Pertemuan 4 -
• Polinom suku ban ak dalam x dan dilambangkan dengan f(x), adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kxr ys, dimana k , . • Nila Nilaii ter tertin tingg ggii (r (r + s) pad pada a suku suku f(x,y f(x,y)) din dinam amaka akan n • Jika Jika poli polino nom m f(x, f(x,y) y) berp berpan angk gkat at n dan dan disa disama maka kan n dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0 persamaan aljabar.
x,y = Asumsi: Lantai 1 adalah z=0
f(x,y) ≠ 0
,
• persamaan aljabar disebut persamaan transcendental. • Cont Contoh oh:: fun fungs gsii trig trigon onom omet etri ri,, fun fungs gsii logaritma, dan fungsi berpangkat. • Acar Acara a men mengg ggam amba barr gra grafi fik k fun fungs gsii nonnonlinear, dilakukan dengan menentukan titiktitik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak.
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear . adalah
titik perpotongan antara kurva dan . diperoleh dengan memasukkan y = 0 kemudian mencari persamaan x nya. Titik pengga penggall y diper diperole oleh h dengan dengan memas memasukka ukkan nx = 0 kemudian mencari persamaan y nya.
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear . Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu dua titik dan jarak masing-masing titik ke .
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumbu x ik ika f x
=fx-
=0
b. Sumbu y jijika f(x,y) = f(-x,y) = 0 .
, •
= - ,-
=
Fung Fungsi si yang yang sime simetr tris is terh terhad adap ap sumb sumbu u x dan/ dan/at atau au sumb sumbu uy pasti simetris terhadap titik origin, namun fungsi yang simetris terhadap titik origin, belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear C. Batas Nilai ,
,
.
Contoh: Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 + y2 = 25 mempunyai batas? x2 = 25 – y2 x = ± √(25 – y2) Nila Nilaii (25 (25 – y2) akan bernila bernilaii negatif negatif apabila apabila (25 – y 2) < 0 sehingga – 2 -y2 < -25 y2 > 25 y > ± 5 batas untuk nilai y adalah -5 < y < 5 – 2 Nila Nilaii (25 (25 – x2) akan bernila bernilaii negatif negatif apabila apabila (25 – x 2) < 0 sehingga 25 – x2 < 0 -x2 < -25 2 -
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear D. Asimtotis Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat . Garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya . , – ∞. Garis y = k adalah asimtot kurva y = f(x) bila y k untuk x ∞ Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila xh untuk y ∞
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear . Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat faktor atau lebih, seperti f(x,y) = , . , . f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) , .
Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear Contoh: Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy – 2y2 = 0. Faktorisasi: 2x2 + 3xy – 2y2 = 0 2x2 - xy + 4xy – 2y2 = 0. x(2x – y) + 2y(2x – y) = 0 (x + 2y) 2y) (2x (2x – y) = 0 Jadi, grafik persamaan 2x2 + 3xy – 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis garis lurus lurus yaitu yaitu x + 2y dan 2x 2x – y.
. (x – 5)(x + 3)2. .
–
…
3. Gambarkan grafik dari 12x2 – 5xy – 2y 2 = . 4. Titi Titik k pe pengga nggall dar darii gra grafi fik k per persa sama maan an y = x2 – x – 12 adalah?
Nomor 1 Mencari titing penggal nilai fungsi sama dengan nol (X-5)(X+3)2 =0 Sehingga X= 5 dan X=-3 (titik penggal sumbu X) Titik penggal sumbu Y maka X=0 Y=(x-5)(X2+6X-9) Y=45
Nomor 2 x2 + x2y –y + 5 = 0
simetri terhadap?
grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumb Sumbu u x jika jika f(x, f(x,y) y) = f(x f(x,,-y) y) = 0 .
,
- ,
c. Titi Titik k orig origin in jika jika f(x, f(x,y) y) = f(f(-x, x,-y) -y) = 0 Maka, kita masukan ke syarat ketiga point tersebut: Periksa, apakah simetri terhadap sumbu x? f(x,-y)=x2 -x2y+y+5 ≠ 0 karen karena a f(x,y) f(x,y) = 0 = x3 + x2y –y + 5 . Maka bukan simetri terhadap sumbu x Periksa, apakah simetri terhadap sumbu y? -x,y = x y
x y-y
=
arena x, x,y =
=x
x y –y
.
a a s me m e r er a ap sum u
Periksa, apakah simetri terhadap titik origin? f(-x,-y)=x2 -x2y+y+5 ≠ 0 karen karena a f(x,y f(x,y)) = 0 = x3 + x2y –y + 5 . Maka bukan simetri terhadap titik origin
Nomor 3 Gambarkan grafik dari 12x 2 – 5xy – 2y 2 = 0. Hal pertama dilakukan, faktorisasi persamaan di atas. Trik faktorisasi untuk persamaan: ax2+bxy+cy 2=0 ubah jadi
x2+bxy+acy 2=0
Selanjutnya cari nilai konstanta faktornya: Bentuk faktor persamaan di atas : (ax+jy)(ax+ky)=0 Cari j dan k dengan cara memenuhi ketentuan berikut: j.k=ac dan j+k=b Kembali ke soal 12x2 – 5xy – 2y 2 = 0 ubah x2 – 5xy – 24y 2 = 0 ac= -24 dan b= -5 maka akan diperoleh j= -8 dan k=3 Maka bentuk faktor persamaannya
(12x-8y)(12x+3y)=0
Atau (3x-2y)(4x+y)=0 . Grafik pada slide selanjutnya
Y 3x-2y=0
X
Nomor 4 y = x2 – x – 12, 12, cari cari tit titik ik pen pengg ggal alny nya. a. Titik penggal terhadap sumbu y berarti masukan x=0, sehingga dari ersamaan di atas di eroleh = -12. Titik en al ertama 0 -12 Titik penggal terhadap sumbu x berarti masukan y=0 sehingga diperoleh persamaan 0 = x2 – x – 12 (x-4)(x+3)=0, sehingga x=4 dan x=-3. Titik penggal kedua dan ketiga adalah (4,0) dan (-3,0)
berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, , . Bentuk umum persamaan kuadratik: x +
xy +
y +
x+
y+
=
Dimana A, B, C, D, E, dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A, B, dan C tidak bernilai sama dengan 0.
Kaidah umum: • Jika B = 0 dan A = C lingkaran • Jika B2 – 4AC < 0 elips • Jika B2 – 4AC = 0 parabola • – Kaidah khusus: Jika B = 0, dan paling tidak salah satu dari A dan C tidak bernilai nol, maka: • Jika A = C lingkaran • Jika A ≠ C tetapi bertanda sama elips • Jika Jika A = 0 atau atau C = 0 teta tetapi pi tida tidak k sam sama a den denga gan n 0 ber bersa sama ma-s -sam ama a para o a • Jik Jika A dan C tand tandan anya ya tid tidak sama ama hiperbola
2
2
ersa rsamaa maan ter terse ut apat bentuk:
= awa e
(x – h)2 + (y – k)2 = r 2 Dimana h k meru akan usat lin karan dan r adalah jari-jari.
Contoh: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran persamaan x 2 + y2 – 6x – 8y +1 +16 = 0 Bentuk Bentuk umum: umum: (x – h)2 + (y (y – k)2 = r 2 x2 + y2 – 6x – 8y + 16 = 0 x2 – 6x + y 2 – 8y + 16 16 = 0 – – 2 2 (x – h)2 x - 6x + h = (x x2 – 6x + h 2 = x2 -2xh + h2 -6x = -2xh Sehingga titik pusat adalah (h,k) (3,4) Jika dimasukkan lagi dalam persamaan: x2 – 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 16 = 9 2 2 – – 2 r = 9 r=3 Sehingga jari-jari = 3.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Persamaan elips dapat ditulis sebagai: – 2 + – 2 = a2 b2 Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu , maka sumbu panjang akan sejajar dengan sumbu y. . Sumbu panjang = jari-jari panjang Sumbu pendek = jari-jari pendek
,
Elips Contoh: Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 4x2 + 9y2 + 16x 16x – 18y 18y – 11 =0
4x2 + 9y2 + 16x 16x – 18y 18y – 11 = 0 (x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2 b2(x – h)2 + a2(y – k)2 = 1 a2b2
b2(x – h)2 + a2(y – k)2 = a2b2 4x2 + 9y2 + 16x 16x – 18y 18y – 11 = 0 4x2 + 16x + 9y2 – 18y 18y = 11 2 2 4(x + 4x) + 9(y – 2y) 2y) = 11 b2 = 4 d a n a2 = 9 (x2 + 4x + h2) = x2 – 2xh 2xh + h2 4x = -2xh h = -2 (y2 – 2y + k2 )= y2 – 2yk 2yk + k2 -2y = -2yk = Jika dimasukkan ke dalam persamaan: 4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 – 2y + 1) = 11 4x2 + 16x + 16 + 9y2 – 18y + 9 = 11 + 16 16 + 9 4x2 + 16x + 16 + 9y2 – 18y 18y + 9 = 36 – 36 36 (x + 2)2 + (y (y – 1)2 = 1 9 4
•
Parabo Parabola la didefi didefinis nisika ikan n seba sebagai gai tempat tempat kedudu kedudukan kan titiktitik-tit titik ik pada pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus, dan garisnya disebut directrix. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan vertex.
Jika sumbunya sejajar dengan sumbu y: Ax + Dx + Ey + F = 0 Jika sumbunya sejajar dengan sumbu x: Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Bentuk persamaan standar dari parabola: (x – h)2 = 4p 4p (y (y – k) ,
.
(y – k) 2 = 4p 4p (x (x – h) A abila sumbun a se a ar den an sumbu x. P adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.
Untuk arabola an sumbun a se a ar den an sumbu y: • Jika Jika p < 0, maka maka para parabo bola la terb terbuk uka a ke ke baw bawah ah • ,
sumbu x: • Jika Jika p < 0, 0, maka maka para parabo bola la ter terbu buka ka ke ke seb sebel elah ah • Jika Jika p > 0, 0, mak maka a par parab abol ola a terb terbuk uka a ke ke seb sebel elah ah kanan
Contoh: Jadikan bentuk standar ersamaan parabola: x2 – 4x + 4y + 16 = 0, dan dan tent tentuka ukan n vertexnya. x– = p y– x2 – 4x + 4y 4y + 16 = 0 x – x =- y– (x – 2)2 = -4(y + 3) ,- . Sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola .
kedudukan titik-titik pada bidang datar an selisih arakn a terhada dua titik tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu transverse
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Persamaan ini da at di adikan bentuk standar hi erbola aitu: (x – h)2 − (y – k)2 = 1 a2 b2 (y – k)2 − (x – h)2 = 1 b2 a2 , x. Asi Asimt mtot ot ditu ditunj njuk ukka kan n oleh oleh pers persam amaa aan: n: – = – a b Bila Bila a = b, maka maka kedu kedua a asim asimto tott berp berpot oton onga gan n tega tegak k luru lurus. s. Maka Maka pers persam amaa aan n (X−h)(Y−k)=c
Contoh: Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan 2 – 2 – – – =
9x2 – 4y2 – 18x – 16y – 43 = 0 9(x2 – 2x + 1) – 4(y 2 + 4y + 4) = 43 + 9 -16 – 2 – + 2= (x – 1)2 – (y + 2) 2 = 1 4 9 Jadi, titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3. Persamaan asimtot:
x–h = ±y–k a b – = 2 3 3x – 3 = ± (2y + 4) Asimt Asimtot ot 1: 1: 3x – 3 = 2y + 4 smo : x– =- y–
3x – 2y – 7 = 0 x y =
