República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politecnica de los Llanos Centrales Núcleo: Valle de la Pascua
Matemtica !
Participante: "isrrail#s Perez C$!$ N% &'$()*$++,
-ebrero. &+'(
L/M!0E "E UN1 -UNC!2N La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función f ( x ) =
x3 − 1 x − 1
x ≠1
!ara todo punto " # 1 podemos tra$ar la gráfica por los m%todos conocidos por todos nosotros& 'ora para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de "1 usamos dos conjuntos de *alores " uno que se apro"ime al 1 por la i$quierda + otro por la dereca& La siguiente tabla muestra los correspondientes *alores de f (")&
" se acerca al 1 por la i$quierda " f
,./1
,-.-/,1
(")
⇒ ⇐ " se acerca al 1 por la dereca
,--.--/,,
1 0
1 f (") se acerca al 3
1,,1 3,,3,,
1,1 3,3,1
1 1 331
1 f (") se acerca al 3
⇒⇐
-i3ura ' #
/ 5 4 3 . 1 4
23
2.
21
1
.
3
21
La figura 1 es la gráfica de la función f ( x ) =
x3 − 1 x − 1
x ≠ 1 + como podemos obser*ar en
dica gráfica gráfica a+ un salto en el punto (16 3) esto se debe a que la función f no está definida definida en el . número 1& 7s de notar que %sta gráfica es la de la función g ( x ) = x + x + 1 menos el punto (16 3)& La
funció función n g se obtien obtienee a partir partir de la funció función n f factor factori$an i$ando do el numera numerador dor + simpli simplifica ficando ndo&& La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(") se apro"ima arbitrariamente a
un número L cuando " se apro"ima a a por ambos lados decimos que el límite f(") cuando " tiende f ( x) = L& a a es L + escribimos xlím →a
"e5inición de l6mite de una 5unción Sea f una función definida en todo número de algún inter*alo abierto 8 que contiene a a e"cepto posiblemente en el número a mismo& 7l límite de f(") cuando " se apro"ima a a es L lo lím f ( x ) = L si para cualquier x → a
cual se escribe como
> , no importa que tan peque9a sea
ε
e"iste una δ > , tal que si , < : x − a :< δ entonces : f ( x ) − L :< ε
7sta definición indica que los *alores de f(") se apro"iman al límite L conforme " se apro"ima al número a si el *alor absoluto de la diferencia : f ( x) − L : puede acerse tan peque9a como de desee tomando " suficientemente cerca de a pero no igual a a& 7n la definición no se menciona nada acerca del *alor de f(") cuando " a6 recordemos que f ( x ) e"ista& la función no necesita estar definida en a para que xlím →a
7jemplos 1&
x − 4) = 3& 1) ;tilicemos la definición para demostrar que xlím( →.
, e"iste una δ > , tal que si , < : x − . :< δ entonces : ( x − 4) − 3 :< ε si , < : x − . :< δ entonces : x − = :< ε si , < : x − . :< δ entonces : x − . :< ε si , < : x − . :< δ entonces : x − . :<
ε
7ntonces si
tomamos δ =
ε
se cumple la proposición (')& 7sto demuestra que
lím( x − 4) = 3& x → .
>omando ε = ,,1 δ = ,,,.4 luego para esos *alores de ε + δ los números " que pertenecen al inter*alo abierto ( 1--/46. ) U ( .6.,,.4 ) *erifican la proposición(')& 7n efecto tomando cualquier " en el inter*alo anterior por ejemplo " 1--/5 se tiene: , < : 1 --/5 − . : = : −, ,,. : = , ,,. < , ,,.4
entonces
: (?1--/5 − 4) − 3: = : /--, − =: = : −,,,-5 : = ,,,-5 < ,,1
7sto *erifica la proposición (') para el *alor específico tomado para "&
−1 = 3& x →1 x − 1
.) @emostrar usando la definición de límite que lím
x 3
si , < : x − 1:< δ entonces
x3 − 1 x − 1
− 3 < ε
( x − 1) ( x . + x + 1) x − 1
(A)
− 3 < ε
. si , < : x − 1: < δ entonces x + x − . < ε
si , < : x − 1: < δ entonces : ( x − 1) ( x + . ) : < ε si , < x − 1
< δ
entonces : x + . :: x − 1:< ε
'ora cuando " se acerca a 1 " B. se acerca a 3 luego : x + . :: x − 1 : ≤ 3 : x − 1 : < ε por lo tanto : x − 1: <
ε
3
. < : x + . : ≤ 3 entonces
& @e la proposición (A) se obtiene que si
, < : x − 1: < δ entonces : x − 1: <
demuestra que lim x →1
x 3 − 1 x − 1
ε
3
& Si tomamos δ =
ε
3
se cumple la proposición (A) lo que
= 3&
0eorema '$ L6mite de una 5unción lineal Sea f ( x) = mx + b donde m + b son dos números reales cualesquiera + entonces
lím f ( x) = lím( mx + b)
x → a
x →a
= ma + b
7jemplo .& lím( x − /) = ?3 − / x →3
= 1. − / = 4
0eorema &$ L6mite de una 5unción constante$ Si c es una constante (un número real cualquiera) entonces
lím c = c
x→a
7jemplo 3& lím / = /
x →
0eorema 7$ L6mite de una 5unción identidad$ Sea f ( x) = x entonces
lím x
x → a
=a
7jemplo & lím x = −.
x →− .
0eorema )$ L6mite de la suma # de la di5erencia de 5unciones$ f ( x ) = L + lím g ( x ) = M entonces Si xlím x →a →a
lím [ f ( x ) ± g ( x ) ]
x →a
= lím f ( x ) ± lím g ( x ) = L ± M x →a x →a
7jemplo 4& x − ) = . + lím 3 x = - entonces lím ( ( . x − ) Sean lím(. x →3 x →3 x →3
+ ( 3 x ) ) = lím 3 x = . +- =11 ( . x − ) + lím x →3 x →3
+
lím ( ( . x − ) x →3
3x = . −- = − / − ( 3 x ) ) = lím ( . x − ) − lím x →3 x →3
0eorema ($ L6mite de la suma # de di5erencia de n 5unciones$ f ( x ) = L1 lím f . ( x ) = L. K + lím f n ( x ) Si xlím x →a →a 1 x a →
= Ln entonces:
l6m [ f1 ( x ) ± f . ( x ) ± L ± f n ( x )] = l6m f1 ( x ) ± l6m f . (x ) ± L ± l6m f n (x ) = L1 ± L. ±L ± Ln x →a
x →a
x →a
x →a
0eorema ,$ L6mite del producto de dos 5unciones$ Si
l6m f x →a
( x) = L +
l6m g ( x) x →a
l6m x →a
= M entonces f ( x )? l6m g ( x ) = L ?M [ f ( x )?g ( x) ] = l6m x →a x →a
7jemplo 5& Sean l6m x →3
l6m (. x x →3
− ) = . +
l6m 3 x x →3
( .x − ) ( ( . x − ) ( 3x ) ) = l6m x →3
= - entonces l6m 3 x x →3
= .?- =1=&
0eorema 8$ L6mite del producto de n 5unciones$ Si
l6m f1 ( x ) x →a
l6m x →a
= L1 l6m f . ( x) = L. K y x →a
[ f1 ( x )? f . ( x )
L
l6m x →a
f n ( x)
= Ln entonces
f n ( x ) ] = l6m f1 ( x )? l6m f . ( x )?L ? l6m f n ( x) = L1 ? L. ? L ? Ln x →a
x →a
x →a
0eorema *$ L6mite de la n9sima potencia de una 5unción$ f ( x ) = L + n es cualquier número entero positi*o entonces Si xlim →a l6m x →a
[ f ( x)]
n
n
f ( x ) = Ln = l6m x →a
7jemplo /& Sea
l6m x →−.
( 4 x − 1, ) =− ., entonces
.
( 4 x − 1, ) = ( xl6m ( 4 x − 1, ) ) = ( −., ) = ,,& →−. .
l6m x →−.
.
0eorema ;$ L6mite del cociente de dos 5unciones$ Si
l6m f x →a
( x) = L +
l6m g ( x) x →a
= M entonces f ( x )
l6m x →a g ( x )
=
l6m f x →a
( x)
l6m g ( x ) x →a
=
L M
M ≠ ,
si
7jemplo =& Sean
l6m (. x x →3
− ) = . +
l6m 3 x x →3
= - entonces
l6m x →3
3 x . x −
=
l6m 3 x x →3 l6m x →3
=
-
( .x − ) .
0eorema '+$ L6mite de la ra6z n9sima de una 5unción$ Si n es un número entero positi*o + l6m n x →a
f ( x ) = n
l6m x →a
l6m f x →a
( x ) = L entonces
f ( x ) = n L con la restricción que si n es par L C ,&
7jemplo -& Sea
l6m x →−4
x .
l6m x →− 4
( x + 5 ) = 1,5 entonces .
. + 5 = xl6m x . + 5 ) = l6m x . + l6m 5 = ( −4 ) + 5 = 1,, + 5 = 1,5& ( x →−4 x →−4 →−4
0eorema '&$ L6mite del lo3aritmo de una 5unción$ Sean: b un número real positi*o + distinto de 1 +
l6m f x → a
( x ) = L > , entonces
l6m x → a
logb f ( x ) = log b l6m f ( x ) x →a
&
7jemplo 1,&
l6m x →e
ln ( . x − e )
aplicando el teorema .&1.&
'pliquemos el teorema e"igido: l6m x →e
ln ( . x − e ) = ln l6m ( . x − e ) = ln x →e
l6m .x x →e
e = ln ( .e − e ) = ln ( e ) = 1 − l6m x → e
Sin aplicar el teorema:
l6m ln ( . x − e ) = ln ( .e − e ) = ln ( e) = 1& x →e
0eorema ''$ Unicidad del l6mite de una 5unción$ Si
l6m f x →a
( x ) = L1 +
l6m f x →a
( x ) = L. entonces L1 = L. &
7ste teorema asegura que si el límite de una función e"iste %ste es único&
!n5initsimo$ La función f es un infinit%simo en el punto a si + sólo si
l6m f x →a
( x ) = ,&
7jemplos 1,& 1) La función f (") " es un infinit%simo en , pues
l6m x x →,
= ,& ( x − 1) = ,&
.) La función g (") " D 1 es un infinit%simo en 1 porque
l6m x →1
3) La función (") sen " es un infinit%simo en , +a que
l6m sen x x →,
) La función m(") 2." es un infinit%simo en . pues 4) La función r(") cos " es un infinit%simo en
π
.
l6m x → .
porque
= ,&
( − . x ) = ,& l6m
x →π
cos x = ,&
.
!n5initsimos e
f ( x )
⇔
f ( x ) : g ( x )
l6m x →a g ( x )
=1
!n5initsimos ms 5recuentes en +$ sen x : tg x :
arcsen x :
x
arctg x :
x
1 − cos x : e
x
−
1:
( 1+ )
x
ln ( 1 + x )
.
a
n
−
1:
x
.
x
x
x
−
1:
1+ x
n
nx
x
: x
x
−
ln a
1:
x n
7jemplos 11& 1)
l6m x →,
sen x x
=
arctg x
l6m sen x x →, l6mx x →,
=
=
l6m x x →, l6m x x →,
l6m arctg x x →,
=
x
1= 1 = l6m = l6m x →, x→, x
l6m x x →,
x
1 =1 = l6m = l6m x →, x →,
.)
l6m x →, arcsen x
3)
x ln1, ( 1, x − 1) l6m 1, x − 1 l6m x ln1, = l6m ln1, = ln1, x →, x →, l6m x l6m = = = ) ÷ ÷ x →, ( x x →, x →, l6m x x e 1 − − l6m e 1 ) x→, ( x →,
)
l6m
x 3 + sen x
x →,
3 x
l6m arcsen x →,
=
x
l6m x x→,
x
l6m ( x 3 + sen x ) l6m sen x x →,
l6m 3 x x →,
=
x →,
l6m 3 x
=
x →,
l6m x x →,
l6m 3 x
= l6m x →,
x→,
x 3x
1 1
= l6m = x →,
3 3
E=ercicios propuestos &$
l6m x →, x .
. sen . x
( 1 + cos x )
& .)
l6m x →,
e x − 1 sen. x
& 3)
ln x
l6m x →1 1
− x
−1 & 4) l6m x → , m 1 + x − 1 n
& )
1 + x
l6m x → ,
sen . x + x3 1 − cos x
&
5) l6m x →,
sen 3 x + arctg x sen x + tg 3 x
/ ( e x
− 1) l6m & x →, 3ln 1 + x ( )
& =)
11)
l6m x →,
( 1 − cos x )
ln . x
l6m x →1 x
−1
3
tg 3 x
& -)
ln ( x + 1)
− arcsen x + tg . . x & 4 x + 3 x . − x3
l6m x →,
3
& 1.)
l6m x →,
( 1 − cos x ) ln ( 1 + x ) 3 ( arcsen x ) tg x 5
& 13)
l6m x →,
1 + x
−1
x
1,)
&
L6mite por la iz
l6m
x →a
−
f ( x) = L si para cualquier ε > , sin
importar que tan peque9a sea e"iste una δ > , tal que
si , < a − x < δ entonces : f ( x ) − L : < ε
L6mite por la derec>a$ Sea f una función definida en cada número del inter*alo abierto
( a6 c ) & 7l límite de f(")
cuando " se acerca al número a por la i$quierda es L lo cual se escribe
l6m
x →a +
f ( x) = L si para
cualquier ε > , sin importar que tan peque9a sea e"iste una δ > , tal que
si , < x − a < δ entonces : f ( x ) − L : < ε
0eorema '&$ 7l
l6m f x →a
( x) e"iste + es igual a L si + sólo si l6m f x →a
l6m
x → a −
f ( x) +
l6m
x →a +
f ( x ) e"isten + son iguales a L&
( x ) = l6m− f ( x ) = l6m+ f ( x ) = L x →a
x →a
-unciones , tal que: cual se escribe xlim →a
si , < : x − a :< δ
entonces f (") C E
7jemplo 13& Supongamos que f es la función definida por f ( x ) =
3 x .
& La gráfica de esta función se
muestra en la figura siguiente& -i3ura & 1-
#
1= 1/ 15 14 1 13 1. 11 1, = / 5 4 3 . 1 2-
2=
2/
25
24
2
23
2.
21
21
4 1
.
3
4
5
/
=
-
7l comportamiento de la función f es que crece sin límite cuando " se acerca al número cero por la i$quierda o por la dereca&
3 x .
=+∞
-unciones , tal que cual se escribe xlim →a
si , < : x − a :< δ
entonces f (") F E
7jemplo 1& Supongamos que f es la función definida por la ecuación f ( x ) = figura siguiente&
−3 x .
& La gráfica de f se muestra en la
-i3ura 7 1 2-
2=
2/
25
24
2
23
2.
21
# 4 1
21
.
3
4
5
/
=
-
2. 23 2 24 25 2/ 2= 221, 211 21. 213 21 214 215 21/ 21= 21-
' partir de la gráfica se obser*a que el comportamiento de la función f es que decrece sin límite cuando " se acerca a G,H por la i$quierda o por la dereca& 7ste comportamiento lo e"presamos diciendo que el límite de f (") es menos infinito cuando " tiende a cero lo que se escribe de la siguiente manera: lim x →,
−3 x .
= − ∞&
'ora consideremos la función definida por la ecuación h( x ) =
. x x − 1
& La gráfica de se presenta
en la figura & -i3ura ) -
#
= / 5 4 3 . 1 2-
2=
2/
25
24
2
23
2.
21
21
4
1
.
3
4
5
/
=
-
2. 23 2 24 25 2/ 2= 2-
7l comportamiento de cuando " se acerca al número 1 por la i$quierda es diferente a su comportamiento cuando " se acerca al 1 por la dereca&
lim+
x →1
. x x − 1
= + ∞&
. x x − 1
=−∞
+
7jemplos 14& @etermine el límite analíticamente + apo+e la respuesta tra$ando la gráfica de la función& 1) lim+ t →.
x + . x . −
&
Solución: xlim → .+
x + . x . −
= lim+ x →.
La gráfica de la función g ( x ) =
x+.
( x + .) ( x − .)
x + . x .
−
= lim+ x →.
1 x −.
= + ∞&
es mostrada a continuación&
-i3ura ( -
#
= / 5 4 3 . 1 2/
25
24
2
23
2.
21
4 1
21
.
3
4
5
/
=
-
2. 23 2 24 25 2/ 2= 2-
7n la gráfica se obser*a que cuando " se acerca al número . por la dereca g(") crece sin límite&
.) lim − x →,
3 + x . x
&
Solución
lim−
x → ,
3 + x x
.
lim− 3 + x .
= x→,
lim− x
x →,
=
lim− ( 3 + x . )
x →,
lim− x
=
x →,
La gráfica de la función f ( x) =
lim− 3 + lim− x .
x →,
x →,
lim− x
x →,
3+ x x
=
3 + lim− x . x →,
lim− x
x →,
.
es mostrada en la figura 5&
=
3+, ,−
=−∞
-i3ura , #
= / 5 4 3 . 1 2-
2=
2/
25
24
2
23
2.
21
21
4
1
.
3
4
5
/
=
-
2. 23 2 24 25 2/ 2= 2-
Ibser*emos que f (") decrece sin límite cuando " se acerca al , por la i$quierda&
3) lim+ t →− .
5 x . + x − . . x . + 3 x − .
&
Solución:
( x + .3 ) ( − 3 ) ( x − 1. ) ( x + .3 ) x + .3 t lim →−.+ = lim+ = lim+ lim+ . ÷ = lim ( x + . ) = , + = − ∞ x →−. . x + 3 x − . x →−. ( x − 1 ) ( x + . ) x →−. x . + . + 5 x . + x − .
x →−.
La gráfica de la función f ( x) =
+ x − . se muestra en la figura /: . x . + 3x − . 5 x .
-i3ura 8 # 1. 11 1, = / 5 4 3 . 1 2-
2=
2/
25
24
2
23
2.
21
4 1
21 2. 23 2 24
.
3
4
5
/
Ibser*ando la gráfica podemos *erificar que cuando " se acerca al número 2. por la dereca f (") decrece sin límite&
L6mites indeterminados$ Los límites indeterminados que estudiaremos en %ste capítulo son:
La 5orma indeterminada
, ,
&
f ( x ) = , + lim g ( x ) = , entonces la función f Si f + g son dos funciones tales que xlim x →a →a g tiene la forma indeterminada , , en a& La manera de resol*er los límites indeterminados
, ,
será e"plicada mediante dos:
7jemplos 15& 1)
x . − x − 1. x . − 3x −
x . − x − 1. ) ( Se tiene que xlim →
&
= , +
. lim ( x . − 3 x − ) = , entonces lim x − x − 1. = , & x → x → x . − 3x − ,
!ara eliminar la indeterminación factori$amos el numerador + el denominador simplificamos + resol*emos el límite obtenido así: lim
x →
x . − x − 1. x . − 3 x −
= lim x →
!or lo tanto lim x →
.)
x+3 / ( x − ) ( x + 3) = lim = & ( x − ) ( x + 1) x → x + 1 4
x . − x − 1. x . − 3x −
=
/ 4
&
+ 13 − / & 5 − . x
x
.
'quí tenemos: lim x →3
(
x . + 13 − /
) = , +
lim ( 5 − . x ) = , luego lim x + 13 − / = , & x →3 x →3 5 − . x , .
7n %ste caso procedemos de la siguiente manera: multiplicamos el numerador + el x . + 13 − / dica conjugada es:
denominador por la conjugada de
x . + 13 + /
luego se
resuel*e el límite resultante así:
x
lim
x →3
( + 13 − / = lim
5 − . x
x →3
lim
.
− lim x →3
+ 13 − / ) (
.
.
+ 13 + /)
.
( x + 13) − .
= lim x →3
.( 3 − x)
(
x
.
+ 13 + /)
=
. ( x − - ) − 35 = lim = x →3 . . x + 13 + / ) . ( 3 − x ) ( x + 13 + / )
.
(
( x + 3) ( x − 3) . ( x − 3)
x
( 5 − . x ) ( x + 13 + / )
x →3
x . ( 3 − x )
x
(
x
.
= − lim x →3
+ 13 + / )
!or lo tanto lim
x . + 13 − / 5 − . x
x →3
La 5orma indeterminada
( x + 3) .
(
=−
x
.
+ 13 + /)
=−
. .=
=−
5 /
&
5 /
∞ & ∞
f ( x ) =∞ + lim g ( x ) = ∞ entonces la función f Si f + g son dos funciones tales que xlim x →∞ →∞ g
∞ & ∞
es indeterminada con la forma
La forma de resol*er %stos límites será e"plicada mediante dos ejemplos&
7jemplos 1/ 1)
x →+∞
7s
lim
x →+∞
x − 3 . x + 4
x − 3 . x + 4
e*idente
=
&
que
lim ( x − 3 )
x →+∞
=+∞
+
lim ( . x − 4 ) = + ∞
x →+∞
por
lo
tanto
+∞ & !ara resol*er %ste límite di*idimos el numerador + el denominador entre +∞
la " de ma+or e"ponente así:
x − 3
lim
x →+∞
. x + 4
x
−3
x . x
= xlim →+∞
+
x
. x + 4
x →+∞
3 x 4 + x . − .
x →−∞
( 4 x 7n este caso xlim →−∞ x →−∞
3 x + x − . 4
.
=
.−
3 x 4
=
−, .−,
= .&
x
= .&
4 x − . x +
.)
lim
= xlim →+∞
x
x − 3
!or lo tanto lim
4 x − . x +
x 4
−
&
− . x + ) =+ ∞ + xlim ( 3 x4 + x . − . ) = − ∞ por lo tanto →−∞
+∞ & !ara resol*er di*idamos el numerador + el denominador entre x 4 pues %ste −∞
es la potencia de " de ma+or e"ponente así:
4 x
−
.x
+
4
−
.
+
− .x + x 4 x 4 x 4 = lim x x lim = 4 x →−∞ 3 x 4 + x . − . x →−∞ 3 x 1 x . . x →−∞ + − 3 + − 3 4 4 4 lim
4 x
x
x
x
x
4 x − . x +
!or lo tanto lim
x →−∞
3 x 4 + x . − .
x4 . x
= xlim →−∞
,−,−, 3−,+,
,
= = ,& 3
4
= ,&
La 5orma indeterminada ∞ − ∞& f ( x ) =∞ + lim g ( x ) = ∞ entonces la función f Si f + g son dos funciones tales que xlim x →∞ →∞
∞ − ∞& La
es indeterminada de la forma
− g
manera de resol*er %stos límites será e"plicado con
ejemplos&
7jemplos 1=
)
(
. 1)
(
x = + ∞ + lim x . + x = + ∞ entonces lim x − x .
x →+∞
+ x ) =∞ − ∞& !ara resol*er
%ste límite racionali$amos así:
(
lim x − x . + x
x →+∞
) = xlim →+∞
(
x − x . + x
)(
x + x
x + x. + x
+x x . − ( x . + x ) −x −∞ lim lim = = x →+∞ x + x . + x x →+∞ x + x . + x +∞ .
) = lim
x →+∞
x. −
(
x. + x
x+ x
.
+x
)
.
=
Jemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma
−∞ que +∞
se resuel*e
di*idiendo el numerador + el denominador entre " así:
lim
x →+∞
− x
− x
= xlim →+∞
x + x . + x
x x
+
→+∞ (
x x.
x
x
x.
. !or lo tanto lim x − x + x x
.)
(
+ .
= xlim →+∞
−1 1+ 1+
1
=
−1 1 =− & . 1+ 1 + ,
x
) = − 1. & )
. x 3 − 1 − 3 x . &
3
lim
3
x →+∞
. x 3 − 1 = + ∞ + lim 3 x . x →+∞
3 . x 3 − 1 − 3 x . ) = ∞ − ∞& = + ∞ entonces xlim ( →+∞
!ara resol*er %ste límite racionali$amos así:
→+∞ (
lim
x
3
. x3 − 1 − 3 x .
) = lim →+∞
(
3
x
( . x − 1) − x 3
)
. x3 − 1 − 3 x . 3
3
( . x − 1) + ( . x −1) x + ( x ) ÷ .
3
.
3
3
.
( . x − 1) + ( . x − 1) x + ( x ) 3
3
3
.
.
.
3
3
.
.
=
.
− x. −1 +∞ = = lim lim & 3 3 3 3 5 3 4 . 5 3 4 . x →+∞ 3 x →+∞ 3 +∞ x − x + 1 + . x − x + x x − x + 1 + . x − x + x +∞ que se resuel*e di*idiendo 7l límite se transformó en otro indeterminado de la forma +∞ .x
3
el numerador + el denominador entre la potencia de " de ma+or e"ponente que en el caso que nos 3
ocupa es x así: . x 3
−
x 3
lim
x →+∞ 3
x x
5
-
−
x x
3
-
+
1 x
-
x. x3
+3 →+∞ (
!or lo tanto xlim
1
−
x3
.x x 3
4
-
−
x
.
x
-
+3
x
x
-
.−
= lim
x →+∞
3
. x 3 − 1 − 3 x .
x
3
−
x
5
+
1 x
-
1 x
−
+3
1 x. . x
−
1 x
/
+3
1
= +∞&
x4
) = + ∞&
0eorema &7$ 0eorema de estricción o del enca=e & Si h( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) para todo " en un inter*alo abierto que contiene a a e"cepto en el h( x) propio a + si xlim →a
g ( x ) entonces lim f ( x) = L& = L = xlim →a x →a
7jemplo .&1-& . . Sean f g + las funciones definidas por h( x ) = − x + 5 x − / f ( x ) = 1- x
− .3 x + 3
+
g ( x ) = x . − 5 x +11& Las gráficas de estas funciones están tra$adas en la figura =&
-i3ura * #
g ? x @
/ 5 4
f ? x @
3 . 1 4
2.&4
2.
21&4
21
2,&4
,&4
1
1&4
.
.&4
3
3&4
&4
4
4&4
5
5&4
/
/&4
21
h ? x @
2.
Las gráficas de f + g son parábolas que tienen sus *%rtices en el punto (36 .)& Las tres funciones están definidas en " 3& >ambi%n se obser*a que h( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x ) & 'demás
lim ( − x x →3
.
+ 5x − /) = .
x . − 5 x + 11) ( + lim x →3
= .& !or
lo tanto de acuerdo al teorema de estricción
lim f ( x ) = .& x →3
Continuidad de una 5unción$ -unción continua en un número$ ;na función f es continua en un número a si + sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:
i)
f (a) e"iste6 lim f ( x) e"iste6
ii)
x →a
lim f ( x) = f ( a )&
iii)
x →a
Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a entonces se dice que la función f es discontinua en a&
7jemplos 1) La función definida por f ( x) =
x . − x − .
es discontinua en . pues dica función no está
definida en el .& Keamos como es su comportamiento gráficamente mostrado en la figura -&
-i3ura ; #
.
x 2 f ( x)
x 2 .
4
(.6 ) 3
.
1
4 2.
21
1
.
21
2.
La gráfica muestra un salto en el punto (.6 ) esto se debe a la discontinuidad de la función f ( x ) e"iste + es en " . por lo tanto f(.) no e"iste& Ibser*ando la gráfica se sospeca que xlim →. igual a &
Keamos si esto es cierto: lim
x →.
x . − x − .
= lim x →.
( x + . ) ( x − . ) x−.
= lim ( x + . ) = & x →.
discontinuidad removible o eliminable
f ( x ) la nue*a función es continua en a& Si porque si f es redefinida en a de manera que f (a ) = xlim →a una discontinuidad no es remo*ible se dice que es una La discontinuidad de la función f ( x) =
x . − x − .
discontinuidad esencial & es remo*ible porque si se redefine en . se
obtiene la siguiente función:
x . − F ( x ) = x − .
si
x≠.
F ( x ) = La función es continua en . puesto que lim x →.
si
x=.
+ F (.) = &
.) Sea g la función definida por g ( x ) =
1 1 − . x
& La gráfica de la función es mostrada en la
figura 1,&
-i3ura '+ #
5
1
g ( x)
1 2 . x
. 4
2/
25
24
2
23
2.
21
1
.
3
4
5
/
2. 2 25
La gráfica de g se rompe en el punto donde x = 1. pues la función no está definida en dico punto& 'demás
lim− g ( x ) = + ∞
x →(
1 .
)
+
lim+ g ( x ) = − ∞
x →(
1 .
)
g ( x) no e"iste& !or lo tanto luego xlim → 1.
i) g (
1 .
) no está definida&
g ( x) no e"iste& ii) xlim → 1. g ( x) 7ntonces la función g es discontinua en 1. + la discontinuidad es esencial porque xlim → 1. no e"iste& La discontinuidad de %ste ejemplo recibe el nombre de
discontinuidad in5inita &
3) Sea la función definida por
1 h( x ) = x − . 3
si
x≠.
si
x=.
La gráfica de es mostrada en la siguiente figura:
-i3ura '' =
#
/ 5 4 3 . 1 23
2.
21
4 1
.
3
4
5
/
21 2. 23 2 24 25 2/ 2=
Keamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función en " .& i) g(.) 3 h( x) = − ∞ + ii) xlim → .−
lim+ h( x ) = + ∞ por lo tanto lim h( x) no e"iste&
x →.
x →.
"erivabilidad La noción de
derivada se asocia a la de l6mite& !or tanto una deri*ada puede no e"istir por
las mismas causas que un límite (*er t3-)&
por la dereca + por la i$quierda + ambas coinciden la función se denomina
derivable en ese
punto&
@e ello se deduce que e"isten dos clases de funciones claramente no deri*ables:
7jemplo de función no deri*able en m por la e"istencia de una discontinuidad ni en n porque no coinciden las deri*adas laterales&
unciones continuas + deri*ables
Las
nociones
de derivabilidad + continuidad de una
función
están
estrecamente
relacionadas&
Los principios que relacionan ambos conceptos son los siguientes:
;na función f (") deri*able en un punto " a o en un inter*alo (a b) es necesariamente continua en dico punto o inter*alo&
;na función f (") continua en un punto " a o un inter*alo (a b) puede ser o no deri*able en dico punto o inter*alo& !or ejemplo una función con un punto anguloso es continua en %l pero
no puede deri*arse en el mismo (e"isten deri*adas por la dereca + por la i$quierda pero son diferentes)&
7jemplo de función no deri*able en " 1 por la presencia de un punto anguloso&
'sí pues la noción de deri*abilidad es más restringida que la de continuidad +a que todas las funciones deri*ables son continuas pero no a la in*ersa&
La 5unción derivada @ada una función f (") continua + deri*able en un
dominio de de5inición dado es posible
definir una nue*a función llamada deri*ada + denotada por f 0 (") tal que a cada *alor de " perteneciente al dominio de la función le asocia la deri*ada de f (") en dico punto& 7sta definición puede aplicarse a deri*adas sucesi*as& La deri*ada de una función es una nue*a función definida para un dominio dado de manera que si es continua + deri*able en dico dominio es posible determinar una nue*a función deri*ada de la misma que será a su *e$ la función deri*ada segunda de f (")&
Rectas tan3ente # normal 7l empleo de deri*adas de una función ofrece un medio sencillo para determinar la ecuación de las rectas tangente + normal a la cur*a representati*a de una función en un punto dado&
@ada una función f (") continua + deri*able en un punto " a la ecuación de la
recta
tan3ente a dica función en el punto a obedece a la siguiente ecuación:
'nálogamente la recta normal a la función en el punto sigue la ecuación:
Mectas tangente + normal a una función en un punto&
"erivación al3ebraica La obtención de las deri*adas de las funciones algebraicas a partir de su definición en general de todas las funciones sería algo tedioso + poco práctico& !or ello se an elaborado una serie de reglas que permiten acer esto de manera mecánica&
La regla de la cadena nos permite obtener la deri*ada de funciones relati*amente más complejas& !or ejemplo calcular la deri*ada de (".B3"B.)N
>odo lo anterior se resume en las tablas de deri*ación que están al alcance de ;stedes en la bibliografía disponible en la Aiblioteca&
Sólo a9adiremos las deri*adas de la función módulo + de la función in*ersa:
