BAGIAN 1 KONSEP DASAR TEORI BARIS DAN DERET SERTA PENGGUNAANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
Diskripsi Mata Kuliah Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis sehubungan dengan barisan dan deret bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu. Selanjutnya memberikan tuntunan dalam menggunakan rumus-rumus yang telah diperoleh untuk menghitung nilai-nilai yang ingin diketahui dari baris dan deret yang ada, seperti menghitung kesamaan suatu nilai dari dua beris atau deret yang diketahui, mencari perubahan dari suatu baris atau suatu deret. Tutjuan Khusus Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung perasalahan-perasalahan bisnis dan ekonomi di antaranya masalah perkembangan usaha sejauh mana pertumbuhannya yang konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangkan panjang yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu, dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu tertentu.
A. TEORI BARIS DAN DERET
1. Pengertian Baris Baris yang dimaksud adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya. Penggolongan baris dapat didasarkan pada : Jumlah suku yang membentuknya, dibedakan menjadi : 1. Baris berhingga 2. Baris tak berhingga Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi 1. Baris Hitung 2. Baris Ukur 3. Baris Harmoni 2. Baris Hitung Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya. Contoh : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ......................Sn S1 (suku pertama) = 2 S1 = a = 2 S2 (suku kedua) = 4 S2 = a + b = 2 + 2 = 4 S3 (suku ketiga) = 6 S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6 S4 (suku keempat) = 8 S 4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8 Sn (suku ke n) Maka untuk suku ke n di peroleh rumus : Sn = a + ( n – 1 ) b. Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan n = suku ke n
Contoh soal : Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke sepuluhnya dari baris hitung tersebut.
1
S3 = a + ( n – 1 ) b = 150 = a + 2b S7 = a + (n – 1 ) b = 170 = a + 6b - 20 = - 4b b = -20 / -4 = 5 150 = a + 2b 150 = a + 2.5 150 = a + 10 a = 150 – 10 a = 140 S10 = a + (n – 1) b = 140 + (10 -1) 5 140 + 45 = 185 3. Deret Hitung Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya. Contoh : (dari contoh baris hitung di atas) Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..... Maka Deret hitung : 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... D1 = 2, D2 = 2 + 4 = 6, D3 = 2 + 4 + 6 = 12 D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b} Contoh Soal : Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?. a = 140, b = 5 S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5 = 140 + 45 = 185 D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 ) = 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750 4. Baris Ukur Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya Contoh : 2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn S1 (suku pertama) = 2 S2 (suku kedua) = 6 S3 (suku ketiga) = 18 S4 (suku keempat) = 54 S5 (suku kelima) = 162 Sn (suku ke n) = dst. Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3. S1 (suku pertama) = a = 2 S2 (suku kedua) = ar = 2.3 = 6 2 2 S3 (suku ketiga) = ar = 2.3 = 2.9 = 18 3 3 S4 (suku keempat) = ar = 2.3 = 2.27 = 54 4 4 S5 (suku kelima) = ar = 2.3 = 2.8 = 162 Sn (suku ke n) n-1 Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus S n = ar
2
S3 = a + ( n – 1 ) b = 150 = a + 2b S7 = a + (n – 1 ) b = 170 = a + 6b - 20 = - 4b b = -20 / -4 = 5 150 = a + 2b 150 = a + 2.5 150 = a + 10 a = 150 – 10 a = 140 S10 = a + (n – 1) b = 140 + (10 -1) 5 140 + 45 = 185 3. Deret Hitung Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya. Contoh : (dari contoh baris hitung di atas) Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..... Maka Deret hitung : 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... D1 = 2, D2 = 2 + 4 = 6, D3 = 2 + 4 + 6 = 12 D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b} Contoh Soal : Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?. a = 140, b = 5 S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5 = 140 + 45 = 185 D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 ) = 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750 4. Baris Ukur Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya Contoh : 2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn S1 (suku pertama) = 2 S2 (suku kedua) = 6 S3 (suku ketiga) = 18 S4 (suku keempat) = 54 S5 (suku kelima) = 162 Sn (suku ke n) = dst. Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3. S1 (suku pertama) = a = 2 S2 (suku kedua) = ar = 2.3 = 6 2 2 S3 (suku ketiga) = ar = 2.3 = 2.9 = 18 3 3 S4 (suku keempat) = ar = 2.3 = 2.27 = 54 4 4 S5 (suku kelima) = ar = 2.3 = 2.8 = 162 Sn (suku ke n) n-1 Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus S n = ar
2
5. Deret Ukur Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya. Contoh : (dari contoh baris ukur di atas) Baris Ukur Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, 162, ....... maka Deret Ukur : 2, 8, 26, 80, 242, ..... D1 = 2 D2 = 2 + 6 = 8 D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst. Dn dapat dirumuskan : n
Dn
a 1 r
1 r
n
, r 1
atau
Dn
a r
1
1 r
, r 1
Contoh Soal : Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya. a = 20, r = 2 n-1 6-1 5 S6 = ar = 20. 2 = 20. 2 = 20. 32 = 640 D6
20 2 6 1 2 1
=
20.63 1
= 1260
B. PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI
1. Perkembangan Usaha Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Contoh Soal 1. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ? Jawab : Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12. S12 = a + (n – 1) b = 5.000 + (12 – 1) 300 = 5.000 + (11) 300 = 5.000 + 3.300 = 8.300 Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik. Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama. D12 = n/2 (a + s12) = 12/2 (5.000 + 8.300) = 6 (13.300) = 79.800 2. Teori Nilai Uang (bunga Majemuk) Perluasan deret ukur digunakan dalam masalah bunga berbunga, masalah pinjam meminjam serta masalah investasi yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga dalam jangka waktu tertentu yang besarnya diasumsikan tetap dari waktu ke waktu. Misalkan suatu modal sebesar P 0‟ akan dibungakan per-satu tahun selama jangka waktu n tahun. Tingkat suku bunga yang berlaku yang berlaku adalah r % per-tahun, diasumsikan tetap dari tahun ke tahun selama n tahun. Sehingga menghitung modal awal tahun ke-n yang diperoleh melalui pembungaan setiap satu tahun dapat dirumuskan n n.m Pn = po ( 1 + r ) , atau Pn = po ( 1 + r /m) Pn = Modal pada tahun ke-n (di masa yang akan datang) Po = Modal saat sekarang, saat t = 0 r = Tingkat suku bungan per-tahun 3
n = tahun ke m = periode per-tahun Contoh Soal : Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun. Bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-5 ? n Pn = P0 ( 1 + r ) 5 5 = 10.000.000 ( 1 + 0,11 ) = 10.000.000 ( 1,11 ) = 10.000.000 (1,685058155) = 16.850.581,55 3. Pertumbuhan Penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan : n Pn = P0.( 1 + i ) Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1) P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun Contoh soal : Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005. Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun n 10 Pn = P0.( 1 + i ) = 100.000 ( 1 + 0,04 ) 10 = 100.000 ( 1,04 ) = 100.000 ( 1,48024) = 148.024 Latihan Soal 1. Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah suku ke 10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ? 2. Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku pertama baris hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh suku pertamanya. 3. Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh. a) Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ? b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ? c) Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ? d) Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?. 4. Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan produksinya per tahun ? b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?. 5. Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan. 6. Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?
Jawaban latihan soal. 5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali n.m Pn = P0 (1 + r/m) 5.2 = 10.000.000 (1 + 0,11/2) 10 = 10.000.000 (1 + 0,055) = 10.000.000 (1,708144) 4
= 17.081.444,58 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali n.m Pn = P0 (1 + r/m) 5.4 = 10.000.000 (1 + 0,11/4) 20 = 10.000.000 (1 + 0,0275) = 10.000.000 (1,720428431) = 17.204.284,31 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,3. 6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk : n Pn = P0 (1 + i) 2013-2008 4,5 = 3,25 (1 + i) 5 4,5 = 3,25 (1 + i) 5 4,5/3,25 = (1 + i) 5 1,3846 = (1 + i) 1/5 1,3846 = 1 + i 1/5 i = 1,3846 - 1 i = 0,0673 i = 6,73 % Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 % Jumlah penduduk pada tahun 2015. 2015-2008 P2015 = P2008 (1 + i) 7 = 3,25 (1 + 6,73%) = 3,25 (1,577632) = 5,13 Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta. Daftar Pustaka :
5
BAGIAN 2 KONSEP DASAR TEORI FUNGSI, TEORI FUNGSI LINIER DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
2.1 PENDAHUKUAN : 2.1.1. Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu sama lain dala hubungan yang dapat dijelaskan secara ateatis yaitu hubungan yang linier. Fungsi-fungsi yang bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit, sejajar atau bahkan berpotongan. Untuk mencari perpotongan dua fungsi yang linier digunakan metode eliminasi, substitusi atau dengan cara determinan. 2.1.2.Tujuan Khusus 1. Menggabarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mencerminkan perilaku baik perilaku konsumen maupun perilaku produsen. Perilaku konsumen dicerminkan melalui fungsi permintaan, sedangkan perilaku produsen dicerminkan dengan fungsi penawaran. Pertemuan antara keduanya merupakan titik keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar ini dapat bergeser sejajar akibat adanya capur tangan pemerintah dalam bentuk pajak maupun subsidi 2. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mmenghitung berapa produk yang sebaiknya diproduksi dan dijual oleh perusahaan agar perusahaan dapat menutup biaya-biaya tetapnya, menutup totol biaya, bahkan agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan. Disebut Analisis Break-Even Analusis. 3. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat membantu menghitung berapa pendapatan nasional yang harus diperoleh suatu negara agar tidak mengalami defisit akibat konsumsi yang lebih besar dari pada pendapatan. Lebih jauh lagi berapa pendapatan minimum agar dapat menabung. 4. Menggambarkan pendapatan nasional dapat menghitung melalui pendekatan pengeluaran yang linier. 2.2. PENYAJIAN 2 .2.1. Uraian Materi A. TEORI FUNGSI DAN TEORI FUNGSI LINIER
1. Pengertian Fungsi Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel, Koevisien dan konstanta. Yang dimaksud dengan variabel ialah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Dalam suatu fungsi, Penggolongan variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat dimana variabel bebas yaitu variabel yang menerangkan variabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel lain. Yang dimaksud dengan koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apa pun. secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Contoh : 1. 3y = 4x – 8, y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas 3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y) 4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x) -8 adalah konstanta 2. y = x ½ y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas 6
Jika x adalah fungsi dari y maka ditulis x = f(y), dimana y adalah variabel bebas dan x adalah variabel terikat. Contoh : 1. x = y-2 y adalah variabel bebas x adalah variabel terikat -2 adalah konstanta 2. x = -2 x adalah variabel terikat -2 adalah konstanta 2. Jenis-jenis Fungsi Fungsi Irrasional : Fungsi yang memiliki n 1 2 3 n Bentuk umum Y = √ a0 + a1x + a2x + a3x + ......+ anx , n bilangan bulat positif 1 2 3 11 1/11 contoh :Y = (1+2x - 3x + 4x +...........+ 12x ) Fungsi Polinom : Fungsi yang memiliki banyak suku 1 2 3 n n Bentuk umum : Y = a 0 + a1x + a2x + a3x + ........+ a x ;bilangan bulat positif 1 2 3 11 Contoh: Y = 1 + 2x - 3x + 4x +..........-12x ; n = 11 Fungsi Linier : Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu. 1 Bentuk umum Y = a 0 + a1x 1 Contoh: Y = 1 + 2x Fungsi Kuadrat :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah dua. 1 2 Bentuk umum :Y = a 0 + a1x + a2x 1 2 Contoh : Y = 1 - 2x - 3x Fungsi Kubik :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah tiga. 1 2 3 Bentuk umum :Y = a 0 + a1x +a2x + a3x 1 2 3 Contoh : Y = 1 + 2x – 3x + 4x Fungsi Bikuadrat :Fungsi polinom yang fariabel bebasnya memiliki pangkat paling tinngi adalah empat. 1 2 3 4 Bentuk umum :Y = a0 + a1x + a2x + a3x + a3x 1 2 3 4 Contoh :Y = 1 + 2x + 3x + 4x + 5x Fungsi Pangkat :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan riil positif n Bentuk umum : Y = x , n bilangan riil positif 2 Contoh :Y = x Fungsi Eksponen : Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat suatu konstanta. x Bentuk umum :Y = n x Contoh :Y = 2 Fungsi logaritma : Fungsi yang merupakan invers fungsi eksponen n Bentuk umum Y = log x 4 Contoh :Y = log x Fungsi Hiperbola :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan riil negatif n Bentuk umum :Y = x , n bilangan riil negatif -2 Contoh :Y = x , n bilangan riil negatif 3. Pengertian Fungsi Linier Fungsi linier adalah fungsih polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah 1 satu : Y = a 0 + a1x ,Y variabel terikat, x variabel bebas a0 konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol a1 Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol Untuk nilainya a 0 dan a1 yang memungkinkan positif, negatif, atau nol, maka alternatif yang mungkin 1 untuk fungsi linier : Y= a0 + a1x yaitu : misal a0 = 4 dan a1 = 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
a0 = + ; a1= + a0 = + ; a1= - a0 = + ; a1= 0 a0 = - ; a1 = + a0 = - ; a1 = - a0 = - ; a1 = 0 a0 = 0 ; a1 = + a0 = 0 ; a1 = -
Y = a0 + a1x Y = a0 – a1x Y = a0 + 0.x Y = -a0 +a1x Y = -a0 – a1x Y = -a0 + 0.x Y = 0 +a1x Y = 0 – a1x
Y = 4 + 2x Y = 4 – 2x Y = 4 + 0.x = 4 Y = - 4 + 2x Y = - 4 – 2 x Y = - 4 + 0.x = - 4 Y = 0 + 2x Y = 0 – 2 x 7
9. a0 = 0 ; a1 = 0
Y = 0 + 0.x
Y = 0 + 0.x = 0
4. Penggambaran Fungsi Linier Penggambaran fungsi linier dari berbagai alternatif untuk a 0 = 4 dan a1 = 2 Y = 4 + 2x (0,4) 1. Y = 4 + 2x dua buah titik yang dibutuhkan untuk mengambarkannya (0,4) dan (-2,0)
(-2,0)
2. Y = 4 – 2x dua buah titik yang dibutuhkan untuk mengambarkannya (0,4) dan (2,0)
0
(0,4) 0
(2,0) Y = 4 – 2x
3. Y = 4 titik yang dibutuhkan untuk mengambarkannya (0,4)
(0,4)
(Y = 4)
0
4. Y = - 4 + 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,- 4) dan (2,0)
0
(2,0) (0,-4)
5. Y = - 4 – 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,- 4) dan ( - 2,0)
(-2,0)
0
(0,-4)
6. Y = - 4 titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0.- 4)
Y = -4 – 2x
0
(0,-4)
Y = -4
8
7. Y = 0 + 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,0) dan (2,4)
Y = 0 + 2x (2,4)
(0,0) 8. Y = 0 – 2x dua buah titik yang dibutuhk untuk menggambarkannya (0,0) dan (2,- 4)
(0,0)
-4
9. Y = 0 dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,0) dan (2,0)
(0,0)
2
2 (2,-4) Y = 0 – 2x
(2,0)
5. Hubungan Dua Fungsi Linier Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a 0 + a1 x dan fungsi linier yang
kedua yaitu : Y‟ = a 0‟ + a1‟ x. Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam berbagai keadaan: 1. Berhimpit Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x karena berhimpit, maka a 0 = a0‟ dan a1 = a1‟ contoh : Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2 Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 , gradien 4/2 = 2 2. Sejajar
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x
Karena sejajar, maka a 0 = a0‟ dan a1 = a1‟ Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 +4x , intersep 2, gradien 4
3. Berpotongan Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x 0 Karena Berpotongan, maka dan a 1 = a1‟ untuk kondisi seperti pada gambar a 0 = a0‟ 9
Contoh : Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2, gradien – 4
4.
Berpotongan
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x 0 Karena berpotongan, maka dan a 1 = a1‟ Untuk kondisi seperti pada gambar a 0 = a0‟ dan perpotongan pada titik (0, a0) Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x , intersep 2 , gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2 , gradien – 4 dan perpotongan pada titik (0,2) 5. Berpotongan tegak lurus Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x 0 Karena berpotongan tegak lurus, maka a 1 = a1‟ dan a1.a1‟. = - 1. Untuk kondisi seperti pada gambar a 0 = a0‟. Contoh : fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4 fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien – 1/4 6. Berpotongan tegak lurus Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0 +a‟1x 0 Karena berpotongan tegak lurus, maka a 1 = a1‟ dan a1. a1‟ = -1 Untuk kondisi seperti pada gambar a 0 = a0‟ dan berpotongan pada titik (0, a 0) Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x, intersep 2, gradien 4 fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien – ¼ dan perpotongan pada titik (0,2) 6 . Titik Potong Linier Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara : 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan Contoh : Carilah titik potong dari garis yang berpotongan yaitu 2 x + 3 y = 4 dan x + 2 y = 1 Jawab : 1. Cara Substitus 2x+3y=4 ........* x + 2 y = 1 - x = 1 – 2 y .........** memasukkan ** pada* 2x+3y=4 2 (1 – 2 y) + 3 y = 4 maka x = 1 – 2 y 2 (1) – 2 (2 y) + 3 y = 4 x = 1 – 2 (-2) 2 – 4 y + 3 y = 4 x = 1 – ( - 4) 10
2 – y = 4 -y = 4 – 2 -y = 2 y=-2 2. Cara Eliminasi 2 x + 3 y = 4 (x 1) --- x + 2 y = 1 (x 2) --- maka x + 2 y
x=1+4 x=5
2x+3y=4 2 x +4 y= 2 _ -y=2
=1 x + 2 (- 2) x + (- 4) x – 4 x x
y=-2
=1 =1 =1 =1+4 =5
3. Cara Determinan 2 x + 3y= 4 x+2y=1 | 4 3 | | 1 2 | (4)(2) – (1)(3) 8 – 3 5 x = ------------ = ----------------- = ------- = ---- = 5 | 2 3 | (2)(2) – (1)(3) 4 – 3 1 | 1 2 | | 2 4 | | 1 1 | (2)(1) – (1)(4) 2 – 4 -2 y = ------------ = ----------------- = ------- = ---- = -2 | 2 3 | (2)(2) – (1)(3) 4 – 3 1 | 1 2 | Baik dengan cara eliminasi, substitusi, ataupun determinasi, pasti akan diperoleh nilai yang sama. 7. Penamaan Fungsi Linier 1. Jika diketahui dua buah titik yaitu A (x 1, y1) dan B (x2, y2). B(X2,Y2) Gambar :
A(X1,Y1)
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui kedua titik tesebut dapat diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini : Y – Y1 = X – X1 Y2 – Y1 = X2 – X1 Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7). Jawab : misalkan (x 1,y1) = (3,3) dan (x2,y2) = (5,7) maka : Y – 3 = x – 3 7 – 3 = 5 – 3 Y – 3 = x – 3 4 2 Y – 3 = 4 / 2 ( x – 3) Y – 3 = 2 x – 6 Y = 2 x – 6 + 3 Y = 2 x – 3 Jadi garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7) adalah Y = 2 x – 3
11
2. Jika diketahui sebuah titik A (x 1, y1) dan gradiennya / kemiringannya m Gambar : A(x1,y1)
n 0
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui titik tersebut dengan kecondongantertentu dapat diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini : Y – Y1 = m (x – x1), m = ∆Y/∆x Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dengan kecondongan sebesar 5 Jawab : Misalkan (x 1,y1) = (3,3) dan m = 5 Maka : Y – Y1 = m(x – x1) Y – 3 = 5 (x – 3) Y – 3 = 5x – 15 Y = 5x – 15 + 3 Y = 5x – 12 Jadi garis yang melalui titik (3,3) dengan kemiringannya 5 adalah Y = 5x - 12
B. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. Pendahuluan Penerapan fungsi linier dalam bisnis dan teori ekonomi mikro, yaitu : Fungsi permintaan, Fungsi penawaran, Keseimbangan pasar, Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar, Fungsi penerimaan, Fungsi biaya, dan ‘ break-even analsis ‘ . Penerapan fungsi linier dalam ekonomi mikro, yaitu : fungsi pendapatan yang terdistribusi menjadi fungsi konsumsi dan fungsi tabungan fungsi pendapatan nasional yang dihitung melalui pendekatan pengeluaran. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN TEORI EKONOMI MIKRO 2. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan merupakan fungsi yang mencermintan hubungan antara variabel harga ( P ; price) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta ( Qd ; quantity demand ). Ditulis: P= f(Qd ). Fungsi ini mencerminkan perilaku konsumen di pasar di mana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan mengalami penurunan. Demikian sebaliknya, jika harga mengalami penurunan maka jumlah barang yang diminta akan mengalami peningkatan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang diminta (Qd) dan sumbu tegaknya harga barang yang bersangkutan (P),
dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang diminta (fungsi linier), maka fungsi permintaan suatu barang dicerminkan sebagai berikut : Sifat monoton turun :
P‟ > P maka Qd‟ < Qd P” < P maka Qd” > Qd Contoh : 1. P = 30 - 2 Qd 2. Qd = 15 – P
Contoh Soal : 1. Suatu barang, jika dijual seharga Rp 5.000 per-buah akan- laku sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi, jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4.000 per-buah, maka jumlah permintaan terhadap barang tersebut meningkat menjadi 6.000 buah. Bagaimana fungsi permintaanya ? Gambarkan fungsi permintaan tersebut pada Grafik Kartesius. Jawab : Diketahui (Qd1,P1,)= (3.000,5.000) dan (Qd 2,P2,) = (6.000, 4.000) Fungsi permintaannya dicari dengan rumus : P - P1 = Qd – Qd1 P2 – P1 Qd2 – Qd1 12
P - 5.000 = 4.000 – 5.000 P - 5.000 - 1.000 P – 5.000
=
P – 5.000 P – 5.000
= = = =
=
P P
Qd - 3.000 6.000 - 3.000 Qd - 3.000 3.000 - 1.000 ( Qd – 3.000 ) 3.000 -1/3 (Qd – 3.000) -1/3 Qd – 1/3 (- 3.000) -1/3 Qd + 1.000 + 5.000 -1/3 Qd + 6.000
Gambar Grafik Kartesiusnya ( P vs Qd ) : P 6000 P = - 1/3 Qd + 6.000 0
Qd= 18.000
Contoh Soal : 2. Permintaan suatu barang sebanyak 500 Buah pada saat harganya 40.000. apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah permintaan mengalami penurunan sebanyak 250, sebagaimana fungsi permintaannya dan gambarkan fungsi permintaanya dan gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik kartesius Jawab : Diketahui ( P1 ,Qd1 ) = ( 40.000, 500 ) dan p = 1.250 , Qd = - 250 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : ( P – P1 ) = m (Qd – Qd1 ) dengan m = P / Qd = 1.250 / (- 250 ) = -5 Maka ( P – 40.000 ) = -5 ( Qd – 500 ) P – 40.000 = -5 Qd – ( 5 )( - 500 ) P – 40.000 = -5 Qd + 2.500 P = -5 Qd + 2.500 + 40.000 P = -5 Qd + 42.500 Jadi fungsi prmintaanya : P = - 5 Qd + 42.500 Gambar Fungsi Penawaran tersebut pada grafik Kartesius :
42.500 P = - 5 Qd + 42.500
0 Catatan : Gradien fungsi permintaan yang dinyatakan dengan rumus m=Δ P / Δ Qd nilainya Senantiasa negatif, sebab : 1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang diminta : Menjadikan : M = Δ P = negatif = negatif atau ΔQd positif 2. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang diminta Menjadikan : 13
M=Δ P = Δ Qd
positif negatif
= negatif
3. Fungsi Penawaran Fungsi penawaran merupakan fungsi yang mencerminkan hubungan antara variabel harga ( P : price ) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang ditawarkan ( Qd : Quantity Supply ). Ditulis : P = f ( Qs ). Fungsi ini mencerminkan perilaku produsen dipasar dimana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami peningkatan. Demikian sebaliknya, jika harga barang mengalami penurunan maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami penurunan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang ditawarkan (Qs) dan sumbu tegaknya harga barang bersangkutan
(P), dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang ditawarkan (fungsi linier), maka fungsi penawaran suatu barang dicerminkan sebagai berikut : Contoh : 1. P = 120 + 4Qs 2. Qs = -40 + ¼ P 3. ¼ P = 8Qs + 125 Contoh Soal : 1. Suatu barang, harga dipasarnya Rp 5.000 per buah maka produsen akan menawarkan sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi, jika harga lebih tinggi yaitu menjadi Rp 6.000 per-buah, maka jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen akan bertambah menjadi 6.000 buah. Bagaimanakah fungsi penawarannya ? Gambarkan fungsi penawarannya tersebut pada Grafik Kartesius. Jawab : Diketahui (P1,Qs1) = (5.000, 3.000) dan (P 2,Qs2) = (6.000, 6.000) Fungsi penawarannya dicari dengan rumus : P – P1 = Qs – Qs1 P2 – P1 Qs2 – Qs1 P – 5.000 = Qs – 3.000 6.000 – 5.000 6.000 – 3.000 P – 5.000 = Qs – 3.000 1.000 3.000 P – 5.000 = 1.000 (Qs – 3.000) 3.000 P – 5.000 = 1/3 (Qs – 3.000) P – 5.000 = 1/3 Qs + (1/3) (-3.000) P = 1/3 Qs – 1.000 + 5.000 P = 1/3 Qs + 4.000 Jadi fungsi penawarannya adalah : P = 1/3 Qs + 4.000 Gambar Grafik Kartesiusnya (P vs Qs) : Contoh Soal : 2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harganya 40.000. Apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran mengalami peningkatan sebanyak 250, bagaimana fungsi penawarannya dan gambarkan fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius. Jawab :
Diketahui (Pı,Qsı) = (40.000, 500) dan ∆P = 1.250, ∆Qs = 250 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : ( P – Pı ) = m (Qs – Qsı)
dengan m = ∆P / ∆Qs = 1250 / 250 =5
maka (P – 40.000) = 5(Qs – 500) P – 40.000 = 5Qs + (5)(-500) P – 40.000 = 5Qs – 2.500 P = 5Qs – 2.500 + 40.000 P = 5Qs + 37.500 14
Jadi fungsi penawarannya : P = 5Qs + 37.500 Gambar fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius : P P = 5Qs + 37.500 37.500
0
Qs
Catatan : Gradien fungsi penawaran yang dinyatakan dengan rumus: m = ∆ P nilainya senatiasa positif, sebab : ΔQs 1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan penurunan jumlah barang yang ditawarkan; menjadikan : m = ∆ P = negatif = positif atau
∆Qs
positif
1. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang ditawarkan; menjadikan : m = ∆ P = positif = positif]
∆Qd positif
4. Keseimbangan Pasar Eqiullibrium’ adalah suatu kondisi dimana keseimbangan harga (Pe) Keseimbangan pasar atau ‘ tercapai Jumlah barang yang diminta = Jummlah barang yang ditawarkan
Qe ›› Qd = Qs
Keseimbangan harga (Pe) tercapai : Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan Qe ›› Qd = Qs Atau Keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan Pe ›› P = P Fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada sebuah grafik Kartesius dengan keseimbangan harga (Pe) dan keseimbangan Kuantitasnya (Qe), digambarkan sebagai berikut : P P = f (Qs) Pe P = f(Qd) 0 Qe Qd Contoh Soal : 1. Untuk suatu barang, pada harga Rp 6.000 pengusaha menawarkan barang tersebut sebanyak 30 buah, dan setiap kenaikan harga sebanyak Rp 2.000 maka jumlah barang yang ditawarkan juga meningkat sebanyak 20. Pada harga Rp 5.000 jumlah pemintaan barang tersebut sebanyak 20 buah dan untuk kenaikan harga menjadi Rp 10.000 jumlah permintaannya berkurang menjadi 10 buah. Bagaimanakah fungsi permintaan dan fungsi penawaran barang tersebut ? Gambarkan kedua fungsi tersebut pada sebuah Grafik Kartesius. Jawab : Mencari fungsi penawaran : Diketahui (P1,Qs1) = (6.000,30) dan ∆P = 2000, ∆Qs = 20 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : (P – P1) = m (Qs – Qs1) 15
dengan m = ∆P / ∆Qs = 2000 / 20 = 100 maka (P – 6.000) = 100 (Qs – 30) P – 6.000 = 100Qs + (100)(-30) P – 6.000 = 100Qs – 3.000 P = 100Qs – 3.000 + 6.000 P = 100Qs + 3.000 Jadi fungsi penawarannya : P = 100Qs + 3.000 Mencari fungsi permintaan : Diketahui (P1,Qd1) = (5.000,20) dan (P2,Qd2) = (10.000,10) Fungsi permintaannya dicari dengan rumus : P – P1 = Qd – Qd1 P2 – P1 Qd2 – Qd1 P – 5.000 = Qd – 20 10.000 – 5.000 10 – 20 P – 5.000 = Qd – 20 5000 -10 P – 5.000 = 5.000 (Qd – 20) -10 P – 5.000 = -500(Qd – 20) P – 5.000 = -500Qd + (-500) (-20) P – 5.000 = -500Qd + 10.000 P = -500Qd + 10.000 + 5.000 P = -500Qd + 15.000 Jadi fungsi permintaannya adalah : P = -500 Qd + 15.000 Keseimbangan Kuantitas (Q) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan -500Q + 15.000 = 100Q + 3.000 15.000 – 3.000 = 100Q + 500Q 12.000 = 600Q Qe = 12.000 600 Qe = 20 Jadi keseimbangan kuantitas tercapai pada 20 unit barang. Untuk Keseimbangan Harga (Pe) diperoleh dengan cara : Pe = -500 Qe + 15.000 atau Pe = 100Qe + 3.000 Pe = -500 (20) + 15.000 Pe =100(20) + 3.000 Pe = -10.000 + 15.000 Pe = 2.000 + 3.000 Pe = 5.000 Pe = 5.000 Jadi keseimbangan harga tercapai pada harga Rp 5.000
Grafiknya digambarkan sebagai berikut : P P = 100 Qs + 3.000 Pe = 5.000 3000
P = -500 Qd + 15.000 0
Qe = 20
Qd, Qs
2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu barang diberikan sebagai berikut : Qd = 11P dan Qs = -4 +2P Dimanakah keseimbangan harga (Pe) dan keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai ? Gambarkan kedua fungsi tersebut pada sebuah grafik kartesius. 16
Jawab : Keseimbangan harga (Pe) tercapai : Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan Qe ›› Qd = Qs 11 – P = -4 + 2P 11 + 4 = 3P + P 15 = 3P Pe = 5 Jadi keseimbangan harga di pasar tercapai pada harga 5. Sehingga keseimbangan kuantitasnya (Qe) dapat dicari : Qe = 11 – P atau Qe = - 4 + 2P Qe = 11 – 5 Qe = -4 + 2(5) Qe = 6 Qe = -4 + 10 Qe = 6 Jadi keseimbangan kuantitas di pasar tercapai pada jumlah 6 Grafik digambarkan sebagai berikut : Qd, Qs Qs = -4 + 2P 11
Qe = 6 0
P 2
Pe = 5
-4
Qd = 11 - P
5. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah mengenakan pajak penjualan kepada para produsen. Pajak penjualan tersebut dinyatakan dengan : tarif pajak (t) = satuan unit uang / satuan unit barang.
Pengaruh pajak terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar
Sebelum ada pajak
Sesudah ada pajak (Tarif Pajak (t)
Fungsi Penerimaan
P = f(Qd)
P = f(Qd)
Fungsi Penawaran
P = f(Qs)
P = f(Qs) + t
Contoh Soal : Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut : Qd = 11 – P dan Qs = -4 + 2P. Kepada produsen tersebut, pemerintah mengenakan pajak dengan terif pajak sebesar t = 3 / unit barang. (i). Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada pajak. (ii). Gambarkan perubahan akibat pajak tersebut. (iii). Berapa tarif pajak yang ditanggung konsumen. (iv). Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen. (v). Berapa total pajak yang diterima pemerintah. (vi). Berapa total pajak yang ditanggung konsumen. (vii). Berapa total pajak yang ditanggung produsen. (viii). Arsirlah total pajak masing-masing pada gambar di atas. 17
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dikenakan pajak. Dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Grafiknya digambarkan sebagai berikut :
Jika hendak digambarkan dengan fungsi P sebagai fungsi tegak dan fungsi Qd,Qs pada sumbu datar maka kita harus melakukan perubahan sebagai berikut : Fungsi permintaan : Qd = 11 – P atau P = 11 – Qd Fungsi penawaran : Qs = -4 + 2P atau Qs + 4 = 2P Maka P = ½ Qs + 4/2 P = ½ Qs + 2 Gambarnya menjadi : P P = ½ Qs +2 Pe = 5 2P = 11 - Qd 0
Qe = 6
Qd,Qs
Akibat dikenakan pajak, maka Sebelum ada pajak
Sesudah ada pajak Tarif Pa ak t
Fungsi Penerimaan
P = 11 - Qd
P = 11 - Qd
Fungsi Penawaran
P = ½ Qs + 2
P = ½ Qs + 2 + t P = ½ Qs + 2 + 3 P = ½ Qs + 5
Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya pajak maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = ½ Qs + 5. Perubahan tersebut mengakibatkan terjadinya pergeseran keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar. Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah dikenakan pajak
Keseimbangan kuantitas (Qe‟) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan 11 – Qe‟ = ½ Qe‟ + 5 11 – 5 = ½ Qe‟ + Qe‟
6
= 3/2 Qe‟
12 = 3 Qe‟
Qe‟ = 4
Jadi keseimbangan kuantitas setelah kena pajak tercapai pada 4 unit barang. Untuk keseimbangan Harga (Pe) diperoleh dengan cara :
Pe‟ = 11 – Qe‟ Pe‟ = 11 – 4 Pe‟ = 7
atau
Pe‟ = 1/2Qe‟ + 5 Pe‟ = 1/2(4) + 5 Pe‟ = 2 + 5 Pe‟ = 7
Jadi keseimbangan harga setelah kena pajak tercapai pada harga 7 Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya pajak) yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = ½ Qs + 5. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum dikenakan pajak maupun yang sesudah kena pajak ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + ½. Sedangkan intersepnya berbeda satu sama lainya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki 18
gradien yang sama tetapi intersepnya masing-masing berbeda satu sama lainnya, maka jika digambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar. Agar perubahannya terlihat jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena pajak dan fungsi penawaran setelah kena pajak digambarkan bersama-sama dalam sebuah Grafik Kartesius. Fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum ada pajak, dan fungsi penawaran setelah ada pajak, serta keseimbangan harga dan kuantitas sebelum ada pajak digambarkan di bawah ini : P
P = ½ Qs + 5 E“
Pe = 7 Pe = 5
P = ½ Qs + 2 E
0
Qe‟ = 4 Qe = 6
Qd,Qs
Keterangan gambar : E : keseimbangan sebelum ada pajak Qe : keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak Pe : keseimbangan harga sebelum ada pajak
E‟ : keseimbangan setelah ada pajak Qe‟ : keseimbangan kuantitas setelah ada pajak Pe‟ : keseimbangan harga setelah ada pajak
Adanya pengenaan pajak dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan : 1. Keseimbangan harga setelah ada pajak lebih tinggi dari pada keseimbangan harga sebelum ada pajak :
Pe‟ = 7 sedangkan Pe = 5; Maka : Pe‟ > Pe
2. Keseimbangan kuantitas setelah ada pajak lebih rendah dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak :
Qe‟ = 4 sedangkan Qe = 6 Maka : Qe‟ < Qe
Tarif pajak yang dikenakan oleh pemerintah kepda produsen t = 3/unit. Akan tetapi, produsen tidak mau menaggungnya sendiri. Sebagian dari pajak tersebut dibebankannya kepada konsumen. Beban tarif pajak yang dibebankan oleh produsen kepada konsumen terasakan oleh adanya kenaikan keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe‟ = 7, sedangkan yang ditanggung produsen berarti tinggal sisanya. Tarif pajak dan Total Pajak : 6. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar Pemerintah memberikan subsidi kepada para produsen. Subsidi tersebut dinyatakan dengan : tarif subsidi (s) = satuan unit uang / satuan unit barang. Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar Contoh soal : Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut :Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2 P kepada produsen tersebut, pemerintah memberikan subsidi dengan tarif subsidi dengan tarif subsidi sebesar s = 1 / unit barang. i) Carilah keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sesudah ada subsidi. ii) Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut. iii) Berapa tarif subsidi yang diterima konsumen. iv) Berapa tarif subsidi yang di terima produsen. v) Berapa total subsidi yang diberikan pemerintah. vi) Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen. vii) Berapa total subsidi yang dinikmati produsen. viii) Arsirlah total subsidi masing-masing pada gambar di atas.
19
Keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sebelum dikenakan subsidi. Akibat dikenakan subsidi, maka dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya subsidi maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran sebelum ada subsidi adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi : P = ½ Qs + 1. perubaha tersebut mengakibatkan terjadinya pengeseran keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar.
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada subsidi Keseimbangan kuantitas (Qe’ ) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan 11 – Qe’ = ½ Qe’ + 1 11 – 1 = ½ Qe’ + Qe’ 10 = 3/2 Qe’ 20 = 3 Qe’ Qe’ = 6, 67 Jadi keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi tercapai pada 6, 67 unit barang Untuk keseimbangan harga ( Pe’ ) diperoleh dengan cara : Pe’ = 11 – Qe’ atau Pe’ = 1 / 2 Qe’ + 1 Pe’ = 11 – 6, 67 Pe’ = 1 / 2 (6, 67) + 1 Pe’ = 4, 33 Pe’ = 3,33 + 1 Pe’ = 4,33 Jadi keseimbangan harga setelah ada subsidi tercapai pada harga 4,33 Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya subsidi), yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum ada subsidi adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi : P = ½ Qs + 1. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum ada subsidi maupun yang sudah ada subsidi ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + ½ . Sedangkan intersepnya berbeda satu sama lainnya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki gradien yang sama tetapi intersepnya masing- masing berbeda satu sama lainya, maka jika di gambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar.
Agar perubahannya terlihat dengan jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena subsidi dan fungsi penawaran setelah kena subsidi digambarkan bersama sama dalam sebuah Grafik Kartesius. P
P = ½ Qs + 2
Pe = 5 Pe = 4,33
E
0
E′
P = ½ Qs + 1
Qe‟ = 6 Qe = 6,67
Qd,Qs
Keterangan gambar E : Keseimbangan sebelum ada subsidi Qe : Keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi Pe : Keseimbangan harga sebelum ada subsidi E’ : Keseimbangan setelah ada subsidi Qe’ : Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi Pe’ : Keseimbangan harga setelah ada subsidi
20
Adanya pemberian subsidi dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan : 1. Keseimbangan harga setelah ada subsidi lebih rendah dari pada keseimbangan harga selum ada subsidi : Pe’ = 4,33 sedangkan Pe = 5 ; Maka : Pe’ < Pe 2. Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi lebih tinggi dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi : Qe’ = 6,67 sedangkan Qe = 6 Maka : Qe’ > Qe Tarif subsidi yang dikenakan oleh pemerintah kepada produsen s = 1 / unit. Akan tetapi, produsen tidak menikmatinya sendiri. Sebagian dari subsidi tersebut diberikannya kepada konsumen. Tarif subsidi yang diberikan oleh produsen kepada konsumen tersakan oleh adanya penurunan keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe’ = 4,33, sedangkan yang diterima produsen berarti tinggal sisanya. P
P = ½ Qs + 2
Pe = 5 Pe = 4,33
E
0
E′
P = ½ Qs + 1
Qe‟ = 6 Qe = 6,67
Qd,Qs
Gambar yang menunjukan total subsidi. Keterangan gambar : Sp : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsisi yang dinikmati produsen. Sk : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmatikonsumen. S:
Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang diberikan pemerintah.
: merupakan penjumlahan antara luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmati produsen dengan luas aera yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmati konsumen S = Sk + Sp 7. Fungsi Penerimaan Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (total revenue). Fungsi penerimaan merupakan fungsi dari Output : R = f (Q) dengan Q : jumlah produk yang laku terjual. Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku terjual. Jika P adalah harga jaul per unit, maka : R = P x Q dengan
P : Harga jual per unit dan Q : jumlah produk yang dijual
Contoh :
Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5.000 per unit barang. Bagaimanakah fungsi permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut dengan Grafik. Jawab : R=PxQ R = 5.000 Q 21
Gambar : Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi penerimaan dengan gradiennya positif :
digambarkan melalui titik (0,0)
R = 5.000 Q
0 8. Fungsi Biaya Dilambangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost). Terdiri atas dua jenis fungsi biaya: 1. Fixed Cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak tergantung pada jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya biaya tetap adalah fungsi konstanta : FC = k dengan k adalah konstanta positif Contoh :
Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000. Bagaimanakah fungsi biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada Grafik Kartesius? Jawab : FC = 100.000.000,
Gambar Fungsi Biaya Tetap :
FC = 100.000.000
0
2. Variabel Cost atau Fungsi Biaya yang berubah-ubah (VC). Merupakan fungsi biaya yang besarnya tergantung dari jumlah produk yang diproduksi. Jadi : VC = f(Q). Merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi. Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih kecil dibandingkan harga jual per unit barang, maka VC = P x Q dengan P : biaya produksi per unit dan Q: Produk yang diproduksi Contoh:
Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp 3.000 per unit. Bagaimanakah fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut dengan grafik. Jawab : VC = P x Q VC = 3.000 Q
Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi biaya variabel digambarkan melalui titik (0,0) dengan grdiennya positif. 22
Gambar Fungsi Biaya Variabel :
VC = 3.000 Q
0 3. Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel. TC = FC + VC Contoh :
Untuk contoh diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar Rp 100.000.000 dan biaya variabelnya : 3.000Q, maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q. Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan gradienya sama dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa penggambaran fungsi total biaya haruslah melalui titik (0,FC) dan sejajar dengan grafik VC . Gambar Fungsi Biaya Tetap, Biaya Variabel, total Biaya :
TC=100.000.000 + 3000 Q
VC= 3000 Q FC =100.000.000
9. Analisis ‘ Break-Even’ Yang dimaksud dengan ‘ Break-Even’ yaitu suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugi. Hal ini disebabkan karena seluruh penerimaan perusahaan dibayarkan untuk menutup biaya tetap maupun biaya variabelnya. Keadaan tersebut digambarkan sebagai berikut: ‘ Break - Even’
TR = TC
Jika penerimaan sudah dapat melebihi biaya-biaya yang dikeluarkan, baik biaya tetap maupun biaya variabelnya, maka barulah perusahaan tersebut dapat menikmati keuntungan: Untung :
TR > TC
Jika penerimaan masih belum dapat menutup biaya-biaya yang dikeluarkan baik biaya tetap maupun biaya variabelnya, maka perusahaan dinyatakan dalam keadaan merugi. Rugi
:
TR < TC
Untuk lebih menjelaskan hal tersebut dibawah ini diberikan contoh. Contoh Soal:
Dari contoh sebelumnya diperoleh bahwa Fungsi Fixed Cost :
FC = 100.000.000
Fungsi Variabel Cost:
VC = 3.000 Q
Fungsi Total Cost : Fungsi
Revenue :
TC = 100.000.000 + 3.000 Q
= R 5.000 Q
Berapa produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup Biaya tetapnya? Berapakah penerimaan yang diperoleh? 23
Berapakah produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkannya ? Berapakah penerimaan yang diperoleh?Berapa produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut mendapatkan keuntungan? Berapakah kontribusi marginnya? Jawab:
Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup biaya tetap : TR = FC
5.000 Q = 100.000.000 Q’ = 20.000 Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya tetap yang dikeluarkannya, maka perusahaan tersebut harus dapat memproduksi sebanyak 20.000 unit barang. Tingkat penerimaannya : R = FC = 100.000.000 Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkan : TR
= TC
5.000Q
= 100.000.000 + 3.000Q
5.000Q-3.000Q = 100.000.000 2000Q Q*
= 100.000.000 = 50.000
Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya produksinya, maka perusahaan tersebut harus dapat memproduksi sebanyak 50.000 unit barang.
Tingkat penerimaanya sama dengan total biaya, yaitu‟ R = TC = 5.000 x 50.000 = 250.000.000 Agar perusahaan dapat menikmati keuntungan, maka total penerimaan harus melebihi total biaya. Untuk itu perusahaan harus memproduksi produk sebanyak lebih dari 50.000 unit dengan penerimaannya akan lebih dari Rp 250.000.000 Kontribusi margin yaitu keuntungan per unit, maka Kontribusi margin= Harga jual per unit – Biaya produksi per unit Kontribusi margin= Rp 5.000 – Rp 3.000 = Rp 2.000 Keadaan ‘Break - Even Analysis’ tersebut digambarkan dalam grafik sebagai berikut : TR
TR” TC”
FC,VC,TC,R
TC
VC
TC‟
TR‟
250.000.000
FC 100.000.000 0
Q‟
Q*
Q”
Q
Keterangan gambar : Q*
: Pada titik ini, Q = 50.000, seluruh penerimaan sebesar Rp 250.000.000 dipergunakan untuk menutup total biaya yang juga sebesarRp 250.000.000
Q‟
: Pada titik ini, Q = 20.000 seluruh penerimaan sebesar Rp 100.000.000 dipergunakan untuk menutup biaya tetapnya sebesar Rp 100.000.000 dipergunakan untuk menutup 24
biaya tetapnya sebesar Rp100.000.000. Sekaligus dapat terlihat pada gambar bahwa
pada titik Q‟ terjadi TR‟ < TC‟; perusahaan Rugi : Untuk Q” terlihat bahwa TR” > TC”; perusahaan untung!
Q”
Kesimpulan yang diperoleh: Jika perusahaan berproduksi pada tingkat yang masih lebih rendah dari Q*, maka perusahaan akan mengalami kerugian karena masih terjadi TR < TC. Jika perusahaan berproduksi tepat pada Q*, maka perusahaan tidak memperoleh keuntungan maupun tidak mengalami kerugian karena terjadi TR = TC Jika perusahaan sudah mampu berproduksi pada tingkat yang melebihi Q*, maka perusahaan akan memperoleh keuntungan karena sudah terccapai TR > TC. PENERAPAN DALAM TEORI EKONOMI MAKRO
10. Fungsi Pendapat Nasional yang terdistribusi Menjadi fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan. Pendapatan suatu negara terdistribusi karena digunakan untuk kebutuhan konsumsi dan sisanya, jika ada, ditabung; dinyatakan dengan fungsi : Y = C + S Y = Pendapatan Nasional (National Income) C = Konsumsi (Comsumption) S = Tabungan (Saving)
Fungsi konsumsi dinyatakan dengan fungsi : C = Co + bY Co = Autonomous Consumption, Co > 0 B = Marginal Propensity to Consume, 0 < b < 1
Keterangan : Co = Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan. b = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan.
Fungsi tabungannya diperoleh dari : Y=C+S Y = (Co + By) + S Y – (Co + By) = S Y – Co – b S = S Y – Co – by = S Y(1 – b) – Co = S - Co + (1 – b)Y = S
atau S = - Co + (1-b)Y – Co : Autonomous Saving, Co > 0 (1 – b ) : Marginal Propensity to Save, 0 < (1 – b) < 1 - Co
= Tabungan yang tidak tergantung pada besarnya pendapatan.
(1 – b)
= Konsumsi yang bergantung pada pendapatan.
Marginal propensity to consume : Marginal propensity to save
Karena
b
: 1 – b
: B + (1 – b) = 1
Maka
MPC + MPS = 1
25
Contoh Soal :
Suatu negara diketahui memiliki konsumsi otonominya sebesar Rp 300.000.000. Marginal propensity to save-nya sebesar 0,45. Bangunlah fungsi konsumsinya ! Bangunlah fungsi tabungannya ! Berapa yang dikonsumsi jika pendapatan nasional 1 miliar? Berapakah yang ditabung jika pendapatan nasional 1 miliar? Pada pendapatan nasional berapakah dimana tidak ada yang ditabung? Gambarkan fungsi konsumsi, fungsi tabungan, dan fungsi pendapatan nasional pada sebuah grafik! Jawab :
Fungsi konsumsinya: C = Co + bY C = 300.000.000 + (1 – 0,45)1.000.000.000 C = 300.000.000 + 0,55 Y
Fungsi tabungannya : S = - 300.000.000 + 0,45 Y
Jika pendapatan nasionalnya 1 miliar: Fungsi konsumsi: C = 300.000.000 + 0,55 x 1.000.000.000 C = 300.000.000 + 550.000.000 C = 850.000.000
Fungsi tabungan: S = - 300.000.000 + 0,45 x 1.000.000.000 S = - 300.000.000 + 450.000.000 S = 150.000.000 Jadi pada tingkat pendapatan nasional sebesar 1 miliar, maka Rp 850.000.000 dipergunakan untuk kebutuhan konsumsi dan Rp 150.000.000 ditabung. Tidak ada pendapatan yang dapat ditabung, artinya S = 0 Y=C+S Y=C+0 Y=C Tidak ada pendapatan yang ditabung maka berarti seluruh pendapatan habis dikonsumsi. Tingkat pendapatan yang akan seluruhnya habis dikonsumsi yaitu : Y
= Co + bY
Y – bY
= Co
Y ( 1 – b ) = Co
Y
Y
1 (1 b)
x Co
1 (1 0,55)
x Co
26
Y
1 (0,45)
x 300.000.000
Y = 2,22 x 300.000.000 Y = 666.000.000
Jadi pada tingkat pendapatan sebesar Rp 666.000.000 seluruh pendapatan dikonsumsi. Gambar Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan, dan Fungsi Pendapatan Nasional diberikan bawah ini :
C,S,Y
Y=C
Y=C+5
C = 300.000.000 + 0,55Y 300.000.000 S = - 300.000.000 + 0,45Y 0
Saving
Y
S=0 Disaving - 300.000.000
11. Fungsi Pendapatan Nasional yang Dihitung Melalui Pendekatan Pengeluaran Untuk menghitung besarnya pendapatan nasional suatu negara, salah satu pendekatannya adalah dengan menghitung pengeluaran dari masing-masing sektor. Sektor-sektor yang mungkin terlibat dalam perhitungan tersebut ialah : 1. Sektor rumah tangga, di mana pengeluarannya dikenal sebagai konsumsi (C) 2. Sektor pengusaha, di mana pengeluarannya dikenal dengan investasi (I) 3. Sektor pemerintah, di mana pengeluarannya yaitu pengeluaran pemerintah (G) – M) 4. Sektor perdagangan luar negeri, terdiri atas ekspor dan impor (X – Jika yang terlibat sektor rumah tangga dan pengusaha, maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y = C + I Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha dan pemerintah, maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y = C + I + G Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha, pemerintah, dan perdagangan luar negeri maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y = C + I + G + ( X – M ) Pendapatan Disposibel ( Yd ) Yang dimaksud dengan pendapatan disposibel yaitu pendapatan yang dapat langsung dikonsumsi. Jika ada ‘transfer payment’ ( R ), maka pendapatan diposibel merupakan penjumlahan antara payment’ : Yd = Y + R pendapatan dengan ‘trasfer payment’ : payment’ menambah pendapatan disposibel. Jadi ‘trasfer payment’ menambah Jika ada pajak (T), maka pendapatan baru menjadi pendapatan disposibel setelah dikurangi dengan pajak : Yd = Y + T Jadi pajak mengurangi pendapatan disposibel. Jika ada pajak dan ‘transfer payment’ , maka haru dipertimbangkan keduanya : Yd = Y + R – T
27
Jika tidak ada pajak maupun ‘trasfer payment’ maka pendapatan disposibel adalah merupakan pendapatan : Yd = Y Trasfer Payment’ ( R ) payment’ yaitu pembayaran yang dialihkan, misalnya tunjangan Yang dimaksud dengan ‘trasfer payment’ yaitu kesehatan, tunjangan hari raya, dan lain-lain. Pajak (T)
Pajak terdiri atas dua jenis : 1. Pajak yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : To ( Autonomous Tax ), To > 0 2. Pajak yang bergantung pada besarnya pendapatan : tY ; t ( income tax rate ), 0 < T < 1 maka alternatif fungsi pajaknya : Jika tidak ada pendapatan : T = To Jika ada pendapatan
: T = tY
atau
T = To + tY
Fungsi Konsumsi ( C )
Konsumsi terdiri atas dua jenis : 1. Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : Co (Autonomous Consumtion), Co >0 2. Konsumsi yang bergantung pada besarnya pendapatan : bY ; b (marginnal propensity to consume), 0 < b < 1 maka alternatif fungsi konsumsinya : Jika tidak ada pendapatan : C = Co Jika ada pendapatan dan ada pajak : C = b Y d atau maka:
C = Co + bYd, di mana Yd = Y – T
C = b (Y – T) atau
C = Co + b (Y – T)
payment’ : Jika ada pendapatan dan ‘trasfer payment’ : C = b Yd atau C = Co + bYd, di di mana Yd = Y + R Maka : C = b (Y – R) atau
C = Co + b (Y + R)
payment’ : Jika ada pendapatan, pajak dan ‘trasfer payment’ : C = b Yd atau C = Co + bYd, dimana Yd = Y + R – T Maka : C = b (Y + R – T) atau
C = Co + b (Y + R – T)
payment’ : Jika ada pendapatan tetapi tidak ada pajak dan ‘trasfer payment’ : C = Co + bYd atau Maka : C = Co + b Y
atau
C = b Y,
dimana Yd = Y
C=bY
Fungsi Investasi 1. Fungsi investasi merupakan variabel eksogen yang tidak dipengaruhi oleh tingkat suku bunga, maka ditulis : I = Io 2. Jika dipengaruhi oleh tingkat suku bunga ditulis : I = Io – i r, r : tingkat suku bunga I : proporsi I terhadap i
Fungsi Pengeluaran Pemerintah Pengeluaran pemerintah terdiri atas : 1. Pengeluaran pemerintah yang tidak bergantung pada pendapatan : G (Government Expenditure), Go > 0
28
2. Pengeluaran pemerintah yang bergantung pada pendapatan : gY ; g (proporsi pengeluaran pemerintah terhadap pendapatan, 0 < g < 1 maka alternatif fungsi pengeluaran pemerintah : Jika tidak ada pendapatan : G = Go Jika ada pendapatan : G = gY atau G = Go + gY Fungsi Ekspor Fungsi Investasi merupakan variabel eksogen, maka ditulis : X = Xo Fungsi Impor Impor terdiri atas : 1. Impor yang tidak bergantung pada pendapatan : M (Autonomous Import), Xo > 0 2. Impor yang bergantung pada pendapatan : mY;m (marginal propensity to import), 0 < m < 1 maka alternatif impor : Jika tidak ada pendapatan : M = Mo Jika ada pendapatan : M = mY atau
M = Mo + mY
Variabel Eksogen Variabel eksogen adalah variabel yang nilainya tidak diperoleh dari perhitungan model.
Biasanya dilambangkan dengan simbol yang diberi tambahan „0‟, seperti : Co, To, Io, Go, Xo, Mo Variabel Endogen Variabel endogen adalah variabel yang nilainya diperoleh dari perhitungan model. Parameter Diberi lambang dengan huruf kecil. Contoh Soal : 1. Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui autonomous consumption : masyarakatnya sebesar 135. Marginal Propensity to Consume (MPC) = 0,8 Investasinya = 75 Pengeluaran pemerintah = 30. Ada berapa variabel eksogen, variabel endogen dan parameternya ? Bagaimanakah model pendapatan nasionalnya serta angka penggandaannya ? Carilah semua nilai dari variabel endogenya ? Jawab : Diketahui Co = 135, b = 0,3 , Io = 75, Go = 30 Yang terlibat tiga sektor, yaitu : sektor rumah tangga, sektor pengusaha dan Pemerintah : Model Pendapatan Nasionalnya : Y=C+I+G di mana C = Co + b Y I = Io G = Go maka Y Y
= (Co + b Y) + Io + Go = Co + b Y + Io + Go
Y – b Y = Co + Io + Go Y(1 – b) = Co + Io + Go Y
1 (1 b)
x (Co Io
Angka penggandaan untuk
Go)
1
1
1
(1 b)
(1 0,8)
0,2
5 29
Model di atas Ini berarti bahwa jika terjadi peningkatan faktor – faktor ‘autonomous consumption’ (Co), ‘investment’ (lo), ataupun ‘government expenditure’ (Go) sebanyak satu, maka akan menyebabkanpeningkatan pendapatan nasional (Y) sebanyak lima kali. Variabel eksogennya ada tiga, yaitu : 1.
Autonomous Consumption (Co)
2.
Investment (lo)
3.
Government Expenditure (Go)
Parameternnya ada satu, yaitu : ‘Marginal Propensity to Consume’ (b) Variabel endogennya ada dua, yaitu: 1.
Pendapatan nasional (Y)
2.
Consumtion (C)
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (y): Y
Y
Y
1 (1 b)
x (Co Io
1 (1 0,8) 1 (0,2)
Go)
x (135 75 30)
x (240)
Y = 5 (240) = 1200 Menghitung variabel endogen konsumsi(C): C = Co + bY C = 135 + 0,8 Y C = 135 + 0,8 (1200) C = 135 + 960 C = 1095 2. Autonomous consumption suatu negara = 100, dengan MPS-nya = 0,4 dari pendapatan disposibel. Investasi nasionalnya = 40 dan autonomous tax = 50. Carilah model pendapatan nasional ? Hitunglah angka penggandaannya ? Carilah semua nilai variabel endogennya ? Jawab : Diketahui : Co = 100 , MPC = 1 – MPS , lo = 40 , To = 50 = 1 – 0,4 = 0,6 Ada dua sektor yang terlibat yaitu : sektor rumah tangga dan sektor pengusaha. Model pendapatan nasionalnya : Y =C+I dimana C = Co + b Yd Yd = Y – To I
= lo
Sehingga Y = Co + b (Y – To) + lo Y = Co + bY – b To + lo Y - bY
= Co – bTo + lo
Y (1 – b) = Co – b To + lo 30
Y
=
(Co – b To + lo)
1
(1 – b) Angka penggandaan :
1
=
1
=
(1 – b) (1 – 0,6)
1
= 2,5
0,4
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) : Y
Y
Y
1 (1 b)
x (Co bTo Io)
1 (1 0,6) 1 (0,4)
x (100 (0,6)50
x (100 30
40)
40)
Y = 2,5 (110) Y = 275 Jadi pendapatan nasionalnya sebesar 275 Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) : C = Co + b Yd C = Co + b (Y – To) C = 100 + 0,6 (Y – 50) C = 100 + 0,6 (275 – 50) C = 100 + (0,6) (225) C = 100 + 135 C = 235 3. Pengeluaran di sektor pengusaha = 90, sedang pengeluaran di sektor pemerintah = 65. Transaksi ekspor terhitung = 80. Transaksi impor terhitung = 40 dengan marginal propensity to import = 0,19. Konsumsi masyarakatnya terlihat dari fungsi sebagai berikut : C = Co + b Y di mana autonomous consumption = 70 dan MPC = 0,9 Dinyatakan : Carilah model pendapatan nasional ? Hitung angka penggandaannya ? Carilah nilai variabel endogennya ? Jawab : Diketahui lo = 90, Go = 65, Xo = 80, Mo = 40, m = 0,19, Co = 70, b = 0,9 Semua sektor terlibat sehingga model pendapatan nasionalnya ; Y = C + I + G + (X – M) di mana
C=
Co + b Y
C = 70 + 0,9 Y I = lo = 90 G = Go = 65 X = Xo = 80 M = Mo + mY = 40 + 0,19 Y sehingga
Y = C + l + G + (X – M) Y = (Co + bY) + lo + Go + (Xo – Mo + mY) Y = Co + bY + lo + Go + Xo + Mo + mY 31
Y – bY + mY = Co + lo + Go + Xo – Mo Y (1 – b + m) = Co + lo + Go + Xo – Mo 1
Y
(1 b
m)
(Co Io Go Xo Mo)
Angka Penggandaannya 1 (1 b
1 m)
1
(1 0,9
0,91)
0,29
3,448
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) : Y
Y
Y
1 (1 b
m)
(Co Io Go Xo Mo)
1 (1 0,9 1 (0,29)
0,19)
(70 90
65 80
40)
(265)
Y = 3,448 ( 265 ) Y = 913,72 Jadi pendapatan nasionalnya = 913,72 Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) : C = Co + bY C = 70 + 0,9 (913,72) C = 892,348 Jadi konsumsinya = 892,348 Menghitung variabel endogen impor ( M ) : M = Mo + mY M = 40 + 0,19 (913,72) M = 213,6068 Jadi impornya = 213,6068
32
KONSEP DASAR TEORI DIFERENSIAL DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI Tujuan Umum
Mempelajari perubahan variabel terikat perubahan variabel bebasnya, di mana perubahan variabel bebasnya erupakan perubahan yang sangat kecil sekali. Juga dipelajari perbandingan antara perubahan variabel terikat tersebut dengan perubahan variabel bebasnya yang disebut “kuosien Difference”. Juga dipelajari kaidah-kaidah Diferensial serta jenis-jenis diferensial yang terdiri atas Diferensial Biasa, Diferensial Parsial, dan Diferensial berantai. Tutjuan Khusus
1. Mempelajari penerapan Diferensial Biasa seperti mencari laju pertumbuhan, fungsi arjinal, menghitung elastisitas dan enghitung optiasi, seperti maksimasi pendapatan atau miniasi biaya. 2. Mepelajari Penerapan Diferensial Parsial, seperti enghitung Price Elasticity of Deand, Cross Elasticity of Demand, dan Income Elasticity of Demand. Menghitung Optimasi untuk dua variabel serta mmencari Marginal Rate of Technical Substitusi. 3. Mempelajari Penerapan Diferensial Berantai seperti dalam fungsi produksi menghitung Marginal Physical Product of Capital, Marginal Physical Product of Labor, arginal Revenue Product of Capital dan Marginal Revenue Product of Labor. PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI B. PERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI Penerapan Teori Diferensial Biasa Teori Diferensial biasa diterapkan dalam berbagai masalah diantaranya untuk mencari : I. Laju Pertumbuhan II. Optimasi (Nilai Maksimum dan Minimum) III. Elastis titik: Analisis Fungsi dan Grafis. 1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal)
Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi. Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatu variabel terikat akibat perubahan variabel bebasnya. Secara umum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x), maka diperolehlah fungsi Marginalnya dy/dx : laju perubahan y akibat perubahan x sebanyak 1 unit. Lebih jauh lagi : Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahan searah; artinya jika x bertambah 1 unit maka y akan bertambah pula atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula. Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakan perubahannya tidak searah, yang artinya jika x bertambah 1 unit, maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan bertambah. Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue) 1. Fungsi permintan diberikan P = 3Q+27, di mana P: Price (harga) dan Q: Output.Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya. Jawab : fungsi total pendapatan (Total Revenue) R = P.Q R = (3Q+27).Q 2 R = 3Q +27Q Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) MR = dR/dQ = 6Q + 27 33
Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 , maka MR = dR/dQ = 6Q + 27 = 6(10) + 27 = 60 +27 = 87 Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan banyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87 2. Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q: Penjualan. Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatanya jika perusahaan memproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya. Jawab: Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulu menjadi P = 6/5 – 1/5Q Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total Revenue): R = P.Q 2 R = (6/5 – 1/5Q) Q R = 6/5Q-1/5Q Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue): MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 1, maka MR= dR/dQ = 6/5 - 2/5.(1) = 6/5 - 2/5 = 4/5 artinya :untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 4/5,sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 4/5, sebaliknya untuk setiap penurunan 3. Fungsi Pendapatan Rata-rata (Average Revenue) diberikan AR = 80 – 4 Q Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya ( Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 7 output, serta terangkan artinya. Jawab: Fungsi total pendapatan ( Total Revenue) : R = AR . Q R = (80 – 4 Q) Q 2 R = 80 Q – 4 Q Fungsi marginal pendapatan ( Marginal Revenue) : MR = dR/dQ = 80 - 8 Q Jika perusahaan memproduksi pada tingkat output Q = 7, maka MR = dR/dQ = 80 - 8(7) = 80 – 56 = 24 Artinya: untuk setiap peningkatan output Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 24, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 24. 4.Fungsi pendapatan rata-rata ( Average Revenue) di berikan AR = 30. e Q/2 Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya ( Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan artinya. Jawab : Funsi total pendapatan ( Total Revenue) : R=AR.Q R=(30.e Q/2)Q R=30Q.e Q/2 Fungsi marginal pendapatan ( Marginal Revenue) :
Dengan mengambil U = 30 Q. Sehingga U‟=30 Dan V = e Q/2 Sehingga V‟=1/2.e Q/2 Maka MR= dR/dQ = U‟ V+U V‟
= 30.e Q/2+30 Q.1/2.e Q/2 = 30.e Q/2+15 Q. e Q/2 = e Q/2(30+15 Q) Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 2 Maka MR = dR/dQ = e Q/2 ( 30+15 Q) = e 2/2 ( 30+15.2) = 60 e 34
Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang di jual 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 60 e, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 60 e. Contoh soal: Marginal Biaya (Marginal Cost) 5. Fungsi Total Biaya suatu perusahaan dinyatakan sebagai berikut: 3 2 C = Q - 4Q + 10Q + 75 Bagaimanakah fungsi marginal biayanya (Marginal cost) dan berapakah nilai marginal biaya tersebut jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan arti. Jawab: Fungsi total biaya (total biaya): 3 2 C = Q - 4Q + 10Q + 75 Fungsi Marginal Biaya (marginal cost): C‟ = 3Q2 - 8Q + 10 Jika perusahaan berproduksi pada tingkat penjualan Q = 2, maka 2 2 MC = C‟= 3Q - 8Q + 10 = 3(2) - 8(2) + 10 = 12 – 16 + 10 = 6 Artinya: Untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan biaya sebesar 6, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan biaya sebesar 6. Optimasi Satu Variabel (Nilai Ekstrim Maksimum atau Minimum) Dalam masalah optimasi, ada dua pertanyaan yang senantiasa diajukan. Misalkan untuk fungsi dengan satu variabel y= f (x), permasalahannya: i. Berapakah x yang akan memberikan y optimum? Jika itu telah terjawab, maka pertanyaan selanjutnya baru bisa dijawab yaitu: ii. Berapakah y yang optimum tersebut? Untuk menjawab pertanyaan pertama, langkah-langkahnya dijelaskan dibawah ini: Untuk fungsi yang mengandung satu variabel y= f(x)
Maksimum Langkah I Langkah II
Y‟ = 0 Y” < 0
Minimum
Y‟ = 0 Y” > 0
Diperoleh titik X Menjamin Nilainya Optimum (Maksimum atau Minimum)
Contoh: memaksimasi total pendapatan (total revenue) 1. Harga jual barang P = - 2Q + 16, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum. Jawab: Fungsi total pendapatan: P = - 2Q + 16 R = P.Q = (- 2Q + 16) Q 2 R = - 2Q + 16Q Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi total pendapatan kemudian dibuat = 0 R‟ = - 4Q + 16 = 0 4Q = 16 Q=4 Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 4 maka akan diperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan: R” = - 4 Ternyata R” = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu sebanyak 4. Total pendapatan maksimumnya: 2 R = - 2Q + 16Q 2 R = - 2(4) + 16(4) R = 32 35
Jadi ketika menjual produk sebanyak 4, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum sebesar 32.
2.
Contoh soal: Memaksimasi Marginal Pendapatan (marginal revenue) Harga jual barang P = 16 - 2Q, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum. Berapakah marginal pendapatan maksimum tersebut? Jawab: Fungsi permintaan: P = 16 - 2Q Fungsi total pendapatan: R = P.Q = (16 - 2Q) Q 2 = 16Q – 2Q 2 Fungsi marginal pendapatan: MR = 16Q - 2Q MR‟ = 16 - 4Q = 0 Turunan pertama: 16 = 4Q Q=4 MR” = - 4 < 0 Turunan kedua: Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum sebanyak 4. 2 Marginal pendapatan maksimumnya: MR = 16Q - 2Q 2 = 16(4) - 2(4) = 48
contoh soal: Meminimumkan Total Biaya (Total Cost) 2 3. Biaya total dinyatakan dengan C(Cost) = 5Q - 1000Q + 85000 Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum? Berapakah total biaya minimum tersebut? Jawab: 2 C = 5Q - 1000Q + 85000 C‟= 10Q – 1000 = 0 10Q = 1000 Q = 100 C” = 10 > 0 Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit. Total biaya minimumnya sebesar: 2 C = 5Q - 1000Q + 85000 2 C = 5(100) - 1000(100) + 85000 C = 35000 Jadi total biaya minimumnya sebesar: 35000 Contoh soal: Meminimasi Marginal Biaya (Marginal Cost)
4.
3
2
Biaya total dinyatakan dengan C (Cost) = Q -90Q + 2800Q + 56500 Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan marginal biaya minimum? Berapakah marginal biaya minimum tersebut? Jawab: 3 2 Fungsi total biaya: C = Q - 90Q + 2800Q + 56500 2 Fungsi marginal biaya: MC = 3Q - 180Q + 2800 MC‟= 6Q – 180 = 0 Turunan pertama: 6Q = 180 Q = 30 MR” = 6 > 0 Turunan kedua: Jadi output yang harus diproduksi agar diperoleh marginal biaya minimum sebanyak 30. 2 Marginal biaya minimum: MC = 3Q - 180Q + 2800 2 = 3(30) - 180(30) + 2800 = 100 Jadi marginal biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 30 unit:100
36
5.
Contoh soal : Memaksimasi laba / keuntungan / provit Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut: 3 2 P = 1000 - 2Q Dan C = Q - 59Q + 1315Q + 2000 Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba yang maksimum ? Berapakah laba maksimum tersebut ? Jawab: Fungsi pendapatan: R = P.Q R = (1000 - 2Q).Q 2 R = 1000 Q - 2 Q 3 2 Fungsi biaya: C = Q - 59Q +1315Q + 2000 Fungsi laba: Laba = Pendapatan – biaya 2 3 2 Laba = (1000Q - 2Q ) - (Q - 59Q + 1315Q + 2000) 3 2 Laba = - Q + 57Q - 315Q - 2000 2 Turunan pertama: Laba = -3Q + 114Q - 315 2 = Q - 38Q + 105 = (Q - 3) (Q - 35) = 0 Q1 = 3 Dan Q2 = 35
Laba” = - 6Q + 114 Turunan kedua: Untuk Q1 = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) + 114 = 96 > 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum. Untuk Q2 = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum. Laba maksimum nya sebesar : 3 2 Laba = - Q + 57Q - 315Q - 2000 3 2 = - (35) + 57(35) - 315(35) - 2000 = 13925 Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba maksimum sebanyak : 13925 Contoh soal: Memaksimasi Penerimaan Pajak Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang di produksi dan di jual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajak maksimum. Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q* di mana t: tarif pajak yang di kenakan pemerintah dan Q*= Jumlah output yang di produksi dan di jual pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak. Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah: Laba = pendapatan – (biaya + pajak) = R – (C+T), R: Pendapatan = R – C – T C: Biaya = R – C – t Q T: Pajak Q :Tingkat output yang di produksi dan di jual oleh pengusaha, yang memberikan laba maksimum setelah mempertimbangkan adanya pajak penjualan dan pemerintah. 6.
Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut : 2 R = 15Q - 2Q Dan C = 3Q Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum ? Berapakah total pajak maksimum yang di peroleh ? Jawab: Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R – C – t Q 2 = 15 Q – 2 Q – 3Q – t Q 2 = -2 Q + 12Q – t Q Turunan pertama: Laba‟ = - 4Q + 12 – t = 0 12 – t = 2Q 37
2Q Q*
= 12 - t = 12 - t 4 Q* = b – ¼ t Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0 Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 3 – ¼ t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum. Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T =t (3 – ¼ t) 2 =3t – 1/4 t Turunan pertama: T 1 = 3 – ½ t = 0 T=6 Turunan ke dua : T” = -½ Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar: 6 Karena Q* = 3 ¼ t = 3 – 6/4 (6) = 3 – 1,5 = 1,5 Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 1,5 = 9 Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9
7.
Contoh soal: Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk di nyatakan sebagai berikut: 2 2 R = 360 Q – 10,5 Q Dan C = 100 Q – 4 Q Berapakah produk harus di buat dan di jual perusahaan agar di peroleh laba maksimum? Berapakah laba maksimum tersebut? Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut? Berapakah total pajak maksimum yang di dapat pemerintah? Berapakah laba maksimum yang di terima perusahaan setelah di kenakan pajak ? Jawab: Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R – C – t Q 2 2 = 360 Q – 10,5 Q – (100 Q – 4 Q ) – t Q 2 2 = 360 Q – 10,5 Q – 100 Q + 4 Q – t Q 2 = 260 Q – 6,5 Q – t Q Turunan pertama: Laba‟ = 260 – 13 Q – t = 0 260 – t = 13 Q Q = 260 – t 13 Q*= 20 – 1 t 13 Turunan ke dua : Laba‟‟ = - 13 < 0 Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 20 – 1/ 13 t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum. Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t Q* = t (20 – 1/13 t) = 20 t – 1/3 t 2 Turunan pertama : T‟ = 20 – 2/13 t = 0 20 = 2/13 t t = 130 Turunan k e dua : T‟‟ = - 2/13 Jadi taruf pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar : 130 Karena Q2 = 20 – 1 t 13 = 20 – 1 (130) 13 = 20 – 10 = 10
38
Maka Total pajak maksimum: T = t . Q* = 130 . 10 = 1300 Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300. Laba maksimum yang di terima oleh pemerintah besarnya: 2 Laba = 260 Q – 6,5Q – t Q 2 = 260 (10) – 6,5(10) – (130)(10) = 2600 – 65 – 1300 = 1235 Jadi pemerintah menerima laba maksimum sebesar 1235 Contoh soal : Meminimasi Total Biaya Persediaan Dalam hal persediaan, manajemen perusahaan senantiasa di perhadapkan kepada permasalahan yaitu jika jumlah persediaan bahan mentah maupun persediaan barang jadi di perhitungkan banyak, hal itu berarti menimbulkan biaya penyimpanan. Akan tetapi, sebaliknya jika persediaan bahan mentah di perhitungkan sedikit saja, maka akan ada resiko yaitu menimbulkan hambatan dalam proses produksi. Demikian pula jika persediaan barang jadi di perhitungkan sedikit maka akanmenimbulkan keluhan pada konsumen akibat kelangkaan barang (permasalahan dalam pemasaran). Jika kelangkaan barang tersebut terjadi berlarut-larut, maka pada akhirnya para konsumen akan mencoba untuk menutup kebutuhannya dengan cara melirik produk dari pesaing. Hal tersebut kemudian berdampak dapat mengakibatkan perusahaan yang bersangkutan kehilangan pelanggan, kehilangan pangsa pasarnya. Perusahaan tersebut, untuk kemudian akan sangat sulit jika berusaha untuk mencoba mengembalikan pangsa pasarnya kembali karena berhubungan dengan kepercayaan pelanggan serta di butuhkan investasi yang sangat besar misalkan untuk biaya pemasarannya (periklanannya) Biaya- biaya yang ada hubungan dengan masalah persediaan, di antaranya: 1. biaya pemesanan, 2. biaya penyimpanan, 3. biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan sehingga menghambat proses produksi atau pemasaran. Model yang akan di bahas dalam buku ini yaitu: model pengendalian persediaan dengan kedatangan berkala (batch arrival model). Model pengendalian persediaan dengan kedatangan berkala dalam model ini di asumsikan bahwa : 1. Jumlah kebutuhan barang, yang berarti jumlah pemesanan barang, dalam suatu periode waktu tertentu di ketahui jumlahnya tetap dari tiap-tiap periode waktu. 2. biaya pemesanan tidak bergantung pada jumlah barang. 3. tidak terjadi kekurangan persediaan sehingga tidak ada biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan. 4. sub-periode kedatangan panjangnya tetap. Pola kedatangan barang persediaan digambarkan seperti gambar berikut ini: Persediaan ( Q )
Q/2
Jumlah Rata-rata Persediaan
Waktu D: kebutuhan jumlah barang per periode waktu yang kemudian dibagi sama besar menjadi beberapa kali pemesanan Q: jumlah pemesanan per sub-periode waktu C: biaya total persediaan C: biaya pemesanan setiap kali memesan 39
C2: biaya penyimpanan per-periode waktu Masalahnya adalah berapa unit barang yang harus dipesan setiap kali pemesanan (Q) agar biaya total persediaan (C) minimum. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka akan dihitung total biaya pemesanan dan total biaya penyimpanan sebagai berikut: Total biaya pemesanan: Misalakan dibutuhkan 100 kg yang akan dipesan sebanyak 25 kg, maka D = 100 dan Q = 25 sehingga setiap periode waktu akan ada kedatangan akibat pemesanan sebanyak D/Q dengan biaya total pemesanan: (D/Q) C 1. Total biaya penyimpanan: Rata-rata sepanjang periode waktu terdapat Q/2 persediaan sehingga biaya total penyimpanan per periode waktu: (Q/2) C 2 Jadi total biaya persediaan = total biaya pemesanan + total biaya penyimpanan C=
Q D
C1 +
Q
C2
2
Yang menjadi permasalahan adalah berapakah jumlah unit atau barang yang harus dipesan agar dapat diperoleh total biaya persediaan yang minimum? Untuk menjawab permasalahan tersebut, perlu dicari: jumlah produk yang harus dipesan setiap kali pemesanan sehingga diperoleh total biaya persediaan yang minimum: Total biaya persediaan: C =
Q
C1 +
D 1
= D.Q . C1. Turunan pertama:
C′
Q 2
C2
Q
C2 2 -2 = D.C1.(-1) .Q + ½ C2 – D.C1 + ½ C2 2 Q
=0 =0
½ C2 2
Q
Q
=
– D.C1 2
Q = – D.C1 ½ C2 =
2 D.C 1 C 2
Turunan kedua: C” = 2D.C1 > 0 menjamin biaya persediaan minimum. 3 Q
8.
Contoh soal: seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 100 kg setiap bulan. Biaya pemesanan setiap kali memesan sebesar Rp. 2500 per-pemesanan, sedangkan biaya penyimpanannya Rp. 50 per-minggu. Berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan? Berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan? Berapakah total biaya persediaan minimumnya? Jawab: Jika diketahui bahwa: D : Jumlah total pemesanan per-bulan:100 kg C1: Biaya pemesanan: Rp. 2500 C2: Biaya penyimpanan: Rp. 50 per-minggu = Rp 200 per-bulan. Jumlah yang harus dipesan: Q
=
Q =
2 D.C 1 C 2
2.100.2500 200
Q = 50 40
Jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 50 kg. Dalam waktu satu bulan dilakukan pemesanan sebanyak: D/Q = 100/50 =2 kali pemesanan. Total biaya persediaan: C = C=
Q D 100 50
C1 +
Q 2
2500 +
C2 50 2
200
C = 10.000 Jadi total biaya persediaan minimum : Rp 10.000
Elastisitas Titik: Analisis Fungsi dan Grafis. Elastisitas mengukur derajat kepekaan variabel terikat akibat adanya perubahan variabel bebasnya. Misal: y = f(x), maka seberapa jauh perubahan y akibat perubahab x di sebut „elastis itas y terhadap
x‟. Di tulis Eyx.
Analisis fungsi Untuk menghitung besarnya elastisitas terhadap x, jika diketahui fungsinya, digunakan Rumus: Eyx = y/y atau Eyx = y/ x x/x y/x untuk perubahan yang kecil rumusnya menjadi : Eyx=dy/dx y/x contoh soal: Elastisitas Permintaan 1. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut: Qd = 8 - 0,5 P Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P 1 = 4, P2 = 8, dan P3 = 12 Jawab: Untuk titik P1 = 4 maka Qd = 8 - 0,5(4) = 8 – 2 = 6 Jadi EQDP1 = 4 = dQd/dP1= -0,5 = -0,5 . 4 = -1 Qd / P1 6/4 6 3 Besar elastisitas permintaan dititik P 1 = 4 adalah -1/3
Jenis elastisitas permintaan dititik P 1 = 4 adalah E
1 / 3 =1/3 <1 (INELASTIS)
Untuk titik P2 = 8 maka Qd = 8 - 0,5(8) = 8 – 4 = 4 Jadi EQDP2 = 8 = dQd/dP2 = -0,5 = -0,5.8 = -1 Qd/P1 4/8 4 Besar elastisitas permintaan dititik P 2 = 8 adalah -1 Jenis elastisitas permintaan dititik P 2 = 8 adalah E
1 = 1 (UNITARY ELASTIS)
Untuk titik P3 = 12 maka Qd = 8 - 0,5(12) = 8 – 6 = 2 Jadi EqdP3 =12 = dQd/dP3 = -0,5 = -0,5.12 = -3 Qd/P3 2/12 2 Besar elastisitas permintaan dititik P 3 = 12 adalah -3 Jenis elastisitas permintaan dititik P 3 = 12 adalah E
3 E = -3 = 3 > 1 (ELASTIS)
Analisa Grafis: Elastisitas permintaan Contoh soal: 4. Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan: Qd = 8 – 0,5 P, Grafik fungsinya: 4 0 Qd EQDP1=4 = = 16 4 8 0 EQDP2=8 = = 16 8 12 0 EQDP3=12 = = 16 12
4 12 8 8 12
4
=
1 3
=1 =3
P 41
Contoh soal: Elastisitas penawaran 5. Di berikan fungsi penawaran sebagai berikut: Qs = 6 + 2P Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P 1 = 4, P2 = 8, Dan P3 = 12 Jawab: Untuk titik P1 = 4 Maka Qs = 6 + 2(4) = 6 + 8 = 14 Jadi E QdP1 = 4 = dQs/Dp1= + 2 = + 2 . 4 = 8 = 4 Qs/P1 14/4 14 14 7 Besar elastisitas permintaan di titik P 1 = 4 adalah 7 Jenis elastisitas permintaan di titik P 1 = 4 adalah E = +4/14 = 7 < 1 (INELASTIS) Untuk titik P2 = 8 maka Qs = + 2 (8) = 6 + 16 = 22 Jadi E QdP2 = 8 = dQs/Dp2 = + 2 = + 2 . 8 = 16 = 8 Qs/P2 22/8 22 22 11 Besar elastisitas permintaan di titik P 2 = 8 adalah 8/11 Jenis elastisitas permintaan di titik P 2 = 8 adalah E = 8/11 < 1 (INELASTIS) Untuk titik P3 = 12 maka Qs = 6 + 2 (12) = 6 + 24 = 30 Jadi E QdP3 = 12 = dQs/dP3 = + 2 = + 2 . 12 = 24 = 4 Qs/P3 30/12 30 30 5 Besar elastisitas permintaan di titik P 3 = 12 adalah = 4/5 Jenis elastisitas permintaan di titik P 3 = 12 adalah E = + 4/5 = 4/5 < 1 (INELASTIS) Analisis Grafis: Elastisitas Penawaran Contoh soal : 6. Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan: Qd = 6 + 2P, grafik fungsinya: QS Qd= 6 + 2P
EQDP1=4 =
30 22
EQDP2=8 = 14 6
EQDP3=12 = 4
8
12
14
6
14 0 22 6
22 0 30 6 30 0
= = =
8 14 16 22 24 30
=
4 7
= =
8 11
4 5
P
Penerapan Teori Diferensial Berantai Teori diferensial berantai di terapkan dalam masalah produksi di antaranya untuk mencari: I. Marginal Revenue Product Of Labour (MRP L)* II. Marginal Revenue Product Of Capital (MRP C)* Contoh Soal: Marginal Revanue Product Of Labour (MRPL) 1. Fungsi pendapatan dari suatu pabrik di berikan sebagai berikut: R = - Q2 = 140 Q + 5 DI Mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 4 L. Jika jumlah tenaga kerja yang ada 10 orang: Berapakah „Marginal Physical Product Of Labour (MRP L)’ Dan jelaskan artinya! Berapakah „Marginal Revenue Product Of Labour (MRP L)’ Dan jelaskan artinya! Jawab: Fungsi Produksi: Q = 4 L Sehingga dQ Marginal Physical product of labour (MRP L): =4 dL Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang, # untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit
42
Fungsi pendapatan: ´Marginal Revenue:
2
R = - Q + 140Q + 5 dR = - 2Q + 140 dQ
Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRP L): dR dR dQ = . dL dQ dL dR = (-2Q + 140) (4) dL dR = -8Q + 560 dL Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRP L) = - 8Q + 560 =- 8 (4L) + 560 = - 32 L + 560 Untuk tenaga kerja sebanyak 10 orang, maka MRP L = -32(10) + 560 = -320 + 560 = 240 Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang, # untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 240; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 240 contoh soal: marginal revenue product of capital (MRP C) 2 2. Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut: R = - 3000Q + 410000Q + 7 di mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 3C. Jika kapital yang dimiliki 1000: Berapakah „Marginal Physical Product of Capital (MPPC)´ dan jelaskan artinya! Berapakah Marginal Revenue Product of Capital (MRP C)´ dan jelaskan artinya! Jawab: Fungsi produksi: Q = 3C sehingga Marginal Physical Product of capital (MRP C): Dq = 3dC Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000, # untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit; sebaliknya # untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit. 2 Fungsi pendapatan: R = -3000Q + 410000Q + 7 maka dR Marginal revenue: = -6000Q + 410000 dQ Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRPC): dR dR dQ = . dC dQ dC dR = (-6000Q + 410000) (3) dC dR = -18000Q + 1230000000 dC Jadi marginal revenue product of capital (MRP L) = -18000Q+1230000000 = -18000(3C)+1230000000 = -54000C+1230000000 Untuk kapital sebanyak 1000 maka MRP L = -54000C+1230000000 = -54000(1000)+1230000000 43
= -54000000+1230000000 = 1176000000 Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000, maka # untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1176000000 sebaliknya # untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1176000000 Penerapan Teori Diferensial Parsial Teori Diferensial Parsial diterapkan dalam berbagai masalah di antaranya untuk mencari: I. Elastisitas Parsial II. Optimasi 2 variabel: Maksimasi pendapatan Minimasi biaya Maksimasi laba/keuntungan III. Mencari marginal rate technical substitution(MRTS) Elastisitas Persial Fungsi permintaan suatu barang tentu di tentukan oleh harga barang itu sendiri. Akan tetapi, juga ternyata di tentukan oleh harga barang lain tersebut merupakan barang substitusinya atau barang komplementernya. Di samping itu juga di tentuka oleh pendapatan. Misalnya ada dua barang yaitu barang 1 dan barang 2. fungsi permintaannya masing-masing dapat di tuliskan sebagai berikut: Qd1 = f (P1,P2,Y) Dan Qd2 = f (P1,P2,Y) Fungsi permintaan barang 1 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P 1), harga barang lain (P2), dan pendapatan (Y). Demikian pula dengan fungsi permintaan barang 2 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P 2), harga barang lain (P 1), dan besarnya pendapatan (Y).
Price elastisity of demand Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barangnya sendiri, yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd 1), akibat perubahan harga barangnya (P 1) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd 2) akibat perubahan harga barangnya (P 2): Jadi
E QdP1 =
dQd 1 / dP1 Qd 1 / p1
dan E QdP2 =
dQd 2 / dp 2 Qd 2 / p 2
Cross Elasticity of demand Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barang lain, yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd 1) akibat perubahan harga barang lain (P 2) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd 2) akibat perubahan harga barang lain (P 1): dQd 1 / dP 2 dQd 2 / dP1 Jadi E QdP1 = dan EQdp2 = Qd 1 / P 2 Qd 2 / P1 Income Elasticity of Demand Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan pendapatan: Yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd 1) akibat perubahan pendapatan (Y) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd 2) akibat perubahan pendapatan (Y); dQd 1 / dY dQd 2 / dY Jadi E QdP1 = dan E QdP2 = Qd 1 / Y Qd 2 / Y
Hubungan antar-komoditi: # jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand positif, maka hubungan antar komoditi adalah substitusi; sedangkan # jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand negatif, maka hubungan antar komoditi adalah komplementer.
44
Contoh soal: 1. Qdr = 2Pj - 30 Pr + 0,05 Y Untuk Pj = 3000, Pr = 100, dan Y = 30000 Carilah: - Price Elasticity of Demand - Cross Elasticity of Demand - Income Elasticity of Demand Bagaimanakah hubungan antara komoditi j dan r? Jawab: Price Elasticity of Demand: d Pr dQd r r / 2 30 30 E QdPr = = = = 3 Qdr / pr 4500 / 100 45 Cross Elasticity of Demand: 2 60 4 dQd r / dPj E QdPr = Qdr / pj 4500 / 3000 45 3 Income Elasticity of Demand: dY 0,05 15 1 dQd r r / E QdPr = Qdr / Y 4500 / 30000 45 3 Hubungan antara komoditi r dan j: Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif, maka hubungan antara komoditi r dan komoditi j adalah Subtitusi. Optimasi Dua Variabel. Fungsi yang mengandung 2 variabel misalnya dituliskan sebagai berikut: Y=f(x1,x2) Dalam setiap permasalahan optimasi, selalu memunculkan dua pertanyaan: 1. Berapakah x1 dan x2 yang akan memberikan Y optimum (maksimum atau minimum) 2. Berapakah Y optimumnya (maksimum atau minimum) Untuk dapat menjawab pertanyaan pertama tersebut, maka diberikan langkah-langkahnya sebagai berikut: Optialisasi dua variabel Y = f ( x1 ,x2 )
Langkah I
Maksium
Minimum
Turunan pertama Y1 = 0 , Y2 = 0
Turunan pertama Y1 = 0 , Y2 = 0
Langkah II
Turunan kedua dan Matriks Hessian: H= Y11 Y12 Y21 Y22
Langkah III
D1 = Y11 < 0 Difinit negatif, Menjamin Y maksium
D1 = Y11 > 0 Difinit positif, Menjamin Y minimum
Diperoleh X1 dan X2
Diperoleh Titik ekstrim maksium atau titik ekstrim minimum
Langkah-langkah dalam tabel tersebut membantu untuk memperoleh X1 dan X2 yang pasti akan menjamin bahwa Y optimal, jadi ke tiga langkah tersebut di atas hanyalah untuk menjawab pertanyaan pertama saja. Belum di peroleh berapa besar Y yang optimal tersebut. Untuk mendapatkan nilai Y yang optimal maka nilai X1 dan X2 harus di masukan dalam persamaan Y tersebut.untuk memberikan penjelasan yang lebih jelas, maka di bawah ini di berikan tiga contoh yang merupakan permasalahan optimal dua variabel, yaitu: maksimasi pendapatan, minimasi biaya, maksimasi laba.
45
Contoh soal: Maksimasi pendapatan 2 2 1. Di berikan fungsi pendapatan : R = 160 Q 1 – 3 Q1 – 2 Q1 Q2 – 2Q2 + 120 Q2 – 180 180 Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh pendapatan maksimum? Berapakah pendapatan maksimumnya? Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di jual : Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi pendapatan: R1 = 160 – 6 Q1 – 2 Q2 = 0 R2 = 120 – 2 Q1 – 4 Q2 = 0 Untuk mencari Q 1 dan Q2 menggunakan aturan determinan: Fungsinya menjadi: 6 Q 1 – 2 Q2 = - 160 2 Q1 – 4 Q2 = - 120 Maka
Q1 =
160
2
120
4
6
2
2
=
(-160)(-4) - (-2)(-120) (-6) (-4) - (2) (-2)
=
640 - 240 24 4
=
400 20
= 20
4
6 160 2 120
Q2 =
6 2
2
=
(-6)(-120) - (-2)(-160) (-6) (-4) - (2) (-2)
=
720 - 320 24 4
=
400 20
= 20
4
Langkah ke dua adalah mencari turunan keduannya: R11 = -6, R12 = -2, R21 = -2, R22 = -4 R11 R12 -6 -2 Matriks hessiannya: H = R21 R22 -2 -4 Matriks pertamanya : D 1 = - 6 < 0 Matriks keduannya : D 2 = H =
-6 -2 -2 -4
= (-6)(-4) – (-2)(-2) = 24 – 4 = 20 > 0 karena D1 < 0 dan D2 > 0, maka definit negatif, menjamin pendapatan maksimum. 2 2 Pendapatan maksimumnya: R = 160Q 1 - 3Q1 - 2Q1Q2 - 2Q2 + 120Q2 – 180 2 R = 160(20) - 3(20)2 - 2(20)(20) -2(20) +120(20) – 180 R = 2620 Contoh soal: Minimasi biaya 2 2 2. di berikan fungsi biaya sebagai berikut: C = 8Q 1 + 6Q2 - 2Q1Q2 - 40Q1 - 42Q2 + 180 Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi sehingga di peroleh biaya minimum? Berapakah biaya minimumnya? Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di produksi: Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi biaya: C1 = 16Q1 – 2Q2 – 40 = 0 C2 = -2Q1 + 12Q2 – 42 = 0 Untuk mencari Q1 dan Q2 menggunakan aturan determinan: Fungsinya menjadi: 16Q 1 – 2Q2 = 40 -2Q1 + 12Q2 = 42 Maka 40 - 2 Q1 =
42
12
16
-2
-2
12
=
(40)(12) ( 2)( 42) (16)(12) ( 2)( 2)
=
480 84 192
=
564 188
=3
46
- 6 - 160 Q2 =
- 2 - 120 16 - 2 -2
=
( 6)( 120) ( 2)( 160) (16)(12) ( 2)( 2)
=
720 320 192
=
400 188
= 2,12 = 2
12
Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya: R11=16, R12 = -2, R21 = -2, R22 = 12 16 -2 R 11 R 12 16 -2 Matriks Hessiannya: H = R 21 R 22 - 2 12 Matriks pertamanya : D 1 = 16 > 0 Matriks keduanya
: D2 = H = 16 -2
-2 12
=(16) (12) – (-2) (-2) =192 – 4 =188 > 0 Karena D1 > 0 dan D2 > 0, maka definit positif, menjamin biaya minimum. 2 2 Biaya minimumnya: C = 8Q 1 + 6Q2 - 2Q1 Q2 - 40Q1 - 42Q2 + 180 2 2 C = 8(3) + 6(2) - 2(3) (2)- 40 (3)- 42 (2)+180 C = 60 Contoh soal: maksimasi laba / keuntungan 2. Diberikan fungsi pendapatan dan fungsi biaya sebagai berikut: 2 2 R = 12 Q1 + 8 Q2 dan C = 3 Q1 + 2 Q2 Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi dan dijual sehingga diperoleh laba maksimum? Berapakah laba maksimumnya?
Jawab: Fungsi labanya: Laba = R – C 2 2 = 12Q1`+ 8Q2 - ( 3 Q1 + 2 Q2 ) 2 2 = 12Q1 + 8Q2 - 3Q1 - 2Q2 Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi laba: Laba1 = 12 – 6 Q1 = 0, maka Q1 = 2 Laba2 = 8 – 4 Q2 = 0, maka Q2 = 2 Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya: Laba11 = - 6, Laba12 = 0, Laba22 = - 4 Matriks Hessiannya: H = Laba 11 Laba 12 = -6 0 Laba 21 Laba 22 0 -4 Matriks pertamanya: D 1 = - 6 < 0 Matriks keduanya : D2 = H = - 6 0 0 -4 = -(0)(0) (-6) (-4) = 24 – 0 = 24 > 0 Karena D1 < 0 dan D2 > 0, maka definit negatif, menjamin laba maksimum. 2 2 Pendapatan maksimumnya: Laba = 12 Q 1+8 Q2-3Q1 -2Q2 2 2 Laba = 12(2) +8(2)-3(2) -2(2) Laba = 24+16-12-8 Laba = 20 47
7.3.1
Mencari Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS) dK
Rumus: MRTS =
dL Jika diketahui Fungsi Produksi Q=f(K,L), maka mencari MRTS-nya dengan dQ / dL dQ dQ dQ dK dK MRTS = : . dQ / dK dL dK dL dQ dL
Contoh soal: 1. Di berikan fungsi produksi sebagai berikut: Q = 0,2K 0,5 + 0,8L 0,5, Di mana K = 160 dan L = 40 Hitunglah MRTS-nya dan jelaskan artinya! Jawab: dQ / dL MRTS = dQ / dK = =
0 0,8(0,5) L0,5 0,2(0,5) K ) 0,5
0,4 L
0,5
0,1K
0,5
=
4
MRTS =
4
K
1
1
0
0,5
L
160 40
MRTS = 4 4 MRTS = – 4 . 2 MRTS = – 8 2. Diberikan fungsi produksi sebagai berikut: Q = 96 K 0,3 L 0,7 K = 210 dan L = 70 Hitunglah MRTS-nya dan jelaskan artinya! Jawab: dQ / dL MRTS = dQ / dK = = = MRTS = MRTS =
96K 0,3 (0,7) L0,7
1
96(0,3) K 0, 3 1 L0, 7 0,7 K 0,3 L 0,3 (0,3) K
0, 7
0,7
L
7 K 0,3 K 0, 7 3 L0,3 L0, 7 7 K 3 L 7.210
3.70 MRTS = – 7 PENYELESAIAN SOAL-SOAL Fungsi marginal pendapatan (marginal revenue) 1. carilah fungsi marginal pendapatannya untuk fungsi P = 16 – Q jawab: fungsi permintaan: P = 16 – Q fungsi pendapatan: R = P . Q R = (16 – Q) . Q* R = 16 Q – Q2 Maka fungsi marginal pendapatannya: MR = 16 – 2Q
48
Maksimasi total pendapatan (Total Revenue) 2. fungsi pendapatan rata-rata (Average Revenue) di berikan di bawah ini: AR = 120 – 6 Q # Pada tingkat output berapakah yang memberikan pendapatan maksimum? # Berapakah pendapatan maksimum yang diperoleh? # Gambarkan fungsi pendapatan rata-rata dan marginal pendapatan pada sebuah grafik! Jawab: Fungsi pendapatan rata-rata: AR = 120 – 6 Q Fungsi pendapatan: TR = AR . Q = (120 – 6Q) . Q 2 = 120 Q – 6 Q Turunan pertama fungsi pendapatan: TR ′ = 120 – 12Q = 0 120 = 12Q Q = 10 Turunan kedua fungsi pendapatan: TR ″ = -12 < 0 menjamin pendapatan maksimum. Jadi pada tingkat output Q = 10 menjamin pendapatan maksimum. 2 Pendapatan maksimum: TR maksimum = 120 Q – 6 Q 2 R maksimum = 120(10) – 6(10) = 1200 – 600 = 600 jadi pendapatan maksimumnya diperoleh sebesar 600 fungsi pendapatan rata-rata: AR = 120 – 6 Q fungsi marginal pendapatan: TR ′= MR = 120 – 12 Q maka grafik dari kedua fungsi tersebut di gambarkan sebagai berikut: AR.MR 120
AR = 120 - 6Q MR =120 – 12Q 10
20
Q
Minimasi total biaya (Total Cost) 3. Total biaya suatu perusahaan dinyatakan dalam fungsi sebagai berikut: TC = Q3 – 4Q2 + 4Q +4 # Pada output berapakah yang akan memberikan total biaya minimum? # Berapakah total biaya minimumnya? Jawab: 3 2 Fungsi total biaya: TC = Q – 4Q + 4Q + 4 Turunan pertama fungsi total biaya: TC‟= 3Q2 – 8Q + 4 = 0 (3Q - 2)(Q - 2) = 0 3Q - 2 = 0, Q1 = 2/3 Q - 2 = 0, Q2 = 2 Turunan kedua fungsi total biaya: TC ″= 6Q – 8 Untuk Q1 = 2/3 maka TC″= 6 (2/3) – 8 = - 4 < 0 Untuk Q2 = 2 maka TC ″= 6 (2) – 8 = 4 >0 Jadi output yang memberikan total biaya minimum adalah yang TC ″>0, yaitu Q = 2. 3 2 Total biaya minimum: TC = Q – 4Q + 4Q + 4 3 2 TC = (2) – 4(2) + 4(2) + 4 = 4
49
Maksimasi penerimaan total pajak 4. Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut: 2 P = - 5Q + 100 dan C = 5Q – 30Q Berapakah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum? Berapakah total pajak maksimum yang diperoleh pemerintah?
Jawab: Dari sudut pandang pengusaha: Laba = P . Q – C – t Q 2 = -5Q + 100 – (5Q -30Q) – tQ = -5Q2 + 25Q – Tq + 100 Turunan pertama: Laba′ = -10Q + 25 – t = 0 25 – t = 10Q Q* = 25 – t 10 Q* = 2,5 – 1/10 t Turunan kedua: Laba″ = -10 < 0 Jadi dengan memproduksi Q* = 2,5 – 1/10 t, pengusaha memperoleh laba maksimum. Jadi sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t Q* = t (2,5 – 1/10 t) 2 = 2,5 t – 1/10 t turunan pertama: T ′ = 2,5 – 1/5 t = 0 2,5= 1/5 t t = 12,5 turunan kedua: T ″= -1/5 < 0 Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar: t = 12,5 Karna Q* = 2,5 – 1/10 t = 2,5 – 1/10(12,5) = 2,5 – 1,25 = 1,25 Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 12,5 . 1,25 = 15,625 Jadi total pajak yang diterima pemerintah sebesar: 15,625 Minimasi total biaya persediaan 5. Seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 1440 kg tiap bulan.biaya pemesanan tiap kali memesan sebesar Rp 6000 per pemesanan, sedangkan biaya penyimpanannya Rp 300 per minggu. # berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan? # berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan? # berapakah total biaya persediaan minimumnya? Jawab: Jika diketahui bahwa: D : jumlah total pemesanan per bulan : 1440 kg C1: biaya pemesanan : Rp 6000 C2: biaya penyimpanan : Rp 300 per minggu = Rp 1200 per bulan Jumlah yang harus di pesan :
Q= Q=
2 D.C 1 C 2
2.1440.6000 1200
Q = 120 jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 120 kg. Dalam waktu satu bulan dilakukan pemesanan sebanyak: D/Q = 1440/120 = 12 kali pemesanan. Total biaya persediaan:
50
C=
D Q
C 1
1440
Q
2
C 2
6000
120
1200 120 2 C = 144000 Jadi total biaya persediaan minimum: Rp 144000
C=
Elastisitas persial 6.fungsi permintaan suatu komoditi diberikan sebagai berikut: Qd = 16 – 0,4 P1 – 0,8 P2 + P3 + Y Untuk P1 = 20, P2 = 10, P3 = 40, dan Y = 40 # carilah Price Elasticity of Demand dan jenisnya! # carilah Cross Eelasticity of Demand dan jenisnya! # carilah Income Elasticity of Demand dan jenisnya! # bagaimana hubungan antara komoditi-komoditi tersebut? Jelaskan! Jawab: Qd1 = 16 – 0,4 P1 – 0,8 P2 + P3 + Y Qd1 = 16 – 0,4(20) – 0,8(10) + 40 + 40 Qd1 = 80 Price elasticity of demand: 0,4 4 dQd 1 / dP1 E Qd1P1 = Qd 1 Pr 1 80 / 20 400 Cross elasticity of demand dQd 1 / dP2 0,8 1 E Qd1P2 = Qd 1 / Pr 2 80 / 10 10 1 1 dQd 1 / dP3 E Qd1P3 = Qd 1 Pr 3 80 / 40 2 Income elasticity of demand 1 1 dQd 1 / dY E Qd1Y = Qd 1 / Y 80 / 40 2 Hubungan antara komoditi 1 dan 2: Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya negatif, maka hubumgan antara komoditi 1 dan komoditi 2 adalah subtitusi. Hubungan antara komoditi 1 dan 3: Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif , maka hubungan antara komoditi 1 dan komoditi 3 adalah subtitusi. Marginal Physical and Revenue Product of Labour and Capital ½ ½ 7. fungsi produksi : Q = 1/2K L = , dengan K = 4, L = 16 # hitunglah Marginal Physical Product of Labour! # hitunglah Marginal Physical Product of Capital! Jika fungsi pendapatan R = 2Q, maka # hitunglah Marginal Physical Product of Labour! # hitunglah Marginal Physical Product of Capital!
jawab: fungsi produksi:
½
½
Q=½ K L ½ ½ Q = ½ 4 16 Q=½.8 Q=4
Sehingga: Marginal Physical Product of Labour (MPR L): 1 1 1 dQ 1 2 L2 2 .1 / 2 K dL
51
dQ dL dQ dL dQ dL dQ
1
1
4
1
1
4
L 2
K 1
1
K 2 L 2
4
1
2
16
4
1
1
2
2
1
dL 2 Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 16 orang # untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 2 orang akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1 unit; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 2 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1 unit Marginal Physical Product of Capital (MRPC ): dQ ½ ½= ½. K . 1/2L dC dQ 1/2 -1/2 =¼K L dC 1 dQ 1 4 K 2 1
dC
L 2 4
dQ
1
dC dQ
16 1
4
1
1
2
2
= dC 8 Artinya : Pada tingkat investasi sebesar 4, # untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1/8 unit; sebaliknya # untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1/8 unit
jika fungsi pendapatan:
R = 2Q sehingga dR ′ Marginal Revenue: 2 dQ Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRP L): dR dR dQ . dL dQ dL dR (2).(1/2) dL dR 1 dL Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRP L)=1
Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 16 orang, # untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1.
Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRPC ): dR dR dQ . dC dQ dC dR = (2).(1/4) dC 52
dR
= 1/4 dC Jadi Marginal Revenue Product of Capital (MRPC )=1/4 Artinya: Pada tingkat investasi berjumlah 4 orang, # untuk setiap penambahan investasi sebanyak 4 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 4 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1. Minimasi Biaya dari Dua Produk 8. Fungsi biaya dari perusahaan yang menghasilkan dua produk sebagai berikut: 2 2 Biaya = 12 Q1 + 4Q2 – 8 Q1 – 16 Q2 # Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi agar dapat diperoleh biaya minimum? # Berapakah biaya minimum yang diperoleh? Jawab: 2 2 Fungsi Biayanya: 12 Q 1 + 4Q2 – 8 Q1 – 16 Q2 Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi biaya: Biaya1 = 24 Q1 – 8 = 0, maka Q1=3 Biaya2 = 8 Q2 – 16 = 0, maka Q2=2
Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya: Biaya11= 24 , Biaya12= 0 , Biaya21= 0 , Biaya22= 8 Biaya11 Biaya12 24 0 Matriks Hessiannya : H= Biaya21 Biaya22 0 8 Matriks pertamanya : D 1 = 24 Matriks keduanya
: D2 = H=
0 24
0
0
8
= (24) (8) - (0) (0) = 192 - 0 = 192 > 0 Karena D1> 0 dan D2> 0, maka definit positif, menjamin biaya minimum. Jadi perusahaan sebaiknya memproduksi produk pertama sebanyak 3 dan produk kedua sebanyak 2 agar berproduksi pada tingkat biaya minimum. 2 2 Biaya minimumnya: Biaya = 12 Q 1 + 4Q2 - 8Q 1+ 16Q2 2 2 Biaya = 12 (3) + 4(2) - 8(3) +16(2) Biaya = 12.9 + 4.4 - 24-32 Biaya = 68 Dengan memproduksi produk pertama sebanyak 3 dan produk kedua sebanyak 2 maka akan berproduksi pada biaya minimum sebesar 68. Maksimasi Laba/Keuntungan dari dua produk 2 2 9. Fungsi Laba diberikan Laba = - 4Q 1 - 2Q2 + 32Q1+12Q2 Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi dan dijual sehingga dapat diperoleh laba maksimum? Berapakah laba maksimum yang diperoleh? Jawab: 2 2 Fungsi Labanya : - 4Q 1 - 2Q2 + 32Q1+12Q2 Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi laba: Laba1 = - 8Q1 + 32 = 0 makaQ1 = 4 Laba2 = - 4Q2 +12 = 0 makaQ2 = 3 Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya: Laba11= - 8 , laba12= 0 , laba21= 0 , laba22= - 4 Biaya11 Biaya12 - 8 0 Matriks Hessiannya: H= Biaya21 Biaya22 0 -4 Matriks pertamanya: D 1 =
8
0
53
Matriks keduanya : D2 = H=
-8
0
0
-4
= (-8) (-4) – (0) (0) = 32 > 0 Karena D1 < 0 dan D2 > 0, maka definit negatif, menjamin laba maksimum. Jadi sebaiknya di produksikan produk pertama sebanyak 4 dan produk kedua sebanyak 3 agar diperoleh laba maksimum. 2
Laba maksimumnya:
2
Laba = - 4Q 1 - 2Q2 + 32Q1 + 12Q2 2 2 Laba = - 4(4) -2(3) 2 + 32(4) +12(3) Laba = - 4.16 - 2.9 + 32.4 + 12.3 Laba = 82 Dengan memproduksikan produk pertama sebanyak 4 dan produk kedua sebanyak 3 maka akan diperoleh laba maksimum sebesar 82. SELESAIKANLAH SOAL-SOAL LATIHAN DIBAWAH INI
1. fungsi permintaan suatu komoditi diberikan sebagai berikut : Qd2 = 5200 + 4P1 – 3P2 – 8P3 + 0,25 Y Untuk P1 = 200, P2 = 100, P3 = 500 dan Y = 5000 # carilah Price Elasticity of Demand dan jenisnya! # carilah Cross Eelasticity of Demand dan jenisnya! # carilah Income Elasticity of Demand dan jenisnya! # bagaimana hubungan antara komoditi - komoditi tersebut? Jelaskan! 2.total pendapatan dan total biaya diberikan sebagai berikut: 2 R = 221Q + 5100 – 2Q dan C = 125Q + 4100 # berapakah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum? # berapakah jumlah produk yang harus diproduksi dan dijual oleh perusahaan tersebut sehingga diperoleh laba maksimum setelah mempertimbangkan masalah pejak? # berapakah total pajak maksimum yang diperoleh pemerintah ? # berapakh laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut? 2 3.fungsi produksi: Q = 0,5 K + 2KL + L2, dengan K = 20 L = 40 # hitunglah Marginal Physical Product of Labour! # hitunglah Marginal Physical Product of Capital! Jika fungsi pendapatan R = 3Q, maka # hitunglah Marginal Physical Product of Labour! # hitunglah Marginal Physical Product of Capital! 4.diberikan fungsi total biaya suatu perusahaan sebagai berikut: 2 TC = 6Q1 - 3Q1 Q2 + 12Q2 – 24 Q1 – 10 Q2 # Pada tingkat output (Q 1 dan Q2) berapakah yang akan membuat perusahaan memperoleh total biaya minimum! # Berapakah total biaya minimum tersebut? 5.fungsi permintaan suatu komoditi diberikan pada gambar dibawah ini . carilah nilai dan jenis elastisitas di masing-masing titik! Q (P1,Q1) = (12,9)
(P2,Q2) = (24,6) (P3,Q3) = (36,3) 0
48
P 54
TEORI INTEGRAL DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
TUJUAN UMUM
Mempelajari jenis integral baik integral tak tentu maupun integral tentu serta mempelajari kaidah-kaidah dari masing-masing jenis integral.
TUJUAN KHUSUS
# Integral digunakan dalam mencari suatu fungsi total atau fungsi asalnya jika di ketahui fungsi turunannya. Ini merupakan penerapan integral tidak tentu. # Integral juga digunakan dalam menghitung surplus konsumen dan surplus produsen dengan cara menghitung luas dibawah kurva. Ini merupakan penerapan integral tentu.
TEORI INTEGRAL
BAGIAN 3
TEORI INTEGRAL DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
Tujuan Umum
Mempelajari Jenis Integral baik integral Tak Tentu maupun Integral Tertentu serta mempelajari kaidahkaidah dari masing-masing jenis integral. Tutjuan Khusus
1. Integral digunakan dalam encari suatu fungsi asalnya jika diketahui fungsi turunannya. Ini merupakan peenerapan Integral Tidak Tentu. Integral juga digunakan dalam menghitung Surplus Konsumen dan Surplus Produsen dengan cara menghitung luas di bawah kurva. Ini merupakan penerapan Integral tertentu. PENDAHULUAN Pada dasarnya integral terdiri atas dua jenis yang dikenal dengan integral tak tentu dan integral tentu. INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan perincian fungsi asal atau fungsi totalnya dari fungsi turunannya yang diketahui secara umum penulisannya: F ( x )
K
f ( x)dx
: konstanta pengintegral yang tak tentu nilainya K f ( x) : integral dx : diferensial F ( x) K : fungsi asal atau fungsi total Disebut sebagai integral tak tentu akibat hasil pengintegralannya berupa F(x)+ K dimana K adalah konstanta yang nilainnya tak tentu. 55 Dengan
KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL TAK TENTU Kaidah 1.
formula pangkat Xn
xndx
n
X
contoh : x 3 dx
4
1 3 1
K , n
1
K
3 1
=
Kaidah 2. 1
1
4
x
K 4 formula logaritma dx Inx
contoh : Kaidah 3.
3
3
dx 3. InX x x formula eksponensial ex
K
e x dx
x
2 contoh : e dx
Kaidah 4.
1
dx
e
2x
K
K
formulasi penjumlahan f ( x)
g ( x ) dx x
x 2
contoh :
e dx
f ( x )dx
g ( x )dx x
x 2 dx
e dx
1 / 3 x 3 e x formulasi pengurangan
Kaidah 5.
f ( x)
x
x 2
contoh : Kaidah 6.
g ( x) dx e dx
contoh :
f ( x)dx
5 x 4 dx
g ( x)dx x
x 2 dx
1 / 3 x 3 formula perkalian
K . f ( x )dx
K
e dx
e
x
K
K . f ( x).d x
5 x 4 dx
5.1 / 5 x 5 K x 5 4 Kaidah 7. formula substitusi du f ( x)dx f (u ) dx F (u ) dx contoh: misalkan u x 2 maka du dx dx du x
contoh :
2
u Inu K In( x 2) K
e2
x 1
misalkan : u e
K
2 x 1
dx
2 z 1 maka du 2.dx dx 1 / 2 dx
u e 1 / 2du
1 / 2 e 4 du
1 / 2u K 1 / 2e 2 x 1 K 56
Kaidah 8.
formula sebagian-sebagian
u.dv
u.v
v.du
Contoh : xe x dx Misalkan u x maka du dx dv e x .dx dan maka v x.e x .dx
x
e
u.dv u.v x.ex
v.du x
e .dx
x.e x e x K x e ( x 1) K Integral Tentu Integral tentu adalah integral dimana nilai dari variabel bebasnya memiliki batasan-batasan tertentu. Integral tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan pencarian luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva serta batasan-batasan nilai yang membatasi dengan tepat area yang dimaksud. Secara umum penulisannya:
f ( x).dx dengan: F (b)
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
f ( x)dx : integral f ( x) terhadap x wilayah untuk rentang a hingga b
F (a) b a
: hasil integral fungsi f ( x ) antara a dan b : batas atas integrasi : batas bawah integrasi
Kaidah-Kaidah Integral Tentu Kaidah 1. a b f(x) dx = F(x) a b =F(b)-F(a) , a
3
3
= 2.64 – 2.8 =8 kaidah 5. a b [f(x)+g(x)] dx = a b f(x) dx+a b g(x) dx contoh: 2 4 [6x2+4x] dx = 2 4 6.x2 dx+2 4 4x dx = 6. x3 2 [4 + 4x2 2]4 3 = 2. 4 3 – 6. 2 3 + 4.4 2 – 4. 2 2 3 3 = 2 . 64 – 2.4 + 4 . 16 – 4 . 4 = 125 – 16 + 64 – 16 = 160 kaidah 6. a b [f(x) – g(x)] dx = a b f(x) dx – a b g(x) dx contoh: 2 4 [6x2 – 4x] dx = 2 4 6.x2 dx – 2 4 4x dx = 6.x3 2 4 – 4x2 2 4 3 = [6.4 3 – 6.2 3] – [4.4 2 – 4.2 2] 3 3 = [2.64 – 2.48] – [4.16 – 4.4] = 128 – 16 – 64 + 16 = 64 kaidah 7. a b [f(x) + c d f(x) dx = a d f(x) dx contoh: 2 3 4x dx + 3 3 4x dx = 2 4 4x dx 2 3 4x dx + 3 4 4x dx = 4x2 2 3 + 4x2 3 4 2 2 = 4.3 2 – 4.2 2 + 4.4 2 - 4.3 2 2 2 2 2 = 4/2.9 – 4/2 . 4 + 4/2 . 16 – 4/2.9 = 18 – 8 + 32 – 18 = 24 2 4 4x dx = 4 . x2 4 2 = 4 . 4 2 – 4 . 2 2 2 2 = 4 . 16 – 4/2 . 4 = 32 – 8 = 24
PENYELESAIAN SOAL-SOAL
Kaidah 1. formula pangkat 8
Contoh:
x dx
= x
8+1
8+1 = x9 9 = 1/9 x9 4 8
contoh:
x dx = x
8+1
2
4
2
8+1 9 9 = 4 – 2 9 9 Kaidah 2. formula logaritma
1 Contoh:
= 33
x
dx
= 33 . In x + k
58
4
33 dx = 33 2 4 1 dx = 33 . In x 2 4 = 33(In4 – In2)
Contoh: 2
x
33 x
x
dx
Kaidah 3. formula eksponensial Contoh: ex dx = ex + k Contoh: 2 4 ex dx = ex 2 4 = e4 – e2 = -e4 – e2 Kaidah 4. formula penjumlahan Contoh: [x17 + e x+2] dx = x17 dx + e x+2 dx = 1/18 x18 2 4 + e x+2 + k contoh: 2 4[x17 + e x+2] dx = 2 4 x17 dx + 2 4 e x+2 2 4 = 1/18 x18 2 4 + ex+2 2 4 = 1/18 [4 18 – 2 18] + e4+2 – e2+2 = 1/18 [4 18 – 2 18
PENERAPAN INTEGRAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI Dalam bidang ekonomi, Integral tak tentu dapat dipergunakan di antaranya untuk mencari persamaan fungsi total, sedangkan Integral tertentu diantaranya digunakan untuk mencari Surplus Konsumen dan Surplus Produsen FUNGSI TOTAL Jika yang diketahui adalah persamaan fungsi total, maka untuk mengetahui persamaan fungsi marginal digunakan perhitungan diferensial. Sebaliknya, jika yang diketahui adalah persamaan fungsi marginal, maka mencari persamaan fungsi totalnya dipergunakan hitungan Integral. Contoh : 1. Fungsi Total Revenue (TR) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi marginal MR.dQ
revenuenya : TR
2. Fungsi Total Cost (TC) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi marginal Costnya : TC
MC .dQ
3. Fungsi Total Utility (TU) dapat diperoleh dengan cara mengintergralkan fungsi marginal MU .dQ
utilitynya : TU Contoh Soal :
Carilah Fungsi Total Revenue sebesar MR
14 2Q
Jika berproduksi pada Q = 25 Jawab : MR.dQ
TR
14 2.Q.dQ Misalkan U = 14+2Q maka dU = 2dQ Dan dQ = ½ dU 14 2QdQ
Sehingga:
U . 1 2 dU 1
1 1
1
2
. U 2 .dU
2
. 1 2 U 2
4
.U
1
1
1
2
59
1
4
U
1
2
1
TR
1
4
14 2Q
4
14 2.25
1
4
8
1 32
Jadi total revenue-nya pada Q = 25 diperoleh sebesar 1/32 Surplus Konsumen Yaitu : Keuntungan lebih (surplus)yang dinikmati oleh konsumen karna konsumen tersebut dapat membeli barang dengan harga pasar yang lebih murah daripada harga yang sanggup dibayarnya.(Kesanggupan bayar > harga).jika permintaan suatu barang dinyatakan dengan persamaan P= f (Qd)dan ternyata bahwa harga barang tersebutdipasar sebesar Pe, maka bagi setiap konsumen yang pada dasarnya memiliki keinginan untuk membeli barang tersebut dan memiliki kesanggupan untuk membeli barang tersebut walaupun harganya diatas Pe dinyatakan bahwa konsumen tersebut mengalami keuntungan. Bpk Alfreed Marshall menyebutnya surplus konsumen.surplus konsumen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi permintaanya serta menghitung luas area di bawah kurva yang bersangkutantetapi diatas harga pasar Pe. Penggambaran : P P'
Surplus konsumen (SK)
Pe
0
Qe
Q'
Q
Surplus konsumen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus Qe
1. SK
f (Q)dQ
Qe.Pe
0
Atau p
2. SK
f ( p).dP pe
Contoh soal: 2 Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik Qd vs P ! carilah surplus konsumenya jika harga pasar Pe = 2 Jawab : 2 Qd = 75 – 3P 2 Qe = 75 – 3.2 Qe = 75 – 3.4 Qe = 75 – 12 Qe = 63 Jadi (Pe,Qe) = (2,63) 2 Fungsi Qd = 75 – 3P merupakan kurva parabola yang terbuka di bawah dengan titik puncaknya (P,Qd) = (0,75).penggunaan grafiknya :
60
Qd 75 63 Surplus konsuemen
0
2
5
P
63
SK
f (Q).dq
(2.63)
0 5
SK
f ( p) dP 2 5
(75 3P 2 )dP 2 5
5
75 dP 3 p .dP 2
2
5
5 2
p 2
3
75.5 75.2
52
22
2.75 150
125 8
2
= 125 – 125 + 8 =8 SURPLUS PRODUSEN Yaitu : keuntungan lebih (surplus)yang dinikmati oleh produsen karena produsen tersebut dapat menjual barang dengan harga lebih tinggi daripada harga yang sanggup dijualnya.(kesanggupan menjual < harga pasar) Jika fungsi penawaran suatu barang dinyatakan dengan persamaan P = f(Qs) dan ternyata bahwa harga barang tersebut dipasar sebesar Pe, maka bagi setiap produsen yang pada dasarnya ingin menawarkan barang tersebut serta memiliki kesanggupan untuk menjual barang tersebut di atas harga pasar Pe dinyatakan bahwa produsen tersebut mengalami keuntungan.Bapak Alfred Marshall menyebutnya surplus produsen.surplus produsen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi penawaranya serta menghitung luas area diatas kurva yang bersangkutan tetapi di atas harga pasar Pe
Penggambaran :
P
Pe
E(Qe,Pe)
Surplus Produsen 1
P
0 Qe Q surplus produsen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus : 61
Qe
Pe.Qe
1. SP
f (Q)dQ 0
atau Pe
f ( p)dP
SP P
Contoh soal: Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q ! carilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40. Jawab: Fungsi penawaranya P = 20 +5Qs P – 20 = 5Qs 5Qs = P – 20 Qs = 1/5 P – 20/5 Qs = 1/5 P – 4 Diketahui bahwa harga keseimbangan pasar adalah 40, maka Untuk Pe = 40 Qe = 1/5P – 4 Qe = 1/5.40 – 4 Qe = 8 – 4 Qe = 4 Jadi (Pe,Qe) = (40,4)
Penggambaran grafiknya Pe = 20 – 5Qs Pe = 40
Surplus Produsen P11= 20
0
4
Qs
Daerah yang diarsir menunjukkan surplus produsen yaitu keuntungan yang diperoleh akibat harga dipasar di atas (lebih tinggi)dari kesanggupan menjual. Perhitungan mencari surplus produsen sebagai berikut. Surplus produsen : Qe
SP
Pe.Qe
f (Q)dQ 0 4
40.4
(20 5Q)dQ 0
4
160
20 dQ (5 Q.dQ 0
160
4
0
(20.4) 20.0)
5 2
.4 2
5 2
02
40
atau
62
Pe
SP
40
1
f ( P)dP P
u
5
20
1
.402
1
1
P 4 dP
.202
10 10 160 40 160 80
10
40
P
2
40
4P 20
20
4.40 4.20 40
PENYELESAIAN SOAL – SOAL Fungsi total 2 Q 4. carilah fungsi total revenue dari fungsi marginal revenue : MR = Q e ,dengan Q adalah julah output yang diproduksi dan di jual. Jawab: TR
MR.dQ Q
q 2 e .dQ 2
Misalkan U = Q Q Dan dV = e .dQ Maka dengan rumus :
Sehingga dU = 2Q.dQ Q Sehingga V = e U .dV U .V
V .dU
Diperoleh : TR
2 Q .e Q
e Q .2Q.dQ
TR
Q 2 .e Q
2 e Q .2Q.dQ
TR
Q 2 .e
Q
2. Q..e Q .dQ
Misalkan U = Q Q Dan dV = e .dQ Maka dengan rumus :
Sehingga dU = dQ Q Sehingga V = e U .dV U .V
V .dU
Diperoleh : 2
TR
Q .e Q
2 Q.e Q
e Q .dQ
TR
Q 2 .e Q
2 Q.e Q
eQ
TR
Q 2 .e Q
2Q.e Q
2e Q
Jadi fungsi Total Revenue : TR
2
Q .e Q
2Q.e Q
2e Q
Surplus konsumen 5. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing – masing ditunjukan dengan fungsi sebagai berikut : Qd = 30 – 2P dan Qs = – 6 + P Hitunglah surplus konsumenya! Jawab: Mencari harga dipasar dengan cara : Qd = Qs 30 – 2P = – 6 +P 30 + 6 = P + 2P 36 = 3P maka Pe=12 dan Qe = – 6 + 12 Qe = 6 Fungsi perimintaan : Qd = 30 – 2P Fungsi penawaran : Qs = – 6 + P 2p = 30 – Qd Qs + 6 = P P = 15 – ½ Qd P = Qs + 6
63
Penggambaranya : P Surplus Konsumen P = Qs + 6 atau Qs = – 6 + P
P´=15 Pe=12
Surplus Produsen P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P
11
P =6
0
Qe = 6
6
f (Q)dQ
SK
30
PSurplus Konsumen :
6
Pe .Qe
0
(15 1 / 2Q)dQ (12.6) 0
6
1
15Q
4
0
6
Q
2
72 15.6 0
1 4
.6 2
72
90 9 72
9
atau 15
15
(30 2P)dP
30P
12
15
P
2
12
30.15 30.12 152 122
9
12
baik menghitung dengan menggunakan rumus ke-1 maupun dengan rumus ke-2 diperoleh surpl,us konsumenya sebesar 9. Surplus Produsen 6. dari soal no 2 hitunglah surplus produsenya! Jawab Surplus produsen 6
1. SP
pe .Qe
6
f (Q)dQ
12.6
0
72
1 2
f (Q)dQ
72
0
6
Q
6
2
6
6Q 0
72 0
(Q
6)dQ
0
1 2
62
6.6
72 18 36 18
maka akan diperoleh surplus produsen sebesar 18. SELESAIKAN SOAL – SOAL LATIHAN DIBAWAH INI
1. Carilah fungsi total biaya dari fungsi marginal biaya sebesar : 2.
3.
4.
5.
M C
( Q - Q ) 2 jika
berproduksi dari range Q = 4 hingga Q = 8. Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran terhadap suatu barang P 1,5 Qs +15. berapakah surplus produsenya bila ternyata bahwa tingkat harga di pasar adalah 25? Gambarkanlah fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)dan lakukanlah perhitungannya dengan dua cara! Fungsi permintaan suatu barang dinyatakan sebagai berikut: Q = 120 – 6P berapakah surplus konsumenya bila ternyata tingkat harga adalah 60? Gambarkanlah fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)dan lakukanlah perhitungannya dengan dua cara! Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing – masing dinyatakan sebagai berikut : Qd = 40 – 10P dan Qs = 12P – 4 Carilah keseimbangan harga dan kuantitasnya dipasar! Gambarkan kedua fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)! Carilah surplus konsumenya! Carilah surplus produsenya! Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing – masing dinyatakan sebagai berikut : Qd = 30 – 2 P dan Qs = – 66 + 10 64
Carilah keseimbangan harga dan kuantitasnya dipasar! Gambarkan kedua fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)! Carilah surplus konsumenya! Carilah surplus produsenya!
Linier Programming Suatu Pendekatan Grafik 13.1 Penyelesaian dengan Grafik
Tujuan linier programming adalah untuk menetapkan alokasi sumberdaya yang langka secara optimal di antara produk atau aktivitas yang saling bersaing. Situasi perekonomian seringkali mengharuskan pengoptimuman suatu fungsi di bawah beberapa kendala pertidaksamaan. Apabila kendala pertidaksamaan yang dilibatkan lebih dari satu, maka linier programming adalah lebih mudah. Jika kendala-kendalanya tersebut, betapapun banyaknya, terbatas variabel, betapapun banyaknya, kendala penyelesaian yang termudah adalah dengan pendekatan grafik. Pendekatan grafik untuk maksimasi dan minimisasi diperagakan masing masing dalam contoh. Contoh 1 Sebuah pabrik memproduksi meja (x 1) dan bangku (x2). Setiap meja memerlukan 2,5 jam untuk perakitan (A), 3 jam untuk pemolesan (B), dan 1 jam untuk pengepakan (C). Setiap bangku memerlukan 1 jam untuk perakitan, 3 jam untuk pemolesan, dan 2 jam untuk pengepakan. Perusahaan tersebut tidak dapat menggunakan lebih dari 20 jam untuk perakitan, 30 jam untuk pemolesan, dan 16 jam untuk pengepakan setiap minggu. Margin laba adalah Rp. 3 per meja dan Rp. 4 per bangku. Pendekatan grafik digunakan dibawah ini untuk mencari bauran (output mix) yang akan memaksimumkan laba mingguan perusahaan tersebut.pendakatan ini diperagakan dalam empat langkah yang mudah. 1. Nyatakan data tersebut dalam persamaan atau pertidaksamaan.fungsi yang akan dioptiumkan, fungsi obyektifnya, menjadi Π = 3x1 + 4x2 Di bawah kendala, Kendala dari A : 2,5x1 + x2 ≤ 20 Kendala dari B : 3x1 + 3x2 ≤ 30 Kendala dari C : x1 + 2x2 ≤ 16 Kendala ketidaknegatifan : x 1,x2 ≥ 0
Tiga pertidaksamaan pertama merupakan kendala – kendala teknis (echnical constrain) yang ditentukan oleh keadaan teknologi dan tersedianya input; pertidaksamaan yang keempat merupakan suatu kendala ketidaknegatifan (nonnegativity constrain) yang ditentukan pada setiap soal untuk menghindarkan nilai negatif(karena itu tak dapat diterima)dari penyelesaian. 2. Perlakukan ketiga kendala pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, selesaikan masing masing untuk x 2 dalam kaitanya dengan x 1 , dan gambarkan grafiknya.jadi Dari A x2 = 20 – 2,5x1 Dari B x2 = 10 – x1 Dari C x2 = 8 – 0,5x1
(a)
–
(b)
65
gambar 13 - 1
Grafik dari pertidaksamaan asal “ lebih kecil atau sama dengan ” akan mencakup semua titik – titik pada garis dan disebelah kiri garis.lihat gambar 13 – 1 (a).kendala ketidaknegatifan x 1,x2 ≥ 0, masing – masing digambarkan oleh sumbuh tegak (vertikal) dan sumbu datar (horisontal). Daerah yang digelapkan disebut daerah yang memungkinkan (feasible region). Daerah itu memuat semua titik – titik yang memenuhi ketiga kendala ditambah kendala ketidaknegatifan.x 1 dan x2 disebut variabel keputusan atau struktural (decision or stuktural variables). 3. untuk memperoleh pemecahan yang optimal dalam daerah yang memungkinkan,jika ada, gambarkan fungsi obyektif sebagai suatu seri garis isoprofit . 3 x2 x1 4 4 Jadi,garis isoprofit tersebut mempunyai kemiringan - ¾. Dengan menggambarkan suatu seri garis isoprofit (garis putus – putus) yng menunjukan laba(profit)yang semakin besar,kita menemukan garis isoprofit yang menunjukan laba terbesar yang memungkinkan menyentuh
4 dan x 2 = 3(4) + 4(6) = 36.
daerah yang mungkin di E . Dimana x1 mensubstitusikan dalam (13.1), 4. laba dimaksimumkan pada ekstrim(extreme point).
perpotongan
kedua
6 lihat gambar 13
kendala
– 1 (b). Dengan
tersebut,yang
disebut
titik
13.2 DALIL TITIK EKSTRIM Dalil titik ekstrim menyatakan bahwa jika suatu nilai optimal yang memungkinkan (optimal feasible value) dari fungsi obyektif ada, nilai tersebut akan ditenukan pada salah satu titik ekstrim (atau sudut) dari batas tersebut. Perhatikan bahwa terdapat sepuluh titik ekstrim : (0,2),(0,10),(6,5),(10,0),(16,0),(0,8),(4,6),(7,3),(8,0) dan (0,0) dalam gambar 13 – 1,(a) yang terakhir adallah perpotongan kendala – kendala ketidaknegatifan. Semuanya disebut penyelesaian dasar (basic solution) tetapi hanya lima terakhir yang merupakan penyelasaian dasar yang mungkin (basic feasible solution) karena penyelesaian – penyelesaian tersebut tidak melanggar kendala yang manapun. Biasanya hanya salah satu dari penyelesaian dasar yang mungkin tersebut yang akan
optimal. Di (7,3) upamanya, Π = 3 (7) + 4(3) = 31 yang lebih rendah dari Π = 36 diatas.
Contoh 2. seorang petani ingin mengetahui bahwa ternak gembalanya memperoleh kebutuhan harian minimum dari tiga bahan pokok makanan pokok A,B dan C. Kebutuhan harianya adalah 14 untuk A, 12 untuk B,dan 18 untuk C. Produk y 1 mempunyai dua unit A,dan satu unit masing – masing B dan C; produk y 2 mempunyai satu unit masing – masing A dan B dan tiga unit C.harga y 1 adalah Rp 2,- dan harga y 2 adalah Rp 4,-. Metode grafik digunakaqn dibawah ini untuk menentukan kombinasi biaya yang paling murah dari y 1 dan y2 yang akan memenuhi semua kebutuhan minimum. Dengan menggunakan prosedur yang digunakan dalam contoh 1, 1. fungsi obyektif yang akan diminimumkan adalah c = 2y1 + 4y2 di bawah kendala , kendala dari A : 2y1 + y2 ≥ 14 kendala dari B : y1 + y2 ≥ 12 kendala dari C : y1 + 3y2 ≥ 18 kendala ketidaknegatifan y1,y2 ≥ 0 dimana kendala teknisnya dibaca ≥ karena kebutuhan minimum harus dipenuhi tetapi ungkin dilampaui
– masing untuk y 2 dalam satuan y1 dan gambarkan grafiknya. Grafik dari pertidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan ” akan mencakup semua titik – titik pada garis dan disebelah kanan garis. Lihat gambar 13 – 2 (a). Daerah yang digelapkan merupakan daerah yang mungkin memuat semua titik – titik yang
2. Perlakukan pertidaksamaan selesaikan masing
memenuhi semua ketiga kendala kebutuhan ditambah kendala ketidaknegatifan. 66
(a)
(b) gambar 13 - 2
3. Untuk memperoleh penyelesaian optimal, gambarkan grafik fungsi obyektif sebagai suatu seri garis isocost (garis putus-putus) Dari (13.2) y2
c
1
4
2
y1
Garis isocost terendah yang akan menyinggung dareah yang memungkinkan adalah garis singgung (tangen) di y1 9 dan y2 3 dalam gambar 13 – 2 (b).jadi c = 2(9) + 3(3) = 30 yang menunjukan suatu biaya yang lebih rendah ketimbang di titik ekstrim yang mungkin lainya. Umpamanya di (2,10),c = 2(2) + 4(10)[untuk soal meminimasi, (0,0) tidak dalam daerah yang memungkinkan] 13.3 VARIABEL SLACK DAN VARIABEL SURPLUS
Soal yang melibatkan lebih dari dua variabel berada di luar lingkup pendekatan grafik dua dimensi yang disajikan dalam bab sebelumnya.karena perlunya persamaan , sistem perttidaksamaan linear harus dirubah menjadi sistem persamaan linear.ini dilakukan dengan memasukan suatu variabel slack atau surplus yang terpisah (s i) kedalam masing – masing pertidaksamaan (kendala ke i) dalam sistem tersebut.lihat contoh 3. Suatu pertidaksamaan “ lebih kecil atau sama dengan ” seperti 5x 1 + 3x2 ≤ 30 dapat dirubah menjadi suatu persamaan dengan menambahkan suatu variabel slack s ≥ 0, sedemikian rupa sehingga 5x 1 + 3x2 + s = 30.jika 5x 1 + 3x2 = 30, variabel slack s = 0. jika 5x 1 + 3x2 < 30, s adalah suatu nilai positif yang sama dengan selisih antara 5x 1 + 3x2 dan 30. Suatu pertidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan ” seperti 4x 1 + 7x2 ≥ 0 sedemikian rupa sehingga 4x 1 + 7x2 – s = 60.jika 4x1 + 7x2 = 60,variabel surplus s = 0 jika 4x 1 + 7x2 = 60, s adalah suatu nilai positif yang sama dengn selisih antara 4x 1 + 7x2 dan 60 CONTOH 3 karena kendala – kendala teknis dala contoh 1 semua melibatkan lebih kecil atau sama dengan ” variabel slack ditambah sebagai berikut : 2,5x1 + x2 + s1 = 20 3x1 + 3x2 + s2 = 30 x1 + 2x2 + s3 = 16 dinyatakan dalam bentuk matriks, x1 2,5 1 1 0 0
x 2
20
3
3 0 1 0
s1
30
1
2
s2
16
0 01
pertidaksamaan “
s3
sebaliknya dalam contoh 2 semua kendala adalah “ lebih besar atau sama dengan ”. karena itu variabel surplus dikurangkan. 2y1 + y2 - s1 = 14
y1 + y2 - s2 = 12
y1 + 3y2 - s3 = 18 67
Dalam bentuk matriks, y1
2 1 -1 0 0
y 2
14
1 1
s1
12
s2
18
0 -1 0
1 3 0
0 1
s3
13.4 DALIL DASAR
Untuk suatu sistem persamaan m yang konsisten dan variabel n, dimana n > m akan terdapat sejumlah penyelesaian yang tak terhingga. Akan tetapi, banyaknya titik ekstrim adalah terhingga. Dalil dasar menyatakan bahwa untuk suatu sistem m persamaan dan n variabel,dimana n > m suatu penyelesaian dimana sedikitnya n - m variabel saa dengan nol merupakan titik ekstrim. Jadi dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol menyelesaikan m persamaan untuk m variabel yang tersisa,suatu titik ekstrim,atau penyelesaian dasar dapat diperoleh.besarnya penyelesaian dasar dapat diberikan dengan rumus n! m!(n m)! dimana n! Dibaca n factorial lihat contoh 4 CONTOH 4 dengan mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan dalam contoh 3 menghasilkan tiga persamaan dan lima variabel.perhitungan untuk menentukan (1) banyaknya variabel yang harus ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh suatu penyelesaian dasar dan (2) besarnya penyelesaian dasar yang ada,diperlihatkan dibawah ini. 1. karena terdapat 3 persamaan dan 5 variabel ,dan n- m variabel harus sama dengan nol untuk penyelesaian dasar 5 – 3 atau 2 variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar atau titik ekstrim. 2. dengan menggunakan rumus untuk besarnya penyelesaian dasar, n!/[m!(n-m)] dan dengan mensubstitusikan parameter – parameter yang diketahui. 5! 3!( 2)! dimana 5! = 5(4) (3) (2) (1). Jadi 5(4) (3) (2) (1)
10 3(2) (1) (2) (1) CONTOH 5. Beberapa dasar dapat dibaca secara langsung dari matriks tanpa suatu manipulasi aljabar.lihat contoh 3. Dalam atriks pertama,dengan menetapkan x 1 = 0 dan x2 = 0 akan menghasilkan suatu matriks identitas untuk s 1.s2.s3.jadi s1 = 20,s2 = 30 dan s3 = 16 merupakan suatu penyelesaian dasar yang dapat dibaca secara langsung dari atriks tersebut. Dalam matriks kedua,dengan menetapkan y 1 = 0 dan y2 = 0 akan menghasilkan suatu matriks identitas yang negatif untuk s 1.s2.s3.jadi s1 = -14,s2 = -12 dan s3 = -18 merupakan penyelesaian dasar.akan tetapi,perhatikan bahwa penyelesaian dasar tersngebut bukan suatu penyelesaian dasar yang memungkinkan karena melanggar kendala ketidaknegatifan.
SOAL DAN JAWABAN PERNYATAAN MATEMATIS ATAS MASALAH EKONOMI 1. Sebuah pabrik khusus baja memproduksi dua tipe baja (g 1 dan g2) tipe satu memerlukan 2 jam untuk peleburan,4 jam untuk percetakan dan 10 jam untuk pemotongan. tipe dua memerlukan 5 jam untuk peleburan,1 jam untuk percetakan dan 5 jam untuk pemotongan.empat puluh jam tersedia untuk peleburan,dua puluh jam untuk percetakan dan 60 jam untuk pemotongan.marjin laba untuk tipe 1 adalah 24,untuk tipe 2 adalah 8.nyatakan data tersebut dalam persamaan – persamaan dan pertidaksamaan yang perlu untuk menetapkan bauran output yang akan memaksimumkan laba. Π = 24 g1 +8 g2 Maksimumkan Dibawah 2 g1 + 5 g2 ≤ 40 kendala peleburan
68
4 g1 + g2 ≤ 20 10 g1 + 5 g2 ≤ 60 g1 + g2 ≥ 0
kendala percetakan kendala pemotongan
2. Sebuah perusahaan gilingan batu untuk pekarangan rumah memproduksi dua macam batu; kasar (x1) dan halus (x 2).batu kerikil yang kasar memerlukan 2 jam untuk penghancuran, 5 jam untuk pengayakan dan 8 jam untuk pengeringan. batu halus memerlukan 6 jam untuk penghancuran, 3 jam untuk pengayakan dan 2 jam untuk pengeringan. Marjin laba untuk batu kasar adlah 40, untuk batu halus adalah 50. Di perusahaan tersebut tersedia waktu 36 jam untuk penghancuran, 30 jam untuk pengayakan dan 40 jam untuk pengeringan. Tentukan bauran output yang memaksimumkan laba dengan menyederhanakan data ini menjadi persamaan – persamaan dan pertidaksamaan. Maksimumkan Dibawah
Π = 40 x1 + 50 x2 2 x1 + 6 x2 ≤ 36 kendala penghancuran 5 x1 + 3 x2 ≤ 30 kendala pengayakan 8 x1 + 2 x2 ≤ 40 kendala pengeringan x1 + x2 ≥ 0
3. Seorang yang gandrung model hidup sehat ingin memperoleh minimum 36 unit vitamin A, 28 unit vitamin C, dan 32 unit vitamin D setiap hari. Merk 1 harganya Rp 3,- dan memberikan 2 unit vitamin A, 2 unit vitamin Cdan 8 unit vitamin D. Merk 2 harganya Rp 4,- dan memberikan 3 unit vitamin A, 2 unit vitamin C dan 2 unit vitamin D.Dengan memakai persamaan persamaan dan pertidaksamaan, bagaimanakah kombinasi paling murah yang menjamin kebutuhan harian? Minimumkan Dibawah
c = 3 y1 + 4 y2 2 y1 + 3 y2 ≥ 36 kendala 2 y1 + 2 y2 ≥ 28 kendala 8 y1 + 2 y2 ≥ 32 kendala y1 + y2 ≥ 0
vitamin A vitamin C vitamin D
4. Pak samin memastikan bahwa ayam – ayamnya mendapatkan paling sedikit 24 unit zat besi dan 8 unit vitamin setiap hari. Jagung (x 1) memberikan 2 unit zat besi dan 5 unit vitamin. Tepung tulang (x2) memberikan 4 unit zat besi dan 1 unit vitamin.padi – padian (x3) memberikan 2 unit zat besi dan 1 unit vitamin.bagaimana makanan – makanan tersebut harus dicampur untuk memberikan pemmenuhan yang paling murah atas kebutuhan harian jika harga makanan tersebut masing – masing Rp 40,- Rp 20,- dan Rp 60,Minimumkan c = 40 x1 + 20 x2 + 60 x3 Dibawah 2 x1 + 4 x2 + 2 x3 ≥ 24 kendala vitamin zat besi 5 x1 + x2 + x3 ≥ 24 kendala vitamin x1, x2, x3 ≥ 0 GRAFIK UNTUK PENYELESAIAN 5. dengan menggunakan data dibawah, 1) Gambarkan grafik kendala – kendala pertidaksamaan setelah menyelesaikan masing – masing untuk g2 dalam g1 2) Grafikan kembali dan hitamkan daerah yang memungkinkan(feasible region). 3) Hitunglah kemiringan fungsi obyektif.taruhlah penggaris diatas kemiringan ini gerakkan penggaris tersebut ke titik singgung dengan fungsi obyektif,dan tariklah suatu garis putus – putus. 4) Bacalah setiap nilai kritis untuk g 1dan g2 pada titik singgung, dan evaluasilah fungsi obyektif pada nilai – nilai ini.
Dari soal 1. Maksimumkan Dibawah
Π = 24 g1 + 8 g2 2 g1 + 5 g2 ≤ 40 kendala 1 4 g1 + g2 ≤ 20 kendala 2 69
gkin dignh 10 g 1 + 5 g2 ≤ 60 kendala 3 g1 + g2 ≥ 0 kendala – kendala pertidaksamaan tersebut harus digrafikan seperti terlihat dalam gambar 13.3 (a).untuk kendala 1, dari g 2 = 8 – 2/5 g1, apabila g1 = 0, g2 = 8;apabila g2 = 0,g1 = 20. perhatikan bahwa kendala ketidaknegatifan hanya membatasi analisis pada kuadran pertama. Daerah yang mungkin digrafikan dalam gambar 13.3 (b). Dari fungsi obyektif,g 2=Π/8– 3 g1; kemiringan = -3. di titik singgung, g 1 = 4 dan g2 = 4.jadi Π= 24(4) + 8(4) = 128
(a)
(b) gambar 13.3
6. kerjakan kembali seperti soal 5, dengan menggunakan data berikut, yang diperoleh dalam soal 2 Π = 40 x1 + 50 x2 Maksimumkan Dibawah 2 x1 + 6 x2 ≤ 36 kendala 1 5 x1 + 3 x2 ≤ 30 kendala 2 8 x1 + 2 x2 ≤ 40 kendala 3 x1 + x2 ≥ 0 lihat gambar 13.4 (a) untuk kendala yang digrafikan; gambar 13.4 (b) untuk daerah yang memungkinkan. Dari fungsi obyektif, x2 = Π /50 – 4/5 x1, kemiringan = - 4/5, dalam gambar 13.4 (b), x1 =3
dan x2 = 5. jadi Π = 40(3) + 50 (5) = 370
(a)
(b) gambar 13.4
PENYELESAIAN OPTIMAL BERGANDA 7. Kerjakan kembali seperti soal diatas apabila diketahui data berikut : Minimumkan c = 4 x1 + 2 x2 Dibawah 4 x1 + x2 ≥ 20 kendala 1 2 x1 + x2 ≥ 14 kendala 2 x1 + 6 x2 ≥ 18 kendala 3 x1, x2 ≥ 0
70
(a)
(b)
gambar 13.5 Dalamgambar 13.5 dengan garis isocost menyinggung kendalan kedua, maka tidak terdapat penyelesaian tunggal optimal yang memungkinkan. Setiap titik antara garis (3,8) dan (6,2) akan meminimumkan fungsi obyektif dibawah kendala tersebut.penyelesaian optimal berganda (multiple optial solution) akan terjadi bilamana terdapat ketergantungan linear antara fungsi obyektif dan salah satu kendala. Dala kasus ini, fungsi obyektif dan kendala 2 adalah secara linear tergantung (tak bebas) karena yang satu dapat dinyatakansebagai penggandaan dari yang lain. Perhatikan bahwa penyelesaian optimal berganda tidak menyangkal dalil titik ekstrim,karena titik – titik ekstrim (3,8) dan (6,2) juga termasuk dalam penyelesaian optimal, yaitu c = 4(3) = 38 atau c = 4(6) + 2(2) = 28
VARIABEL SLACK DAN SURPLUS 8. (a) ubahlah kendala – kendala pertidaksamaan dalam data berikut menjadi persamaan dengan menambahkan variabel slack atau mengurangkan variabel surplus dan (b) nyatakan persamaan tersebut dalam bentuk matriks. Π = 24 y1 + 8 y2 Maksimumkan Dibawah 2 y1 + 5 y2 ≤ 40 4 y1 + y2 ≤ 20 10 y1 + 5 y2 ≤ 60 y1 , y2 ≥ 0 (a) untuk pertidaksamaan “lebih kecil atau sama dengan”. Tambahkan variabel slack.jadi, 2 y1 + 5 y2 + s1 = 40 4 y1 + y2 + s2 = 20 10 y1 + 5 y2 + s3 = 60 y1
(b)
2 5 1
0
0
y 2
40
4 1 0
1 0
s1
20
10 5
0 1
s2
60
0
s3
9. Kerjakan seperti soal di atas untuk yang berikut : Minimumkan c = 60 x1 + 80 x2 Dibawah 2 x1 + 3 x2 ≥ 36 2 x1 + 2 x2 ≥ 28 8 x1 + 2 x2 ≥ 32 x1, x2 ≥ 0 (a)
untuk pertidaksamaan “lebih besar atau sama dengan”. kurangkan variabel surplus.jadi, 2 x1 + 3 x2 - s1 = 36
2 x1 + 2 x2 - s2 = 28
8 x1 + 2 x2 - s3 = 32
71
x1
(b)
0
0
x 2
36
2
0 -1
0
s1
28
2
0
0 -1
s2
32
2
3 -1
2 8
s3 10. (a) Reduksikan kendala – kendala pertidaksamaan dari data berikut ini menjadi persamaan dan nyatakan dalam bentuk matriks. Tentukan (b) banyaknya variabel yang harus ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh penyelesaian dasar dan (c) banyaknya penyelesaian dasar yang ada, (d) tentukanlah penyelesaian dasar pertama dari matriks tersebut. Minimumkan c = 54 g1 + 48 g2 + 50g3 Di bawah 6 g1 + 4 g2 + 5g3 ≥ 30 3 g1 + 6 g2 + 5g3 ≥ 20 g1,g2,g3 ≥ 0 g1
(a)
6 g1 + 4 g2 + 5g3 ≥ 30
6
4 5 -1 0
3 6 5
0 -1
g2 g3 s1
30 20
s2
3 g1 + 6 g2 + 5g3 ≥ 20 (b) (c)
karena terdapat dua persamaan dan 5 variabel, maka sebanyak n – m = 5 – 2 = 3 variabel harus ditetapkan sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar. Banyaknya penyelesaian adalah n! m!(n
(d)
m)
5!
5(4)(3)(2)(1)
2!(3!)
2(1)(3)(2)(1)
10
Dengan menetapkan g 1 = g2 =g3 = 0, penyelesaian dasar pertamanya adalah s1
30 dan s2 20 ,karena keduanya negatif penyelesaian – penyelesaian ini tidak dapat menjadi suatu penyelesaian dasar yang memungkinkan
LIN EAR PROGRAMMING ALGORITMA SIMPLEKS
:
14.1. ALGORITMA SIMPLEKS : MAKSIMASI Algoritma adalah suatu kaidah aatau suatu prosedur sistematis untuk mendapatkan penyelesaian suatu soal. Algoritma simpleks adalah suatu metode(atau prosedur perhitungan) untuk menentukan penyelesaian dasar yang memungkan atas asuatu sistem persamaan dan pengujian keoptimalan penyelesaian tersebut. karna paling sedikit n – m variabel harus sama dengan noluntuk suatu penyelesaian dasar, n – m variabel ditetapkan saa dengan nol dala setiap langkah dari prosedur tersebut, dan penyelesaian diperoleh dengan menyelesaikan m persamaan untuk m variabel sisanya. Algoritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian dasar yang lain, sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai penyelesaian optimal dicapai.variabel – variabel yang disamakan dengan nol pada langkah tertentu disebut tidak dalam basis atau tidak dalam penyelesaian. variabel – variabel yang tidak ditetapkan saa dengan nol disebut dalam basis atau dalam penyelesaian. Atau lebih sederhana variabel – variabel dasar . Metode simpleks diilustrasikan dalam contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3 untuk miniisasi. Contoh . Algoritma simpleks digunakan sebagai berikut untuk memeksimumkan laba, apabila Π = 5x1 + 3x2 ditentukan Di bawah kendala, 6x1 + 2x2 ≤ 36 2x1 + 4x2 ≤ 28 72
5x1 + 5x2 ≤ 40
x1,x2 ≥ 0
1. Tabel Sipleks Awal i) Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variabel slack 6x1 + 2x2 + s1 = 36 5x1 + 5x2 + s2 = 40 2x1 + 4x2 + s3 = 28
– variabel
ii) Nyatakan persamaan – persamaan kendala dalam bentuk matriks, x1 6
2 1
0
0
x 2
36
5 5
0
1 0
s1
40
2
0
0 -1
s2
28
4
s3
iii) Susunlah suatu tabel simpleks awal yang terdiri dari matriks koefisien dari persamaan kendala dan vektor kolom dari konstanta letakan diatas satu baris dari indiktor yang merupakan negatif – negatif dari koefisien fungsi obyektif dan sebuah koefisien nol untuk masing – masing variabel slack. Elemen kolom konstanta dari baris terakhir adalah juga nol,sesuai deng n nilai fungsi obyektif di titik asal (kalau x 1 = x2 = 0)
Tabel simpleks awal : x1 x2 s1 s2 s3
konstanta
36 40 28 0
2 1 0 0 5 5 0 1 0 2 4 0 0 1 -5 -3 0 0 0 indikator
iv) Penyelesaian mendasar pertama yang mungkin dapat dibaca dari tabel s impleks awal. Dengan menetapkan x 1 = 0 dan x2 = 0, seperti dalam contoh 5 bab 3,s 1 = 36, s2 = 40, s3 = 28 pada penyelesaian mendasar pertama yang mung kin tersebut, fungsi obyektif mempunyai nilai nol. 2.
Elemen Pivot dan Perubahan Dasar (basis) Untuk menaikan nilai fungsi obyektif, suatu penyelesaian mendasar yang baru diperiksa. Untuk bergerak kesuatu penyelesaian mendasar baruyang mungkin, suatu variabel diasukan kedalam basis dan salah satu variabel sebelumnya berada dalam basis harus dikeluarkan. Proses pemilihan variabel yang dimasukan dan variabel yang dikeluarkan tersebut dinamakan perubahan basis (change of basis) i) Indikator negatif dengan nilai absolut terbesar akan menentukan variabel yang asuk ke dala basis. Karna -5 dalam kolom pertama (atau x 1)merupakan indikator negatif dengan nilai absolut terbesar, x 1 di asukan ke dalam basis x 1enjadi kolom pivot dan ditandai dengan anak panah. ii) Variabel yang dieliminasi ditentukan oleh rasio pemindahan (displacement ratio). Rasio pemindahan diperoleh dengan membagi elemen kolom konstan dengan elemen kolom pivot. Baris dengan ratio pemindahan terkecil ( yaitu baris pivot) dengan mengabaikan rasio – rasio lebih kecil atau sama dengan nol,akan menentukan variabel yang meninggalkan baris. 28 Karena 366 memberikan rasio terkecil 366 40 , baris1 merupakan baris pivot. Karena vektor 5 2 satuan (unit vektor) dengan 1 dalm baris pertamanya berada dibawah kolo s 1, maka s1 akan meninggalkan basis. Elemen pivotnya adalah elemen pada perpotongan kolom variabel 73
yang masuk ke basis dan baris yang berhubungan dengan variabel yang meninggalkan basis(yaitu elemen pada perpotongan baris pivot dan kolo pivot)
3. Pivoting Pivoting adalh proses penyelesaian m persamaan dalam bentuk m varibel yang sekarang berada dala basis. Karena hanya satu variabel baru yang memasukibasis pada setiap langkah proses,dan langkah sebelumnya selalu melibatkan suatu matriks identitas, pivoting hanya meliputi pengubahan elemen pivot menjadi 1 dan semua eleen lainya dalam kolom pivot menjadi nol, seperti dala metode eliminasi Gauss ( lihat butir 10.12),swebagai berikut : i) Kalikan baris pivot dengan kebalikan (reciprocal) dari eleen pivot. Dalam hal ini, kalikan baris1 dengan 1 . 6
Tabel kedua:
x1 x2 s1 s2 s3 1
1
1
3
6
0
konstanta
0
6
5 5 0 1 0 2 4 0 0 1 -5 -3 0 0 0
40 28 0
ii) Setelah mereduksi elemen pivot menjadi 1, rampungkan kolom pivotnya. Di sini, kurangkan 5 kali baris 1 dari baris2,2 kali baris 1 dari baris3 dan tambahkan 5 kali baris 1 ke baris4. ini memberikan tabel kedua x1 x2 s1 s2 s3 1
1
1
3
6
0
10
5
3
6
0
10
1
3
3
0
4
5
3
6
konstanta
0
0
6
1
0
10
0 1
16
0
0
30
Penyelesaian mendasar kedua yang mungkin dapat dilihat secara langsung dari tabel kedua. Dengan menetapkan x 2 = 0 dan s 1 = 0 , sekarang tinggal suatu atriks identitas yang memberikan x 1 = 6, s2 = 0,dan s3 = 16. eleen terakhir dala baris terakhir (dalam hal ini, 30) merupakan nilai fungsi obyektif pada penyelesaian mendasar kedua yang mungkin. 4. Optimisasi Fungsi obyektif di maksimumkan kalau tidak terdapat indikator negative dalam baris terakhir. Dengan mengubah basis dan melakukan pivoting kontinu menurut kaidah di atas sampai hal ini di capai. Karena
4 3
dalam kolom kedua merupakan satu – satunya indikator negative. Maka x 2
dimasukan kedalam basis; kolom 2 menjadi kolom pivotnya. Dengan membagi kolom konstanta dengan kolom pivot memperlihatkan bahwa rasio terkecil adalah dalam baris kedua. Jadi
10 3
menjadi elemen pivot yang baru. Karena vector satuan dengan 1 dalam baris keduanya adalah dibawah s2 , maka s2 akan meninggalkan basis untuk mempivot. 3
i. Kalikan baris 2 dengan
10
x1 x2 s1 s2 s3 1
1
1
3
6
0
1
konstanta
0
0
6
1
3
4
10
0
3
0
10
1
3
3
0
4
5
3
6
0 1 0
16 0
30
74
ii. Kemudian kurangkan
1 3
kali baris2 dari baris1,
10 3
kali baris2 dari baris3,dan tambahkan
4 3
kali baris2 ke baris4, menghasilkan table ketiga Tabel ketiga
x1 x2
s1
s2
s3
1
0
0
1
1
4
10
0
5
1
1
3
4
10
0
3
0
0
1
-1
1
6
0
0
0
34
2 1
2
2
5
konstanta
Penyelesaian mendasar ketiga yang memungkinkan dapat dibaca secara langsung dari tabel tersebut. Karena tidak terdapat indicator negative yang tertinggal dalam baris terakhir, ini merupakan penyelesaian optimal. Elemen terakhir dalam baris terakhir menunjukan bahwa
x1
5 , x 2
3 , s1
0 , s2
0 , s3
6 , fungsi obyektif tersebut mencapai suatu maksimum
34 . Dengan s1 0 dan s 2 0 , dari (14.1) tidak terdapat variabel slack dalam dua kendala yang pertama dan dua input yang pertama semuanya habis. Akan tetapi, dengan s 3 6 , 6 unit dari input yang ketiga tetap tidak terpadu. Untuk gabar grafik lihat contoh 13.11. pada
14.2. NILAI MARGINAL ATAU HARGA BAYANGAN. Nilai indicator dibawah setiap variabel slack dalam tabel terakhir menyatakan nilai marginal (marginal value) atau harga bayangan (Shadow price) dari input yang berhubungan dengan variabel tersebut, yaitu berapa banyak fungsi obyektif akan berubah sebagai akibat dari kenaikan satu unit dalam input tersebut. Jadi, alam contoh 1, laba akan naik sebesar ½ unit atau 50 sen untuk perubahan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 1; dan sebesar
2 5
atau 40
sen untuk kenaikan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 2; dan sebesar 0 untuk kenaikan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 3. karena kendala 3 mempunyai variabel slack positif, erarti tidak sepenuhnya dimanfaatkan penyelesaian optimal dan nilai marginalnya adalah nol (yaitu penambahan satu lagi unit lain,tidak akan menambah sesuatupun pada fungsi laba). Nilai optimal dari fungsi dari fungsi obyektif akan selalu sama dengan penjumlahan dari nilai marginal setiap input dikalikan kuantitas yang tersedia dari masing – masing input. CONTOH 2. jawaban pada contoh 1 dapat dicek dengan (1) substitusi nilai – nilai kritis baik dalam persamaan fungsi obyektif maupun persamaan kendala dalam (14.1) dan (2) mengevaluasi jimlah nilai marginal dari sumberdaya (resources). Semua sarat harus dienuhi untuk suatu optimum. Umpamakan A,B,C melambangkan berbagai konstanta dalam kendala 1,2,3. Π = 5x1 + 3x2 1. 5x1 + 5x2 + s2 = 40 = 5(5) + 3(3) = 34 5(5) + 5(3) + 0 = 40 6x1 + 2x2 + s1 = 36 2x1 + 4x2 + s3 = 28 6(5) + 2(3) + 0= 36 2(5) + 4(3) + 6 = 28 2.
Π = MPA (A) + MPB (B) + MPC (C) =
1 2
(36) +
2 5
(40) + 0 (28) = 34
14.3. ALGORITMA SIMPLEKS : MINIMISASI Apabila algoritma simpleks digunakan untuk mencari suatu nilai minimal, nilai negative yang dihasilkan oleh variabel surplus menghadirkan suatu soal istimewa.lihat contoh 3. seringkali akan lebih mudah untuk menyelesaikan soal – soal minimasi dengan memakai dua, yang di bahas dalam bab 15. oleh karena itu, para mahasiswa mungkin lebih baik membaca bab 15 terlebih dahulu. 75
CONTOH 3. algoritma simpleks digunakan di bawah ini untuk meminimumkan biaya. Data c = 2 x1+ 2 tersebut berasal dari contoh 2 dalam bab13, dengan y sekarang dig anti x, dimana x2 , dibawah kendala – kendala gizi. 2 x1+ x2 ≥ 14 x1+ x2 ≥ 12
x1+ 3 x2 ≥ 18 x1 , x2 ≥ 0
1. tabel simpleks awal (sedikit dimodifikasi) i. ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan mengurangkan variabel – variabel surplus 2 x1+ x2 – s1 = 14 x1+ x2 – s2 = 12 x1+ 3 x2 – s2 = 18 ii. Nyatakan persamaan kendala dalam bentuk matriks, x1 0
x 2
14
1 1
0 -1 0
s1
12
1 3
0
s2
18
2 1 -1
0
0 -1
s3
Dari matriks tersebut jelas bahwa jika x 1 = 0 dan x2 = 0, seperti dalam simpleks awal untuk maksimisasi, penyelesaian dasar tidak mungkin karena s 1 = -14, s2 = -12, s3 = -18 dan nilai negatif adalah tidak mungkin (nonfeasible). Untuk mengatasi masalah tersebut, harus di msukan variabel – varaibel buatan (artificial variables). iii. Tambahkan variabel – variabel buatan. Variabel buatan (Ai ≥ 0)adalah suatu variabel kosong (dummy variable) yang ditambahkan dengan maksud khusus untuk menghasilkan suatu penyelesaian dasar awal yang mungkin. Variabel tersebut tidak mempunyai makna ekonomi. Sutu variabel yang terpisah ditambahkan untuk masing –
masing pertidaksamaan asal yang bersifat “lebih besar atau sama dengan”. Jadi, x1 x 2 2 1 -1
0
1 1
0 -1
1 3
0
0 1 0
0
0
0
0 1
0 -1 0
0
1
s1
14
s2
12
s3
18
A1 A2 A3
2. Tabel Simpleks Awal yang Disesuaikan untuk Meminimisasi. i. Buatlah tabel simpleks awal dengan meletakan matriks koefisien dan vector kolom dari konstanta dalam (14.2) diatas baris indicator yang negatif dari koefisien – koefisien fungsi obyektif. Fungsi obyektif mempunyai koefisien – koefisiennol untuk variabel surplus dan koefisien – koefisien M variabel – variabel buatan, dimana M adalah suatu bilangan besar yang tidak mungkin (impossibly large number) untuk meyakinkan bahwa A akan dikeluarkan dari penyelesaian optimal. x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta 2 1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 -1 0 0 1 0 1 3 0 0 -1 0 0 1 -2 -4 0 0 0 -M -M -M indikator
14 12 18
76
ii. Kemudian pindahkan M dari kolom variabel buatan dengan menambahkan M kali ( baris1 + baris2 + baris3).ini akan menghasilkan tabel awal. Tabel awal x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta 2 1 -1 1 1 0 1 0 4M-2 5M-4 -M
0 0 1 -1 0 0 0 -1 0 -M -M 0
0 1 0 0
0 0 1 0
14 12 18 44M
Penyelesaian mendasar pertama yang unkindapat dilihat secara langsung dari tabel awal tersebut. Dengan mengandaikan x 1 = x2 = s 1 = s2 = s3 = 0, penyelesaian mendasar pertama yang memungkinkan adalah A 1 = 14, A2 = 12, A3 = 18, dan fungsi obyektifnya adalah 44M, suatu bilangan besar yang tidak mungkin. Untuk menurunkan biaya, carilah perubahan basis. 3. Elemen Fivot i. Untuk menimasi, indicator positif terbesar akan menentukan kolom pivot dan variabel yang memasuki basis. Karena elemen terakhir dari baris paling bawah , 44M , bukan indicator , 5M – 4 merupakan indicator positif terbesar. Jadi x 2 menjadi kolom pivot, sebagaimana ditandai dengan anak panah. ii. Baris pivot dan variabel yang meninggalkan basis ditentukan oleh rasio terkecil yang dihasilkan dari pembagian elemen – elemen kolom pivot, persis untuk soal maksimisasi, karena 183 6 merupakan rasio terkecil yang dihasilkan, maka baris 3 menjadi baris pivot. A 3 akan meninggalkan basis karena vector satuan dengan 1 dalam baris ketiga adalah berhubungan dengan A 3. elemen pivot pada perpotongan kolom pivot dan baris pivot adalah 3. 4. Pivoting 1
i. Kurangi elemen pivot menjadi 1 dengan mengalikan baris 3 oleh
3
2 1
1 1
-1 0
0 -1
0 0
1 0
0 1
0 0
14 12
1
1
0
0
-3
1
0
0
1
6
-M -M
0
0
0
3
4M-2 5M-4 -M
3
44M
ii. Rampungkan kolom pivot dengan engurangkan baris 3 dari baris1 dan baris2, dan (5M-4) kali baris3 dari baris4 Tabel kedua : x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 konstanta 5 3 2 3 1 3
7M - 2 3
0
-1
0
1
0
0
-1
1
1
0
0
0
-M -M
3 3 1
-3 2M - 4 3
1
1
0
-3
8
0
1
-3
1
6
0
0
1
6
0
0
3
-5M 4 3
14M + 24
5. Pengulangan (Reiterasi)
77
Selama masih ada suatu indikator positif, proses tersebut berjalan terus. Kolo pivot yang baru menjadi kolom 1; baris pivot yang baru adalah baris 1. jadi x1 masuk ke basis dan A 1 meninggalkan basis.elemen pivotnya adalah 53 . 3
i. Kalikan baris 1 dengan 1
.
5
3
0
2 3 1 3
7M - 2
-5
1
3
5
5
0
0
-1
1
1
0
0
-3
0
3
0
0
1
1
-3
6
0
0
1
6
0
0
2M - 4
-M -M
24
-3
3 1
1
0
3
2
ii. Rampungkan kolom 1 dengan mengurangkan
3
5
3
-5M 4 3
14M + 24
baris1 dari baris2,
1 3
baris1 dari baris3, dan (7M
– 2)/3] baris1 dari baris4, menghasilkan tabel ketiga. x1
x2
s1
s2
s3
1
0
-5
0
0
2
3
0
1
3
5
5
-1
1
2
5
5
0
1
2
-5
0
0
5 1
0
5
2M - 2 5
5
-M
M-6
A1
A2
A3
0
-5
1
24
1
1
-5
14
0
2
22
5
5
1
- 7M
2
0
5
5
konstanta
5
5
-6M 6 5
14 M 136 5
.
6. Pivot Keempat i. Kalikan baris2 dengan
1
5 2
3
0
-5
0
1
3
5
5
1
0
0
1
5 2
2
0
1
1
0
2
0
0
5
2M - 2 5
-5
1
24
5
1
14
-1
2
1
-5
5
M-6
-M
0
5
0
- 7M
2
5
0
5
- `2
5
2
22
5
5
- 6M
6
14 M 136
5
5
ii. Tambahkan 5 baris2 ke baris1, dan kurangkan 5 baris2 dari baris3 dan [2M – 2)/5] baris2 dari 3
1
baris4.
Tabel keempat x1
x2
s1
s2
1
0
0
-2
1
0
0
1
5
1
2
2
0
1
1 5
0
0
0
0
-1
3
s3 2
2 5
-1
A1
A2
A3
0
3
- `2
1
9
-1
5
1
7
1
0
2
3
-5 -M
2 2
- `2 5
-M+1 -M+1
konstanta
30 78
Dengan semua indikator negatif, suatu penyelesaian optimal yang mungkin telah dicapai.dengan memishkan matriks identitas, dan memperhatikan bahwa vector satuan untuk x 2 dan s1 berbalikan, penyelesaian dasar optimal yang memungkinkan tersebut dapat dibaca secara langsung dari tabel keempat x1
9 , x 2
3 , s1 7 , s 2 0 , dan s 3 ditunjkan oleh elemen terakhir dari baris terakhir, dimana c 30
0 . nilai fungsi obyektif
Beberapa hal penting untuk diperhatikan : 1. Dengan s 2 2.
3. 4.
5.
s3
0 , kebutuhan kedua dn ketiga dipenuhi secara tepat . tidak terdapat surplus. Dengan s1 7 kebutuhan pertama dipenuhi secara berlebih sebesar 7 unit. Nilai absolut dari indicator untuk variabel – variabel surplus memberikan nilai marginal atau harga bayangan dari kendala. Dengan indicator untuk s 1 sama dengan nol, pengurangan satu unit dalam kebutuhan gizi pertama tidak akan mengurangi biaya. Akan tetapi, pengurangan satu unit dalam kebutuhan gizi kedua dan ketiga akan mengurangi biaya sebesar Rp 1,-, karena nilai absolut indikator untuk s 2 dan s3 adalah 1. sebagaimana halnya nilai marginal, biaya total akan sama dengan jumlah dari berbagai kebutuhan dikalikan harga bayangan masing – masing. indikator darivariabel – variabel buatan semuanya negatif dalam tabel terakhir. Ini harus selalu cocok untuk suatu penyelesaian optimal. elemen – elemen koefisien dari dari variabel surplus(s 1,s2,s3) selalu sama dengan negatif dari elemen – elemen koefisien untuk variabel – variabel buatanya yang berkaitan (A 1, A2, A3). Ini harus cocok dalam setiap yang berurutan dapat membantu dalam menemukan kesalahnmatematis. suatu variabel buatan tidak akan pernah tampak dalam basis tabel terakhir jika suatu penyelesaian dasar optimal yang mungkin telah dicapai. Untuk penyelesaian dual soal pada soal yang sama, lihat contoh 4 dan 5 dalam bab 15.
CONTOH 4. Jawaban pada contoh 1 dapat dicek dengan (1) substitusi nilai – nilai kritis baik dalam persamaan fungsi obyektif maupun persamaan kendala, dan (2) mengevaluasi jumlah biaya marginal sumberdaya.misalkan A,B,C melambangkan konstan - konstan dalam kendala 1,2,3. 1. c = 2x1 + 4x2 x1 + x2 – s2 = 12 = 2(9) + 4(3) = 30 9 + 3 – 0 =12 2x1 + x2 – s1 = 14 x1 + 3x2 – s3 = 18 2(9) + 3 – 7 = 14 9 + 3(3) – 0 = 18 2. c = MCA(A) + MCB(B) + MCC(C) = 0(14) + 1(12) + 1(18) = 30
79
SOAL DAN JAWABAN MAKSIMISASI
1. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan system persamaan dan pertidaksamaan berikut. Tentukan harga bayangan dari input (atau kebutuhan) untuk kendalanya. Π = 3y1 + 4y2 Maksimumkan Yang terikat pada
2.5y1 + y2 ≤ 20 3y1 + 3y2 ≤ 30
y1 + 2y2 ≤ 16 y1,y2 ≥ 0
1. Buatkan tabel simpleks awal i. Tambahkan variabel slack pada kendala untuk membuatnya jada persamaan . 2.5y1 + y2 + s1= 20 3y1 + 3y2 + s2 = 30 y1 + 2y2 + s3= 16 ii.
Nyatakan persamaan – persamaan tersebut dalam nentuk matriks y1 1
0
0
y 2
20
3
3 0
1
0
s1
30
1
2
0 1
s2
16
2.5 1
0
s3
iii.
Bentuklah tabel simpleks awal yang terdiri dari matriks koefisien persamaan kendala dan vector kolom konstan yang diletakan diatas baris indikator yang negatif dari koefisien – koefisien fungsi obyektif dengan koefisien nol untuk variabel awal : Tabel awal :
y1 5 2
3 1 -3
y2 s1 s2 s3
konstanta
1
0
20
0 1 0 0 0 1 -4 0 0 0
30 16 0
1
0
3
Dengan menetapkan y1 = y2 = 0, penyelesaian mendasar pertama yang mungkin adalah s1 = 20, s2 = 30, dan s3 = 16. pada penyelesaian mendasar pertama yang mungkin tersebut, Π = 0. 2. Merubah basis. Indikator negatif dengan nilai absolute terbesar (anak panah) menentukan kolom pivot. Rasio pemindahan terkecil yang diperoleh dari pembagian elemen kolom konstanta dengan elemen kolom pivot menentukan baris pivot. Jadi, menjadi elemen pivot, elemen pada perpotongan baris pivot dan kolom pivot.
3. Pivot. i. Ubahlah elemen pivot menjdin1 dengan mengalikan baris3 dengan ½ . 5
ii.
2
1
1
0
0
20
3
3
0
1
0
30
1
1
0
0
1
2
2
8
-3
-4
0
0
0
0
Rampungkan kolom pivot dengan mengurangkan baris 3 dari baris1 , 3 kali baris3 dari baris2 , dan tambahkan 4 kali baris 3 ke baris4 80
Tabel kedua : y1
y2 s1 s2 s3
konstanta
1 2
12
-2
3
6
0
1 2
8
0
2
32
2
0
1
0
-
3 2
0
0
1
1 2
1
0
-1 0
0
4. Ubahlah basis pada pivotnya sekali lagi. Kolom 1 adalah kolom pivot, baris 2 baris pivot, dan
3 2
adalah elemen pivot.
i. Kalikan baris2 dengan
3 2
1
2
0
1
0
-2
12
1
0
0
2
-1
4
1 2
1
0
0
1 2
8
-1
0
0
0
3
2
32
ii. Rampungkan kolom pivot dengan mengurangkan 2 kali baris 2 dari baris1 , ½ kali baris2 dari baris3, dan tambahkan barsi 2 ke baris4. Tabel final : y1
y2 s1
s2
s3
konstanta
0
0
1 -3
4
3 2
4
1
0
0
2 3
-1
4
0
1
0 -3
1
1
6
0
0
0
2 3
1
2
36
Karena tidak terdapat indikator negatif yang tertinggal, tbel fina dapat diperoleh. Dengan mengoreksi fakta bahwa vektor – vektor satuan dari matriks identitas tidak
4 , s 2 0 , s 3 0 , dan Π = 36. lihat contoh 1 dalam bab 13 dimana x digunakan sebagai pengganti y. Harga bayangan 2 dari input berturut – turut adalah 0, 3 dan 1. beraturan (out of order), y 1
4 , y 2
6 , s1
MINIMISASI
2. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan system persamaan dan pertidaksamaan yang diberikan di bawah ini. Tentukan harga bayangan dari masing – masing persyaratan kendalanya. Miniumkan Yang terikat pada
c = 60 x1 + 80 x2 2 x 1 + 3 x2 ≥ 36 8 x1 + 2 x2 ≥ 32 2 x1 + 2 x2 ≥ 28 x1,x2 ≥ 0 1. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan mengurangkan variabel surplus, dan nyatakan dalam bentuk matriks. 2 x1 + 3 x2 - s1= 36 2 x1 + 2 x2 - s2 = 28 8 x1 + 2 x2 - s3= 32
– variabel
81
x1
0
0
x 2
20
2
0 -1
0
s1
30
2
0
0 -1
s2
16
2
3
2 8
-1
s3
Karena penyelesaian dasar pertamanya tidak akan mungkin, tambahkan variabel variabel buatan x1
–
x 2 2 1 -1
0
1 1
0 -1
1 3
0
0 1 0
0
0
0
0 1
0 -1 0
0
s1
14
s2
12
s3
1
18
A1 A2 A3
2. Buatlah tabel awal dengan melengtakan matriks koefisien dan vektor kolom dari konstanta di atas negatif darikoefisien – koefisien fungsi obyektif yang mempunyai koefisien nol untuk variabel – variabel surplus, dan koefisien yang secara semu ( M ) untuk variabel – variabel buatan. x1
x2
s1
s2
s3
A1
A2
A3
konstanta
2 2 8 -60
3 2 2 -80
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
1 0 0 -M
0 1 0 -M
0 0 1 -M
36 28 32 30
Rampungkan kolom – kolom variabel buatan M dengan menambahkan M dikalikan (baris1 + baris2 + baris3) ke baris4 untuk mendapatkan tabel awal. Tabel awal x1
x2
2 2
3 2 2 12M-60 7M-80
s1
s2
s3
A1
A2
A3
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
1 0 0 -M
0 1 0 -M
0 0 1 -M
konstanta 36 28 32 30
3. Pilihlah elemen pivotnya dan pivotkan. Karena 12M -60 merupakan indikator positif terbesar dan 328 adalah rasio pemindahan terkecil, 8 adalah elemen pivotnya. i. Kalikan baris 3 dengan
2 2 1
3 2 1 4
12M-60 7M-80
1 8
-1 0 0 -M
0 -1 0 -M
0 0 - 18 -M
1 0 0
0 1 0
0 0
0
0
0
1 8
36 28 4 96M
82
ii. Kurangkan 2 kali baris 3 dari baris1, 2 kali baris3 dari baris2, dan (12M-60) kali baris 3 dari baris4 Tabel kedua : x1
x2
s1
s2
s3
A1
A2
A3
konstanta
0
5
-1
0
1
1
0
0
28
0
3
0
-1
1
0
1
0
20
1
1
0
0
- 18
0
0
1
4
0
0
0
2 2 4
4M-65 -M -M
4 4
15
M 2
3 M 15
48M + 240
2
4. Pivotkan lagi 2
i. Kalikan baris 1 dengan
0
1
0
3
1
1
- 23
2
10
3
- 10
56
0
1
1
-4
20
1
4
0
0
- 18
0
0
4M – 65 -M
-M
M 15
0
0
3
2
baris1 dari baris2,
2
x1
x2
0
1
-2
s1
0
0
3
0
1
s2
-1
5
0
10
3 M
26 -M
5
1 4
s3
0
5
0
4
0
- 10
1
- 10
16
3
4
1
-5
3
1
10
1
48M+ 240
2
A3
3
M
3 M 15
A2
2
- 20
8
A1
1
3
5
baris1 dari baris3, dan (4M – 65) baris1 dari baris4
10 10
1
0
-1
ii. Kurangkan
0
1
0
4
1
0
1
2
0
5
konstanta
1
56 5
1
- 10
0
8 M 26 5
0
5
20
11 M
1
10
48M + 240
5. Pivotkan untuk ketiga kali. Dengan engingat bahwa eleen negatif tidak dapat digunakan dalam penyebut dari rasio pemindahan, i. Kalikan baris 2 dengan
-2
0
0
0
1
- 53
1
0
1
0
0
ii. Tambahkan
3 M
0
5
1 10
26
merupakan eleen pivot yang baru.
3
1
10
5
5
0
5
3
-M
1
2
10
3
1 6
3
- 20 M
- 10
56
-1
5
-6
1
16
1
0
- 10 1
10
1
0
8 M 5
3
26 0
5
3
3
6
20
3
11 M 10
kali baris2 ke baris1 dan kurangkan
1
2 5
16 M 5
968
kali baris2 dari baris3 dan
[(3M/5)- 26]kali baris 2 dari baris4 iii. 83
Tabel keempat : x1
x2
s1
s2
0
1
0
-2
1
3
6
0
0
1
5
1
3
6
1
0
0
1 6
-6
0
0
0
130
10
3
3
-
-
s3
A1
1
A2
0
2
-1
5
0
-6
-M
M
A3
konstanta
-6
40
1
1
3
3
-6
16
3
1
1
2
6
3
130
M
3
3
10
3320
3
3
6. Pivotkan keempat kali i. Kalikan baris 2 dengan 6.
3
-6
40
3
10
-1
32
1
0
-2 3
6
0
0
6
10
1
-6
1
0
0
1
1
0
-6
0
0
0 -
-M
M
1
ii. Kurangkan 10
1
0
6
-6
6
130
10
3
3
1
2
0
1
130
1
2
6
3
M
3
kali baris2 dari baris1, tambahkan
3
1
10
3320
3
3
kali baris2 ke baris3, dan kurangkan
6
kali baris2 dsari baris4
Tabel final : x1
x2
s1
s2
0 0
1 0
-1 6
1 -10
1
0
1
-2
0
0
3
-20 -10
s3
A1
A2
A3
0 1
1 -6
-1 10
-0 -1
8 32
0
-1
3
0
6
0
2
-M+20 -M +10
Dengan memperhatikan urutan dari vektor
konstanta
-M
1000
– vektor unit, x1
6 , x 2
8 , s1
s2
0,
dan s 3 32 . dan c 1000 . Harga bayangan dari persyaratan yang erupakan kendala masing – masing adalah 20,10, dan 0. PENYELESAIAN OPTIMAL BERGANDA 3. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesikan persamaan dan pertidaksamaan pertidaksamaan berikut Minimukan c = 4x1 + 2x2 Yang terikat pada 4x 1 + x2 ≥ 20 x1 + 6x2 ≥ 18 2x1 + x2 ≥ 14 x1,x2 ≥ 0
–
1. Buatlah tabel awal Tabel awal ; x1
x2
4 1 2 1 1 7M-4 8M-2
s1
s2
s3
A1
A2
A3
-1 0 0 -M
0 -1 0 -M
0 0 -1 -M
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
konstanta 20 14 18 52M
84
1
2. Pivotkan. Kalikan baris 3 dengan
6
setelah menurunkan elemen pivot menjadi 1,
kurangkan baris 3 dari baris1 dan dan dari baris 2 dan (8M – 2) kali baris 3 dari baris4 menghasilkan tabel kedua Tabel kedua ; x1
x2
s1
s2
s3
23
0
-1
0
1
0
0
-1
1
1
0
0
0
-M
-M
6 11 6 1 6
17 M 11 3
A1
A2
A3
1
0
1
0
1
1
-6
0
0
1
M 1
0
0
4 1
6 6 1
3
konstanta 17
6
11
6
3
6
28M + 6
3
3. Pivot sekali lagi. Kalikan baris 1 dengan
6 23
11
. Kemudian kurangkan
kali baris1 dari
6
baris3, dan [(17 – 11)3] kali baris 1 dari baris4 Tabel ketiga ; x1 x2 1
s1 6
0
- 23
0
11
0
1
1
0
0
0
s2
s3
0 -1
23
11 M
22
23
1
6 23
0 - 23
2
11
2
- 23
2 M 4
34 M
23
0 22
23
4. Pivot ketiga kali. Kalikan baris 2 dengan baris1, kurangkan
1 23
10 2 23 66
1 - 23
1
- 23
konstanta
1
- 23
4
-M
A2 A3
23 23
0
23
A1
23 11
52
23
23
25 M 4
0
23
4
66 M
23
512
23
. Kemudian tambahkan
6 23
kali baris2 ke
kali baris2 dari baris3, dan [(11M – 22/23)] kali baris 2 dari baris4
Tabel final ; x1
x2 s1
s2
s3
A1
1
0
0
- 116
1 11
0
0
0
1
23 - 11
11
0
1
0
0
0
0
1
2
-1
A2 6
A3
konstanta
- 111
6
11
- 112
6
2 11
2
11
23
11
- 112
0
- 111
-2
0
-M
-M+2
-M
28
Dari tabel final x1 6 , x 2 2 , s1 6 , s 2 0 , s 3 0 . Dan c 28 . Akan tetapi, s 3 , yang tidak terdapat basis terakhir, mempunyai indikator nol. Ini berarti bahwa variabel s 3 dapat dimasukan ke basis tanpa mempengaruhi nilai fungsi obyektif. Karena fungsi obyektif telah berada pada optimum, maka pasti terdapat lebih dari satu penyelesaian optimal. Bilamana suatu variabel yang tidak berada dalam basis mempunyai indikator nol, fungsi obyektif pasti mempunyai penyelesaian optimal berganda.
Dasar – Dasar Aljabar Matriks atau Linear 1.1
PERANAN ALJABAR MATRIKS
Alajabar matriks (1) memungkinkan untuk menyatakan suatu system persamaan yang rumit dalam suatu cara yang ringkas dan sederhana. (2) memberikan cara yang cepat untuk menentukan apakah suatu pemakaian terdapat pemecahan sebelum di coba, dan (3) memberikan 85
sarana penyelesain system persamaan. Akan tetapi, aljabar matriks hanya dapat diterapkan pada system persamaan linear. Karena banyak hubungan ekonomi dapat di dekati dengan persamaan linear dan yang lain dapat dikonversikan menjadi hubungan linear, pembatasan ini umumnya tidak memberikan persoalan yang serius. Contoh 1. untuk sebuah perusahaan dengan beberapa saluran distribusi yang menjual beberapa produk yang berbeda, matriks memberikan cara yang ringkas untuk mengendalikan persediaan.
saluran
papan luncur tongkat tali - temali
pakaian ski
1
120
110
90
150
2
180
180
210
110
3
175
190
160
80
4
140
170
180
140
Dengan membaca menyusun baris matriks, perusahaan deapat menentukan tingkat persediaan dalam setiap saluran distribusinya. Dengan mambaca menurun suatu kolom matriks, perusahaan dapat menentukan persediaan setiap jenis produksinya. Contoh 2. suatu fungsi non linear, seperti fungsi produksi Cobb-Douglas yang umum Q = A K α L β Dapat dengan mudah dikonversikan menjadi fungsi linear dangan mencari logaritma masing – masing ruas,sebagai berikut : Log Q = log A + α log K +β log L Dengan cara serupa, fungsi eksponensial dan fungsi pangkat yang lain dapat dengan mudah dikonversikan menjadi fungsi linear, dan kemudian di selesaikan dengan aljabar matriks.
1.2.
DEVINISI DAN ISTILAH
Matriks adalah deretan bilangan, parameter atau variabel yang disusun segi empat, yang masing – masing mempunyai tempat yang ditata secara cermat dalam matriks. Bilangan – bilangan ( parameter atau variabel) disebut sebagai elemen matriks. Bilangan pada deretan vertkal disebut kolom. Banyaknya baris ( m) dan kolom ( n) menentukan dimensi matriks ( m x n ), yang di baca m kali n. bilangan baris selalu mendahului bilangan kolom. Dalam matriks bujur sangkar square matrix), jumlah baris sama dengan jumlah kolom ( yaitu m = n ). Jika matriks terdiri dari satu kolom tunggal sedemikian rupa sehingga dimensinya m x 1, matiks tersebut adalah vekor kolom. Jika matriks terdiri dari stu baris, dengan dimensi 1 x n, maka matriks tersebut adlah vector baris. Matriks yang mengkonversikan baris A menjadi kolm dan kolom A menjadi baris disebut transpose A dan diberi tanda A' (atau AT).
Contoh 3. diketahui a 11 a 12 A
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
B (3x3)
3 9 4
7
8
2 7
C (2x3)
D
4 5
3 0
1 (1x3)
(3x1)
A adalah matriks umum terdiri dari 3 x 3 = 9 elemen, yang di susun dalam 3 baris dan 3 kolom. Jadi matriks tersebut adlah matriks bujur sangkar. Perhatikan bahwa tidak ada tanda baca yang memisahkan elemen – elemen suatu matrik. Elemen – elemen tersebut semuanya mempunyai subscript ganda; yang pertama menunjukan baris dimana elemen tersebut berada dan yang kedua menunjukan kolomnya. Penempatanya adalah tepat dalam matriks. Jadi α23 adalah elemen yang berada pada baris kedua, kolom ketiga; α32 adalah elemen yan berada pada baris ketiga, kolom kedua. Karena baris selalu mendahului kolom dalam notasi matriks, mungkin untuk membantu mengingat subscript tersebut dengan istilah BK atau beberapa cara yang lain untuk nmembantu mengingat. 86
B adalah matriks 2 x 3. elemen b 12 -nya adlah 9, elemen b 21 -nya adlah 4. C adalah vector kolom dengan dimensi (3 x 1). D adalah vector baris dengan dimensi (1 x 3). Transpose A adalah a 11 a 21 a 31 A'
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23
a 33
'
1.3.
7
C
Dan transpose C adalah
4
5
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Penjumlahan (dan pengurangan) dua matriks A + B (atau A – B) mengharuskan matriks – matriks tersebut berdimensi sama. Setiap elemen matriks yang satu kemudian ditambahkan ke (dikurangkan dari) b11 dalam B; α12 ke b12, dan seterusnya. Contoh 4. penjumlahan A + B di hitung dibawah ini, dengan mengetahui matriks A dan matriks B. 8 9 7 1 3 6 A
3 6
B
2
4 5 10
A B
5
2 4
7 9 2
(3x3)
(3x3)
8 1 9 3 7
6
9
12
13
3 5 6
2
4
8
8
6
7 5 9 10
2
4
2
11 14 12
(3x3)
( 3 x 3)
Selisih C – D, apabila diketahui matiks – matriks C dan D,diperoleh sebagai berikut ;
C
4 9 2 6
D (2x2)
1 7 5 4
C D (2x2)
4 -1 9 - 7 2-5 6-4
3 2 (2x2)
-3 2
(2x2)
Contoh 5. misalkan pengiriman D dilakukan ke saluran – saluran distribusi perusahaan dalam contoh 1.berapa tingkat persediaan yang baru?.
40 20 50 10 25 30 10 60
D
15
0 40 70
60
40 10 50
Untuk mendapatkan tingkat persediaan yang baru, misalkan matriks mula – mula S dan selesaikan S + D. dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian dari masing – masing matriks tersebut,
S
1.4.
D
120
40
110
20
90 50
150 10
160
130
140
160
200
25
180 30
210 10
110 60
225
210
220
170
80
70
190
190
200
150
140 50
200
210
190
190
175 15
190
0
140 60
170 40
160
40
180 10
PERKALIAN SKALAR
Dalam aljabar matriks, bilangan sederhana seperti 12,-2,0,07 disebut skalar . Perkalian matriks dengan bilangan atau scalar meliputi perkalian setiap elemen dari matriks tersebut dengan bilangan itu. Prosesnya disebut perkalian skalar (scalar multiplication)karena menaikan atau menurunkan matriks tersebut menurut besarnya skalar. Contoh 6. hasil perkalian skalar k A, apabila diketahui k = 8 dan
87
6 9 A
2 7 8 4
Diperlihatkan dibawah ini, 8(6) 8(9) kA
1.5.
48 72
8(2) 8(7) 8(8) 8(4)
(3x2)
16 56 (3x2)
64 32
(3x2)
PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor baris (A) dengan vektor kolom (B) mensyaratkan masing – masing vektor mempunyai jumlah elemen yang persis sama. Kemudian, hasilkalinya didapatkan dengan mengalikan elemen – elemen individual dari vektor baris dengan elemen – elemen yang beresesuaian dengan vektor kolom, dan menjumlahkan hasilnya : AB = (a11 x b11) + (a12 x b21) + (a13 x b31) dan seterusnya. Jadi hasil perkalian baris – kolom akan merupakan suatu bilangan tunggal atau scalar. Perkalian vektor baris kolom adlah penting sekali. Ini dipakai sebagai dasar untuk semua perkalian matriks.
Contoh 7. hasilkali AB dari vektor baris A dan vektor kolom B, apabila diketahui 12
A
4 7
2 9 (1x4)
A
1 5 6
(4x1)
di hitung sebagai berikut. AB = 4(12) + 7(1) + 2(5) + 9(6) = 48 + 7 + 10 + 54 = 119
Hasilkali vektor – vektor berikut : 2 A
3 6
8 (1x3)
A
4 5
(3x1)
adalah CD = (3 x 2) + (6 x 4) + (8 x 5) = 6 + 24 + 40 = 70 Perhatikan bahwa karena masing – masing pasangan vektor diatas mempunyai jumlah elemen yang sama, perkalian adalah mungkin. Pembalikan susunan perkalian dalam salah satu vektor di atas dan dengan diperolehnya perkalian vektor kolom – baris ( BA atau DC ) akan menghasilkan jawaban yang sama sekali berbeda.
1.6.
PERKALIAN MATRIKS
Perkalian dua matriks berdimensi ( m x n)1 dan (m x n)2, mensyaratkan bahwa kedua matriks tersebut bersesuaian yaitu bahwa n1 = m2, atau jumlah kolom pada 1, matriks awal (lead matriks) saa dengan jumlah di bahbaris pada 2, matriks akhir (lag matriks). Setiap vektor baris pada matriks awal kemudian dikalikan dengan setiap vektor kolom dari matriks akhir, menurut kaidah untuk perkalian vektor baris dan vektor kolom yang di bahas dalam butir 1.5. hasilkali baris – kolom kemudian di pakai sebagai elemen dalam formasi dari matriks hasilkali sedemikian rupa, sehinga setiap elemen cij dari atriks hasilkali C adlah suatu skalar yang berasal dari perkalian baris ke i dari matriks awal dan kolom ke j dari matriks akhir. Hasilkali baris – kolom tersebut disebut hasilkali dalam (inner product). Contoh 8. Diketahui
88
A
3
6
12 9
7 11
B (2x3)
6
12
5
10
13
2
A
1
7
8
2
4
3
(2x3)
(3x2)
Suatu pengujian ringkas (cepat) untuk melihat adanya persesuaian (conformability), yang akan di terapkan sebelum melakukan setiap perkalian mmatriks, adlah dengan menata dua pasang dimensi tersebut dalam mana matriks – matriks tersebut akan dikalikan, kemudian dalam hati lingkarilah bilangan terakhir dari pasang pertama dan dan bilangan pertama dari pasang kedua. Jika mereka sama, dua matriks tersebut akan sesuai untuk perkalian dalam susunan yang diberikan, dan bilangan – bilangan di luar lingkaran akan menunjukan, dalam susunan yang benar, dimensi dari matriks hasil kali. Jadi untuk AB, (2 x 3) = (3 x 2) (2x 2) matriks – matriks tersebut memenuhi syarat persesuaian dan dimensi dari matriks hasil kali AB adalah (2 x 2). Apabila dua matriks seperti AB adalah bersesuaian, AB dikatakan telah di tetapkan (defined) untuk BC , (3 x 2) = (2 x 3) (3 x 3) matriks – matriks tersebut adalah bersesuaian dan dimensi dari matriks hasil kali BC merupakan (3 x 3). Untuk BC (2 x 3) ≠ (2 x 3) A dan C tidak bersesuaian untuk perkalian. Jadi AC tidak di tetapkan.
Contoh 9. setelah menentukan persesuaian AB dalam contoh 8, hasil kali dari dua matriks itu dapat di cari. Pertama, kalikan baris pertama matriks awal dengan kolom pertama matriks akhir untuk mecari elemen pertama d 11 matriks hasil kali D. kemudian kalikan baris pertama matriks awal dengan kolom kedua matriks akhiruntuk mendapatkan d 12. karena tidak ada lagi kolom yang tersisa dalam matriks akhir, bergeraklah ke baris kedua matriks awal. Kalikan baris kedua matriks awal dengan kolom pertama matriks akhir untuk mendapatkan d 12. akhirnya, kalikan baris kedua matriks awal dengan kolom kedua matriks akhir untuk mendapatkan d 22. jadi, 3(6) 6(5) 7 (13) 3(12) 6(10) 7 (2) 139 110 AB D 12(6) 9(5) 11(13) 12(12) 9(10) 11(2) (2x2) 260 256 (2x2)
Hasil kali BC dihitung dibawah ini, dengan menggunakan metode yang sama : 6(1) 12(2) 6(7) 12(4) 6(8) 12(3) 30 90 84 BC E
5(1) 10(2)
5(7) 10(4)
5(8) 10(3)
13(2)
13(7)
13(8)
2(2)
2(4)
2(3)
(3x3)
25
75
70
17
99
110
(3x3)
Contoh 10. Dengan mengacu ke contoh 1, misalkan bahwa harga papan luncur adlah Rp 200,-, tongkat Rp 50,- , tali Rp 100,- dan pakaian ski Rp 150,-. Untuk mencari nilai persediaan ( V ) pada berbagai saluran distribusi, nyatakan harga tersebut sebagai sebuah vector kolom ( P), dan kalikan S dengan P :
V
SP
120 110 90 150
200
200 180 210 110
50
175 190 160
100
80
140 170 180 140
( 4 x 4 )
150
( 4 x1)
Matriks – matriks tersebut bersesuaian dan matriks hasil kalinya merupakan 4 x 1,karena (4 x 4) = (4 x 1) 89
(4 x 1)
Jadi,
V
120(200) 110(50)
90(100) 150(150)
61.000
200(200) 180(50)
210(100) 110(150)
86.500
175(200) 190(50) 160(100)
80(150)
140(200) 170(50) 180(100) 140(150)
72.500 ( 4 x1)
75.500
( 4 x1)
1.7. HUKUM KOMUTATIF, ASOSIATIF DAN DISTRIBUTIF DALAM ALJABAR MATRIKS
Penjumlahan matriks adalah komutatif (yaitu A + B = B + A), karena penjumlahan matriks hanya melibatkan penjumlahan elemen – elemen yang bersesuaian dari dua matriks, dan susunan penjumlahan tidak dipentingkan. Untuk alas an yang sama,penjumlahan matriks juga asosiatif, ( A + B) + C = A + (B + C). hal yang sama berlaku untuk pengurangan matriks. Karena pengurangan matriks A – B dapat dirubah mebjadi penjumlahan matriks A + (-B), maka pengurangan matriks juga komutatif dan asosiatif. Perkalian matriksm, dengan beberapa perkecualian, adalah tidak komutatif (yaitu AB ≠ BA). Akan tetapi, perkalian scalar adalah komutatif (yaitu kA = Ak ). Jika terdapat tiga atau lebih matriks yang bersesuaian, yaitu X(a x b), Y(c x d),Z(e x f) dimana b = c dan d = e, hukum asosiatif akan berlaku selama matriks – matriks tersebut dikalikan dalam urutan persesuaian (conformability). Jadi, ( XY)Z = X(YZ). Tunduk pada sarat yang sama ini, perkalian matriks juga distributive A(B + C) = AB + AC. Contoh 11. Diketahui, 4 11 3 7 A B 17 6 6 2 Untuk membuktikan bahwa penjumlahan dan pengurangan matriks adalah komutatif, buktikan bahwa (1) A + B = B + A dan (2) A – B = – B + A. Perhitungan tersebut diperlihatkan di bawah ini 4 3 11 7 7 18 3 4 7 11 7 18 A B B A (1). 17 6 6 2 23 8 6 17 2 6 23 8 (2).
A B
4
3 11 7
1
17
6
11 4
6
2
6
7
4
B A
-3
4
- 7 11
- 6 17 - 2
1
6
4
11 4
Contoh 12. Diketahui,
A
3
12 9 11
6 12 B ( 2 x 3)
5 10 13 2
( 3 x 2)
Dapat di buktikan bahwa perkalian atriks tidak komutatif dengan membuktikan AB ≠ BA, sebagai berikut : AB adalah sesuai, (2 x 3) = (3 x 2), AB akan menjadi 2 x 2 3(6) 6(5) 7 (13) 3(12) 6(10) 7 (2) 139 110 AB 12(6) 9(5) 11(13) 12(12) 9(10) 11(2) (2x2) 260 256 (2x2) BA adalah bersesuaian (3 x 2) = (2 x 3),
AB
6(3)
12(12)
6(6) 12(9)
BA akan menjadi 3 x 2 6(7) 12(11) 162
5(3)
10(12)
5(6) 10(9)
5(7) 10(11)
13(3)
2 (12)
13(6)
13(7)
2(9)
2(11)
(3x3)
144
174
135
120
145
63
96
113
(3x3)
karena itu AB ≠ BA.seringkali matriks – matriks tidak bersesuaian dalam dua arah. Contoh 13. Diketahui,
90
A
7
5
1
3
8
6
B
4 9
10
2 6
5
2 B
6
( 2 x 3 )
7
( 3 x 2 )
( 3 x1)
Untuk membuktikan bahwa perkalian matriks adalah asosiatif, yaitu ( AB)C = A(BC), perhitunganya adalah sebagai berikut :
A
7(4)
5(2)
7(9)
5(6)
7(10)
5(5)
38
93
95
1(4)
3 (2)
1(9)
3 (6)
1(10)
3 (5)
10
27
25
8(4)
6(2)
8(9)
6(6)
8(10)
6(5)
44
108
110
( AB)C
1.8.
( 3 x 3)
38
93
95
2
38(2)
93(6)
95(7)
1299
10
27
25
6
10(2)
27 (6)
25(7)
357
44
108
110
( 3 x 3)
BC
A( BC )
( 3 x 3)
7
5
1
3
8
6
44(2) 108(6) 110(7)
( 3 x1)
4(2)
9(6) 10(7)
2(2)
6(6)
5(7)
7(132)
5(75)
1299
1(132)
3(75)
357
8(132)
6(75)
132 75
7
( 2 x )
(3 x 2)
1506
( 3 x1)
(3 x1)
132 75
( 2 x1)
( 2 x1)
terbukti
1506
(3 x1)
( 3 x1)
MATRIKS IDENTITAS DAN MATRIKS NULL
Matriks identitas I adalah suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai 1 untuk setiap elemen pada diagonal utama dari kiri ke kanan dan nol di setiap tempat yang lain. Lihat contoh 14. apabila subscript digunakan, seperti pada I n ,n menunjukan dimensi matriks ( m x n). matriks identitas serupa dengan bilangan 1 dalam aljabar karea perkalian suatu matriks dengan matriks identitas tidak membawa perubahan terhadap matriks asal (yaitu AI = IA = A). perkalian suatu matriks identitas dengan dirinya 2 sendiri meninggalkan matriks identitas tidak berubah : I x I = I = I . setiap matriks utuk mana A = A' adalah matriks simetris (symmetric matrix). Matriks simetris untuk mana A x A = A,adalah matriks idempotent (idempotent matrix). Matriks identitas adalah simetri dan idempotent. Matriks null terdiridari semuanya nol dan dapat berdimensi sembarang ; tidak perlu bujur sangkar. Penjumlahan atau pengurangan matriks null tidak membawa perubahan terhadap matriks asalnya, perkalian dengan matriks null menghasilkan matriks null. Contoh 14. apabila diketahui,
7 A
10 14
9
2
6
1
3
7
B
5 12 20
N
4
0
0
0
0
I
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Dapat dibuktikan bahwa : (1) perkalian dengan suatu matriks identitas tidak menimbulkan tambahan terhadap matriks asalnya, yaitu AI = A, (2) perkalian dengan suatu matriks null menghasilkan matriks null, yaitu BN = N dan (3) penjumlahan atau pengurangan matriks null tidak mengakibatkan matriks asalnya berubah, yaitu B + N = B. perhitungan – perhitungan tersebut diperlihatkan di bawah ini 7
(1). AI
1
0
0
7(1)
10(0)
14(0)
7(0)
10(1)
14(0)
7(0)
10(0)
14(1)
9
2
6
0
1
0
9(1)
2(0)
6 (0)
9(0)
2(1)
6 (0)
9(0)
2(0)
6 (1)
1
3
7
0
0
1
1(1)
3(0)
7 (0)
1(0)
3(1)
7 (0)
1(0)
3(0)
7 (1)
7 AI
10 14
10 14
9
2
6
1
3
7
terbukti
5(0)
12(0)
5(0) 12(0)
0
0
20(0)
4(0)
20(0)
0
0
5
0 12
0
5
20
0
0
20
(2).
BN
(3).
B N
1.9.
PERNYATAAN MATRIKS DARI SERANGKAIAN PERSAMAAN LINEAR
4
4(0) 12 4
terbukti terbukti
91
Aljabar matriks memungkinkan pengungkapan secara ringkas suatu sistem persamaan linear. Sebagai ilustrasai sederhana, perhatikan bahwa sistem persamaan linear 7x1 + 3x2 = 45 4x1 + 5x2 = 29 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks AX = B 45 x1 7 3 A X B Dimana dan 29 4 5 x2 A adalah matriks koefisien (coefisien matrix),X adalah vektor penyelesaian (solution vector), dan B adalah vektor unsur konstanta (vector of constan terms). X dan B akan selalu berupa vektor kolom.
Contoh 15. untuk membuktikan bahwa AX = B dengan tepat menggambarkan sistem persamaanyang diberikan dalam seksi 1.9, dapatkan hasil kali AX . Perkalian adalah mungkin karena AX adalah bersesuaian, dan matriks hasil kali menjadi 2 x 1 (2 x 2) = (2 x 1)
jadi,
dan
AX
AX
7 3 x1
(2 x 1) 7x1 3x 2
4 5 x2
4x1
B :
5x 2
7x 1
3x 2
45
4x 1
5x 2
29
( 2 x1)
terbukti
dari sini, meskipun penampilanya seperti itu, AX adalah vektor kolom (2 x 1) karena setiap baris terdiri dari suatu elemen tunggal yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut melalui penjumlahan. Contoh 16. diketahui
8w +12x – 7y +2z = 139 3w +13x + 4y +9z = 242 untuk menyatakan sistem persamaan ini dalam notasi matrik,dalam hati balikan susunan perkalian matriks: w 8
12
-7
2
3 - 13
4
9
( 2 x 4 )
x
139
y
242
z
( 2 x1)
( 4 x1)
kemudian, dengan mengandaikan A = matriks koefisien, W = vektor kolom variabel, dan B = vektor kolom konstanta, sistem persamaan yang diketahui tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A(2x4)W (4x1) =B(2x1) 1.10.
OPERASI BARIS
Operasi baris (row operation) berarti penerapan operasi aljabar yang sederhana pada baris- baris suatu matriks. Tanpa suatu perubahan dalam hubungan linear, tiga operasi barisdasar memungkinkan (1) setiap dua baris suatu matriks saling tukar, (2) setiap baris atau baris – baris dakalikan dengan suatu konstanta, asalkan konstanta tersebut tidak sama dengan nol, dan (3) setiap kelipatan suatu baris ditambahkan ke atau dikurangkan dari baris yang lain. Contoh 17. operasi baris, yang tentunya sudah tidak asing lagi dari aljabar, diilustrasikan di bawah ini,dengan mengetahui 5x + 2y = 16 8x + 4y = 2n8 Tanpa suatu perubahan dalam hubungan linear,kita dapat 1. Saling menukar dua baris tersebut : 8x + 4y = 28 5x + 2y = 16 2. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta, di sini 8x + 4 y = 28 dengan 1/4, yang menghasilkan
92
2x + y = 7 5x + 2y = 16 3. Mengurangkan kelipatan satu baris dari yang lain, di sini 2(2x + y = 7) dari 5x + 2y = 16, yang menghasilkan 5x + 2y = 16 -4x – 2y = -14 x =2 1.11.
MATRIKS PERBESARAN (AUGMENTED)
Diketahui suatu system persamaan dalam bentuk matriks AX = B matriks perbesaran A/B adalah matriks koefisien A dengan vector kolom konstanta B, diletakan disampingnya, yang dipisahkan dengan suatu garis atau kisi. Jadi, untuk sistem persamaan dalam butir1.9,
7
A B
3 45
4 5 29
Matriks perbesaran digunakan sebagai sarana penyelesaian system persamaan linear. Contoh 18. matriks perbesaran A/B untuk 4x1 + 5x2 + 7x3 = 42 2x1 + 3x2 + 8x3 = 40 6x1 + 4x2 + x3 = 18
A B
Adalah
1.12.
4 5
7 42
2 3
8 40
6
1 18
4
METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR
Penggunaan metode eliminasi gauss dalam menyelesaikan persamaan linear semata – mata dengan menyatakan system persamaan tersebut sebagai suatu matriks perbesaran dan menerapkan operasi baris berulang – ulang pada matriks perbesaran sampai matriks koefisien A di sederhanakan menjadi suatu matriks identitas. Penyelesaian atas system persamaan kemudian dapat di baca dari elemen – elemen yang tinggal dalam vektor kolom B (lihat contoh 19). Untuk mengubsh matriks koefisien kedalam uatu matriks identitas, bergeraklah sepanjang sumbu utama. Pertam,a dapatkan 1 pada posisi a11 dari matriks koefisien, kemudian gunakan operasi baris untuk mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom pertama. Berikutnya dapatkan 1 pada 0posisi a22 dan gunakan operasi baris untuk mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom tersebut. Teruskan memperoleh 1 sepanjang diagonal utama dan kemudian rampungkan kolomnyasampai matriks identitas tersebut sempurna. Contoh 19. metode eliminasi gauss di gunakan dibawah ini untuk mencari x 1 dan x2 dalam sistem persamaan 2x1 + 12x2 = 40 8x1 + 4x2 = 28 pertama nyatakan persamaan tersebut dalam suatu matriks perbesaran
A B
2 12 40 8
4 28
kemudian, 1a. Kalikan baris pertaa dengan
1 2
untuk endapatkan 1 pada posisi a11 1
6 20
8
4 28
1b. Kurangkan 8 kali baris kedua untuk merampungkan kolom pertama 1 6 20 0
2a. Kalikan baris kedua dengan
1
- 44
132
untuk mendapatkan1 pada a22
44 1
6 20
0
1 3
93
2b. Kurangkan 6 kali baris kedua dari baris pertama untuk merampungkan kolom kedua 1 0 2 0
1 3
1
0
x1
2
0
1
x2
3
hasilnya adalah x 1 = 2, x2 = 3 karena
x1 + 0 = 2 0 + x2 = 3
94
