РА ДНИ УЏБЕНИК
Математика за
разред основне школе
Небојша Икодиновић Слађана Димитријевић Сања Милојевић Ненад Вуловић
Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић Сања Милојевић • Ненад Вуловић
Математика 5 Уџбеник за пети разред основне школе
Математика 5 Уџбеник за пети разред основне школе треће издање
Аутори: др Небојша Икодиновић, мр Слађана Димитријевић Сања Милојевић, Ненад Вуловић Илустрације: Кристијан Хранисављевић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу
Графичко обликовање: „Total Idea“, Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Прелом: Игор Болта Лектура: Јасна Аничић
Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385
[email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Ротографика, Суботица Тираж: 20.000 примерака
CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016 : 51(075.2) МАТЕМАТИКА 5 : уџбеник за пети разред основне школе / Небојша Икодиновић ... [и др.] ; [илустрације Кристијан Хранисављевић] - 3. изд. - Београд : Klett, 2010 (Суботица : Ротографика). - 191 стр. : илустр. ; 30 cm – радни уџбеник Тираж 20.000 ISBN 978-86-7762-117-9 1. Икодиновић, Небојша, 1973– [аутор] COBISS.SR-ID 173760012
Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у петом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00268-5/2007-06.
Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.
© Klett, 2010. ISBN 978- 86-7762-117-9
ПРЕДГОВОР Ова књига је намењена вама, ученицима петог разреда, као основни уџбеник из математике. При писању уџбеника основна жеља нам је била да га са задовољством читате и користите, и на часу и код куће. Због тога смо се трудили да књига буде корак напред у односу на већ постојеће уџбенике, да обрађене теме не изгубе на озбиљности, али да њихово учење буде забаван подухват. Одговор да ли смо у томе успели можете дати само ви! Радо ћемо саслушати све ваше сугестије, јер нас на то обавезује постављени мото: Математика можда није лака, али може да буде интересантна! У сваком случају, жеља нам је да сваки ученик петог разреда што лакше савлада градиво математике, а овај уџбеник је наш скромни допринос томе. Аутори
САДРЖАЈ Kaко користити уџбеник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4
СкУПОВИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам скупа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Елементи и припадање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Венови дијаграми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скупови са много елемената и скуп без елемената Подскуп скупа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Једнакост скупова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Операције са скуповима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пресек скупова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Унија скупова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Разлика скупова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изрази са више скуповних операција . . . . . . . . . Скуп природних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уређење скупа природних бројева . . . . . . . . . . . Операције у скупу природних бројева . . . . . . . . . Изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. 7 . 8 . 8 . 9 .10 .10 .11 .12 .12 .13 .14 .15 .18 .18 .19 .21
ГЕОМЕТРИЈСкИ ОбЈЕкТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основни геометријски појмови . . . . . . . . . . . . . . . . Тачка, права, раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Права садржи бесконачно много тачака . . . . . Две различите тачке одређују тачно једну праву Раван садржи бесконачно много тачака . . . . . . Узајамни положај две праве . . . . . . . . . . . . . . Паралелне праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Делови праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Полуправа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дуж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Делови равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Полураван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изломљена линија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Многоугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конвексност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Кружнице и кругови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Кружница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Узајамни положаји кружница и кругова . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.23 .27 .27 .29 .30 .32 .33 .34 .35 .35 .37 .41 .41 .42 .45 .48 .49 .49 .49 .51
ДЕљИВОСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам дељивости . . . . . . . . . . . . . . . Релација дељивости . . . . . . . . . Делиоци и садржаоци бројева . . Својства дељивости . . . . . . . . . . . . . . Дељење са остатком . . . . . . . . . . . . . Дељивост неким бројевима . . . . . . . . Дељивост декадним јединицама . Дељивост бројевима 2 и 5 . . . . . Дељивост бројевима 4 и 25 . . . . Дељивост бројевима 3 и 9 . . . . . Прости и сложени бројеви . . . . . . . . . Растављање на чиниоце . . . . . . . . . . . Највећи заједнички делилац . . . . . . . . Најмањи заједнички садржалац . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.55 .56 .56 .56 .58 .61 .62 .62 .62 .63 .65 .67 .69 .71 .75
УГАО . . . . . . . . . . . Појам угла . . . . . . . Угаона линија Угао . . . . . . . Кружни лук и тетива . Једнакост углова . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.79 .80 .80 .81 .84 .86
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Упоређивање углова . . . . . . . . . . . . . . . . Упоређивање конвексних углова . . . Упоређивање неконвексних углова . . Конструктивно упоређивање углова . Надовезивање углова . . . . . . . . . . . . . . . Врсте углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пун угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Прав угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Оштар и туп угао . . . . . . . . . . . . . . . Комплементни и суплементни углови Нормалне праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Нормала на праву . . . . . . . . . . . . . . Растојање тачке од праве . . . . . . . . Права и кружница . . . . . . . . . . . . . Мерење углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Углови на трансверзали . . . . . . . . . . . . . . Унакрсни и упоредни углови . . . . . . Углови на трансверзали . . . . . . . . . Углови са паралелним крацима . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .89 . .89 . .90 . .91 . .92 . .94 . .94 . .94 . .95 . .96 . .98 . .98 . .98 . .99 . 101 . 104 . 104 . 105 . 106
РАЗЛОМцИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Шта је разломак? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Проширивање и скраћивање разломака . . . . . . . . . . . Упоређивање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сабирање разломака једнаких именилаца . . . . . . . . . . Врсте разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Прави и неправи разломци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мешовити бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Децимални запис разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приближна вредност броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бројевна полуправа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сабирање и одузимање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца . Сабирање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Одузимање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сабирање и одузимање децималних бројева . . . . . . . . Својства сабирања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Множење и дељење . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Множење и дељење разломака природним бројем . . . . Множење разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дељење разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Својства множења и дељења разломака. . . . . . . . . . . . Множење децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дељење децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аритметичка средина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Размера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 109 . 110 . 110 . 114 . 118 . 120 . 122 . 122 . 123 . 124 . 130 . 131 . 133 . 133 . 136 . 139 . 140 . 143 . 144 . 147 . 151 . 151 . 153 . 155 . 157 . 158 . 160 . 162 . 164 . 167 . 168
ОСнА СИМЕТРИЈА . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам осне симетрије . . . . . . . . . . . . . . . . . Шта је осна симетрија? . . . . . . . . . . . Конструкција осносиметричних фигура Осна симетричност . . . . . . . . . . . . . . . . . . Симетрала дужи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Симетрала угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. 171 . 172 . 172 . 174 . 178 . 180 . 182
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Материјал за сечење . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
5
како користити уџбеник Уџбеник садржи шест поглавља издељених у наставне јединице, као и материјал за сечење. У оквиру једне наставне јединице одговарајући садржаји су најчешће изложени кроз типичне примере за ту тему. Циљ тих примера јесте да дају мотивацију за обраду одговарајућег садржаја, или да ученике ставе у позицију да сами изводе жељене закључке, или пак да покажу где се и како усвојено знање примењује. Најчешће је после примера дат и задатак сличног садржаја, који би сваки ученик (на часу или после њега) требало да користи као проверу да ли је овладао изложеним садржајима. У оквиру сваке наставне јединице посебно су издвојени и означени знаком моменти (дефиниције и тврђења). Поред тога, знаком
кључни
означени су садржаји које је
потребно трајно упамтити, а код којих се често праве грешке. Књига садржи и неколико језичких напомена, порекло назива неких појмова, као и објашњење неких недоумица (шта је правилно, а шта није). Ти делови су означени знаком
.
Поред тога, за оне који желе више понуђена су одговарајућа проширења већ изложених садржаја, као и неки занимљиви детаљи из историје математике. Ти делови су означени знаком
. Желимо ти пуно успеха у раду!
6
СКУПови Научили смо да бројеви 1, 2, 3, 4, ... чине скуп природних бројева. Tај скуп означавамо са N и пишемо N = {1, 2, 3, 4,...}. Најмањи природан број је број 1. Да ли постоји највећи природан број?
Јован је убедио свог млађег брата Јанка да у свесци испише све природне бројеве. Међутим, када је њихова сестра Јадранка сазнала шта је Јован урадио, одлучила је да објасни Јанку да је његов циљ немогуће остварити.
Да би написао све бројеве, потребно је да постоји највећи међу њима! Па, наравно!
Али чекај! За сваки Да ли ти то нешто број ће постојати број говори? за 1 већи од њега!
Ако за неки број кажеш да је највећи, да ли постоји број за 1 већи од њега?
Свакако!
Него шта! Некад је боље играти фудбал него послушати старијег брата!
Јасно, скуп N има бесконачно много елемената, па највећи природан број не постоји. Зато када набрајамо елементе скупа N на крају пишемо три тачке. Осим о скупу N можемо говорити и о скупу природних бројева мањих од 8, тo јест о {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} или о скупу парних бројева тo јест о {2, 4, 6,...} и тако даље. Хајде да научимо нешто више о скуповима уопште.
7
ПоЈАМ СКУПА Елементи и припадање До сада смо често говорили о скуповима и причали о неким њиховим особинама. Можеш ли да наведеш примере неких скупова? Скуп је један од основних појмова у математици и описујемо га као мноштво (или целину) објеката који имају неку заједничку особину или својство.
Скуп формирамо водећи рачуна о заједничкој особини или својству које имају сви чланови тог скупа.
Скуп јестивих делова неких биљака. Од јестивих делова биљака са горње слике могли смо да направимо још неколико скупова.
Скуп јестивих делова биљака које убрајамо у поврће.
Скуп јестивих делова биљака које убрајамо у воће.
Скуп јестивих делова биљака црвене боје.
Скуп јестивих делова биљака који расту у земљи.
У математици су од највећег значаја скупови који су састављени од цифара, бројева, геометријских фигура или неких других математичких објеката. За сваки објекат који је у неком скупу кажемо да припада том скупу и да је елемент тог скупа. У супротном кажемо да он не припада том скупу, то јест да није његов елемент. Сада можемо рећи, на пример, да је шаргарепа елемент скупа поврћа, а да јабука није елемент тог скупа. Задатак 1. Наброј три елемента који припадају скупу воћа и два која не припадају.
8
До сада смо скоро увек скупове представљали цртајући њихове елементе. Сада ћемо их записивати овако: А = {троугао, круг, квадрат, правоугаоник}. Скупове означавамо великим латиничним словима A, B, C, D, … Елементе скупа пишемо унутар витичастих заграда { } и одвајамо их запетом. Пример 1. Скуп В чији су елементи парни бројеви прве десетице краће записујемо овако: В = {2, 4, 6, 8, 10}. Видиш да је 4 елемент скупа В. То краће пишемо 4 В. Ознаку „ “ читамо „је елемент“ или „припада“. Видиш да број 9 није елемент скупа В. То краће пишемо 9 B. Ознаку читамо „није елемент“ или „не припада“. Задатак 2. Користећи симболе и запиши следеће реченице: а) 2 је елемент скупа С; б) 4 није елемент скупа D; в) 11 не припада скупу Е; г) 100 припада скупу F.
венови дијаграми Елементе неког скупа графички представљамо тачкама које се налазе унутар неке затворене линије. Ознаке елемената скупа записујемо поред тачака, а ознаку скупа поред затворене линије јер она елементе „окупља“ у целину. Овакав приказ скупа назива се венов дијаграм. Венов дијаграм који показује да су бројеви 1, 2, 7 и 9 елементи скупа S и да бројеви 3, 4, 5 и 8 нису његови елементи цртамо као што је доле описано. Поред линије пишемо Скуп представљамо име посматраног затвореном линијом. скупа.
Елементе који припадају скупу записујемо унутар затворене линије.
Елементе који не припадају скупу записујемо изван затворене линије.
Пример 2. На слици је приказан Венов дијаграм скупа К. Закључујемо да је a K, b K, c K, d K, e K, p K, q K и r K. Дакле, K = {a, b, c, d, e}. Задатак 3. Нацртаj Венов дијаграм за скуп A = {2, 4, 6, 8, 10}. Задатак 4. Представи Веновим дијаграмом скуп М ако је познато: p M, q M, r M, s M и f M.
9
Скупови са много елемената и скуп без елемената Скупове који имају велики број елемената записујемо описивањем особина елемената који им припадају. На овај начин лако записујемо скуп A чији су елементи природни бројеви мањи од 500: A = {x | x N и x < 500}. Лево од усправне црте пишемо ознаку произвољног елемента скупа (х), а десно особине које тај елемент има (x N и x < 500). Усправну црту читамо „такви да“ или „са особином“. Пример 4. Елементи скупа Е = {n | n је паран број и n < 5 001} јесу сви бројеви n који су парни и мањи од 5 001. Скуп Е је много лакше задати описујући елементе него писати 2 500 бројева. Задатак 5. Скуп D чији су елементи сви природни бројеви k који су мањи од 133 а већи од 5 записујемо и овако: D = {k | k N и 5 < k < 133}. Који је најмањи непаран, а који највећи паран број који припада скупу D? Означимо са А скуп свих аутомобила (не мислимо на играчке) који се налазе у твојој учионици. У овом скупу неће бити нити један елемент, јер у учионици нема аутомобила. Означимо сада са В скуп свих јабука са слике лево, а са С скуп свих јабука са слике десно. Скуп В има елементе, јер на слици лево има јабука, док скуп С нема елемената, јер на слици десно нема јабука. Скуп који не садржи елементе назива се празан скуп и означава се са . Дакле, користећи ову ознаку , можемо записати B ≠
иC= .
Празан скуп означавамо са , а не са { }.
Подскуп скупа Нека је D скуп бројева друге десетице, тo јест D = {11, 12, 13, 14,..., 20}. Нека је Р скуп чији су елементи сви парни бројеви из скупа D, то јест P = {12, 14, 16, 18, 20}. За скуп P кажемо да је подскуп скупа D.
Као што је приказано на слици, Венов дијаграм подскупа цртамо унутар Веновог дијаграма скупа.
Ако су сви елементи скупа А истовремено и елементи скупа В, онда кажемо да је скуп А подскуп скупа В. То краће пишемо A B. Ознаку „ “ читамо „је подскуп“. Пример 5. Сада пишеш P
10
D или {12, 14, 16, 18, 20}
{11, 12, 13, ..., 18, 19, 20}.
Пример 6. Елементи скупа N jeсу сви природни бројеви, а елементи скупа N0 сви природни бројеви и 0. Како сваки елемент скупа N припада и скупу N0, кажемо да је скуп N подскуп скупа N0, то јест N N0. Задатак 6. Да ли је скуп X = {a, d, j} подскуп скупа Y = {a, d, g, k, j}? А скупа Z = {a, d, g, i, f}? Празан скуп је подскуп сваког скупа ( себе (А А, за било који скуп А).
А, за било који скуп А). Сваки скуп је подскуп самог
Пример 7. Сви подскупови скупа А = {1, 2, 3} су , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Задатак 7. Одреди све подскупове скупа V = {a, b, c}.
Једнакост скупова Посматрајмо скупове А = {3, 1, 5, 9, 7} и B = {1, 3, 5, 7, 9}. Сваки елемент скупа А јесте елемент и скупа В, то јест A B, и сваки елемент скупа В јесте елемент и скупа А, то јест B A. За скупове А и В кажемо да су једнаки, и краће пишемо А = В. Два скупа су једнака aко имају исте елементе, то јест ако је сваки елемент првог скупа елемент и другог скупа, и сваки елемент другог скупа јесте елемент и првог скупа. Пример 8. Посматрајмо скупове S = {2, 4, 6} и P = {2, 2, 4, 6, 6, 6}. Видимо да је сваки елемент скупа S елемент и скупа P, и сваки елемент скупа P јесте елемент скупа S. Дакле, закључујемо да је S = P. Само на први поглед може изгледати да скуп Р има шест елемената. За скуп једино је важно да ли неки елемент припада том скупу или не (а не колико је пута записан). За скуп није битно којим редоследом су записани његови елементи (значи {a, b} = {b, a}), нити да ли је исти елемент записан више пута (значи {a, a} = {a}). Задатак 8. Да ли су једнаки скупови U = {1, 4}, V = {1, 1, 1, 1, 4, 4} и W = {4, 1}? Број елемената скупа А означавамо са n(А), и то је број различитих елемената тог скупа. Пример 9. За скупове A = {a, a, b, c}, B = {1, 6, 6, 8} и C = {1, a, 6, d} је n(A) = 3, n(B) = 3 и n(C) = 4. Задатак 9. Колико елемената имају скупови U = {1, 4}, V = {1, 1, 1, 1, 4, 4} и W = {4, 1}?
11
оПЕрАциЈЕ СА СКУПовиМА Пресек скупова Посматрај карту Европе и одреди које државе се граниче са Швајцарском, а које са Чешком. Означимо са S скуп свих држава које се граниче са Швајцарском, а са С скуп свих држава које се граниче са Чешком. Запишимо ова два скупа набрајањем њихових елемената: S = {Немачка, Аустрија, Италија, Француска} С = {Немачка, Пољска, Словачка, Аустрија} Видиш да се неке од земаља граниче и са Швајцарском и са Чешком. То су Немачка и Аустрија. За ове земље кажемо да припадају пресеку скупова земаља које се граниче и са Швајцарском и Чешком, то јест да су пресек скупова S и C.
Пресек било која два скупа јесте нови скуп чији су елементи само они који припадају и једном и другом скупу. Дакле, пресек два скупа чине сви њихови заједнички елементи. Пресек скупова X и Y означавамо са X Y (читамо „икс пресек ипсилон“) или Y X. У нашем примеру, пресек скупова S и C означићемо са S C и видимо да је S C = {Немачка, Аустрија}. За свака два скупа X и Y важи X Y = Y X. Пример 1. За скупове А = {5, 10, 15, 20, 25} и В = {4, 10, 14, 20, 24}, видимо да је A B = {10, 20}. Задатак 1. Одреди пресек скупова P = {1, 2, 3, c} и Q = {1, 3, 5, a, c, e}.
12
Пресек два скупа је најлакше одредити ако посматраш елементе скупа са „мање“ елемената и провераваш да ли су елементи „већег“ скупа. Ако су и у „већем“ скупу, онда су они елементи пресека. Уколико два скупа немају заједничке елементе, тада је пресек ова два скупа празан скуп. Скупови су дисјунктни уколико је њихов пресек празан скуп. Покажимо како Веновим дијаграмом представљамо два скупа. Први случај Ако два скупа имају заједничке елементе онда их цртамо као на слици. Заједничке елементе скупова А и В пишемо унутар љубичастог дела. Све елементе скупа А који нису у пресеку ова два скупа пишемо у плавом, а све елементе скупа В који нису у пресеку ова два скупа пишемо у црвеном делу Веновог дијаграма. Пример 2. Нацртајмо Венове дијаграме за скупове M = {a, b, c, d, r} и N = {a, c, p, q, r}.
Заједнички елементи скупова М и N јесу a, c и r, па ове елементе пишемо у заједничком делу Венових дијаграма.
Елементи b и d припадају само скупу М, па их пишемо у делу скупа М који је изван пресека.
Елементи p и q припадају само скупу N, па их пишемо у делу скупа N који је изван пресека.
Задатак 2. Нацртај Венов дијаграм за скупове F = {3, 4, 7, 8, 10, 23} и K = {2, 3, 15, 21, 23}. Други случај Ако два скупа немају заједничке елементе, Венов дијаграм можемо цртати као на слици и за њих кажемо да су дисјунктни.
Пример 3. Венове дијаграме за скупове A = {2, 5, 9} и B = {1, 3, 6, 7} цртамо као на слици десно.
Унија скупова Oдредили смо земље са којима се граниче и Швајцарска и Чешка. Хајдемо да, поново посматрајући карту на страни 12, одредимо све земље са којима се граничи било једна било друга земља. Видимо да су то Немачка, Аустрија, Италија, Француска, Пољска и Словачка. За ове земље кажемо да припадају унији скупа земаља које се граниче са Швајцарском или са Чешком, то јест да образују унију скупова S и C.
13
Унија било која два скупа јесте нови скуп чији су елементи они који припадају једном или другом скупу. Другим речима, унији два скупа припадају они елементи који су у бар једном од тих скупова. Унију скупова X и Y означавамо са X Y (читамо „икс унија ипсилон“) или Y X. У нашем уводном примеру, унију скупова S и C означићемо са S C и рекли смо да је S C = {Немачка, Аустрија, Италија, Француска, Пољска, Словачка, Мађарска}. За свака два скупа X и Y важи X Y = Y X. Пример 4. Ако посматрамо скупове А и В чији су елементи А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {2, 4, 6, 8, 10}, тада је унија ова два скупа скуп A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. Задатак 3. Ако је C скуп слова речи „matematika“, то јест C = {m, a, t, e, i, k}, а D скуп слова речи „tetrapak“, то јест D = {t, e, r, a, p, k}, одреди унију скупова C и D. При одређивању уније два скупа најлакше је преписати елементе скупа са више елемената, а затим дописати све елементе другог скупа који нису већ написани. Унија два скупа је нови скуп који Веновим дијаграмом представљамо као на слици десно.
Пример 5. Са слике десно можемо закључити да су елементи скупова S = {1, 3, 7, 9, 13} и R = {5, 9, 11, 13}, а исто тако да је и S R = {9, 13}, S R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.
разлика скупова Поред пресека и уније, упознајмо се и са скуповном операцијом разлике два скупа. Хајде да уочимо неке разлике између скупа земаља S и C које смо раније записали. Одредимо земље које се граниче са Швајцарском, а не граниче се са Чешком. Посматрајући карту видимо да су то Италија и Француска. То су земље по којима се скуп S „разликује“ од скупа C, па је природно рећи да су оне разлика скупа S од скупа C. Разлика скупа Х од скупа Y јесте нови скуп чији су елементи сви они који припадају скупу Х, а не припадају скупу Y. Разлику скупа Х од скупа Y означавамо са Х \ Y (читамо „икс разлика ипсилон“), а разлику скупа Y од скупа Х са Y \ Х. Дакле, разлику скупова S и C означићемо са S \ C и рекли смо да је S \ C = {Италија, Француска}. Ако посматрамо оне земље које се граниче са Чешком, а не граниче се са Швајцарском, видимо да су то Пољска и Словачка, па ћемо рећи да оне чине разлику скупа С од скупа S и то записати С \ S = {Пољска, Словачка}. Ако је X ≠ Y тада је Х \ Y различито од Y \ Х.
14
Пример 6. Ако посматрамо скупове D и G чији су елементи D = {m, a, r, k, o} и G = {p, e, t, a, r}, тада је D \ G = {m, k, o}, а G \ D = {p, e, t}.
Пример 7. Са слике на којој је дат Венов дијаграм за скупове Р и Т можемо закључити да је P = {1, 2, 5, 7, 8, 9}, T = {1, 4, 8, 9, 11}, P T = {1, 8, 9}, P T = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11}, P \ T = {2, 5, 7} и T \ P = {4, 11}.
Задатак 4. Одреди V \ U и U \ V ако је V = {2, 4, 6, 8, 10, 12} и U = {3, 6, 9, 12}.
Показали смо како попуњавамо Венов дијаграм за два скупа. Сада можемо рећи да у плави део дијаграма уписујемо елементе скупа А \ В, а у црвени део елементе скупа В \ А.
Ако је В А, тада се А \ B назива комплемент скупа В у односу на скуп А који означавамо са СА(В). Елементе који припадају комплементу записујемо у осенченом делу дијаграма. Комплемент је реч латинског порекла и значи допуна, додатак.
Пример 8. Нека је А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {3, 6, 9}. Видимо да је В скупа В у односу на скуп А: СА(В) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
А, па је комплемент
изрази са више скуповних операција Поред скупова S = {Немачка, Аустрија, Италија, Француска} и С = {Немачка, Пољска, Словачка, Аустрија}, које смо увели на почетку претходне лекције, посматрајмо и скуп L, који ће представљати скуп свих земаља које се граниче са Луксембургом. Са карте на страни 12 видимо да су елементи тог скупа L = {Француска, Белгија, Немачка}. Одредимо све оне земље које се граниче и са Швајцарском и са Чешком и са Луксембургом, то јест са све три земље. То значи да морају да се налазе у сва три посматрана скупа, а самим тим и у пресеку ова три скупа. Значи, потребно је да се одреди S C L. Прво ћемо одредити S C, а потом пресек тако добијеног скупа са скупом L. Исти поступак примењујемо и за унију више скупова. S C L = {Немачка, Аустрија, Италија, Француска} {Немачка, Пољска, Словачка, Аустрија} {Француска, Белгија, Немачка} = {Немачка, Аустрија} {Француска, Белгија, Немачка} = {Немачка}.
15
Пример 9. Ако је K = {1, 3, 5, 7, 9}, H = {1, 2, 4, 5, 7, 8} и F = {1, 4, 7, 10}, тада је K H F = {1, 5, 7} {1, 4, 7, 10} = {1, 7}. Задатак 5. Користећи скупове S, C и L из уводног примера и K, H и F из примера 9, одреди S C L и K H F. Шта представља скуп S C L? Радећи са више скупова, наилазимо на изразе следећег облика: (A P) L, P \ (R Q), (D \ S) (F H), ... за неке унапред задате скупове A, P, L, ... Знамо да код бројевних израза са заградама прво рачунамо вредност израза у загради. Тако радимо и када имамо изразе са више скуповних операција и заграда. Пример 10. Ако су дати скупови А = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {0, 3, 6, 9, 12} и C = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, тада је: а) (A C) \ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12} \ {0, 3, 6, 9, 12} = {2, 4, 5, 7, 8, 10}, б) B (C \ A) = {0, 3, 6, 9, 12} {3, 5, 7} = {3}, в) (C B) (A \ C) = {3, 6} {2, 10, 12} = . Покажимо како представљамо Веновим дијаграмом три скупа. Три скупа могу имати елементе који се налазе у сва три скупа, у два од три скупа или само у једном од скупова. Због тога када цртамо Венове дијаграме три скупа цртамо их као на слици десно. У следећој табели дат је приказ које елементе уписујемо у назначене области на Веновом дијаграму: I II III IV V VI VII
елементи који се налазе у сва три скупа елементи који се налазе само у првом и другом скупу елементи који се налазе само у другом и трећем скупу елементи који се налазе само у првом и трећем скупу елементи који се налазе само у првом скупу елементи који се налазе само у другом скупу елементи који се налазе само у трећем скупу
Пример 11. Ако су дати скупови А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 5, 7, 8, 9} и C = {3, 4, 5, 6, 7, 10}, нацртајмо Венов дијаграм за ове скупове.
Најпре уцртајмо заједничке елемене за сва три скупа.
16
Затим упишимо елементе који су заједнички за само два скупа.
Коначно уписујемо елементе који се налазе у само једном од скупова.
Скупови могу бити елементи других скупова Говорили смо већ о броју елемената скупа. Поред бројева, слова и других објеката, елементи скупа могу бити и други скупови. У том случају скуп који се налази у посматраном скупу посматраћемо као један елемент скупа. Пример 1. Ако је A = {1, 2, 3, {2, 4}}, онда је n(A) = 4, јер су елементи скупа А бројеви 1, 2, 3 и скуп {2, 4}. Пример 2. Ако је B = {{3}, {1}, {5, 8}}, онда је n(B) = 3, јер су елементи скупа В скупови {3}, {1} и {5, 8}.
Број елемената уније два скупа Број елемената скупа једнак је броју различитих елемената датог скупа. Чему је једнак број елемената уније два скупа? Унију чине сви елементи и једног и другог скупа. Ако сабереш бројеве елемената та два скупа, оне елементе који се јављају и у једном и у другом скупу рачунаш два пута. Због тога, укупан број елемената уније два скупа рачунаш тако што од збира броја елемената два посматрана скупа одузмеш број елемената њиховог пресека, јер су то елементи који се јављају у оба скупа. Дакле, број елемената уније јесте: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B). Задатак. У једном одељењу 20 ученика учи енглески, 17 ученика немачки, а 7 ученика оба језика. Колико ученика има у овом одељењу ако свако учи барем један од ова два језика? Колико ученика учи само немачки језик? Како решавамо овакве задатке? Означимо скуп ученика који учи енглески језик са Е, а скуп ученика који учи немачки језик са D. Знамо да је n(E) = 20 и n(D) = 17. Како ученици који уче и енглески и немачки припадају и једном и другом скупу, видимо да је n(E D) = 7. Сви ученици у одељењу представљају унију два скупа. Користећи горњу једнакост, укупан број ученика у одељењу израчунавамо на следећи начин: n(Е D) = n(Е) + n(D) – n(Е D) = 20 + 17 – 7 = 30. Посматрајући два скупа представљена помоћу Венових дијаграма, лако уочавамо једнакост n(D) = n(D \ E) + n(E D).
Ученици који уче само немачки језик јесу ученици који припадају скупу D \ Е, а њихов број можемо израчунати користећи претходну једнакост, то јест када од укупног броја ученика који уче немачки језик одузмемо оне који уче оба језика. Дакле, број ученика који уче само немачки језик јесте 17 – 7 = 10.
17
СКУП ПрироДНиХ БроЈЕвА Уређење скупа природних бројева Хајде да обновимо оно што смо учили о природним бројевима. Сетимо се шта представља запис 2 607, то јест да је 2 607 = 2 ∙ 1 000 + 6 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 7 ∙ 1. Предност савременог записа природних бројева јесте у чињеници да се помоћу десет цифара (0, 1, ..., 8, 9) на јединствен начин може записати сваки природан број. Међутим, до данашњег једноставног система којим пишемо бројеве човечанство је дошло прелазећи дуг пут који је трајао неколико миленијума. Погледај мало о томе у делу за радознале на крају овог поглавља. Приликом записивања скупа N трудимо се да бројеве пишемо неким редом. За свака два различита елемента a и b важи a < b или b < a. Због овога кажемо да је скуп N уређен скуп. Поред релација < и >, често се употребљавају и релације ≤ и ≥. Пример 1. Скуп Е чији су елементи природни бројеви мањи или једнаки од 2 938, записујемо овако: Е = {x | x N, x < 2 938 или x = 2 938}. Да бисмо скратили запис x < 2 938 или x = 2 938, писаћемо x ≤ 2 938. За приказ бројева мањих од другог броја или једнаких њему користимо релацију ≤ (читамо „мање или једнако“). Слично, за приказ бројева већих од другог броја или једнаких њему користимо ознаку ≥ (читамо „веће или једнако“). Знамо да ако је a < b и b < c онда је и a < c. Исто тврђење важи и за релацију ≤. Ако је a ≤ b и b ≤ c, онда је и a ≤ c. За два различита природна броја не може истовремено да важи a < b и b < a. Међутим, за релацију може да важи a ≤ b и b ≤ a, и то само ако је a = b. Погледајмо првих седам природних бројева: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Видимо да између 3 и 7 има других природних бројева (4, 5 и 6), али између 1 и 2, 2 и 3, ... нема. За два броја између којих нема других природних бројева кажемо да су узастопни. Ако посматрамо разлике узастопних бројева, видимо да су оне увек исте и једнаке 1 (2 – 1, 3 – 2, 4 – 3,...). Поред сваког броја, сем 1, у низу природних бројева налазе се друга два. За те бројеве кажемо да су му суседи (1 и 3 су суседи броја 2, 2 и 4 су суседи броја 3, ...). Први мањи број је претходник, а први већи је следбеник посматраног броја. Дакле, разлика између броја и његовог претходника и броја и његовог следбеника увек је иста и једнака 1. Пример 2.
18
Број 1 нема свог претходника у скупу N и за разлику од осталих бројева који имају два суседа, он у скупу N има само једног. Нула није природан број, али често скупу природних бројева придружујемо и нулу. Научио/-ла си да тај скуп означаваш са N0. Дакле, N0 = N {0}.
операције у скупу природних бројева До сада смо учили четири основне рачунске операције у скупу N0 : сабирање, одузимање, множење и дељење.
Подсетимо се неких особина ових операција. Додавањем јединице на било који број из N0 добијамо његовог следбеника који је такође број из N0 . Како је сабирање, у ствари, додавање одговарајућег броја јединица на неки број, закључујемо да је у скупу N0 сабирање увек изводљиво. Научили смо да је, на пример, 3 · 5 = 5 + 5 + 5, односно, свако множење можемо представити као сабирање одговарајућег броја истих сабирака. То нас наводи на закључак да је у скупу N0 и множење увек изводљиво. Међутим, резултат одузимања и дељења два броја из N0 не мора увек бити у том скупу, на пример 12 – 18, 44 – 132, 13 : 2, 15 : 4. Зато кажемо да одузимање и дељење нису операције које су увек изводљиве у скупу N0 или да су то рачунске операције које су у скупу N0 условно изводљиве. Да би разлика бројева а и b била из N0 мора бити a ≥ b. Ако са k означимо количник бројева a и b, а са r остатак, тада је a = b · k + r. Остатак је мањи од делиоца и важи r {0, 1, ..., b – 1}. Количник два броја је из скупа N0 . Ако је r = 0, кажемо да је број a дељив бројем b. За рачунску операцију кажемо да је комутативна ако заменом места бројева резултат остаје исти. Рачунска операција је асоцијативна ако резулатат остаје исти без обзира на то како смо здружили бројеве.
комутативна
асоцијативна
сабирање
јесте a + b = b +a
јесте (a + b) + c = a + (b + c)
одузимање
није јер је 24 – 6 ≠ 6 – 24
није јер је (24 – 4) – 2 ≠ 24 – (4 – 2)
множење
јесте a·b=b·a
јесте (a · b) · c = a · (b · c)
дељење
није јер је 24 : 6 ≠ 6 : 24
није јер је (24 : 4) : 2 ≠ 24 : (4 : 2)
19
За број који не утиче на резултат рачунске операције кажемо да је неутрални елемент за ту операцију. Знаш да је a + 0 = 0 + a = a, као и да је a · 1 = 1 · a = a. Због тога кажемо да је 0 неутрални елемент за сабирање, а 1 неутрални елемент за множење. Не заборавимо да је a · 0 = 0 за свако a N0, као и да нулом нема смисла делити. За операције множења и сабирања важи a · (b + c) = a · b + a · c. Ово својство називамо дистрибутивност множења у односу на сабирање. Исто својство важи и за операције множења и одузимања: a · (b – c) = a · b – a · c. Пример 3. Користећи својство дистрибутивности множења у односу на сабирање и одузимање, једноставније израчунавамо вредност неких израза. 132 · 63 + 132 ·37 = 132 · (63 + 37) = 132 · 100 = 13 200
26 · 918 – 26 · 908 = 26 · (918 – 908) = 26 · 10 = 260
Природне бројеве смо представљали и на бројевној полуправој. Цртали смо је тако што смо почетну тачку полуправе означавали са 0, из ње наносили удесно једну за другом исту јединичну дуж, и њихове крајеве редом означавали природним бројевима 1, 2, ...
0
1
2
3
4
5
Задатак 1. Нацртај у својој свесци бројевну полуправу ако је јединична дуж 1cm. За два различита броја на бројевној полуправој важи: – мањи је онај број који се на бројевној полуправој налази са леве стране (ближи је нули); – ако између та два броја нема других природних бројева, онда су они узастопни, а ако их има, увек можемо одредити њихов број. Присетимо се да уколико је на бројевној полуправој требало да представимо „велике“ бројеве, онда смо бројевну полуправу цртали као на следећим сликама.
20
0
15
30
45
60
75
0
100
0
23
46
69
92
115
0
1 000
200
300
2 000 3 000
400
500
4 000
5 000
изрази Изрази у којима се јављају само бројеви, рачунске операције и заграде називамо бројевни изрази. Вредност бројевног израза рачунамо вршећи назначене рачунске операције у изразу. Пример 4. Примери бројевних израза јесу 32 – 12 + 11, (74 – 42) · 13, ((32 + 16): 8) – 5, а њихове вредности су редом 31, 416 и 1. Пример 5. Обим квадрата странице a једнак је 4 · a, док је површина овог квадрата једнака a · a. Слово a у изразима 4 · a и a · a из претходног примера називамо променљива јер може имати различите вредности. Изразе у којима се јавља променљивa називамо изрази са променљивом. Вредност израза са променљивом зависи од вредности променљиве. За различите вредности променљиве и вредност израза је различита. Пример 6. Израчунајмо вредност израза 4 · а за различите вредности променљиве а. вредност променљиве вредност израза са променљивом
a 4·a
1 4
2 8
5 20
7 28
13 52
Пример 7. Обим O и површина P правоугаоника страница a и b редом су једнаки 2 · a + 2 · b. и a · b. За a = 5cm и b = 7cm вредности обима и површине јесу O = 24cm и P = 35cm2. Вредност израза са више променљивих рачунамо ако знамо вредност сваке променљиве.
Како су стари народи означавали бројеве У почетку ознаке бројева нису постојале. На пример, користећи каменчиће, људи су пребројавали овце у стаду. У случају да приликом одвајања каменчића са гомиле неки остане, знало би се да нека овца недостаје. Примери бележења резултата пребројавања стари су више од 32 000 година. Представљени су помоћу зареза урезаних на костима, које су пронађене 1937. године и до данас представљају најстарије такве записе. Временом, услед повећања производње јавила се потреба да се уведу ознаке којима би се бележиле веће количине. Ово доводи до појаве нових начина записивања бројева. Уводе се ознаке за једноцифрене бројеве, десетице, стотине, хиљаде, ...
1
10 000 вавилонске ознаке бројева
10
100
1 000
100 000 1 000 000
Египатске ознаке бројева
21
Најчешће су постојале ознаке до милион. За веће ознаке није било потребе у свакодневном животу. Зависно од тога колику количину желимо да запишемо, пишемо различит број симбола који у збиру дају жељену вредност. За овакве бројевне системе кажемо да су адитивни.
На сликама су дати примери ознака бројева у различитим цивилизацијама.
Кинеске ознаке бројева
Грчке словне ознаке
Поред знакова који су формирани за одређене бројеве, у многим цивилизацијама су као ознаке бројева служила и слова. Интересантно је да су стара ћирилична слова представљала ознаке бројева у Русији све до 1700. године када их је руски цар Петар Велики укинуо.
ознаке бројева племена Маја
Хебрејске словне ознаке
I
II
1
Ћириличне словне ознаке
Од свих наведених система данас је једино римски (грчко–римски) бројевни систем остао у широј употреби о коме си и учио у претходним разредима.
2
VI VII 6
7
III
IV
VIII
IX
3
8
4
9
L
C
D
M
50
100
500
1000
V 5
X
10
римске ознаке бројева
Као најбољи облик записивања бројева појавио се систем у коме вредност сваког знака зависи од места, позиције, на коме је записан, па га зато и називамо позициони систем. Први овакав систем настао је пре око 4 000 година код Вавилонаца, а касније, у много бољем облику, код Индијаца. Цифре којима данас пишемо називамо индо-арапским цифрама. То су индијске цифре које су арапски народи преузели. Ове цифре је у Европу донео италијански математичар Фибоначи. Њихова масовна употреба у Европи почела је у 16. веку, а тек последњих неколико стотина година и широм света.
22
геометријски објекти геометрија је зачета у најстаријим људским цивилизацијама. Древни Египћани, Сумерци, Вавилонци, Индијци, Кинези и други стварали су геометрију посматрајући свет у коме живе – пре свега, конкретне и практичне ситуације из свакодневице. Како се искуство, које је у вези са извесним односима и правилностима света, повећавало, тако је настајала наука – геометрија. Први мислиоци у геометрији били су стари Грци, а један од најистакнутијих међу њима био је Платон (427–347. пре н. е.). Како је геометрија омогућавала старим Грцима да лако измере висину високог стуба, учићеш касније (у VIII разреду). Покушај то да наслутиш са слике.
Еуклид, Платонов ученик, написао је дело под називом Елементи, које представља један од највећих споменика математике свих времена и тријумф људске мисли. Од времена настанка овог дела протекло је више од 2 000 година (написано је на прелазу 4. века пре н. е. у 3. век пре н. е.). Елементи се састоје из 13 књига и у њима су потпуно изложена основна геометријска знања древног времена. У част старим Грцима – не само оснивачима геометрије већ и наше цивилизације – данас се свуда у свету користе слова грчког алфабета при означавању разних геометријских (математичких) појмова.
23
Све више увиђајући значај геометрије, људи су до данас створили праву науку без које је немогуће замислити било какав напредак људске цивилизације. Жеља да наша цивилизација и даље напредује је велики мотив за учење геометрије – и онда када то није баш лако! А дешава се! Па, зар савладана тешкоћа не чини велико задовољство? Геометрија нас води у свемир, али нам помаже и при решавању неких свакодневних проблема, као што су уређивање стана, дворишта и тако даље. Ево неколико обичних ситуација сличних онима који су били инспирација за увођење основних појмова. Задатак 1. Господин Ћирић поседује парцелу на којој је један мали воћњак. Пошто има још простора, решио је да прегради парцелу, са највећом уштедом при куповини жичане ограде, да на слободном делу ископа бунар и засади поврће. Као што би већина урадила, и он је, да би лакше планирао, направио малу скицу свог плаца.
1) На скици плаца приближно означи положај нове ограде, ако знаш да је господин Ћирић решио да ограда од најближег дрвета буде удаљена бар 1m (имај у виду колико је ограде купио). 2) Колика је површина добијеног дела плаца на коме господин Ћирић планира да засади поврће? 3) Где треба поставити пумпу за воду, тако да, куповином најкраћег могућег црева за воду, може да полије сваку биљку у повртњаку? 4) У чему је разлика између леве и десне слике? Шта је на слици десно занемарено? Шта је заједничко овим сликама? 5) Како си означио/-ла положај нове ограде, а како положај пумпе за воду?
24
Задатак 2. Виолета је добила на поклон слику дужине 80cm и ширине 50cm. Проценила је да за њу једино има места на зиду на коме већ постоје три слике. 50cm
3cm
20cm
50cm
10cm
10cm
270cm
3m 1) Означи на скици једно могуће место за четврту слику. 2) Можеш ли да јој предложиш и неко друго место?
сналажење међу звездама Некоме ко нимало не познаје астрономију, звездано небо у ведрој ноћи без месечине изгледа само као треперење безброј тачкица међу којима нема никаквог реда. Ипак, већини су позната бар нека сазвежђа („слике“ које оцртавају звезде на небу). Сви су чули за Великог и Малог медведа (или Велика и Мала кола) и сазвежђа зодијака (барем за свој хороскопски знак!). Голим оком (што значи без помагала, као што су двоглед или телескоп) и по ведрој ноћи можемо видети око 2 500 звезда. Неко ко је вешт за неколико секунди може да уочи и препозна на десетине звезда међу тим светлим тачкицама. То је лакше него што на први поглед изгледа јер се звезде разликују према свом сјају и боји. Да бисте то постигли, треба да знате како напамет да повлачите дужи и преносите дужине.
Увек на северу Ако знамо где је Велики медвед (који се у Србији види током целе године и током целе ноћи), лако налазимо звезду Северњачу. Довољно је повући замишљену праву која пролази кроз звезде Мерак и Дубхе Великог медведа. На тој правој, у смеру од Мерака ка Дубхе, пренећемо пет дужина раздаљине између ове две звезде. Добићемо дуж чији је један крај звезда Дубхе, а други крај се налази близу не тако сјајне, али врло познате звезде – Северњаче. Звезда Северњача припада сазвежђу Мали медвед. Она показује север, па отуда и њено име.
Северњача
Дубхе
Мерак
25
Задаци слични овим, а нарочито цртежи који су се при њиховом решавању користили, као и само посматрање природе, давно су навели људе (математичаре) да посебно издвоје и смисле појмове које су назвали тачка, права, раван, и да проучавају разне односе међу њима.
геометријска апстрактна уметност Правац у апстрактној уметности који напушта сликање људи, природе и предмета назива се геометријска апстрактна уметност. Заснован је на употреби једноставних геометријских фигура. Сликари овог правца сматрају да тако могу најбоље да изразе оно што је права суштина уметности – облик, боју и сам начин сликања. Василиј Кандински (1866–1944), руски сликар, један је од првих уметника који је спојио геометрију и сликарство. Његове бројне слике, међу којима се посебно истичу композиције, показују како основни облици тачка, права, површ, угао, квадрат, круг делују на „душу“ посматрача, како их ми, заједно са бојом и текстуром, разумемо, доживљавамо и како откривамо њихову унутрашњу лепоту.
композиција VIII (1923)
Казимир Маљевич (1878–1935), руски сликар, прославио се сликама апстрактних геометријских облика. Најпознатија слика из тог периода која ће постати симбол геометријске уметности уопште јесте Црни квадрат (1915). Геометријске фигуре у Маљевичевом раду симболизују самосталност, универзалност и вечност уметности и њене мисли, независно од свакодневних и пролазних историјских и политичких догађаја. Црни квадрат (1915)
Пит Мондријан (1872–1944), холандски сликар, познат је по апстрактним сликама без фигура које је називао композиције. Оне се састоје од правоугаоних облика црвене, жуте, плаве и црне боје раздвојене дебљим или тањим, црним паралелним линијама. Сликањем линија и површина Мондријан је покушао да покаже како видимо простор и односе у њему. композиција А (1923)
Птоломеј I, владар старог Египта, геометрију је учио од самог Еуклида. Обесхрабрен тешкоћама, питао је Еуклида да ли постоји неки лакши начин да се научи геометрија. Еуклид је одговорио да не постоји краљевски пут у геометрију. О томе какав значај је велики старогрчки мислилац Платон придавао геометрији најбоље говори натпис који је стајао на улазу у његову школу звану Академија: Нека нико ко не познаје геометрију не улази овде. Реч геометрија је грчког порекла. Настала је од грчких речи: геа – земља и метрес – мерење. Дакле, дословно преведена на српски језик, реч геометрија значи мерење (премеравање) земље (земљишта).
26
осНоВНи геометријски ПојмоВи тачка, права, раван Пре него што започнемо озбиљније увођење насловљених основних геометријских објеката, усвојимо начине њиховог графичког представљања (цртања слика), као и начине означавања. тачка
B Дубхе
C Мерак
A
Човек је свакој звезди коју је до сада уочио дао неко име. То ћемо чинити и ми: сваку тачку коју уочимо означићемо (именоваћемо) неким великим словом латинице: A, B, C, D, … Права
a
b c
Праве ћемо означавати малим словима латинице: a, b, c, d, …, p, q, … раван E
D
G
B
B A G
A
Равни означавамо малим грчким словима: α (читамо „алфа“), β („бета“), γ („гама“), δ („делта),...
27
Приликом цртања претходних слика, треба упамтити: А, B, C јесу ознаке (имена) неких тачака које смо уочили, а траг врха оловке поред ових слова јесу графички прикази (цртежи, скице) уочених тачака; a, b, c јесу ознаке (имена) неких правих које смо уочили, а траг оловке која је пратила ивицу лењира поред ових слова јесу графички прикази (цртежи, скице) правих; α, β, γ, δ јесу ознаке (имена) равни које смо уочили, а правоугаоници и квадрати су графички прикази (цртежи, скице) равни. Ово наглашавамо да не бисте поистоветили тачке, праве и равни са њиховим графичким приказима. На пример, графички приказ праве не одсликава у потпуности све оно што под правом подразумевамо када на њу мислимо. Прво, графички приказ праве има – оно што права нема – „ширину“ (ако то не видимо голим оком, лупа ће нам то показати). Наравно, ову ширину занемарујемо и не узимамо је никада у обзир! Такође, графички не можемо представити да је права „неограничена“ у оба смера. Зато допуштамо да се графички приказ неке праве може по вољи продужавати у оба правца. Имајући ово у виду тврдимо, на пример, да се праве a и b секу иако нам то слика непосредно не показује. Као што нам скице, које смо цртали у задацима из уводне лекције, не дају потпуни увид у стварну ситуацију, тако и графички прикази (скице) тачке, праве и равни не одсликавају потпуно наше мисли у вези с тим појмовима. Зато, хајде да речима опишемо основне геометријске појмове и односе, и да тиме што боље искажемо своје мисли које, како видимо, не можемо цртежима најверније да представимо! При том ћемо сваку реченицу покушати да представимо и сликом, али ћемо стално имати на уму све недостатке које слика носи са собом. Појмови тачка, права, раван строго се уводе једним списком особина, односно својстава, за које се претпоставља да их имају замишљени објекти названи тачка, права, раван. Поменуте особине најчешће нам говоре о везама и односима међу овим објектима.
28
Права садржи бесконачно много тачака
Чињеницу да тачка A припада правој a означавамо са A a, а да тачка B не припада правој a са B a.
Задатак 1. Упиши или тако да важе односи приказани на слици.
1) A___a; 4) B___b;
2) A___b; 5) C___a;
3) B___a; 6) D___b.
У геометрији се често уместо „тачка A припада правој а“ каже „тачка A је на правој а“, односно уместо „тачка B не припада правој a“ кажемо „тачка B није на правој a“. Распоред тачака на некој правој изражава се, једноставно, односом бити између. Да је тачка C између тачака A и B записујемо на један од следећих начина А – C – B или B – C – A.
Пример 1. Ситуацији приказаној на слици одговарају следећи записи: R – S – T, R – S – U, R – T – U, S – T – U. Задатак 2. Упиши речи „тачно“ или „нетачно“ ако важе односи са слике десно. 1) A – B – C _______; 2) B – C – E _______; 3) E – C – A _______; 4) A – D – E _______. Задатак 3. Нацртај у свесци праве a и b и изабери тачке A, B, C тако да следећи искази буду тачни: C a, C b, A a, C – B – A.
29
Уведени однос међу тачкама једне праве омогућава нам да искажемо две веома значајне особине које имају све праве. За сваке две произвољно изабране различите тачке једне праве постоји тачка те праве која је између њих.
Из oве особине закључујемо: између било које две различите тачке једне праве налази се бесконачно много других тачака те праве. Заиста, ако су A и B било које тачке неке праве a, тада се, према претходној особини, између њих налази нека нова тачка праве a. Ако нову тачку означимо са C1, имаћемо да је A – C1 – B. Међутим, A и C1 су такође неке тачке праве a, па се, поново према овој особини, између тих тачака може наћи нова тачка C2 праве a, тако да је A – C2 – C1. Наравно, исто се може применити и на тачке C1 и B. Ништа нас не спречава да поступак наставимо, и то колико год пута хоћемо. Упорно настављање поступка може нас довести до колико год хоћемо великог броја тачака праве a, које су све између тачака A и B. За сваке две произвољно изабране . различите тачке једне праве, означимо их са A и B, постоји и нека тачка C те праве таква да је A – B – C, као и нека тачка D таква да је D – A – B.
Она нам дозвољава да графички приказ праве продужујемо по вољи на обе стране (то јест у оба смера), односно да права нема крај ни са једне стране. Уочите предност речи над цртежима!
Две различите тачке одређују тачно једну праву За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи. Јединствену праву одређену различитим тачкама A и B обележавамо са p(A,B).
30
Ова особина одговара графичком приказивању тачака и правих. Прикази две различите тачке, у твојој свесци, на пример, потпуно одређују како треба поставити лењир за цртање одговарајуће праве (одређене задатим тачкама). Пример 2. Колико има правих које садрже једну задату тачку? Да ли за сваке три тачке мора да постоји права која их садржи? Иако верујемо да самостално можеш дати потпуно исправне одговоре на претходна питања, даћемо их и ми.
Одговор на прво питање јесте – бесконачно много.
Одговор на друго питање јесте – не мора. Заиста, не постоји права која садржи тачке A, B и C приказане на претходној слици јер сваке две од ових тачака одређују по једну праву p(A,B), p(B,C), p(C,A), које су међусобно различите.
Уколико три или више тачака припадају једној правој, кажемо да су те тачке колинеарне.
Тако су тачке P, Q, R, са слике лево, колинеарне, док тачке A, B, C, са претходне слике, то нису. Задатак 4. Колико различитих правих одређују тачкe A, B, C, D приказане на сликама? 1) 2)
Одговор: p(A,D), _____, _____, _____. Одговор: _______________________________.
31
раван садржи бесконачно много тачака Ако тачка A припада равни α то означавамо са A α, а ако тачка B не припада (није у) равни α са B α.
Уколико су све тачке праве a уједно и тачке неке равни α кажемо да је права a у равни α, и пишемо a α, јер је тада права a подскуп равни α. Задатак 5. Тачке A и B припадају равни α. Упиши један од знакова или добијени искази буду тачни. 1) {A, B}____ α;
2) p(A, B)____ α;
3) {A, B}____p(A, B);
на предвиђена места тако да
4) A____α;
5) B____p(A, B).
Задатак 6. Посматрајући слике упиши знаке , и , како је започето, тако да искази буду тачни. 1) 2) А а; 3) а α; 1) А α; 4) p(B, C)____α; 5) {A, B, C}____α; 6) {A, B, C}___a; 7) {A, C, D}____a; 8) A____p(B,C); 9) {A, B, C, D}____α.
2) 1) P β; 3) p(Q, S) β; 5) p(P, S)____β; 7) {P}____β;
Знак не може стајати између ознаке праве и ознаке равни. Задатак 7. Права а је у равни α. Одреди а α и а α.
32
2) R β; 4) p(R, S) β; 6) {P, Q, R}____β; 8) {P} ____p(Q,S).
Узајамни положај две праве
Две различите праве једне равни или се секу у тачно једној тачки или немају заједничких тачака.
Да се неке праве a и b секу у тачки P, записујемо овако a b = {P}. Задатак 8. Упиши речи „тачно“ или „нетачно“ у зависности од тога да ли односи са слике важе или не: 1) a b = {B} __________;
2) a c = A __________;
3) b c = {C} __________;
4) p(B,D) c = {D} __________.
Уколико две праве једне равни немају заједничких тачака, кажемо да су паралелне и пишемо a b. Задатак 9. Нацртај слику тако да дате формуле буду тачне. 2) A a, B a, C a, p(B,C) a. 1) A a, B a, C a, p(B,C) a = {A};
Паралелне праве најчешће графички представљамо користећи два лењира од којих је један троугао(ник) и помоћу њега цртамо паралелне праве, док је други помоћни и служи за правилно постављање првог лењира.
оптичке варке Приметите како цртежи могу да нас преваре. Илузије ове врсте познате су као оптичке варке. Варка је у томе што не видимо да су праве паралелне (уверите се уз помоћ лењира).
33
Паралелне праве Ако је a произвољна права и P тачка која јој не припада, P a, тада постоји тачно једна права b која садржи тачку P и паралелна је правој a.
Ако је задата права a и тачка P која јој не припада, P a, конструкција праве b изводи се такође помоћу два лењира при чему се лењир помоћу кога цртамо праве „покреће“ све док не „додирне“ тачку P.
P a
Задатак 10. Дата је права p и тачке A и B које јој не припадају. Нацртај праве a и b тако да A a, B b , а p и b p. Да ли су праве a и b паралелне или се секу? Нацртај неку праву c, различиту од праве a, која садржи тачку A. Да ли права c сече праве b и p или је паралелна некој од њих? Задатак 11. Нацртај у свесци две паралелне праве а и b (a b), а затим произвољно изабери тачке A и B на правој a (A a, B a) и тачку C која не припада правама a и b (C a, C b). Који су од следећих исказа тачни, а који нису? 1) p(A,C) b;
2) p(A,C) p(B,C);
3)p(A,C) a ≠ ;
4) p(B,C) b.
Особине основних геометријских објеката, које смо истицали, стари Грци су називали аксиомама и тај назив је остао до данас. Аксиомама се називају основне и полазне претпоставке у вези са неким предметом интересовања. Аксиома (или аксиом) јесте реч грчког порекла и значи основно начело, очигледна истина коју није потребно доказивати.
34
ДеЛоВи ПрАВе Полуправа Сетимо се најпре односа бити између. Нека је a произвољно изабрана права и A нека њена тачка. Кажемо да су тачке B и C са исте стране тачке A ако A није између тачака B и C.
или
или
Тачке B и C праве a са различитих су страна тачке A ако је она између њих, то јест ако је B – A – C или C – A – B
За већи број тачака праве a кажемо да су са исте стране тачке A, уколико су било које две од њих са исте стране тачке A.
Пример 1. Права a је са својим тачкама A, B, C, D, E, F, G, H, I и J приказана на слици.
Одмах примећујеш да су тачке скупа {H, E, F, D} са исте стране тачке A. Такође, тачке скупа {C, B, G, I, J} са исте су стране тачке A. Вероватно је сувишно да кажемо да су E и B са различитих страна тачке A, као, уосталом, било која тачка првог скупа и било која тачка другог скупа. Дакле, свака права је неком својом тачком подељена на два дела који немају заједничких тачака. На слици то су плави део p и црвени део c праве. Мала писана слова латинице користићемо да означимо и добијене делове праве. Сваки од уочених делова заједно са подеоном тачком образује једну полуправу. Будући да имамо два дела, имамо и две полуправе. Дакле, ако је тачка А на правој а, тада тачка А и све тачке праве а које су са исте стране тачке А, образују једну полуправу. Полуправа је потпуно одређена неком правом, тачком на њој и избором једног од делова на које је уочена права подељена изабраном тачком. Полуправе приказане на претходној слици обележавамо са Ap и Ac.
35
Пример 2. Треба да имамо у виду да су полуправе делови праве, али и односе које ћемо илустровати примером који је приказан на слици: Ap a, Ac a, Ac Ap = {A}, Ac Ap = a.
Графички приказ полуправе можемо продужавати колико год хоћемо, али, наравно, само са једне стране, јер је полуправа са друге стране ограничена!
Задатак 1. На основу слике упиши један од знакова = или ≠ на предвиђена места тако да добијена тврђења буду тачна: 1) Aa Bb ____ ;
2) Aa Cc ____ ;
3) Aa Dd ____ ;
4) Aa Aa ____ ;
5) Bb Cc ____ ;
6) Bb Dd____ ;
7) Cc Dd ____ .
Задатак 2. Користећи се сликом изнад, изврши назначене операције: 1) Аа Dd = ____; 4) Аа p(B, D) = ____;
36
2) Аа p(A, D) = ____; 5) p(B, D) Cc = ____.
3) Аа p(A, D) = ____;
Дуж Прочитај следеће реченице и поред сваке заокружи један од одговора „ЗНАМ“ или „ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ“. Да бисмо лакше формулисали питања, изабраћемо две произвољне тачке и означити их са A и B. 1. Дуж одређена тачкама A и B садржи тачке A и B, као и све тачке праве p(A,B) које су између њих. ЗНАМ
ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ
2. Дуж одређену тачкама A и B обележавамо са AB (или са а тачке A и B називамо крајњим тачкама дужи AB. ЗНАМ
),
ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ
3. Права p(A,B) назива се носач дужи AB. ЗНАМ
ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ
4. Дуж одређена тачкама A и B има бесконачно много тачака. ЗНАМ
ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ AB = 5cm A
5. Дужи можемо мерити, односно придруживати им особине изражене неким бројем и унапред изабраном јединицом мере.
ЗНАМ
0
B 1
2
3
4
5
ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ
6. Јединице мере које се најчешће користе при мерењу дужи јесу: метар (ознака m), дециметар (dm), центиметар (cm), милиметар (mm), километар (km). ЗНАМ ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ 7. Односи међу јединицама мере за дужину јесу:
ЗНАМ
1cm = 10mm 1dm = 10cm = 100mm 1m = 10dm = 100cm = 1 000mm 1km = 1 000m = 10 000dm = 100 000cm = 1 000 000mm. ОВО ЈЕ НОВО ЗА МЕНЕ
37
О дужима си доста учио и у претходним разредима, зато смо ову лекцију и скратили задавањем теста. Ако ипак постоји нешто што ниси знао/-ла, искористи ову прилику да то запамтиш и себи олакшаш „пут“ кроз геометрију! Задатак 3. Колико различитих дужи одређују тачкe A, B, C, D приказане на сликама? 1) 2)
Одговор: ___, ___, ___, ___,___, ___.
Одговор: _______________________________
За две дужи које имају исту дужину кажемо да су подударне. Ако су AB и CD две подударне дужи, пишемо AB = CD.
Тачка C неке дужи AB, таква да су AC и BC подударне дужи, назива се средиште дужи AB.
Пример 3. Aко је дужина дужи AB једнака 6cm, средиште C ове дужи од њених крајева удаљено је по 3cm. Уколико су дужине дужи изражене истом јединицом мере довољно је упоредити одговарајуће мерне бројеве. Међутим, дужине дужи могуће је упоређивати и без мерења. Ако је Ap произвољна полуправа и BC нека дата дуж, тада на полуправој постоји тачка D тако да су дужи BC и AD подударне. Конструкција је заиста једноставна и приказана је на наредним сликама.
38
Пример 4. Која је од дужи AB и CD (слика десно) краћа? Наравно, директним мерењем можемо утврдити да дуж AB има већу дужину од дужи CD. Пишемо AB > CD или CD < AB. Међутим, дате дужи можемо упоредити и конструктивно.
На произвољно изабраној полуправој Ox, најпре треба одредити тачке X и Y тако да је OX = CD и OY = AB (слика горе). Из распореда тачака O – X – Y следи да је OX < OY, па је и CD < AB. Пример 5. Конструишимо дуж чија је дужина једнака збиру дужина датих дужи AB, CD и EF.
Најпре, изаберемо (произвољно) полуправу Ox. Затим, на описани начин, конструишемо тачку X такву да X Ox и OX = AB. Даље, такође на полуправој Ox, конструишемо тачку Y такву да је O – X – Y и XY = CD. Најзад, одређујемо тачку Z полуправе Ox тако да је X – Y – Z и YZ = EF. Дужина дужи OZ једнака је збиру дужина датих дужи AB, CD и EF. Kажемо да је дуж OZ добијена надовезивањем дужи које су подударне датим дужима. Задатак 4. Изврши назначене операције међу дужима које можеш уочити на слици лево. 1) 3) 5) 7)
AC AB AC BE
EF; AC; BD; CD;
2) 4) 6) 8)
AC AB (AB AB
BE; BC; BC) CD; CD.
39
Задатак 5. Дате су тачке A и S. Одреди тачку B тако да је S средиште дужи AB. Одреди затим тачку C такву да је B средиште дужи AC. Колико је пута дуж AC дужа од AS? Задатак 6. Дате су три колинеарне тачке A, B, C такве да је B – A – C, BA = 4cm, AC = 6cm. Ако је S средиште дужи BC и T средиште дужи BA, одреди дужине дужи BC, AS, TS. Задатак 7. Дате су три колинеарне тачке A, B, C такве да је B – A – C, BA = 3cm, AC = 8cm. Ако је S средиште дужи BА и T средиште дужи АC, одреди дужине дужи AC, AS и TS. Задатак 8. Већ петнаест година месар из Крагујевца прави 10 метара кобасица дневно. Не ради недељом и узима одмор четири седмице годишње. Ако би месар наслагао дуж пута, почевши од Крагујевца, кобасице које је направио током петнаест година, ком граду би био најближи. 1) Чачку, 2) Београду, 3) Јагодини, 4) Краљеву, 5) Зрењанину. Напомена: Крагујевац је удаљен 115km од Београда, 59km од Чачка, 54km од Краљева, 42km од Јагодине и 190km од Зрењанина.
мерење растојања Често се поистовећује дужина дужи AB са растојањем између тачака A и B. Прецизније је рећи: дужина дужи AB је најкраће растојање између тачака A и B. Растојање међу тачкама можемо мерити и на друге начине. Задатак. Таксисти не значи много најкраће растојање између два места A и B, односно растојање између два места ваздушном линијом. Покушај са слике да одредиш колико растојање ће својим возилом прећи таксиста Сима између места А и В. Једном центиметру на слици одговара 100m у стварности. Све приказане улице су двосмерне.
A
Пастерова
40
B
Делиградска
Краља Милутина
Ресавска
Војводе Миленка
Светозара Марковића
Бирчанинова
ДеЛоВи рАВНи Полураван
Две различите тачке A и B равни α са исте су стране праве p, ако права p не сече дуж AB.
Ако права p сече дуж AB, кажемо да су тачке A и B са различитих страна праве p.
Дакле, све тачке равни α које не припадају правој p подељене су у два дела који немају заједничких тачака. На слици је раван подељена на плави део β и црвени део γ . Мала грчка слова ћемо користити да означимо и добијене делове равни. Сваки од уочених делова, заједно са правом p која их одређује, образује једну полураван. Дакле, ако у равни α лежи права p, тада права p и све тачке равни α које су са исте стране праве p образују једну полураван. Полураван је потпуно одређена неком равни, правом која је у тој равни и избором једног од делова на које је уочена раван подељена изабраном правом. Полуравни приказане на горњој слици обележавамо са pβ и pγ. Пример 1. Имајмо у виду да су полуравни делови равни, али и односе које ћемо илустровати примером који је приказан на горњој слици: pβ α, pγ α, pβ pγ = p, pβ pγ = α. Задатак 1. Права p дели раван у којој се налази на две полуравни pα и pβ. У свакој од уочених полуравни, ван праве p, дата је по једна тачка A pα, B pβ. Нацртај у свесци слику, а затим заокружи број испред тачне реченице. 1) Ако је a права која садржи тачку A и паралелна је са p, онда је a pα. 2) Постоје бар две праве које садрже тачку B и налазе се у полуравни pβ. 3) Постоји бесконачно много полуправих у полуравни pα које садрже тачку A.
41
изломљена линија
Ако су A, B, C неколинеарне тачке (отворена) изломљена линија ABC јесте унија дужи AB и BC.
Слично, ако су A, B, C, D тачке међу којима никоје три нису колинеарне, изломљена линија ABCD јесте унија дужи AB, BC, CD.
Постоји више изломљених линија које одређују тачке A, B, C, D. Међу њима су и изломљене линије BCDA, DBCA приказане на сликама десно. Задатак 2. Има ли још изломљених линија одређених тачкама A, B, C, D које су различите од оних које су приказане на претходним сликама? Нацртај две такве линије (користећи сваку тачку једанпут).
Неколико изабраних тачака одређује више изломљених линија зависно од редоследа спајања тачака. Изломљена линија је геометријски објекат који чине све дужи одређене узастопним тачкама у изабраном редоследу навођења. Уколико спојимо и последњу тачку са првом, добићемо затворену изломљену линију.
42
Пример 2. Колико отворених, а колико затворених изломљених линија одређују три задате неколинеарне тачке? Отворене изломљене линије одређене неколинеарним тачкама A, B, C јесу: ABC, BCA, CAB. Нацртај их!
Једина затворена изломљена линија одређена овим тачкама, такозвана троугаона линија, приказана је на четвртој слици. Уколико сваке две дужи, међу свим дужима које чине неку изломљену линију, немају заједничких тачака или им је само једна од крајњих тачака заједничка, кажемо да је та изломљена линија без тачака самопресецања. Пример 3. Изломљена линија ADBEC, приказана на слици нема тачака самопресецања. Такве линије краће зовемо простим линијама.
Пример 4. Изломљена линија AEDBC, приказана на слици има тачку самопресецања.
Дужина изломљене линије једнака је збиру дужина дужи које чине ту изломљену линију.
Надовезивањем одговарајућих дужи лако је конструисати дуж чија је дужина једнака дужини неке изломљене линије.
Пример 5. Дужина изломљене линије приказане на слици једнака је 20 јединица мере.
43
Задатак 3. Која је од изломљених линија приказаних на слици најдужа?
Задатак 4. Одреди мерни број дужине изломљене линије АBCDEF, ако је дуж IJ јединица мере.
Задатак 5. Нека је d мерни број дужине криве линије приказане на слици, ако је дуж IJ јединица мере.
Тада је (заокружи број испред тачног одговора):
1) d < 5;
Упутство: Примећујеш да не можемо лењиром и шестаром прецизно одредити мерни број дужине криве линије. Међутим, дужина дате криве линије приближно је једнака дужини изломљене линије ABCD, зар не?
Задатак 6. Приближно, у центиметрима, одреди дужину криве линије приказане на слици десно.
44
2) 5 ≤ d <10;
3) 10 ≤ d.
многоугао Затворена изломљена линија без тачака самопресецања назива се многоугаона линија или полигонска линија.
На пример, нека су дате тачке A, B, C, D, E, F и G.
Унија дужи AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA представља једну многоугаону линију. Тачке A, B, C, D, E, F, G називамо темена, а дужи AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA странице уочене многоугаоне линије. Сваке две узастопне тачке у низу A, B, C, D, E, F, G називамо суседна темена, а странице са заједничким теменом зваћемо суседне странице.
Свака многоугаона линија одређује у равни у којој се налази два скупа тачака: унутрашњост и спољашњост.
Нека је P тачка равни која не припада датој многоугаоној линији. Уколико свака полуправа која „полази“ из тачке P, лежи у равни дате многоугаоне линије и не садржи ниједно њено теме, има са многоугаоном линијом непаран број заједничких тачака, кажемо да је P у унутрашњости дате многоугаоне линије. У противном, ако свака оваква полуправа има са многоугаоном линијом паран број заједничких тачака, кажемо да је тачка P у спољашњости уочене многоугаоне линије. Свака тачка равни која не припада некој многоугаоној линији те равни припада или његовој унутрашњости или његовој спољашњости.
45
Унија многоугаоне линије и њене унутрашњости представља геометријски објекат који називамо многоугао или полигон. Темена и странице дате многоугаоне линије представљају темена и странице одговарајућег многоугла. Многоуглове означавамо низом слова којим су означена његова темена водећи рачуна да суседна слова означавају узастопна темена многоугла. Ако многоугао има 3, 4, 5 ... темена (и исто толико страница) зовемо га троугао, четвороугао, петоугао... Префикс поли такође долази из грчког језика и значи вишеструк, многострук, који има много облика и примена. Реч полигон, дословно преведена на српски језик, значи многоугао (гон – угао). Задатак 1. Пресек четвороугла ABCD и троугла PQR јесте петоугао. Темена петоугла су: ____, ____, ____,____, ____, док су његове странице: ____, ____, ____,____, ____ . Задатак 2. Одредити тачку X полуправе Ox тако да је дужина дужи OX једнака обиму петоугла ABCDE.
Задатак 3. Које од тачака A, B, C, D припадају унутрашњости, а које спољашњости многоугаоне линије приказане на слици лево? Лакше ћеш одговорити на питање ако црвеном бојом обојиш унутрашњост датог многоугла.
46
Задатак 4. Нацртај четвороугао и праву тако да: 1) немају заједничких тачака; 2) имају једну заједничку тачку; 3) имају бесконачно много заједничких тачака. Задатак 5. Колико највише темена може имати многоугао који је пресек нека два троугла? Задатак 6. Какви се све многоуглови могу добити као пресеци једног троугла и једног четвороугла? Задатак 7. Који од многоуглова приказаних на наредној слици има највећи обим?
Задатак 8. Ако је O мерни број обима затворене криве линије при изабраној јединици мере IJ, онда је O приближно једнако:
1) 13; 2) 23; 3) 33; 4) 43.
Задатак 9. Приближно у центиметрима одреди дужину затворене криве линије приказане на слици.
47
коНВексНост Можеш ли да наслутиш које својство имају све фигуре приказане на слици са леве стране, а нема га ниједна фигура приказана на слици са десне стране? Помоћи ћемо ти.
Фигуре на овој слици имају својство: за било које две тачке које припадају уоченој фигури, њој припадају и све тачке дужи чији су крајеви уочене тачке.
Истакнуто својство немају фигуре приказане на овој слици. Наиме, за сваку од ових фигура постоји пар тачака које јој припадају, али јој не припадају и све тачке дужи чији су крајеви уочене тачке.
Неки геометријски објекат, означимо га са F, јесте конвексан ако за сваки пар тачака A и B који припада F (A, B F), све тачке дужи AB такође припадају F (AB F). Слободније речено, неки геометријски објекат је конвексан ако се из сваке његове тачке може стићи у било коју другу његову тачку праволинијским путем који је такође у датом објекту. Геометријски објекат је неконвексан, ако није конвексан, тo јест постоји бар један пар тачака које му припадају, али му не припадају и све тачке дужи чији су крајеви уочене тачке. Задатак 1. 1) Да ли је свака права конвексан објекат? 2) Да ли је свака дуж конвексан објекат? 3) Да ли је свака полуправа конвексан објекат? 4) Постоји ли неконвексан троугао? Задатак 2. 1) Да ли је пресек два конвексна објекта конвексан? 2) Да ли је унија два конвексна објекта обавезно конвексна? 3) Да ли је разлика два конвексна објекта обавезно конвексна? Задатак 3. Заокружи бројеве који се налазе испред конвексних објеката.
48
крУжНиЦе и крУгоВи кружницa
Кружна линија или кружница јесте геометријски објекат који чине све тачке једне равни које су подједнако удаљене од једне одређене тачке те равни. Поменуту одређену тачку зовемо центар, а дужину дужи чије су крајње тачке центар и нека тачка кружне линије називамо полупречник. Полупречником се назива и свака дуж чији су крајеви центар и нека тачка кружне линије. Кружну линију одређену центром O и полупречником r означавамо са k(O, r). Скуп црвених тачака на наредној слици графички је приказ кружне линије. Наравно, за цртање кружне линије користимо шестар. кружна линија k(O, r) полупречник r
центар О O
Свака кружна линија одређује два скупа тачака у равни у којој лежи. Један од тих скупова чине тачке које су на растојању већем од r и тај скуп се назива скуп спољашњих тачака кружне линије. Други скуп чине тачке које су на растојању мањем од r, и тај скуп се назива скуп унутрашњих тачака кружне линије. Примећујемо да је центар кружне линије њена унутрашња тачка.
кружна линија k(O, r) скуп унутрашњих тачака
круг Круг је геометријски објекат који чине кружна линија и њене унутрашње тачке. Круг одређен кружном линијом k(О, r) обележавамо са K(O, r). Тачка O је центар, а r је полупречник круга K(O, r). Уочи да је разлика K(O, r) \ k(O, r) скуп унутрашњих тачака кружне линије k(O, r).
49
Пример 1. Дата је кружна линија k(О,5cm). Тачка S је у њеној спољашњости јер је дужина дужи OS једнака 6cm, што је веће од полупречника (r = 5cm). С друге стране, тачка U је у унутрашњости дате кружне линије јер је дужина дужи OU једнака 3cm, што је мање од полупречника. Зато, тачка U припада кругу K(О,5cm), а не припада кружној линији k(О,5cm), U K(О,5cm), U k(О,5cm). Доцртај још неколико унутрашњих и неколико спољашњих тачака дате кружне линије.
Унутрашњост кружне линије је конвексан објекат. Спољашњост кружне линије је неконвексан објекат.
Кружна линија је неконвексан геометријски објекат. Круг је конвексан геометријски објекат. Уместо назива „кружна линија“ много више се употребаљава краћи назив „кружница“. Задатак 1. У свесци нацртај две тачке A и B. Затим нацртај кружницу са центром у тачки A која садржи тачку B. Како у претходном задатку није прецизирана дужина полупречника, кружницу обележавамо са k(A, AB), а круг са K(A, AB). Задатак 2. Конструиши бар једну кружницу којој су A, B и C унутрашње, а D, E и F спољашње тачке. Тачке A, B, C, D, E и F дате су на слици десно.
Задатак 3. Нацртај кружницу k(О,3cm) и дуж OA дужине 5cm. 1) Која тачка кружнице је најближа тачки A и колико је одговарајуће растојање? 2) Која тачка кружнице је најудаљенија од тачке A и колико је одговарајуће растојање? Задатак 4. Одреди све тачке праве p које су на растојању 4cm од тачке A.
50
Узајамни положаји кружница и кругова Хајде да размотримо однос две кружнице, односно два круга, који леже у истој равни. Посматраћемо две кружне линије k(O,r) и k(S,s), односно два круга K(O, r) и K(S, s). Нека је d дужина дужи OS, најкраће растојање између центара уочених кружница.
Први случај Нека је d > r + s, тј. нека је растојање између центара уочених кружница веће од збира њихових полупречника.
Тада кружнице немају заједничких тачака, k(O,r) k(S,s) = . Такође, одговарајући кругови немају заједничких тачака, K(O,r) K(S,s) = .
Други случај Нека је d = r + s, тј. нека је растојање између центара уочених кружница једнако збиру њихових полупречника.
Тада кружнице имају само једну заједничку тачку, k(O, r) k(S, s) = {T}, која се назива тачка додира ових кружница. Ова тачка је заједничка и одговарајућим круговима K(O, r) K(S, s) = {T}. трећи случај Нека је d < r + s, тј. нека је растојање између центара уочених кружница мање од збира њихових полупречника. Овај случај је најсложенији. Један од положаја које кружнице, односно кругови, могу у овом случају да заузму приказан је на наредној слици, када је d веће од разлике полупречника, то јест d > s – r, уз претпоставку s > r.
Тада су А и B заједничке тачке кружница: k(O, r) k(S, s) = {A, B}. Пресек кругова, у овом случају, приказан је на слици.
51
Ако је d = s – r, тада: 1) кружнице имају једну заједничку тачку: k(O, r) k(S, s) = {T} и кажемо да се кружнице додирују изнутра у тачки T.
2) пресек кругова је круг мањег полупречника, односно K(O, r) K(S, s) = K(O, r).
Ако је d < s – r, тада: 1) кружнице немају заједничких тачака: k(O, r) k(S, s) = .
2) пресек кругова је круг мањег полупречника, односно K(O, r) K(S, s) = K(O, r).
Посебно, у последњем случају, центри се могу поклопити, и тада је d = 0. Кружнице, односно кругови који имају заједнички центар називају се концентричне кружнице, односно концентрични кругови.
52
Задатак 1. Нацртај у свесци одговарајуће слике и одреди пресек кругова K(O1, 3cm) и K(O2, 5cm), односно кружница k(O1, 3cm) и k(O2, 5cm), ако је растојање између центара O1 и O2 једнако: 1) 9cm; 2) 8cm; 3) 6cm; 4) 2cm; 5) 1cm. У каквом су односу нацртани кругови, односно кружнице? Задатак 2. Колико је растојање између центара кружница k(O1, 2cm) и k(O2, 4cm), ако се оне додирују: 1) споља; 2) изнутра? Задатак 3. Нацртај кружницу која има центар у датој тачки O и додирује дату кружницу k(S, 5cm), ако је: 1) O у унутрашњости дате кружнице; 2) O у спољашњости дате кружнице. Задатак 4. Заокружи број испред тачне реченице. 1) Ако је унија кругова K1 и K2 круг K2, онда је K1 K2. 2) Ако је пресек два круга једна тачка, онда се ови кругови додирују. 3) Ако је разлика два круга круг, онда су ти кругови дисјунктни. 4) Нека кружница може сећи неки круг у тачно две тачке. Задатак 5. Нацртај дуж AB, тако да је AB = 6cm. 1) Одреди све тачке које су удаљене 5cm и од тачке A и од тачке B. 2) Да ли постоји тачка која је удаљена 2cm и од тачке A и од тачке B? Образложи одговор. Задатак 6. Нацртај кружницу k(O, r) произвољно бирајући центар и полупречник. У спољашњости нацртане кружнице изабери тачку S, па нацртај кружницу са центром у тачки S која додирује кружницу k(O, r). Задатак 7. Нацртај круг K(O, r), произвољно бирајући центар и полупречник. У унутрашњости нацртаног круга изабери тачку S, па нацртaј круг са центром у тачки S који додирује круг K(O, r).
Узајамни положај кругова при помрачењу сунца Помрачење Сунца настаје када се Месец постави између Сунца и Земље па посматрачима са Земље заклони Сунце. Тотално помрачење настаје када Месец потпуно заклони Сунце (слика лево). Делимично помрачење настаје када Месец заклони само део Сунца (слика десно).
53
Варке Сваког дана нам се дешава да се преваримо у посматрању стварности: видимо (или мислимо да видимо) погрешни изглед ствари. Тако су људи дуго веровали у оно што су погрешно видели: Земља им је изгледала равна и у центру Сунчевог система... Зато су почели да проверавају оно што се види или се мисли да је очигледно. Да ли су шине паралелне? Колико фигура видиш на наредној слици? Колико фигура је нацртано?
Када поредиш дужине дужи, ако ниси потпуно сигуран/-на у оно што видиш, употреби шестар или лењир! Ови инструменти неће ти дати математички доказ, али ће ти барем помоћи да уочиш како очи могу да нас преваре, тачније како мозак може да нас превари јер управо мозак у неким случајевима погрешно тумачи сигнале које нам шаљу очи.
Задатак. Прво одговори на питања само гледајући слику, а затим употреби лењир или шестар (по свом избору). Која од дужи AB или BC има већу дужину?
54
Која је од три дате дужи најдужа?
ДЕЉИВОСТ Уочи чудесне правилности у једнакостима које следе (допуни шта недостаје)! 0∙9+1=1 1 ∙ 9 + 2 = 11 12 ∙ 9 + 3 = 111 123 ∙ 9 + 4 = 1111 1234 ∙ 9 + 5 = 11111 12345 ∙ 9 + 6 = 111111 123456 ∙ 9 + 7 = 1111111 1234567 ∙ 9 + 8 = 11111111 12345678 ∙ 9 + 9 = 111111111 123456789 ∙ 9 + 10 = 1111111111
11 ∙ 11 = 111 ∙ 111 = 1111 ∙ 1111 = 11111 ∙ 11111 = 111111 ∙ 111111 = 1111111 ∙ 1111111 = 1234567654321 11111111 ∙ 11111111 = 123456787654321 111111111 ∙ 111111111 = 12345678987654321
1∙8+1= 12 ∙ 8 + 2 = 123 ∙ 8 + 3 = 1234 ∙ 8 + 4 = 12345 ∙ 8 + 5 = 123456 ∙ 8 + 6 = 1234567 ∙ 8 + 7 = 9876543 12345678 ∙ 8 + 8 = 98765432 123456789 ∙ 8 + 9 = 987654321
9∙9+7= 9 ∙ 98 + 6 = 9 ∙ 987 + 5 = 9 ∙ 9876 + 4 = 9 ∙ 98765 + 3 = 9 ∙ 987654 + 2 = 9 ∙ 9876543 + 1 = 9 ∙ 98765432 + 0 = 9 ∙ 987654321 − 1 =
12345679 · 9 = 111 111 111 12345679 · 18 = 222 222 222 12345679 · 27 = 333 333 333 12345679 · 36 = 444 444 444 12345679 · 45 = 12345679 · 54 = 12345679 · 63 = 12345679 · = 888 888 888 12345679 · = 999 999 999
143 · 7· 111 = 111 111 143 · 7· 222 = 222 222 143 · 7· 333 = 333 333 143 · 7 · 444 = 444 444 143 · 7 · 555 = 555 555 143 · 7 · 666 = 143 · 7 · = 777 777 · 7 · 888 = 888 888 143 · · 999 = 999 999
Као што је то био случај са настанком геометрије, и почеци проучавања особина бројева воде нас у далеку прошлост. Прву књигу из теорије бројева у историји математике написао је Диофант, велики старогрчки математичар. То дело се назива Аритметика и у њему је, детаљним решавањем преко стотину задатака, описано тадашње знање о бројевима. Велики број ових задатака своди се на разне врсте једначина. И данас, Диофантовим једначинама назива се једна врста веома важних једначина. Реч аритметика настала је од грчке речи аритмос, што значи број. Наш први корак у проучавању особина бројева повезан је са дељењем. Ако се сетиш поступка дељења два броја, неће ти бити тешко да решиш следећу математичку загонетку. Цифрама попуни празне квадратиће у датој шеми дељења.
−3 2 1 2 5 −1 1 2
: 16 =
55
ПОЈАМ ДЕЉИВОСТИ Релација дељивости До сада смо научили да је резултат сабирања и множења било која два природна броја, такође, природан број. Mеђутим код рачунских операција одузимања и дељења резултат не мора увек да буде природан број, на пример 10 – 23, 18 – 91, 34 – 237 или 25 : 6, 18 : 5. Већ смо учили да ако је а – b природан број, онда је b < а, као и то да ако је b < а, онда је а – b природан број. Дакле, израз а – b је у непосредној вези с односом (релацијом) b < а. Хајде да видимо када ће резултат дељења, једног природног броја другим, бити природан број. Пример 1. Mајка je купила 12 балона за своје 4 ћерке. Да ли може поделити балоне тако да свака од ћерки добије једнак број балона? Наравно да може, јер 12 може да се подели са 4 (12 : 4 = 3), па ће свака ћерка добити по 3 балона. Да је мајка купила 14 балона, да ли би и онда могла да подели ћеркама по једнак број балона? Јасно, одговор је не, јер 14 не можемо поделити на 4 једнака дела. А да је купила 20?
Ако је а : b природан број, онда кажемо да „број b дели број а“ и пишемо b | а. Постоји веза између израза а : b и односа b | а. Ако је а : b природан број, онда b | а, као и ако b | а, онда је а : b природан број. Дакле, из b | а закључујемо да број а можемо записати као производ броја b и неког природног броја. Пример 2. а) 5 | 10, јер је 10 = 5 ∙ 2 5 | 35, јер је 35 = 5 ∙ __ 5 | 105, јер је 105 = __ ∙ __
б) Из 18 : 6 = 3 закључујемо да 6 | 18. Из 48 : 16 = 3 закључујемо да 16 | __. Из 182 : 2 = 91 закључујемо да __ | 182.
Делиоци и садржаоци бројева Број 12 можемо записати као производ два природна броја на више начина. То нам може помоћи да одредимо све делиоце броја 12 (упиши шта недостаје): 12 = 1 ∙ 12, па је 12 : 1 = 12, 12 = 2 ∙ 6, па је 12 : 2 = 6 , 12 = 3 ∙ 4, па је 12 : 3 = __,
12 = 4 ∙ 3, па је 12 : 4 = __, 12 = 6 ∙ 2, па је 12 : __ = 2, 12 = 12 ∙ 1, па је 12 : __ = __.
Као што видиш, сви делиоци броја 12 јесу 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Делилац неког броја јесте сваки природан број којим је тај број дељив, то јест којим се може поделити без остатка.
56
Скуп свих делилаца броја n означавамо са Dn. Скуп свих делилаца броја 12 записујемо: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. б) 7 чине скуп D7 = {1, 7}; Пример 1. Сви делиоци броја: а) 4 чине скуп D4 = {1, 2, 4}; в) 20 чине скуп D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}; г) 41 чине скуп D41 = {1, 41}. Задатак 1. Одреди све делиоце броја: а) 11;
б) 15;
в) 31;
г)12.
Сваки број дељив је са 1 и самим собом. Најмањи делилац сваког природног броја јесте број 1, а највећи делилац сваког природног броја јесте сам тај број. Сваки природан број већи од 1 има бар два делиоца. Покажимо како одређујемо садржаоце неког природног броја. Одредимо садржаоце броја 4. То су сви бројеви који садрже број 4, то јест они који се могу записати као производ броја 4 и неког природног броја. Најмањи такав број је 4, следећи ћемо добити када удвостручимо 4, а то је 8, следећи када 4 помножимо са 3, а то је 4 ∙ 3 = 12, следећи када 4 помножимо са 4, 4 ∙ 4 = 16 и тако даље. Дакле, садржаоци броја 4 јесу 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... . Скуп свих садржалаца броја n означавамо са Sn. Све садржаоце броја 4 краће записујемо S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}. Садржалац датог броја јесте сваки природан број који је дељив тим бројем. Скуп свих делилаца било ког броја има коначан број елемената, док је скуп свих садржалаца бесконачан. Пример 2. Садржаоци броја: а) 2 чине скуп S2 = {2, 4, 6, ...}; б) 6 чине скуп S6= {6, 12, 18, ...}; в) 15 чине скуп S15= {15, 30, 45, ...}; г) 21 чине скуп S21 = {21, 42, 63, ...}. Задатак 2. Одреди садржаоце броја: а) 3;
б) 5;
в) 10;
г) 12.
А који је највећи садржалац броја 15? Или броја 21? Како је скуп свих садржалаца неког броја бесконачан, највећи садржалац броја не постоји. Најмањи садржалац сваког природног броја јесте сам тај број, а његов највећи садржалац не постоји. Како 4 дели број 12, кажемо да је 4 делилац броја 12. Број 12 садржи број 4, па је 12 садржалац броја 4. Ако је b делилац броја а, онда је а садржалац броја b. То краће записујемо b | а и читамо „b дели а“.
57
СВОЈСТВА ДЕЉИВОСТИ
Пример 1. Aна има 36 бомбона, а Маја 48. Ана може своје бомбоне да подели у 4 кесице тако да у свакој буде по 9. Маја такође може поделити своје бомбоне у 4 кесице тако да у свакој кесици буде по 12 бомбона. Ако Ана и Маја ставе све бомбоне на једну гомилу, могу ли их тада поделити у 4 кесице, тако да у свакој кесици буде једнак број бомбона?
Дакле, ако 4 | 36 и 4 | 48, да ли 4 | (36 + 48) ? Како је 36 + 48 = 4 ∙ 9 + 4 ∙ 12 = 4 ∙ (9 + 12) видимо да се збир бројева 36 и 48 може написати као производ броја 4 и броја 21, па закључујемо да је тај збир дељив са 4. То записујемо 4 | (36 + 48). Пример 2. а) Како 8 | 72, 8 | 8, 8 | 56 и 8 | 32 онда 8 | (72 + 8 + 56 + 32) то јест 8 | 168. б) 11 | (33 + 44 + 55) јер 11 | 33, 11 | 44 и 11 | 55. Међутим, ако сабирци нису дељиви неким бројем не значи увек да и њихов збир није дељив тим бројем. Пример 3. а) Ниједан од бројева 7 и 12 није дељив са 5, а ни њихов збир 7 + 12 = 19 није дељив са 5. б) Ниједан од бројева 41 и 4 није дељив са 5, али њихов збир 41 + 4 = 45 дељив је са 5. Задатак 1. Заокружи слово испред тачних исказа:
а) 4 | (240 + 16);
б) 5 | (20 + 65);
в) 7 | (70 +10).
Слично важи и за разлику два броја. Пример 4. а) Како 5 | 35 и 5 | 25 онда и 5 | (35 − 25); Задатак 2. Заокружи слово испред тачних исказа:
б) 7 | (77 − 35) јер 7 | 77 и 7 | 35. а) 4 | (124 − 32);
б) 12 | (120 − 48).
Ако су сабирци дељиви неким бројем, онда је и збир дељив тим бројем. Ако су умањеник и умањилац дељиви неким бројем, онда је и разлика дељива тим бројем. Пример 5. а) 6 | (42 + 12 − 48) јер су бројеви 42, 12 и 48 дељиви са 6. б) 7 | (49 + 77 − 35 − 14) јер су бројеви 49, 77, 35 и 14 дељиви са 7.
58
Пример 6. Марко има 49 књига које може да распореди на 7 полица, тако да на свакој буде једнак број књига. Када Марко буде имао три пута више књига (49 ∙ 3) да ли ће моћи да их распореди на 7 полица, тако да на свакој полици буде једнак број књига? Како је 49 = 7 ∙ 7, то је 49 : 7 = 7, то јест број 49 је дељив са 7. Даље је 49 ∙ 3 = (7 ∙ 7) ∙ 3 = 7 ∙ (7 ∙ 3) = 7 ∙ 21 па је (49 ∙ 3) : 7 = 21 то јест број 49 ∙ 3 дељив је са 7. Дакле, Марко ће моћи да распореди 3 ∙ 49 књига на 7 полица тако да их на свакој буде подједнако. Овај пример нам указује на следеће тврђење: Ако је један чинилац производа дељив неким бројем (с | a или с | b), онда је и производ дељив тим бројем (с | а ∙ b). Пример 7. а) Како је број 15 дељив са 3, онда ће и број 15 ∙ 7 = 105 бити дељив са 3. б) Како је број 8 дељив са 4, онда ће и број 8 ∙ 7 ∙ 5 = 280 бити дељив са 4. Задатак 3. Заокружи слово испред тачног исказа:
а) 3 | 99 ∙ 100;
б) 5 | 99 ∙ 100.
Пример 8. Маја посматра кроз прозор своје собе звездано небо. Уочила је 6 звезда које је могла да групише, тако да у групи буду по 3 звезде. Затим је изашла у двориште и уочила 24 звезде које је могла да групише тако да у свакој групи буде по 6 звезда. Да ли тај скуп звезда може груписати тако да у свакој групи буду по 3 звезде? Другим речима, видимо да 3 | 6 и 6 | 24, а интересује нас да ли онда и 3 | 24? Како се 3 садржи у 6
и 6 се садржи у 24,
онда се и 3 садржи у 24.
59
Пример 9. а) Из 8 | 64 и 64 | 128, следи 8 | 128.
б) Како 11 | 99 и 99 | 198, онда 11 | 198.
Задатак 4. а) Ако знаш да 51 | 221 493 , објасни зашто без рачунања можеш да тврдиш да 17 | 221 493 б) Ако знаш да 56 | 588 616 , објасни зашто без рачунања можеш да тврдиш да 7 | 588 616, 8 | 588 616 и 14 | 588 616. За било која три природна броја а, b и с ако a | b и b | c онда a | c.
Шта је са нулом? У претходним разредима смо рекли да нула не сме да буде делилац, јер дељење нулом нема смисла, то јест не постоји природан број који помножен са нулом даје природан број.
a:0
Нулом се не сме делити.
А да ли нула може бити садржалац неког природног броја, то јест да ли је нула дељива неким природним бројем? Како је 0 = 5 ∙ 0 то је 0 : 5 = 0, како је 0 = 2 ∙ 0 то је 0 : 2 = 0, како је 0 = 31 ∙ 0 то је 0 : 31 = 0, и тако даље, па видиш да је 0 дељива било којим природним бројем. Другим речима, нула је садржалац било ког природног броја n, јер је 0 ∙ n = 0 (сваки број се садржи нула пута у броју 0).
Број 0 је дељив било којим природним бројем. Задатак 5. Који од израза су једнаки нули, а који немају смисла? а) 0 : 42; б) (83 − (38 + 45)) : 2; в) 58 : 0; г) 49 : (63 − 63); д) 88 − (44 : 0); ђ) (566 − 328) : 0; е) (483 − 483) : (28 − 28). Исправно је рећи делилац, а не делиоц. У множини се каже делиоци (делилаца, ...). Слично важи и за садржилац (не садржаоц), односно у множини садржаоци (садржалаца, ...).
60
ДЕЉЕЊЕ СА ОСТАТКОМ Бака Мара је испекла 25 колача и жели да их подели деци из улице, тако да свако дете добије што више и једнак број колача. По колико колача ће добити свако дете, а колико колача ће остати бака Мари, ако у улици има седморо деце? Како је 25 : 7 = 3 и остатак 4, свако дете ће добити по 3 колача (3 ∙ 7 = 21) и бака Мари ће остати 4 колача. То записујемо и овако: 25 = 7 ∙ 3 + 4. А да је умесила 27 колача? Ни онда не би могла да подели све колаче, тако да сва деца добију једнак броје колача, већ би остао један број колача јер је 27 = 7 ∙ 3 + 6.
У општем случају, при дељењу броја а бројем b добијамо a = b ∙ k + r, где је k количник и r остатак. Остатак може бити било који број већи или једнак 0, али мањи од броја којим делимо. Задатак 1. Одреди количник и остатак при дељењу: а) броја 54 са 5; Како је 54 = 5 ∙ 10 + 4, 10 је количник, а 4 остатак. б) броја 127 са 10; Како је 127 = 10 ∙ 12 + ____, ____ је количник, а ____ је остатак. в) броја 97 са 3; Како је 97 = 3 ∙ ____ + 1, ____ је количник, а ____ је остатак. г) броја 222 са 11. Како је 222 = 11 ∙ ____ + ____, ____ је количник, а ____ је остатак. Остатак мора бити мањи од броја којим делимо и већи од или једнак 0, 0 ≤ r < b. Из a = b · k + r можеш да закључиш да ће остатак r бити једнак r = a – b · k. Ако је остатак једнак 0 (r = 0), то значи да је 0 = a – b · k, a = b · k. Тада је број a дељив бројем b, то јест b | a. Ако је остатак једнак 0, број a је дељив бројем b, а ако је остатак већи од 0, број а није дељив бројем b. Задатак 2. Нађи количник и остатак при дељењу: а) броја 49 са 3; k = _____, r = _____ в) броја 324 са 15; k = _____, r = _____
б) броја 98 са 7; г) броја 1 234 са 26.
k = _____, r = _____ k = _____, r = _____
Задатак 3. Нађи количник и остатак при дељењу броја 32 са 3, 4, 5 и 6.
61
ДЕЉИВОСТ НЕКИМ БРОЈЕВИМА Дељивост декадним јединицама Подсети се како природни број множиш са 10, 100, ... То ће ти помоћи да уочиш правила дељивости декадним јединицама. Производ природног броја и декадне јединице одмах добијаш тако што датом броју допишеш са десне стране онолико нула колико их има та декадна јединица. Пример 1. а) Број 260 једнак је производу 10 ∙ 26, па је 260 : 10 = 26. Закључујеш, број 260 је дељив са 10. б) Број 2 300 једнак је производу 100 ∙ 23, па је 2 300 : 100 = 23. Закључујеш, број 2 300 је дељив са 100. в) Број 347 000 једнак је производу 1 000 ∙ 347, па је 347 000 : 1 000 = 347. Закључујеш, број 347 000 је дељив са 1 000 . Број је дељив са 10 ако је последња цифра тог броја 0. Број је дељив са 100 ако су последње две цифре тог броја 0. Број је дељив са 1 000 ако су последње три цифре тог броја 0. Број је дељив декадном јединицом ако на крају има бар онолико нула колико има та декадна јединица. Задатак 1. Којим декадним јединицама је дељив број: а) 600 _________________; б) 41 000 _________________; в) 5 700 _________________? Као што смо уочили правила дељивости декадним јединицама тако можемо доћи и до правила дељивости још неким природним бројевима (2, 5, 4, 25, 3, 9). Та правила ће ти омогућити да пре него што извршиш дељење, закључиш да ли је дати број дељив неким бројем или не.
Дељивост бројевима 2 и 5 Последња цифра неког броја је остатак при дељењу тог броја са 10. На пример, 458 = 45 ∙ 10 + 8, 1 765 = 176 ∙ 10 + 5, 4 077 = 407 ∙ 10 + 7. Како је 10 = 2 ∙ 5 то значи да су сви први сабирци (45 ∙ 10, 176 ∙ 10, 407 ∙ 10) дељиви са 10, а самим тим и са 2 и са 5, па дељивост бројева са 2 и са 5 зависи само од другог сабирка (8, 5, 7), односно од цифре јединица. Пример 2. Неки од бројева који су дељиви са 2 јесу: 12, 138, 2 304, 7 000, 8 776, ... Број је дељив са 2 ако је последња цифра тог броја 0, 2, 4, 6 или 8. Задатак 2. Пет бројева који су дељиви са 2 јесу: _____, _____, _____, _____, _____. Пет бројева који нису дељиви са 2 јесу: _____, _____, _____, _____, _____.
62
Задатак 3. Доврши попуњавање табела: а) k
0
1
2
3
4
5
б)
6
k
2∙k
0
1
2
3
4
5
2∙k+1
Бројеве дељиве са 2 називамо парним (могу се поделити у парове) и зато их пишемо у облику 2 ∙ к (где је к N0). Бројеве који нису дељиви са 2 називамо непарним и можемо их писати у облику 2 ∙ к + 1 (где је к N0). Пример 3. Неки од бројева који су дељиви са 5 јесу: 35, 10, 385, 7 895, 27 000, ... Број је дељив са 5 ако је последња цифра тог броја 0 или 5. Задатак 4. Пет бројева већих од 50 који су дељиви са 5 јесу: ______, ______, ______, ______, ______. Пет бројева већих од 500 који нису дељиви са 5 јесу: ______, ______, ______, ______, ______.
Дељивост бројевима 4 и 25 Како ћемо испитати да ли је број дељив са 4? А са 25? Последње две цифре броја, цифра десетица и цифра јединица, представљају двоцифрени завршетак броја. Пример 1. а) У броју 45 637 двоцифрени завршетак је 37. б) У броју 28 605 двоцифрени завршетак је 05. Задатак 1. Одреди двоцифрене завршетке бројева:
а) 4 865;
б) 30 803;
в) 100 200.
Примети да двоцифрени завршетак неког броја одређује остатак при дељењу тог броја са 100. На пример, 543 = 5 ∙ 100 + 43,
3 236 = 32 ∙ 100 + 36,
98 750 = 987 ∙ 100 + 50.
Како је 100 = 4 ∙ 25, то значи да су сви први сабирци (5 ∙ 100, 32 ∙ 100, 987 ∙ 100) дељиви са 100, а самим тим и са 4 и са 25, па дељивост бројева са 4 и са 25 зависи само од другог сабирка (43, 36, 50), односно, двоцифреног завршетка броја. Пример 2. Неки од бројева који су дељиви са 4 јесу: 68, 324, 8 900, 532, ... Број је дељив са 4 када му је двоцифрени завршетак дељив са 4, то јест ако су последње две цифре тог броја: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, ... Задатак 2. Пет бројева већих од 1 000 који су дељиви са 4 јесу: ______, ______, ______, ______, ______. Пет бројева већих од 1 000 који нису дељиви са 4 јесу: ______, ______, ______, ______, ______.
63
Пример 3. Неки од бројева који су дељиви са 25 јесу: 75, 600, 23 725, 950, ... Број је дељив са 25 када му је двоцифрени завршетак дељив са 25, то јест ако су последње две цифре тог броја: 00, 25, 50, 75. Задатак 3. Пет бројева већих од 50 који су дељиви са 25 јесу: ______, ______, ______, ______ и ______. Пет бројева већих од 500 који нису дељиви са 25 јесу: ______, ______, ______, ______ и ______. Пример 8. Испитајмо дељивост следећих бројева 824, 432, 54 321, 750, 6 800 са 2, 4, 5, 10 и 25. 2
4
5
10
25
822
Дељив, последња цифра 2
Није дељив
Није дељив
Није дељив
Није дељив
432
Дељив, последња цифра 2
Дељив, двоцифрени завршетак 32
Није дељив
Није дељив
Није дељив
54 321
Није дељив
Није дељив
Није дељив
Није дељив
Није дељив
750
Дељив, последња цифра 0
Није дељив
Дељив, последња цифра 0
Дељив, последња цифра 0
Дељив, двоцифрени завршетак 50
6 800
Дељив, последња цифра 0
Дељив, двоцифрени завршетак 00
Дељив, последња цифра 0
Дељив, последња цифра 0
Дељив, двоцифрени завршетак 00
Шта представља запис
?
Сваки природан број можеш да запишеш као збир производа једноцифреног броја и декадне јединице, на пример: 384 = 3 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 4, 5 403 = 5 ∙ 1 000 + 4 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 3, 80 097 = 8 ∙ 10 000 + 9 ∙ 10 + 7 Ако је нека цифра броја непозната уместо ње пишеш слово (a, b, c ...) или *, и онда ћеш број записати на следећи начин: = 3 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + a, = 5 ∙ 1 000 + b ∙ 100 + 3, = 8 ∙ 10000 + c ∙ 10 + 7, ... Ако изнад броја не повучеш црту већ напишеш само 38a, онда тај број може да представља и 38 ∙ a и троцифрени број коме је непозната цифра јединица. Да би било јасно о чему је реч, ако је непозната нека цифра броја, увек ћеш тај број надвући цртом. Пример. а) Ако 2 | б) Ако 5 |
, онда је a { 0, 2, 4, 6, 8 }; , онда је b { 0, 5 };
в) Ако 4 | г) Ако 25 |
Задатак. Уместо слова a и b стави одговарајуће цифре тако да је: а) 2 | б) 5 | в) 4 |
64
, онда је c { 1, 3, 5, 7, 9 }; , онда је * = 0.
г) 25 |
Дељивост бројевима 3 и 9 Пошто смо научили да је збир дељив неким бројем ако су сви сабирци дељиви тим бројем, а да је производ дељив неким бројем ако је бар један чинилац дељив тим бројем, ова својства ћемо искористити да бисмо уочили правило дељивости са 3 и са 9. Збир цифара неког природног броја израчунаваш када сабереш све цифре којима је тај број записан. Пример 1. а) Збир цифара броја 73 482 јесте 7 + 3 + 4 + 8 + 2 = 24. Задатак 1. Нађи збир цифара бројева: а) 24 567; б) 1 000 000;
б) Збир цифара броја 450 218 јесте 4 + 5 + 0 + 2 + 1 + 8 = 20.
в) 90 564.
Tреба знати и да је 9, 99, 999 и тако даље дељиво са 9, то јест сви бројеви који су за 1 мањи од декадне јединице дељиви су са 9 (а самим тим и са 3 јер је 9 = 3 ∙ 3). Пример 2. Сваки природан број можемо раставити на следећи начин: 8235 = 8 000 + 200 + 30 + 5 = = 8 ∙ 1 000 + 2 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 5 = = 8 ∙ (999 +1) + 2 ∙ (99 +1) + 3 ∙ (9 + 1) + 5 = = 8 ∙ 999 + 8 ∙ 1 + 2 ∙ 99 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 9 + 3 ∙ 1 + 5 = = 8 ∙ 999 + 8 + 2 ∙ 99 + 2 + 3∙9+3 + 5 = = 8 ∙ 999 + 2 ∙ 99 + 3∙9 + 8+2+3+5 Прва три сабирка су дељива са 9 јер је сваки записан у облику производа два броја од којих је један дељив са 9.
Приметимо да је ово збир цифара броја 8 235.
Како су прва три сабирка дељива са 9, закључујеш да ће дељивост са 9 зависити само од збира његових цифара (8 + 2 + 3 + 5 = 18). Како је 18 дељив са 9, то је и 8 235 дељив са 9. Број је дељив са 9 ако му је збир цифара дељив са 9. Слично се испитује и дељивост са 3, па ћеш искористити пример 2. 8 235 = (8 ∙ 999 + 2 ∙ 99 + 3 ∙ 9) + (8 + 2 + 3 + 5) Број који је дељив са 9 дељив је и са 3. То значи да су прва три сабирка дељива са 3 јер су дељива са 9, па дељивост са 3 зависи само од збира цифара тог броја. Број је дељив са 3 ако му је збир цифара дељив са 3.
65
Пример 3. Број 267 је дељив са 3, јер је 2 + 6 + 7 = 15 и 3 | 15. Пример 4. Проверимо дељивост бројева 7 032 и 1 234 са 3. Број 7 032 је дељив са 3, јер је збир цифара тог броја 7 + 0 + 3 + 2 = 12, а 12 је дељив са 3. Број 1 234 није дељив са 3, јер је збир цифара тог броја 1 + 2 + 3 + 4 = 10, а 10 није дељив са 3. Задатак 2. Испитај дељивост следећих бројева са 3: а) 345; б) 1 313; в) 28 113. Пример 5. Проверимо дељивост бројева 8 460 и 9 876 са 9. - Број 8 460 дељив је са 9, јер је збир цифара тог броја 8 + 4 + 6 + 0 = 18, а 18 је дељив са 9. - Број 9 876 није дељив са 9, јер је збир цифара тог броја 9 + 8 + 7 + 6 = 30, а 30 није дељив са 9. Приметимо да је овај број дељив са 3 јер 3 | 30. Задатак 3. Испитај дељивост следећих бројева са 9: а) 225; б) 7 123; в) 54 864.
Дељивост са 6, 12, 15, 36 Ако је број дељив са 2 и 3 он мора бити дељив и са производом тих бројева 2 ∙ 3 = 6. Слично можемо испитати дељивост са 12, 15, 36, ... а) Број је дељив са 6 ако је дељив и са 2 и са 3. б) Број је дељив са 12 ако је дељив и са 3 и са 4. в) Број је дељив са 15 ако је дељив и са 3 и са 5. г) Број је дељив са 36 ако је дељив и са 4 и са 9. Али примети да је број 18 дељив и са 2 и са 6, али није дељив са 2 ∙ 6 = 12. Пример. Испитајмо дељивост: а) броја 222 са 6;
б) броја 840 са 15.
а) Број 222 је дељив са 2 јер му је последња цифра 2 и дељив је са 3 јер му је збир цифара 2 + 2 + 2 = 6 дељив са 3, па је 222 дељив и са 2 ∙ 3 = 6. б) Број 840 дељив је са 3 јер му је збир цифара 8 + 4 + 0 = 12 дељив са 3 и дељив је са 5 јер се завршава цифром 0, па је 840 дељив и са 3 ∙ 5 = 15. Задатак. Испитај дељивост: а) броја 126 са 6;
66
в) броја 480 са 15;
б) броја 288 са 12 ;
г) броја 756 са 36.
ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ Марко је написао скупове делилаца неколико првих природних бројева: D1 = {1},
D6 = {1, 2, 3, 6},
D2 = {1, 2},
D7 = {1, 7},
D3 = {1, 3},
D8 = {1, 2, 4, 8},
D4 = {1, 2, 4},
D9 = _________,
D5 = {1, 5},
D10 = _________.
и уочио три врсте тих скупова: D1 – има само један елемент, D2 , D3 , D5 , D7 , ... – имају по два елемента, D4 , D6 , D8 , ... – имају више од два елемента. Размишљао је да ли постоји неки већи број, на пример број већи од 20 који има само 2 делиоца. Сетио се броја 23. D23 = {1, 23} А да ли постоји број већи од 100 који има само два делиоца? Размишљао је и сетио се да тај број мора бити дељив са 1 и самим собом и ни једним другим бројем. Значи, мора да буде непаран, и да није дељив са 3, ни са 5, ... Да ли је, рецимо, 113 такав? Да, заиста D113 = {1, 113}. Природни бројеви већи од 1 који имају тачно два делиоца, број 1 и самог себе, називају се прости бројеви. Прости бројеви су: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Природни бројеви већи од 1 који имају више од два делиоца називају се сложени бројеви. Сложени бројеви су: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ... Број 1 има само један делилац и то је број 1. Број 1 није ни прост ни сложен. Број 2 је једини паран број који је прост. Видиш да су, на пример, 3, 5 и 7 непарни прости бројеви. Да ли то значи да су сви непарни бројеви прости? Наравно да не значи. На пример, 9 поред 1 и самог себе дељив је и са 3. Пример 1. Написаћемо све делиоце бројева 12, 13, 22, 23 и 25, па на основу тога закључи који су од њих прости а који сложени бројеви. D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, D13 = {1, 13}, D22 = {1, 2, 11, 22}, D23 = {1, 23}, D25 = {1, 5, 25}. Бројеви 13 и 23 имају тачно два делиоца, па закључујемо да су они прости. Бројеви 12, 22 и 25 имају више од два делиоца, па су то сложени бројеви.
67
Два броја су узајамно проста ако немају заједничких делилаца осим 1. Пример 2. а) Било која два проста броја су узајамно проста: 3 и 7, 13 и 47, 5 и 29, ... б) Бројеви 15 и 8 нису прости, али јесу узајамно прости, јер је D15 = {1, 3, 5, 15} и D8 = {1, 2, 4, 8} и D15 D8 = {1}. Задатак 1. Нађи пресеке:
а) D8 D9;
б) D20 D21;
в) D23 D24;
г) D120 D121.
Ератостеново сито Многи познати математичари покушавали су да пронађу поступак помоћу којег можемо утврдити да ли је неки природан број прост или сложен. Први допринос дао је Ератостен (грчки математичар који је живео у III веку пре нове ере). Он је пронашао поступак којим се налазе сви прости бројеви који су мањи од неког датог броја и тај поступак назива се Ератостеново сито. Пример. Помоћу Ератостеновог сита пронађимо све просте бројеве мање од 100. Записаћемо све природне бројеве од 1 до 100. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Сада ћемо прецртавати све бројеве који нису прости. Број 1 можемо одмах прецртати јер није ни прост, ни сложен. Број 2 је прост па га нећемо прецртати, али ћемо прецртати све који су дељиви са 2, то јест после 2 сваки други број (ради лакшег разликовања простих од сложених бројева у таблици, просте бројеве ћемо заокружити). Број 3 је прост, па га нећемо прецртати, али прецртаћемо све бројеве веће од 3 који су дељиви са 3, то јест после 3 сваки трећи број. Мећу тим бројевима наћи ће се и неки бројеви које смо већ прецртали, нa пример 6, 12, 18, ..., јер су они дељиви и са 2 и са 3. Следећи број је 4, али он је већ прецртан, што значи да је сложен па идемо на следећи, а то је број 5. Пет је прост број, па га нећемо прецртати, али прецртаћемо све који су већи од 5 и дељиви са 5, то јест после 5 сваки пети број. Тако даље радимо са свим непрецртаним бројевима на које „наиђемо“. Доврши започети поступак. Користећи овај поступак добили смо све просте бројеве који су мањи од 100, а то су: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
68
РАСТАВЉАЊЕ НА чИНИОцЕ Наставник физичког васпитања има час у одељењу V1 које има 30 ученика. Да би могли да раде вежбе наставник мора да их распореди у више редова. Како наставник може да их распореди, тако да у сваком реду буде једнак број ученика? ••••••••••••••• ••••••••••••••• •••••• •••••• •••••• ••••••
•••••••••• •••••••••• ••••••••••
•••••• Пошто je 30 = 2 ∙ 15 = 3 ∙ 10 = 5 ∙ 6 закључујемо да наставник може да распореди 30 ученика у 2 реда, тако да у сваком реду буде по 15 ученика, или у 3 реда, тако да у сваком реду буде по 10 ученика, или у 5 редова, тако да у сваком реду буде по 6 ученика. Да бисмо решили овај проблем број 30 морали смо да запишемо као производ два чиниоца. Често је потребно сложен број раставити на чиниоце, то јест написати га у облику производа простих чинилаца. Пример 1.
65 = 5 ∙ 13
143 = 11 ∙ 13 30 = 2 ∙ 15 = 2 ∙ 3 ∙ 5
105 = 3 ∙ 35 = 3 ∙ 5 ∙ 7
Бројеве 65, 30, 143 и 105 написали смо у облику производа простих чинилаца, па ћемо рећи да смо те бројеве раставили на чиниоце. Задатак 1. Напиши бројеве 34, 42, 77 и 385 у облику производа простих чинилаца. Пример 2.
12 = 2 ∙ 6 = 2 ∙ 2 ∙ 3
36 = 4 ∙ 9 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3
75 = 3 ∙ 25 = 3 ∙ 5 ∙ 5
Задатак 2. Напиши бројеве 63, 100 и 500 у облику производа простих чинилаца.
69
Примећујеш да се у примеру 2 неки прости бројеви као чиниоци јављају више пута. Да не бисмо записивали више пута исте чиниоце, да би запис био краћи и прегледнији, производ истих чинилаца можемо записати у облику степена, као на пример: 32 = 4 ∙ 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 4 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 3 ∙ 3 = 32 (број 3 је чинилац који се понавља, а 2 нам показује колико пута), 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 (број 2 је чинилац који се понавља, а 4 нам показује колико пута), 5 ∙ 5 ∙ 5 = 53 (број 5 је чинилац који се понавља, а 3 нам показује колико пута). Сада се можемо вратити на пример 2 и краће записати (доврши започето): 12 = 22 ∙ 3 36 = 22 ∙ 3_ 32 = __ 75 = 3 ∙ __ Како ћемо сложен број раставити на просте чиниоце? Најједноставније је да испитамо који је његов најмањи делилац из скупа простих бројева: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., па да га поделимо тим бројем. Ако је могуће, добијени количник опет делимо истим простим бројем, а ако није онда тражимо први следећи прост број којим може да се подели. Поступак настављамо док не добијемо количник 1. Растави број 20 на просте чиниоце. 20 20 : 2 = 10 10 : 2 = 5 5:5= 1
20 10 5
можеш поделити са 2 можеш поделити са 2 можеш поделити са 5
Краће записујеш:
20 2 10 2 5 5 1
Дакле, 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 22 ∙ 5. Просте бројеве не можемо раставити на просте чиниоце, то јест не можемо записати као производ простих бројева. Пример 3. Раставимо на чиниоце број 48. Први начин: 48 = 2 ∙ 24 Други начин: = 2 ∙ 2 ∙ 12 =2∙2 ∙2 ∙6 =2∙2 ∙2 ∙2∙3 = 24 ∙ 3
Трећи начин: 48 24 12 6 3 1
2 2 2 2 3
Видиш да је најбрже доћи до решења на трећи начин, па ћеш убудуће углавном користити само тај поступак. Задатак 3. Растави на просте чиниоце бројеве 400, 1 250 и 4 840.
70
НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИчКИ ДЕЛИЛАц Марков деда на селу има 8 белих и 12 црних зечева. Марко треба да му помогне да их распореди у кавезе, тако да у сваком кавезу буде једнак број зечева исте боје. Колико је кавеза Марку и његовом деди за то потребно? Беле зечеве могу распоредити у 1, 2, 4 или 8 кавеза тако да у сваком кавезу буде једнак број зечева. То су, у ствари, делиоци броја 8 јер је D8 = {1, 2, 4, 8}. Црне зечеве могу распоредити у 1, 2, 3, 4, 6, или 12 кавеза. То су делиоци броја 12 јер је D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Како у сваком кавезу мора бити и белих и црних зечева и једнак број зечева исте боје, они су закључили да сви зечеви могу да се распореде у 1, 2 или 4 кавеза. Бројеви 1, 2 и 4 јесу делиоци и броја 8 и броја 12, па су то заједнички делиоци бројева 8 и 12. Ако је неки број к N делилац и броја a и броја b, онда је к заједнички делилац тих бројева. Скуп свих заједничких делилаца два броја представља пресек скупова делилаца једног броја и делилаца другог броја и означава се са Da,b. Број 1 је увек у скупу Da,b.
Највећи број из скупа свих заједничких делилаца бројева 8 и 12 јесте број 4. То је њихов највећи заједнички делилац. D8 D12 = D8,12 = {1, 2, 4} Највећи од свих заједничких делилаца бројева a и b називамо највећи заједнички делилац бројева a и b и означавамо га са D(a, b). Пример 1. Нађимо заједничке делиоце и највећи заједнички делилац бројева: а) 10 и 16; б) 48 и 54. а)
D10 = {1, 2, 5, 10} D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D10,16 = D10 D16 = {1, 2} Највећи заједнички делилац бројева 10 и 16 јесте број 2, то јест D(10, 16) = 2.
б)
D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} D54 = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} D48,54 = D48 D54 = {1, 2, 3, 6} D(48, 54) = 6.
71
Da,b је скуп, а D(a, b) је број. Задатак 1. Одреди заједничке делиоце и највећи заједнички делилац бројева: а) 24 и 60; б) 30 и 50. У примеру 1 одредили смо највећи заједнички делилац тако што смо: - најпре одредили скуп делилаца једног броја, - затим скуп делилаца другог броја, - па скуп заједничких делилаца за та два броја и - на крају из њега издвојили највећи. У примеру 2, без тражења свих заједничких делилаца, одредићемо највећи заједнички делилац два броја растављајући те бројеве на просте чиниоце. Пример 2. Одредимо највећи заједнички делилац бројева 24 и 36. Растављајући бројеве на просте чиниоце добијамо 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3, 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3. Одредимо све просте чиниоце једног броја који имају „свој пар” међу чиниоцима другог броја: 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3, 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3. Највећи заједнички делилац бројева 24 и 36 јесте производ свих чинилаца једног броја који имају „свој пар“ међу чиниоцима другог броја, D(24,36) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. Највећи заједнички делилац два броја које смо раставили на просте чиниоце добијамо тако што одредимо производ свих чинилаца једног броја који имају свој пар међу чиниоцима другог броја. Као што је Da,b = Da Db , тако је и Da,b,с = Da Db Dс . Као што је D(a,b) био највећи број у Da,b, тако је и D(a, b, с) највећи број у Da,b,с. Пример 3. а) Одредимо највећи заједнички делилац бројева 105 и 150 растављањем на просте чиниоце. 150 2 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 105 3 75 3 35 5 25 5 150 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 7 7 5 5 D(105, 150) = 3 ∙ 5 = 15 1 1 б) Одредимо највећи заједнички делилац бројева 48, 72 и 96. 48 2 72 2 96 2 48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 24 2 36 2 48 2 12 2 18 2 24 2 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 6 2 9 3 12 2 96 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 3 3 3 3 6 2 D(48, 72, 96) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 1 1 3 3 1
72
Да бисмо скратили поступак одређивања највећег заједничког делиоца, тражићемо истовремено заједничке делиоце за све бројеве. Вратимо се на пример 3. 105, 150 3 35, 50 5 7, 10
48, 24, 12, 6, 2,
D(105, 150) = 3 ∙ 5 = 15
72, 36, 18, 9, 3,
96 48 24 12 4
2 2 2 3
D(48, 72, 96) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
Поступак тражења највећег заједничког делиоца завршаваш када у истом реду добијеш бројеве који су узајамно прости, то јест немају заједничких делилаца различитих од 1. Задатак 2. Одреди највећи заједнички делилац бројева: а) 12 и 42; б) 60 и 80. Пример 4. Одредимо највећи заједнички делилац бројева: а) 7 и 13;
б) 8 и 9;
в) 4, 11 и 17.
D(7, 13) = 1
D(8, 9) = 1
D(4, 11, 17) = 1
У свим претходним примерима највећи заједнички делилац једнак је 1. Ако су бројеви узајамно прости највећи заједнички делилац тих бројева једнак је 1. Задатак 3. Одреди највећи заједнички делилац бројева: а) 15 и 16; б) 31 и 32; в) 25 и 49.
За узајамно просте бројеве a и b важи D(a, b) = 1. Два проста броја су и узајамно проста. Исто важи и за три, четири, ... проста броја. Два узастопна природна броја су узајамно проста. Ако један број дели други, онда је највећи заједнички делилац тих бројева први број. Ако а | b, онда D(a, b) = а.
73
Пример 5. Нађимо највећи заједнички делилац бројева 6 и 42. Први начин 6, 42 2 3, 21 3 1, 7
Други начин 6 | 42 па је D(6, 42) = 6.
D(6, 42) = 2 ∙ 3 = 6
Пример 6. Два канапа, дужине 75m и 105m, треба исећи на што веће делове једнаких дужина. Колика ће бити дужина сваког дела и колико таквих делова ће се добити од оба канапа? Како и један и други канап треба поделити на једнаке делове, потребно је наћи број који дели и 75 и 105, то јест заједнички делилац бројева 75 и 105 (дужине канапа). А пошто делови морају бити што већи, њихова дужина је једнака највећем заједничком делиоцу бројева 75 и 105. Први начин
75, 105 3 25, 35 5 5, 7
D(75, 105) = 3 ∙ 5 = 15
Дужина сваког новодобијеног дела биће 15m. Остаје још да се израчуна колико ће се таквих делова добити од оба канапа. Од првог 75 : 15 = 5 делова, а од другог 105 : 15 = 7 делова, што је укупно 12 делова. Други начин
75 3 25 5 5 5 1
75 = 3 ∙ 5 ∙ 5
105 3 35 5 7 7 1
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
D(75, 105) = 3 ∙ 5 = 15 Дужина сваког новодобијеног дела биће 15m. Укупно ће бити 5 + 7 = 12 делова. Задатак 4. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 72 и 162 тако да нема остатака при тим дељењима?
74
НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИчКИ САДРЖАЛАц Мајини родитељи, госпођа и господин Перић, раде у авио-компанији. Господин Перић је пилот и лети на релацији Београд–Лондон, а госпођа Перић је стјуардеса и лети на релацији Београд–Париз. Ако је господин Перић у Београду сваки трећи дан, а госпођа Перић сваки четврти дан, када ће Мајини родитељи бити у Београду истовремено? Господин Перић је у Београду сваки трећи дан, па ће он бити у Београду после 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... дана. Примећујеш да су ови бројеви садржаоци броја 3. S3 = { 3, 6, 9, 12,15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... } Госпођа Перић је у Београду сваки четврти дан, па ће она бити у Београду после 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... дана. Ови бројеви су садржаоци броја 4. S4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... } Можемо уочити да ће Мајини родитељи истовремено бити у Београду после 12, 24, 36, ... дана. То су заједнички садржаоци бројева 3 и 4.
S3 S4 = S3,4 S3,4= { 12, 24, 36, …} Ако је неки број к N садржалац бројева a и b, онда је к заједнички садржалац тих бројева.
Скуп свих заједничких садржалаца два броја а и b представља пресек скупова садржалаца једног броја и садржалаца другог броја и означавамо га са Sa,b. Примећујемо да скуп свих садржалаца броја 3 није коначан, јер су то сви природни бројеви облика 3 ∙ k (k N). Такође и скуп свих садржалаца броја 4 није коначан, јер су то сви природни бројеви облика 4 ∙ k (k N). Самим тим, ни скуп свих заједничких садржалаца бројева 3 и 4 није коначан. Из скупа заједничких садржалаца можемо издвојити најмањи од свих, број 12, и то ће бити најмањи заједничких садржалац бројева 3 и 4. У претходном примеру видиш да је S(3, 4) = 12. Најмањи од свих заједничких садржалаца бројева a и b називамо најмањи заједнички садржалац бројева a и b и означавамо га са S(a,b).
75
Пример 1. Нађимо заједничке садржаоце и најмањи заједнички садржалац бројева 3, 5 и 6. Корак 1. Одређујемо садржаоце броја 3, S3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60,… }. Корак 2. Затим садржаоце броја 5, S5 = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, … }. Корак 3. Па садржаоце броја 6, S6 = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, … }. Корак 4. Затим одређујемо заједничке садржаоце бројева 3, 5 и 6, то јест тражимо S3 S5 S6 S3,5,6 = {30, 60, … }. Корак 5. Од њих издвојимо најмањи заједнички садржалац бројева 3, 5 и 6. S(3, 5, 6) = 30. Примећујемо да овај поступак одређивања најмањег заједничког садржаоца захтева доста времена. Покажимо како брже можемо одредити најмањи заједнички садржалац. Пример 2. а) Одреди најмањи заједнички садржалац бројева 9 и 12. Већи број је 12, па испиши садржаоце броја 12 и тражи који од тих садржалаца је 4 и садржалац броја 9. 12 није дељиво са 9, па 12 није садржалац броја 9, 24 није дељиво са 9, па 24 није садржалац броја 9, 36 : 9 = 4, па је 36 најмањи заједнички садржалац бројева 9 и 12. S(9, 12) = 36. б) Нађи најмањи заједнички садржалац бројева 45 и 60. 60 није дељиво са 45 120 није дељиво са 45 180 : 45 = 4, пa je S(45, 60) = 180. У следећем примеру научићеш и трећи начин одређивања најмањег заједничког садржаоца бројева растављајући те бројеве на просте чиниоце. Пример 3. а) Одредимо најмањи заједнички садржалац бројева 9 и 12. 9 3 3 3 1
9=3∙3
12 2 6 2 3 3 1
12 = 2 ∙ 2 ∙ 3
Најмањи заједнички садржалац бројева 9 и 12 добићеш као производ свих простих чинилаца који се јављају у растављању броја 9 или у растављању броја 12. (Напоменимо да смо код тражења највећег заједничког делиоца множили оне просте чиниоце који се појављују и у једном и у другом броју, док је овде битно да се појављују бар у једном броју.)
76
S(9, 12) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 36.
б) Одреди најмањи заједнички садржалац бројева 45 и 60. 45 3 60 2 15 3 30 2 15 3 5 5 5 5 1 1 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 S(45, 60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 180
Најмањи заједнички садржалац можеш наћи и тако (четврти начин) што бројеве истовремено растављаш на просте чиниоце, с тим што се дели бројем који дели бар један од бројева. Ако су оба броја дељива простим чиниоцем, онда делиш оба броја, а ако је дељив само један, онда делиш тај број, а други, који није дељив, преписујеш. Поступак настављаш док све бројеве не раставиш на просте чиниоце. Пример 4. Одредимо најмањи заједнички садржалац бројева: a) 54 и 90; б) 45, 60 и 75. 54, 90 2 27, 45 3 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 S(54, 90) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 270
45, 45, 45, 15, 5, 1, 1,
60, 30, 15, 5, 5, 1, 1,
75 75 75 25 25 5 1
2 2 3 3 5 5
S(45, 60, 75) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 900
Задатак 1. Одреди најмањи заједнички садржалац бројева: а) 12 и 16; б) 24 и 30; в) 4, 6 и 8. Ако је један број садржалац другог броја, онда је њихов најмањи заједнички садржалац сам тај број. Пример 5. a) Најмањи заједнички садржалац бројева 5 и 10 јесте 10, јер 5 | 10, па је S(5, 10) = 10. б) Одредимо S(6, 18, 72). Кaкo je 6 | 72 и 18 | 72, то је S(6, 18, 72) = 72. Aко је а | b, онда је S(a, b) = b. Ако су бројеви узајамно прости, онда је њихов најмањи заједнички садржалац једнак производу тих бројева. Пример 6. a) Одреди S(4, 9). Како су 4 и 9 узајамно прости бројеви, њихов најмањи заједнички садржалац једнак је њиховом производу, то јест S (4, 9) = 4 ∙ 9 = 36.
б) Одреди S(10, 33). Из D(10, 33) = 1 следи да је S(10, 33) = 10 ∙ 33 = 330.
Ако је D(a, b) = 1, онда је S(a, b) = а ∙ b. Очигледно је да за узајамно просте бројеве a и b важи D(a, b) ∙ S(a, b) = а ∙ b. Ово важи и у општем случају, а не само ако су a и b узајамно прости бројеви. Производ највећег заједничког делиоца и најмањег заједничког садржаоца два броја једнак је производу тих бројева, то јест D(a, b) ∙ S(a, b) = а ∙ b.
77
Питања без одговора Иако људи од давнина проучавају особине бројева и њихове међусобне односе, још увек постоји много питања без одговора. Савршени бројеви Прави делиоци неког броја су сви делиоци тог броја различити од њега самог. Тако, прави делиоци броја 6 су 1, 2 и 3. Старогрчки математичар Питагора и његови ученици први су проучавали бројеве који су једнаки збиру својих правих делилаца. Они су овакве бројеве назвали „савршени бројеви“. На пример, број 6 је савршен број. Заиста, прави делиоци броја 6 су 1, 2 и 3, па је 6 савршен број јер је 6 = 1 + 2 + 3. Следећи савршен број је 28, зато што је 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Како бројеви постају већи, све је теже пронаћи савршене бројеве. Трећи савршен број је 496, четврти је 8 128, пети је 33 550 336. Осим што представљају збир својих правих делилаца, сви савршени бројеви поседују и друге занимљиве особине (то је још и Питагора приметио). На пример, савршени бројеви увек представљају збир неколико узастопних бројева. 6=1+2+3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 30 + 31 Међутим, има доста питања у вези са савршеним бројевима која су још увек без одговора. Једно од најстаријих нерешених питања у математици је: „Да ли постоје савршени непарни бројеви?“ Иако одговора још увек нема, познато је да би такав број, уколико уопште постоји, морао имати најмање 300 цифара у декадном запису и морао би имати прост делилац већи од 100 000 000 000 000 000 000. Пријатељски бројеви Пријатељски бројеви су парови бројева код којих сваки број представља збир правих делилаца оног другог броја. На пример, 220 и 284 су пријатељски бројеви. Прави делиоци броја 220 су 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 и њихов збир је 284. С друге стране, делиоци броја 284 су 1, 2, 4, 71, 142, а њихов збир је 220. Овај пар су открили Питагора и његови ученици. Више од хиљаду година касније, 1636. године, француски математичар Пјер Ферма открио је следећи пар пријатељских бројева, 17 296 и 18 416. Занимљиво је да је Ферма превидео да постоји и пар много мањих пријатељских бројева. Шеснаестогодишњи Италијан, Николо Паганини, 1866. године открио је пар 1 184 и 1 210. Много је питања у вези са пријатељским бројевима која су такође без одговора. На пример, да ли има коначно или бесконачно много парова пријатељских бројева?
78
Угао
Пример 1. Дејан, Миша и Иван су спремни да отворе паљбу. Ко ће најдаље да добаци? Зашто? Има ли домет везе са углом под којим су праћке затегнуте?
Пример 2. Ко је добио највеће парче пице? Опет су извесни углови у питању, зар не?
Пример 3. У подручјима која имају такозвану умерену климу, где се налази и наша земља, врло јасно опажамо промену годишњих доба, као и то да је зими хладно и да су ноћи дуге, а лети је топло и ноћи су кратке. Шта је узрок овој појави? Сунце. Тачније, угао под којим нам оно шаље своје зраке. То је угао између Сунца, посматрача и хоризонта, и назива се висина Сунца. Сунце се рађа на истоку, затим се пење ка југу и на крају залази на западу. Своју максималну висину на небу достиже када је на југу, што се дешава у подне.
Дужи и углови спадају у најзначајније геометријске фигуре. Уз упознавање са угловима сазнај и одговоре на многобројна питања међу којим су и ова: Од када људи деле дан на 24 сата, а сат на 60 минута? Како да одредиш под којим углом падају Сунчеви зраци на Земљу у различито доба дана? Како се најједноставније може измерити полупречник наше планете Земље? Изоштри свој угао гледања на свет око себе!
79
ПоЈаМ УгЛа
Угаона линија Унија две полуправе са заједничком почетном тачком назива се угаона линија. Заједничка почетна тачка полуправих назива се теме угаоне линије, док су полуправе њени краци. Угаону линију одређену полуправама Op и Oq означаваћемо са pOq. Дакле, pOq = Op Оq.
Пар дужи којима је заједничка једна крајња тачка, означимо их са OP и OQ, на јединствен начин oдређују угаону линију pOq, при чему P Op и Q Oq. Угаону линију одређену паром дужи OP и OQ означаваћемо са POQ.
Разликуј угаону линију
POQ од изломљене линије POQ!
Права је специјалан случај угаоне линије. Заиста, унија полуправих које одређује нека тачка A праве p управо је права p.
Пример 1. Две праве a и b које се секу у тачки O одређују шест угаоних линија. Ако са Oa1 и Oa2 означимо полуправе одређене правом a и тачком O, а са Ob1 и Ob2 полуправе одређене правом b и тачком O, тада ових шест угаоних линија означавамо са: a1Ob1, a1Oa2 = a, a1Ob2, b1Oa2, b1Ob2 = b, a2Ob2.
80
Задатак 1. На слици десно дате су четири тачке A, B, C, D и права p. 1) Да ли изломљена линија DBC сече праву p? 2) Да ли угаона линија DBC сече праву p? 3) Које од угаоних линија са теменом у тачки A, чији краци садрже неке две од преосталих тачака, секу праву p? 4) Да ли нека од изломљених линија одређених неким од датих тачака сече праву p? Задатак 2. а) Поред тачних тврђења упиши знак 1) xOy uSv = {A, B, C, D}; 2) OAB uSv = AS; 3) xOy CDA = AD; 4) OBA BCD = {B}.
, нетачне прецртај.
б) Одреди следеће пресеке: 1) ODC xOy = _________; 2) AOB BSC = _________; 3) DCA ABC = _________; 4) ABC ADC = _________.
Угао Свака угаона линија дели раван у којој се налази на два дела. Прецизније, две тачке равни које не припадају угаоној линији налазе се са исте или са различитих страна те угаоне линије. Тачке A и B су са исте стране дате угаоне линије уколико постоји изломљена линија која повезује тачке A и B (и, наравно, која је у равни угаоне линије) и која нема заједничких тачака са уоченом угаоном линијом. Са различитих страна су ако таква изломљена линија не постоји, то јест ако свака изломљена линија која спаја тачке A и B сече угаону линију. Пример 2. Тачке T и X, као и тачке Y и Z, са слике, са исте су стране угаоне линије pOq. Парови тачака Z и T, Z и X, Y и T, Y и X са различитих су страна уочене угаоне линије.
81
Угао је геометријски објекат који чине угаона линија и један од скупова тачака које су са исте стране те угаоне линије и који се назива угаона област или област угла. Теме и краци угаоне линије сада постају и теме и краци одговарајућег угла.
Свака угаона линија одређује два угла! Ако полуправе Op и Oq не припадају истој правој, онда оне одређују два угла, од којих је један конвексан, а други неконвексан. Избор конвексног, односно неконвексног угла графички представљамо делом кружнице чији је центар теме угаоне линије, а полупречник је произвољно изабран.
Значи, бираш конвексан угао!
конвексан угао
Неопходно је недвосмислено рећи који од углова је изабран да не би дошло до забуне. Користе се следеће ознаке: pOq за конвексан и pOq за неконвексан угао одређен угаоном линијом pOq.
Значи, бираш неконвексан угао!
неконвексан угао
Задатак 3. За сваку од датих угаоних линија (доцртавањем одговарајућег дела кружнице) графички представи захтев написан испод сваке од њих.
Изабери конвексан угао.
Изабери неконвексан угао.
Изабери конвексан угао.
Ако се полуправе Op и Oq налазе на истој правој, онда оне одређују два угла који су, заправо, две полуравни одређене правом на којој леже дате полуправе. Тада сваку од уочених полуравни називамо опружен угао.
82
Изабери неконвексан угао.
Углови се често означавају и малим словима грчког алфабета. Већ смо упознали слова: α, β, γ, δ. Ево још неких: φ (читамо „фи“), ψ („пси“), θ („тета“).
Задатак 4. Обој пресеке углова приказаних на наредној слици. 1)
2)
3)
Задатак 5. Дате су три полуправе Оa, Ob и Oc. Сви углови које уочавамо на слици десно јесу: aOb, aOb, ______ , ______ , ______ , ______ . Конвексни су: ________________________ ____________________________________.
Задатак 6. Нацртај у свесци два угла тако да: 1) њихов пресек буде троугао; 2) њихов пресек буде конвексан угао; 3) њихова унија буде конвексан угао; 4) њихова унија и њихов пресек буду конвексни углови; 5) њихов пресек буде полуправа; 6) њихов пресек буде дуж; 7) њихов пресек буде једна тачка; 8) њихов пресек буде празан скуп.
83
КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВа Зашто угао означавамо делом кружнице?
Посматрајмо пут који пређе уочена тачка X (на слици доле десно) при кретању једног крака (Oq) ка другом непомичном краку (Op) неког физичког модела за угао. Није тешко уочити да је пређени пут део кружнице чији је центар теме угла и полупречник растојање уочене тачке од темена. Пређени пут је такозвани кружни лук. Дакле, сама природа нам намеће везу између углова и кружних лукова. Позабавимо се чврстом везом између неког угла и концентричних кружница са истим центром у темену изабраног угла!
Сваки угао чије је теме центар кружнице назива се централни угао те кружнице.
Пример 1. На кружници су дате три тачке. Има шест централних углова чији краци садрже две од датих тачака. То су углови: AOB,
84
AOB, ____________________________
Пресек кружнице k(O, r) и угла POQ назива се кружни лук полупречника r, одређен централним углом POQ, , при чему је Т произвољно изабрана и означава се са тачка лука. Понекад, када је јасно о ком луку је реч, користи . Сваком кружном луку одговара дуж – се и ознака тетива – PQ. Приметимо да је дуж PQ тетива два кружна лука, једног који је одређен конвексним (црвеним) углом и другог који је одређен неконвексним (плавим) углом. Тетива којој припада центар круга назива се пречник или дијаметар круга. Пречник је најдужа тетива круга.
Дијаметралан (од речи дијаметар која је грчког порекла) у пренесеном значењу означава нешто што је сасвим на другој, супротној страни. На пример, дијаметрално супротан значи потпуно супротан, апсолутно различит. Централни угао чија је тетива пречник круга јесте опружен угао. Задатак 1. За сваки од централних углова уочених у претходном примеру, одреди одговарајућу тетиву и одговарајући кружни лук. На пример, углу AOB одговара тетива AB и лук над овом тетивом који не садржи тачку C. Ако желиш прецизно да означиш овај лук, изабери једну . Углу његову тачку и означи је са ___. Тада је ознака за тај лук AOB такође одговара тетива AB и лук Задатак 2. Обој део круга који одговара назначеном кружном луку:
Задатак 3. На кружници k(O,5cm) дата је тачка P. Колико има тетива ове кружнице чија је једна крајња тачка P и чија је дужина 3cm? Конструиши их!
85
ЈЕДНаКосТ УгЛоВа Замисли моделе два угла: од зеленог и црвеног картона или (ако ти се више свиђа) два парчета пице, исечена на уобичајен начин. Како ћеш некога уверити да они одређују једнаке углове? Поставићеш их тако да им се поклопе и темена и краци, зар не? Задатак 1. Резањем прилога 1 на страни 185 и лепљењем одреди који су од изрезаних углова једнаки угловима приказаним на наредној слици.
Успостављена веза између углова и кружних лукова омогућава нам да избегнемо резање, лепљење и преклапање и да једнакост углова утврдимо посматрањем кружних лукова!
Два угла су једнака (подударна) ако су им одговарајући кружни лукови једнаких дужина. Наравно, под одговарајућим кружним луковима сматрамо оне који имају једнаке полупречнике.
Међутим, није баш згодно мерити дужине кружних лукова. Како сваком кружном луку одговара тетива, чију је дужину лако одредити, једнакост углова можемо утврдити и посматрањем одговарајућих тетива. Једини проблем је у томе што, за разлику од кружних лукова, једна иста тетива одговара и конвексном и неконвексном углу.
Два угла која су оба конвексна или оба неконвексна једнака су (подударна) ако су им одговарајуће тетиве једнаких дужина. Под одговарајућим тетивама сматрамо оне чији су крајеви подједнако удаљени од темена углова.
86
Пример 1. Утврдимо који су од углова α, β, γ међусобно једнаки. Како су углови α и γ конвексни, а β неконвексан, одмах закључујеш да је α ≠ β и β ≠ γ. Да бисмо проверили једнакост конвексних углова неопходно је најпре конструисати кружне лукове једнаких полупречника r и проверити једнакост одговарајућих тетива. Већ знаш да једнакост тетива не мораш проверавати лењиром – мерењем – већ шестаром. После провере закључујеш да је α = γ. Сви опружени углови су међусобно подударни!
Како конструисати угао чији је један крак произвољна полуправа Ox и који је подударан датом углу pTq? Корак 1. Шестаром, чији је врх у тачки T, конструишеш кружницу произвољног полупречника r. Угаона линија pTq сече конструисану кружну линију у двема тачкама P и Q. Корак 2. Не мењајући отвор шестара конструиши кружницу са центром O и полупречником r (који је једнак полупречнику претходне). Означи са X пресек полуправе Ox и конструисане кружнице. Корак 3. Отвор шестара подеси уз помоћ дужи PQ. Затим, конструиши кружницу k(X,PQ). Нека су Y и Z пресеци управо конструисане са већ постојећом кружницом са центром у тачки O. Дакле, према конструкцији је XY = PQ и XZ = PQ, па закључујеш да су углови XOY и ZOX подударни углу pTq, као и то да су међусобно подударни: XOY = pTq = ZOX.
87
Истакнимо једнакост полупречника кружних линија које су конструисане у корацима 1. и 2. Једнакост r = OX неопходна је због начина на који утврђујемо подударност (једнакост) углова. Примети да није неопходно увек конструисати читаве кружнице већ само, по слободној процени, довољно дугачке кружне лукове. Задатак 2. Конструиши полуправе A’a, B’b, C’c тако да углови aA’x, bB’y, cC’z буду подударни редом угловима α, β, γ троугла ABC.
Задатак 3. Дата је дуж AB и угао α. Конструиши полуправе Aa и Bb, са исте стране праве p(A,B), тако да углови aAB и bBA буду подударни углу α.
Задатак 4. На наредним сликама дати су многоуглови којима су све странице једнаке. За сваки од њих провери и да ли су означени углови међусобно једнаки.
88
УПоРЕЂИВаЊЕ УгЛоВа Упоређивање конвексних углова Пример 1. На крацима сваког од приказаних конвексних углова дате су тачке које су на једнаком растојању од одговарајућег темена OA = OB = SC = SD = TP = TQ.
Дате углове упоређујеш помоћу дужинa одговарајућих тетива, то јест дужи чије крајње тачке представљају пар уочених тачака на одговарајућим крацима. Лако се уверавамо да је CD < AB < PQ. Имајући у виду установљени поредак измерених тетива, одговарајући поредак углова је следећи: CSD < AOB < PTQ.
Нека су углови xOy и pTq конвексни и нека су XY и PQ тетиве које одговарају кружним луковима истог полупречника. Ако је XY < PQ, онда је xOy < pTq, тo јест угао xOy је мањи од угла pTq.
Задатак 1. Поређај по величини, почев од најмањег, три конвексна угла која уочаваш на слици лево.
Сваки конвексан угао је мањи од опруженог угла или му је једнак.
89
Задатак 2. Поређаj конвексне углове по величини почевши од најмањег.
_______<_______<_______<_______<_______.
Упоређивање неконвексних углова Нека су xOy и pTq неконвексни и нека су XY и PQ тетиве које одговарају кружним луковима истог полупречника. Ако је XY < PQ, онда је xOy > pTq и кажемо да је pTq мањи од xOy.
Опружен угао је мањи од сваког неконвексног угла.
Сваки конвексан угао је мањи од било ког неконвексног угла.
Задатак 3. Обележи дате углове. Упоређивањем одговарајућих тетива поређаj ове углове по величини почевши од највећег.
Задатак 4. Углови означени са α, β, γ троугла ABC називају се унутрашњи углови троугла. Који је највећи, а који најмањи међу њима? Која је најдужа, а која најкраћа страница? Шта закључујеш?
90
Kонструктивно упоређивање углова Слажеш се да је лако упоредити углове са истим теменом ако је један од њих у области другог.
Преношење углова, то јест конструкција коју смо описали, омогућава нам да поредимо било која два угла. Пример 2. Упоредимо конструктивно дате конвексне углове aSb и cTd. Дати углови!
Како је
xOy <
xOz,
Црташ лукове произвољног полупречника имајући у виду да су углови конвексни!
xOy =
cTd и
xOz =
Конструиши углове: • који су подударни датим угловима, • чије се области секу, и • којима је заједнички крак произвољно изабрана полуправа Ox!
aSb, закључујемо да је
cTd <
aSb.
Задатак 5. Конструктивно упореди углове α, β, γ троугла ABC.
91
НаДоВЕЗИВаЊЕ УгЛоВа
Два угла су надовезана ако имају заједничку полуправу за крак, док њихове области немају заједничких тачака.
Нека су задата два угла
aTb и
pSq.
Угао добијен надовезивањем датих углова конструишеш следећи кораке 1, 2 и 3. Корак 1. Произвољно бираш полуправу Ox.
Корак 2. Конструишеш један од углова
xOy који је подударан, рецимо са
Корак 3. Конструишеш yOz: • чији је један крак конструисана полуправа Oy, • који је подударан са aTb и • чија област нема заједничких тачака са већ конструисаним углом
Угао xOz назива се збир углова xOy и yOz, односно збир углова пишемо xOz = xOy + yOz = aTb + pSq.
92
pSq.
xOy.
aTb и
pSq, па
Задатак 1. Конструиши угао који је: 1) једнак збиру углова xOy, aSb, uTv; 2) два пута већи од угла xOy, то јест једнак је збиру xOy + xOy; 3) три пута већи од угла uTv.
Задатак 2. 1) Када је надовезивање углова немогуће? 2) Можеш ли да надовежеш два неконвексна угла? Образложи одговор. На природан начин и одузимаш углове, наравно мањи од већег. Разлику углова aTb и pSq, aTb – pSq, конструишеш тако што:
• произвољно изабереш полуправу Ox и констуишеш угао xOy који је подударан са већим углом aTb, • а затим конструишеш угао zOy чији је један крак полуправа Oy, који је подударан са мањим pSq и чија се област налази у области већ конструисаног угла xOy. Дакле, xOz = xOy – yOz = aTb – pSq.
Задатак 3. Дати су углови α и β. Конструиши угао који је једнак: 1) α – β; 2) α – 2β; 3) 2α – 3β.
Задатак 4. Конструиши угао који је једнак збиру углова α, β, γ троугла ABC.
93
ВРсТЕ УгЛоВа Пун угао Највећи збир два угла се достиже сабирањем два опружена угла. Збир два опружена угла се назива пун угао и чине га све тачке одговарајуће равни.
Пун угао прилично одудара од представе коју имамо о угловима. Ипак, прихватамо га јер ће нам олакшати формулације многих тврђења о угловима На пример, сваки неконвексан угао је већи од опруженог, а мањи од пуног угла. Пун угао добијамо када полуправа „обиђе пун круг“ око свог темена и врати се у почетни положај. Приметимо да је кружни лук који одговара пуном углу заправо читава кружница!
Прав угао Угао који је два пута мањи од опруженог угла јесте прав угао. Другим речима, збир два права угла јесте опружен угао.
Како су сви опружени углови подударни (једнаки), подударни су и сви прави углови. На цртежима се најчешће прав угао наглашава тачком у области угла. Верујемо да нема потребе да ти указујемо на праве углове око нас. Свуда их можеш уочити!
94
оштар и туп угао Све конвексне углове који нису прави делимо на оштре и тупе, у зависности од тога да ли су мањи или већи од правог угла. Угао је оштар ако је мањи од правог угла. Конвексан угао је туп ако је већи од правог угла.
Задатак 1. Дати су троуглови ABC, EFG и PQR. На предвиђена места упиши једну од речи: оштар, прав или туп.
Углови троугла ABC: ABC је _________ угао, BCA је _________ угао, CAB је _________ угао. Углови троугла EFG: EFG је _________ угао, FGE је _________ угао, GEF је _________ угао. Углови троугла PQR: PQR је _________ угао, QRP је _________ угао, RPQ је _________ угао. Задатак 2. Пробај да нацрташ троугао: 1) чија су два унутрашња угла прави углови; 2) чија су два унутрашња угла тупи углови; 3) који има један прав и један туп унутрашњи угао.
95
Задатак 3. Нацртај бар један четвороугао који има: 1) два тупа и два оштра угла; 2) један туп и три оштра угла. Задатак 4. Заокружи број испред тачних реченица: 1) Збир било ког тупог и било ког оштрог угла увек је конвексан угао. 2) Збир било која два тупа угла увек је неконвексан угао. 3) Збир правог и оштрог угла јесте туп угао. 4) Збир било која два оштра угла јесте туп угао. 5) Разлика правог и оштрог угла јесте оштар угао. 6) Разлика тупог и правог угла јесте оштар угао. 7) Разлика опруженог и тупог угла јесте оштар угао.
Комплементни и суплементни углови
Два угла су комплементна ако је њихов збир прав угао. Комплементни углови су оштри!
Два угла су суплементна ако је њихов збир опружен угао. Суплементни углови су конвексни!
Да би се конструисао угао који је комплементан са датим оштрим углом, довољно је конструисати полуправу чија је почетна тачка теме датог угла и која је нормална на један од кракова тог угла. На овај начин си конструисао/-ла разлику правог угла и датог угла!
96
Конструкција угла који је суплементан са датим конвексним углом још је једноставнија. Довољно је да продужиш један од кракова датог угла. Конструисани угао је разлика опруженог угла и датог угла! Задатак 5. Конструиши угао који је комплементан углу 2α, ако је α угао дат на слици десно. Задатак 6. Конструиши угао који је суплементан углу 3α, ако је α угао дат у претходном задатку. Задатак 7. Који угао је једнак свом суплементном углу? Задатак 8. Заокружи слово испред тачног одговора. 1) Угао комплементан оштром углу јесте:
А) оштар;
Б) прав;
В) туп.
2) Угао суплементан оштром углу јесте:
А) оштар;
Б) прав;
В) туп.
3) Угао суплементан правом углу јесте:
А) оштар;
Б) прав;
В) туп.
4) Угао суплементан тупом углу јесте:
А) оштар;
Б) прав;
В) туп.
Комплемент и суплемент су речи латинског порекла и имају слично значење. Рекли смо да комплемент значи допуна, додатак. И суплемент означава нешто што је придодато као допуна, додатак.
Криви торањ у Пизи Криви торањ у Пизи је звоник катедрале смештене у истоименом италијанском граду. Звоник је требало да буде потпуно вертикалан, али је почео да се криви непосредно после почетка изградње у августу 1173. године. Разлика између висине торња од земље до више стране и висине од земље до ниже стране је мало мање од једног метра. Вршећи експерименте са овог торња чувени италијански научник Галилео Галилеј, рођен у Пизи, дошао је до веома значајних запажања о којима ћеш учити касније.
97
НоРМаЛНЕ ПРаВЕ Много је математичких појмова повезано са појмом правог угла. Праве p и q међусобно су нормалне или управне, у ознаци p q, ако се секу под правим углом. Сваке две међусобно нормалне праве образују четири права угла. p
Праве углове ћеш цртати, за сада, троугаоним лењиром као што је приказано на слици десно.
q
Нормала на праву p
Често је потребно нацртати праву која садржи неку задату тачку А и нормална је на неку дату праву p. Поступаш као на слици десно!
n
A
Права n назива се нормала из тачке A на праву p; тачка пресека правих p и n назива се подножје нормале n на праву p.
Растојање тачке од праве Нека је p нека права и A тачка која јој не припада. Нека је, даље, N тачка пресека праве p и нормале n на праву p из тачке A. Ако је X било која тачка праве p, тада је AN < AX.
Подножје N нормале n из тачке A на праву p јесте тачка праве p која је најближа тачки A. Растојање тачке A од праве p јесте дужина дужи AN.
98
Задатак 1. Која је од тачака A, B, C, D најближа правој p? Доцртај, затим, тачку E која је ближа правој p од тачке A и даља од праве p него што је тачка B.
Права и кружница Имам две заједничке тачке са кружницом.
Немам заједничких тачака са кружницом.
Размотримо однос неке кружнице k(O,r), односно круга K(O,r), и правих које су у истој равни као и кружница (круг). Видимо да неке праве имају заједничких тачака са посматраном кружницом, док Имам једну неке немају. Све зависи од растојања заједничку тачку центра O кружнице од праве! са кружницом.
Први случај. Ако је растојање d центра O од праве p веће од полупречника r, онда права p нема заједничких тачака ни са кружницом k(O,r) ни са кругом K(O,r) и тада важи k(O,r) p = и K(O,r) p = .
Други случај. Ако је растојање d центра O од праве p мање од полупречника r, онда права p има две заједничке тачке, A и B, са кружницом k(O,r), док су све тачке дужи AB заједничке тачке круга K(O,r) и праве p и тада важи k(O,r) p = {A, B} и K(O,r) p = AB.
99
Трећи случај. Ако је растојање d центра O од праве p једнако полупречнику r, онда права p има једну заједничку тачку, T, и са кружницом k(O,r) и са кругом K(O,r) и тада важи k(O,r) p = {T} и K(O,r) p = {T}.
Ако права p има само једну заједничку тачку T са кружницом k(O,r), односно кругом K(O,r), кажемо да права p додирује ту кружницу, односно круг, у тачки додира T. Каже се и да је права p тангента кружнице k(O,r), односно круга K(O,r). Примети да је полупречник OT нормалан на праву p!
Задатак 2. Нацртај праву p и кружницу k(O,5cm), тако да је p k(О,5cm) = {A, B} и О p. Колика је дужина дужи AB? Задатак 3. Нацртај кружницу k(S,6cm) и произвољно изабери тачку А на њој. Нацртај затим тангенту кружнице k(S,6cm) која садржи изабрану тачку А. Задатак 4. Дата је кружница k(O,r), тачка P која припада њеној унутрашњости (OP < r) и тачка Q која припада спољашњости кружнице (ОQ > r). Заокружи бројеве испред тачних реченица? 1) Свака права која садржи тачку P сече кружницу k(O,r). 2) Постоји права која садржи тачку P и не сече кружницу k(O,r). 3) Свака права која садржи тачку Q не сече кружницу k(O,r) . 4) Постоји права која садржи тачку Q и сече кружницу k(O,r). 5) Постоји права која садржи тачку Q и не сече кружницу k(O,r). 6) Постоји тангента кружнице k(O,r) која садржи тачку P. 7) Постоји тангента кружнице k(O,r) која садржи тачку Q. Задатак 5. Нацртај у свесци три концентричне кружнице са центром у произвољно изабраној тачки O полупречника 3cm, 5cm, 6cm. Нацртај, затим, једну тангенту кружнице k(О,5cm) и одреди пресеке ове тангенте са преостале две кружнице.
100
МЕРЕЊЕ УгЛоВа Сети се да мерење дужине дужи подразумева, пре свега, избор дужи која ће бити јединица мере. Слично томе, уколико желиш да мериш углове, најпре треба изабрати угао који ће бити јединица мере.
Мерење углова значи упоређивање углова са изабраном јединицом мере. Још у древној прошлости за јединицу мере је изабран угао који је триста шездесети део пуног угла и назива се степен. Ознака за ову јединицу мере јесте подигнут кружић, то јест мера овог угла је 1°.
Мера пуног угла је 360°. Мера опруженог угла је 180°. Мера правог угла је 90°. y xOy=70
За мерење задатих углова, али и за цртање углова чија је мера дата, користи се угломер. Правилним постављањем угломера (као на слици) лако можемо очитати меру неког угла.
90 120
60 30
150
180
O
0
x
Ради једноставнијег означавања често се мера неког угла означава истим знацима као и сам угао. На пример, ако је α неки прав угао, писаћемо α = 90°. Задатак 1. Помоћу угломера одреди меру одговарајућих углова:
Задатак 2. Користећи угломер, нацртај у свесци угао чија је мера: 1) 45°; 2) 20°; 3) 120°; 4) 330°; 5) 297°. Задатак 3. Нацртај угао чија је мера за 10°: 1) мања од мере угла α; 2) већа од мере угла α.
101
Да би се прецизније одредила мера неког угла, уводе се и мање јединице мере угла – делови степена. Сети се да су из истих разлога уведени делови метра: центиметар, милиметар, ....
Угаони минут, или само минут, јесте шездесети део степена. Угаона секунда, или само секунда, јесте шездесети део минута. Ознака за минут је подигнута запета, па је мера овог угла 1' (читамо „један минут“). Дакле, важи једнакост 1° = 60'. Ознака за секунду су две подигнуте запете, па је мера овог угла 1'' (читамо „једна секунда“). Дакле, важе једнакости 1' = 60'' и 1° = 3 600''. Задатак 4. Верујемо да ћеш лако попунити наредну табелу. 1° 2° _____° _____°
= = = =
60' _____' _____' 5 400'
= = = =
3 600'' _____'' 36 000'' _____''
Мере углова изражавамо такозваним вишеименованим бројевима. Пример 1. Ако је α = 463', из једнакости 463' = 7 · 60' + 43' = 7° + 43', следи да можемо писати и α = 7° 43'. Пример 2. Одредимо меру збира углова α и β, ако је α = 17° 41' 51'' и β = 17° 36' 37''. 17°41'51'' + 17°36'37'' = 34°77'88'' = 34° + 77' + 60'' + 28'' = 34° + 77' + 1' + 28'' = 34° + 78' + 28'' = 34° + 60' + 18' + 28'' = 34° + 1° + 18' + 28'' = 35°18'28'' Дакле, α + β = 35° 18' 28''. Пример 3. Одредимо меру разлике углова α и β, ако је α = 23° 17' 16'' и β = 14° 21' 28''. 23°17'16'' – 14°21'28'' = 23°16'76'' – 14°21'28'' = 22°76'76'' – 14°21'28'' = 22°76'76'' – 14°21'28'' = 8°55'48’’ Дакле, α – β = 8° 55' 48''.
102
Задатак 5. Ако је α = 14° 56' 21'', β = 7° 18' 17'', γ = 45° 56' 38'', δ = 17° 12'', израчунај: 1) α + β; 2) 2β; 3) 2β + γ; 4) δ – α; 5) 2γ – 3β; 6) α + β + γ. Задатак 6. Ако је α = 71° 14' 14'', одреди меру њему комплементног и меру њему суплементног угла. Задатак 7. Мера угла α за 30° је мања од мере њему комплементног угла. Одреди меру угла α.
Како измерити висину сунца Ево како можеш једноставно измерити висину Сунца. Изрежи прилог 4 са стране 187 (као што је назначено) и залепи га на дебљи картон. На месту означеном x изрежи отвор (црвени крстић) тако да се у њему може учврстити усправно постављен заоштрен штапић (оловка) висине једнаке полупречнику датог кружног лука (13cm). Читав „уређај“ изложи Сунцу, али тако да сенка штапића (оловке) падне на предвиђено место – дуж одговарајуће праве. Затегни конац од тачке O до краја сенке. Место где конац сече четвртину круга показаће ти висину Сунца. На пример, у централном делу наше земље – у Крагујевцу – висина Сунца је 21. фебруара у подне 35°.
O
Мерење времена Наша подела сата на 60 минута и 3 600 секунди потиче из древног времена (од Сумераца који су живели у Месопотамији), као и наша подела круга на 360 степени, степена на 60 минута и минута на 60 секунди. Претпоставља се да су овакве поделе условљене чињеницом да број 60 има доста делилаца као и чињеница да година има приближно 360 дана (тачно 365, односно 366 у преступној години). Оваква подела је, дакле, преживела преко 4 000 година до савремене епохе.
103
УгЛоВИ На ТРаНсВЕРЗаЛИ Унакрсни и упоредни углови Сваке две праве које се секу одређују четири конвексна угла.
Задатак 1. Обави следећи експеримент. Изрежи прилог 2 са стране 185. После резања „методом преклапања“ утврди да ли међу добијеним угловима (зелени – α, плави – β, црвени – γ, жути – δ) има једнаких, то јест подударних. ЗаПаЖаЊа: 1. Парови једнаких углова јесу: ______ = ______, ______ = ______. 2. Парови углова чији је збир једнак опруженом углу јесу: ______ + ______ = 180°, ______ + ______ = 180°, ______ + ______ = 180°, ______ + ______ = 180°.
Унакрсним угловима назива се сваки од парова несуседних и подударних углова међу угловима које образују две праве које се секу. Парове суседних углова чији је збир једнак опруженом углу називамо упоредни углови.
Дакле, 3. Унакрсни углови су _____ и _____, као и _____ и _____. 4. Упоредни углови су следећи парови: _____ и _____, _____ и _____, _____ и _____, _____ и _____. Задатак 2. Одреди збир углова α, β и γ.
104
Углови на трансверзали
Права која сече паралелне праве јесте њихова трансверзала. Трансверзалан је реч латинског порекла и значи попречан. Задатак 3. Обави следећи експеримент. На страни 185 налази се прилог 3 (као на слици лево) – нацртане су паралелне праве и њихова трансверзала. Резањем на назначени начин добијаш осам углова означених грчким словима које смо већ упознали, али и неким новим словима: φ (читамо „фи“), ψ (читамо „пси“), θ (читамо „тета“), ρ (читамо „ро“). После резања „методом преклапања“ утврди који су од ових углова међусобно попударни. ЗаПаЖаЊа: 1. ______ = ______ = ______ = ______, 2. ______ = ______ = ______ = ______. Имајући у виду уочене једнакости израчунај следеће збирове: α + θ = ______, β + ρ = ______. Уочи још неке парове суплементних углова. ______ + ______ = 180°, ______ + ______ = 180°, ______ + ______ = 180°, ______ + ______ = 180°. Задатак 4. Одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици. CED = ______°,
DEI = ______°,
AEG = ______°
BEC = ______°,
GEI = ______°,
EGF = ______°
FGH = ______°,
HGI = ______°,
EIG = ______°
GIK = ______°,
KIJ = ______°,
JIE = ______°
105
Углови са паралелним крацима
Посматрајмо сада ситуацију приказану на слици десно: пар паралелних правих који сече други пар паралелних правих.
Примети да не мораш више изводити експерименте да би утврдио/-ла постојеће једнакости међу добијеним угловима. Размислиш ли мало, лако ћеш уочити да је: α = γ = φ = ρ = α1 = γ1 = φ1 = ρ1. Задатак 5. Посматрај претходну слику и упиши одговарајуће ознаке углова на предвиђена места: β = ______ = ______ = ______ = ______ = ______ = ______ = ______. Израчунај следеће збирове: α + δ1 = ______, α +θ1 = ______, α + ψ1 = ______, γ + δ1 = ______, β + γ1 = ______, ψ + ρ1 = ______, φ1 + δ1 = ______. Из претходних закључака можеш даље изводити нове! Ако два конвексна угла имају краке који леже на паровима паралелних правих које се секу, онда су они или једнаки (подударни) или суплементни. Ово можемо рећи и краће. Конвексни углови са паралелним крацима једнаки су или су суплементни.
pOq =
106
p1O1q1
pOq +
p1O1r1 = 180°
pOq =
s1O1r1
Задатак 6. Нацртај туп угао aOb и у његовој области изабери тачку S. Нацртај затим угао са теменом у тачки S, и крацима паралелним крацима угла aOb који је: 1) једнак углу aOb; 2) суплементан углу aOb. Задатак 7. Ако је p(A,B) p(C,D) и p(B,C) p(D,A), одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици десно.
Задатак 8. Краци углова α и β паралелни су. Одреди мере ових углова ако знаш да су они конвексни, да је α ≠ β и да је мера угла α четири пута већа од мере угла β. Задатак 9. Ако су краци конвексних углова α и β паралелни, одреди мере ових углова ако знаш да је α – β = 50°.
Колики је полупречник земље? Већина људи сматра да је за прецизно одређивање полупречника Земље неопходна савремена и скупа опрема. Међутим, прво прецизно одређивање полупречника Земље изведено је уз помоћ људског корака, и то још у трећем веку пре наше ере. Ово мерење је извршио старогрчки филозоф и научник Ератостен. Коришћена метода се, наравно, заснива на геометрији. Ератостен је искористио чињеницу да су у месту Сијена (данашњи Асуан) Сунчеви зраци у подне падали под правим углом. У том истом тренутку Сунце је у Александрији имало висину од θ = 7° 12'. Због једнакости углова са паралелним крацима угао између Сијене и Александрије (теме овог угла је у средишту Земље) јесте исто θ.
Ератостен је за растојање између ова два града искористио податак који је добио Александар Велики уз помоћ „корачара“ – специјалног рода у његовој војсци који је корацима мерио растојања. И то је све што је било потребно Ератостену да уз помоћ формуле (коју ћеш и ти научити у вишим разредима) добије вредност од 6 247km за полупречник Земље. Вредност (екваторског) пречника измереног савременим методама јесте 6 378km.
107
Неколико занимљивих задатака Задатак 1. На папиру, који је касније изгорео, био је нацртан угао xOy. Колика је, приближно, мера овог угла? Наравно, занимљивије је решити проблем без продужавања делова правих x и y, који су остали на папиру!
Задатак 2. На сликама доле приказана је путања билијарске кугле која се одбија од ивице билијарског стола.
Шта закључујеш о угловима које уочаваш на овим сликама?
Помоћу лењира и шестара испитај да ли ће црвена лопта упућена у назначеном смеру ударити неку од преостале две лопте.
Задатак 3. Без постављања лењира на део папира обојен црвеном бојом конструиши нормалу из тачке A на праву p.
108
РАЗЛОМЦИ Број је један од основних појмова у математици. Сигурно си и пре поласка у школу знао/-ла да бројиш бар до 10. Кад се каже број – обично се мисли на неки природан број. Међутим, природни бројеви нису довољни за свакодневни живот. Молим те, купи пола литрa млека, један и по хлеб и три четвртине бурека. Записала сам све на цедуљи.
Овде пише један литар млека, а не пола као што си рекла.
Извини, поправи и запиши пола литрa млека.
О разломцима постоје записи и на египатским папирусима. Ево како су стари Египћани записивали бројеве и одговарајуће разломке.
109
пОјАМ РАЗЛОМкА Шта је разломак? Проблеми свакодневног живота намећу потребу за бројевима који ће означавати део неке целине. Једне вечери и Марко је постао свестан тога. Долазе ми Ана, Тања и Драган, а ја имам само једну пицу да их послужим. Како да је поделим?
Сетио сам се! Прво ћу пицу поделити на два једнака дела, а затим и сваки део поново поделити напола.
Марко, пица је супер!
Замисли, сада, да треба четири чоколаде да поделиш са своја два најбоља друга или другарице (тако да добијете једнаке делове). Како 4 није дељиво са 3, закључујеш да четврту чоколаду мораш да делиш, то јест да део који свако добија не може бити неки (природан) број целих чоколада. Који део добија свако од вас троје?
Проблем је решен тако што је свако прво добио по целу чоколаду, а затим си четврту чоколаду поделио/-ла на три дела. Дакле, свако је добио по целу чоколаду и још једну трећину чоколаде. Колико једна цела чоколада има трећина?
110
Како једно цело има три трећине, а свако је поред једне целе чоколаде добио и још једну трећину, закључујеш да је свако добио по четири трећине чоколаде. Четири трећине записујеш на следећи начин:
4 . 3
Претходна два примера показују да је неопходно да се упознаш са још једном врстом бројева, са разломцима. Разломком изражавамо број једнаких делова неке целине. Сам назив разломци потиче од тога што они представљају разломљене делове.
Број испод разломачке црте означава на колико се једнаких делова дели целина и он именује разломак (именује делове), па га називамо именилац. Aко је тај број 2, онда су то половине, ако је 3 то су трећине, ако је 4 то су четвртине, и тако даље. Број изнад разломачке црте означава колико једнаких делова има, па га називамо бројилац (броји делове). Разломак записујемо помоћу два природна броја и разломачке црте.
3 7
бројилац разломачка црта именилац
Бројилац (не броиоц или бројиоц), множина бројиоци, бројилаца. Слично важи и за именилац. пример 1. Дате су слике кругова чији су неки делови обојени, разломак који одговара том обојеном делу и начин на који се дати разломак чита. а) б) в) г) 1 2
1 3
једна половина
2 5
једна трећина
5 6
две петине
пет шестина
111
Задатак 1. Допиши или доцртај шта недостаје. а)
б)
в)
графички:
______
______
3 4
____________________
две трећине
____________________
разломак: речима:
г)
д)
ђ)
графички:
разломак: речима:
______
______
3 8
____________________
седам дванаестина
____________________
пример 2. Дате су слике кругова чији су неки делови обојени. Поред сваке слике је записан разломак који одговара обојеном делу и како се дати разломак чита (један круг одговара једном целом). Примети да сваки од ових разломака у себи „крије“ једну или више целина, то јест „неразломљених“ делова. а)
б) 3 2
5 3
пет трећина
три половине
в)
г) 11 5
19 8
једанаест петина
112
деветнаест осмина
Задатак 2. Допиши или доцртај шта недостаје.
графички:
______
5 4
____________________
____________________
______
______
седам трећина
____________________
разломак: речима:
графички:
разломак: речима:
Резултат дељења два природна броја није увек природан број, на пример 4 : 3 није 4 природан број. Видео/-ла си да када 4 чоколаде деле 3 друга сваки од њих добија по 3 4 чоколаде, па пишеш 4 : 3 = . 3 Разломци омогућавају да делиш произвољне природне бројеве. Сваки разломак је a резултат једног таквог дељења. За природне бројеве a и b важи a : b = . b Разломачка црта је симбол за дељење. Дакле, a = a : b, за a, b N. b За било које природне бројеве a и b важе следећа тврђења. 1. Ако је a = b, тада је a = 1 (на пример, ако је a = b = 2, тада је 2 = 1). b 2 2. Ако је a дељиво са b, тада је разломак a природан број (на пример, ако је a = 4, b = 2, b тада је 4 = 2). 2 3. Сваки природан број n можемо записати у облику n (разломак чији је именилац 1, а 1 бројилац сам тај број), јер је n : 1 = n. Закључујемо, скуп природних бројева је подскуп скупа разломака. Број 0 се, такође, може представити у облику разломка, јер је 0 = 0 : n = 0 за сваки n природан број n.
113
проширивање и скраћивање разломака Марково одељење је организовало лутрију. У првом колу Ана, Сара, Јанко и Димитрије су поделили прву награду од 1 200 динара. У другом колу прва награда је била 900 динара и поделили су је Марина, Дуња и Павле, док су у трећем колу срећни добитници били Милица и Марко, а награда је износила 600 динара. Марка је интересовало да ли је добио више или мање од добитника из прва два кола. Када је израчунао 1 200 : 4 = 300, 900 : 3 = 300 и 600 : 2 = 300, закључио је да су сви добитници (у сва три кола) добили исту суму новца. Дакле, 1 200 : 4 = 900 : 3 = 600 : 2, али и 1 200 = 900 = 600 . 4 3 2 Да ли сваком броју одговара само један запис a ? b пример 1. Прилог 5 на страни 189 чине три круга, једнаких полупречника, подељених на 2, 4, односно 8 једнаких делова. Исеци од првог круга једну половину, од другог две четвртине и од трећег четири осмине. Упореди их прислањањем једног дела на друге, па их залепи на одговарајућа места. Шта примећујеш?
1 2
=
2 4
=
4 8
Задатак 1. Сечењем, упоређивањем и лепљењем делова са стране 189 (прилог 6) уради слично као у претходном примеру. Које једнакости уочаваш?
1 3
114
=
=
Дакле, једном разломку може да одговара више записа. Ово је последица тога да се количник не мења када и дељеник и делилац помножиш истим природним бројем. 1 = 1∙2 = 2, 1 = 1∙3 = 3, 1 = 1∙4 = 4, 1 = 1∙6 = 6 . Тако је 2 2∙2 4 3 3∙3 9 2 2∙4 8 3 3 ∙ 6 18
Када бројилац и именилац неког разломка a = a∙n помножимо истим природним бројем n > 1 , b b∙n кажемо да смо проширили тај разломак бројем n.
(
)
Задатак 2. Разломке 2 , 1 и 17 прошири са 2 и са 11. 3 5 24 2 = 2∙2 = 4 3 3∙2 6
2 = 2 ∙ 11 = 22 3 3 ∙ 11 33
1 = 1 ∙ 2 = ——— 5 5∙
1 =1∙ = —— 5 5 ∙ 11
17 = ——— = —— 24
17 = ——— = —— 24
пример 2. Прилог 7 на страни 189 чине три круга једнаких полупречника, подељених на 16, 8, односно 2 једнака дела. Исеци од првог круга осам шестнаестина, од другог четири осмине, а од трећег једну половину. Упореди ове делове прислањањем једног дела на друге, па их залепи на одговарајућа места. Шта примећујеш?
8 16
=
4 8
=
1 2
Задатак 3. Сечењем, упоређивањем и лепљењем делова са стране 189 (прилог 8) уради слично као у претходном примеру. Које једнакости уочаваш?
20 30
=
=
115
Ове једнакости важе јер се количник не мења када и дељеник и делилац поделимо истим природним бројем. 8 = 8:2 = 4, 20 = 20 : 5 = 4 , 4 = 4:4 = 1, 4 = 4:2 = 2 . Тако је 16 16 : 2 8 30 30 : 5 6 8 8:4 2 6 6:2 3 Када бројилац и именилац неког разломка = a : n) b:n кажемо да смо скратили тај разломак бројем n.
поделимо истим природним бројем n > 1
( ba
Задатак 4. Скрати разломаке 6 , 9 , 25 и 119 . 8 12 80 187 6 = 6:2 = 3 9 = 9:3 = 8 8:2 4 12 12 :
25 = : = 80 80 : 5
пример 3. Проширимо разломак 4 . 13
119 = 187
: :
=
Разломак 4 можемо проширити произвољним бројем (са 13 2, 3, 4, и тако даље), а ми ћемо га проширити са 5 и са 12.
4 = 4 ∙ 5 = 20 13 13 ∙ 5 65 4 = 4 ∙ 12 = 48 13 13 ∙ 12 156
Проширивање можемо вршити и више пута узастопно. На пример, разломак можемо проширити са 2, па са 3, и добити исти резултат као да смо разломак одмах проширили са 6 (јер је 2 ∙ 3 = 6).
4 = 13 4 = 13
11
4 ∙ 2 = 8 = 8 ∙ 3 = 24 13 ∙ 2 26 26 ∙ 3 78 4 ∙ 6 = 24 13 ∙ 6 78
Разломак можеш проширити било којим природним бројем већим од 1.
пример 4. Скратимо разломак 16 . 20 Разломак можеш скратити само бројем који дели и бројилац и именилац, па прво треба наћи све заједничке делиоце бројева 16 и 20. Како је D16,20 = {1, 2, 4}, закључујеш да разломак 16 можеш скратити са 2 или са 4. 20
116
16 = 16 : 2 = 8 Скрати прво разломак 16 са 2. 20 20 20 : 2 10 Тако долазиш до разломка 8 , који се 10 8 = 8:2 = 4 може даље скратити, јер је D8,10 = {1, 2}. 10 10 : 2 5 Значи, полазећи од разломка 16 можеш да урадиш два узастопна скраћивања бројем 2. 20 16 = 16 : 2 = 8 = 8 : 2 = 4 20 20 : 2 10 10 : 2 5 Скрати, сада, разломак 16 са 4. 20
16 = 16 : 4 = 4 20 20 : 4 5
Дакле, једним скраћивањем са 4 долазиш до истог резултата, као када извршиш два узастопна скраћивања са 2. Ово је зато што је 4 = 2 ∙ 2. Примети да се разломак 16 не може скратити бројем већим од 4, јер је D(16,20) = 4. Када 20 разломак 16 скратиш са 4 добијаш разломак 4 , који се даље не може скратити, јер су 4 и 20 5 5 узајамно прости бројеви.
Разломак a може се скратити само бројем који је заједнички делилац бројева a и b. Највећи b заједнички делилац бројева a и b највећи је број којим се разломак a може скратити. b Уобичајено је разломак одмах скратити највећим заједничким делиоцем бројиоца и имениоца. Тако једним скраћивањем добијаш разломак код кога су бројилац и именилац узајамно прости бројеви. Разломак чији су бројилац и именилац узајамно прости бројеви не може се даље скраћивати (сводити) и такве разломке називамо несводљивим. пример 5. Примери неких несводљивих разломака јесу 9 , 3 , 4 , 2 , ... . 2 7 9 5 Ако су именилац и бројилац два узастопна природна броја, разломак је несводљив. Задатак 5. Попуни празна места тако да добијеш тачне једнакости. 2 = , 7 = 28, а) 1 = , 4 12 3 15 6
13 = 91; 5
б) 6 = , 4 8
8 = 2. 12
27 = , 18 2
15 = 5 , 9
117
Упоређивање разломака Већ си учио/-ла да поредиш природне бројеве, као и разломке једнаких бројилаца или једнаких именилаца. пример 1. Шта је веће 3 или 5 ? 7 7 3 7
<
5 7
Од два разломка једнаких именилаца већи је онај који има већи бројилац.
Ако је a < b, онда је a < b . c c Задатак 1. Упореди разломке:
а) 2 , 4 , 7 ; 9 9 9 б) 8 , 6 , 10 ; 11 11 11 в) 98 , 51 , 5 . 107 107 107
________________________ ________________________ ________________________
пример 2. Шта је веће 3 или 3 ? 10 4 3 10
<
3 4
Од два разломка једнаких бројилаца мањи је онај који има већи именилац.
Ако је a > b, онда је c < c . a b Задатак 2. Упореди разломке:
118
а) 5 , 5 , 5 ; 2 3 12 14 , 14 , 14 ; б) 57 3 75 567 , 567 , 567 . в) 876 1000 222
________________________ ________________________ ________________________
Неопходно је да научиш да упоређујеш и разломке код којих су различити и имениоци и бројиоци. пример 3. Ивана нуди Марку чоколаду, али му при том каже: „Погоди, шта је веће 5 или 2 ? Ако погодиш, 8 3 даћу ти тај део чоколаде.“ Марко јако воли чоколаду, па би желео да добије већи део, али није сигуран шта да одговори. Хајде да помогнемо Марку! Правоугаоник ће нам представљати чоколаду.
Видимо да је 2 > 5 , па Марко треба да се одлучи за 2 . 3 8 3
Међутим, разломке можеш лакше упоредити на други начин, без њиховог графичког представљања. Прошири разломке 5 и 2 тако да имају једнаке имениоце, јер такве 8 3 разломке знаш да упоређујеш. Најбоље је да тај именилац буде што мањи, па тражиш S(3,8). Како је S(3,8) = 24, први разломак проширујеш са 3, а други са 8. 5 = 5 ∙ 3 = 15 и 8 8 ∙ 3 24 Сада упореди 15 и 16 . Како је 16 > 15, то је и 24 24
Тада је
2 = 2 ∙ 8 = 16 . 3 3 ∙ 8 24 16 > 15 , односно 2 > 5 . 24 24 3 8
Разломке 5 и 2 можеш да упоредиш и тако што ћеш их проширити да имају једнаке 8 3 бројиоце, јер и такве разломке умеш да упоређујеш. Како је S(5,2) = 10, разломак 5 8 2 проширујеш са 2, а разломак са 5. 3 5 = 5 ∙ 2 = 10 2 = 2 ∙ 5 = 10 . Добијаш и 8 8 ∙ 2 16 3 3 ∙ 5 15 Сада упореди 10 и 10 . Како је 16 > 15 то је 10 < 10 , односно 5 < 2 . 16 15 16 15 8 3
119
Два разломка који немају једнаке ни бројиоце ни имениоце (као на пример 5 и 2 ) поредиш 8 3 тако што их доведеш до тога да имају једнаке имениоце или једнаке бројиоце.
При сваком конкретном примеру бираш начин који сматраш лакшим. У неким случајевима и скраћивањем можеш довести разломке до тога да имају једнаке имениоце или једнаке бројиоце. пример 4. Упоредимо разломке 12 и 3 . 15 5 Како је 12 = 12 : 3 = 4 и 4 > 3 , закључујемо да је 12 > 3 . 15 15 : 3 5 5 5 15 5 пример 5. Упоредимо разломке 20 и 12 . Пошто их скраћивањем доведемо до једнаких 35 24 20 20 : 5 4 12 12 : 3 бројилаца, = = и = = 4 , закључујеш да је 20 > 12 . 35 35 : 5 7 24 24 : 3 8 35 24 Задатак 3. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. а) 3 5
7 ; 10
б) 2 7
г) 3 13
5 ; 18
д) 4 15
4; 9 12 ; 36
в) 5 2 ђ) 66 120
53 ; 21 96 . 160
Сабирање разломака једнаких именилаца пример 1. Одредимо вредност израза 2 + 5 . 9 9 Дати правоугаоник се састоји од 9 малих једнаких правоугаоника, па сваки од њих представља 1 великог 9 правоугаоника. Плавом бојом је обојен део који одговара разломку 2 , а наранџастом део који одговара разломку 5 . 9 9 Обојени (било којом бојом) део великог правоугаоника представља тражени збир. Како је укупно обојено 2 + 5 = 7 малих правоугаоника, то је обојено 7 великог правоугаоника. 9
120
Разломци који имају једнаке имениоце сабирају се тако што се бројиоци саберу, а именилац a + b = a+b. препише, то јест c c c Задатак 1. Сабери разломке: а) 2 + 1 = ; 5 5 5 ; г) 3 + 2 = 4 4
б) 7 + 12 д) 17 + 24
4 = 11 ; 12 19 = ; 24
в) 7 + 10 ђ) 11 + 9
2 = 10 5 = 9
; .
пример 2. Представимо разломак 4 као збир два разломка једнаких именилаца. 5 4 Како је 4 = 1 + 3 = 2 + 2, разломак можемо представити као збир на следећa два начина: 5 4 = 1+3 = 1 + 3 4 и = 2+2 = 2 + 2. 5 5 5 5 5 5 5 5 Задатак 2. Представи разломке 5 , 8 и 12 на више начина као збирове разломака једнаких именилаца. 7 9 17 пример 3. Израчунајмо 3 + 3 . 4 Како једно цело има 4 четвртине, 1 = 4 , 4 три цела имају три пута више четвртина. Дакле, три цела је 12 четвртина, 3 + 3 = 12 + 3 = 15 4 4 4 4
3 = 3 = 3 ∙ 4 = 12 . 1 1∙4 4 Када ово знаш, можеш сабрати 3 и 3 . 4
Природан број и разломак сабираш тако што дати природан број представиш у облику разломка који има исти именилац као дати разломак, па их онда сабереш као два разломка са једнаким имениоцима. Задатак 3. Израчунај: а) 1 + 1 = + 1 = ; 2 2 2 2 в) 5 + 3 = 10
+ 3 = 10
б) 2 + 1 = + 1 = 3 3 3 ;
г) 4 + 23 = 100
+
; =
.
121
ВРСТЕ РАЗЛОМАкА прави и неправи разломци Задатак 1. Обојеном делу фигуре придружи одговарајући разломак. a)
в)
б)
1 3 Видиш да је овим разломцима представљен (прави) део једног целог (правоугаоника). Овакве разломке, који су мањи од једног целог, називамо правим разломцима. Задатак 2. Обојеном делу фигуре придружи одговарајући разломак. a)
б) 3 2
в) д) г)
Видиш да су ови разломци већи од једног целог (за њихово представљање је потребно обојити најмање један цео правоугаоник). Овакве разломке, који су већи или једнаки од једног целог, називамо неправим разломцима.
Прави разломци су они који су мањи од 1, а остали су неправи.
пример 1. Којој врсти разломака припада разломак 3 ? 5 3 5 3 Како је < = 1, јер је 3 < 5, разломак је прави разломак. 5 5 5 Ако је а < b, тада је a прави разломак. b
122
пример 2. Којој врсти разломака припада разломак 7 ? 5 Како је 7 > 5 = 1, јер је 7 > 5, разломак 7 је неправи разломак. 5 5 5 Ако је a ≥ b, тада је разломак a неправи. b
Мешовити бројеви Примети да се сваки разломак из задатка 2 може представити као збир природног броја и правог разломка. Ево неколико примера. неправи број прави мешовити разломак целих разломак број 3 = 2+1 = 2 + 1 =1+ 1 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 24 = 1 24
24 24
1
-
1
15 = 12 + 3 = 3 + 3 4 4 4 4
15 4
3
3 4
3 3 4
Сваки од ових разломака се може записати као збир (једног) природног броја и (једног) правог разломка. То својство имају сви неправи разломци. Одговарајући природан број из тог збира представља број целих у том разломку. Због тога, неправи разломак можеш записати и тако што напишеш прво број целих садржаних у њему, а онда допишеш одговарајући прави разломак. На пример: 3 =1 1 2 2 једно цело и једна половина
24 = 1 24 једно цело
15 = 3 3 4 4 три цела и три четвртине
Неправи разломак записан на овај начин називамо мешовити број. Назив потиче од тога што у том запису учествују и природан број и разломак. пример 3. Представимо разломак 67 у облику мешовитог 9 броја. До траженог мешовитог броја најлакше можемо доћи ако поделимо бројилац са имениоцем. Број целих у мешовитом броју јесте количник при том дељењу. Разломак из мешовитог броја има именилац једнак имениоцу почетног разломка, а бројилац једнак остатку при том дељењу. Како се 9 у 67 садржи 7 пута и остатак је 4, добијамо да је 67 = 7 4 . 9 9
123
Задатак 3. Представи разломке у облику мешовитог броја: а) 5 = 4
; б) 56 = 15
; в) 456 = 17
.
пример 4. Представимо у облику а мешовити број 3 3 . b 7 3 3 = 3 + 3 = 3 ∙ 7 + 3 = 21 + 3 = 24 7 7 7 7 7 7 Значи, прво дати мешовити број представимо као збир природног броја и разломка, па израчунамо тај збир. Може и краће 3 3 = 3 ∙ 7 + 3 = 21 + 3 = 24 . 7 7 7 7 Задатак 4. Дате мешовите бројеве представи у облику а : b a) 1 1 = 1 + 1 = ; в) 15 3 = + 1 = ; б) 3 1 = 4 4 4 7 23
.
Децимални запис разломка Сети се бројева које си већ видео у продавници или у новинама.
11,9 g ни Протеи 70,4 g хидрати Угљени 14,5 g за Сахаро 12,3 g масти Укупне 5,9 g масти Млечне 73,2 mg нА Витами 0,91 mg нB g Витами 160,15 m м Калцију 3,33 mg Гвожђе
На пример, цена сока је 85,55 динара. Јасно, тај број није природан. А да ли је разломак? Знаш већ да природне бројеве записујемо индо-арапским цифрама у декадном бројевном систему. Декадне јединице су 10, 100, 1 000, 10 000 и тако даље. На пример, у броју 25 678 = 2 ∙ 10 000 + 5 ∙ 1 000 + 6 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 8, број јединица одређен је цифром 8, број десетица цифром 7, број стотина цифром 6, број јединица хиљада цифром 5, а број десетица хиљада одређен је цифром 2.
124
Разломци који у имениоцу имају декадне јединице називају се децимални разломци. Посебно су битни децимални разломци чији је бројилац 1. Ти разломци се називају основни децимални разломци. То су: 1 , 1 , 1 , 1 и тако даље. 10 100 1 000 10 000 Ови разломци у децималном запису имају исту улогу као декадне јединице у запису природних бројева.
Децимални запис се састоји од два низа цифара који су одвојени децималном запетом. Цифре са леве стране децималне запете означавају број целих које тај разломак садржи, а цифре са десне стране запете означавају број одговарајућих основних децималних разломака које тај разломак садржи. Цифре са десне стране запете називамо децимале. Основним децималним разломцима одговарају следећи децимални записи: 1 = 0,1 1 = 0,01 1 = 0,001 ... 10 100 1 000 Видимо да 1 на првом месту иза запете представља један десети део, 1 на другом месту иза запете представља један стоти део, 1 на трећем месту иза запете представља један хиљадити део, и тако даље. Број испред децималне запете представља број целих, а цифре иза запете представљају број десетих, стотих, хиљадитих делова и тако даље, тим редом.
цео део
децимална запета
десети
стоти
децимале
хиљадити
пример 1. Запишимо 3 , 2 и 57 9 у децималном запису. 10 100 1 000 Како је 3 < 1, децимални запис разломка 3 испред запете има нулу. Иза запете на 10 10 првом месту пишеш 3, јер цифра 3 на том месту каже да се ради о 3 десета дела. Дакле, 3 = 0,3. На исти начин закључујеш да је 2 = 0,02 и 57 9 = 57,009. 10 100 1 000 Задатак 1. Преведи у децимални запис: 7 = 10 3 3 = 10
9 = 100 ; 101 4 = 100
;
3 = 1 000 ; 6 6 = 1 000 ;
; .
125
пример 2. Представимо у децималном запису 10 345 . 1 000 Прво дати разломак представљамо у облику збира целих, десетих, стотих и хиљадитих делова. 10 345 = 10 + 345 = 10 + 300 + 40 + 5 = 10 + 300 + 40 + 5 = 10 + 3 + 4 + 5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 10 100 1 000 Значи, разломак 10 345 има 10 целих, 3 десета, 4 стота и 5 хиљадитих делова, па је 1 000 10 345 =10,345. 1 000 пример 3. Представимо у децималном запису 57 , 61 , 4 707 , 11 12 . 100 1 000 10 000 10 000 Прво ћемо сва четири разломка представити у облику збира једног природног броја и одговарајућих децималних разломака чији је бројилац једноцифрен, као што је урађено у примеру 2. 57 = 50 + 7 = 50 + 7 = 5 + 7 , 100 100 100 100 10 100
61 = 60 + 1 = 60 + 1 = 6 + 1 , 1 000 1 000 1 000 1 000 100 1 000
4 707 = 4 + 700 + 7 = 4 + 700 + 7 = 4 + 7 + 7 , 10 000 10 000 10 000 10 000 100 10 000 11
12 = 11 + 10 + 2 = 11 + 10 + 2 = 11 + 1 + 2 . 10 000 10 000 10 000 10 000 1 000 10 000
На основу ових једнакости попуњавамо табелу и добијамо тражене децималне записе.
разломак 57 100 61 1 000 4 707 10 000 11 12 10 000
број целих
број запета десетих
број стотих
број хиљадитих
број десетохиљадитих
децимални запис
0
,
5
7
0
0
0,57
0
,
0
6
1
0
0,061
4
,
0
7
0
7
4,0707
11
,
0
0
1
2
11,0012
Нулу на крају децималног записа можеш брисати, јер не утиче на вредност разломка, или, ако ти је из неког разлога потребно, датом децималном запису можеш дописати здесна произвољно много нула. 2,40 = 2,4 = 2,4000 = 2,400000
126
Задатак 2. На основу примера 3 попуни следећу табелу за разломке 16 , 15 , 105 , 3 203 . 100 1 000 1 000 10 000 разломак
број целих
број запета десетих
број стотих
број хиљадитих
број десетохиљадитих
децимални запис
16 100 15 1 000 105 1 000 3 203 10 000 пример 4. Представимо у децималном запису разломак 3 . 20 први начин. Разломак 3 представљаш у децималном запису проширујући га до 20 децималног разломка. Како је 20 ∙ 5 = 100, то разломак проширујеш са 5. 3 = 3 ∙ 5 = 15 = 0,15 20 20 ∙ 5 100 Други начин. До децималног записа неког разломка можеш доћи и ако извршиш назначено дељење. Знаш да је 3 = 3 : 20. Како се 20 у 3 садржи 0 пута (нема целих) пишеш 0 и стављаш 20 децималну запету (она раздваја цео и разломљени део разломка). Сада остатку 3 дописујеш 0 (тако од 3 цела добијаш 30 десетих). Како се 20 у 30 садржи једном и остатак је 10, на прво место иза запете уписујеш цифру 1. Остатку 10 дописујеш 0 (тако од 10 десетих добијаш 100 стотих) и онда рачунаш 100 : 20 = 5, па на друго место иза запете пишеш 5. Како сада нема остатка при дељењу, закључујеш да је 3 = 0, 15. 20
Када желимо произвољан разломак да запишемо у децималном запису неопходно је или да тај разломак проширивањем (скраћивањем) доведемо до децималног разломка или да извршимо дељење.
127
Постоје разломци које није могуће представити у облику децималних разломака. Такав је, на пример, разломак 4 . Како ниједна декадна јединица није дељива са 3 (збир 3 цифара сваке декадне јединице је 1, а 3 не дели 1), овај разломак се не може проширити тако да у имениоцу буде нека декадна јединица. Дакле, у овом случају нема избора, већ мораш да извршиш назначено дељење. Како се 3 у 4 садржи једном и остатак је један, пишемо 1 и иза запету. Поред остатка 1 дописујемо 0 (тако од 1 целог добијамо 10 десетих), па како се 3 у 10 садржи 3 пута и остатак је опет 1, пишемо 3 и настављамо поступак. Видиш да стално добијаш остатак 1, па ће се и цифра 3 стално понављати (бесконачно пута). 4 = 4 : 3 = 1,333... 3 Детаљније о оваквим децималним записима погледај на 166. страни. Задатак 3. Дате разломке запиши у децималном запису: a) 7 ; б) 83 ; в) 364 . 50 200 125 Задатак 4. Дате разломке запиши у децималном запису: a) 5 ; б) 105 ; в) 4 5 . 6 37 11
Децимални бројеви Заслужан за увођење децималног записа (децималних разломака) пре свих је фламански математичар и инжењер Симон Стевин (1548–1620). Иако су децимални разломци били познати и пет векова пре Стевина, тек је он увидео њихов прави значај и објављивањем рада Десета (1586) омогућио њихову свакодневну употребу. Приметимо да је децимални запис битно млађи од записа а , b али и да у нашем свакодневном животу најчешће радимо управо са децималним бројевима. Запис којим се Стевин служио разликује се од савременог, али је идеја иста. На пример, Стевин би број 184,54290 записао на следећи начин: Наиме, он је користио уместо запете , а бројеви , , и означавали су место децимале испред себе. Децималну запету је увео највероватније немачки астроном Бартоломео Питискус (1612), што је прихватио познати шкотски математичар, физичар и астроном Џон Непер (1614), па је тај запис заживео и задржао се до данас.
128
Како упоредити два разломка дата у децималном запису? На основу поређења разломака једнаких бројилаца знаш да је 1 > 1 > 1 > 1 , 10 100 1 000 10 000 0,1 > 0,01 > 0,001 > 0,0001.
одакле је
Значи, децимално место ближе запети носи већу вредност. Због тога два разломка поредиш тако што прво упоредиш њихове целе делове – већи је онај чији је цео део већи. Уколико су цели делови једнаки поредиш децимале тих разломака (слева надесно) – већи је онај код кога прво наиђеш на већу децималу на истој позицији.
пример 5. Упоредимо разломке дате у децималном запису: а) 8,46 и 5,99; б) 0,45 и 0,42;
в) 76,089 и 76,1.
Упоређујући прво целе, па десете, а затим стоте делове долазиш до следећих закључака: а) 8,46 > 5,99, јер је 8 целих веће од 5 целих; б) 0,45 > 0,42, јер је 5 стотих веће од 2 стота, а цели и десети делови оба разломка су једнаки; в) 76,089 < 76,1, јер је 0 десетих мање од 1 десетог, а цели делови оба разломка су једнаки. Задатак 5. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. а) 0,4
0,7;
б) 0,04
0,07;
в) 0,004
0,007.
Задатак 6. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. а) 0,03
0,3;
б) 0,4
0,04;
в) 0,07
0,007.
Задатак 7. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. а) 0,42
0,41;
б) 0,532
0,531;
в) 0,9835
0,9833.
Задатак 8. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење. а) 0,357
0,413;
б) 0,468
0,53;
в) 0,035
0,23.
129
пРИБЛИжнА ВРЕДнОСТ БРОјА Постоје разломци чији је децимални запис коначан (садржи коначно много децимала), али и разломци чији је децимални запис бесконачан (садржи бесконачно много децимала). 1 = 0,5 2 1 = 0,333... 3
– коначан децимални запис – бесконачан децимални запис
Сигурно си видео/-ла да су у продавници све цене записане са највише две децимале. Често смо принуђени да радимо са децималним записом који садржи унапред одређен број цифара. На пример, већина калкулатора ради са бројевима који имају у свом запису највише 8 цифара. Компјутери, такође, могу да раде само са коначним децималним записима. Тако, на пример, при децималном запису 1 мораш да 3 одлучиш како и где да се зауставиш. д ко Со
ра мо по
нџ
е
с ише Дел
Ш
ам
по
н
ке јабу
Број који има више цифара него што нам је потребно замењујемо бројем чији запис има одговарајући број цифара, и то тако да се новодобијени број што мање разликује од почетног. Тај поступак се назива заокругљивање. Заокругљивањем броја увек правимо неку грешку и циљ нам је да она буде што мања. Да бисмо то постигли треба да поштујемо следећа правила: 1. Ако је прва цифра коју одбацујемо 0, 1, 2, 3 или 4, цифре испред ње остају непромењене. 2. Ако је прва цифра коју одбацујемо 6, 7, 8 или 9, последња цифра коју задржавамо повећава се за 1. 3. Ако је прва цифра коју одбацујемо 5, а иза ње има још цифара, последња цифра коју задржавамо повећа се за 1. 4. Ако је прва цифра коју одбацујемо 5 и иза ње нема других цифара, разликујемо два случаја: а) ако је цифра испред парна она остаје непромењена, б) ако је цифра испред непарна она се повећава за 1. Ако је број b добијен заокругљивањем броја a, пишемо a ≈ b (читамо „a је приближно једнако b“). пример 1. Применом правила дати бројеви су заокругљени на 2 децимале: а) 3,764 ≈ 3,76 (1. правило); б) 45,129 ≈ 45,13 (2. правило); в) 8,885 ≈ 8,88 (4. а) правило); г) 8,875 ≈ 8,88(4. б) правило); д) 0,1051... ≈ 0,11 (3. правило); ђ) 0,666... ≈ 0,67 (2. правило). При заокругљивању истог броја на више децимала правиш мању грешку.
130
пример 2. Број 7,37152 заокруглимо на четири, три, две и једну децималу, и на цео део. 7,37152 ≈ 7,3715; 7,37152 ≈ 7,372; 7,37152 ≈ 7,37; 7,37152 ≈ 7,4; 7,37152 ≈ 7. пример 3. Број 5,49 заокругљен на цео део јесте 5. Ако бисмо број 5,49 постепено заокругљивали на цео део, најпре на једну децималу (5,5), а затим овај број на цео део (6), направили бисмо већу грешку. Због повећања грешке, постепено заокругљивање је погрешан начин заокругљивања бројева. Задатак 1. Попуни таблицу. дати број 33,333333 33,333... број заокругљен на цео део 33 број заокругљен на 1 децималу 33,3 број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале 33,333
0,666666 1
0,0606... 0
899,914555
БРОјЕВнА пОЛУпРАВА Сети се, до сад си на бројевној полуправој представљао/-ла само природне бројеве и неке разломке ( 1 , 1 , 1 , 1 , ...). Сада ћеш научити да на бројевној полуправој представиш 2 3 4 5 произвољан разломак. Почетној тачки полуправе додељујеш број 0, а избором јединичне дужи одређујеш тачку полуправе којој додељујеш број 1. Тачке које одговарају осталим природним бројевима на бројевној полуправој одређујеш тако што јединичну дуж пренесеш удесно одговарајући број пута. Тако је тачки О додељена 0, тачки A број 1, тачки B број 2, тачки C број 3 и тако даље. O
A
B
C
D
0
1
2
3
4
пример 1. Представимо на бројевној полуправој разломке 1 , 1 и 1 , ако је дата 2 3 4 јединична дуж.
0
1
Као и у случају природних бројева у односу на јединичну дуж одређујеш тражене тачке. Наиме, разломку 1 одговара тачка чије је растојање од почетка полуправе два пута мање 2 од јединичне дужи, разломку 1 одговара тачка чије је растојање од почетка полуправе 3 3 пута мање од јединичне дужи, а разломку 1 одговара тачка чије је растојање од почетка 4 полуправе 4 пута мање од јединичне дужи.
131
Задатак 1. Представи на бројевној полуправој разломке 1 1 , 2 2 и 7 . 2 5 4
0
1
2
3
При представљању неправог разломка прво треба утврдити између која два природна броја се он налази, а онда дуж између та два броја треба поделити на одговарајући број делова. Задатак 2. Представи на бројевној полуправој разломке 1 , 9 , 1 1 и 2 1 . 5 4 3 2
0
1
2
Задатак 3. Представи на бројевној полуправој разломке 1 , 5 , 8 , 1 3 и 3 3 . 4 4 3 4 5
подела дужи на три дела Дуж AB делиш на три дела тако што нацрташ полуправу Ap и на њој нанесеш 3 пута једну те исту произвољну дуж. На тај начин су одређене тачке P1, P2 и P3. Сада тачку P3 спојиш са тачком B и нацрташ полуправе P1c и P2d тако да буду паралелне правој P3B. Тако на дужи AB добијаш тачке C и D, такве да су дужи AC, CD и DB подудaрне и њихова дужина је трећина дужине дужи AB. Аналогно се поступа при дељењу дужи на неки други број делова. О сличним конструкцијама ћеш више учити у седмом разреду.
132
3
Сабирање и одузимање Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца Пример 1. Марко има сируп од вишње и жели да почасти своје другове соком. a) Колико ће сока добити ако помеша 7 l воде и 10 1 l сирупа од вишње? 10 б) Колико ће сока остати, ако су другови попили 6 l сока? 10 a) У претходном поглављу си научио/-ла како сабираш разломке једнаких именилаца. Сабраћеш количину воде и количину сирупа које је Марко помешао и добићеш укупну количину сока. 7 10
1 10
+
7+1 10
=
=
8 10
a + b = a+b c c c
Разломке са једнаким имениоцима сабираш тако што бројиоце тих разломака сабереш, а именилац препишеш.
б) Рачунаш колико ће му сока остати, тако што од укупне количине сока одузмеш количину сока коју су попили. 8 10
–
6 10
=
8–6 10
Разломке са једнаким имениоцима одузимаш тако што од бројиоца умањеника одузмеш бројилац умањиоца, а именилац препишеш.
=
2 10
a – b = a–b c c c
Пример 2. Рачунамо: а) 2 + 7 в) 4 + 5
4 = 2+4 = 6 ; 7 7 7 1 = 4 + 1 = 5 = 1; 5 5 5
б) 5 + 8 = 5 + 8 = 13 = 1 4 ; 9 9 9 9 9 г) 3 – 1 = 3 – 1 = 2 = 1 . 4 4 4 4 2
133
задатак 1. Израчунај:
а) 1 + 4 ; 6 6
б) 3 + 1 ; 4 4
в) 9 + 8 ; 11 11
г) 9 – 8 . 11 11
Код сабирања природног броја и правог разломка изостављаш знак + између њих и збир пишеш у облику мешовитог броја. Пример 3. Рачунамо: Пример 4. Израчунајмо:
а) 1 + 3 = 1 3 ; 7 7 а) 6 2 – 5 = 1 2 ; 7 7
б) 2 8 + 4 = 6 8 . 15 15 б) 1 – 7 = 10 – 7 = 3 . 10 10 10 10
в) разлику 8 – 2 можемо израчунати на два начина. 3 Први начин
други начин
8– 2 =7 3 – 2 =7 1, 3 3 3 3
8 – 2 = 24 – 2 = 22 = 7 1 . 3 3 3 3 3
задатак 2. Израчунај:
а) 1 + 4; 3
в) 2 – 1 ; 3
б) 3 1 + 9; 5
г) 5 – 1 4 . 7
Мешовите бројеве можеш сабирати на два начина. Први начин. Сабираш посебно целе бројеве, а посебно разломке из тих мешовитих бројева, а крајњи резултат сабирања ће бити мешовити 2 3 + 5 2 = 7 5 7 7 7 број, где је број целих збир броја целих код сабирака, а разломак је збир разломака код сабирака. други начин. Преводиш мешовите бројеве у неправе 3 2 17 + 37 = 54 = 7 5 разломке и сабираш те разломке, па збир, који је такође 2 + 5 = 7 7 7 7 7 7 неправи разломак, преводиш у мешовити број. Пример 5. Израчунајмо следеће збирове. Допуни шта недостаје: a) 3 2 + 12 5 ; б) 4 3 + 12 1 ; в) 5 7 + 2 5 . 9 9 4 4 8 8 Први начин a) 3 2 + 12 5 = 15 7 9 9 9 б) 4 3 + 12 = 16 = 4 4 4 в) 5 + 2 5 = 7 12 = 8 = 8 8 8 2 8 8
134
други начин 3 2 + 12 5 = + 113 = 142 = 15 9 9 9 9 9 9 4 3 + 12 1 = 19 + = = 4 4 4 4 4 5 7 + 2 5 = 47 + = =8 =8 8 8 8 2 8 8 8
Као што за сабирање постоје два начина, тако и за одузимање постоје два начина. Пример 6. Израчунајмо: а) 10 2 – 8 1 ; 3 3 б) 5 1 – 2 1 . 2 2
Први начин 10 2 – 8 1 = 2 1 3 3 3 5 1 –2 1 =3 2 2
други начин 10 2 – 8 1 = 32 – 25 = 7 = 2 1 3 3 3 3 3 3 5 1 – 2 1 = 11 – 5 = 6 = 3 2 2 2 2 2
Пример 7. Како ћеш од 8 2 одузети 5 4 ? 5 5 Први начин. Ако од 8 одузмеш 5, нећеш моћи од 2 да одузмеш 4 . Зато од 8 целих 5 5 (колико има умањеник) „позајмљујеш“ 1 цело (тако да ти остаје 7 целих) и преводиш га у петине, 1 = 5 , што заједно са 2 које си имао/-ла чини 5 + 2 = 7 . Сада од 7 одузимаш 5 5 5 5 5 5 4 , а од 7 целих одузимаш 5: 5 8 2 –5 4 =7 7 –5 4 =2 3. 5 5 5 5 5 други начин. Мешовите бројеве преводиш у неправе разломке и одузимаш те разломке, па разлику, која је такође неправи разломак, преводиш у мешовити број: 8 2 – 5 4 = 42 – 29 = 13 = 2 3 . 5 5 5 5 5 5 задатак 3. Израчунај: а) 2 1 + 5 5 ; 8 8 задатак 4. Допуни шта недостаје: + + а) 1 + 3 + 2 = 5 5 5 5
б) 1 8 + 2 9 ; 11 11
=
5
=1
5
;
в) 10 2 – 7 1 ; 3 3
г) 4 2 – 3 3 . 5 5
б) 3 1 + 2 2 + 4 6 = 9 = ___ . 7 7 7 7 7
задатак 5. Израчунај:
а) 2 + 5 + 9 ; 11 11 11
б) 4 1 + 3 2 + 7 5 . 6 6 6
135
Сабирање разломака Марко сваког радног дана проводи у школи 1 дана, а код куће 1 дана обично 6 8 искористи за учење. Који део дана Марко обично користи за школу или учење? Рачунаш који део дана Марко обично проведе у радним активностима тако што ћеш сабрати разломке 1 и 1 . 6 8 До сада си научио/-ла како да сабираш разломке једнаких именилаца, а сада треба да сабереш разломке чији су имениоци различити. Како ћеш то урадити?
1 6
+
1 8
=
?
Први правоугаоник (који представља цео дан) делиш на 6, а други на 8 једнаких делова. Да би могао/-ла да сабереш ове делове делићеш правоугаонике на још мање делове, али тако да ти делови буду међусобно једнаки. На колико делова треба да поделиш и један и други правоугаоник (а да можемо уочити 1 и 1 )? Уситњавањем делова правоугаоника 6 8 1 1 ти, у ствари, разломке и проширујеш. Ове разломке треба проширити тако да имају 6 8 једнаке имениоце, а научили смо како да сабирамо разломке са једнаким имениоцима. Подсетимо се, као и код упоређивања разломака, да смо разломке различитих именилаца доводили на једнаке имениоце. Већ си научио/-ла да разломке доводиш на једнаке имениоце тако што нађеш најмањи заједнички садржалац за те имениоце. Како је S(6, 8) = 24, то значи да ћеш сваки од правоугаоника поделити на 24 једнака дела, па је 1 = 1 ∙ 4 = 4 и 1 = 1 ∙ 3 = 3 . 6 6 ∙ 4 24 8 8 ∙ 3 24
4 24
+
3 24
=
7 24
Дакле, Марко обично 7 сати дневно проведе у школи и припремајући се за школу.
136
Разломке различитих именилаца сабирамо тако што их, проширивањем, доводимо на разломке једнаких именилаца, а онда их сабирамо као разломке једнаких именилаца.
a + c = ad + cb = ad + cb b d bd db bd
Пример 1. Допуни шта недостаје: 7 + 3 = а) 7 + 3 , S(20,5) = 20, + 12 = + = ; 20 20 5 20 5 20 20 20 2 + 6 = б) 2 + 6 , S(5,7) = 35, + = + = =1 ; 35 35 5 7 5 7 35 35 35 1 + 3 = 2 + 9 = 2 + 9 = 11 . в) 1 + 3 , S(6,4) = 12, 6 4 6 4 12 12 12 12 задатак 1. Израчунај: а) 2 + 3 ; 3 4
б) 1 + 2 . 6 9
Мешовите бројеве можемо сабрати на два начина (као код сабирања мешовитих бројева чији разломци имају једнаке имениоце). Пример 2. Допуни шта недостаје: а) 4 2 + 1 ; б) 3 1 + 5 3 ; 7 3 4 5
Први начин
в) 9 7 + 5 ; 8 6
г) 8 7 + 5 3 . 12 4
На крају, ако је могуће, разломак скратимо до несводљивог.
а) 4 2 + 1 = 4 6 + 7 = 4 13 ; 7 3 21 21 21 1 3 5 =8 ; +5 б) 3 + 5 = 3 20 20 4 5 20 + =9 = 10 ; в) 9 7 + 5 = 9 24 24 24 24 8 6 г) 8 7 + 5 3 = 8 7 + 5 9 = 13 = 13 = 14 . 12 3 3 12 4 12
На крају неправи разломак преводимо у мешовити број. други начин а) 4 2 + 1 = 30 + 1 = 90 + 7 = 97 = 4 13 ; 7 3 7 3 21 21 21 21 + 28 = + 112 = =8 ; б) 3 1 + 5 3 = 4 20 20 20 4 5 5 20 + = + = = ___ 17 ; в) 9 7 + 5 = 8 6 24 24 24 8 6 24 + = + = = 14 = 14 . г) 8 7 + 5 3 = 4 12 12 12 12 3 12 4 12
137
задатак 2. Израчунај (на два начина):
а) 2 1 + 1 ; 3 6
б) 4 1 + 4 3 ; 2 8
в) 2 5 + 3 2 ; 6 9
г) 5 3 + 12 5 . 5 7
Слично радиш и ако је потребно да сабереш три разломка. Пример 3. Допуни шта недостаје: + + = =1 ; а) 1 + 1 + 2 = 30 2 3 5 30 30 30 30 б) 3 2 + 2 1 + 6 1 = 17 + + = + + = = 12 . 2 4 20 20 20 20 20 5 2 4 5 задатак 3. Израчунај (на два начина):
а) 2 2 + 2 5 + 1 4 ; 3 6 9
б) 1 3 + 5 1 + 4 5 . 4 6 8
Сабирање разломака у старом египту Најчешће асоцијације на Египат јесу пирамиде и сфинге које су старе неколико хиљада година. Да би их изградили било је потребно урадити не тако једноставне прорачуне, што указује на то да су у древном Египту добро познавали математику. Доказ за то су разни записи на папирусима који су пронађени. Још у древном Египту су знали да сабирају разломке. Они су имали симболе за записивање јединичних разломака. То су разломци облика 1 , где је n природан број. n Разломци су хијероглифима записивани помоћу симбола који је представљао уста и значио део ( , чита се „ер“ или „ре“). Испод овог симбола били су симболи бројева чију је реципрочну вредност означавао разломак.
На пример,
1, 3
1 . 10
Стари Египћани су имали посебне симболе за 1 , 2 и 3 2 3 4
1, 2
2 и 3
Основа за сабирање разломака биле су једнакости
1/8
1 + 1 = 1 , 1 + 1 = 2 , 1 + 1 = 3 , 1 + 1 + 1 = 1. 3 6 2 2 6 3 2 4 4 2 3 6 Религија је имала велики утицај на математику старог Египта. Како су веровали да их бог Хорус штити од зла, стари Египћани су неке разломке записивали као делове ока бога Хоруса. Цео симбол ока имао је вредност 1.
138
3 . 4
1/4 1/2
1/16
1/64 1/32
одузимање разломака
После доручка породици Перић остало је 3 kg хлеба. Ако им је за 4 ручак потребно 5 kg хлеба, колико 8 ће им хлеба остати за вечеру?
Колико ће хлеба породици Перић остати за вечеру, рачунаш тако што од количине која им је остала после доручка одузмеш количину која им је потребна за ручак. 3 – 5 4 8 А како ћеш ово да урадиш? Оно што знаш јесте то да одузмеш разломак од разломка ако су им имениоци једнаки. Као и код сабирања, разломке различитих именилаца мораш најпре довести до једнаких именилаца, па онда рачунаш шта је потребно.
–
=
–
=
3 – 5 4 8
=
6 – 5 8 8
=
3 – 5 = 6 – 5 = 1, 4 8 8 8 8
Разломке различитих именилаца одузимаш тако што их, проширивањем, доводиш на разломке једнаких именилаца, а онда их одузимаш као разломке једнаких именилаца. Пример 1. Израчунајмо: а) 5 – 2 = 5 – 4 = 1 ; 6 3 6 6 6
б) 4 – 3 = 16 – 15 = 1 ; 5 4 20 20 20
1 8
S(4, 8) = 8
a – c = a∙d – c∙b = a∙d–c∙b b d b∙d d∙b b∙d
в) 5 – 3 = 20 – 9 = 11 . 6 8 24 24 24
задатак 1. Израчунај:
а) 3 – 2 ; 5 15
б) 7 – 5 ; 8 12
в) 14 – 4 . 17 7
139
Пример 2. Допуњавањем онога што је потребно, израчунај на два начина: а) 5 3 – 1 ; б) 8 7 – 5 3 ; в) 12 1 – 6 2 . 4 2 12 8 2 3 Први начин а) 5 3 – 1 = 5 3 – = 5 ; 4 4 2 4 4
б) 8 7 – 5 3 = 8 –5 =3 ; 24 24 24 12 8 У примеру в) није могуће од 3 одузети 4 , па ћеш од 12 целих позајмити 1 и „претвoрити“ 6 6 6 6 3 9 у , 1 = , што ће заједно са бити . 6 6 6 6 в) 12 1 – 6 2 = 12 3 – 6 = 11 – 6 = 5 . 6 6 6 6 2 3 6 други начин а) 5 3 – 1 = 23 – 1 = 23 – = =5 ; 4 4 4 4 2 4 2 4 – = – = =3 ; б) 8 7 – 5 3 = 8 24 24 24 24 12 8 12 в) 12 1 – 6 2 = – = – = =5 . 2 3 6 6 6 6 2 3 задатак 2. Израчунај на два начина: а) 2 7 – 1 1 ; б) 9 3 – 4 4 ; 12 6 5 7
в) 29 3 – 14 4 ; 10 5
г) 100 1 – 50 7 . 2 9
Сабирање и одузимање децималних бројева
Маја је купила за доручак кроасан који је платила 26,25 динара и млеко за 18,32 динара. Колико је износио Мајин рачун? Да би израчунао/-ла колико новца је Маја потрошила за доручак, сабраћеш цену кроасана и цену млека. Како да саберемо децималне бројеве 26,25 и 18,32? 26,25 + 18,32 = ?
140
Први начин. Научио/-ла си како се децимални бројеви преводе у разломке, као и то како се сабирају разломци, па ћеш ове децималне бројеве превести у разломке, а затим сабрати. Како је 26,25 = 2625 и 18,32 = 1832 , то је: 100 100 26,25 + 18,32 = 2625 + 1832 = 2625 + 1832 = 4457 = 44,57. 100 100 100 100 Дакле, 26,25 + 18,32 = 44,57. други начин. Децималне бројеве можеш сабрати и много брже, не преводећи их у разломке. Као и код сабирања вишецифрених природних бројева, децималне бројеве потписујеш један испод другог, с тим што мораш водити рачуна да то правилно учиниш: цифре јединица једног броја испод цифре јединица другог броја, цифре десетица испод цифре десетица итд. Исто важи и за децимале: десети делови испод десетих делова, стоти делови испод стотих делова и тако даље. 2 6,2 5 +1 8,3 2 4 4,5 7 Приликом сабирања децимална запета једног броја мора бити испод децималне запете другог. Једноставније је доћи до збира користећи други начин, па убудуће тако сабирај децималне бројеве. Децималне бројеве сабираш тако што их најпре правилно потпишеш, водећи рачуна о томе да децималне запете сабирака буду једна испод друге, а затим их сабираш као природне бројеве, с тим што на крају децимална запета збира мора бити испод децималних запета сабирака.
Пример 1. Допиши шта недостаје: а) 13,2 + 88,4; 1 3,2 +8 8,4 1 0 1,6
б) 5,12 + 13,77; 5,1 2 +1 3,_ _ 1 8,_ _
в) 4,26 + 3,8; 4,2 6 + _,8 0 _,0 6
г) 15,4 + 6,543; 1 5,4 _ _ + 6,5 4 3 _ _,9 4 3
д) 12 + 4,77. 1 2,_ _ + 4,_ _ _ _,_ _
У примеру в), г) и д) сабирци немају исти број децимала, па тада дописујеш на крају 0 (једну или више, колико је потребно) да изједначиш број децимала и онда лакше сабереш. задатак 1. Израчунај:
а) 45,9 + 15,6;
б) 123,45 + 987,65;
в) 22,9 + 5,33;
г) 414,65 + 78,2.
141
Пример 2. Маја је купила у продавници намирнице за торту које су јој недостајале. Шећер је платила 115,8 динара, јаја 37,25 и маргарин 48 динара. Израчунај колики је био Мајин рачун у продавници? 1 1 5,8 0 3 7,2 5 + 4 8,0 0 _ _ _,_ _ Пример 3. Марко је имао 215 динара и потрошио је у посластичарници 134,5 динара. Колико му је новца остало? Да би израчунао/-ла колико му је новца остало, од 215 динара одузећеш 134,5 динара. 215 – 134,5 = ?
Децималне бројеве одузимаш један од другог (слично као код сабирања) на два начина. Већ си закључио/-ла да је много једноставнији други начин, па ћеш убудуће и за одузимање користити углавном потписивање. 2 1 5,0 – 1 3 4,5 8 0,5
Децималне бројеве одузимаш тако што их најпре правилно потпишеш, водећи рачуна о томе да децималне запете умањеника и умањиоца буду једна испод друге, а затим их одузимаш као природне бројеве, с тим што на крају децимална запета разлике мора бити испод децималних запета умањеника и умањиоца. Пример 4. Израчунајмо следеће разлике: а) 41,39 – 23,17; б) 62,39 – 15,7; а)
4 1,3 9 – 2 3,1 7 1 8,2 2
б)
задатак 2. Допуни шта недостаје:
задатак 3. Израчунај:
142
6 2,3 9 – 1 5,7 0 4 6,6 9
а) 27,6 – 18; 2 7,6 – 1 8,_ 9,_
а) 46,8 – 7,3; г) 29,7 – 4,155;
в) 3,8 – 1,25. в)
б) 4 – 1,8; 4,_ – 1,_ 2,_
б) 118,69 – 54,19; д) 34,69 – 19;
3,8 0 – 1,2 5 2,5 5
в) 19 – 7,22. 1 9,_ _ – 7,2 2 _,_ 8
в) 205,409 – 25,31; ђ) 99 – 17,17.
Својства сабирања Марко је у првој половини месеца потрошио 2 , 3 а у другој половини месеца 1 свог џепарца. Маја је 4 у првој половини месеца потрошила 1 , а у другој 4 половини месеца 2 свог џепарца. Ко је од њих 3 двоје тог месеца потрошио већи део свог џепарца? Марко је потрошио 2 + 1 = 8 + 3 = 8 + 3 = 11 , 3 4 12 12 12 12 а Маја 1 + 2 = 3 + 8 = 3 + 8 = 11 , 4 3 12 12 12 12 па закључујемо да су Марко и Маја потрошили једнаке делове џепарца, то јест 2 + 1 = 1 + 2. 3 4 4 3 Сабирање разломака задржава својства које је имало сабирање природних бројева. За свака три разломка a , c и e важи: b d f a + c = c + a b d d b a + c + e = a + c b d f b d
комутативност сабирања (замена места сабирака) + e асоцијативност сабирања f (здруживање сабирака)
Применом ових својстава сабирања разломака често се лакше и брже може доћи до збира. Пример 1. Израчунајмо: 1 4 + 5 + 1 . 5 7 5 1 4 + 5 + 1 =1 4 + 1 + 5 = 1 4 + 1 + 5 =1 5 + 5 =2+ 5 =2 5 5 7 5 5 5 7 5 5 7 5 7 7 7 заменили смо здружили смо сабирке места сабирцима
задатак 1. Израчунај применом закона комутативности и асоцијативности: б) 2 5 + 4 2 + 12 1 + 10 7 . а) 3 3 + 7 + 2 1 ; 4 10 4 6 9 6 9 Знаш да нула има посебно место у сабирању и одузимању у скупу N0. Исто важи и за разломке. Дакле, 1) n + 0 = n, па је и a + 0 = a ; 2) 0 + n = n, па је и 0 + a = a ; b b b b 3) n – 0 = n, па је и a – 0 = a ; 4) n – n = 0, па је и a – a = 0. b b b b Како је a + 0 = 0 + a = a , за 0 кажемо да је неутрални елемент за сабирање разломака. b b b
143
Једначине При решавању једначина са разломцима користиш иста правила као и код решавања једначина у скупу природних бројева. Подсети се тих правила кроз неколико наредних примера. Решење једначине је број који замењен у једначини преводи једначину у тачну једнакост. Пример 1. На градилиште је допремљено 17,6t песка, а за изградњу зграде је потребно 32,5t песка. Колико је још песка потребно допремити на градилиште? Ако са x означиш количину песка коју треба допремити на градилиште, задатак се своди на решавање једначине. 17,6 + x = 32,5 x = 32,5 – 17,6 x = 14,9 Провера. 17,6 + 14,9 = 32,5
Непознати сабирак израчунаваш тако што од збира одузимаш познати сабирак.
ПОЗНАТИ САБИРАК x =
ЗБИР
–
+x =
ЗБИР
ПОЗНАТИ САБИРАК
Пример 2. Решимо једначине: а) 2 1 + x = 10 3 2 4 3 1 x = 10 – 2 4 2 3 x = 10 – 2 2 4 4 1 x=8 4 Провера. 2 1 + 8 1 = 2 2 + 8 1 = 10 3 2 4 4 4 4
б) x + 3,74 = 12,59 x = 12,59 – 3,74 x = 8,85 Провера. 8,85 + 3,74 = 12,59
задатак 1. Реши једначине:
а) x + 4 1 = 9 3 ; 2 5
б) 2,7 + x = 19,45.
задатак 2. Који број треба додати разлици бројева 3 5 и 1 1 да би се добио број 8 2 ? 6 4 3
144
Пример 3. Марко је понео у школу део пице који му је спремила мајка. На одмору је дао Маји 1 пице, а њему је остала 1 пице. Који 6 3 део пице је Марко понео у школу? Да би решио/-ла овај проблем потребно је да решиш једначину x – 1 = 1 , где је x део 6 3 пице који је Марко понео у школу. x– 1 = 1, 6 3
x= 1 + 1 , 3 6
x= 2 + 1, 6 6
x= 3, 6
x= 1 . 2
Провера. 1 – 1 = 3 – 1 = 2 = 1 2 6 6 6 6 3
Непознати умањеник израчунаваш тако што сабереш разлику и умањилац.
x–
УМАЊИЛАЦ
x=
РАЗЛИКА
РАЗЛИКА
= +
УМАЊИЛАЦ
Пример 4. Решимо једначине: а) x – 6,4 = 5,72 x = 5,72 + 6,4 x = 12,12 Провера. 12,12 – 6,4 = 5,72
б) x – 2 1 = 5 1 2 5 x=5 1 +2 1 5 2 x=5 2 +2 5 10 10 x=7 7 10 Провера. 7 7 –2 1 =7 7 –2 5 =5 2 =5 1 10 2 10 10 10 5
задатак 3. Реши једначине:
а) x – 3 1 = 1 ; 3 6
б) x – 5,5 = 19,4.
задатак 4. Колико је било угља на стоваришту, ако је после продаје 12,4t остало 31,4t?
145
Пример 5. Марко је пре поласка у продавницу добио од оца 220 динара. Колики је био рачун у продавници ако је Марко вратио оцу 38,5 динара? Ако са x означиш износ рачуна у продавници, задатак ћеш решити ако решиш једначину облика 220 – x = 38,5. 220 – x = 38,5 x = 220 – 38,5 x = 181,5 Провера. 220 – 181,5 = 38,5
Непознати умањилац израчунаваш тако што од умањеника одузмеш разлику.
–x
УМАЊЕНИК x =
УМАЊЕНИК
=
РАЗЛИКА
–
РАЗЛИКА
Пример 6. Решимо једначине: а) 8,42 – x = 3,61 x = 8,42 – 3,61 x = 4,81 Провера. 8,42 – 4,81 = 3,61
б) 2 4 – x = 1 4 5 15 x=2 4 –1 4 5 15 x = 2 12 – 1 4 15 15 x=1 8 15 Провера. 2 4 – 1 8 = 2 12 – 1 8 = 1 4 5 15 15 15 15
задатак 5. Реши једначине:
а) 10 5 – x = 3 3 ; 6 4
б) 12 – x = 3,7.
задатак 6. За колико треба умањити број 7 1 да би се добио број 2 3 ? 6 8 задатак 7. Попуни таблицу:
+
3,2
5,5
11,9 9,25
146
12,43
Неједначине Слично као и код једначина, за решавање неједначина важе иста правила као и у случају неједначина у скупу природних бројева. Решење неједначине је сваки број који замењен у неједначини преводи неједначину у тачну неједнакост. Како решење неједначине често није један број већ више њих, на крају задатка скуп решења приказиваћеш на бројевној полуправој. Подсетимо се још како промена сабирка утиче на промену збира и како промена умањеника или умањиоца утиче на промену разлике. Када увећамо неки од сабирака, онда се увећава и збир. Слично, што је већи умањеник, већа је и разлика. Међутим, када је непознат умањилац, са повећањем умањиоца разлика се смањује, па ће то утицати на промену знака неједнакости.
Пример 1. Маја помаже својој мами да направи сладолед. У чинију је сипала 1 l слатке павлаке 4 и умутила миксером. Ако чинија може да прими 7 l течности, колико млека може да сипа а да 8 се не прелије течност из чиније? Укупна количина течности у чинији не сме бити већа од 7 l, па количину млека x коју је могуће 8 сипати у чинију рачунаш из неједначине облика 1 +x≤ 7 . 4 8 1 +x≤ 7, x≤ 7 – 1, 4 8 8 4
x≤ 7 – 2, 8 8
x≤ 5 8
Подсети се да ако смањиш сабирак, и збир се смањи. Према томе, ако нађеш разломак који сабран са 1 даје 7 , тражени разломци ће бити сви они који су од њега мањи или једнаки. 4 8
5 8
0
1
ПОЗНАТИ САБИРАК x <
ЗБИР
–
+x <
ЗБИР
ПОЗНАТИ САБИРАК
147
На бројевној правој са леве стране датог броја су бројеви који су мањи од њега, а са десне стране тог броја су бројеви који су од њега већи. Зато решења неједначине приказујемо на следећи начин.
а
0
а
0
x≥а
x≤а
x>а
x<а
а
0
а
0
Пример 2. Решимо неједначине и добијена решења прикажимо на бројевној полуправој: а) 7 1 + x > 10 3 2 5 3 1 x > 10 – 7 5 2 6 x > 10 –7 5 10 10 1 x>3 10 3
0
1
2
б) x + 0,6 ≤ 5,2 x ≤ 5,2 – 0,6 x ≤ 4,6
1 10
3
4
0
1
2
3
4 4,6 5
6
задатак 1. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној полуправој: б) 2,25 + x > 3,75. а) 3 + x ≤ 5 1 ; 4 2 задатак 2. Које бројеве можемо додати броју 3 1 да збир буде мањи од 10 1 ? 3 6 Пример 3. Решимо неједначину x – 3 > 2 и провери који су од следећих разломака 5 3 2 16 1 решења ове неједначине , ,1 ,4 1 . 3 5 15 2 x– 3 > 2 Разлика се повећава како повећавамо умањеник, па ће дату неједнакост 5 3 2 3 задовољавати сви разломци који су већи од збира бројева и . x> 2 + 3 3 5 3 5 16 = 3 1 и 4 1 већи су од 1 4 , па су решења неједначине. x > 10 + 9 5 5 2 15 15 15 x > 19 15 1 1 15 x>1 4 15 2 1 0 1 14 2 3 31 4 4
{
3
148
15
}
5
2
x–
УМАЊИЛАЦ
x <
РАЗЛИКА
x≥
УМАЊИЛАЦ
< +
РАЗЛИКА
x–
УМАЊИЛАЦ
УМАЊИЛАЦ
x >
РАЗЛИКА
РАЗЛИКА
> +
УМАЊИЛАЦ
Пример 4. Решимо неједначину x – 0,75 < 2 1 и њена решења прикажимо на бројевној 4 полуправој: Примећујеш да је х ≥ 0,75. x – 0,75 < 2 1 4 1 x < 2 + 0,75 4 x < 2 1 + 75 4 100 x<2 1 + 3 4 4 4 x<2 4 x<3
0
0,75 1
2
3
Задатак 3. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној полуправој: а) x – 2 2 ≥ 4; б) x – 3,3 < 1,2. 5 Задатак 4. За које вредности x је израз x – 4 1 – 3 3 5 7
мањи од 17 ? 35
Пример 5. За које разломке је тачна неједнакост 8,4 – x < 2,15? Разлика се смањује како повећавамо умањилац, па ће дату неједнакост задовољавати сви разломци који су већи од разлике бројева 8,4 и 2,15, али не већи од умањеника (x ≤ 8,4). 8,4 – x < 2,15 x > 8,4 – 2,15 x > 6,25
4
5
Решења ће бити сви разломци већи од 6,25 и мањи од 8,4 или њему једнаки.
6 6,25
7
УМАЊЕНИК
– x <
РАЗЛИКА
x>
УМАЊЕНИК
–
РАЗЛИКА
x≤
УМАЊЕНИК
8
8,4
9
10
149
УМАЊЕНИК x<
– x
УМАЊЕНИК
>
РАЗЛИКА
–
РАЗЛИКА
Знак неједнакости се мења ако је непознат умањилац.
Умањилац не сме бити већи од умањеника. Пример 6. Решимо неједначине и решења прикажимо на бројевној полуправој. б) 3,7 – x ≤ 0,4.
а) 8 3 – x > 7 1 ; 10 2
Примећујеш да је x ≤ 3,7
Примећујеш да je x ≤ 8 3 10
0
4 5
x<8 3 –7 1 10 2 x<8 3 –7 5 10 10 x < 7 13 – 7 5 10 10 x< 8 10 x< 4 5
x ≥ 2,3
2
2,3
1
задатак 5. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној полуправој: а) 5 1 – x > 3 2 ; 4 5 б) 2 1 + 9 3 – x < 6 3 . 2 4 4 задатак 6. Нађи највећи природан број за који је 9 2 – x веће од 4 7 . 3 8
150
x ≥ 3,7 – 0,4
3
3,7 4
Множење и дељење Множење и дељење разломака природним бројем Како помножити разломак природним бројем? Хајде да заједно решимо један једноставан задатак који ће ти помоћи да то лакше научиш. Пример 1. Марков месечни џепарац је 700 динара. Одлучио је да сестри купи поклон. За то је потребно да 3 месеца штеди по 2 свог џепарца. Колико ће новца уштедети Марко за то време? 7 За 3 месеца Марко ће уштедети 3 пута по 2 , или краће 3 ∙ 2 свог џепарца. Значи: 7 7 2 + 2 + 2 =3∙ 2; 2+2+2 =3∙ 2; 3∙2 =3∙ 2. 7 7 7 7 7 7 7 7 Дакле, Марко ће уштедети 6 свог месечног џепарца, а то је (700 : 7) ∙ 6 = 600 динара. 7 Разломак се множи природним бројем тако што се бројилац помножи тим бројем, а именилац препише. Задатак 1. Допиши шта недостаје: а) 2 ∙ 7 = 2 ∙ = ; 15 15 15
б) 8 ∙ 2 = 3
За сваки разломак а важи а ∙ 1 = а b b b
∙ 3
=
и
3
=5
;
n∙ a = n∙a b b
в) 13 ∙ 11 = ∙ = 100 100
=1
.
а ∙ 0 = 0. b
Следећа два примера ће ти помоћи да научиш како да делиш разломак природним бројем. Пример 2. Ана и Јована треба да поделе 4 чоколаде. Који део ће добити свака од њих? 5 Како је број петина чоколаде дељив са 2 (4 : 2 = 2), свака ће добити по 2 чоколаде. 5 4 :2= 4:2 = 2 5 5 5
Када је бројилац a дељив природним бројем n којим делимо разломак a , количник је разломак a : n b b Задатак 2. Допиши шта недостаје: а) 5 : 5 = 5 : = 1 ; 7 7
б) 12 : 3= 5
: 5
=
;
в) 1 3 : 10 = 7
a :n= а:n b b
7
: 10 =
:
=
.
151
Како поделити разломак природним бројем, када бројилац није дељив тим бројем? Пример 3. Ана, Јована и Марко желе да поделе пола чоколаде. Који део целе чоколаде ће добити свако од њих? Свако од њих ће добити по 1 : 3 од целе чоколаде. Да бисмо извршили ово дељење, 2 разломак 1 проширујемо са 3, јер ће тада бројилац бити дељив делиоцем. 2 1 :3= 1∙3 :3= 3 :3= 3:3 = 1 = 1 2 2∙3 2∙3 2∙3 2∙3 6
Дакле, свако ће добити по 1 целе чоколаде, јер кад делилац повећаш 3 пута количник се 6 смањи 3 пута. Резултат можемо и проверити: 1 ∙3= 1∙3 = 3 = 3:3 = 1 6 6 6 6:3 2 Знаш да је а исто што и a : b. Раније си учио да када се делилац b (именилац) повећа n пута b да се тада количник a : b (разломак а ) смањи n пута. Према томе, важи следеће правило. b
Разломак се дели природним бројем тако што се бројилац препише, а именилац помножи тим природним бројем.
a :n= a b b∙n
Задатак 3. Допиши шта недостаје: a) 1 : 2 = 1 2 2∙ г) 5 : 2 = : 2
152
=
;
=
;
б) 3 : 5 = 3 = 3 ; 4 4∙ д) 1 6 : 5 = :5= ∙ 7
=
;
в) 4 : 10 = 4 = 4 = 2 ; 7 7∙ = ђ) 2 3 : 3 = :3= ∙ 10
.
Множење разломака задатак 1. Гледај, размишљај и допиши шта недостаје! 750 ∙ 1 = 750 ∙ 1 = 750 = 150; 750 : 5 = 150 5 5 5 Закључујеш да је помножити 750 са 1 исто што и 750 поделити са 5. 5 = 15; 750 : ____ = 15 750 ∙ 1 = 750 ∙ 1 = 50 50 50 Закључујеш да је помножити 750 са 1 исто што и ____ поделити са 50. ∙1 = = ____; 3 750 : ____ = 125 3 750 ∙ 1 = 30 30 Закључујеш да је помножити 3 750 са 1 исто што и 3 750 поделити са ____ . ∙ = = ____; 480 : 12 = ____ 480 ∙ 1 = 12 12 Закључујеш да је помножити 480 са 1 исто што и 480 поделити са ____ . Множење неког броја m са 1 своди се на дељење броја m са n, тo јест m ∙ 1 = m = m : n. n n n Исто важи и за разломке. Множење неког разломка a са 1 своди се на дељење b n разломка a са n. b
a ∙ 1 = a :n= a b n b b∙n
Пример 1. Допиши шта недостаје. а) 3 ∙ 1 = 3 = 3 ; 8 4 8 ∙ 4 32
б) 5 ∙ 1 = 5 17 10 17 ∙
= 5 = 1 ;
в) 14 ∙ 1 = 14 = 14 = 7 . 5 6 5∙
Задатак 2. Израчунај: а) 5 ∙ 1 = 9 8
; б) 3 ∙ 4 = 7 5
; в) 33 ∙ 1 = 20 8
; г) 15 ∙ 1 = 4 20
.
Научио/-ла си да је m = m ∙ 1 . То користиш у следећем примеру. n n Пример 2. Помножимо разломке 5 и 7 . 9 8 5 ∙ 7 = 5 ∙ 1 ∙ 7 = 5 ∙ 7 = 5 ∙ 7 = 35 , примећујеш да је 5 ∙ 7 = 5 ∙ 7 . 9 8 9 8 9 ∙ 8 9 ∙ 8 72 9 8 9∙8
153
задатак 3. Израчунај: a) 3 ∙ 4 = 3 ∙ 1 ∙ 4 = 3 ∙ 7 5 5
4 ∙
=
∙ ∙
= 12 , примећујеш да је 3 ∙ 4 = 3 ∙ . 35 7 5 ∙5
б) 13 ∙ 19 = 13 ∙ 1 ∙ 19 = 13 ∙ 111 28 28
1 ∙
=
∙ ∙
=
, примећујеш да је 13 ∙ 19 = 111 28
Производ два разломка јесте разломак чији је бројилац производ бројилаца та два разломка, а именилац је производ именилаца та два разломка.
∙ ∙
.
a ∙ c = a∙c b d b∙d
Задатак 4. Израчунај: а) 1 ∙ 1 = 2 3
;
б) 2 ∙ 4 = 3 5
;
в) 7 ∙ 3 = 8 4
;
г) 11 ∙ 2 = 9 7
.
Пример 3. Израчунајмо: 3 ∙ 4 , 2 ∙ 5 и 3 ∙ 10 . 4 5 15 7 8 27 а) 3 ∙ 4 = 3 ∙ 4 = 12 = 12 : 4 = 3 Како 4 дели и именилац и бројилац производа 4 5 4∙5 20 20 : 4 5 разломака, новодобијени разломак се може скратити са 4.
То скраћивање, често, због једноставности, радимо одмах, па то у свесци изгледа као на слици десно.
б) 2 ∙ 5 = 2 ∙ 5 = 2 ∙ 1 = 2 или још краће 15 7 15 ∙ 7 3 ∙ 7 21
в) 3 ∙ 10 = 3 ∙ 10 = 1 ∙ 5 = 5 или још краће 8 27 8 ∙ 27 4 ∙ 9 36
При множењу два разломка можемо скраћивати бројилац једног и именилац другог разломка.
154
дељење разломака Знаш да је поделити разломак природним бројем n исто што и помножити тај разломак разломком 1 , то јест a : n = a ∙ 1 = a . n b b n n∙b Закључујеш да је за сваки природан број n испуњено n ∙ 1 = 1. n 5 даје број 1. Тражимо разломак a такав Пример 1. Одредимо број који помножен са 7 b да је a ∙ 5 = 1. Како се именилац једног разломка при дељењу скрати са бројиоцем другог b 7 разломка, закључујемо да је a = 7 и b = 5, односно a = 7 . b 5 Број p је реципрочна вредност броја q, q ≠ 0, ако је p ∙ q = 1.
Реципрочна вредност природног броја n је разломак 1 , јер је n ∙ 1 = 1. n n Реципрочна вредност разломка a (a ≠ 0, b ≠ 0) јесте разломак b , јер је a ∙ b = 1. b a b a Задатак 1. Одреди реципрочне вредности следећих бројева: а) 5, 203, 82;
б) 1 , 1 , 1 ; 3 10 15
в) 3 , 22 , 1 . 4 7 254
Подсетимо се односа множења и дељења код природних бројева. Нека су a, b и c природни бројеви. Тада из a ∙ b = c следи c : a = b и c : b = a. Исто важи и за разломке. Пример 2. Израчунајмо количнике 1 : 1 , 1 : 5 и 1 : 7 . 5 7 5 Знаш да је 5 ∙ 1 = 1, па закључујеш да је 1 : 1 = 5. 5 5 Знаш да је 7 ∙ 5 = 1, па закључујеш да је 1 : 5 = 7 и 1 : 7 = 5 . 5 7 7 5 5 7 Пример 3. Израчунајмо 14 ∙ 5 , па упоредимо количник 2 : 5 и производ 2 ∙ 7 . 15 7 3 7 3 5 Како је 14 ∙ 5 = 2 , закључујемо да је 2 : 5 = 14 , док је и 2 ∙ 7 = 14 . 15 7 3 3 7 15 3 5 15 Дакле, 2 : 5 = 2 ∙ 7 . 3 7 3 5
155
задатак 2. Радећи као у примеру 3: а) израчунај 20 ∙ 11 , па упореди количник 4 : 11 и производ 4 ∙ 5 ; 77 5 7 5 7 11 б) израчунај 8 ∙ 5 , па упореди количник 5 : 5 и производ 5 ∙ 8 . 9 8 9 8 9 5 a : c = a ∙ d b d b c
Поделити разломак другим разломком исто је што и помножити тај разломак реципрочном вредношћу другог разломка. Задатак 3. Израчунај:
а) 1 : 12;
б) 1 : 5 ; 6
в) 3 : 7 ; 4 9
г) 2 : 16 ; 17 7
д) 3 : 4 ; 4 9
ђ) 2 : 2 . 3 3
Пример 4. Израчунајмо 2 1 : 3 2 . 4 5 Прво дате мешовите бројеве преведемо у облик a , па онда извршавамо назначено b дељење 2 1 : 3 2 = 9 : 17 = 9 ∙ 5 = 45 . 4 5 4 5 4 17 68 Задатак 4. Израчунај:
а) 1 1 : 5 7 ; 4 9
б) 6 4 : 3 1 ; 5 5
в) 14 : 7 1 . 2
Знаш да је разломачка црта симбол за дељење, па количник разломака a и c можеш да b d а запишеш и на следећи начин a : c = b . c b d d а b називамо двојни разломак. Израз c d Како је a : c = a ∙ d = a ∙ d , то је мањи разломак b d b c b∙c је разломак. Задатак 5. Израчунај:
156
1 а) 4 ; 4 9
3 б) 5 ; 6 7
а b = a ∙ d . Количник два разломка c b∙c d
6 25 в) ; 21 35
6 г) 1 . 3 4
Својства множења и дељења разломака Пример 1. Шта је веће, половина трећине или трећина половине? Израчунаћемо поменуте производе, па ћемо их затим упоредити.
1 ∙ 1 = 1 2 3 6
1 ∙ 1 = 1 3 2 6
Дакле,
1 ∙ 1 = 1 ∙ 1 2 3 3 2
Множење разломака задржава својства које је имало множење природних бројева. За свака три разломка a , c и e важи: b d f a ∙ c = c ∙ b d d a ∙ c ∙ e b d f a ∙ c + e b d f
a b = a ∙ b = a ∙ b
комутативност множења c ∙ e d f c + a ∙ e d b f
асоцијативност множења дистрибутивност множења у односу на сабирање.
Применом ових својстава често се лакше и брже могу решити задаци. Пример 2. Користећи асоцијативност и комутативност за множење разломака израчунајмо производе: а) 17 ∙ 12 ∙ 38 38 17 45 а) 17 ∙ 38 б) 7 ∙ 9
б) 7 ∙ 6 ∙ 3 9 11 28
;
12 ∙ 38 = 17 ∙ 12 ∙ 38 = 17 45 38 17 45 6 ∙ 3 = 7 ∙ 3 ∙ 6 = 11 28 9 28 11
.
12 ∙ 38 = 12 = 4 38 45 45 15 7 ∙ 3 ∙ 6 = 1 ∙ 6 = 1 9 28 11 12 11 22
Задатак 1. Израчунај:
а) 16 ∙ 15 ∙ 11 3 36 14
;
б) 9 ∙ 5 ∙ 6 28 13 27
.
Пример 3. Користећи дистрибутивност множења у односу на сабирање следеће бројевне изразе лакше рачунамо. а) 12 ∙ 2 3 + 1 1 ; б) 6 3 ∙ 4 1 + 2 14 ∙ 4 1 . 4 3 17 3 17 3 а) Пошто су 3 и 4 делиоци броја 12, рачунамо на један од следећа два начина: 1) 12 ∙ 2 3 + 1 1 = 12 ∙ 11 + 4 = 12 ∙ 11 + 12 ∙ 4 = 3 ∙ 11 + 4 ∙ 4 = 33 + 16 = 49; 4 3 4 3 4 3 2) 12 ∙ 2 3 + 1 1 = 12 ∙ 2 + 3 + 1 + 1 = 12 ∙ 3 + 3 + 1 = 12 ∙ 3 + 3 ∙ 3 + 4 ∙ 1 = 36 + 9 + 4 = 49. 4 3 4 3 4 3
157
б) Како је 3 + 14 = 17 17 6 3 ∙ 4 1 + 2 14 ∙ 4 17 3 17 = 9 ∙ 13 = 3 ∙ 13 = 39 3
17 = 1, то дати израз рачунамо на следећи начин: 17 1 = 6 3 + 2 14 ∙ 13 = 6 + 3 + 2 + 14 ∙ 13 = (8 + 1) ∙ 13 = 3 17 17 3 17 17 3 3
Задатак 2. Израчунај:
а) 15 ∙ 1 + 11 ; 5 3
б) 3 ∙ 11 + 3 ∙ 4 159 . 17 10 17 10
Како се дељење неким разломком своди на множење реципрочном вредношћу тог разломка, својства дељењa проистичу из својстава множења. За свака три разломка a , c и e важи: b d f a + c : e = a : e + c : e дистрибутивност дељења у односу на сабирање. b d f b f d f
Множење децималних бројева Пример 1. Марко је одлучио да купи 10 флашица сока за своје другове. Колико новца му је потребно ако је цена једне флашице 24,75 динара?
10 ∙ 24,75 = 10 ∙ 24 75 = 10 ∙ 24 + 75 100 100 = 10 ∙ 24 + 10 ∙ 75 = 240 + 75 100 10 = 240 + 7,5 = 247,5. Дакле, Марку је потребно 247,5 динара.
Пример 2. Израчунај: а) 0,567 ∙ 100; б) 0,567 ∙ 1 000. а) 0,567 ∙ 100 = 567 ∙ 100 = 567 = 56,7 1 000 10
б) 0,567 ∙ 1 000 = 567 ∙ 1 000 = 567 1 000
При множењу са 10 запета се помера за 1 место удесно (10 ∙ 24,75 = 247,5), при множењу са 100 запета се помера за 2 места удесно (0,567 ∙ 100 = 56,7), док се при множењу са 1 000 запета помера за 3 места удесно (0,567 ∙ 1 000 = 567), и тако даље. Разломак записан у децималном запису множи се декадном јединицом тако што му се децимална запета помера за онолико места удесно колико та декадна јединица има нула.
158
задатак 1. Попуни таблицу како је започето. ∙
10
100
2,987652
29,87652
0,5543211
1000
10 000
100 000
55,43211
0,00101
1,01
76,89
768 900
403,0574
40 305 740
Пример 3. Колика је површина правоугаоника чије су дужине страница 3,9cm и 1,7cm? Како је 3,9 ∙ 1,7 = 3 9 ∙ 1 7 = 39 ∙ 17 = 39 ∙ 17 = 663 = 6,63, 10 10 10 10 100 100 површина правоугаоника је 6,63cm2. Пример 4. Израчунајмо 9,26 ∙ 11,3 и 6,6 ∙ 0,134. 9,26 ∙ 11,3 = 9 26 ∙ 11 3 = 926 ∙ 113 = 926 ∙ 113 = 104 638 = 104,638 100 10 100 10 1 000 1 000 6,6 ∙ 0,134 = 6 6 ∙ 164 = 66 ∙ 134 = 8 844 = 0,8844 10 1 000 10 000 10 000
Два разломка дата у децималном запису множимо као природне бројеве, а затим у производу издвојимо онолико децимала колико их имају оба чиниоца заједно.
Задатак 2. Попуни таблицу како је започето. ∙
0,048
0,5
0,024
0,48
4,8
4,8
3,2 5,76
159
дељење децималних бројева Пример 1. Марко је купио у мегамaркету паковање од 10 сијалица и платио га 172,5 динара. Интересовало га је коликa je цена једне сијалица, па је овако рачунао: 172,5 : 10 = 172 5 : 10 = 1 725 ∙ 1 = 1725 = 17 25 = 17,25. 10 10 10 100 100 Проверавајући резултат запазио је да је количник записан истим цифрама као и дељеник, само је запета померена за једно место улево. Задатак 1. Гледај како је Марко рачунао, па допиши шта недостаје: a) 67,894 : 100 = 68
: 100 = 67 894 ∙ 1 = 67 894 = 0,67894; 1 000 1 000 100 000
б) 67,894 : 1 000 = 68
: 1 000 = 67 894 ∙ 1 000 1 000
1
= 67 894 = 0,067894. 1 000 000
Разломак записан у децималном запису дели се декадном јединицом тако што му се децимална запета помера за онолико места улево колико та декадна јединица има нула. Задатак 2. Попуни таблицу како је започето. :
10
29 876,52
2987,652
554,3211
100
1 000
10 000
100 000
5,543211
10,101
0,010101
76,89
0,007689
0,4
0,000004
Пример 2. Марко је отишао у продавницу и купио 5 l сока. Када је стигао кући мајка га је питала колика је цена 1 l. Он није могао да се сети цене, али је знао да је 5 l сока платио 317,5 динара, па је сео и овако рачунао цену једног литра: 317,5 : 5 = 317 + 5 : 5 = 317 : 5 + 5 : 5 = 63,4 + 1 = 63,4 + 0,1 = 63,5. 10 10 10 Потом је одговорио мајци: „Мама, један литар сока кошта 63,5 динара.“ Задатак 3. Гледај како је Марко рачунао, па допиши шта недостаје: a) 34,6 : 4 = 34 +
10
: 4 = 34 : 4 + 6 : ___ = 8,5 + 6 = 8,5 + 0,15 = 8,65; 10 40
∙ 1 = 837 = 0,0837; б) 0,2511 : 3 = 2511 : 3 = 10 000 3 10 000 10 000 в) 214,5 : 3 = 214 +
160
+ 5 = 71 15 = 71 = 71,5. : 3 = 214 : ___ + 5 : 3 = 71 1 + 5 = 71 10 30 30 10 10 3 30
При дељењу разломка природним бројем, број целих у количнику једнак је броју целих које добијамо дељењем целобројног дела дељеника делиоцем. Дакле, место децималне запете зависи од места децималне запете у дељенику. До тражених количника можемо доћи и на следећи начин: а) Корак 1. 34,6 : 4 = 8 –32 2
Корак 2.
б) Корак 1. 0,2511 : 3 = 0 –0 0
Корак 2. 0,2511 : 3 = 0, –0 0
34,6 : 4 = 8, –32 2
Корак 3.
34,6 : 4 = 8,65 –32 26 –24 20 –20 0
Корак 3. 0,2511 : 3 = 0,0837 –0 02 –0 25 –24 11 –9 21 –21 0
Разломак дат у децималном запису делимо природним бројем тако што вршимо дељење као у случају природних бројева, с тим што када дођемо до децималне запете у дељенику, напишемо и децималну запету у количнику. Задатак 4. Израчунај:
а) 43,876 : 7;
б) 0,0564 : 8;
в) 5,89 : 22.
Пример 3. Израчунајмо 56,88 : 1,3. Подсети се да се количник не мења када се и дељеник и делилац помноже истим бројем. Ако дате разломке помножимо са 10, дато дељење сводимо на дељење разломка природним бројем, па ћемо то и учинити. 56,88 : 1,3 = 568,8 : 13 = 43,7538461538461538... = 43,7(538461) Дељење два разломка дата у децималном запису увек сводиш на дељење разломка природним бројем, множењем и дељеника и делиоца одговарајућом декадном јединицом (оном која има онолико нула колико делилац има децимала). Задатак 5. Израчунај:
а) 78,9 : 1,25;
б) 0,456 : 28,7;
в) 36 : 9,1.
161
Једначине На основу својстава рачунских операција у скупу разломака долазиш до одговарајућих правила за решавање једначина. Пример 1. Марко је у продавници купио 810g меса. Рачун је износио 283,5 динара. Колико би Марко платио да је купио 1kg меса? Ако са c означиш непознату цену 1kg меса, онда је потребно да решиш једначину 0,81 ∙ c = 283,5 c = 283,5 : 0,81 c = 350 Провера. 0,81 ∙ 350 = 283,5 Непознати чинилац израчунаваш тако што производ поделиш познатим чиниоцем. ∙x =
ПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ x =
:
ПРОИЗВОД
ПРОИЗВОД
ПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ
Задатак 1. Реши једначине: а) 4 ∙ x = 8 ; б) x ∙ 1 3 = 3 ; в) 6 + 1 x ∙ 3 6 = 17; г) 2,6 ∙ x – 0,3 = 12,581. 5 15 7 4 13 2 11 Задатак 2. Када је Јована потрошила петину свог џепарца, остало јој је 640 динара. Колико онда динара износи цео Јованин џепарац? Пример 2. Колико килограма јагода трговац треба да поручи ако жели да за продају изложи 55 пакета од по 3 килограма? 4 Постављеном проблему одговара једначина x : 55 = 3 , где је са x означена количина јагода 4 коју трговац треба да наручи. x = 55 ∙ 3 4 x = 165 4 x = 41,25 Провера. 41,25 : 55 = 0,75 = 3 4 Непознати дељеник се рачуна тако што се помноже делилац и количник. x : x =
162
ДеЛИЛАЦ ДеЛИЛАЦ
=
КОЛИЧНИК
∙
КОЛИЧНИК
задатак 3. Реши једначине: а) x : 2,38 = 6,7; б) x : 5 = 1,1; в) x : 3,25 – 9,7 = 2 1 ; г) 2 x : 10 5 – 3 6 5 3 7 14
= 14 . 25
Задатак 4. Који број треба поделити разликом бројева 2 и 2 , па да количник буде 17 5 . 3 9 8 Пример 3. У магацину се налази 317,5kg грожђа које ради продаје треба спаковати у пакете од по 1,25kg. Колико пакета ће бити спаковано? Ако са x означиш број пакета, онда постављеном проблему одговара једначина 317,5 : x = 1,25 x = 317,5 : 1,25 x = 254 Провера. 317,5 : 254 = 1,25 Непознати делилац се рачуна тако што дељеник поделимо количником. ДељеНИК x =
:x =
КОЛИЧНИК
:
КОЛИЧНИК
ДељеНИК
Задатак 5. Реши једначине:
а) 2 : x = 5 ; 3 8 г) 8 : x – 3 25 4
б) 4 1 : x = 7 ; 4 15 = 9,075;
в) 43,56 : x = 7,8;
д) 12,4 : 2 x + 3 3 4
= 1 . 3
Задатак 6. Којим бројем треба поделити збир бројева 5 и 14,7 да бисмо добили 2,5? 8 Задатак 7. Попуни празна поља одговарајућим разломцима у децималном запису. ∙
28
17,5
0,14
3,5
:
1,2
3,6
1,125
1,75
140
0,28
10,55 14
28,8
480
163
неједначине Слично као код једначина, за неједначине важе иста правила као и у случају неједначина у скупу природних бројева. Пример 1. Реши неједначину x ∙ 3 > 1 2 и скуп решења представи на бројевној полуправој. 4 5 Потом провери који су бројеви из скупа {3; 0,8; 0,08; 2,5; 1,8} решења дате неједначине. x∙ 3 >1 2 4 5 2 x>1 : 3 5 4 x> 7 ∙ 4 5 3 x > 28 15 x > 1 13 15
Подсети се, ако повећаш чинилац и производ се повећава. Према томе, ако нађеш разломак који помножен са 3 даје 1 2 , то јест ако решиш 4 5 3 2 једначину x ∙ = 1 , тражена решења ће бити сви они разломци који 4 5 су од њега већи. Како су 3 и 2,5 већи од 1 13, ти бројеви јесу решења 15 неједначине.
0 0,08
0,8
1
1
13 2 15
2,5
Празан кружић код броја 1 13 значи да тај број није решење дате неједначине. 15 Скуп решења неједначине x ∙ 3 ≥ 1 2 јесте x ≥ 1 13 и тада је кружић код броја 1 13 обојен, 4 5 15 15 јер тај број, сада, јесте решење неједначине.
0
1
ПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ x <
ПРОИЗВОД :
1
∙x <
13 2 15
ПРОИЗВОД
ПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ
Задатак 1. Реши неједначине:
а) 3 ∙ x > 16 ; 4 25 в) x ∙ 2 3 < 3,4; 7
б) 3 ∙ x ≤ 16 ; 4 25 г) 1,65 ∙ x + 1,8 ≥ 2,5.
Задатак 2.
164
Који бројеви помножени са 2 2 дају производ мањи од 5 1 ? 3 6
Пример 2. Реши неједначину x : 3,7 1,2 и скуп решења представи на бројевној полуправој. Потом провери који су бројеви из скупа 2, 3 2 , 4 1 , 4 1 , 4 3 , 5 7 , 21 1 решења дате неједначине. 3 5 2 4 9 4
{
x : 3,7 ≤ 1,2 x ≤ 1,2 ∙ 3,7 x ≤ 4,44
}
Када смањујеш дељеник, и количник се смањује, па дату неједначину задовољавају сви разломци који су мањи од 1,2 ∙ 3,7 или једнаки.
0
1
2
x :
3
ДеЛИЛАЦ
x >
ДеЛИЛАЦ
4 4,44
5
>
КОЛИЧНИК
∙
КОЛИЧНИК
6
Задатак 3. б) x : 5 ∙ ≤ 0,1; 9 г) (x –1) : 0,5 = 104 + 3,6. : 3,2 < 2 1 ; 20 25
а) x : 2,3 > 6,777;
Реши неједначине:
в) x + 1 2
Задатак 4. Деда Васа продаје лубенице и цена једног килограма је 12,5 динара. Колико новца ће потрошити Славко за лубеницу тешку између 8 и 10 килограма? Пример 3. Решимо неједначину 2 1 : x < 1 , и скуп решења представимо на бројевној 5 3 полуправој. Потом проверимо који су бројеви из скупа 5, 5 2 , 6 1 , 6 2 , 6 3 , 7 78 , 100 1 3 2 3 4 95 3 решења дате неједначине.
{
2 1 :x< 1 5 3 x>2 1 : 1 5 3 x > 11 ∙ 3 5 x > 33 5 x > 6,6
ДељеНИК x >
}
Како се количник смањује када повећаш делилац, дату неједнакост задовољавају сви разломци који су већи од 2 1 : 1 . 5 3
0
1
2
3
: x <
КОЛИЧНИК
:
КОЛИЧНИК
ДељеНИК
4
5
6 6,6 7
8
ДељеНИК x <
9
10
: x >
КОЛИЧНИК
:
КОЛИЧНИК
ДељеНИК
165
Задатак 5. Реши неједначине: а) 2 : x > 1 ; 7 3 г) 7 : x ≤ 8,07; 20
б) 4 3 : x ≥ 7 ; в) 3,5 : x < 0,8; 5 15 д) 7 4 : x + 1 > 1 . 5 4 5
Задатак 6. Збир бројева 1 1 и 3 подељен је непознатим бројем и добијен је број који није мањи од 4 5 7 . Опиши скуп бројева у коме се налази непознати број? 10
Превођење периодичног бесконачног децималног записа у запис а b Коначан децимални запис лако се преводи у облик а , али како поступити када је у питању b бесконачан периодичан децимални запис? Децимални запис у коме се нека група цифара „непрестано“ понавља назива се периодични. На пример, такви су следећи децимални записи: 1,333..., 0,0666..., 8,1414..., 23,0867867... и тако даље. Ради једноставнијег записа уобичајено је групу цифара која се понавља записати у загради: 1,333 = 1,(3); 0,0666... = 0,0(6); 8,1414... = 8,(14); 23,0867867... = 23,0(867). Пример. Запишимо бројеве 1,(3) и 23,0(867) у облику а . b Нека је x = 1,(3). Тада је 10 x = 13,(3). Видиш да бројеви 1,(3) и 13,(3) имају једнаке децималне делове (све децимале су им једнаке), па је њихова разлика природан број.
Нека је y = 23,0(867). Тада је 10 y = 230,(867), тј. 10 000 y = 230 867,(867). Опет смо множењем одговарајућим декадним јединицама дошли до два децимална записа који имају једнаке децималне делове. То и јесте циљ, јер је тада разлика та два броја природан број.
10 x – x = 13,(3) – 1,(3) 9 x = 12 x = 12 9 x= 4 3 1,(3) = 1 1 3
10 000 y – 10 y = 230 867,(867) – 230,(867) 9 990 y = 230637 y = 230 637 9 990 y = 76 879 3 330 23,0(867) = 23 289 3 330
Задатак. Запиши бројеве 0,0666... = 0,0(6) и 8,1414... = 8,(14) у облику а . b
166
АритМетичКА СрединА Пример 1. На часу физичког васпитања ученици су два пута трчали по 30m, а наставник је мерио времена сваког ученика. После тога је за сваког појединачно бележио просечно време. Ако је Ана једном стазу претрчала за 6 секунди, а други пут за 7 секунди, које време јој је убележено? Тражено време добијамо када саберемо два дата времена, па тај збир поделимо са два. Ани је убележено време 6,5 секунди. Број 6,5 је аритметичка средина бројева 6 и 7.
6 + 7 = 13 = 6,5 2 2
Представи бројеве 6, 6,5 и 7 на бројевној полуправој.
4
5
A
S
B
6
6,5
7
8
Видиш да је број 6,5 подједнако удаљен од бројева 6 и 7, то јест тачка S је средиште дужи AB.
7 – 6,5 = 6,5 – 6 = 0,5 7 – 6 = 0,5 2
Аритметичка средина бројева a и b јесте број a + b . 2
На бројевној полуправој аритметичкој средини два броја одговара средиште дужи чији су крајеви тачке које одговарају тим бројевима. Значи између свака два разломка налази се разломак, њихова аритметичка средина. Пример 2. Марко је из математике у току првог тромесечја добио једну петицу, две четворке и једну тројку. Коју оцену ће онда имати на крају тромесечја? Марко рачуна просечну оцену на следећи начин:
Имаћу 4 из математике!
5 + 4 + 4 + 3 = 16 = 4. 4 4 На овај начин Марко је израчунао аритметичку средину бројева 5, 4, 4, 3.
Аритметичка средина n бројева једнака је количнику збира тих бројева и броја n. Задатак 1. Израчунај просечну висину чланова своје породице. Задатак 2. Израчунај просек својих оцена из математике и српског језика.
167
рАзМерА Пример 1. Број 5 је 3 пута мањи од броја 15. То се често каже другачије: број 5 се према броју 15 односи као број 1 према броју 3 или 5 : 15 = 1 . Израз 5 : 15 је размера бројева 5 и 3 1 15, а вредност размере је разломак . 3 Израз a : b називамо размером бројева a и b. Број a је први члан размере, а број b је други члан. Вредност размере је разломак a , то јест a : b = a . b b Задатак 1. Израчунај размере бројева:
а) 15 и 5;
б) 4 и 14;
г) 7,5 и 1,125;
д) 2,1 и 0,49;
в) 25 и 2,5; ђ) 3 и 7 . 4 9
Пример 2. Израчунај вредности размера бројева 2 и 10, као и бројева 4 и 4 , па их упореди. 25 5 Како је 2 : 10 = 2 = 1 , и 4 : 4 = 4 ∙ 5 = 1 , закључујеш да су вредности размера једнаке. 10 5 25 5 25 4 5
Кажемо да су две размере једнаке ако су им једнаке вредности.
Размера се не мења ако се чланови размере поделе или помноже истим бројем. Задатак 2. Испитај да ли су следеће размере једнаке: а) 1 : 1 и 75 : 50; б) 6,7 : 1,2 и 6 : 1 ; в) 12,5 : 0,5 и 1 : 25; 2 3 7 2
г) 12,5 : 0,5 и 2,5 : 0,1.
Размера се често примењује у свакодневном животу. На пример, географске карте и ауто-мапе увек су дате у некој размери, као и планови зграда и станова. Често се размером изражавају разни статистички подаци, однос броја рођених или умрлих према укупном броју становника, број незапослених или запослених према укупном броју становника, број жена према броју мушкараца, број деце према броју одраслих и тако даље. Пример 3. На географској карти пише да је израђена у размери 1 : 500 000. Ако је раздаљина између места А и места B на карти 3,6cm, колика је она у стварности?
РАЗМЕРНИК 1: 500 000 0
20
40
60
КИЛОМЕТРИ
168
80
100
Према подацима са карте знамо да је размера раздаљине на карти између места A и места B, и стварне раздаљине тих места 1 : 500 000, што значи да је стварна раздаљина 500 000 пута већа од оне на карти. Дакле, раздаљина је: 3,6 ∙ 500 000 = 1 800 000cm = 18 000m = 18km. задатак 3. Ако је географска карта нацртана у размери 1 : 25 000, колику раздаљину представља дуж од 7,9cm? Којом дужином је на истој карти представљен 1km? Пример 4. Соба је правоугаоног облика дименија 4,5m и 3,2m. Врата, чија је ширина 80cm, и прозор, чија је ширина 120cm, налазе се на срединама краћих страна. Нацртајмо план собе у размери 1 : 50. Размера 1 : 50 значи да је дуж на плану 50 пута мања од стварне дужине. Дакле, димензије собе на плану јесу 4,5 : 50 = 0,09m = 9cm и 3,2 : 50 = 0,064m = 6,4cm, док су врата широка 80 : 50 = 1,6cm, а прозор 120 : 50 = 2,4cm. Наравно, и на плану се врата и прозор налазе на средини одговарајућих страница правоугаоника. Пример 5. Поделимо дуж AB дужине 14cm у размери 3 : 4. Како је 3 + 4 = 7, дуж прво поделимо на 7 једнаких делова (поделимо дуж на њене седмине). Сваки од тих делова износи 14 : 7 = 2cm. Затим уочимо тачку C, која дуж AB дели на дужи AC и CB, тако да је AC једнако 3 (6cm), а CB једнако 4 (8cm) дужи AB. 7 7
Проверимо да ли је добро урађено! AC : BC = 3 : 4 = 3 : 4 (оба члана размере су помножена са 7). Према томе тачка C је добро 7 7 одређена. Задатак 4. Подели дуж AB дужине 12cm у размери:
а) 1 : 1;
б) 1 : 2;
в) 3 : 1;
г) 2 : 3.
Задатак 5. Ана и Марко су се договорили да поделе 25 бомбона у размери 3 : 2. Колико бомбона је добио свако од њих?
169
Проценти Поред децималног записа и записа а , постоји и процентни запис разломака. b Сигурно си се већ срео/-ла са процентима. Сети се натписа у новинама: бензин је поскупео 7%, електрична енергија је поскупела 15%, или излога који маме пролазнике великим натписима: снижење 20%, велико сезонско снижење 50%, или пак реклама разних банака у којима се помињу каматне стопе изражене у процентима.
ПОПУСТ
20%
КО ОНС СЕЗ ЕЊЕ Ж СНИ
50%
КАМАТЕ ДО 12%
Један проценат представља један стоти део, па разломак записујеш у процентном запису тако што запишеш колико стотих делова тај разломак има, а затим допишеш знак за проценат %. 1% = 1 , a% = a ∙ 1 = a 100 100 100 100% = 100 ∙ 1 = 1 100 Због тога важе једнакости: 7% = 7 , 100
20% = 20 = 1 , 100 5 1 = 0,25 = 25%, 4
50% = 50 = 1 , 100 2 2 = 0,(6) = 66,(6)%, 3
117% = 1 17 , 250% = 2 1 , 100 2 3 3 = 3,375 = 337,5%. 8
Пример 1. Ако је цена бензина пре поскупљења од 7% била 83,5 динара, колико износи сада (после поскупљења)? На стару цену бензина треба додати још 7% те цене, или одмах израчунати колико је 107% (100% + 7% = 107%) од старе цене бензина: 107% ∙ 83,5 = 1,07 ∙ 83,5 = 89,345. Дакле, нова цена бензина је 89,345 динара. Пример 2. Цена хаљине је била 2 100 динара. Колико хаљина кошта сада, ако је у току снижење од 30%? Од старе цене хаљине треба да одузмемо 30% те цене, или одмах да израчунамо колико је 70% (100% – 30% = 70%) старе цене хаљине: 70% ∙ 2 100 = 0,7 ∙ 2 100 = 1 470. Дакле, нова цена хаљине је 1 470 динара. Задатак. Потражи у дневним новинама чланак, рекламу или оглас у коме се појављују разломци и провери своје знање израчунавајући одговарајуће величине.
170
осна симетрија Задатак 1. Доцртај обрисани део Снешка Белића поштујући, наравно, истоветност леве и десне стране његовог тела. Управо та истоветност је једна од кључних особина због које његово тело подсећа на људско.
Да је заиста симетричност једна од главних одлика људског тела доказује чињеница да ма колико детаља занемарили, на пример на лицу, симетричност морамо испоштовати. Од давнина људи поштују симетричност, јер им је она просто пријатна за око. Поред тога што је природа пуна симетричних облика, огроман број ствари које су људи правили поседује исту особину.
Реч симетрија потиче из грчког језика и значи складност, слагање.
171
Појам осне симетрије Шта је осна симетрија? Задатак 1. Део провидног папира (на пример, паус папира) правоугаоног облика залепи на предвиђено место. Прецртај све нацртане фигуре на провидан папир па га затим пресавиj дуж црвене линије.
s
место За леПљење
Тачку провидног папира која се добија прецртавањем тачке T означи са T ’. Дуж на провидном папиру која се добија прецртавањем дужи AB означи са A’B’. Угао на провидном папиру који се добија прецртавањем угла xOy означи са x’O’y’. 1) Да ли су тачке Т и T ’ на једнаком растојању од праве s? 2) Да ли су дужине дужи AB и A’B’ једнаке? 3) Да ли су углови xOy и x’O’y’ једнаки? 4) Права p(A, B) нормална је на s. Да ли је на s нормална и права p(A’, B’)? 5) Полуправа Oy је паралелна правој s. Да ли је и полуправа O’y’ паралелна са s?
172
Задатак 2. Изрежи прилог 9 са стране 191, пресавиj га на пола и притиском истакни линију пресавијања. Затим га расклопи и са леве стране те линије нанеси пар капи туша или мастила. Затим, десну страну папира пажљиво преклопи преко леве и притисни. Најзад, расклопљени папир залепи на назначено место (жути правоугаоник). Шта запажаш?
Ми смо осносиметричне фигуре.
За фигуре које се налазе са различитих страна линије пресавијања папира, у претходном задатку, кажемо да су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. Праву називамо оса симетрије. Задатак 3. Можеш ли да нацрташ фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p, онако како је то урађено за прве две? Опиши речима начин на који си решавао/-ла наведени задатак! Водио/-ла си рачуна да поједине тачке буду на одговарајућој удаљености од праве p, зар не?
173
Конструкција осносиметричних фигура А сада, оставимо сецкање, лепљење, пресавијање и слично јер су нам лењир и шестар довољни за цртање, чак и на чистом папиру, фигура које су осносиметричне неким задатим фигурама у односу на неку задату праву.
Ево како можеш конструисати тачку која је осносиметрична датој тачки у односу на неку задату праву. Поступак је заиста једноставан.
Добијену тачку ћемо означити са А’ и звати је слика тачке А у односу на праву s.
Задатак 4. Добро осмотри претходне слике и одговори на следећа питања: 1) Колики је угао између правих AA’ и s? 2) Ако је O пресек правих AA’ и s, да ли су дужи AO и OA’ једнаке? Речима опиши све кораке претходне конструкције! Шта је у сваком кораку конструисано? Изведи исту конструкцију у својој свесци!
Права одређена паром осносиметричних тачака у односу на неку праву нормална је на ту праву, то јест сече је под правим углом.
Осносиметричне тачке у односу на неку праву подједнако су удаљене од те праве.
174
Суштину претходне конструкције чине: цртање нормале из тачке А на праву s;
одређивање тачке нормале која је на истом растојању од праве s као и тачка A.
Задатак 5. Осном симетријом у односу на праву s пресликај скуп тачака {A, B, C, D}. Директним мерењем утврди да је растојање између било које две тачке датог скупа тачака једнако растојању између слика те две тачке. На пример, растојање између A и B једнако је растојању између тачака A’ и B’. Другим речима, дужи AB и A’B’ су подударне!
Слика тачке која припада оси симетрије јесте сама та тачка.
Слика дужи при осној симетрији у односу на неку праву јесте дуж подударна датој дужи. Ова чињеница нам омогућава да на веома једноставан начин нађемо дуж која је осносиметрична некој датој дужи. Довољно је наћи слике крајњих тачака дате дужи; дуж чије су крајње тачке ове слике представља тражену слику дужи.
Примети да је немогуће пресликати све тачке неке задате дужи јер их има бесконачно много.
175
Слика праве при осној симетрији такође је права. p’
p
P’1
P1
P’2
P’3
P4
P2 P3
P’4
Како нацртати праву која је осносиметрична некој задатој правој? Ако се сетиш да је свака права одређена паром тачака које јој припадају, поступак се сам намеће. Корак 1. Изабери (произвољно) пар тачака на датој правој, и Корак 2. нађи слике тих тачака! Права одређена сликама изабраних тачака јесте осносиметрична датој правој.
Постоји и лакши начин. Корак 1. Одреди пресек праве а и осе симетрије s – тачку S, Корак 2. пресликај још једну тачку праве a, на пример тачку A! Права одређена тачком S и сликом тачке A јесте осносиметрична датој правој. Задатак 6. Нађи слике полуправих Аа и Bb при осној симетрији у односу на праву s.
Задатак 7. Нађи слику праву s.
xOy при осној симетрији у односу на
Осносиметрични углови су међусобно подударни.
176
Пример 1. Да бисмо нашли слику троугла ABC при осној симетрији у односу на праву s, довољно је наћи слике темена овог троугла.
Одговарајући парови страница троуглова ABC и A’B’C’ међусобно су подударне дужи: AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’. Подударни су и одговарајући углови: ABC = A’B’C’, BCA = B’C’A’, CAB = C’A’B’. Задатак 8. Нађи слику отворене изломљене линије ABCDE при осној симетрији у односу на праву s.
Пример 2. Како наћи слику кружнице k(B, BA) при осној симетрији у односу на праву s? Није тешко приметити, на основу претходних разматрања, да је довољно наћи слику B’ центра B и слику A’ било које тачке A дате кружнице. Слика дате кружнице при задатој осној симетрији јесте кружница k(B’, B’A’).
Задатак 9. Полуправу Ox, чије теме припада правој s, пресликај осном симетријом у односу на ову праву. Означи са Oy слику! Искажи речима и запиши своја запажања о угловима које можеш уочити на добијеној слици!
177
осна симетриЧност Задатак 1. Изрежи фигуре са стране 191 (прилог 10) а затим за сваку од њих нађи све праве по којима их можеш пресавити тако да се њени делови, који су са различитих страна линије пресавијања, потпуно преклопе.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Примећујеш да се неке фигурe осном симетријом у односу на линију пресавијања пресликавају у себе, односно да су осносиметричне. Заокружи бројеве испред фигура на горњој слици које су осносиметричне. Фигура је осносиметрична ако постоји бар једна осна симетрија при којој се та фигура пресликава у саму себе! Одговарајућа оса зове се оса симетрије фигуре. Наравно, постоје фигуре које нису осносиметричне.
Такође, постоје осносиметричне фигуре које имају више од једне осе симетрије.
Ми нисмо осносиметричне фигуре!
Имам четири осе симетрије.
Квадрат је осносиметрична фигура и има четири осе симетрије. Сваки правоугаоник који није квадрат јесте осносиметрична фигура и има две осе симетрије.
И кружница и круг су осносиметричне фигуре и имају бесконачно много оса симетрије.
178
Задатак 2. 1) Колико оса симетрије има права? 2) Колико оса симетрије има изломљена линија ABDCE? 3) Колико оса симетрије има троугао PQR? Примети да осносиметричан троугао има бар један пар једнаких страница и бар један пар једнаких углова. Које су странице троугла PQR (са слике десно) подударне. А који углови? Задатак 3. Која од датих слова су осносиметрична? Задатак 4. Нацртати све осе симетрија следећих фигура.
Задатак 5. Које заставе су осносиметричне?
Задатак 6. Који саобраћајни знаци су осносиметрични?
179
симетрала дужи Свака дуж је осносиметрична фигура и има две осе симетрије.
Једна од оса симетрије дужи AB јесте права p(A,B); у овом случају се свака тачка дужи AB пресликава у саму себе. Друга оса симетрије дужи AB, на претходној слици означена са s, занимљивија је! Осном симетријом у односу на s тачка A пресликава се у тачку B (наравно, и обрнуто) и постоји тачно једна тачка дужи AB која се пресликава у саму себе; на претходној слици то је тачка S која је пресек дужи AB и осе симетрије s. Имајући у виду одржавање растојања међу тачкама при пресликавањима осном симетријом закључујемо да је AS = SB, то јест да је S средиште дужи AB. Оса симетрије s назива се симетрала дужи AB. Када треба нагласити да је нека права симетрала дужи AB, онда ту праву означавамо са sAB. Права која садржи средиште дужи AB и нормална је на праву p(A,B) назива се симетрала дужи AB. Из чињенице да осна симетрија чува растојања међу тачкама следи: свака тачка симетрале sAB дужи AB подједнако је удаљена од њених крајњих тачака A и B. Заиста, свака тачка која припада sAB пресликава се осном симетријом у саму себе у односу на ову праву, па су растојања ове тачке од пара осносиметричних тачака A и B једнака. Важи и обрнуто, ако је нека тачка подједнако удаљена од крајева дужи, онда та тачка припада симетрали те дужи. Да бисмо конструисали симетралу неке задате дужи AB довољно је конструисати бар две тачке које су подједнако удаљене од крајњих тачака A и B. Помоћу шестара лако добијамо поменуте две тачке као пресек кружних линија k(A,r) и k(B,r). Наглашавамо: • неопходно је да ове кружне линије имају једнаке полупречнике, • полупречник r мора бити већи од половине дужи AB! Сваки избор полупречника који задовољава овај захтев је дозвољен.
180
Нормале на неку праву цртали смо помоћу троугаоног лењира. Конструкција симетрале дужи може да нам послужи да кроз задату тачку конструишемо нормалу на неку праву коришћењем обичног лењира и шестара. Нека је дата нека права p и тачка P. Без обзира на то да ли тачка P припада правој p или не, конструкција је иста.
Први случај
Други случај
Корак 1. Најпре отвор шестара подешавамо тако да њиме можемо конструисати кружницу k(P,r) која са правом p има две заједничке тачке A и B. Дакле, полупречник r треба изабрати да буде већи од растојања тачке P од праве p.
Први случај
Други случај
Први случај
Други случај
Корак 2. Затим, конструишемо симетралу дужи AB. Симетрала ове дужи уједно је и нормала на праву p која садржи тачку P.
Задатак 1. Дату дуж AB подели на четири једнака дела. Како би дату дуж поделио/-ла на осам једнаких делова? Задатак 2. Конструиши квадрат ABCD, ако су дати теме D и права p којој припада страница AB.
Задатак 3. Конструиши квадрат ABCD, ако су дати теме D и права p којој припада дуж AC.
Задатак 4. Конструиши квадрат ABCD, ако су дати теме D и права p која је оса симетрије квадрата која не садржи ниједно његово теме.
181
симетрала уГла
Задатак 1. Резањем папира направи модел неког угла. Затим, пресавиj папир тако да се његови краци потпуно поклопе. Мало јачим притиском истакни линију пресавијања. Исправи папир и залепи га у свеску. Обележи некако свој угао (ми смо свој – слика десно – означили са aOb) и нацртај праву на којој се налази линија пресавијања!
Шта запажаш? Угао је осносиметрична фигура и линија пресавијања је на његовој оси симетрије! Kраци тог угла се пресликавају један у други: крак Oa у крак Ob, и обрнуто. Tеме угла се пресликава у себе, будући да припада оси симетрије. Tачке на крацима угла које су подједнако удаљене од темена угла пресликавају се једна у другу. Изабери две тачке A и B, тако да је A Oa, B Ob, OA = OB. Тада је оса симетрије угла такође и оса симетрије дужи AB. Мерењем се можеш уверити у то да је полуправа по којој си пресавио/-ла папир симетрала сваке тетиве одговарајућих кружних лукова. За произвољан (конвексан) xOy, постоји полуправа Os која лежи у области угла и дели га на два подударна угла, xOs = sOy. Ова полуправа се назива симетрала xOy. Симетрала угла припада оси симетрије тог угла.
182
Поделимо угао xOy на два подударна угла, то јест конструишимо његову симетралу.
Корак 1. Најпре конструишемо део кружнице (кружни лук) чији је центар теме O датог угла и полупречник произвољан. Нека су X и Y тачке у којима конструисани кружни лук сече редом краке Ox и Oy датог угла.
Корак 2. Симетрала дужи (тетиве) XY уједно је и симетрала угла xOy.
Свака тачка симетрале неког угла подједнако је удаљена од кракова тог угла! Задатак 2. Подели дати туп угао на осам једнаких делова.
Задатак 3. Конструиши угао чија је мера 45°. Конструиши затим и угао чија је мера 22° 30’. Задатак 4. Одреди тачку праве p која је подједнако удаљена од кракова угла xOy.
Задатак 5. Под којим углом се секу симетрале два надовезана суплементна угла?
183
Нису лепи облици једина корист коју нам пружа симетрија. Погледајте како је знање о симетрији помогло краљу Харалампију да уштеди и време и снагу!
Задатак. Некада давно живео је краљ Харалампије у свом велелепном дворцу. Са једне стране дворца налазила се река, а са друге пут (погледај Харалампијеву мапу на слици десно). Једнога дана Харалампије је кренуо да испрати пријатеља који му је био у посети. Узјахали су коње и отишли најпре до реке да их напоје, а затим до пута где су се опростили, те се Харалампије вратио у дворац. Којим путем је ишао ако је изабрао најкраћи могући пут?
Какав је план Харалампије направио? На својој мапи пресликао је место где се налази дворац осном симетријом и у односу на реку и у односу на пут. Добијене слике је спојио. Та линија му је показала пут којим треба да се креће. Увери се мерењем неколико могућих путева да је Харалампије заиста изабрао најкраћи пут!
У ствари, нису потребна никаква мерења да би се закључило да је краљ изабрао најкраћи пут. Сети се да је дуж најкраћа од свих линија које спајају две тачке. Дужина пута који је Харалампије изабрао једнака је дужини дужи AB. Зашто? Дужина било ког другог пута једнака је некој изломљеној линији која спаја тачке A и B!
Геометрија није само корисна наука, већ представља и један од основних начина човековог доживљавања и схватања света.
184
ПрилоГ 1 страна 86
ПрилоГ 2 страна 104
ПрилоГ 3 страна 105
185
ПРИЛОГ 4 страна 103
187
188
ПрилоГ 5 страна 114
ПрилоГ 6 страна 114
ПрилоГ 7 страна 115
ПрилоГ 8 страна 115
189
ПрилоГ 9 страна 173
ПрилоГ 10 страна 178
191
