ВОВЕД
Квадрат Квадратните ните равенк равенки и ги употреб употребува увале ле Вавило Вавилонцит нцитее уште 2000год. п.н.е.,но нивните знаења не дошле воопшто до израз израз во развој развојот от на Европс Европска ката та наука наука.Ис .Исто то така така овие овие равенки ги употребувале и Грците, но тие ги решавале геометриски,додека Индијанците и Кинезите ги разгледувале негативните негативните корени корени на квадратната квадратната равенка. Голема заслуга во разв развој ојот от на теор теориј ијат атаа за квад квадра ратн тнит итее раве равенк нки и има има математичарот од Средна Азија Ал Хорезми, кој што го дал начинот начинот за изведува изведување ње на формулат формулатаа за реша решавањ вањее на 2 квадратната равенка.Тој ја решава равенката x +10х = 39. Во Европа со овој проблем се сретнува и Леонардо од Пиза во почетокот на 13век. Изведувањето на формулата во општ случај се наоѓа кај Виет,но и тој ги признава само позитивните корени.Подоцна во 16век Италијанските математичари ги додаваат и имагинарните броеви и од тогаш начинот на решавање на квадратните равенки го достигнуваат современиот облик.
Дефиниција и видови квадратни равенки Многу задaчи во алгебрата, физиката, геометријата и техниката се сведуваат на равенки од видот: 3 x 2
− 2 x − 1 = 0,
1 2
x 2
3
− x + = 0,4 x 2 + x − 5 = 0 i dr. 2
ДЕФ: Равенката од видот аx 2 +bх+с = 0 каде што х е променлива а а,b,с се реални броеви при што а ≠ 0 се вика квадратна равенка со една променлива. Броевите а,b,с се коефициенти и тоа а - коефициент на квадратниот член ах2 b - коефициент на линеарниот член bх с - слободен член. Условот а ≠ 0 има суштинско значење бидејќи во спротивен случај равенката нема да е квадратна туку линеарна. пр: пр: 0,2x2 -1,5x = 0 => а = 0,2; b = 1,5; с = 0 х2 -(1 -
2
)х + З
2
= 0 => а = 1;b=
2
44x2 -1980 = 0 ⇒ а = 44;b = 0;с = 1980.
-1: с = З
2
Равенката ах2 + bх+с = 0 е општ вид на квадратна равенка. Ако во неа а=1 тогаш велиме дека таа е во нормален (сведен) вид и се запишува х 2 + рх+q = 0 каде што р што р и q се реални броеви. Ако барем еден од коефициентите а,b,с зависи од некој параметри, велиме дека таа е со параметри или општи коефициенти. пр. (к-3) x 2 - 2х + 5k + 5k + 7 = 0. а=к-3 и с=5к+7 зависат од 0,броевите а,b параметарот к. Ако во равенката ах2 + bx+с = 0,броевите i с се различни од нула, тогаш равенката ја викаме полна квадратна равенка, а ако барем еден од коефициентите b или с е еднаков на нула ,тогаш таа равенка се вика неполна квадратна равенка.Такви равенка.Такви се на пр: ах2 + bх = 0 ; b ≠ 0 ах2+с = 0 с ≠ 0; ax2=0. =0. Формула за корените на квадратните р-ки x =
−b ±
b2
− 4ac
D = b2 –4ac - diskriminanta
2a
а) ако дискримина дискриминантата нтата D >0, во овој случај случај квадратна квадратната та р-ка има два различни i реални корени б) ако дискримин дискриминантатаD антатаD=0, =0, корените корените се се реални реални и еднакви еднакви −b броеви,т.е. р-ката има dвоен корен t.e. x2=x 1= в)ако дискриминантатаD<0, корените на р-ката се конјугирано комлексни t.e. x1, 2
=
−b ±i
− D
2a
ВИЕТОВА
ТЕОРЕМА
Знаеме дека квадратната р-ка ах2 + bх+с = 0 има ко рениte, =
b2
−b −
− 4 ac
2a
i x2=
−b +
b2
− 4 ac
2a
.Aко ги собереме и
помножиме броевите х1 и х2 добиваме: x1+x2=
x1• x2=
−b −
b2
− 4 ac
2a
(−b) 2
−(
b2
4a 2
+
−b +
− 4ac )
b2
− 4 ac
2a
2
=
b2
=
− 2b
2
−b
2a
+ (b 2 − 4ac) 4a
=
=
a
4ac 4a
2
=
c a
Овие својства важат за секоја квадратна р-ка од нормален вид.Тоа прв го докажал францускиот математичар Виет.
Виетова теорема: Ако х 1их 2се корени на квадратната р-ка ах 2 +bх + с=0 (а ≠ о) тогаш за нив важат равенствата: х1 + х2 =
−b
x1• x2=
a
c a
Доколку квадратната р-ка е дадена во нормален вид х2 + рх+q= 0, тогаш Виетовите формули добиваат попроста х1 • х 2
форма: х1 + х 2 = -р
= q.
Но важи и обратната теорема на Виетовата. Ако за броевите х1, х2 важат равенствата х1 + х2 =
c
−b
и х1• х2 = a каде што a а,b,с се реални броеви и а ≠ 0,тогаш х1,х 2 се корени на квад ратната р-ка ах2 + bх + с = 0. ДОКАЗ:Нека броевите х1 ,х 2 ги задоволуваат c
−b
равенствата:x1 + х2 = a ; х1• х2 = a .Од првото равенство следува дека х2 = −b
−b
a
-x 1 .Заменувајќи го х2 во второто равенство −b
c
b
c
2 ке добиеме:х х или –х x=0 1( 1 )= 1 a a 1 a a a т.е. ах12 + bx1 + с = 0 .Според тоа, бројот х, е корен на р-ката ах2 + bх+с = о .На ист начин се уверуваме дека и х2 е коренна истата р-ка.Врз основа на обратната Виетова теорема коефициентите p и q на квадратната р-ка во нормален вид х2 + рх+q = 0 секогаш можеме да ги изразиме преку нејзините корени х1, х2 ,вака: р = -(x1 + х2) и q = х1 • х2. Значи: х2 - (х1 + х2 )х + х1 х2 = 0.
со
− x1
Пp:Состави квадратна р-ка чии корени се x1=-5 x2=3 p= - (x1+x2)= -(-5+3)=2 q= x1•x2 = -5•3 = -15 x2+2x-15=0 1 2
b ) x1 =
1 2
p = -(
x2 -
11 10
x2 = +
x +
3 5
3 5
) = -
3 10
1 2
11
q =•
10
= 0
t.e.
3 5
=
3 10
1 0 x2 – 1 1 x + 3 = 0
БИКВАДРАТНИ
Р_-КИ
За почеток да разгледаме еден пример: х4 - 7х2 +12 = 0
Voveduvame smena: х2 = у у2-7у + 12 = 0 y1, 2 =
7±
49 − 48
=
7 ±1
2
2
y1= 3
y2 = 4
Se vrakame vo smenata: x2 = y x2=3
x2=4
x= ±
x= ± 2
3
Р-ката од видот ах 2 + bх+с = 0 каде што а,b,с се реални броеви и а ≠ 0 се вика биквадратна р-ка.Оваа р-ка е од четврти степен.Во тој случај секоја р-ка има по 4 ко рени.Биквадратната р-ка можеме да ја решиме и без воведување на нова променлива, по формулата. x1, 2, 3, 4
=
−b ±
b2 2a
− 4 ac
ПР: 4х4 + 35x2 - 9 = 0 x1, 2,3, 4
=
x1,2 =
±
x3,4 =
±
− 35 ±
1225
− 144
=±
8 − 35 + 37
8 − 35 − 37
8
− 35 ± 37
8
=±
=±
1 4
=±
1 2
− 9 = ±3i
Ако с=о, тогаш ах4 + bх2 = 0 т.е. х2(ax2 + b) = 0 х=0 ax2+b = 0 Ако b=0, тогаш ах4 + с = 0 ako aс>0 -корените се комплексни ; ako ас<0 -има два реални ,два комплексни
Ако b=с=0 .тогаш х=0.
БИНОМНИ
Р_-КИ
ДЕФ: Р-ките од видот aхn + b = 0; а би-номни р-ки од п -ти степен. x n
=
0; b
≠
0; се викаат
≠
−b
a
b
а) при n = 2k ако a <0 р-ката има 2 реални корени , а ако b a
>0, нема ниту еден реален корен.
б) при n = 2k +1 р-ката има само еден реален корен. Ако пак а и b се кои и да било комлексни броеви, тогаш b
решенијата на р-ката се сите n-ти корени на бројот − a . x n -a = 0
1)Ако а=0 тогаш р-ката има едно решение х=0. 2)Ако а ≠ 0 ,доколку п = 2k и а>0 има два реални корени x1, 2 = ±2 k a ; n = 2k i a<0 - нема реални корени. n = 2k +1; има еден реален корен х = 2 k 1 a . 3)Ако а ≠ 0 е произволен реален број тогаш може да се каже дека во полето на комплексните броеви р-ката има точно п корени. +
х3+27 = 0
Пp:
х3 + 27 може да се разложи како збир на кубови. (х+3)(x 2-Зх + 9)=0 ; х+3=0 х
2
-3х + 9 = 0
1 +i 3
x1 = -3
x2= 3(
2
) i
x3 = 3( (
1 −i 3 2
)
ПР:16х 4-1 = 0
(2х-1)(2х+1)(4х 2+1)=0 [2х-1 = о] [4х2 +1 = 0]
1 х2 = 2
х1 =
−
1 2
х3 =
1 1 x4 = − 2i 2i
[2х + 1 = о] ПР: x 6 -1 = 0 (х 3 -1)(х 3 +1) = 0 (х-1)(х+1) (х 2 + х + 1)(х 2 - х +1) = 0 x1=1 x5 =
х 2 =-1 1 3 +i 2 2
x6 =
х3 = − 1 2
−i
1 2
3 2
+i
3 2
х4 = −
1 2
−i
3 2
ПР: Најди ги сите вредности на
3
−8
.
х3=-8 х3+8 = 0 х3+8 = х3+23 = (х + 2)(х2-2х + 4) (х+2)(х2-2х + 4) = 0 x+2=0 х1 = -2
х =
3
−8
х2-2х + 4 = 0
x 2 , 3 =1±i
Р-ката од видот рхn +q = 0 со смената х = y
3 n
. p q
се сведува на
р-ката уn -1 = 0.Барањето на вредностите од третиот корен се сведува на решавање на р-ки од трет степен од видот х3 ± а = 0 .Ваквите р-ки се викаат биномни р-ки од трет степен.Р-ката од видот хn -а = 0 се вика р-ка од n-ти степен.Со смена х = y a ⇒ y n −1 = 0 n
СИМЕТРИЧНИ РАВЕНКИ Р-ката може полесно да се реши ако левата страна ја разложиме на множители. 2х3-3х2-3х + 2 = 0 2х3 -Зх2 -Зх + 2 = 2(х 3 + 1)-Зх(х + 1) =2(х + 1)(х2 -х + 1)-Зх(х + 1) =(х + 1)(2х2-5х + 2) (х + 1)(2х2-5х + 2) = 0 х+1=0 2х2-5х + 2 = 0
x1=-1; x2=2; x3=
1 . 2
n n-1 2 n-2 Р-ката од видот ах +b х +сх +................+ сх +bх + а = 0 кај
која што коефициентите на членовите еднакво оддалечени од почетокот и крајот се еднакви се вика симетрична р-ка.Ниеден од корените не е еднаков на нула бидејќи a ≠ 0 . За овие р-ки важи и ова својство: Ако а е корен на симетричната р-ка тогаш и
1 α
е нејзин корен.
ДОКАЗ: Aко х=а а
n
+b
an(a+ a≠
n-1
0
b α
n-2
+с
+
c α
2
+.........+ сaг +b
+ ......... +
c α
n−2
+
b α
n −1
+а=0
+
a α
n
)=0
1 a( ) n
1
+ b(
α
) n −1
+ c(
α
1
) n −2
+ ......... + c (
α
1
)2
α
+ b(
1
)+a
=0
α
Поради ова својство симетричните р-ки ги викаме уште и реципрочни р-ки од тpет, четврт и pетти степен. ОДТРЕТ СТЕПЕН:ax 3+bх 2+bх + а=0 ах3 +bх2 +bх + а = а(х3 +1) + bх(х + 1) =а (х + 1)(х2 - х +1) + bх(х +1) =а(х + 1)(аx2 + (b-а)x + а) х+1=0 2
+(bах а)х + =а 0
секогаш еден од корените е -1. ОД ЧЕТВРТИ СТЕПЕН: ах4 + bх3 + сх2 + bх + а = 0 а(х4 + 1) + b(х 3 +х) + cx2 =0
1
а(х2 +
) + b(x+
x 2
smena: y= x+ x2 + 2x
1
+
x
x2 + 2 +
т.е х 2+
1 x
2
1
x 2
1
x 2
)+с=0
x /()2
x
1
1
= y2
= y2
= y-2
т.е
а(у2 - 2) + by + с = 0 x+
i
x+
1
= y1
x 1
= y2
x
х2 – y1x + 1 = 0 х2 - y2x + 1 = 0
Pr: 6х4 + 5х3 - 38х2 + 5х + 6 = 0 6(х 2 +
1 x
2
) + 5(х +
1
x
) - 38 = 0
x+
1
x
=y
x 2
+
1 x
2
= y
2
−
2
t.e. 6y2 + 5y – 50 =0
6(y2 – 2)+5y –38 = 0 y1=
−
10 3
y2=
5 2
t.e. 3x2 + 10x +3 = 0 i 2x2 – 5x +2 = 0
x1 = -3
x2 =
−
1 3
x3 = 2
ИРАЦИОНАЛНИ
1 2
x4 =
Р_-КИ
Равенката во која барем eден нејзин член е ирационален израз во однос на променливата се вика ирационална р-ка. пр: x − 2 + x = 3; 3 x − 2 + x +1 = 3 ; х2-х + 2 x 2 - x – 1 =4 и др. Ирационалните р-ки ги решаваме само во множeството на реалнитe броеви.3атоа,на пример р-ката x − 3 = - 1 нема решение, бидејќи нeјзината лева страна е ненегативен број, т.е. x −1 ≥ 0 додека р-ката 3 x − 3 = -1 има решениe - 2.На пр. вo р-ката x + 1 + 3 x − 2 = 3 квадратниот корен x +1 добива реални вредности само при x +1 ≥ 0 ,т.е. при х ≥ −1 9 = .Така на примeр за х=8 тој добива реална вредност З.Меѓутоа кубниот корен 3 x − 2 има смисла за секоја реална врeдност на х но и тој за сeкоја фиксна реална вредност на х на пр:х=1 или х=10, добива единствена фиксна реална вредност на пр: 3 −1 = −1или 3 8 = 2 . Спорeд тоа, коренот x +1 опрeдeлен само кога х зема вредности од интeрвалот x +1 има област на определеност (-1; ),а коренот 3 x − 2 -област на опрсдсленост.Заедничкиот дел на тие две области се вика област на определеност(ООП) на р-ката или област на мeнување на непознатата на р-ката(ОМН). ДЕФ: Област на определеност на равенката се вика пресекот од областите на опредeленост на одделните изрази што влeгуваат во состав на равенката. пр. 1: Областа на опрсделеноста на р-ката x −1 + x −1 = x x 2
x − 1 ≥ 0 ја наоѓаме од системот на равенки: x − 1 ≥ 0 x ≥ 0 2
од каде до-
биваме x ≥ 1 или х е[1, }.
Очигледно е дека ниедна вредност на нeпознатата x,што не и припаѓа на област на определeност не може да биде решение на равенката. Според тоа акоО.О.P е празно множество, tогаш бeз да ја решавамe р-ката со сигурност можеме да тврдиме дека таа нема решение. пр.2: x − 5 + 2 − x = 8 х ≥ 5 има смисла, а вториот корен само при х ≤ 2 . Бидејќи [5, ) ∩ (- ,2]= ,дадeната р-ка не е определена ни за една реална вредност на непознатата х. Според тоа, таа нема решениe.
pr.3
x
−4 +
3 −x
x − 4 ≥ 0 3 − x ≥ 0
=15
x
≥4
x
≤3
D = [4;+ ) ∩ (- ;5]= Основниот метод за решавање на ирационалните р-ки се состои во ослободувањето од корeнитe во нив, со што тие се сведуваат на некоја рационална равенка.Со таа цeл двете страни на равенката ги степенуваме со ист показател.Но дали со ваквата постапка се добива р-ка што е еквивалентна на дадената? Одговорот е одречен. Ако бројот и е парен,тогаш степенувањето на двете страни на една р-ка со стeпен и не е еквивалентна трансформација. Т .Ако дветe страни на р-ката f (x)= (x)(1) gi квадрирамe,ќe ја добиеме р-ката [ f (x)]2 = [ (x)]2(2) ,која во општ случај не е еквивалентна на дадената равенка.
DОКАЗ: [ f (x)]2 = [ ⇔
⇔
(x)]2
[ f (x) -
⇔
[ f (x)]2 - [
(x)][ f (x) +
(x)]2 =0
(x)] = 0
⇔
⇔
( x ) ( x) =0 f ( x ) =ϕ f ( x) −ϕ ⇔ f ( x) +ϕ ( x ) ϕ ( x) =0 f ( x ) =−
Значи р-ката 2 е задоволена освен за решенијата на р-ката 1
уште и за решенијата на р-ката 3) f (x) = - (x) Според тоа р-ката (2) не e еквивалентна со р-ката (1).Во овој случај велиме дека р-ката (2) е поcлeдица од р-ката(1) и пишуваме : f (x) = - (x) ⇒ [ f (x)]2 = [ (x)]2 Од оваа тeорема заклучуваме дека треба да провериме дали секој корен на добиената рационална р-ка е корен на појдовната ирационална равeнка. пр.4) x − x −1 = 3 x − 1 ≥ 0 t.e. D=[1, ) Со квадрирање на двете страни добиваме ирационална р-ка. Но ако коренот x −1 го оставиме сам на една страна и тогаш ги квадрираме двете страни, добиваме рационална:
равенка:
x
−
( x
− 3)
x 2
x1, 2
=
7±
x
− 1 = 3 ⇔ x − 3 = 2
=
x
−1
x −1
− 7 x + 10 = 0
49 − 40 2
=
7 ±3 2
x1 = 5............x 2 = 2 Proverka: за х = 2 ⇒ 2 − 2 −1 = 3 ⊥ za x = 5 ⇒5 − 5 −1 = 3 Τ Според тоа р-ката има само еден корен x = 5
Pr:
2 x
+1 −
x
−3 = 2
2 x
+1 −
x
−3 = 2 ⇔
2 x
+1 = 4 + 4
x
2 x + 1 = 2 + x − 3 /
2
⇒ 2 x + 1 = ( 2 +
x
− 3)
2
⇔
− 3 + x − 3
Добиваме пак ирационална р-ка, но со еден корен. 2 x + 1 = 4 + 4 x − 3 + x − 3 ⇒ x = 4
x
2
x
− 3 ⇒ x
2
= 16( x − 3) ⇒
− 16 x + 48 = 0
256 − 192 2 x1 = 12 .......... .... x 2 = 4 x1, 2
=
16 ±
Проверка: x = 4 ⇒ x
= 12 ⇒
=
16 ± 8 2
8 +1 − 24
4 −3
+1 −
12
=2 −3 =2
Т Т
р-ката има два корени x1 = 4........x2=12 Но можс да има и р-ки со три/чет i ри корени, Но чeсtопати при решавање на ирационалната равенка воведувамe и нeкои променливи.
ДРОБНО РАЦИОНАЛНИ Р-КИ КОИ СЕ СВЕДУВААТ НА КВАДРАТНИ Р-КИ Р-ката во која променливата сe содржи и во именитeлот на нeкоја дроpка се вика дробно-рационална р-ка.На
primer:
1 − x x
=
2 x
;
x
x + 2 x − 2
+
5 x + 2
Дробно-рационалниот израз
=
1 − x x
8 x 2
−4
;
i dr.
e прeделен(дефиниран) за
секој реален број х, освен за х=0.Велиме дека изразот 1 − x x
има D1 = R\{0}.Во таа смисла D2 = R\{-2} e дeфинициона
област на изразот
2 x x + 2
.Пресекот на овиe D e D на
р-ката.При нивно решавањe сe користат неколку постапки: 1 ги разложувамe имeнителите на множители. 2 ја одредуваме D на р-ката. 3 се ослободуваме од дропките со множeњe на цeлата р-ка со Н.З.С. за нивнитe именители. 4 ја решаваме добиената цела рационална р-ка. 5 ги проверуваме решенијата. пр:
x x − 2
+
5
=
x + 2
8 x 2
−
4
/ (x - 2)(x + 2)
⇒ D x ∈ R\{2,-2}
x(x+2)+5(x-2)=8 x2+7x-18=0 x1,2=
−7 ±
49 + 72 2
=
− 7 ± 11
2
x1 =2.......x 2 = -9 бидејќи 2 ∉ D следува дека х=-9 е
коренот.
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ Р-КИ Р-ките во кои непознатата се наоѓа во степеновиот пока-зател се викаат експоненцијални р-ки. пр:3 x = 1;(
2 x 9 ) = ;2 х =3;4 х-1 =2 x+3 -28;.......... 3 4
Решавањето на овие р-ки ќе го вршиме во множеството на реалните броеви,т.е. ќе ги бараме само нивните реални решенија . За онаа р-ка која нема реални решенија велиме дека е нерешлива во множеството на реалните броеви.За решавање на експоненцијалните р-ки постојат некои правила. 1.Експоненцијалната р-ка, која со идентични трансформации може да се доведе во обликот: а f (х) = аq(x) f(x) = q(x ) x +1
пр: 2
x
1 * ( ) x +1 2
x +1
=1
⇒2
* 2 − x −1
2
= 20
− x +1
x
2 x 2 x1
=2
0
−1 = 0 . .
= −1..........
... x 2
Пр: Зх+1 + Зx-1 + Зx-2 = 5x + 5x-1 + 5x-2 3 x
3*3x +
31 9
3
3 x
=
+
3 x 9
31
5 x 5
+
5 x 5
⇒
+
5x 25
5 x
25
x
=5 + x
=1
2
3 = 3 5 5 x=2
2. Експоненцијална р-ка која со трансформација може да се доведе во обликот: a f ( x )
=b
q( x)
а>0 ....... a ≠ 1 b>0 ....... b ≠ 1
Со логаритмирање: f (х) •logа = q(х) •logb пр: 2x+2 =2x +81
4•2x – 2x = 81 2Х=27 2Х = 33 х=
3 log 3 log 2
≈ 4,755
3.
Експоненцијална р-ка која со трансформации може да се доведе до обликот: f(aq(x) ) = 0 aq(x) = t f(t) = 0
Aко t1,t2,......... tnсе решенија на р-ката f (t) = 0,решенијата на р-ката f (аq(x) ) = 0ги определуваме решавајќи ги експоненцијал ните р-ки. аq(x) = t
1
аq(x) =t 2 aq(x) =t
n
5x-5 3-x =20 5x -
пр:
125 5 x
− 200 = 0
5x = t t2 –20t-125 = 0 t1 -5..........t 2 =25 5x =-5............5x =25 ............................. x
=2
пр: n 2( x
n
x
+
1
x
) − 5 = 0 )-5 = 0
= t
2t2 - 5t + 2 = 0 t1 = n
1 .................t2 = 2 2
x =
1 ............ n x = 2 2
x = 2 –n ................x = 2 n
ЛОГАРИТАМСКИ Р-КИ Р-ките во кои непознатата се наоѓа во логаритмандот или вo логаритманската основа , се викаат логаритамски р-ки. Пр: log(х2-15) = 1;logх + 2х = 0;log(х-1)2=logx2....................................
Логаритамските р-ки се разгледуваат во множеството од реалните броеви. 1.
Логаритамската р-ка која со трансформации се доведува во обликот: loga f(x) = logaq(х)...........(*) f(x) = q(х)
(**)
......................
Секое решение на р-ката (*) е и решение на р-ката (**), но обратното не важи. пр:
log2(x + 2) + log2(х +14) = 6
log2(x+2)(x + 14) = log 264 (x2 + 2)(x + 14) = 64 x +14x+ 2х+28 = 64 х2+16x-36 = 0 х 1 =-18 ...........х2 =2
Проверка: х=-18 log2(-16) + log2(-4) содржи негативни логаритманди и не е решение на р-ката. х = 2 log4 + 1оg16 = 6
според тоа х=2 е решение на р-ката. 2. Логаритамска р-ка која со трансформации се доведува во об(*) ликот: f(log aq(x)) = 0 log аq(х) = t f (t) = 0 ................. (**) Ако t1,t2.............tnсе решенија на (**), тогаш решенијата на рката (*) ги определуваме решавајќи ги логар итамските р-ки. logaq(x) = t 1 logaq(x) = t2 ........ logaq(x) = tn
Пр: 1 5 − log 2 x log 2 x 1
2
+
1 + log 2 x
= t
2
=1 5 − t 1 + t (1 + t ) + 2(5 − t )
t 2 t 1
+
= (5 − t )(1 + t )
− 5t + 6 = 0 = 2..........
log 2 x
x
=1
... t 2
= 2........
= 4..........
=3
log 2 x
...... x
=3
=8
p r ; 5 2
log5х + log55 = 1
log a x= log a x 1
log 5 x+ log x 5
=
5 2
log 5 x = t t +
1
=
t
5 2
t1 = 2...........t 2 = x=
pr:
1 2
5 ......... x =25
xlogx = 10x logx*logx = log100 +logx logx = t t2 = 2+t t = 2............t = -1 x=100..........x=0,1
ТРИГОНОМЕТРИСКИ Р-КИ Р-ки во кои непознатите се наоѓаат само како аргумент на
тригонометриските ф-ии се викаат тригонометриски р-ки. Пр:
2
x
3
2
sinx = ; tg
= cos x + 1; sin
2
x + 2 cos x − 3 = 0........
Под поимот "да се реши една тригонометриска р-ка" како и при алгебарските р-ки , ќе подразбираме да се определат сите нејзини решенија ако ги има, а ако ги нема , да се констатира тоа.При решавање на тригонометриските р-ки се користат идентични трансформации со чија помош се добиваат еквивалентни р-ки , но ако при решавањето на некоја р-ка се укаже потреба да се користи трансформација која води кон неидентична р-ка , тогаш треба да се провери дали добиените корени се решенија на р-ката. pr: 2sin2x-7sinx + 3 = 0 sin x = t 2t 2-7t + 3 = 0 1 2
t1 =
t =3
............. 2
sin x =
1 ...........sin x = 3 2
Последната р-ка нема решение, бидејќи а>3, а корените на првата р-ка што претставуваат и корени на дадената р-ка се: х = 300+k360°.................х = 150°+k360°
pr:
2 sin x − cos x − 1 = 0 : 2
go zamenuvame sin 2 x so 1cos 2 x
2(1 - cos2 х) - соѕх -1 = 0 22соѕ 2 х-соѕх-1 = 0 2соѕ2х + соѕх-1 = 0 соѕх =t2 2t 2+t-1 = 0 t1=
1 2
соѕх =
.......... t 2
= −1
1 .........соѕх = -1 2
х = 60°+k:3600
х = 300°+k360° корени на р-ката соѕх = -1 за k = 0; k = ±1; k = ±2;.... 3tgx-2cosx = 0
3 sin x
− 2 cos x
=0
cos x 2
3sinx-2cos
x=0
3sinx-2(l-sin 3sinx-2 + 2sin
2
x) = 0
2
x=0
2sinx + 3sinx-2 = 0 sin 1, 2
=
sinx =
−3 ±
1 2
9 + 16 4
=
.......... . sin x
решенијата ce:
−3 ±5
4 = −2
х = 30°+k360° x = 150°+k360° k = 0; k =
±1 ;
k=
± 2 .........
np: 3sin2 x - 4sin xcosx + cos2 x = 0 делиме со cos2 x 2tg 2 x-4tgx + l = 0 (tgx)
1
=1 ........(tgx)2=
1 2
x = 45° = k180° x = 26°30'+k180°
Primena na kvadratnite ravenki Vo razni oblasti od naukata i praktikata(vo algebrata, geometrijata, fizikata) mnogu ~esto sre\avamezada~i koi baraat sostavuvawei re[avawe na kvadratnite r-ki so edna promenliva. Nivnata primena \e ja ilustrirame preku najrazli~ni primeri: ------------во
алгебрата--------
пр:1 Збирот на цифрите на еден двоцифрен број е 11, а производот на тој број и неговиот обратен- напишан со истите цифри но со обратен ред- е З154.Кој е тој број? —Ако х—цифра на единици 11-х—цифра на десетки 10(11-х) + х—110-9х а обратниот 10х+(11-х)=9х+11 (110-9х)(9х+11)=3154
х2-11х + 24 = 0
корените се 3 и 8. Според тоа има два броја што ги исполнуваат условите на задачата =38 и 83, пр:2 Цифрата на единиците на еден двоцифрен број е за 2 помала од цифрата на десетките.Производот од тој број и збирот на неговите цифри изнесува 900,Кој е тој број? ------х-цифра на десетки х е (2,3,4,.......) ------х-2—цифра на единици 10х+(х-2)—двоцифрен број х+(х-2)—збир на цифрите (10х+(х-2))(х+(х-2))-900 11x 2-13x-448 = 0 x1=7..............x
2
=
−
цифрата на десетките е 7, а на единиците 7-2=5, а двоцифрениот број е 75. -----------во
геометријата--------
пр:1 Страната на квадратот АВСD___ е 6 см.На страните се нанесени еднакви отсечки AK;BL;CM;DN:-Најди ја должината наотсечката АК, ако.Рна КLМН=16ст 2 AK = x
B = 6- x K
∆ КВL; ∆LCМ; ∆MDN; ∆NAK се складни. КL 2
=х 2+(6-х)г
Од услов: P KLMN = 16 KL2 = 16 16 = x2 + (6 - x)2 x2 – 6x + 10 = 0
x1, 2
=
6±
36 − 40 2
=
6±
−4
2
Оваа р-ка нема реални корени па следува дека задачата нема решение. пр:2 Должините на страните на еден триаголник се 5см.;9см;13см.3а колку треба секоја од нив да се продолжи со еднаква должина за да се добие правоаголен триаголник.
(5 + х)2+(9 + х)2=(13 + х)2 25 + 10х + х 2 + 81 + 18х + х2 = 169 + 26х + х 2 2х2 + 28х +106 = х2 + 26х +169 х 2 +2х-63 = 0 x1, 2
=
−2±
4 + 252 2
=
− 2 ± 16
2
x1=7.......x2= -6 ------------во
физиката-------
пр:1 Еден воз растојание од 650км. го минува за Зчаса побрзо од друг воз, чија брзина е за 15км/час помала од брзината на првиот воз.Најди ги брзините на возовите. X км/час—брзина на првиот воз. (х-15)км/час =/= на вториот воз. 650 x
часа време на првиот воз
650 x
−15
650 x
часа
+3=
време на вториот воз.
650 x
− 15
х2 -15х-3250 = 0 х1 =-50...x 2 =65 -----------во
некои други случаи---------
------Еден
работник сам работи 7 дена на една работа, а потоа доаѓа друг работник и ја завршуваат работата уште за 8 дена заедно.За колку дена секој од нив може сам да ја заврши работата ако вториот од нив ја завршува работата за 5 дена по малку,одколку првиот? х—денови(првиот) х-5-денови(вториот) 1
ти дел од работата(1)
x
1 x
−5
тидел(2)
P рвиот работник работи 15 дена и ќе заврши
15 x
работата, вториот работи само 8 дена и ќе заврши
ти дел од 8 x
−5
ти дел
од работата. 15
8
+
x
x − 5
=1
х2-28х + 75 = 0 1
х= З . . . . x2 = 2 5
Првиот работник ја завршува работата за 25 дена,а вториот за 20 дена. пр:2 Група ученици требало да соберат 6000ден. Двајца од нив се откажале затоа преостанатите морале да доплатат уште 150 ден.Колку ученици имало во групата? х-бр.на ученици. 6000
6000
=
x
x
6000 ( x
−2
+ 150
− 2) = 6000 x + 150 x
− 150 x
2
150 x 2
− 300 x + 12000 = 0
2
− 300 x
+ 300 x − 12000 = 0
ЗАКЛУЧОК: Значи,од сето ова можеме да дадеме еден општ заклучок во однос на квадратните р-ки.Забележавме дека имаат голема примена како и во областите од математиката, физиката, техниката, така и во секојдневниот живот.Тие постоеле уште од п.н.е.,а нивниот развиток и усовршување продолжува до ден денес.
СОДРЖИНА
Вовед 1.Дефиниција и видови квадратни р-ки. 2.Формула за корените на квадратната р-ки. З.Виетова теорема. 4.Биквадратни р-ки. З.Биномни р-ки. 6.Симетрични р-ки. 7.Ирационални р-ки. 8.Дробно-рационални р-ки кои се сведуваат на квад ратни р-ки. 9.Експоненцијални р-ки. 10.Логаритамски р-ки. 11 .Тригонометриски р-ки. 12.Примена на квадратните р-ки во алгебрата,геометријата,физиката,и во некои други случаи. 13.Заклучок. Sodr`ina .
КОРИСТЕНА ЛИТЕРАТУРА 1.Енциклопедија на елементарната математика-Белград 1968год. (првдел) 2. Алгебра (за втор клас на средно образование) Скопје-1987год. Глигор Тренчевски;Илија Јанев. З.Математика (за втора година на природноматематичка струка) Скопје—1990год. Илија Јанев;Глигор Тренчевски;Никола Петрески; Иван Трајков. 4. Алгебра (за трет клас математичко- физичка насока) Скопје 1977год. Глигор Тренчевски З.Математика (трета година на средно образование) Скопје—1989год.
