 = 0,75 NO 4 3 = 0,6 SI 5 4 = 0,4 SI 9
3. La alternativa correcta es B 0,02 + 0,0021 + 0,42 0,2 0,2 0,21 420
=
2 42 + 21 + = 20 2100 42000 1 1 + 1 + = 10 100 1000 100 + 10 + 1 = 1000 111 1000
=
1 5
4. La alternativa correcta es D km
seg
105 x
3600 10
x=
105 10 3600
x=
0,2916
x = 0,3
5. La alternativa correcta es A
a=-
1 (0,2)2 1
b=-
=
-1
= 3
1 = 0,01
2
1 5
(0,3)
c=-
=
-1 3
3 10
-1 1 100
=
-1 1 25
= -25
-1 27 1000
=
-1000 = -37,037 27
= -100
Luego, el orden creciente es c < b < a
6. La alternativa correcta es D 128 USD 10000 10000 = 128 USD J
J=
157 USD 1000 10000 = 1570 USD C
C=
128 = 1570 J C 128C = J 1570
0,0815
J
2
7. La alternativa correcta es E Si a = 2
y
k = abc + 1 k = 2bc + 1
2bc + 1 c
1 2bc + c c Si b = 3 y c = 5 2 · 3 · 5 + 1 1 2bc + 1 2bc + 3 3 3
I) II) III)
=
1 2b + , no es divisible c 31 puede ser número primo.
no
es divisible
Luego, ninguna de ellas se cumple siempre. 8. La alternativa correcta es A (1) Suficiente
Si
a b
= 3 a = 3b
Reemplazando en T =
3b b 2b = 3b + b 4b
,T=
1 2
(2) Insuficiente
9. La alternativa correcta es C
32n+1 9n
32n+1 32n
=
32n
32n
=
32n(3 1) 32n
= 2
10. La alternativa correcta es A -1
-
-1 -1
(3 + 2 ) · -1
1 1 3 + 2
1 2
-1
2 + 3 6
2
1 2
1
1 2
=
= =
2
6 1 6 = 5 2 5 2
2 2
=
6 2 3 2 = 5 2 5
3
= 0,5
11. La alternativa correcta es D Si 0 < x < 1 log
1 x
= log 1 – log x = = 0 – número negativo = 0 – (-) > 0 1 log > 0 x
12. La alternativa correcta es E 5000 +
500 =
2500 2 +
50 2 + 10 10(5 2 +
100 5 = 5
5)
13. La alternativa correcta es E Si m y n son irracionales I)
Sea m a los números irracionales, 0 < m < 1 N = 1 – m lR, entonces m + 1 - m = 1, es un racional
II)
Si m =
27 y
n=
3
27
=
9 =
3, es número racional.
3
III)
Si m =
8 y
n =
2
8 ·
14. La alternativa correcta es C 1 2 2+
1
–
1+
1
– 2
2+
= 2
2 +2 2 +2 2 2 2 2(1 +
2)(2 +
0 2(1 +
2)(2 +
2)
2 2
=
= 0 2)
4
2
=
16 =
4, es número racional.
15. La alternativa correcta es B 3 i3
+
5 i5
=
3i2 + 5 i5
=
3 + 5 i5
=
2 i
· i = i
2i i2
= -2i
16. La alternativa correcta es C ( x 7 )2 + (x – 2)2, con x = 6 ( 6 7 )2 + (6 – 2)2 ( -1 )2 + 16 i2 + 16 -1 + 16 15
17. La alternativa correcta es C (1) Insuficiente. Ya que desconocemos el signo de k. (2) Insuficiente. (k – 3) > 0, entonces k > 3, y si por ejemplo, tomamos k = 27 obtenemos un racional Con (1) y (2) Suficiente Descomponemos k en factores primos, como no es múltiplo de 3, separamos raíces y obtenemos por obligación un irracional. 18. La alternativa correcta es E E=
1 2
mv2
2E = mv2 2E = v2 / m
2E m
= v
19. La alternativa correcta es B
A= A=
6a a2 + 4a + 3 a+3 3a + 3 2 (a + 3) (a + 1) 6a = 2a a+3 3 (a + 1)
5
20. La alternativa correcta es B 1 + d c d
1 c+d cd c = 2 d c d2 c dc
=
dc c+d · 2 cd c d2
=
1 c+d · (c + d)(c d) 1 1 c d
=
21. La alternativa correcta es B 3t 6 t2 + 9t + 20 · = 2t + 8 t2 + 3t 10 (t + 4) (t + 5) 3(t 2) 2 (t + 4) (t + 5) (t 2)
=
3 = 1,50 2
22. La alternativa correcta es D x2 – 5x + 1 = (x – a)2 + c x2 – 5x + 2
5 x 2
25 25 + 4 4
-
Luego, a =
21 = 4 5 2
1 = (x – a)2 + c
(x – a)2 + c
y c=-
21 4
23. La alternativa correcta es B Resolviendo por método de reducción: 2x y = 7 x+y=8
3x = 15 x=5 y=3
Como (a, b) es la solución x = a = 5 e y = b = 3 Luego, 5 – 3 = 2 6
24. La alternativa correcta es C Sean los números x e y (1)
x+y=6
(2) x2 y2 = 24
x+y=6 (x + y) (x y) = 24
Reemplazando x + y = 6 en (2) 6 · (x – y) = 24 (x – y) = 4 Entonces, x+y=6 x y=4
por método de reducción
2x = 10 x=5;y=1 Luego, 2xy = 10
25. La alternativa correcta es E Para que
5 0, x 3
se debe cumplir que x – 3 < 0, entonces x < 3,
es decir {x lR / x < 3}
26. La alternativa correcta es C
Gráficamente: –10
5
Luego, pertenecerá al restante intervalo, esto es:
–10
5
27. La alternativa correcta es D Como s y t son números impares y s > t, la cantidad de números pares entre s y t es s t . 2
7
28. La alternativa correcta es A (1) Suficiente k2 = 5k – 6 k2 – 5k + 6 = 0 (k – 2)(k – 3) = 0 k–2=0 k – 3 = 0 k=2 k=3 Como k es número par, entonces k = 2 (2) Insuficiente k k, k 0
29. La alternativa correcta es B En la función C(n) = 0,01n 2 – 90n + 25.000, se debe encontrar el valor de la abscisa del vértice x = 90 = 4.500 0,02
30. La alternativa correcta es E El dominio de f(x) =
1 – x 2
1 x 2
x – 2 > 0 x > 2 y x 2
2
Dom f(x) : ]2, + [
Luego, 3 ]2, + [
31. La alternativa correcta es E Por ecuación de segmento x y + =1 6 3
y
/6
x + 2y = 6 2y = -x + 6
3
x 2
y = - + 3 f(x) =
x - + 2
6
3
8
x
32. La alternativa correcta es E f(x) = x2 – 2x – 8 I) Verdadero x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x–4=0 x+2=0 x=4 x = -2 Luego, los puntos de cortes en el eje x son (4, 0) y (-2, 0) II) Verdadero Si f(x) = x2 + bx + c Eje de simetría x =
-b x 2a
=
2 x 2
= 1, y
f(1) = 12 – 2 · 1 – 8 = 1 – 2 – 8 f(1) = -9 Luego, el vértice es (1, -9) III) Verdadero Si f(x) = x2 + bx + c Corta el eje y en el punto de coordenadas (0, c), es decir, (0, -8)
33. La alternativa correcta es B El eje de simetría de la parábola es x =
5 2
Siendo 5 el valor buscado. Luego, debe ser 5 días. T°
v
0
2,5
Días continuados
9
, donde
5 2
es el punto medio entre 0 y 5.
34. La alternativa correcta es E f(x) = x2 – 1 y g(x) =
1 x
2 f(g(x)) f 1 = 1 – 1 x x
= f(g(x)) =
1 x2
- 1
1 x2 x2
35. La alternativa correcta es E Si f(x) = 2x + b y = 2x + b y b = 2
x f -1(x) =
x b 2
Si (1, -2) f -1(x), entonces -2 =
1 b 2
-4 = 1 – b b=1+4 b=5
36. La alternativa correcta es C (1) Insuficiente. f(x) + 3 = kx f(x) = kx – 3 Luego, f(x) = 10
kx – 3 = 10 kx = 13 x=
13 , k
no se puede conocer x
(2) Insuficiente. x = 10 f(x) = 2 Con (1) y (2) Suficiente f(x) = kx – 3 f(10) = 10k – 3 = 2
10k = 5 1 k= 2
1 x – 3 2 1 x – 3 = 10 2 1 x = 13 2
Luego, f(x) = Si f(x) = 10
x = 26 10
37. La alternativa correcta es A Por desigualdad triangular u = 5 v = 12 v - u v - u v + u 12 - 5 v - u 12 + 5 7 v - u 17
Luego, 5 no puede ser una magnitud de (v - u)
38. La alternativa correcta es D
La distancia entre el punto de origen y el punto P(x, y) y
x2 + y2
= d
La distancia entre el punto origen y el punto P’(2x, 2y) y (2x)2 + (2y)2
=
4x2 + 4y2
=
4(x2 + y2 ) = 2 x2 + y2
= 2d
39. La alternativa correcta es C
y B(0,8)
Punto Medio : -12 + 0 ,
A’ (-12, 0)
0
A(12,0)
x
B’(0, -8)
11
2
0 + -8 = (-6, -4) 2
40. La alternativa correcta es B y 7
C(-3,7)
3 -3
x
-7 A(-3,-7)
B(3,-7)
41. La alternativa correcta es A
r D A
C 2
r
r r
O
r
B
I) Verdadero. OB r 1 1 = = = CD r 2 2 2
2 2
=
2 2
II) Falso. OBC es isósceles de base BC, pero no se conoce su medida. III) Falso. DO + OB < BC + CD r + r < BC + r 2 2r < BC + r 2 No se conoce la medida de BC
12
42. La alternativa correcta es B C A 1E
3
x B
O 3
D Como CD AB CE = ED = 3 Si OC = x, entonces OE = x – 1 Aplicando Teorema de Pitágoras en OEL (x – 1)2 + 32 = x2 x2 – 2x + 1 + 9 = x 2 -2x = -10 x=5
43. La alternativa correcta es C x
x
A
4
B
C
D
3k 5k 5k – 3k = 4 2k = 4 k=2 x = 3k = 6 Luego, AB = 6
44. La alternativa correcta es E Por teorema de thales L4
L5 A
5n+1 5
D
B E
L1
5n + 1 4n 1 = 7 5
L2
25n + 5 = 28n – 7 12 = 3n
L3
4=n
4n-1 7
C
13
45. La alternativa correcta es A E
5 x
A 2 B x y
=
C
y
D
2 5
D
46. La alternativa correcta es D ABCD es paralelógramo
C
P A
B
I) Verdadero. APD CPB II) Falso. BP CP , si ABCD es rectángulo o cuadrado, falso si ABCD es romboide o rombo. III) Falso. ACD ACB, si ABCD es cuadrado o rombo, falso si ABCD es rectángulo o romboide.
47. La alternativa correcta es C (1) Insuficiente. DO = OC = CP, se sabe que de trazos iguales pero no medidos. (2) Insuficiente. BP · AP = 48 BP · AP = PC · PD 48 = PC · PD No se puede determinar el radio. P C O Con (1) y (2) Suficiente D BP · AP = PC · PD B 48 = x · 3x 48 = 3x2 16 = x 2 4=x
A
14
48. La alternativa correcta es A R S
Si PQR = 65° arco RP = 130° SPR = 45° arco RS = 90°
PRS
= =
65° Q
45° P
arco RP arco RS 2 130° 90° 2 40° = 20° 2
=
x
49. La alternativa correcta es D C O B
A P
Radio = OP = OC = hABC =
3 2
Luego,
OC =
2 3
altura ABC
3 2 3
3 2
3 =
3
50. La alternativa correcta es B En L1 m = 1 y (2,6) L1 y – 6 = 1(x – 2) = y=x+4
6
En L2 m = 2 y (2,6) L2 y – 6 = 2(x – 2) = y = 2x + 2 En L1, si y = 0, x = -4 (-4, 0) En L2, si y = 0, x = -1 (-1, 0)
-1 L2
-4 L1
15
3 unid
2
51. La alternativa correcta es C
y
D(a, b+4)
C
x B a+12 b-1
A
DB =
(a + 12 a)2 + (b 1 b 4)2
DB =
144 + 25
DB =
169
DB =
13
Radio = 6,5
52. La alternativa correcta es B
Razón de homotecia
OP' 3 3 = = =3 3 OP 1,5 2
53. La alternativa correcta es A Dados los puntos P(3, -3, 5) y Q(1, 4, 6) Ecuación vectorial: (x, y, z) (x, y, z)
= v. posición + (v. dirección) = (3, -3, 5) + (3 – 1, -3 – 4, 5 – 6) = (3, -3, 5) + (2, -7, -1)
O bien (x, y, z)
= (1, 4, 6) + (1 – 3, 4 – -3, 6 – 5) = (1, 4, 6) + (-2, 7, 1)
16
2 2 = 3 1
54. La alternativa correcta es D y=x
y 3 2
P
2
1 2 1 2
y=- x+3 y=
6
x 0 6
x Y 3 0
· 0 + 3
y=3 1 0=- x+3 2
1 2
x=3
x=6 1 2
P es el punto de intersección de y = x con y = - x + 3 Luego, 1 2
x = - x + 3 /· 2 2x = -x + 6 3x = 6 x = 2 y = 2 Luego, el área del triángulo es
base altura área 2
=
6 2 2
= 6
55. La alternativa correcta es D
I)
II)
Cuadrado
III)
Rectángulo
17
Triángulo
56. La alternativa correcta es D 2 Vcono = r h
3
2
r2h = 3
r2h =
r H 2 3
r2 · 4
/ :
H
4r2h = r2H /: r2 4h = H H
debe aumentar en un 300%
57. La alternativa correcta es B
S 5
Área Cilindro = 2r2 + 2rh 150 = 2 · 25 + 2 · · 5 · h 150 = 50 + 10h 100 = 10h
R
h
10 = h
5
P
Q
58. La alternativa correcta es E (1) Insuficiente
y
B
0 El es isósceles de base (2) Insuficiente
y
0
A
x
AB
B
A(4,0) x
Con (1) y (2) Insuficientes, el es isósceles de base 18
AB y
lados de medida 4.
59. La alternativa correcta es B n! = (n 2)!
72
(n 2)!(n 1)n = (n 2)!
72
(n – 1) · n = 72 (n – 1) · n = 8 · 9 n = 9 60. La alternativa correcta es E Haciendo la tabla
Notas
frecuencia
n · f
2 3 4 5 6 7
4 5 10 5 4 2
8 15 40 25 24 14
I) Falso. Moda = 4 II) Falso. Media es 4.2 III) Falso. El curso tiene 30 alumnos 61. La alternativa correcta es C 14 3 14 P = 14 lado = 4 14 14 14 14 14 14 14 + + + + + + 3 3 4 4 4 4 x= 3 7
P = 14 lado =
=
3
14 14 +4 3 4 7
62. La alternativa correcta es D Rango intercuartil = Q3 – Q1 50% de la muestra Luego, son 210 63. La alternativa correcta es A Lunes = N Martes = N – 40 Miércoles = N – 80 Jueves = N – 120 Viernes = N – 160 N + N 40 + N 80 + N 120 + N 160 5 5N 400 x= = N 80 5 x=
–
19
=
14 + 14 = 28 = 4 7 7
64. La alternativa correcta es D I) Falso.
C74 =
7! 5 6 7 = = 35 3! 4! 1 2 3
Suma de todos los promedios en las muestras = número de muestras por media poblacional. Luego, no se puede obtener media poblacional. II) Verdadero. CR72 2 1 = C82 = 8! = 7 8 = 28 2
III) Falso. n = 7 · 7 = 7
6! 2!
2
1 2
65. La alternativa correcta es E P75 = 680 I) Falso. P(50) = mediana = Q2 II) Falso. El 25% de los puntajes que superan a 680 III) Falso. Es el 75% del total de alumnos.
66. La alternativa correcta es D A = 4 elementos B = 8 elementos De 6 elementos siendo 1 de A y 5 de B C14 C58 =
4·
8! = 3! 5!
4·
6 7 8 = 1 2 3
4 · 56 = 224
67. La alternativa correcta es B I) II) III)
Falso. El intervalo modal es [42-46[ Verdadero. La marca de clase [46-50[ es
Falso. 12 personas desde 50 años y menos de 54 años.
68. La alternativa correcta es A (1) Suficiente 2 = 0,81 / = 0,9 (2) Insuficiente x =
46 + 50 96 = 2 2
14, no se saben los datos.
20
= 48.
69. La alternativa correcta es C Si V = número de bolitas verdes AZ = número de bolitas azules AM = número de bolitas amarillas V=3 Az = 1 AM = 1 Probabilidad =
C13 casos favorables = 5 = casos totales C3
3 1 3 3 3 = = = 5! 4 5 2 5 10 2! 3! 1 2
70. La alternativa correcta es B
H M Total
Casados 10 12 22
P(mujer soltera) =
Solteros 5 8 13
Total 15 20 35
8 35
71. La alternativa correcta es D
A
B 5
7
3
(#Cantidad de A) + (#Cantidad de B) – (#Cantidad Total) = (#Cantidad de A y B) 12 + 10 – 15 = 7 Solo A 12 – 7 = 5 Solo B 10 – 7 = 3 P(ambos) =
7 15
21
72. La alternativa correcta es D Experimento: lanzar dos dados X: diferencia positiva de los resultados
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5
1 0 1 2 3 4
2 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 2
4 3 2 1 0 1
5 4 3 2 1 0
P(X = 0) =
6 36
73. La alternativa correcta es C P(quita el dolor) = 0,9 éxito P(no quita el dolor) = 0,1 fracaso n = 12 x=9 Por distribución binomial 12
P(X = 9) = (0,9)9 · (0,1)3 9
74. La alternativa correcta es A E(X)
E(X) =
= 2 · 0,2 + 3 · 0,3 + 5 · 0,5 = 0,4 + 0,9 + 2,5 = 3,8 38 10
22
75. La alternativa correcta es E Para calcular los intervalos de confianza usamos el siguiente intervalo: X - Z 1 , X Z1 2 N N 2
Donde
es X media aritmética, σ desviación estándar, N número total de datos, y Z 1 2
el valor crítico puesto que el nivel de confianza entregado se encuentra en el intervalo correspondiente a una distribución estandarizada. Por lo tanto, los datos que se tienen son: X = 650
= 100 N = 100
Nivel de confianza= 99% Respecto de la tabla que se adjunta, el nivel de confianza 99% corresponde a = 2,58. Entonces, se reemplaza en la fórmula: Z 1 2
100 100 , 650 + 2,58 650 - 2,58 100 100
76. La alternativa correcta es C Variable aleatoria X: n° de calzado X normal x = 41 = 2 P(X > 41) 50% ó 0,5
41
23
77. La alternativa correcta es B Z f(z)
-1 0,15
0 k
1 0,20
2 0,30
0,15 + k + 0,20 + 0,30 = 1 k = 1 – 0,65 k = 0,35 I) Verdadero P(Z 0) = P(Z = -1) + P(Z 0) = 0,15 + 0,35 = 0,50 II) Falso k = 5 k = 35 7
III) Verdadero P(Z < 2) = 1 – P(Z = 2) = 1 – 0,30 = 0,70
78. La alternativa correcta es E Error estándar =
n
79. La alternativa correcta es A X N(0, 1), entonces P(X > 1) = 1 – P(X 1)
Tabla PSU
= 1 – 0,841 = 0,159
80. La alternativa correcta es D Lanzar n dados Variable aleatoria X: suma de los cuadrados de los números obtenidos. (1) Suficiente. Si 2 es elemento del recorrido, se tiene que 1 + 1 = 2, luego son 2 dados. (2) Suficiente. Si 72 es el mayor valor del recorrido se tiene que 36 + 36 = 72, luego son dos dados.
24
