1 UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CATEDRA: CALCULO III PROFESOR: PEDRO COLINA
EJERCICIOS INTEGRALES MULTIPLES CONDICIONES GENERALES. FECHA ÚLTIMA DE ENTREGA LUNES 04 FEBRERO 2013. ENTRE LAS HORAS DE 7.20am Y 11.30am. NO SE ACEPTARA NI EN HORA NI EN FECHA POSTERIOR POR NINGUN MOTIVO. TOME TODAS LAS PREVISIONES DEL CASO. NO SERA CONSIDERADA PARA LA NOTA DEL RECUPERATIVO SI ES QUE LO HUBIERA, UNICAMENTE PARA EL PARCIAL. LES ENVIO UN LISTADO POR CADA SECCION, VERAN EL NUMERO QUE LES CORRESPONDE EN ESE LISTADO Y ENTONCES RESOLVERAN LOS EJERCICIOS CUYOS NUMEROS CORRESPONDAN CON EL NUMERO DEL ALUMNO EN SU LISTA. Por ejemplo, si en la sección 001, el alumno Descartes Hermágoras aparece como numero SEIS en la lista, el deberá resolver: de la parte A el ejercicio número 6, de la parte B el ejercicio número 6 y de la parte C el ejercicio número 6. Otro ejemplo, si en la sección 008, el alumno Sierralta Javier parece como número 27 en la lista, el deberá resolver: de la parte A el ejercicio número 27, de la parte B el ejercicio número 27 y de la parte C el ejercicio número 27. PARA LA NOTA DEL TERCER PARCIAL LA ACTIVIDAD TENDRA UN PESO DE 3 PUNTOS DE LA NOTA DE ESTE CORTE. CADA EJERCICIO PUEDE VALER HASTA UN PUNTO. Condiciones básicas: La actividad es individual. Consta de TRES ejercicios a entregar: uno de la parte A, uno de la parte B y otro de la parte C. Se podrá entregar el hoja de examen, deben realizar la gráfica correspondiente en aquellos casos que lo amerite, debe estar limpio, ordenado y siguiendo la secuencia. SE EVALUARA: Enunciado del ejercicio, graficas tipo bosquejo PERO que sea representativa de las curvas o superficies; identificación de cada una de las curvas, superficies ejes, orden y explicación de lo que se hace durante el desarrollo del mismo; tanto las operaciones algebraicas, resultados, propiedades aplicadas, etc, deben estar a la vista, nada tipo directo, las explicaciones a que haya lugar y por supuesto la conclusión de cada ejercicio. Cada parte tiene una puntuación: por ejemplo:
2
Enunciado: 0.10 pto Graficas: 0.3 pto Desarrollo: 0.50 pto (limpieza, orden, secuencia, explicación, comentarios respectivos además los errores restan punto a las partes) Conclusión: 0.10pto
DEBERA ESTAR ESCRITO A BOLIGRAFO, NUNCA A LAPIZ, NO SE ACEPTARA, NO SE MOLESTE QUE NO LO ACEPTARE A LAPIZ. EXCEPTO LAS GRAFICAS. La gráfica, si es necesaria, puede hacerla en papel milimetrado y pegarla a la hoja donde aparece resuelto el ejercicio, esta si puede estar a lápiz, debe indicar los ejes del plano, la ecuación de las curvas o superficies graficadas y la región de estudio considerada. El alumno que no entregue la actividad, perderá todos los puntos correspondientes a esta parte de la evaluación, NO SE RECUPERARÁ ESTA ACTIVIDAD. ESTA ACTIVIDAD SOLO SE ACEPTARA EN LA FECHA CORRESPONDIENTE ARRIBA INDICADA O SE PUEDE ENTREGAR EN UNA FECHA PREVIA A LA FIJADA. Cada ejercicio correctamente realizado tendrá un peso correspondiente a un punto en la evaluación. Realícelo con calma para que no cometa errores y tenga que hacer correcciones, ya que estas restan puntos al trabajo. Como es un trabajo para el ALUMNO y son muchos alumnos, EL PROFESOR NO LOS ASESORARA, son ejercicios que pueden ser evaluados en la prueba parcial.
3 A) EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS TIPO TAREA INTEGRALES MULTIPLES. EJERCICIOS GRUPO A En los siguientes ejercicios use integrales MÚLTIPLES para determinar el volumen del sólido dado: 1) El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico y 2 64 z 2 4 y el plano y x . 2) El volumen del sólido acotado por el cilindro y x 2 2 , y los planos: y 4, z 0,3 y 4 z 3) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por la esfera x 2 y 2 z 2 3 2 y abajo por el plano z 0 y lateralmente por el cilindro x 2 y 2 4 4) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por el plano z y , por abajo por el plano xy y lateralmente por el cilindro circular recto que tiene radio 4 y cuyo eje es el eje z. 5) Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z xy , por encima del plano xy y dentro del cilindro x 2 y 2 2 x recto que tiene. 6) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo acotado por arriba por z 12 2 x 2 2 y 2 , y abajo por z x 2 y 2 7) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo dentro de 4 x 2 y 2 , fuera de 1 x 2 y 2 bajo z 12 2 x 2 2 y 2 , y arriba de z 0 . 8) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: x 2 y 2 4 que resulta, x 2 z 2 4 9) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: z 2 y 2 4 que resulta, x 2 z 2 4 10) Calcule el área del cilindro x 2 z 2 4 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 4 . 11) Encuentre el volumen del sólido de la región entre el cilindro z y 2 , el plano xy que está limitada por los planos: x 0, x 1, y 1, y 1 . 12) Encuentre el volumen del sólido de la región del primer octante limitada por los planos x z 1, y 2 z 2 . 13) Determine el volumen del sólido en el primer octante, limitado por los planos coordenados, el plano y z 2 , y el cilindro x 4 y 2 . 14) Hallar el volumen de la cuña cortada por el cilindro x 2 y 2 1 , y por los planos z y, z 0 . 15) Encuentre el volumen del sólido formado por el tetraedro en el primer octante limitado por los y z planos coordenados y el plano x 1 . 2 3 16) Determine el volumen de la región sólida en el primer octante limitada por los planos coordenados, el plano y 1 x , la superficie z cos x , para 0 x 1 . 2 17) Determine el volumen del sólido que resulta de la intersección de los cilindros: x 2 y 2 1 , x2 z 2 1. 18) Determine el volumen del sólido que esta por encima del plano xy que resulta de la intersección de los cilindros: x 2 y 2 1 , x 2 z 2 1 . 19) Determine el volumen del sólido en el primer octante que resulta de la intersección de los cilindros: x 2 y 2 1 , x 2 z 2 1 . 20) Encuentre el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos coordenados y la superficie z 4 x 2 y .
4 21) Halle el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos coordenados, el plano x y 4 , y el cilindro y 2 4 z 2 16 22) Encuentre el volumen de la región sólida cortada por el cilindro x 2 z 2 4 , el plano z 0 y el plano x z 3 . 23) Calcule el volumen del sólido encerrado por las graficas de las ecuaciones dadas: y 0, z 0, y x, z x, x 0, x 5 24) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: y 1 x 2 , z 1 x 2 , en el primer octante. 1 25) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z , 1 y2 x 0, x 2 , y 0 . 1 26) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z , 2 1 x y2 x z 0, y 0, x 0 , y 1 2 27) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: 9 y x 2 , z 2 9 y , ubicado en el primer octante. Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares. a
28) 29)
a2 y2
ydxdy 0
0
a
a2 x2
xdxdy 0
30)
31)
0
32 x 2
x 3
0
0
2
8 y 2
0
32)
y2
3
2
dydx
x 2 y 2 dxdy
0
2
2 x x2
0
0
xy dydx
4 y y2
x dxdy 4
33)
2
2
0
0
Use la integración doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido acotado por las gráficas de las funciones. 34) z xy, x 2 y 2 1 , en el primer octante. 35) z x 2 y 2 1 , z 0 , x 2 y 2 4 36) z x 2 y 2 , z 0 , x 2 y 2 25
37) z ln x 2 y 2 , z 0 , 1 x 2 y 2 4 38) Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y al cilindro x 2 y 2 4 x 0
5 39) Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro x 2 y 2 1 40) Determine el valor a de modo que el volumen interior del hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro x 2 y 2 22 , sea la mitad del volumen del hemisferio.
EJERCICIOS GRUPO B 1) Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro x2 y 2 4 2) Determine el valor a de modo que el volumen interior del hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro x 2 y 2 1 , sea la mitad del volumen del hemisferio. 3) Encuentre el volumen del sólido encerrado por el cono z x 2 y 2 , entre los planos z 1 y z 2. 4) Halle el volumen del sólido de la región limitada por el plano z 0 , lateralmente por el cilindro x 2 y 2 1 y arriba por el paraboloide z x 2 y 2 . 5) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el paraboloide z x 2 y 2 , lateralmente por el cilindro x 2 y 2 1 y arriba por el paraboloide z x 2 y 2 1 . 6) Encuentre el volumen del sólido cortado del cilindro de pared gruesa 1 x 2 y 2 2 por los conos z x 2 y 2 . 7) Determine el volumen de la región que se encuentra dentro de la esfera, y fuera del cilindro x2 y2 1. 8) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro x 2 y 2 4 y los planos z 0, y z 4 .
AREA DE SUPERFICIE 9) Calcule el área del cilindro x 2 z 2 4 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 4 . 10) Determinar el valor del diámetro que ha de tener una perforación vertical por el centro del sólido 2 2 acotado por las gráficas de las ecuaciones: z 25 e x y 4 , z 0 , x 2 y 2 16 , de tal manera que se elimine la décima parte del volumen del sólido. 11) La parte del plano 3x 4 y 6 z 12 , que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices 0,0; 2,0; 2,1; 0,1 . 12) La parte del plano 3x 2 y 6 z 12 acotada por los planos x 0 , y 0 , y por 3x 2 y 12 . 13) La parte de la superficie z 4 y 2 , en el primer octante, que esta directamente arriba de la circunferencia x 2 y 2 4 en el plano xy. 14) La parte del paraboloide z x 2 y 2 recortada por el plano z 4 . 15) La parte del paraboloide z x 2 y 2 recortada por el plano z 9 . 16) La parte del paraboloide z x 2 y 2 recortada por el plano z 1 . x2 4 , cortada por los planos x 0 , x 1 , y 0 , y por y 2 . 4 18) La parte de z 9 x 2 y 2 , por arriba del plano z 5
17) La parte de la superficie z
6 19) Porción del plano z 24 3x 2 y ubicado en el primer cuadrante. 20) Porción del paraboloide z 16 x 2 y 2 ubicado en el primer cuadrante. 21) Porción de la esfera x 2 y 2 z 2 25 ubicado en el interior del cilindro x 2 y 2 9 . 22) Porción del cono z x 2 y 2 en el interior del cilindro x 2 y 2 1 . 23) La parte de la función f ( x, y ) 2 y x 2 que se encuentra la región dado por la región triangular dada por los puntos: (0,0), (1,0), (1,1). 24) La parte de la función f ( x, y ) 2 x y 2 que se encuentra la región dado por la región triangular dada por los puntos: (0,0), (2,0), (2,2). 25) La parte de la función f ( x, y ) 4 x 2 y 2 que se encuentra la región R dada por R x, y : 0 f x, y Resuelva lo pedido encada caso 26) Use integración doble para hallar el volumen del solido encerrado entre el plano z 2 y el cono
z x2 y2 27) Use integración doble para hallar el volumen del solido acotado superiormente por el cono
z x 2 y 2 , dentro del cilindro x 2 y 2 4 y sobre el plano xy. 28) Use integrales dobles para determinar el volumen del sólido ubicado en el primer octante, formado por el plano
2 x y z 2 y por los planos xy, xz, yz.
29) Usar la integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido acotado por las 2 2 2 2 graficas dadas: el paraboloide z x y 1 , el plano z 0 , el cilindro x y 4 . 2 2 30) Calcule el volumen del sólido del primer octante acotado por el cilindro x y 1 , y el plano z x . Use integrales dobles o triples.
31) Determine el volumen del solido formado por el tetraedro (pirámide) en el primer octante, limitado por el plano 4 x 2 y z 4 y por los planos coordenados principales: x=0, y=0, z=0. 32) Determine el volumen del solido formado por el tetraedro (pirámide) en el primer octante, limitado por el plano 4 x 2 y z 4 y por los planos coordenados principales: x=0, y=0, z=0. 33) Calcule el volumen del sólido del primer octante acotado por el cilindro x2 y 2 4 , y el plano z x . Es una especie de cuña semi circular. 34) Use integración doble para hallar el volumen del solido encerrado entre el plano z 4 y el cono
z x2 y2 35) Use integrales dobles para determinar el volumen del sólido ubicado en el primer octante, formado por el plano 4 x 2 y z 12 y por los planos xy, xz, yz.
7 36) Determine el volumen del sólido acotado lateralmente por el cilindro x y 9 , superiormente por el plano 3x 3 y z 12 e inferiormente por el plano z 0 . 2
2
2 2 37) Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro x y 2 y , por el paraboloide
x 2 y 2 2 z , y por el plano xy 2 2 38) Determine el volumen del sólido formada por la intersección de los cilindros: x z 4 , y el
2 2 cilindro x y 4
2 2 39) Halle el volumen del sólido de la región limitada arriba por el paraboloide z 9 x y , abajo
por el plano xy, situada fuera del cilindro x y 1 . 40) Halle el volumen del sólido de la región limitada arriba por el paraboloide z 4 x 2 y 2 , abajo 2
2
2 2 por el plano xy, situada fuera del cilindro x y 1 .
EJERCICIOS GRUPO C 2 2 1) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada arriba por z x y 1 , abajo por
z x 2 y 2 , lateralmente por el cilindro x 2 y 2 1 . 2 2 2) Encuentre el volumen del sólido cortado del cilindro de pared gruesa 1 x y 2 y de los
conos
z x2 y2 .
2 2 2 2 3) Encuentre el volumen del sólido que resulta de la intersección de los z y 1 y z x 1
4) Use integrales dobles para determinar el volumen del solido formado por el tetraedro (pirámide) en el primer octante, limitado por el plano 4 x 2 y z 4 y por los planos coordenados principales: x 0 ,
y 0,
z 0.
5) Encuentre el volumen del sólido formado por el tetraedro en el primer octante limitado por los x
planos coordenados y el plano
y z 1 2 3 .
6) En el siguiente ejercicio use integración triple en coordenadas cilíndricas o esféricas para hallar el volumen del sólido, limitado por arriba por la esfera
x 2 y 2 z 2 2 y por debajo por el paraboloide z x 2 y 2
2 2 7) Use integración múltiple para hallar el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro: x y 4 y
y por los planos:
z 0 y por z y 4
8) Calcule el volumen del sólido encerrado por las graficas de las ecuaciones dadas:
y 0, z 0, y x , z x , x 0, x 5 , en el primer octante.
8 2 2 9) Encuentre el volumen del solido encerrado por el cono z x y , y entre los planos
y
10) Calcule el área del cilindro x 2 z 2 4 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 4 .
Calculo de masas 11) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola
x y20
recta siendo la densidad superficial en cualquier punto metros cuadrados
y 2 x2
y x2 , y por la
y se mide en kilogramos por
12) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola
2xy
y4
y x2 , y
por la recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 2 2 13) Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse x 4 y 12 y por la parábola x 4 y 2 , si la densidad es 2 2 2 14) Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse x 4 y 12 y por la parábola x 4 y , si
la densidad es 5x . 15) En el siguiente ejercicio use la integración doble para hallar la masa y el centro de masa de la lámina dada por las siguientes condiciones: 0 x , 0 y , x2 y 2 a 2 , y para la densidad k . 2 16) El área de la región del primer cuadrante limitada por la parábola y 6 x x , y la recta x y , es de 125/6 unidades cuadradas. Encuentre el centroide de la región.
17) Hallar la masa y el centro de masa de la lámina acotada por las graficas de las ecuaciones dadas a 2 continuación: x 16 y ,
x 0 , para la densidad kx
y x2
18) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola ,y 2 por la recta y 4 siendo la densidad superficial en cualquier punto ky y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 19) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas y x2 , y por x y2 siendo la densidad superficial en cualquier punto kx2 y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 20) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas y x 3 , y por x y2 siendo la densidad superficial en cualquier punto k x y y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 21) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola
x y20
recta siendo la densidad superficial en cualquier punto metros cuadrados
y 2 x2
y x2 , y por la
y se mide en kilogramos por
9 22) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola
2xy
y4
y x2 , y
por la recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 2 2 23) Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse x 4 y 12 y por la parábola x 4 y 2 , si la densidad es 2 2 2 24) Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse x 4 y 12 y por la parábola x 4 y , si
la densidad es 5x . 25) En el siguiente ejercicio use la integración doble para hallar la masa y el centro de masa de la lámina dada por las siguientes condiciones: 0 x , 0 y , x2 y 2 a 2 , y para la densidad k . 2 26) El área de la región del primer cuadrante limitada por la parábola y 6 x x , y la recta x y , es de 125/6 unidades cuadradas. Encuentre el centroide de la región.
27) Hallar la masa y el centro de masa de la lámina acotada por las graficas de las ecuaciones dadas a 2 continuación: x 16 y ,
x 0 , para la densidad kx
y x2
28) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola ,y por la recta y 4 siendo la densidad superficial en cualquier punto ky 2 y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 29) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas y x2 , y por x y2 siendo la densidad superficial en cualquier punto kx2 y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 30) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas y x 3 , y por x y2 siendo la densidad superficial en cualquier punto k x y y se mide en kilogramos por metros cuadrados. 31) Calcule el área del cilindro x 2 z 2 4 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 4 . 32) Determinar área del cilindro x2 z 2 1 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 1 33) La parte del plano 3x 4 y 6 z 12 , que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices 0,0; 2,0; 2,1; 0,1 . 34) La parte del plano 3x 2 y 6 z 12 acotada por los planos x 0 , y 0 , y por 3x 2 y 12 . 35) La parte de la superficie z 4 y 2 , en el primer octante, que esta directamente arriba de la circunferencia x 2 y 2 4 en el plano xy.
Calculo de área de superficie 36) La parte del paraboloide z x 2 y 2 recortada por el plano z 9 . x2 4 , cortada por los planos x 0 , x 1 , y 0 , y por y 2 . 4 38) La parte de z 9 x 2 y 2 , por arriba del plano z 5 39) La parte del paraboloide z x 2 y 2 recortada por el plano z 4 .
37) La parte de la superficie z
10 40) Porción del plano z 24 3x 2 y ubicado en el primer cuadrante.
POR SI ACASO TIENEN TIEMPO LIBRE. COSA QUE DUDO.
11 UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CATEDRA: CALCULO III PROFESOR: PEDRO COLINA
EJERCICIOS INTEGRALES MULTIPLES B) INTEGRALES DOBLES. En los siguientes ejercicios determine el área de la superficie: La parte del plano 3x 4 y 6 z 12 , que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices 0,0; 2,0; 2,1; 0,1 . 2) La parte del plano 3x 2 y 6 z 12 acotada por los planos x 0 , y 0 , y por 3x 2 y 12 . 1)
3)
La parte de la superficie z 4 y 2 , en el primer octante, que esta directamente arriba de la
circunferencia x 2 y 2 4 en el plano xy. 4) La parte del paraboloide z x 2 y 2 recortada por el plano z 4 . x2 4 , cortada por los planos x 0 , x 1 , y 0 , y por y 2 . 4 6) La parte de la esfera x 2 y 2 z 2 a 2 , dentro del cilindro elíptico b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 , donde 0b a 7) La parte del cilindro x 2 y 2 ay , dentro de la esfera x 2 y 2 z 2 a 2 , a 0 . Sugerencia: proyecte al plano yz para obtener la región de integración. 8) La superficie del sólido dado por la intersección de los dos cilindros sólidos x 2 z 2 a 2 y por x 2 y 2 a 2 , sugerencia: tal vez necesite la fórmula de integración:
5)
La parte de la superficie z
1
1 sin
d tan 2 / 4
9) La parte de z 9 x 2 y 2 , por arriba del plano z 5 10) Demuestre que el área de la superficie G formada al cortar el hemisferio x 2 y 2 z 2 a 2 , para z 0 por los planos z h1 ,y por z h2 0 h1 h2 a , es AG 2ah2 h1 . 11) Considere la parte de la esfera x 2 y 2 z 2 a 2 con z 0 entre los planos z h1 ,y por z h2 ( 0 h1 h2 a ), determine el valor de h tal que el plano z h corte a la mitad el área de la superficie. 12) Demuestre que el casquete polar de una esfera de radio a, determinado mediante el ángulo esférico Ø tiene área: AG 2a 2 1 cos C) INTEGRALES TRIPLES. En los siguientes ejercicios use integrales triples para determinar el volumen del sólido dado: 13) El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico y 2 64 z 2 4 y el plano y x . 14) El volumen del sólido acotado por el cilindro y x 2 2 , y los planos: y 4, z 0,3 y 4 z 15) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por la esfera x 2 y 2 z 2 3 2 y abajo por el plano z 0 y lateralmente por el cilindro x 2 y 2 4
12 16) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por el plano z y , por abajo por el plano xy y lateralmente por el cilindro circular recto que tiene radio 4 y cuyo eje es el eje z. 17) Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z xy , por encima del plano xy y dentro del cilindro x 2 y 2 2 x recto que tiene. 18) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo acotado por arriba por z 12 2 x 2 2 y 2 , y abajo por z x 2 y 2 19) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo dentro de 4 x 2 y 2 , fuera de 1 x 2 y 2 bajo z 12 2 x 2 2 y 2 , y arriba de z 0 . 20) Dos cilindros de radio a, se intersecan de modo que sus ejes se cortan formando un ángulo recto, calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección. 21) Dos cilindros de radio a, se intersecan de modo que sus ejes se cortan formando un ángulo recto, calcule el área de la parte de uno cortada por el otro. 22) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: x 2 y 2 4 que resulta, x 2 z 2 4 23) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: z 2 y 2 4 que resulta, x 2 z 2 4 24) Calcule el área del cilindro x 2 z 2 4 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 4 . En los siguientes ejercicios use integrales triples para hallar lo pedido: 25) Encuentre el volumen del sólido de la región entre el cilindro z y 2 , el plano xy que está limitada por los planos: x 0, x 1, y 1, y 1 . 26) Encuentre el volumen del sólido de la región del primer octante limitada por los planos x z 1, y 2 z 2 . 27) Determine el volumen del sólido en el primer octante, limitado por los planos coordenados, el plano y z 2 , y el cilindro x 4 y 2 . 28) Hallar el volumen de la cuña cortada por el cilindro x 2 y 2 1 , y por los planos z y, z 0 . 29) Encuentre el volumen del sólido formado por el tetraedro en el primer octante limitado por los y z planos coordenados y el plano x 1 . 2 3 30) Determine el volumen de la región sólida en el primer octante limitada por los planos coordenados, el plano y 1 x , la superficie z cos x , para 0 x 1 . 2 31) Determine el volumen del sólido que resulta de la intersección de los cilindros: x 2 y 2 1 , x2 z 2 1. 32) Determine el volumen del sólido que esta por encima del plano xy que resulta de la intersección de los cilindros: x 2 y 2 1 , x 2 z 2 1 . 33) Determine el volumen del sólido en el primer octante que resulta de la intersección de los cilindros: x 2 y 2 1 , x 2 z 2 1 . 34) Encuentre el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos coordenados y la superficie z 4 x 2 y . 35) Halle el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos coordenados, el plano x y 4 , y el cilindro y 2 4 z 2 16 36) Encuentre el volumen de la región sólida cortada por el cilindro x 2 z 2 4 , el plano z 0 y el plano x z 3 .
13 En los siguientes ejercicios use coordenadas esféricas para determinar lo pedido 37) Hallar el centro de masa de un hemisferio sólido de radio a, si la densidad es proporcional a la distancia del centro de la esfera. 38) Hallar el centro de masa de un hemisferio sólido de radio a, si la densidad es proporcional a la distancia del eje de simetría. 39) Calcule el volumen del sólido dentro de la esfera x 2 y 2 z 2 16 , fuera del cono
z x 2 y 2 , y por arriba del plano xy. 40) Determine el volumen del sólido dentro de las esferas 2 2 cos y 2 . D) INTEGRALES DOBLES. CALCULO DE VOLUMENES Usar integrales dobles o triples para determinar el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas. 41) Calcule el volumen del sólido encerrado por las graficas de las ecuaciones dadas: y 0, z 0, y x, z x, x 0, x 5 42) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: y 1 x 2 , z 1 x 2 , en el primer octante. 1 43) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z , 1 y2 x 0, x 2 , y 0 . 1 44) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z , 2 1 x y2 x z 0, y 0, x 0 , y 1 2 45) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: 9 y x 2 , z 2 9 y , ubicado en el primer octante. Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares. a
46) 47)
a2 y2
ydxdy 0
0
a
a2 x2
xdxdy 0
48)
49)
0 32 x 2
x 3
0
0
2
8 y 2
0
50)
0
2
2 x x2
0
0
xy dydx
4 y y2
2
0
0
y2
3
2
dydx
x 2 y 2 dxdy
x dxdy 4
51)
2
14 Use la integración doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido acotado por las gráficas de las funciones. 52) z xy, x 2 y 2 1 , en el primer octante. 53) z x 2 y 2 1 , z 0 , x 2 y 2 4 54) z x 2 y 2 , z 0 , x 2 y 2 25
55) z ln x 2 y 2 , z 0 , 1 x 2 y 2 4 56) Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y al cilindro x 2 y 2 4 x 0 57) Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro x 2 y 2 1 58) Determine el valor a de modo que el volumen interior del hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro x 2 y 2 a 2 , sea la mitad del volumen del hemisferio. 59) Determinar el valor del diámetro que ha de tener una perforación vertical por el centro del sólido 2 2 acotado por las gráficas de las ecuaciones: z 25 e x y 4 , z 0 , x 2 y 2 16 , de tal manera que se elimine la décima parte del volumen del sólido. En los siguientes ejercicios use la integración doble para hallar la masa y el centro de masa de la lámina cuya densidad se especifica. 60) El rectángulo de vértices: (0,0), (a,0), (0,b), (a,b) para las densidades: (a) k , (b) ky , (c) kx , (d) kxy , (e) k x 2 y 2 61) El triángulo de vértices: (0,0), (a,0), (0,a), para las densidades: (a) k , (b) k x 2 y 2 62) y a 2 x 2 , y 0 para la densidad k a y y 63) 0 x,0 y , x 2 y 2 a 2 , para la densidad k x 2 y 2 64) y x , y 0, x 4, para la densidad kxy En los siguientes ejercicios hallar el área de la superficie de la lámina: 65) Porción del plano z 24 3x 2 y ubicado en el primer cuadrante. 66) Porción del paraboloide z 16 x 2 y 2 ubicado en el primer cuadrante. 67) Porción de la esfera x 2 y 2 z 2 25 ubicado en el interior del cilindro x 2 y 2 9 . 68) Porción del cono z x 2 y 2 en el interior del cilindro x 2 y 2 1 . 69) La parte de la función f ( x, y ) 2 y x 2 que se encuentra la región dado por la región triangular dada por los puntos: (0,0), (1,0), (1,1). 70) La parte de la función f ( x, y ) 2 x y 2 que se encuentra la región dado por la región triangular dada por los puntos: (0,0), (2,0), (2,2). 71) La parte de la función f ( x, y ) 4 x 2 y 2 que se encuentra la región R dada por R x, y : 0 f x, y 72) La parte de la función f ( x, y ) x 2 y 2 que se encuentra la región R dada por R x, y : 0 f x, y 16 73) La parte de la función f ( x, y ) 4 x 2 y 2 que se encuentra la región R dada por R x, y : 0 x 1,0 y 1
15 En los siguientes ejercicios use integrales triples en coordenadas esféricas para hallar lo pedido (similares) 74) El volumen del sólido comprendido por las esferas: x 2 y 2 z 2 a 2 y x 2 y 2 z 2 b 2 , donde b a , e interior al cono x 2 y 2 z 2 75) El volumen del sólido comprendido por las esferas: x 2 y 2 z 2 1 y x 2 y 2 z 2 4 , e interior al cono x 2 y 2 z 2 76) El volumen del sólido comprendido por las esferas: x 2 y 2 z 2 4 y x 2 y 2 z 2 9 , e interior al cono x 2 y 2 z 2 . 77) Hallar la masa de la esfera x 2 y 2 z 2 a 2 con densidad proporcional a la distancia de un punto al origen. 78) Hallar la masa de la esfera x 2 y 2 z 2 a 2 con densidad proporcional a la distancia de un punto al eje z. 79) Hallar la masa de la esfera x 2 y 2 z 2 4 con densidad proporcional a la distancia de un punto al origen. 80) Hallar la masa de la esfera x 2 y 2 z 2 9 con densidad proporcional a la distancia de un punto al eje z. 81) Determine el centro de masa del sólido de densidad uniforme del hemisferio de radio r. 82) Determine el centro de masa del sólido de densidad uniforme comprendido entre dos hemisferios concéntricos de radios r y R, con r
16 95) Encuentre el centro de masa de la placa triangular delgada limitada por el eje y y las rectas y x, y 2 x , si la densidad x, y 6 x 6 y 3 . En los siguientes ejercicios use integrales triples en coordenadas cilíndricas o esféricas para hallar lo pedido. 96) Encuentre el volumen de la porción de la esfera sólida de radio a , que se encuentra entre los conos y 2 . 3 3 97) Encuentre el volumen de la región cortada de la esfera sólida de radio a por los medios planos 0 y en el primer octante. 6 98) Determine el volumen de la región más pequeña cortada de la esfera sólida de radio 2 por el plano z 1 . 99) Encuentre el volumen del sólido encerrado por el cono z x 2 y 2 , entre los planos z 1 y z 2. 100) Halle el volumen del sólido de la región limitada por el plano z 0 , lateralmente por el cilindro x 2 y 2 1 y arriba por el paraboloide z x 2 y 2 . 101) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el paraboloide z x 2 y 2 , lateralmente por el cilindro x 2 y 2 1 y arriba por el paraboloide z x 2 y 2 1 . 102) Encuentre el volumen del sólido cortado del cilindro de pared gruesa 1 x 2 y 2 2 por los conos z x 2 y 2 . 103) Determine el volumen de la región que se encuentra dentro de la esfera, y fuera del cilindro x2 y2 1. 104) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro x 2 y 2 4 y los planos z 0, y z 4 . 105) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro x 2 y 2 4 y los planos z 0, x y z 4. 106) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada arriba por el paraboloide z 5 x 2 y 2 , y abajo por el paraboloide z 4 x 2 4 y 2 . 107) Halle el volumen del sólido de la región limitada, arriba por el paraboloide z 9 x 2 y 2 , abajo por el plano xy, y situada fuera del cilindro x 2 y 2 1 . 108) Encuentre el volumen del sólido de la región cortada del cilindro x 2 y 2 1 por la esfera x2 y2 z2 4 109) Determine el volumen de la región sólida limitada arriba por la esfera x 2 y 2 z 2 2 y abajo por el paraboloide z x 2 y 2 .
