RANGKUMAN MATRIK IKS By : Syaiful Hamza Hamzah h Nasution , S.Si, S.Pd
Definisi
Matriks Matriksadalah adalahsusunan susunanbilangan bilangandalam dalamsuatu suatupersegi persegipanjang panjangyang yangdiatur diaturberdasarkan berdasarkan baris barisdan dankolom. kolom. Ordo matriks Baris Ordoatau atauukuran ukurandari darisuatu suatu matriksadalah adalahbanyak banyakbaris barisdan dankolom kolomdari darisuatu s uatumatriks matriks Ket : Matriks A berordo m x n (m baris, Susunan horizontal disebut dengan baris Susunan horizontal disebut dengan baris n kolom) Matriks A berodo 2 x 3 ( 2 baris, 3 Susunan Susunanvertical verticaldisebut disebutdengan dengankolom kolom A 2x3 = kolom) 2x3 A
Ammxnxn
Elemen baris 1 kolom 1 = 2 Elemen baris 1 kolom 2 = 4
Kolom
Elemen baris 2 kolom 3 = 0 TRANSPOSE (Baris Transpose Matriks A adalah sebuah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya. Transpose matriks A dinotasikan dengan A T. Jika matriks A berordo m x n, maka A T berordo n x m.
2 1 4 T Contoh : A = , maka A = 5 1 3
2 5 1 1 4 3
KESAMAAN DUA MATRIKS Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika :
a. Ordo kedua matriks sama b. Semua Semua elemen elemen yang yang seletak seletak (bersesu (bersesuaian aian)) mempunya mempunyaii nilai yang sama PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA MATRIKS Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka penjumlahan (atau pengurangan) matriks A dengan matrik B adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Sifat Penjumlahan matrik matriks dapat dijumlahkan dijumlahkan jika ordonya sama a. Dua matriks
b. Penjumlahan matriks bersifat komutatif, yakni A + B = B + A c. Penjumlahan matriks bersifat asosiatif, asosiatif, yakni (A + B) + C = A + (B + C) d. Ada unsur identitas, yakni matriks O (matriks yang semua elemennya nol), yang bersifat A+O=O+A= A
e. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif (invers penjumlahan), yaitu – A yang bersifat A + ( - A ) = O
Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan matriks B adalah sebuah matrik baru yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak.
1 2 3 2 4 1 Contoh : A = , B = 3 2 4 , maka 4 5 1 1 2 3 A+B= + 4 5 1
2 4 1 1+ 2 2+ 4 3 + 1 3 2 4 = 4 + 3 5 + 2 1 + 4 =
3 6 4 7 7 5
1 2 3 2 4 1 1− 2 2− 4 3 − 1 −1 −2 2 A–B= - = = 4 5 1 3 2 4 4 − 3 5 − 2 1− 4 1 3 −3 PERKALIAN MATRIK Perkalian Matrik dengan Skalar Apabila A adalah sebuah matriks berordo m x n dan k adalah suatu bilangan real, maka kA adalah matriks baru berordo m x n yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen elemen matriks A Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat dikalian dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dengan kata lain Apabila A adalah matriks berordo m x n dan matriks B berordo n x p, hasil perkalian matriks A dengan matriks B adalah matriks baru (missal matriks C) yang berordo m x p. Hasil perkalian matriks A dengan matriks B yang sepadan diperoleh dengan cara mengalikan masing masing baris matriks A dengan masing masing kolom matriks B, kemudian menjumlahkannya.
Am x n . B
nxp
=C
mxp
1 2
2 4 5
Contoh : A = , dan B = 2 6 1 , maka 3 4
1 2 2 4 5
1 x2 + 2 x2 1 x4 + 2 x6 1 x5 + 2 x1
2 + 4
4 + 12
5+ 2
A. B = = 3 x2 + 4 x2 3 x4 + 4 x6 3 x5 + 4 x1 = 6 + 8 12 + 24 15 + 4 = 3 4 2 6 1
6 16 7 14 36 19 Sifat Perkalian dua Matriks atau lebih yang sepadan 1. Perkalian Perkalian matriks matriks pada pada umumnya umumnya tidak tidak komutatif komutatif A. B ≠ B. A (kecuali untuk matrik matrik khusus) 2. Perkal Perkalian ian matri matriks ks bersifa bersifatt asosiat asosiatif if (A. B) C = A. (B. C) 3. Perkal Perkalian ian matri matriks ks bersifa bersifatt distrib distributi utif f Distributif Kiri : A. (B + C) = A.B + A. C Distributif Kanan : (B + C). A = B. A + C. A
4. Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matrik identitas, yaitu matrik satuan I, yang bersifat : I . A =A.I
5. Jika Jika A . B = O, belum belum tentu tentu A = O atau atau B = O Jika A. B = A. C, belum tentu B = C 6. Jika p dan q adalah adalah bilangan bilangan bilangan bilangan real, real, serta A dan dan B adalah matrik matrik matriks matriks,, maka berlaku hubungan (pA) (qB) = (pq) (A.B)
7. Jika A t dan Bt berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan matriks B maka : (A. B)t = Bt. At INVERS MATRIKS Apabila A dan B masing-masing masing-masing adalah matriks persegi berordo sama dan berlaku hubungan : A. B = B. A Maka A adalah invers B atau B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks yang saling invers. Matriks A adalah invers matrik B ditulis A = B-1 dan matrik B adalah invers matriks A ditulis B= A-1
INVERS MATRIK ORDO 2 X 2
a Misal A = c
b
dengan Determinan matriks A = det A = ad – bc, maka invers matrik A
d
diperoleh dengan A-1 =
d -b ad - bc -c a 1
Dengan sifat
( A. B)
-1
= B-1 . A-1
Penyelesaian Persamaan Matriks Apabila A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berodo 2 dan A memiliki invers, maka a. Penyelesaian persamaan persamaan matriks matriks AX = B ditentukan oleh oleh : X = A-1 B by = p ax + by cx + dy = q
b. Sistem Persamaan liniear dua peubah :
a b x p = d y q x d − b p 1 Himpunan penyelesa penyelesaiannya iannya dapat dapat ditentukan oleh : = y ad − bc − c a q dapat dinyatakan dalam bentuk matrik : c
INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3
a b c Misalkan matriks A adalah matriks persegi berodo 3 yang berbentuk A = d e f g h i Berdasarkan kaidah Sarrus, nilai determinan matriks A ditentukan oleh : a
b
c a
b
Det A = d
e
f d
e = ( aei + bfg + cdh) − ( ceg + afh + bd b di )
g
h
i g
h
Penyelesaian Sistem Persamaan Liniear Tiga Variabel (Aturan Cramer)
ax + by + cz = p dx + ey + fz = q ditentukan oleh x= gx+ hy+ iz = r
Dx , y= D
a
b
c
p
b
c
a
p
D= d
e
f , Dx = q
e
f , Dy = d
g
h
i
h
i
r
g
Dy Dz , z= D D
c
untuk D ≠ 0, dengan
a
b
p
q
f , Dz = d
e
q
r
i
h
r
g
