Makalah Matematika Dasar Diferensial

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSI (DIFERENSIAL) AL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan k Hadirat Tu!an "an# Ma!a E$a% karna &rkat 'impa!an Ra!mat dan Karunianya $!in##a kami dapat mnyu$un maka'a! ini dn# d n#an an &a &aik ik da dann t tpa patt pa pada da a aktu ktuny nya* a* Da Da'a 'am m ma maka ka'a 'a! ! in inii ka kami mi m mm& m&a! a!a$ a$ mn#nai Turunan Fun#$i* Maka'a! ini di&uat dn#an &&rapa &antuan dari &r&a#ai pi!ak untuk mm&antu mny'$aikan tantan#an dan !am&atan $'ama mn#rjakan maka'a! ini* +'! karna itu% kami mn#u,apkan trima ka$i! yan# $&$ar&$arnya kpada $mua pi!ak yan# t'a! mm&antu da'am pnyu$unan maka'a! ini* Kami mnyadari &a!a ma$i! &anyak kkuran#an yan# mnda$ar pada maka'a! ini* +'! karna itu kami mn#undan# pm&a,a untuk mm&rikan $aran $rta kritik yan# dapat mm&an#un kami* Kritik k-n$trukti. dari pm&a,a $an#at kami !arapkan untuk pnympurnaan maka'a! $'anjutnya* Ak!ir kata $m-#a maka'a! ini dapat mm&rikan man.aat &a#i kita $ka'ian* /akarta % D$m&r 0123 Definisi Turunan

Turunan .un#$i ( di di. .r rn$ n$ia ia'' ) ad ada' a'a! a! .u .un# n#$i $i 'a 'ain in da dari ri $u $uat atuu .u .un# n#$i $i $&'umnya% mi$a'nya .un#$i . mnjadi .4 yan# mmpunyai ni'ai tidak &raturan* K-n$p turunan $&a#ai &a#ian utama dari ka'ku'u$ dipikirkan pada $aat yan# &r$amaan -'! Sir I$aa, Nt-n ( 2560 7 2808 )% a!'i matmatika matmatika dan  dan .i$ika .i$ika &an#$a  &an#$a In##ri$ In##ri$ dan  dan G-tt.rid 9i'!'m Li&ni: ( Li&ni: ( 2565 7 2825 )% a!'i matmatika &an#$a /rman /rman**   Turunan ( di.rn$ia' ) di#unakan $&a#ai $uatu a'at untuk mny'$aikan &r&a#ai ma$a'a! da'am #-mtri #-mtri dan  dan mkanika mkanika** Aturan menentukan turunan fungsi

Turuna Turu nann da dapa patt di dit tnt ntuk ukan an ta tanp npaa pr pr-$ -$$ $ 'imit 'imit** Un Untu tukk k kppr r''ua uann ini diran,an# t-rma t-rmatntan# tntan# turunan da$ar% turunan dari -pra$i a'ja&ar pada dua .un#$i% aturan rantai untuk turunan .un#$i k-mp-$i$i% dan turunan .un#$i in;r$* Turunan dasar

Aturan  aturan da'am turunan .un#$i ada'a! < 1. .(=)% maka .4(=) > 1 2. /ika .(=) > =% maka .?(=) > 2 n n72 3. Aturan pan#kat < /ika .(=) > = % maka .?(=) > n @ 4. Aturan k'ipatan k-n$tanta < (k.) (=) > k* .?(=) 5. Aturan rantai < ( . - # ) (=) > .? (# (=))* #?(=)) Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Mi$a'kan .un#$i . dan # trdi.rn$ia'kan pada $'an# I% maka .un#$i .  #% . 7 #% .#% .B#% ( # (=) C 1 pada I ) trdi.rn$ia'kan pada I dn#an aturan < 1. ( .  # )? (=) > .? (=)  #? (=) 2. ( . 7 # )? (=) > .? (=)  #? (=) 3. (.#)? (=) > .?(=) #(=)  #?(=) .(=) 0 4. ((.)B# )? (=) > (#(=) .4 (=) .(=) #4 (=))B((#(=) ) Turunan fungsi trigonometri 1. 2. 3. 4. 5. 6.

dBd= ( $in = ) > ,-$ = dBd= ( ,-$ = ) >  $in = dBd= ( tan = ) > $,0 = dBd= ( ,-t = ) >  ,$,0 = dBd= ( $, = ) > $, = tan = dBd= ( ,$, = ) > ,$, = ,-t =

Turunan fungsi invers

(.2)(y) > 2B(.4 (=))% atau dyBd= 2B(d=Bdy) Turunan Matematika adalah

Mi$a'kan y ada'a! .un#$i dari = atau y > .(=)* Turunan (atau di.rn$ia') dari y tr!adap = din-ta$ikan dn#an < Rumu$ Turunan dan ,-nt-! /ikadn#an  dan n k-n$tanta ra'% maka < /ika y >  dn#an /ika y > .(=)  #(=) maka /ika y > .(=)*#(=) maka

Turunan Kedua

Turunan kdua y > .(=) tr!adap = din-ta$ikan dn#an * Turunan kdua dipr-'! dn#an mnurunkan turunan prtama*

SOAL-SOAL TUU!A! "U!#S$

Pr$amaan #ari$ $in##un# pada kur;a y > 0= 3=0=5 yan# &ra&$i$ 2 ada'a!  A* =  y  8 > 1 * =  y 7 8 > 1 * =  y  3 > 1 D* 3= 7 y 7 6 > 1 E* 3= 7 y 7  > 1 Pny'$aian <  y > 0=3 7 =0 7 =  5  = > 2  y? > 5=0 7 21= 7 2  y(2) > 0(2)3 (2)0 7 2  5 >07725 > 0  (2%0) →

→

 y? > m > 5=0 7 21= 7 2 > 5(2)0 7 21*2 7 2 >  P#$ < y 7 & > m (= 7 2)  y 7 0 >  (= 7 2)  y 7 0 > =  2 =  y 3 > 1 /aa&an <  Turunan prtama .un#$i F(=) >  6= ada'a! F?(=) >  A* 6 * 66= * 66= D* (6=) 6 E* ( 6=)  3=6 Pny'$aian < F (=) > 6= F?(=) > 6 6= /aa&an <  Turunan prtama .un#$i F(=) > -$ (6=0) ada'a! F?(=) >   -$6 (6=0) Sin (6=0)  -$6 (6=0) Sin (6=0) 01 -$6 (6=0) Sin (0=0) 21 -$3 (6=0) Sin (=6) 21 -$3 (6=0) Sin (=6) Pny'$aian <

F(=) > -$ (6=0) u > -$ (6=0)  u? > 6Sin(6=0) n> →

F?(=) > nun2*u? >  -$2 (6=0) * 6 Sin (6=0) >  -$6 (6=0) * 6 Sin (6=0) > 01 -$6 (6=0)Sin (6=0) > 21*0 -$ (6=0)$in (6=0) * -$ 3 (6=0) > 21 Sin 0(6=0) -$3 (6=0) > 21 Sin (=6) -$ 3 (6=0) /aa&an < E 6* Dikta!ui .(=) >  21=0B3 p 1 p A* 7 3 21=B3 * 7 0 =B3 3 21=2B3

maka Lim .(=  p) 7 .(=) >* * *

→

Pny'$aian < .(=) >  21=0B3 .?(=)>  =0B3 21

* 7 3 B3

=

D* =2B3

3

* Ni'ai minimum .un#$i . (=) > 0= 3  3=0  3 da'am intr;a' 0 J = J 2 ada'a!  A* 5 * 3 * 2 D* 5 E*  Pny'$aian < . (=) > 0=3  3=0  3 .?(=) > 5=0  5=

pada 0 J = J 2

Sta$i-nr < 5=0  5= > 1 3= (0=0) > 1 3= > 1  = > 1 0=0 > 1  = > 2 →

→

.(0) > 0 (0)3  3 (0)0  3 > 25  20  3 > 2 .(2) > 0 (2)3  3 (2)0  3 >033 > /aa&an < E 5* Dikta!ui .(=) > -$0 (3=2) % maka .?(=) > * A* 5 -$ (3=2) Sin (3=2) * 3 -$ (3=2) Sin (3=2) * 0 -$ (3=2) Sin (3=2) D* 0 -$ (3=2) Sin (3=2) E* 5 -$ (3=2) Sin (3=2)

Pny'$aian < .(=) > -$0 (3=2) u > -$ (3=2)  u? > 3 Sin (3=2) n >0 →

.?(=) > nun2 * u? > 0* -$02 (3=2) * 3 Sin (3=2) > 5 -$ (3=2) Sin (3=2) /aa&an < A 8* Turunan prtama .un#$i .(=) >   In (0=2) ada'a! .?(=) > * A* 3=0  2 * 03=0 7 2 0=2 0=2 * 3=0  2 D* 33=0  0 0=2 0=2 3=0 E* 3  7 0 0=2 Pny'$aian < . (=) > 3=0  In (0=2) .?(=) > 33=0  0 0=2 /aa&an < D * Dikta!ui .un#$i .(=) > 0= 0  6 % maka .?(=) > *** = A* 3= 7 0 = * 3=  2 = @0 0=0 * = 7 0 = D* =  2 = @0 0=0 E* 3=  6 = @0  Pny'$aian < .(=) > 0=  6 = > (0=  6) * =  > 0=3B0  6= .?(=) > 3= 7 0=3B0 > 3= 7 0 == > 3= 7 0 = @0 /aa&an < A

* Ditntukan kur;a dn#an pr$amaan y > = 3  p=0   #ari$ y > =  20 mnyin##un# kur;a di titik dn#an a&$i$ 0*ni'ai p >  A*  * 2 *  D*  E* 3 6

Pny'$aian < y > =3  p=0   y?> 3=0  0p= y > =  20 m >   20  6p >  p >  →

/aa&an < D 21* Fun#$i .(=) > (=) (= 0  0=  2) turun pada intr;a'  A*  O = O 2 *  O = O 3 * 2 O = O  D* = O 2 atau =  E* = O  atau =  2 Pny'$aian < .(=) > (=) ( =0  0=  2) > =3  0=0  = 7 =0 7 25= 7  > =3 7 5=0 7 2= 7  .?(=) > 3=0 7 20= 7 2 . turun < .?(=) O1 3= 7 20= 2 O1 (3=  3) (= 7 ) O 1 3=  3 O 1  = O 2 = 7  O 1  = O  2 O = O  →

→

/aa&an <  22* Fun#$i .(=) > 6= 3 7 2=0  2=  2 mmpunyai ni'ai mak$imum untuk = >  A* 6% * 2 * 0% D* 1% E* 22%

Pny'$aian < .(=) > 6=3 7 2=0 2=  2 .?(=)> 20=07 35=  2 $ta$i-nr < .?(=) >1 20= 7 35=  2 > 1 3 (6= 7 20=  ) > 1 3 (0=2) (0=) > 1 0=2 > 1  = > 1% 0= > 1  = > 0% →

→

/aa&an <  20* Turunan prtama dari F(=) > 3 -$ 3 (0=6) ada'a! F?(=) >  A* 2 -$0 (0=  6) Sin (0=  6) *  -$0 (0=  6) Sin (0=  6) * 2 -$ (0=  6) Sin (0=  6) D* 2 -$ (0=  6) Sin (6=  ) E*  -$ (0=  6) Sin (6=  )

Pny'$aian < .(=) > 3 -$3 (0=  6) u > 3 -$ (0=  6)  u? > 5 Sin (0=  6) n >3 →

.?(=) > nun2 * u? > 3*0 -$0 (0=  6) * 5 Sin (0=  6) > 35 -$0 (0=  6) Sin (0=  6) > 2*0 -$ (0=  6) Sin (0=  6) -$ (0=  6) > 2 Sin 0(0=  6) -$ (0=  6) > 2 $in (6=  ) -$ (0=  6) /aa&an < D 23* Ni'ai mak$imum dari .(=) > = 3 7 5=0  = pada intr;a' 2 J = J 3 ada'a! * A* 25 * 3 * 6 D* 2 E* 1 Pny'$aian <

.(=) > =3 7 5=0  = .?(=)> 3=0 7 20=   $ta$i-nr < .?(=) 3=3 7 20=   3(=0 7 6=  3) (= 2) (=  3) =>2%=>3 .(2) > (2)3 7 5(2)0  (2) > 2 7 5 7  > 25 .(6) > (6)3 7 5(6)0  *6 > 56 7 5 7 35 >6 /aa&an < 

A. B.

26* Pr$* #r$* Sin##un# kur;a y > 2  = pada titik &ra&$i$ 2 ada'a!  =0 =  0y   > 1 * =  0y 7  > 1 = 7 0y 7  > 1 D* 3=  0y 7 3 > 1 E* 3= 7 0y 7 3 > 1 Pny'$aian < y > 2  = =0 > = 0 7 =  y?> 0= 37 2 =  0 y?> m > 0(2)3 7 2 (2)  0 > 0 7 1% >0% y(2) > 2(2)0 7 (2) > 22> 1 P#$ < y 7 1 > 0% (= 7 2) y 7 1 > 0%= 7 0% 0y 7 1 > = 7  =  0y 7  > 1

=0

/aa&an < 

2* Turunan prtama .un#$i .(=) > -$ 3 ( 7 6= ) ada'a! .?(=) > A* 20 -$0 ( 7 6= ) Sin ( 7 6= ) * 20 -$ ( 7 6= ) Sin ( 7 6= ) * 20 Sin0 ( 7 6= ) Sin ( 7 6= ) D* 5 Sin ( 7 6= ) Sin ( 7 6= ) E* 5 -$ ( 7 6= ) Sin (21 7 =) Pny'$aian < .(=) > -$3 (  7 6= ) u > -$ ( 7 6= )  u? > 6 Sin ( 7 6= ) n >3 →

.?(=) > nun2 * u? > 3 -$32 ( 7 6= ) * 6 Sin ( 7 6= ) > 20 -$0 ( 7 6= ) Sin ( 7 6= ) > 5*0 -$ ( 7 6= ) Sin ( 7 6= ) -$ ( 7 6= ) > 5 Sin 0 ( 7 6= ) -$ ( 7 6= ) > 5 Sin (21 7 = ) -$ ( 7 6= ) /aa&an < E 25* > 5 ,m PQRS >**

Pr$#i panjan# AD dn#an A > 21 ,m dan  $rta P > Q > RD > SA > = ,m* 'ua$ minimum A* 6 * 

* 0 D* 3 E* 51

Pny'$aian < LAD > 5 *21 > 51 > 51 7 ( 0*2B0 PAS 7 0*2B0 PQ) > 51 7 (=(21 7 = ) 7 =(5 7 =) > 51 7 5=  = 7 21=  = > 51 7 25=  0= L? > 6= 7 25 = >61 LPQRS Min > 51 7 25*6  30 > 0 /aa&an <  28* Fun#$i .(=) > = 3 7 6=0  6=  5 naik pada intr;a' 

A* 0 O = O 0B3 * 0B3 O = O 3

* = O 0 atau =  0B3 D* = O 0B3 atau =  0 E* = O 0B3 atau =  0

Pny'$aian < .(=) > =  6=  6=  5 .?(=)> 3=7 =  6 F naik < .?(=) 1 3= 7 =  6 1 (3= 7 0 ) (= 7 0 )  1 3= 7 0  1 = 0B3 = 7 0  1  =  0 = O 0B3 atau =  0 →

→

/aa&an < D 2* Ni'ai minimum .un#$i .(=) > 0= 7 5= 7 6=   da'am intr;a' 3 J = J 6 ada'a! * * * A* 251 * 232 * 2 D*  E* 22 Pny'aian < .(=) > 0= 7 5= 7 6=   .?(=)> 5= 7 20= 7 6 Sta$i-nr < .?(=) >1 5= 7 20= 7 6 > 1 5(= 7 0= 7  ) >1 (=  0 ) (= 7 6) @ > 0% = > 6 .(0) > 0(0) 7 5(0) 7 6(0)   > 232 .(6) > 0(6) 7 5(6) 7 6(6)   > 2 /aa&an <  2* Turunan prtama .un#$i .(=) > (=  0) untuk = > 3 ada'a! * * * (2 7 3=) A* 1%111106 * 1%1106 * 1%11106 D* 1%106 E* 1%06

Pny'$aian < F(=) > (=  0) (2 7 3=) u > (=  0) ; > (2 7 3=)

 u? > 3(=  0)  ;? > 5(2 7 3=)

→

→

.?(=) > u?; 7 u;? ; > 3(= 0) (2 3=)  5(=0) (2 7 3=) (2 7 3= ) F?(3) > 3(3 0) (2(3))  5(3 0) (2 7 3(3)) (2 7 3(3))6 > 3*2*211 7 5*21 216 > 1%106 /aa&an < D 01* /ika y > 0=  = 7 3 % maka dy > * * * d= A* 0=  0 * 5=  0= 7 3 * 5=  0= = E* 5=  0

D*

=



Pny'$aian <  y > 0=  = 7 3 dy > 5=  0= d= /aa&an <  02*Gari$ $in##un# yan# mnyin##un# 'n#kun#an y > = 7 0=  2 di titik (2%1) akan mm-t-n# #ari$ = >3 di titik * * * A* (3%3) * (3%2) * (3%0) D* (3%2) E* ( 3%0) Pny'$aian < y > = 7 0=  2 y? > m > 3= 7 0

> 3*2 7 0 > 2 P#$< y 7 & > m (= 7 2) y 7 1 > 2 (= 7 2 ) y>=72 y(3)> 3 7 2 > 0  (3%0) →

/aa&an <  00* Dik* Kur;a y > =  0a=  &* Gari$ y > = 7 0 mnyin##un# kur;a di titik &ra&$i$ 2 * Ni'ai a > * * * A* 3 * 2B3 * 2B3 D* 3 E*  Pny'$aian < y > =  0a=  & y?> 3=  6a= Kur;a y > = 7 0 y?> m >  3  6a >  6a >  7 3 a > 3 /aa&an < A 03* S&ua! ku$n jnd'a &r&ntuk $prti #am&ar k'i'in# $ama dn#an k* $upaya 'ua$nya mak$imum ni'ai r ada'a! * * * A* k 6 * k 6

Pny'$aian < K'i'in# < 0=  0y  = > k Lua$ L< (0= * y)   = < =(k 7 0= 7 =)   = < k= 7 0= 7  =

* k   6 D* k 7  6 E* k 

L?< k 7 6= 7 = => k 6