Matematicas Integrales Multiples (by Carrascal)

Iñaki Carrascal Mozo. Integrales múltiples (dobles, triples...) Problemas de Yahoo! Yahoo! - v1.6 - 07/02/2013 - Página 1 de 15

Integrales múltiples (dobles, triples, de superficie). Iñaki Carrascal Mozo. fí[email protected] http://www http://www.carrascal.net46.net/fí .carrascal.net46.net/físicas/ sicas/

v1.0: 22/11/2012. Última actualización: v1.6: 07/02/2013 Autor

Iñaki Carrascal Mozo

Título del documento de Matemáticas

Integrales múltiples (dobles, triples, de superficie)

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Enlace (Link) del documento

http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal

http://www.scribd.com/doc/115678186/Matematicas-Integrales-Multiples-by-Carrascal

Puesto 3º en “Los mejores de Física”. 93 % Mejor Respuesta. 80 fans. Nivel 7. 25.680 puntos. 1759 preguntas (07/02/2013) (07/02/2013)

Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

Iñaki Carrascal Mozo. Integrales múltiples (dobles, triples...) Problemas de Yahoo! - v1.6 - 07/02/2013 - Página 2 de 15

El 11 de octubre de 2012 me hice miembro de Yahoo! Respuestas y me puse a resolver ejercicios que planteaba la comunidad. Me gustaba el planteamiento de que alguna duda que tuviera alguien pudiera resolverla uno o varios compañeros a través de internet. En (exactamente) un mes alcancé el Nivel 6 (superando los 10.000 puntos). Y en (justamente) dos meses he superado los 17.000 puntos y me he colado hasta el 3º puesto de los “Mejores de Física” . Desde el 07 de febrero de 2013 ocupo el Nivel 7. Soy “Colaborador destacado” en Física, Matemáticas e Ingeniería (y también lo fui en Software). Desde el 23 de noviembre estoy entre los 10 primeros puestos de “Los mejores de Física”, el 03 de diciembre ocupé el 7º puesto, el 15 de diciembre el 5º lugar y el 07 de febrero de 2013, el tercer puesto. He alcanzado un 93 % de Mejor Respuesta. A fecha 07/02/2013 llevo contestadas 1759 preguntas, con 25.680 puntos (nivel 7), tengo un 93 % de Mejor Respuesta, ocupo la 3ª posición de “Los Mejores de Física” y tengo 80 “fans”. A continuación presento unas cuantas preguntas de Yahoo! Respuestas que yo mismo resolví, con la fecha en que lo hice. En la mayoría de ellas he respetado la pregunta original. Quizá haya corregido alguna falta de ortografía o mejorado un poco el enunciado para hacerlo mas claro. Con el tiempo iré ordenando los ejercicios por orden de dificultad creciente. Aunque muchos problemas pueden resolverse de otra forma, creo que las respuestas que he dado son la manera más adecuada de hacerlo, fruto de años de docencia de Física y Matemáticas a nivel universitario. Las respuestas están tal y como las respondí en su momento, con el (sencillo) editor de textos de Yahoo. He procurado poner paréntesis para clarificar las mismas. Las potencias las indico con: ^ (5^4); la raíz cuadrada, con ^(1/2), con SQRT o con “raiz” (ej. raiz (2) = 2^(1/2)); la integral como “integral”. No puedo emplear subíndices (ej. radio de la Tierra: RT; épsilon sub o)... Si alguna de las respuestas es incorrecta, que puede, pues todos somos humanos y de vez en cuando nos confundimos, podéis comunicármelo por correo electrónico: fí[email protected] . Revisaré mi respuesta y la que me indiquéis y la corregiré si es necesario. El 18/11/2012 me agregué al foro100cia y el 09/12/2012 al Grupo de Facebook Ayudémosnos en matemáticas por lo que también he incluido mis respuestas a ejercicios que he resuelto a través del foro o de Facebook. Tras este pequeño prólogo, indico las fórmulas más usuales que aparecen en el tema. Con el tiempo quizá explique cómo usarlas y cómo resolver determinados “problemas modelo”. También señalo otras secciones relacionadas con el capítulo que estamos est udiando con su enlace al documento de Scribd correspondiente. Siempre podéis recurrir a mi página web para consultar mas fórmulas y datos: http://www.carrascal.net46.net/físicas/ y a Wikipedia: http://es.wikipedia.org/ . Podéis difundir este documento entre vuestros compañeros. Respetad, eso sí, el formato del mismo, su autoría y la marca de agua con mi foto. ¿A que molo de pequeño? Este documento se estará actualizando continuamente por lo que es recomendable que consultéis la última versión (actualizada con nuevos ejercicios) desde mi perfil en Scribd: http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal Gracias a quienes habéis preguntado y respondido también. Un saludo a todos y espero que estos problemas os puedan servir en vuestros estudios. Iñaki Carrascal Mozo. Desde Castrillo de Don Juan, un pequeño pueblo de Palencia (España) Si queréis visitar mi pueblo, echad una ojeada a mi web: http://www.castrillodedonjuan.netai.net/



Fórmulas. Integrales múltiples (by Carrascal) Mis respuestas a las preguntas de Yahoo! Respuestas v 1.6 (07/02/2013. 21 preguntas)

Pregunta 01. Resuelta el 28/12/2012

Quiero ejercicios donde se demuestre como se aplican las integrales múltiples en las ingenierías. En la realidad un mínimo de 10 ejemplos por favor Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Puedes utilizar las integrales múltiples para determinar: - áreas de superficies planas, con una integral doble - volúmenes de cuerpos, con integrales dobles o triples - superficies de superficies, con una integral de superficie - masas de cuerpos , que segun sean planas, superficies (en volumen) o volúmenes, emplearemos integrales dobles, de superficie o triples - centros de masas (o gravedad) - momentos de inercia - también aparecen integrales dobles y triples en otras ramas como la ESTADÍSTICA (probabilidad) o la FÍSICA CUÁNTICA cuando tratas con funciones de onda (por ejemplo en un pozo bidimensional o tridimensional; en el átomo de hidrógeno)... Te dejo un enlace a un montón de ejercicios de integrales múltiples que yo mismo he resuelto en Yahoo! Respuestas: http://www.scribd.com/doc/115678186/Mate… Seguro los encuentras de utilidad. Y en el siguiente enlace, te dejo unas cuantas fórmulas de interés: http://www.scribd.com/doc/117692443/Form…

Integrales dobles Pregunta 02. Resuelta el 04/01/2013

¿Demostrar con integrales volumen del cubo? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. ¿Puedes especificar el nivel que tienes? Se puede hacer por integrales sencillas o por integración múltiple (como integral doble o como integral triple). Te lo voy a resolver de las dos ultimas formas. Si necesitas, valora mi respuesta y te la resuelvo como integral sencilla. Sea a el lado del cubo Como integral TRIPLE: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


V = integral triple de dx d y d z podemos descomponer la integral en producto de tres integrales pues los limites de integracion son constantes V = integral de 0 a a de dx · integral de 0 a a de d y · integral de 0 a a de dz = V = x (de 0 a a) · y (de 0 a a) · z (de 0 a a) = a · a · a = a^3 Como integral DOBLE V = integral doble de z (x,y) d x dy siendo z (x, y) la función que nos limita superiormente el volumen, en nuestro caso z = a luego V = integral doble de a dx · dy = a integral doble de dx · dy Como antes, descomponemos la integral en producto de integrales (al ser los limites constantes) V = a · integral de 0 a a de dx · integral de 0 a a de dy = a · x (entre 0 y a) · y (entre 0 y a) V = a · a · a = a^3 Pregunta 03. Resuelta el 11/01/2013. Mi respuesta número 1455

Un cilindro de radio R es cortado por un plano que pasa por un diámetro de la base y que forma un angulo & respecto al plano de la base . hallar el volumen del cuerpo truncado Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Vamos a resolverlo como una integral doble. El volumen pedido es la integral doble de z (x, y) d x · dy siendo z la función que no limita superiormente el volumen (el "techo"). Dicho "techo" es el plano z = (tg alfa) x (plano paralelo al eje "y" y que pasa por el diámetro de la base) V = integral doble (tg alfa) x dx dy = (tg alfa) · integral doble x dx dy Resolvemos la integral doble pasando a polares x = ro cos theta y = ro sen theta el jacobiano de la transformación es J = ro por lo que la integral es V = (tg alfa) · integral doble ro cos theta ro · d ro · d theta V = (tg alfa) · integral cos theta · d theta · integral ro^2 · d ro los limites para theta son de 0 a pi/2 (pues multiplicaremos el volumen por 2) y para ro de 0 a R V = 2 (tg alfa) · sen theta (de 0 a pi/2) · ro^3 / 3 (de 0 a R) V = 2 (tg alfa) (pi / 2) R^3 / 3 = (tg alfa) · pi · R^3 / 3 Pregunta 04. Resuelta el 28/10/2012

Necesito ayuda especialmente, hallar la gráfica y los limites , para integrar de frente, si lo integran seria lo máximo, Porfas una ayudita. http://img600.imageshack.us/img600/6823/… Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


Son tres ejercicios. Te voy a resolver solo el tercero. Hallar el volumen del solido limitado superiormente por la gráfica z = 1 - (x^2 + y^2), inferiormente por el plano xy y lateralmente por x^2 + y^2 - x = 0. ¿En qué nivel estás? Voy a suponer que sabes hacer integrales DOBLES. En este caso el volumen es : V = integral doble de (1 - (x^2+y^2)) dx dy extendida a la región R, donde R es x^2 + y^2 - x = 0. puedes resolver la integral doble pasando a polares x = ro cos theta y = ro sen theta El jacobiano de la transformación es J = ro quedara V = integral doble (1 - ro^2) · ro ·d ro · d theta la región queda ro^2 - ro cos theta = 0 ; es decir ro = cos theta Antes de seguir. No vaya a ser que no sepas nada de esto. ¿Continúo? Pregunta 05. Resuelta el 28/11/2012

¿Utilice integrales dobles para calcular el área de la región polar, la región ubicada dentro de la circunferencia? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Área = integral doble de d x · dy Pasamos a polares x = ro · cos theta y = ro · sen theta El jacobiano de la transformación es J = ro por lo que el área sera Área = integral doble ro · d ro · d theta los limites para ro son de 0 a R (radio de la circunferencia) y los de theta de 0 a 2 pi Área = integral d theta (de 0 a 2 pi) · integral ro · d ro ( de 0 a R) Área = theta (de 0 a 2 pi) · ro^2 / 2 (de 0 a R) Área = 2 pi · R^2 / 2 = pi · R^2 Espero haberte ayudado. Pregunta 06. Resuelta el 09/12/2012 (pregunta 1304)

Hallar el área de la región limitada por x y = 4, x y = 8, x y^3 = 5, x y^3 = 15 sean x y = u y v = x y^3? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Área = integral doble dx · dy Haz el cambio xy=u Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


x y^3 = v calculas el jacobiano de la transformación despejas x = u^(3/2) · v^(-1/2) y = u^(-1/2) · v^(1/2) calculas las parciales y haces el determinante. A mi me sale J = 1 / (2 v) La región cambiara a un a muy sencilla, un rectángulo: la u varia de 4 a 8 y la v de 5 a 15 Área = integral doble 1/(2 v) d u · dv Área = (1/2) · integral de 4 a 8 de d u · integral de 5 a 15 de 1/v dv Área = (1/2) · (8-4) · ln (15/5) = 2 ln 3 Pregunta 07. Resuelta el 10/12/2012 (pregunta 1307)

¿Hallar el área de la región del primer cuadrante limitada por y = x^3, y = 4x^3, x = y^3, x = 4 y^3? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. En cartesianas es un verdadero peñazo hacer la integral anterior. Simplemente por no representar las funciones y determinar los puntos de corte... Haremos un cambio de variable: y / x^3 = u x / y^3 = v despejamos x e y en función de u y v para calcular el jacobiano de la transformación: ¿no hay problema en despejarlo, verdad? Obtengo: x = v^(-1/8) · u^(-3/8) y = v^(-3/8) · u^(-1/8) El jacobiano (ya sabrás el determinante 2 x 2, en la primera fila : parcial de x respecto de u , parcial de x respecto de v; en la segunda fila: parcial de y respecto de u, parcial de y respecto de v) me queda: (1/8) · u^(-3/2) · v^(-3/2) A = integral doble de dx · dy A = integral doble de (1/8) · u^(-3/2) · v^(-3/2) d u · dv la u variara de 1 a 4 y la v de 1 a 4 también A = (1/8) · [integral de 1 a 4 de u^(-3/2) d u] · [integral de 1 a 4 de v^ (-3/2) d v] = A = (1/8) Pregunta 08. Resuelta el 30/12/2012

Calcular el área de la elipse (x -3)^2/2^2 + y^2/3^2 = 1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


(x -3)^2/2^2 + y^2/3^2 = 1 El área de una elipse es A = pi · a · b siendo a y b los semiejes de la misma, en nuestro caso a=2yb=3 no tienes mas que comparar tu elipse con la ecuación de una elipse de semiejes a y b y centro el punto (xo, yo) (x - xo)^2 / a^2 + (y - yo)^2 / b^2 =1 El area será: A = pi · 2 · 3 = 6 pi u^2 Puedes deducirla a partir de una integral doble, que resolveríamos pasando a coordenadas polares, pero no sé si es un nivel elevado para ti. Si necesitas que te resuelva la integral doble en polares, valora mi respuesta y te respondo como un comentario a la pregunta. Pregunta 09. Resuelta el 18/01/2013 a las 21:28 h (hora española). Respuesta número 1506

Emplear una integral doble para calcular el volumen del sólido determinado por las siguientes ecuaciones: z = 0, z = x^2, x = 0, x = 2, y = 0, y = 4. Yo hago: integral de 0a2, integral de 0a4 de x^2dy dx = integral x^2dx y] de 0a 4 = integral 4x^2 dx = 4x^3 /3 ] de 0 a 2 = 32/ 3. Creo que estoy haciendo algo mal, porque creo que debería salir 16/3 o 32 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Curioso ejercicio. Lo han tenido que entregar ayer los alumnos de 1º Grado en Química de la Universidad de Valladolid. Y luego no preguntan nada de integrales dobles en el examen de ayer :-( El resultado es 32 / 3, ¿por qué dices que está mal? V = integral doble de x^2 d x d y la x varia de 0 a 2 y la y de 0 a 4 se puede descomponer la integral en producto de integrales al ser los limites constantes V = integral de 0 a 2 de x^2 dx · integral de 0 a 4 dy V = x^3 / 3 de 0 a 2 · y de 0 a 4 V = (8/3) · 4 = 32 / 3 Pregunta 10. Resuelta el 04/02/2013 a las 10:44 (hora española). Respuesta número 1716

¿Hallar los límites de una integral doble para obtener el volumen de un sólido? M = { (x, y, z) e R3: 0 < = Z; X^2 + Y^2 + Z^2 < = a^2 ; X^2 + Y^2 < = a * Y ; a > 0 } Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Tenemos lo parte superior (pues z>= 0) de la esfera de radio a centrada en el origen x^2 + y^2 + z^2 = a^2 cortada por el cilindro x^2 + y^2 - a y = 0 Volumen = integral doble de z (x, y) dx · dy siendo z (x, y) la función que nos limita superiormente el volumen (es decir el "techo", en nuestro caso, la semiesfera) Volumen = integral doble de raiz (a^2 - x^2 - y^2) dx · dy La integral doble se extiende a la región Rxy que es la proyección del volumen sobre el plano xy, y es la circunferencia x^2 + y^2 - a y = 0, es decir, absorbiendo en cuadrados perfectos: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


x^2 + y^2 - 2 · y · a/2 + a^2 / 4 = a^2 / 4 x^2 + (y - a/2)^2 = a^2 / 4 (*) circunferencia de centro (0, a/2) y radio a/2 Para resolver la integral doble, debemos pasar a polares "generalizadas", es decir, que vamos a tener en cuenta en centro y el radio de la circunferencia. El cambio que hacemos es: x = 0 + (a/2) · ro · cos theta y = (a/2) + (a/2) · ro · sen theta con este cambio, el jacobiano es: J = (a/2)^2 · ro y la regio queda tan sencilla como ro = 1 (prueba a sustituir el cambio en la ecuación (*) y lo veras) Los limites de integración serán : para ro : 0 a 1 para theta: de 0 a 2 pi el integrando, con el cambio quedará: raiz (a^2 - x^2 - y^2) = raiz [a^2 - ((a/2) · ro · cos theta)^2 - ((a/2) + (a/2) · ro · sen theta)^2] es decir: (a/2) · raiz [3 - ro^2 - 2 · ro · sen theta] y ya está V = integral doble de (a/2) · raiz [3 - ro^2 - 2 · ro · sen theta] · (a/2)^2 · ro · d ro · d theta con ro de 0 a 1 y theta de 2 a 2 pi. Solo pedías límites, no que te resolviera la integral. Si la ves complicada, prueba a hacer el cambio tradicional a polares: x = ro cos theta y = ro sen theta jacobiano = ro integrando: raiz [a^2 - ro^2] (mas fácil) lo que pasa es que la region queda mas complicada x^2 + y^2 = a y ro^2 = a · ro · sen theta de donde ro = a · sen theta la integral doble la hacemos primero en ro y los limites irían de 0 a a · sen theta (ahora no son constantes, por lo que no podríamos descomponer la integral en producto de integrales) los limites para theta irían de 0 a pi. Es decir: V = integral doble de raiz [a^2 - ro^2] ro · d ro · d theta V = integral (de 0 a pi) de [ integral (de 0 a "a · sen theta") de raiz (a^2 - ro^2) · ro · d ro] mas fácil, ¿no?. No tendrás dificultades en llegar hasta el final. Pregunta 11. Resuelta el 07/02/2013 a las 00:04 (hora española). Respuesta número 1754

1) Usando integrales dobles, determinar el área de un elipse con semiejes a y b

2) ¿Cuál es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de 6m por 12m y paredes verticales de 9 m de altura al frete (que esta del lado que mide 6 m) y 12 m atrás? El granero tiene techo plano. usar integrales dobles para calcular el volumen. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


1) Área = integral doble dx dy Vamos a pasar a polares para resolver la integral x = a · ro · cos theta y = b · ro · sen theta el jacobiano es J = a · b· ro y la región quedarán r o = 1 por lo que A = integral dobles a b ro d ro d theta A = a · b · integral d theta (de 0 a 2 pi) · integral ro d ro (de 0 a 1) A = a · b · 2 pi · 1^2 / 2 A = pi · a · b 2) Volumen = integral doble de z dx dy siendo z la función que define el "techo" del granero z=9 Volumen = integral doble 9 d x dy Volumen = 9 · integral doble dx dy La integral doble nos da el área de la región R, es decir 6 · 12 por lo que el volumen es V = 9 · 6 · 12 = 648 m^3 Si quieres hacer la integral doble como tal (el área): A = integral doble dx dy = integral de 0 a 6 dx · integral de 0 a 12 dy = 6 · 12 m^2

Integrales triples Pregunta 12. Resuelta el 18/01/2013 a las 20:40 h (hora española). Respuesta número 1503

Calcular el volumen del cuerpo limitado por: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 (tetraedro) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1/6. ¿Lo hacemos como una integral triple? V = integral triple de d x · d y · dz Integramos primero en z, trazamos paralelas al eje z que entran por z =0 y salen por la z del plano, es decir 1 - x - y V = integral doble extendida a Rxy de (integral de 0 a 1 - x - y de d z ) d x dy V = integral doble extendida a Rxy de (1 - x - y) d x d y donde Rxy es la proyección del volumen sobre el plano xy, es decir el triangulo limitado por la recta x + y = 1 y los ejes x e y La integral doble la resolvemos integrando primero en y: trazas paralelas al eje y y entran por y = 0 y salen por y = 1 - x V = integral (integral de 0 a 1 - x de (1 - x - y) d y ) dx los limites para x irán de 0 a 1 (del valor mas pequeño al mas grande) V = integral de 0 a 1 de (y - x y - y^2 / 2) entre 0 y 1 - x) dx V = integral de 0 a 1 de (1 - x - x (1 - x) - (1-x)^2 / 2 ) dx V = 1/6 u^3 (la ultima integral en x, sencillita, te la dejo a ti). Pregunta 13. Resuelta el 04/11/2012



¿Urgente como hallar el volumen de la esfera con integrales triples y dobles? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Con integrales triples: V = integral triple de dx dy dz pasas a coordenadas esféricas: d x · d y · d z = r^2 sen theta d r · d theta · d fi donde theta es el angulo que forma con el eje z V = integral triple r^2 sen theta d r · d theta · d fi V = [ integral d fi entre 0 y 2 pi] · [integral sen theta d theta entre 0 y pi] · [ integral r^2 dr entre 0 y R] V = 2 pi · 2 · R^3 / 3 V = 4 pi R^3 / 3 Con integrales dobles. De la ecuación de la esfera, x^2 + y^2 + z^2 = R^2 despejas z = (R^2 - x^2 - y^2)^(1/2) V = 2 · integral doble de (R^2 - x^2 - y^2)^(1/2) d x · dy multiplico por 2 para considerar solo la parte superior de la esfera. La integral doble la resuelve pasando a polares dx dy = r dr d theta V = 2 · integral doble de (R^2 - r^2)^(1/2) r d r · d theta V = 2 [integral d theta entre 0 y 2 pi] · [integral de (R^2 - r^2)^(1/2) r d r entre 0 y R] V = (4/3) · pi · R^3 Pregunta 14. Resuelta el 20/01/2013 a las 15:15 h (hora española). Respuesta número 1536

Ayuda a resolver el siguiente problema de integrales triples. Calcular el volumen del solido acotado por: el cilindro y=x^2, el plano y + z = 4, z = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un colaborador destacado es el miembro de la comunidad que ha comp artido varios de sus conocimientos en una categoría en particular. Si integras primer en z, ésta varia desde z = 0 hasta la z del plano z = 4 - y (el "techo" del volumen). La integral doble se extiende a la región Rxy, proyección del volumen sobre el plano xy (y = x^2) V = integral triple d x dy dz V = integral doble [integral de 0 a 4 - y de dz] dx dy V = integral doble (4 - y) dx dy Integro primero en y y multiplico por 2 V = 2 · integral [integral de x^2 a 4 de (4 - y) dy] dx V = 2 · integral de 0 a 2 de (4 · x^2 - x^4/2) dx V = 2 · ( 4 x^3 /3 - x^5 / 10) de 0 a 2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


V = 224 / 15 u^3 Pregunta 15. Resuelta el 28/11/2012

∫_0^2 ∫_0^y ∫_0^(?3z)?z/(x^2+z^2 ) dx dz dy , ¿cómo se resuelve esta integral? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. El resultado es 2 pi / 3. Vamos a ver colo lo puedo escribir en este editor de textos de Yahoo!. Bien, integramos primero en x y tenemos la siguiente integral integral de 0 a (raiz3)z de z / (x^2 + z^2) d x Es una arco tangente integral de u ' / (1+u^2) dx = arc tg u + C te copio el símbolo de integral: ? z / (x^2+z^2) d x sacamos abajo z^2 factor común ? z / [z^2 (x^2 / z^2 + 1)] d x = ? (1/z) / [1 + (x/z)^2] = arc tg (x/z) era una integral definida de 0 a (raiz3)z, quedando arc tg raiz3 - arc tg 0 = pi/3 (constante que podremos sacar de las integrales) A continuación tenemos la integral de 0 a y de pi/3 (si es que no lo hemos puesto delante de todo) dx. Es inmediata: (pi/3) · x (entre 0 e y) = (pi/3)· y Por ultimo queda integral entre 0 y 2 de (pi/3) · y d y = (pi/3) y^2 / 2 entre 0 y 2 I = (pi/3) · 2 = 2 pi / 3 Es un poco peñazo escribir fórmulas en este editor, pero supongo que lo has entendido. Pregunta 16. Resuelta el 28/11/2012

Un recipiente esférico homogéneo de radio a está cortado por una hoja de un cono circular recto cuyo vértice está en el centro de la esfera. Si el ángulo en el vértice del cono es ?, siendo 0
Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Te resolveré el primer ejercicio y si lo calificas correctamente y no dejes que la respuesta quede en votación, te resolvería el segundo si aún lo quieres. Supongo que trabajamos con VOLUMENES (no con superficies), pues no sería lo mismo. Supongo también que te refieres a la parte superior del cono (el cono está por encima y por debajo del plano z = 0 al igual que la esfera, supongo que pides la parte situada encima del plano z = 0) Emplearemos integrales triples. por la simetría sólo calculo la componente z, pues la x e y del centro de masas es nula. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


z cm = ( f f f z dx dy dz ) / ( f f f dx dy dz ) = N / D nota con " f " pretendo señalar la integral Pasaremos a esféricas x = r sen theta cos fi y = r sen theta sen fi z = r cos theta El jacobiano es J = r^2 sen theta La esfera queda r = a y el cono theta = alfa Denominador (D): f f f dx dy dz = f f f r^2 sen theta d r d thetha d fi límite de integración: r: de 0 a a; theta de 0 a alfa y fi de 0 a 2 pi D = integral d fi · integral sen theta d theta · integral r^2 d r con sus limites. Quedando (es fácil) D = 2 pi · (1 - cos alfa) · a^3 / 3 Numerador (N). Igual pero añadiendo la z = r cos theta N = f f f r cos theta r^2 sen theta d r d theta d fi N = f f f r^3 cos theta sen theta d r d theta d fi N = integral d fi · integral cos theta sen theta · integral r^3 d r también es fácil, pues también puedes descomponer en producto de integrales N = 2 pi · (sen^2 alfa) / 2 · a^4 / 4 Por lo que z cm = N / D z (c.m.) = [3 · a · sen^2 alfa] / [8 · (1 - cos alfa)] repasa por si me he colado (no creo), porque es un peñazo hacer esto en este editor de textos de Yahoo!. Pregunta 17. Resuelta el 01/12/2012

¿la integrar de 3 a 0 la integrar 0 a z la integrar d y a 0 x3-x2dxdydz? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. ∫ 3 a 0 ∫ 0 a z ∫ y a 0 (x^3 - x^2) d x dy dz = ∫ 3 a 0 ∫ 0 a z (y^3/3 - y^4/4) d y dz = ∫ 3 a 0 (z^4/12 - z^5/20) dz = z^5 / 60 - z^6 / 120 de 3 a 0 = 81/40 Pregunta 18. Resuelta el 09/12/2012 (pregunta 1282)

Hola buenas, estoy haciendo esta pregunta porque estoy realmen te desesperado necesito responder una integral triple que esta en coordenadas rectangulares, pero antes de empezar a integrar necesito convertirlo a polares:

Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal



Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La integral triple que debes responder debes pasarla a coordenadas ESFÉRICAS (no polares) con el cambio x = r · sen theta · cos fi y = r · sen theta · sen fi z = r · cos theta siendo theta el angulo que forma con el eje z y fi el angulo con el eje x el jacobiano de la transformación es J = r^2 · sen theta y los limites de integración: r : de 0 a 1 ; theta de 0 a pi y fi de 0 a pi/2. Es fácil I = integral integral integral r^8 · r^2 · sen theta · d r · d theta · d fi I = integral de 0 a pi/2 de d fi * integral de 0 a pi de sen theta d theta * integral de 0 a 1 de r^10 = I = (pi/2) · 2 · 1/11 = pi / 11 Pregunta 19. Resuelta el 29/12/2012

Calcule el volumen del solido cortado por el cono elíptico 4 x^2 + 9 y^2 – 36 z^2 = 0 y el plano z = 1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 4x^2 + 9y^2 = 36z^2 Al cortarlo por z = 1 4x^2 + 9y^2 = 36 x^2 / 9 + y^2 / 4 = 1 Vamos a pasar a coordenadas cilíndricas "generalizadas" x = 3 · r · cos theta y = 2 · r · sen theta z=z el jacobiano de la transformación es J = 3 · 2 · r = 6 r el cono quedará 4 (3 · r · cos theta)^2 + 9 (2 · r · sen theta)^2 = 36 z^2 36 r^2 cos^2 theta + 36 r^2 sen^2 theta = 36 z^2 z = r los limite de integración serán: para la z: de r a 1 para la r: de 0 a 1 para la theta: de 0 a 2 pi V = integral triple 6 r · dr · d theta · d z V = [integral de 0 a 2 pi de d theta] · integral de 0 a 1 (integral de z=r a z=1 de 6 r d z) d r V = 2 pi · 6 · integral de 0 a 1 r (1-r) dr V = 12 pi · integral de 0 a 1 (r - r^2) dr V = 12 pi · (r^2 / 2 - r^3 / 3) de 0 a 1 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


V = 12 pi (1/2 - 1/3) = 2 pi u^3 Pregunta 20. Resuelta el 02/02/2013 a las 17:20 (hora española). Respuesta número 1655

Me podrían ayudar a resolver esta integral, no se como hallar los límites de integración Calcular integral triple f ( x, y, z ) d V z = 0; (x^2) + z = 1; (y^2) + z = 1; f (x, y, z) = z^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (3) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Tenemos tres superficies en el espacio, z = 0 es el plano xy y las otras dos son cilindros parabólicos, el primero de eje y (pues falta la variable y) y el segundo de eje x (pues falta la variable x). El cilindro parabólico de eje x, por ejemplo. Imagina la parábola z = 1 - y^2, si y = 0, z = 1 y si z = 0, y = +1 e y = -1. Pues imagina esta parábola (boca abajo) repetida a lo largo del eje x. Lo mismo con la otra parábola, que estará repetida a lo largo del eje y. Pues que tenemos un integrando x^2, no estamos calculan volumen alguno. La intersección de ambas cúpulas se obtiene eliminando z de las dos ecuaciones: z = 1 - x^2 z = 1 - y^2 quedando y = x, y = -x (dos rectas). Por la simetría del problema (y el integrando es z^2), podemos calcular la integral triple en el primer octante y multiplicar por 4 el resultado. Si integramos primero en z , trazamos paralelas al eje z, debemos descomponer la region en suma de dos pues en una entran por z = 0 y salen por z = 1-x^2 y en otra por z = 0 y salen por z = 1 - y^2. O considerar solo un trozo de las dos y volver a multiplicar por 2. En total tendríamos I = 8 · integral triple z^2 dx dy dz I = 8 · integral doble [integral de 0 a (1 - y^2) de z^2 dz] d x d y I = 8 · integral doble de z^3 / 3 (entre 0 y 1 - y^2) dx dy I = (8/3) · integral doble de (1 - y^2)^3 dx dy Ahora , para la integral doble, integramos primero en y. Al trazar paralelas al eje y éstas entran por y = 0 y salen por y = x. los límites para x serian de 0 a 1 Luego I = (8/3) · integral (de 0 a 1 para x) [integral de 0 a x (para y) de (1 - y^2)^3 dy ] dx I = (8/3) · integral (de 0 a 1 para x) [integral de 0 a x (para y) de (1 - 3 y^2 + 3 y^4 - y^6) dy] dx I = (8/3) · integral (de 0 a 1 para x) [y - y^3 + 3 y^5 / 5 - y^7 / 7 (entre y=0 e y =x] dx I = (8/3) · integral (de 0 a 1 para x) [x - x^3 + 3 x^5 / 5 - x^7 / 7] dx I = (8/3) · (1/2 - 1/4 + 3 / 30 - 1 / 56) = 31 / 35 si no me he colado en las operaciones.

Integrales de superficie Pregunta 21. Resuelta el 11/11/2012

Hallar el área de la parte de la esfera de ecuación x^2 + y^2 + z^2 = a^2 que se encuentra



dentro del cilindro x^2 + y^2 = a x (a > 0) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Un problema relativamente complicado para el nivel de Yahoo! Respuestas. Debes emplear una integral de superficie. Área = integral de superficie de dS Área = integral doble de [ SQRT ( 1 + (z'x)^2 + (z'y)^2 ) dx dy ] extendida a la región R que es la circunferencia x^2+y^2=ax SQRT es la raiz cuadrada. De la ecuación de la esfera: z = SQRT (a^2 - x^2 - y^2) Voy a hacer el área de la mitad superior de la esfera y luego multiplicamos por 2. z'x = - x / SQRT (a^2 - x^2 - y^2) z'y = - y / SQRT (a^2 - x^2 - y^2) 1 + (z'x)^2 + (z'y)^2 = 1 + x^2 / (a^2 - x^2 - y^2) + y^2 / (a^2 - x^2 - y^2) = a^2 / (a^2 - x^2 y^2) SQRT ( 1 + (z'x)^2 + (z'y)^2 ) = a / SQRT (a^2 - x^2 - y^2) Queda integral doble extendida a la región R de [a / SQRT (a^2 - x^2 - y^2) dx dy] Dicha integral doble la resuelves pasando a polares x = r cos theta y = r sen theta J = r Área (recuerda, parte superior) = integral doble de [(a / SQRT (a^2 - r^2) ) · r · dr · d theta donde R es la región: x^2+y^2=ax ; r^2 = a r cos theta ; r = a cos theta. Bueno supongo que la integral que queda te es fácil y no hace falta que continúe. Si quieres que llegue hasta el final, puntúa la respuesta y te lo acabo en un comentario.


Matematicas Integrales Multiples (by Carrascal)

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