Pengantar Dasar Matematika - Logika Matematika

Logika Matematika Logika secara bahasa berasal dari Yunani dari asal kata ‘Logos’ artinya pikira pikiran n secara secara utuh, utuh, ilmu ilmu penget pengetahu ahuan, an, kata, kata, ucapan ucapan.. Sedang Sedangka kan n logik logika a secara secara termin terminolo ologi gi artiny artinya a Teori tentang tentang penyimpu penyimpulan lan yang sah. Secara Secara luas luas Logik Logika a berart berartii cabang cabang ilmu ilmu yang yang mengk mengkaji aji penuru penurunan nan-penurunan kesimpulan yang valid atau tidak valid. roses  reasoning!penalaran" reasoning!penalaran"  ber#kir logis $alimat yang dapat disimpulkan hanya berupa kalimat %ernyataan& ernyataan ernyataan dibagi menjadi dua yaitu ' (. ernyata ernyataan an )erbuka erbuka  terbuka kemungkinan untuk disimpulkan berbeda *. ernyata ernyataan an )ertutup ertutup  tertutup kemungkinan kemungkinan untuk disimpulkan berbeda +amples '

    

Semua manusia akan mati !pernyataan tertutup" Spidol papan tulis ada yang berarna biru !pernyataan tertutup" osen saya tinggi !pernyataan terbuka" /aju saya indah !pernyataan terbuka" 0asi goreng enak !pernyataan terbuka" other eamples '

  1 ( 2 3  pernyataan terbuka  4ika sebuah segitiga segitiga memiliki 5 buah sudut yang

ernyataan ernyataan tertutup hanya memiliki satu kesimpulan. Salah saja atau /enar saja.

sama besar, maka ketiga sisinya sama panjang  pernyataan tertutup

:a;i Logic %Saya sedang berbohong& /2S %)uhan dapat menciptakan batu yang sangat berat yang tidak dapat diangkat oleh0ya&

)eori )eori untuk menarik kesimpulan kesimpulan ' endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

(

(. )eori $ores $orespond pondensi ensi  )erori penarikan kesimpulan dengan melihat keyataan yang sebenarnya. +ample ' %Semua manusia akan mati& )eori )eori $orespondensi $orespondensi !the correspondence correspondence theory o7 truth" menunj menunjukk ukkan an baha baha suatu suatu kalim kalimat at akan akan bernil bernilai ai benar benar jika jika hal-ha hal-hall yang yang terk terkan andu dung ng di dala dalam m pery peryat ataa aan n ters terseb ebut ut sesu sesuai ai atau atau coco cocok k dengan keadaan yang sesungguhnya.
' % −1 ×−1=1 %

/ukti

'

(−1) × 0 =0

(−1 ) × ( 1 ±1 )=0



1 × 1= 1



1 × (−1 )=1

( (−1 ) × 1 )+ ( (−1 ) × (−1 ) )= 0



(−1) × 1=1 × (−1 )

(−1) × y = 0



(−1) ×(−1 )= y

y =1



y =1

)eori )eori koherensi koherensi menyatakan baha suatu kalimat akan bernilai benar benar jika jika pernya pernyataa taan n yang yang terka terkandu ndung ng di dalam dalam kalim kalimat at terseb tersebut ut bers bersi7 i7at at koher oheren en,, konsi onsist sten en,, atau atau tida tidak k bert berten enta tang ngan an deng dengan an pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar.
endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

*

$ilas Sejenak %/erapa orang di kelas = / yang sudah lama tinggal di 4akarta>& %(( orang mengangkat tangannya& %9da berapa orang di kelas = / yang sudah pernah naik busay>& %? orang mengangkat tangannya& %9pa arti busay>& %4alan /is& Lalu>

/6S@9Y dilihat dari korespondensi merupakan hal yang salah jika dikatakan %naik busay&, karena bus artinya bis, sedangkan ay artinya dalam bahasa =ndonesia artinya jalan. 4adi, busay busay merupakan merupakan jalan jalan bis. =S=0=L98 $=)9 =)60)6) /+A=$=A LBC=S D $A=)=S. $A=)=S . 0amun bersikap kritis bukan berarti memprotes.
¬ S =B

¬ B= S

Soal-Soal Latihan endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

5

(. Manakah diantara kalimat di berikut ini yang merupakan pernyataan> a.

x + 3= 2

b.

x + 3=2 adalah suatu pernyataan.

c.

111 111

adalah bilangan prima.

d. )adi pagi :ahmi :ahmi berkata' %ak %ak guru kapan ulangan>& ulangan>& e.

2 n + 1 untuk

n ∈ A adalah bilangan ganjil.

4aab' a. b. c. d. e.

ernyat ernyataan aan Aelati7 elati7 ernyata ernyataan an tertutu tertutup, p, bernilai bernilai benar benar ernyata ernyataan an tertutup, tertutup, bernilai bernilai salah ernyata ernyataan an )ertutup ertutup ernyata ernyataan an tertutu tertutup, p, bernil bernilai ai benar benar

*. 9ndi berbohong berbohong pada pada hari senin, senin, selasa selasa dan rabu, sedangk sedangkan an pada hari-hari yang lain ia berkata benar. )eman karibnya, si /adu berbohong pada hari kamis, jum’at dan sabtu, sedangkan pada harihari yang lain ia berkata benar. ada suatu hari, 9ndi berkata' %$emarin %$emarin adalah hari dimana saya berbohong.& /adu lalu menimpali' %$emarin %$emarin adalah hari dimana saya berbohong juga.& a. ada hari-hari hari-hari apakah apakah mereka mereka berdua dapat dapat menyatakan menyatakan hal itu> itu> b. 4ika mereka mereka berdua sama-sama sama-sama menyatakan baha kemarin kemarin adalah hari dimana mereka berkata benar, pada hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu> 4aab' a. ' $emarin $emarin adalah adalah hari hari dimana dimana saya saya berbohong berbohong 8 a r i S e n i n S e l a s a

9n di

/a du

/



) /

E

/

E

) /

E


F

A a b u K a m i s 4 u m ’ a t S a b t u M = n g g u

/

E

) /

E

T B



B



) /

E

/

E

) /

E

/

E

) /

E

) /



$eterangan' /2/ohong )/2)idak /ohong $esimpulan' $esimpulan' ernyataan 9ndi hari $amis dan Senin adalah benar. ernyataan ernyataan /adu hari $amis dan Minggu adalah benar. Jadi, Mereka berdua dapat menyatakan menyatakan hal yang sama pada pada hari Kamis.

b. ' $emairn $emairn adalah adalah hari dimana dimana saya berkata berkata benar !tidak !tidak berbohong" berbohong" 8 a r i S e n i

9n di /


/a du E

) /



G

n S e l a s a R a b u $ a m i s J u m ’ a t S a b t u M = n g g u

B



T B



B



T B



) /

E

/

E

T B



B



T B



B



) /

E

) /

E

$eterangan' /2/ohong )/2)idak /ohong $esimpulan' $esimpulan' ernyataan ernyataan 9ndi hari Selasa, Aabu, 4um’at dan Sabtu adalah benar. ernyataan ernyataan /adu hari Senin, Selasa, Aabu, Aabu, 4um’at dan Sabtu adalah adalah benar. Jadi, Mereka berdua dapat menyatakan menyatakan hal yang sama pada pada hari Selasa, Rabu, Jum’at dan Sabtu. 3. ada suatu rumah makan, 9ndi seorang supir sedang duduk mengelilingi meja berbentuk persegi dengan tiga orang temannya. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

H

$etiga $etiga teman 9ndi tersebut bekerja sebagai kelas, pilot dan markonis. )entukan )entukan pekerjaan pekerjaan /udi jika' 9ndi duduk duduk di sebelah kiri
ani /udi !pilot"

F. 9da tiga orang orang sisa yaitu )oni, idi dan 8ory. 8ory. itentukan baha' a. )oni tidak pernah berbohong. idi kadang-kadang kadang-kadang berbohong. berbohong. Sedangkan 8ory selalu berbohong. b. Mereka Mereka memaka memakaii kaus hijau, hijau, kuning kuning dan dan merah. c. Sisa Sisa yang memakai memakai kaos kuning kuning,, menyatakan menyatakan baha baha sisa sisa yang berkaus merah adalah 8ory. d. Sisa Sisa yang memakai memakai kaus merah, merah, menyataka menyatakan n baha dirinya dirinya adalah idi. e. Sisa Sisa terakhir yang yang memakai memakai kaus hijau, hijau, menyatakan menyatakan baha baha sisa yang berkaus merah adalah )oni. /erdasarkan keterangan di atas, tentukan arna kaus yang dipakai tiap sisa. 4aab' • • • •

)oni )oni tidak pernah berbohong berbohong idi kadang-kadang berbohong 8ory selalu berbohong Mereka memakai kaus hijau, kuning dan merah "ernyataan #$

%Sisa yang memakai kaus kuning menyatakan baha sisa yang berkaus merah adalah 8ory.& endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

I

erny ernyat ataa aan n di atas atas bena benar, r, kar karena ena yang yang meny menyat atak akan an hal hal itu itu bisa bisa kemun emungk gkin inan an )oni oni dan dan bisa bisa juga juga idi idi.. idi idi suda sudah h memb member erik ikan an pernyataan, jadi )oni yang menyatakan pernyataan tersebut. )oni tidak pernah berbohong. /erarti pernyataan itu benar dan yang memakai kaus kuning tersebut adalah )oni. "ernyataan %$

%Sisa yang memakai kaus merah adalah idi, menyatakan dirinya adalah idi.& ernyataan di atas salah, karena yang menyatakan hal tersebut bisa kemuu kemuungk ngkina inan n 8ory 8ory dan bisa bisa juga juga idi, idi, sedang sedangka kan n kedu kedua-d a-duan uanya ya sama-sama pembohong. "ernyataan 3$

%Sisa %Sisa terakh terakhir ir yang yang meaka meakaii kaus kaus hijau, hijau, menyat menyatak akan an baha baha sisa sisa yang berkaus merah adalah )oni.& ernyataan ernyataan tersebut salah, karena yang menyatakan hal itu bisa 8ory dan bisa bisa juga juga idi, idi, sedang sedangka kan n kedu kedua-d a-duan uanya ya sama-s sama-sama ama seoran seorang g pembohon. Jadi, yang memakai kaus ber&arna kuning adalah Toni, dan yang memakai kaus hi'au adalah !idi.

$alimat Majemuk $alimat majemuk  $alimat yang terdiri dari dua kalimat tunggal

 Membutuhkan perangkai atau penguhbung (" 0egasiJ=ng 0egasiJ=ngkara karan n !Laan !Laan ernyata ernyataan" an" Lambang =ngkaran' a. b.

–

c.

¬ !Lambang =nternasional"

+ample'  2 9yam goreng itu mahal, Sehingga

¬  2 ayam goreng itu tidak mahal, atau

2 tidaklah benar baha ayam ayam goreng itu mahal +ample' 9 2 9ndi berjalan ke arah utara Sehingga

¬ 9 2 9ndi tidak berjalan ke arah utara


?

2 9ndi berjalan ke arah selatan !salah" Klaan kalimat bukan merupakan laan kata *" $onju onjung ngsi si !

∧

"

 itandai dengan %dan&, %namun&, %tetapi&. +ample' =bu ingin makan steak. 9ndi diminta untuk mengambilkan garpu dan pisau. $emungkinan

isau / / S S

Carpu D pisau isau saja Carpu saja )idak keduanya keduanya 5" isjun isjungsi gsiJi Jisju sjunct nction ion

$esimpulan Carpu / S / S

8asil / S S S

∨

¿ "

a. isj isjun ungs gsii =ncl =nclus usiv ive e +ample' 9yah 9yah ingin menulis sesuatu. 9ndi diminta mengambil pulpen atau pensil. $emungkinan

ensil / / S S

ensil dan ulpen ensil saja ulpen saja )idak keduanya keduanya

$esimpulan ulpen / S / S

8asil / / / S

b. isjun isjungsi gsi +clu +clusiv sive e )idak bisa benar benar kedua-duanya. kedua-duanya. +ample' Selvia pergi naik bis atau motor $emungkinan /is D Motor /is saja Motor saja )idak keduanya keduanya F" =mplik =mplikasi asiJ=m J=mplic plicati ation on ! → J erbedaan

/is / / S S ⇒

$esimpulan Motor / S / S

8asil S / / S

"

→dan ⟹




→ jaaban belum jelas ⟹

jaaban sudah jelas, benar semua atau tautologi.

/iasa ditandai dengan %jika...maka...& +ample' 4ika besok tidak hujan, maka abang akan datang $emungkinan )idak hujan1abang hujan1abang datang )idak hujan1abang hujan1abang tidak datang 8ujan 1 abang datang 8ujan 1 abang tidak datang

p

$esimpulan  8asil

/

/

/

/

S

S

S

/

/

S

S

/

G" /iim /iimpl plik ikas asii ! ↔ / ⟺ " /iasanya ditandai dengan %...dan hanya jika...&  ↔ q ≡ ( p → q ) ( q → p ) ≡ ( ¬ p ⋁ q ) (¬ q ⋁ p ) +ample' $ambing hidup jika dan hanya jika dia berna7as $emungkinan 8idup1berna7as 8idup1tidak berna7as )idak hidup1berna7as hidup1berna7as )idak hidup1tidak hidup1tidak berna7as

$esimpulan p  8asil / / S / S / S / / S S S

0egasi ernyataan Majemuk
¬S≡B ¬ (¬ B ) ≡ B endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

(3

%/adu berjalan ke arah 6tara& ≡ P ( Badu ) % X berjalan berjalan ke arah 6tara& ≡ p ( x ) =ngkarannya' % ¬ p ( x )≡ x tidak berjalan ke arah 6tara& % ¬ p ( p ( x )) ≡ )idak benar baha, x berjalan ke arah 6tara& 9. 0ega 0egasi si =mpl =mplik ikas asii
¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q

/. 0egasi 0egasi /iimpl /iimplik ikasi asi p↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ¬ p↔ q≡¬ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ] ≡ ¬ [ ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ p ) ] ≡ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∨ ¬ ( ¬ q ∨ p ) ≡ ( p ∧ ¬q ) ∨( q ∧ ¬ p )

)abel )abel dari 0egasi


((

p

N

¬p

¬q

p∧ q

p∨ q

/ / S S

/ S / S

S S / /

S / S /

/ S S S

/ / / S

¬ ( p ∧ q )

¬ p∧

p∧ ¬

S / / /

S S / S

¬ p ∧¬

S / S S

¬ ( p ∨ q )

S S S /

S S S /

p →q

p ↔q

/ S / /

¬ p∨

/ S / /

/ S S /

pv ¬q

/ / S /

¬ p ∨¬

S / / /

6rutan engerjaan dalam Bperasi Logika

Bperasi Senilai ¬ ( p ∧ q ) ≡ ¬ p ∨ ¬ q ¬ ( p ∨ q ) ≡ ¬ p ∧ ¬ q p→ p → q ≡ ¬ p ∨ q

Senilai

¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q ¬ ( p ∧ ¬ q ) ≡ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ≡ p ∧ ¬ q

( ↔ ≡ ( → ∧( → endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

(*

)ugas )ugas (. /uatlah /uatlah tabel tabel kebenar kebenaran an dari perny pernyataan ataan ini' a. p → q ↔ ¬ p ∨ q p

q

¬p

¬ p ∨q

p→ q

p→ q ⇔ ¬ p ∨ q

/ / S S

/ S / S

S S / /

/ S / /

/ S / /

/ / / /

p∧ q → ( q ∧¬ q → r ∧ q)

b.

¬

/ / S S S S S S

/ S S S / S S S

/ / S S / / S S

c.

¬ [( ¬ p→ r ) ∨ ( p→ p → ¬ q ) ] ∧ r

/ / / / S S S S

/ / S S / / S S

S S / / S S / /

r ∧q

/ / / / S S S S

q

/ S / S / S / S

p∧ q

r

¬

¬q

/ S / S / S / S

S S S S / / / /

S S / / S S / /

¬ p →r

/ / / / / S / /

q ∧¬ q

q ∧¬ q → r ∧ q

p∧ q → ( q ∧ ¬ q → r ∧ q)

/ / / / / / / /

/ / / / / / / /

S S S S S S S S

p→ ¬

S S / / S S / /


( ¬ p →r ) ∨ ( p / / / / / S / /

¬ [ ( ¬ p→ r ) ∨ (

¬ [ ( ¬ p→ r ) ∨ ( p

S S S S S / S S

S S S S S S S S

(5

Latihan Soal (. )entukan )entukan negasi dari pernyataan berikut berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya 3 + 2= 6 ⟺ 4 + 2 =5

a.

3 + 2=5 ⟺ 4 + 2= 5

b.

3 + 2=5

c.

atau 4akarta =bukota = 9ceh

habis dibagi dibagi 5 *. 4ika p : 10 habis q : 8 adalah bilangan bilangan prima

)entukan )entukan negasi dari pernyataan-pernyataan pernyataan-pernyataan di baah ini lalu tentukan tentukan nilai kebenarannyaO kebenarannyaO a.

¬p

e.

¬ p ∧¬ q

b.

¬q

7.

¬ p ∧q

c.

p∧ q

g.

p∧ ¬q

d.

p∨ q

h.

p⇒ q

5. 4ika k. l. a. b. c. d. e. 7.

i. j.

p ⇔q p∨ ¬ q ⇒ ¬ p ∨q

a : Lisa gadis cantik b : Lisa gadis cerdas cerdas

0yat 0yatak akan an pern pernya yata taan an di baa baah h ini ini deng dengan an meng menggu guna naka kan n

ab

dan simbol-simbol logika matematika lalu tentukan negasinyaO Lisa gadis gadis yang yang cantik cantik namun namun tidak tidak cerda cerdas. s. Lisa gadis gadis yang yang tidak tidak cantik cantik dan tidak tidak cerdas. cerdas. Meskipun Meskipun Lisa Lisa bukanlah bukanlah gadis gadis yang cantik cantik namun ia gadis gadis yang cerdas. cerdas. Lisa gadis gadis yang yang cantik sekal sekaligus igus juga juga gadis yang yang cerdas. cerdas. 4ika Lisa Lisa gadis gadis yangc yangc antik antik maka maka ia tidak tidak cerdas. cerdas. 4ika Lisa gadis yang cantik cantik maka maka ia tidak tidak cerdas. cerdas. m. n.

embahasan'

(. 0egasi 0egasi dari dari er ernya nyataa taan n a.

¬ ( p ↔ q ) ≡( p ∧ ¬ q ) ∨( q ∧ ¬ p )

o.

¬ [ ( 3 + 2 = 6 ) ↔ ( 4 + 2 = 5 ) ] ≡ [ ( 3 + 2= 6 ) ∧ ( 4 + 2 ! 5 ) ] ∨ [ ( 4 + 2= 5 ) ∧ ( 3 + 2 ! 6 ) ]

p.

!S !S


∧

∧

/"

∨

/"

(F

N.

∨

S S ∴ Salah

r. ¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q

b.

s.

(3 +2=5 ) → ( 4 + 2=5 ) ≡( 3 + 2=5 ) ∧( 4 + 2 ! 5 ) ¬¿

t.

S

∧

/

∴ Salah

u. ¬ ( p ∨ q ) ≡ ¬ p ∧ ¬ q

c.

v. ¬ ( 3 + 2 =5 ) ∨ "akar "akarta ta ibuk#t ibuk#ta a $% Aceh≡ ( 3 + 2 ! 5 ) ∨ "akarta "akarta bukan bukan ibuk#ta ibuk#ta $% Aceh Aceh

.

S

∨

S

∴ Salah

. y. ;. aa. ab. ac. ad. *. 0egas 0egasii dari dari per pernya nyataa taan n dibagi 5 )=( 10 tidak habis habis dibagi dibagi 5 ) =S a. ¬ p =¬ ( 10 habis dibagi

¬ ( ¬ p )= B

ae. a7. a7.

∴B

¬ q = ¬ ( 8 adalah adalahbila bilangan ngan prima )=( 8 bukan bilangan prima )= B

b.

¬ ( ¬ q )= S

ag.

∴S

ah. ¬ ( p ∧ q )= p ∨ ¬ q

c. ai. aj.

dibagi 5 ) ∨ ( 8 bukanbilangan prima ) ( 10 tidakhabis dibagi ∴S∨S

=S

¬ ( p ∨ q )=¬ p ∧ ¬ q

d. ak.

tidak habiss dibagi dibagi 5 ) ∧ ( 8 bukanbilangan prima ) ( 10 tidakhabi

al.

∴S∧S

=S ¿


(G

¬ ( ¬ p ∧ ¬ q )= p ∨ q

e. am.

dibagi 5 ) ∨ ( 8 adalahbilangan prima ) ( 10 habis dibagi ∴B ∨ S

an.

=B

¬ ( ¬ p ∧ q ) = p ∨ ¬ q

7. ao.

habis dibagi dibagi 5 ) ∨ ( 8 bukan biangan prima ) ( 10 habis

ap.

∴B∨B

=B

∴B ∧ B

=B

¬ ( p ∧ ¬ q ) =¬ p ∨ q

g. aN.

tidak habiss dibagi dibagi 5 ) ∨ ( 8 adalahbilangan prima ) ( 10 tidakhabi ∴S∨S

ar. ar.

=S

¬ ( p → q )= p ∧ ¬ q

h. as.

( 10 habis habis dibagi dibagi 5 ) ∧( 8 bukan bilangan prima ) at. ¬ ( p ↔ q )=( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ p )

i. au.

( 10 habis habis dibagi dibagi 5 ∧ 8 bukanbilangan prima ) ∨ av. av.

(8 adalahbilangan prima ∧ 10 tidak tidak habis habis dibagi dibagi 5 ) ∴

a. a. j.

( B ∧ B ) ∨ ( S ∧ S )= B ∨ S= B

[ ( p ∨ ¬ q ) → ( ¬ p ∨ q ) ] =( p ∨ ¬ q ) ∧ ( p ∧ ¬ q ) a. habis dibagi dibagi 5 ) ∨ ( 8 bukanbilangan prima ) ) ∧ ( ( 10 habis

ay. ay.

( 10 habis habis dibagi dibagi 5 ) ∧( 8 bukan bilangan prima ) ¿ a;. ∴

( B ∨ B ) ∧ ( B ∧ B ) =B ∧ B = B

ba. 5. 0yataka 0yatakan n dengan dengan simbo simboll dan negasik negasikan an a. a ∧ ¬ b & ¬ ( a ∧ ¬ b ) =¬ a ∨ b endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

(H

¬ a ∧ ¬ b & ¬ ( ¬ a ∧ ¬ b )= a ∨ b

b.

c. ¬ a → b & ¬ (¬ a → b )=¬ a ∧ ¬ b d. a ↔ b & ¬ ( a ↔ b ) =( a ∨ ¬ b ) ∧ ( b ∨ ¬ a ) ¬ ( a ∧ b ) & ¬ ( ¬ ( a ∧ b ) ) =a ∧ b

e.

7. a → ¬ b & ¬ ( a → ¬ b )= a ∧ b g. ¬ a → ¬ b & ¬ ( ¬ a → ¬ b ) =¬ a ∧ b

bb. bc. bd. be. b7.. b7 bg. bg . Excerc Exc ercis ises es (. 9ssign 9ssign truth values values to the the 7olloing 7olloing proposit propositions ions'' a"

3 '7

and

b"

3 '7

or

2 + 1=3

c"

4

is an odd integer.

4 is an odd integer.

but

4 <4

5 is odd or divisible by

d"

e" =t is is not not true true tha thatt 7" =t is not not tru true e tha thatt 3 (3

g"

4

2 + 2= 5

2 + 2= 5

or

5 >7

.

.

. 7 is an even integer by

*. Suppos Suppose e that that e repr represe esent nt and

5 >7

and

24 is divisible by 8 by

8

p ,

3+1=4 by

g

.

a" @rite @rite the 7olloing 7olloing in symbolic symbolic 7orm 7orm and assign truth truth values' values' i.

3 +1 ! 4

and

24

ii. ii. =t is not not tru true e tha thatt iii.

3 + 1= 4

but

24

is divisible by 7

is odd or

8

.

3 + 1= 4 .

is not divisible by

8

.

b" @rite @rite out the 7olloing 7olloing in ords ords and assign assign truth values' values' i.

p∨ ¬q

ii.

¬ (r ∧ q )

iii.

¬r ∨¬ q

5.
¬ p ∨q

b"

¬ p ∧ p


(I

c"

(¬ p ∨ q ) ∧ r

d"

¬ ( p ∧ q )

e"

¬ p ∧¬ q

7"

¬ p ∨¬ q

g"

p∨ ¬ p

h"

¬ (¬ p )

bh. Aesolution' (. )ruth ruth val value ues s a. )rue ∧ *alse = *alse b. )rue ∨ *alse =)rue c. )rue ∧ *alse = *alse d. )rue ∨ *alse =)rue e. )rue ∧ *alse = *alse 7. )rue ∨ *alse =)rue g. *alse ∧ )rue = *alse bi. bj. bk. p=7 is an even integer

*.

bl.

q = 3 + 1= 4

bm.

r = 24 is divisible by

8

a. i. ¬ q ∧ r = * ∧ ) = *alse ¬ ( ¬ p ∨ q )= p ∧ ¬ q =) ∧ * = *alse

ii.

q ∧ ¬ r =) ∧ * = *alse

iii.

7 isan#ddinteger ∨3 + 1 ! 1

b. i. bn. iii.

di+isible le by 8∧3 + 1 =4 24 is di+isib ii. %t is n#t true that 24

24 is di+isi di+isibleby bleby 8∨3 + 4 ! 4

5. a"

¬ p ∨q


(?

bo.

bp.

p

q

bs. Tru e bw. bw. Tru e ca. Fal se ce. Fal se

bt. Tru e bx. Fals e cb. Tru e cf. Fals e

c i.

dd.

bN.

¬ p ∨q

¬p

bu. Fals e by. by. Fals e cc. Tru e cg. Tru e

bv. T rue bz. F alse c d. T rue c h. T rue

¬ p ∧q

b" cj.

ck.

p

q

cn. Tru e cr. cr. Tru e cv. cv. Fal se cz. Fal se

co. Tru e cs. Fals e cw. cw. Tru e da. Fals e

c"

br. br.

cl.

cm. ¬ p ∧q

¬p

cp. Fals e ct. Fals e cx. Tru e db. Tru e

c q. F alse c u. F alse cy. F alse dc . F alse

(¬ p ∨ q ) ∧ r

de.

d7.

dg.

dh.

d i.

dj.

(¬ p ∨ dk. Tr

dl. T

dm. T

dn. F

do. T

dp. True

dq. Tr

dr. dr. T

ds. F

dt. F

du. T

dw. dw. Tr

dx. F

dy. dy. T

dz. F

ea. F

dv.Fa ls e eb. False


(

7g.

ec. Tr

ed. F

ee.

ef. F

eg. F

eh. False

ei. F

ej. T

ek. T

el. T

em. T

en. True

eo. F

ep. T

eq. F

er. er. T

es. T

eu. F

ev. ev. F

ew. ew. T

ex. T

ey. ey. T

fa. F

fb. F

fc. F

fd. T

fe. T

et. et. Fa ls e ez.Tr u e . Fa ls e

¬ ( p ∧ q )

d" fh.

!.

fj .

fk.

". Tr

fm. T

fn. T

fo. F

fp. Tr

fq. F

fr. fr. F

fs. T

ft. F

fu. T

fv. fv. F

fw. fw. T

fx. F

fy. fy. F

fz. F

ga. T

gb. gc. gd. ge. g7.

e"

¬ p ∧¬ q

gg.

gh.

p

q

gl. Tru e

gm. Tru e

gi. ¬p

gn. Fals e

gj. ¬q

go. Fal se

gk. ¬ p ∧¬

gp. F alse


*3

gq. Tru e gv. gv. Fal se ha. Fal se

h7.

7"

gs. Fals e gx. Tru e hc. Tru e

gt. Tru e gy. gy. Fal se hd. Tru e

gu. F alse gz. F alse he. T rue

¬ p ∨¬ q

hg.

hh.

p

q

hl. Tru e hq. Tru e hv. hv. Fal se ia. Fal se

hm. Tru e hr. hr. Fals e hw. hw. Tru e ib. Fals e

hi. ¬p

hn. Fal se hs. Fal se hx. Tru e ic. Tru e

hj.

hk.

¬q

ho. Fal se ht. Tru e hy. hy. Fal se id. Tru e

¬ p ∨¬

hp. F alse hu. T rue hz. T rue ie. T rue

g" p ∨ ¬ p

i7. ig.

ih.

p

q

ik. Tru e io. Tru e is. Fal se iw. iw. Fal se

ja.

gr. gr. Fals e gw. gw. Tru e hb. Fals e

il. True ip. Fals e it. True ix. Fals e

ii. ¬p

im. Fal se iq. Fal se iu. Tru e iy. iy. Tru e

ij. ¬ p ∨ p

in.

Tr ue

ir.

Fa lse

iv.

Tr ue

iz.

Tr ue

h" ¬ ( ¬ p )


*(

jb.

jc.

p

q

je. Tru e jh. Tru e jk. Fal se jn. Fal se

jd. ¬ (¬

jf. Tru e ji. Fal se jl. Tru e jo. Fal se

jg. True jj. True jm. Fals e jp. Fals e

jN. jr. jr. js. jt. ju. jv. jv. j. j. j. jy. jy. j;. ka. kb.

kc. kc.

$onve onvers rs,, =nv =nver ers, s, dan dan $on $ontr trap apos osit iti7 i7 kd.

 Suatu =mplikasi kg. = mplika si

ke. k7. k7. p N km.

→q

kh. $ ki. = onvers nvers

kj . $ont rapositi7

ko. ko. p kn.

N

¬ p

→p

kp. ¬q→ ¬ p

→¬ q


**

kN. kr. kr. / / k. k. k. / S lc. ld. S / li. lj. S S lo. lp.

ks.

/ kt.

/ ku.

/

kv.

/

ky.

S k;.

/ la l a.

/

lb.

S

l e.

/ l7.

S lg.

S

lh.

/

l k.

/ ll.

/ lm l m.

/

ln.

/

+ample' a1 a1!-a" 2 3 != !=nvers e enjumlaha ahan" a 1 × =1 !=nvers erkalian" 1 a

lN. lr.

Suatu implikasi yang membingungkan

ls.

2 +ample' 4ika x =4 maka x =2

lt.

2 4ika x ! 2 maka x ! 4 !salah, kontrapositi7" kontrapositi7"

lu.

/ukti'

lv.

2 9mbil x =−2 , x ! 2 sehingga akibatnya x =4

l.

2 +ample' a" 4ika x =−2 maka x =4 2 4ika x ! 4 maka x ! −2

l. ly. l;. ma.

b" 4ika saya kena darah tinggi maka saya pusing 4ika saya pusing maka saya kena darah tinggi !salah" c" 4ika saya tidak makan maka saya tidak lapar ≡ 4ika saya tidak makan makan maka maka saya sudah makan makan

mb. !senilai" mc. md. Excerc Exc ercis ise e m e. :ind'

a. )he contra contrapos positi itive ve o7 b. )he )he con conve vers rse e o7 o7

¬p→q

¬q→ p

c. )he invers inverse e o7 o7 the the conve convers rs

q→ ¬ p

p → ¬ q d. )he )he neg negat atio ion n o7 o7 p→

e. )he )he con conve vers rse e o7 o7 m7. a.

¬ p ∧q

9nser'

¬q → p

b. p → ¬ q k#n+ersq q →¬ p )=in+e in+ers¬ rs¬ p → q= p → ¬ q ≡ k#ntrap#siti, c. in+ers ( k#n+ers


*5

d.

¬ p ∨¬ q

e.

)idak idak adak#n+ers adak#n+ers untuk untuk k#n-un k#n-ungsi gsi

mg. mh. mi. mj. mk.
mp. $esimpulan

→q

mN.mr. mr. ms. / / / mv. mv. m. m.m. / S S na. nb. nc. S / / n7. n7. ng. nh. S S /

mt. akai baiclin my. akai baiclin nd. )ida k pakai ni. )ida k pakai

mu. uti h m;. )id ak putih ne. uti h nj. )id ak putih

nk. nl. nl . Excerc Exc ercis ises es (. Cive Cive use7u use7ull negat negation ion o7 a. b.

3− 4 < 7

3 + 1=5 and

¿ =t is not true that 3− 4 < 7 ¿ =t is not true that 3 + 1=5 and

2 ' 4

2 ' 4

c.

8

is divisible by

3

but F is not

not divisible by 5 nm. nn. no. np. nN. nr. nr. a ¿ b ns. a ¿ b nt. nu. a b nv. nv. n. n. n. ny. ny. n;.

¿ ? is not divisible by 5 or F is

negasii ( ¿ negas

a

' b

a

( b

a


b atau a

*F

oa. ob. oc. od. oe. o7. o7. og. oh. oi. oj. ok. ol. om. on.

Excerc Exc ercis ises es

(. Suppose Suppose that that e e de#ne de#ne the the connectiv connective e by saying that only hen

q is true and

p q is true

p is 7alse and is 7alse otherise.

a" @rite @rite out out the the truth truth table 7or p q b" @rite @rite out out the truth table 7or

qp

c" @rite rite out the the truth truth tabl table e 7or

( p p ) q

*. Let us denot denote e the %eclusiv %eclusive e or& sometimes sometimes used in ordina ordinary ry conversation by

⨁

. )hus p ⊕ q ill be true hen eactly one o7

p  q is true, and 7alse otherise.

a" @rite @rite out out the the truth truth table 7or p ⊕ q b" @rite @rite out out the truth table 7or p ⊕ p and

( p ⊕ q ) ⊕ q .

c" Sho that that %andJor& %andJor& really means means %and or or or,& that is the the truth table table 7or

( p ∧ q ) ⊕ ( p ⊕ q ) =s the same as the truth table 7or p ∨ q . d" Sho that it makes no diPerence i7 e take take both %or’s& %or’s& in %andJor& to be inclusive or eclusive oo.. oo

(. a

(⊕) .

Answ An swer ers s

pq

is tru true only only hen hen

q

is tru true and and

p is 7alse and is 7alse

otherise. op. oN. or. or. p

q

p q

os. ot. ou. / / S ov. o. o. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

*G

/ oy. oy. S pb. S pe. p7. b p7. q

pi. / pl. S po. / pr. pr. S pu. c pv. pv. p

p;. / Nd. / Nh. S Nl. S Np. *. a

S S o;. pa. / / pc. pd. S S pg. ph. p

qp

pj. pk. / S pm. pn. / / pp. pN. S S ps. pt. S S py. py.

p. p. p. q

( p p ) q

p p

Na. Nb. / S Ne. N7. N7. S S Ni. Nj. / S Nm. Nn. S S

Nc.

/

Ng.

S

Nk.

/

No.

S

p ⊕ q ill be true hen eactly one o7

p  q is true, and 7alse

otherise. NN. Nr. Nr. Ns. p

q

Nt. Nu. / / N. N. N. / S N;. ra. S / rc. rd. S S r7. r7. rg. rh.

p ⊕ q

Nv.

S

Ny.

/

rb.

/

re.

S


*H

ri. b

c

rj.

rk. q

ro. / rt. / ry. ry. S sd. S si.

rp. / ru. S r;. / se. S

sj.

sk. sl.

p

q

sp. / sv. sv. / tb. S th. S tn. to.

sN. / s. s. S tc. / ti. S

p ⊕ p

rl.

p

sr. sr. / s. S td. S tj. S

( p ⊕ q ) ⊕ q

S

rr.

S

rs.

S

rv.

S

r.

/

r.

/

sa.

S

sb.

/

sc.

/

s7.

S

sg.

S

sh.

S

sn.

so.

( p ∧ q ) ⊕ ( p ⊕ q )

p ⊕ q

ss.

S

st.

/

sy.

/

s;.

/

te.

/

t7.

/

tk .

S

tl.

S

p ∨ q

su. / ta. / tg. / tm. S ≡

tr. ts. d tp. tN. tr. p q p ∧ q p ∨ q tu. / t;. / ue. S uj. S uo.

rn.

rN.

sm.

p ∧ q

p⊕ q

rm.

tv. tv. / ua. S u7. u7. / uk. S

t. t. / ub. S ug. S ul. S

t. / uc. / uh. / um. S

tt.

( p ∧ q ) ∨( p ∨ q ) ty.

/

ud.

/

ui.

/

un.

S

up. uN. ur. ur. us. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

*I

ut. uu. uv. uv. u. u. u. uy. uy. u;. va. vb. vc. vd. v e. Latihan Soal D 4aaban (. )entukan konvers, konvers, invers, dan kontrapositi7 kontrapositi7 dari implikasi berikut' a. 4ika suatu suatu bendera bendera adalah adalah berndera berndera 4epang, 4epang, maka maka ada bintang bintang pada benera tersebut. v7. $onvers ' 4ika ada bintang pada suatu bendera, ma maka itu adalah bendera 4epang. vg. =nvers ' 4ika suatu bendera bukan bendera 4epang, maka tidak ada bintang pda bendera itu. vh. vh. $ontr ontrap apos ositi iti77 ' 4ik 4ika a tida tidak k ada ada bin binta tang ng pad pada a sua suatu tu ben bende dera ra,, mak maka a itu bukan bendera 4epang. b.

c.

3

a > 0 → a >0 3

v i.

$onvers

'

"ika "ika a > 0 maka maka a > 0

v j.

=nvers

'

"ikaa' 0 ↔ a ' 0

vk.

$ontrapositi7 '

3

3

"ika "ika a ' 0 makaa' 0

a =0 → ab =0

"ika "ika ab =0 maka maka a=0

v l.

$onvers

'

vm .

=nvers

' "ikaa! 0 makaab! 0

vn.

$ontapositi7 '

"ikaab! 0 makaa! 0

d. 4ika dua dua persegi persegi panjang kongru kongruen, en, maka maka luasnya luasnya sama vo. $onvers ' 4ika lu luas du dua pe persegipanjan sama, maka du dua persegipanjang kongruen vp. =nvers '4ika dua persegipanjang tidak kongruen, maka luasnya tidak sama endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

*?

vN. vN. $onta ontapo posi siti ti77 ' 4ik 4ika lua luasn snya ya tida tidak k sam sama, a, mak maka dua dua persegipanjang tidak kongruen kongruen e.

2

x =3 → x = 9 2

vr.

$onvers

'

"ika x =9 maka maka x = 3

vs.

=nvers

'

"ika "ika x ! 3 maka maka x ! 9

vt.

$ontapositi7 '

"ika x ! 9 mak maka x ! 3

2

2

7. 4ika segiti segitiga ga 9/< 9/< adalah segitiga segitiga sama sama sisi, sisi, maka maka sisi-sisi sisi-sisi segitig segitiga a tersebut sama panjang. vu. $onvers ' 4ika sisi-sisi segitiga 9/ 9/< sama panjang, maka segitiga 9/< adalah segitiga sama sisi vv. vv. =nve =nvers' rs' 4ik 4ika a segi segiti tiga ga 9/ 9/< buka bukan n segi segiti tiga ga sam sama a sisi sisi,, maka maka sisi sisi-s -sis isii segitiga tersebut tidak sama panjang v. v. $onta ontapo posi siti ti77 ' 4ik 4ika a segi segitig tiga a 9/< 9/< tida tidak k sam sama a panj panjan ang, g, maka maka segitiga 9/< bukan segitiga sama sisi *. )entukan nilai kebenaran kebenaran implikasi, implikasi, konvers, konvers, invers, dan kontrapositi7 kontrapositi7 dari soal di atas. a. 4ika suatu suatu bendera bendera adalah adalah berndera berndera 4epang, 4epang, maka maka ada bintang bintang pada benera tersebut. !/" v. $onvers ' 4ika ada bintang pada suatu bendera, maka itu adalah bendera 4epang.!S" vy. =nvers ' 4ika suatu bendera bukan bendera 4epang, maka tidak ada bintang pda bendera itu.!S" v;. v;. $ontr ontrap apos ositi iti77 ' 4ika 4ika tida tidak k ada ada bint bintan ang g pad pada a sua suatu tu bend bender era, a, maka maka itu bukan bendera 4epang.!/" b.

3

a > 0 → a > 0 !/"

a.

c.

$onvers

3

'

"ika "ika a > 0 maka maka a > 0 !/"

'

"ikaa' 0 ↔ a ' 0 !/"

b.

=nvers

c.

$ontrapositi7 '

3

3

"ika "ika a ' 0 makaa' 0 !/"

a =0 → ab =0 !/"

"ika "ika ab =0 maka maka a=0 !S"

d.

$onvers

'

e.

=nvers

' "ikaa! 0 makaab! 0 !S"

7.

$ontapositi7 '

"ikaab! 0 makaa! 0 !/"

d. 4ika dua dua persegi persegi panjang kongru kongruen, en, maka maka luasnya luasnya sama g. $onvers ' 4ika luas dua persegipanjan sama, maka dua persegipanjang kongruen h. =nvers '4ika du dua pe persegipanjang ti tidak ko kongruen, ma maka luasnya tidak sama endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

*

i. i. $ontr ontrap apos osit iti7 i7 ' 4ik 4ika a lua luasn snya ya tida tidak k sam sama, a, mak maka dua dua persegipanjang tidak kongruen kongruen e.

2

x =3 → x = 9 2

j.

$onvers

'

"ika x =9 maka maka x = 3

k.

=nvers

'

"ika "ika x ! 3 maka maka x ! 9

l.

$ontrapositi7 '

2

2

"ika x ! 9 makax! 3

7. 4ika segiti segitiga ga 9/< 9/< adalah segitiga segitiga sama sama sisi, sisi, maka maka sisi-sisi sisi-sisi segitig segitiga a tersebut sama panjang. m. $onvers ' 4ika si sisi-sisi se segitiga 9/ 9/< sa sama pa panjang, ma maka segitiga 9/< adalah segitiga sama sisi n. =nvers' =nvers' 4ika 4ika segi segitig tiga a 9/< 9/< bukan bukan segiti segitiga ga sama sama sisi sisi,, mak maka a sisi sisi-si -sisi si segitiga tersebut tidak sama panjang o. o. $ontr ontrap apos ositi iti77 ' 4ik 4ika a segi segitig tiga a 9/< 9/< tida tidak k sam sama a panj panjan ang, g, mak maka a segitiga 9/< bukan segitiga sama sisi 5. 9pa yang yang anda dapatk dapatkan an dari jaaba jaaban n soal * itu> itu> 0ilai kebenaran dari implikasi dan kontrapositi7 kontrapositi7 selalu sama, menyatakan baha implikasi dan kontrapositi7 mempunyai nilai kebenaran senilai 0ilai kebenaran dari invers dan konvers selalu sama, menyatakan baha invers dan konvers mempunyai nilai kebenaran senilai F. /uatlah /uatlah ingkaran ingkaran dari implikasi, implikasi, beserta beserta konvers, konvers, invers, invers, dan kontrapositi7 kontrapositi7 dari pernyataan soal (O •

•

¬ implikasi#suatu bendera adalah bendera $epang dan tidak ada

a.

bintang pada bendera tersebut

p. ¬k#n+ers : ada bintang bintang pada pada suatu suatu benderadan benderadan benderaitu benderaitu bukan bukan bendera"epang bendera"epang

N. ¬in+ers : suatu suatuben bendera dera bukanbender bukanbendera a "epang "epang dan ada bintang bintang pa da bendera benderater tersebu sebut t : tidak tidak adabintang adabintang pada pada suatubend suatubendera era danitubendera danitubendera "epan "epang g r. r. ¬k#ntrap#siti, : 3

b. ¬implikasi : a > 0 dana ' 0 3 s. ¬k#n+ers : a > 0 dana' 0

3 t. ¬in+ers : a ' 0 dana > 0 3 u. ¬k#ntrap#siti, : : a ' 0 dana > 0

c. ¬implikasi : a= 0 danab! 0 v. v. ¬k#n+ers : ab =0 dan! 0 . .

¬in+ers : a ! 0 danab =0


53

ab ! 0 dana =0 . ¬k#ntrap#siti, : : ab!

¬implik asi : dua persegi persegi pan-angk#ngrue pan-angk#ngruen n danluasnya danluasnya tidak sama d. ¬implik

y. y. ¬ konvers ' luas dua persegipanjang sama dan tidak kongruen dua perse persegi gi pan-an pan-ang g tidak tidak k#ngr k#ngruendan uendan luasnya luasnya sama sama ;. ¬in+ers : dua persegipan pan-angluasny -angluasnya a sama sama dan a. ¬k#ntrap#siti, : : dua persegi

persegi pan-ang pan-ang k#ngrue k#ngruen n b. dua persegi 2

e. ¬implikasi : x =3 dan x ! 9 2 c. ¬k#n+ers : x =9 dan x! 3

2 d. ¬in+ers : x ! 3 dan x =3 2

e. ¬k#ntrap#siti, : x ! 9 dan x =3 ¬ implikasi ' segitiga 9/< adalah segitiga sama sisi dan sisi-sisi

7.

segitiga tersebut tidak sama panjang 7. 7.

¬ konvers ' sisi-sisi segitiga sama panjang dan segitiga 9/<

bukan segitiga sama sisi g.

¬ invers ' segitiga S/< bukan segtiga sama sisi dan sisi-sisi

segitiga tersebut sama panjang h.

¬ kontrapositi7 kontrapositi7 ' segitiga 9/< tidak sama panjang dan

segitiga 9/< adalah segitiga sama sisi i. j. k. l. m. n. o. p. N. r. r. s. t. u. v. v. . . . y. y. ;. ya. yb. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

5(

yc. yd. ye. y7. y7. yg. yh. yi. yj. yk. yl. ym. yn. yo. yp. yN. yr. yr. ys. yt.

ernyataan /erkuantor yu.

yv. yv. y. y. y.

/

9

yy. yy. y;. ;a.

Misal' 9 /

∶

∶

2 8impunan Mahasisa $elas ( /

2 8impunan sisa yang gemar mencontek

;b.

%Sebagian mahasisa kelas =/ gemar mencontek&

;c.

%Sebagian mahasisa kelas =/ tidak gemar mencontek&

;d.

%Semua mahasisa kelas =/ gemar mencontek&

ku an

;e. $uantor merupakan sesuatu yang menyatakan keadaan jumlah suatu domain ;7.

$uantor dibagi menjadi dua'

a. Kuantor Universal 2 2 $uantor $uantor yang mencakup keseluruhan keseluruhan anggota domain ;g.

$uantor 6niversal !

∀

"

;h. /iasa di ditandai de dengan ka kata %s %semua,seluruh,setiap& ya yang menggambarkan jumlah keseluruhan bagi anggota domain. Misalkan p


5*

( x ) adalah satu kalimat terbuka. ernyataan

∀ x

p ( x ) dibaca

%untuk setiapJseluruhJsemua x berlaku p ( x ) . ;i.

∀ x ∈ .  x

2

− x + 41 merupakan bilangan prima.

;j. ;k. ;l.

*" 4umlah * bilangan genap adalah bilangan genap 5" Semua laki-laki buaya darat embahasan'

;m.

("

;n.

2

− x −41 merupakan bilangan prima 2 = 41, ∈ . x x + 41−41 merupakan 41 /ukti' ambil , sehingga ∀ x ∈ .  x

bilangan prima ;o. ;o. $esimp simpul ulan an'' per pernyat nyataa aan n ber bernila nilaii sal salah ;p. *" 4umlah * bilangan genap adalah bilangan genap ;N. ;N. /ukt /ukti' i' /ila /ilang ngan an gena genap p adal adalah ah kelip elipat atan an *, sehi sehing ngga ga dapa dapatt disimpulkan dengan ;r.

Misal'

n1 + n2= p

2 ( n1 + n2 )= 2 p

;t.

!merupakan bilangan genap"

$esimpulan' /enar Semua Semua laki-laki laki-laki buaya buaya darat darat /ukt /ukti' i' 9da 9da ora orang ng yan yang g ber berge gend nder er lak lakii-la laki ki dan dan tida tidak k buay buaya a dara daratt $esimpulan' Salah

aaa. aab.

, n∈B

2 n1+ n2= 2 ( n1 + n 2)

;s.

;u. ;v. ;v. 5" ;. ;. ;. ;y. ;y. ;;.

2n

: ={ 3,4,5 } /erlaku

∀ x ∈ A

,

(. jumlah jumlah * bilangan bilangan kurang kurang dari dari atau atau sama denga dengan n aac.

$esimpulan' /enar

aad.

/ukti'

∀ x ∈ A  x 1+ x 2 ' 9

aae. aae. ilak ilakuk ukan an penghi penghitun tungan gan satu-p satu-pers ersatu atu kare karena na anggot anggotany anya a terjangakau aa7. 51F2I, aag. F1G2, aah. 51G2? aai. aai. atau atau diam diambi bill per perco coba baan an deng dengan an * bil bilan anga gan n den denga gan n nil nilai ai terbesar yaitu, F1G2 *. Semua Semua anggota anggota 9 merupa merupakan kan bilangan bilangan ganjil ganjil aaj.

P ( 3 ) ∧ P ( 4 ) ∧ P ( 5 )

aak. B ∧ S ∧ B =S endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

55

aal. aal. $esimpu esimpulan lan'' Salah Salah b. Kuantor Eksistensial 2 2 $uantor yang mencakup hanya sebagian anggota domain ∃

aam.

$uantor +ksistensial !

"

aan.

/iasa di ditandai de degan ka kata %t %terdapat, ad ada, be beberapa,

sebagian& dll. Misalkan p ( x ) merupakan suatu kalimat Jpernyataan terbuka sehingga

∃ xp ( x )

dibaca'

%6ntuk beberapa x berlaku p ( x ) & atau %terdapat x

aao.

yang memenuhi p ( x ) atau %9da x sedemikian sehingga berlaku p ( x x ) &

aap aap.

aaN.

*"

∃ n ∈ .  x 1+ x 2 ∉ .

aar.

5"

∃ x ∈ .  x

2

, premi 2 salah

− x − 41 merupakan bilangan prima, premi 2

benar aas. aas. emba embahas hasan' an' (" (" /ukti /ukti'' 9da 9da yang yang meny menyata ataka kan n bah baha a )uk )ukul ul seorang aktor yang tidak tampan aat. *" /ukti' /ilangan asli memiliki si7at ketertutupan pada si7at penjumlahan 2 5" /ukti' 9mbil x =1,1 + 1 −41= 41 adalah bilangan prima.

aau. aav.

aa.

9

: ={ 3,4,5 } /erlaku

∀ x ∈ A

, )erdapat anggota 9 yang

merupakan bilangan genap. (.

∃ x ∈ A  x

aa. *.

bilangan genap

9mbil

4 ∈ A 

F merupakan bilangan genap

P (3 ) ∨ P ( 4 ) ∨ P ( 5 )

aay.

S ∨ S ∨ S= B

aa;. $esimpulan' esimpulan' /enar /enar aba. abb. abc. abd. abe. ab7. abg. abh. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

5F

abi.

0egasi ernyataan /erkuantor

(" $uanto uantorr 6nive 6niversa rsall abj.

¿ ¬ ¿ Semua bunga indah" ≡ tidak benar baha semua

bunga indah ≡ /eberapa bunga tidak indah abk.

2

¬ ( ∀ x  x ( 0)

2

≡ ∃ x  x < 0

abl. Secara umum negasi dari kuantor universal dapat digunakan sebagai berikut' abm. ernyataan abo.

abn.

0egasi

abp. ¬ ∀ xp ( x ) ≡ ¬ ∀ x ¬ p ( x ) ≡ ∃ x ¬ p ( x )

∀ xp ( x )

abN. abr. *" $uanto uantorr +ksis +ksisten tensia siall abs.

¿ ¬ ¿ 9da sisa yang senang M"

≡ tidak benar baha

ada sisa yang senang M ≡ semua sisa tidak senang M

abt. abu.

2

¬ ( ∃ x  x =9 )

2

≡ ∀ x  x ! 9

abv. Secara um umum ne negasi dari ku kuantor ek eksistensial dapat digunakan sebagai berikut' ab. ernyataan aby. ∃ xp ( x )

ab.

0egasi

ab;. ¬ ∃ xp ( x ) ≡ ¬ ∃ x ¬ p ( x ) ≡ ∀ x ¬ p ( x )

aca. acb. acc. acd. ace. ac7. acg. ach. aci. acj. ack. acl. acm. acn. aco. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

5G

acp. acN. acr. acs. act. acu. acv. ac. ac. acy. ac;.

ada. ada. $uant uantor or )ersa ersara rang ng adb. adc. dc. )erk erkadan adang g dal dalam am per pernyat yataan aan ber berk kuan uantor tor tid tidak han hanya memiliki satu variabel saja. /erikut merupakan contoh pernyataan berkuantor yang terdiri dari * variabel. add.

Misal, x dan y meruQakan orang

( x / y ∈ #rang )

ade. ad7.

p ( x x  y ) ∶ = x mencintai y

adg. o

∃ y / p ( x  y ) = x mencintai beberapa y

o

∀ x ( ∃ y / p ( x  y )) = semua semua x mencin mencintaibebera taibeberapa pa y

o

∀ x ( ∃ x / p ( x  y ) ) =bebera beberapa pa x mencint mencintai ai semua semua y

o

∃ x ( ∀ y / p ( x  y )) =bebera beberapa pa x mencin mencintai tai semua semua y

o

∀ x ( ∀ y / p ( x  y ) )= semua x mencintai mencintai semua y

o

∃ y ( ∀ xp ( x x  y ) )= semua semua x mencin mencintai taibeb bebera erapa pa y

adh. adi. adj. adk. adl. adm. adn. ado. adp. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

5H

adN. adr. ads. adt. adu. adv. ad. ad.

ady ady.

enar enarik ikan an $esim esimpu pula lan n

(. enda endahu hulu luan an a. Semua Semua sing singa a menye menyeram ramka kan n ad;.

∀ x ∈ { singa }  p ( x )

aea.

a ( x ) : x merupakan singa

∀ x ∈ $

aeb.

b ( x ) : x tidak minum kopi

∀ x  a ( x ) → b ( x )

b. /eberapa /eberapa singa singa tidak minum minum kopi kopi aec.

∃ x ∈ { singa }  p ( x )

aed.

a ( x ) : x merupakan singa

∃ x  a ( x ) →b ( x )

aee.

b ( x ) ' x tidak minum kopi

∃ x ∈ $

ae7. *. rinsip a. $onjunction $onjunction !enggabungan !enggabungan dua buah pernyataanJin7ormasi" pernyataanJin7ormasi" aeg.

p

q

aeh. aei.

p∧ q

aej. b. isjun isjuncti ction on Silogy Silogysm sm aek. ael.

p∨ q ¬p

p∨ q ¬q

q

aem.

p

aen. c. Simpli7 Simpli7y y !eny !enyede ederh rhana anaan" an" aeo.

p∧ q


5I

aep.

p

aeN. q aer. d. Modu Modus s onen onens s aes.

p

aet.

p→ q

aeu.

q

aev. e. Modu Modus s )hol )holle lens ns ae.

¬q

ae.

p→ q

aey.

¬p

ae;. 7. 9ddi 9dditi tion on !en !enam amba baha han" n" a7a.

p

a7b.

p∨ r !9 a un

a7c. a7d. g. Aesol esolut utio ion n p ∨ q

a7e. aP.

misal' p2B

¬ p ∨r

B

q ∨r

S

a7g.

S ∨q

∨q ∨r

(B)S*

r ∨q

a+h.

misal' p2S

B

∨r

q ∨r

q ∨r

a.

a7j. h. 8ypoth 8ypothetic etical al Syllo Syllogis gism m a7k.

p→ q

misal' p2B

aR.

q→r

B →B

S →S

a7m.

p→ r

B →r

S →r

r

a7n.

misal' p2S

p→ r

p→ r

a+o.

a+p. i. 6niv 6niver ersa sall =nst =nstan anti tiat atio ion n

a7N. a7r.

∀ xp ( x )

p (a )


5?

a7s. j. +ksistensial =nstantiation =nstantiation ∃ xp ( x )

a7t.

p (c )

a7u.

a7v. k. 6niver 6niversal sal Cenera Cenerali; li;ati ation on a7.

p (a )

a7.

∀ xp ( x )

a7y. l. +ksi +ksist sten ensi sial al Cene Cenera rali li;a ;ati tion on a7;.

p (c )

aga.

∃ xp ( x )

agb. agc. agd. age. ag7. agg. agh. agi. agj. agk. agl. agm.

(" a. Mungkin Mungkin saya sedang sedang bermimpi bermimpi atau atau berhalusin berhalusinasi asi agn. agn. b. Saya aya tida tidak k seda sedang ng ber bermimp mimpii ago. ago. c. 4ik 4ika a saya saya berh berhalu alusin sinasi asi maka maka saya saya melih melihat at gaja gajah h berbi berbikin kinii ∴

agp. agN.

Saya sedang berhalusinasi dan melihat gajah berbikini

"embuktian Matematika$

(.

m∨ h

*.

¬m

5.

h→g

!isjungsi sillogisme

agr.

m∨ h

ags.

¬m

!Modus

F. h G. g agt.

h∧g

!$onjung


5

*" a. Saat ini tidak tidak cerah dan dan saat saat ini dingin dingin agu. agu. b. $ita $ita ber berenan enang g han hanya ya jik jika cer cerah ah agv agv. c. 4ik 4ika kit kita a tid tidak ak bere berena nang ng kita kita berp berper erah ahu u ag. ag. d. 4ik 4ika a kita kita naik naik pera perahu hu maka maka kita kita pulang pulang ebih ebih aal aal ∴

ag. agy agy.

$ita pulang lebih aal

"emb "embuk ukti tian an Mate Matema mati tika ka$$

(.

¬c ∧d

*.

b→c

5.

¬b→ p

F.

p→ a

G.

¬c

!Simpli7y ("

H.

d

!Simpli7y *"

I.

¬b

!Modus )hollens

?.

p

!Modus onens

.

a

!Modus onens

ag;. 5" a. Semua Semua singa menyeramk menyeramkan an aha. aha. b. /ebe /ebera rap pa sin singa ga tida tidak k min minum um kopi opi ∴

ahb. ah-. ah-.

(. *.

/eberapa yang menyereamkan menyereamkan tidak minum kopi

"embu embukt ktia ian n Mate atemati matik ka$

∀ ( x x ) ∈ $  a ( x ) → b ( x ) ∃ ( x ) ∈ $  a ( x ) ∧ → m ( x )

5.

a (c )→ b ( c )

!6niversal =nstantiation

F.

a (c )∧ ¬m (c )

!+ksistensial

G.

a (c )

!Simpli7y F"

H.

¬m (c )

!Simpli7y F"

I.

b (c )

!Modus onens 5DG"

?.

b (c )∧ ¬m (c )

!$onjungsi IDH"

.

∃ x ∈ $  b ( x ) ∧ ¬ m ( x )

!+ksistensial F" a. 4ika kau mengirimkan mengirimkan e-mail maka saya saya akan menyelesaikan tugas ahd. ahd. b. 4ik 4ika a kau kau tidak tidak megirim megirimka kan n e-mai e-maill maka maka saya saya akan akan tidu tidurr lebih lebih aal ahe. ahe. c. 4ik 4ika a saya saya tidu tidurr lebih lebih aal aal maka maka besok besok aka akan n meras merasa a sanga sangatt segar


F3

∴

ah7.

4ika saya tidak menyelesaikan tugas maka, besok akan

merasa sangat segar. ahg. ahg. "emb "embuk ukti tian an Mate Matema mati tika ka$$ #.

e → t

%. ¬ e → a

5.

¬ ( ¬ e ∨ a )=e ∧ ¬ a

a→s

F. ¬ e → s

!8ypothetical Syllogism

G. ¬ t → ¬ e !$ontrapositi7 (" H. ¬ t → s

!8ypothetical Syllogism

ahh. ahi. ahj. ahk. ahl. ahm. ahn. aho. ahp. ahN. ahr. ahs. aht. ahu. ahv. ah. ah. ahy. ah;. endidikan Matematika 6niversitas Muhammadiyah ro7.r.89M$9

F(

a ia .

Latihan Soal

(. engan engan semesta semesta pembicaraan pembicaraan himpunan himpunan bilangan bilangan bulat, tentuka tentukan n nilai yang menyebabkan kalimat terbuka di baah ini menjadi benar. benar. a.

2 x −4 =−5

b.

x + 2= 5

c.

x −16= 0

d.

x + 3=3 + x

2

*. engan engan semesta semesta pembicaraan pembicaraan himpunan himpunan bilangan bilangan bulat, gunakan gunakan kuantor dengan urut-urutan %Semua...&,&/eberapa...&,&) %Semua...&,&/eberapa...&,&)idak idak ada...&, pada kalimat terbuka di atas sehingga didapat pernyataan berkuantor yang bernilai benar. 5. )entukan nilai kebenaran kebenaran dari setiap setiap pernyataan pernyataan berikut berikut ini. a. Setiap Setiap perira perira )0= adalah adalah laki-la laki-laki. ki. b. /eberapa /eberapa Cubernu Cubernurr di =ndonesia =ndonesia adalah adalah perempua perempuan. n. c. Setiap Setiap bilangan bilangan jika dipangk dipangkatka atkan n 3 akan bernilai bernilai sama sama dengan (. d. Setiap Setiap bilangan bilangan memiliki memiliki laan !inver !invers s penjumlahan penjumlahan". ". e. Setiap Setiap bilangan bilangan memiliki memiliki kebalik kebalikan an !invers !invers perkalian" perkalian" 7. Setiap Setiap perseg persegii adal adalah ah jajar jajargen genjan jang. g. g. Setiap Setiap jajarge jajargenjang njang adalah adalah trapesi trapesium. um. h. )erdapat bilangan bilangan sedemikian sehingga setiap setiap bilangan jika ditambahkan ke bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri. i. )erdapat erdapat bilangan bilangan sedemikia sedemikian n sehingga sehingga setiap setiap bilangan bilangan jika jika dibagi dibagi dengan bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri. j. Setiap jajargenjang memiliki simetri simetri setengah putaran. k. /eberapa /eberapa sisa sisa menga menganggap nggap matematik matematika a sulit. sulit. l. Setiap Setiap tahun tahun yang habis dibagi dibagi F adalah adalah tahun tahun kabisat. kabisat. F. )entukan nilai kebenaran kebenaran dari setiap pernyataan berikut berikut ini dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan real.

( 2= x )

a.

∃ x x

b.

∃ x (| x|)= 0

c.

∀ x ( x < x + 1 )

d.

∀ x ( x −1= x )

e.

∃ x ( x

7.

∀ x x

g.

∃ x (| x|) ( 0 ¿

h.

∀ x x

2

− 2 x + 1=0 )

( 2+ 2 x + 1 > 0 ) ( 2−3 x + 2=0 )


F*

G. )entukan nilai kebenaran kebenaran dari setiap pernyataan di atas dengan semesta pembicaraan himpunan asli. H. engan engan menggunakan menggunakan huru7 huru7 yang disarankan, disarankan, buatlah buatlah iagram enennya lalu tulis implikasi atau konjungsi yang sesuai dengan pernyataanpernyataan berikut. a. Semua Semua anjing anjing mempun mempunyai yai empat empat kaki kaki !9,$" !9,$" b. /eberapa /eberapa matriks matriks tidak memiliki memiliki invers invers !M,=" !M,=" c. Semua Semua laki-la laki-laki ki dapat dapat dipercaya dipercaya !L," !L," d. 9da segiti segitiga ga yang bukan bukan segitiga segitiga sama sama sisi !$,S" !$,S" e. )idak )idak semua semua pulau di di =ndonesia =ndonesia didiami didiami oleh pendud penduduk uk !," I. )entukan nilai kebenaran setiap setiap pernyataan pernyataan di baah ini dengan semesta pembicaraan adalah 0 ={ 1,2,3,4,5, } / a.

∀ x ( 4 + x < 0 )

b.

∃ x ( 4 + x =7 )

c.

∀ x ( 4 + x ' 7 )

d.

∃ x ( 4 + x > 8 )

aib.

enyelesaian'

(. Mene Menent ntuk ukan an nila nilaii x a.

2 x −4 =−5

aic. aid. b.

c.

d.

2 x =−1

2 x =

−1 2

x + 2=−5

aie.

x =−5−2

ai7.

x =−7

2

x −16= 0

aig.

16 x =1 √ 16

aih.

x =4, x =−4

x + 3=3 + x

aii.

x ∈ ∀ .

aij. *. $uantor uantor yang yang bernil bernilai ai benar benar a. b.

∀ x ∈ 2  2 x − 4 ! 5 ∃ x ∈ B

p ( x )


F5

c. d.

∃ x ∈ B

p ( x )

∀ x ∈ B p ( x )

aik. 5. 0ilai 0ilai keben kebenaran aran pern pernyat yataan aan'' a. Salah b. /enar c. Salah d. Salah e. Salah 7. /enar g. Salah h. /enar i. /enar j. /enar k. /enar l. /enar F. 0ilai kebena kebenaran ran dengan dengan semesta semesta himpunan himpunan bilangan bilangan bulat. bulat. a. /enar b. /enar c. /enar d. Salah e. /enar 7. Salah g. Salah h. Salah G. 0ilai kebena kebenaran ran dengan dengan semesta semesta himpunan himpunan bilangan bilangan real. real. a. /enar b. Salah c. /enar d. Salah e. /enar 7. /enar g. /enar h. Salah H. iag iagra ram m en en a. u 9

b. u M

$ =

c. u L



endidikan Matematika 6niversitas Muu hamm$ adiyah ro7.r.89M$9

FF

d.

e. u

S





I. 0ila 0ilaii $eb $eben enar aran an a. /enar

b. /enar

c. Salah

d. /enar


FG

e.

Latihan Soal

(. )entukan entukan negasi dari pernyataa pernyataan n berikut' berikut' a.

¬ ( ∃ x ( x x = x ) )

b.

(∃ x (| x|=0 ))

c.

∀ x ( x < x + 1 )

d.

2

∀ x ( x −1= x )

( 2 +2 x + 1 =0 )

e.

∃ x x

7.

∀ x x

g.

∃ x (| x|( 0 )

h.

∀ x x

( 2+ 2 x + 1 > 0 )

( 2−3 x + 2=0 )

7. enye enyele lesa saia ian' n' a.

¬ ( ∃ x ( x x = x ) ) ≡ ∀ x ( x ! x ) ¬¿

b.

¬ ( ∃ x (| x|=0 ) ) ≡ ∀ x (| x|! 0 )

c.

¬ ( ∀ x ( x < x + 1 ) ) ≡ ∃ x ( x ( x + 1)

d.

¬ ( ∀ x ( x −1 = x ) ) ≡ ∃ x ( x −1 ! x )

e.

¬ ( ∃ x ( x x + 2 x + 1= 0 ) ) ≡ ∀ x ( x − 2 x + 1 ! 0 )

2

2

2

2

2

x + 2 x + 1 ' 0

7.

¬ ( ∀ x ( x + 2 x + 1> 0 ) ) ≡ ∃ x ¿

g.

¬ ( ∃ x (| x|( 0 ) ) ≡ ∀ x (| x|< 0 )

h.

¬ ( ∀ x ( x −3 x + 2 =0 ) ) ≡ ∃ x ( x −3 x + 2 ! 0 )

2

2

2

*. )uliskan negasi pernyataan-pernyataan pernyataan-pernyataan berikut' a. Semua Semua laki-l laki-laki aki dapat dapat diperc dipercaya aya.. b. 9da segitig segitiga a sama kaki kaki yang buka bukan n segitiga segitiga sama sisi. sisi. c. /ebera /eberapa pa matrik matriks s tidak tidak memilik memilikii invers. invers. d. Setiap Setiap perira perira )0= adalah adalah laki-la laki-laki. ki. e. /eberapa /eberapa Cubern Cubernur ur di =ndones =ndonesia ia adalah adalah perempua perempuan. n. 7. Setiap Setiap bilangan bilangan jika jika dipangka dipangkatkan tkan dengan dengan 3 akan akan bernilai bernilai sama sama dengan dengan (. g. Setiap Setiap bilangan bilangan memiliki memiliki kebalik kebalikan an !invers !invers perkalian". perkalian".

h. Setiap Setiap jajar jajar genjan genjang g adalah adalah trapesium trapesium.. i. )idak )idak semua semua pulau pulau di =ndone =ndonesia sia didiami didiami oleh oleh penduduk. penduduk. g. enyeles enyelesaian' aian' a. b. c. d. e. 7.

)idak )idak semua semua laki-laki laki-laki dapat dapat dipercaya. dipercaya. Semua Semua segitiga segitiga sama kaki kaki adalah adalah segitiga segitiga sama sama sisi. Semua Semua matr matriks iks memi memilik likii invers invers.. 9da perira perira )0= )0= yang bukan bukan laki-lak laki-laki. i. Semua Semua gubernur gubernur di =ndones =ndonesia ia bukan bukan perempu perempuan. an. /eberapa /eberapa bilangan bilangan jika ipangk ipangkatka atkan n dengan dengan 3 akan akan bernilai bernilai tidak tidak sama sama dengan (. g. 9da bilangan bilangan yang tidak tidak memiliki memiliki kebalikan kebalikan !invers !invers perkalian perkalian". ". h. h. 9da jajar jajar genjang genjang yang bukan bukan trapesium. trapesium. i. Semua Semua pulau pulau di di =ndone =ndonesia sia tida tidak k didiam didiamii oleh pend pendudu uduk. k. 5. )entukan negasi negasi pernyataan-pernyataan pernyataan-pernyataan berikut, berikut, lalu tentukan tentukan nilai kebenaran kebenaran negasi pernyataan itu dengan semesta pembicaraannya adalah a. b. c. d.

∀ x ( 4 + x < 10 )

∃ x ( 4 + x = 7 ) ∀ x ( 4 + x ' 7 )

∃ x ( 4 + x > 8 )

i.

enyelesaian' ¬ ( ∀ x ( 4 + x < 10 ) ) ≡ ∃ x ( 4 + x ( 10 )

a.

j. embuktian' embuktian' k.

x =1,5 ( 10 3 .. salah

l.

x =2, 6 ( 10 3 .. salah

m.

x =3, 7 ( 10 3 .. salah

n.

x =4, 8 ( 10 3 .. salah

o.

x =5, 9 ( 10 3 .. salah

p.

∴ 4esimpulan : Salah

N. ¬ ( ∃ x ( 4 + x =7 ) ) ≡ ∀ x ( 4 + x ! 7 )

b.

r. embuktian' s.

x =1,5 ! 7 3 .. benar

t.

x =2, 6 ! 7 3 .. benar

u.

x =3, 7 ! 7 3 .. salah

v.

x =4, 8 ! 7 3 .. benar

x ={ 1,2,3,4,5 }

x =5, 9 ! 7 3 .. benar

.


. y.

¬ ( ∀ x ( 4 + x ' 7 ) ) ≡ ∃ x ( 4 + x > 7 )

c.

;. embu embukt ktia ian n' aa.

x =1,5 > 7 3 .. salah

ab.

x =2, 6 > 7 3 .. salah

ac. x =3, 7 > 7 3 .. salah ad.

x =4, 8 > 7 3 .. benar

ae.

x =5, 9 > 7 3 .. benar ∴ 4esimpulan : Benar

a7. a7. ag.

¬ ( ∃ x ( 4 + x > 8 ) ) ≡ ∀ x ( 4 + x ' 8 )

d.

ah.

embuktian'

ai.

x =1,5 ' 8 3 .. benar

aj.

x =2, 6 ' 8 3 .. benar

ak. x =3, 7 ' 8 3 .. benar al. am.

x =4, 8 ' 8 3 .. benar

an.

x =5, 9 ' 8 3 .. benar

ao.


ap. F. )entukan negasi pernyataan-pern pernyataan-pernyataan yataan berikut ini. a.

∃ xp ( x ) ∧ ∀ yq ( y )

b.

∀ xp ( x x ) → ∀ yq ( y ) ∀ xp ( x x ) ∨ ∃ yq ( y )

c.

∃ xp ( x ) → ∃ y ¬ q ( y )

d. aN.

enyelesaian'

a.

¬ ( ∃ xp ( x x ) ∧ ∀ yq ( y ) ) ≡ ∀ x ¬ p ( x ) ∨ ∃ y ¬ q ( y )

b.

¬ ( ∀ xp ( x ) → ∀ yq ( y ) ) ≡ ∀ xp ( x ) ∧ ∀ y ¬ q ( y )

c.

¬ ( ∀ xp ( x ) ∨ ∃ yq ( y ) ) ≡ ∃ x ¬ p ( x ) ∧ ∀ y ¬ q ( y )

d.

¬ ( ∃ xp ( x x ) → ∃ y ¬ q ( y ) ) ≡ ∃ xp ( x ) ∧ ∀ yq ( y )

ar. ar.

as. at. au. av. av. a. a. a. ay. ay. a;. ba. bb. bc. bd. be. b7. b7. bg. bh.

b i.

Metode embuktian

bj. bj. Sebe Sebelu lum m mel melan anju juttkan kedal edalam am pem pembukt buktia ian, n, kita ita seb sebai aik knya nya me memilik ilikii beberapa modal dalam mengerjakan latihan-latihan soal mengenai Metode embuktian, dimana /ab Metode embuktian jarang sekali diberikan semasa aktu sekolah. /eberapa modal untuk melakukan embuktian embuktian diantaranya' (. Mod Modal 9nal 9nalis isis is ' kem kemam ampu puan an untu ntuk mel melih ihat at kompon mponen en kecil ecil yang ang menyusun suatu objek *. /er# /er#kir kir Sint Sintes esis is ' kem kemam ampu puan an untu untuk k mel melih ihat at susu susuna nann-su susu suna nan n kom kompo pone nen n yang telah terbentuk 5. /er# /er#kir kir ed eduk ukti ti77 ' keb keben enar aran an ber berse sesu suai aian an den denga gan n keb keben enar aran an pan pangk gkal al F. /er# /er#kir kir =ndu =ndukt kti7 i7 ' kem kemam ampu puan an untu untuk k mel melih ihat at keter eterat atur uran an dari dari suat suatu u pol pola a !biasa berlaku pada prinsip komutati7, komutati7, jarang digunakan" G. /er# /er#kir kir 9bdu 9bdukt kti7 i7 ' kem kemam ampu puan an mel melih ihat at tah tahap apan an unt untuk uk melih melihat at tuj tujua uan n bk.

embuktian dibagi menjadi ' Suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya disebut )eorema

(. irect irect roo7 roo7 !embu !embuktian ktian Langs Langsung" ung" *. =ndirect roo7 !embuktian !embuktian )ak Langsung" Langsung" 5. =nduks =nduksii Matema Matematik tika a b l. =.

embuktian la langsung

bm. a. 4ika

)eorema dalam enjumlahan m dan

n

bilangan genap, maka

m+ n bilangan genap.

bn.

embahasan'

bo.

e#nisi bilangan genap dapat dinyatakan dengan

bp.

Misal

bN.

Maka didapat

br.

$arena p +q ∈ 2 dapat dimisalkan

bs.

Sehingga

m=2 p  p ∈ 2 dan

2 k + 1, k ∈ 2

n =2 q  q ∈ 2

m+ n=2 p + 2 q =2 ( p + q ) p +q =r dengan

r ∈ 2

m+ n= 2 r  r ∈ 2 merupakan bilangan genap.

!)+A/6$)=" b. 4ik 4ika

m dan

n bilangan ganjil, maka

m+ n bilangan genap.

bt.

embahasan'

bu. bu.

e#n e#nis isii bil bilan anga gan n gan ganji jill dap dapat at diny dinyat atak akan an deng dengan an

bv.

Misal

b.

idapat

b.

$arena p + q + 1

m =2 p + 1, p ∈ 2 dan

2 k + 1, k ∈ 2

n =2 q +1, q ∈ 2

m+ n= (2 p + 1 ) + ( 2 q + 1 )= 2 p + 2 q + 2=2 ( p + q + 1 )

bilangan bulat dapat dimisalkan p + q + 1 =r dengan

r ∈ 2 ,

by. c. 4ika

Sehingga

m+ n=2 r  r ∈ 2 merupakan bilangan genap. !)+A/6$)="

m bilangan ganjil dan

n bilangan genap, maka

m+ n bilangan

ganjil b;. embahasan' ca. ca.

e#n e#nis isii bil bilan anga gan n ganj ganjil il dapa dapatt din dinya yata tak kan deng dengan an

bilangan genap dinyatakan dengan cb.

Misal

cc.

2 k  k ∈ 2

m merupakan bilangan ganjil,

merupakan bilangan genap idapat

2 k + 1, k ∈ 2 dan

m=2 p + 1, p ∈ 2 dan

n

n =2 q  q ∈ 2

m+ n=2 p + 1 + 2 q =2 ( p + q ) + 1 , karena

p + q bilangan bulat

dapat dimisalkan p + q =r  r ∈ 2 cd.

Sehingga

m+ n=2 r + 1 dengan

r ∈ 2 merupakan bilangan ganjil.

!)+A/6$)=" d. 4ik 4ika

m bilangan genap dan

n bilangan ganjil maka

m + n bilangan

ganjil c e. embahasan' c7. c7. /er /erdasa dasark rkan an pemb pembuk ukti tian an nome nomerr 5 dan dan ber berla lak ku si7a si7att kom komut utat ati7 i7 pada pada penjumlahan sehingga cg.

m + n bilangan ganjil. !)+A/6$)="

ch. ci. cj. ck. cl. cm. cn. co. cp. cN. cr. cr. cs. ct. cu. cv. cv. c. c. c. cy. cy. c;. da. d b.

T/AS

(. 4ika

m dan


*. 4ika

m dan

5. 4ika

m bilangan ganjil dan


m × n bilangan genap.

m × n bilangan ganjil.


m × n bilangan


m × n bilangan

genap. F. 4ika


genap dc.

embahasan

(. /ilangan genap dapat dapat dide#isikan dide#isikan dengan

2 k  k ∈ 2

m =2 a  a ∈ 2 dan

dd.

Misal

d e.

idapat

d7.

$arena

n =2 b b ∈ 2

m × n=2 a × 2 b =2 ( 2 ab ) 2 ab

bilangan bulat dapat dimisalkan

2 ab= c

dengan

c ∈ 2

dg.

Sehingga

m+ n=2 c  c ∈ 2 merupakan bilangan genap. !)+A/6$)="

*. /ilangan /ilangan ganjil ganjil dapat dapat dinyat dinyatakan akan dengan dengan m =2 a + 1, a ∈ 2 dan

dh.

Misal

d i.

idapat

d j.

$arena

dk.

Sehingga

2 k + 1, k ∈ 2

n =2 b + 1, b ∈ 2

m × n= ( 2 a + 1 ) × ( 2 b + 1 )=4 ab + 2 a + 2 b + 1= 2 ( 2 ab + a + b ) + 1 2 ab + a + b ∈ 2 dapat dimisalkan

dapat dinyatakan dengan

dm.

idapat

dn.

$arena

do.

Sehingga

2 k + 1, k ∈ 2 dan bilangan genap

2 k  k ∈ 2

m =2 p + 1, p ∈ 2 dan

Misal

c ∈ 2

m × n=2 c + 1, c ∈ 2 merupakan bilangan bi langan ganjil. !)+A/6$)=" !)+A/6$)="

5. /ilangan /ilangan ganjil ganjil dapat dapat dinyat dinyatakan akan dengan dengan

d l.

2 ab + a + b= c dengan

n =2 q  q ∈ 2

m × n= ( 2 p + 1 ) × 2 q =4 pq + 2 q =2 ( 2 pq + q ) 2 pq + q ∈ 2

dapat dimisalkan

2 pq + q =r

dengan

r ∈ 2

m × n=2 r  r ∈ 2 merupakan bilangan genap. !)+A/6$)="

F. /erdasarkan pembuktian 5 dan berlaku si7at komutati7 komutati7 pada penjumlahan penjumlahan maka bilangan genap × bilangan ganjil2bilangan genap. !)+A/6$)=" !)+A/6$)=" dp. d0. dr. dr. ds. dt. du. d1. d1. d&. d&. d2. dy. dy. d.

4atihan Soal

(. erkali erkalian an dua bilangan bilangan positi7 positi7 adalah bilangan bilangan positi7 positi7.. ea . ebahasan' eb.

iketahui

a  b >0

ec.

9kibatnya

a × b =b + b + b + 3 +bsebanyak a

ed. ed. eng engan an meng menggu guna nak kan teor teorem ema a keter etertu tutu tupa pan n bila bilang ngan an pada pada penjumlahan e e.

4ika p  q > 0 maka p + q > 0

e7.

idapat

eg.

Sehingga

*. 4ika

b + b + 3 + b > 0 , sebanyak a a × b > 0 . !)+A/6$)="

a > 0 dan

b < 0 maka

a × b <0 .

eh.

embahasan'

ei.

iketahui

a > 0 dan

ej.

9kibatnya

a × b =b + b + b + 3 + b , sebanyak a

ek. ek.

eng engan an meng menggu guna nak kan teor teorem ema a ket keter ertu tutu tupa pan n pad pada a pen penju juml mlah ahan an

el.

4ika p >0 dan

em.

idapat

en.

Sehingga

5. 4ika eo. ep. ep.

b<0

q < 0 maka

p +q < 0

b + b + 3 + b , sebanyak a a × b < 0 . !)+A/6$)="

a < 0 dan

b > 0 maka

a × b <0 .

embahasan' /er /erdasa dasark rkan an pem pembu bukt ktia ian n * dan dan berl berlak aku u kom komut utat ati7 i7 pad pada a perk perkal alia ian, n,

maka a × b < 0 . !)+A/6$)=" F. 4ika

a < 0 dan

b < 0 maka

a × b < 0. !embuktian !embuktian pola dedukti7 D abdukti7

sekaligus" eN. embahasan' er.
iketahui

a < 0 dan

et.

iketahui

a × 0 =0

b<0

eu.

a × ( b + ( − b ) )= 0

ev. ev.

( a × b ) + ( a × ( − b ) ) =0 −b= p  p >0

e.

Misal

e.

$emudian

ey.

/erdasarkan teorema I didapat ! ( a / b ) + ( a / p < 0 )= 0

e;.

Misal

7a.

$emudian didapat

7b.

Sehingga

( a × b )+ ( a × p ) = 0

a / b= p

q + ( a / p < 0 )=0

q =−( ap < 0 )

q =ap > 0

7c. 7d. 7e.

9kibatnya ∴

q> 0

$esimpulan

P.

a. /ilangan /ilangan genap genap dapat dapat dide#n dide#nisik isikan an sebagai sebagai go. go.

2 k  k ∈ 2

F meru merupa pak kan bila bilang ngan an gen genap, ap, karen arena a merup erupak akan an kel kelip ipat atan an *,

yaitu gp.

2 × 2 , dapat dimisalkan 2 a × x =2 ax ∈ 2

Misal

ax =b deng dengan an

2 × a =2 a .

, dan karena

b ∈ 2 sehin sehingg gga a

ax ∈ 2

dapat dimisalkan dimisalkan

4 ax =4 b=2 ( 2 b )  b ∈ 2

merupakan

bilangan genap. !)+A/6$)=" b. /ilangan /ilangan genap genap dapat dapat dide#n dide#nisik isikan an sebagai sebagai

2 k  k ∈ 2

.

Sesu esuai den dengan gan pemb pembuk ukttian ian no no.( den dengan x bilangan bulat maka

gN. gN. 4 x

dengan x ∈ 2 merupakan bilangan genap. !)+A/6$)="

c. ik iketah etahu ui x + y + 5 bilangan ganjil atau x + y + 5 =2 k + 1, k ∈ 2 / gr. gr. Misa Misall x

D

y adalah bilangan genap atau

p  q ∈ 2 .

gs.idapat' x + y + 5 =2 k + 1 gt. gu.

2 p + 2 q + 5 =2 k + 1 5 =−2 p −2 q + 2 k + 1

x = 2 p  y = 2 q  dengan

5 =2 ( k − p −q )+ 1

gv. gv.

5 =b ilangan ilangan gan-il gan-il

g. g.

d. /ilangan /ilangan genap genap dapat dapat dinyat dinyatakan akan dengan dengan

2 k  k ∈ 2

2 k

g.

¿ ¿ didapat Misal 2 n =¿ 2

2 k ∈ 2

gy.$arena

4

2

=2 ( 2 k 2 ) .

dapat dimisalkan

2

2 k =i dengan

i ∈ 2 .

2 n =i , i ∈ 2 merupakan bilangan genap. !)+A/6$)="

g;.Sehingga

e. /ilangan /ilangan ganjil ganjil dapat dapat dide#n dide#nisik isikan an dengan dengan 2

2

m =( 2 k + 1 )  k ∈ 2 didapat

ha.

Misal

hb.

$arena

2

2 k + 2 k ∈ 2

2 k + 1, k ∈ 2 . 2

4 k

+ 4 k + 1=2 ( 2 k 2 + 2 k ) +1 .

dapat dimisalkan

2

2 k + 2 k = c dengan

c ∈ 2 .

hc.

Sehingga

2

m =2 c + 1, c ∈ 2

merupakan

bilangan

ganjil.

!)+A/6$)=" hd. he. h7. h7. hg. hh. hi. hj. hk.

hl.embuktian Langsung'
Salah satu metode pembuktian dalam matematika adalah pembuktian dengan kontrapositi7. embuktian dengan kontrapositi7 adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung selain pembuktian dengan kontr kontradiksi adiksi.. embuk embuktia tian n denga dengan n kontra ontrapo posit siti7 i7 ini didas didasar arka kan n pada pada nilai nilai kebenar ebenaran an pernyataan %jika  maka & ekivalen dengan %jika bukan  maka bukan &. 4adi, yang perlu kita lakukan lakukan untuk membuktikan membuktikan suatu implikasi dengan kontrapositi7 adalah dengan menegasikan konklusinya, kemudian tunjukkan baha negasi dari konklusi mengakibatkan negasi dari antisedennya.

ho. hp.

hN.

4ika

m dan

n merupakan bilangan genap maka

bilangan genap. hr. hr. m=2 p n =2 q  p  q ∈ 2 maka hs. m + n ganjil ! ¬ q ¿ maka ht. Misal Misal

m+ n=2 k + 1, k ∈ 2 /

m+ n=2 k  k ∈ 2 / m ataun ataun gangan-il il ! ¬ p ¿ .

m+ n

hu.

m adalah bilangan genap,

Misal

m=2 p  p ∈ 2 .

hv.9kibatnya m+ n=2 k + 1 2 p + n=2 k + 1

h. h.

n =2 k −2 p − 1= 2 ( k − p ) −1

h. hy. hy.

n =bilanga bilangan n gan-i gan-i l

h;.Misal

m adalah bilangan ganjil,

m=2 p + 1, p ∈ 2 /

ia. 9kibat 9kibatnya nya m+ n=2 k + 1 ib.

2 p + 1 + n=2 k + 1

ic.

n =2 ( k − p ) + 1−1

id.

n =2 ( k − p )

ie.

n =bilangan genap

i7. i7. ig. ih. ii. ij. ik. il. im. in. io. ip. iN. ir. ir. is. it. iu. iv. iv. i. i. )ask (. Cive direc direct, t, contrapos contrapositive itive proo proo7s 7s o7' o7' a" =7 x is an even integer and

y is an od integer then

x + y is an

odd integer. b" =7 x and y are odd integers then xy is an odd integer. i. a"

)he ansers'

x = 2, y =2 m+ 1, m ∈ 2

iy. iy.

x + y =2 n + 1, n ∈ 2

i;.

¬ q : x + y =genap

ja.

¬ p : x gan-il atau y genap

jb. Misal x + y =2 n + 1, n ∈ 2 jc. Misal x bilangan ganjil, x =2 k + 1, k ∈ 2 jd. 9kibatnya x + y =2 m+ 1 + y =2 k je.

y =2 k −2 m−1

j7. j7.

y =2 ( k − m )−1

jg.

y =bilangan gan-il

jh. b"

)+A/6$)= )+A/6$)=

x =2 a + 1, y =2 b +1, a  b ∈ 2

ji.

x / y = 2 m + 1, m ∈ 2

jj.

¬ q : x / y =bilanga bilangan n genap genap

¬ p : x atau y bilangan genap

jk.

jl. Misal x / y = m+ 1, m ∈ 2 . Misal x bilangan ganjil maka x =2 k + 1, k ∈ 2

jm.

jn. 9kibatnya x / y =( 2 k + m ) / y =2 l y=

jo.

2l 2 p + 1

=2

(

l 2 p + 1

)

y =bilangan genap

jp. jN. jr. jr. js. jt. ju. jv. jv. j. j. j. jy. jy. j;. ka. kb. kc. kd. ke.

)+A/6$)= )+A/6$)=

k7. k7. kg.

embukt buktia ian n )ak Langs ngsung dengan $ont ontradiks iksi 9pa itu itu pembuktian dengan kontradiksi> erhatikan contoh toh

berikut. kh. kh.

$etik etika a /udi /udi sed sedang ang asik asik mem memba baca ca di di kama kamar, r, tiba tiba-t -tib iba a listr listrik ik di di rumah rumah

/udi mati. /udi ingin tahu apakah yang mati cuma listrik di rumahnya atau memang mati dari pusat. $emudian ia melihat keluar jendela. )ernyata listrik

rumah di sekitar rumah /udi hidup. Lalu ia menyimpulkan baha yang mati hanya listrik di rumahnya. ki. ki.

ari ari con conto toh h di ata atas s terl terlig igga gatt bah baha a untu untuk k memb membuk ukti tik kan bah baha a han hanya ya

listrik di rumah /udi yang mati, ia harus mengecek listrik di rumah sekitarnya. 9rtinya 9rtinya,, perlu perlu pemisa pemisalan lan negasi negasi dari dari pernya pernyataa taan n yang yang ingin ingin dibukt dibuktik ikan, an, yaitu yaitu misalkan tidak benar baha listrik yang mati hanya di rumah /udi. engan kata lain pemadaman listrik terjadi dari pusat. 9kibatnya, rumah di sekitar /udi juga listriknya harus mati. )ernyata ketika ia melihat keluar jendela, listrik di sekitar rumah /udi masih hidup. /erarti hanya rumah anda yang listriknya mati. $eadaan ini yang disebut kontradiksi. kj. kj.

ala alam m ilmu ilmu logi logik ka, jik jika per pernyat nyataa aan n yang yang ingi ingin n dibuk ibukttikan ikan berb berben entu tuk k

implikasi p T N, maka yang harus dibuktikan adalah N. 6ntuk membuktikan dengan kontr ontrad adik iksi si,,

kita kita haru harus s memi memisa salk lkan an UN. UN.

kemud emudia ian n perl perlih ihat atk kan bah baha a UN

bertentangan dengan p.
adalah irrasional.

/ukti '

km. 9nda 9ndaik ikan an

adal adalah ah rasi rasion onal al,, mak maka

dapa dapatt diny dinyat atak akan an seba sebaga gaii

dengan p,NVW dan p dan N relative prima. $uadratkan kedua ruas, didapat

kn. ko.

arena a kp. $aren

adal adalah ah gen genap, ap, mak maka a

jug juga gen genap ap dan juga juga p gen genap ap..

9kibatnya p2*r, rVW. kq.

kr. ks.

kt. persam persamaan aan terakh terakhir ir mengata mengataka kan n baha baha N juga juga merupak merupakan an bilangan bilangan kelipatan *. /erarti, p dan N sama-sama mempunyai 7actor kelipatan selain (. 9kib 9kibat atny nya a p dan N tida tidak k relat elativ ive e prim prima. a. =ni =ni kontr ontrad adik iksi si den dengan gan pernyataan baha p dan N relative prima. 4adi, haruslah *. 4ika


n bilangan genap maka

irrasional. m+ n= bilangan bilangan genap genap

. ku.

/ukti'

kv.

$ontradiksi,

k. k.

p : m=bila bilanga ngan n genap genap n=bilanga bilangan n genap genap

k.

¬ q : m+ n=bilangan bilangan gan-il gan-il

m =2 p  p ∈ 2 dan

ky.

Misal

k;.

Sehingga

la .

Maka

lb.

9kibatnya me m emisalkan

m+ n=2 k + 1, k ∈ 2 , lalu akibatnya

2 p + n=2 k + 1 ,

bilangan genap.

n =2 q  q ∈ 2

n =2 ( k − p ) + 1 atau m+ n

m+ n= 2 k + 1

n =bilangan bilangan gan-il gan-il /

ganj ganjil il itu S9L98 S9L98 yang yang benar benar

m+ n

lc.

)+A/6$)=

5. )idak idak ada bilan ilang gan rasi rasio onal nal sehin ehing gga

2

x =2 . 9kan 9kan dibukt dibuktik ikan an dengan dengan

kontradiksi.

ld.

/ilangan

rasional

dapat

pembagi terkecil !a,b"2( dan

dapat dimisalkan dengan

le.

()

l7. l7.

a =2 2 b

lg.

a = 2b

lh.

idapat

dinyatakan b =0 . Misal

dengan

a  ab ∈ 2 dengan b

x bilangan rasional sehingga

a / b $emudian didapat

2

x =2

2

a =2 b

2

2

2

2

a

a =2 p  p ∈ 2 .

li .

Selanjutnya, 2

2

lj.

a = 2b

lk.

( 2 p )2 =2 b 2

ll.

4 p

2

lm.

2 p

2

= 2 b2

=b2

bila bilang ngan an gena genap p deng dengan an kata ata lain lain

a

genap genap atau

b

2

bilangan genap dengan kata lain

b bilangan genap.

ln.

idapat

lo. lo.

9kib 9kibat at dari dari a adal adalah ah bila bilang ngan an gen genap dan dan b bilan ilanga gan n gen genap deng dengan an

(a  b )! 1 . 8al tersebut kontradiksi dengan de#nisi

7aktor 7aktor pembagi pembagi terkecil terkecil

bilangan bilangan rasional, rasional, sehingga sehingga memisalk memisalkan an

x bilangan rasional S9L98 yang

benar x bukan bilangan rasional. lp.

)+A/6$)=. a1  a2  a3  3  a n

F. Setida Setidakny knya a terdapa terdapatt satu dari dari bilangan bilangan real real

yang lebih dari

atau sama dengan rata-ratanya.

2 +¿ a

lN. lN.

ik iketah etahu ui de# de#ni nisi si dari dari rat rata-r a-rata ata

lr.

9nggap

3 + ¿ 3 + an

n

a1+ a¿ A =¿

a1  a2  a3  3  a n< A ( anggap kebalikannya ) , akibatnya

+ ¿ 3 + an < n / A / 2 + ¿ a 3¿ a1 + a ¿

2 +¿ a ls.

Selanjutnya di didapat

3 + ¿ 3+ a

n a1 + a ¿

n

< A , akibatnya hal ini kontradiksi dengan definisi

¿

rata-rata, sehingga memisalkan

lt.

T!"#$T%.

lu. lv. lv. l. l. l.

a1  a2  a3  3  a n< A

SALAH.

ly. ly. l;. ma. mb. mc. md. me. m7. m7. mg. mh. mi. mj. mk. ml. mm. mn. mo. mp. mN. mr. mr. ms. mt. mu. mv. mv. m. m. m. my. )ugasO (. /erikan bukti kontradiksi kontradiksi !jika mungkin" mungkin" dari' a. 4ika x adalah bilangan genap dan

y adalah bilangan ganjil maka

x + y

adalah bilangan ganjil. m;. enyelesaian' na.

/ilangan ganjil dapat dinyatakan dengan

nb.

p : x bilangan genap dan

nc.

¬ q : m+ n bilangan genap

y bilangan ganjil

nd.

Misal' x =2 p  p ∈ 2 dan y =2 p + 1, p ∈ 2

n e.

Lalu akibatnya x + y =2 k 2 p + y =2 k

n7. ng.

y =2 k −2 p =2 ( k − p )

nh.

y =bilangan genap

ni.

2 k + 1, k ∈ 2

∴

akibatnya akibatnya memisalka memisalkan n

m+ n bilangan genap S9L98, yang

benar x + y bilangan ganjil. b. 4ika x dan y adalah bilangan ganjil maka x / y adalah bilangan ganjil.

n j.

/ilangan ganjil dapat dinyatakan dengan

nk.

p : x blangan ganjil dan

nl.

¬ q : x / y bilangan genap

2 k + 1, k ∈ 2

.

y bilangan ganjil.

nm.

Misal' x =2 p + 1, p ∈ 2 dan y =2 q + 1, q ∈ 2 .

nn.

Lalu akibatnya x / y =2 k 2 ( p + 1 ) y =2 k

no.

y =2

np.

(

k 2 p + 1

)

y =bilangan genap

nN.

∴

nr. nr.

akibat akibatnya nya memis memisalk alkan an

x / y

gena genap p S9L98, S9L98, yang yang bena benarr

x / y adalah bilangan ganjil.

*. )entu entuk kan mana manaka kah h dari dari pemb pembuk ukti tian an-p -pem embu bukt ktia ian n beri berik kut yang yang bena benarr dan dan manak manakah ah yang yang salah. salah. 4ika 4ika pembuk pembuktia tian n benar, benar, indik indikasi asika kan n jenisn jenisnya ya dan jika jika pembuktian salah, indikasikan mengapa pembuktian tersebut salah. ns.

)eorema' 4ika

x da dan

y merupakan bilangan genap maka

x − y adalah bilangan genap.

a" embu embukt ktia ian n (' Misa Misalk lkan an baha aha

x − y

merupakan merupakan bilangan bilangan ganjil. ganjil. Maka Maka

terdapat bilangan -  k seperti x =2 - + 1 dan y =2 k + 1 . engan demikian' x − y =2 - + 1 −( 2 k + 1 )=2 ( - − k ) merupakan bilangan genap.

nt.

x  y adalah bilangan ganjil

nu. nv. nv. n. n.

→ x − y bilangan genap

¬p→q ∴ k#ntradiksi k#ntradiksi bernilaisalah bernilai salah

b" embu embukt ktia ian n *' Misal Misalk kan bah baha a

x − y

adal adalah ah bila bilang ngan an gena genap p dan dan

merupakan merupakan bilangan bilangan ganjil. ganjil. Lalu terdapat terdapat bilangan

-  k sepe sepert rtii

dan x =2 k +1 . engan demikian' n.

x − y bilangan genap

ny. ny.

q ∧¬ p

n;.

∴ k#ntradiksi k#ntradiksi bernilaisalah bernilai salah

∧

x / y bilangan ganjil

x

x − y =2 -

c" embu embukt ktia ian n 5' Misal Misalk kan baha baha terdap terdapat at bilang bilangan an

-

x − y

adalah adalah bilangan bilangan ganjil. ganjil. $emudian emudian

sedemi sedemikia kian n sehing sehingga ga

x − y =2 - + 1 . 4ika

y adalah

bilangan genap, maka pembuktian selesai, jadi misalkan y adalah bilangan ganjil, anggak y =2 k + 1 untuk beberapa bilangan x = x − y + y = 2 - + 1 −( 2 k + 1 )= 2 ( - −k )

oa. ob.

- / engan demikian'

4adi x adalah bilangan genap dan pembuktian selesai.

oc.

¬q→ p

od.

x − y bilangan genap

oe.

¬q → x gen genap y gangan-il il

o7. o7.

¬q → x gangan-iil  y genap nap

og.

¬q → x gan gan-il -il  y gan-i an-ill ∴

oh.

→¬ p

$esimpulan salah karena kondisinya salah

d" embu embukt ktia ian n F' Misa Misalk lkan an

x

adal adalah ah bila bilang ngan an gena genap p dan dan

bila bilang ngan an gena genap p juga juga.. Lalu Lalu terd terdap apat at bila bilang ngan an

-  k

x − y adalah

sedemikian sedemikian sehingga

x =2 - dan x − y =2 k . engan demikian y = x −( x − y )=2 - −2 k =2 ( - −k )

oi. o j.

)erorema x  y bilangan genap → x − y bilangan genap

(k ∧ l )→ q

ok. ol.

k

om.

l

on.

∴q

oo.

∴

$esimpulan $esimpulan /enar, namun pembuktiannya Salah.

e" embu embukt ktia ian n G' Misa Misalk lkan an bah baha

x  y adal adalah ah bila bilang ngan an bula bulatt dan dan

adal adalah ah bila bilang ngan an ganj ganjil il.. Mak Maka terd terdap apat at bila bilang ngan an x =2 - dan

op. oN.

- da dan

k sehingga

y =2 k . Sekarang x − y =2 - −2 k =2 ( - − k ) maka x / y adalah bilangan genap.

)api in ini ko kontradiksi de dengan as asumsi ki kita ba baha

bilangan ganjil, maka pembuktian selesai. or. or.

x − y

x  y bilangan genap

∧ x − y

bilangan ganjil

x − y adalah

p∧ ¬q

os.

∴

ot.

$esimpulan /enar, dari reductio ad absurdum.

7" embuktian H' Misalk alkan baha x − y =2 - + 1

x − y

untuk untuk beberap beberapa a bilang bilangan an

adalah adalah bilang bilangan an ganjil ganjil,, anggap anggap - / 4ik 4ika

x bilangan ganjil maka

x

adalah adalah bilangan bilangan genap, genap,

pembuk pembuktia tian n selesa selesai, i, maka maka sumsi sumsika kan n baha baha

anggap x =2 k untuk beberapa bilangan k. Maka, y = x −( x − y )=2 k − (2 - + 1 ) =2 ( k − - )−1=2 ( k − - − 1 )+ 1 jadi jadi

ou.

y adalah

bilangan ganjil dan pembuktian selesai. x − y =¿

ov. ov.

bila bilan ngan gan ganj ganjil il,,

y =2 ( k − - −1 )+ 1

adalah adalah bilang bilangan an

ganjil o. o.

x =2 k

o.

y =2 - + 1

oy. oy.

x −( x − y )

o;.

−( 2 k + 1 ) 2 k −(

pa.

2 k −2 - −1

g" embukt embuktian ian I' I' Misalk Misalkan an baha baha x dan y keduanya bilangan genap. Maka terdapat -  k seperti baha x =2 - dan y =2 k . engan demikian pb.

x − y =2 - −2 k =2 ( - − k ) , maka x − y adalah bilangan genap.

pc.

x bilangan bilangan genap

pd.

y bilan bilangan gangen genap ap

pe.

x =2 -

p7. p7.

y =2 k

pg.

x − y =2 - −2 k =2 ( - − k ) bilangan ganjil

ph.

p→ q

pi.

∴

embuktian jenis langsung

h" embukt embuktian ian ?' 9sumsik 9sumsikan an baha baha x − y merupakan bilangan genap. Lalu jika x merupakan bilangan ganjil pembuktian selesai, jadi misalkan baha

x adalah bilangan genap. $emudian terdapat bilangan

-  k seperti

baha x − y =2 - dan x =2 k . engan demikian y = x −( x − y )=2 k −2 - =2 ( k − - ) maka

y juga bilangan genap.

pj.

x − y merupakan bilangan genap,

pk.

x =2 k

pl.

x − y =2 -

pm.

y =2 k −1 - =2 ( k − - ) merupakan bilangan genap

pn.

x =¿ bilangan genap.

$etika x bilangan ganjil, maka pembuktian tersebut selesai,

tapi ketika x bilangan genap, seharusnya

y ganjil, maka pembuktian

tersebut salah. po.

∴ Pembu ktian salah

i" embu embukti ktian an ' Misalk Misalkan an baha baha x − y adalah bilangan ganjil, anggap x − y =2 - + 1 untuk beberapa bilangan

- . Lalu jika

anggap x =2 k + 1 untuk beberapa bilangan pp. pN.

k , $ita mempunyai'

y = x −( x − y )=2 k + 1−( 2 - + 1 ) =2 ( k − - )

4adi, y adalah bilangan genap dan kita selesai.

pr. pr.

x − y = bilangan bilangan genap genap

ps.

x =2 k + 1

pt.

x − y =2 - + 1

pu.

y =2 k −2 - =2 ( k − - ) bilangan genap

pv. pv.

¬q→ ¬ p

p. p. p. py. py.

x bilangan ganjil,

∴

embuktian kontrapositi7, bernilai /enar.

j" embuktian (3' Misalkan x dan y adalah bilangan ganjil dan x − y adalah bilangan ganjil. $emudian terdapat bilangan

-  k sedemikian

sehingga x =2 - + 1, y =2 k + 1 . Sehingga kita memiliki' p;. Na.

x − y =2 - + 1 −( 2 k + 1 )=2 ( - − k )

4adi, x − y keduanya bilangan ganjil dan bilangan genap,

sebuah kontradiksi. kontradiksi. x − y bilangan ganjil

Nb.

x / y bilangan ganjil,

Nc.

2 - + 1− ( 2 k + 1 )= 2 - + 1 − 2 k −1 =2 - −2 k =2 ( - − k ) x − y =¿

Nd. Ne. N7. N7. Ng. Nh. Ni. Nj. Nk. Nl. Nm. Nn. No. Np. NN. Nr. Nr. Ns. Nt. Nu.

∴

embuktian $ontradiksi, bernilai benar.

Nv. Nv. N. N. N. )+L=)= M9)+M9)=$9 Ny. Sebelum masuk ke /ab selanjutnya, ada baiknya perhatikan beberapa permasalahan berikut ini, untuk melatih ketelitian. misall a= 1 dan a" misa

N;. ra.

a / a= b / a

rb.

a =a /b

rc.

a − b = ab−b

rd.

( a + b)( a− b ) b ( a− b ) = ( a −b ) ( a− b )

re.

a + b =b

r7. r7.

1 + 1= 1

2

2

2

2

...==

2=1

tida tidak k

rh.

1=√ (−1 ) (−1 )

ri.

(−1 ) √ (− (−1 ) 1=√ (− 1=−1

=(−1) √ −1 =(−

...===

...5 $onte nteks

1=√ 1

rj. c"

$esalahan ada pada langkah langkah ke-=== karena karena !a...= b" adala dalah h 3 dan dan semu semua a bilangan tidak boleh dibagi 3, karena hasilnya

9kibatnya' a2b

rg.

b"

misal misal b= 1

pemb pembic ica araa raan tepa tepat. t. /il. /il.A Aiil iil !

/il. =maginer. $arena $arena si7at si7at bilangan bilangan riil

...>

1 2

rk.

√ −1 = (−1 )

rl.

−1 ( ¿2 ) ¿ √ −1 = ¿

rm.

√ −1 = √ 1

$onte nteks pemb pembic ica araa raan tidak tidak tepat tepat.. $are $arena na si7at si7at bilang bilangan an imagin imaginer er tidak tidak bers berses esua uaia ianJ nJ bert bertol olak ak bela belak kang ang deng dengan an si7a si7att

2 4

4

rn. d"

2

2

cos x =1− sin x

ro. rp.

2

cos x =( 1−sin x )

1 2

2

1 2

1 + c#xx =1+( 1− sin x )

0ila ilai subtitusi  akan berbeda hasil, disebabkan oleh di $uadr uadran an ke-* e-* terd terdap apat at perb perbed edaa aan n nila nilaii posi positi ti7 7 untuk nilai sin, dan nilai

kita

rN.

pilih pilih x : 6 2

1 + cos x =1 +( 1−sin x )

rr. rr.

1 2

1

1 + (−1 ) =1+ ( 1−0 )

rs.

0 =2

rt.

ru.

...>

1 pili pilih h x : 6 2 1 + cos90

rv. rv.

2

0

=1 +(1 −s ¿

2

90

1 0 2

)

1

1 + 0=1 +( 1−1 ) 2

r. r.

1=1 + 0

r.

1=1

ry. ry. e"

113=35

211=23 114= 46

r;.

115=57

sa.

ola' 123 = 37 a b c 2ab 2ab E

jaab'

sb.

=06$S= M9)+M9)=$9

sc.

=nduksi matematika adalah sebuah metode pembuktian suatu teorema atau lemma dengan merujuk pada rumus umumnya. 9rtinya suatu rumus akan dapat dibuktikan benarJsalah dengan meman7aatkan induksi matematik ini.

 =nduksi matematika digunakan hanya untuk permasalahan yang berkaitan 

dengan bilangan asli. :ungsi :ungsi penggunaannya belum jelas sd.

("

Simak pernyataan berikut' 1 2

∀ n ∈ .  1 + 2 + 3 + 3 + n = n ( n + 1 )

!("...deret

n −2

*" 5"

¿ ¿

∀ n ∈ .  ¿

!*"...persamaan aljabar 2

∀ n ∈ .  nis e+enimplies e+en implies n ise+en/

!5"...implikasi

se. ernyataan ke-* dan ke-5 sudah pernah dibuktikan pada bab sebelumnya. Sedangkan pernyataan ke-( ke-( akan kita bahas pada bab =nduksi Matematika kali ini.

s7. Sebelum kita membahas pernyataan ke-(, lebih baiknya kita tahu sebuah aksioma berikut' sg. 9ksioma' rinciple o7 Mathematical sh. =nduction !M="

si. ("

1∈ S

sj. *"

∀ k ∈ .  k ∈ S ⟶ k + 1 ∈ S

sk. sl.

sm.

eret' 1 2

∀ n ∈ .  1 + 2 + 3 + 3 + n = n ( n + 1 )

sn. so.

/ukti' 1 n = 1 ⟶ 1= ( 1 + 1 ) 2

sp.

1=

sN.

2 2

1=1

sr. sr.

!)erpenuhi"

n =k  1 + 2+ 3 + 3 + k =

ss.

st.

k 2

asumsi asumsikanbenar kanbenar /

su.

Selan-u Selan-utnya tnya  akandibuktiknbenar akandibuktiknbenar untuk untuk :

sv. sv.

n =k + 1,1 + 2 + 3 + 3 + ( k −1 ) + k + ( k + 1 )=

k 2

( k + 1 )+( k + 1 )=

( k + 1 ) 2

( k + 2 )

s. s.

( k + 1 ) k + k ( k + 2 ) + k + 1 = 2 2

s.

k + k + 2 k + 2 ( k + 1)( k + 2 ) = 2 2

2

2

2

sy. sy.

k + 3 k +2 2

2

=

k +3 k + 2 2

!)erbukti"

( k + 1 ) 2

(( k + 1 )+ 1)

s;.

+ 10 1+ 2+ 3 + 3 ¿ ¿ ¿2 ¿ 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + 3+ 10 =¿ 1 + 2 + 3 + 3 + 10

ta.

∀ n ∈ .  1

tb. tc. td.

3

n 2

+23 + 33 + 3 + n3= ( n + 1 )2

Bukti : 3

untuk untukn n =1,1 =(

1 2

2

( 1 + 1 ))

1=1

te.

asumsika asumsikan n benar benar untuk untuk '

t7. t7.

k

( k +1 ) ¿ ¿ 3 3 3 3 n =k  1 + 2 + 3 + 3 + k =¿ 2

tg.

th.

akan dibuktik dibuktikan anbena benarr untuk untuk :

(

ti.

k + 1 ( k + 2 ) n =k + 1, 1 + 2 + 3 + 3 + k + ( k + 1 ) = 2

tj.

(

3

k 2

3

3

)

2

(

( k + 1 ) +( k + 1 ) = 3

3

3

k + 1

( k + 2 )

2

() ( + ) ( +( + ) )=( + ) ( ) ( + ) ( + )( + )=( + ) ( ) ( + ) ( + + ) =( + ) ( ) ( + ) ( + ) =( + ) ( ) 2

tk. tl.

tm.

tn. to. tp.

)

2

k ( k + 1)2 + ( k + 1 )2=( k + 2 )2 1 4 2 k 1

k 1

2

k 1

2

k 1

2

2

2

k 4

k 1

2

4 k 1 4

k 4

2

k

4 k 4 4

k 2 2

!)erbukti"

k 2

2

k 2

k 2

2

2

2

1 2

1 2

2

k 2

2

2

1 2

2

1 2

2

2

)

2

tN.

)ahukah )ahukah kamu> 9ksioma disebut kebenaran pangkal, disebut demikian karena aksioma merupakan bahan-bahan aal unt )eorema )eorema adalah kumpulan kumpulan dari aksioma-ak aksioma-aksioma. sioma.

tr. tr. ts.

)erdapat *
a" )unjukk unjukkan an baha baha

p ( 1 ) adalah benar !disebut'&basis step&"

b" )unjukk unjukkan an p ( k ) ⟶ p ( k + 1 ) !disebut'&induction step&" tt. tu. tv. tv. t. t. t. ty. ty. t;. ua. ub. uc. ud. ue. u7. u7. ug. uh. ui. uj. uk. ul. um. un. uo. up. uN. ur.

)ugas

a.

2

∀ n ∈ .  1

us. ut.

+ 22 + 3 + n2=

u. u.

6

/ukti' 2

n =1,1 =

6ntuk

1=

uu. uv. uv.

n ( n + 1 )( 2 n +1 )

1 ( 1 + 1 )( 2 ( 1 ) + 1 ) 6

6 =1 6

9sum 9sumsi sik kan bena benarr untu untuk' k' 2

2

2

n =k  1 + 2 + 3 + k =

k ( k + 1 )( 2 k + 1) 6

u. u.

9kan 9kan dibu dibukt ktik ikan an bena benarr unt untuk uk''

uy. uy.

n =k + 1, 1 + 2 + 3 + k + ( k + 1 ) = 2

2

2

2

(k + 1 )( k + 1 + 1 )( 2 ( k + 1 ) +1) 6

u;.

( k +1 )( k + 2 )( 2 k + 3 ) k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) +( k + 1 )2= 6 6

va.

+ + + ( k +1 ) 2 k k 6 k 6 6

)

( k +1 )

( k + 1 )

(

vb.

6

2

( 2 k + 3 ) ( k +2)=

=

( k + 1 ) 6

6

( k +2 ) ( 2 k + 3 )

( k + 2 ) ( 2 k + 3 )

vc. )89B:4)% vd. b.

∀ n ∈ .  1 + 3 + 5 + 3 + ( 2 n−1 )=n

2

ve.

/ukti' 2 (1 ) −1=( 1) n= 1, ¿

2

v7.

6ntuk

1=1

vg. vh. vh. vi. vj.

9sum 9sumsi sik kan bena benarr untu untuk' k' 1 + 3 + 5 + 3 + ( 2 s −1 ) = s

2

9kan 9kan dib dibuk ukti tik kan ben benar ar unt untu uk'

vk.

)=( k + 1) n =s + 1,1+ 3 + 5 + 3 + ( 2 s−1 ) +( 2 k + 1 )=(

vl.

s + 2 k + 1=( k + 1 )

vm.

( k +1 ) ( k + 1 )= ( k +1 )2

vn.

( k + 1 )2=( k + 1 )2

2

2

2

vo. )89B:4)% vp. c.

(

∀ n ∈ .  1+ 1

−1

) ( 1 + 2−1 ) ( 1 + 3−1 ) 3 ( 1 + n−1 )= n + 1

vN.

/ukti'

vr.

6ntuk

n =1, ( 1 + 1

−1

1 = (1 1 2

vs.

2=2

vt. vu. vu. vv. vv.

)= 1+ 1

9sum 9sumsi sik kan bena benarr untu untuk' k' n = k  ( 1+ 1

−1

) ( 1 +2−1 ) ( 1 + 3−1 ) 3 ( 1 + k −1 ) =k + 1

v. v. 9kan 9kan dib dibuk ukti tik kan ben benar ar unt untuk uk'' v. vy. vy.

+ ( k +1 ) k 2 =k + 2 k + 1

v;.

k + 2 =k + 2

−1

(+)

) ( 1 + 2−1 ) ( 1 + 3−1 ) 3 ( 1 + k −1 ) k + 2 = k + 2

n =k + 1, ( 1 + 1

k 1

( )

a. b. c. ∀ n ∈ .  3 + 11+ 17 + 3 + ( 8 n−5 )=4 n

2

d.

−n

d. /ukti' 2

n =1,8.1−5= 4 ( 1 ) −1

e. 6ntuk

3=3

7. 7.

g. g. 9sum 9sumsi sika kan n bena benarr unt untuk uk'' h.

n =k  3 + 11+ 17 + 3 + ( 8 k − 5 )= 4 k − k 2

i. j.

9kan dibuktikan benar untuk' 2

n =k + 1,3 + 11+ 17 + 3 + ( 8 k −5 ) + 8 ( k + 1 )−5= 4 ( k + 1 ) −k + 1

k.

4 k −k + 8 k + 8 −5= 4 ( k + 1 )

l.

4 k + 8 k + 4 + 4 −k −5= 4 ( k + 1 )

m.

4 k + 8 k + 4 −k − 1=4 ( k + 1 )

n.

4 ( k

o.

4 ( k + 1 )

p. N. r. r. s.

2

2

2

2

2

2

−( k + 1) 2

−( k +1 )

−( k + 1 )

+ 2 k + 1 ) =4 ( k + 1 ) −( k + 1) 2

2

−( k +1 )=4 ( k +1 )2−( k + 1 )

t. u. v. v. . . . y. y. ;. a. b. c. d. e. 7. 7. g. h. i. j. k.  l.

Latihan Soal

(. ik iketah etahui ui'' m. 6ntuk

n =1,1=1

n.

n =2,9=2 + 3 + 4

o. o.

n =3,25 =3 + 4 +5 + 6 + 7

p.

n =4,49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

N.

n =5,81=5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11+ 12 + 13

r. r.

n =10,19 =10 + 3

2

s.

Secara um umum,

t.

/ukti'

u.

6ntuk

v. v.

n + ( n + 1 ) + 3 + ( 3 n−2 ) =(2 n −1)

2

n =1, sudah dibuktikan, dan diasumsikan benar untuk'

n =k  k + ( k + 1 )/ .. + ( 3 k −2 )=( 2 k −1 )

2

. . 9kan 9kan dib dibuk ukti tik kan ben benar ar unt untuk uk'' .

n =k + 1  ( k + 1 ) + ( k + 2 ) + 3 + 3 ( k + 1 ) −2 =(( 2 k +2 ) −1)

y. y.

( k +1 ) + ( k + 2 )+ 3 + 3 ( k + 1 )=( 2 k + 1 )2

;.

( k +1 ) + ( k + 2 )+ 3 + ( 3 k −2 )+( 3 k −1)+ 3 k + 3 ( k + 1 )=( 2 k +1)2

2

ya.

( k +1 ) + 3 + ( 3 k −2 ) =( 2 k −1 )2− k

yb.

( 2 k −1 )2−k + ( 3 k −1 ) +3 k + (3 k + 1 )=( 2 k + 1)2

yc.

4 k − 4 k + 1 − k + 9 k =( 2 k + 1 )

yd.

4 k

ye.

4 k − 4 k + 1 = 4 k − 4 k + 1

2

2

2

+ 4 k + 1=( 2 k + 1)2

2

2

y7. y7. )89B:4)% yg. 1

*.

1.2

+

1 2.3

+

1 3.4

+3+

1 2013.2014

=7

yh.

( )( )( )

yi.

1 1 1 n + +3+ = 1.2 1.3 n ( n−1 ) n + 1

y j.

1 1 − 1 2

+

1 1 − 2 3

+

1 1 − 3 4

+3+

1 1 1 1 2013 − = − = 2013 2014 1 2014 2014

/ukti' n =1,

yk. y l.

1 1 1 1 + + 3+ = 1.2 1.3 1 ( 1− 1 ) 1 + 1

9sumsikan benar untuk

ym. yn. yo.

n =k 

1 1.2

+

1 1.3

+3 +

1

k ( k −1 )

1

k + 1

9kan dibuktikan benar untuk, n =k + 1,

1 1.2

+

1 1.3

+3+

1

( k + 1 )( k + 2 )

yp.

1 k k + 1 + = k + 1 ( k + 1 )( k + 2 ) k + 2

yN.

( k + 1 )( k + 1 ) k + 1 = ( k + 1 )( k + 2) k + 2

yr. yr.

( k + 1 ) k +1 = )89B:4)% ( k + 2 ) k +2

ys.



yt.

=

=

(" 4ika x ( 0, maka yu.

6ji coba'

n

∀ n ∈ .  ( 1 + x ) ( 1 + x

n

k + 1 k + 2

1

1

2

2

yv. yv.

n =1, ( 1 + x ) = 1 + x

y. y.

n =2, ( 1 + x ) ( 1 + x

2

1 + 2 x + x ( 1 + x

y. yy. yy.

3

n =3, ( 1 + x ) = 1 + x

;a. ;b. ;c.

3

1 + 3 x + 3 x

y;.

2

+ x3 ( 1+ x3

9sum 9sums sikan ikan ben benar un untuk tuk

n =k

( 1 + x )k ( 1+ x k n =k + 1

9kan 9kan dibuk ibukti tik kan untu ntuk

;d.

( 1 + x )k ( 1+ x k

;e.

( 1 + x )k ( 1 + x ) ( 1 + x k ( 1 + x )

;7. ;7.

( 1 + x )k +1 ( 1 + x k + x + x k / x

;g.

( 1 + x )k +1 ( 1 + x k + x + x k +1 ( 1 + x k +1

;h.

( 1 + x )k +1 ( 1 + x k + 1

;i. ;j.

)+A/6$)=

*" 4ika x ( 0, maka

n

∀ n ∈ . ( ( 1+ x ) ( 1 + x

n

1, 1 + x ( 1 + x n =1,1 benar.

;k.

$etika

;l.

9sumsikan ba baha x ( 0, k ∈ . dan

;m.

( 1 + x ) x +1=( 1 + x )k ( 1+ x )

;n.

( 1 + x ) x +1 ( ( 1 + x k ) ( 1 + x )

;o.

( 1 + x ) x +1=1 + x k +1+ x + x k

;p.

( 1 + x ) x +1 ( 1 + x k + 1

;N.

∀ n ∈ .  (1 + x ) ( 1 + x

;r. ;r.

)8 9B:4)% 9B:4)%

n

n

;s. ;t. ;u. ;v. ;v. ;. ;. 5"

2

2

∀ n ∈ .  n ' n

;. ;y. ;y.

6ji coba' 2

1, 1 ' 1 , /enar. n =1,1

( 1 + x )k ( 1+ x k .

;;.

n =k

9sum 9sums sikan ikan ben benar untu untuk k 2

k ' k

aaa.

aab. 9kan dibuktik dibuktikan an untuk untuk aac.

( k + 1 )2 ' k + 1

aad.

k + 2 k ' k + 1

aae.

k ' k

n =k + 1

2

2

aa7. aa7. embukti embuktian an benar, benar, namun tidak tidak berlaku berlaku dua dua arah, arah, sedangkan sedangkan dalam dalam =nduksi Matematika dibutuhkan pembuktian dua arah, maka contoh diatas S9L98. aag.

aah. aai. aai.

/ent /entuk uk +kiva kivale len n dar darii =nd =nduk uksi si Mat Matemat ematik ika a

Syarat' 4i 4ika S subhimpunan da dari . maka'

a a j. (.

1∈ S

*.

∀ n ∈ .  {1,2, 3  n } ⊆ S → n + 1 ∈ S

aak. ak. 4ik 4ika . merupakan bilangan asli atau terurut, dan jika

S ∈ .  S

pasti terurut, bilangan terurut mempunyai elemen terkecil ∃ y ∈ S  x ∈ S  x (

aal. 4ika

y/

S ∈ .  S subhimpunan dari bilangan asli, maka

elemen terkecil untuk semua bilangan terurut adalah

∈S

1 adalah

, maka

n +1 ∈ S .

aam. aan. erhatikan erhatikan )eorema berikut' aao. )eorema embagian embagian !)eorema !)eorema SisaJModulo" aap. aap. iber iberik ikan an a  b ∈ . , Selanjutnya terdapat a =b / q + r  dengan

0 ' r< b /

10 ; 3 =3 sisa 1,12 ; 4 =3 sisa 0 atau 2 sisa

aaN. aaN.
q  r ∈ S , sehingga

4 ( tidakberlaku ) sisa harus 4

merupakan bentuk paling sederhana. Maka akan muncul,

q  r akibat dari

ab/

aar aar. /ukt /ukti' i' ib iber erik ikan an a,b a,b kumpulan aas.

∈ .

dide#nisikan

S adalah himpunan dari

r / S ={ a −b / k < k ∈ 2 < a −b / k ( 0 } !Syarat"

9kan ditunjukkan

S !0 ,

a −b .0= a ( 0 akibatnya

ambil 4 = 0 terdapat

aat.

a −b / # ∈ S

dengan terurut, maka S mempunyai elemen terkecil, anggap

r ,

r = a=b / q

dengan

0 ' r< b ,

aau.

9kan dibuktikan

aav.

/erdasarkan de#nisi S, r < b . 4ika,

r ( b  didapat'

aa.

a −b / q− b ( 0

aa.

a −b ( q + 1 ) ( 0

aay.

9kibatnya,

aa;.

$arena

r ( 0 . Selanjutnya akan ditunjukkan

r− b ( 0

r= b ∈ S .

a −b ( q + 1 ) ∈ S atau

r − b ∈ S , sedangkan

r − b < r , berakibat

r bukan

elemen terkecil, hal ini kontradiksi dengan pemisalan yang benar r
r
0 ' r< b

aba.

$esimpulannya

.

abb.

Selanjutnya akan dibuktikan baha

q dan

r adalah

tunggal. abc.

9nggap

q dan

r tidak tunggal, misal'

abe.

( q 1  r 1) dan ( q 2  r 2 ) , akibatnya' a 1 = a2

ab7.

b / q 1 + r 1= b / q 2 + r 2

abg.

r 1−r 2 =bq1− bq2

abh.

r 1−r 2 =b ( q 1−q 2) ......!("

abd.

0 ' r 1< b

$arena

abj.

/erdasarkan hasil !(" dan !*" r 1− r 2 < b

akibatnya abk.

dan

0 ' r 2< b

abi.

didapat

r 1 −r 2 < b

b habis dibagi

, sehingga hanya ada satu kemungkinan yaitu r 1 =r 2

......!*"

r 1 −r 2

namun

r 1− r 2 = 0,

.

Selanjutnya,

r 1− r 2 =b ( q 1 −q 2 )

abl.

0 = b ( q 1− q 2 )

abm.

0 = q1− q2

q1 = q2

abn.

idapat,

abo.

8al ini kontradiksi dengan memisalkan tunggal. 8al yang benar

q dan

q dan

r tidak

r adalah tunggalJunik. )+A/6$)= )+A/6$)=

abp.

Pengantar Dasar Matematika - Logika Matematika

Recommend Documents