Recenzenti: dr Dobrilo \. To{i}, doktor matematike dr Branko J. Male{evi}, doktor matematike Dragica Mi{i}, profesor matematike
Za izdava~a Milka Je{i} Predmetni urednik Dragica Mi{i} Urednik produkcije mr Nata{a Baba~ev
Ministar prosvete i sporta Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uybenika u ~etvrtom razredu osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00109/2008-06 od 20. 6. 2008. ISBN 978-86-87715-22-6
dr Sini{a N. Je{i} Marko M. Igwatovi}
MATEMATIKA za ~etvrti razred osnovne {kole
ГЕРУНДИЈУМ
SADR@AJ 1. Skup prirodnih brojeva N i skup N0
6
1. Brojevi prve hiqade ..................................................................................... 6 2. Dekadne jedinice do milion, 1 000 000 ......................................................... 8 3. Zapisivawe dekadnih jedinica kao stepena broja 10 ........................... 11 4. Brojawe i zapisivawe po hiqadu.............................................................. 12 5. ^itawe i pisawe brojeva do milion .......................................................... 13 6. Brojawe po milion. Dekadne jedinice ve}e od milion ........................... 15 7. ^itawe i pisawe brojeva ve}ih od milion ................................................ 17 8. Zapisivawe prirodnih brojeva u obliku zbira proizvoda ..................... 19 9. Mesna vrednost cifre u zapisu broja ........................................................ 21 10. Upore|ivawe prirodnih brojeva ................................................................ 23 11. Skup prirodnih brojeva N i skup N0 ........................................................... 25 12. Brojevna poluprava .................................................................................... 27
2. Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
30
1. Sabirawe trocifrenih brojeva ................................................................... 30 2. Oduzimawe trocifrenih brojeva od brojeva druge hiqade .................. 32 3. Veza sabirawa i oduzimawa ....................................................................... 34 4. Zamena mesta i zdru`ivawe sabiraka ..................................................... 36 5. Dodavawe i oduzimawe zbira ................................................................... 38 6. Sabirawe vi{ecifrenih brojeva .............................................................. 40 7. Oduzimawe vi{ecifrenih brojeva ............................................................ 42 8. Izvodqivost sabirawa i oduzimawa u skupu N i skupu N0 .................... 44 9. Sabirawe i oduzimawe - izrazi sa dve ili vi{e operacija ............... 47 10. Zavisnost zbira od promene sabiraka .................................................... 50 11. Stalnost zbira .......................................................................................... 53 12. Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca ...................... 54 13. Stalnost razlike ..................................................................................... 57 14. Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem .................................................. 58 15. Nejedna~ine sa sabirawem i oduzimawem .............................................. 60
3. Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
62
1. Mno`ewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim................................................................................................ 62 2. Deqewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim................................................................................................ 64 3. Veza mno`ewa i deqewa .............................................................................. 66 4. Zamena mesta i zdru`ivawe ~inilaca........................................................ 68
5. Mno`ewe zbira i razlike ................................................................................ 70 6. Deqewe zbira i razlike .................................................................................. 72 7. Mno`ewe i deqewe dekadnom jedinicom ........................................................ 74 8. Mno`ewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim .............................................. 76 9. Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim .............................................. 78 10. Mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom ............................................. 80 11. Mno`ewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim ................................................ 81 12. Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim ................................................. 83 13. Mno`ewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem ................................ 85 14. Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem .................................. 87 15. Izvodqivost mno`ewa i deqewa u skupu N .................................................. 89 16. Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca ................................................... 90 17. Izra~unavawe nepoznatog ~inioca ................................................................ 91 18. Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca .................................... 92 19. Jedna~ine sa mno`ewem i deqewem ............................................................ 93
4. Merewe povr{i i jedinice mere
94
1. Povr{. Upore|ivawe i merewe povr{i ........................................................... 94 2. Jedinice mere za povr{inu ............................................................................... 97 3. Jedinice mere za povr{inu ve}e od kvadratnog metra .............................. 99 4. Ra~unawe sa jedinicama mere za povr{inu .............................................. 100 5. Izra~unavawe povr{ine pravougaonika i kvadrata ................................. 102
5. Izrazi
106
1. Matemati~ki izrazi .......................................................................................... 106 2. Odnos mno`ewa i deqewa prema sabirawu i oduzmawu ............................. 107 3. Odnos mno`ewa i deqewa ............................................................................... 111
6. Kvadar i kocka
112
1. Osobine kvadra i kocke .................................................................................... 112 2. Crtawe kvadra i kocke ..................................................................................... 115 3. Model i mre`a kvadra i kocke .................................................................... 117 4. Izra~unavawe povr{ine kvadra ..................................................................... 120 5. Izra~unavawe povr{ine kocke ........................................................................ 121 6. Zapremina tela. Merewe zapremine............................................................... 122 7. Jedinice mere za zapreminu ............................................................................. 124 8. Izra~unavawe zapremine kvadra i kocke .................................................. 127
7. Razlomci
130
1. Razlomci sa brojiocem jedan ......................................................................... 130 2. Razlomci sa brojiocem ve}im od jedan ........................................................... 133 3. Upore|ivawe razlomaka ............................................................................... 137 4. Predstavqawe razlomaka na brojevnoj polupravoj .................................... 140
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1 | Brojevi prve hiqade Brojevi 1, 10, 100 i 1 000 su dekadne jedinice prve hiqade. 1 (jedinica) = 1J 1 D = 10 J 1 S = 10 D = 100 J 1 H = 10 S = 100 D = 1000 J
1. Zapi{i broj ciframa, bez oznaka dekadnih jedinica, kao u datom primeru. 1) 56 D = 560
2) 85 D =
3) 2 S 43 J =
4) 2 S 3 D 5 J =
2. Popuni tabelu. prethodnik
59 104
broj
60
sledbenik
61
359 209
300 251
3. Napi{i ciframa date brojeve. 1) trista pedeset dva 2) ~etiristo osamdeset tri 3) {eststo osam 4) sedamsto sedam 5) dvesta trideset 6) osamsto deset 6
00 800
498 420 480
601
956
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
4. Brojeve 359, 1 000, 409 i 750 pro~itaj i zapi{i re~ima.
Predstavi date brojeve ciframa u narednoj tabeli. Xiqade
Stotine
Desetice
Jedinice
H
S
D
J
3
5
9
5. Zapi{i sve trocifrene brojeve u kojima se cifra 7 javqa dva puta.
6. Ciframa 0, 3 i 5 zapi{i sve mogu}e trocifrene brojeve i pore|aj ih po veli~ini tako da se: 1) svaka cifra koristi samo jedanput;
2) ista cifra mo`e koristiti vi{e puta.
7
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
2 | Dekadne jedinice do milion, 1 000 000 Vrednost nekih na{ih nov~anica iskazana je dekadnim jedinicama.
1 dinar
10 dinara
100 dinara
1 000 dinara
Grupisawem hiqada dobijamo vi{estruke hiqade.
~etiri ~eti iri hiq hiqade ade dina dinara ara 1 dinar4 000 = 4 X
deset hiqada dinara 10 000 = 10 X
Neke dekadne jedinice ve}e od hiqadu predstavqamo hiqadama. Jedna desetica hiqada 1 DX = 10 X = 10 000 (deset hiqada)
Jedna stotina hiqada
1 SH = 100 H = 100 000 (sto hiqada)
1. Nastavqaju}i da broji{ u deseticama hiqada popuni slede}u tabelu. 1 DH
10 000
deset hiqada
2 DH
trideset hiqada 40 000
pedeset hiqada 60 000 70 000
osamdeset hiqada 9 DH
8
1 SX
100 000
sto hiqada
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
Banka nov~anice pakuje u omote. U svakom omotu je po 100 istih nov~anica. Posmatrajmo omote sa po 100 nov~anica od hiqadu dinara. 1 omot
5 omota
sto hiqada dinara 100 000 = 100 X = 1 SX
petsto hiqada dinara 500 000 = 500 X = 5 SX
Na slici je prikazano 10 omota po 100 nov~anica od hiqadu dinara.
10 . 100 hiqada dinara = 1 000 hiqada dinara = 1 000 000 dinara
1 000 hiqada nazivamo 1 milion i ozna~avamo ga sa 1M. 1 M = 1 000 H = 1 000 000 (jedan milion)
2. Dekadne jedinice koje smo upoznali izrazi jedinicama. 1 jedinica = 1 J 1 desetica = 1 D = 10 J 1 stotina = 1 S = 1 hiqada = 1 H = 1 desetica hiqada = 1 DH = 1 stotina hiqada = 1 SH = 1 milion = 1 M =
9
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
3. Dekadne jedinice koje poznaje{ upi{i u tabelu, polaze}i od najmawe. milioni M
hiqade SX
jedinice
DX
X
S
D
J
1
0
0
0
0
4. Brojeve sa oznakama hiqada zapi{i ciframa.
5.
1) 200 H =
2) 400 H =
3) 500 H =
4) 600 H =
5) 800 H =
6) 900 H =
Pro~itaj i re~ima zapi{i date brojeve. 1) 500 000 2) 40 000 3) 800 000 4) 60 000
6.
Zapi{i ciframa broj: 1) sedamsto hiqada 2) trideset hiqada 3) ~etiristo hiqada
10
4) {ezdeset hiqada
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
3 | Zapisivawe dekadnih jedinica kao stepena broja 10 Dekadne jedinice mo`emo predstaviti kao proizvod jednakih ~inilaca, pri ~emu su svi ~inioci jednaki 10. 100 = 10 . 10
1 000 = 10 . 10 . 10
Proizvod jednakih ~inilaca mo`emo skra}eno zapisivati. 10 . 10 . 10= 103
10 . 10 = 102 ^itamo: deset na drugi.
^itamo: deset na tre}i.
Zapis 102 nazivamo drugi stepen broja 10, a 103 nazivamo tre}i stepen broja deset. Predstavimo i ostale dekadne jedinice skra}enim zapisom. 10 . 10 . 10 . 10 = 104 10 000 = 100 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 105 1 000 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106 Navedeni zapisi su ~etvrti, peti i {esti stepen broja deset.
1. Date brojeve zapi{i u obliku proizvoda jednocifrenog broja i stepena broja 10. 1) 20 000 = 2 .
10 000
=
.
2
104
2) 200 000 = 2 .
=
.
3) 50 000 = 5 .
=
.
105
4) 500 000 =
.
=
.
5) 6 SH
=
.
=
.
6) 9 SH
=
.
=
.
11
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
4 | Brojawe i zapisivawe po hiqadu 1. Brojeve sa oznakama hiqada zapi{i ciframa. 1) 19 H = 19 000
4) 237 H =
2) 37 H =
5) 485 H =
3) 219 H =
6) 754 H =
2. Zapi{i ciframa date brojeve: 1) sto pedeset dve hiqade 2) trista sedamdeset ~etiri hiqade 3) sedamsto dvadeset hiqada 4) osamsto tri hiqade 3. Upi{i brojeve koji nedostaju u nizovima. 456 000
462 000 457 000
513 000
507 000 512 000
4. Broje}i po hiqadu odredi i zapi{i tra`ene brojeve: 1) od sto devedeset pet hiqada do dvesta tri hiqade;
2) od {eststo osam hiqada do {eststo ~etrnaest hiqada;
3) od osamsto devedeset sedam hiqada do devetsto sedam hiqada. 12
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
5 | ^itawe i pisawe brojeva do milion • Radi lak{eg ~itawa, cifre vi{ecifrenih brojeva zapisujemo u tabelu. • Dekadne jedinice razvrstane su u klase, zdesna nalevo. U sklopu svake klase su jedinice, desetice i stotine. • Brojeve ~itamo po klasama. Najpre pro~itamo koliko je jedinica najvi{e klase, imenujemo klasu, a zatim ~itamo slede}u klasu, sve do posledwe, sleva nadesno. • Brojeve zapisujemo sa polurazmakom izme|u klasa (razmak je jednak polovini {irine cifre).
Navodimo primere zapisivawa vi{ecifrenih brojeva u tabeli. KLASE milioni M
1
hiqade
jedinice
SX
DX
X
S
D
J
4
3
8
5
6
2
7
2
1
0
4
6
5
0
3
8
7
0
0
0
0
0
0
8
5
3
2
0
6
Broj iz prve vrste prethodne tabele ~itamo i zapisujemo ga sa 1.
438 hiqada 562 438 562.
Pro~itaj i zapi{i preostale brojeve iz tabele, na dva na~ina: navode}i klase i samo ciframa, kao u datom primeru. 72 hiqade 104
72 104
13
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
2. Zapi{i ciframa date brojeve. a) sedamdeset osam hiqada petsto dva b) dvesta pedeset hiqada pedeset dva v) devetsto devet hiqada petsto pet 3. Pro~itaj cene prevoznih sredstava prikazanih na slikama.
19 560 din.
950 800 din.
349 988 din.
4. Brojeve sa oznakama dekadnih jedinica zapi{i samo ciframa i pro~itaj ih. a) 3 SH 5 DH 2 H 7 S 4 D 8 J = b) 5 SH 5 H 3 S 3 D =
Ako je neka cifra broja jednaka 0, pri wegovom zapisivawu oznakama dekadnih jedinica odgovaraju}u oznaku izostavqamo.
v) 8 SH 7 DH 6 S 5 J = 12 080 = 1 DH 2 H 0 S 8 D 0 J = 1 DH 2 H 8 D
g) 7 SH 7 S 7 J = d) 6 SH 6 D = 5. Napi{i brojeve koji nedostaju i pro~itaj ih. a) 376 438, 377 438, 378 438, ,
, ,
b) 376 438, 376 538, 376 638, ,
, , 384 438
, ,
, , 377 238
6. Broj po hiqadu i zapi{i sve brojeve izme}u 155 000 i 162 000. 14
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
6 | Brojawe po milion. Dekadne jedinice ve}e od milion • Broje}i po milion dobijamo brojeve iz slede}e tabele.
1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000 10 000 000
jedan milion dva miliona tri miliona ~etiri miliona pet miliona {est miliona sedam miliona osam miliona devet miliona deset miliona
Dekadne jedinice ve}e od milion predstavqamo milionima (M). Jedna desetica miliona 1 DM = 10 M = 10 000 000 (deset miliona) Jedna stotina miliona 1 SM = 100 M = 100 000 000 (sto miliona) Jedna hiqada miliona 1 XM = 1 000 M = 1 000 000 000 (milijarda)
Hiqadu miliona nazivamo milijarda i ozna~avamo je sa Md. 1 Md = 1 000 M = 1 000 000 000 (jedna milijarda) 1. Popuni datu tabelu, broje}i u stotinama miliona. 1 SM
10 DM
2 SM
100 000 000
sto miliona
200 000 000 30 DM 400 000 000 petsto miliona
6 SM 700 000 000
sedamsto miliona
9 SM 10 SM
100 DM
1 000 000 000
15
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
Dekadne jedinice ve}e od milijarde izra`avamo milijardama (Md). Desetica milijardi 1 DMd = 10 Md = 10 000 000 000 (deset milijardi) Stotina milijardi 1 SMd = 100 Md = 100 000 000 000 (sto milijardi) Hiqada milijardi 1 XMd = 1 000 Md = 1 000 000 000 000 (bilion) Jedan bilion predstavqa 1 000 milijardi i ozna~avamo ga sa 1 B. 1 B = 1 HMa = 1 000 000 000 000 Udaqenost Sunca i Zemqe je oko 150 miliona kilometara. Posle Sunca, zvezda najbli`a Zemqi je Proksima Kentaur koja je od Zemqe udaqena 40 biliona kilometara. Radi preglednosti, dekadne jedinice do bilion zapisa}emo u tabelu. Bilioni SB
DB
Milijarde B
1
SMd DMd Md
Milioni SM
DM
Hiqade
Jedinice
M
SH
DH
H
S
D
J
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. Napi{i ciframa date brojeve. 1) osamsto miliona 3) pedeset miliona 3. Re~ima zapi{i date brojeve.
16
1)
300 000 000
2)
20 000 000
3) 40 000 000 000
2) sedam milijardi
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
7 | ^itawe i pisawe brojeva ve}ih od milion • Kao i mawe, tako i brojeve ve}e od milion ~itamo po klasama, sleva nadesno i imenovawem klase pre prelaska na narednu klasu. • Brojeve zapisujemo sa polurazmakom izme}u klasa. Bilioni SB
DB
B
1
Milijarde
Milioni
SMd DMd Md SM DM
Hiqade
Jedinice
M
SH
DH
H
S
D
J
5
3
0
8
2
4
5
1
0
0
5
4
8
7
3
8
7
0
2
0
3
0
2
4
6
0
5
0
3
8
5
4
2
6
1
8
1
0
3
0
5
0
5
0
3
2
8
3
5
5
0
4
0
7
0
2
0
0
5
4
2
0
8
0
5
0
0
7
8
Broj iz prve vrste tabele ~itamo 5 miliona 308 hiqada 245 i zapisujemo ga sa 5 308 245. 1. Pro~itaj i zapi{i preostale brojeve iz prethodne tabele.
2. Zapi{i ciframa broj: 1) dvadeset tri miliona pet hiqada osamdeset 2) osamsto miliona osamdeset hiqada osam 3) tri milijarde pet miliona pedeset hiqada petsto
17
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
3. Brojeve sa oznakama dekadnih jedinica napi{i samo ciframa i pro~itaj ih. 1) 2 DM 4 M 5 SH 3 H 8 S 4 D 5 J = 2) 7 DMd 5 Md 3 DM 4 SH 7 D 8 J = 4. a) Svi brojevi od 24 000 001 do 25 000 000 su brojevi dvadeset petog miliona. Zapi{i jo{ tri broja tog miliona.
b) Navedi tri broja pedeset osmog miliona.
v) Napi{i najmawi i najve}i broj sedamsto osamnaestog miliona.
5. Ciframa 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0 zapi{i one brojeve koji pripadaju tre}oj desetici miliona. Zatim brojeve pro~itaj i zapi{i re~ima pored zapisanog broja.
6. a) Koliko desetica miliona i preostalih jedinica ima broj 376 742 235? (Podvu~eno je koliko ima desetica miliona.) 376 742 235 =
J
DM
b) Koliko stotina miliona i preostalih jedinica ima broj 438 276 320 560? (Podvu~eno je koliko ima stotina miliona.) 438 276 320 560 = 18
SM
J
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
8 | Zapisivawe prirodnih brojeva u obliku zbira proizvoda • Svaki prirodan broj mo`emo zapisati u obliku zbira vi{estrukih dekadnih jedinica. • Svaku vi{estruku dekadnu jedinicu mo`emo zapisati u obliku proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice. 24 367 256 = 20 000 000 + 4 000 000 + 300 000 + 60 000 + 7 000 + 200 + 50 + 6 = 2 . 10 000 000 + 4 . 1 000 000 + 3 . 100 000 + 6 . 10 000 + + 7 . 1 000 + 2 . 100 +(a5+. n) 10 ++ (b 6 .–1n) = a + b • Ako je neka od cifara u zapisu broja jednaka 0, odgovaraju}i sabirak je 0, te ga ne zapisujemo. 5 070 400 006 = 5 . 1 000 000 000 + 7 . 10 000 000 + 4 . 100 000 + 6 . 1 1. Broj 7 243 586 zapi{i kao zbir vi{estrukih dekadnih jedinica, a zatim kao zbir proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice. 7 243 586 =
2. Date brojeve napi{i kao zbir proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice. 1)
2 358 974 =
2)
48 003 570 =
3) 30 054 800 060 = 19
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
3.
Zapi{i broj, vi{estruku dekadnu jedinicu, odnosno izra~unaj vrednost izraza: 1) 5 . 103 = 2) 8 . 104 = 3) 2 . 105 = 4) 4 . 10 000 000 = 5) 3 . 100 000 000 =
Imamo da je: 10 000 000 = 107 100 000 000 = 108 1 000 000 000 = 109
deset miliona sto miliona jedna milijarda jedan bilion
1 000 000 000 000 = 1012
{to predstavqa stepene broja 10 koji odgovaraju dekadnim jedinicama ve}im od milion.
4.
Izra~unaj: 1) 5 . 103 + 4 . 102 + 2 . 10 + 7 = 2) 2 . 105 + 3 . 103 + 4 . 102 + 8 = 3) 3 . 108 + 5 . 105 + 8 . 104 + 7 . 10 + 4 =
5. Brojeve 90 205 368 i 2 753 070 806 napi{i: 1) sa oznakama dekadnih jedinica;
2) kao zbir proizvoda jednocifrenih brojeva i dekadnih jedinica.
20
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
9 | Mesna vrednost cifre u zapisu broja Svaki prirodan broj u dekadnom brojevnom sistemu mo`emo zapisati pomo}u deset cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.
Svaka cifra, pored svoje osnovne vrednosti, ima i mesnu vrednost. Ta vrednost zavisi od mesta na kome se cifra nalazi u zapisu broja. Mesna vrednost cifre izra`ava se tom cifrom i oznakom dekadne jedinice, koja je odre|ena mestom te cifre u zapisu broja.
U tabeli je zapisan broj 333 333 ~ije su sve cifre jednake 3. Hiqade
Jedinice
SH
DH
H
S
D
J
broj
3
3
3
3
3
3
mesna vrednost cifre
300 000
30 000
3 000
300
30
3
• Broj 333 333 zapisan je samo cifrom 3 koja se ponavqa {est puta. • Mesna vrednost svake cifre 3 je deset puta ve}a od mesne vrednosti susedne cifre 3 s desne strane. • Mesna vrednost svake cifre 3 je deset puta mawa od mesne vrednosti cifre 3 s leve strane. • Na primer, druga cifra 3 zdesna nalevo ima mesnu vrednost 30 i ona je 10 puta ve}a od mesne vrednosti cifre 3 prve zdesna i deset puta mawa od mesne vrednost tre}e zdesna cifre 3, po{to je 3 S : 10 = 3 D = 3 J . 10.
• U zapisu broja 10 054 875 cifra 5 se pojavquje dva puta. Mesna vrednost cifre 5 u prvoj koloni zdesna je 5 J, a mesna vrednost cifre 5 u petoj koloni zdesna je 5 DH = 50 000 J. Milioni SM
Hiqade
Jedinice
DM
M
SH
DH
H
S
D
J
1
0
0
5
4
8
7
5
21
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
Odredi mesne vrednosti cifara koje su zaokru`ene u brojevima iz 1. tabele. Milioni
Hiqade
Jedinice
SM
DM
M
SH
DH
H
S
D
J
8
7
0
2
0
3
0
2
4
5
0
3
8
5
4
2
6
1
4
3
0
5
0
5
0
3
5
5
0
4
0
7
0
2
0
mesna vrednost
2. U datu tabelu upi{i oznake dekadnih jedinica. U svaku od vrsta upi{i redom, po jedan od brojeva: trideset sedam, trideset sedam hiqada, trideset sedam miliona, trideset sedam milijardi. Odredi mesne vrednosti cifara 3 i 7 za svaki broj i upi{i ih u odgovaraju}e kolone. Milijarde
Milioni
Hiqade
Jedinice
Mesna vrednost cifre 3
cifre 7
3. Za koliko se promeni vrednost broja ako prva i tre}a cifra uzajamno zamene mesta? 1) 356
–
=
2) 725
–
=
3) 434
–
=
4. Od cifara 1, 2, 3, 5, 7 i 9 napi{i dva {estocifrena broja tako da: 1) cifra 2 ima mesnu vrednost desetica (D), a cifra 9 mesnu vrednost stotina hiqada (SH);
2) cifra 3 ima vrednost stotina (S), a cifra 1 ima vrednost desetica hiqada (DH). 22
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
10 | Upore|ivawe prirodnih brojeva Svaki trocifreni broj ve}i je od bilo kog dvocifrenog broja, a svaki dvocifren ve}i je od bilo kog jednocifrenog. Ako upore|ujemo dva trocifrena broja ve}i je onaj koji ima ve}u cifru na mestu stotina. Ukoliko su te cifre iste nastavqamo upore|ivawe narednih cifara, gledaju}i sleva nadesno.
1. Stavqaju}i znak > , < ili = u kvadrati}, uporedi brojeve i tako proveri svoje znawe. 94
114
326
87
268
512
725
376
527
5S2D7J
648
645
406
4S5J
750
7S5D2J
824
8S2D4J
• Sli~no upore|ujemo i vi{ecifrene brojeve. Prikaza}emo to na primeru brojeva zapisanih u tabeli. Milijarde SMd DMd Md A
Milioni
Hiqade
Jedinice
SM
DM
M
SH
DH
H
S
D
J
7
5
0
2
4
0
2
0
8
B
4
0
3
0
0
1
3
6
3
7
1
C
2
7
3
5
4
2
0
0
4
7
9
D
2
7
3
5
4
3
0
0
2
9
6
E
2
7
3
5
4
3
0
0
2
9
6
Upore|ivawem prvog i drugog broja (A i B) iz tabele, vidimo da je ve}i broj V jer je zapisan sa vi{e cifara. Ka`emo da je broj B ve}i od broja A, odnosno broj A je mawi od broja B, {to zapisujemo sa B > A odnosno A < B.
Od dva prirodna broja sa jednakim brojem cifara, B i C, ve}i je onaj koji ima ve}u cifru najvi{eg reda (kome je ve}a prva cifra sleva). B > C, jer je 4 DMd > 2 DMd.
23
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
Od dva prirodna broja sa jednakim brojem cifara u kojima je nekoliko cifara sleva jednog broja jednako odgovaraju}im ciframa drugog broja, kao {to su brojevi C i D, ve}i je onaj kod koga se sleva nadesno pre nai|e na ve}u cifru, odnosno D > C, jer je 3 SH > 2 SH. Dva prirodna broja, D i E, su jednaka, ako imaju jednak broj cifara i ako su ima jednake cifre na odgovaraju}im mestima, {to zapisujemo sa D = E. 2. Uporedi brojeve. U kvadrati} upi{i potreban znak, < ili >. 36 725
106 203
83 657 205
58 604 320
504 378 268
504 054 607
14 648 372 506
14 648 374 213
3. Pore|aj date brojeve po~ev od 1) najmaweg: 735 278, 635 278, 725 278, 736 278, 735 478
2) najve}eg: 56 248 731, 55 248 731, 56 348 731, 55 248 631, 56 249 731
4.
Od {estocifrenih brojeva koji se mogu zapisati ciframa 1, 2, 3, 0, 0, 0, 0 odredi tri najve}a i tri najmawa koji pripadaju tre}em milionu. U svakom broju svaku cifru koristi samo jedanput. najve}i najmawi
5. 24
Napi{i najve}i i najmawi broj sedme milijarde.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
11 | Skup prirodnih brojeva N i skup N0 • Ako zapi{emo sve jednocifrene prirodne brojeve po veli~ini 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ka`emo da smo zapisali kona~an niz prirodnih jednocifrenih brojeva. • Ovaj niz brojeva mo`emo kra}e zapisati tako {to }emo neke brojeve izostaviti i umesto wih zapisati ... (tri ta~ke): 1, 2, 3, ... , 9. • Kona~an niz dvocifrenih prirodnih brojeva mo`emo zapisati ovako: 10, 11, 12, ... , 99. • Kona~an niz trocifrenih prirodnih brojeva je: 100, 101, 102, ... , 999.
Ako sve kona~ne nizove brojeva pore|amo tako da je svaki naredni broj za 1 ve}i od prethodnog dobijamo niz prirodnih brojeva.
Niz brojeva 1, 2, ... , 9, 10, 11, ... , 99, 100, ... , 999, 1 000, 1 001, ... , 9 999, 10 000, ... nazivamo niz prirodnih brojeva. Svi prirodni brojevi ~ine skup prirodnih brojeva koji ozna~avamo slovom N i zapisujemo sa N = {1, 2, 3, ... }. 0 nije prirodan broj. Nije te{ko uo~iti da je broj 1 najmawi prirodan broj. Ne postoji najve}i prirodan broj. Koliko god veliki prirodni broj zamislili, postoji wegov neposredni sledbenik, broj za jedan ve}i od wega. Skup koji ~ine nula i svi prirodni brojevi oznavamo sa N0 (~itamo: en nula) i zapisujemo sa N0 = {0, 1, 2, 3, ...}. 25
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1. Navedi po dva uzastopna broja ako su oni: a) trocifreni
,
b) ~etvorocifreni v) petocifreni
, ,
2. Koriste}i barem ~etiri broja i oznaku ... (tri ta~ke), zapi{i skup svih vrednosti promenqive x za koje va`i data nejednakost. a) 99 < x < 107
x∈{
}
b) 1 001 < x < 1 000 101
x∈{
}
v) x > 500 782
x∈{
}
3. a) Napi{i kona~an niz svih parnih prirodnih brojeva do broja 20.
b) Napi{i kona~an niz svih neparnih prirodnih brojeva do broja 20.
v) Koliko ima parnih, a koliko neparnih prirodnih brojeva do broja 20? parnih
4.
neparnih
Razmisli da li je ta~no naredno tvr|ewe i dopuni re~enicu tako da bude ta~na.
• Ako zamisli{ bilo koji prirodan broj, tada je u kona~nom nizu prirodnih brojeva koji se zavr{ava tim brojem broj parnih jednak broju neparnih brojeva. Odgovor Ako je zami{qeni broj paran, tvr|ewe je
, a ako je
(upi{i: ta~no ili neta~no)
26
zami{qeni broj neparan, tvr|ewe je
.
(upi{i: ta~no ili neta~no)
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
1
12 | Brojevna poluprava • Nacrtajmo polupravu Ox, pri ~emu smo po~etnoj ta~ki te poluprave, ta~ki O, pridru`ili nulu (0). Uzmimo proizvoqnu du` (nazivamo je podeona du`). • Nano{ewem podeone du`i na polupravu Ox, po~ev od ta~ke O dobijamo ta~ku A. Postupak ponavqamo koliko god puta `elimo i dobijamo ta~ke A, B, C, D, E, F, G, ... kojima redom pridru`imo brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... O
A
B
C
D
E
F
G
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Polupravu Ox nazivamo brojevna poluprava, a podeonu du`, po{to joj je pridru`ena 1 J, nazivamo jedini~na du`. Po{to je poluprava beskona~na, svakom prirodnom broju mo`e se pridru`iti ta~no jedna ta~ka brojevne poluprave. • Ne mo`emo nacrtati celu brojevnu polupravu (jer je ona neograni~ena) i na woj prikazati sve prirodne brojeve. • Nije obavezno da se pri predstavqawu brojeva na brojevnoj polupravoj podeonoj du`i pridru`uje jedna brojevna jedinica. • Koliko jedinica }emo pridru`iti podeonoj du`i zavisi od toga koje brojeve `elimo da prika`emo na brojevnoj polupravoj. Na slede}oj slici prikazana je brojevna poluprava, pri ~emu smo podeonoj du`i pridru`ili 10 J.
x 0
10
20
30
100
1. Na brojevnoj polupravoj prikazane su udaqenosti, vazdu{nom linijom, nekih evropskih gradova od Beograda. Podeonoj du`i odgovara razdaqina od 100 km.
Be~
Beograd 0
100
200
300
400
500
Cirih 600
700
800
900
x
1000 1100 1200 1300 1400
27 Budimpe{ta
Prag
Pariz
1
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
a) Od gradova predstavqenih na slici najudaqeniji od Beograda je
, a najbli`i Beogradu je (upi{i ime grada)
b) Zamisli da je svaka podeona du` na brojevnoj polupravoj podeqena na 10 mawih podeonih du`i koje odgovaraju rastojawu od 10 kilometara i odredi pribli`no rastojawe gradova sa slike od Beograda. Rastojawa gradova od Beograda upi{i u prazna poqa. 2.
. (upi{i ime grada)
BE^ PRAG CIRIX PARIZ BUDIMPE[TA
Upi{i brojeve koji odgovaraju ta~kama na datoj brojevnoj polupravoj. 100 000
0 3.
x
200 000
1000 000
U prazna poqa upi{i brojeve koji se pridru`uju nazna~enim ta~kama brojevne poluprave. a) 25 900
26 500
25 800
b)
376 560
376 620
376 550 4.
28
Nacrtaj brojevnu polupravu ~ija podeona du` du`ine 2 cm odgovara 1 J i odredi ta~ke koje odgovaraju brojevima 1, 4 i 5.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0
Na brojevnoj polupravoj prikazali smo dva prirodna broja a i b. a b
1
x
• Koliko prirodnih brojeva ima izme|u brojeva a i b? Odgovor na prethodno pitawe dajemo na primeru a = 356, b = 643. Uo~imo: • prvo, broj 643 – 1 je neposredni prethodnik broja 643 i to je najve}i broj izme|u brojeva 356 i 643, • drugo, svi brojevi od 1 do 356 i 356 nisu izme|u brojeva 356 i 643, te tra`enih prirodnih brojeva ima: (643 – 1) – 356 = 286. Ako sa x ozna~imo broj prirodnih brojeva izme|u dva proizvoqna prirodna broja a i b, pri ~emu je a < b, tada je: x = (b – 1) – a. 5.
Odredi koliko ima prirodnih brojeva: 1) izme|u brojeva 487 i 732; 2) izme|u brojeva 219 i 836; 3) izme|u brojeva 556 i 557.
6.
Koriste}i brojevnu polupravu iz zadatka 1 odredi koji grad je udaqeniji od Beograda i za koliko: 1) Prag ili Be~; 2) Be~ ili Pariz; 3) Prag ili Pariz?
7.
Nacrtaj brojevnu polupravu ~ija podeona du` ima du`inu 3 cm i odgovara broju 100 jedinica. Na toj polupravoj prika`i dva broja izme|u kojih ima 199 prirodnih brojeva.
29
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
1 | Sabirawe trocifrenih brojeva Sabirawe, koje nazivamo usmenim, bilo koja dva trocifrena broja vr{imo tako {to prvom sabirku dodamo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice drugog sabirka, {to skra}eno mo`emo zapisivati podvla~ewem, kao u narednom primeru. 748 + 586 = 1 248 + 86 = 1 328 + 6 = 1 334 U tre}em razredu sabirali smo samo one trocifrene brojeve ~iji zbir nije ve}i od 1 000. Proveri svoje znawe izra~unavaju}i tra`eni zbir 1) usmenim sabirawem 536 + 382 =
+ 82 =
+2=
;
346 + 432 =
+
=
+
=
;
476 + 248 =
+
=
+
=
;
2) pismenim sabirawem 257 + 470
368 + 215
487 + 356
Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine. Ukoliko postoji prelaz preko dekadne jedinice, dodajemo ga pri sabirawu elemenata u narednoj koloni, gledaju}i zdesna nalevo. U slede}oj tabeli navodimo primer pismenog sabirawa brojeva 675 i 568. Zbir tih brojeva je ve}i od 1 000.
H
30
S
D
1
1
+
6 5
7 6
1
2
1
4
J
5 8 1
3
Kra}e zapisujemo: 675 + 568 1 243
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
Sabiramo na slede}i na~in: • Najpre sabiramo jedinice: • potom sabiramo desetice: • na kraju sabiramo stotine:
5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a 1 deseticu dodajemo deseticama; 7 D i 6 D je 13 D i 1 D je 14 D; 4 D zapisujemo, a 1 S dodajemo stotinama; 6 S i 5 S je 11 S i 1 S je 12 S; zapisujemo 2 stotine i 1 hiqada.
Pri usmenom sabirawu dva trocifrena broja prvom sabirku najpre dodamo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice drugog sabirka. Pri pismenom sabirawu sabiramo najpre jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.
1. Usmenim sabirawem izra~unaj zbir: a) 305 + 827 = b) 542 + 738 = v) 859 + 643 = 2. Izra~unaj zbir. 1)
386 + 795
2)
458 + 893
3)
643 + 958
4)
459 + 695
3. Odrediti broj koji je za 352 ve}i od broja 876.
4. Na sli~an na~in mo`emo da izra~unamo zbir vi{e sabiraka. Izra~unaj: 1)
186 385 + 874
2)
376 436 586 + 732 31
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2 | Oduzimawe trocifrenih brojeva od brojeva druge hiqade Proveri svoje znawe iz prethodnog razreda izra~unavaju}i tra`ene razlike: 1) usmenim oduzimawem; 746 – 432 =
– 32 =
–2=
636 – 382 =
–
=
–
=
876 – 548 =
–
=
–
=
2) pismenim oduzimawem. 368 – 215
934 – 356
657 – 474
Pri usmenom oduzimawu trocifrenog broja, najpre od umawenika oduzimamo stotine, zatim desetice, i na kraju jedinice umawioca. Postupak usmenog oduzimawa skra}eno zapisujemo podvla~ewem, kao u narednom primeru. 1 546 – 863 = 746 – 63 = 686 – 3 = 683 Pri pismenom oduzimawu trocifrenog broja, najpre od umawenika oduzimamo jedinice, zatim desetice, i na kraju stotine umawioca. Navodimo primer pismenog oduzimawa trocifrenog od ~etvorocifrenog broja, pri ~emu su desetice ozna~ene strelicama „pozajmqeneß iz naredne kolone s leve strane. H
S
D
10 +3
10 +2
3
2
J Kra}e zapisujemo:
0
1
32
10 +5
4 9
3 7
5 8
4
5
7
–
1 435 978 457
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
Oduzimamo na slede}i na~in: • Najpre oduzimamo jedinice: kako je 8 ve}e od 5, 1 deseticu „pozajmimoß; 15 minus 8 je 7; • potom oduzimamo desetice: 7 D ne mo`emo oduzeti od 2 D i zato 1 S „pozajmimo“ i „usitnimo“ u 10 D; od 12 D oduzmemo 7 D i dobijamo 5 D; • zatim oduzimamo stotine: 9 S ne mo`emo oduzeti od 3 S i zato 1 H „pozajmimo“ i „usitnimo“ u 10 S; od 13 S oduzmemo 9 S i dobijamo 4 S; • nije ostala nijedna hiqada.
Usmeno oduzimamo sleva nadesno, a pismeno zdesna nalevo. 1. Usmenim oduzimawem izra~unaj tra`ene razlike: 1) 1 317 – 654 = 2) 1 253 – 825 = 3) 1 124 – 376 = 2. Odredi broj koji je za 758 mawi od 1 643.
3. Izra~unaj razliku. 1) 1 324 – 637
2)
1 172 – 485
3) 1 225 – 748
4) 1 431 – 526
4. Na sportskom takmi~ewu je 1 212 devoj~ica. Broj de~aka je za 796 mawi. Koliko ima: a) de~aka; b) ukupno u~esnika?
33
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
3 | Veza sabirawa i oduzimawa • Na slici je ukupno 25 kru`i}a, 17 naranyastih i 8 zelenih. 17
8
25 • Prema prikazu na slici mo`emo zapisati jednakosti: 17 + 8 = 25
8 + 17 = 25
25 – 8 = 17
25 – 17 = 8
Sli~no je i kada je broj naranyastih kru`i}a bilo koji prirodan broj a i zelenih bilo koji prirodan broj b. Wihov zbir je c = a + b. a b
c Prema prikazu na slici zapi{i ~etiri ta~ne jednakosti ~iji su ~lanovi prirodni brojevi a, b i c. +
=
+
=
–
=
–
=
Napisane jednakosti i wihovi ~lanovi me|usobno su povezani {to je prikazano slede}im graficima. prvi sabirak drugi sabirak a+b=c c–a=b umawilac umawenik 34
razilika
zbir c–b=a razlika zumawenik
umawilac
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
1. Dopuni re~enice tako da budu ta~ne. a) Ako se od zbira oduzme jedan sabirak dobija se Ako je a + b = c, onda je c – a =
sabirak. .
–b=
i
.
b) Ako se saberu razlika i umawilac, dobija se Ako je c – a = b, onda je
+
.
=
.
v) Ako se od umawenika oduzme razlika, dobija se Ako je c – b = a, onda je
–
.
=
2. Ta~nost date jednakosti proveri sabirawem i oduzimawem. 1) 1 235 – 748 = 487 Jednakost je
487
+
748
=
1 235
–
487
=
(upi{i: ta~na ili neta~na).
2) 1 111 – 222 = 999 Jednakost je (upi{i: ta~na ili neta~na).
+
=
–
=
3. Pomo}u brojeva 567, 856, 1 423 i znakova + i – napi{i ~etiri ta~ne jednakosti. +
=
,
+
=
,
–
=
,
–
=
.
4. Dati su brojevi 932 i 584. Pomo}u datih brojeva, znakova + i – i tre}eg broja napi{i ~etiri ta~ne jednakosti, ako je tre}i broj: a) zbir datih brojeva;
b) razlika datih brojeva.
+
=
–
=
–
=
+
=
+
=
–
=
–
=
+
=
35
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
4 | Zamena mesta i zdru`ivawe sabiraka Zamena mesta sabiraka Prikazano je 8 zelenih i 5 naranyastih kru`i}a. Bez obzira kojim redosledom su poslagani, vidimo da ih je ukupno 13. 8
5
8
5 8+5=5+8
Neka su a i b bilo koji prirodni brojevi. a b b
a
a+b=b+a Ako sabirci zamene mesta, zbir se ne}e promeniti.
Zdru`ivawe sabiraka Prikazana su 4 zelena, 3 naranyasta i 5 crvenih kru`i}a. Ako ukupnom broju zelenih i naranyastih dodamo broj crvenih kru`i}a dobijamo isti broj 12 kao da smo broju zelenih dodali ukupan broj naranyastih i crvenih kru`i}a. 4
3
5
4
3
5
(4 + 3) + 5 = 4 + (3 + 5)
Neka su a, b i c bilo koji prirodni brojevi. a
b
c
a
b
c
(a + b) + c = a + (b + c)
Ako sabirke zdru`imo na razli~ite na~ine, zbir se ne}e promeniti. 36
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
1. Izra~unaj vrednost leve i desne strane jednakosti i proveri da li je jednakost ta~na. 1) 785 + 476 = 476 + 785
2) 659 + 897 = 897 + 659
2. Izra~unaj zbir 5 489 + 395 + 657 zdru`ivawem i zamenom mesta sabiraka na razli~ite na~ine. Uporedi dobijene rezultate.
3.
+(
+
)=
+
=
+(
+
)=
+
=
(
+
)+
=
+
=
(
+
)+
=
+
=
Ozna~i zagradama zdru`ivawe sabiraka i na najpodesniji na~in izra~unaj dati zbir. 1) 473 + 585 + 415 = 2) 775 + 225 + 685 = 3) 365 + 897 + 635 =
4.
Odredi broj koji se dobija kada se zbiru brojeva 675 i 897 doda broj 284.
5.
Odredi nepoznati sabirak. 1) 327 + x = 468 + 327
x=
2) y + 526 = 526 + 743
y=
3) 645 + 869 = z + 645
z=
4) (x + 436) + 827 = 745 + (436 + 827)
x=
5) 586 + (375 + 694) = (586 + y) + 694
y= 37
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
5 | Dodavawe i oduzimawe zbira Dodavawe zbira Na osnovu osobine zdru`ivawa sabiraka va`i naredna osobina. Zbir dodajemo tako {to najpre dodamo jedan, a zatim drugi sabirak.
1.
Broju 476 dodat je zbir brojeva 748 i 594. Uradi to na dva na~ina i uporedi rezultate. 1)
+(
+
)=
2)
+(
+
)=(
+ +
= 2.
+
=
;
)+ =
.
Na parkingu se nalazi 658 belih, 346 zelenih i 475 plavih automobila. Koliko je ukupno automobila na parkingu?
Oduzimawe zbira • Neka su a, b i c bilo koja tri prirodna broja, pri ~emu je a > b + c. a
a – (b + c)
(a – b) – c
b+c
a
b
c
a – (b + c) = (a – b) – c • Zakqu~ujemo da od broja a oduzimamo zbir brojeva b i c prema slede}em pravilu: Zbir oduzimamo tako {to najpre oduzmemo jedan, a zatim drugi sabirak tog zbira. 38
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
3.
4.
Koriste}i pravilo o oduzimawu zbira izra~unaj: 1) 1 250 – (873 + 250) =
;
2) 1 375 – (175 + 650) =
;
3) 1 425 – (548 + 125) =
.
Milica ima 1 000 dinara. U kwi`ari je kupila kwigu, koju je platila 456 dinara i sladoled za 125 dinara. Izra~unaj koliko je Milici ostalo novca. 1 000 – (
5.
2
+
)=
.
Milo{ je po{ao u {kolu koja je udaqena 1 650 m od wegove ku}e. Na putu su dva drveta, kao na slici, i Milo{ se u wihovom hladu odmarao. Prvi put kada je pre{ao 550 m, a drugi put kada je pre{ao jo{ 630 m. Koristi sliku i na woj ozna~i zadate du`ine.
550 m
630 m
1) Kolika je du`ina puta koji je Milo{ pre{ao do {kole, posle drugog odmarawa? 2) U povratku ku}i Milo{ se samo jedanput odmarao ispod jednog od dva drveta. Koliko je Milo{ pre{ao u povratku pre odmarawa i koliko posle odmarawa? (Postoje dva re{ewa, u zavisnosti od izbora drveta u ~ijem hladu se, pri povratku, odmarao.) Prvo re{ewe: du`ina puta pre odmarawa je , a du`ina preostalog puta do ku}e je . Drugo re{ewe: du`ina puta pre odmarawa je , a du`ina preostalog puta do ku}e je .
39
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
6 | Sabirawe vi{ecifrenih brojeva • Vi{ecifrene brojeve, uglavnom, sabiramo pismeno. • Najpre sabiramo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine klase jedinica. Postupak nastavqamo sabirawem jedinica, desetica i stotina naredne klase, gledaju}i zdesna nalevo.
Postupak sabirawa brojeva 285 246 i 946 578 prikazan je u tabeli. milioni SM
hiqade
DM
M
SH 1
1
+
2 9
8 4
1
2
jedinice
DH
1
3
1
H
S
D
1
1
5 6
2 5
4 7
1
8
1
2
J
6 8 1
4
Postupak sabirawa sastoji se u slede}im ra~unawima. • Najpre sabiramo klasu jedinica, kao kod sabirawa trocifrenih brojeva, a zatim sabiramo hiqade. • sabiramo X:
5 H i 6 H je 11 H; 1 H zapisujemo, a 1 DH dodajemo deseticama hiqada;
• sabiramo DH:
1 DH i 8 DH je 9 DH i 4 DH je 13 DH; 3 DH zapisujemo, a 1 SH dodajemo stotinama hiqada;
• sabiramo SH:
1 SH i 2 SH su 3 SH i 9 SH je 12 SH; zapisujemo 2 SH i 1 M.
Kra}e zapisujemo: 285 246 + 946 578 1 231 824
1.
285 246 + 946 578 = 1 231 824
Izra~unaj zbir. 1) 2 768 + 576
40
ili
2)
18 346 + 7 579
3) 46 582 + 795 769
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
2. Koriste}i tabelu sabrati brojeve zadate u woj, zapisuju}i preno{ewa iz prethodne kolone. milijarde SMd DMd
1 +
milioni
hiqade
Jedinice
Md
SM
DM
M
SH
DH
H
S
D
J
7 6
3 4
6 5
9 7
2 9
8 4
5 6
2 5
4 7
6 8
Upi{i rezultat. 3.
Izra~unaj zbir. a) 675 836 + 7 478 795
b) 2 365 487 + 872 564
v) 32 786 394 + 48 675 736
Kao {to sabiramo dva vi{ecifrena broja, sli~nim postupkom mo`e se sabirati i vi{e brojeva. • Pri sabirawu dva broja u narednu kolonu se mo`e preneti najvi{e 1, dok pri sabirawu vi{e brojeva prenos u narednu kolonu mo`e biti ve}i od 1. 4.
Izra~unaj zbir, zapisuju}i preno{ewa u dato poqe iznad brojeva, kao u re{enom primeru. prenos:
a)
121
473 2 564 + 87 3 124
b)
4 364 15 705 976 + 23 958
v)
63 072 236 458 6 804 347 526 + 409 643
g) 5 763 458 438 205 6 473 2 904 582 + 48 376 627
5. Razmisli o prethodnom zadatku i broju jedinica koje mo`e{ preneti! Popuni prazna poqa u re~enici: Pri sabirawu ~etiri broja mo`emo preneti najvi{e pri sabirawu sedam brojeva mo`emo preneti najvi{e u narednu kolonu (napi{i koliko).
jedinice, a jedinica
41
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
7 | Oduzimawe vi{ecifrenih brojeva • Vi{ecifrene brojeve, uglavnom, oduzimamo pismeno. • Najpre oduzimamo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine iz klase jedinica. Postupak nastavqamo oduzimawem jedinica, desetica i stotina naredne klase, gledaju}i zdesna nalevo.
Postupak oduzimawa brojeva 623 716 i 346 578 prikazan je u tabeli. milioni SM
DM
hiqade M
SH
jedinice
DH
H
11
13
5
–
S
D
J
10
16
6
6 3
2 4
3 6
7 5
1 7
6 8
2
7
7
1
3
8
Postupak oduzimawa sastoji se u slede}im ra~unawima. • Najpre oduzmemo klasu jedinica, kao kod oduzimawa trocifrenih brojeva, a zatim oduzimamo hiqade. • oduzimamo X: 6 H ne mo`emo oduzeti od 3 X i zato 1 DX „usitnimo” u 10 H i dodamo ih hiqadama; od 13 H oduzmemo 6 H i dobijamo 7 H; • oduzimamo DH: 4 DH ne mo`emo oduzeti od 1 DH, i zato „usitnimo” 1 SX iz naredne kolone levo u 10 DX; od 11 DH oduzmemo 4 DH i dobijamo 7 DH; • oduzimamo SH: od 5 SH oduzimamo 3 SH i dobijamo 2 SH. Kra}e zapisujemo: 623 716 – 346 578 277 138 1.
623 716 – 346 578 = 277 138
Izra~unaj razliku. 1) –
42
ili
2 768 576
2) 18 346 – 9 579
3)
172 312 – 67 428
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
2. Koriste}i tabelu oduzmi brojeve zadate u woj, zapisuju}i „pozajmqivawaß iz naredne kolone gledaju}i zdesna nalevo. milijarde SMd DMd
3 –
milioni
hiqade
jedinice
Md
SM
DM
M
SH
DH
H
S
D
J
4 6
3 4
6 5
1 7
6 3
2 4
3 6
7 5
1 7
6 8
Upi{i rezultat. 3. Izra~unaj razliku. 1) 42 354 – 5 867
4.
2) 317 415 – 68 239
3) 5 231 425 – 892 546
4) 32 435 246 – 7 593 728
Od 12 350 kg p{enice jednog meseca je samleveno 8 500 kg bra{na. Ostalo je samleveno drugog meseca. Koliko je kilograma p{enice samleveno drugog meseca? c
Rezultat:
5. Milanovi roditeqi imali su 217 050 dinara. Kupili su garnituru name{taja koja ko{ta 115 785 dinara, a od preostalog novca televizor po ceni od 68 211 dinara. Koliko im je novca ostalo?
68 211 Rezultat:
115 785 43
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
8 | Izvodqivost operacija sabirawa i oduzimawa u skupu N i skupu N0 Izvodqivost operacije sabirawa u skupu N Izra~unaj zbir trocifrenih brojeva. 348 + 575
765 + 987
Koliko cifara ima broj jednak prvom zbiru? Koliko cifara ima broj jednak drugom zbiru? Vrednost prvog zbira je trocifren, a drugog ~etvorocifren broj. • U prvom slu~aju rezultat operacije sabirawa je broj koji pripada istom skupu kao i sabirci, skupu trocifrenih prirodnih brojeva. • U drugom slu~aju rezultat sabirawa je broj koji pripada skupu ~etvorocifrenih prirodnih brojeva, dok sabirci pripadaju skupu trocifrenih prirodnih brojeva. Ra~unska operacija izvodqiva je u nekom skupu ako za svaka dva ~lana tog skupa i rezultat operacije pripada tom skupu.
• Kao {to smo uo~ili, u prvom zadatku, sabirawe nije izvodqivo u skupu trocifrenih prirodnih brojeva, jer postoje trocifreni brojevi ~iji zbir nije trocifren broj.
• Skup prirodnih brojeva je neograni~en, to jest ne postoji najve}i prirodan broj. Od svakog broja postoji broj za jedan ve}i od wega.
Ako je a ∈ N, onda je i (a + 1) ∈ N, ((a + 1) + 1) ∈ N, ((a + 1) + 1 + 1 + 1 + . . . + 1) ∈ N 44
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
{
Zbir bilo koja dva prirodna broja je prirodan broj. Ako je a, b ∈ N tada a + b = a + (1+1+1+... +1) ∈ N b jedinica
Za bilo koji broj a ∈ N0 va`i da je a + 0 = a ∈ N0. Ra~unska operacija sabirawa izvodqiva je u skupovima N i N0. 1.
Napi{i dva uzastopna sledbenika datih brojeva. a) 72 432: b) 1 254 000 012:
2. Dati su prirodni brojevi 246 375, 486 053 i 736 234. Izra~unaj zbirove, po dva od datih brojeva.
+
+
+
Da li je zbir svaka dva od datih brojeva prirodan broj?
.
3. a) Navedi dva trocifrena i dva ~etvorocifrena parna broja i proveri da je wihov zbir paran broj.
+
+
Zbir dva parna prirodna broja je paran prirodan broj.
b) Navedi dva petocifrena i dva {estocifrenih neparna broja i proveri da je wihov zbir paran broj.
+
+
Zbir dva neparna prirodna broja je paran prirodan broj.
45
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
Izvodqivost operacije oduzimawa u skupu N Izra~unaj razliku brojeva. 1) 8 – 5 =
4) 24 385 – 8 746
5)
632 214 – 285 437
2) 92 – 48 = 3) 634 – 284 = • U prethodnim primerima umawenik je
od umawioca.
(upi{i: ve}i ili mawi)
Da li je mogu}e izra~unati razlike 4 – 7, 23 – 78 i 345 – 672 u skupu N? Odgovor: Navedene razlike
mogu}e izra~unati,
(upi{i: jeste ili nije)
jer je umawenik
od umawioca.
(upi{i: ve}i ili mawi)
• Razliku prirodnih brojeva a i b nije uvek mogu}e izra~unati, tako da rezultat bude prirodan broj. Ako su a i b prirodni brojevi va`e naredne osobine. Ako je a > b, onda je a – b prirodan broj. Ako je a = b, onda je a – b = 0. Ako je a < b, onda a – b nije mogu}e odrediti u skupu N. • Kako postoje prirodni brojevi ~ija razlika nije prirodan broj, va`i naredna osobina. Ra~unska operacija oduzimawa nije uvek izvodqiva u skupovima N i N0. 4.
Dati su prirodni brojevi 324 168, 117 256 i 39 234. a) Zapi{i razlike ~ije je vrednosti mogu}e izra~unati i odredi wihove vrednosti.
–
46
–
–
b) Zapi{i razlike ~ija vrednost nije prirodan broj: ,
,
.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
9 | Sabirawe i oduzimawe – izrazi sa dve ili vi{e operacija Ako tri ili vi{e sabiraka zdru`imo na razli~ite na~ine, dobija se isti zbir.
1. Dati su brojevi 2 476, 13 285, 738, 36 462 i 8 057. a) Zbiru prva tri broja dodaj zbir preostala dva broja. Zapi{i izraz i izra~unaj. (
+
+
+
=
)+(
+
)=
=
b) Izra~unaj zbir datih brojeva.
Zbir datih brojeva iznosi
2. U tabeli je prikazano koliko tri radnika proizvedu olovaka po danima u toku jedne nedeqe (5 radnih dana). Izra~unaj zbirove po vrstama i po kolonama i popuni datu tabelu, a potom odgovori na postavqena pitawa: P
U
S
^
P
prvi
8 450
9 575
11 280
10 325
7 056
drugi
7 630
10 246
9 370
8 427
6 874
tre}i
9 768
9 593
11 450
8 328
7 465
svega
ukupno 1) Koliko je svaki radnik proizveo olovaka u toku nedeqe? prvi
drugi
tre}i
2) Koliko je olovaka proizvedeno po danima? • ponedeqak • ~etvrtak
• utorak
• sreda • petak
47
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
U izrazima sa dva ili vi{e oduzimawa zagradama ozna~avamo koje je oduzimawe prvo, a koje je drugo, odnosno moramo pisati (a – b) – c ili a – (b – c).
3.
Na farmi je 12 000 pili}a. Prvog dana je prodato 1 050 pili}a, drugog 2 385, tre}eg 1 548, ~etvrtog 975 i petog dana 1 125 pili}a. Koliko pili}a nije prodato? Zadatak mo`emo re{iti na dva na~ina. Prvi na~in: Ako postupno oduzimamo svaki umawilac (broj prodatih pili}a za jedan dan), mora}emo da pi{emo mnogo brojeva i zagrada. ((((12 000 – 1 050) – 2 385) – 1 548) – 975) – 1 125 = – 2 385) –
= (((
)–
–
= ((
)–
–
=(
) – 1 125 = ) – 1 125 =
) – 1 125 =
– 1 125 =
Drugi na~in: Izraz mo`emo kra}e zapisati tako {to }emo od 12 000 oduzeti zbir brojeva pili}a prodatih za pet dana. 12 000 – (1 050 + 2 385 + 1 548 + 975 + 1 125) = = 12 000 –
=
Ako u izrazu imamo vi{e sabirawa i oduzimawa, onda zagradama treba nazna~iti redosled tih operacija. 4.
Dati su brojevi 375 437, 76 258, 24 756, 8 243 i 5 765. Zapi{i odgovaraju}i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. a) Od razlike prva dva broja oduzmi zbir preostala tri broja. (375 437 – 76 258) – (24 756 + 8 243 + 5 765) = –
=
=
b) Od zbira prva tri broja oduzmi razliku preostala dva broja. (
+
+
48 =
–
=
)–(
–
)=
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
5. U prazan bazen se u toku prvog ~asa ulije 8 750 litara vode, a iz wega izlije 5 435 litara; drugog ~asa se ulije 7 286 litara, a izlije 6 838; tre}eg ~asa se ulije 5 785, a izlije 4 767 litara vode. Koliko ima litara vode u bazenu na kraju tre}eg ~asa? Zadatak uradi na dva na~ina. a) Postupno, sabiraju}i koli~ine vode koje su nakon svakog ~asa ostale u bazenu. ( =
– +
)+(
–
+
=
–
)+(
)=
b) Oduzimaju}i od ukupne koli~ine ulivene vode ukupnu koli~inu izlivene vode.
( =
+ –
+
)–(
+
+
)=
=
6. Tri ~lana doma}instva su zaposlena. Jedan od wih mese~no zara|uje 24 500 dinara, drugi 28 750, tre}i 45 620 dinara. Za otplatu kredita drugi mese~no daje 7 385 dinara, a tre}i 9 250 dinara. Napi{i izraz kojim se predstavqa prihod doma}instva nakon isplate rate kredita. Odredi vrednost predhodnog izraza.
Doma}instvu ostaje
dinara. 49
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
10 | Zavisnost zbira od promene sabiraka Popuni tabele i odgovori na postavqena pitawa. a
1
2
10
20
100
200
1 000
2 000
b
100
100
100
100
100
100
100
100
a+b Kako se mewao prvi sabirak? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Kako se mewao zbir? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
a
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
b
2 000
1 000
200
100
20
10
2
1
a+b Kako se mewao drugi sabirak? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Kako se mewao zbir? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Ako se sabirak pove}ava, onda se pove}ava i zbir.
Ako se sabirak smawuje, onda se smawuje i zbir.
• Ako u zbiru bilo koja dva prirodna broja a + b, jedan od sabiraka pove}amo za n, dobi}emo: a + (b + n) ili (a + n) + b. • Na osnovu zdru`ivawa i zamene mesta sabiraka, ta~ne su jednakosti a + (b + n) = (a + b) + n i (a + n) + b = (a + b) + n.
50
Ako se sabirak pove}a za neki broj n, onda se i zbir pove}a za taj isti broj n.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
Na sli~an na~in mo`emo zakqu~iti: Ako se sabirak smawi za neki broj n, onda se i zbir smawi za taj isti broj n.
Zavisnost zbira od promene sabiraka mo`emo prikazati i grafi~ki. a
b a
+
n n
b
aa a
+
a + (b + n) = (a + b) + n
b +b-n
n
a + (b – n) = (a + b) – n
(a + b) - n
1. Kako }e se promeniti zbir brojeva 202 303 i 55 066 ako a) prvi sabirak pove}amo za 1 707,
b) drugi sabirak pove}amo za 1 707,
v) drugi sabirak smawimo za 1 606?
2. Ako je a + b = 895 505, izra~unaj: a) (a + 4 495) + b =
;
b) a + (b – 5 550) =
.
51
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
3.
Ako je a + b = 203 405, kako }e se promeniti zbir ako: a) prvi sabirak pove}amo za 6 605, a drugi smawimo za 2 306? Primenimo pravila o promeni zbira u zavisnosti od promene sabiraka. (a + 6 605) + (b – 2 306) = a + b + 6 605 – 2 306 = (a + b) + 6 605 – 2 306 –
= 203 405 + –
= =
.
b) prvi sabirak pove}amo za 7 458, a drugi smawimo za 3 825?
(a + 7 458) + (b – 3 825 ) =
+
–
= =
4.
.
U skladi{tu je na jednom mestu 12 750 kg ugqa, a na drugom 9 360 kg. Ugaq treba utovariti u kamion i u prikolicu. Nosivost prikolice je 6 t. Kolika je ukupna masa ugqa i koliko je ugqa utovareno u kamion? .
Ukupna masa ugqa je: Kako je u prikolicu utovareno 6 000 kg ugqa, preostali ugaq utovari}emo u kamion i ta koli~ina se mo`e iskazati slede}im izrazom: 12 750 + (9 360 – 6 000) =
. (koristiti osobinu smawivawa sabirka)
52
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
11 | Stalnost zbira Da li }e se zbir a + b promeniti, ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n? • Zbir se zbog promene prvog sabirka pove}a za n. (a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n • Zbir se zbog promene drugog sabirka smawi za n. (a + n) + (b – n) = (a + b) + n – n • Kako je n – n = 0, zbir ostaje isti. (a + n) + (b – n) = a + b
Ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n, zbir se ne}e promeniti.
Prethodnu osobinu koju nazivamo stalnost (nepromenqivost) zbira mo`emo prikazati i grafi~ki na slede}i na~in: a
b a + n
(a + n) + (b – n) = a + b
b-n
1. Ako je a + b = 507 860, izra~unaj vrednost izraza. 1) (a + 47 365) + (b – 47 365) =
2) (a – 16 308) + (b + 16 308) =
2. Izra~unaj, koriste}i osobinu stalnosti zbira. 1) 29 987 + 76 453 = (29 987 + 13) + =
=
2) 37 856 + 299 875 = (37 856 – 125) + =
53 =
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
12 | Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca Zavisnost razlike od promene umawenika Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa. a
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
b
547
547
547
547
547
547
547
547
a–b Kako se mewao umawenik? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Kako se mewala razlika? Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
Ako se umawenik pove}ava, onda se pove}ava i razlika.
Neka je a > b. Zavisnost razlike a – b od pove}awa umawenika mo`emo prikazati grafi~ki. a
+
n
(a - b) + n
b
(a + n) - b
b
(a + n) – b = (a – b) + n Ako umawenik pove}amo za neki broj n, a umawilac ostane nepromewen, onda se i razlika pove}a za isti broj n.
1. Za koliko se promeni razlika brojeva 405 304 i 125 105 ako umawenik pove}amo za 94 700? Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa. a
2 000
1 900
1 800
1 700
1 600
1 500
1 400
1 300
b
547
547
547
547
547
547
547
547
a–b Kako se mewao umawenik? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
54
Kako se mewala razlika? Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
Ako se umawenik smawuje, onda se smawuje i razlika. Neka je a > b. Zavisnost razlike a – b od smawewa umawenika mo`emo prikazati grafi~ki. a n
(a - n) - b
b
(a - b) - n
n
b
(a – n) – b = (a – b) – n (n < a – b) Ako umawenik smawimo za neki broj n, a umawilac ostane nepromewen, onda se i razlika smawi za isti broj n.
2. Za koliko se promeni razlika brojeva 405 304 i 125 105 ako umawenik smawimo za 105 704? 3. Ako je a – b = 73 850, izra~unaj: 1) (a + 6 200) – b = (a – b) +
=
;
2) (a – 3 705) – b = (a – b) –
=
.
Zavisnost razlike od promene umawioca Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa. a
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
b
547
647
747
847
947
1 047
1 147
1 247
a–b Kako se mewao umawilac?
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Kako se mewala razlika? Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
Ako se umawilac pove}ava, razlika se smawuje.
Ako u razlici bilo koja dva prirodna broja a – b, a > b, umawilac b pove}amo za neki broj n, va`i naredno pravilo.
a – (b + n) = (a – b) – n (n < a – b) Ako umawilac pove}amo za neki broj n, a umawenik ostane nepromewen, onda se razlika smawi za isti broj n. 55
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
4. Ako je a – b = 450 740, izra~unaj vrednost datog izraza. a – (b + 170 250) = (a – b) –
=
Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa. a
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
b
1 638
1 538
1 438
1 338
1 238
1 138
1 038
938
a–b Kako se mewao umawilac? Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Kako se mewala razlika? Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
Ako se umawilac smawuje, razlika se pove}ava.
Ako u razlici bilo koja dva prirodna broja a – b, a > b, umawilac b smawimo za neki broj n, va`i naredno pravilo.
5.
a – (b – n) = (a – b) + n Ako umawilac smawimo za neki broj n, a umawenik ostane nepromewen, onda se razlika pove}a za isti broj n.
Ako je a – b = 450 740, izra~unaj vrednost datog izraza. a – (b – 150 380) = (a – b)
6.
Neka je a – b = 330 450. Kako }e se promeniti razlika a – b ako: a) umawenik pove}amo za 70 660, a umawilac pove}amo za 50 590? (a + 70 660) – ( b + 50 590) = (a – b) + 70 660 – 50 590 =
b) umawenik smawimo za 107 220, a umawilac pove}amo za 19 246?
56
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
13 | Stalnost razlike
2
1. Dati su brojeva a = 15 382 i b = 9 082. Odredi tra`ene vrednosti i dopuni re~enice tako da budu ta~ne. a) a – b = b) (a + 1 024) – (b + 1 024) = Umawenik i umawilac pove}ali smo za broj razlika se promenila.
i
Upi{i: jeste ili nije.
v) (a – 2 000) – (b – 2 000) = Umawenik i umawilac smawili smo za broj razlika se promenila.
i
Upi{i: jeste ili nije.
Da li }e se razlika a – b, a > b mewati, ako i umawenik i umawilac pove}amo (smawimo) za neki broj n? • Na osnovu osobina o promeni razlike u zavisnosti od promene umawenika ili umawioca, va`e naredna pravila. (a + n) – (b + n) = a – b
(a – n) – (b – n) = a – b
Ako i umawilac i umawenik pove}amo za neki broj n, razlika se ne}e promeniti.
Ako i umawilac i umawenik smawimo za neki broj n, razlika se ne}e promeniti.
2. Ako je a – b = 805 460, izra~unaj vrednost izraza. 1) (a + 14 506) – (b + 14 506) = 2) (a – 65 308) – (b – 65 308) = 3. Iskoristi osobinu stalnosti razlike i izra~unaj tra`ene vrednosti. 1) 204 732 – 5 987 = (
+
) – ( 5 987 + 13)
= 2) 306 453 – 19 875 = =
; – (19 875 + 125) .
57
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
14 | Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem Ako je a + b = c, onda je a = c – b i b = c – a. Jednakosti u kojima je barem jedna veli~ina nepoznata nazivaju se jedna~ine. Jedna~ine sa nepoznatim sabirkom Ako je nepoznat sabirak x u jedna~inama x + b = c ili a + x = c, onda je vrednost nepoznatog sabirka x = c – b ili x = c – a. Nepoznati sabirak dobijamo kada od zbira oduzmemo poznat sabirak.
1.
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati sabirak. 1) x + 765 = 2 850
x=
2) 1 345 + x = 6 020
x=
–
x=
–
x=
Jedna~ine sa nepoznatim umawenikom Ako je nepoznat umawenik x u jedna~ini
x–a=b
onda je
x = a + b.
Nepoznati umawenik dobijamo kada razliku saberemo sa umawiocem.
2.
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati umawenik. 1) x – 1 450 = 2 850
x= 58
x=
2) x – 2 345 = 5 720 +
x= x=
+
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
Jedna~ine sa nepoznatim umawiocem Ako je nepoznat umawilac x u jedna~ini a–x=b
onda je
x = a – b.
Nepoznati umawilac dobijamo kada od umawenika oduzmemo razliku. 3. Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati umawilac. 1) 5 450 – x = 2 850
x=
2) 8 345 – x = 5 725 –
–
x=
x=
x=
4. Re{i jedna~ine. 1) 7 467 + x = 12 385 x=
x=
2) x – 8 486 = 6 759 x=
3) 25 314 – x = 17 484 x=
x=
x=
5. Napi{i odgovaraju}e jedna~ine i re{i ih: 1) Ako broju 35 678 doda{ broj x koji sam zamislio, dobi}e{ najmawi {estocifreni broj. Koji sam broj zamislio? 2) Vagonom voza dopremqena je odre|ena koli~ina robe, ozna~ena sa x. U prvi kamion utovareno je 12 587 kg robe, a za drugi kamion je ostalo 16 855 kg. Koliko je robe dopremqeno vagonom? 3) Za izgradwu puta izme|u dva mesta obezbe|eno je 2 500 000 dinara. Kada je ispla}eno x dinara za prvu deonicu puta, za drugu je ostalo 958 650 dinara. Koliko je ispla}eno za prvu deonicu puta? (1)
+x=
(2)
(3)
6. Ako nepoznat broj pove}a{ za 99 999, dobi}e{ broj jednak zbiru najmaweg i najve}eg sedmocifrenog broja. Napi{i jedna~inu i odredi nepoznati broj. Jedna~ina: Re{ewe:
59
2
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
15 | Nejedna~ine sa sabirawem i oduzimawem Nejednakosti u kojima je barem jedna veli~ina nepoznata nazivaju se nejedna~ine. Sve vrednosti nepoznate veli~ine za koje je ta nejednakost ta~na ~ine skup re{ewa date nejedna~ine. Podseti se osnovnih nejedna~ina iz prethodnog razreda i na~ina prikazivawa skupa re{ewa na brojevnoj polupravoj. Re~ima zapi{i zna~ewe tih nejedna~ina. a) x < b: Skup svih prirodnih brojeva x koji su mawi od broja b. N 0
1
2
3
4
b-1 b
x ∈ {1, 2, ..., b - 1}.
b) x > a: N 0
1
a a+1
x ∈ {a + 1, a + 2, ... }. v) a < x < b: N 0
1
b-1
a a+1
b
x ∈ {a + 1, ..., b - 1}. Nejedna~ine sa nepoznatim sabirkom Ako je nepoznat sabirak x u nejedna~ini x+b
Re{i nejedna~ine i zapi{i re{ewa u skupu N. a) x + 999 999 > 1 000 000
60
Ako je nepoznat sabirak x u nejedna~ini x+b>c onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je x > c – b.
x∈{
b) x + 1 221 < 2 754
}
x∈{
}.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva
2
Nejedna~ine sa nepoznatim umawenikom Ako je nepoznat umawenik x u nejedna~ini x–a
Ako je nepoznat umawenik x u nejedna~ini x–a>b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je x > a + b.
2. Re{i nejedna~ine i zapi{i re{ewa u skupu N. 2) x – 12 120 < 1 105
1) x – 5 701 < 5 705
x∈{
};
x∈{
}.
Nejedna~ine sa nepoznatim umawiocem Ako je nepoznat umawilac x u nejedna~ini a–x
a – b.
Ako je nepoznat umawilac x u nejedna~ini a–x>b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je x < a – b.
3. Re{i nejedna~ine, zapi{i re{ewa u skupu N, nacrtaj brojevnu polupravu i grafi~ki predstavi skup re{ewa na woj: 1) 5 705 – x < 75
x∈{
2) 1 105 – x > 105 };
x∈{
}.
4. Brojevi nekog skupa imaju slede}u osobinu: Ako se od svakog od wih oduzme broj 1 100 dobija se skup brojeva koji su ve}i od 5 000. Odredi elemente polaznog skupa. Nejedna~ina: Re{ewe:
61
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
1 | Mno`ewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim brojem U tre}em razredu mno`ili smo trocifrene brojeve jednocifrenim, u slu~ajevima kada wihov proizvod nije ve}i od 1 000. 1. Podseti se i izra~unaj proizvod. 2) pismeno
1) usmeno
a) 3 9 6 · 2
a) 3 · 286 = 3 · 200 + 3 · 80 + 3 · 6 =
+
+
= b) 3 1 7 · 3
b) 2 · 457 = = v) 6 · 128 =
+ 6 · 28
v) 1 1 6 · 8 =
=
Na sli~an na~in mo`emo mno`iti bilo koji trocifren broj jednocifrenim brojem. Usmeno }emo mno`iti samo neke jednostavnije primere, u kojima nema prelaza preko svake dekadne jedinice. 2.
Izra~unaj usmenim mno`ewem, prema datim primerima. a) 3 · 700 = 3 · 7 S = 21 S = 2 100 8 · 600 = . . 00
5 · 900 = . . 00
7 · 600 =
4 · 800 =
6 · 600 =
9 · 700 =
b) 5 · 463 = 5 · (400 + 60 + 3) =
+
+
=
7 · 574 = 6 · 857 =
+ 6 · 57 =
=
9 · 476 =
62
Usmenim mno`ewem najpre mno`imo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
Na~in pismenog mno`ewa posmatrajmo na primeru mno`ewa brojeva 863 i 7. S
D
J
8
6
3
· 7 = 6 041
Kra}e zapisujemo 863 · 7 6 041
7 · 3 J = 21 J; pi{emo 1 J, 2 D pamtimo; 7 · 6 D = 42 D i sa 2 D koje smo zapamtili dobijamo 44 D, pi{emo 4 D i 4 S pamtimo; 7 · 8 S = 56 S i sa 4 S koje smo zapamtili je 60 S.
Pismenim mno`ewem najpre mno`imo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.
3.
Broj 468 pove}aj 8 puta.
4.
Izra~unaj proizvod. 485 · 6
537 · 8
735 · 5
648 · 9
5. U kompoziciji jednog voza je 576 sedi{ta. Koliko putnika mogu da prevezu ~etiri takve kompozicije?
6.
Izra~unaj proizvode. 1 215 · 7
2 037 · 3
7 735 · 5
3 648 · 9
Opi{i re~ima kako si mno`io i koliko si pamtio i prenosio dekadnih jedinica iz jedne u drugu kolonu, za prvi primer u ovom zadatku.
63
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
2 | Deqewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim brojem 1.
Izra~unaj koli~nik 2) pismeno.
1) usmeno;
a) 5 3 8 : 2 = a) 756 : 4 = (400 + 320 + 36) : 4 =
+
+
=
b) 852 : 3 = (600 + 240 +
b) 6 3 2 : 4 =
):3
= v) 655 : 5 =
v) 8 5 4 : 7 =
=
Usmeno }emo deliti samo neke jednostavnije primere, u kojima nema prelaza preko svake dekadne jedinice. 2. Podeli vi{estruke stotine. 1) 1 200 : 3 = 12 S : 3 = 4 S = 400
2) 5 400 : 6 =
3) 3 500 : 5 =
4) 5 600 : 7 =
3. Usmenim deqewem, kao {to je zapo~eto, odredi tra`ene koli~nike. 1) 1 280 : 4 = (1 200 + 80) : 4 =
+
2) 2 800 : 5 = (2 500 + 300) : 5 =
=
+
3) 5 526 : 6 = (5 400 +
+
):6=
4) 7 648 : 8 = (7 200 +
+
) :8=
= +
+
=
I pri usmenom i pri pismenom deqewu najpre delimo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice. 4. 64
Broj 736 umawi 4 puta.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
5.
3
Koji je broj 9 puta mawi od 6 642?
• Pismeno izra~unavawe koli~nika prikaza}emo na deqewu broja 5 808 sa 6. H 5 – 5
S 8 4 4 – 3
D 0 0 6 4 – 4
J 8
:6=
S 9
D 6
J 8
8 8 0
Pri ovom deqewu imali smo naredne korake. • 5 nije deqivo sa 6, te odmah delimo stotine; • 58 S podeqeno sa 6 je 9 S, 54 S (6 · 9 S) oduzimamo od 58 S i dobijamo 4 S kao razliku; • prepisujemo 0, 40 D podeqeno sa 6 je 6 D, oduzimamo 36 D (6 · 6 D) od 40 D i dobijamo 4 D;
Kra}e zapisujemo: 5 808 : 6 = 968 – 54 40 – 36 48 – 48 0
• prepisujemo 8, 48 J podeqeno sa 6 je 8 J i ostatak je 0. Crveno ozna~enim ciframa zapisivali smo rezultat. 6.
Izra~unaj koli~nik. 4 735 : 5 =
6 874 : 7 =
3 384 : 4 =
5 968 : 8 =
65
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3 | Veza mno`ewa i deqewa • Na slici je prikazano 15 kru`i}a raspore|enih u 3 vrste po 5 kru`i}a, odnosno u 5 kolona po 3 kru`i}a. 15 : 3 = 5 3 · 5 = 15
5 · 3 = 15
15 : 5 = 3
Na osnovu slike uo~avamo da su naredne ~etiri jednakosti ta~ne. 3 · 5 = 15 5 · 3 = 15 15 : 3 = 5 15 : 5 = 3 Ako je broj elemenata (kru`i}a) u jednoj vrsti bilo koji prirodan broj b, pri ~emu je a broj vrsta, b a·b=c
a
tada je a·b=c
c:b=a
c:a=b
Napisane jednakosti i wihovi ~lanovi su me|usobno povezani. prvi ~inilac
Ako je
drugi ~inilac a·b=c
proizvod
onda je c:a=b delilac deqenik 66
koli~nik
c:b=a koli~nik deqenik
delilac
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
1.
Na osnovu prethodnog grafi~kog prikaza dopuni re~enice i zapi{i odgovaraju}e ~lanove u jednakostima. a) Ako proizvod podelimo jednim ~iniocem, dobi}emo Ako je a · b = c, onda je c : a =
:b=
i
·
=
.
. .
v) Ako deqenik podelimo koli~nikom, dobi}emo Ako je c : b = a, onda je 2.
4.
.
=
Pomo}u brojeva 7, 485 i 3 395 i znaka · ili : napi{i ~etiri razli~ite, ta~ne jednakosti. · = ; · = ; :
3.
:
.
.
b) Kada delilac i koli~nik pomno`imo, dobi}emo Ako je c : a = b, onda je
3
=
:
;
=
.
Ta~nost izra~unavawa koli~nika proveri mno`ewem, a zatim zaokru`i jedan od ponu|enih odgovora, datih u zagradi. 1) 474 : 6 = 79,
·
=
( ta~no, neta~no )
2) 526 : 8 = 66,
·
=
( ta~no, neta~no )
Pomo}u brojeva 4, 672 i tre}eg broja i znaka · ili : napi{i ~etiri ta~ne jednakosti. Prvo re{ewe 4
·
672
Drugo re{ewe
=
;
·
=
;
:
=
:
=
672
:
4
=
;
:
=
;
;
·
=
;
.
·
=
.
(u plavo uokvirena poqa upi{i brojeve koji predstavqaju tre}i broj)
5.
Zami{qeni broj Petar je pomno`io sa 5 i dobio je proizvod 3 919. Pogre{io je i dobio je broj koji je za 4 ve}i od ta~nog proizvoda. Koji je broj Petar zamislio? Odgovor:
67
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
4 | Zamena mesta i zdru`ivawe ~inilaca Zamena mesta ~inilaca Za brojeve ~iji je proizvod mawi od 1 000 osobinu zamene mesta ~inilaca upoznao si u prethodnom razredu. Podseti se i dopi{i re~i koje nedostaju. Ako ~inioci uzajamno zamene mesta proizvod se
.
Neka su ~inioci a i b bilo koji prirodni brojevi. Neka je po a kru`i}a raspore|eno u b vrsta, odnosno po b kru`i}a u a kolona. 1
2
3
a
2 b·a b
a·b Na osnovu slike zakqu~ujemo da va`i naredna osobina. Ako ~inioci uzajamno zamene mesta proizvod se ne}e promeniti. a · b = b · a.
1. Odredi vrednost promenqive. a) 258 · b = 4 · 258 b=
b) 7 · 892 = a · 7
v) 12 · x = m · 12
x=
a=
2. Dopuni slede}e jednakosti, tako da budu ta~ne. 1) 1 258 · 5 = 5 · 68
2) 9 · 3 892 =
·
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
Zdru`ivawe ~inilaca Zdru`ivawe ~inilaca za proizvode do 1 000 upoznali smo ranije. Podseti se i dopi{i re~i koje nedostaju. Ako ~inioce zdru`imo na razli~ite na~ine, proizvod se
.
Isto va`i i kada su a, b i c bilo koji prirodni brojevi.
Ako ~inioce proizvoqno zdru`imo, proizvod se ne}e promeniti. (a · b) · c = a · (b · c)
3.
Izra~unaj proizvod na dva na~ina, kao {to je zapo~eto. (7 · 48) · 5 =
·
=
;
7 · (48 · 5) =
·
=
;
(4 · 76) · 8 =
·
=
;
4 · (76 · 8) =
·
=
;
(3 · 246) · 9 =
·
=
;
3 · (246 · 9) =
·
=
.
1) 7 · 48 · 5
2) 4 · 76 · 8
3) 3 · 246 · 9
4.
Odredi vrednost promenqivih a i x. 1) (36 · 6) · 8 = 36 · (a · 8) а=
2) 274 · (6 · x) = (274 · 6) · m
x=
69
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
5 | Mno`ewe zbira i razlike Mno`ewe zbira Osobinu mno`ewa zbira za proizvode do 1000 zna{ iz prethodnog razreda. 1. Izra~unaj na dva na~ina, prema zadatom primeru. 175 · 6 = 1)
(79 + 96) · 6 = 79 · 6 +
·
=
+
=
·8= 2) (479 + 296) · 8 = ·8+
·
=
+
=
(a + b) · c
• Neka su a, b i c bilo koja tri prirodna broja. Neka je po a i b kru`i}a raspore|eno u c vrsta, kao na slici.
1
1
2
3
.......a
1
2
3
.......b
1
2
1
2
3
.......a
1
2
3
.......b
2
3. .. . c
1
2
3
.......a
1
2
3
.......b
1
2
3
.......a
1
2
3
.......b
3. .. . c
a·c
+
b·c
(a + b) · c = a · c + b · c Zbir mo`emo mno`iti brojem tako {to tim brojem pomno`imo svaki sabirak i dobijene proizvode saberemo.
2. Jedna jabuka ko{ta 4 dinara. Koliko ko{taju jabuke koje se nalaze u tri korpe ako je u prvoj 76 jabuka, u drugoj 48, a u tre}oj 65 jabuka? Izra~unaj rezultat na dva na~ina, sa i bez kori{}ewa pravila o mno`ewu zbira.
70
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
Mno`ewe razlike 3. Izra~unaj na dva na~ina, prema zadatom primeru. 48 · 7 = 1)
(93 – 45) · 7 = 93 · 7 –
·
=
–
=
·5= 2) (734 – 286) · 5 = ·5–
·
=
–
=
• Razliku mo`emo prikazati i grafi~ki. a·c
1
1
2
3
....... a-b
1
2
3
.......b
1
2
1
2
3
....... a-b
1
2
3
.......b
2
3. .. . c
1
2
3
....... a-b
1
2
3
.......b
1
2
3
....... a-b
1
2
3
.......b
3. .. . c
(a – b) · c
b·c
(a – b) · c = a · c – b · c za a > b Razliku mo`emo mno`iti brojem tako {to tim brojem pomno`imo umawenik i umawilac, a zatim dobijene proizvode oduzmemo. 4. Mno`ewe zbira i razlike mo`emo koristiti kao olak{icu pri izra~unavawu proizvoda. 1) 497 · 8 = (500 – 3) · 8 = 2) 992 · 6 = (1 000 – 8) · 6 = 3) 705 · 7 = (700 + 5) · 7 = 5. U toku nedeqe (pet {kolskih dana) svakog dana {kolski autobus preveze 145 u~enika, od kojih je 78 devoj~ica. Koliko de~aka preveze autobus u toku tih pet dana? Re{i zadatak na dva na~ina. 71
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
6 | Deqewe zbira i razlike Deqewe zbira 1. Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto i uveri se da }e dobijene vrednosti biti jednake. 150 : 6 = a)
(54 + 96) : 6 = 54 : 6 + 96 : 6 =
+
=
:8= b) (472 + 304) : 8 = :8+
• Neka su a, b i c prirodni brojevi, pri ~emu je svaki od brojeva a i b deqiv sa c.
:
=
+
=
Kada zbir podelimo nekim brojem dobijamo isti rezultat kao kada sabirke podelimo tim brojem i dobijene koli~nike saberemo.
(a + b) : c = a : c + b : c Zbir mo`emo deliti brojem tako {to tim brojem podelimo svaki sabirak, a potom dobijene koli~nike saberemo. 2. Deqewe zbira mo`emo koristiti kao olak{icu pri izra~unavawima koli~nika. a) 480 : 8 = (400 + 80) : 8 = b) 942 : 3 = (900 + 30 + 12) : 3 = v) 372 : 6 = 3. U kuhiwi je za nedequ dana potro{eno 679 kg crvenog i 595 kg belog krompira. Svakog dana potro{ena je ista koli~ina i jednog i drugog. Koliko je dnevno tro{eno crvenog krompira, a koliko belog? Primewuju}i pravilo o deqewu zbira, odgovori koliko je ukupno krompira potro{eno? 72
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
Deqewe razlike 4. Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto i uveri se da }e dobijene vrednosti biti jednake. 75 : 5 = a) (120 – 45) : 5 =
120 : 5 – 45 : 5 =
–
=
:7= b) (805 – 294) : 7 =
:7–
• Neka su a, b i c, (a > b) tri prirodna broja, pri ~emu se svaki od brojeva a i b mo`e podeliti sa c.
:
=
–
=
Kada razliku podelimo nekim brojem dobijamo isti rezultat kao kada umawenik i umawilac podelimo tim brojem i dobijene koli~nike oduzmemo.
(a – b) : c = a : c – b : c za a > b Razliku mo`emo deliti brojem tako {to tim brojem podelimo umawenik i umawilac, a potom dobijene koli~nike oduzmemo.
awima koli~nika. 5. Deqewe razlike koristimo kao olak{icu pri izra~unavawima a) 597 : 3 = (600 – 3) : 3 = b) 693 : 7 = (700 – 7) : 7 = v) 888 : 3 = g) 776 : 8 =
6. Za 3 492 dinara kupqene su olovke i gumice za brisawe, po ceni od 12 dinara po komadu. Gumice su pla}ene ukupno 1 584 dinara. Koliko je kupqeno olovaka? 73
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
7 | Mno`ewe i deqewe dekadnom jedinicom • Posmatrajmo mno`ewe broja 36 nekim dekadnim jedinicama. 36 ·
10 = 36 · 1 D = 36 D = 360
36 · 100 = 36 · 10 · 10 = 360 · 10 = 3 600 • Broj smo pomno`ili sa 10 tako {to smo mu dopisali jednu nulu. • Broj smo pomno`ili sa 100 tako {to smo mu dopisali dve nule. Prirodan broj mno`imo dekadnom jedinicom tako {to mu dopi{emo onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica. 1. Odredi proizvod i dopuni re~enicu tako da bude ta~na. · · = · · a) 36 · 1 000 = 36 · Broj smo pomno`ili sa 1 000 tako {to smo mu dopisali
=
b) 36 · 1 000 000 = Broj smo pomno`ili sa milion tako {to smo mu dopisali • Na osnovu veze mno`ewa i deqewa mo`emo re}i: Ako je 36 · 10 = 360, onda je 360 : 10 = 36. Ako je 36 · 1 000 = 36 000, onda je 36 000 : 1 000 = 36. • Broj smo podelili sa 10 tako {to smo mu izbrisali jednu nulu. • Broj smo podelili sa 1 000, tako {to smo mu izbrisali tri nule. Prirodan broj delimo dekadnom jedinicom tako {to zdesna izostavimo onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.
Prirodan broj je deqiv dekadnom jedinicom ako se wegov zapis zavr{ava sa onoliko nula koliko nula ima ta dekadna jedinica. 2. Izra~unaj koli~nik.
74
1) 240 300 : 10 =
2) 83 000 000 : 100 000 =
3) 5 040 000 : 104 =
4) 270 000 000 : 106 =
. ; .
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
3. Izra~unaj vrednost izraza. 1) 730 · 100 : 10 = 2) (5 000 : 100) · 10 = 3) (64 000 000 : 104) · 100 = 4) 64 000 000 : (104 · 100) =
4.
Izra~unaj proizvod. 1) 138 · 1 000 =
3) 465 · 104 =
2) 2 058 · 100 000 =
4) 67 · 106 =
5. Prirodne brojeve 236, 350 000, 52 000, 1 640 000, 2 560, 17 300 razvrstaj u skupove, zapisuju}i ih od najmaweg ka najve}em. a) Brojevi deqivi sa 10 : {
}
b) Brojevi deqivi sa 100 : {
}
v) Brojevi deqivi sa 1 000 : {
}
g) Brojevi deqivi sa 10 000 : {
}
6. Kojim dekadnim jedinicama je deqiv zbir brojeva 58 460 i 41 540? Da li se na zbir prethodnih brojeva mo`e primeniti pravilo o deqewu zbira? Dati zbir deqiv je slede}im dekadnim jedinicama:
Svaki od sabiraka pojedina~no
deqiv svim gore nave-
Upi{i: nije ili jeste.
deqiv. Dakle,
denim dekadnim jedinicama, dok zbir
Upi{i: nije ili jeste.
pravilo o deqewu zbira
uvek primenqivo.
Upi{i: nije ili jeste.
75
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
8 | Mno`ewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim • Vi{ecifreni broj mno`i}emo jednocifrenim sli~no kao {to smo mno`ili trocifreni. Kada pomno`imo jedinice, desetice i stotine nastavimo da mno`imo cifre naredne klase (zdesna nalevo). • Na primeru mno`ewa brojeva 54 067 i 6 pokaza}emo postupak mno`ewa. KLASE Hiqade SH
Jedinice
DH
H
S
D
J
5
4
0
6
7
2
·
6
=
44
324 402
Kra}e zapisujemo 54 067 · 6 324 402
U mno`ewu prethodnih brojeva najpre smo pomno`ili klasu jedinica brojem 6, a zatim nastavqamo mno`ewem hiqada. • 6 · 4 H = 24 H; 4 H pi{emo, 2 DH pamtimo. • 6 · 5 DH = 30 DH i dodajemo zapam}ene 2 DH, pi{emo 32 DH. • Iznad rezultata, zapisivali smo one cifre koje smo prenosili u narednu kolonu, gledaju}i zdesna nalevo.
1. Mno`ewe brojeva 4 854 237 i 8 zapi{i u tabelu i izra~unaj proizvod. (strelicama nazna~i mno`ewa)
Milioni SM
DM
Hiqade M
SH
DH
Jedinice H
S
D
J ·8=
2.
Izra~unaj proizvod. 1) 58 435 · 7
76
2) 438 503 · 1
3) 375 087 · 8
4) 0 · 74 305
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
3. Odredi broj koji je ~etiri puta ve}i od broja 3 057 608.
4. Izra~unaj vrednost izraza. a) 1 · 2 074 · 5 =
b) 0 · 5 648 · 1 =
v) 8 · 53 706 · 0 =
5. Odredi broj koji je od proizvoda brojeva 86 457 i 3: a ve}i 4 puta; a)
b) ve}i 6 puta.
6. Svaki kombajn dnevno po`we 164 385 kg p{enice. Koliko po`we 8 kombajna za jedan dan?
7. Na farmi su koko{ke jednog meseca snele 36 850 jaja, a drugog meseca 41 735. Kolika je ukupna vrednost jaja, ako je svako jaje prodato za 5 dinara? ; . (Zadatak re{i na dva na~ina - primenom pravila o mno`ewu zbira i bez primene tog pravila.)
8. Skupqaju}i zrna p{enice, pti~ica je skupila pet gomila po 1 224 zrna i dve gomile po 2 743 zrna. Da li je sakupila dovoqno p{enice c za 180 d dana ako joj je dnevno potrebno 70 zrna? zrna.
Sakupila je
• Ako nije, odgovori koliko joj nedostaje,, a ako jeste, odgovori koliko zrna ima vi{ka. a. zrna. (upi{i: nedostaje ili ima vi{ka i koliko)
77
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
9 | Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim Vi{ecifreni broj delimo jednocifrenim kao {to smo delili trocifreni ili ~etvorocifreni. Najpre delimo dekadnu jedinicu najvi{eg reda. KLASE hiqade jedinice SH
DH
H
S
D
6 –6
2
3
2
2 –1
3 8 5 –4
2 8 4 –4
Kra}e zapisujemo:
J
2
:
6
=
10 387
2 2 0
62 322 : 6 = 10 387 –6 23 – 18 52 – 48 42 – 42 0
U deqewu prethodnih brojeva imamo slede}e korake: • 6 DH podeqeno sa 6 je 1 DH; oduzmemo 6 DH od 6 DH; • „spu{tamoß 2 H, 2 H podeqeno sa 6 je 0 H; • „spu{tamoß i 3 S, 23 S podeqeno sa 6 je 3 S, 18 S (6 · 3 S) oduzimamo od 23 S i dobijamo 5 S kao razliku; • „spu{tamoß 2 D, delimo 52 D sa 6 i dobijamo 8 D, 48 D (6 · 8 D) oduzimamo od 52 D i dobijamo 4 D; • „spu{tamoß 2 J, 42 J podeqeno sa 6 je 7 J i ostatak je 0. ˜Spustitiß cifru zna~i prepisati je iz polaznog broja koji delimo.
1. Odredi broj koji je ~etiri puta mawi od broja 3 702 548.
78
Rezultat:
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
2. Izra~unaj koli~nik. 1) 58 435 : 5 =
2) 438 354 : 9 =
3) 207 404 : 4 =
4) 4 725 584 : 8 =
3. Izra~unaj vrednost izraza. 1) (2 075 : 1) : 5
;
2) (5 648 : 8) : 1
;
3) (0 : 6) : 7
.
4. Odredi broj koji je od koli~nika brojeva 133 884 i 3: a) mawi 4 puta;
Rezultat:
b) mawi 6 puta.
Rezultat:
5. Na gomili se nalazi 11 664 zrna kukuruza. Znaju}i da fazan jede 4 puta dnevno po 9 zrna kukuruza, za koliko dana ima hrane?
Rezultat:
79
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
10 | Mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom • Podseti se pojma ˜vi{estruka dekadna jedinicaß i predstavi naredne vi{estruke dekadne jedinice kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice. 20 = 2 · 10 80 000 =
700 =
5 000 =
300 000 =
6 000 000 =
• Mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom pokaza}emo na primeru mno`ewa broja 4 358 i vi{estruke dekadne jedinice 700. 4 358 · 700 = 4 358 · (7 · 100) = (4 358 · 7) · 100 = · 100 =
700 = 7 · 100 zdru`ivawe ~inilaca mno`ewe jednocifrenim brojem mno`ewe dekadnom jedinicom 100
Broj mno`imo vi{estrukom dekadnom jedinicom tako {to ga pomno`imo jednocifrenim brojem koji odre|uje vi{estrukost te dekadne jedinice i dopi{emo onoliko nula koliko ih ta vi{estruka dekadna jedinica ima.
1.
2.
Izra~unaj proizvod, predstavqaju}i vi{estruku dekadnu jedinicu kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice, kao {to je nazna~eno. 1) 357 · 400 = . . . . 00
2) 7 854 · 6 000 =
3) 857 · 50 000 =
4) 6 728 · 700 000 =
Izra~unaj vrednost izraza. 1) 600 · 87 : 10 2) 8 000 · 4 238 : 100
3. U vre}e je pakovano po 48 kg krompira. Koliko krompira ima u 500 vre}a? Odgovor: 80
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
11 | Mno`ewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim • Odredimo proizvod ~etvorocifrenog broja 4 726 dvocifrenim 38. Primewuju}i osobinu mno`ewa zbira, imamo da je: Kra}e zapisujemo:
4 726 · 38 = 4 726 · (30 + 8)
4 726 · 38 37 808 + 141 780 179 588
= 4 726 · 30 + 4 726 · 8 = 141 780 + 37 808 = 179 588
• Na~in zapisivawa mno`ewa brojeva, kao u uokvirenom delu, nazivamo potpisivawem. Jedan ispod drugog zapisujemo rezultate dobijene mno`ewem sa jedinicama i sa deseticama, a zatim ih sabiramo. • Pri potpisivawu, cifru 0 koja se nalazi na kraju sabirka izostavqamo u zapisu i vodimo ra~una kako potpisujemo brojeve koje sabiramo.
Pazi kako potpisuje{. Jedinice ispod jedinica, desetice ispod desetica... 1. Izra~unaj proizvod. 1) 6 754 · 54
+
2.
2) 38 506 · 75
3) 56 857 · 68
+
+
4) 472 936 · 43
+
Cena jednog para patika je 2 750 dinara. Kolika je ukupna vrednost 28 takvih pari patika?
·
= 81
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3. Zbir brojeva 846 i 674 pomno`i brojem 46. Izra~unaj na dva na~ina. 1) ( =
·
2) ( = =
)·
+
= )·
+ ·
+
·
+
=
4. Jedan bicikl ko{ta 8 400 dinara. Za potrebe sekcije kupqeno je 14 novih bicikala. Koliko je ukupno pla}eno?
+
5. Name{taj za jednu sobu ko{ta 284 500 dinara. U hotelu je opremqeno 26 soba na isti na~in. Koliko je novca potro{eno?
+
6. Na jednom fakultetu zaposlena su 83 profesora sa visokim obrazovawem i 43 osobe sa sredwo{kolskim obrazovawem, u administraciji. Mese~na plata profesora je 64 500 dinara, a radnika u administraciji 28 750. Koliko je potrebno novca za a) jednu mese~nu platu svih radnika zajedno?
b) polugodi{wu isplatu zarada ({est plata) svim radnicima? 82
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
12 | Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim • Vi{ecifrene brojeve delimo dvocifrenim, naj~e{}e pismenim na~inom deqewa, na sli~an na~in kao {to smo delili trocifrene i ~etvorocifrene brojeve jednocifrenim brojevima. K L A S E Milioni SM
DM
Hiqade
Jedinice
M
SH
DH
H
S
D
J
1
2
8
9
7
0
2
–9
2
3
6
9
–3
6
8 1
7
0
–1
3
8
3
2
2
–3
2
2
:
46
=
28 037
0 U deqewu prethodnih brojeva imamo slede}e korake: • Po{to 1 M, kao i 12 SH ne mo`e da se podeli sa 46, odmah delimo 128 DH sa 46 • 128 DH delimo sa 46 i dobijamo 2 DH, 92 DH (46 · 2 DH) oduzimamo od 128 DX i dobijamo 36 DH kao razliku; • spu{tamo 9 JH, 369 JH podeqeno sa 46 je 8 JH, 368 JH (46 · 8 JH) oduzimamo od 369 JH i dobijamo 1 JH kao razliku; • spu{tamo 7 S, po{to 17 S ne mo`e da se podeli sa 46 pi{emo 0 S i spu{tamo jo{ i 0 D, 170 D podeqeno sa 46 je 3 D, 138 D (46 · 3 D) oduzimamo od 170 D i dobijamo 32 D; • spu{tamo 2 J, 322 J podeqeno sa 46 je 7 J, ostatak je 0.
Kra}e zapisujemo: 1 289702 : 46 = 28 037 – 92 369 – 368 170 – 138 322 – 322 0 83
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
1.
2.
Izra~unaj koli~nike. 1) 23 142 : 57 =
2) 167 310 : 65 =
3) 4 258 888 : 76 =
4) 22 156 912 : 92 =
Odredi broj koji je 84 puta mawi od broja 311 472. Rezultat:
3.
Izra~unaj vrednost izraza. (304 416 : 48) : 7 =
4.
Odredi broj koji je od koli~nika brojeva 11 664 i 9 mawi: a) 36 puta:
;
b) 54 puta:
.
5. Za isplatu mese~ne zarade 35 radnika potrebno je 1 006 250 dinara. Kolika je mese~na zarada jednog radnika? 84
Rezultat:
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
13 | Mno`ewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem • Vi{ecifrene brojeve mno`imo vi{ecifrenim naj~e{}e pismeno. • Mno`imo ih tako {to jedan ~inilac pomno`imo vi{estrukim dekadnim jedinicama drugog ~inioca i dobijene proizvode saberemo, vode}i ra~una o potpisivawu. Posmatrajmo mno`ewe brojeva 7 384 i 458 i primenimo postupak potpisivawa, od ranije. 7 384 · 458
mno`ewe brojeva 7 384 i 458
59072
mno`imo sa 8 J
36920
mno`imo sa 5 D
+ 29536 3381872 1.
mno`imo sa 4 S
Izra~unaj proizvod. v) 72 594 · 7 806 b) 284 346 · 537
+
+
2. Izra~unaj, primewuj}i mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom.
a) 83 756 · 390 0
b) 54 975 · 5 700 00
+
+ 0
00
Obrati pa`wu! Ako mno`i{ brojem koji se zavr{ava nulama, nije potrebno da mno`i{ nulama. Dovoqno je da ih dopi{e{ u kona~nom rezultatu.
85
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3.
Pekara svakog dana proizvede 2 750 vekni hleba. a) Koliko vekni proizvede za godinu dana (365 dana)?
b) Cena vekne je 54 dinara. Kolika je godi{wa vrednost proizvedenog hleba?
v) Kolika je masa proizvedenog hleba godi{we, ako je masa vekne 600 grama? (Izrazi rezultat u kilogramima.)
4.
Du`ina kru`ne biciklisti~ke staze je 375 m. Biciklista svakog dana na treningu vozi 256 krugova. a) Koliko kilometara pre|e dnevno? Rezultat: b) Koliko pre|e u toku 18 dana? Rezultat:
5.
Fabrika obu}e je proizvela 1 580 pari `enskih i 2 350 pari mu{kih cipela. Cena para `enskih cipela je 2 670 dinara, a mu{kih 2 110 dinara. Da li je vi{e novca dobijeno prodajom mu{ke ili `enske obu}e?
Vi{e novca je dobijeno od prodaje obu}e i ta razlika iznosi dinara. 86
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
14 | Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem • Kao {to smo vi{ecifrene brojeve delili dvocifrenim, sli~no delimo vi{ecifreni broj vi{ecifrenim brojem.
1 773 695 : 385 = 4 607 – 1 540 233 6 – 231 0 2 695 2 695 0
• 1 773 podeqeno sa 385 je 4 i ostatak je 233, „spu{tamoß 6 pored ostatka 233; • 2 336 podeqeno sa 385 je 6 i ostatak je 26, „spu{tamoß 9 pored ostatka 26; • 269 podeqeno sa 385 je 0 i ostatak je 269, „spu{tamoß 5 pored ostatka 269; • 2 695 podeqeno sa 385 je 7 i ostatak je 0.
• Na osnovu veze mno`ewa i deqewa mo`emo proveriti ta~nost koli~nika. 4 607 · 385 = 1 773 695 1. Primewuju}i prethodni postupak, odredi koli~nik datih brojeva i izvr{i proveru. Plavim ta~kicama ozna~en je broj cifara koje treba da upi{e{.
36 942 724 : 5 486 = 6 7 . . – 32 916
• Re~ima objasni postupak deqewa ovih brojeva. 36 942 podeqeno sa 5 486 je 6 i ostaje
. ...7 – . ... . ... .2 –... . . .. ..4 – 21 944 0
. Provera:
Kada deli{, koli~nik treba da bude broj koji se u proizvodu sa deliocem najve}i broj puta sadr`i u deqeniku. Ostatak uvek mora da bude mawi od delioca!
5 486 ·
+
87
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
2. Izra~unaj koli~nik brojeva. a) 1 988 932 : 748 =
b) 11 327 342 : 4 706 =
3. Koriste}i deqewe vi{ecifrenog broja dekadnom jedinicom, izra~unaj: a) 997 200 : 360 = 997 200 : (10 · 36) = (997 200 : 10) : 36 = 99 720 : 36 = b) 4 964 000 : 6 800 = = = = 4. U toku meseca 135 prodavnica imalo je jednak promet robe ~ija je ukupna vrednost 383 818 500 dinara. a) Koliki je mese~ni promet jedne prodavnice? Postavka zadatka:
b) Koliki je dnevni promet robe u jednoj prodavnici: 1) ako mesec ima 25 radnih dana; Postavka zadatka: 2) ako prodavnica radi 30 dana u mesecu? Postavka zadatka: 88
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
15 | Izvodqivost mno`ewa i deqewa u skupu N • Proizvod bilo koja dva prirodna broja a i b mo`emo prikazati kao zbir a sabiraka, od kojih je svaki jednak broju b, odnosno a ּ b = b + b + ... + b. a sabiraka
• Po{to je operacija sabirawa izvodqiva u skupu prirodnih brojeva, tada (b + b + b + . . . + b) ∈ N, odakle zakqu~ujemo da je a · b ∈ N. Dakle, proizvod dva prirodna broja je prirodan broj. Operacija mno`ewa izvodqiva je u skupu N.
• Da li je koli~nik bilo koja dva prirodna broja uvek prirodan broj? Da li se broj 45 mo`e podeliti sa 6? Navedeni su proizvodi brojeva do 10, sa brojem 6. Zbog veze operacija mno`ewa i deqewa, brojevi iz doweg reda mogu se podeliti sa 6. ·6
1 6
2 12
3 18
4 24
5 30
6 36
7 42
8 48
9 54
10 60
Prvi mawi broj od 45 koji se mo`e podeliti sa 6 je 42, a prvi ve}i broj od 45 koji se mo`e podeliti sa 6 je 48. Dakle svi brojevi iz skupa { 43, 44, 45, 46, 47 } ne mogu se podeliti sa 6. Operacija deqewa nije uvek izvodqiva u skupu N. • Uo~imo da brojevi iz skupa { 43, 44, 45, 46, 47 } pri deqewu sa 6 redom daju ostatke 1, 2, 3, 4 i 5. Dakle, ostatak je mawi od delioca. Ako su prirodni brojevi a i b deqenik i delilac, k koli~nik deqewa i r ostatak deqewa, onda je ta~na jednakost a = b · k + r, pri ~emu je ostatak r ∈ { 0, 1, 2, . . . , b – 1 }. Ako je r = 0, onda je a = b · k i a : b = k, odnosno a je deqiv brojem b.
1.
Odredi koli~nik i ostatak deqewa. a) 756 : 48 = b) 72 408 : 563 =
i ostaje i ostaje
89
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
16 | Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca Kada u proizvodu bilo koja dva prirodna broja a i b jedan od ~inilaca pove}amo n puta, dobijamo a · (b · n) ili (a · n) · b. Na osnovu osobina zdru`ivawa i zamene mesta ~inilaca va`i tvr|ewe. Ako jedan od ~inilaca pove}amo n puta, a drugi ~inilac se ne mewa, i proizvod }e se pove}ati n puta. a · (b · n) = (a · b) · n i (a · n) · b = (a · b) · n Ako imamo proizvod dva prirodna broja, pa jedan od ~inilaca smawimo n puta, postavqa se pitawe: Da li }e se i proizvod smawiti n puta? 1. Izra~unaj i uporedi dobijene rezultate. a) 72 · (12 : 2) =
(72 · 12) : 2 =
b) (72 : 3) · 12 =
(72 · 12) : 3 =
Ako jedan od ~inilaca smawimo n puta, a drugi ~inilac se ne mewa, i proizvod }e se smawiti n puta. a · (b : n) = (a · b) : n i (a : n) · b = (a · b) : n
Ako imamo proizvod dva prirodna broja a i b i ako jedan ~inilac pomno`imo, a drugi podelimo istim brojem n, bi}e (a · n) · (b : n) = a · (b : n) · n = (a · b) · n : n = (a · b) · 1 =a·b
zbog pove}awa prvog ~inioca zbog smawewa drugog ~inioca jer je n : n = 1 proizvod se nije promenio.
Prethodno uo~enu osobinu nazivamo stalnost proizvoda.
90
Proizvod se ne mewa ako jedan ~inilac pomno`imo, a drugi podelimo istim brojem.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
17 | Izra~unavawe nepoznatog ~inioca Ako je a · b = c, onda je c : a = b i c : b = a.
Izra~unavawe nepoznatog ~inioca Ako je u jednakosti nepoznat ~inilac, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim ~iniocem. x·b=c ili a · x = c. Tada je x=c:b ili x = c : a. Nepoznati ~inilac izra~unavamo deqewem proizvoda sa drugim ~iniocem.
1.
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati ~inilac prema zadatom primeru. 1) 34 · x = 6 290
2.
2) x · 58 = 21 112
3) x · 287 = 27 265
x = 6 290 : 34
x=
x=
x = 185
x=
x=
Ako nepoznat broj x pove}amo 17 puta, dobi}emo 6 562. Napi{i jedna~inu i odredi nepoznat broj. Postavka zadatka:
Rezultat:
91
3
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
18 | Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca Izra~unavawe nepoznatog deqenika Ako je u jednakosti nepoznat deqenik, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim deqenikom x : a = b. Tada je nepoznati deqenik x=a·b Nepoznati deqenik dobijamo tako {to koli~nik pomno`imo sa deliocem.
1.
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati deqenik. 1) x : 8 = 4 376
2) x : 63 = 2 307
3) x : 465 = 5 738
x = 4 376 · 8
x = _______________
x = _______________
x = 35 008
x = _____________
x = _____________
Izra~unavawe nepoznatog delioca Ako je u jednakosti nepoznat delilac, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim deliocem c : x = b. tada je nepoznati delilac x = c : b. Nepoznati delilac dobijamo tako {to deqenik podelimo sa koli~nikom.
2.
92
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati delilac. 1) 17 345 : x = 5
2) 31 668 : x = 87
3) 125 856 : x = 276
x = _______________
x = _______________
x = _______________
x = _____________
x = _____________
x = _____________
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva
3
19 | Jedna~ine sa mno`ewem i deqewem Jedna~ine u kojima je nepoznat ~inilac, deqenik ili delilac nazivamo jedna~ine sa mno`ewem ili deqewem. 1.
Re{i jedna~ine. 1) 75 · x = 28 875 x = _______________ x = _____________
2) x : 284 = 38 x = _______________ x = _____________
3) 26 391 : x = 463 x = _______________ x = _____________
2. [est puta mawi broj od zami{qenog broja x jednak je broju koji je osam puta mawi od broja 2 000. Koji broj je zami{qen? Postavka: ____________________________ Rezultat: ___________________
3. Koliko puta treba smawiti broj 2 003 400 da bi se dobio broj koji je 84 puta ve}i od 318? Postavka: _________________ Rezultat: ___________________ 4. Koliko puta treba da smawi{ broj 37 037 da bi dobio najmawi broj druge hiqade? Postavka: ____________________________ Rezultat: ___________________
5. Koli~nik broja 216 410 i nepoznatog broja x jednak je proizvodu brojeva 67 i 85. Odredi nepoznat broj. Postavka: ____________________________ Rezultat: ___________________
93
4
Merewe povr{i i jedinice mere
1 | Povr{. Upore|ivawe i merewe povr{i Na slici su razli~ite geometrijske figure. Ispod svake figure zapi{i wen naziv i povr{ svake oboj drugom bojom.
Na kvadratnoj mre`i su dva kvadrata, ABCD i EFGH.
D
C
A
B
H
G
E
F
k
• Da bismo precizno uporedili povr{ine kvadrata ABCD i EFGH, odredimo koliko puta se mawi kvadrat k sadr`i u svakom od wih. • Kvadrat k nazivamo jedinicom mere, po{to merimo koliko puta se on sadr`i u svakoj od datih geometrijskih figura ABCD i EFGH.
94
• Prebrojavawem utvr|ujemo da se kvadrat k sadr`i 16 puta u kvadratu ABCD, a 25 puta u kvadratu EFGH.
Merewe povr{i i jedinice mere
4
Meru povr{i nazivamo povr{ina povr{i i ozna~avamo je slovom P, a izra`avamo je brojem jedinica mere koje se u toj povr{i sadr`e. Broj jedinica mere koje odre|uju povr{inu nazivamo merni broj.
МЕРНИ БРОЈ ПОВРШИНЕ
• Povr{ina kvadrata ABCD iznosi P = 16 k (~itamo: povr{ina P je (jednaka je) 16 povr{ina kvadrata k), a povr{ina kvadrata EFGH iznosi P = 25 k. • Kako je 16 < 25 zakqu~ujemo da je povr{ina kvadrata ABCD mawa od povr{ine kvadrata EFGH.
P = 25 k ПОВРШИНА ПОВРШИ
ЈЕДИНИЦА МЕРЕ
1. Prikazana su dva podudarna pravougaonika, P1 i P2. Povr{ pravougaonika P1 izmeri jedinicom mere kvadrati}em k, a P2 jedinicom mere pravougaonikom p. p
k P1
P2
P1 = ____ k ;
P2 = ____ p .
• Jedinicu mere mo`emo izabrati na razli~ite na~ine, ali je pogodno da ima pravilan oblik tako da je wome mogu}e precizno izmeriti povr{inu. • Za razli~ite jedinice mere, za istu povr{ dobijamo razli~ite merne brojeve wihovih povr{ina. Merni broj povr{ine zavisi od izbora jedinice mere. • Na navedeni na~in mogu se meriti povr{ine povr{i koje su pravilnih oblika, jer ih mo`emo podeliti na vi{e mawih povr{i koje poznaje{. • Na slicu su prikazane dve figure ~ije je povr{ine te{ko me|usobno uporediti, po{to oblici ovih figura nisu pravilni. F1
F2 95
4
Merewe povr{i i jedinice mere
• Postoje na~ini odre|ivawa povr{ine slo`enijih figura o kojima }e{ u~iti u starijim razredima. ^ak i ti slo`eniji metodi bi}e zasnovani na ideji podele povr{i na mawe jedinice mere. 2. Izmeri povr{i pravougaonika nacrtanih na kvadratnoj mre`i, ozna~enih sa P1 i P2, jedinicama mere k, t i p. k
p
t
P2
P1
P1 =
k=
t=
p;
P2 =
k=
t=
p;
3. Na narednoj slici zadate su dve jedinice mere, ozna~ene sa o1 i o2. Na kvadratnoj mre`i nacrtaj: a) dve figure razli~itog oblika, tako da je wihova povr{ina P = 25 o1; b) jednu povr{ tako da je wena povr{ina P = 5 o2. o1
96
o2
Merewe povr{i i jedinice mere
4
2 | Jedinice mere za povr{inu • Videli smo da za razli~ite jedinice mere dobijamo razli~ite merne brojeve povr{ine iste povr{i. Da ne bi dolazilo do nesporazuma, dogovorom je izgra|en sistem jedinica mera za povr{inu, koji se naziva metarski sistem. Osnovna jedinica mere za povr{inu je povr{ kvadrata ~ija je stranica du`ine 1 m i naziva se kvadratni metar, a ozna~ava sa m2.
• Navodimo jedinice mere za povr{inu, mawe od 1 m2. • 1 m2 podelimo na 100 podudarnih mawih kvadrata, tako {to stranice kvadrata podelimo na 10 jednakih delova i napravimo wegovu kvadratnu mre`u. Tako dobijen mawi kvadrat ima povr{inu 1 dm2 i nazivamo ga kvadratni decimetar. • Podelom kvadratnog decimetra na 100 podudarnih kvadrata dobijamo kvadratni centimetar ~ija je povr{ina 1 cm2. • Podelom kvadratnog centimetra na 100 podudarnih kvadrata dobijamo kvadratni milimetar ~ija je povr{ina 1 mm2. • Na slici su predstavqeni 1 dm2 i wegova podela na kvadratne centimetre i 1 cm2 i wegova podela na kvadratne milimetre.
1 dm2 1 dm2 = 100 cm2
Podelom 1 dm2 na 100 jednakih kvadrata dobijamo 1 cm2. Podelom 1 cm2 na 100 jednakih kvadrata dobijamo 1 mm2.
1 cm2 = 100 mm2 97
4
Merewe povr{i i jedinice mere
• Navodimo odnose veli~ina uvedenih jedinica mere povr{ine. 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1 cm2 = 100 mm2
1 m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2 1 dm2 = 102 cm2 = 104 mm2 1 cm2 = 102 mm2
• Povr{ina se izra`ava jednoimenim ili vi{eimenim brojem. m • Neka je povr{ina odre|ena vi{eimenim brojem 7 m2 20 dm2 64 cm2 57 mm2. Kako je svaka jedinica mere (gledaju}i sleva nadesno) 100 puta ve}a od naredne, tu povr{inu izra`avamo jednoimenim brojem, najmawom od jedinica mere koja se pojavquje u vi{eimenom broju, sa 7 206 457 mm2. • Povr{inu izra`enu jednoimenim brojem izra`avamo vi{eimenim brojem na slede}i na~in 7 206 457 mm2 = 7 m2 20 dm2 64 cm2 57 mm2. 1. Izrazi kvadratnim centimetrima. a) 25 dm2 =
cm2
b) 32 m2 =
cm2
2. Izrazi kvadratnim milimetrima. a) 64 cm2 =
b) 48 dm2 =
mm2
mm2
3. Vi{eimeni broj izrazi jednoimenim, najmawom jedinicom mere. a)
5 cm2 36 mm2 =
mm2
b)
27 dm2 8 cm2 45 mm2 =
mm2
v) 4.
98
8 m2 52 dm2 75 cm2
=
cm2
Izrazi vi{eimenim brojem. a) 4 052 740 mm2 =
m2
dm2
cm2
mm2
b) 27 505 008 mm2 =
m2
dm2
cm2
mm2
v) 65 002 030 mm2 =
m2
cm2
mm2
Merewe povr{i i jedinice mere
3 | Jedinice mere za povr{inu ve}e od kvadratnog metra
4
Za merewe povr{ine velikih povr{i, koristimo jedinice mere ve}e od kvadratnog metra. Zamisli da povr{inu mesta u kome `ivi{ treba da izmeri{ kvadratnim metrom koji je, kao {to ti je poznato, ne{to ve}i od tvoje {kolske klupe. Takvo merewe bi dugo trajalo i bilo bi veoma mukotrpno. Da bismo merewe velikih povr{i lak{e obavqali i povr{inu tih povr{i mogli da izrazimo mawim mernim brojevima, uvodimo slede}e jedinice mere za povr{inu: Ar je kvadrat stranice 10 m i ozna~avamo ga sa 1 a. Hektar je kvadrat stranice 100 m i ozna~avamo ga sa 1 ha. Kvadratni kilometar je kvadrat stranice 1 000 m, u oznaci 1 km2.
• Navodimo odnose me|u jedinicama mere ve}im od 1 m2. 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 ha = 100 a = 10 000 m2 1a = 100 m2 1.
Izrazi arima. 5 ha =
a
2) 3 km2 =
a
3) 73 ha =
a
4) 45 km2 =
a
1)
2.
3.
Povr{ine dvori{ta naj~e{}e se mere arima.
Izrazi kvadratnim metrima. 1) 6 a =
m2
2)
4 ha =
m2
3) 25 a =
m2
4) 68 ha =
m2
Vi{eimeni broj izrazi jednoimenim. a)
8 a 35 m2 =
m2
b)
42 ha 6 a 50 m2 =
m2
v) 2 km2 75 ha 35 a 7 m2 =
m2
Povr{ina teritorije koju zauzima dr`ava Srbija je 88 361 km2.
99
4
Merewe povr{i i jedinice mere
4 | Ra~unawe sa jedinicama mere za povr{inu • Ako su sabirci vi{eimeni brojevi, sabiramo brojeve uz odgovaraju}e jedinice mere ili sabirke najpre izrazimo jednoimenim brojem. sabirawe vi{eimenih brojeva 1
sabirawe jednoimenih brojeva
1
18 m2 + 56 m2 = 75 m2
45 dm2 6 cm2
78 mm2
18 450 678 mm2
68 dm2
85 mm2
+ 56 680 085 mm2
1 13
dm2 7 cm2
1 63
= 75 130 763 mm2
mm2
= 75 m2 13 dm2 7 cm2 63 mm2 Pri ra~unawima sa mernim brojevima najboqe je da ih izrazi{ jednoimenim brojem. 1. Izra~unaj zbir. vi{eimeni zapis
jednoimeni zapis
23 km2
75 ha
38 a
96 m2
+ 54 km2
56 ha
37 a
57 m2
m2 +
m2
=
m2
• Sli~no oduzimamo vi{eimene brojeve, na primer: oduzimawe vi{eimenih brojeva 72 km2
1
45 ha
– 56 km2
68 ha
= 15 km2
77 ha
6a 5a
1 78
oduzimawe jednoimenih brojeva
m2
72 450 678 m2
85 m2
– 56 680 085 m2
93 m2
= 15 770 593 m2 = 15 km2 77 ha 5 a 93 m2
2. Izra~unaj razliku. vi{eimeni zapis
100
jednoimeni zapis
43 m2
25 dm2
34 cm2 96 mm2
– 28 m2
56 dm2
79 cm2 56 mm2
mm2 –
mm2
=
mm2
Merewe povr{i i jedinice mere
4
• Pri izra~unavawu proizvoda vi{eimenog broja i prirodnog broja najpre vi{eimeni izrazimo jednoimenim brojem. Posmatrajmo primer: 18 m2 5 dm2 4 cm2 6 mm2 · 74 = 18 050 406 mm2 · 74 72 201 624 mm2 1 263 528 42 1 335 730 044 mm2 =13 a 35 m2 73 dm2 0 cm2 44 mm2
3. Izra~unaj proizvod vi{eimenog broja 7 km2 27 ha 4 a 45 m2 i broja 28.
Rezultat:
km2
ha
a
m2
• Pri izra~unavawu koli~nika vi{eimenog broja i prirodnog broja, vi{eimeni deqenik najpre izrazimo jednoimenim brojem. Na primer: 75 km2 6 ha 44 a 05 m2 : 47 =
4.
75 064 405 m2 : 47 = 1 597 115 m2 – 47 = 1 km2 59 ha 71 a 15 m2 28 0 – 23 5 4 56 – 4 23 33 ...
Izra~unaj koli~nik vi{eimenog broja 467 m2 35 dm2 6 cm2 32 mm2 i 56.
Rezultat:
m2
dm2
cm2
mm2
101
4
Merewe povr{i i jedinice mere
5 | Izra~unavawe povr{ine pravougaonika i kvadrata Ako je du`ina pravougaonika a jedinica mere, a {irina pravougaonika b jedinica mere, tada je obim pravougaonika O = 2 · (a + b). Ako je stranica kvadrata a jedinica mere, tada je obim kvadrata O = 4 · a.
• Da bismo odredili povr{inu P pravougaonika sa slike, izdelili smo ga na kvadrate k, kao {to je predstavqeno.
k P
• Povr{inu pravougaonika P mo`emo odrediti na slede}i na~in: izbrojati broj vrsta i pomno`iti sa brojem kvadrata k u vrsti, odakle sledi da je P = 3 · 5 k, ili izbrojati broj kolona i pomno`iti sa brojem kvadrata k u koloni, odakle sledi da je P = 5 · 3 k. U oba slu~aja dobijamo da je povr{ina datog pravougaonika P = 15 k. • Stranica kvadrata k je du`ine 1 cm, odnosno, kvadrat k predstavqa 1 cm2, odakle sledi da je povr{ina P pravougaonika sa slike P = 15 cm2. • U svakoj vrsti imamo 5, a u svakoj koloni 3 kvadrata k, stranica du`ine 1 cm, te sledi da je du`ina pravougaonika 5 cm, a {irina 3 cm. Zakqu~ujemo da je merni broj povr{ine pravougaonika jednak proizvodu mernih brojeva wegove du`ine i {irine.
• Ako du`ina ili {irina pravougaonika nisu merqive jedinicom 1 cm, ali se mogu izmeriti jedinicom 1 mm, tada za stranicu kvadrati}a k1 uzimamo 1 mm, kao u narednom primeru.
P2 = 45 mm · 25 mm P2 = 1 125 mm2
102
Merewe povr{i i jedinice mere
Ako je du`ina pravougaonika a, a {irina b pri ~emu su du`ina i {irina izra`ene istom jedinicom mere, wegova povr{ina je P = a · b.
P=a·b
4
b
a
Znamo da je kvadrat figura ~ija je {irina jednaka du`ini, te imamo:
Ako je du`ina stranice kvadrata jednaka a, wegova povr{ina je P = a · a.
P=a·a
a
a
1.
Nacrtaj pravougaonik ~ija je du`ina a = 35 mm, a {irina b = 25 mm i izra~unaj wegovu povr{inu. P= .
2. Izra~unaj povr{inu pravougaonika, ako su date wegova du`ina a i {irina b. 1) a = 18 cm, b = 43 cm; P=
2) a = 385 m, b = 67 m;
3) a = 436 dm, b = 45 dm.
P=
P=
3. Izra~unaj povr{inu kvadrata, ako je data wegova stranica a. 1) a = 45 m P=
2) a = 736 cm P=
103
4
Merewe povr{i i jedinice mere
Ako su du`ina i {irina izra`ene razli~itim jedinicama mere, onda ih najpre izrazimo istom jedinicom. 4. Izra~unaj povr{inu pravougaonika, ako su date wegova du`ina a i {irina b. 1) a = 57 m, b = 65 dm P= = 2) a = 2 km, b = 84 m P= = 5. Povr{inu wive oblika pravougaonika izrazi arima, ako je du`ina a = 175 m, a {irina b = 64 m. P= = 6. Izra~unaj drugu stranicu i obim pravougaonika povr{ine P = 3 588 m2 i jedne stranice b = 46 dm. a=
(postavi izraz)
= O= = 7. Izra~unaj stranicu i povr{inu kvadrata, ako je wegov obim O = 736 cm. a= = P= 104
=
(postavi izraz)
Merewe povr{i i jedinice mere
4
8. Izra~unaj drugu stranicu i povr{inu pravougaonika, ako wegov obim O = 302 cm, a jedna stranica a = 94 cm. b=
(postavi izraz)
= P= = 9. Izra~unaj povr{inu figura na slici, wihovom podelom na pravougaonike i kvadrate i dopuni re~enice tako da budu ta~ne. Jedinica mere za du`inu je 1 cm. 4 a) 3
2 1
3 5
P
Figura je podeqena na
pravougaonika i
kvadrat(a). =
Povr{ina je P =
.
(napi{i izraz)
2
b)
4
2 2
2
3 2 1 4
1
Figura je podeqena na
pravougaonika i
Povr{ina je P =
(napi{i izraz)
kvadrata. =
.
105
5
Izrazi
1 | Matemati~ki izrazi Brojeve i slova koja ozna~avaju promenqive veli~ine povezane matemati~kim operacijama i zagradama koje ozna~avaju redosled operacija, ili samo brojeve ili samo slova nazivamo matemati~kim izrazima. Ukoliko u izrazima ne u~estvuju promenqive veli~ine nazivamo ih brojevni matemati~ki izrazi, a ukoliko u~estvuju i promenqive veli~ine nazivamo ih matemati~ki izrazi sa promenqivim veli~inama.
1. Za brojeve 9 472 i 37 zapi{i tra`eni izraz i izra~unaj wegovu vrednost. a) zbir datih brojeva b) koli~nik datih brojeva
+
=
:
=
Ako se u izrazu primewuje samo jedna ra~unska operacija takav izraz nazivamo jednostavnim izrazom. Ako ima vi{e ra~unskih operacija ka`emo da je izraz slo`en.
Kada u matemati~kom izrazu postoje zagrade prvo izvr{avamo operacije unutar zagrada. Zagrade koristimo kada `elimo druga~iji redosled operacija od onog koji je pravilima izvr{avawa operacija utvr|en. 2. Odaberi tri proizvoqna broja (po jedan: dvocifren, trocifren i ~etvorocifren, redom) i rasporedi ih u osen~ena poqa od najmaweg ka najve}em. Izra~unaj vrednosti tako dobijenih izraza i odgovori na pitawe: Koji od dobijenih izraza je jednostavan, koji je slo`en, a koji je sa promenqivom veli~inom? Upi{i odabrane brojeve: 1) 2) ( 3) x + 106
–
, =
–
)· =
= ; x=
i
. {
}
{
}
{
}
(U viti~aste zagrade upi{i koje je vrste izraz sa leve strane znaka =.)
Izrazi
5
2 | Odnos mno`ewa i deqewa prema sabirawu i oduzimawu • Posmatrajmo slede}e primere. 54 · 28 + 73 · 5 + 46 · 3 = 3 240 : 3 + 810 : 15 + 552 : 46 =
+
+ +
= +
=
Postavqa{ sebi pitawe da li prvo da sabira{ ili da mno`i{ i deli{. Ne brini, to pitawe postavqaju sebi i tvoji drugovi, ali obrati pa`wu na slede}e pravilo. Ako u izrazu imamo vi{e mno`ewa i sabirawa ili deqewa i sabirawa, bez zagrada koje ozna~avaju redosled izvr{avawa operacija, onda najpre mno`imo, odnosno delimo.
1. Izra~unaj vrednost izraza. 1) (54 · 28 + 73) · 5 + 46 · 3 2) 54 · 28 + 73 · (5 + 46 · 3) 3) (54 · 28 + 73 · 5 + 46) · 3 4) (54 · 28 + 73) · (5 + 46 · 3) 2.
Izra~unaj. 1) (3 240 : 3 + 810) : 15 + 552 : 46 = 2) 3 240 : 3 + 810 : (15 + 552 : 46) = Sli~no pravilo va`i i za operacije mno`ewa i deqewa, kada su one u izrazu u kome imamo i oduzimawe. Ako u izrazu imamo vi{e mno`ewa i oduzimawa ili deqewa i oduzimawa, onda najpre mno`imo, odnosno delimo. Redosled oduzimawa treba nazna~iti zagradama.
107
5
Izrazi
3. Izra~unaj. 1) (54 · 28 – 73 · 5) – 46 · 3 = ( 2) 54 · 28 – (73 · 5 – 46 · 3) =
–
)–
–(
–
= )=
3) (54 · 28 – 73) · 5 – 46 · 3 = 4) 54 · 28 – (73 · 5 – 46) · 3 =
4. Izra~unaj vrednost slo`enih izraza. 1) (3 240 : 3 – 810 : 15) – 552 : 46 = (
–
)–
= 2) 3 240 : 3 – (810 : 15 – 552 : 46) =
–(
–
)
= 3) (3 240 : 3 – 810) : 15 – 552 : 46 = 4) 3 240 : 3 – 810 : (15 – 552 : 46) = =
5. Zbir brojeva 248, 75 i 6 pomno`i razlikom brojeva 111 i 74. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. (
108
+
+
)·(
–
)=
.
Izrazi
6.
Zbir brojeva 1 309 i 1 122 podeli wihovom razlikom. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. (
7.
)=
–
Zbir brojeva 48 534, 53 845 i 37 169 podeli razlikom brojeva 2 013 i 1 955. +
):(
+
)=
–
Razliku proizvoda brojeva 87 i 9 i proizvoda brojeva 68 i 5 pove}aj za proizvod brojeva 72 i 43. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. (
9.
):(
+
(
8.
5
·
–
)+
·
·
=
Razliku koli~nika brojeva 1 414 i 7 i koli~nika brojeva 7 770 i 74 pove}aj za koli~nik brojeva 595 i 35. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. (
:
–
:
)+
:
=
10. U kamionu je bilo 112 vre}a po 50 kg i 85 vre}a po 38 kg krompira. Istovareno je 7 ve}ih i 5 mawih vre}a. Koliko je krompira ostalo u kamionu? Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
109
5
Izrazi
11. Data su tri broja: 11 100, 888 i 24. Razliku prva dva broja podeli koli~nikom drugog i tre}eg od navedeih brojeva. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
12. Svaki u~enik IV razreda jedne {kole zasadio je po 4 sadnice bora, 8 sadnica hrasta i 12 sadnica bagrema. Ukupno je zasa|eno 2 040 sadnica.
1) Koliko u~enika IV razreda ima u toj {koli?
2) Koliko je zasa|eno sadnica: • bora • hrasta • bagrema?
110
Izrazi
5
3 | Odnos mno`ewa i deqewa Ako u izrazu imamo vi{e mno`ewa i deqewa, ili samo vi{e deqewa, zagradama nazna~avamo redosled izvr{avawa operacija.
1. Izra~unaj vrednost izraza. a) ((39 366 : 54) : 27) : 9 =
b) (39 366 : 54) : (27 : 9) =
2. Izra~unaj. ((10 368 : 24) · 108) : (12 · 3) = 10 368 : (24 · (108 : 12) · 3) =
3. Koli~nik brojeva 956 450 i 47 podeli koli~nikom brojeva 5 032 i 68. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
4. Proizvod brojeva 246 i 74 pomno`i koli~nikom brojeva 608 i 38. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
5. Koli~nik brojeva 1 825 i 25 pomno`i koli~nikom brojeva 15 848 i 283.
6. U prazan bazen svakog ~asa se ulije 780 litara vode, a iz wega izlije pet puta mawe. Koliko }e vode biti u bazenu ako se puni jedan dan?
7. Vo}ar je prodao 850 kg jabuka po 36 dinara i pet puta mawe kru{aka po 48 dinara za kilogram. Koliko je novca dobio za prodato vo}e? 111
6
Kvadar i kocka
1 | Osobine kvadra i kocke Ispod svake slike napi{i naziv geometrijskog tela.
Svojstva geometrijskih tela posmatramo i upoznajemo uz pomo} crte`a i modela koje pravimo od kartona, drveta ili drugog materijala. Posmatraj kvadar ABCDEFGH. H Kvadar je ograni~en sa {est ravnih povr{i, {est pravougaonika, koje nazivamo strane kvadra.
D
Ta~ke iz kojih polaze tri ivice kvadra nazivamo temenima kvadra.
F
ИВИЦА КВАДРА
E
Svake dve susedne strane kvadra imaju zajedni~ku ivicu, koju nazivamo ivica kvadra.
C
РА НА КВАД
СТРА A ТЕМЕ КВАДРА
1.
G
B kvadar ABCDEFGH
Posmatraj kvadar predstavqen na prethodnoj slici i zapi{i a) svih {est strana kvadra: ABCD,
,
,
,
,
;
b) svih dvanaest ivica kvadra: BF,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
v) svih osam temena kvadra: 112
A,
,
,
;
Kvadar i kocka
H
2. Navedi strane kvadra ABCDEFGH kojima je zajedni~ka data ivica. 1) DH je zajedni~ka ivica strana:
G
E
6
F
2) AE je zajedni~ka ivica strana: D
C
3) CD je zajedni~ka ivica strana: A
B
3. Za zadato teme kvadra ABECDEFGH odredi sve tri ivice koje ga sadr`e. 1) Teme F je zajedni~ka ta~ka ivica:
H
G
E
2) Teme C je zajedni~ka ta~ka ivica:
F D
C
3) Teme D je zajedni~ka ta~ka ivica: A
B
Naspramne strane kvadra su podudarni pravougaonici. 4. Na slici kvadra obojeni su neki parovi wegovih naspramnih strana. H G Koje su naspramne strane kvadra obojene istom bojom? E
i
F D
C
A
;
i
.
Koji par naspramnih strana kvadra na slici nije obojen? i
B
.
Po{to su naspramne strane kvadra podudarni pravougaonici, odgovaraju}e ivice kvadra su me|usobno jednakih du`ina. 5.
Ivice kvadra sa slike koje su jednakih du`ina nacrtane su istom bojom. H G Dopuni tekst zapisuju}i ivice kvadra, koje su jednakih du`ina. AB =
DC =
EF =
=a
BC =
=
=
=b
AE =
=
=
=c
E
F D
A
C
c a
b B
113
6
Kvadar i kocka
H
Posebna vrsta kvadra kome su jednake du`ina, {irina i visina predstavqa kocku i ona je odre|ena istim elementima kao kvadar: stranama, ivicama i temenima kocke.
E
C
СТРАНА A ТЕМЕ
B kocka ABCDEFGH
Posmatraj kocku sa prethodne slike. Kocka ima 12 jednakih ivica. Zapi{i ih.
Kocka je ograni~ena sa
kvadrata. Zapi{i te kvadrate.
Sa ivicom AE paralelne su ivice: 7.
F
ИВИЦА
D
Sve strane kocke su me|usobno podudarni kvadrati. Sve ivice kocke su jednakih du`ina. 6.
G
,
i
.
Kocka ABCDEFGH i kvadar BJKCFLMG imaju jednu zajedni~ku stranu. H G M
strana kvadra i
C
D
kocke?
L
F
E
a) Koja je zajedni~ka
K
B A b) Navedi jednake ivice kvadra BJKCFLMG. BJ = BC =
=
=
=
J
= =
=
=
v) Koje su strane kvadra AJKDELMH, koji je dobijen spajawem polaznog kvadra i kocke, me|usobno podudarni pravougaonici?
8.
Sada zna{ {ta je kvadar, a {ta kocka. Napi{i po dva objekta iz tvoje okoline koji imaju oblik a) kocke: b) kvadra (koji nije kocka):
114
Kvadar i kocka
6
2 | Crtawe kvadra i kocke Kvadar i kocku mo`emo crtati na kvadratnoj mre`i.
G
H F
E
E
E
F
D A
F
D
C
A
B
G
H
C
A
B
B
• Na kvadratnoj mre`i najpre nacrtamo pravougaonik ABEF. • Zatim nacrtamo podudaran pravougaonik DCGH, tako da im stranice budu paralelne. • Spojimo odgovaraju}a temena A i D, B i C, E i H, F i G. • Ivice koje su sa zadwe strane, koje se ne vide, crtamo isprekidanom linijom. Sli~no crtamo i kocku.
H E
F
G
E
A
B
A
F D
C B
G
E
F D
H
A
C B 115
6
Kvadar i kocka
1.
Nacrtaj dva kvadra i dve kocke i oboji ih po `eqi tako da se uo~ava barem jedan par paralelnih strana.
2.
Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i kocku A1A2A3A4A5A6A7A8, ~ije su neke ivice nacrtane na slici. A7
G A5
A6 A3
A
B
A1
Uputstvo: Crtaj odgovaraju}e paralelne ivice. 3.
116
Dovr{i crtawe kvadra i kocke prema zapo~etim primerima.
Kvadar i kocka
6
3 | Mre`a kvadra i kocke Nacrtaj sliku kvadra u svesci i odgovori. – Koliko strana ima kvadar?
;
– Koje geometrijske figure su strane kvadra? – Kakve su naspramne strane kvadra?
; .
Mre`a tela je figura u ravni od koje se savijawem bez se~ewa mo`e napraviti to telo u prostoru.
Kutija oblika kvadra, napravqena od kartona, rase~ena je po nekim ivicama tako da se karton mo`e postaviti u ravan. Dobijena geometrijska figura predstavqa mre`u tog kvadra. Kako je kutiju mogu}e rase}i na vi{e razli~itih na~ina, za isti kvadar mogu}e je dobiti razli~ite mre`e.
Nacrtajmo mre`u kvadra. To mo`emo uraditi na slede}i na~in: 1) nacrtamo paralelne poluprave p i q na me|usobnom rastojawu c koje sadr`e krajwe ta~ke visine c; 2) na poluprave p i q {estarom naizmeni~no nanosimo du`ine b, a, b, a;
3) paralelno sa ivicama kvadra pove`emo krajeve du`ina nanesenih {estarom i nacrtamo stranice pravougaonika koje na slici nedostaju.
117
6
Kvadar i kocka b
Tada dobijamo mre`u kvadra kao na slici.
q c
a
b b
b
a
p
1. Nacrtaj mre`u kvadra na kartonu, izre`i je i savij po zajedni~kim stranicama pravougaonika, zalepi odgovaraju}e stranice i napravi model kvadra.
Nacrtaj sliku kocke u svesci i odgovori. – ^ime je ograni~ena kocka? – Kakve su ivice kocke? Na isti na~in, kao i u slu~aju kvadra, dobijamo mre`u kocke. e.
Sli~no mre`i kvadra crtamo i mre`u kocke.
118
2. Nacrtaj mre`u kocke na kartonu i napravi model kocke.
Kvadar i kocka
3.
6
a) Koja od narednih figura predstavqa mre`u kocke, a koja ne?
(upi{i: jeste ili nije)
(upi{i: jeste ili nije)
2) Koja od narednih figura predstavqa mre`u kvadra, a koja ne?
(upi{i: jeste ili nije)
4.
(upi{i: jeste ili nije)
Nacrtaj mre`u kvadra ~ije su ivice jednake du`ima a, b, c. Poku{aj da napravi{ neku novu mre`u kvadra.
a
b
c
119
6
Kvadar i kocka
4 | Izra~unavawe povr{ine kvadra Povr{ kvadra sastoji od tri para podudarnih pravougaonika. a a·b
b·c
b
b·c
a·c
a·c
c
a·b
Povr{ina kvadra jednaka je zbiru povr{ina wegovih strana. P=2·a·b+2·a·c+2·b·c ili P = 2 · (a · b + a · c + b · c).
Kao primer uzmino kadar ~ije su ivice a = 14 cm, b = 8 cm, c = 25 cm. Wegova povr{ina iznosi P = (2 · 14 · 8 + 2 · 14 · 25 + 2 · 8 · 25) cm2 P=
=
1. Izra~unaj povr{inu kvadra ~ije su ivice: 1) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm;
2) a = 20 m, b = 25 m, c = 40 m.
120
cm2
Kvadar i kocka
6
5 | Izra~unavawe povr{ine kocke Povr{ kocke sastoji se od {est podudarnih kvadrata.
a·a
a a
Povr{ina kocke jednaka je zbiru povr{ina {est wenih strana (kvadrata). P=6·a·a
Povr{ina kocke ~ija je ivica, na primer, a = 12 cm je P = 6 · 12 cm · 12 cm =
1.
Izra~unaj povr{inu kocke ~ija je ivica 1) a = 8 cm;
2.
cm2
2) a = 48 cm.
Zbir svih ivica kocke je 324 cm. Izra~unaj povr{inu kocke.
121
6
Kvadar i kocka
6 | Zapremina tela. Merewe zapremine • Oko nas se nalaze razli~iti predmeti, odnosno tela i svako od wih zauzima, odnosno zaprema, neki deo prostora. • ^a{a, ili neka druga prazna posuda, ispuwena je vazduhom. Ako je napunimo nekom te~no{}u, onda je unutra{wi prostor ~a{e zauzela (zapremila) te~nost.
• Ako u ~a{u ispuwenu te~no{}u spustimo neki predmet, na primer, lopticu, onda }e se jedan deo te~nosti preliti. Preli}e se onaj deo te~nosti koji je zauzela (zapremila) lopta. Deo prostora koji zauzima (zaprema) telo naziva se zapremina tela.
• Posmatrajmo lopte na slici. Najve}a od wih zauzima najve}i, a najmawa od wih najmawi deo prostora. Dakle, ve}a tela imaju ve}u, a mawa tela mawu zapreminu.
• Tela se mogu upore|ivati po veli~ini, ali da bismo to mogli precizno uraditi potrebno je ta~no izmeriti zapreminu. • Meri}emo i odre|ivati zapremine tela koja imaju oblik kvadra ili kocke, upore|ivawem sa mawim telima, koja predstavqaju jedinice mere.
122
Zapreminu tela izra`avamo brojem jedinica mere koje se u tom telu sadr`e i oznakom jedinice mere. Zapreminu tela naj~e{}e ozna~avamo slovom V.
Broj jedinica mere koje odre|uju zapreminu nazivamo merni broj zapremine.
Kvadar i kocka
6
• Za merewe zapremine kvadra K uzmimo za jedinicu mere mawi kvadar p1 ili mawu kocku k1.
K
p1
k1
• Ako zapreminu kvadra K merimo jedinicom mere p1, vidimo da se u kvadru K sadr`e 4 kvadra p1, odnosno zapremina kvadra K je V = 4 p1.
p1
p1
p1
p1
• Ako zapreminu kvadra K merimo jedinicom mere kockom k1, vidimo da se u kvadru K sadr`e 8 kocki k1, te je V = 8 k1.
1.
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
Odredi zapreminu tela prikazanih na slici, ako je jedinica mere kocka k1. Figure na slici, koje nisu podeqene, najpre podeli na jedini~ne kocke.
k1
V = ____________
V = ____________
V = ____________
V = ____________
V = ____________
123
6
Kvadar i kocka
7 | Jedinice mere za zapreminu • Ako zapreminu istog kvadra merimo razli~itim jedinicama mere dobijamo razli~ite merne brojeve. • Da ne bi dolazilo do razlika, usvojen je metarski sistem mera. • Osnovna jedinica mere za zapreminu je zapremina kocke ~ija je ivica du`ine 1 m. Nazivamo je kubni metar i ozna~avamo sa 1 m3 (jedan kubni metar). Osnovna jedinica mere za zapreminu je kubni metar, u oznaci 1 m3. Jedinice za merewe zapremine mawe od kubnog metra su: Kubni decimetar. 1 dm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 dm. Kubni centimetar. 1 cm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 cm. Kubni milimetar. 1 mm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 mm.
1cm3
1dm3
124
Kvadar i kocka
6
• Koliko kubnih centimetara ima u kubnom decimetru? Po{to je ivica kubnog decimetra jednaka 10 cm, to se u jednoj vrsti kocke sa prethodne slike nalazi 10 kockica zapremine 1 cm3. U prvom sloju je 10 vrsta te u prvom sloju imamo, 10 · 10 cm3 = 100 cm3. Kako u kocki imamo 10 slojeva, 1 dm3 iznosi 10 · 10 · 10 cm3 = 1 000 cm3. • Na sli~an na~in mo`emo uporediti 1 mm3 sa 1 cm3 . Podelom 1 cm3 na 1 mm3 zakqu~ujemo da 1 cm3 sadr`i 1 000 mm3 .
Svaka jedinica mere za zapreminu je 1 000 puta ve}a od prethodne mawe. Primewuju}i prethodno dobijamo da je 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3 1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 mm3 1 cm3 = 1 000 mm3
JJedinice mere za merewe zapremine te~nosti i rastresitog materijala j upoznali smo u tre}em razredu. Podsetimo se. Zapreminu od jednog kubnog decimetra druga~ije nazivamo litar. 1 litar = 1 kubni decimetar odnosno 1 l = 1 dm3 Jedinice za merewe zapremine, ve}e od kubnog metra imaju malu prakti~nu primenu u svakodnevnom `ivotu. Jedinice za merewe zapremine ve}e od kubnog metra su:
Jedinice za merewe zapremine ve}e od kubnog metra su: Kubni dekametar. 1 dkm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 10 m. Kubni hektometar. 1 hm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 100 m. Kubni kilometar. 1 km3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 km. Nije te{ko uo~iti da i za jedinice ve}e od kubnog metra va`i da je svaka 1000 puta ve}a od prethodne mawe.
125
6
Kvadar i kocka
1. Izrazi kubnim metrima. a) 35 000 dm3 =
b) 24 000 000 cm3 =
2. Izrazi kubnim decimetrima: a) 84 000 cm3 =
b) 378 000 000 mm3 =
3. Izrazi kubnim centimetrima: a) 75 000 mm3 = b) 3 705 000 mm3 = 4. Izrazi najmawom navedenom jedinicom mere za zapreminu. a) 4 m3 17 dm3 328 cm3 b) 8 m3 624 dm3 65 mm3 5. Saberi vi{eimene brojeve iz prethodnog zadatka i wihov zbir predstavi jednoimenim brojem, najmawom jedinicom mere.
6. Izrazi vi{eimenim brojem. a) 56 403 068 cm3 b) 24 000 730 058 mm3 7. Izrazi litrima. a) 8 m3 200 dm3 126
b) 274 m3 900 dm3
Kvadar i kocka
6
8| Izra~unavawe zapremine kvadra i kocke Zapremina kvadra • Kvadar je izdeqen na kocke ~ija je ivica 1 cm, odnosno kubne centimetre. Kako je visina kvadra 3 cm, mo`emo ga podeliti u tri prostorna sloja, gledano po visini.
4c
m
3 cm
• U jednom redu je 5 cm3, jer je du`ina kvadra 5 cm, a imamo ~etiri reda, jer je {irina kvadra 4 cm. Zna~i, u jednom sloju je 5 · 4 cm3 = 20 cm3.
5 cm • Po{to je visina kvadra 3 cm, odnosno imamo tri prostorna sloja, a u svakom od wih po 20 cm3, zapremina kvadra je V = 3 · 5 · 4 cm3 = 60 cm3. • Razmotrimo slu~aj ako du`ina, {irina ili visina kvadra nisu merqive sa 1 cm, a mogu se izraziti milimetrima. • Za kvadar ~ije su dimenzije a = 54 mm, b = 38 mm, c = 45 cm, imamo da je zapremina tog kvadra V = 54 · 38 · 450 mm3 = 923 400 mm3. Ako je du`ina kvadra a, {irina b, a visina c pri ~emu su sve tri veli~ine izra`ene istom jedinicom mere, zapremina kvadra jednaka je wihovom proizvodu.
c a
b
V=a·b·c
Zapremina kvadra jednaka je proizvodu wegove du`ine, {irine i visine. 1.
Izra~unaj zapreminu kvadra ~ije su ivice a = 27 cm, b = 48 cm, c = 54 cm.
127
6
Kvadar i kocka
2.
3.
Izra~unaj zapreminu sportske sale ~ije su dimenzije 54 m, 25 m i 57 dm.
Pakovawe margarina je oblika kvadra ~ije su dimenzije 10 cm, 6 cm i 25 mm. Koliko pakovawa margarina mo`e stati u kutiju oblika kvadra ~ije su unutra{we dimenzije 7 dm, 6 dm, 5 dm? Zadatak re{i na dva na~ina: 1) najpre odredi koliko se pakovawa margarina mo`e staviti u jednu vrstu, a koliko u prvom sloju i najzad, koliko ima slojeva. 2) najpre izra~unaj zapreminu jednog pakovawa margarina i uporedi sa unutra{wom zapreminom kutije.
4. Izra~unaj zapreminu tela prikazanog na slici, ako su date du`ine ivica izra`ene u milimetrima. 10
38
16 24 65
128
5.
Izra~unaj povr{inu kvadra ~ija je zapremina V = 15 120 cm3, a dve du`ine ivica su a = 16 cm, b = 27 cm.
6.
Izra~unaj zapreminu kvadra ~ija je povr{ina P = 1 456 cm2, a dve du`ine ivica su b = 8 cm, c = 28 cm.
Kvadar i kocka
Zapremina kocke
6
Kvadar ~ije su du`ina, {irina i visina jednake je kocka. Kocka ~ija je ivica du`ine a ima zapreminu
a
V=a·a·a a a 7. Izra~unaj zapreminu kocke ivice a. 1) a = 7 cm 2) a = 24 mm 3) a = 3 cm 6 mm 8. Ivica kocke je 10 cm. Ako se du`ina kocke pove}a za 1 cm, {irina za 2 cm i visina za 3 cm dobije se kvadar. Za koliko je zapremina dobijenog kvadra ve}a od zapremine date kocke? Zapremina kocke je . Zapremina kvadra je . Zapremina kvadra ve}a je od zapremine kocke za
.
9. Kocka zapremine 8 cm3 izrezana je na osam istih mawih kocki, koje su spojene kao {to je prikazano na slici.
Kolika je povr{ina tako dobijenog tela?
129
7
Razlomci
1 | Razlomci sa brojiocem jedan Ako neku celinu podelimo na n jednakih delova, gde je n ∈{2, 3, ... , 9, 10}
Torta se sastoji od 6 jednakih delova. Jedan od wih _ torte. predstavqa 1 6
tada jedan od tih delova _ . zapisujemo razlomkom 1 n
Na cvetu je bilo 5 latica. Otpala latica _ predstavqa 1 5 broja latica cveta. 1. Ispod svake slike razlomkom zapi{i koji deo kruga je obojen.
_
_
_
1 _ 5
_
_
_
_
_
2. Oboji razlomkom odre|en deo kruga.
1 _ 2
1 _ 8
1 _ 9
1 _ 6
1 _ 7
1 _ 10
Postupak deqewa celine na proizvoqan broj delova mo`emo nastaviti tako {to }emo dobijene razlomke posmatrati kao nove celine i deliti ih na proizvoqan broj delova. 130
1 _ od 1 _ dobijamo podelom 1 _ na m jednakih delova i uzimawem jednog dela. m n n
Razlomci
7
_ od 1 _ . To mo`emo predstaviti na slede}i na~in: • Odredimo 1 3 2 polovinu kruga podelimo na tri dela. _ kruga. • Jasno je sa slike da ovako dobijeni deo predstavqa 1 6
3. Nacrtaj slike kruga u svesci i podelom kruga odredi: _ od 1 _ je 1) 1 2 4
;
_ od 1 _ je 2) 1 2 3
;
_ od 1 _ je 3) 1 2 5
;
_ od 1 _ je 4) 1 4 2
;
_ od 1 _ je 5) 1 3 3
;
_ od 1 _ je 6) 1 5 2
.
1 _ od nekog broja a nazivamo n-ti deo broja a i on je jednak a : n. n n-ti deo za n ∈{2, 3, 4, ... , 9, 10} nazivamo redom polovina, tre}ina, ~etvrtina, ... , devetina i desetina.
4. Dopuni tekst i izra~unaj: a) Tre}inu dobijamo podelom celine na
(koliko?) dela.
1 _ od 747 je 747 : 3 = 3 b) Sedminu dobijamo podelom celine na
. (koliko?) delova.
1 _ od 5 922 je = 7 5. Koriste}i vezu mno`ewa i deqewa, izra~unaj. 1 a) Neka je _ od nekog broja x broj 317. Tada je x = 5 1 b) Neka je _ od nekog broja x broj 5 086. Tada je x = 8
.
. . 131
7
Razlomci
6. Razlomkom odre|en deo povr{ine figure oboji na dva razli~ita na~ina, tako da obojeni delovi ne budu figure istog oblika. a) 1 _ 3
b) 1 _ 6
v) 1 _ 7
1 1 1 7. Razli~itim bojama oboji _ , _ i _ figure na slici, tako da se delovi 4 6 9 obojeni razli~itim bojama ne preklapaju.
8. Izra~unaj i dopuni odgovaraju}im tekstom slede}e re~enice. a) Petina od 3 180 je broj 2 181 koja iznosi
i on je .
b) Sedmina od 1 561 je broj 132
od 884 koja iznosi
od tre}ine od (upi{i: ve}i ili mawi)
i on je
od ~etvrtine (upi{i: ve}i ili mawi)
.
Razlomci
7
2 | Razlomci sa brojiocem ve}im od jedan Na slici su krug, kvadrat i pravougaonik, podeqeni na po 4 jednaka dela.
Dva dela kruga oboji crveno, dva dela kvadrata oboji plavo i tri dela pravougaonika oboji zeleno. Ka`emo da smo obojili dve ~etvrtine kruga, dve ~etvrtine kvadrata i tri ~etvrtine pravougaonika, {to razlomkom zapisujemo: 2 _ i 3 _. 4 4 k Zapis oblika _ gde je n ∈{2, 3, 4, ... , 9, 10}, a k ∈{2, 3, ... , n} nazivamo n razlomkom sa brojiocem ve}im od jedan. Broj n nam govori (imenuje) na koliko je jednakih delova podeqena celina i nazivamo ga imenilac. Broj k nam govori (broji) koliko je jednakih delova uzeto i nazivamo ga brojilac. Crta izme|u brojioca i imenioca naziva se razloma~ka crta.
1.
Na slici su prikazane ptice sa zelenim i sa naranyastim perjem. Razlomkom izrazi koliko ima jednih, a koliko drugih u odnosu na ukupan broj ptica.
Zelenih ima naranyastih ima
,a .
(Obrati pa`wu da imenilac razlomaka kojima }e{ predstaviti rezultat predstavqa ukupan broj ptica, a brojilac broj ptica sa istom bojom perja.)
133
7
Razlomci
2. Ispod svake slike razlomkom zapi{i koji deo kruga je obojen.
2 _ 6
_
_
_
_
3. Posmatraju}i krugove iz prethodnog zadatka razlomkom zapi{i koji deo kruga nije obojen. 4 _ 6
_
_
_
_
Lako mo`e{ uo~iti da obojeni i neobojeni delovi ~ine celinu, {to zna~i da je zbir razlomaka koji predstavqaju obojen i neobojen deo kruga jednak 1.
• Posmatrajmo prve od razlomaka u prethodnom zadatku. Imamo da je 2 _ = 1 _ + 1 _ i 6 6 6
4 _ = 1 _ + 1 _ + 1 _ + 1 _ , odnosno 6 6 6 6 6
2 _ + 4 _ = 6 _ = 1. 6 6 6
k m Ako imamo dva razlomka sa istim imeniocem, _ i _ , pri ~emu je n n k m k m k + m = n, tada je _ + _ = 1, odnosno _ = 1 – _ . n n n n
4.
Oboji deo kvadrata odre|en razlomkom. a) U narednim primerima broj delova na koje je podeqen kvadrat jednak je broju u imeniocu razlomka.
134
2 _ 9
5 _ 8
7 _ 10
3 _ 5
Razlomci
7
b) U narednim primerima vi{e delova na koje je podeqen kvadrat odgovaraju jednoj jedinici imenioca. Pre nego {to oboji{ tra`eni deo kvadrata odgovori na pitawe: Koliko delova odgovara jednoj jedinici imenioca?
2 _ 3
3 _ 4
2 _ 5
5 _ 6
Jednoj jedinici imenioca odgovaraju: 3 dela, redom. 5.
Izra~unaj i dopuni slede}e iskaze. 1 1) _ od 3 744 8 3 2) _ od 3 744 8 5 3) _ od 3 744 8 7 4) _ od 3 744 8 1 5) _ od 5 292 7 2 6) _ od 5 292 7 4 7) _ od 5 292 7 5 8) _ od 5 292 7
je
.
1 je 3 puta _ od 3 744 je 3 · (3 744 : 8) = 8 je
.
je
.
je
.
1 je 2 puta _ od 5 292 je 2 · (5 292 : 7) = 7 je
.
je
.
.
.
6. Du`ina jedne ulice je 1 km 200 m. Dve petine du`ine ulice je asfaltirano, a ostalo je prekriveno kamenim kockama. Koji deo puta je prekriven kockama? Rezultat izrazi razlomkom i odredi tra`enu du`inu. Razlomak:
tra`ena du`ina: 135
7
Razlomci
7.
Tri radnika su za obavqeni posao zaradila 19 880 dinara. Prvi je radio jedan dan, drugi dva dana i tre}i pet dana. Ako su im dnevne zarade jednake, koji deo zarade i koliki iznos }e dobiti drugi i tre}i radnik? 1 (Prvi radnik je zaradio _ ukupnog novca, {to iznosi 2 485 dinara) 8 .
1) drugi radnik
.
2) tre}i radnik 8. Izra~unaj nepoznat broj x, ako:
2 1) _ od x iznosi 1 736; 5 Ako su dve petine broja x jednakej 1 736, onda je jedna petina dva puta mawa, a pet petina pet puta ve}a od jedne petine, odnosno imamo da je: x = (1 736 : 2) · 5 = 2)
.
3 _ od x iznosi 378; 8 x=
9.
.
2 5 a) Ako _ od x iznosi 468, izra~unaj x kao i _ od x. 7 9 x=
5 _ od x je 9
;
.
4 5 b) Ako _ od x iznosi 2 736, izra~unaj x kao i _ od x. 5 9 x=
;
5 _ od x je 9
_ prikazane na slici, kao i wemu 10. Nacrtaj pravougaonik ~ije su 3 8 _ novog pravougaonika. podudaran pravougaonik. Oboji 5 6
136
.
Razlomci
3 | Upore|ivawe razlomaka
7
1. Na koliko je delova podeqen svaki krug prikazan na slici? Ispod svakog kruga razlomkom zapi{i koji je deo kruga obojen.
0 0= _ 6
_
<
_
<
<
_
_
<
_
<
_ =1
<
Dakle, ako obojimo vi{e delova kruga, zna~i da smo razlomkom izrazili ve}i deo kruga od prethodnog. Iz toga sledi: Od dva razlomka sa jednakim imeniocima ve}i je onaj razlomak ~iji je brojilac ve}i. 2. Razlomkom izrazi koji deo trougla je obojen i uporedi zapisane razlomke stavqaju}i u kru`i} < ili >.
2 _ 9 3.
_
_
_
_
_
Ispod svakog kruga razlomkom zapi{i koji je deo kruga obojen.
_
>
_
>
_
>
_
>
_
>
_
>
_
>
_
Lako je zakqu~iti da, ako jednu celinu delimo na ve}i broj jednakih 1 1 2 2 delova, onda su ti delovi mawi (na primer _ > _ , te je i _ > _ ). 6 7 6 7 Od dva razlomka sa jednakim brojiocima ve}i je onaj razlomak ~iji je imenilac mawi.
137
7
Razlomci
4. Razlomkom zapi{i koji je deo jednakih kvadrata obojen i uporedi zapisane razlomke upisuju}i znak < ili > u kru`i}.
_ 5.
_
_
_
_
_
Pore|aj po veli~ini, od najmaweg do najve}eg, date razlomke. 1 1 1 1) _ , _ , _ : 3 7 4
2 2 2 2) _ , _ , _ : 5 3 9
2 5 3 3) _ , _ , _ : 7 7 7
3 3 3 4) _ , _ , _ : 4 8 5
3 6 1 5) _ , _ , _ : 6 6 6
5 5 5 6) _ , _ , _ : 8 5 9
6. Izrazi istim jedinicama mere i uporedi vrednosti. 1)
2 _m 5
2) 400 kg
38 cm
2 (jer je _ m = (100 cm : 5) · 2 = 5
cm);
3 _t 8
3 (jer je _ t = 8
kg);
m);
3)
3 _ km 4
752 m
3 (jer je _ km = 4
4)
3 _t 5
650 kg
3 (jer je _ t = 5
kg).
7. Plata zaposlenog ~lana porodice je 28 450 dinara. Za stanarinu daje 1 _ plate, a za ishranu 7 _ plate. Koliko mu novca ostaje za druge potrebe? 10 10
138
Razlomci
7
U zadacima 8, 9 i 10 odgovori na postavqeno pitawe u zadatku, a zatim upore|uju}i dobijene delove koji odgovaraju razlomcima uporedi razlomke koji se u okviru jednog zadatka pojavquju i upi{i odgovaraju}i znak nejednakosti u kvadrati}.
8.
Na fudbalskoj utakmici je 2 724 2 gledalaca; _ gledalaca su 3 1 _ mu{karci, `ene, a ostalo deca. 6 Koliko je dece na fudbalskoj utakmici?
Odgovor:
9.
2 ; _ 3
1 _. 6
Povr{ina ba{te je 23 a 94 m2; na 2 _ je zasa|en paradajz, na 3 _ 9 7 paprika, a na preostalom delu kupus. Kolika povr{ina je zasa|ena kupusom?
Odgovor:
2 ; _ 9
3 _. 7
10. Put du`ine 79 km 380 m gradila su tri preduze}a. Jedno preduze}e 2 4 je izgradilo _ puta, drugo _ puta, 7 9 a ostatak puta gradilo je tre}e preduze}e. Koliku du`inu puta je gradilo tre}e preduze}e? Uporedi razlomke.
Odgovor:
2 ; _ 7
4 _. 9
139
7
Razlomci
4 | Predstavqawe razlomaka na brojevnoj polupravoj • Neka je na brojevnoj polupravoj Ox odre|ena jedini~na du` OA = 1 (du` koju uzimamo za jedinicu mere du`ine). • Ako je jedini~na du` OA ta~kom M podeqena na dva jednaka dela, onda 1 ta~ki M pridru`ujemo razlomak _ . 2
O 0
M
A
1 _ 2
1
x
• Sli~no predstavqamo na brojevnoj polupravoj i ostale razlomke koje smo upoznali. Ako je ta~kama M1 i M2 jedini~na du` OA podeqena na tri 1 2 jednaka dela, tada su tim ta~kama pridru`eni razlomci _ i _ . 3 3
O
M1
M2
A
0
1 _ 3
2 _ 3
1
x
1. Ta~kama brojevne poluprave Ox pridru`i razlomke: 1 2 3 4 a) _ , _ , _ i _ . 4 4 4 4 _
_
_
O 0 1 2 3 4 5 6 b) _ , _ , _ , _ , _ i _ . 6 6 6 6 6 6 _ _
140
O 0
x 1
_
_
_
x 1
Razlomci
7
1. Nacrtati brojevnu polupravu Ox i merewem odredi ta~ke kojima }e{ pridru`iti razlomke. 1 2 3 4 5 6 7 a) _ , _ , _ , _ , _ , _ i _ 7 7 7 7 7 7 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 b) _ , _ , _ , _ , _ , _ , _ , _ i _ 9 9 9 9 9 9 9 9 9
• Prikazivawem na brojevnoj polupravoj mo`emo upore|ivati razlomke, jer, mawi je onaj razlomak koji je bli`i nuli. Predstavqene su paralelne brojevne poluprave na kojima su jedini~ne du`i jednake. Na svakoj od brojevnih polupravih predstavqeni su razlomci sa istim imeniocem. 1 _ 3 0
2 _ 3 2 _ 4
1 _ 4
0
3 _ 5
0 1 _ 6
0
0
0
3 _ 8
2 _ 8 2 _ 9
4 _ 6
3 _ 7
2 _ 7
1 _ 8
4 _ 5
3 _ 6
2 _ 6
1 _ 7
1 _ 9
3 _ 4
2 _ 5
1 _ 5
0
3 _ 3
p
5 _ 7 5 _ 8
4 _ 8 4 _ 9
3 _ 9
4 _ 7
5 _ 6
5 _ 9
6 _ 8 6 _ 9
q
6 _ 7 7 _ 8 7 _ 9
8 _ 9
x
1 4 _ 4
x
1 5 _ 5
x
1 6 _ 6 1 7 _ 7 1 8 _ 8 1 9 _ 9 1
x
x
x
x 141
7
Razlomci
• Pomo}u prethodne slike vr{imo upore|ivawe razlomaka. • Nacrtamo pravu normalnu na brojevne poluprave u nekom podeqku. • Levo od prave su mawi, desno ve}i, a na pravoj su jednaki razlomci. 1 2 3 1 2 3 • Na primer, na pravoj p su razlomci _ , _ i _ , pa je _ = _ = _ . 3 6 9 3 6 9 5 3 4 3 5 4 • Razlomak _ je na pravoj q, levo od prave q je _ , a desno _ , pa je _ < _ < _ . 8 5 6 5 8 6
2.
142
Pore|aj razlomke, od najmaweg do najve}eg, posmatrawem slike sa prethodne strane. 2 3 4 a) _ , _ , _ : 4 6 8
2 2 3 b) _ , _ , _ : 5 6 8
5 6 7 v) _ , _ , _ : 6 8 9
2 3 4 g) _ , _ , _ : 5 8 9
dr Sini{a N. Je{i}, Marko M. Igwatovi}
Matematika za ~etvrti razred osnovne {kole Izdava~ Gerundium d.o.o. Patrisa Lumumbe 18, Beograd Godina 2011 Ilustracije Lidija Taranovi} Lektura i korektura Vesna Oparu{i} Dizajn i priprema za {tampu Pozitiv MVP, Beograd Korice Pozitiv MVP, Beograd [tampa Grafostil, Kragujevac
CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) ЈЕШИЋ, Синиша Н., 1968Математика : за четврти разред основне школе / Синиша Н. Јешић, Марко М. Игњатовић ; [илустрације Лидија Тарановић]. 1. изд. -Београд : Герундијум, 2011 (Крагујевац : Графостил). - 142 стр. : илустр. ; 29 cm Тираж 5.000. ISBN 978-86-87715-22-6 1. Игњатовић, Марко М., 1926- [аутор]
Tira` 5 000
COBISS.SR-ID 185067276
Пласман
„Герундијум“ д.о.о., Патриса Лумумбе 18, Београд телефон. 011/2775-251, 063/527-903 e-mail [email protected] www.znanje-gerundijum.rs
Ниједан део ове књиге не може бити репродукован, нити смештен у систем за претраживање или трансмитовање у било ком облику, електронски, механички, фотокопирањем, смањивањем или увећањем или на други начин, без претходне писмене дозволе издавача.
