2 CONTEÚDO
07
PROFº: GEORGE CHRIST
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS). A Certeza de Vencer
1. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
r b . A secante de um arco x (sec x) é o inverso do m cosseno deste mesmo arco e vice-versa. o c . o t 1 c , com cos x ≠ 0 se c x = a p c os x m i l 1 a t , com sec x ≠ 0 co s x = r o s e c x p . w w A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do w
seno deste mesmo arco e vice-versa.
o c s o n o c
RELAÇÃO AUXILIAR 1: A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco. tg2 x + 1 = sec 2 x . DEMONSTRAÇÃO Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA sen2 x + cos2 x = 1 por cos2 x , temos:
(
s e n 2 x + c os 2 x = 1 ÷ c o s 2 x 2
1 , com sen x ≠ 0 s en en x 1 , com cossec x ≠ 0 sen x = coss ossec x
2
⎛ sen x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ +1 = ⎜ ⎟ ⎝ c os x ⎠ ⎝ c os x ⎠ tg2 x + 1 = sec 2 x
A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da tangente deste mesmo arco e vice-versa. 1 , com tg x ≠ 0 tg x 1 , com cot g x ≠ 0 tg x = co t g x
cotg2 x + 1 = cossec 2 x DEMONSTRAÇÃO
. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA Dividindo Ambos os membros da 2 2 TRIGONOMETRIA sen x + cos x = 1 por sen2 x , temos:
OBSERVAÇÕES
(
sen2 x + cos2 x = 1 ÷ cos2 x
a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno; b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno; cotan ente ente ossui ossui o mesmo mesmo sinal sinal da tan ente. ente. c A cotan
sen2 x s en 2 x
+
cos2 x s en 2 x
=
1 s en 2 x
2
2
1+ ⎜
A tangente de um arco x é igual a quociente entre o seno e o cosseno deste mesmo arco.
Grave a Frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA: TRIGONOMETRIA: A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco qualquer é igual a 1 (um).
tg x =
c ot g x =
DEMONSTRAÇÃO 1
– 1 O
– 1
x 1 x cosx A
s en x , com cos x ≠ 0 cos x
A cotangente de um arco x é igual ao quociente entre o cosseno e o seno deste mesmo arco.
sen2 x + cos2 x = 1
P
1
)
⎛ c os x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ s en x ⎠ ⎝ s en x ⎠ 1 + cotg2 x = cossec 2 x cotg2 x + 1 = cossec 2 x
U: todos são positivos; S: o seno e a cossecante são positivos; T: a tangente e a cotangente são positivas; C: o cosseno e a secante são positivos. positiv os.
senx
2
RELAÇÃO AUXILIAR 2: A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco.
c ot g x =
S U T C
)
2
s e n x c os x 1 + = c os 2 x c o s 2 x c o s 2 x
cossec ssec x =
e l a F
JACKY01/*04/08
c os x , com sen x ≠ 0 se n x
Exemplos:
senx
01. (UNEB – BA) Se x pertence ao intervalo ⎡⎢0, ⎣
cosx Aplicando o Teorema de Pitágoras: a 2 = b2 + c 2 12 = sen2 x + cos2 x sen2 x + cos2 x = 1
tg x = 2 , entã entãoo cos x vale vale:: a)
3 2
b)
2 2
FAÇO IMPACTO A CERTEZA DE VENCER!!! -
π ⎤ 9 e 0 2 ⎥⎦ 0 2
c)
1 2
d)
5 5
e)
3 5
–
R A L U B I T S E V
r b . Resolução: m Como x é um arco do primeiro quadrante todas o c . razões trigonométricas são positivas. o t c Calculamos a secante de x pela Relação Auxiliar 1: a p tg2 x + 1 = sec 2 x m i l a 22 + 1 = sec 2 x t r o s ec 2 x = 5 p . w sec x = ± 5 ⇒ sec x = 5 1º quadrante w w
(
o c s o n o c e l a F
as
)
Calculamos o cosseno de x pela relação: 1 cos x = s ec x 1 . 5 5 cos x = ⇒ c os x = 5 5. 5 ALTERNATIVA (D)
2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométricas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões.
Exemplos: 02. (UCDB – MT) Para todo x ∈
(
)(
tal que x ≠
π
2
+ k.π ,
)
k ∈ , expressão cos2 x . tg2 x + 1 é igual a: s en x c) 1 cos x s en x b) 1 + cos x d) 2 se Resolução: Como tg2 x + 1 = sec 2 x , temos:
e) sen x + cos x
a)
(
cos2 x
) .(
)
tg tg2 x + 1 = cos2 x . sec2
03. (UCDB) Simplificando a expressão E = ( sec x − cos x ) . ( cossec x − sen x ) . ( tg x + cotg x ) , obtém-se: a) E = sen x c) E = tg x e) E = 1 b) E = cos x d) E = 0 04. (UCSAL) Qualquer que seja o número real x, a expressão cos4 x − sen4 x é equivalente a: a) sen2 x − 1
c) 2 cos2 x − 1 e) ( sen x + cos x) . cos x
b) 2senxcosx
d) 2 − cos2 x
05. (UCDB – MT) Simplificando-se a expressão se n x 1 + co s x obtém-se: y= + 1 + cos x se n x a) y = 2 cotg x c) y = 2 cos x e) y = 2cossec x b) y = 2 sen x d) y = 2 tg x 5π < x < 3π . 2 Então a expressão E = − 4 sen x − 6 cos x + cot g x vale: 2 2 3 3 9 a) b) − c) d) − e) 3 3 2 2 4
06. (UCDB) Sabe-se que 4 tg2 x = 9 e
07. (U.F.VIÇOSA) Sabendo que senx = valor de
x = cos2 x .
1 =1 cos2 x
ALTERNATIVA (C)
3. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL). 01. (CEFET) Assinale a alternativa falsa: 3 1 a) sec x = c) cos x = 3 4 b) tg x = 50 000 d) sen x = 1
e) cos x = 50
a)
1 – 1 tg 60º 60º =
3 3
300º = 3 2 – 2 cot g 3 3 – 3 sec 60º = 2 3 4 – 4 coss cossec ec 30º 30º = 3
b)
2 2 3
c) −
3 2 4
d) −
2 2 3
e) 3
π
09. (PUC) O arco que tem medida x em radianos é tal que
Na questão 02, assinale na coluna I as proposições corretas e na coluna II as proposições erradas.
tem-se: I – II 0 – 0 tg 30º = 3
c os s e c x − s e c x é: c ot g x − 1
08. (UNIFOR) Para todo x ≠ k . , k ∈ , a expressão 2 cossec θ + cos θ é equivalente é: sec θ + sen θ a) −tg θ c) −cotg θ e) sec θ . tg θ b) tg θ d) cotg θ π
sen 60º 60º = 02. (UNICAP) Sabendo que sen
3 2 4
1 π e < x <π, o 3 2
3 1 e sen sen 30º 30º = , 2 2
2
< x < π e tg x = − 2 . O valor do seno de x é:
a)
3
b) 2
c)
3 3
d)
10. (UAAM) Sabendo que sen x =
6 3
e)
2 2
2 e que x está no 1º 3
quadrante, o valor de cotg x é: a)
5 2
01 A
b)
1 3
02 I – 2,3 II – 0,1,4
FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
c)
5 3
5 3
d)
e)
5 2
GABARITO 03 04 05 06 07 08 09 10 E
C
E
D
C
D
D
E
9 0 0 2 – R A L U B I T S E V
