ACADEMIA
M A
T
SOLUCIONARIO MATEMÁTICA SI G
SIGMATH
UNASAM - 2010 I
DE PIE SOBRE LOS HOMBROS DE LOS DEMÁS
MATEMÁTICA Pregunta N.º 01 La suma de dos números es 930. Su cociente es 17, y su residuo de su división es el mayor posible. Indique la diferencia de los números. A) 822 D) 850
B) 832
C) 842 E) 845
y 1 y 2 y 3 y 1317
a i m e d a c A
y 3 y 2 y 2 2y y 3 1317
Sean A y B los números buscados, entonces según las condiciones del problema se tiene: (1)
y 3 y 3 1317 y 3 y 1320
y y 2 1 11 112 1
Por igualdad de componentes
B 17
A 17 B B 1 A 18 B 1
Descomponiendo polinómicamente
H T A M G I S
Tema: Cuatro operaciones
A B 1
Tema: Numeración
y 1 y 2 y 2 y y 3 1317
Resolución
A B 930
Resolución
y 11
Respuesta:
(2)
Por lo tanto el valor de y 11
Reemplazando (2) en (1) 18 B 1 B 930 19 B 931
B 49
Alternativa E
Pregunta N.º 03 Si el producto de dos números A y B es 1 000 y el 2
MCM A, B MCD A, B .
A 881 B 49
2
¿Cuánto es el valor de
Respuesta: Por lo tanto la diferencia de los números es: A B 881 49 832
Alternativa B
A) 1 000 D) 3 000
MCM A, B ? MCD A, B
B) 1 100
C) 2 500 E) 1 500
Resolución
Pregunta N.º 02 Hallar el valor de “y” si:
Tema: MCD y MCM
y 1 y 2 y 3 y 1317
MCM A, B Nos piden calcular el valor de MCD A, B
A) 9 D) 12
B) 14
C) 13 E) 11
Según condición del problema
2
1
MATEMÁTICA MCM A, B MCD A, B
Sea x el valor de A cuando B aumenta:
2
Como A D.P. B 2 , entonces
Simplificamos adecuadamente esta expresión para darle forma a lo que se pide: MCM A, B MCD A, B MCD A, B
MCM A, B MCD A, B MCD A, B 2
() Por propiedad del MCD y el MCM para dos números A y B se cumple:
Reemplazando en () 2
MCM A, B 1000 MCD A, B
(dato)
B)
Respuesta: Por lo tanto, cuando B aumenta en ½ de su valor, A aumenta en 5/4 Alternativa C
4 5
C)
5 4
E)
3 5
Tema: Comparación de Magnitudes Construyamos el siguiente cuadro D.P.
B2 3B 2
2
m 3m2n3 x mn ordenado n y completo, la suma de sus coeficientes es: P x m n x mn1
B) 6
Alternativa A
Resolución
x
9 A 4
9 5 A A A 4 4
A) 5 D) 8
Pregunta N.º 04 Si se sabe que la magnitud “A” es directamente proporcional al cuadrado de la magnitud “B”, determinar en qué fracción de su valor aumenta “A” si “B” aumenta en un medio de su valor.
A
x
H T A M G I S
MCD A, B MCM A, B 1000
3 4
Pregunta N.º 05 Dado el polinomio:
Entonces:
D)
2
a i m e d a c A
MCD A, B MCM A, B A B
7 4
3B B 2 2 A x
Ahora determinamos en que fracción de su valor aumentó A, para ello hacemos la siguiente diferencia
MCM A, B MCD A, B MCM A, B MCD A, B
A)
valor de B 2 cte valor de A
Como B aumenta en ½ de su valor, entonces B+1/2B=3B/2
C) 7 E) 9
Resolución
Tema: Polinomios
Como el polinomio es ordenado y completo m n 1 2
3m 2n 3 1
m 2 De donde: n 1 Reemplazando estos valores en el polinomio P P x 3 x 2 2x 2 Para hallar la suma de coeficientes, evaluamos el polinomio en el punto x 1
coeficientes P 1 3 1 coeficientes 7
2
2 1 3
Respuesta: Por lo tanto,
coeficientes 7 Alternativa C
2
MATEMÁTICA Pregunta N.º 07
Pregunta N.º 06 Sean los conjuntos:.
B y
A x
Si , a b,
1 y 4
2 x 3 ,
a
x, y B A
1 x 2 12 x 3 , el valor de es: b
inecuación,
Y sea la relación S
A) 58 D) 72
xy0 .
B) 60
La suma de los elementos del rango de S es: A) – 2 D) 1
B) 0
C) – 1 E) 3
H T A M G I S
1 0 1 2 3
Aplicando el teorema se tiene:
x 2 12 x 0
x 4 x 3 0
S
x , 3 4,
xy0
En el diagrama de Veen
B
x y x0
x 2 12 x 3
Se tiene una relación
x, y B A
Tema: Desigualdades e Inecuaciones
a i m e d a c A
A 2, 1,0,1, 2, 3
S
Resolución
y 0 ;
Definimos los elementos de los conjuntos A y B.
B 1,0,1, 2, 3
C) 30 E) 64
Teorema :
Resolución
Tema: Relaciones
es un conjunto solución de la
Como la solución tiene la forma , a b, , entonces igualando componentes se tiene:
A
a
a 3 1 1 b 4 b 4
2 1 0 1 2 3
3
4 3 64
Respuesta: a
1 Por lo tanto el valor de 64 b
De donde:
Alternativa E
Pregunta N.º 08
Dom S 1,0,1, 2
Si x, y tal que log y x log x y
Rang S 2, 1,0,1
El valor de
Respuesta:
10 , xy 256 . 3
xy es: 2
Por lo tanto la suma de los elementos del rango de S 2 1 0 1 2
Alternativa A
A) 28 D) 34
B) 30
C) 32 E) 36
3
MATEMÁTICA Resolución
Resolución
Tema: Logaritmos
Tema: Probabilidades
En log y x log x y
10 3
Piden: ¿Cuál es la probabilidad que ambas sean mujeres?. Se tiene:
()
Hacemos el siguiente cambio de variable: log y x m
1 log x y m
3m 1 m 3 0
Si
m
N casos favorables C26
1 3
a i m e d a c A
xy
Por lo tanto la probabilidad de que las dos sean mujeres es:
3
las 2 sean N casos favorables 15 P 91 N casos totales mujeres
Del dato
xy 256 y 3 y 256 y 4 256
y 4 y 4 y 2 16 0
y 4 y 4 y 4 i y 4 i
Pero como x, y Luego x 64 Por lo tanto:
Respuesta:
las 2 sean 15 Por lo tanto, P mujeres 91
Pregunta N.º 10 En un trapecio isósceles la base mayor mide 60 cm y los lados no paralelos 30 cm. Si sus diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos, la base menor mide: A) 15 cm. D) 20 cm.
Respuesta: xy 34 2
B) 30 cm.
Alternativa D
Tema: Cuadriláteros Bosquejando la gráfica
De un grupo de 8 hombres y 6 mujeres se elige al azar 2 personas. La probabilidad de que ambas sean mujeres es:
D)
15 91
C) 40 cm. E) 25 cm.
Resolución
Pregunta N.º 09
5 91
Alternativa D
y4
x y 64 4 34 2 2
A)
65 3 5 15 2!
H T A M G I S
m 3 log y x
Por lo tanto
14 13 7 13 91 2!
Queremos que las dos personas elegidas sean mujeres.
1 10 m 3
m3
se extraen 2 personas al azar
N casos totales C214
Reemplazando en () m
H : 8 M : 6
B)
7 91
C)
13 91
E)
17 91
B
x 30
30
30 30
30 30 3
30
A
C
30 30
60
D
4
MATEMÁTICA En el triángulo ACD , usamos el teorema de Pitágoras para calcular AC :
Respuesta: Por lo tanto el valor de TQ 6 Alternativa A
2
2
AC 30 60
2
AC 30 3
Como AC BD 30 3
y
AD // BC
Pregunta N.º 12 Dada la figura, hallar “x” en función de “a” y “c”
C
Entonces el triángulo BCD es isósceles, por lo tanto x 30 cm. Respuesta: Por lo tanto el valor de x 30 cm.
a Alternativa B
x
Pregunta N.º 11 En la figura adjunta T, Q, E, F son puntos de tangencia. AB 12 y AC 18 . Hallar TQ
A
a i m e d a c A
c
H T A M G I S E
B
T
A)
a2 c
D)
c3 a2
Q
A
C
A) 6 D) 4
B) 3
F
C) 9 E) 5
a3 c2
B)
B
C)
c2 a
E)
a4 c3
Resolución
Tema: Semejanza de triángulos
Nos piden hallar “x” en función de “a” y “c”
C
Resolución
Tema: Circunferencia Se sabe que: BT QC m
Ea
x
BE BQ m x
A E B m
Por teorema se tiene:
m
a 2 cm
x Q
A
18
C
(I)
Como ABC DBE
m
Pero como AF AE , entonces:
m
F
c a m x
m
ac x
(II)
Reemplazando (II) en (I)
18 m 12 m x x6
B
m x
T
12
m
c D
a2 c
ac x
x
a3 c2
5
MATEMÁTICA Respuesta:
Resolución
Por lo tanto el valor de x
a3 c2
Tema: La Parábola Alternativa B
Bosquejamos la gráfica según los datos Y
Pregunta N.º 13 E
Simplificar
cos tan 1 sen
A) sen D) cot
B) sec
Directriz L : y 8 p
C) tan E) cos
Resolución
V 3;3
p
a i m e d a c A R’
X F 3; 2
H T A M G I S
Tema: Identidades trigonométricas
R
Transformando a senos y cosenos E
2 cos sen cos 1 sen sen 1 sen cos 1 sen cos
1 2 2 cos sen sen 1 sen E 1 sen cos 1 sen cos
E
1 sec cos
Vemos que la parábola se abre hacia abajo. Luego su ecuación debe tener la forma:
x h
2
4 py k ; p 0
()
Por definición de parábola:
d(R, F ) d(R, L) 10 , y Como p es la distancia del foco al vértice con p 0 , entonces:
Respuesta: Por lo tanto el valor de E sec
Alternativa B
Pregunta N.º 14
d(F , V ) p 5
p 5
Del gráfico también se puede observar que:
La longitud del lado recto de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de ordenadas es 20 u; las
V 3, 3 h, k
coordenadas del foco son 3; 2 y su vértice está arriba del foco. La ecuación de la parábola es:
Ahora, para obtener la ecuación de la parábola,
2
A) x 5 15 y 7 2
B) x 12 10 y 4 2
C) x 8 5 y 3 2
D) x 1 10 y 1 2
E) x 1 10 y 1
h 3 , k 3
reemplazamos estos valores en () 2
x 3 4 5 y 3
x 3
2
20 y 3
Respuesta: Por lo tanto, la ecuación de la parábola es
x 3
2
20 y 3
Alternativa E
6
MATEMÁTICA Pregunta N.º 15
E 3 5 3
Indique el valor de
E 2cot 3 2
E 5
Respuesta:
B
Por lo tanto, E 5
16
A A)
Alternativa C
12
30
B) 2 3
3
C)
D) 7
C
5
E) 2 5
a i m e d a c A
H T A M G I S Resolución
Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos Piden calcular el valor de E 2cot 3 2 Haciendo
uso
de
la
identidad
auxiliar
x cot csc x cot x simplificamos la expresión E 2 E 2 csc cot 3
En el gráfico:
()
B
60
16
12 8
A
30
8 3
D
x4 5
C
En el BCD aplicamos Pitágoras 122 8 2 x 2
x4 5
Reemplazando las razones trigonométricas en () 12 4 5 E 2 3 8 8
7
