ii
MATEMATIKA EKONOMI
Tentang : Penerapan Ekonomi Fungsi Diferensial Sederhana
Oleh :
Kelompok 4
Fika Indah Perawansa (8176171009)
Syamsah Fitri (8176171034)
Mata Kuliah : Matematika Ekonomi
Dosen Pengampu : Dr. Syafari, M.Pd
Kelas : A1 / Pasca Pendidikan Matematika
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
T.A. 2017 / 2018
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah yang telah melimpahkan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, sehingga pada kesempatan ini penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul "Penerapan Ekonomi". Sehingga dengan makalah ini diharapkan dapat menambah wawasan kita semua mengenai mata kuliah Matematika Ekonomi.
Makalah yang berjudul "Penerapan Ekonomi Fungsi Diferensial Sederhana " ini sebagai salah satu standar proses yang hendak dicapai dalam pembelajaran matematika, disusun untuk memenuhi tugas pada mata kuliah Matematika Ekonomi. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Dosen Pengampu Bapak Dr. Mulyono, M.Pd atas bimbingannya sehingga saya dapat mengerjakan makalah ini tepat waktu. Selain itu penulis juga menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih terdapat banyak kekurangan, serta tidak terlepas dari berbagai macam kendala, keterbatasan ilmu, dan referensi. Oleh karena itu, penulis masih mengharapkan bimbingan dan saran dari berbagai pihak sehingga makalah ini menjadi lebih baik lagi.
Akhir kata penulis berharap semoga makalah tentang Penerapan Ekonomi Fungsi Diferensial Sederhana ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya.
Medan , 8 November 2017
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR………………………………………………………….i
DAFTAR ISI ii
BAB I PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Rumusan Masalah 1
Tujuan Penulisan 1
BAB II PEMBAHASAN 2
Penerapan Ekonomi 2
2.1.1. Elastisitas 2
2.1.2. Biaya Marginal 5
2.1.3. Laba Maksimum 6
2.1.4. Penerimaan Maksimum dari Perpajakan 7
2.1.5. Pengaruh Pajak dalam Pasar Monopoli 9
2.1.6. Model Jumlah Pemesanan Ekonomis (EoQ) 11
2.1.7. Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-rata 13
2.1.8. Hubungan Produk Marjinal dengan Produk Rata-rata 13
BAB III PENUTUP 14
3.1. Kesimpulan 14
3.2.Saran 14
DAFTAR PUSTAKA 14
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam segari-hari kita sering melihat penerapan matematika dalam kegiatan ekonomi dalam sekitar kita. Penerapan tersebut antara lain persamaan differensial. Persamaan differensial digunakan untuk menyatakan hubungan yang kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel tak bebas lainnya. Melalui penggunaan simbol-simbol dalam persamaan differensial ini, hubungan antar variabel yang sebelumnya masih kurang jelas akan menjadi semakin mudah dipahami. Dengan demikian penggunaan persamaan differensial untuk menyusun suatu model tentang fenomena dari suatu sistem yang ada didunia nyata merupakan suatu cara yang sering ditempuh guna membantu mencari solusi dari permasalahan yang ada.
Makalah ini didalamnya akan membahas tentang penerapan differensial dalam kegiatan ekonomi.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas maka penulis memaparkan beberapa rumusan masalah untuk makalah ini, yaitu :
Apasaja jenis-jenis penerapan matematika ekonomi pada fungsi diferensial sederhana ?
Bagaimana pengaplikasian penerapan matematika ekonomi pada fungsi diferensial sederhana ?
Tujuan Penulisan
Penulisan makalah ini berusaha menjawab rumusan masalah di atas. Untuk itu, tujuan penulisan makalah ini adalah :
Untuk mengetahui jenis-jenis penerapan matematika ekonomi pada fungsi diferensial sederhana.
Untuk mengetahui pengaplikasian penerapan matematika ekonomi pada fungsi diferensial sederhana.
BAB II
PEMBAHASAN
Penerapan Ekonomi
Teori diferensiL mt Lzim diterapkan dalam konsep elestisitas, konsep nilai marjinal dan konsep optimisasi. Dalam kaitannya dengan konsep elasitas pada sub-bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan elesitas berbagai fariabel ekonomi; sera ketentuan nilai okimum dari fungsi atau variable yang bersangkutan. Kemudian akan dibahas pula hubungan antara nilai total, nilai marjinal dan nilai ata-rata dari fungsi biaya dan fungsi produksi.
Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi Ƴ = ƒ(x) berkenan dengan x dapat didefinisikan sebagai :
N = EyEx = lim y/y x/x = d yd x .xy
x 0
Ini berarti bahwa elastisitas y = f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x,E untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminologi lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.
Elastisitas Permintaan
Elastisitas perintaan ( istilah yang lengkap : elasititas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisin yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Ǫd = f(P), maka eastisitas permintaanya :
Nd = % Ǫd% P = EQdEP = lim ( Qd/Qd( P/P = dQddP . PQd
P O
di mana dQd / Dp tak lain adalah Qd' atau f '(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila nd >1, elastik-uniter jika nd = 1.
Barang yang permintaannya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan hargannya .
Dari nilai absolute ini dapat dikategorikan menjadi lima macam elastistas harga permintaan, yaitu :
jika Ehd <1, permintaan dititik itu adalah inelastic terhadap harga.
jika Ehd = 1, permintaan di titik itu adalah unitary terhadap harga.
jika Ehd >1, permintaan di titik itu adalah alastis terhadap harga.
jika Ehd 0, permintaan dititik itu adalah inelastic sempurna terhadap harga.
jika Ehd , permintaan di titik itu adalah elastis sempurna terhadap harga.
Contoh
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3 P² . Tentukan elastisitas permintaanya pada tingkat harga P= 5.
Penyelesaian :
Qd = 25 – 3P² nd = dQddP . PQd = -6 p. P25-3 P²
Q 'd = dQddp = -6 P = -6(5). 525-75 = 3 (elastik)
nd =3 berarti bahwa apabiola, dari kedudukan P =5 , harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.
Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilah yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berenan adanya perubahaan harga . Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap- persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :
ns = % Qs% P = EQsEP= lim( Qs/Qs P/P = dQsdP . PQs
P O
di mana dQs/ dP tak lin adalah Q's atau f'P.
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastik apabila ns>1, elastik-uniter jika ns = 1 dan inelastik bila ns<1. Barang yang penawarannya inelastik tertentu, maka penawarannya berubah , (secara sarah) dengan presentase yang lebih kecil daripada persentase perubahaan harganya.
Contoh
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = -200 + 7 P² .Dengan elstisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
Penyelesaian :
Qs= -200+7 P² n = dQsdP . PQs = 14 P . P-200+7P²
Q's = dQsdP=14 P
Pada P= 10, ns=140. 10-200+700 =2,8
Pada P= 15, ns=210. 10-200+1575= 2,3
Elstisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahaan jumlah masukan (infut) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahab jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah perduk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x), maka elastisitas produksinya :
np = % P% X = EPEX = lim P /P X/X = dPdX . XP
X 0
Di mana Dp /Dx adalah produk marjanal dari X P'atau f '(x)
Contoh
Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X² - X3. Hitunglah elastisita poduksi sebanyak 3 unit dan 7 unit .
Penyelesaian :
P = 6 X² - X3 P'= Dp / d X = 12 X – 3 X²
np = dPdX. XP = (12 X – 3 X²). X(6 X2- X3)
Pada X = 3, np=36-27.3(54 - 27) = 1
Pada X = 7, np= (84 – 147). 7(294-343) = 9
Biaya Marginal
Biaya tambahan untuk produksi satu unit barang disebut sebagai baya marginal (marginal cost) . Biaya marginal adalah tingkat perubahan biaya toyal akibat adanya perubahan satu unit produk yang diprodusi. Secara matematis biaya marginal dapat ditulis rumusnya adalah : MC = dTCdQ=f'(Q) atau MC = TC Q
Dimana : MC = biaya marginal (marginal cost)
DTC = perubahan biaya total
Dq =perubahan satu unit produk
Ccntoh
Jika suatu persahaan pabrikasi ingin menghasikan suatu produk, dimana fungsi biaya total telah diketahui adalah TC = 0,1Q3-18Q²+1700Q+34000,
a) carilah fungsi biaya marginal (MC)
b) berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya marginal minimum?
c)berapa nilai biaya marginal minimum tersebut?
Penyelesaian:
a) diketaui : TC = 0,1Q3-18Q²+1700Q+34000
fungsi biaya marinal diperoleh dari deviar pertama fungsi biaya total:
MC =dTCdQ=0,3Q²-36Q+1700
b) untuk memperoleh MC minimum, maka langkah pertama mengambil derivative pertama pada persamaan, kemudin disamakan dengan nol, hasilnya adalah :
dMCdQ=0,6Q-36=0
0,6Q = 36
Q =60
Untuk menguji biaya minimum diujikan dengan derivative kedua dari MC. d²MCdQ²=0,6>0 (minimum)
c) selanjutnya , untuk dapat mendapat MCmin substitusikan nilai Q = 60 ke dalam persamaan MC yaitu :
MCmin=0,3602-3660+1700=1080-2160+1700=620
jadi , biaya marginal minimum sebesar Rp 620 dapat diperoleh, jika perusahaan menghasilkan produk sebanyak 60 unit.
Laba Maksimum
Laba maksimum adalah selisih antara penerimaan total dengan biya total, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus :
π=TR-TC atau π=P.Q-(AC.Q)
Dimana :
π=laba
TR=penerimaan total
TC=biaya total
Contoh
Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perushaan P = 557 – 0,2 Q dan fungsi biaya total adalah TC = 0,05Q3-0,2Q²+17Q+7000, maka :
berapakah jumlah output yang harus dijual agar produsen memperoleh laba yang maksimum?
berapakah lba maksimum tersebut ?
berapakah harga jual unit produk ?
berapakah penerimaan total yang diperoleh dari perusahaan?
penyelesaian:
diketahui :
P=557-0,2Q dan TC=0,05Q3-0,2Q²+17Q+7000
TR=P.Q=557-0,2QQ=557Q-0,2Q²
π=TR-TC
π=557Q-0,2Q2-(0,05Q3-0,2Q2+17Q+7000)
π=557Q-0,2Q²-0,05Q3+0,2Q²-17Q-7000)
π=-0,05Q3+540=0
dπdQ=-0,15Q²+540=0
0,15Q²=540
Q²=3600
Q=3600=±60
d²πdQ²=-0,3Q
Jika Q=60, maka d²πdQ²=-0,360=-18<0(maksimum)
jadi, πmaks=-0,05(60)3+54060+7000
=-0,05216000+32400+7000
=-10800+32400+7000=14.600
karena Q=60,maka
P=557-0,260=557-12=545
TC=0,05(60)3-0,2602+1760+7000=18.100
TR=55760-0,2602=32.700
Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahaaan harus menjual produknya sehingga Rp545bper unit, dengan jumlah produk sebanyak 60 unit agar dapat memaksimumkan laba sebesar Rp 14.600 dengan jumlah penerimaan total perusahaan adalah Rp32.700 dan biaya total yang dikeluarkan adalah sebesar Rp 18.100.
Penerimaan Maksimum Dari Perpajakan
Sebagai maana telah dibahas dalam subab 6.6 sebelumnya bahwa jika pemerintah mengenakan pajak atas suatu produk tertentu, maka diasumsikan harga produk tersebut yang akan dibbeli atau dibayar oleh konsumen akan naik dan jumlah yang diminta atas produk tersebut akan berkurng jumlahnya.
Penerima pajak total, T, yang akan diterima oleh pemerintah adalah :
T=tQ
Di mana Qt=jumlah keseimbangan setelah pajak
t=pajak per unit produk
Nilai t dan Qt dapat diperoleh melalui persamaaan permintaan P=fQdan persamaan penawaran Pt=FQ+t.
Contoh
Fungsi permintaan dan penawaran dari suatu produk adalah :P=17-Q dan P=Q4+2.
Berapa besarkah pajak per unit t yang harus dikenakan oleh pemerintah supaya penerimaan pajak maksimum ?
berapa besarkah pajak maksimum tersebut ?
penyelesaiaan :
fungsi penawaran setelah dikenakan pajak adalah P=Q4+2+t, sehingga keseimbangan pasar adalah:
17-Q=Q4+2+t
t=15-54Q
T=tQt
T=15-54QQ
T=150-54Q²
dTdQ=15-104Q=0
d²Tdq²=-104<0 (maksimum)
jika Q=6, maka t=7,5 dan Tmaks=45
jadi, penerimaan pajak maksimum oleh pemerintah sebesar Tmaks=45, dapat dari pengenaan pajak per unit t=7,5.
Pengaruh Pajak Dalam Pasar Monopoli
Pengenaan pajak t per unit produk oleh pemerintah atas suatu produk yang dihasilkan oleh seorang monopolis atau produsen akan menaikan biaya rata-rata sebesat t, yaitu :
ACt=AC+t
dimana : ACt= biaya rata-rata seyelah pajak sehingga biaya total akan naik sebesar tQ yaitu :
TCt=TC+tQ
Dimana : TCt=biaya total setelah pajak.
Dalam rangka memaksimumkan laba produsen, harga dan jumlah keseimbangan yang baru dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi biaya total setelah pajak, yaitu TCt=TC+TQ. Dengan demikian , besarnya laba yang diterima oleh seorang produsen setelah dikenakan pajak t per unit produk rumusnya adalah :
π=TR-TCt atau
π=TR-(TC+tQ)
π=P.Q-[ACQ+tQ]
π=P.Q-AC.Q-tQ
π=Q(P-AC-t)
Contoh
Jika diketahui fungsi permintaan adalah P=557-0,2Qdan biaya totalTC=0,05Q3-0,2Q²+17Q+7000. Kemudian, pemerintah mengenakan pajak kepada perusahaan sebesar Rp 165 untuk setiap unit yang dijual,
Beberapa harga jual dan jumlah barang agar dapat memaksimumkan laba perusahaan ?
Beberapa nilai laba maksimum tersebut ?
Jika harga mengenakan pajak penjualan sebesar 25% dari harga jual barang, tentukanlah harga dan jumlah barang yang dapat memaksimumkan laba perusahaan? Berapa pula laba maksimum tersebut ?
penyelesaian:
a) t=Rp.165, sehingga tQ=165Q
TQt=TC+tQ
TQt=0,05Q3-0,2Q²+17Q+7000+Q
TCt=0,05Q3-0,02Q²+17Q+7000+165Q
TCt=0,05Q3-0,2Q²+182Q+7000
π=TR- TCt
π=557Q-0,2Q2-(0,05Q3-0,2Q2+182Q+7000)
π=0,05Q³+557Q-182Q-7000
π=-0,05Q³+375Q-7000
dπdQ=-0,15Q²+375=0
0,15Q²=375
Q=2500
Q=±50
d²πdQ=-0,3Q
Jika Q=50, maka d²πdQ²
b) jadi π maks=0,05503+37550-7000
=-6250+18750-7000=5500
karena Qt=50, maka Pt=557-0,250=547
c) jika pemerintah mengenakan pajak penjualan sebesar 25% dari harga jual, maka
P=Pt(1+r)=557-0,2Q1+0,25=45557-0,2Q=445,6-0,16Q
TRtPt(1+r)Q=445,6-0,16QQ=445,6Q-0,16Q²
π=TRt-TC
π=445,6Q-0,16Q2-(0,05Q3-0,2Q2+17Q-7000
π=-0,05Q³+0,04Q²+428,6-7000
dπdQ=-0,15Q²+0,08Q+428,6=0
Q1=53,72 dan Q²=-53,18 (tidak memenuhi)
d²πdQ²=-0,3Q+0,08
Jika Q=53,72, makad2πdQ2<0 maksimum
π maks=-0,0553,723+0,0453,722+428,653,72-7000
=-7751,36+115,43+23024,40-7000 =83888,47
karena Qt=53,72, maka Pt=557-0,253,72=546,26
MODEL JUMLAH PEMESANAN EKONOMIS (EOQ)
Model jumlah pemesanan ekonomis (EOQ) merupakan alah satu model dasar dan yang palig abnyak digunakan oleh prusahaaan untuk mengendalikan persedian barang .Model EOQ ini dapat diterapkan bil memenuhi beberapa asumsi berikut ini,
permintaan produk diketahui dan kontan
waktu teggang/tunggu (waktu pemesanan hingga penerimaan) konstan
harga produk per unit adalah konstan(tidak mungkin ada potongan harga)
persediaan baramg bisa segera diperoleh atau semua permintaan produk akan dipenuhi (tidak ada kekurangna barang)
penerimaan persediaan barab=ng dalam waktu seketika dan dalam jumlah yang relative banyak
biaya pemesanan dan penyetelan (setup) konstan
biaya persedian total tahunan secara matematis dapat dirumuskan persamaannya adalah :
TC= D QS+ Q 2 (H)
Dimana : TC= biaya persedian total tahunan
D= permintaan tahunan dalam unit barang
Q= jumlah yang dipesan (jumlah optimum yang disebut EOQ)
S= biaya pemesanan untuk setiap pesanan
H= biaya penyimpanan per unit tahun
Contoh
Toko buku " Borobudur" ingin memesan buku dar Jakarta guna untuk meengakapi barang dagangannya.Pemintaan buku diperkira kan 2.000 unit per tahun. Biaya pemesanan Rp 50.000 per pesanan dan biaya penyimpanan adalah Rp 8.000 per unit per tahun. Waktu untuk pengiriman buku adalah 3 hari uantuk sampai ditempat tujuan.
berapakah jumlh buku yang harus dipesan agar biaya persedian minimum?
berapakah besar biaya persedian total tersebut ?
tentukan titik pemesanan kembali (reorder point)?
berapa kali pemesanan dalam setahun (N)?
berapa lama waktu di antara pemesanan (T)?
penyelesaiaan :
Diketahui : D=2000 unit;S=Rp50.000 per pesanan
H=Rp800 per unit per tahun;L=3hari
a) Qopt=2DSH=22.000(50.000)800
=250.000=500 unit buku
b) Biaya persediaan total minimum adalah :
TC=DQS+Q2(H)
TC=2000(5000)500+5002(800)
TC=Rp200000+Rp200000
TC=Rp400.000 per tahun
c)Titik pemesanan kembali adalah :
Asumsi jumlah hari kerja dalam setahun =250 hari
d=Djumlah hari kerja dalam satu tahun=2000250=8 unit
R=dL
=8(3) =24 unit buku
d) Banyaknya pemesanan dalam setahun adalah :
N=DQ=2000500=4 kali pemesanan dalam setahun
e) Lamanya waktu diantara pemesanan adalah :
T=Jumlah hari kerja per tahunN=250 hari4=62,5
Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-rata
Dalam ekonomi makro terdapat hubungan teoritis antara biaya marjinal dan biaya rata-rata. Yakni bahwa pada saat biaya rata-rata mencapai nilai minimunya maka biaya marjinalnya sama dengan biaya rata-rata minimum tersebut.
Contoh
Andaikan C = Q3 – 6 Q2 + 15 Q. Buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marjinal.
Biaya majinal : MC = C' = dC/dQ = 3 Q2 – 12Q +15
Biaya Rata-rata : AC = C/Q = Q2 – 6 Q +15
AC'= d AC/Dq = 2Q – 6
AC' = 0 maka
2Q – 6 =0
(Q – 3 ) (Q + 3)
Pada Q =3
MC = 3(3)3 – 12 (3) +15 = 6
AC = (3)2 – 6(3) + 15 =6
MC = ACmin
Hubungan Produk Marjinal dengan Produk Rata-rata
Analog dengan hubungan antara biaya marjinal dan biaya rata-rata, begitu pula hubungan antara produk marjinal dan produk rata-rata. Produk marjinal sama dengan produk rata-rata pada saat biaya rata-rata mencapai posisi ektrimnya (dalam hal posisi maksimum)
Jika biaya total : P = f(Q)
Maka:
Biaya marjinal : MP = Pꞌ = dP/dX
Biaya rata-rata : AP = P/Q
Pada posisi AP maksimum : MP =AP
Contoh
Jika P = 9X2 – X3 maka produk rata-rata masing-masing adalah:
MP = Pꞌ = dP/dX = 18X – 3X2
AP = P/X = 9X X2
(ACꞌ) = d AC/dX = 9 – 2X
(ACꞌ) = 0 9 – 2X = 0 X = 4,5
Pada X = 4,5
MP = 18(4,5) – 3(4,5)2 + 15 = 20,2
AP = 9(4,5) – (4.5)2 = 20,25
BAB III
PENUTUP
3.1. KESIMPULAN
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga-permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya pengaruh perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga-penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefesien yang menjelaskan besarnya pengaruh perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap prosentase perubahan harga.
Elastisitas produk ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya pengaruh perubahan jumlah output yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah input yang digunakan. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah output terhadap persentase perubahan jumlah input.
3.2. SARAN
Dengan terseesaikan nya makalah ini pemakalah menyadari bahwasannya makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Maka dari itu pemakalah mohon kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan yang dilakukan pada masa yang akan datang. Mohon maaf atas kekurangan atau ketidak tepatan dalm penulisan.
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy, Ning Dkk. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. 2013. BPFE : Yogyakarta
Kalangi, J.B. (2012). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba Empat
Manullang, M., Rajagukguk. (2015). Matematika Ekonomi, Diktat Kuliah Matematika Ekonomi, Jurusan FMIPA, Universitas Negeri Meda
