Matematicas Matrices y Sistemas (by Carrascal)

Iñaki Carrascal Mozo. Matrices y sistemas de ecuaciones. Problemas Yahoo Respuestas 1.4 - 07/02/2013. Pág. 1 de 15

Matrices y sistemas de ecuaciones. Iñaki Carrascal Mozo. fí[email protected] http://www.carrascal.net46.net/físicas/ v1.0: 22/11/2012. Última actualización: v1.4: 07/02/2013 Autor

Iñaki Carrascal Mozo

Título del documento de Matemáticas

Matrices y sistemas de ecuaciones

Fecha creación - Nº preguntas resueltas / páginas cuando fue creado

V 1.0 - 22/11/2012 – 12 preguntas / 9 pág.

Fecha actualización - Nº preguntas resueltas / páginas en la actualidad

V 1.4 - 07/02/2013 – 20 preguntas / 15 pág.

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Puesto 3º en “Los mejores de Física”. 93 % Mejor Respuesta. 81 fans. Nivel 7. 25.680 puntos. 1759 preguntas (07/02/2013)

Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


El 11 de octubre de 2012 me hice miembro de Yahoo! Respuestas y me puse a resolver ejercicios que planteaba la comunidad. Me gustaba el planteamiento de que alguna duda que tuviera alguien pudiera resolverla uno o varios compañeros a través de internet. En (exactamente) un mes alcancé el Nivel 6 (superando los 10.000 puntos). Y en (justamente) dos meses he superado los 17.000 puntos y me he colado hasta el 3º puesto de los “Mejores de Física”. Desde el 07 de febrero de 2013 ocupo el Nivel 7. Soy “Colaborador destacado” en Física, Matemáticas e Ingeniería (y también lo fui en Software). Desde el 23 de noviembre estoy entre los 10 primeros puestos de “Los mejores de Física”, el 03 de diciembre ocupé el 7º puesto, el 15 de diciembre el 5º lugar y el 07 de febrero de 2013, el tercer puesto. He alcanzado un 93 % de Mejor Respuesta. A fecha 07/02/2013 llevo contestadas 1759 preguntas, con 25.680 puntos (nivel 7), tengo un 93 % de Mejor Respuesta, ocupo la 3ª posición de “Los Mejores de Física” y tengo 81 “fans”. A continuación presento unas cuantas preguntas de Yahoo! Respuestas que yo mismo resolví, con la fecha en que lo hice. En la mayoría de ellas he respetado la pregunta original. Quizá haya corregido alguna falta de ortografía o mejorado un poco el enunciado para hacerlo mas claro. Con el tiempo iré ordenando los ejercicios por orden de dificultad creciente. Aunque muchos problemas pueden resolverse de otra forma, creo que las respuestas que he dado son la manera más adecuada de hacerlo, fruto de años de docencia de Física y Matemáticas a nivel universitario. Las respuestas están tal y como las respondí en su momento, con el (sencillo) editor de textos de Yahoo. He procurado poner paréntesis para clarificar las mismas. Las potencias las indico con: ^ (5^4); la raíz cuadrada, con ^(1/2), con SQRT o con “raiz” (ej. raiz (2) = 2^(1/2)); la integral como “integral”. No puedo emplear subíndices (ej. radio de la Tierra: RT; épsilon sub o)... Si alguna de las respuestas es incorrecta, que puede, pues todos somos humanos y de vez en cuando nos confundimos, podéis comunicármelo por correo electrónico: fí[email protected] . Revisaré mi respuesta y la que me indiquéis y la corregiré si es necesario. El 18/11/2012 me agregué al foro100cia y el 09/12/2012 al Grupo de Facebook Ayudémosnos en matemáticas por lo que también he incluido mis respuestas a ejercicios que he resuelto a través del foro o de Facebook. Tras este pequeño prólogo, indico las fórmulas más usuales que aparecen en el tema. Con el tiempo quizá explique cómo usarlas y cómo resolver determinados “problemas modelo”. También señalo otras secciones relacionadas con el capítulo que estamos estudiando con su enlace al documento de Scribd correspondiente. Siempre podéis recurrir a mi página web para consultar mas fórmulas y datos: http://www.carrascal.net46.net/físicas/ y a Wikipedia: http://es.wikipedia.org/ . Podéis difundir este documento entre vuestros compañeros. Respetad, eso sí, el formato del mismo, su autoría y la marca de agua con mi foto. ¿A que molo de pequeño? Este documento se estará actualizando continuamente por lo que es recomendable que consultéis la última versión (actualizada con nuevos ejercicios) desde mi perfil en Scribd: http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal Gracias a quienes habéis preguntado y respondido también. Un saludo a todos y espero que estos problemas os puedan servir en vuestros estudios. Iñaki Carrascal Mozo. Desde Castrillo de Don Juan, un pequeño pueblo de Palencia (España) Si queréis visitar mi pueblo, echad una ojeada a mi web: http://www.castrillodedonjuan.netai.net/



Mis respuestas a las preguntas de Yahoo! Respuestas v 1.4 (07/02/2013. 20 preguntas) Operaciones con matrices Pregunta 01. Resuelta el 27/10/2012 Si tengo dos matrices (A y B) de dimensión 4x3 ¿puedo calcular A*B? ¿Y puedo sumar A+B? ¿puedo multiplicar la transpuesta de A*B? ¿puedo hacer la inversa de A? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. A * B no se puede hacer pues el numero de columnas de la primera matriz no coincide con el numero de filas de la segunda A + B se puede hacer porque ambas tienen la misma dimensión Si A*B no se puede hacer, tampoco existirá su traspuesta. Entiendo que el enunciado dice la transpuesta de (A*B), no la (traspuesta de A) * B No puede hacer la inversa de A pues no es una matriz cuadrada Pregunta 02. Resuelta el 27/10/2012 ¿Multiplicación de dos matrices? Tengo la matriz A: -4 0 2 -1 y B: -1 4 3 -3 Tengo que determinar la matriz X sabiendo que A*X + B = A. O sea, X = (A - B) * matriz inversa de A ¿no? ¿es así no? ¿qué resultado os da la matriz inversa? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No, lo haces mal porque el PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO. A*X + B = A A*X = A -B ahora multiplicamos POR LA IZQUIERDA POR A^(-1) y tenemos en cuenta que A·A^(-1)=I queda X = A^(-1) · (A - B) La matriz inversa de A es A^(-1) = (1/4)..(-1....0) ...................... ..(-2...-4)



Pregunta 03. Resuelta en octubre 2012

Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Según el enunciado la matriz A queda …...(1...2) A = (2...2) det A = -2 y la matriz B debe ser .......(0... 4) B = (-4 .. 0) ..............................(-2.... 4) de modo que B-2I = (-4 ... -2) det (B-2I)= 4 +16 = 20 det (A·X)= det A · det X luego -2 · det X = 20 det X = -10 La respuesta es la C Pregunta 04. Resuelta el 28/10/2012 ¿Matemática básica matrices? si: A=[ 2 1) [ 0 -1) B=[ -4 -2) [5 -2) C=[ 1 2 ) [ 3 4) Entonces determinar [(A+B)^t.(B+C)^t) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Si A = (2...1) .. B = (-4....-2) .......(0..-1)..........(5.....-2) ....C = (1....2) ..........(3....4) A+B= (-2...-1) ..........(5...-3) ...(A+B)t = (-2...5) ...................(-1.-3) B+C=(-3...0) ..........(8....2) ...(B+C)t=(-3...8) .................(0....2) luego (A+B)^t.(B+C)^t = (-2...5)...(-3...8) = (-1..-3)...(0....2) = (6 ... -6) ...(3...-14) porque supongo que sabrás sumar y multiplicar matrices. Si no sabes, dime y te explico cómo. Pregunta 05. Resuelta el 03/11/2012 Tengo la matriz: -1 -3 0 4 -4 0 -1 -2 -1 -4 -3 5 Me sale rango 3 al haber intercalado una fila, y en 6 pasos la he resuelto quedándome la última fila de ceros. ¿no es así? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. El rango en 3 en efecto. Pero no es necesario ni siquiera hacer ceros. La matriz tiene 4 filas y 3 columnas luego como máximo el rango es 3 Si hacemos el determinante 3x3 de las tres primeras filas (desarrollando por menores complementarios de la tercera columna o por Sarrus si quieres) vemos que es distinto de cero. Luego el rango es 3



Pregunta 06. Resuelta el 25/11/2012 Buenas tengo una ecuación de matrices en la que: B= 1 a ..... b 3 C= -1 .......3 D=5 .....10 (no hagáis caso a los puntos solo los he puesto para que no se muevan los números) pide determinar a y b de manera que : B*C-D=O -> (siendo O= matriz nula) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Si B*C-D=O, entonces: B*C = D multiplica B por (recuerda que el producto no es comuntativo) y lo igualas a D, tendras un sistema con dos ecuaciones con dos incógnitas que resolverás. (1..a)..(-1)....(.5) (b..3)..(.3) = (10) Supongo que sabrás cómo se multiplican matrices, ¿no? -1 + 3 a = 5, de donde a = 2 -b + 9 = 10 , de donde b = -1 Pregunta 07. Resuelta el 28/11/2012 ¿Matriz inversa duda (elementos 0)? Hace unos días tuve un parcial en el cual no dieron una matriz, que contenía en su primera fila dos elementos seguidos 0 (ceros) a11 y a12 respectivamente, también en otros lugares, el problema era hacer una su matriz inversa, yo lo intente hacer por la el método de matriz ampliada (el cual lo aumenta una matriz identidad), ahora como verán el primer elemento tenia que ser 1, pero era 0, entonces, que hago en ese caso? Lo que hice es cambiar la fila por otra, es mas cuando lo hice sucedió otra ves mas en el proceso y lo hice otra ves mas. La pregunta es, ¿qué hago en esos casos?, ¿qué propiedad utilizo? Al cambiar una fila o columna. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No puedes emplear ese método si el "pivote" es nulo. Y si intercambias filas , te vas a liar. ¿Por que no empleas el clásico método de calcular la inversa (siempre y cuando el orden de la matriz no sea muy grande, claro? 1. Se calcula el determinante de la matriz A y se comprueba que es distinto de cero 2. Se calcula la matriz traspuesta A^t en la que intercambiamos filas y columnas (las filas pasan a ser columnas y viceversa) 3. se calcula la matriz adjunta de la traspuesta (A^t)â, en la que sustituimos cada elemento por Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


su adjunto (el determinante que resulta de simplificar filas y columnas) teniendo en cuenta el signo (-1)^(i+j) 4. La matriz inversa es dividir entre el determinante la matriz anterior A ^(-1) = (1 / det A ) · (A^t)â Pregunta 08. Resuelta el 08/12/2012 Si se multiplican dos matrices, A y B, ¿AB es también una matriz simétrica? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Si A es un matriz simétrica, A^t = A (nota A^t es la matriz traspuesta) Si B es un matriz simétrica, B^t = B Veamos si A·B es o no simétrica, es decir, si (A·B)^t = A·B Sí lo es. En efecto, recordando que (A·B)^t = B^t · A^t (ésta es una propiedad de las matrices traspuestas) (A·B)^t = B^t · A^t = B · A al ser B y A simétricas (relaciones de arriba). Así pues hemos demostrado que (A·B)^t = A·B, es decir que A· B es simétrica. Pregunta 09. Resuelta el 23/01/2013 a las 13:04 h (hora española). Respuesta número 1565 Dada la matriz A=(fila 1: 3, 5; fila 2: -2, 1), sea B la matriz que verifica AB=(fila 1: -2, 7; fila 2: 1, 3) a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial A^(-1) · X – B = B · A Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Para que exista inversa, el determinante de la matriz (cuadrada, claro) debe ser distinto de cero A = (3..5) ......(-2.1) det A = 3·1 - 5 · (-2) = 3 + 10 = 13 distinto de 0 luego existe inversa B = (-2..7) ......(1..3) det B = - 6 - 7 = - 13 distinto de 0, luego existe inversa b) A^(-1) · X - B = B · A pasamos B a la derecha A^(-1) · X = B · A + B A^(-1) · X = B · (A + I) siendo I la matriz identidad multiplicamos POR LA IZQUIERDA por la matriz A (el producto de matrices no es conmutativo) A · A^(-1) · X = A · B · (A + I) A · A^(-1) = I, por lo que X = A · B · (A + I) A·B = (-1..36) ......... (5..-11) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


supongo que sabrás sumar y multiplicar matrices, ¿no? A + I = (4..5) ..........(-2..2) luego X = (-1..36) · (4..5) ......(5..-11)..(-2..2) y si no me he colado en las operaciones, sale X = (-76..67) ......(42...3) Pregunta 10. Resuelta el 03/02/2013 a las 00:24 (hora española). Respuesta número 1680 ¿Como hallar las matrices de los adjuntos e inversa de la siguiente? 1200 0300 0021 0003 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. El adjunto de un elemento es el determinante que resulta de simplificar la fila y la columna del elemento en cuestión, teniendo en cuenta un signo (-1)^(fila + columna) Para calcular la matriz inversa de una matriz dada A, por este procedimiento: 1. calculas el determinante y compruebas que es distinto de cero, det A <> 0 2. calculas la matriz traspuesta, A^t en la que intercambiamos filas por columnas y columnas por filas 3. calculas la matriz adjunta (A^t)â de la traspuesta, en la que sustituimos cada elemento por su adjunto (como hemos definido antes) 4. A^(-1) = (1 / det A) · (A^t)â Nota: cuando pongo A^t es para denotar la matriz traspuesta (no estoy elevando la matriz a una potencia t); lo mismo con la adjunta de la traspuesta. Pero para matrices tan sencillas (pese a que sea 4x4) como la del enunciado, es mucho mas sencillo utilizar el método de Gauss. Colocas la matriz que te dan y a continuación de ella la matriz identidad (4 x 4 en tu caso; ya sabes, con unos en la diagonal principal y el resto ceros). Pues bien haces operaciones elementales entre filas hasta llegar a la matriz identidad. Si ahora haces esas mismas operaciones elementales y en el mismo orden sobre la matriz identidad, la matriz que resulta es la inversa de la dada. 12001000 03000100 00210010 00030001 Por ejemplo hacemos F3 -1/3 F4 12001000 03000100 0 0 2 0 0 0 1 -1/3 00030001 F1 - 2/3 F2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


1 0 0 0 1 -2/3 0. 0 0 3 0 0 0...1...0..0 0 0 2 0 0...0...1.-1/3 0 0 0 3 0.. 0.. 0. 1 1/3 F2 1/2 F3 1/3 F4 y ya tenemos la inversa 1 0 0 0... 1 -2/3 0. 0 0 1 0 0... 0..1/3...0..0 0 0 1 0... 0...0..1/2.-1/6 0 0 0 1... 0.. 0.. 0. 1/3 que seria 1 -2/3 ..0. 0 0..1/3...0..0 0...0..1/2.-1/6 0.. 0.... 0. 1/3 Sistemas de ecuaciones Pregunta 11. Resuelta el 27/10/2012 ¿Rango matriz ampliada? Tengo la siguiente matriz ampliada: 1 1 73 1 -2 -2 3 1 -1 1 3 ¿qué rango tiene? ¿es un sistema compatible indeterminado? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Es fácil. Haz ceros por "Gauss", haciendo operaciones elementales F2 - F1 F3 - F1, quedando 1....1....7....3 0...-3...-9....0 0...-2...-6....0 dividimos entre -3 la segunda y entre -2 la tercera y queda: 1....1....7....3 0....1....3....0 0....1....3....0 por lo que el rango es 2. El sistema sería compatible indeterminado. Pregunta 12. Resuelta en octubre de 2012 ¿Como resuelvo una ecuación 3x3 incompletas?. La ecuación es -2 x – 2 y + z = 9 3x–y=3 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


3y–z=9 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mejor respuesta - Elegida por la comunidad de la segunda ecuación: x = 1 + y/3 ; de la tercera: z = 3 y - 9. sustituyendo en la primera -2 (1 + y/3) - 2 y + 3 y - 9 = 9 - 2y/3 + y = 20 -2 y + 3 y = 60 ; y = 60 ; x = 1 + 60/3 = 21 ; z= 3·60 - 9 = 171 Pregunta 13. Resuelta en octubre de 2012 ¿Sistema 3x4 ¿compatible indeterminado? Hola, ¿me podéis ayudar? Tengo el siguiente sistema de 3 ecuación con 3 incógnitas: 2x + 3y +-6z = 50 5x + 6y +-1z = 63 2x + 1y +-6z = 42 El +- de la tercera columna supongo que sólo tiene peso el menos. Me sale compatible, ¿cómo se calculan las incógnitas x, y y z? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. De muchas formas: puedes resolverlo por Cramer, por Gauss, por la inversa, por factorización LU, empleando métodos numéricos. O más sencillo: resta la primera y la tercera ecuación: 2 y = 8 ; de donde y = 4 <<<< Multiplica la segunda por 6 y resta la primera ecuación: 28 x + 33 y = 63 · 6 - 50 28 x + 132 = 328, de donde x = 7 <<<<< Sustituye x e y en la segunda ecuación, por ejemplo y sacas z 5 · 7 + 6 · 4 - z = 63 ; de donde z = - 4 <<<< Y si "El +- de la tercera columna supongo que sólo tiene peso el menos", pues pon menos en el enunciado del ejercicio Pregunta 14. Resuelta el 28/10/2012 En el sistema x+y-z=1 2x+3y+kz=3 x+ky+3z=2 los valores de k que determinan que el sistema tenga solución única , están dados por : Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Veamos. Para que el sistema tenga solución única debe ser compatible determinado. Es decir el rango de la matriz A (de los coeficientes) y A+ (ampliada con los términos independientes) debe ser 3 (igual al numero de incógnitas). Para ello el determinante de A debe ser distinto de 0. Haces el determinante ¡..1...1..-1..! ¡..2...3...k..! = 9 - 2 k + k + 3 - 6 - k^2 = - k^2 -k + 6 ¡..1...k...3..! veamos cuando es cero: - k^2 -k + 6=0, sale k=2 y k=-3 así que que para valores distintos de 2 y -3 el sistema tiene solución única. Pregunta 15. Resuelta en octubre de 2012 ¿Para qué valores de K tendrá soluciones no triviales? 2x-3y+5z=0 -x + 7 y - z = 0 4 x - 11 y + k^2 z = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Se trata de un sistema homogéneo. Para que tenga soluciones distintas de la trivial x=y=z=0, se requiere que el rango de la matriz de los coeficientes (que para el caso de sistemas homogéneos coincide con el de la matriz ampliada) debe ser menor que el numero de incógnitas (3 en nuestro caso). Por lo que el rango de la matriz debe ser 2. Es decir el determinante de la matriz de los coeficientes debe ser CERO. Así pues, desarrollas el determinante y lo igualas a cero. !.2...-3...5.! !-1...7...-1.! = 0 !.4..-11.k^2! 14 k^2 + 55 + 12 - 140 - 22 - 3 k^2 = 0 11 k^2 = 95 k^2 = 95/11, de donde k = (95/11)^(1/2) ó k = - (95/11)^(1/2) Pregunta 16. Resuelta en octubre de 2012 Calcula la solución (si es necesario en función de parámetros). El sistema es: x–2y–z+t=1 -2 x + 5 y + 4 z – 3 t = -1 -x + 3 y + 4 z – 4 t = -3 -2 x + 3 y + 2 z – 5 t = -9 yo ya he comprobado que la matriz A tiene de rango 3, al igual que la ampliada, y el nº incógnitas es 4, por lo tanto es un sistema compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones), pero depende de (4-3= 1) 1 parámetro. El problema es que ahora ya no se que hacer ni como resolverlo. Información adicional: si mira, me queda la matriz: 1 -2 -1/2 1l 1 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


0 1 3/2 -1l 1 0 0 0 -2l -3 0 0 0 -4l -6 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Basándome en el ultimo resultado que das, después de hacer ceros. La tercera y cuarta fila son combinación lineal, así que elimina una. Queda: -2 t = -3, de donde t = 3/2 ecuación 2: y + 3/2 z - t = 1 de donde si usamos z como parámetro, llamamos z = landa queda: y = 1 + 3/2 - 3/2 landa = 5/2 - 3/2 landa sustituimos en la primera ecuación para sacar x x - 2 y - 1/2 z + t = 1 x = 2 (5/2 - 3/2 landa) + 1/2 landa - 3/2 + 1 x = 5 - 3 landa + 1/2 landa - 1/2 = 9/2 - 5/2 landa Pregunta 17. Resuelta el 08/12/2012 Resolver por método de Gauss?: Un país importa 22400 vehículos entre motos, coches y todo terrenos, al precio de 4800, 9000 y 9500€ respectivamente. Si el total de los vehículos importados cuesta 168,5 millones de euros, ¿cuántos vehículos de cada tipo importa este país si de coches importa el 60% de la suma de motos y todoterrenos? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. x motos y coches z todo terrenos Un país importa 22400 vehículos entre motos, coches y todo terrenos, x + y + z = 22400 (1) al precio de 4800, 9000 y 9500€ respectivamente. Si el total de los vehículos importados cuesta 168,5 millones de euros, 4800 x + 9000 y + 9500 z = 168,5·10^6 dividimos entre 100 48 x + 90 y + 95 z = 1685000 (2) de coches importa el 60% de la suma de motos y todoterrenos ¿esta cantidad se refiere al número de coches o al dinero empleado en los coches? Supongo que hace referencia al numero de coches x = 0,6 (y + z) multiplico por 10 10 x - 6 y - 6 z = 0 (3) Resolvamos el sistema: x + y + z = 22400 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


10 x - 6 y - 6 z = 0 48 x + 90 y + 95 z = 1685000 Escribe la matriz A ampliada y (..1....1.....1.....22400) (.10..-6....-6.....0) (.48..90..95....1685000) haz ceros por Gauss con las operaciones elementales: F2 - 10 F1 y F3 - 48 F1 (..1....1.....1.....22400), lo pongo así: fila 1: (1, 1, 1, 22400) fila 2: (0, -16, -16, -224000) fila 3: (0, 42, 47, 609800) Ahora hacemos 16 F3 + 42 F2, quedando fila 1: (1, 1, 1, 22400) fila 2: (0, -16, -16, -224000) fila 3: (0, 0 , 80, 348800) es decir, 80 z = 348800, luego z = 4360 todo terrenos -16 y - 16 z = -224000 es decir: y + z = 14000, de donde y = 14000 - 4360 = 9640 coches x + y + z = 22400 de donde x = 22400 - 9640 - 4360 = 8400 motos. Pregunta 18. Resuelta el 07/11/2012 En el Circo Atayde, el sábado pasado asistieron 430 visitantes, se observó que cada caballero adulto iba con 2 niños mientras que cada dama adulta entraba con 3 niños; además, en total, la relación existente entre hombres y mujeres, fue de 5 a 7. Determine el número de niños que visitaron el circo. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. El numero total de niños es de 310 (no son "mago" , lo he hecho es una hoja aparte). es problema es relativamente complicado pues tienes un sistema compatible indeterminados (vamos a ver que tenemos 2 ecuaciones con 3 incógnitas) Sea x el numero de caballeros, los cuales llevan 2 x niños sea y el numero de señoras, las cuales llevan 3 y niños El número total de asistentes, 430 es: x + 2 x + y + 3 y 3 x + 4 y = 430 (ec. 1) relación entre caballeros y señoras: x / y = 5 / 7, es decir 7 x - 5 y = 0 (ec. 2) Y no hay mas ecuaciones. Nos piden el numero de niños, es decir ¿cuanto vale la cantidad 2 x + 3 y? Veamos cómo nos las arreglamos para conseguir con las dos ecuaciones dadas la combinación lineal que nos piden. Se podría sacar a "ojo", pero quizá no sea tan evidente. Así que te explicaré el "cuento de la vieja". La ecuación 1 la multiplicamos por "a" y la ecuación 2 por "b" y sumo ambas ecuaciones: a · [ 3 x + 4 y = 430 ] b·[7x-5y=0] suma: a (3 x + 4 y) + b (7 x - 5 y) = 430 a Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


agrupando en x e y: (3 a + 7b) x + (4 a - 5 b) y = 430 a precisamente quiero 2 x + 3 y, así que resolveré el sistema 3a+7b=2 4a-5b=3 de donde, sino me he colado, a = 31/43 (b da igual), pues lo que necesito es 2 x + 3 y = 430 · a = 430 · 31 / 43 = 310 niños. Pregunta 19. Resuelta el 02/12/2012 La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de las decenas más el doble de la de las unidades. Sí se permutan entre si las cifras de las centenas y de las unidades, el número disminuye en 297 unidades. Calcula dicho número. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. El numero es xyz: -La suma de las tres cifras de un número es 7 x+y+z=7 -La cifra de las centenas es igual a la suma de las decenas más el doble de la de las unidades x=y+2z -Sí se permutan entre si las cifras de las centenas y de las unidades, el número disminuye en 297 unidades 100 z + 10 y + x + 297 = 100 x + 10 y + z Es decir: x+y+z=7 x=y+2z x-z=3 Resolviendo el sistema, resulta: x=4 y=2 z=1 De donde el numero es: 421 Si tienes dificultades para resolver el sistema, preguntame y te ayudo. Pregunta 20. Resuelta el 19/01/2013 a las 12:12 h (hora española). Respuesta número 1520 Resolver este sistema de ecuaciones lineales con parámetros (a+1)x1 + x2 + x3 = 1 x1 + (a+1)x2 + x3 = b x1 + x2 + (a+1)x3 = b^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Escribes la matriz de los coeficientes A ! a+1 ...1....1..! Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


!...1...a+1...1..! !...1......1..a+1! hacemos el determinante. Si no me he colado sale a^3 + 3 a^2 = a^2 (a + 3) y lo igualamos a cero, obteniendo a = 0 y a = -3 pues bien, - Si a es distinto de 0 y a es distinto de -3, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, pues el rango de A es 3 y el de A ampliada también (al contener a A). Tiene una única solución que podrás calcular por Cramer, por ejemplo (ya sabrás, cada incógnita como cociente de dos determinantes...) - Si a = 0, la matriz A ampliada es: (..1..1..1..1..) (..1..1..1..b..) (..1..1..1..b^2) vemos que el rango de A es 1 y el de A ampliada dependerá de b Si b = 1, dicho rango es 1 también y el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, existiendo infinitas soluciones que vendrán dadas en función de dos parámetros, por ejemplo, en función de x1 y x2, x3 = 1 - x1 - x2 Si b = -1 el rango de A ampliada es 2 y el sistema es INCOMPATIBLE, pues los rangos no coinciden. - Si a = -3, la matriz ampliada queda: (.-2..1..1..1..) (..1.-2..1..b..) (..1..1.-2..b^2) el rango de A es 2 y el de A ampliada se estudia haciendo ceros por Gauss, si intercambiamos la primera y segunda filas y hacemos ceros ... llegamos a que la tercera fila queda 0..0..0..b^2+b+1 no existe valor de b para el que anule el b^2 + b + 1, por lo que siempre es distinto de cero y el rango seria 3 y el sistema incompatible (no tiene solución)


Matematicas Matrices y Sistemas (by Carrascal)

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