Rumus tentang matematika keuangan.Full description
Full description
Modul karya Mahasiswi Pendidikan Matematika UHAMKA dalam memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Dasar MatematikaFull description
Deskripsi lengkap
Full description
soal matematika sd
Matematika Teknik
MatematikaDeskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Pregled matematike.Full description
FileDeskripsi lengkap
FUNGSI DAN TURUNAN A. Turunan Turunan Fungsi Fu ngsi Aljabar f ( x )
f ( x + h ) − f ( x )
= Lim
h Materi Ringkasan f ( x ) dibaca f aksen h→
f ( x ) disebut turunan derivatif pertama dari f ( x ) f ( a )
f ( a + h ) − f ( a )
disebut perubahan sesaat atau laju perubahan f ( x ) h pada x = a atau turunan f pada x = a = Lim h→
Notasi Leibniz Jika y
= f ( x )
dy
=
y
∆ y
= Lim
= Lim
f ( x + h ) − f ( x )
h→ dx ∆ x→ ∆ x Beberapa rumus turunan fungsi aljabar n
a y
= x
b y
= ( f ( x ) )
c y
=c
n−
⇒ nx n
h
⇒ y = n( f ( x ) )
c
n−
f ( x )
⇒ y =
Contoh
f ( x ) = x Penyelesaian Cara 1
Cara 2
f ( x) = x f ( x + h ) = f ( x ) = Lim
( x + h) ( x + h) ( x + h)
= Lim
−
( x
= Lim
+
xh + h
(
x + xh + h
x
)−
x
h
h→
= Lim
)−
h
h→
= Lim
x
h
h→
xh + h h
h→
f ( x )
=
f ( x )
= = x −
f ( x )
= − x −
= Lim
h
x + h h
h→
x Penyelesaian x
atau
−
x A. Pilihlah jawaban yang paling tepat f x a
−
b
−
Latihan 1
= x x
x c d
x x
=
f ( x)
= =
( )
− f x
h
h→
f ( x)
e
x
= Lim h→
x +
=
x
x x x
−
ds dt a t
+ t + b t + t + f ( x ) = ( x + )
c
+ t + t
t
d t
+
e t
adalah f ( x )
t +
(UAN 1996)
=
( x − ) c ( x + ) e ( x + ) b ( x + ) d ( x + ) (UAN 1995) f ( x ) = ( − x ) f ( x ) = a
a
− ( −
x )
c
b
− ( −
x )
d
f ( x ) a b
b
x
−
−
c d
x
=
+
x
x
− < x < < x <
−
(UAN 1996)
=
e
x
x x+
c d
f ( x )
=
x
c f ( x )
=
b f ( x )
=
x x
d f ( x )
=x
=
a
x
b
nilai f ( x )
x
x x
e f ( x )
=
x
= e x
d x
=
x
−
x
maka f ( x )
a x
−
x
c x
−
b
+
x
d x
−
x
f ( x )
(SPMB 1995)
c x
x
f ( x )
<
x
e − > x atau x − < x < − > x atau x >
a f ( x )
f ( x )
( − x )
e
( − x )
maka f ( x )
x
f ( x ) a
=
( − x )
=
x −
x
= e x
x
c
b
d
x
x
maka nilai f (
a
+
)= e
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat.
f x
=
a S = t a
f ( x + h ) − f ( x ) h
+ t f ( x ) = ( − x )
b S =
t − t
b f ( x )
=
x
c f ( x )
=(
x
)
=
f ( x )
− x
x
= x s ( t ) = t + t f ( x )
tentukan f ( x ) tentukan nilai f (
)
B. Persamaan garis singgung pada kurva kalkulus. f ( a + h) − f ( a) m = f ( a) = Lim Ringkasan Materi h→ h
y − b = f ( a ) ( x − a ) Contoh
y = x + x − Penyelesaian y
=
+
x
di titik (
x −
)
⇒ y = x + )⇒ m = ( ) + =
Melalui titik ( y − y
= m ( x − x ) y − = ( x − ) y = x − + y = x − x + y + = Penyelesaian
x + y +
=m
m
α
= ⇒m =− y
= − x
= y = − x = − ⇒ x = untuk x = ⇒ y = − y + = − ( x − ) y = − x + − = − x + m
A. Pilihlah jawaban yang tepat. Latihan 2 y = x − (SPMB 1995) x x − y −
= x − y − =
a b
c x + y − d
= x + y − =
y = x + x− a x + y − =
c x − y −
b x − y −
d
=
e
= x + y − =
x − y −
=
e x − y −
=
+y =
x
a y
=
x
−
c y
=
x
+
b y
=
x
+
d y
=
x
−
c
(
)
y
=
x
a
(
)
b
(
)
e y
d
(−
)
=
x
+
e
(−
)
y a
= mx + ( m − ) x +
y
=
c − atau (UAN 1997)
b
−
x
x
−x+
a x + y +
= b x + y + = y = x − x − a y = x + b y = x − y = ( x − ) a b − a y = x − b y = x + y = x
d
atau
c x + y −
= d x − y − = dan tegak lurus x − y + = c y = − x − d y = − x − c
− −
d
(
e y
e
c
( − )
e y
d
= x +
e
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat
y
= x −
y
=
y
=
x+
x x
C. Rumus Turunan Fungsi y =
Ringkasan Materi
y
=
u
y
=
c u ⇒ y
y
=u
y
=
y
=
u u v
±
v ⇒ y =
v ⇒ y n
v
cu
=uv +
⇒ y =
⇒ y =
=u ±
nu
n−
vu
u
u v −vu v
Contoh
f ( x ) = ( x + Penyelesaian
) ( x− )
v≠
=
= − x +
)
= x + d y = x − b
atau
e x − y −
c y
a
e
x − x x
−
f ( x )
=(
x
+ ) (
x −
)
misal
= ( x + ) ⇒ u = ( x + ) x v = ( x − ) ⇒ v = ( x − ) y = u v + uv = x( x + ) ( x − ) + ( x + ) ( x − ) = ( x + ) ( x − ) x( x − ) + ( x + ) = ( x + ) ( x − ) ( x − x + x + ) = ( x + ) ( x − ) ( x − x + ) x − , f ( x ) = x + u
Penyelesaian
f ( x )
=
f ( x )
=
x − x + ax + b cx + d
⇒ f ( x ) = f ( x )
=
f
ad + cb
( cx + d )
− − = ( x + ) ( x + )
=
=
( + )
Latihan 3
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
=
f ( x ) a b
x c
x
−
d
x
f ( x )
= +
f ( x )
=
a
x +
x
x −
( x − )
−
b
x
+
x
≠
=
x − x
+
maka nilai f (
c
≠
d
maka
x
x
x ≠ x
e
x
) adalah
Rumus untuk f ( x ) adalah
( x − ) f ( x ) = + x − x a f ( x ) = x − x b f ( x ) = − x + x y
−
dy dx
x +
( x − ) x −
( x − )
=
≠
e
x +
( x − )
x
≠
x ≠
= x − x + f ( x ) = − x + x +
c f ( x ) d
x
e f ( x )
=−
x
+
x
a
b
−
x +
−
−
x
x −
=(
b
x +
−
a x
x −
x
f ( x )
=
−
−
x
=
+
x +
( x + )
x +
( x + )
c
x − x −
x
d x
− x − − x −
e x
+
x +
) ( x − ) f ( x ) (UAN 2001)
( x + ) ( − x )
untuk x =
−
(UAN 2001)
+a x − b − x − xb − ax a f ( x ) = x − bx + b x − xb − ax b f ( x ) = x − bx + b x + xb + ax c f ( x ) = x − bx + b f ( x )
x
e
) ( x − ) ( x + ) maka y =
−
=(
x +
) ( x + ) f ( x ) (UAN 1996)
x −
f ( x )
−
( x − )
d
( x + ) =(
x
c
( x + )
f ( x ) y
+
x
x
+ xb − ax x − bx + b − x + xb + ax f ( x ) = x − bx + b
d f ( x ) e
=
x
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat
f x
=
f ( x )
=
x + x +
+
x x
x −
≠
a f x
= x + x − x x
b f x
=
c f x
=
f ( x )
=
f ( x )
=
−
x x
+
x
x
+
x
x
+
x + x − x + ( x + a ) ( x − b )
−
x ( x +
)
Jika f x
<
( x − a ) ( x + b )
D. Turunan Fungsi Fu ngsi Trigonometri d dx d dx d dx
( ( (
du ) = u Materi uRingkasan dx du u) = − u dx du u) = u dx
Contoh
f ( x )
f x
=
x
Penyelesaian
f ( x )
Penyelesaian
f x
=
x ⇒ f ( x )
= =
x x
x x
f x
=
x
f ( x )
=
x
f ( x )
=
x + Penyelesaian
π
dan f x f
x
x + x u v−v u − v
= = Untuk x =
π
−
x −
x +
+
x
−
x + x +
=
x
a
x
x
+
x
x +
+
d
c
x
x
=−
+
− −
x
x
−
=
π
x +
x
x −
x
e
+
x
x −
=
x Tentukan f x
x
− x +
− π
x
x
=
x
x
x
x +
x −
=
f x
x −
x −
A. Pilihlah jawaban yang tepat. Latihan 4 dy y = x + x + x maka = dx a x + x + x c x b
−
x x +
π
f
x +
x
=
x
−
e
x
x −
+
x b
d
x
f x a
x
−
=
x
x x +
+
x x
x
−
x
b
x
c
x
d
x
x
e
−
x
x
x
(UAN 1996)
a
x
c
b
x
d
y
=
a
x x − − x x +
b y
− −
=
x x
c
e
x
x
x −
x
x
− −
x x −
= x
e
x
c
x −
x −
x −
c
x −
x −
d
x −
x −
e
x −
x −
x
x x + x + x
−
x
x dan f x f ( x ) (UAN 1998)
x −
−
x
d
d
x −
x
=
x
x +
f x
b
x +
−
b
a
x x y
x + x +
a
y
x
x
=
x
x
e
x
−
x
x
f x
=
f x
=
a
x−
−
x −
x −
x −
x −
d e
x −
x −
− −
=
(UAN 1997)
x −
b c
π
x maka f
x −
x −
x −
f ( x ) a
x
b
=
a
x +
b
x +
−
d
x x +
f x
x
c
−
d
x +
x + x +
x
e
x +
x + x +
x
x + x +
=
x +
x −
c
x
f x
=
x −
x
−
x x
b x
x x
b
x
x + x
x − x
= x −
x −
e
x −
x −
d
x
x x
x − maka f x
= e
−
x
−
x x
x
− −
Turunan dari f x a
e
d
x −
x
x +
x f x
x −
x +
b
d
x − x
x −
a
c
x + x
x −
f x
a
x
x −
c
x
x − x f ( x )
x + x +
b
(UAN 1996)
x
x +
=
=
x
c
f x a
x
x
x adalah f x
+ +
e
x
=
x
=
x x
c
x
x
d
x
x
e
x
x
E. Grafik Fungsi Aljabar 1. Pengert Pengertian ian fun fungsi gsi naik naik dan fungsi fungsi turun turun Ringkasan Materi x dan x a < x < x < b f x > f x naik.
x dan x a < x
< x < b f x < f x
f x
> f x
turun.
2. Suatu fungsi kontinu f (x) dalam dalam suatu interval tertentu dikatakan: dikatakan: naik f x
>
<
turun f x 3. Nila Nilaii sta stasi sion oner er
f ( x ) f a
=
a Jika f a −
> < < >
b Jika f a − c Jika f a − d Jika f a −
f a +
< > < >
f a + f a + f a +
→ f a → f a → f a → f a
merupakan nilai maksimum merupakan nilai merupakan titi belok merupakan titi belok
4. Nilai Nilai mak maksi simu mum m dan nila nilaii minim minimum um 5. Mengga Menggambar mbar grafik grafik fungsi fungsi aljabar aljabar
Contoh
f x = x + x Penyelesaian
−
x
f x
=
−
x maka
f x
=
f x
=
x +
f x
=
⇒
x
+
x
x
x −
+
x − x +
x = −
f x
= x +
x − atau x
x dalam
= =
erval x −
≤x≤
Penyelesaian
= x + = ⇒ x = − + − =− f − = − f x
Nilai fungsi di ujung f −
erval
= − + − = − = + =
=−
f Penyelesaian
= − t = t = = x − x h t
f x
x
−
x
+
Latihan 5
f x
= x
x−
f x
=
x
−
F. Turunan Kedua Suatu Fungsi
d f f ( x ) f x atau dx Ringkasan Materi
imum
x
Turunan kedua digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi
= f ( x ) mempunyai nilai maksimum di x = a jika f ( a ) = dan f ( a ) < y = f ( x ) mempunyai nilai imum di x = b jika f ( b ) = dan f (b ) > c y = f ( x ) mempunyai titik belok di x = c ( naik belok ) jika f ( c ) = f ( c − ) > dan f ( c ) = d y = f ( x ) mempunyai titik belok di x = d ( turun belok ) jika f ( d ) = f ( d − ) < dan f ( d ) = y
Titi belok yang dibahas di f ( x ) 6 a x −Latihan x
