DAFTAR ISI
BAB I
DERET
BAB II
BILANGAN KOMPLEK
BAB III
ANALISIS VEKTOR
BAB IV
ANALISIS KOMPLEK
BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE
BAB VI
PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB VII
DERET FOURIER
BAB VIII
FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELLIPTIK
BAB IX
TRANSFORMASI KOORDINAT
BAB X
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE
DAN LAGUERE.
BAB I DERET comparis on tes tes t ) Uji banding ( compa 1. Jika suku demi suku dari deret u n an , dimana a n adalah deret konvergen maka deret u n juga konvergen. konvergen. a n = deret geometri
2. Jika suku demi suku deret vn bn , dimana bn membentuk deret divergen, maka deret v n juga divergen. bn =deret harmonic
Uji Integral ~
Diandaikan
deret
positif
a n yang
suku-sukunya
memenuhi
sifat
n 1
an1 a n . Jika dapat ditentukan fungsi positif f (n) yang turun untuk n 1 dan ~
f (n) an maka deret yang diberikan akan konvergen jika integral I f (n).dn 1 ~
berhingga(finite). Sebaliknya integral I f (n).dn tak hingga (infinite) maka deret 1
divergen.
Uji Rasio
Rasio suku ke- n
n
a n 1 an
Informasi konvergensi
lim lim
n n ~
Jika a. 1 , maka deret itu konvergen b. 1 , maka deret itu divergen c. 1 , boleh jadi konvergen/divergen(harus di uji dengan metode lain)
Uji Pembanding Khusus
Deret yang di uji S
~
a
n
n 1
Deret pembanding a. Konvergen B
~
b
n
n 1
b. Divergen D
~
d
n
n 1
Aturan ~
1. Jika
bn adalah deret positif dan konvergen an 0 . Jika n 1
berhingga maka S
an bn
bernilai
~
a
n
adalah deret konvergen.
n 1 ~
deret positif divergen a n 0 , jika 0
d n adalah
2. Jika
n 1
S
an d n
~ , maka
~
a
n
adalah deret divergen.
n 1
Uji Konvergensi Deret Bolak-balik 1. Jika semua suku dianggap positif tetapi S konvergen maka disebut deret konvergen mutlak (konvergen absolut) 2. Semua suku diambil absolutnya sehingga S adalah deret divergen maka S boleh jadi divergen atau konvergen, perlu diuji lagi dengan metode lain Teorema untuk menguji konvergensi deret bolak-balik
Teorema “ Sebuah deret bolak -balik disebut konvergen bila nilai mutlak deret itu berkurang secara tunak menuju nol, dan bila an1 an serta
lim lim n ~
an 0
Aturan yang berkaitan berkaitan dengan dengan konvergen konvergensi si sebuah sebuah deret 1. Konvergensi/divergensi sebuah deret tidak berubah oleh pengalian dengan tetapan, namun dapat berubah oleh penjumlahan ~
2. Jika
n 1
~
a n dan
b
n
keduanya
diketahui
konvergen
maka
operasi
n 1
penjumlahan dan pengurangan dari kedua deret itu menghasilkan deret baru yang konvergen juga.
3. Deret konvergen mutlak, bila suku-sukunya disusun kembali maka tidak akan mengubah konvergensi deret tersebut.
a
konvergensi mutlak deret mutlaknya
a
n
n
dikatakan konvergen mutlak jika deret nilai
konvergen.
Uji Akar Cauchy ~
an c
n 1
lim
n ~
n
an
c 1 konvergen c 1 konvergen c 1 uji akar Cauchy tidak memberikan kesimpulan
Deret Taylor
f x
~
f a n
x a n
n 0
f ( x) f ( a ) f ' ( a ) ( x a)
n!
f ' ' ( a ) 2!
( x a) 2
n
f ' ' ' ( a )
( x a) ....
3!
Deret Maclaurin Merupakan deret Taylor dengan a 0
f x
~
x n
f 0 n! n
n0
f ( x) f (0) f ' (0) x
f ' ' (0)
x 2
f ' ' ' ( 0)
x ...... 3
f n (0)
2! 3! Deret Maclaurin dari berbagai fungsi
Fungsi
n!
Deret Maclaurin
sin x
x
cos x
1
e x
x 3 3! x 2 2!
1 x
e x
1 x
ln1 x
x
x 2 2
x 5 5! x 4
2! x 2
2!
x 3 3
7! x6
4!
x 2
x7
x3 3! x3
3!
... ...
x4
p p 1 2 p p 1 p 2 3 x x ... 2! 3!
4
... ...
6!
Deret Binomial Newton
1 x p 1 px
x n
...
f ( a ) n!
( x a) n
BAB II BILANGAN KOMPLEK z x iy dan z * z x iy
Modulus z r z z Sifat-sifat modulus z 1 z 2 z 1 z 2 dan z 1 z 2
z 1 z 2
Jika r z x iy
dz d z dz dt dt dt
v
a
d 2 z 2
dt
Impedansi
Z R i L
1 C
1 Z R L C
2
2
Deret Geometri
a 1 r n
S n
1 r
z re i z n r n e in
e cos i sin i 2
n
z re 1 n
i
cos n i sin n
r e n r cos i sin n n
1 n
i n
1 n
BAB III ANALISIS VEKTOR
A A A
A A A
A B B A A B
A B B A B A A B A B
A B B A A B B A A B 2 0
(CURL GRAD )
A 0
( DIV CURL A)
A A 2 A Integral garis : p2
A d r
p1
A d r
C
A dx A dy A dz x
C
Integral permukaan
S
A d a
S
A nda ˆ
A n ˆ
dxdy n k ˆ
y
z
Catatan khusus untuk integrasi permukaan 1. Parameter dalam koordinat kartesius da
dxdy n k ˆ
2. Parameter dalam koordinat silinder ndA a xi yj d dz dengan a = jari-jari ˆ
3. Parameter dalam koordinat bola ndA xi yj zk a sin d d ˆ
Teorema Divergensi Gauss
AdV A ndS ˆ
V
S
Teorema Stokes
A d r
C
A ndS ˆ
S
Mdx Ndy
C
N M R x y dxdy
BAB IV ANALISIS KOMPLEK Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat orthogonal/kartesius
u v x y
dan
v u x y
Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat polar
u 1 v r r
dan
1 u v r r
Persamaan Laplace
2u 2u 0 x 2 y 2
2v 2v 0 x 2 y 2
dan
Suatu fungsi disebut analitik jika memenuhi persamaan Cauchy Rieman atau persamaan Laplace Integral lintasan
f z dz u ivdx idy f z dz udx vdy i vdx udy C
C
C
C
Rumus Integral Cauchy
C
f z
n!
2 i
f n a
C
z a z 1
dz
Residu a1
lim
d m 1
1
z z
m
z z 0 m 1! dz m1
0
f z
Integrasi Residu0
f z dz 2 i. jmlh residu f z di dlm C C
Deret Taylor
f z
~
f z n
z z 0 n
0
n!
n 0
Deret Maclaurin
f z
z n
~
f 0 n! n
n 0
Integrasi Trigonometri 2
Integral bentuk
f cos , sin d 0
Lakukan subtitusi cos
Integral bentuk
~
~
z z 1 2
1
, sin
z z
f x dx
Penyelesaiannya adalah
~
~
~
~
f x dx 2 i
residu f diatas sumbu x
f x dx 2 i
residu f dibawah sumbu x
2i
, dan d
dz iz
BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE
L f t
~
t 0
e st f t dt
f t
L f t
1
1
s t
1
s 2 t n
n! s n 1
e at
1
s a sin at
a
s
2
a2
cos at
s
s
2
sinh at
2
a2 a
s
2
s
2
cosh at
a2 s
e iat
a2 1
s ia Rumus-rumus
d n
L t f t 1
f s f t dt f u du L s t 0 u 0
f t f s ds L t s s
1 f t L1 f ' s t
n
n
ds
n
f s , f t di laplace_kan dulu
t
t
1
~
d n F s n n L 1 t f t n ds 1
Penyelesaian persamaan differensial dengan transformasi Laplace 1. Persamaan differensial → y t atau y x 2. Kenai transformasi Laplace pada kedua ruas kanan dan kiri sehingga menjadi y s 3. Kenai syarat batas/syarat awal, misalnya y0 0 4. Bentuklah fungsi y f s 5. Kenai invers transformasi Laplace L1 y f ( s) L1 f ( s) f t
Rumus transformasi Laplace dalam persamaan differensial L y y L y ' sy y 0 L y ' ' s y sy0 y 0 2
'
L y ' ' ' s y s y 0 sy0 y 0 3
2
'
''
L y n s n y s n 1 y 0 ...... y 0n 1
Integral Bromwich
f t
1
c i ~
f t e
zt
2 i c i ~
dz
Konvolusi t
1
L
f t g t du
f ( s) * g ( s)
u 0
BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Bentuk Umum Persamaan Diferensial a0 y a1 y'a2 y' '... b y ' '
d 2 y dx
2
y'
dy dx
y merupakan peubah gayut (diatas)
x merupakan peubah bebas (dibawah)
PD Linier dan Non-Linier
PD Linier bila a0 , a1 ,.... dan b adalah tetapan
PD Non-Linier bila a0 , a1 ,...... dan b f (peubah gayut)
PADA Homogen dan Non-Homogen
PD Homogen bila b 0
PD Non-Homogen bila b 0
Persamaan
dy dx
x 3 y 2 x
adalah salah satu contoh PADA homogen, sifat ini
ditentukan oleh kenyataan bahwa pangkat x dan y yang terlibat dalam masingmasing suku sama derajatnya (dalam hal ini berpangkat 1) kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan subtitusi y vx .
PERSAMAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA 1. Orde suatu persamaan diferensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan ini. 2. Sebuah persamaan diferensial berorde n diperoleh dari suatu fungsi yang memiliki n buah konstanta sembarang 3. Pemecahan persaman diferensial orde pertama a) Dengan Integrasi langsung dy dx
f x memberikan y f x dx
b) Dengan pemisahan variable F ( y).
dy dx
f ( x) memberikan F ( y).
dy dx
f ( x)dx
c) Persamaan homogen : Subtitusikan y vx memberikan v x
dy dx
F (v)
d) Persamaan Linier dy dx
Py Q
Factor integrasi FI e
Pdx
Dan ingat bahwa e ln A A
Memberikan y. FI Q.FIdx e) Persamaan Bernoulli dy dx
Py Qy n
Bagilah dengan y n kemudian misalkan z y1 n Dengan begini kembali menjadi jenis (d) di atas. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA 1. Pemecahan persamaan yang berbentuk a
d 2 y dx 2
b
dy dx
cy f ( x)
2. Persamaan karakteristiknya ialah am2 bm c 0
3. Macam-macam kemungkinan jawab : a. Kedua akarnya riil dan berbeda m m1 dan m m2
Jawab umumnya ialah y Ae m1 x Be m2 x
b. Kedua akarnya riil dan sama m m1 (dua kali) Jawab umumnya ialah y e m1x A Bx m j
c. Kedua akarnya kompleks
Jawab umumnya ialah y e x A cos x B sin x 4. Persamaan yang berbentuk
d 2 y dx
2
n2 y 0
Jawab umum y A cos nx B sin nx 5. Persamaan yang berbentuk
d 2 y dx
2
n2 y 0
Jawab umum y A cosh nx B sinh nx 6. persamaan yang berbentuk a
d 2 y dx 2
b
dy dx
cy f ( x)
jawab umumnya y fungsi komplementer (FK)+integral khusus (IK)
7. Untuk a
d 2 y dx 2
memperoleh
b
dy dx
fungsi
komplementer
(FK)
pecahlah
cy 0
untuk memperoleh IK, gunakan pemisalan bentuk umum ruas kanan. Perhatikan : jika bentuk umum ruas kanan sudah tercakup dalam FK, kalikanlah dengan x dan kemudian lanjutkanlah seperti biasa. Tentukanlah dahulu jawab umum selengkapnya sebelum melakukan subtitusi untuk mencari konstanta sembarang A dan B Cara Menyelesaikan PD Non-Linier Bentuk Umum PD Non-Linier
D a D b y e cx P n x c konstanta P n x Polinomial berderajat n
Penyelesaiannya ialah y Y C Y P
Ada tiga kemungkinan untuk Y P 1. Y P e cx Qn x c a atau b 2. Y P xe cx Qn x untuk c a atau b tetapi a b 3. Y P x 2 e cx Qn x untuk c a b
BAB VII
DERET FOURIER Koefisien Deret Fourier an
bn
1
L
L L 1
n x dx L
f x cos
L
n x
f x sin dx L L L
Deret Fourier
n x ~ n x f x a n cos bn sin 2 n1 L n1 L a0
~
Deret Fourier dalam bentuk komplek.
C n
L
1
f x e 2 L
in x L
dx
L
Deret Fourier
f x
~
C e
inx
n
C 0 C 1e ix C 1e ix C 2 e 2ix C 2 e 2ix
n~
Jika f x mempunyai periode 2 L , maka koefisien deret Fouriernya ialah an
bn
1
C 2 L
L 1
n x dx L
f x cos
C C 2 L
L
n x dx L
f x sin
C
cosh z sinh z
e z e z 2 e z e z 2
Fungsi genap dan fungsi gasal f x adalah fungsi genap, jika f x f x f x adalah fungsi ganjil, jika f x f x
Perkalian antara dua fungsi memenuhi aturan berikut : 1. Fungsi genap dikalikan fungsi genap atau fungsi gasal dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi genap. 2. Fungsi genap dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi gasal.
jika f x fungsi gasal
0 L
f x dx
L L
2 f x dx 0
Jika f x fungsi gasal an 0 bn
2
L
L
0
n x dx L
f x sin
Jika f x fungsi genap
jika f x fungsi genap
an
2
L
L
n x dx L
f x cos
0
bn 0
NOTE : jika an 0 maka a 0 belum tentu nol TEOREMA PARSEVAL 1
L
f x dx 2 L
f x 2
2
L
2
a0
f x 2
4
~
1
a 2
2 n
n 1
~
1
b 2
2 n
n 1
Deret Pangkat dalam dua variable n
1 h k f a, b f x, y y n 0 n! x ~
Deret Maclaurin diatas ialah x y 0 dan h x , k y Differensial total
f f f dx dy dz ... x z y
df
Aturan Cramer Dua buah persamaan linier : ax by c px qy r
Maka nilai x dan y ialah c
b
r q
x
a
b
p
q
dan y
a
c
p
r
a
b
p
q
GARIS DAN BIDANG
Persamaan bidang melalui titik A, B, C ialah
N AB AC
N ai bj ck
Persamaan bidang a x x0 b y y0 c z z 0 0 x0 , y0 , z 0 merupakan titik A, B, C .
Jarak terdekat titik P ke bidang A ialah P
N A PR PQ n ˆ
N
A
Q
R
n ˆ
N
N
Perpotongan garis dengan bidang Bidang 1
ax by cz d
Bidang 2
px qy rz s
N 1 : ai b j ck ˆ
ˆ
ˆ
N 2 : pi q j r k ˆ
ˆ
ˆ
Persamaan garis ialah : N 1 N 2 , ini juga menunjukkan arah perpotongan kedua bidang Sudut antara 2 bidang
N 1 . N 2 N 1 .N 2 cos
N 1 . N 2
cos
N 1 N 2
Persamaan bidang melalui titik P yang tegak lurus terhadap bidang lain.
Persamaan bidangnya ialah :
r r 0 N 2
Dengan N 2 ialah :
N 2 PQ N 1
BAB VIII FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELIPTIK
Fungsi Gamma
Definisi fungsi gamma ~
n x n1e x dx
n 1
0
12 nn 1
sin n
Rumus rekursi fungsi gamma
n n 1n 1 n
1
n 1
n
untuk n 1
untuk n 1
Fungsi Beta
Definisi Fungsi Beta 1
B p, q x p1 1 x
q 1
p 0, q 0
dx
0
Hubungan fungsi beta dengan fungsi gamma B p, q
p q p q
Fungsi Beta dalam bentuk trigonometri / 2
B p, q 2
2 p 1 2 q 1 sin cos d 0
Bentuk fungsi beta yang lain ~
B p, q
y
p 1
1 y
dy
p q
0
Integral Eliptik
Bentuk Legendre Jenis I
Tak Lengkap
F k ,
/ 2
d
F k
1 k sin 2
0
II
Lengkap
2
1 k sin d
E k
2
k , n, 0
1 n sin 2
1 k 2 sin 2
Dengan subtitusi arcsin k maka diperoleh dx'
1 x' 1 k x' 2
0
x
E k , x
2
1 k 2 x 2 1 x 2
0
0
2
dx
x
k , n, x
2
1 k sin d 2
2
/ 2
d
Bentuk Jakobi
F k , x
2
0
x
1 k sin
/ 2 2
0
III
0
E k ,
d
dx
1 nx 1 x 1 k x 2
2
2
2
Periodisitas Integral Eliptik F k , n 2nk F k , E (k , n ) 2nk E k ,
Sifat F k , F k ,
BAB IX
k , n
d
1 n sin 0
2
1 k 2 sin 2
TRANSFORMASI KOORDINAT Perkalian dua buah matrik C AB atau C ik
A B ij
jk
j
Transpose perkalian suatu matrik
ABT BT AT Invers perkalian suatu matrik
AB1 B 1 A1 Matrik Simetri dan antisimetri Suatu matrik dikatakan simetri jika AT A Sedang dikatakan antisimetri jika AT A Matrik Ortogonal M T M 1
Rotasi Sistem Koordinat y x' y '
O
x
x 2 y 2 x' 2 y' 2
Jumlah kuadrat variable yang baru sama dengan jumlah kuadrat variable yang lama. ORTHOGONAL dan ORTHONORMAL Dua buah fungsi A x dan B x disebut “orthogonal” dalam interval a, b jika b
A B dx 0 x
x
a
Fungsi A x disebut normal atau ternormalisasi dalam interval a, b jika b
A dx 1 2
x
a
Dua buah fungsi dise but “ortonormal” dalam selang a, b jika b
x dx 0 x m
n
a
Sebuah fungsi disebut ortonormal dalam selang a, b jika b
x dx 1 2
m
a
BAB X
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE, DAN LAGUERE
A. Persamaan Diferensial Legendre.
Deret pangkat y
~
a x
n
n
n 0
y '
~
na x
n 1
n
n 1
y"
~
nn 1a x
n2
n
n2
Persamaan
diferensial
legendre
muncul
pada
penyelesaian
persamaan
diferensial parsial dalam sistem koordinat bola, mekanika kuantum, teori medan, dan distribusi suhu dengan simetri bola. Bentuk persamaan diferensial legendre ialah
1 x y"2 xy'l l 1y 0 2
Penyelesaian umum persamaan diferensial ini ialah
y a0 1
l 1l 2 3 l 1l 2 l 3 l 4 l l 1 2 l l 1l 2 l 3 4 x x ... a1 x x ... 2! 4! 3! 5!
Rumus Rodrigues Merupakan metode untuk memperoleh polinomial legendre P l x
1 d l l
2 l ! dx
l
x
2
1
l
Polinomial legendre yang di peroleh dari rumus rodrigues ialah P 0 x 1 P 1 x x P 2 x
1
P 3 x
1
2 2
3 x
2
1
5 x
3
3 x
Fungsi pembangkit polinomial legendre 12
x, h 1 2 xh h 2
, h 1
Atau dapat ditulis sebagaiberikut x, h P 0 x hP 1 x h 2 P 2 x ... x, h
~
h P x l
l
l 0
Fungsi pembangkit berguna untuk merumuskan hubungan rekursi/rekurensi. Hubungan rekursi ini berguna untuk menyerderhanakan persoalan dan membantu dalam pembuktian suatu persamaan. Hubungan Rekursi
1. lP l x 2l 1 xP l 1 x l 1 P l 2 x 2. xP l x P l x x lP l x 3. P l x xP l 1 x lP l 1 x 4. 1 x 2 P l x lP l 1 x lxP l x 5. 2l 1 P l x P l 1 x P l 1 x ORTHOGONALITAS DAN NORMALISASI POLINOMIAL LEGENDRE
1 x dP x l l 1 P x
d
2
l
dx
l
dx
Polinomial Legendre P l x sebenarnya merupakan pemecahan persoalan nilai eigen Sturm-Liouville. Polinomial Legendre membentuk himpunan fungsi orthogonal dalam selang
1,1 yang memenuhi hubungan 1
P x P xdx N l
m
l
lm
1
0
jika l m
1
jika l m
lm 0
N
2
2l 1
Normalisasi Polinomial Legendre b
b
2
A A x dx A x dx N 2 * x
a
a
Deret Legendre Dalam basis polinomial Legendre P l x berbentuk f x
~
C P x l l
l 0
Sehingga f x C 0 P 0 x C 1 P 1 x C 2 P 2 x C 3 P 3 x ...
Dengan C l
2l 1 2
1
P x f xdx l
1
Fungsi Legendre Asosiasi
m2 1 x y"2 xy'l l 1 2 y 0 1 x 2
Atau
d m2 2 dy l l 1 1 x y0 2 dx dx 1 x
Dengan penyelesaiannya yaitu
2 m/ 2
P x 1 x m l
d m dx m
m0
P l x
Atau dengan memasukkan rumus rodrigues diperoleh P x m l
Untuk
1
1 x
2 m/ 2
l
2 l !
d l m dx
l m
x
2
1
l
m
P l m x 1
m
l m! m P x l m! l
m0
Fungsi Legendre Asosiasi juga membentuk himpunan fungsi orthogonal, yaitu 1
P l m x P nm x dx
1
l m! 2l 1 l m! nl 2
Persamaan Diferensial Legendre Asosiasi lebih sering di kenal dalam variable bebas sudut , yaitu dengan subtitusi x cos
d dy m2 sin l l 1 2 y 0 sin d d sin 1
B. Persamaan Diferensial Bessel
PD Besel ialah x 2 y" xy' x 2 p 2 y 0
Atau x xy'' x 2 p 2 y 0
Penyelesaiannya berupa fungsi Bessel yaitu
1n x J p x n 0 n 1n p 1 2 ~
2 n p
Penyelesaian kedua Bessel
1n x J p x n 0 n 1n p 1 2 ~
2 n p
Penyelesaian Umum PD Bessel ialah y x AJ p x BJ p x
Untuk
kasus
p bilangan
bulat,
sebagai
pengganti
penyelesaian
persamaan diferensial Bessel J p x diperkenalkan fungsi Neumann N p x Y p x
cos p J p x J p x sin p
Dengan demikian penyelesaian umum PD Bessel ialah
kedua
y x AJ p x BN p x
Fungsi Bessel dan Aplikasinya P.D Bessel x 2 y" xy' x 2 n 2 y 0
n0
Solusi/penyelesaian umum P.D Bessel ini ialah y C 1 J n x C 2Y n x
Bentuk P.D Bessel yang lain x 2 y" xy' 2 x 2 n 2 y 0
Dengan penyelesaian umum y C 1 J n x C 2Y n x
Persamaan diferensial Bessel biasanya kita temui dari persamaa laplace 2 u 0 yang diungkapkan dalam koordinat silinder , , z Fungsi Bessel bentuk yang pertama
x 2 x 4 J n x n 1 ... 2 n 1 22n 2 2.42n 22n 4 x n
C. Persamaan Diferensial Hermite
Persamaan Diferensial Hermite diberikan oleh y"2 xy'2ny 0
Polinomial Hermit diberikan oleh rumus Rodrigues n
d
x 2
H n x 1 e n
dx n
e x2
Fungsi pembangkit untuk polinomial Hermite e
2tx t 2
~
H n x n!
n 0
e 1 x x
x 2 2!
t n
x3 3!
...
Rumus Rekursi untuk Polinomial Hermite H n1 x 2 xH n x 2nH n1 x H ' n x 2nH n1 x
Ortogonalitas polinomial Hermite ~
2
e x H m x H n x dx 0
mn
~
Untuk m n ~
e x H n2 x dx 2 n n! 2
~
Deret polinomial hermite f x A0 H 0 x A1 H 1 x A2 H 2 x ...
Dengan An ialah An
1
~
2 n n! ~
e x f x H n x dx 2
