Questões Resolvidas QUESTÕES RESOLVIDAS 1 QUESTÕES RESOLVIDAS 2 QUESTÕES RESOLVIDAS 3 QUESTÕES RESOLVIDAS 4 QUESTÕES RESOLVIDAS 5 QUESTÕES RESOLVIDAS 6 QUESTÕES RESOLVIDAS 7 QUESTÕES RESOLVIDAS 8 QUESTÕES RESOLVIDAS 9 QUESTÕES RESOLVIDAS 10 QUESTÕES RESOLVIDAS 11 QUESTÕES RESOLVIDAS 12 QUESTÕES RESOLVIDAS 13 QUESTÕES RESOLVIDAS 14 QUESTÕES RESOLVIDAS 15 QUESTÕES RESOLVIDAS 16 QUESTÕES RESOLVIDAS 17 QUESTÕES RESOLVIDAS 18 QUESTÕES RESOLVIDAS 19 QUESTÕES RESOLVIDAS 20 Q. RESOLVIDAS 21 - Binômio de Newton Q. RESOLVIDAS 22 - Qual é a razão? • Q. RESOLVIDAS 23 - Ratos e homens • Q. RESOLVIDAS 24 - Uma pedra no aquário • Q. RESOLVIDAS 25 - Corrida Maluca • Q. RESOLVIDAS 26 - Ocupando salas • Q. RESOLVIDAS 25 – lembrado: um copo vazio está cheio de ar.
# QUESTÕES RESOLVIDAS 1 A QUESTÕES QUESTÕES RESOLVIDAS 20 => VÁRIOS ASSUNTOS INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail:
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Questões Resolvidas I 1. UFBA – Se f(g(x)) = 5x – 2 e f(x) = 5x + 4, determine a função g(x). SOLUÇÃO:
Podemos escrever: f(g(x)) = 5.g(x) + 4 = 5x – 2. Logo, teremos: 5.g(x) = 5x – 2 – 4 = 5x – 6 e, portanto, g(x) = x – 6/5. 2. FUVEST – Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente: a) 10 dias b) Um século c) 10 anos d) 100 séculos e) 10 séculos SOLUÇÃO:
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja, calcular o número de permutações simples de 10 elementos. Da teoria, teremos: P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para esgotar todas t odas as possibilidades. Vamos converter esse número em anos e, para isto vamos dividir por 360 dias (o mais exato seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma solução aproximada). Logo, vem:
Logo, serão necessários 100 séculos para esgotar todas as possibilidades, o que nos leva à alternativa D. 3. UNICAMP – Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas está sempre firme. Explique. SOLUÇÃO:
As três pernas determinam um único plano. Já as quatro pernas podem determinar mais de um plano, rigorosamente C4,3 = 4 planos, ocorrendo nesse caso, oscilação. Obs: C4,3 = nº de combinações de 4 elementos, taxa 3.
4. PUC-SP – Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40 metros por 2,75 metros. Qual o menor número de quadrados que ele pode colocar na parede? SOLUÇÃO:
Convertendo para centímetros as dimensões da parede, temos: 440 cm por 275 cm. Deveremos então achar o máximo divisor comum - MDC entre essas dimensões. Essa é a única forma f orma de achar a dimensão do lado de cada quadrado, que caberá exatamente na parede sem sobra de espaço. Temos: T emos: MDC(440,275) = 55 Portanto, 440/55 = 8 e 275/55 = 5, de onde se conclui que teremos 8.5 = 40 quadrados, todos com 55 cm de lado. 5. UFBA – Qual a fração geratriz de 0,39191... ? SOLUÇÃO:
Seja x = 0,39191... 0, 39191... Podemos escrever: 10x = 3,9191... 1000x = 391,9191... Subtraindo membro a membro, vem: 1000x – 10x = 391,9191... – 3,9191... 990x = 388 ∴ x = 388/990 = 194/495, que é a fração geratriz procurada. 6. FUVEST – Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por quanto? SOLUÇÃO:
Portanto, equivale a multiplicá-lo por 80. 7. UEFS – Hoje, A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é: a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 24 SOLUÇÃO:
É obvio tratar-se de um problema de MMC – mínimo múltiplo comum. Então, MMC(4,6) = 12, logo, letra D. INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.
Questões Resolvidas II 1 - Determine o número de algarismos de x = 2 15.517 SOLUÇÃO: Aplicando log decimal (base 10) a ambos os membros, vem: logx = log(215.517) = log215 + log517 = 15.log2 + 17.log5. Então, fica: logx = 15.log2 + 17.[log(10/2)] = 15.log2 + 17[log10 – log2] logx = 15.log2 + 17[1 – log2] logx = 15.log2 + 17 – 17.log2 logx = 17 – 2.log2 Sabemos que log2 = 0,3010... , portanto: logx = 17 – 2.0,3010 logx = 17 – 0,6020 = 16,3980 logx = 16,3980 Ora, concluímos que x possui 17 algarismos. Justificativa: se a característica (parte inteira) do logaritmo decimal de x for igual a c então Justificativa: o antilogaritmo (x) possui c+1 algarismos na sua parte inteira. Isto decorre da definição de característica de log decimal , vista num artigo anterior nessa página. Exemplos para fixação: Se logx = 3,5634 então x possui 4 algarismos na parte inteira. Se logy = 25,7639 então y possui 26 algarismos na parte inteira. Se logz = 47,8967 então z possui 48 algarismos na parte inteira, etc. NOTA: se você teve dificuldade em entender a solução desse problema, é um sinal claro que você terá que revisar as propriedades operatórias dos logaritmos logaritmos.. 2 - A equação em x e y, (2x+6y+a)2 + (x+by -7)2 = 0, admite infinitas soluções. Nestas condições, pede-se calcular o valor de Z = 10.b - a SOLUÇÃO: Ora, a única condição da soma acima ser nula é que: (2x+6y+a) = 0 (x+by-7) = 0 Logo, teremos: 2.x + 6.y = - a 1.x + b.y = 7 Para o sistema de equações do 1º grau acima admitir infinitas soluções, os coeficientes das equações participantes deverão ser necessariamente proporcionais. Logo, vem:
portanto Z = 10b – a = 10.3 – (-14) = 30+14 = 44.
3 - O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro. SOLUÇÃO: Sabemos que sendo dado um poliedro de V vértices, F faces e A arestas, vale a célebre relação de Euler: V+F=A+2 É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica: F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11. Portanto, o poliedro possui 11 faces.
Questões Resolvidas III 1. FUVEST 94 - 1ª fase Os números x e y são tais que 5 ≤ x ≤ 10 e 20 ≤ x ≤ 30. O maior valor possível de x / y é: a)1 / 6 b) 1 / 4 c) 1 / 3 d) 1 / 2 e) 1 SOLUÇÃO: A fração x / y com x e y positivos, terá t erá valor máximo, se x for máximo e y for mínimo. Portanto, x = 10 e y = 20, conclusão conclusão imediata a partir dos dados do problema. problema. Logo, o maior valor possível da fração será x / y = 10 / 20 = 1 / 2. 2. Portanto, a alternativa correta é a de letra D. 2. FUVEST 94 - 1ª fase O valor de (tg10º + cotg10º) . sen20º é: a) 1 / 2 b) 1 c) 2 d) 5 / 2 e) 4 SOLUÇÃO: Substituindo a tangente e a cotangente em função do seno e cosseno, vem: (
10° cos10° + ) ⋅ (2.sen10. cos10°) = 2 cos10° sen10° sen
Lembre-se que sen2x = 2.senx.cosx e por isso sen20º = 2.sen10º.cos10º Alternativa C
3. FUVEST 93 - 1ª fase 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas a água) até que a participação part icipação de água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia após esse processo de desidratação será igual a: a) 5 / 9 kg b) 9 / 5 kg c) 5 kg d) 9 kg e) 9,5 kg SOLUÇÃO: 95% . 10 = 0,95 . 10 = 9,5 kg de água ⇒ 10 - 9,5 = 0,5 kg de polpa após desidratada. Sendo x a massa da melancia desidratada (água + polpa), é claro que para que tenhamos 90% de água, deveremos ter: x - 0,90.x = 0,5 e portanto 0,1.x = 0,5 ⇒ x = 5 kg. Portanto, alternativa C. 4. FUVEST 95 - 1ª fase Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% SOLUÇÃO: Seja: Pc = preço de custo Pv = preço de venda Pt = preço da tabela Temos, de acordo com o enunciado: Pv = 1,44.Pc Pt = 1,80.Pc Portanto, para que a loja não tenha prejuízo, o maior desconto que poderá ser concedido será: Desconto = 1,80Pc - 1,44Pc = 0,36Pc Ora, 0,36Pc é o maior desconto em relação ao preço de tabela Pt = 1,80Pc. Logo, temos que determinar quantos porcento 0,36PC representa em relação ao preço de tabela 1,80Pc. Portanto, basta efetuar o quociente: 0,36Pc / 1,80Pc = 0,36 / 1,80 = 36 / 180 =1 / 5 = 0,20 = 20%. Logo, alternativa C.
5. FUVEST95 - 1ª fase Sabe-se que o produto de duas das raízes da equação 2x 3 - x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então o valor de k é: a) -8 b) -4 c) 0 d) 4 e) 8 SOLUÇÃO: Pelas Relações de Girard, sendo w, z e r as três raízes ( a equação é do 3º grau e portanto possui 3 raízes) sabemos que: Produto das raízes = w . z . r = - 4 / 2 = - 2. (Reveja Equações Algébricas ) Como o produto de duas das raízes vale 1, teremos: 1 . r = - 2; logo r = - 2. Ora, se -2 é raiz, então a equação é satisfeita para esse valor. Logo, substituindo, vem: 2(- 2)3 - (- 2)2 + (- 2).k + 4 = 0 2(- 8) - 4 - 2k + 4 = 0 - 16 - 4 - 2k + 4 = 0 -16 - 2k = 0 ⇒ - 16 = 2k e portanto, k = - 8. Alternativa A.
Questões Resolvidas IV 1) Numa festa encontram-se 30 pessoas entre moças e rapazes. A moça número 1 dançou com 5 rapazes, a moça número 2 dançou com 6 rapazes, a moça número 3 dançou com 7 rapazes e assim sucessivamente. Se a última moça dançou com todos os rapazes, determine o número de moças e de rapazes presentes à festa. SOLUÇÃO: Sejam as moças M1, M2, M3, ... , Mn. Do enunciado, vem: M1 dançou com 5 rapazes ( 1 ....... 5) M2 dançou com 6 rapazes ( 2 ....... 6) M3 dançou com 7 rapazes ( 3 ....... 7) ............................................................... ............................................................... Portanto, concluímos que: Mn dançou com n + 4 rapazes Ora, existem n moças e n+4 rapazes na festa. Logo, n + (n + 4) = 30 2n + 4 = 30 2n = 26 n = 13 e, portanto n+4 = 17. Resposta: 13 moças e 17 rapazes.
1) Determine o valor mínimo da função y = (3 - cosx) - 1. SOLUÇÃO: Temos:
Sabemos que -1 ≤ cosx ≤ 1, da definição de cosseno. Multiplicando a desigualdade por (-1), lembrando que isto muda o sentido da igualdade, vem: 1 ≥ - cosx ≥ -1 Adicionando 3 a todos os membros, a desigualdade não se altera. Logo, 1+3 ≥ 3 - cosx ≥ -1 + 3 4 ≥ 3 - cosx ≥ 2 Invertendo os membros da desigualdade, o seu sentido muda. Logo:
Logo, o menor valor da função é obviamente 1/4. Resposta: ¼
Questões Resolvidas V
Resolver a seguinte inequação em R, conjunto dos números reais.
SOLUÇÃO: Podemos escrever:
Observe que esta transformação algébrica somente foi possível devido ao fato do denominador ser um número positivo para x ≠ - 4. Lembre-se que o módulo é sempre positivo ou nulo. Nestas condições, poderemos quadrar - elevar ao quadrado - ambos os membros da desigualdade acima, obtendo: 49 - 28x + 4x2 ≤ 4(16 + 8x + x2) 49 – 28x + 4x2 ≤ 64 + 32x + 4x2 Cancelando os termos semelhantes 4x2 em ambos os membros, vem: - 28x – 32x ≤ 64 - 49 - 60x ≤ 15
Multiplicando ambos os membros da desigualdade acima por –1, o sentido da desigualdade muda e teremos: 60x ≥ - 15 x ≥ -15/60 x≥-¼ Logo, o conjunto solução da inequação dada no Universo dos Números Reais será: S = {x∈ R; x≥ ¼} = [1/4, ∞ ) (intervalo real dos números maiores ou iguais a ¼). Agora, coloco a seguinte questão: Se fosse dito no enunciado que o conjunto universo fosse o conjunto dos naturais, qual seria o conjunto solução da inequação dada? Ora, já sabemos que x ≥ ¼. Logo, em N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} = conjunto dos números naturais, teríamos que selecionar apenas as soluções que pertencem ao conjunto N. N. Teríamos, então: S = {1,2,3,4,5,6,7, ...} = N* = N – {0}. Lembrete: O conjunto solução (ou conjunto verdade) de uma equação ou inequação, depende do conjunto universo adotado. Assim é que, por exemplo, a equação 3x – 2 = 0, tem conjunto solução S = {2/3} no universo R dos números reais, porém em N conjunto dos naturais ou Z conjunto dos inteiros (positivo, negativo ou nulo) o conjunto solução da mesma equação seria vazio ou seja: S = φ (conjunto vazio, ou seja, um conjunto sem elementos), pois 2/3=0,6666... não é natural, nem inteiro. Perceberam? É muito importante perceber isto!
Questões Resolvidas VI
1) FEI /1968 - A igualdade 7 x + 7x-1 = 8x se verifica: a) apenas para valores irracionais de x b) apenas para x = 1 c) para x=0 e x=1 d) para x=1 e x = -1 e) nenhuma das respostas anteriores Solução: Podemos escrever, colocando 7x em evidencia: 7x(1 + 1/7) = 8x 7x(8/7) = 8x
Portanto, alternativa correta: B 2) Se a função f é tal que f(senx) = (senx)2 , então f(x) é igual a:
a) cosx b) tgx c) x2 d) 1 e) cosecx Solução: Seja senx = t. Vem: f(t) = t2 . Logo, f(x) = x2 e, portanto, alternativa C. 3) Se sen4x + cos4x = 5/8 e 45º < x < 90º então calcule sen2x. Solução: Considere a relação fundamental da Trigonometria: sen2x + cos2x =1 Quadrando ambos os membros, vem: (sen2x + cos2x)2 = 12 sen4x + 2.sen2x.cos2x+cos4x = 1 sen4x + cos4x = 1 – 2sen2xcos2x sen4x + cos4x = 1 – 2(senx.cosx)2 5/8 = 1 – 2(senx.cosx)2 Mas sen2x = 2senx.cosx ⇒ senx.cosx = (sen2x) /2 Substituindo o valor de senx.cosx , vem: 5/8 = 1 - 2[((sen2x) /2]2 5/8 – 1 = - 2[(sen22x) / 4] 5/8 – 1 = - (sen22x) / 2 1 – 5/8 = (sen22x) /2 3/8 = (sen22x) /2 ⇒ 6/8 = 3/4 = sen22x ⇒ sen2x = ± √ 3 /2 Ora, como o enunciado do problema nos informa que 45º < x < 90º, concluímos que 90º < 2x < 180º e portanto, o arco 2x é do 2º quadrante, onde sabemos que o seno é positivo. Logo, a solução negativa não serve e concluímos que o valor de sen2x é √ 3 /2. Portanto, sen2x = + √ 3 / 2. 4) Se 102y = 25 então calcule 10 –y . Solução: Podemos escrever: (10y)2 = 25 ⇒ 10y = 5, pois 52 = 25 e 10y > 0. 10y = 5 ⇒ (10y) –1 = 5 –1⇒ 10 –y = 1/5, pois 5-1 = 1 / 51 = 1/5. Resp: 1/5 5) POLI 1959) Matemática não tem idade! Determine o domínio da função y = f(x) definida por:
Solução: Sabemos que só existe logaritmo de número positivo. Logo, a expressão log log y somente existirá se log y> 0. Portanto, deveremos ter:
Obs: log B = log10B (logaritmo decimal → base 10) e log 1 = 0. Para base maior do que 1, a função logarítmica é crescente. Logo, concluímos:
Lembre-se que y / y = 1, para y ≠ 0. Podemos então escrever:
Temos uma inequação quociente a ser resolvida. a) Raízes da equação do 2º grau (numerador): –2x2 + 2x + 4 = 0 A equação é equivalente a 2x2 – 2x – 4 = 0 ou x2 - x - 2 = 0 Raízes 2 e -1. (Aplique a fórmula de Bhaskara ou a forma (S, P) de uma equação do 2º grau). b) Raízes da equação do 2º grau x2 – 4x + 3 = 0 Raízes 3 e 1. Ora, como sabemos que se o trinômio ax2+bx+c possui raízes x1 e x2 , podemos escrever: ax2+b x+c = a(x- x1) (x- x2), teremos então:
Que é equivalente a:
Obs.: o sinal da desigualdade mudou, porque multiplicamos ambos os membros por –1/2 para eliminar o número (-2) do numerador. Sabemos que ao multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, ela muda de sentido. Para resolver a inequação quociente acima, vamos estudar os sinais de cada binômio presente na desigualdade acima, através de uma tabela t abela de sinais. Para entender a tabela abaixo, basta lembrar das regras de multiplicação e divisão de números relativos.
Portanto, os valores que satisfazem a última desigualdade acima , são: -1 < x < 1 ou 2< x < 3 onde o quociente Q é negativo. Portanto, o domínio da função será: D = {x ∈ R; -1 < x < 1 ou 2 < x < 3} A resposta acima poderá também ser escrita na forma de intervalo: D = (-1, 1) ∪ (2, 3)
Questões Resolvidas VII
1 – UFBA 98 – 1ª fase – Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. mecânico. No primeiro dia ele percorre 40 km; no segundo, 60 km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule x/10. Solução: Temos a seguinte seqüência: (40, 60, 80, ... , x). Como são 15 dias, temos uma Progressão aritmética – P.A. de 15 termos, onde: razão = r = 20; primeiro termo = a1 = 40; décimo quinto termo = a15 = x ; Logo, usando a fórmula do termo geral de uma P.A. , poderemos escrever: a15 = a1 + (15 – 1).r Substituindo os valores conhecidos, vem: x = 40 + 14 . 20 ⇒ x = 40 + 280 = 320 Ora, sendo x = 320, conclui-se que x/10 = 320/10 = 32 Resposta: 32. 2 – UFBA 98 – 1ª fase – Uma rede de lojas comprou uma mercadoria à vista, com 20% de desconto sobre o preço de tabela t abela e teve uma despesa de R$50,00 com transporte e impostos. Na venda dessa mercadoria, obteve lucro de 20% sobre o total desembolsado. Se o preço de venda foi R$540,00, então pode-se afirmar : (01) O preço de tabela era R$500,00 (02) O preço à vista foi R$400,00 (04) O lucro obtido foi R$60,00 (08) O desconto sobre o preço de tabela foi R$40,00 (16) As despesas com transporte e impostos corresponderam a 12,5% do preço à vista. Comentário: este tipo de questão consiste em identificar as proposições verdadeiras, somar os números a elas correspondentes e marcar o resultado na Folha de Respostas. Solução: Seja x o preço de tabela. Portanto o total desembolsado = Td foi igual a: Td = 80% de x + 50 = 0,80x 0, 80x + 50. A mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre o total desembolsado (Td). Daí, poderemos dizer, de acordo com o enunciado que: 1,20 . Td = 540 ∴ 1,20(0,80x + 50) = 540 Resolvendo a equação, fica: 0,96x + 60 = 540 ⇒ 0,96x = 480 ⇒ x = 480/0,96 Logo, x = 48000/96 = R$500,00 ( preço de tabela) . Logo (01) é verdadeira.
O preço à vista foi 80% de x (já que o desconto foi 20%) . Então, o preço à vista era igual a 80% . R$500,00 = 0,80 . 500 = R$400,00. Portanto (02) é também verdadeira. Sabemos que o total desembolsado é igual a Td = 0,80.x + 50 = 0,80.500 + 50 Portanto, Td = R$450,00 . Como o lucro foi de 20% sobre o total desembolsado, vem que o lucro L foi igual a L = 20% de R$450,00 = 0,20 . 450 = R$90,00 e, portanto (04) é falsa. O desconto foi de 20% sobre o preço de tabela, portanto, 20% de R$500,00 = 0,20 . 500 = R$100,00. Portanto, (08) é falsa. As despesas com transporte e impostos, igual R$50,00 em relação ao preço à vista (R$400,00) representa um percentual igual a 50/400 = 0,125 = 12,5% e, portanto (16) é verdadeira. Concluímos pois que deveria ser assinalado na Folha de Respostas o número: 01 + 02 + 16 = 19 Resposta: 19 3 – MACK 77 – O menor valor que y pode assumir na função y = cosx + cos2x é: A) –3/4 B) –7/8 C) –1 D) –9/8 E) 1 Solução: Sabemos da Trigonometria que cos2x = 2.cos 2x –1 (coseno do arco duplo). Logo, poderemos escrever: y = cosx + 2.cos2x –1 ou y = 2.cos 2x + cosx – 1 Vamos fazer cosx = t (mudança de variável). Teremos: y = 2t2 + t – 1 , que é uma função quadrática onde a=2; b=1 e c= -1. Como o coeficiente do termo do 2º grau é positivo, sabemos da teoria, que esta função possui um valor mínimo, dado pela equação:
Logo, o valor mínimo procurado é igual a –9/8, o que nos leva à alternativa alt ernativa D. 4 – Itajubá 77 – Calcular o valor da expressão 5 3x + 5-3x , sabendo que 5x + 5-x = 5. 5. Solução: Sabemos que (A+B)3 = A3 + B3 + 3(A+B)(AB) Logo, podemos escrever: (5x + 5-x)3 = 53 ; desenvolvendo esta expressão, vem: 53x + 5-3x + 3(5 3(5x + 5-x)(5x.5-x) = 125. [observe que 5 x . 5-x = 5x-x = 50 = 1]. Logo, vem: 53x + 5-3x + 3(5) 3(5)(1) (1) = 125 Portanto, poderemos escrever finalmente: 53x + 5-3x = 125 – 15 = 110.
Resposta: 110 5 – FEI 77 – Calcular sen2x sabendo que tgx + cotgx = 3. Solução: Podemos escrever:
Portanto, 2 = 3.sen2x e daí conclui-se que sen2x = 2/3. Resposta: 2/3 Lembretes: 1) tgx = senx/cosx 2) cotgx = cosx/senx 3) sen2x = 2.senx.cosx 4) Em Trigonometria, é importante saber as fórmulas, para não ter que deduzi-las na hora da prova! INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail:
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Questões Resolvidas VIII
1 – UEFS 94.1 – Sejam a, b e c as raízes da equação 2x3 – 3x2 + x – 4 = 0. A soma 1/a + 1/b + 1/c é igual a: A) 1/2 B) 1/4 C) 1 D) –1/2 E) –1/4 Solução: Ora,
Verificamos que o numerador é o produto das raízes da equação tomadas duas a duas e o denominador é o produto das raízes. Logo, teremos que aplicar as Relações de Girard. Portanto: bc + ac + ab = 1/2 abc = -(-4)/2 = 2 Reveja as relações de Girard, no capítulo Equações Algébricas .
Portanto 1/a + 1/b + 1/c = (1/2) / 2 = 1/4. Resposta certa: letra B. 2 – UEFS 94.1 – A cada mês que passa, o valor de certo produto diminui de 35% em relação ao seu valor no mês anterior. Se V for o valor desse produto no primeiro mês, então o seu valor no oitavo mês será: A) (0,35)7.V B) (0,35)8.V C) (0,65)6.V D) (0,65)7.V E) (0,65)8.V Solução: Poderemos escrever: 1º mês: valor inicial V 2º mês: valor = 65%.V = 0,65.V (Justificativa: diminuiu 35%, conforme enunciado). 3º mês: valor = 0,65.(0,65.V) = (0,65)2.V (Observe que a redução a cada mês é de 35%, e portanto o reajuste é de 65% = 65/100 = 0,65 em relação ao mês anterior). 4º mês: 0,65.(0,65) 0,65.(0,65)2.V = (0,65)3.V .............................................................. Não é difícil perceber que: 8º mês: valor = (0,65)7.V , o que nos leva à alternativa D. 3 – UEFS 95.2 – O número de vértices de um poliedro convexo de sete faces, sendo duas pentagonais e cinco quadrangulares é: (01) 07 (02) 10 (03) 14 (04) 17 (05) 20 Solução: Lembremos da célebre Relação de Euler: Num poliedro convexo de A arestas, V vértices e F faces, vale a igualdade: V + F = A + 2. O problema diz que F = 7. Para o cálculo do número de arestas, teremos:
Nota: Duas faces pentagonais: 2x5=10 arestas Cinco faces quadrangulares: 5x4=20 arestas Total: 10+20 = 30 arestas; temos que dividir por dois, porque cada aresta é contada duas vezes (arestas comuns). Portanto, pela relação de Euler: V + 7 = 15 + 2 ⇒ V = 10 e portanto, a resposta certa á a de número (02). 4 - UEFS 94.2 – O produto das soluções da equação (43-x)2-x = 1, é: (01) 0 (02) 1 (03) 4 (04) 5 (05) 6
Solução: Como 1 = 40 , vem: (43-x)2-x = 40⇒ (3-x).(2-x) = 0 ⇒ 3 - x =0 ou 2 – x = 0 , de onde conclui-se que x=3 ou x=2; Portanto o produto das raízes vale (3x2=6) = 6. Portanto a alternativa correta é a de número (05). 5 – UEFS 92.2 - Se então: (A) –2 ≤ y ≤ 2 (B) –1 ≤ y ≤ 1 (C) 1/3 ≤ y ≤ 4/3 (D) 2/3 ≤ y ≤ 2 (E) 2 ≤ y ≤ 6 Solução: Temos: 3.y = -2.cosx + 4 ⇒ 4 – 3y = 2.cosx Explicitando cosx em função de y vem:
Ora, sabemos que -1 ≤ cosx ≤ 1. Portanto, também poderemos escrever: Portanto, a alternativa correta é a de letra D. Nota: Quando multiplicamos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, ela muda de sentido. Falo isso para você entender porque o fato de – 6 ≤ - 3y ≤ - 2 implica em 6 ≥ 3y ≥ 2. 6 – UEFS 91.2 – A equação x2 + y2 - 4x – 5 = 0 define um conjunto de pontos eqüidistantes do ponto: (A) (0,5) (B) (0,3) (C) (-2,0) (D) (0,2) (E) (2,0) Solução: A equação dada é de uma circunferência. Ora, o único ponto eqüidistante de todos os pontos de uma circunferência é exatamente o seu centro. Logo, resolver este problema, equivale a determinar o centro da circunferência cuja equação foi dada. Sabemos que a equação de uma circunferência de centro (x0; y0) e raio R é dada por: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 . Vamos dar um tratamento algébrico à equação dada, dada, de forma a identificar identificar x0, y0 e R. Temos: Equação dada: x2 + y2 – 4x – 5 = 0 Podemos escrever: x2 – 4x + 4 – 4 + y2 = 5
Observe que + 4 – 4 = 0 e, portanto, não altera a expressão, já que 0(zero) é elemento neutro da adição. Temos então: (x – 2)2 – 4 + (y – 0)2 = 5 Portanto: (x – 2)2 + (y – 0)2 = 9 = 32 Comparando com a equação (x – x 0)2 + (y – y0)2 = R2 , concluímos que: x0 = 2 e y0 = 0 , e mais: R = 3. Como o problema solicitou apenas o centro da circunferência, concluímos que o centro é o ponto (2, 0) e, portanto a alternativa alt ernativa correta é a letra E.
Questões Resolvidas IX
1 – Determine o limite da expressão
onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente. Solução: A expressão dada pode ser escrita como: x1/2 . x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... Observe que o expoente é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica decrescente e ilimitada de razão q = 1/2 e primeiro termo a1 = 1/2. Portanto, 1/2+1/4+1/8+1/16+ ... = a1 /(1-q) = (1/2)/(1-1/2) = (1/2)/(1/2) = 1 Logo a expressão dada terá como limite x1 = x. Resposta: x
2 – Sendo f uma função real de variável real tal que f(x+3) = 2x+3 , determine f(2x+3). Solução: Faça x + 3 = u. Vem que x = u - 3. Logo, podemos escrever, substituindo x pelo seu valor (u – 3): f(u) = 2(u-3) + 3. Daí, vem: f(u) = 2u – 6 + 3 , de onde conclui-se: f(u) = 2u – 3. É uma dedução imediata que sendo f(u) = 2u – 3, fazendo u = 2x+3, virá inevitavelmente: f(2x+3) = 2(2x+3) – 3 = 4x + 6 – 3 = 4x + 3. Portanto, f(2x+3) = 4x + 3. Resposta: 4x+3
3 – Dois relógios são acertados em 12h. Um relógio adianta 1 minuto por dia e o outro atrasa 1,5 minutos por dia. Depois de quantos dias vão marcar o mesmo horário? Solução: É óbvio que os dois relógios se "distanciam" de 1+1,5 = 2,5 minutos por dia. Quando os relógios estiverem atrasados 12 horas, um em relação ao outro, as posições dos ponteiros serão iguais e, portanto, marcarão a mesma hora. Mas, 12h = 12.60min = 720 minutos. Portanto, podemos "armar" a seguinte regra de três: 1 dia ............................................................ 2,5 min
x dias.............................................................720 min Logo, x = 720/2,5 = 288 dias Resposta: 288 dias
4 – UFPB/93 – Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento. Solução: Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S: V = (4/3).π .R3 e S = 4.π .R2 O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem: (4/3).π .R3 = 33.4.π .R2⇒ (4/3).R3 = 132.R2 ⇒ (4/3).R = 132 ⇒ R = 132/(4/3) = 132.(3/4) = 396/4 = 99 Resposta: 99 u.c.
5 – UFPB/93 – Determine o período da função f: R → R definida por f( x ) = cos( 7x ).cos( 3x ) + sen( 7x ).sen( 3x ). Solução: Como cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb, concluímos que: cos7x.cos3x+sen7x.sen3x cos7x.cos3x+sen7x.sen3x = cos(7x-3x) = cos4x A função dada é então equivalente a: f(x) = cos4x. Ora, sabemos que o período da função y = cosbx é igual a T = 2π /b Logo: período = T = 2 π /4 = π /2 radianos Resposta: π /2 rad
6 – UFPB 93 – Sendo a e b raízes distintas da equação 2.4x + 4 = 9.2x , calcular o valor de a6 + b6. Solução: Podemos escrever: 4x = (22)x = (2x)2 . Portanto, fazendo 2x = y, a equação dada fica: 2.y2 + 4 = 9.y ⇒ 2y2 – 9y + 4 = 0. Resolvendo a equação do 2º grau, obteremos y = 4 ou y = 1/2. Logo, 2x = 4 ou 2x = 1/2 ⇒ x = 2 ou x = -1. Portanto, como as raízes são denominadas de a e b no problema, vem que a = 2 e b = -1. Daí, a6 + b6 = 26 + (-1)6 = 64 + 1 = 65 Resposta: 65
7 – UFPB 93 – Na linguagem C, usada na programação de computadores, sabe-se que: fabs(x) é o valor absoluto de x, sqrt(x) é a raiz quadrada de x, * é o operador multiplicação, + é o operador adição. Pede-se calcular o valor da expressão: fabs(-3) * sqrt(25) + fabs(4) * sqrt(49)
Solução: Temos: fabs(-3) = -3 = 3 sqrt(25) = √ 25 = 5 fabs(4) = 4 = 4 sqrt(49) = √ 49 = 7 Portanto, a expressão será igual a: 3.5 + 4.7 = 15+28 = 43 Resposta: 43 Notas: A) fabs(x) = função valor absoluto (ou módulo) de x. B) sqrt(x) = square root of x = raiz quadrada de x.
8 – UFPB 94 – Calcular o valor da expressão:
Solução: Olhando cuidadosamente a expressão, concluímos que o numerador é o seno da soma de dois arcos e que o denominador é o coseno da diferença de dois arcos. Logo, a expressão dada é equivalente a: sen(11º + 34º) / cos(57º-12º) = sen45º / cos45º . Mas, sen45º = cos45º = √ 2/2. Logo, a expressão simplificada é igual à unidade. Resposta: 1
9 – UFBA – Considere a P.A. de razão r dada por (an) = (log4, log12, log36, ... ). Sendo a22 = k, determine 10k+r / 320 . Solução: A razão da P.A. será igual a: r = log12 – log4 = log(12/4) = log3. Mas, a22 = a1 + 21r (aplicação da fórmula do termo geral de uma P.A.) Como a1 = log4, substituindo, vem: k = log4 + 21.log3 k = log4 + log321 ⇒ k = log(4.321) [aplicação de propriedades imediatas dos logaritmos]. Então:
Para entender algumas passagens acima, lembre-se que: A) 10logN = N. Ex: 10log56 = 56. [log sem indicar a base é considerado base 10]. B) log(4.321) + log3 = log[4.321.3] (soma de log é log de produto). C) AM / AN = AM-N . Assim: 321 /320 = 321-20 = 31 = 3. Resposta: 36
10 – UFPB 94 – Quantos números ímpares de dois algarismos são maiores ou iguais a 10? Solução: Temos a seguinte seqüência de números ímpares satisfazendo o problema: (11, 13, 15, 17, ... , 99) Trata-se de uma P.A. de primeiro termo a1 = 11, razão r = 2 e último termo an = 99. Usando a fórmula do termo geral da P.A. , vem: an = a1 + (n-1).r ⇒ 99 = 11 + (n-1).2 ⇒ 99 – 11 + 2 = 2n ⇒ n = 45. Resposta: 45 INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail:
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Questões Resolvidas X 1 – Quantos são os números inteiros que satisfazem à inequação:
3≤
x
≤7
Solução: Quadrando ambos os membros da desigualdade, vem: 9 ≤ x ≤ 49 Logo, x, que o problema diz que é inteiro, pode variar de 9 até 49. Daí, vem a seguinte PA (progressão aritmética): 9, 10, 11, 12, ... , 49 Primeiro termo = a1 = 9 Último termo = an = 49 Sabemos que : an = a1 + (n -1).r, onde n é o número de termos e r é a razão, evidentemente igual à unidade. Então. Substituindo os valores conhecidos, vem: 49 = 9 + (n – 1).1 ∴ 40 = n – 1 ∴ n = 41 Portanto, existem 41 números inteiros que satisfazem à inequação. 2 – Se x homens fazem x embrulhos em x segundos, em quantos segundos y homens farão y embrulhos? Solução: Trata-se de um problema de regra de três composta, composta, cuja proporcionalidade direta ou inversa, está indicada abaixo pelos sentidos das flechas. f lechas. Nota:: visite também o arquivo Cuidado com a regra de três. Nota três. Seja z o tempo em segundos procurado:
Para calcular z , considerando a proporcionalidade indicada pelas flechas, basta calcular:
Portanto, a resposta é x segundos. 3 – A média aritmética de seis números é 4. Quando acrescentamos um sétimo número, a nova média é 5. Determine o número que foi acrescentado. Solução: Sejam x1, x2, ... , x6 os números dados. Teremos: Daí, vem: x1 + x2 + ... + x6 = 6 . 4 = 24 Acrescentando um sétimo número, conforme dado do problema, vem:
Daí, vem: (x (x1 + x2 + x3 + ... + x6)+ x7 = 7 . 5 = 35 Substituindo o valor conhecido da soma de x1 a x6 que é igual a 24 24,, vem: 24 + x7 = 35 ∴ x7 = 35 – 24 = 11 Portanto, o sétimo número é igual a 11.
Questões Resolvidas XI 1 – Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como raízes, os números x1 = 1, x2 = 2 e x3. Sobre a raiz x 3, podemos afirmar:
a) pode ser um número complexo b) é necessariamente, um número natural c) é necessariamente um número inteiro d) é necessariamente um número irracional e) é um número real SOLUÇÃO: Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um número par, já que, se a + bi for raiz, então o conjugado a - bi também será raiz. Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo, então ela será necessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E. 2 – FUVEST 94 – Um casal tem filhos fil hos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual o total de filhos fil hos e filhas do casal?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
SOLUÇÃO: Trata-se de um problema simples de sistemas de equações do primeiro grau. Vejamos: Seja x o número de filhos e y o número de filhas.
É óbvio que um filho qualquer possui x –1 irmãos e y irmãs. irm ãs. OK? É também óbvio, que uma filha qualquer possui y – 1 irmãs e x irmãos. Pelo enunciado do problema, vem imediatamente que: x – 1 = y ........................eq 1 x = 2(y – 1).....................eq 2
Uma vez armado o sistema acima, o problema ficou bem simples: Teremos, substituindo o valor de x da eq 2 na eq 1: 2(y – 1) – 1 = y ∴ y = 3 Daí, substituindo o valor de y na eq 1, resulta: x = 4. Portanto, a soma procurada vale: x + y = 4 + 3 = 7, o que nos leva tranqüilamente à alternativa E. VERIFICAÇÃO: Dados do problema: a) Cada filho tem o número de irmãos ir mãos igual ao número de irmãs. Realmente, sendo 4 filhos, cada um tem 3 irmãos, que é igual ao número de irmãs (y = 3 = n.º de filhas) b) Cada filha tem o número de irmãos ir mãos igual ao dobro do número de irmãs. Realmente, sendo 3 filhas, cada uma delas possui duas irmãs. O número de irmãos, sendo igual a 4 (x = 4 filhos), é exatamente o dobro do número de irmãs. 3 – Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número de pássaros e o número de galhos. SOLUÇÃO: Sendo g o número de galhos e p o número de pássaros, poderemos escrever: 2(g – 1) = p g=p–1 Resolvendo o sistema de equações acima, encontraremos: P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e 3 galhos. 4 – FUVEST 96 – Qual dos cinco números abaixo relacionados, não é um divisor de 1015 ?
a) 25 b) 50 c) 64 d) 75 e) 250 SOLUÇÃO: Observe que: 25 = 52 50 = 2.25 = 2.52 64 = 26 75 = 3.25 = 3.52 250 = 25.10 = 52.10
Observe também que 10 é divisível por 2, por 5 e por 10, mas não é divisível por 3. Logo, a alternativa (D) que contém um não divisor de 10, é a solução do problema. 5 – Sabendo-se que x 2 + 2y2 + 3xy + x + y = 20 e x + 2y 2 y = 3, determine o valor de x + y. SOLUÇÃO: Inicialmente, vamos fatorar o primeiro membro da expressão dada. Teremos: (acompanhem com bastante atenção!) x2 + 2y2 + 3xy + x + y = x2 + y2 + y2 + 2xy + xy + x + y = (x2 + 2xy + y2) + (y2 + xy + x + y) = (x + y)2 + [y(x + y)] + (x + y) = (x + y)2 + (x + y) (y + 1) = (x + y) [(x + y) + (y + 1)] = (x + y) (x + 2y + 1)
Portanto, (x + y) (x + 2y + 1) = 20 Como é dado que x + 2y = 3, substituindo, vem: (x + y) (3 + 1) = 20 ∴ 4(x + y) = 20 e, finalmente vem que x + y = 5.
1 – Qual o domínio da função y = arccos[log 2 (x - 1)]? Solução: Sabemos que se b = arccosa então a = cosb Então podemos escrever: cosy = log 2x Sabemos também que o campo de variação do coseno é no intervalo [-1,1] e que só existe logaritmo de número real positivo. Logo, vem: Condições de existência da função dada: x - 1 > 0 ∴ x > 1. -1 ≤ log2x ≤ 1 Aplicando log na base 2 na segunda expressão, fica: - 1. log22 ≤ log2x ≤ 1. log22 log22-1 ≤ log2x ≤ log22 Como a função logarítmica com base maior do que 1 é crescente, podemos escrever: 2-1 ≤ x ≤ 2 ou 1/2 ≤ x ≤ 2 O domínio (ou campo de definição) da função dada será a interseção das duas condições ou seja: 1/ 2 ≤ x ≤ 2 e x > 1 ⇔ 1 < x ≤ 2. Podemos então concluir que o domínio da função dada é o intervalo: D = (1, 2] = {x ∈ R; 1< x ≤ 2} Observe que o único número inteiro que pertence ao domínio da função dada é o número 2. Observe também que o domínio da função em R (conjunto dos números reais) é um conjunto infinito e, se considerarmos o domínio definido no conjunto Z dos números inteiros, o domínio da função passa a ser um conjunto unitário. 2 – Simplifique a expressão: Y = 9 + 99 + 999 + 9999 + 9999...9 onde a última parcela possui n algarismos 9. Solução: Podemos escrever: Y = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + ... + (10n – 1)
Arrumando convenientemente, vem: Y = 10 + 100 + 1000 + ... + 10n – n , onde n é um número natural. Não entendeu o (– n) ? Observe que –1 somado n vezes é igual a (- n). A soma dos n primeiros termos da progressão geométrica de razão dez , 10 + 100 + 1000 + ... + 10n será igual a:
Portanto, Y é igual a:
que é a expressão procurada. INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail:
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Questões Resolvidas XIII A equação cos(3x) - cos(x) = sen(2x) para x ∈ [0,2π ], possui m raízes. O valor de m é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3 SOLUÇÃO:
Sabemos que:
cos(p) – cos(q) = -2 sen[(p+q)/2] . sen[(p-q)/2] Podemos escrever, desenvolvendo o primeiro membro da igualdade dada: -2sen(2x).sen(x) = sen(2x) -2sen(2x).sen(x) – sen(2x) = 0 Colocando sen(2x) em evidencia, vem: sen(2x)[-2sen(x) – 1] = 0 Daí vem que: sen(2x) = 0 OU –2sen(x) – 1 = 0 Então: sen(2x) = 0 OU sen(x) = -1/2
Como sabemos que sen(2x) = 2sen(x)cos(x), podemos escrever: 2sen(x).cos(x) = 0 OU sen(x) = -1/2 Daí, vem: sen(x) = 0 OU cos(x) = 0 OU sen(x) = -1/2 Portanto, teremos: sen(x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = π cos(x) = 0 ⇔ x = π /2 ou x = 3π /2 sen(x) = -1/2 ⇔ x = 210º = 7π /6 ou x = 330º = 11π /6 radianos. O conjunto solução da equação trigonométrica no intervalo dado, é igual a: S = { 0, π /2, π , 3π /2, 7π /6, 11π /6 } Existem portanto seis raízes no intervalo dado, o que nos leva à alternativa C.
Questões Resolvidas XIV Calcule o coseno do arco de medida 285º.
Solução: Sabemos que cos(360º - x) = cos(x) Portanto, poderemos escrever: cos(360º - 285º) = cos 285º cos(75º) = cos(285º) Daí, para encontrar o coseno de 285º, basta achar o coseno de 75º. Vem, então: cos(75º) = cos(45º + 30º) Já vimos em Trigonometria Trigonometria,, que: cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb .
Logo, fica: cos75º = cos(45º + 30º) = cos45º.cos30º - sen45º.sen30º Você tem de saber de memória, os valores do seno e coseno dos arcos de 30º, 45º e 60º. Nas provas dos vestibulares, os examinadores partem do princípio que vocês conhecem os valores para estes arcos, dito notáveis. Somente para lembrar: Arco 30º 45º 60º
sen ½ √ 2/2 √ 3/2
cos √ 3/2 √ 2/2 ½
Substituindo então os valores conhecidos, vem: cos285º = cos75º = √ 2/2 . √ 3/2 - √ 2/2 . ½ = √ 6 /4 - √ 2 /4 = (√ 6 - √ 2) / 4
Logo:
Questões Resolvidas XV (UFAL – AL ) Se a fração fr ação irredutível a/b é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a – b é:
a) 2010 b) 1809 c) 670 d) 590 e) 540 Solução: Seja x = 3,012012... Podemos escrever: x = 3 + 0,012012... x – 3 = 0,012012... (igualdade 1)
Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por 1000 (o que não altera a igualdade), vem: 1000(x – 3) = 12,012... (igualdade 2)
Efetuando (2) menos (1): 1000(x - 3) – (x - 3) = 12,012... – 0,012... 999(x - 3) = 12 x – 3 = 12 / 999 = 4 / 333 x = 3 + 4 / 333 x = 999 / 333 + 4 / 333 (observe que 999 / 333 = 3). x = (999 + 4) / 333 = 1003 / 333 Observe que 333 é divisível por 3, mas 1003 não é.
A fração, é portanto irredutível. Logo, pelo enunciado, a = 1003 e b = 333. Então, a – b = 1003 – 333 = 670, o que nos leva à alternativa C.
Questões Resolvidas XVI
Se z = cos 6º + i sen 6º, então z 15 é igual a:
a) 0 b) 1 c) i d) -i e) -1 Solução: Sabemos de números complexos que: Dado z = r (cosa + isena) então z n = rn [cos(na) + isen(na)] Portanto: z15 = cos(15.6) + isen(15.6) = cos90º + isen90º = 0 + 1.i = i Logo, z15 = i Alternativa C INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail:
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Questões Resolvidas XVII Considere que A = log2(5.2x + 1), B = log4(21-x + 1) e C = 1, formam nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine o valor de x. SOLUÇÃO:
Seja a PA: (A, B, C). Sabemos que o termo médio é a média aritmética dos termos anterior e posterior a este. Logo: B = (A + C) / 2 Substituindo os valores, vem: log4(21-x + 1) = [1 + log2 (5.2x + 1)].(1/2) Multiplicando ambos os membros por 2, fica: 1-x x 2.log4(2
+ 1) = 1 + log2(5.2 + 1)
Vamos mudar o log na base 4, para a base 2. Vem:
Substituindo e simplificando, vem:
log2(21-x + 1) = 1 + log2(5.2x + 1) Lembrando que log22 = 1, substituindo, teremos: log2(21-x + 1) = log22 + log2(5.2x + 1) Aplicando a propriedade de logaritmo de um produto, ou seja: o log do produto de dois termos positivos, é igual à soma dos log dos fatores, vem: log2(21-x + 1) = log2[2(5.2x + 1)] Ora, sabemos que: logbM = logbN ⇔ M = N (para M e N positivos, pois sabemos que não existe logaritmo de número real negativo ou nulo). Então, poderemos escrever: 21-x + 1 = 2(5.2x + 1) Vamos resolver a equação exponencial acima: Lembrando que 2 1-x = 21 /2x, vem: (2/2x ) + 1 = 2(5.2x + 1) Façamos 2x = y. (Observe que y é positivo, já que é igual a uma potência de base 2). Substituindo, vem: (2/y) + 1 = 2(5.y + 1) = 10y + 2 Multiplicando ambos os membros por y, vem: 2 + y = 10y2 + 2y ∴ 10y2 + y – 2 = 0 Vamos resolver a equação do segundo grau 10y 2 + y – 2 = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara, vem:
Portanto y = (-1 + 9)/20 ou y = (-1 – 9)/20 Daí, vem: y = 8/20 = 2/5 ou y = -10/20 = -1/2 Como 2x = y > 0, a raiz negativa (-1/2) não serve. Logo, o único valor que serve ao problema é y = 2/5. Continuando e lembrando que 2 x = y, vem: 2x = 2/5. Aplicando logaritmo na base 2 a ambos os membros, teremos: log22x = log2(2/5)
Uma pausa: alguns poderão perguntar, porque a base 2? Ora, é a mais conveniente, neste caso!. Rigorosamente, poderíamos usar qualquer base, mas, a base 2, considerando-se o comparecimento do número 2 em ambos os membros, m embros, é a mais conveniente, agora. Se usássemos a base 7, por exemplo, iríamos complicar desnecessariamente a nossa vida! Eh eh eh ... , perceberam? Teremos, então: log22x = log2(2/5) ∴ x = log2(2/5) = log22 – log25 = 1 – log25 Lembre-se que logbbm = m. Em caso caso de dúvida, dúvida, reveja LOGARITMO. LOGARITMO. Portanto, x = 1 – log25 , que é a solução do problema proposto.
Questões Resolvidas XVIII A Diretoria de uma empresa tem doze membros. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o presidente e o vice-presidente? Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o agrupamento. O número procurado é igual a C12-2, 5-2 = C 10,3 que calculado é igual a: C10,3 = 10! / [3! . (10 - 3)!] = 10! / 3!.7! = 10.9.8.7! / 3.2.1.7! = 10.9.8/3.2.1 = 120 Portanto, podem ser formadas 120 comissões nas quais figuram obrigatoriamente o presidente e o vicepresidente. Observe que tudo funciona como se as comissões possuíssem 10 elementos e os grupos fossem formados de 3 elementos, já que, dois elementos já foram escolhidos previamente e são fixos em todos os agrupamentos possíveis. Em caso de dúvidas: Reveja Análise Combinatória. No exercício anterior, quantas comissões podem ser formadas de modo que em nenhuma delas figure o presidente e o vice-presidente? Ora, excluindo-se o presidente e o vice-presidente, restam 12 - 2 = 10 membros, que deverão ser agrupados de cinco em cinco. Logo, o número procurado é igual a C12-2,5 = C10,5 que calculado é igual a: C10,5 = 10! /[5! . (10 - 5)!] = 10! / 5!.5! = 10.9.8.7.6.5! / 5.4.3.2.1.5! = 10.9.8.7.6 / 5.4.3.2.1 = 720.7.6 / 120 = 6.7.6 = 252 Portanto, podem ser formadas 252 comissões distintas, nas quais não participem o presidente e o vicepresidente. Numa assembléia de 40 cientistas, 8 são físicos. Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico? Ora, o número de comissões incluindo no mínimo um físico, significa que as comissões deverão possuir um, ou dois, ou três, ou quatro, ou cinco, ou seis, ou sete, ou oito físicos. Logo, para determinar o número total de comissões, tal qual especificado no enunciado do problema, deveremos retirar do número total de comissões, aquelas nas quais não participam nenhum físico. O cálculo é o seguinte: Número total de comissões de 5 membros, entre os 40 cientistas = C40,5 Número total de comissões de 5 membros, entre os 40 - 8 = 32 cientistas restantes (excluindo-se os 8 físicos) = C32,5 Portanto, o número procurado será igual a: C40,5 - C32,5 = 656.948 comissões. (FFaça as contas!). Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará a permutação 68275? O número 68275 será precedido pelos números das formas: a) 2xxxx, 5xxxx que dão um total de 4! + 4! = 48 permutações b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de 3.3! = 18 permutações c) 6825x que dá um total de 1! = 1 permutação. Logo o número 68275 será precedido por 48+18+1 = 67 números. Logo, sua posição será a de número 68. Sabe-se que o número de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular é dado pela fórmula P'n = (n - 1)! . Nestas condições , de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadas juntas? Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas , podemos considerar que os agrupamentos possíveis serão das seguintes formas: a) (AB)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120 b) (BA)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120 Logo o número total será: 120+120 = 240. Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras. Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem
sentar-se nas 9 cadeiras. Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se A9,7 = 9!/(9-7)! = 9!/2! = (9.8.7.6.5.4.3.2!)/2! = 181.440 Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto , com o seguinte raciocínio: A primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de possibilidades será igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440 Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal? A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N , no início da palavra, podemos dispor em correspondência, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente: (N.............U) (N.............I) (N.............E) (N.............A) Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos possíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será pois igual a 20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800. Numa reunião estão 12 pessoas. Quantas comissões de 3 membros podem ser formadas, com a condição de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A? Como um dos 3 integrantes é sempre A, resta determinar os dois outros, com a condição de que não seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presença garantida) e B (que não pode participar junto com A) restam 10 pessoas que deverão ser agrupadas duas a duas. Portanto, o número procurado é C10,2 = 10! /(10-2)!.2! = 45. Numa assembléia há 57 deputados sendo 31 governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comissões de 7 deputados podem ser formadas com 4 membros do governo e 3 da oposição? Escolhidos 3 deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões quantas são as combinações dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto é: C31,4. Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o número total de comissões é igual a C26,3 . C31,4 = 818.090.000. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? Observe que a palavra ARARA possui 5 letras porém com repetição. Se as 5 letras fossem distintas teríamos 5! = 120 anagramas. Como existem letras repetidas, precisamos "descontar" todas as trocas de posições entre letras iguais. O total de anagramas será portanto igual a P = 5!/(3!.2!) = 10. É óbvio que podemos também calcular diretamente usando a fórmula de permutações com repetição. Quantas soluções inteiras e não negativas podemos encontrar resolvendo a equação x+y+z+w = 5? Por exemplo, (1, 2, 1, 1) é solução pois 1+2+1+1=5.Anàlogamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2), (5,0,0,0) etc. são soluções. Raciocínio: Temos que dividir 5 unidades em 4 partes ordenadas, ou seja, das formas: || . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc. Temos então 8 símbolos (5 pontos[.] e 3 traços[ | ] ) que devem ser permutados, porém com repetição. Logo, teremos: PR = 8! / 5!.3! = 56 Portanto, a equação dada possui 56 soluções inteiras e não negativas.
Outra forma de resolver o problema, seria através da aplicação da fórmula vista em Exercícios de Análise Combinatória III. Teremos:
Onde n é o número de incógnitas e b é o termo independente. No caso, n = 4 e b = 5. Logo, substituindo, vem: Y = (4 + 5 -1)! / 5!.(4 - 1)! = 8! / 5! . 3! = 8.7.6.5! / 5!.3.2.1 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56 Outros assuntos e outros problemas
Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5. Sabendo-se que y - z2 - 2x = 0, determine x + y + z . Se x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5, então podemos dizer que x, y e z são diretamente proporcionais aos seus inversos multiplicativos, ou seja: x, y e z são diretamente proporcionais a 1/10, 1/1 e 1/5. Assim, poderemos escrever a seguinte relação de proporcionalidade direta: x / (1/10) = y / (1/1) = z / (1/5) Daí, vem, após efetuarmos as divisões indicadas: 10x = y = 5z Temos então: 10x = 5z, de onde tiramos: z = 2x (dividindo ambos os membros por 5). 10x = y, de onde tiramos: y = 10x Substituindo os valores acima na expressão dada y - z2 - 2x = 0, vem: 10x - (2x)2 - 2x = 0 10x - 4x2 - 2x = 0 8x - 4x2 = 0 Dividindo ambos os membros por 4, vem: 2x - x2 = 0 Colocando x em evidencia, vem: x(2 - x) = 0 e, portanto, x = 0 ou x = 2. Como o enunciado do problema diz que x é positivo, vem que somente o valor x = 2 serve. Ora, se x = 2, então y = 10x = 10(2) = 20 e z = 2x = 2(2) = 4. Assim, a soma x + y + z = 2 + 20 + 4 = 26. Dividindo 180 por b obtém-se quociente 8 e resto r, sendo b e r dois números naturais. Determine a soma dos possíveis valores de b. Sabemos da Aritmética, que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto O resto é menor do que o divisor e positivo ou nulo. No caso, temos: Dividendo = 180 Divisor = b Quociente = 8 Resto = r Podemos escrever: 180 = 8b + r e, portanto, r = 180 - 8b E, como o resto é positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem: 0 ≤ 180 - 8b < b Somando 8b a todos os membros, fica: 8b ≤ 180 < 9b
Podemos dizer então, que: 8b ≤ 180 (1) 180 < 9b (2) Dividindo ambos os membros de (1) por 8, vem: b ≤ 22,5 Dividindo ambos os membros de (2) por 9, vem: 20 < b Portanto, 20 < b ≤ 22,5 Os valores possíveis para b, são: b = 21 e b = 22. Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a 21 + 22 = 43. Os pontos A = (2,0) e B = (0,4) são extremos de um diâmetro da circunferência C . Determine a equação da circunferência. Sendo AB um diâmetro, o ponto médio do segmento AB será o centro da circunferência. O ponto médio do segmento AB será o ponto P(1, 2), onde a abscissa e a ordenada são iguais respectivamente à média aritmética das abscissas e das ordenadas dos dois pontos dados, ou seja: xp = (2 + 0) /2 = 1 e yp = (0 + 4) /2 = 2. Para achar o raio da circunferência dada, basta achar a distancia do centro P, a um dos pontos dados. Vamos calcular, por exemplo, a distancia PA: Sabemos que: PA2 = (xp - xa)2 + (yp - ya)2 Visite o capítulo Geometria Analítica I,. Portanto, PA2 = R2 = (1 - 2)2 + (2 - 0)2 = 5 Daí, vem que o raio é igual a R = √ 5, ou R2 = 5. Ora, conhecemos o raio e o centro da circunferência. Logo: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 , que é a equação reduzida da circunferência procurada. Revise a equação da circunferência, Desenvolvendo os quadrados dos binômios indicados, encontraremos a equação na forma geral, a saber: x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = 5 Simplificando, vem finalmente: x2 + y2 - 2x - 4y = 0, que é a equação procurada. O número complexo 2 + i é raiz do polinômio P(x) = x3 + a x2 + b x +15, em que a e b são números reais. Pede-se determinar os valores de a e b e, em seguida, calcular P(i) / (3+i) na forma c + d i , sendo c e d números reais. Ora, se x = 2 + i é raiz de P(x), então: (2 + i)3 + a(2 + i)2 + b(2 + i) + 15 = 0 Desenvolvendo, vem: 23 + 3.22.i + 3.2.i2 + i3 + a(22 + 2.2.i + i2) + b(2 + i) + 15 = 0 8 + 12i - 6 - i + a(4 + 4i -1) + 2b + bi + 15 = 0 8 + 12i - 6 - i + 4 a + 4ai - a + 2b + bi + 15 = 0 Simplificando e ordenando, vem: (8 - 6 + 4 a - a + 2b + 15) + (12 - 1 + 4 a + b) i = 0 (17 + 3 a + 2b) + (11 + 4 a + b) i = 0 + 0i Daí, vem: 17 + 3 a + 2b = 0 11 + 4 a +b = 0 Ou, 3 a + 2b = - 17 4 a + b = - 11 Para resolver o sistema de equações acima, multiplicaremos a primeira equação por 4 e a segunda por - 3: Teremos:
12 a + 8b = - 68 -12 a - 3b = 33 Somando membro a membro - para eliminar a incógnita a - vem: 5b = - 35, de onde conclui-se b = -7. Portanto, como 4 a + b = - 11, vem, substituindo: 4 a +(-7) = -11, de onde conclui-se: a=-1 Logo, a = -1 e b = - 7, responde à primeira parte do exercício. Portanto, substituindo os valores de a e de b encontrados, o polinômio dado é igual a: P(x) = x3 - x2 - 7x + 15 Falta calcular P(i) / (3+i). P(i) = i3 - (i)2 - 7(i) + 15 = -i + 1 -7i + 15 = 16 - 8i Portanto,
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Questões Resolvidas - Trigonometria Dois arcos são côngruos se a diferença entre as suas medidas for um múltiplo de 360º. Nestas condições, os arcos 20º e 740º são côngruos, pois , 740º - 20º = 720º que é múltiplo de 360º. Considere os arcos trigonométricos A e B, de medidas (3m - 10).180º e (2m + 2).180º. Sendo m um número inteiro maior do que 30 e menor do que 50, pede-se determinar quantos valores de m que tornam côngruos os arcos A e B. Seguindo a definição de arcos côngruos, podemos escrever: (3m - 10).180º - (2m + 2).180º = k.360º, onde k é um número inteiro. Colocando 180º em evidencia, vem: (3m - 10 - 2m - 2).180º = k.360º Dividindo ambos os membros por 180º, vem: m - 12 = k.2 m = 2k + 12 Como m está situado entre 30 e 50, vem: 30 < 2k + 12 < 50 30 -12 < 2k + 12 - 12 < 50 - 12 18 < 2k < 48 Dividindo por 2, fica: 9 < k < 24 Logo, k = 10, 11, 12, ... , 23. Portanto, existem 14 valores possíveis para k e, por conseqüência, já que m = 2k + 12, existem também 14 valores possíveis para m. DICA:: a quantidade de números inteiros existentes de m a n, onde m e n são inteiros, com m < n, é dada DICA por n - m + 1. Por exemplo: de 102 a 305, existem quantos números? A resposta é 305 - 102 + 1, que é igual a 204. Quantos números existem entre -23 e 58? Teremos 58 - (-23) + 1 = 82 números de -23 a 58. Como foi perguntado a quantidade de números entre -23 e 58, temos que excluir esses dois, resultando como resposta, 80. Claro que vocês perceberam que a dica acima, está relacionada diretamente ao assunto Progressão
Aritmética. No caso, a PA - Progressão Aritmética , tem razão igual a 1. Quantos são os arcos côngruos a 420º compreendidos entre os arcos trigonométricos de medidas 1000º e 6400º? Todos os arcos côngruos a 420º possuem a forma geral: 420º + k.360º, onde k é um número inteiro. Portanto, podemos escrever: 1000º < 420º + k.360º < 6400º 1000º - 420º < 420º + k.360º - 420º < 6400º - 420º 580º < k.360º < 5980º Dividindo tudo por 360º, vem: 1,6111... < k < 16,6111... Portanto, os valores possíveis para k, são: k = 2, 3, 4, ... , 15, 16. Logo, usando a DICA vista acima, concluímos que existem 16 - 2 + 1 = 15 valores possíveis para k. Logo, como a cada valor de k, corresponde um arco, concluímos que existem 15 arcos côngruos, que satisfazem ao problema dado. Para que valor de m a expressão y = (m - 1)(sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x? Podemos escrever: y = (m - 1)[(sen2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica: y = (m - 1)(sen2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2x = 1 - cos2x, vem: y = m(1 - cos2x) - mcos2x - (1 - cos2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 y = m - mcos2x - mcos2x - 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Simplificando os termos semelhantes, fica: y = m + (4 - 2m)cos2x + (m - 2)cosx Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 2, que é a resposta procurada. ∴ m = 2, Determine os valores possíveis para m, de modo que a equação sen3x.cosx - senx.cos3x = - m/4 , possua solução. Colocando senx.cosx em evidencia, vem: senx.cosx(sen2x - cos2x) = - m/4 Observe que sen2x - cos2x = - (cos2x - sen2x) = - cos2x Além disto, senx.cosx = (1/2).sen2x, já que sen2x = 2senxcosx Substituindo, vem: (1/2).sen2x .(- cos2x) = - m/4 Multiplicando ambos os membros por (-4) , vem: 2sen2xcos2x = m Ora, se 2senAcosA = sen2A, então 2sen2xcos2x = sen4x Daí, vem: sen4x = m Ora, o seno somente pode variar de -1 a +1. Logo, -1 ≤ m ≤ 1 , que é a resposta procurada. Qual o período e qual o conjunto imagem da função y = cos(4x)sen(6x) + sen(4x)cos(6x) ? Como sen(a + b) = sena cosb + senb cosa, vem imediatamente, que: y = sen(4x + 6x) = sen10x Portanto: Conjunto Imagem: Im = [-1,1] Período: T = 2π /10 = π /5 radianos. Revise Trigonometria AQUI AQUI.. Para retornar, CLIQUE em VOLTAR no seu browser.
Simplifique a expressão E = 8sen10ºcos20ºsen50º Sabemos que: sen(a+b) = senacosb + senbcosa sen(a-b) = senacosb - senbcosa Somando membro a membro, vem: sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb Daí, vem: sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)] Portanto: sen10º . cos20º = 1/2 [sen(10º + 20º) + sen(10º - 20º)] sen 10º . cos 20º = 1/2 [sen 30º + sen (- 10º)] sen 10º . cos 20º = 1/2 [1/2 - sen 10º] Obs: sen( - 10º ) = - sen 10º Substituindo na expressão dada, vem: E = 8 . {1/2 [1/2 - sen 10º]}. sen 50º E = 8 . [1/4 - (sen 10º)/2] . sen 50º E = [2 - 4.sen 10º] . sen 50º E = 2.sen50º - 4.sen 10º . sen 50º (eq. 1) Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) - cos(a+b)] Logo: sen10º . sen50º = 1/2 [cos(10º - 50º) - cos(10º + 50º)] sen10º . sen50º = 1/2 [ cos40º - cos60º ] Obs: cos(-40º) = cos40º , pois a função coseno é par ou seja f(-x) = f(x) para todo x. Substituindo na (eq. 1) acima, vem: E = 2.sen50º - 4(1/2[cos40º - cos60º]) E = 2.sen50º - 2.cos40º + 1 (Obs: cos60º = 1/2) E = 2(sen50º - cos40º) + 1 Como 50º e 40º são ângulos complementares, vem que sen50º = cos40º Daí vem, finalmente: E = 2.0 + 1 Portanto, E = 8.sen10º.cos20º.sen50º = 1 Dada a função f(x) = sen6x + cos6x - 2sen4x - cos4x + sen2x, pede-se calcular f(π /10). Vamos inicialmente, simplificar a expressão que define a função dada. Temos: f(x) = sen6x + cos6x - 2sen4 x - cos4 x + sen2x Arrumando convenientemente, vem: f(x) = sen6x - 2sen4x + sen2x + cos6x - cos4x Fatorando a expressão convenientemente em relação a senx e cosx cosx,, vem: 2 4 2 4 2 f(x) = sen x (sen x - 2sen x + 1) + cos x(cos x - 1) Observe que: sen4x - 2sen2x + 1 é igual a: (sen2x - 1)2. Lembre-se que p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 . Portanto, sen4x - 2sen2x + 1 = (sen2x - 1)2. Daí, substituindo, vem: f(x) = sen2x(sen2x - 1)2 + cos4x(cos2x - 1) Mas, sabemos da Trigonometria, que: sen2x + cos2x = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria) Portanto: sen2x = 1 - cos2x = - (cos2x - 1) ∴ cos2x - 1 = - sen2x cos2x = 1 - sen2x = - (sen2x - 1) ∴ sen2x - 1 = - cos2x Substituindo na expressão da função, vem: f(x) = sen2x[- cos2x]2 + cos4x (- sen2x) f(x) = sen2x . cos4x - cos4x . sen2x f(x) = sen2x.cos4x - cos4x . sen2x = seen2x.cos4x - sen2x.cos4x = zero. Ora, f(x) é então igual a zero, independente do valor de x. Portanto f(π /10) = 0. Se asenx - cosx = 1 e bsenx + cosx = 1, com a e b reais, pede-se calcular o valor do produto ab, sabendose que x é um arco não nulo. Teremos: asenx = 1+ cosx bsenx = 1 - cosx
Multiplicando membro a membro, vem: absen2x = (1 + cosx)(1 - cosx) absen2x = 12 - cos2x = 1 - cos2x Mas. 1 - cos2x = sen2x Logo, ab.sen2x = sen2x e, como x é um arco não nulo, e portanto senx ≠ 0 , dividindo ambos os membros por sen2x, vem imediatamente que ab = 1. Seja x um arco trigonométrico tal que sen2x + sen6x - 2 sen4x = 0, pede-se determinar o valor da expressão Y = 10sen4x + 8cos2x. Sabemos que: sen p + sen q = 2. sen[(p+q)/2].cos[(p-q)/2] Revise Trigonometria: sen2x + sen6x = sen6x + sen2x =2.sen4x.cos2x Substituindo, fica: 2sen4x.cos2x - 2sen4x = 0 Colocando sen4x em evidencia, vem: sen4x(2cos2x - 1) = 0 Portanto, sen4x = 0 ou 2cos2x - 1 = 0 Daí, sen4x = 0 ou cos2x = 1 /2 Portanto, Y = 10.0 + 8(1/2) = 0 + 4 = 4. O seno de um ângulo agudo de medida x, é o dobro do seno de um outro ângulo y. Nestas condições, pede-se determinar entre que limites está compreendido o ângulo y. Temos: senx = 2seny Logo, como o seno de um ângulo agudo (ângulo entre 0 e 90º) situa-se necessariamente no intervalo real de 0 a 1, vem: 0 ≤ 2seny ≤ 1 Então, dividindo tudo por 2, vem: 0 ≤ seny ≤ 1 /2 Mas, 1 /2 = sen30º e 0 = sen0º. Logo, sen0º ≤ seny ≤ sen30º Conclui-se pois, que 0º ≤ y ≤ 30º, ou seja, y está situado no intervalo [0º, 30º].
Questões Resolvidas XX UFBA - Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5. Sabendo-se que y - z 2 - 2x = 0. determine x + y + z . SOLUÇÃO Se x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5, então podemos dizer que x, y e z são diretamente proporcionai proporcionais s aos seus inversos multiplicativos, ou seja: x, y e z são diretamente proporcionais a 1/10, 1/1 e 1/5. Assim, poderemos escrever a seguinte relação de proporcionalidade proporcionalidade direta: x/(1/10) = y/(1/1) = z/(1/5)
Daí, vem: 10x = y = 5z Temos então: 10x = 5z, de onde tiramos: z = 2x (dividindo ambos os membros por 5). 10x = y, de onde tiramos: y = 10x Substituindo os valores acima na expressão dada y – z2 – 2x = 0, vem: 10x – (2x) 2 – 2x = 0 10x – 4x 2 – 2x = 0 8x – 4x 2 = 0 Dividindo ambos os membros por 4, vem: 2x – x2 = 0 Colocando x em evidencia, vem: x(2 – x = 0 ou x = 2. Como o enunciado do problema diz que o valor x = 2 serve. Ora, se x = 2, então: y = 10x = 10(2) = 20 e z = 2x = 2(2) Assim, a soma x + y + z = 2 + 20 + 4
x) = 0 e, portanto, x é positivo, vem que somente = 4. = 26.
Dividindo 360 por b obtém-se quociente 6 e resto r, sendo b e r dois números naturais. Determine a soma dos valores possíveis para b. SOLUÇÃO Sabemos da Aritmética, que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto O resto é menor do que o divisor e positivo ou nulo. No caso, temos: Dividendo = 360 Divisor = b Quociente = 6 Resto = r Podemos escrever: 360 = 6b + r e, portanto, r = 360 – 6b E, como o resto é positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem: 0 ≤ 360 – 6b < b Somando 6b a todos os membros, fica: 6b ≤ 360 < 7b Podemos dizer então, que: 6b ≤ 360 (1) 360 < 7b (2) Dividindo ambos os membros de (1) por 6, vem: b ≤ 60 Dividindo ambos os membros de (2) por 7, vem: 51,4286 < b Portanto, 51,4286 < b ≤ 60 Os valores inteiros possíveis para b, são: b = 52, 53, 54, ... ou b = 60. Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a S = 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60
Observando que temos a soma dos termos de uma Progressão Aritmética de razão 1, vem: S = [(52 + 60).9]/2 = 504
Questões Resolvidas XXI Certo binômio de Newton
Determine o termo independente de x, no desenvolvimento do binômio [(x + 1/x)(x - 1/x)] 6 . Solução: [(x + 1/x)(x - 1/x)] 6 = (x2 – 1/x2)6 O termo geral de (a + b) n é dado por: Tp+1 = Cn,p . ap.bn-p
Logo, Tp+1 = C6,p . (x2)p . (-1/x 2)6-p Tp+1 = C6,p . x2p . (-1)6-p/x2(6-p) = C6,p . x2p . (-1)6-p/x 12-2p Tp+1 = C6,p . (-1)6-p . x2p – 12 –(-2p) = (-1)6-p . C6,p . x4p-12 Para que o termo seja independente de x deveremos ter: 4p – 12 = 0 de onde vem p = 3. Substituindo, fica: Tp+1 = T4 = (-1)6 - p . C6,3 = (-1)6 – 3 . 6!/3!.(6-3)! Observe que x 4p-12 para p = 3, é igual a x 0 = 1. Logo, teremos: T4 = (-1)3 . 6.5.4.3!/3!.3.2.1 = (-1).20 = - 20 Portanto, -20 é a resposta procurada.
Questões Resolvidas XXII - Qual é a razão? Qual é a razão?
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES – 2001 Uma concessionária de veículos comercializa dois modelos de automóveis, um popular e um de luxo. Sabe-se que as vendas do modelo popular correspondem a 60% do total de veículos comercializados, comercializados, mas, contribuem com apenas 20% da receita. Qual é a razão entre o preço do modelo de luxo e o do modelo popular? Solução:
Sejam: R = receita total da venda dos veículos. x = preço do carro popular. y = preço do carro de luxo.
np = número de carros populares vendidos. nL = número de carros de luxo vendidos Claro que podemos escrever:
R = n p . x + nL . y Ainda do enunciado, vem que:
n p = 0,60(n p + nL), onde 0,60 = 60% = 60/100 . Daí tiramos: np = 0,60.n p + 0,60.n L np – 0,60.n p = 0,60.n L 0,40.np = 0,60.n L n p = 0,60.n L / 0,40 = (0,60/0,40).n L = 1,5.nL n p = 1,5.nL
A citação que a comercialização dos veículos populares contribui com 20% da receita total, nos permite escrever:
já que 20% = 20/100 = 0,20. Desenvolvendo a expressão acima, fica: n p.x = 0,20(n p.x + nL.y) = 0,20.n p.x + 0,20.nL.y n p.x - 0,20.n p.x = 0,20.nL.y 0,80. n p.x = 0,20.nL.y
Daí, vem imediatamente: imediatamente:
Nota: lembre-se que se a/b = m então a = b.m, para b
≠
0.
Logo, 4.n p.x = nL.y Substituindo o valor de n p obtido acima (expressão em vermelho), vem: 4.(1,5.nL).x = n L.y 6.nL.x = nL.y Simplificando, Simplificando, vem: y = 6.x Sendo x = preço do carro popular e y = preço do carro de luxo, a solução procurada ou seja, a razão entre o preço do modelo de luxo (y) e o do modelo popular (x), será dada por y/x. Ora, como y = 6.x, vem imediatamente que y/x = 6. Resposta: 6 INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail:
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Questões Resolvidas XXIII XXIII - Ratos e homens FUVEST – A população humana de um conglomerado urbano é de 10 milhões de habitantes e a de ratos é de 200 milhões. Admitindo-se que ambas as populações cresçam em progressão geométrica, de modo que a humana dobre a cada 20 anos e a de ratos dobre a cada ano, dentro de dez anos quantos ratos haverá por habitante? Solução: Sejam H0 e R0 as populações humana e de ratos no ano inicial, teremos: H0 = 10 000 000 = 107 R0 = 200 000 000 = 2.100 000 000 = 2.108 Como a população humana dobra a cada 20 anos, vamos calcular a taxa de crescimento anual, que será a razão da progressão geométrica – PG, já que o crescimento se dá em PG, conforme o enunciado do problema. Temos a seguinte PG: (H0 = 107, H1, H2, H3, ... ,H19, H20 = 2x107) onde H20 = 2.107 = dobro da população inicial. Temos então uma PG na qual conhecemos o primeiro termo (107), o último termo (2.107), o número de termos (n = 21) e desconhecemos a razão (q). Nota: n = 21 porque de H0 a H20, existem 21 termos. A fórmula do termo geral de uma Progressão geométrica é, como já sabemos, dada por: an = a1.q n - 1 Substituindo os termos conhecidos, vem: 2.107 = 107 . q21 – 1 2.107 = 107 . q20 Daí, vem: q20 = 2 = 21 ∴ q = 21/20 A população humana após 10 anos será então dada por: H10 = H0.qn - 1 = 107.(21/20)11– 1 = 107.(21/20)10 = 107.21/2 Nota: n = 11 neste caso, porque de H0 a H10 existem 11 termos. Vamos agora calcular a população dos ratos após 10 anos. Conforme dados do enunciado da questão e considerações anteriores, temos a seguinte PG: (2.108, 4.108,..., R10) onde R10 é a população de ratos após 10 anos.
Vamos calcular R10, lembrando que como a população de ratos duplica a cada ano, a razão da PG é igual a 2. Teremos então, utilizando a fórmula do termo geral de uma PG: R10 = 2.108.211 - 1 = 2.108.210 = 211.108 Nota: n = 11 neste caso, porque de R0 a R10 existem 11 termos. Ora, depois de 10 anos, teremos 107.21/2 humanos e 211.108 ratos. Para achar a resposta do problema, ou seja, dentro de dez anos quantos ratos haverá por habitante, basta achar a razão (o quociente) entre o número de ratos e de humanos, ou seja: (211.108) / (10 / (107.21/2) = 108 - 7.211 - (1/2) = 10.221/2 = 5.2.2 21 / 2 = 5.21+ (21/2) = 5.223/2 Resposta: 5.223/2 ratos para cada humano. humano. Usando uma calculadora científica – a do Windows serve – obtemos este número que vale aproximadamente 14482 ratos por humano! humano! Nota: O título Ratos e homens é de uma obra de John Steinbeck, escritor norte americano – 1902 / 1968.
Questões Resolvidas XXIV - Uma pedra num aquário Universidade Federal do Espírito Santo – UFES 2001 Um aquário em forma de paralelepípedo reto, de altura 50 cm e base retangular horizontal horizontal com lados medindo 80 cm e 60 cm, contém água até um certo nível. Após a imersão total de uma pedra decorativa nesse aquário, o nível da água subiu 0,5 cm sem que a água entornasse. Determine o volume da pedra imersa. Solução:
O volume da pedra imersa será exatamente igual ao volume de líquido deslocado. Após a imersão da pedra no aquário, o nível da água subiu 0,5 cm e, como a base do aquário mede 80 cm por 60 cm, o volume de água deslocado será igual ao volume de um paralelepípedo reto de base 60 x 80 cm e altura 0,5 cm, ou seja: V = 60.80.0,5 = 2400 cm 3. O volume da pedra será então igual ao volume de água deslocado, ou seja, 2400 cm 3. Resposta: 2400 cm 3
Exercícios Resolvidos XXV - Corrida Maluca UEFS 2001.2 – Um piloto de corrida percorre várias vezes uma pista circular de 1,5 km de raio até parar por falta de combustível. Se,
no início litros de para cada completas a) 54
da corrida, o carro usado pelo piloto continha 120 combustível no tanque e consome 1 litro de combustível 6 quilômetros rodados, então o número de voltas percorridas pelo piloto foi igual a b) 63 c) 76 d) 82 e) 91
SOLUÇÃO: Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por: C = 2πR No nosso caso, R = 1,5 km e, portanto, C = 2. π.1,5 = Em n voltas, o piloto terá percorrido no total, Ct Ora, se o carro gasta 1 litro por cada 6 quilômetros sua autonomia de combustível dá para percorrer 120.6
3π = 3. π.n rodados, a = 720 km
Portanto, poderemos escrever: 3.π.n
=
720 km
Daí tiramos imediatamente: imediatamente: n = 720 / 3. π
Considerando-se 76,39.
π
= 3,1416, e efetuando as contas, obteremos n =
Como o problema pede para determinar o número de voltas completas, concluímos que a resposta procurada é igual a 76, o que nos leva tranqüilamente tranqüilamente à alternativa C. Nota: Aqui pra nós: um piloto percorrer n vezes uma pista circular até acabar a gasolina, justifica o título Corrida Maluca que eu atribuí ao arquivo.
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Questões Resolvidas XXVI - Ocupando salas 1) UEFS 2003 – 2º semestre Para a realização de um concurso seletivo, foram inscritos entre 2000 e 2200 candidatos. Sabe-se que, se eles forem distribuídos em salas com capacidades para 40, 45 ou 54 candidatos cada uma, sempre haverá uma sala com apenas 20 candidatos. Com base nestas informações, pode-se concluir que o número de inscritos foi igual a: a) 2020 b) 2100
c) 2160 d) 2126 e) 2180 Nota: UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana Solução:: Solução Seja n o número de inscritos no concurso. Do enunciado da questão, podemos escrever: 2000 < n < 2200 , onde n é um número natural. É claro que o número (n – 20) será divisível simultaneamente por 40, 45 e 54 e, consequentemente, pelo mínimo múltiplo comum deles, ou seja, pelo MMC(40,45,54). Nota: (n – 20) é o número de candidatos que deverá ser distribuído pelas outras duas salas, já que sempre haverá uma sala com 20 candidatos, conforme enunciado da questão. Temos que MMC(40,45,54) = 1080 Ora, se (n – 20) é divisível pelo MMC(40, 45, 54) = 1080, poderemos escrever:
n – 20 = 1080.k onde k é um número inteiro. Daí, n = 1080k + 20 Substituindo o valor de n acima na expressão 2000 < n < 2200, fica: 2000 < 1080k + 20 < 2200 Vem, então: 2000 – 20 < 1080k + 20 –20 < 2200 – 20 1980 < 1080k < 2180 Dividindo tudo por 1080, fica: 1,83333... < k < 2,0185185... Como k é inteiro, o único valor que atende à desigualdade acima é k = 2. Logo, substituindo em n = 1080k + 20, vem finalmente: n = 1080.2 + 20 = 2160 + 20 = 2180 Portanto, o número de candidatos inscritos foi igual a 2180 e a alternativa correta é a de letra E. 2) Com base no problema anterior, de quantas formas os candidatos poderão ser distribuídos nas salas? A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) mais de 4 Solução:: Solução Já sabemos que as salas possuem capacidade para 40, 45 e 54 candidatos, com a condição de que em qualquer situação, após o preenchimento de duas das salas, a sala restante ficará com apenas 20 candidatos. Seja x o número de salas com 40 candidatos, y o número de salas com 45 candidatos e z o
número de salas com 54 candidatos. Do enunciado, poderemos concluir as seguintes igualdades: I) sala com capacidade para 54 candidatos, com apenas 20 candidatos e as outras duas salas cheias: 40x + 45y + 20 = 2180 ∴ 40x + 45y = 2160 II) sala com capacidade para 45 candidatos, com apenas 20 candidatos e as outras duas salas cheias: 40x + 54z + 20 = 2180 ∴ 40x + 54z = 2160 III) sala com capacidade para 40 candidatos, com apenas 20 candidatos e as outras duas salas cheias: 45y + 54z + 20 = 2180 ∴ 45y + 54z = 2160 Temos então as seguintes equações lineares: 40x + 45y = 2160 40x + 54z = 2160 45y + 54z = 2160 Poderemos escrever as equações lineares acima como: 40x + 45y + 0z = 2160 ( I ) 40x + 0y + 54z = 2160 ( II ) 0x + 45y + 54z = 2160 ( III ) Temos então, um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas para resolver. Vamos resolver o sistema pelo método de escalonamento , embora pudéssemos também usar a regra de Cramer. Cramer. Substituindo no sistema a equação ( II ) pela subtração (I) – (II), fica: 40x + 45y = 2160 ( IV ) 45y – 54z = 0 ( V ) 45y + 54z = 2160 ( VI ) Substituindo a equação ( VI ) pela subtração ( V ) – ( VI), fica: 40x + 45y = 2160 (VII ) 45y – 54z = 0 ( VIII ) – 108z = - 2160 ( IX ) Da equação ( IX ) tiramos imediatamente que z = (-2160) / (-108) = 20 ∴ z = 20 . Substituindo o valor de z na equação ( VIII ), fica: 45y – 54(20) = 0 ∴ 45y = 54.20 = 1080 ∴ y = 1080 / 45 = 24 ∴ y = 24 . Substituindo agora o valor de y na equação ( VII ), fica: 40x + 45.24 = 2160 ∴ 40x = 2160 – 45.24 = 2160 – 1080 = 1080 ∴ 40x = 1080 e, finalmente vem que x = 1080 / 40 = 27 ∴ x = 27 . Ora, já sabemos dos itens ( I ), ( II ) e ( III ) acima que: 40x + 45y + 20 = 2180 40x + 54z + 20 = 2180 45y + 54z + 20 = 2180 e que x = 27, y = 24 e z = 20. Portanto, as distribuições possíveis dos 2180 candidatos serão:
1ª) 27 salas com 40 candidatos, 24 salas com 45 candidatos e uma sala com 20 candidatos, perfazendo o total de 27.40 + 24.45 + 20 = 1080 + 1080 + 20 = 2180 candidatos. 2ª) 27 salas com 40 candidatos, 20 salas com 54 candidatos e uma sala com 20 candidatos, perfazendo o total de 27.40 + 20.54 + 20 = 1080 + 1080 + 20 = 2180 candidatos. 3ª) 24 salas com 45 candidatos, 20 salas com 54 candidatos e uma sala com 20 candidatos, perfazendo o total de 24.45 + 20.54 + 20 = 1080 + 1080 + 20 = 2180 candidatos. Logo, existem três formas distintas de acomodação dos 2180 candidatos entre as salas, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B. 3) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo de salas necessário para acomodar todos os candidatos? Solução:: Solução Como vimos na questão anterior, teremos as seguintes composições possíveis: 1ª) 27 salas + 24 salas + 1 sala = 52 salas 2ª) 27 salas + 20 salas + 1 sala = 48 salas 3ª) 24 salas + 20 salas + 1 sala = 45 salas Portanto, o número mínimo de salas necessário será igual a 45. Observe que neste caso, os candidatos poderão ser acomodados de uma única maneira ou seja: 24 salas com 45 candidatos, 20 salas com 54 candidatos e uma sala com 20 candidatos. 4) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo de salas necessário para acomodar todos os candidatos de todas as maneiras possíveis? Solução:: Solução Observe atentamente que neste caso, o número mínimo de salas necessário será igual a 52, pois se existissem apenas 45 salas, a acomodação segundo a 1ª composição (veja acima), não seria possível. Agora resolva estes: estes: 1 - Para a realização de um concurso seletivo, foram inscritos entre 800 e 1300 candidatos. Sabe-se que, se eles forem distribuídos em salas com capacidades para 40, 50 ou 60 candidatos cada uma, sempre haverá uma sala com apenas 20 candidatos. Com base nestas informações, pode-se concluir que o número de inscritos foi igual a: a) 1220 b) 1260 c) 860 d) 920 e) 1160 Resposta: alternativa A 2 – Em relação ao exercício anterior, determine todas as composições possíveis para acomodação dos candidatos nas salas. Resposta: Os candidatos poderão ser distribuídos das seguintes formas: 1ª) 15 salas com 40 candidatos, 12 salas com 50 candidatos e uma sala com 20 candidatos. 2ª) 15 salas com 40 candidatos, 10 salas com 60 candidatos e uma sala com 20 candidatos.
3ª) 12 salas com 50 candidatos, 10 salas com 60 candidatos e uma sala com 20 candidatos. 3) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo de salas necessário para acomodar todos os candidatos? Resposta: 23 salas 4) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo de salas necessário para acomodar todos os candidatos de todas as maneiras possíveis? Resposta: 28 salas
Questões Resolvidas: XXVII - UNICAMP –1995 – Lembrando: um copo vazio
UNICAMP 95) Um copo cheio de água pesa 385 g. Com 2/3 da água pesa 310g. Pergunta-se: a) qual é o peso do copo vazio? b) qual é o peso do copo com 3/5 da água? Solução: Seja Cv o peso do copo vazio e C a o peso da água. Poderemos Pod eremos escrever: Cv + Ca = 385 Ainda do enunciado, poderemos escrever: Cv + (2/3).Ca = 310 Temos então, o seguinte sistema de equações do primeiro grau: Cv + Ca = 385 Cv + (2/3).Ca = 310 Subtraindo membro a membro as igualdades acima, vem: Cv + Ca – Cv – (2/3).Ca = 385 – 310 Simplificando, fica: Ca – (2/3).Ca = 75 Efetuando a subtração indicada no primeiro membro, vem: (3/3)Ca – (2/3).Ca = 75 (1/3).Ca = 75 Daí tiramos imediatamente que C a = 75 / (1/3) = 75.3 = 225
Nota: lembre-se que para dividir um inteiro por uma fração, basta b asta multiplicar multiplicar o inteiro pelo inverso multiplicativo da fração. Por isto 75/(1/3) = 75.(3/1) = 225. Como Ca = 225 (peso da água contida no copo), e como já sabemos que Cv + Ca = 385, vem por p or simples substituição: Cv + 225 = 385 Cv = 385 – 225 = 160 Logo, o peso do copo vazio é igual a 160g (160 gramas), o que responde a primeira pergunta. A segunda pergunta é: " qual é o peso do copo com 3/5 da água?". Ora, o copo vazio pesa 160 gramas e a água contida no copo pesa 225 gramas, conforme já calculamos antes. Logo, para responder ao item (b) da questão qu estão basta calcular: 160 + (3/5).225 = 160 + 135 = 295 Portanto, a resposta do item (b) é 295 gramas (295g). Agora resolva este: Um copo cheio de água pesa 400 g. Com 3/4 da água pesa 320g. Pergunta-se: a) qual é o peso do copo vazio? b) qual é o peso da água contida no copo? c) qual é o peso do copo com 3/5 da água? Respostas: a) 80g b) 320g c) 272g Notas: 1) A unidade de medida de massa (grama), de símbolo g, corresponde à milésima parte do quilograma (kg). Assim, 1kg = 1000g. O problema originalmente proposto na UNICAMP em 1995, 1995 , deveria ter se referido à massa e não ao peso. p eso. Isto entretanto, é irrelevante para a solução do problema proposto. 2) O título atribuído ao arquivo, foi fo i inspirado na música Copo Vazio – 1974 – de autoria do grande intérprete e compositor da música popular brasileira Gilberto Gil - preciosidade entre tantas outras ou tras músicas belíssimas do cancioneiro popular. Gil é hoje, para orgulho dos baianos, Ministro de Estado da Cultura do Brasil. ******************** É sempre bom lembrar Que um copo vazio Está cheio de ar.
... Gilberto Gil *******
Paulo Marques
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[email protected] [email protected] m.br www.colegiocascavelense.com.br. www.colegiocascavelense.com.br . CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL
