Nama : Diana Rahmah NIM : 201410060311155 Kelas : Matkom 3D Universtias Muhammadiyah Malang
MATRIKS
[
b 5 1. Jika B= 1 2 b
]
merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali
−1 semua nilai b yang mungkin sehingga det ( B )=det ( B ) adalah ... (SBMPTN
2015) A. B. C. D. E.
2 3 6 12 24
2. Jika A adalah matriks berukuran 2 x 2 dan
matriks A yang mungkin adalah ... (SBMPTN 2014) A. B. C. D.
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 −5 8 0
1 5 8 0
1 8 −5 0
1 3 −8 8
[]
[ x 1 ] A x =x 2−5 x+ 8 , maka 1
[
E.
1 −3 8 8
]
F. A=
3. Matriks
[ ] [ ] 3 2 4 1
[
1 −4 mempunyai hubungan dengan matriks B= −2 3
5 −3 Jika matriks C= −3 2
dan matriks
]
.
D mempunyai hubungan serupa dengan
matriks A dan B. Maka matriks C + D adalah ... (SBMPTN 2009) A. B. C. D. E.
[ [ [ [ [
2 3 3 5
0 7 7 0
] ]
0 −7 −7 0
7 0 0 7 7 7 0 0
]
] ]
F. G. 4. Jika M adalah matriks sehingga b Mx a b = a c d −a+ c −b+ d maka determinan matriks M adalah ... (SBMPTN 2010)
[ ][
A. B. C. D.
]
1 -1 -0 -2
E.
5. Jika
[ ]
a −1 A= −1 1 2 , B= b 1 , dan AB= 4 2 −1 −1 0 2 0 c 0
[
(SBMPTN 2013)
]
[ ]
maka nilai (-a) adalah ...
A. B. C. D. E.
-4 -3 0 3 4 F.
G. 6. Pada matriks
[ ]
A= 1 a b c
jika bilangan positif 1, a, c memebntuk barisan geometri
berjumlah 13 dan bilangan positif 1, b, c membentuk barisan aritmetika, maka determinan A adalah ... (SPMB 2007) A. B. C. D. E.
17 6 -1 -6 -22
7. Diketahui matriks A= 2 1 dan I = 1 0 0 −1 0 1
[
]
Bilangan A. B. C. D. E.
[ ]
λ yang memenuhi
⌈ A−λI ⌉ =0 adalah ... (SNMPTN 2008)
-1 atau 0 1 atau 3 -1 atau 2 2 atau 3 -1 atau 3
8. Jika
A=
[
] [ ]
adalah .... (SNMPTN 2011) A. B. C. D. E.
-5 -4 5 6 7
[ ]
1 −3 2 0 5 3 , B= , dan C= , maka determinan matriks AB – C 1 0 1 1 2 1
[
]
[ ]
P= 1 −1 dan I = 1 0 maka− p4 +2 p3 +3 p 2+ 4 I 2 −1 0 1
9. Jika
adalah ... (SNMPTN
2008) A. B. C. D. E.
–P P 2P -2P I
10. Transpos dari matriks A ditulis A T =B + X
X memenuhi
[ [ [ [ [
1 −3 1 7 −4 −1
B.
1 1 1 4 −4 −1
C.
1 1 1 4 −4 −3
D.
1 1 2 9 −1 3
E.
1 −1 −2 2 1 −2
2007) A. -9 −9 B. 2 C.
1
−1
A=
[
] [
1 2 1 2 B= −2 0 −2 0
]
maka invers dari X adalah ... (SNMPTN 2008)
] ] ]
A.
11. Jika
A T . Jika matriks
]
A =
[
] ]
[
−1 1 1 −5 dab B= 3 −2 3 3
]
1 T maka det 2 (AB ) adalah ... (SPMB
dan
9 2
D. E. 9
12. Jika A. B. C. D. E.
[ ] [
]
A= 2 0 , B= 1 5 ,dan det ( AB ) =12 , maka nilai X adalah ... 1 x 0 −2
-6 -3 0 3 6
n
13. Nilai
∑ j=0
(( )(∑ ( ) )) n j
14. Jika matriks
j
j 8i =… (OSN MATEMATIKA SMA 2013) i
i=0
[
]
[ ]
A= a 1−a dan A−1 = 2 b 0 1 0 1
, maka nilai b adalah ... (SPMB 2004)
A. -1 −1 B. 2 C.
0
D.
1 2
E. 1
15. Jika
A=
[ ] 7 6
k −1 2 ,A merupakan matriks invers dari A dan A-1 mempunyai 5
determinan yang sama dan positif, maka nilai k sama dengan ... (SPMB 2003)
A.
35 3
B. -12 34 C. 3 D.
−34 3
E. 12
16. Jika
A. B. C. D.
[ [ [ [
[ ]
A= 2 5 1 3
3 −5 −1 2
3 −1 −5 2 −3 5 1 −2
−3 1 5 −2
maka transpose dari A-1 adalah ... (UM UNPAD 2009)
] ] ] ]
E.
[
−2 1 5 −3
]
F. 17. Jika
[ ]
A= 2 1 4 3
A + B= A
A. B.
[ ] [ ] 4 3 12 7
4 2 8 6
2
dan B adalah matriks berukuran 2 x 2 serta memenuhi
, maka B – A = .... (UMB UI 2008)
[ ] [ ] [ ] 6 4 16 10
C.
12 7 4 3
D.
16 10 6 4
E.
18. Diket
P=
[
] [
]
[ ]
s+ r 2 2 −1 7 3 −1 2 , Q= ,dan R= . Jika Q−P=R , maka nilai s r 3 r 1 4 2 1
adalah ... (SIMAK UI 2014) A. B. C. D. E.
-48 -36 -12 36 -48
19. Jika matriks
[ ]
[ ]
A= 1 4 dan I = 1 0 2 3 0 1
memenuhi persamaan
A 2= pA+ qI , maka p−q=¿ ... (SPMB 2003) A. B. C. D. E.
16 9 8 1 -1
20. Jika matriks
P=
[ ]
[
3 1 1 0 dan Q= 4 2 −2 3
]
serta P-1 invers matriks P, maka
determinan untuk matriks QP-1 adalah ... (UM UGM 2013) A. B. 3 C. 6
3 2
D.
19 2
E. 19
21. Jika
[
] [ ]
A= 2 1 , B= 1 1 −1 0 0 1
dan matriks I matriks identitas, maka
AB −1 + B−1=¿ .... (UM UGM 2013)
A.
1 I 3
B. 3 C. I D. 2I E. 3I
22. Jika
[ ]
1 1 0 A= 0 1 0 0 0 1
maka jumlah dari semua elemen pada matriks
A 2010 ...
(SIMAK UI 2010) A. B. C. D. E.
2010 2011 2012 2013 2014
[ ] [
][
4 3 1 3c 3 −3 4 a 23. Jika 3 2 1 − 3 −6 21 = 2b d
(SIMAK UI 2010) A. B. C. D. E.
47 37 27 17 7
]
, maka nilai a+b +c +d
adalah ...
[ ][ x 2
24. Nilai x yang memenuhi A. B. C. D. E.
[
x = −2 −2 x 2 −2
]
0 -2 4 -2 atau 4 -4 atau 2
25. Jika a, b, c adalah sudut-sudut segitiga, maka cos a −sin a cos b −sin b cos c −sin c sin a cos a sin b cos b sin c cos c
][
][
Sama dengan ... (SIMAK UI 2010) 1 0 A. 0 1 B. C. D. E.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] −1 0 0 −1
0 1 1 0
0 −1 1 0
0 1 −1 0
PEMBAHASAN 1. Jawaban : C (SBMPTN 2015) Pembahasan
[
B= b 5 1 2b
]
]
adalah ... (SPMB 2003)
det ( B )=2b 2−5 2 b2 −5 ¿ ¿ ¿2 ¿ −1 ( B )= 1¿ det ¿ det ( B )=det ( B−1) 2b 2 (¿¿ 2−5) =1 ¿ 2
2
2 b −5=1 atau2 b −5=−1 2 b2=6 atau 2b 2=4 b1,2 =± √3 atau b3,4 =± √ 2 Hasil perkalian nilai b=( √ 3 )( −√ 3 ) ( √ 2 )( −√ 2 )=6
2. Jawaban : D Pembahasan Jika A matriks berukuran 2 x 2, misalkan
[]
[A 1]
A x = x 2−5 x +8 1
[ x 1]
[ ][ ]
a b x 2 =x −5 x+ 8 c d 1
A=
[ ] a b c d
[]
x =x 2−5 x+ 8 1
[ a x+ c bx +d ]
( ax +c ) x + ( bx +d )=x 2−5 x +8 ax 2+ ( b+c ) x+ d=x 2−5 x+ 8 ax 2=1 →a=1
( b+ c ) x=−5 x ⟹ b+c=−5 d=8
A=
Sehingga, matriks
[ ]
1 b ,b +c=−5 c 8
Maka dapat diketahui b = 3, c = -8 b+ c=−5 ⟶ 3+ (−8 )=−5
Jadi, matriks
A=
[
1 3 −8 8
]
3. Jawaban : D Pembahasan
[ ] [ ]
[ [
] ]
A= 3 2 dan B= 1 −4 4 1 −2 3 A=
a b d −b ⟶ B= c d −b a
memiliki hubungan maka,
karena C dan D memiliki hubungan yang sama dengan A dan B maka ,
[
C= 5 −3 −3 2
[
]
maka
[ ]
D= 2 3 3 5
][ ][ ]
C+ D= 5 −3 + 2 3 = 7 0 −3 2 3 5 0 7
4. Jawaban : A Pembahasan
| | | | | |
|M =
a b −a+ c −b+ d a b c d
=
a (−b +d )−(b)(−a+c ) ad −bc = =1 ad−bc ad −bc
5. Jawaban : D Pembahasan
][
a −1 AB= −1 1 2 b 1 −1 −1 0 c 0
[
[
][
][
]
a −1 −1 1 2 4 2 b 1 = −1 −1 0 2 0 c 0
−a+b+2 c=4
.
] (1)
−a−b=2 b=−a−2
(2)
Masukkan persamaan (2) ke persamaan (1) −a+b+2 c=4 −a−a−2+2 c=4
−2 a+ 2c=6 c−a=3
6. Jawaban : D Pembahasan
[ ]
A= 1 a b c
Pada matriks
, jika bilangan positif 1, a, c membentuk barisan geometri
berjumlah 13 dan bilangan 1, b, c membentuk barisan aritmetika, maka determinan A : -
Barisan geometri : 1, a, c a c = ⟶ c=a2 1 a
Rasio sama :
(pers i)
Jumlahnya : 1 + a + c = 13 ⟶ a+c=12 -
Barisan aritmetika : 1, b, c
Selisih sama : b−1=c−b ⟶2 b=1+c -
(pers ii)
(pers iii)
Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii) a+ c=12⟶ a+ a2=12 ⟶ a2+ 1−12=0
( a−3 ) ( a+4 )=0 ⟶ a=3 , a=−4 Yang memenuhi a=3 (yang positif) c=a2=32=9 Persamaan (iii) 2 b=1+ c ⟶ 2b=1+9 ⟶ b=5
Matriks
A=
[ ][ ] 1 a 1 3 = b c 5 9
determinan A=| A|=1.9−5.3=9−15=−6 Jadi, determinan A adalah -6
7. Jawaban : C Pembahasan -
Menentukan matriks ( A− λI )
[
] [ ]
( A− λI ) = 2 1 −λ 1 0 0 −1 0 1
[
][ ]
¿ 2 1 −λ 0 0 −1 0 λ
¿
-
[
2− λ 1 0 −1−λ
Menurunkan nilai ⌈ A−λI ⌉
[
2−λ 1 0 −1−λ
]
]
λ =0
=0
( 2−λ )(−1−λ )−0,1=0
( 2−λ )(−1−λ )
=0
λ=2∨ λ=−1
Jadi diperoleh nilai
λ=2 atau λ=−1
8. Jawaban : D Pembahasan -
Mencari matriks AB
][ ][
[
][
( ) ( ) A x B= 1 −3 x 2 0 = 2+ −3 0+ −3 = −1 −3 1 0 1 1 2 0 2+ 0 0+0 -
Mencari matriks AB – C
AB – C =
[
][ ][
−1 −3 − 5 3 = −6 −9 2 0 2 1 0 −1
]
⌈ AB – C ⌉ =(−6 .−1 )−(−9 . 0 )=6−0=6
Determinan
Jadi, determinan matriks AB – C adalah 6
9. Jawaban : D Pembahasan P2
Mencari matriks
[
][
][
][
]
][ ]
,
1+(−2) −1+1 −1 0 P2= 1 −1 x 1 −1 = = 2 −1 2 −1 2+(−2) −2+1 0 −1
4 Mencari matriks −P
-
−P 4=−P2 x −P2
[
][
][
¿ −1 0 x −1 0 = 1+ 0 0+0 = 1 0 0 −1 0 −1 0+0 0+1 0 1 4
matriks −P =matriks I Mencari matriks 2 P
3
2
P =P x P
3
]
[
][
][
][
]
][
¿ −1 0 x 1 −1 = −1+0 1+0 = −1 1 0 −1 2 −1 0+(−2) 0+1 −2 1
[
2 P3 =2 −1 1 = −2 2 −2 1 −4 2 3
Matriks 2 P =¿ matriks -2P -
Mencari matriks 3 P
[
2
][
3 P 2=3 −1 0 = −3 0 0 −1 0 −3 2
Matriks 3 P
]
= Matriks -3I
−p 4 +2 p3 +3 p2 + 4 I =I −2 P−3 I + 4 I ¿ I −3 I + 4 I
¿−2 P 4 3 2 Maka hasil dari −p +2 p +3 p + 4 I
10. Jawaban : A Pembahasan
[
]
[
A= 1 2 ⟶ A T = 1 −2 −2 0 2 0
A T =B + X X =A T −B
[ [
][ ]
]
X = 1 −2 − 2 −1 2 0 −2 3 X=
−1 −1 4 −3
]
adalah −2 P
]
Invers X= ¿
1 . adjoin X det X
[
]
1 . −3 1 (−1 .−3 ) −(−1 . 4 ) −4 −2
[
] [
1 −3 1 ¿ . 7 −4 −2
Jadi invers X adalah
1 −3 1 7 −4 −2
]
11. Jawaban : B Pembahasan −1
A =
[
]
[
−1 1 1 −1 ⟶ A= 3 −2 −3 2
[
][
][
[
]
[
]
][
1+(−3) −5+(−3) −2 −8 AB= 1 −1 x 1 −5 = = −3 2 3 3 −3+6 15+6 3 21 AB = −2 −8 ⟶ AB T = −2 3 3 21 −8 21
[
]
1 1 ( AB T )= −2 3 = 2 2 −8 21
[ ] −1 −4
3 2 21 2
1 21 3 det (AB T )= −1 . − .−4 2 2 2
(
¿−
21 12 + 2 2
¿−
9 2
)(
)
]
]
1 −9 T Jadi det 2 ( AB ) adalah 2
12. Jawaban : B Pembahasan Ingat, sifat determinan yaitu det ( AB )=det ( A ) . det(B)
[ ]
A= 2 0 ⟶ det ( A )= ( 2. x )−( 0 . 1 )=2 x−0=2 x 1 x
[
]
B= 1 5 ⟶ det ( B )=( 1 . (−2 ) ) −( 5. 0 ) =−2−0=−2 0 −2 det ( AB )=det ( A ) . det ( B ) 12=2 x .−2 12=−4 x
x=−3
n 13. Jawaban : 10
Pembahasan Perhatikan bahwa
() () ()
()
n
n ( x+1 ) = n x 0 + n x 1+ n x 2+ …+ n x n=∑ x i 0 1 2 n i−0
i
∑ ( ij ) 8i=( 8+1 ) j=9 j i=0
n
∑ j=0
(( )(∑ ( ) )) n j
j
i=0
n
()
j 8i = n 9 j=( 9+1 )n=10n ∑ i j=0 j
jadi , nilainya adalah10n
14. Jawaban : C Pembahasan A=
[
]
[ ]
a 1−a −1 2 b dan A = 0 1 0 1
( 1−a ) . 0 ¿ ( a . 1 )−¿ 1 1 A−1= . Adjoin A= ¿ det (A ) A= A−1 A−1= A−1
[ ]
1 . Adjoin A= 2 b 0 1 det ( A )
( 1−a ) . 0 ¿ ( a. 1 )−¿ 1 ¿
[
][ ]
1 . 1 −1+a = 2 b a−1 0 a 0 1
[
1 a−1 0
][
−1+a a−1 2 b = a 0 1 a−1
]
Ambil satu elemen a11 pada matriks A dan A-1 1 =2 a−1 2 a−1=1 2 a=2
a=1 Disubstirusikan pada elemen a12 pada matriks A dan A-1, sebelumnya disubstitusikan a = 1 pada elemen a12 pada matriks A-1 −1+a −1+ 1 = =0 a−1 1−1 maka b=0
15. Jawaban : A Pembahasan
A=
[ ] 7 6
k k 2 ⟶ det ( A ) =( 7 .5 )− . 6 =35−3 k 2 5
( )
35=3 k k=
35 3
Jadi nilai k adalah
16. Jawaban : B Pembahasan
35 3
[ ]
A= 2 5 1 3
−1
A =
[
] [
][
1 1 3 −5 3 −5 3 −5 . adjoin A= . =1. = 6−5 −1 2 −1 2 −1 2 det ( A )
[
Transpose
][
3 −5 = 3 −1 −1 2 −5 2
]
17. Jawaban : A Pembahasan A=
[ ] 2 1 4 3
, ditanya
A + B= A
2
[ ][ ][
][
A 2= A x A= 2 1 x 2 1 = 4+ 4 2+ 3 = 8 5 4 3 4 3 8+13 4 +9 20 13
2
B= A −A=
[
[
][ ][
8 5 2 1 6 4 − = 20 13 4 3 16 10
]
][ ][ ]
B− A= 6 4 − 2 1 = 4 3 16 10 4 3 12 7
Jadi , B− A=
[ ] 4 3 12 7
18. Jawaban : C Pembahasan
[
][
][
Q−P= 2 −1 − s +r 2 = 2−s +r −3 1 4 3 r −2 4−r
R−1=
[
][
]
1 1 . adjoin R= . 1 −3 = 1 −3 det ( R) 1 −2 7 −2 7
]
]
]
[
−1
Q−P=R
][
2−s +r −3 1 −3 = −2 4−r −2 7
]
-
4−r =7 r=−3
2−s+r =1
2−s−3=1
−s−1=1 s=−¿ 2 2 2 Jadi s r =2 .−3=4 .−3=−12
19. Jawaban : E Pembahasan
Substitusi matriksnya 2
A = pA+ qI
[ ][ ] [ ] [ ] 1 4 1 4 1 4 1 0 x =p +q 2 3 2 3 2 3 0 1
[
9 16 = p 4 p + q 0 8 17 2 p 3p 0 q
][
][ ]
[
9 16 = p+ q 4p 8 17 2 p 3 p+ q
][
]
2 p=8 ⟶ p=4
p+q=9 ⟶ 4+ q=9 ⟶ q=5 Sehingga
p−q=4−5=−1
Jadi nilai
p−q=−1
20. Jawaban : A Pembahasan
Konsep matriks
Determinan
[ ]
A= a b ⟶det ( A )=| A|= ( a .d ) −( b . c ) c d
1 −1 Sifat-sifat determinan | A . B|=| A|.|B|dan| A |=| A|
Menentukan determinan kedua matriks
[ ]
P= 3 1 ⟶|P|=( 3 . 2 )−( 4 .1 )=6−4=2 4 2
Q=
[ ]
1 0 ⟶|P|=( 1. 3 )− (−2 . 0 )=3−0=3 2 3
Menentukan determinan soal dengan sifatnya
|Q . P−1|=|Q|.|P−1|=|Q|.
21. Jawaban : E Pembahasan
Konsep matriks
1 1 3 =3 . = 2 2 | P|
[ ]
[
1 d −b A= a b ⟶ A−1 = c d ad −bc −c a
Invers
Menentukan invers dan hasil A=
[
]
[
−1
AB + BA
][
]
−1
1 0 −1 2 1 −1 0 −1 ⟶A = = −1 0 0+1 1 2 1 2
[ ]
[
][
1 1 −1 B= 1 1 ⟶ B−1= = 1 −1 0 1 1−0 0 1 0 1
−1
−1
AB + BA =
[
][
]
]
] [ ][
2 1 1 −1 1 1 0 −1 . + . −1 0 0 1 0 1 1 2
[
][ ]
¿ 2 −1 + 1 1 −1 1 1 2
¿
[ ] 3 0 0 3
[ ]
¿3 1 0 0 1 ¿3I
22. Jawaban : D Pembahasan Misal dicari matriks
A
2
[ ] [ ][ ]
1 1 0 A 2= 0 1 0 0 0 1
x
1 1 0 1 2 0 = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
]
Hasil dari matriks A2 yang berubah hanya pada elemen a12 yaitu 2, maka bila dicari matriks bila
A
elemen a12 yaitu 2010, jadi jumlah dari semua matriks A
2010
A 2010 , yaitu :
2010+1+1+1=2013
23. Jawaban : D Pembahasan
[ ] [
][
1 3 4 3 − 3 c 3 = −3 4 a 2 1 3 −6 21 2b d
[ ][
][
12 9 − c 1 = −3 4 a 6 3 −2 7 2b d
[
][
12−c 8 = −3 4 a 8 −4 2b d
Oleh karena itu 12−c=−3
c=15
8=2b
b=4
8=4 a
d = -4
a=2
]
]
]
Sehingga, a + b + c + d = 2 + 4 +15 +(-4) = 17
24. Jawaban : B Pembahasan
[ ][ x 2
Karena
x = −2 −2 x 2 −2
]
, maka elemen a11 ⟶
x=−2
Elemen a12 ⟶ x=−2 Elemen a22 ⟶ x=−2 Maka nilai x adalah -2 25. Jawaban : A Pembahasan
[
][
][
cos a −sin a cos b −sin b cos c −sin c sin a cos a sin b cos b sin c cos c
]
¿ cos a cos b−sin a sin b −cos a sin b−sin a cos b cos c −sin c sin a cos b+cos a sin b −sin a sin b+¿ cos a cos b sin c cos c ¿¿
[
cos( a+b) b a+ ¿ ¿ ¿ ¿ sin(a+ b) −sin ¿ cos c −sin c sin c cos c ¿¿
[
[
]
][
]
¿ −cos c −sin c cos c −sin c sin c −cos c sin c cos c
Karena
[
cos c −sin c sin c cos c
−1
] [
= −cos c sin c −sin c −cos c
]
, maka
]
[
][
][ ]
−cos c −sin c cos c −sin c = 1 0 sin c −cos c sin c cos c 0 1
