Matemática Básica
Professor conteudista: Renato Zanini
Sumário Matemática Básica Unidade I
1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES....................................................................2 2 EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES ............................................................................................6 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES ...............................................................................................................................7 4 RESOLVENDO INEQUAÇÕES ........................................................................................................................13 5 REGRA DE TRÊS SIMPLES: RELAÇÃO DIRETA E INVERSA ENTRE GRANDEZAS ......................17 6 PORCENTAGEM: CONCEITOS FUNDAMENTAIS....................................................................................19 Unidade II
7 FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS REPRESENTAÇÕES ......................................................................22 8 FUNÇÃO DO 1º GRAU .................................................................................................................................... 25 9 FUNÇÃO DO 2º GRAU .................................................................................................................................... 31 10 SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE INTERSEÇÃO) ......................................................................... 35
MATEMÁTICA BÁSICA
Unidade I APRESENTAÇÃO Caro aluno, Sua visitação por conteúdos matemáticos já estudados no Ensino Fundamental e Médio contemplará o objetivo geral da disciplina Matemática Básica que, por sua vez, 5 deseja capacitá-lo na operação com formulações e modelos matemáticos, no desenvolvimento do raciocínio lógico, espírito de investigação e habilidade em solucionar problemas, além de fazê-lo se familiarizar com símbolos, métodos e técnicas matemáticas que ajudem a estimular, organizar o 10 pensamento e, portanto, oferecer “ferramentas” necessárias para futuras aplicações da matemática nas diferentes áreas profissionais. O material apresentado a seguir está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos os conjuntos numéricos, 15 suas operações e a resolução de equações e inequações, além de algumas aplicações utilizando regra de três simples e números percentuais. Em seguida, na segunda parte, abordaremos o conceito de Função e suas representações. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por 20 meio de exemplos. Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias. Observação: durante as aulas (estudos e provas), se for necessário, utilize apenas uma simples calculadora para facilitar os cálculos.
1
Unidade I
1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES Representações Os números que utilizamos diariamente em nossa vida são organizados por meio de conjuntos. Veja: • conjunto dos números naturais : N = {0; 1; 2; 3; 4;...}; 5
• conjunto dos números inteiros (Z): o conjunto dos números inteiros é formado por todos os elementos do conjunto dos números naturais (números inteiros positivos) e também por todos os números inteiros negativos: Z = {...; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; ...};
10
• conjunto dos números racionais (Q): um número racional é representado por meio de uma fração. Por exemplo: 1 3 6 4 3 5 2 8 1 7. ; ; ; − ; − ; ; ;− ; ;
2 4 5
3
2 1 1
1 3 9
Toda fração pode ser representada de outra maneira se dividirmos o seu numerador pelo seu denominador. Observe os 15 exemplos abaixo:
1 = 1: 2 = 0, 5 2 5 = 5 :1= 5 1
3 = 3 : 4 = 0, 75 4
3 , = −3 : 2 = −15 2
−
8 = −8 : 1 = −8 1
−
1 = 1: 3 = 0, 3333... (dízima periódica) 3 7 = 7 : 9 = 0, 7777... (dízima periódica) 9
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MATEMÁTICA BÁSICA Portanto, podemos dizer que o conjunto dos números racionais (Q) é formado pelo conjunto dos números inteiros (que podem ser representados na forma de fração) e também por números “não inteiros” que, necessariamente, são representados 5 por meio de frações e de números decimais;
10
• conjunto dos números irracionais (Ir): o conjunto dos números irracionais é formado por números que não se podem expressar como quocientes de dois números inteiros, ou seja, não se podem expressar por meio de fração. Por exemplo: se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Logo, são irracionais √2, √3, √5, √7, √8, √10 e outros. Tais números são representados por dízimas infinitas e não periódicas. Veja:
15
√2 = 1,4142135...
√3 = 1,7320508...
√5 = 2,2360679...;
• conjuntos dos números reais (R): reunindo o conjunto dos números irracionais (Ir) e o conjunto dos números racionais (Q), obtemos o conjunto dos números reais (R). A representação dos números reais na reta numérica: 20
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Reais
Observação : vale lembrar que, entre dois números reais inteiros, existem infinitos outros números reais.
Operações – relembrando através de exemplos “Multiplicação” e “Divisão” em primeiro lugar: 25
2 + 5 . 7 = 2 + 35 = 37
10 – 15 : 3 = 10 – 5 = 5
3
Unidade I Distributiva: 3 . (4 + 6) = 3 . 4 + 3 . 6 = 12 + 18 = 30 5 . (10 – 6) = 5 . 10 + 5 . (–6) = 50 – 30 = 20 Os sinais: 5
– 7 – 4 = –11
–7 +4=–3
7–4=3
(– 7) . (– 4) = +28
(–7) . (+4) = –28
7 . (– 4) = –28
(– 7) : (– 4) = +1,75 (–7) : (+4) = –1,75 7 : (– 4) = –1,75 Potências: 102 = 10 . 10 = 100 10
2 . 102 = 2 . (10.10) = 2.100 = 200 (–10)2 = (–10) . (–10) = 100 –102 = – (10 . 10) = –100 53 = 5 . 5 . 5 = 125 (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
15
91/2 = √9 = 3 Frações e representações decimais:
2 5 7 + = = 7 : 3 = 2, 333... ≅ 2, 3 3 3 3 1 3 2 3 5 + = + = = 5 : 4 = 1, 25 2 4 4 4 4
4
MATEMÁTICA BÁSICA (Obs.: a fração ½ é equivalente à fração 2/4)
2 4 2⋅4 8 ⋅ = = = 8 : 15 = 0, 5333... ≅ 0, 53 3 5 3 ⋅ 5 15 1 3 1 6 6 : = ⋅ = =1 2 6 2 3 6 (Obs.: multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda) 5
As raízes: √8 . √2 = √16 = 4 √8 : √2 = √4 = 2 √8 + √2 ≅ 2,83 + 1,41 ≅ 4,24
(Obs.: √8 + √2 ≠ √10)
√8 – √2 ≅ 2,83 – 1,41 ≅ 1,42
(Obs.: √8 – √2 ≠ √6)
(√8)2 = 8
10
√3 + √3 = 2.√3 ≅ 2 . 1,73 ≅ 3,46
Subconjuntos de R – Interpretando a simbologia: A = {x ∈ R | x > –3} Quais são os elementos do conjunto A? Resp.: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números 15 reais, tal que “x” são elementos reais maiores que –3. B = {x ∈ R | x ≤ –2} Quais são os elementos do conjunto B? Resp.: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “x” são elementos reais menores ou iguais a –2.
5
Unidade I C = {x ∈ R | –8 < x < –3} Quais são os elementos do conjunto C? Resp.: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “x” são elementos reais maiores que –8 (pois -8 < x) e menores que –3 (pois x < –3), ou seja, elementos reais 5 que estão entre os números –8 e –3.
2 EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES Utilizamos as letras para representar ou traduzir, em linguagem matemática, as operações estudadas em aritmética. Tais representações são “ferramentas” muito úteis na resolução de problemas. Para relembrar: 10
• valor numérico de expressões literais: Considere: y = x2 + 2x Qual o valor de y quando x = 2? Resp .: y = (2)2 + 2.(2) = 4 + 4 = 8
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Considere: p = m3 – 4m2 + 3m + 5 Qual o valor de p quando m = 3? Resp .: p = (3) 3 – 4.(3) 2 + 3.(3) + 5 = 27 – 4.(9) + 9 + 5 = 27 – 36 + 9 + 5 = 5
• operações com expressões literais: x . x = x2 20
x + x = 2x (5b + 3c – a) + (3a – 4b – 2c) = 5b + 3c – a + 3a –4b – 2c = b + c + 2a – (6x + 12y) = – 6x – 12y
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MATEMÁTICA BÁSICA – (–5x + 3y) = + 5x – 3y (9x + 15y) – (6x + 12y) = 9x + 15y – 6x – 12y = 3x + 3y (3c) . (–4c) = –12c2 2.(3x + 4y) = 6x + 8y 5
3c . (4c – 2c2) = 12c2 – 6c3 (2x + 3y).(5x – 3y) = 10x2 – 6xy + 15xy – 9y2 = 10x2 + 9xy – 9y2 (12x3) : (3x) = 4x2 • produtos notáveis: (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a 2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
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(a – b)2 = (a – b).(a – b) = a 2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 (a + b).(a – b) = a 2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
3 RESOLVENDO EQUAÇÕES As equações são igualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma equação, pode-se encontrar um valor desconhecido. Veja: 15
Exemplo 1: 2y + 6 = 10
(Vamos encontrar “y”)
2y + 6 – 6 = 10 – 6 2y = 4
2y 4 = 2 2 20
y=2
7
Unidade I Exemplo 2: 5x + 3 = 2x + 6
(Vamos encontrar “x”)
5x + 3 – 3 = 2x + 6 – 3 5x = 2x + 3 5
5x – 2x = 2x – 2x + 3 3x = 3
3x 3 = 3 3 x=1 Exemplo 3: 10
– 2m + 3 = 4m + 6 – 2m + 3 – 3 = 4m + 6 – 3 – 2m = 4m + 3 – 2m – 4m = 4m – 4m + 3 – 6m = +3
15
6m +3 = 6 − −6
−
m= −
8
3 1 = − = −0, 5 6 2
(Vamos encontrar “m”)
MATEMÁTICA BÁSICA Exemplo 4: 14 = 2p + 3
(Vamos encontrar “p”)
14 – 3 = 2p + 3 – 3
11 2p = 2 2 5
11 =p 2 5,5=p Exemplo 5: 2.(3t + 5) = 4.(t – 3)
(Vamos encontrar “t”)
6t + 10 = 4t – 12 10
6t + 10 – 10 = 4t – 12 – 10 6t = 4t – 22 6t – 4t = 4t – 22 – 4t 2t = – 22
2t −22 = 2 2 15
t = –11 Exemplo 6: 4n + 10 = 0
(Vamos encontrar “n”)
4n + 10 – 10 = 0 – 10
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