Recenzenti prof. dr Milan Taskovi}, Matemati~ki fakultet u Beogradu mr Sini{a Je{i}, asistent Elektrotehni~kog fakulteta u Beogradu Qiqana Novkovi}, nastavnik razredne nastave u O[ ,,Drinka Pavlovi}ß u Beogradu
Za izdava~a Miodrag Dragani} Glavni urednik Nikola Strajni} Urednik izdawa Radivoj Nikolajevi}
Ministar prosvete i sporta Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uybenika u tre}em razredu osnovne {kole re{ewem broj 6-00-00237/2005-06 od 15. 5. 2005. godine ISBN 86-441-0625-2
Marko M. Igwatovi}
MATEMATIKA za tre}i razred osnovne {kole
• DRAGANI] • Beograd, 2007.
Sadr`aj 1. Prirodni brojevi do 1 000................................................................................ 6 1. Brojevi prve stotine...................................................................................... 6 2. ^itawe i pisawe stotina prve hiqade....................................................... 7 3. Upore|ivawe stotina do 1 000..................................................................... 9 4. ^itawe i pisawe brojeva do 1 000............................................................. 11 5. P isawe trocifrenog broja u obliku zbira vi{estrukih stotina, desetica i jedinica, a · 100 + b · 10 + c...................................... 17 6. Upore|ivawe brojeva prve hiqade............................................................ 18 7. Rimske cifre. Pisawe brojeva do 20........................................................ 20 8. Rimske cifre. Pisawe brojeva do 1 000................................................... 22 2. Merewe du`ine................................................................................................. 24 1. Metar, decimetar i centimetar................................................................. 24 2. Merewe du`ine – milimetar i kilometar............................................... 26 3. Sabirawe i oduzimawe brojeva do 1 000..................................................... 28 1. S abirawe i oduzimawe desetica. Sabirawe i oduzimawe stotina...... 28 2. Sabirawe dvocifrenih brojeva................................................................. 31 3. Zamena mesta i zdru`ivawe sabiraka...................................................... 32 4. Sabirawe trocifrenog i jednocifrenog broja........................................ 34 5. Oduzimawe jednocifrenog broja od trocifrenog.................................... 36 6. Sabirawe trocifrenog i dvocifrenog broja........................................... 38 7. Oduzimawe dvocifrenog broja od trocifrenog....................................... 40 8. Sabirawe trocifrenih brojeva................................................................. 42 9. Oduzimawe trocifrenih brojeva............................................................... 45 10. Zavisnost zbira od sabiraka. Stalnost zbira......................................... 48 11. Zavisnost razlike od umawenika i umawioca. Stalnost razlike........ 51 12. Zadaci sa dve i tri operacije. Sabirawe i oduzimawe.......................... 53 13. Sabirawa i oduzimawa. Jednakost............................................................ 55 14. Jedna~ina. Izra~unavawe nepoznatog sabirka........................................ 57 15. Jedna~ine. Izra~unavawe nepoznatog umawenika ili umawioca.......... 58 16. Nejedna~ina................................................................................................... 60 4. Ta~ka, prava i ravan......................................................................................... 62 1. Ta~ka i prava. Poluprava i du`................................................................. 62 2. Ravan.............................................................................................................. 65 3. Ravan, prava i ta~ka.................................................................................... 66 4. Prav ugao. Crtawe pravog ugla................................................................... 68 5. Normalne prave............................................................................................ 70 6. Paralelne prave.......................................................................................... 72 5. Krug i kru`nica................................................................................................ 74 1. Krug................................................................................................................. 74 2. Crtawe kru`nice i kruga............................................................................ 75 3. Upore|ivawe du`i....................................................................................... 77 4. Grafi~ko nadovezivawe du`i.................................................................... 79 6. Merewe................................................................................................................ 80 1. Merewe mase................................................................................................. 80 2. Merewe zapremine te~nosti....................................................................... 82 3. Merewe vremena........................................................................................... 84
7. Mno`ewe i deqewe.......................................................................................... 88 1. Mno`ewe i deqewe..................................................................................... 88 2. Mno`ewe brojem 10 i brojem 100................................................................ 90 3. Deqewe brojem 10 i brojem 100.................................................................. 92 4. Zamena mesta ~inilaca. Zdru`ivawe ~inilaca...................................... 94 5. Mno`ewe i deqewe zbira.......................................................................... 96 6. Mno`ewe vi{estruke desetice jednocifrenim brojem.......................... 98 7. Mno`ewe dvocifrenog broja jednocifrenim........................................... 99 8. Deqewe dvocifrenog broja jednocifrenim........................................... 101 9. Mno`ewe trocifrenog broja jednocifrenim......................................... 104 10. Deqewe stotina i vi{estrukih desetica jednocifrenim brojem............................................................................... 106 11. Deqewe trocifrenog broja jednocifrenim........................................... 108 12. Zavisnost proizvoda od ~inilaca. Stalnost proizvoda...................... 111 13. Veza mno`ewa i deqewa. Jednakost....................................................... 113 14. Jedna~ina. Izra~unavawe nepoznatog ~inioca...................................... 115 15. Jedna~ine. Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca............ 116 8. Ugao.................................................................................................................... 118 1. Ugao. Uo~avawe, crtawe i obele`avawe uglova.................................... 118 2. Vrste uglova................................................................................................ 120 9. Pravougaonik i kvadrat................................................................................ 123 1. Uo~avawe pravougaonika i kvadrata....................................................... 123 2. Pravougaonik i kvadrat – uglovi i stranice.......................................... 124 3. Crtawe pravougaonika i kvadrata na kvadratnoj mre`i...................... 126 4. Crtawe pravougaonika i kvadrata trougaonikom i lewirom............... 128 5. Crtawe pravougaonika i kvadrata {estarom i trougaonikom.............. 130 6. Obim pravougaonika i kvadrata............................................................... 132 10. Matemati~ki izrazi...................................................................................... 134 1. Izrazi. Redosled operacija. Zagrade...................................................... 134 2. Izrazi sa dve razli~ite operacije.......................................................... 135 3. Izrazi sa tri operacije............................................................................. 136 4. Izrazi sa promenqivom............................................................................ 138 11. Trougao............................................................................................................ 141 1. Trougao. Uo~avawe trougla....................................................................... 141 2. Crtawe trougla........................................................................................... 142 3. Obim trougla............................................................................................... 145 12. Razlomci......................................................................................................... 149
1 1 1 , , ..................................................................................... 149 2 4 8 1 1 1 1 , 2. Razlomci. , .,....................................................................................... 152 5 1 0 1 00 1 000 1 1 1 1 3. Razlomci. , , , ................................................................................ 154 3 6 9 7 1. Razlomci.
11
Prirodni brojevi do 1000 BROJEVI PRVE STOTINE
1.
Na slici je kvadrat podeqen na kvadrati}e. 1) Koliko kvadrati}a ima u svakom redu?
1
2) Koliko ima redova kvadrati}a? 3) Koliko ima ukupno kvadrati}a? 4) U svaki kvadrati} upi{i po jedan broj niza brojeva prve stotine. 5) 100 jedinica = 2.
desetica =
Popuni tabelu. Prethodnik Broj Sledbenik
3.
4.
stotina.
42 37
61 31
69 90
42
58
100
Napi{i: 1) sve parne brojeve ~etvrte desetice
;
2) najve}i neparan broj osme desetice
;
3) najmawi paran broj devete desetice
.
Zapi{i brojeve koji nedostaju u nizu: 1) 35, 40, 45,
, 85;
2) 47, 50, 53,
, 98;
3) 75, 70, 65,
, 20;
4) 10, 20, 30,
, 100.
2
^ITAWE I PISAWE STOTINA PRVE HIQADE Svaki od slede}ih kvadrata sadr`i 100 kvadrati}a. 100, ~itamo: jedna stotina ili sto 2 · 100 = 200 (2 S ili 20 D) dve stotine ili dvesta 100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
3 · 100 = 300 (3 S ili 30 D) tri stotine ili trista
4 · 100 = 400 (4 S ili 40 D) ~etiri stotine ili ~etiristo
5 · 100 = 500 (5 S ili 50 D) pet stotina ili petsto
6 · 100 = 600 (6 S ili 60 D) {est stotina ili {eststo
7 · 100 = 700 (7 S ili 70 D) sedam stotina ili sedamsto 8 · 100 = 800 osam stotina ili osamsto 9 · 100 = 900, devet stotina ili devetsto
100
10 · 100 = 1 000, (10 S, 100 D ili 1 X) deset stotina ili hiqada
1
1.
2.
Pro~itaj broj i zapi{i ga re~ima: 400
700
900
1 000
300
800
500
600
Napi{i ciframa broj: trista osamsto
sedamsto
petsto
hiqadu dvesta
~etristo
{eststo
Zapi{i stotine koje nedostaju u nizu: 80
0
10
0
3.
sto
500
0
80
90
0
400
4.
500
1)
,
2)
, 400,
3)
, 900 ,
, 300 , ,
, 600 ,
, 700 , ,
,
,
, ,
,
,
, , 400,
,
,
Broj izrazi deseticama i stotinama: 300 = 30 D = 3 S
,
500 =
900 =
700 =
400 =
800 =
100 =
1 000 =
600 =
.
3
UPORE\IVAWE STOTINA DO 1 000
1.
Uporedi brojeve, u kvadrati} izme|u dva broja upi{i znak < , > ili = tako da napisani odnos (jednakost, nejednakost) bude ta~an: 1) 5
6,
2) 7 D
7
5 D,
3,
6D
58,
48
26;
75
8 D.
2.
100
100
Broj 500 ima 5 stotina, a 400 ima 4 stotine, pa je 5 S > 4 S, 50 D > 40 D, 500 > 400.
3.
Brojevi vi{estrukih stotina prve hiqade prikazani su na brojevnoj pravoj.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1 000
1) Od brojeva 500 i 600, koji je levo, a koji desno? Uporedi ih. 2) Koji je broj stotina prethodnik, a koja stotina sledbenik broja 300? , 300,
1
4.
5.
U kvadrati} izme|u dva broja upi{i jedan od znakova, > , < ili = tako da napisani odnos brojeva (jednakost, nejednakost) bude ta~an. 1) 500
300,
400
2) 800
8 S,
50 D
700, 600,
900
600,
700
200;
7S
60 D,
9S
40 D.
Popuni tabelu. Stotina prethodnik
500
Broj
700
300
200
Stotina sledbenik
6.
1000
Prema prikazu na brojevnoj pravoj uporedi (i zapi{i) strelicom povezane brojeve. 100
600
400
1) 200 < 600; 3)
700 800
1 000
2)
;
; 4)
.
Odnos brojeva prika`i na brojevnoj pravoj: 1) 200 < 800; 3) 700 > 300;
0
10
900
500 200 300
0
7.
800
100
200
2) 600 > 300; 4) 400 < 1 000.
300
400
500
600
700
800
900
1 000
4
^ITAWE I PISAWE BROJEVA DO 1 000
1.
Kvadrati}em smo prikazali jedinicu. Deset jedinica = Pravougaonikom (trakom) prikazali smo deseticu.
Deset desetica = Kvadratom smo prikazali stotinu.
Deset stotina = 2.
Brojevi su prikazani kvadratima (stotine), pravougaonicima (desetice) i kvadrati}ima (jedinice).
90 + 9 = 99, ~itamo:
100 + 1 = 101, ~itamo: sto jedan;
11
1 100 + 10 = 110, ~itamo: sto deset
100 + 90 = 190, ~itamo: sto devedeset
100 + 12 = 112, ~itamo: sto dvanaest
100 + 99 = 199, ~itamo: sto devedeset devet
1) Napi{i ciframa sve brojeve od sto ~etrdeset osam do sto pedeset pet.
200 + 1 = 201, ~itamo:
200 + 12 = 212, ~itamo:
200 + 90 = 290, ~itamo:
200 + 99 = 299, ~itamo: 2) Napi{i ciframa sve brojeve od dve stotine trideset sedam do dve stotine pedeset tri.
12
3) Napi{i ciframa sve brojeve od trista osamdeset {est do trista devedeset ~etiri.
4) Napi{i ciframa sve brojeve od tri stotine devedeset osam do ~etiri stotine pet.
500 + 10 = 510, ~itamo:
500 + 12 = 512, ~itamo:
500 + 90 = 590, ~itamo: pet stotina devedeset
500 + 99 = 599, ~itamo:
5) Napi{i ciframa sve brojeve od pet stotina pedeset pet do pet stotina {ezdeset dva.
13
1 600 + 1 = 601, ~itamo:
6) Napi{i ciframa sve brojeve od {est stotina tri do {est stotina devet.
600 + 40 = 640, ~itamo:
600 + 42 = 642, ~itamo:
7) Napi{i ciframa sve brojeve od {est stotina trideset {est do {est stotina ~etrdeset ~etiri.
8) Napi{i ciframa sve brojeve od sedamsto trideset {est do sedamsto ~etrdeset ~etiri.
800 + 60 =
14
, ~itamo:
800 +
=
, ~itamo:
9) Napi{i ciframa sve brojeve od osam stotina devedeset ~etiri do devet stotina tri.
10) Napi{i ciframa sve brojeve od devetsto osamdeset osam do hiqadu.
3.
Brojeve i wihove dekadne jedinice mo`emo pisati u tabelama. Hiqade
Stotine
Desetice
Jedinice
X
S
D
J
4
7
8
0
0
0
8
6
3
7
4
5
1
Broj
Brojeve zapisane u tabeli zapi{i ciframa i re~ima: 1)
2) 3) 4) 4.
Ako ozna~ava stotine, desetice, prikazan grafi~ki (slikama):
jedinice, napi{i ciframa broj
1)
15
1 2)
3)
4)
5.
Napi{i brojeve: 1) od 196 do 208
2) od 300 do 312
3) od 892 do 903
6.
Popuni tabelu. Prethodnik Broj
204 183
339 211
Sledbenik
7.
300 291
700
450 470
601
856
Napi{i ciframa broj: 1) trista sedamdeset dva
5) dvesta devet
2) ~etiristo dvadeset devet
3) pet stotina devet
8.
598
4) sedamsto tri 6) osam stotina sedam
1) Brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zapisuju se pomo}u jedne cifre i zato se nazivaju jednocifreni brojevi. 2) Pomo}u koliko cifara se zapisuju i kako se nazivaju brojevi od 10 do 99?
16
3) Brojevi od 100 do 999 zapisuju se pomo}u tri cifre i nazivaju se trocifreni brojevi. 4) Da li je 1 000 trocifreni broj?
9.
5
Ciframa 3, 7 i 8 zapi{i sve trocifrene brojeve. Svaku cifru mo`e{ koristiti jedanput ili vi{e puta.
PISAWE TROCIFRENOG BROJA U OBLIKU ZBIRA VI[ESTRUKIH STOTINA, DESETICA I JEDINICA, a · 100 + b · 10 + c Svaki dvocifreni broj mo`e se zapisati kao zbir desetica i jedinica, na primer, 48 = 4 D + 8 J = 4 · 10 + 8 = 4 desetice + 8 jedinica 1.
Kao zbir desetica i jedinica napi{i dvocifreni broj: 1) 27 = 2) 65 = 3) 76 = 4) 83 = Svaki trocifreni broj mo`e se zapisati kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedinica, na primer, 548 = 5 S + 4 D + 8 J = 5 · 100 + 4 · 10 + 8 = 5 stotina + 4 desetice + 8 jedinica
2.
Kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedinica napi{i trocifreni broj: 1) 246 = 2) 725 = 3) 640 = 4) 803 = 5) 900 =
17
1
3.
Izra~unaj zbir: 1) 2 · 100 + 7 · 10 + 4 = 2) 6 · 100 + 2 · 10 + 6 = 3) 8 · 100 + 7 · 10 + 6 = 4) 5 · 100 + 5 · 10 = 5) 6 · 100 + 6 = 6) 7 · 100 + 1 =
6
UPORE\IVAWE BROJEVA PRVE HIQADE
1.
2.
3.
Napi{i najmawi i najve}i broj: 1) tre}e desetice
2) {este desetice
3) desete desetice
4) prve desetice
Napi{i najmawi i najve}i broj: 1) tre}e stotine
3) desete stotine
4) prve stotine
2) {este stotine
Koriste}i prikaz nekih brojeva na brojevnoj pravoj, napi{i sve brojeve: 350 500 650
1) trideset pete desetice
2) {ezdeset osme desetice
18
400
4.
5.
Napi{i najmawi paran i najve}i neparan broj: 5) pete stotine
2) tre}e stotine
3) sedme stotine
4) desete stotine
Uporedi trocifrene brojeve sa nejednakim brojem stotina i napi{i ta~nu nejednakost, koristi znak < ili > : 1) 286 i 534, 286
534
3) 788 i 913,
2) 623 i 423,
4) 804 i 678,
Dopuni re~enicu: – Od dva trocifrena broja sa nejednakim brojem stotina ve}i je onaj
6.
Uporedi trocifrene brojeve sa jednakim brojem stotina i napi{i ta~nu nejednakost, koristi znak < ili > : 1) 286 i 234, 286
234
3) 413 i 488,
2) 623 i 648,
4) 804 i 878,
Dopuni re~enicu: – Od dva trocifrena broja sa jednakim brojem stotina ve}i je onaj
7.
Uporedi trocifrene brojeve sa jednakim brojem stotina i jednakim brojem desetica i napi{i ta~nu nejednakost, koristi znak < ili > : 1) 286 i 284, 286 3) 623 i 626,
284
2) 236 i 234,
4) 604 i 602,
Dopuni re~enicu: – Od dva trocifrena broja sa jednakim brojem stotina i jednakim brojem desetica mawi je onaj
8.
Trocifrene brojeve 438, 276, 511, 839, 512, 860, 437, 672, 270 i 947 pore|aj po veli~ini: 1) po~ev od najmaweg 2) po~ev od najve}eg
19
17
RIMSKE CIFRE. PISAWE BROJEVA DO 20
Za zapisivawe brojeva koriste se i rimske cifre. Neki rimske cifre oblikovane su prema prstima na ruci.
I = 1
V = 5
X = 10
Rimski broj se pi{e po principu dodavawa – dopisivawa broja zdesna i oduzimawa – dopisivawa broja sleva.
I=1
XI = 10 + 1 =
II = 1 + 1 = 2
XII = 10 +
=
III = 2 + 1 =
XIII = 10 +
=
IV = 5 – 1 = 4
XIV = 10 +
=
V = 5
XV = 10 +
=
VI = 5 + 1 = 6
XVI = 10 +
=
VII = 5 + 2 =
XVII = 10 +
=
VIII = 5 + 3 =
XVIII = 10 +
= =
IX = 10 – 1 = 9
XIX = 10 +
X = 10
XX = 10 + 10 =
Rimske cifre I i X mogu se upotrebiti jedanput, dva puta ili tri puta i dodavati (dopisivati zdesna) cifri ve}e vrednosti, ali se mogu oduzimati samo jedanput (dopisivati sleva) od cifre ve}e vrednosti. Cifra V mo`e se upotrebiti samo jedanput (ne mo`e se ponavqati) i mo`e se samo dodavati zdesna cifri ve}e vrednosti. 1.
U prazna poqa tablice upi{i brojeve koji nedostaju. R A R A
20
XIII
XX
XVI
14
5
XVIII
VI
VII
X 12
XV
8
IX 4
19
11
2.
Rimskim ciframa zapi{i sve parne brojeve prve desetice.
3.
Rimskim ciframa zapi{i sve neparne brojeve druge desetice.
4.
Izra~unaj i rezultat zapi{i rimskim ciframa: 1) VIII + IV =
2) XIII – VI =
3) II · VII =
XII + VII =
XIV – V =
XVI – IX =
XV : III =
IV · V =
XVI : IV =
Rimskim ciframa zapi{i brojeve koji nedostaju u nizu: 1) II, IV,
,
2) I, IV,
, X,
,
,
, XIX
3) III, VII,
6.
VI · III =
4) XVIII : II =
5.
IX + VI =
, X,
,
,
,
, XX
, XIX
Imenu meseca pridru`i wegov redni broj.
Januar .
Avgust
Novembar .
Jul .
Februar .
Decembar .
Septembar . Mart .
April
Oktobar . Maj
.
.
Jun .
.
.I . II . III . IV .V . VI
. VII . VIII . IX .X . XI . XII
21
18
RIMSKE CIFRE. PISAWE BROJEVA DO 1 000
Pored cifara I, V, X, koriste se kao cifre i neka slova latinice L = 50, C = 100, D = 500, M = 1 000 Cifre, I, X, C, M su osnovne cifre i mogu se ponavqati (pisati jedna pored druge) najvi{e tri puta. I = 1, II = 1 + 1 = 2, III = 2 + 1 = 3 X = 10, XX = 10 + 10 = 20, XXX = 20 + 10 = 30 C = 100, CC = 100 + 100 = 200, CCC = 200 + 100 = 300 M = 1 000, MM = 1 000 + 1000 = 2 000, MMM = 2 000 + 1 000 = 3 000 Cifre, I, X, C ispred cifara ve}ih vrednosti mogu se pisati samo jedanput. IV = 5 – 1 = 4, IX = 10 – 1 = 9 XL = 50 – 10 = 40, XC = 100 – 10 = 90 CD = 500 – 100 = 400, CM = 1 000 – 100 = 900 Cifre V, L, D su pomo}ne i ne mogu se ponavqati.
1.
Desetice prve stotine zapisane rimskim ciframa su: X = 10
LX = 50 +
XX = 20
LXX =
XXX = 30
LXXX = 50 +
XL = 50 –
= 40
= 60 + 20 = 70
XC = 100 – 10 =
L = 50
C = 100
Rimskim ciframa zapi{i desetice druge stotine. CX = 100 + 10 = 110
22
= 80
2.
Stotine prve hiqade zapisane rimskim ciframa su: C = 100
DC = 500 +
CC = 200
DCC =
CCC = 300
DCCC= 500 +
CD = 500 – D = 500 3.
= 400
= 600 + 200 = 700 = 800
CM = 1 000 – 100 = M = 1 000
Rimskim ciframa zapi{i: 1) desetice ~etvrte stotine; CCCX = 300 + 10 = 310 2) desetice osme stotine; DCCX = 700 + 10 = 710 3) desetice desete stotine; CMX = 900 + 10 = 910
4.
Rimski ciframa zapi{i slede}e brojeve: 46, 147, 248, 349, 450, 567, 678, 789, 890, 938.
23
21
Merewe du`ine METAR, DECIMETAR I CENTIMETAR
Za merewe du`ine predmeta i rastojawa me|u wima koristimo metar i jedinice mawe od metra. METAR JE OSNOVNA JEDINICA MERE ZA DU@INU. 1 metar, kra}e pi{emo 1 m merni broj
jedinica mere
Na slici su prikazani razli~iti modeli metra, {to zavisi od namene.
Na slici: – metarski {tap obele`i brojem 1, – stolarski metar brojem 2, – kroja~ki metar brojem 3 – pantqiku brojem 4.
Mawe jedinice mera od metra su: decimetar, 1 dm 1 m = 10 dm, centimetar, 1 cm 1 dm = 10 cm 1 m = 10 dm = 100 cm. 1 dm 0
24
1 cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.
Koliko je izmereno rastojawe izme|u dva stabla u dvori{tu?
Meru du`ine (rastojawa) zapisali smo brojem i oznakom jedinice mere, 25 m. Broj jedinica mere, ovde 25, nazivamo MERNI BROJ. Ako meru du`ine izrazimo pomo}u vi{e razli~itih jedinica, onda takav broj nazivamo VI[EIMENI BROJ. Vi{eimeni broj se mo`e izraziti najmawom jedinicom mere koju smo koristili. 2 m 7 dm 5 cm = 200 cm +
2.
cm +
cm =
cm
Mere izrazi centimetrima: 1 m 5 dm 8 cm = 7 m 2 dm = 6 m 3 cm =
3.
Koliko metara, decimetara i centimetara ima u meri: 536 cm =
m
dm
cm
748 cm = 620 cm = 305 cm =
25
22
MEREWE DU@INE - MILIMETAR I KILOMETAR
1.
Da bi merewe malih du`ina bilo ta~nije, uvedena je mawa jedinica mere od centimetra – MILIMETAR, 1 mm. JEDAN CENTIMETAR IMA DESET MILIMETARA 1 cm = 10 mm 1 dm
1 cm
0
10 mm
2
1
3
4
5
6
7
8
10
9
1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Du`ina kvadra je 63 mm. Izmeri visinu kvadra. Izmeri du`inu, {irinu i debqinu uybenika matematike. 2.
Du`ina
[irina
Debqina
Ve}e du`ine, na primer, udaqenost izme|u pojedinih mesta, mere se kilometrom. JEDAN KILOMETAR IMA HIQADU METARA 1 km = 1 000 m
26
Pored puta postavqaju se kameni stubi}i na kojima je ozna~ena kilometra`a, udaqenost od polaznog mesta puta. Na stubi}e bez broja upi{i potreban broj.
3.
Du` od 1 cm na slici predstavqa 1 km u prirodi. Izmeri rastojawe u kilometrima izme|u mesta A, B i C. C
A
4.
5.
AB=
km
AC=
km
BC=
km
B
Mere izrazi milimetrima: 1 dm 5 cm 4 mm =
.
5 dm 8 cm =
.
7 dm 6 mm =
.
Koliko decimetara, centimetara i milimetara ima u meri: 374 mm =
dm
cm
mm
648 mm =
.
830 mm =
.
702 mm =
.
27
3
Sabirawe i oduzimawe brojeva do 1000
1
SABIRAWE I ODUZIMAWE DESETICA. SABIRAWE I ODUZIMAWE STOTINA
1.
2.
Izra~unaj: 50 + 40 =
50 – 40 =
50 + 30 =
50 – 20 =
70 + 10 =
70 – 60 =
70 + 30 =
70 – 40 =
80 + 10 =
80 – 50 =
80 + 20 =
80 – 60 =
Saberi: 8+7=
8D+7D=
80 + 70 =
+
80 + 70 = (80 + 20) +
=
=
70
80
+
3.
+
50
20
Ra~unaj sa zapisivawem postupka sabirawa: 60 + 50 = (60 + 40) + 90 + 40 =
(
+
)+
=
+ =
= +
=
30 + 90 = 70 + 50 =
4.
Izra~unaj zbir: 40 + 80 =
28
50 + 90 =
80 + 60 =
60 + 70 =
5.
1
Izra~unaj: 14 – 9 =
14 D – 9 D =
140 – 90 = (140 – 40) –
=
140 – 90 =
–
=
– 90 –50
6.
Ra~unaj sa zapisivawem postupka oduzimawa: 110 – 40 = (110 – 10) – 150 – 70 =
7.
8.
9.
– 40
(
–
180 – 90 =
;
120 – 60 =
.
)–
=
– =
= –
; =
;
Oduzmi: 130 – 70 =
, 160 – 90 =
,
150 – 20 =
, 120 – 50 =
.
Izra~unaj razliku: 140 – (60 + 40) =
, (140 – 60) + 40 =
,
(150 – 80) – 20 =
, 150 – (80 – 20) =
.
Napi{i najmawu deseticu prve stotine i najmawu deseticu druge stotine, a zatim izra~unaj wihov: 1) zbir
,
2) razliku
.
29
3
10.
Na slici smo prikazali tri stotine, 300, dve stotine, 200 i pet stotina, 500.
Na osnovu prikaza mo`emo zapisati jednakosti: 3 S + 2 S = 5 S, 2 S + 3 S = 5 S, 5 S – 2 S = 3 S, 5 S – 3 S = 2 S, 300 + 200 = 500, 200 + 300 = 500, 500 – 200 = 300, 500 – 300 = 200.
11.
Na osnovu prikaza na slici (~etiri stotine, tri stotine, sedam stotina) zapi{i ~etiri jednakosti.
12.
Izra~unaj zbir:
13.
600 + 200 =
,
700 + 300 =
,
500 + 400 =
,
200 + 700 =
,
800 + 100 =
,
300 + 500 =
.
Izra~unaj razliku: 700 – 200 = 1000 – 600 =
14.
30
, ,
800 – 300 =
,
500 – 400 =
,
900 – 700 =
,
600 – 600 =
.
Milan je kupio kwigu ~ija je cena 200 dinara. Prodavcu je dao nov~anicu od 500 dinara. Koliko dinara prodavac treba da vrati Milanu?
2
SABIRAWE DVOCIFRENIH BROJEVA
1.
2.
Izra~unaj: 47 + 20 =
, 24 + 50 =
, 30 + 64 =
, 40 + 32 =
,
23 + 54 =
, 28 + 56 =
, 47 + 53 =
, 67 + 16 =
.
Izra~una}emo 84 + 60 =
.
+
84 + 60 = (80 + 60) + 4 =
+
=
.
Ra~unaj sa zapisivawem postupka sabirawa: 76 + 50 = (70 + 50) + 90 + 47 =
3.
(
+
)+7=
+
= +
; =
;
68 + 80 =
;
70 + 65 =
.
Izra~unaj: 68 + 70 =
4.
=
, 80 + 57 =
, 95 + 40 =
, 72 + 50 =
.
Izra~una}emo 84 + 69 =
+
+
84 + 69 = (84 + 60) + 9 =
+
=
.
Prvom sabirku dodamo desetice drugog sabirka, pa wihovom zbiru dodamo jedinice drugog sabirka. Postupak sabirawa mo`emo kra}e zapisivati, ovako (podvla~ewem): 84 + 69 = 144 + 9 =
.
31
3
Izra~unaj sa zapisivawem postupka sabirawa: 67 + 78 = (67 + 70) + 75 + 96 =
(
=
+
)+6=
+
+
86 + 56 =
+
=
,
94 + 69 =
+
=
.
3
=
, =
,
ZAMENA MESTA I ZDRU@IVAWE SABIRAKA
1.
Proveri ta~nost jednakosti:
26 + 48 = 48 + 26
96 + 35 = 35 + 96
= 77 + 54 = 54 + 77
;
= 83 + 72 = 72 + 83
;
=
;
=
.
U ~emu se razlikuje zbir na levoj strani od zbira na desnoj strani jednakosti?
2.
Izme|u Acine i Mirine ku}e nalazi se kru{ka. Rastojawe kru{ke od Acine ku}e je a, a od Mirine b.
a
A
b
K
M
Aca je i{ao da obi|e Miru i vratio se ku}i. Aca je pre{ao put: u odlasku a + b,
u povratku b + a,
isto rastojawe izme|u ku}a, pa je
a + b = b + a. ZAMENOM MESTA SABIRAKA VREDNOST ZBIRA SE NE MEWA.
3.
Upi{i sabirak koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 34 +
32
= 80 + 34;
45 + 50 =
+ 45;
+ 65 = 65 + 70.
4.
Re{i jedna~inu: x + 38 = 38 + 70 x=
5.
40 + y = 75 + 40 y=
;
56 + 60 = a + 56 a=
;
.
Zbir tri sabirka 48 + 50 + 36 izra~unaj na dva na~ina: – prvo, 48 + 50 + 36 = (48 + 50) + = + tj. zbiru prva dva sabirka dodali smo tre}i sabirak;
)=
– drugo, 48 + 50 + 36 = 48 + (50 +
=
+
,
=
tj. 6.
, .
zme|u Mikine i Anine ku}e nalaze se kru{ka i jabuka. Rastojawe I kru{ke od Mikine ku}e je a, rastojawe jabuke od kru{ke je b, a rastojawe jabuke od Anine ku}e je c.
a
M
b
K
J
c
A
Mika i Kaja krenu kod Ane. Mika stane da nabere jabuke, a Kaja da nabere kru{ke. Put do Anine ku}e oni su ra~unali ovako: Mika: prvi deo puta a + b, drugi deo puta c, svega (a + b) + c; Kaja: prvi deo puta a, drugi deo puta b + c, svega a + (b + c), pa je (a + b) + c = a + (b + c). ZDRU@IVAWE SABIRKA. – Zbir tri sabirka se ne mewa ako dva sabirka zdru`imo (saberemo), pa wihovom zbiru dodamo tre}i sabirak.
7.
roveri ta~nost jednakosti, izra~unaj vrednost leve i desne strane P jednakosti: 48 + (73 + 56) = (48 + 73) + 56, (57 + 68) + 54 = 57 + (68 + 54),
=
,
=
,
=
,
=
,
=
,
=
.
33
34
SABIRAWE TROCIFRENOG I JEDNOCIFRENOG BROJA
1.
2.
Izra~unaj zbir:
5+2=
,
45 + 2 =
,
645 + 2 =
,
0+4=
,
70 + 4 =
,
370 + 4 =
,
7+3=
,
27 + 3 =
,
427 + 3 =
,
507 + 3 =
,
208 + 2 =
,
806 + 4 =
.
Ra~unaj sa zapisivawem postupka usmenog sabirawa: 8 + 7 = (8 + 2) +
=
48 + 7 = (48 + 2) +
+
=
=
,
+
348 + 7 = (348 + 2) +
=
= +
, =
.
+ ,
)+
259 + 4 = (259 + 276 + 7 =
(
+
)+
=
+ =
= +
, =
,
734 + 8 =
3.
4.
.
Saberi usmeno i zapi{i zbir: 138 + 5 =
,
469 + 6 =
,
703 + 8 =
,
274 + 7 =
,
368 + 4 =
,
625 + 7 =
.
Izra~unaj zbir: 696 + 4 = 600 + (96 + 4) = 298 + 2 = 395 + 5 =
34
+
(
+ +
, 794 + 6 =
)=
=
, 493 + 7 =
, +
=
,
, 591 + 9 =
.
Pri pismenom sabirawu sabirke mo`emo potpisivati jedan ispod drugog ili ih pisati u nizu, jedan u produ`etku drugog. S
D
J
4
6
8
+
5 4
7
3
4
7
3
S
D
J
5
9
7
+
5.
8 6
0
5
6
0
5
Izra~unaj zbir: 257 + 6
376 + 5 = 6.
468 + 5 =
468 + 5 473
73
–p rvo, 7 i 8 je 15; 5 jedinica zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama; –d rugo, 1 i 9 je 10 desetica; 0 desetica zapisujemo, a stotinu dodajemo stotinama; – tre}e, 1 i 5 je 6 stotina. 597 + 8 =
8 + 534
, 7 + 697 =
kra}e,
05
795 + 6
597 + 8 605
9 + 893
.
Zapi{i sabirak koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 496 +
7.
– prvo, 8 i 5 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama; – drugo, 1 i 6 je 7 desetica; – tre}e, i 4 stotine;
= 500,
+ 792 = 800,
+ 7 = 600.
Najve}em neparnom broju pete stotine dodaj najve}i jednocifreni broj.
35
35
ODUZIMAWE JEDNOCIFRENOG BROJA OD TROCIFRENOG
1.
Izra~unaj razliku 6–2=
,
26 – 2 =
,
526 – 2 =
,
4–4=
,
54 – 4 =
,
354 – 4 =
,
50 – 6 =
,
350 – 6 =
,
607 – 4 =
.
10 – 6 =
,
508 – 5 = 2.
409 – 7 =
,
,
Ra~unaj sa zapisivawem postupka usmenog oduzimawa: 15 – 6 = (15 – 5) – 45 – 8 =
(
=
–
)–
–
=
)–
345 – 8 = (345 –
=
,
–
=
=
–
=
, 261 – 4 = (261 – 1) – 635 – 7 =
(
–
, .
, =
)–
–
=
,
=
–
=
746 – 9 = 3.
4.
.
Oduzmi usmeno i zapi{i rezultat – razliku: 142 – 5 =
,
382 – 3 =
,
474 – 7 =
,
523 – 4 =
,
736 – 8 =
,
853 – 6 =
.
Izra~unaj razliku: 500 – 4 = 400 + (100 – 4) = 800 – 6 =
+
(
403 – 5 = (403 – 3) – 802 – 8 =
36
,
+ – –
)= =
=
, +
=
,
–
=
, .
Pri pismenom oduzimawu umawenik i umawilac mo`emo pisati jedan ispod drugog ili ih pisati u nizu, jedan u produ`etku drugog. S
3
D
J
.
4
7
4
–
6 3
6
8
S
D
J
.
3
5
0
3
–
7 4
5.
9
524 – 8 =
68
–p rvo, 7 od 3 ne mo`e, 1 stotinu „usitnimo” u 10 desetica i 1 deseticu „usitnimo” u jedinice; 7 od 13 je 6; – drugo, 9 desetica; – tre}e, i 4 stotine. 503 – 7 =
374 – 6 368
503 – 7 496
96
632 – 5
715 – 7 412 – 4 =
806 – 9 .
Zapi{i umawenik ili umawilac koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 100 –
7.
374 – 6 =
kra}e,
Izra~unaj razliku: 354 – 6
6.
6
–p rvo, 6 od 4 ne mo`e, 1 deseticu „usitnimo” u jedinice; 6 od 14 je 8; – drugo, 6 desetica; – tre}e, i 3 stotine;
= 97,
400 –
= 392,
– 6 = 494.
Od najmaweg parnog broja ~etvrte stotine oduzmi najve}i jednocifreni broj.
37
36
SABIRAWE TROCIFRENOG I DVOCIFRENOG BROJA
1.
2.
Izra~unaj: 40 + 30 =
,
140 + 30 =
,
540 + 30 =
,
60 + 40 =
,
260 + 40 =
,
760 + 40 =
.
Ra~unaj usmeno i zapisuj postupak sabirawa: 58 + 6 = (58 + 6) +
=
580 + 60 = (580 + 20) +
+ =
=
,
+
=
.
+ , 583 + 60 = (583 + 20) +
286 + 40 = (286 + 20) + 675 + 50 = (675 +
)+
=
=
+ =
+
= +
=
, =
,
837 + 90 =
3.
4.
.
Saberi usmeno i zapi{i rezultat – zbir: 395 + 40 =
,
567 + 50 =
,
898 + 20 =
,
452 + 70 =
,
836 + 90 =
,
245 + 80 =
.
Zapi{i sabirak koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 366 +
38
.
= 406,
+ 30 = 328,
+ 60 = 549.
Izra~una}emo zbir 475 + 68:
+ , 475 + 68 = (475 + 60) + 8 = 535 + 8 = 543. Prvom sabirku dodamo desetice drugog sabirka, pa wihovom zbiru dodamo jedinice drugog sabirka. Postupak sabirawa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem sabiraka: 475 + 68 = 535 + 8 = 543. 5.
Ra~unaj usmeno i zapisuj postupak sabirawa: 356 + 75 = (356 + 70) + 354 + 89 =
6.
(
+
=
+
)+
487 + 56 =
+
=
845 + 97 =
+
=
=
=
,
+
=
,
, .
Saberi usmeno i zapi{i zbir: 248 + 45 =
,
563 + 70 =
,
806 + 47 =
,
657 + 97 =
,
408 + 65 =
,
390 + 84 =
.
Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice: S
D
J
5
3
8
4
6
5
8
4
5
8
4
+
–prvo, 8 i 6 je 14; 4 jedinice zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama; –d rugo, 1 i 3 je 4 i 4 je 8 desetica; – tre}e, i 5 stotina; 538 + 46 =
kra}e, 538 + 46 584
84
39
3
S
D
6
7
5
6
8
7
4
3
7
4
3
+
J
Izra~unaj zbir: 467 + 78
675 + 68 =
584 + 69
648 + 96 =
7
–p rvo, 5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama; –d rugo, 1 i 7 je 8 i 6 je 14 desetica; 4 desetice zapisujemo, a stotinu dodajemo stotinama; – tre}e, 1 i 6 je 7 stotina.
394 + 67
287 + 76 =
ODUZIMAWE DVOCIFRENOG BROJA OD TROCIFRENOG
1.
Izra~unaj: 70 – 40 =
100 – 70 = 2.
170 – 40 =
470 – 40 =
300 – 70 =
500 – 70 =
Izra~unaj: 32 – 7 = (32 – 2) –
=
320 – 70 = (320 – 20) –
–
=
=
–
=
,
, 325 – 70 = (325 – 20) –
40
43
745 + 88
=
–
675 + 68 743
=
Ra~unaj usmeno i zapisuj postupak oduzimawa: 236 – 40 = (236 – 30) – 543 – 80 = (543 –
=
)–
– =
=
,
–
=
,
854 – 90 = 3.
4.
.
Oduzmi usmeno i zapi{i rezultat – razliku: 352 – 60 =
,
627 – 50 =
,
416 – 20 =
,
654 – 70 =
,
805 – 10 =
,
923 – 90 =
.
Zapi{i umawenik ili umawilac koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 263 –
= 203,
– 50 = 674,
– 80 = 825.
,
,
435 – 57 = (435 – 50) – 7 = 385 – 7 = 378. Od umawenika oduzmemo, najpre, desetice umawioca, a zatim jedinice. Postupak oduzimawa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem umawenika i desetica umawioca: 435 – 57 = 385 – 7 = 378. 5.
Ra~unaj usmeno i zapi{i postupak oduzimawa: 224 – 68 = (224 – 60) – 542 – 75 =
6.
(
–
)–
=
– =
735 – 87 =
–
=
,
613 – 46 =
–
=
.
= –
, =
,
Oduzmi usmeno i zapi{i rezultat – razliku: 243 – 56 =
,
328 – 65 =
,
541 – 73 =
,
635 – 69 =
,
715 – 48 =
,
911 – 86 =
.
41
3
Pri pismenom oduzimawu najpre oduzimamo jedinice: S
D
–p rvo, 6 od 4 ne mo`e, 1 deseticu „usitnimo” u jedinice; 6 od 14 je 8; –d rugo, 3 od 7 je 4 desetice; – t re}e, i 5 stotina;
J 4
. 8
4
3
6
5
4
8
S
D
J
3
5 –
. 4 – 3 7.
3
6
7
5
6
48
–d rugo, 6 od 1 ne mo`e, 1 stotinu „usitnimo” u 10 desetica; 6 od 11 je 5;
423 – 67 356
– t re}e, i 3 stotine. 523 – 67 =
56
625 – 89
,
417 – 38
563 – 87 =
.
SABIRAWE TROCIFRENIH BROJEVA 1.
2.
Izra~unaj: 300 + 200 =
,
350 + 200 =
,
357 + 200 =
,
460 + 300 =
,
460 + 500 =
,
462 + 500 =
,
247 + 600 =
,
586 + 300 =
,
135 + 800 =
.
Izra~unaj: 87 + 50 = (87 + 20) + 387 + 50 = (387 + 20) +
42
584 – 36 548
–p rvo, 7 od 3 ne mo`e, 1 deseticu „usitnimo” u jedinice; 7 od 13 je 6;
Izra~unaj razliku: 734 342 – 57 – 74
936 – 79 =
8
. 2
584 – 36 =
kra}e,
=
+ =
,
= +
=
.
+ , 387 + 250 = (387 + 200) + 50 = 587 + 50 = 637 Ra~unaj usmeno i zapi{i postupak sabirawa: 356 + 170 = (356 + 100) + 534 = 280 = (534 +
=
)+
+ =
,
= +
,
=
.
645 + 160 = 3.
4.
Saberi usmeno i zapi{i rezultat – zbir: 436 + 270 =
,
574 + 380 =
,
376 + 430 =
,
758 + 180 =
,
467 + 260 =
,
275 + 590 =
.
Izra~unaj: 387 + 6 = (387 + 3) +
=
387 + 56 = (387 + 50) +
+ =
= +
=
+ , 387 + 256 = (387 + 200) + 56 = (587 + 50) + 6 = 637 + 6 = 643. Prvom sabirku, najpre, dodamo stotine drugog sabirka, pa wihovom zbiru dodamo desetice drugog sabirka i, najzad, dodamo jedinice drugog sabirka. Postupak sabirawa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem sabiraka: 387 +256 = 587 + 56 = 637 + 6 = 643. 5.
Ra~unaj usmeno i zapisuj postupak sabirawa: 468 +275 = (468 + 200) +
= =
(
+ +
)+5 =
,
43
3
549 + 386 =
(
+
)+
=
(
=
)+
+ +
,
=
,
756 + 167 = 684 + 239 =
+
=
,
+9=
.
373 + 458 =
Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice, zatim desetice, pa stotine S
D
J
6.
5
3
8
+3
2
6
8
6
4
8
6
4
S
D
J
3
7
5
+2
6
8
6
4
3
6
4
3
Izra~unaj zbir: 346 + 587
765 + 546 = 7.
,
538 + 326 =
246 87 154 + 392
kra}e, 538 + 326 864
64
– prvo, 5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama; – drugo, 1 i 7 je 8 i 6 je 14 desetica; 4 desetice zapisujemo, a stotinu dodajemo stotinama; – tre}e, 1 i 3 je 4 i 2 je 6 stoti375 na. + 268 375 + 268 = 4 3 644 468 + 359
517 + 398 =
Sli~no izra~unavamo zbir vi{e sabiraka: – najpre saberemo jedinice, zatim desetice, pa stotine.
44
573 + 258
–p rvo, 8 i 6 je 14; 4 jedinice zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama; –d rugo, 1 i 3 je 4 i 2 je 6 desetica; – tre}e, 5 i 3 je 8 stotina;
475 134 67 + 238
247 + 636
.
9
ODUZIMAWE TROCIFRENIH BROJEVA
1.
2.
Izra~unaj: 500 – 300 =
,
540 – 300 =
,
546 – 300 =
,
620 – 400 =
,
620 – 200 =
,
625 – 200 =
,
834 – 500 =
,
768 – 700 =
,
942 – 600 =
.
Izra~unaj: 134 – 60 = (134 – 30) –
=
–
=
,
534 – 60 =
.
,
,
534 – 260 = (534 – 200) – 60 = 334 – 60 =
.
Od umawenika, najpre, oduzmemo stotine umawioca, zatim desetice. Postupak oduzimawa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem umawenika i stotina umawioca: 534 –260 = 334 – 60 =
3.
.
Ra~unaj usmeno i zapi{i postupak oduzimawa: 325 – 170 = (325 – 100) – 637 – 460 = 716 – 340 = 847 – 650 = 932 – 560 =
(
–
)–
=
– =
= –
, =
,
, –
=
, .
45
3
4.
Izra~unaj: 535 – 7 = (535 – 5) –
=
535 – 57 = (534 – 50) –
– =
= –
, =
,
,
,
, 535 – 357 = (535 – 300) – 57 = (235 – 50) – 7 = 185 – 7 = 178. Od umawenika, najpre, oduzmemo stotine umawioca, zatim desetice, pa jedinice. Postupak sabirawa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem umawenika i stotina umawioca: 535 – 357 = 235 – 57 = 185 – 7 = 5.
.
Ra~unaj usmeno i zapi{i postupak oduzimawa: 437 – 285 = (437 – 200) – 724 – 458 =
(
–
=
)–
(
)–
–
= =
(
–
= –
=
–
= ,
)– =
= ,
614 – 169 = , 952 – 684 =
–
=
–4=
,
845 – 376 =
.
Oduzmi usmeno i zapi{i rezultat – razliku:
46
487 – 154 =
,
536 – 243 =
,
792 – 348 =
,
674 – 380 =
,
925 – 458 =
,
843 – 176 =
.
Pri pismenom oduzimawu najpre oduzimamo jedinice, zatim desetice... S
D
J
7
3
5
–4
1
2
3
2
3
S
D
J 5
6.
7
. 3
5
– 4
1
8
3
1
7
S
D
J 5
. 7
2 . 3
– 4
7
8
2
5
7
5
kra}e, 735 – 412 323 735 – 412 =
23
–p rvo, 8 od 5 ne mo`e, 1 deseticu „usitnimo” u jedinice; 8 od 15 je 7; – drugo, 1 od 2 je 1; – tre}e, 4 od 7 je 3. 735 – 418 =
17
–p rvo, 8 od 5 ne mo`e, 1 deseticu „usitnimo” u jedinice; 8 od 15 je 7; – d rugo, 7 od 2 ne mo`e, 1 stotinu „usitnimo” u 10 desetica; 7 od 12 je 5; – tre}e, 4 od 6 je 2. 735 – 458 =
735 – 418 317
735 – 478 257
57
Izra~unaj razliku: 525 – 276
637 – 359 =
743 – 586
,
854 – 487
916 – 638 =
432 – 165
.
47
310 1.
ZAVISNOST ZBIRA OD SABIRAKA. STALNOST ZBIRA
Izra~unaj zbir 457 + 286 = . Ako jedan sabirak pove}amo za 114, kako }e se promeniti zbir? Izra~unaj i zapi{i re~ima: 457 + (286 + 114) = –
=
.
Ako jedan sabirak pove}amo za
, onda se .
Ako jedan sabirak smawimo za 257, kako }e se promeniti zbir? Izra~unaj i zapi{i re~ima: (457 – 257) + 286 = –
,
=
.
Ako jedan sabirak smawimo za
, onda se .
2.
Dat je zbir dva broja a i b, a + b. Ako jedan od sabiraka pove}amo za n a + (b + n) = (a + b) + n, onda se i zbir a + b pove}a za n. Ako jedan od sabiraka umawimo za n a + (b – n) = (a + b) – n, onda se i zbir a + b smawi za n. To se mo`e i grafi~ki prikazati trakama. a a
b b–n (a + b) – n
48
n
3.
Najpre izra~unaj zbir 463 + 237 =
,
a zatim, na podesniji na~in, izra~unaj vrednost izraza:
( (463 + 157) + 237 = ( 463 + (237 + 85) =
4.
) + 85 = )+
+ +
+ =
= +
, =
.
Ako je a + b = 465 izra~unaj vrednost izraza:
)+
(a + 136) + b = (a +
( (a – 265) + b = ( a + (b + 427) =
+ +
)+ )–
=
, =
,
=
,
a + (b – 160) =
.
1) Kako }e se promeniti zbir, ako prvi sabirak pove}amo za 136? 2) Kako }e se promeniti zbir, ako drugi sabirak pove}amo za 427? 3) Kako }e se promeniti zbir, ako prvi sabirak smawimo za 265? 4) Kako }e se promeniti zbir, ako drugi sabirak smawimo za 160?
[ta }e biti sa zbirom dva broja, a + b, i kako }e se zbir mewati, ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n? (a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n (a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n , zbir se najpre pove}ao za n; (a + n) + (b – n) = a + b + (n – n), a zatim se smawio za n; (a + n) + (b – n) = a + b + 0 , zna~i, ostao je isti, nije se promenio; (a + n) + (b – n) = a + b. Ako jedan sabirak pove}amo za neki broj, a drugi sabirak smawimo za isti broj, onda se zbir ne}e promeniti.
49
3
Stalnost zbira mo`emo prikazati grafi~ki, trakama. a a–n
b n
a–n
prvi sabirak smawen za n
b b+n
drugi sabirak pove}an za n
Zbir se nije promenio. 5.
Ako je a + b = 738 izra~unaj vrednost izraza: (a + 17 ) + (b – 17) = (a – 236) + (b + 236) =
6.
Stalnost zbira mo`emo koristiti kao olak{icu prilikom sabirawa. 297 + 328 = (297 + 3) + (328 – 3) =
+
=
;
prvom sabirku smo dodali 3 kao dopunu do 300 (vi{estruke stotine) i
.
Izra~unaj zbir na prikazani na~in (sa olak{icom):
( 576 + 387 = ( 576 + 387 = ( 458 + 275 =
7.
– – +
)+( )+( )+(
+ 25) = + –
)= )=
+
= , .
Brat i sestra ukupno imaju 600 dinara u{te|evine. Koliko }e imati: 1) ako brat dobije jo{ 183 dinara, a sestra jo{ 217 dinara; 2) ako brat potro{i 225 dinara, a sestra potro{i 175 dinara; 3) ako brat potro{i 168 dinara, a sestra dobije 168 dinara?
50
,
11
ZAVISNOST RAZLIKE OD UMAWENIKA I UMAWIOCA. STALNOST RAZLIKE Ako je a – b = 437 izra~unaj vrednost izraza: 1) A ko umawenik pove}amo za 100, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima. (a + 100) – b = – 437 = Ako umawenik pove}amo za
, onda se
.
2) Ako umawenik smawimo za 100, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima. (a – 100) – b = 437 –
=
Ako umawenik smawimo za
, onda se
.
3) A ko umawilac pove}amo za 150, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima. a – (b + 150) = 437 –
=
Ako umawilac pove}amo za , onda se . 4) Ako umawilac smawimo za 150, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima. a – (b – 150) = – 437 = Ako umawilac smawimo za
, onda se
.
5) A ko umawenik i umawilac pove}amo za 200, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima. (a + 200) – (b + 200) = (a – b) + 200 – 200 = (a – b) +
= .
6) Ako umawenik i umawilac smawimo za 200, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima. (a – 200) – (b – 200) = (a – b) + 200 – 200 = (a – b) +
= .
51
3
Ako umawenik i umawilac pove}amo (ili smawimo) za 200, razlika 437 ostaje ista, ne}e se promeniti, {to se mo`e i grafi~ki prikazati trakama. a a–b
b a
a–b
b a–n
a–b
+
n
+
n
n b–n
n
Ako umawenik i umawilac pove}amo (ili smawimo) za neki broj (bilo koji broj), razlika se ne}e promeniti. 2.
Ako je 623 – 376 =
(izra~unaj razliku), poka`i da je:
(623 + 178) – (376 + 178) =
= 247
(623 – 245) – (376 – 245) =
= 247
3. Stalnost razlike mo`emo koristiti kao olak{icu prilikom oduzimawa.
) – (496 + 4) =
724 – 496 = (724 +
–
=
;
umawiocu smo dodali 4, kao dopunu do vi{estruke stotine i ;
) – (375 + 25) =
618 – 375 = (617 +
umaweniku i umawiocu smo dodali
.
Izra~unaj razliku na prikazani na~in (sa olak{icom): 734 – 293 =
52
(
+
)–(
+
)=
,
542 – 185 =
,
825 – 368 =
.
12 1.
ZADACI SA DVE I TRI OPERACIJE. SABIRAWE I ODUZIMAWE
Ako imamo tri sabirka, s obzirom na to da se udru`ivawem sabiraka zbir ne}e promeniti, mo`emo pisati a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). Izra~unaj i uporedi rezultate: (346 + 178) + 295 =
+
=
346 + (178 + 295) = + = Sli~no radimo i kada imamo vi{e od tri sabirka. 2.
Budu}i da u izrazima sa vi{e oduzimawa ~lanove izraza ne mo`emo udru`ivati, jer (a – b) – c ≠ a – (b – c), to u izrazu a – b – c moramo zagradama nazna~iti koje je oduzimawe prvo, a koje drugo, tj. moramo pisati (a – b) – c ili a – (b – c). Izra~unaj i uporedi rezultate: (732 – 245) – 187 =
–
=
732 – (245 – 187) = – = Ako koristimo nau~eno o zavisnosti razlike od umawenika i umawioca, onda za prvi izraz mo`emo re}i: –a ko umawenik smawimo za 245, onda se i razlika smawi za 245, tj. (732 – 245) – 187 = (732 – 178) – 245 =
–
=
;
a za drugi izraz: – ako se umawilac smawi za 187, onda se razlika pove}a za 187, tj. 732 – (245 – 187) = (732 – 245) + 187 = 3.
–
=
;
Ako u izrazu imamo sabirawe i oduzimawe, pa je po redosledu zapisivawa prvo sabirawe, onda zagrade ne moramo pisati, jer a + b – c = a + (b – c) = (a + b) – c; ako jedan sabirak smawimo za neki broj c, onda se i zbir smawi za isti broj c.
53
3
Izra~unaj i uporedi rezultate: (284 + 546) – 387 =
–
=
,
284 + (546 – 387) = + = . Ali, ako je po redosledu zapisivawa prvo oduzimawe, pa sabirawe, onda zagrade moramo pisati, jer (a – b) + c ≠ a – (b + c). Izra~unaj i uporedi rezultate:
4.
(832 – 347) + 259 =
+
=
,
832 – (347 + 259) =
–
=
.
Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost: 1) od razlike brojeva 724 i 356 oduzmi 178; 2) od 724 oduzmi razliku brojeva 356 i 178.
5.
Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost: 1) razlici brojeva 624 i 338 dodaj razliku brojeva 452 i 267; 2) od razlike brojeva 943 i 176 oduzmi zbir brojeva 264 i 358; 3) od zbira brojeva 436 i 385 oduzmi zbir brojeva 256 i 378.
54
6.
Jedan odred gorana zasadio je 354 sadnice, drugi 96 sadnica mawe, a tre}i odred je zasadio 257 sadnica. Napi{i izraz. Koliko je ukupno sadnica zasa|eno?
7.
Brat je imao 450 dinara i potro{io je 286 dinara. Sestra je imala 520 dinara i potro{ila je 275 dinara. Napi{i izraz i izra~unaj koliko im je ukupno ostalo novca.
13 1.
SABIRAWA I ODUZIMAWA. JEDNAKOST
Na slici su prikazane kuglice crvene, plave i `ute boje.
Zbir broja plavih i broja `utih kuglica jednak je broju crvenih kuglica, tj. 8 + 7 = 15 ili 7 + 8 = 15. Crvenih je vi{e od plavih za onoliko koliki je broj `utih kuglica, tj. 15 – 8 = 7, a vi{e od `utih koliki je broj plavih kuglica, tj. 15 – 7 = 8. Pomo}u brojeva 7, 8 i 15 i znaka + ili – napisali smo ~etiri ta~ne jednakosti: 8 + 7 = 15,
7 + 8 = 15,
15 – 8 = 7,
15 – 7 = 8.
Pomo}u brojeva 18, 25 i 43 i znaka + ili – napi{i ~etiri ta~ne jednakosti: ,
2.
,
.
Data su dva broja 57 i 84, odredi tre}i broj (dva broja) pomo}u kojih mo`e{ napisati ~etiri, odnosno, osam ta~nih jednakosti: 57 + 84 =
,
,
,
3.
,
84 – 57 =
,
,
,
,
.
U prvom zadatku razmatrali smo odre|eni broj kuglica. Broj kuglica mo`e biti proizvoqan, a, b, c, ali povezan ta~nom jednako{}u a = b + c. a b
c
55
3
Mo`emo napisati slede}e jednakosti: b + c = a 1. sabirak (b) + 2. sabirak (c) = zbir (a) a – b = c
umawenik (a) – umawilac (b) = razlika (c)
a – c = b
Umawenik (a) – umawilac (c) = razlika (b)
Napisane jednakosti nam pokazuju vezu izme|u sabirawa i oduzimawa. 1) Veza prve i druge jednakosti, b + c = a i a – b = c daje: ako je b + c = a, onda je a – b = c; veza prva i tre}a jednakosti, b + c = a i a – c = b daje: ako je b + c = a, onda je a – c = b. Ako od zbira oduzmemo jedan sabirak, onda dobijemo drugi. Upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti: Ako je 246 + 378 =
,o nda je 624 – 246 =
,
onda je 624 – 378 =
.
2) Veza druge i prve jednakosti, a – b = c i c + b = a daje: Ako je a – b = c, onda je c + b = a Ako saberemo razliku i umawilac, dobijemo umawenik. Upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti: Ako je 654 – 250 =
, onda je 404 + 250 =
.
Ako je 723 – 456 =
, onda je 456 + 267 =
.
3) Veza druge i tre}e jednakosti, a – b = c i a – c = b daje: ako je a – b = c, onda je a – c = b. Ako od umawenika oduzmemo razliku, dobijemo umawilac. Upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti:
56
Ako je 574 – 234 =
, onda je 574 – 340 =
,
Ako je 628 – 356 =
, onda je 628 – 272 =
.
4.
Dati su brojevi 276, 458 i 734. U svaku ku}icu upi{i jedan od datih brojeva, tako da jednakost bude ta~na: = 458 + =
14
= 276 +
, – 276,
=
, – 458.
JEDNA^INA. IZRA^UNAVAWE NEPOZNATOG SABIRKA Ako je u jednakosti b + c = a jedan od sabiraka nepoznat, obele`i}emo ga slovom x. Tada imamo jedna~ine: x + c = a ili b + x = a. Kako izra~unavamo nepoznati sabirak? Zapi{i re~ima.
1.
Izra~unaj nepoznati sabirak: x + 270 = 586, 387 + x = 607, x= x=
2.
–
x + 485 = 732.
x=
x=
x=
x=
Vrednost nepoznatog sabirka naziva se RE[EWE JEDNA^INE. Za prvu jedna~inu je x = 316, pa je broj 316 re{ewe te jedna~ine. Koji broj treba dodati: 1) broju 417, pa da se dobije 657;
2) broju 376, pa da se dobije 924?
3.
Na stadionu su dve grupe navija~a. Plavi imaju 486 navija~a, a broj crvenih navija~a je x (nismo mogli da ih prebrojimo ta~no). Blagajna je ukupno prodala 833 ulaznice. Koliko gledalaca navija za crvene? Napi{i jedna~inu i re{i je.
4.
Ivana je kupila dve kwige. Cena jedne kwige je 275 dinara, a druge x dinara. Za obe kwige je dala 532 dinara. Napi{i jedna~inu i re{i je.
57
315
JEDNA^INE. IZRA^UNAVAWE NEPOZNATOG UMAWENIKA ILI UMAWIOCA Ako je u jednakosti a – b = c nepoznat umawenik ili umawilac obele`i}emo ga slovom x. Tada imamo jedna~ine: x – b = c ili a – x = c. Kako izra~unavamo nepoznati umawenik? Zapi{i re~ima. Kako izra~unavamo nepoznati umawilac? Zapi{i re~ima.
1.
Izra~unaj nepoznati umawenik: x – 280 = 317, x – 156 = 204, x=
+
x=
x=
x=
x=
x=
Re{ewe prve jedna~ine je
2.
x – 385 = 267.
, druge
Od kog broja treba oduzeti: 1) 417, da bi se dobilo 250;
, tre}e
.
2) 376, da bi se dobilo 458?
3.
Izra~unaj nepoznati umawilac: 657 – x = 317, 563 – x = 156, x= x=
–
x=
x=
x=
x=
Re{ewe prve jedna~ine je
4.
, druge
Koji broj treba oduzeti od: 1) 856, da bi se dobilo 252;
, tre}e
.
2) 636, da bi se dobilo 249?
58
724 – x = 385.
5.
Dati su brojevi 236, 587 i nepoznati broj x. Od datih brojeva sastavi jedna~inu i re{i je: 1) ako je x umawenik; 2) ako je x umawilac.
6.
Broj x ka`e: – Ako me smawi{ za 258 dobi}e{ 474. Broj y mu odgovori: – A ako bi mene pove}ali za 397, izjedna~io bih se s tobom. Napi{i jedna~ine i izra~unaj brojeve x i y.
7.
U vozu je bilo 425 putnika. Na jednoj stanici iz voza je iza{la jedna grupa od x putnika, tako da je u vozu ostalo 186 putnika. Koliko je putnika iza{lo iz voza? Napi{i jedna~inu i re{i je.
8.
Kada je platio ra~un za struju 458 dinara, Milanu je ostalo 376 dinara. Koliko je dinara imao Milan? Napi{i jedna~inu i re{i je.
9.
Du`ina ulice je 635 m. Jedan deo su betonirali i ostalo je 355 m nebetoniranog dela ulice. Koliko je betonirano? Napi{i jedna~inu i re{i je.
10.
Du`ine dva puta razlikuju se za 254 m. Du`ina jednog puta je 720 m. Kolika je du`ina drugog puta? Napi{i jedna~inu i re{i je (dve jedna~ine).
59
316
NEJEDNA^INA
Napisali smo nekoliko nejednakosti. Pro~itaj i re~ima zapi{i nejednakost i pored svake ta~ne nejednakosti napi{i slovo T (ta~no), a pored svake neta~ne nejednakosti slova NT (neta~no). 0<5,
,
1<5,
,
2<5,
,
3<5,
,
4<5,
,
5<5,
,
6<5,
,
7<5,
,
Brojevi koje smo upore|ivali sa brojem 5 su razli~iti brojevi (mewali su se) pa ih mo`emo zameniti slovom (promenqivom), na primer, x i umesto osam nejednakosti zapisati samo jednu nejednakost sa nepoznatom x. x<5 Nejednakost sa nepoznatom naziva se nejedna~ina. Da li je nejednakost sa promenqivom ta~na ili ne, zavisi od vrednosti promenqive. Zato je potrebno da nejedna~inu re{imo, da odredimo skup re{ewa, skup vrednosti promenqive za koje je nejedna~ina ta~na nejednakost. Za navedenu nejedna~inu x<5 skup re{ewa ~ine svi brojevi mawi od 5, tj. {0, 1, 2, 3, 4}. Zna~i, vrednost nepoznate mo`e biti neki od ~lanova skupa re{ewa, {to zapisujemo x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Skup re{ewa nejedna~ine mo`emo prikazati i na brojevnoj pravi.
0
60
1
2
3
4
5
6
7
8
1.
Re{i nejedna~inu x < 15. Napi{i skup re{ewa, vrednosti promenqive za koje je nejedna~ina ta~na nejednakost.
{
, , , , 14}, x ∈ Prika`i skup re{ewa na brojevnoj pravoj.
0
2.
1
2
3
4
5
6
7
8
{
9
, , , , , Skup re{ewa na brojevnoj pravoj je na slici. 0
1
1
12
13
14
15
2
3
4
5
6
7
8
9
}, x ∈ {
10
13
}
12
13
14
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Re{i nejedna~inu 7 < x < 14. Napi{i skup re{ewa i prika`i ga na brojevnoj pravoj.
0
5.
11
Re{i nejedna~inu x < 9. Napi{i skup re{ewa i prika`i ga na brojevnoj pravoj.
0
4.
10
Mo`emo imati i ovakvu nejedna~inu: 3 < x < 12, ~itamo: x je ve}e od 3 i mawe od 12, ili x je izme|u 3 i 12. Re{ewe je svaki broj ve}i od 3 i mawi od 12. Zapi{i sve ~lanove skupa re{ewa.
{
3.
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Ana ima samo nov~anice od 100 dinara, vi{e od 3 nov~anice, a mawe od 6 nov~anica. Koliko novca ima Ana? Napi{i nejedna~inu, odredi skup re{ewa i prika`i ga na brojevnoj pravoj.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
61
41
Ta~ka, prava i ravan Ta^ka i prava. poluprava i du@
1.
Svaku od nacrtanih ta~aka obele`i jednim slovom – A, B, C, D ili E.
.
.
. 2.
.
.
Koje su linije nacrtane na slici i ozna~ene brojevima? Imenuj nacrtane linije. 1
2
1)
3
2) 3)
4
5
4) 5)
3.
Na slici je prava a. Nacrtaj i obele`i ta~ke A, B i C, ako ta~ka A pripada pravoj a, ta~ke B i C su sa razli~itih strana prave a. a
4.
Na slici su ta~ke M i A i prave koje se seku u ta~ki M.
·A M
1) Koliko je pravih nacrtano? Obele`i ih malim slovima latinice. 2) Da li se mogu nacrtati jo{ neke prave koje se seku u ta~ki M? Koliko? 3) Koliko je pravih kojima pripada i ta~ka M i ta~ka A?
DVE RAZLI^ITE TA^KE ODRE\UJU JEDNU PRAVU. Pravu odre|enu ta~kama M i A ozna~avamo MA i ~itamo: prava MA.
62
5.
Koje su prave prikazane na slici? Zapi{i.
B.
a
d
A.
·E
6.
Nacrtaj i zapi{i sve prave odre|ene ta~kama A, B, C, D. D.
.C
A.
·B Ta~ka A deli pravu a na dva dela. Svaki od tih delova naziva se poluprava.
a1
A
a
a2
Nacrtane poluprave obele`avamo Aa1, Aa2. Ta~ka A je wihov po~etak. POLUPRAVA JE PRAVA LINIJA OGRANI^ENA SA JEDNE STRANE. Poluprave Aa1 i Aa2 mo`emo nacrtati odvojene. A
a1
A
a2
7.
Nacrtaj poluprave Oa, Ob, Oc, Od, Oe sa zajedni~kim po~etkom O.
8.
Koliko je polupravih odre|eno ta~kama A, B, C, D na pravoj a? Zapi{i te poluprave. a1
a
A
B
C
D
a2
63
4
Ta~ke A i B spoj jednom krivom i jednom pravom linijom. A .
B
.
Kako se naziva prava linija od A do B? DU@ JE DEO PRAVE LINIJE OGRANI^EN SA OBE STRANE Du` obele`avamo AB, oznakama wenih krajwih ta~aka, ~itamo: du` A, B. Ta~kama C i D na slici su odre|ene: C
c
D
prava CD, i du` CD. 9.
Koliko je pravih, a koliko du`i prikazano na slici? Zapi{i ih. C
1) Du`i
A
2) Prave B
10.
Koliko je polupravih, a koliko du`i odre|eno ta~kama A, B, C, D i E prave p? Zapi{i ih. A
1) Poluprave 2) Du`i
64
B
C
D
E
p
2
RAVAN 1.
Koja su tela prikazana na slici? Zapi{i ispod slike.
2.
Kakve krovove imaju hale beogradskog sajma?
Kakva je povr{ daske stola? 3.
Zamisli da se povr{ stola pove}ava, postaje sve ve}a i ve}a. Zamisli da povr{ kruga ili kvadrata postaje sve ve}a i ve}a, postaje neograni~eno velika.
65
4
Neograni~ena ravna povr{ naziva se ravan. Ravan zami{qamo kao neograni~enu ravnu povr{.
4.
3
Na kojim predmetima u u~ionici ima ravnih povr{i? Poka`i ih i zapi{i.
RAVAN, PRAVA I TA^KA
1.
Nacrtaj pravu a i ta~ku A koja pripada pravoj a i ta~ku B koja ne pripada pravoj a.
2.
Nacrtane prave a i b su u ravni strane kwige. Imaju li prave a i b zajedni~ku a ta~ku? Obele`i je slovom P. Za dve prave koje imaju samo jednu zajedni~ku ta~ku ka`emo da se seku.
b
3.
Na slici su prave a i b i ta~ke A, B, C.
a
Presek pravih a i b je ta~ka
A C
b
B
Pravoj a pripadaju ta~ke Pravoj b pripadaju ta~ke Ta~ka A pripada pravoj Ta~ka B pripada pravoj
66
4.
Na slici su tri ta~ke A, B i P. Nacrtaj prave AP i BP .
A
·
P
Da li se prave AP i BP seku?
· B
Koja je ta~ka wihov presek?
· 5.
Da li se seku: 1) prava p i du` CD? Nacrtaj i obele`i presek.
2) prava a i du` GH?
C
a D
p
6.
G
H
Da li se seku: 1) poluprava Aa i du` CE? Nacrtaj i obele`i presek.
2) poluprava Bb i du` DF? D
C E A
7.
B
a
Na slici su prave a, b, c. Obele`i wihove preseke bb
cc
8.
b
F
Na slici su dve prave a i b. Nacrtaj pravu p koja se~e prave a i b, svaku u posebnoj ta~ki. Obele`i preseke pravih a, b i p.
aa aa
bb
67
4
9.
Na slici su prava a i ta~ke A i B. Nacrtaj pravu AB . Koja je ta~ka presek pravih a i AB ? B
·
A
·
a
4
PRAV UGAO. CRTAWE PRAVOG UGLA
1.
Na slici su neki pravougaonici i kvadrati. U svaki pravougaonik upi{i slovo P, a u kvadrat slovo K.
Stranice OA i OB pravougaonika AOBC produ`ili smo, nacrtali smo poluprave Oa i Ob, a stranice BC i CA obrisali. a A
O
a C
B
A
b
O
B
b
Dobili smo figuru koju nazivamo PRAV UGAO. Prav ugao na slici je obele`en AOB ili aOb. Poluprave Oa i Ob su kraci ugla, a zajedni~ki po~etak krakova, ta~ka O naziva se teme ugla.
68
2.
Nazna~i prave uglove koje vidi{ na slici ormara i trougaonika.
Prav ugao mo`emo crtati na kvadratnoj mre`i ili pomo}u pravouglog trougaonika. d
c
b
c
a
O
C B
3.
b
Nacrtaj prav ugao ~iji je jedan krak prikazana poluprava: A·
t O·
4.
T·
a
a
Nacrtaj prave uglove (dva ugla) ~iji jedan krak pripada pravoj p, a drugi krak prolazi kroz ta~ku A, odnosno B. A.
p
.B
69
45
NORMALNE PRAVE Na slici je prav ugao sa temenom O. b b
Ako krake pravog ugla produ`imo na suprotnu stranu, dobi}emo prave a i b, koje se seku u ta~ki O pod pravim uglom.
a
O a
O
Za dve prave koje se seku pod pravim uglom ka`emo da su normalne prave, {to zapisujemo: a ⊥ b, ~itamo: prava a je normalna sa pravom b.
1.
Normalnost nacrtanih pravih proveri trougaonikom i zapi{i pomo}u znaka ⊥ .
p
2.
a
b
c
a⊥
D
A
70
⊥
,
.
Na slici je pet pravih. Koje su od nacrtanih pravih normalne prave? Zapi{i. AD ⊥
3.
,
,
⊥
C
B
Na slici zgrade prona|i normalne prave i nazna~i ih olovkom u boji.
,
.
Normalne prave crtamo pomo}u lewira i trougaonika ovako: 1) Nacrtamo pravu a i na woj obele`imo ta~ku A. 2) Uz pravua postavimo najkra}u stranicu trougaonika. 3) Uz najdu`u stranicu trougaonika postavimo lewir. 4) Pomeramo trougaonik du` lewira, dok wegova stranica, koja je normalna na pravu a, ne pro|e kroz ta~ku A. 5) Kroz ta~ku A nacrtamo pravu b.
.A
a
.A
a
b .A
.A
a
a
b
4.
Nacrtaj pravu n normalnu na pravu p u ta~ki P. P
. p
5.
Kroz ta~ku A nacrtaj pravu a normalnu na pravu m. m
6.
.A
Kroz ta~ke A, B, C nacrtaj prave a, b, c normalne na pravu p.
.B p
A
C
·
·
71
46
PARALELNE PRAVE
Na slici su prave a, b, d. Koje se od nacrtanih pravih seku? a b d
Obele`i ta~ke preseka. Da li se prave a i b seku? Proveri wihovo rastojawe na razli~itim mestima. Za dve prave iste ravni koje se ne seku ka`emo da su PARALELNE PRAVE. Paralelnost pravih a i b zapisujemo a || b, ~itamo: prave a i b su paralelne. 1.
Koje su od nacrtanih pravih paralelne prave? Zapi{i ispod slike. g f a
b c
2.
72
e
m
n p q
Na slici zgrade prona|i paralelne prave i nazna~i ih olovkom u boji. Obele`i ih i zapi{i.
Paralelne prave crtamo pomo}u lewira i trougaonika ovako:
a
1) Uz pravu a postavimo najdu`u stranicu trougaonika.
a
2) Uz jednu od kra}ih stranica trougaonika postavimo lewir.
b
a
3) Pomeramo trougaonik du` lewira do `eqenog mesta.
b
4) Pored najdu`e stranice trougaonika crtamo pravu b. 3.
Na slici je prava a i ta~ke B i C koje ne pripadaju pravoj a. Nacrtaj prave b i c paralelne sa a, tako da ta~ka B pripada pravoj b, a ta~ka C pripada pravoj c. B. a
4.
·C
Nacrtaj prave c i d, koje se seku u ta~ki C, tako da je c || a, d || b.
C.
a b
5.
Nacrtaj prave c i d, koje se seku u ta~ki C, tako da je c ⊥ a, d || b.
C.
a b
73
51
Krug i kru`nica KRUG
Koji su predmeti prikazani na slici? Napi{i wihov naziv ispod slike.
Da li vaqak ima neku ravnu povr{? Koliko? Kako se naziva ravna povr{ vaqka? Zapi{i.
74
1.
Na slici su prikazani neki krugovi. Nacrtaj i ti nekoliko krugova razli~ite veli~ine. Koristi metalni novac kao model.
2.
Na slici su neki predmeti. Koji? Da li na wima ima krugova? Nazna~i ih olovkom u boji.
2
CRTAWE KRU@NICE I KRUGA
Za crtawe kru`ne linije, kra}e ka`emo kru`nice, mo`emo kao modele koristiti predmete, ~ija je neka strana krug, oko kojih olovkom crtamo kru`nu liniju.
.O
k O · polupre~nik
Kru`nu liniju najlak{e crtamo {estarom. [estar je dvokraka sprava, ~iji se jedan krak zavr{ava iglom ({iqkom), a drugi nekom pisaqkom. Na slici je prikazan {estar i na~in crtawa kru`ne linije. Kru`nu liniju {estarom crtamo ovako: – u ravni crte`a ozna~imo jednu ta~ku, naj~e{}e O, koju nazivamo centar kru`ne linije, – otvorimo {estar (razmaknemo krake), tako da od vrha igle do vrha pisaqke bude odre|ena du`ina du`i, – zabodemo iglu {estara u ozna~eni centar, ta~ku O, –o ko ta~ke O okre}emo {estar, vrh pisaqke ostavqa trag, kru`nu liniju. Kru`nu liniju kra}e nazivamo kru`nica. Na osnovu crtawa mo`e se re}i {ta je kru`nica. Kru`nica je skup ta~aka u ravni, ~ije su sve ta~ke jednako udaqene od jedne ta~ke iste ravni. Tu ta~ku nazivamo centar kru`nice. Kru`nicu, naj~e{}e, ozna~avamo k . Istovremeno sa kru`nicom, nacrtali smo i krug. Krug je deo ravni odre|en kru`nicom, zajedno sa tom kru`nicom. Ozna~avamo ga, naj~e{}e velikim slovom K.
75
5
1.
Na slici su prikazani krug i kru`nica. Ta~ka O je centar kru`nice (i kruga) B k je kru`nica
K O
C
.
r
A k
K je krug Du` OA je polupre~nik (radijus) r Du` BC je pre~nik
Pre~nik je du` odre|ena dvema ta~kama kru`nice i kojoj pripada centar te kru`nice.
2.
Nacrtaj kru`nicu k ~iji je centar ta~ka O, a ta~ka M pripada kru`nici.
O.
3.
Nacrtaj kru`nicu k, ~iji je centar ta~ka O (obele`i je u ravni crte`a), a polupre~nik r = 2 cm.
4.
Nacrtaj kru`nice k 1 i k 2 ~iji su centri ta~ke A i B, a zajedni~ki polupre~nik du` AB.
A.
76
.M
.B
5.
Date su tri ta~ke A, B, C u ravni crte`a. Tim ta~kama odre|ene su tri du`i. Nactaj kru`nice ~iji su centri date ta~ke, a polupre~nici date du`i ({est kru`nica, jer je svaka ta~ka zajedni~ki centar za dve kru`nice).
.C .B
A.
3
UPORE\IVAWE DU@I 1.
Na slici su tri du`i AB, CD i EF. C
B
A
F
E
D
Nacrtane du`i uporedi procenom „od oka”, svake dve, a zatim ih zapi{i po veli~ini. Koristi znake < , = , > . AB <
,
> <
< ,
<
, >
< ,
; >
;
>
>
Ta~nost re{ewa mo`emo proveriti merewem. Lewirom sa skalom (milimetarskim podeqcima) izmerimo du`inu svake du`i. B
A 0
1
2
3
4
C 5
E
D 6
7
8
9
F
10
Izmerili smo da je du`ina du`i AB 45 mm, {to zapisujemo AB= 45 mm, ~itamo: du`ina du`i AB je 45 mm.
Izmeri du`inu du`i CD i EF i zapi{i. Sada mo`emo pisati: CD < AB < EF, jer je CD<AB<EF
77
5
Du`i mo`emo meriti i pomo}u {estara. U otvor {estara „uzmemo” jednu du`, pa rastojawe vrha igle do vrha pisaqke upore|ujemo sa drugim du`ima.
B
A
2.
C
D
E
F
Koje su du`i jednake du`i AB, a koje su mawe ili ve}e od du`i AB? Du`i uporedi {estarom i zapi{i. K
G A
B
D
3.
H
F
C
L
E
AB =
;
AB <
;
AB >
.
Data je du` AB. Nacrtaj du` MN jednaku sa du`i AB, MN = AB.
m N A
B M
Najpre, nacrtamo polupravu Mm, a zatim, {estarom du`inu du`i AB prenesemo na polupravu Mm, pa je MN = AB 4.
78
Nacrtaj du` AB= 48 mm, a zatim du`i jednake du`ine EF= GH=AB.
4
GRAFI^KO NADOVEZIVAWE DU@I Nacrtaj dve jednake du`i, na primer, AB = CD. Koristi {estar i preno{ewe du`i.
A
c
B
Date su dve du`i, na primer AB i EF. Du`i AB i EF nadove`i jednu na drugu.
A
B
F E
Najpre nacrtamo jednu polupravu, na primer Aa, pa na wu prenesemo jednu, a u produ`etku drugu du`.
A
F
B=E
a
Kraj prve i po~etak druge du`i se poklapaju, tj. poklapaju se ta~ke B i E. Du` AF dobijena je grafi~kim nadovezivawem du`i AB i EF. Ka`e se i: grafi~ki smo sabrali dve du`i, tj. AB + EF = AF. 1.
Sli~no se grafi~ki nadovezuju (sabiraju) tri i vi{e du`i. Grafi~ki nadove`i (saberi) tri date du`i AB, CD, EF. Najpre prenesi du` CD. A C
B
D C
E F c
79
61
Merewe MEREWE maSE
Masu tela (predmeta) odre|ujemo merewem na terazijama (vagi) upore|uju}i je sa masom koju smo uzeli za jedinicu mere.
U navedenim primerima masu kutije i lopte merili smo upore|uju}i je sa masom {qiva. Prema polo`aju na terazijama mo`emo re}i: – Masa kutije jednaka je masi dve {qive. – Masa lopte ve}a je od mase dve {qive. Kako je masa {qive (ili nekog drugog predmeta) nepouzdana jedinica mere, qudi su se dogovorili da za jedinicu uzmu masu koju su nazvali kilogram. Jedinica za merewe mase je KILOGRAM. 1 kilogram, kra}e zapisujemo 1 kg. Predmeti vaqkastog oblika, izra|eni od metala mase od 1 kg, 2 kg i dr. nazivaju se tegovi. Kolika je masa tela izmerena na terazijama?
2 kg
1kg
Za merewe predmeta malih masa koristi se jedinica GRAM. 1 gram, kra}e zapisujemo 1 g 1 kg = 1 000 g Za merewe predmeta velikih masa koristi se jedinica TONA. 1 tona, kra}e zapisujemo 1 t 1 t = 1 000 kg
80
[ta zna~i nazna~ena nosivost kamiona na slici?
1.
Izra~unaj: 1) 5 kg + 3 kg =
25 kg + 75 kg =
236 kg + 187 kg =
2) 12 t – 5 t =
87 t + 58 t =
2.
3.
Izra~unaj: 1) 1 kg – 500 g =
1 kg – 850 g =
2) 1 t – 200 kg =
1 t – 750 kg =
1 kg – 325 g =
1 t – 465 kg =
Upi{i ~lan koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 1) 800 g + 1 kg – 2) 650 kg + 1t–
4.
850 t – 264 t =
= 1 kg = 400 g
+ 450 g = 1 kg 1 kg –
= 1 t = 300 kg
= 750 g + 225 kg = 1 t
1t–
= 575 kg
Jedan yak cementa ima masu 50 kg. 1) Koliku masu imaju 2 yaka cementa? 2) Koliko yakova cementa ima u 1 t ?
5.
Jedna tona {e}era, upakovana u yakove po 50 kg, raspodeqena je na 10 jednakih delova i {e}er je dostavqen prodavnicama. 1) Koliko kilograma {e}era je dobila svaka prodavnica? 2) Koliko je yakova {e}era dobila svaka prodavnica?
81
6 2
Od 1 t cementa 250 kg upotrebqeno je za stubove, a 575 kg za betonirawe staze. Koliko je cementa ostalo?
MEREWE ZAPREMINE TE^NOSTI
Zapreminu te~nosti u nekom sudu merimo mawim sudom koji smo uzeli za jedinicu mere. Na primer, zapreminu te~nosti u loncu mo`emo izmeriti zapreminom ~a{e. Ali, kako ~a{a ima razli~itih veli~ina, to mera, na primer, zapremina te~nosti je 3 ~a{e, ne bi nam ni{ta odre|eno kazala kolika je to zapremina te~nosti. Qudi su se dogovorili da za jedinicu zapremine te~nosti uzmu jedinicu koja je nazvana litar. JEDAN LITAR, kra}e 1 l Zapremina te~nosti od 1 l je te~nost koja ispuni kocku ~ije su ivice 1 dm.
1 dm 1 dm
82
1 dm
1l
Jedinice za merewe te~nosti mawe od litra su: decilitar, 1 dl – deseti deo litra centilitar, 1 cl – stoti deo litra mililitar, 1 ml – hiqaditi deo litra Zna~i, 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml
Jedinica za merewe zapremine te~nosti ve}e od jednog litra je hektolitar. JEDAN HEKTOLITAR, 1 hl = 100 l
1.
2.
Izrazi u litrima: 50 dl =
80 dl =
120 dl =
55 dl =
l 5 dl
72 dl =
275 dl =
Izrazi u mililitrima: 2 dl 3 cl 7 ml = 5 dl 8 ml =
5 dl 3 cl = 7 dl 4 cl 5 ml =
83
6
3.
4.
Izrazi u hektolitrima i litrima: 150 l =
420 l =
750 l =
384 l =
Uporedi mere zapremine te~nosti, u svaki kvadrati} upi{i jedan od znakova: <, = ili > . 4l 7 cl
5.
35 dl
8 l
80 dl 20 l
85 ml
45 cl
200 dl
2 hl
l
dl =
l
dl
U svaku kesu pakovano je po pola litra mleka. Koliko mleka ima: 1) u 50 kesa; 2) u 25 kesa?
MEREWE VREMENA Neke jedinice mera za vreme su ti poznate, na primer, dan.
Mawe jedinice mera za vreme su: JEDAN ^AS, 1 h JEDAN MINUT, 1 min Jedan dan (dan i no}) ima 24 ~asa, a jedan ~as ima 60 minuta. 1 dan = 24 h 1 h = 60 min
84
2 l 7 dl + 1 l 5 dl
3
185 l
U jednoj boci ima 2 l 7 dl mleka a u drugoj 1 l 5 dl. Koliko ima ukupno mleka? Treba sabrati vi{eimene brojeve: 2 l 7 dl + 1 l 5 dl =
6.
5 dl
1.
Kako se naziva sprava kojom merimo vreme u toku dana? Odredi vreme koje pokazuju ~asovnici: 1) do podne; 10
11 12 1
10
2
9
3
8
7
6
5
4
11 12 1
8
10
2
9
3 7
6
5
4
11 12 1
8
10
2
9
3 7
6
5
4
11 12 1
2
9 8
3 7
6
5
4
2) po podne; 10
11 12 1
9
10
2 3
8
7
6
5
4
11 12 1
9 8
10
2 3
7
6
5
4
2.
Koliko minuta traje jedan {kolski ~as?
3.
Koliko ~asova ima:
11 12 1
9 8
10
2 3
7
6
5
4
11 12 1
2
9 8
3 7
6
5
4
1) jedna ~etvrtina dana; 2) jedna polovina dana?
Ve}e jedinice mera za vreme su sedmica (nedeqa), mesec i godina.
85
6
Godina je vreme za koje se Zemqa jedanput okrene oko Sunca. Godina ima 12 meseci.
Sunce
4.
5.
Imenuj mesece u godini i za svaki zapi{i koliko ima dana. III
,
dan
VII
,
dana
V
,
dan
I
,
dana
IX
,
dan
XI
,
dana
Kako se naziva godina u kojoj februar ima: 1) 28 dana; 2) 29 dana? 3) Koja je godina po redosledu prestupna? 4) Dve hiqade ~etvrta godina bila je prestupna. Koje su dve slede}e godine prestupne?
6.
Koliko dana ima godina prosta, a koliko prestupna? 1) Zapi{i broj dana po mesecima i saberi; 2) K oliko meseci ima po 30 dana, a koliko po 31 dan?
7.
Koliko dana imaju dve godine: 1) ako su obe proste; 2) ako je jedna prestupna?
86
8.
Jovan je ro|en 15. aprila, a Mira 11. oktobra iste godine. Ko je stariji i za koliko dana?
9.
U toku smene u~enici su imali 5 ~asova, jedan odmor od 5 minuta, dva odmora po 10 minuta i jedan odmor od pola ~asa. Nastava je po~ela u 8 h. U koliko ~asova je zavr{en peti ~as?
Ve}a jedinica mere za vreme od godine je vek. JEDAN VEK = 100 godina
10.
Koliko godina ima: 2 veka =
godina
7 vekova =
godina
11.
Raseqavawe Slovena iz stare postojbine trajalo je od IV do VII veka. Od koje do koje godine je trajalo naseqavawe Ju`nih Slovena u krajeve u kojima `ivimo?
12.
Koliko vekova i godina ima u: 750 god. =
god.
358 god. =
god.
87
71
Mno`ewe i deqewe MNO@EWE I DEQEWE
Znamo, da zbir jednakih sabiraka kra}e zapisujemo kao proizvod.
8+8+8+8+8+8=6·8=
10 + 10 + 10 + 10 = 4 ·
=
100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 7 · 100 = 1. ~inilac 2. ~inilac proizvod
6 · 8 = 48
proizvod
1.
2.
Izra~unaj: 3·8=
7·6=
4·9=
5·7=
8·9=
9·7=
Izra~unaj proizvod ako su ~inioci: 9 i 6; 4 i 12;
14 i 7.
Ako je 6 · 8 = 48, onda je 48 : 6 = 8 i 48 : 8 = 6. deqenik delilac koli~nik
48 : 6 = 8
koli~nik
88
6 · 8 = 48 48 : 6 = 8 3.
4.
48 : 8 = 6
Izra~unaj : 48 : 8 =
42 : 6 =
63 : 9 =
28 : 4 =
40 : 5 =
49 : 7 =
Izra~unaj koli~nik ako je: 1) deqenik 64, delilac 8, 2) deqenik 72, delilac 6,
5.
6.
7.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (2 + 5) · 6 =
·
=
;
(9 – 4) · 8 =
·
=
.
2) (22 – 7) · 7 =
;
(17 + 8) · 4 =
.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (22 + 5) : 3 =
:
=
;
(76 – 4) : 9 =
·
=
.
2) (24 + 25) : 7 =
;
(105 – 9) : 4 =
.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (28 : 4) · 6 =
·
=
;
(36 : 9) · 8 =
·
=
.
2) (18 · 5) : 10 = (12 · 3) : 9 =
; .
89
7
8.
Za koliko se pove}a proizvod 6 · 7, ako: 1) ako prvi ~inilac pove}amo za 2; 2) ako drugi ~inilac pove}amo za 2?
2
MNO@EWE BROJEM 10 I BROJEM 100
1.
Izra~unaj: 10 · 2 =
5 · 10 =
10 · 3 =
6 · 10 =
10 · 8 =
7 · 10 =
10 · 9 =
4 · 10 =
10 · 10 =
Sli~no mno`imo i dvocifrene brojeve sa 10. 46 · 10 = 46 · 1 D = 46 D = 460 75 · 10 = 75 · 1 D = 75 D = 750, itd. Broj mno`imo sa 10 tako {to mu sa desne strane dopi{emo nulu.
2.
Izra~unaj proizvod: 17 · 10 =
42 · 10 =
76 · 10 =
34 · 10 =
80 · 10 =
58 · 10 =
Proizvod jednocifrenog broja i 100 je, na primer:
7 · 100 = 7 · 1 S = 7 S = 700 10 · 100 = 10 · 1 S = 10 S = 200 2 · 100 = 2 · 1 S = 2 S = 200 5 · 100 = 5 · 1 S = 5 S = 500 Broj mno`imo sa 100 tako {to mu sa desne strane dopi{emo dve nule.
90
3.
4.
Izra~unaj proizvod: 3 ·100 =
5 · 100 =
9 · 100 =
4 · 100 =
6 · 100 =
8 · 100 =
Popuni tabelu.
·
83
65
12
47
39
25
70
51
94
86
10
5.
U svakoj kutuji je po 10 konzervi. Koliko je konzervi: 1) u 18 kutija; 2) u 45 kutija?
6.
7.
8.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (58 + 34) · 10 =
·
=
;
(35 – 17) · 10 =
·
=
.
2) (46 + 25) · 10 =
;
(83 – 58) · 10 =
.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (6 · 7) · 10 =
·
=
;
(3 · 9) · 10 =
·
=
.
2) (6 · 8) · 10 =
;
(6 · 5) · 10 =
.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (9 – 4) · 100 = (359 – 352) · 100 = 2) (6 + 3) · 100 = (83 – 76) · 100 =
·
= ·
; =
. ; .
91
7
9.
10.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (2 · 3) · 100 =
·
=
;
(4 · 2) · 100 =
·
=
.
2) (3 · 3) · 100 =
;
(2 · 5) · 100 =
.
U svakom kavezu je po 100 pili}a. Koliko je pili}a: 1) u 5 kaveza; 2) u 7 kaveza?
3
DEQEWE BROJEM 10 I BROJEM 100
1.
Izra~unaj: 20 : 10 =
40 : 10 =
30 : 10 =
50 : 10 =
80 : 10 =
60 : 10 =
90 : 10 =
70 : 10 =
100 : 10 =
Sli~no delimo i trocifrene brojeve sa 10. 46 · 10 = 460, onda je 460 : 10 = 46. 75 · 10 = 750, onda je 750 : 10 = 75, itd. Broj koji se zavr{ava nulom delimo sa 10 tako {to mu sa desne strane obri{emo nulu. 2.
Izra~unaj koli~nik: 570 : 10 =
460 : 10 =
620 : 10 =
940 : 10 =
780 : 10 =
1 000 : 10 =
Koli~nik vi{estruke stotine i 100 je, na primer: 400 : 100 = 4, jer je 100 · 4 = 400 700 : 100 = 7, jer je 100 · 7 = 700, itd.
92
Broj koji se zavr{ava sa dve nule delimo sa 100 tako {to mu sa desne strane obri{emo dve nule.
3.
4.
Izra~unaj koli~nik: 300 : 100 =
600 : 100 =
800 : 100 =
500 : 100 =
900 : 100 =
1 000 : 100 =
Popuni tabelu.
:
280
750
120
430
390
840
570
910
690
700
10
5.
Koliko sedi{ta ima svaki od 10 jednakih autobusa, ako su svi zajedno prevezli: 1) 480 u~enika;
2) 550 u~enika?
6.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (158 + 32) : 10 =
:
=
;
(357 – 17) : 10 =
:
=
.
2) (465 + 125) : 10 =
;
(832 – 502) : 10 =
.
3) (397 + 103) : 100 =
;
(856 – 356) : 100 = 7.
:
=
.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) (68 · 10) : 10 =
;
(100 · 5) : 10 =
.
2) (3 · 300) : 100 = (400 · 2) : 100 =
; :
=
.
93
7
8.
U svakom kavezu je po 100 pili}a. U koliko kaveza se mo`e smestiti: 1) 500 pili}a; 2) 700 pili}a?
9.
Na svakih 100 m dalekovoda du`ine 1 km postavqen je po jedan stub. Izme|u svaka dva stuba zasa|eno je po 10 vo}aka. 1) K oliko je postavqeno stubova? 2) K oliko je zasa|eno vo}aka?
4
ZAMENA MESTA ^INILACA. ZDRU@IVAWE ^INILACA Za mno`ewe do 100, zamenu mesta ~inilaca upoznali smo u drugom razredu. Na primer, ako imamo `etone raspore|ene u 4 reda po 5 `etona, kao na slici,
4 · 5,tj. 4 reda po 5 `etona
5 · 4,tj. 5 kolona po 4 `etona
U oba slu~aja razmatrali smo isti skup, pa je 4 • 5 = 5 • 4. Sli~no bi bilo ako bi po a `etona rasporedili u b redova, odnosno, po b `etona u a kolona. 1 2
· · ·
b
2
3
··· ···
a
b · a, tj. b redova po a `etona
···
a · b, tj. a kolona po b `etona
94
U oba slu~aja razmatrali smo isti skup, pa je a • b = b • a. Ako ~inioci uzajamno zamene svoja mesta proizvod se ne}e promeniti.
1.
Upi{i ~inilac koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 8·6=6·
2.
4·7=
· 4
5·
· 7 = 7 · 9
3·x=
· 3
a·x=x·
=9·5
Odredi vrednost promenqive ako je: 1) 3 · b = 4 · 3 b=
2) a · 7 = 7 · 5
a=
Za mno`ewe do 100, zdru`ivawe ~inilaca upoznali smo u drugom razredu. Na primer, ako imamo kockice raspore|ene u 4 reda po 5 kockica, kao na slici. 3
5
5 4
4
Kockice su raspore|ene u 3 sloja po 4 · 5 kockica, tj. (4 · 5) · 3 kockica 3
3
5
5 4
Kockice su raspore|ene u 4 bloka po 5 · 3 kockica, tj. 4 · (5 · 3) kockica U oba slu~aja razmatrali smo isti skup kockica, pa je (4 · 5) · 3 = 4 · (5 · 3).
95
7
^inioci mogu biti bilo koja tri broja, pa svojstvo proizvoda koje nazivamo ZDRU@IVAWE ^INILACA zapisujemo (a · b) · c = a · (b · c) Vrednost proizvoda se ne mewa ako ~inioce zdru`imo.
3.
Izra~unaj proizvod: 1) 2 · 3 · 4 =
2) 7 · 2 · 4 =
3) 5 · 3 · 4 =
5
(2 · 3) · 4 =
·
=
2 · (3 · 4) =
·
=
(7 · 2) · 4 =
·
=
7 · (2 · 4) =
·
=
(5 · 3) · 4 =
·
=
5 · (3 · 4) =
·
=
MNO@EWE I DEQEWE ZBIRA
Mno`ewe zbira, za primer do 100, upoznali smo u drugom razredu. Na primer, mno`ewe zbira (5 + 3) • 4 mo`emo prikazati grafi~ki kao na slici. + +
(5 + 3) · 4, tj. 4 reda po 5 + 3 `etona
+ +
5·4
+
3·4
tj. 5 kolone po 4 `etona i 3 kolone po 4 `etona. U oba slu~aja razmatrali smo isti skup `etona, pa je (5 + 3) · 4 = 5 · 4 + 3 · 4.
96
Sabirci i ~inilac mogu biti bilo koja tri broja, pa svojstvo koje nazivamo MNO@EWE ZBIRA zapisujemo (a + b) · c = a · c + b · c. Zbir mno`imo brojem tako {to pomno`imo svaki sabirak tim brojem, pa dobijene proizvode saberemo. 4.
Upi{i broj koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 1) (3 + 8) · 4 = 3 · 4 + 8 ·
(7 + 2) · 5 =
) · 10 = 12 · 10 + 7 · 10
2) (12 + 5.
(a +
·5+7·5
)·7=a·7+x·7
Izra~unaj: 17 · 5 = (10 + 7) · 5 = 10 · 5 + 7 · 5 = 18 · 8 = (10 + 8) · 8 =
·8+
+ ·
= =
+
=
16 · 9 = (10 + 6) · 9 = 120 · 3 = (100 + 20) · 3 = 100 · 3 + 20 · 45 = (10 + 10) · 45 =
·
·
= +
+
=
·
=
Deqewe zbira, za primer do 100, upoznali smo u drugom razredu. Na primer, mno`ewe zbira (20 + 12) : 4 mo`emo prikazati grafi~ki kao na slici. 20 + 12
20
+
(20 + 12): 4
12
20 : 4
+
12 : 4
U oba slu~aja smo razmatrali ~etvrtinu istog skupa pa je (20 + 12) : 4 = 20 : 4 + 12 + 4. Sabirci i delilac mogu biti bilo koja tri broja, pod uslovom da je svaki sabirak deqiv datim deliocem, pa svojstvo koje nazivamo DEQEWE ZBIRA zapisujemo (a + b) : c = a : c + b : c Zbir delimo brojem tako {to podelimo svaki sabirak tim brojem, pa dobijene koli~nike saberemo.
97
7
6.
Upi{i broj koji nedostaje da jednakost bude ta~na: 1) (45 +20) : 5 = 45 : 4 + 20 :
(40 + 56) : 8 =
) : 10 = 120 : 10 + 70 : 10,
2) (120 + 7.
,
: 8 + 56 : 8
) : 7 = a : 7 + x : 7.
(a +
Izra~unaj: 170 : 5 = (100 + 70) : 5 =100 : 5 + 70 : 5 = 128 : 8 = (80 + 48) : 8 =
:8+
+ :
=
=
+
=
135 : 9 = (90 + 45) : 9 = 108 : 6 = (60 + 48) : 6 =
:
+
:
=
+
=
168 : 7 = (70 + 70 + 28) : 7 =
6
MNO@EWE VI[ESTRUKE DESETICE JEDNOCIFRENIM BROJEM
1.
Vi{estruku deseticu napi{i kao proizvod broja 10 i jednocifrenog broja: 60 = 10 · 6,
30 =
· 10,
50 =
·
,
40 =
,
80 =
,
20 =
,
70 =
,
90 =
,
60 =
.
Vi{estruku deseticu najpre napi{emo kao proizvod jednocifrenog broja i 10. 4 · 60 = 4 · (6 · 10), udru`imo prvi i drugi ~inilac 4 · 60 = (4 · 6) · 10 = 24 · 10 = 240. Zna~i, jednocifrenim brojem pomno`ili smo cifru desetica, pa tom proizvodu dopisali zdesna jednu nulu.
2.
Izra~unaj proizvod sa zapisivawem postupka ra~unawa: 7 · 80 = 3 · 30 =
98
·
(
·
)=(
·
)·
=
·
=
Postupak mno`ewa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem jednocifrenog ~inioca i desetica dvocifrenog broja. 7 • 50 = 350 Ra~unamo: – prvo, 7 • 5 = 35 – drugo, dopisujem nulu zdesna. 3.
7
Izra~unaj skra}enim zapisivawem: 9 · 20 =
5 · 70 =
8 · 40 =
7 · 90 =
MNO@EWE DVOCIFRENOG BROJA JEDNOCIFRENIM Svaki dvocifreni broj mo`e se zapisati kao zbir vi{estrukih desetica i jedinica, na primer: 63 = 60 + 3 = 6 · 10 + 3. 1.
Dvocifreni broj zapi{i kao zbir vi{estrukih desetica i jedinica: 75 =
56 =
48 =
98 =
7 · 48 = 7 · (40 + 8) = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = Proizvod jednocifrenog i dvocifrenog broja izra~unavamo tako {to dvocifreni broj najpre napi{emo kao zbir vi{estrukih desetica i jedinica pa taj zbir pomno`imo jednocifrenim brojem. Najpre mno`imo desetice.
2.
Izra~unaj proizvod sa zapisivawem postupka ra~unawa: 6 · 58 =
·
(
+
) = =
· +
+
·
=
=
4 · 97 = =
99
7
Postupak mno`ewa mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem. 7 · 48 = 280 + 56 = 3.
Izra~unaj skra}enim zapisivawem: 6 · 43 =
5 · 75 =
8 · 39 =
9 · 56 =
Prilikom pismenog mno`ewa najpre mno`imo jedinice. ^inioce i proizvod mo`emo pisati u tabeli, na primer: D
J
7
8
.6=
S
D
4 –p rvo, 6 puta 8 je 48; 8 jedinica zapisujemo, a desetice dodajemo deseticama, – drugo, 6 puta 7 je 42 i 4 je 46.
J
2
8
6
8 kra}e, 78 · 6 = 468
Izra~unaj proizvod: 4.
69 · 2 =
4 · 84 =
75 · 3 =
48 · 7 =
54 · 8 =
67 · 9 =
62 · 6 =
37 · 5 =
95 · 7 =
Izra~unaj, najpre udru`i ~inioce: 5.
68 · 2 · 3 =
96 · 4 · 2 =
57 · 3 · 3 =
100
(
· ·
(
(
· ·
(
(
· ·
(
)· ·
)· ·
)· ·
=
)= =
)= =
)=
8
6.
Svaki od 5 autobusa ima po 45 sedi{ta. Koliko najvi{e putnika mogu da prevezu ti autobusi?
7.
Izra~unaj proizvod najve}eg dvocifrenog i najve}eg jednocifrenog broja.
8.
Cena vo}a je 65 dinara. Koliko treba platiti 7 kg tog vo}a?
9.
U jednom kamionu ima 6 sanduka po 84 kg, a u drugom 500 kg tereta. U kom kamionu ima vi{e robe?
10.
Jovan je kupio 7 kg jabuka po 42 dinara, a Ana 6 kg po 48 dinara. Ko je vi{e platio?
DEQEWE DVOCIFRENOG BROJA JEDNOCIFRENIM
Za brojeve koje smo dobili mno`ewem broja 6 nekim prirodnim brojem, na primer, 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6, 4 · 6, 5 · 6, 6 · 6, 7 · 6, 8 · 6, 9 · 6, … , a · 6, ka`emo da su deqivi brojem 6, jer ako je 7 · 6 = 42, onda je 42 : 6 = 7 8 · 6 = 48, onda je 48 : 6 = 8 [ta je sa vrednostima broja x, 42 < x < 48,
{
}
x∈ , , , , , upi{i ~lanove skupa, da li su i ti brojevi deqivi sa 6? Ne, jer, na primer, 45 : 6 = 7 i ostaje 3, tj. 45 = 6 · 7 + 3. Za ovakve primere ka`emo da je to DEQEWE SA OSTATKOM.
101
7
Uradi ostale primere, odredi ostatak i napi{i ta~nu jednakost: 43 : 6 =
, tj. 43 =
;
44 : 6 =
, tj. 44 =
;
46 : 6 =
, tj. 46 =
;
47 : 6 = , tj. 47 = . Ako je delilac 6, onda je ostatak mawi od 6, tj. ostatak }e uvek biti mawi od delioca. 1.
Podeli, odredi ostatak i napi{i ta~nu jednakost ~emu je jednak deqenik: 53 : 8 =
, tj. 53 =
;
35 : 4 =
, tj. 35 =
;
58 : 7 =
, tj. 58 =
.
Ako treba da podelimo dvocifreni broj jednocifrenim, na primer, 75 : 5 deqenik, najpre rastavimo na dva sabirka od kojih je prvi vi{estruka desetica deqiva sa 5: 75 : 5 = (50 + 25) : 5 = 50 : 5 + 25 : 5 = 10 + 5 = 15. Po{to je i drugi sabirak, 25 deqiv sa 5, to je i 75 deqiv sa 5, tj. ostatak je 0. Podeli: 72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 84 : 3 = (60 + 24) : 3 = 91 : 7 = 96 : 8 = 92 : 4 = Pri pismenom deqewu deqenik, delilac i koli~nik mo`emo pisati u tabele, na primer, D J D J 9
2
:4=
2
.
–8 1 1
2
–1
2 0
102
. .
3
–p rvo, 9 podeqeno sa 4 (ili 4 u 9) je 2; zapisujemo 2 u koli~niku; – drugo, 2 puta 4 je 8; oduzimamo 8 od 9, ostaje 1; – t re}e, dopisujemo cifru 2; 4 u 12 je 3, zapisujemo cifru 3 u koli~niku; – ~etvrto, 3 puta 4 je 12; oduzimamo 12 od 12, ostaje 0.
kra}e, 92 : 4 = 23 –8 12 – 12 0
Ovo je primer deqewa bez ostatka, tj. 92 je deqiv sa 4. 3.
4.
Izra~unaj koli~nik: 58 : 2 =
76 : 4 =
75 : 3 =
84 : 7 =
95 : 5 =
87 : 3 =
84 : 6 =
85 : 5 =
96 : 4 =
Izra~unaj: 96 : (4 : 2) = 96 : 2 =
84 : (6 : 2) =
81 : (9 : 3) =
5.
,
:3=
(96 : 6) : 2 =
:2=
(84 : 6) : 2 =
(81 : 9) : 3 =
Devedeset pet jabuka treba zapakovati u 5 kesa sa jednakim brojem jabuka. Koliko je jabuka u svakoj kesi?
103
7
6.
Izra~unaj koli~nik najve}eg dvocifrenog i najve}eg jednocifrenog broja.
7.
Za 7 olovaka pla}eno je 98 dinara. Kolika je cena olovke?
8.
Cena kwige je 84 dinara, a gumice 6 dinara. Koliko puta je kwiga skupqa od gumice?
9.
Aca je kupio 3 sveske za 75 dinara i 4 sveske za 92 dinara. Koja vrsta svezaka (prva ili druga) ima ve}u cenu i za koliko?
9
MNO@EWE TROCIFRENOG BROJA JEDNOCIFRENIM
Svaki trocifreni broj mo`e se zapisati kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedinica, na primer, 485 = 400 + 80 + 5 1.
Trocifreni broj napi{i kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedinica: 358 =
527 =
164 =
496 =
Proizvod jednocifrenog i trocifrenog broja izra~unavamo tako {to trocifreni broj najpre napi{emo kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedinica, pa zatim mno`imo svaki sabirak, na primer: +3·
3 · 274 = 3 · (200 + 70 + 4) = 3 · = 600 + 210 + 12 =
+3·
.
Najpre pomno`imo stotine, zatim desetice, pa jedinice.
104
=
2.
Izra~unaj proizvod sa zapisivawem postupka ra~unawa: 1) 3 · 265 = 3 ·
(
+
=
·
=
+
)=
+ +
·
+
+
·
=
=
2) 4 · 186 = = = Postupak mo`emo kra}e zapisivati podvla~ewem (prvo mno`imo stotine). 5 · 187 = 500 + 400 + 35 = 3.
Izra~unaj proizvod skra}enim zapisivawem postupka ra~unawa: 5 · 175 =
+
+
=
8 · 123 = Prilikom pismenog mno`ewa najpre mno`imo jedinice. ^inioce i proizvod mo`emo pisati u tablici, na primer: S
D
J
2
3
8
.4=
S
D
8
2
2
9
5
2
–p rvo, 4 puta 8 je 32; 2 jedinice zapisujemo, a 3 desetice dodajemo deseticama, – drugo, 4 puta 3 je 12 i 3 je 15 desetica; 5 desetica zapisujemo, a 1 stotinu dodajemo stotinama, – tre}e, 4 puta 2 je 8 i 1 je 9 stotina. 4.
J
kra}e, 238 · 4 = 952
Izra~unaj proizvod: 297 · 3 =
167 · 5 =
158 · 6 =
165 · 4 =
119 + 8 =
276 · 3 =
105
7
5.
Izra~unaj, najpre udru`i ~inioce: 154 · 2 · 3 = 117 · 4 · 2 =
( (
·
(
·
·
)·
· ·
)·
(
·
=
)= =
)=
6.
Kompozicija voza sastoji se od lokomotive i 7 vagona. Svaki vagon ima 136 sedi{ta. Sva su sedi{ta zauzeta. Koliko je putnika u tom vozu?
7.
Jovana je kupila 5 svezaka po 128 dinara i 8 svezaka po 36 dinara. Koliko je platila sveske?
10 1.
DEQEWE STOTINA I VI[ESTRUKIH DESETICA JEDNOCIFRENIM BROJEM
Izra~una}emo: 200 : 2 = 2 S : 2 = 1 S = 100 Izra~unaj: 400 : 2 =
600 : 2 =
800 : 2 =
1 000 : 2 =
Tako|e, znamo iz drugog razreda da je 100 : 2 = 50.
2.
Kako izra~unati koli~nik, na primer, 500 : 2? Deqenik, najpre rastavimo na dva sabirka, podesna za deqewe sa 2. 500 : 2 = (400 + 100) : 2 = 400 : 2 + 100 : 2 = Izra~unaj: 300 : 2 = (200 + 100) : 2 = 700 : 2 = 900 : 2 =
106
+
=
3.
Samo vi{estruke stotine 300, 600 i 900 su deqive sa 3. Izra~unaj: 300 : 3 =
4.
900 : 3 =
Znamo da je 100 : 4 = 25. Izra~unaj: 200 : 4 =
5.
600 : 3 =
300 : 4 =
Kako izra~unati koli~nik, na primer, 500 : 4? Deqenik, najpre rastavimo na dva sabirka, podesna za deqewe sa 4. 500 : 4 = (400 + 100) : 4 = 400 : 4 + 100 : 4 = Izra~unaj:
+
=
600 : 4 = (400 + 200) : 4 = 700 : 4 = 900 : 4 = 1 000 : 4 = (800 + 200) : 4 =
6.
Znamo da je 100 : 5 = 20. Izra~unaj: 200 : 5 =
300 : 5 =
400 : 5 =
700 : 5 = (500 + 200) : 5 = 7.
8.
Ako je deqenik vi{estruka desetica bi}e: 120 : 4 = 12 D : 4 = 3 D = 30 Izra~unaj: 210 : 7 =
320 : 8 =
450 : 9 =
420 : 6 =
240 : 3 =
350 : 5 =
Kako izra~unati koli~nik, na primer, 760 : 4? Deqenik, najpre rastavimo na dva sabirka, podesna za deqewe sa 4. 760 : 4 = (400 + 360) : 4 = 400 : 4 + 360 : 4 =
+
=
Izra~unaj: 750 : 5 = (500 + 250) : 5 = 840 : 3 = (600 + 240) : 3 =
107
7
910 : 7 = (700 + 210) : 7 = 840 : 6 = (600 + 240) : 6 = 960 : 8 = (800 + 160) : 8 = 9.
Roba mase od 720 kg zapakovana je u 6 jednakih kontejnera (sanduka). Koliko je robe u svakom kontejneru?
10.
Du`ina dalekovoda je 720 m. Dalekovod ima sedam stubova postavqenih na jednakom rastojawu izme|u svaka dva uzastopna stuba. Koliko je rastojawe dva uzastopna stuba? Pazi, stub je i na po~etku i na kraju dalekovoda.
11.
Daska du`ine 480 cm, pomo}u tri reza testerom, podeqena je na jednake delove. Kolika je du`ina svakog dela?
11
DEQEWE TROCIFRENOG BROJA JEDNOCIFRENIM
Ako treba da podelimo trocifreni broj jednocifrenim, na primer,
675 : 5,
deqenik, najpre rastavimo na sabirke, podesne za usmeno deqewe sa 5.
1.
675 : 5 = (500 + 150 + 25) : 5 = 500 : 5 + 150 : 5 + 25 : 5 = = 100 + 30 + 5 = 135
Izra~unaj koli~nik: 746 : 6 = (600 + 120 + 24) : 6 = 537 : 3 = (300 + 210 +
108
):3=
868 : 7 = (700 + 992 : 8 =
(
+ 28) : 7 = +
+ 32) : 8 =
756 : 4 = Pri pismenom deqewu deqenik, delilac i koli~nik mo`emo pisati u tablice, na primer: S
D
J
S
D
J
6
7
2
1
6
8
– prvo, 6 podeqeno sa 4 (ili 4 u 6) je 1; zapisujemo 1 u koli~niku; – drugo, 1 puta 4 je 4; oduzimamo 4 od 6, ostaje 2; – tre}e, dopisujemo cifru desetica 7; 4 u 27 je 6, zapisujemo cifru 6 u koli~niku; – ~etvrto, 6 puta 4 je 24; oduzimamo 24 od 27, ostaje 3; – peto, dopisujemo cifru jedinice 2; 4 u 32 je 8, zapisujemo cifru 8 u koli~niku; – { esto, 8 puta 4 je 32, oduzimamo 32 od 32, ostaje 0.
kra}e,
:4= .
– 4 2
7
– 2
4
.
3
2
– 3
2
.
0
2) 576 : 6 = 96 – 54 36 – 36 0
3)
1)
672 : 4 = 168 –4 27 – 24 32 – 32 0
728 : 5 = 145 i ostaje 3 –5 22 – 20 28 – 25 3
Primer 3) je deqewe sa ostatkom, zna~i, 728 = 5 · 145 + 3.
109
7
2.
3.
110
Izra~unaj koli~nik: 738 : 2 =
936 : 4 =
537 : 3 =
875 : 7 =
688 : 8 =
936 : 9 =
828 : 6 =
785 : 5 =
537 : 4 =
Izra~unaj: 936 : (4 : 2) =
(936 : 4) : 2 =
(912 : 6) : 2 =
912 : (6 : 2) =
999 : (9 : 3) =
(999 : 9) : 3 =
4.
Svakog dana kow pojede 8 kg sena. Za koliko dana }e kow pojesti 760 kg?
5.
Za jednu sedmicu kuhiwa je potro{ila 756 kg povr}a. Svakog dana tro{ena je jednaka koli~ina povr}a. Koliko je povr}a tro{eno dnevno?
6.
U fabrici je u toku 6 radnih dana proizvedeno ukupno 834 para obu}e. Koliko pari obu}e proizvodi fabrika dnevno?
12
ZAVISNOST PROIZVODA OD ^INILACA. STALNOST PROIZVODA Izra~unaj proizvod: 72 · 3 =
.
Ako jedan ~inilac pove}amo 2 puta, da li se i proizvod pove}a 2 puta? Izra~unaj i uporedi: 72 · (3 · 2) =
,
(72 · 3) · 2 =
.
Jednakost navedenih izraza imamo na osnovu svojstva udru`ivawa ~inilaca, 72 · (3 · 2) = (72 ·3) · 2.
Ako se jedan ~inilac pove}a 2, 3, … puta, onda se i proizvod pove}a isto toliko puta.
Izra~unaj proizvod 48 · 6 = . Ako jedan ~inilac smawimo 2 puta, da li se i proizvod smawi 2 puta? Izra~unaj i uporedi: (48 : 2) · 6 =
, (48 · 6) : 2 =
,
48 · (6 : 2) =
, (48 · 6) : 2 =
.
Ako se jedan ~inilac smawi 2, 3, … puta, onda se i proizvod smawi isto toliko puta.
1.
Popuni tablice. 72 · 3 ·2 144 · 3
48 · 6 ·2
:3
:3
16 · 6
111
7
[ta }e biti sa proizvodom, na primer, 8 · 6 ako jedan ~inilac pove}amo 2, 3, … puta, a drugi smawimo isto toliko puta? (8 : 2) · (6 · 2) = 4 · 12 = 4 · 2 · 6 = 8 · 6
Ako jedan ~inilac pove}amo dva puta, a drugi smawimo dva puta, proizvod se ne}e promeniti.
2.
Popuni tabele. 72 · 8
9 · 36
:4
:3 ·3
·4
__ · __
__ · __
Mo`emo i ovako razmi{qati: – Ako jedan ~inilac pove}amo 3 puta, proizvod }e se pove}ati 3 puta, a ako drugi ~inilac, istovremeno, smawimo 3 puta, proizvod }e se smawiti 3 puta. (a · 3) · (b : 3) = (a · b) · 3 : 3 = (a · b) · 1 = a · b
Ako jedan ~inilac pomno`imo nekim brojem, a drugi podelimo istim brojem, onda se proizvod ne}e promeniti.
3.
Izra~unaj proizvod 48 · 8 = (48 · 2) · (8 : 2) = (48 · 4) · (8 : 4) = (48 · 8) · (8 : 8) =
112
, a zatim izra~unaj vrednost izraza:
13 1.
VEZA MNO@EWA I DEQEWA. JEDNAKOST
Na slici su prikazani `etoni (kru`i}i) u 6 redova po 7 kru`i}a ili u 7 kolona po 6 kru`i}a.
42 : 6 = 7 6 · 7 = 42
42 : 7 = 6
7 · 6 = 42
Ukupan broj kru`i}a ra~unamo: 6 redova po 7 kru`i}a ili 7 kolona po 6 kru`i}a, tj. 6 · 7 = 42 ili 7 · 6 = 42. Broj kru`i}a u jednom redu je ukupan broj podeqen sa brojem redova, tj. 42 : 6 = 7, a broj kru`i}a u jednoj koloni je ukupan broj podeqen brojem kolona, tj. 42 : 7 = 6, Pomo}u brojeva 6, 7 i 42 i znaka · ili : napisali smo ~etiri ta~ne jednakosti: 6 · 7 = 42, 7 · 6 = 42, 42 : 6 = 7, 42 : 7 = 6. 2.
3.
Data su dva broja – 8 i 4, odredi tre}i broj (dva cifre) pomo}u kojih mo`e{ napisati ~etiri, odnosno osam ta~nih jednakosti:
U prvom zadatku razmatrali smo odre|eni broj `etona. Broj `etona mo`e biti proizvoqan, a, b, c, ali povezan ta~nom jednako{}u a = b · c.
113
7
Mo`emo napisati slede}e jednakosti: b · c = a 1. ~inilac (b) · 2. ~inilac (c) = proizvod (a) a : b = c
deqenik (a) : delilac (b) = koli~nik (c)
a : c = b
deqenik (a) : delilac (c) = koli~nik (b)
Napisane jednakosti nam pokazuju vezu izme|u mno`ewa i deqewa. 1) Veza prve i druge jednakosti, b · c = a i a : b = c daje: ako je b · c = a, onda je a : b = c; veza prve i tre}e jednakosti, b · c = a i a : c = b, daje: ako je b · c = a, onda je a : c = b. Ako proizvod podelimo jednim ~iniocem, onda dobijemo drugi. Upi{i brojeve koji nedostaju i proveri ta~nost jednakosti: Ako je 9 · 7 =
, onda je 63 : 9 =
,
63 : 7 =
.
2) Veza druge i prve jednakosti, a : b = c i b · c = a, daje ako je a : b = c, onda je b · c = a. Ako pomno`imo koli~nik i delilac, dobijemo deqenik. Upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti; Ako je 623 : 7 =
, onda je 89 · 7 =
,
Ako je 822 : 6 =
, onda je 137 · 6 =
.
3) Veza druge i tre}e jednakosti, a : b = c i a : c = b, daje: ako je a : b = c, onda je a : c = b. Ako deqenik podelimo koli~nikom, dobijemo delilac. Upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti:
4.
, onda je 80 : 10 =
.
Ako je 70 : 7 =
, onda je 70 : 10 =
.
Dati su brojevi 8, 9 i 72. U svaku ku}icu upi{i jedan od datih brojeva, tako da jednakost bude ta~na: =8· =
114
Ako je 80 : 8 =
: 9
=9· = 72 : 8
14
JEDNA^INA. IZRA^UNAVAWE NEPOZNATOG ^INIOCA
Ako je u jednakosti b · c = a jedan od ~inilaca nepoznat, obele`imo ga slovom x, tada imamo jedna~ine: x · c = b ili b · x = a. Kako izra~unavamo nepoznati ~inilac? Zapi{i re~ima.
1.
Izra~unaj nepoznati ~inilac: 6 · x = 882 x · 7 = 868 x= x=
:
8 · x = 776
x=
x=
x=
x=
Vrednost nepoznatog ~inioca naziva se RE[EWE JEDNA^INE. Za prvu jedna~inu je x = 147, pa je broj 147 re{ewe te jedna~ine. 2.
Kojim brojem treba pomno`iti: 1) broj 6, pa da se dobije 372;
2) broj 7, pa da se dobije 595?
3.
Jedan ~inilac je 8, drugi ~inilac je nepoznati broj x, a proizvod 752. Koliki je drugi ~inilac? Napi{i jedna~inu i re{i je.
4.
U vo}waku je 9 redova, a u svakom redu po x stabala. Ako broj redova pomno`imo brojem stabala u jednom redu, dobi}emo ukupan broj stabala u vo}waku, 423. Odredi nepoznati broj x.
115
715
JEDNA^INE. IZRA^UNAVAWE NEPOZNATOG DEQENIKA ILI DELIOCA Ako je u jednakosti a : b = c deqenik ili delilac nepoznat obele`i}emo ga slovom x, tada imamo jedna~ine: x : b = c ili a : x = c. Kako izra~unavamo nepoznati deqenik? Zapi{i re~ima. Kako izra~unavamo nepoznati delilac? Zapi{i re~ima.
1.
Izra~unaj nepoznati deqenik: x : 3 = 242 x : 6 = 137 x=
·
Re{ewe prve jedna~ine je 2.
x : 7 = 124
, druge
Koji broj treba podeliti: 1) brojem 4, da bi se dobilo 518;
, tre}e
.
2) brojem 8, da bi se dobilo 116?
3.
Izra~unaj nepoznati delilac: 625 : x = 5 994 : x = 7 x=
·
Re{ewe prve jedna~ine je 4.
, druge
Kojim brojem treba podeliti: 1) 692, pa da se dobije 4;
, tre}e
2) 828, pa da se dobije 6?
116
963 : x = 9
.
5.
Dati su brojevi 252 i 3, i nepoznati broj x. Od datih brojeva sastavi jedna~inu i re{i je: 1) ako je x deqenik; 2) ako je x delilac.
6.
Broj x ka`e: – Ako me smawi{ 3 puta, dobi}e{ 291. Broj y mu odgovori: – Da bih se ja tada izjedna~io s tobom potrebno je da me pove}a{ 3 puta. Napi{i jedna~ine i izra~unaj nepoznate brojeve x i y.
7.
Proizvod brojeva 9 i x jednak je proizvodu brojeva 111 i 6. Izra~unaj nepoznati ~inilac.
8.
Koli~nik brojeva 740 i x jednak je proizvodu brojeva 148 i 5. Izra~unaj nepoznati delilac.
9.
U svakoj od 3 korpe ima jednak broj jabuka. U 3 korpe ima 86 jabuka vi{e nego u jednoj korpi. Koliko je jabuka u svakoj korpi? Poslu`i se slikom. Nacrtaj korpe.
10.
Prazan kamion krenuo je u {umu po drva. U odlasku se kretao brzinom od 60 km na ~as i stigao zo 4 ~asa. U povratku, natovaren, kretao se sporije i vratio se za 5 ~asova. Kojom se brzinom kretao u povratku?
117
81
Ugao UGAO. UO^AVAWE, CRTAWE I OBELE@AVAWE UGLOVA
1.
Upoznali smo prav ugao. Na slici je prikazan jedan prav ugao. Zapi{i:
b
Kako je obele`eno teme ugla? Kako su obele`eni kraci ugla? Ugao }emo obele`avati aOb. O 2.
a
Nacrtaj prave uglove xOy, cCd, eEf, ~iji je jedan krak nacrtan na slici. E
d x
e
O
C
Dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom mogu obrazovati razli~ite uglove i u razli~itom polo`aju. Deo ravni odre|en polupravama Oa i Ob naziva se ugao. b
unutra{wa oblast O
a
Poluprave Oa i Ob nazivamo kracima ugla. Kraci ugla dele ravan na dve oblasti. Oblast izme|u krakova naziva se unutra{wa oblast. Ugao obele`avamo znakom za ugao i slovima kojima su obele`eni kraci i teme ili samo teme ugla. Ugao na slici obele`i}emo aOb ili bOa ili O
118
3.
Nacrtaj i obele`i ugao ~iji je jedan krak dat na slici, a drugi krak prolazi kroz nazna~enu ta~ku.
.
. . .
.
.
4.
Uo~i neke uglove na slici zgrade. Uo~ene uglove obele`i.
5.
Prona|i {est uglova i zapi{i ih kako su obele`eni na slici. c
d
b
O
,
,
,
,
a
119
82
VRSTE UGLOVA
Na slici je raskrsnica. Linije ivi~waka i linije na kolovozu odre|uju neke uglove. Neki uglovi su pravi uglovi, a neki nisu. Olovkom jedne boje ozna~i prave uglove, a drugom bojom uglove koji nisu pravi.
Nacrta}emo uglove sa slike koji nisu pravi i obele`iti ih. y b
x
O
a
A
Ako preko nacrtanog ugla postavimo prav ugao tako da im se poklope temena i po jedan krak ka`emo da smo uglove uporedili. Ugao xOy je mawi od pravog ugla, aAb je ve}i od pravog ugla. Ugao mawi od pravog ugla naziva se O[TAR UGAO. Ugao ve}i od pravog ugla naziva se TUP UGAO. 1.
Ispod slike napi{i ime svakog nacrtanog ugla.
O
120
A
B
C
2.
Koliko o{trih uglova je prikazano na slici? Zapi{i ih. c b
O
3.
a
Koliko pravih uglova je prikazano na slici? Zapi{i ih. b
c
4.
a
A
Razvrstaj i zapi{i koji su uglovi prikazani na slici. c b
O{tri Pravi
5.
a
O
d
Tupi
Razvrstaj i zapi{i koji su uglovi prikazani na slici ({est uglova). d
c b
O{tri Pravi
O
a
Tupi
121
8
6.
Na slici, svaki o{tar ugao ozna~i brojem 1, prav ugao brojem 2, a tup ugao brojem 3.
7.
Nacraj i obele`i ta~ke A i B, koje su u oblasti o{trog ugla O i ta~ku C koja nije u oblasti tog ugla.
O
122
Pravougaonik i kvadrat
1
UO^AVAWE PRAVOUGAONIKA I KVADRATA
1.
Na slici su neke figure. U svaki pravougaonik upi{i slovo P, a u kvadrat slovo K.
2.
Na slici kvadrate oboji crveno, a pravougaonike plavo.
3.
Na slici kvadrate oboji jednom, a pravougaonike drugom bojom.
9
123
92
PRAVOUGAONIK I KVADRAT – UGLOVI I STRANICE
Na slici je jedan pravougaonik. a
D b A
C b
a
B
Kakvi su uglovi pravougaonika? Otuda ime pravougaonik. Koliko uglova ima pravougaonik?
Figura (slika) koja ima ~etiri ugla naziva se ~etvorougao. PRAVOUGAONIK JE ^ETVOROUGAO ^IJI SU SVI UGLOVI PRAVI. Temena pravougaonika su istovremeno i temena wegovih uglova. Obele`avamo ih, naj~e{}e, velikim slovima latinice. Pravougaonik na slici obele`en je ABCD, a wegovi uglovi A, B, C, D su pravi uglovi. Du`i AB, BC, CD, DA su stranice pravougaonika. Stranice (du`i) obele`avamo i malim slovim latinice. Stranice koje imaju jednu zajedni~ku ta~ku nazivaju se susedne stranice, na primer, AB i AD su susedne stranice. Navedi ostale parove susednih stranica pravougaonika. i , i , i Kakve su po du`ini susedne stranice pravougaonika? Uporedi ih. Zapi{i. Naspramne stranice su AB i CD. One su po du`ini jednake. Proveri, uporedi ih. Koji je drugi par naspramnih stranica?
124
1.
Prona|i na slici tri pravougaonika. Zapi{i te pravougaonike i wihove naspramne stranice. F
A
E
D
B
C
Pravougaonik
, naspramne stranice su
i
,
i
.
Pravougaonik
, naspramne stranice su
i
,
i
.
Pravougaonik
, naspramne stranice su
i
,
i
.
Koja dva pravougaonika na slici nemaju zajedni~ku oblast?
Ako su sve stranice pravougaonika jednake, onda se taj pravougaonik naziva kvadrat. a
D
C
a
a
A
Zna~i, AB = BC = CD = DA = a
B
a
KVADRAT JE ^ETVOROUGAO ^IJI SU SVI UGLOVI PRAVI, A SVE STRANICE JEDNAKE. 2.
Prona|i na slici tri kvadrata. Zapi{i te kvadrate i wihove stranice. G
H
F
K
E
D
Kvadrat
, stranice su
.
Kvadrat
, stranice su
.
Kvadrat
, stranice su
.
Koja dva kvadrata na slici nemaju zajedni~ku oblast? A
B
C
125
9
3.
3
Nacrtaj ~etvrtu stranicu pravougaonika i kvadrata i obele`i nacrtane ~etvorouglove.
CRTAWE PRAVOUGAONIKA I KVADRATA NA KVADRATNOJ MRE@I Na kvadratnoj mre`i nacrtani su pravougaonik i kvadrat. D
C
G
H
R
M
S
N L A
F
B E
P O
K
Izmeri du`ine stranica kvadrata i pravougaonika i iska`i ih u mm.
1.
Pravougaonik
, AB = CE =
Pravougaonik
,
mm. .
Kvadrat
,
.
Kvadrat
,
.
Na kvadratnoj mre`i nacrtaj 3 pravougaonika. Obele`i ih.
C
A
126
mm, AD = BC =
B
H.
.M L
E
F
K
2.
Na kvadratnoj mre`i nacrtaj kvadrat i obele`i ga, ako je data wegova stranica. Pazi. Mo`e{ nacrtati dva kvadrata, sa jedne ili sa druge strane date stranice.
B
L F
E
K
A
3.
Na kvadratnoj mre`i nacrtaj pravougaonik (tri slike) i obele`i ga, ako su data wegova tri temena, tri ta~ke na mre`i.
.
.
4.
.
·
· ·
.
·
·
Na kvadratnoj mre`i nacrtaj kvadrat i obele`i ga, ako su data wegova dva temena, dve ta~ke na mre`i. Pazi. Pomo}u dva data temena mo`e{ nacrtati dva kvadrata.
.
.
· ·
127
9 4
CRTAWE PRAVOUGAONIKA I KVADRATA TROUGAONIKOM I LEWIROM Najpre, pomo}u trougaonika nacrtamo prav ugao. To ve} zna{.
D
b A
a
B
Na kracima pravog ugla ozna~imo du`inu stranica pravougaonika, AB = a, AD = b. Zatim, nacrtamo prav ugao B i odmerimo du`inu stranice BC = b. I na kraju, nacrtamo stranicu CD.
D
b
b
A
1.
a
D
C
b
b
A
B
a
Nacrtaj pravougaonik ABCD, za koji je nacrtan jedan ugao i nazna~ene du`ine stranica. D C
b
A
2.
128
B
a
a
C
b A
B
Nacrtaj pravougaonik ABCD ~ije su stranice AB= 4 cm, BC= 25 mm.
Kvadrat crtamo sli~no kao pravougaonik, samo vodimo ra~una da su sve stranice kvadrata jednake.
3.
Nacrtaj kvadrat ABCD, za koji je nacrtan jedan ugao i nazna~ena du`ina stranice. Zapi{i kako si crtao.
A
a
B D
A
4.
a
a
B
Nacrtaj kvadrat ~ija je stranica: 1) a = 4 cm;
2) a = 35 mm.
129
9 5
CRTAWE PRAVOUGAONIKA I KVADRATA [ESTAROM I TROUGAONIKOM Najpre, pomo}u trougaonika nacrtamo prav ugao. To ve} zna{.
D
b A
a
B
Na kracima pravog ugla ozna~imo du`inu stranica pravougaonika, AB = a, AD = b. Zatim, stranicu AD {estarom prenesemo u polo`aj stranice BC, a stranicu AB u polo`aj stranice DC.
b
b A
C
D
D
a
A
B
a
B
I na kraju, nacrtamo stranice BC i CD. C
D
b A
1.
130
a
Nacrtaj pravougaonik ~ije su stranice: 1) a = 5 cm, b = 3 cm;
B
2) a = 6 cm, b = 35 mm.
Kvadrat crtamo kao pravougaonik, samo vodimo ra~una da su sve stranice kvadrata jednake.
2.
Nacrtaj kvadrat ABCD, za koji je nacrtan jedan ugao i nazna~ena du`ina stranice. Zapi{i kako si crtao. Najpre smo stranicu AB preneli u polo`aj stranice AD.
A
3.
4.
a
B
Nacrtaj kvadrat ~ija je stranica: 1) a = 6 cm;
2) a = 45 mm.
Nacrtaj pravougaonik ABCD ~ije je jedno teme ta~ka D, a temena A i B pripadaju pravoj p. D.
.
B
p
131
96
OBIM PRAVOUGAONIKA I KVADRATA
Na slici je proizvoqan pravougaonik, ~ije su stranice AB = a, AD = b. D
C
b B
a
A
Ako se olovka kre}e po stranicama pravougaonika od temena A preko temena B , C i D do temena A, opisa}e zatvorenu izlomqenu liniju koju nazivamo obim pravougaonika.
A
a
B
b
C
a
D
b
A1
p
Ako se stranice pravougaonika nadovezivawem prenesu na pravu p, dobija se du` koja je jednaka zbiru stranica pravougaonika, obimu pravougaonika: AA1 = a + b + a + b. Ako obim pravougaonika ozna~imo slovom O, onda je O = a + b + a + b ili O = 2 · a + 2 · b.
Izmeri stranice nacrtanog pravougaonika u milimetrima i izra~unaj obim pravougaonika. a=
mm,
b=
mm,
132
O= .
1.
2.
Izra~unaj obim pravougaonika ~ije su stranice: 1) a = 13 cm, b = 8 cm; 2) a = 27 mm, b = 38 mm.
Stranice kvadrata ABCD nadovezivawem prenesi na polupravu Ap. D
C
Obim kvadrata jednak je zbiru wegovih stranica. O = a + a + a + a ili O = 4 · a A
a
B p
A
3.
Izmeri stranicu nacrtanog kvadrata (u milimetrima) i izra~unaj obim kvadrata. a=
mm,
O=
4.
.
Izra~unaj obim kvadrata ~ija je stranica: 1) a = 7 cm; 2) a = 28 mm.
5.
Obim kvadrata je 26 cm. Izra~unaj stranicu (u milimetrima) i nacrtaj taj kvadrat.
6.
Stranice pravougaonika su a = 8 cm, b = 5 cm. 1) Stranica kvadrata jednaka je ve}oj stranici pravugaonika. Za koliko je obim kvadrata ve}i od obima pravougaonika? 2) Stranica kvadrata jednaka je mawoj stranici pravougaonika. Za koliko je obim kvadrata mawi od obima pravougaonika?
133
10 1
Matemati~ki izrazi IZRAZI. REDOSLED OPERACIJA. ZAGRADE
Kada zapi{emo brojeve i slova, povezane znacima operacija + , – , · , : , ka`emo da smo zapisali matemati~ki izraz ili kra}e, izraz. Izraz je na primer: – obim pravougaonika, 2 · a + 2 · b, – obim kvadrata, 4 · a, – koli~nik brojeva, 145 : 5 i dr. Za izraze sa jednom operacijom ka`emo da su to jednostavni izrazi, a za one sa vi{e operacija, da su to slo`eni izrazi.
1.
Izra~unaj i uporedi vrednosti izraza: (138 + 257) + 364 = 138 + (257 + 364) = 138 + 257 + 364 =
2.
Izra~unaj i uporedi vrednosti izraza: (863 – 376) – 138 = 863 – (376 – 138) =
3.
Izra~unaj i uporedi vrednosti izraza: (138 · 4) · 2 = 138 · (4 · 2) = 138 · 4 · 2 =
4.
Izra~unaj i uporedi vrednosti izraza: (944 : 8) : 2 = 944 : (8 : 2) =
134
5.
Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost: 1) od razlike brojeva 743 i 367 oduzmi 184; 2) o d 743 oduzmi razliku brojeva 367 i 184; 3) k oli~nik brojeva 936 i 6 podeli brojem 2; 4) 9 36 podeli koli~nikom brojeva 6 i 2.
2
IZRAZI SA DVE RAZLI^ITE OPERACIJE
1.
Izrazi sa sabirawem i mno`ewem ili sa oduzimawem i mno`ewem. – Ako u izrazu bez zagrada imamo sabirawe i mno`ewe ili oduzimawe i mno`ewe, onda uvek prvo radimo mno`ewe. Ali, ukoliko treba prvo obaviti sabirawe ili oduzimawe, onda se to nazna~i zagradama. 1) Broju 158 dodaj proizvod brojeva 26 i 4. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. Ovaj izraz mo`emo pisati bez zagrada. 158 + (26 · 4) = 158 + 26 · 4 = 2) Zbir brojeva 158 i 26 pomno`i brojem 4.Ovaj izraz moramo pisati sa zagradama, jer je prvo sabirawe pa mno`ewe. (158 + 26) · 4 = 3) Od 158 oduzmi proizvod brojeva 26 i 4.
4) Razliku brojeva 158 i 26 pomno`i brojem 4.
2.
Izrazi sa sabirawem i deqewem ili oduzimawem i deqewem. – Isto postupamo kao u izrazima sa sabirawem i mno`ewem ili oduzimawem i mno`ewem. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. Broju 732 dodaj koli~nik brojeva 174 i 6. 732 + (174 : 6) = 732 + 174 : 6
135
10
1) Zbir brojeva 732 i 174 podeli brojem 6.
2) Od 732 oduzmi koli~nik brojeva 174 i 6.
3) Razliku brojeva 732 i 174 podeli brojem 6.
3.
3
Vo}ar je nabrao 470 kg jabuka. Piqaru je prodao 155 kg, a ostalo zapakovao u 7 jednakih sanduka. Koliko je jabuka u svakom sanduku? Napi{i izraz i izra~unaj.
IZRAZI SA TRI OPERACIJE
Ako je izraz bez zagrada, najpre radimo mno`ewe ili deqewe, a zatim sabirawe i oduzimawe. Druga~iji redosled operacija mora biti nazna~en zagradama. 1.
Izra~unaj vrednost izraza i uporedi ih: 1) 96 · 4 + 6 : 3 = 2) (96 · 4 + 6) : 3 = 3) 96 · (4 + 6 : 2) = 4) 96 · (4 + 6) : 2 = U svakom izrazu isti su brojevi i operacije, a vrednosti izraza su razli~ite. Objasni.
2.
Izra~unaj vrednosti izraza i uporedi ih: 1) 552 : 8 – 6 · 3 = 2) (552 : 8 – 6) · 3 = 3) (552 : (8 – 6)) · 3 = 4) 552 : ((8 – 6) · 3) =
136
3.
Izra~unaj vrednost izraza: 1) 116 · 3 + 6 : 3 = Isti izraz napi{i sa zagradama da redosled operacija bude: 2) prvo + , zatim · , i najzad : , 116 · 3 + 6 : 3 = 3) · , + , : , 116 · 3 + 6 : 3 = 4) : , + , · , 116 · 3 + 6 : 2 =
4.
Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost: 1) proizvodu brojeva 126 i 4 dodaj koli~nik brojeva 276 i 6; ·
+
:
=
2) zbir proizvoda brojeva 126 i 4 i broja 276 podeli brojem 6;
(
·
+
):
=
3) broj 4 pomno`i zbirom broja 126 i koli~nika brojeva 276 i 6. · 5.
(
+
:
)=
Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost: 1) o d proizvoda brojeva oduzmi koli~nik brojeva; 2) k oli~niku brojeva dodaj proizvod brojeva.
6.
Aca je kupio tri kwige po 184 dinara i pet svezaka po 65 dinara. Koliko je ukupno platio? Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
7.
Du`ina staze je 1 km. Prva dva dana betonirano je po 248 m. Preostali deo, tri jednake deonice betonirane su toku naredna tri dana. Koliko je metara staze betonirano svakog od ta tri dana? Napi{i izraz i re{i ga.
137
10 8.
Cena {e}era je 55 dinara kilogram, uqa 74 dinara litar. Koliko }e{ platiti 5 kg {e}era i 6 litara uqa?
9.
Gorani su zasadili 504 sadnice bora, hrasta i bagrema. Na svake dve sadnice bora dolaze tri sadnice hrasta i 4 sadnice bagrema. Koliko je zasa|eno sadnica bora, koliko hrasta, a koliko bagrema?
Formiraj snopi}e sadnica: 2 sadnice bora, 3 hrasta i 4 bagrema. Koliko je takvih snopi}a bilo? 10.
Jovanka je i{la u bioskop i pozori{te i za ulaznice potro{ila 1 000 dinara. ^etiri puta je i{la u bioskop, gde je cena ulaznice 85 dinara i tri puta u pozori{te. Kolika je cena ulaznice za pozori{te?
4
IZRAZI SA PROMENQIVOM
Ako treba da izra~unamo, na primer zbir broja 254 i broja sedamnaeste desetice, onda }e brojevna vrednost toga zbira zavisiti od vrednosti drugog sabirka, ozna~imo ga n. Zbir tada mo`emo zapisati 254 + n, gde je 160 < n < 171, ili n ∈ (161, 162, 163,
, 170}.
Vrednost sabirka n je promenqiva, pa je izraz 254 + n jedan primer izraza sa promenqivom. Za n = 161 vrednost zbira bi}e (promenqivu n zamenimo wenom vredno{}u), .
254 + 161 =
Za ostale vrednosti promenqive n, vrednost zbira mo`emo prikazati tabelom. Popuni tabelu. n 254 + n
138
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
1.
Izra~unaj vrednost proizvoda 93 · x, ako x jednocifreni broj prve desetice, tj. 0 < x < 10, ili x ∈ {1, 2, 3, … , 9}. Popuni tablicu. x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
93 • x
2.
Za promenqive x i y napi{i wihov: zbir
razliku
proizvod
koli~nik
Ako je x = 96, y = 6 izra~unaj brojevne vrednosti napisanih izraza sa promenqivim.
3.
Izra~unaj vrednost izraza (promenqive u izrazu zameni wihovim vrednostima): 1) (x + y) · x, ako je x = 6, y = 217;
(
+ 217) · = 2) 207 : (a – b), ako je a = 15, b = 9; 3) (a + b) · (a – b), ako je a = 261, b = 253.
4.
Ocu je x godina. Sin je 25 godina mla|i od oca. Koliko je godina sinu? Napi{i izraz (razliku) sa promenqivom x.
Ako je otac u ~etvrtoj dekadi `ivota (dekada 10 godina), 30 < x < 41, koliko je godina sinu? Popuni tablicu. x
31
139
10 5.
Izra~unaj obim pravougaonika ~ije su stranice a = 178 mm, b = 96 mm.
6.
Put se sastoji od tri deonice du`ine a, b i c. 1) Kolika je ukupna du`ina puta? Napi{i izraz sa promenqivima. 2) Za koliko su prve dve deonice du`e od tre}e? Ako je a = 275 m, b = 328 m, c = 485 m izra~unaj brojevne vrednosti napisanih izraza sa promenqivima.
7.
140
U vo}waku ima {qiva, kru{aka i jabuka. [qiva ima a stabala, kru{aka dva puta vi{e, a jabuka tri puta vi{e od {qiva. Koliko stabala ima u vo}waku? Napi{i izraz sa promenqivima.
11
Trougao
1
TROUGAO. UO^AVAWE TROUGLA
Posmatrajmo krov ku}e na slici. Svaka strana krova ima oblik trougla.
Oboji trouglove na slici.
Zatvorena izlomqena linija koja se sastoji od tri du`i (trougaona linija) i sve ta~ke unutra{we oblasti ~ine trougao. C
A
B
Trougao ima tri ugla A, B, C, pa otuda ime trougao. Temena uglova su i temena trougla, pa trougao obele`avamo ∆ ABC , ~itamo: trougao A, B, C. Du`i AB, BC, CA su stranice trougla. Svaki trougao ima tri stranice i tri ugla.
141
11 1.
Obele`i trouglove na slici i zapi{i kako si ih obele`io.
∆
Kakvi su uglovi nacrtanih trouglova? Uglovi: – prvog trougla su – drugog trougla su – tre}eg trougla su 2.
Nacrtaj trougao: 1) ~ija su temena ta~ke A, B, C; 2) ~ija je jedna stranica du` AB i ta~ka C tre}e teme.
.C
A·
2
.C
A
B
·B
CRTAWE TROUGLA Nacrta}emo trougao ~ije su stranice date du`ine AB= 6 cm, BC= 5 cm, AC= 4 cm. Najpre, nacrtamo du`i datih du`ina. Zatim, du` AB {estarom prenesemo na polupravu Aa. A B A
142
6 cm
B
5 cm 4 cm
C C
A
B
Iz ta~ke B kao centra, {estarom opi{emo deo kru`nice polupre~nika r = BC, a iz centra A deo kru`nice polupre~nik r = AC.
·
C
A
B
Nacrtani delovi kru`nica seku se u ta~ki C koja je tre}e teme trougla. Nastavi da crta{. 1.
Nacrtaj trougao ~ije su stranice jednake datim du`ima a, b, c. a b c B
p
Na polupravu Bp prenesi stranicu BC = a, a zatim opi{i potrebne delove kru`nica. 2.
Nacrtaj trougao ~ija je jedna stranica jednaka du`i a, a druge dve du`i b. a A
b b
B
b
a
C
p
Na polupravu Bp nanesemo stranicu BC. Iz ta~aka B i C kao centara, opi{emo delove kru`nica polupre~nika b. Nacrtani delovi kru`nica seku se u ta~ki A, a to je tre}e teme trougla.
143
11 3.
Nacrtaj trougao ~ije su sve stranice jednake du`i a. C
a
a
a
A
a
B
Istim otvorom {estara, polupre~nika a prenesemo stranicu AB i opi{emo delove kru`nica. Presek delova kru`nica je ta~ka C, i ona predstavqa tre}e teme trougla ~ije su sve stranice jednake.
144
4.
Nacrtaj trougao ~ije su stranice du`ine 5 cm, 6 cm, 7 cm.
5.
Nacrtaj trougao ~ije jedna stranica du`ine 7 cm, druge dve du`ine 5 cm.
6.
3
Nacrtaj trougao ~ije su stranice jednake, AB=BC=AC= 6 cm.
OBIM TROUGLA Na slici je prikazan trougao ABC ~ije su stranice AB = c, BC = a, AC = b. C a
b
c
A
B
Ako se olovka kre}e po stranicama trougla od temena A preko temena B i C do temena A, opisa}e zatvorenu izlomqenu liniju koju nazivamo obim trougla.
c a
A
B
C
b
A1
p
Ako se stranice trougla nadovezivawem prenesu na pravu p, dobije se du` jednaka zbiru stranica trougla, obimu trougla AA1 = a + b + c. Ako obim trougla ozna~imo slovom O, onda je O = a + b + c.
145
11 1.
Izmeri stranice nacrtanog trougla i izra~unaj obim. a=
mm
b=
mm
c=
mm
O=
Dve stranice trougla ABC su jednake. Na pravoj p odredi du` AA1 jednaku obimu trougla. A
b
b
B
O = a + 2 ·b
C
a
p
Izmeri stranice nacrtanog trougla (u milimetrima) i izra~unaj obim trougla. a=
mm
b=
mm
O=
2.
Sve stranice trougla ABC su jednake. Na pravoj p odredi du` AA1 jednaku obimu trougla. C
a
A
a
O = a + a + a ili O = 3 · a
B
a
p
Izmeri stranicu nacrtanog trougla (u milimetrima) i izra~unaj obim trougla. a=
146
mm
O=
3.
Izra~unaj obim trougla ~ije su stranice: 1) a = 48 mm, b = 6 cm, c = 72 mm; 2) a = 55 mm, druge dve stranice jednake b = 75 mm; 3) jednake a = 65 mm.
4.
Stranice trougla su jednake, wegov obim je 216 mm. Nacrtaj taj trougao.
5.
Dve stranice trougla su jednake, b = 5 cm, a obim trougla je 16 cm. Nacrtaj taj trougao.
147
11 6.
Obim trougla je 21 cm, a wegove dve stranice su a = 7 cm, b = 8 cm. Nacrtaj taj trougao.
7.
Dve stranice trougla ABC su jednake, AB = AC = 5 cm, a tre}a stranica BC pripada pravoj p. Nacrtaj taj trougao, koristi {estar. Izmeri tre}u stranicu (u milimetrima) i izra~unaj obim tog trougla.
.A p
8.
Obim trougla je 18 cm, a merni brojevi wegovih stranica su tri uzastopna broja. Nacrtaj taj trougao.
Deda je postavio Milanu zadatak: – Posadili smo dve kru{ke (vidi sliku). Gde da postavimo tre}u, pa da rastojawe izme|u svake dve sadnice bude jednako? Grafi~ki odredi mesto. Postoje dva re{ewa (dva mesta).
148
12
Razlomci
1
RAZLOMCI.
1 1 1 , , 2 4 8
Na slici su jedna du`, krug i kvadrat. A
B C
Kako smo dobili polovinu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, polovinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na dva jednaka dela (deqewem sa 2). Jednu polovinu zapisujemo 1 ~itamo: jedna polovina 2 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na dva jednaka dela, a broj iznad crte da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 2 + = =1, 2 2 2 tj. jedno celo ima dve polovine. Izra~unaj: 1 od 56 je 56 : 2 = 2 A
B C
Kako smo dobili ~etvrtinu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, ~etvrtinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na ~etiri jednaka dela (deqewem sa 4). Jednu ~etvrtinu zapisujemo
149
12
1 ~itamo: jedna ~etvrtina. 4 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na ~etiri jednaka dela, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je, da je 1 1 1 1 4 + + + = =1 , 4 4 4 4 4 tj. jedno celo ima ~etiri ~etvrtine. ^etvrtinu mo`emo dobiti i ako polovinu podelimo na dva jednaka dela. Zna~i, 1 1 1 od = 2 2 4
2.
Izra~unaj: 1 od 56 = 56 : 4 = 4 B
A C
Kako smo dobili osminu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, osminu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na osam jednakih delova (deqewem sa 8). Jednu osminu zapisujemo 1 ~itamo: jedna osmina. 8 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na osam jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 1 1 1 1 1 1 8 + + + + + + + = =1, 8 8 8 8 8 8 8 8 8 tj. jedno celo ima osam osmina.
150
Osminu mo`emo dobiti i ako ~etvrtinu podelimo na dva jednaka dela ili polovinu na ~etiri jednaka dela. Zna~i, 1 1 1 od = 2 4 8 3.
1 1 1 od = . 4 2 8
ili
Izra~unaj: 1
56 1 od 56 2
1 2
1 od 56 4
1 4
1 od 56 8
1 8
4.
Uporedi razlomke, izme|u svaka dva razlomka upi{i jedan od znakova <,=,<. 1 8
5.
6.
Izra~unaj: 1 m= 2 1 km = 8 1 t= 4
mm, m, kg,
1 4
1 m= 4 1 km = 2 1 t= 8
1 2
2 4
mm, m, kg,
U jednoj {koli ima 760 u~enika. Od tog broja
1 m= 8 1 km = 4 1 t= 2
mm m kg
1 1 ima odli~an uspeh, 8 4
1 dobar uspeh. Ostali imaju dovoqan uspeh. Izra~unaj 8 koliko u~enika ima: vrlo dobar uspeh,
151
12
odli~an uspeh vrlo dobar uspeh dobar uspeh dovoqan uspeh
2
RAZLOMCI.
1 1 1 1 , , , 5 1 0 1 00 1 000
Na slici je jedna du`, krug i kvadrat. A
B C
Kako smo dobili petinu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, petinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na pet jednakih delova (deqewem sa 5). Jednu petinu zapisujemo 1 ~itamo: jedna petina. 5 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na pet jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 1 1 1 5 + + + + = =1, 5 5 5 5 5 5 tj. da jedno celo ima pet petina.
152
Izra~unaj: 1 od 90 = 90 : 5 = 5 A
B C
Kako smo dobili desetinu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, desetinu (deseti deo) jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na deset jednakih delova (deqewem sa 10). Jednu desetinu zapisujemo 1 ~itamo: jedna desetina. 10 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na deset jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 + + + + + + + + + = =1 , 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 tj. da jedno celo ima deset desetina. Desetinu (deseti deo) mo`emo dobiti i ako petinu podelimo na dva jednaka dela ili polovinu na pet jednakih delova. Zna~i, 1 1 1 od = 2 5 10
2.
ili
1 1 1 od = . 5 2 10
Izra~unaj: 1 od 90 = 90 : 10 = 10
153
12 3
RAZLOMCI.
1 1 1 1 , , , 3 6 9 7
Na slici su du`, krug i kvadrat. B
A C
Kako smo dobili tre}inu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, tre}inu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na tri jednaka dela (deqewem sa 3). Jednu tre}inu zapisujemo 1 , ~itamo: jedna tre}ina. 3 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na tri jednaka dela, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 1 3 + + = =1 , 3 3 3 3 tj. da jedno celo ima tri tre}ine. 1.
Izra~unaj: 1 od 108 = 108 : 3 = 3 B
A C
Kako smo dobili {estinu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
154
Uop{te, {estinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na {est jednakih delova (deqewem sa 6). Jednu {estinu zapisujemo 1 , ~itamo: jedna {estina. 6 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na {est jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 1 1 1 1 6 + + + + + = =1, 6 6 6 6 6 6 6 tj. da jedno celo ima {est {estina. [estinu mo`emo dobiti i ako tre}inu podelimo na dva jednaka dela, ili polovinu na tri jednaka dela. Zna~i, 1 1 1 od = 2 3 6
2.
ili
1 1 1 od = . 3 2 6
Izra~unaj: 1 od 108 = 108 : 6 = 6 A
B C
Kako smo dobili devetinu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, devetinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na devet jednakih delova (deqewem sa 9). Jednu devetinu zapisujemo 1 , ~itamo: jedna devetina. 9 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na devet jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.
155
12
O~igledno je da je 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 + + + + + + + + = =1 , 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 tj. da jedno celo ima devet devetina. Devetinu mo`emo dobiti i ako tre}inu podelimo na tri jednaka dela. Zna~i, 1 1 1 od = . 3 3 9
3.
Izra~unaj: 1 od 108 = 108 : 9 = 9 A
B C
Kako smo dobili sedminu du`i, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.
Uop{te, sedminu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na sedam jednakih delova (deqewem sa 7). Jednu sedminu zapisujemo 1 , ~itamo: jedna sedmina. 7 Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na sedam jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo. O~igledno je da je 1 1 1 1 1 1 1 7 + + + + + + = =1 , 7 7 7 7 7 7 7 7 tj. da jedno celo ima sedam sedmina. Brojevi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , ,... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nazivaju se razlomci.
156
Broj ispod crte kazuje na koliko je delova podeqeno jedno celo (skup) i naziva se IMENILAC, a broj iznad crte koliko takvih delova ima i naziva se BROJILAC.
4.
Izra~unaj: 1 od 105 = 105 : 7 = 7
5.
Uporedi razlomke, izme|u svaka dva razlomka upi{i jedan od znakova <,=,>. 1 1 1 1 3 6 7 9
6.
Maja je u{tedela 756 dinara. Za
7.
[ta je ve}e –
8.
Milan je
1 1 u{te|evine kupila je kwigu, a za 6 7 u{te|evine bioskopsku ulaznicu. Kolika je cena kwige, a kolika ulaznice?
1 1 od 315 ili od 348? 9 6
1 svoje u{te|evine dao za kwigu ~ija je cena 215 dinara. Kolika 3 je bila Milanova u{te|evina?
157
12 9.
Anina ku}a je od {kole udaqena 896 m. Ana je pre{la
1 rastojawa. Koliko 7
je tada Ana bila udaqena od {kole?
10.
Otac i sin su nabrali 174 jabuke. Sin je poneo Koliko je jabuka poneo otac?
158
1 jabuka, a otac sve ostalo. 6
159
Marko M. Igwatovi} MATEMATIKA za tre}i razred osnovne {kole Izdava~ Izdava~ka ku}a ,,Dragani}ß Dr Ivana Ribara 81–83, 11070 Beograd Ilustracije Aleksandra Mani} Kompjuterska priprema pp ,,SPIRITß Gradski Park 2 Korice Gorica Ze~evi} Lektura i korektura Sowa [o} [tampa Intergraf, Beograd
CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 37.016:51(075.2) IGWATOVI], Marko M. Matematika : za tre}i razred osnovne [kole / Marko M. Igwatovi}. - Beograd : Dragani}, 2005 (Beograd : Intergraf). 158 str. : ilustr. ; 28 cm Tira` 5.000. ISBN 86-441-0625-2 COBISS.SR-ID 124835084
Plasman kwige: Adresa: Dr Ivana Ribara, 11070 Novi Beograd Telefoni: 318-0213, 318-0265 faks: 3180-266 Kwi`are „Dragani}ß: 21000 Novi Sad, Fru{kogorska 4, tel. 021/458-745 26300 Vr{ac, Svetosavska 11, tel. 013/833-365 26000 Pan~evo, Vojvode Putnika 6, tel. 013/333-154 11300 Smederevo, Kraqa Petra I 12, tel. 026/612-497 http//www.draganic.co.yu e-mail:
[email protected]
160
