JURNAL MATEMATIKA 4

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN INTEGRAL MATLAB JURNAL PRAKTIKUM

Oleh Selvina Rizky Aprilia 141810301037

LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN KIMIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2014

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan diferensial dan integral merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Topik utama dari persamaan diferensial adalah turunan. Turunan membicarakan tentang fungsi dalam suatu titik tertentu. Sedangkan integral merupakan kebalikan dari turunan. Intgral dikembangkan setelah berkembangnya ilmu turunan. Proses untuk menurunkan suatu fungsi disebut proses pendeferensiasi (differention). Proses tersebut merupakan menurunkan nilai fungsi suatu grafik. Sedangkan integral merupakan proses pengembalian proses diferensial. Integral biasanya mempunyai batas – batas pada kurvanya. Integral juga dapat diartikan sebagai penjumlahan suatu fungsi dengan fungsi inversnya. Namun demikian proses deferensiasi dan integral meskipun saling berhungan, tetapi berbeda. Deferensial dan integral dibutuhkan dalam kehidupan sehari – hari. Fungsi integral dalam kehidupan sehari – hari adalah pertama, dalam bidang ekonomi digunakan sebagai fungsi konsumsi dan fungsi konsumsi marginal. Kedua, dalam bidang fisika sebagai pengukur usaha dan gaya. Ketiga, dalam bidang teknik biasanya digunakan untuk megetahui suatu luas daerah dan volume benda putar. Fungsi diferensial dalam kehidupan sehari – hari adalah pertama, dalam bidang fisika digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan gerak suatu benda. Menentukan diferensial dan integral dalam matlab mudah untuk dipelajari dari pada untuk menghitung limit dengan cara manual. Untuk mengetahui fungsi yang ada dalam matlab, kita dapat klik tombol menu help lalu klik sub menu function browser. Setelah itu, search symbolic math toolbox kemudian klik calculus untuk mengetahui bagaimana menggunakan persamaan diferensial dan integral dalam matlab.





Oleh karena diferensial dan integrl berpengaruh dalam kehidupan sehari – sehari – hari hari dan membutuhkan cara menghitung yang cepat dan tepat, pratikum kali ini membahas tentang persamaan diferensial dan integral dalam matlab.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan maslah dari pratikum persamaan diferensial dan integral matlab adalah sebagai berikut 1. Bagaimana menggunakan persamaan diferensial dalam matlab? 2. Bagaimana mengunakan integral dalam matlabb? 3. Bagaimana membuat grafik fungsi diferensial dan integral dalam matlab?

1.3 Tujuan

Adapun tujuan dari pratikum persamaan diferensial dan integral matlab adalah sebagai berikut 1. Mahasiswa mampu menggunakan matlab untuk menentukan persamaan diferensial dalam suatu fungsi 2. Mahasiswa mampu menggunakan matlab untuk menentukan integral dalam suatu fungsi 3. Mahasiswa mengetahui membuat grafik fungsi diferensal dan integral dalamm matlab

1.4 Manfaat

Adapun manfaat persamaan diferensial dan integral matlab adalah sebagai berikut, pertama dapat membantu perhitungan menentukan luas daerah dan volume banda putar dalam dalam bidang teknik. Kedua,

dapat membantu

mempercepat menentukan nilai usaha, hukum newton, kecepatan, percepatan dalam kehidupan sehari – hari. Ketiga, membantu menentukan pergerakan molekul dalam bidang kimia.





BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial terbagi menjadi 2 yaitu, persamaan diferensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial diferensial

parsial (PDP). Persamaaan diferensal diferensal biasa adalah

turunan fungsi yang hanya tergantung pada variabel bebas. Persamaan diferensial parsial adalah turunan fungsi yang tergantung pada lebih dari satu variabel bebas(Dafik, 2008). Suatu fungsi dapat diturunkan jika memenuhi aturan diferensiasi berikut: 1. Aturan konstanta Jika f(x) f(x) = c, dimana c adalah konstanta, maka f’(x) = 0 2. Aturan pangkat konstan Jika r adalah suatu bilangan riil, maka d xr = rxr-1 dx 3. Aturan perkalian konstanta d [c.f(x)] = c. f’(x) dx 4. Aturan penjumlahan d [f(x) + g(x)] = f’(x) + g’(x) dx 5. Aturan perkalian d [f’(x) .g(x)] = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) dx 6. Aturan perkalian d f(x) = f’(x) g(x) – f(x) – f(x) g’(x) dx g(x) [g(x)]2 Dalam Matlab, differensial untuk fungsi polinom adalah relatif mudah. Misalnya f(x)= x4 + 2x3 +2x2 x +7 maka ambilah koefisien koefisiennya:





g= 1 2 2 -1 7 >> h=polyder(g) h= 4 6 4 -1 ( Hasan, 2010). Bentuk-bentuk differensial lain juga bisa diperoleh apalagi jika menggunakan symbolyc math toolbox. toolbox. Tabel 2.1 Perintah

Fungsi

diff(f)

Untuk mencari turunan f terhadap variabel x

diff(f,’s’)

Untuk mencari turunan f terhadap variabel s

diff(n)

Untuk mencari turunan n dari f ke x

diff(f,’s’,n)

Untuk mencari turunan n dari f ke s Fungsi diff selain digunakan untuk mencari turunan dari fungsi

simbolik, dapat juga digunakan untuk mencari turunan dalam array simbolik. Contoh mencari differensial, turunan pertama dan kedua: >> s=sym('5*x^2-3*x+5') s= 5*x^2-3*x+5 >> a=diff(s)%turunan pertama dari s a= 10*x-3 >> b=diff(a)%turunan kedua dari s b = 10 Dalam differensial, juga bisa disederhanakan dengan menggunakan simplify menggunakan simplify.. Misal: >> a=sym('(1-t^3)/(1+t^4)')





>> c=diff(a) c= -3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 >> simplify(c) ans = t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 Turunan yang dihitung dalam matlab dapat di tentuan medan arah PD yaitu dengan menggunakan sintax plot(Littlefield,1997).

2.2 Integral

Integral merupakan kebalikan dari proses differensiasi. Integral ditemukan

menyusul

matematikawan

harus

ditemukannya berpikir

masalah

bagaimana

dalam

differensiasi

menyelesaikan

dimana

masalah

yang

berkebalikan dengan solusi differensiasi. Integral biasanya didefinisikan sebagai proses penjumlahan tetapi juga diinterpretasikan sebagai daerah dibawah kurva y = f(x) dari a ke b. Integral bisa juga disebut anti differensial.   L= ∫ 

(Hasan,2010). Berikut adalah aturan dari beberapa jenis integral: 1. integral tak tentu himpunan semua anti derivatif dari suatu fungsi f(x) adalah integral tak tentu (indifinite integral) dari f(x) terhadap x, dinotasikan

 ∫  Simbol tersebut suatu tanda integral. Fungsi f(x) dinamakan integran dan x dinamakan veriabel integrasi. 2. Aturan substitusi 1 Jika kita membuat substitusi x = g (u), dimana dx = g’(u) du, maka

 = ∫ ( ( )  ∫ 







f(x) = g( h(x) )h’ (x). Jika kita membuat substitusi u = h (x) , maka du = h’(x) dx, dan

 = ∫ ( ()  = ∫   ∫  4. Integrasi parsial uv – ∫   ∫   = uv – (Nogroho, 2012), Matlab menyimpan fungs kalkulus tentang integral. Fungsi tersebut berupa sintax yaitu: Tabel 2.2 perintah

trapz(x,y)

quad('myfunction',a,b,tol)

quadl('myfunction',a,b,tol)

dblquad('fun',xmin,xmax, ymin,ymax,tol)

Keterangan

Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi y terhadap x dengan pendekatan integrasi numerik aturan trapesium, dimana larik y berisi nilai fungsi yang besesuaian dengan titik x. Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi bernama 'myfunction' 'myfunction' berdasarkan aturan Simpson dengan batas bawah integrasi a dan batas atas b serta tol adalah harga toleransi yang diberikan. Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi berdasarkan pada integrasi kuadratur Labato. Sedangkan a,b dan tol sama dengan quad. Digunakan untuk menghitung integral ganda dari fungsi 'fun' 'fun' dengan xmin dan xmax masingmasing adalah batas bawah dan atas pada sumbu x, sedangkan ymin





Berikut beberapa contoh penerpan integral pada matlab: 

>> s=sym('5*x^2-3*x+5')

s= 5*x^2-3*x+5 >> a=int(s)%integral terhadap x a= 5/3*x^3-3/2*x^2+5*x  >> f=sym('sin(s+2*x)') f= sin(s+2*x) >> a=int(f)%integral terhadap x a= -1/2*cos(s+2*x)  >> b=int(f,'s')%integral terhadap s b = -cos(s+2*x)  >> c=int(f,pi/2,pi)%integral terhadap s dari pi/2 sampai pi c= -cos(s)  >> d=int(f,'s',pi/2,pi)%integral terhadap s dari pi/2 sampai pi d= 2*cos(x)^2-1-2*sin(x)*cos(x)  >> e=simple(int(f,'m','n'))%integral terhadap x dari m ke n' e= -1/2*cos(s+2*n)+1/2*cos(s+2*m) Fungsi dari simple seperti diatas, digunakan untuk menyederhanakan hasil pengintegralan. Contoh lain: 





BAB 3. METODOLOGI

3.1 Alat

1.

Seperangkat komputer

2.

Aksesoris komputer.

3.

Alat tulis

3.2 Bahan

1.

Software MATLAB





DAFTAR PUSTAKA

Dafik,M.Sc, Ph.D.2008. Pengantar Pengantar Persamaan Diferensial Parsial dan Solusi Analitik .

Fakultas

Matematika

dan

Ilmu

Pengetahuan

Alam

Universitas Jember:Jember. Hasan,Muhammad

S.Sc,M.Si.2010. Pengantar Pengantar

Matlab.Fakultas Matlab.Fakultas

Universitas Surakata:Surakarta. Littlefield,Bruce,dkk,1997. MATLAB.Andi:Yogyakarta. MATLAB.Andi:Yogyakarta. Nugroho,Didit Budi.2012.Kalkulus Budi.2012.Kalkulus Integral dan Aplikasinya.Graha Aplikasinya.Graha Ilmu:Yogyakarta.

Teknik

JURNAL MATEMATIKA 4

Recommend Documents