Tugas MK. Matematika Lanjut Semester Ganjil 2013/2014
Vektor, Integral Garis, Integral Permukaan dan Teori Integral
Oleh : Nama
: Aswad H. Mangalaeng
NIM
: H11 112 276
Dosen
: Prof. Dr. Moh. Ivan Azis, M.Sc
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar 2013
7.46. Jika diketahui sebarang dua vektor A dan B, gambarkanlah secara geometri kesamaan 4A+3 (B-A)=A+3B Jawab :
4A 3 (B – A)
A 3B A + 3B
4 A + 3 (B – A)
Dari gambar dapat dilihat bahwa 4 A + 3 (B - A) = A + 3 B 7.47. Tentukanlah sebuah vektor satuan dalam arah vektor resultan A=2i-j+k, B=i+j+2k, dan C=3i-2j+4k. Jawab: Vektor resultan = A+B+C =6i -2j +7k Vektor satuannya adalah 7.53. Hitunglah
√
√
jika
Jawab: (A+B) (A-B)=
)+(
)=
)-(
7.54. Buktikanlah konsistensi hukum cosinus untuk sebuah segitiga. Jawab:
Misalkan C=A-B, dan
adalah sudut antara A dan B =
| | Karena | |
| |
| |
…………………………………………………………..………..(1)
| || | | |
| | dan | || |
| || |
maka persamaan (1) sama dengan
(Terbukti)
7.55. Tentukanlah a sehingga
dan
saling tegak lurus.
Jawab: Saling tegak lurus berarti =90 ,
7.56. Jika A+C dalam arah B.
. Tentukanlah proyeksi dari
Jawab:
Proyeksi skalar A+C dalam arah B adalah
(
| |
(
(
√
√
) )
√ )
7.57. Sebuah segitiga memiliki puncak-puncak pada A(2,3,1), B(-1,1,2), C(1,-2,3). Tentukanlah (a) panjang median yang ditarik dari B ke sisi AC dan (b) sudut lancip yang dibentuk median ini dengan sisi BC. Jawab: a) Panjang median yang ditarik dari B ke sisi AC Misalkan median yang ditarik dari B ke sisi AC adalah BD. AC=C-A=(-1,-5,2) BA=A-B=(3,2,-1) CB=B-C=(-2,3,-1) |
|
|
|
√
|
|
|
|
√
|
|
|
|
√
Karena |
|
|
|
maka segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, dimana |
√
tinggi segitiga ABC yang tegak lurus terhadap sisi AC sehingga |
|
|
| adalah
| dan sudut
BDC=90 sehingga segitiga BDC adalah segitiga siku-siku. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, maka |
√|
|
√ √
|
|
| √
(
)
√
√ (b) sudut lancip yang dibentuk median ini dengan sisi BC Karena telah diperoleh dari (a) bahwa Segitiga BDC adalah segitiga siku-siku, maka dengan menggunakan hukum cosinus : |
|
| |
|
|
|
| |
| | ||
| | |
|| |
|
√ (√
√
(
)( √
)
√
)
√ √
√
7.58. Buktikanlah bahwa diagonal-diagonal dari sebuah belah ketupat adalah tegak lurus satu sama lain. Jawab:
N
M
O K
L
Misal segiempat KLMN belah ketupat, maka KLMN jajaran genjang. Karena KLMN jajaran genjang, maka KL = MN dan KN = LM. Sedangkan KLN adalah segitiga sama kaki dengan KL = KN, maka dapat disimpulkan KL =MN = LM = KN artinya sisi-sisi suatu belah ketupat berukuran sama atau sama panjang, sehingga apabila kita membuat garis lurus dari K ke M dan dari L ke N yang berpotongan di O, maka dapat disimpulkan KO = LO = MO = NO dan sudut KOL = sudut LOM = sudut MON = sudut KON =
, sehingga KO tegak lurus terhadap
LN, LO tegak lurus terhadap KM, MO tegak lurus terhadap LN, dan NO tegak lurus terhadap KM, ini artinya diagonal-diagonal belah ketupat dalam hal ini KM dan LN saling tegak lurus satu sama lain. 7.59. Buktikanlah bahwa vektor (AB+BA)/(A+B) merepresentasikan bisector dari sudut antara A dan B. Jawab:
7.60. Jika A=2i-j+k dan B=i+2j-3k, tentukanlah Jawab:
.
|
|
||
||
|
|
√ √ √ √ 7.63. Tentukanlah luas segitiga dengan titik-titik puncak (2,-3,1), (1,-1,2), (-1,2,3). Jawab: Misalkan A=(2,-3,1), B=(1,-1,2), dan C=(-1,2,3) ⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Luas Segitiga
|⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |
||
‖
||
‖
√ √ 7.65. Jika A=2i+j-3k, B=i-2j+k, dan C=-i+j-4k, tentukanlah (a) (d)
(b)
(c)
Jawab: (a)
=
= 20 (b)
(c)
j (d)
7.67. Tentukanlah persamaan untuk bidang yang melewati (2,-1,-2), (-1,2,-3), (4,1,0). Jawab: Misalkan ketiga titik puncak tersebut berturut-turut adalah A, B, dan C Misalkan
dan
|
|
|
|
|
|
tegak lurus terhadap dan sehingga tegak lurus pula terhadap bidang dimana kedua vektor tersebut berada. Bidang yang melalui titik (2,-1,-2) dengan garis normal mempunyai persamaan :
7.69. Buktikanlah bahwa Jawab: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (
}
)
(Terbukti) 7.70. Sebuah partikel bergerak disepanjang kurva ruang Tentukanlah besar (a) kecepatan dan (b) percepatan pada sebarang waktu t. Jawab: a) Kecepatan
Besar kecepatan pada sebarang waktu t adalah |
|
√ √
√ √ √
.
√
√
b) Percepatan
Besar percepatan pada sebarang waktu t adalah
|
|
√ √ √ √ √ 7.74. Jika
√
dan dan (b)
tentukanlah (a)
pada titik (1,-1,2).
Jawab: (a)
pada titik (1,-1,2)
|
|
((
(
)
)
(
(
(
Pada titik (1,-1,2) = (2(-1)(2))i+(3 (b) |(
)| pada titik (1,-1,2)
)
)
)
(
(
)
) )
| (
| )
|(
(
)
) (
( )
) (
(
)| pada titik (1,-1,2)
7.75. Jika
|
(
, tentukanlah
Jawab:
Dititik (2,1,-2)
=
)
)
|
)|
|(
(
)
pada titik (2,1,-2).
7.76. Jika U,V,A,B memiliki turunan-turunan parsial kontinu, buktikanlah bahwa: (a) Jawab: (a)
(
)
(
)
(b) (
)
(
) (
)
(Terbukti)
(
)
(
)
|
|
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
) )
)
(
)
(
)
((
(
(
)
)
((
)
(
) )
)
(
(
)
( )
(
(
) ) )
(
)
(Kontradiksi/Tidak Terbukti) 7.81. Tentukanlah sebuah satuan normal terhadap permukaan titik (2,1,-1). Jawab:
pada
Sebuah vektor normal terhadap permukaan adalah
pada titik (2,1,-1) Vektor satuan normal terhadap permukaan √
√
7.85. Nyatakanlah (a) grad
√
(b) div A, (c)
pada titik (2,1,-1) adalah √
dalam koordinat-koordinat sferis.
Jawab: Dalam koordinat-koordinat sferis (a) grad
(b) div A div A
dan
(c) = Laplacian dari [
10.35 Hitunglah
(
)
(
)
(
disepanjang (a) parabola
garis lurus dari (1,1) ke (1,2) dan kemudian ke (4,2), (d) kurva Jawab: (a) parabola Pada parabola
)]
, integral garis tersebut sama dengan
= =
=
, (b) garis lurus, (c)
=
)
)
= =
(b) garis lurus Garis lurus pasti berbentuk Pada titik (1,1) persamaan garis lurus tersebut menjadi
………..…………...………(1)
Pada titik (4,2) persamaan garis lurus tersebut menjadi
……………………………(2)
Dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh garis lurusnya adalah dengan
dan
, sehingga persamaan
. Dengan demikian, integral garis tersebut sama
=
= = = = = 11 (c) garis lurus dari (1,1) ke (1,2) dan kemudian ke (4,2)
Sepanjang garis lurus dari (1,1) ke (1,2),
dan integral garis tersebut sama dengan
Sepanjang garis lurus dari (1,2) ke (4,2),
dan integral garis tersebut sama dengan
Dengan demikian, nilai yang dicari adalah (d) kurva Karena pada (1,1), tersebut sama dengan
pada (4,2),
integral garis
10.36 Hitunglah
disepanjang keliling segitiga dalam
bidang dengan titik-titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dilintasi dalam arah berlawanan arah jarum jam. Jawab: Dari (0,0) ke (3,0), ∫
dan integral garis tersebut sama dengan
[
]
(
)
(
Dari (3,0) ke (3,2), ∫
dan integral garis tersebut sama dengan
*
+
(
)
Dari (3,2) ke (0,0), ∫ (
)
(
)
dan integral garis tersebut sama dengan )
( (
)
)
∫ (
∫ (
)
)
[
]
(
)
(
)
Dengan demikian nilai yang dicari adalah 10.37 Hitunglah
, dimana C adalah kurva dalam bidang
jika diketahui
dan s adalah parameter panjang busur, dari titik (3,4) ke (4,3) disepanjang lintasan terpendek. Jawab:
Karena diperoleh
=
, maka
10.42
Periksalah
berlakunya
Teorema
Green
dalam
bidang
untuk
dimana C adalah kotak dengan titik-titik sudut (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) dan memiiki orientasi berlawanan arah jarum jam. Jawab: Dengan menggunakan Teorema Green dimana ∮
dan ∬ (
∬ (
. Maka
) (
)
(
)
)
∬ ∫
∫
∫
[
]
∫ [
]
10.47 Periksalah berlakunya Teorema Green dalam bidang untuk ∮ ( dimana C adalah batas dari daerah yang dibatasi oleh lingkaran dan Jawab: Dengan menggunakan Teorema Green dimana P = ( ∮
∬ (
∬ ( ∬ ( ∫
∫
) dan Q =
) (
)
)
(
)
)
, atau dalam koordinat polar
. Maka
)
,
∫
10.53 Tentukanlah luas permukaan dari bidang
Jawab:
√
√
(
)
a) ∫
∫
∫
*
+
∫
*
+
(b) ∬ ∫
atau dalam koordinat polar ∫
∫
*
∫ [
]
+
yang terpotong oleh
10.55 Tentukanlah luas permukaan kerucut .
yang terpotong oleh paraboloida
Jawab: (
√
)
√
√ √(
√
)
√
(
√
)
√ √ Perpotongan dan sehingga Luas Permukaan kerucut adalah √
∫
adalah dan yang terpotong oleh paraboloida
√
∫
√
(√
)
∫
∫
√
√
∫
(√
∫
√
√
]√
∫ [
∫
√
[ √
√ ]
√
)
(√ √ ),
10.60 Periksalah berlakunya Teorema Divergensi untuk A= daerah yang dibatasi oleh Jawab:
Permukaan : n=i, x=3. Maka ∬
∫
∫
∫
Permukaan : n=-i, x=0. Maka ∬
∫
∫
∫
Permukaan : n=j, y=3. Maka ∬
∫
∫
Permukaan : n= -j, y=0. Maka ∬
∫
∫
Permukaan : n=k, z=6. Maka ∬
∫
∫
Permukaan : n=-k, z=0. Maka ∬
∫
∫
Maka ∬ ∭
∫
∫
∫
untuk
10.61 Hitunglah ∬
dimana
dan S adalah permukaan daerah
yang dibatasi oleh
dan bidang
.
Jawab: Permukaan : n=i, x=3. Maka ∬
∫
∫
(
∫
)
(
)
Permukaan : n=-i, x=0. Maka ∬
∫
∫
(
∫
)
Permukaan : n=j, y=2. Maka ∬
∫
∫
Permukaan : n= -j, y=0. Maka ∬
∫
∫
((
)
)
Permukaan : n=k, z=4. Maka ∬
∫
∫
Permukaan : n=-k, z=0. Maka ∬
Maka ∬
∫
∫
(
)
.