Analiza Matematica (Anul I)

GHEORGHE PROCOPIUC

˘ ANALIZA ˘ MATEMATICA

IAS IA S ¸ I, 20 2002 02

Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAT ¸ II IILOR METRICE

1.1

1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.4

1.5 1.5 1.6 1.6

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1 .1 Elemen Elemente te de teor teoria ia teori teoria a mult mult¸imilor 1.1. 1.1.22 No Not¸iunea ¸tiunea de aplicat¸ie . . . . . . . . . Defin Definit it¸ia ¸ia spat¸iului metric . . . . . . . . . . Mult ul¸imi ¸timi de puncte dintr-un spat¸iu metric . 1.3. 1.3.11 Spat Spat¸ii liniare normate . . . . . . . . Mult ul¸timea numerelor reale . . . . . . . . . . 1.4. 1.4.11 Mult Mult¸imi ¸imi m˘arginite de numere reale . 1.4.2 Intervale Intervale ¸si si vecin˘ vecin˘at˘ at˘ at a¸ti . . . . . . . . n Spa Spa¸iul ¸tiul R . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funct unct¸ii ¸ii cu valori ˆın Rm . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. 6 . 6 . 7 . 9 . 9 . 11 . 13 . 13 . 15 . 15 . 16

2 S ¸ IRURI S ¸ I SERI I

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

2.6

18

S ¸ir ¸ iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . S ¸ iruri iru ri ˆın spat spa¸tii metrice . . . . . . . . . . . . . Princi Principiu piull con contra tract ct¸iei . . . . . . . . . . . . . . p S ¸ iruri iru ri ˆın R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Serii convergen convergente. te. Proprie Propriet˘ t˘ at a¸ti generale 2.5.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . 2.5.3 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . Serii ˆın R p . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

3 LIMITE DE FUNCT ¸ II

18 21 24 25 26 26 30 33 35 38

3.1 Limita Limita unei unei funct funct¸ii ¸ii reale de o variabil˘a real˘a . . . 3.1.1 Limita ˆıntr-un punct . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.1.22 Prop Propri riet et˘ at a˘¸i ¸t i ale limitei unei funct¸ii . . . . . 3.2 Lim Limita ita unei unei funct funct¸ii ¸ii vectoriale de o variabil˘a real˘a 3.3 Lim Limita ita unei unei funct funct¸ii ¸ii de o variabil˘a vectorial˘a . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 FUNCT ¸ II CONTINUE

38 38 38 40 41 42

4.1 Continuit Continuitatea atea funct¸iilor ¸iilor reale de o variabil˘a real˘a . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.11 Con Continui inuita tattea ˆıntr ıntr-u -un n punc punctt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.22 Prop Propri riet et˘ at a˘¸i ¸t i ale funct¸iilor continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

42 42 43

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA 4.1.3 Continui Continuitatea tatea uniform˘ uniform˘ a . . 4.2 Continuit Continuitatea atea funct¸iilor vectoriale . 4.2. 4.2.11 Con Continui inuita tattea ˆıntr ıntr-u -un n punc punctt 4.2.2 Continui Continuitatea tatea uniform˘ uniform˘ a . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 DERIVATE S ¸ I DIFERENT ¸ IALE

5.1

5.2

48

Derivata ¸si si diferent¸iala ¸iala funct¸iilor ¸iilor de o variabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Derivata ¸si si diferent¸iala ¸iala unei funct¸ii ¸ii reale de o variabil˘a real˘a . . . . 5.1.2 Derivata ¸si si diferent¸iala ¸iala unei funct¸ii ¸ii vectoriale de o variabil˘a real˘a . 5.1.3 Derivate ¸si si diferent¸iale de ordin super perior . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.1.44 Prop Propri riet et˘ at a˘¸i ¸t i ale funct¸iilor derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivatele ¸si si diferent¸iala ¸iala funct¸iilor ¸iilor de n variabile . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 5.2 .1 Deriv Derivate atele le part par¸iale ¸tial e ¸si si diferen dif erent¸iala ¸tiala funct¸iilor ¸iilor reale de n variab iabile ile . . 5.2.2 5.2 .2 Deriv Derivate ate part par¸iale ¸tial e ¸si si diferen dif erent¸iala ¸tiala funct¸iilor ¸iilor vectoriale de n variab ariabile ile . 5.2.3 5.2 .3 Deriv Derivate ate part par¸iale ¸tial e ¸si si diferen dif erent¸tiale iale de ordi ordin n supe superi rioor . . . . . . . . . . 5.2.4 5.2 .4 Deriv Derivate atele le part par¸iale ¸tial e ¸si si diferen dif erent¸ialele ¸tialele funct¸iilo ilor compuse . . . . . . . 5.2. 5.2.55 Prop Propri riet et˘ at a˘¸i ¸t i ale funct¸iilor ¸iilor diferent¸iabile . . . . . . . . . . . . . . . .

6 FUNCT ¸ II DEFINITE IMPLICIT

Funct unct¸ii ¸ii definite implicit de o ecuat¸ie . . . . . . . . . 6.1. 6.1.11 Funct unct¸ii ¸ii reale de o variabil˘a real˘a . . . . . . . 6.1. 6.1.22 Funct unct¸ii ¸ii reale de n variabile . . . . . . . . . . 6.2 6.2 Funct unct¸ii ¸ii definite implicit de un sistem de ecuat¸ii . . . 6.3 Transfo ransform˘ rm˘ ari punctuale. Derivarea funct¸iilor inverse ari 6.4 6.4 Depen Depende dent nt¸˘ ¸a˘ ¸si si indepe ind ependen ndent¸˘ ¸ta˘ funct¸ional˘ ¸ional˘ a . . . . . . . 6.5 6.5 Schi Schim mb˘ ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. 6.5.11 Schi Schim mbare bareaa varia ariabi bile lelo lorr inde indepe pend nden ente te . . . . . 6.5. 6.5.22 Schi Schim mb˘ ari ari de variabile independente ¸si si funct¸ii

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

7 EXTREM EXTREME E PENTR PENTRU U FUNCT FUNCT ¸ II DE MAI MULTE MULTE VARIABI ARIABILE LE

8 S ¸ IRURI S ¸ I SERI I DE FUNCT ¸ II

8.2 8.2

8.3

73 73 75 76 77 79 80 80 81 83

7.1 Puncte Puncte de de extrem extrem pent pentru ru funct funct¸ii de mai multe lte varia ariab bile ile . . . . . . . . . . 7.2 Extrem Extremee pent pentru ru funct funct¸ii definite implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Extrem Extremee condit condit¸ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S ¸iruri ¸iruri de funct¸ii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 S ¸iruri ¸iruri de de funct funct¸ii. ¸ii. Mult¸imea ¸imea de convergent¸˘ ¸a˘ 8.1. 8.1.22 Funct unct¸ia ¸ia limit˘a a unui ¸sir sir de funct¸ii . . . . . 8.1.3 8.1 .3 Conve Converge rgent nt¸a ¸a simpl˘a . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 8.1 .4 Conve Converge rgent nt¸a ¸a uniform˘a . . . . . . . . . . . . 8.1. 8.1.55 Prop Propri riet et˘ at a˘¸i ¸t i ale ale ¸siru s iruri rilo lorr uni unifo form rm conv conver erge gent ntee Seri Seriii de de funct funct¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. 8.2.11 Seri Seriii de funct funct¸ii. ¸ii. Mult¸imea ¸imea de convergent¸˘ ¸a˘ . 8.2.2 8.2 .2 Conve Converge rgent nt¸a ¸a simpl˘ a a unei serii de funct¸ii . 8.2.3 8.2 .3 Conve Converge rgent nt¸a ¸a uniform˘a a unei serii de funct¸ii 8.2. 8.2.44 Prop Propri riet et˘ at a˘¸ti ale ale seri seriil ilor or unif unifor orm m con converge ergen nte Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 49 51 53 59 59 63 64 66 69 73

6.1 6.1

8.1

45 46 46 47

83 86 86 90

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

90 90 90 91 91 92 94 94 94 95 96 97

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA 8.4

4

Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 INTEGRALA RIEMANN S ¸ I EXTINDERI

100

9.1 9.1 9.2

Prim Primit itiv ivee. Inte Integgrala rala ned nedefini efinitt˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . Calculul primitivelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Integral Integrala a sumei ¸si si produsului produsului cu o constant˘ constant˘a . . . . . 9.2.2 9.2 .2 Integ Integrar rarea ea prin prin p˘ art art¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Schimba Schimbarea rea de variabil˘ ariabil˘ a ˆın integrala nedefinit˘ nedefini t˘a . . . 9.2.4 Integrar Integrarea ea prin recurent recurent¸˘ ¸a˘ . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Integ Integrar rarea ea funct funct¸iilor ¸iilor rat¸ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Integral Integralee reductib reductibile ile la inte integrale grale din funct funct¸ii ¸ii rat¸ionale 9.4 Integ Integral ralaa definit definit˘˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. 9.4.11 Sume Sume inte integr gral alee Riem Rieman ann. n. Inte Integr grab abil ilit itat atee . . . . . . . 9.4. 9.4.22 Sume Sume Darb Darbou oux. x. Crit Criter eriu iu de inte integr grab abil ilit itat atee . . . . . . 9.4. 9.4.33 Prop Propri riet et˘ at a˘¸i ¸t i ale funct¸iilo ilor integrabile ile . . . . . . . . . 9.4.4 Formule de medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. 9.4.55 Exis Existe tent nt¸a ¸a primitivelor funct¸iilo ilor continue . . . . . . 9.4. 9.4.66 Me Meto tode de de calc calcul ul a in integr tegral alel elor or defin definit itee . . . . . . . . 9.5 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 9.6 Inte Integgrale rale car care depi depind nd de un para param metru etru . . . . . . . . . . . . 9.6.1 9.6 .1 Trecere recereaa la limit˘ limit˘ a sub semnul integral . . . . . . . . 9.6. 9.6.22 Deri Deriv varea area int integ egra rale lelo lorr care care dep depin ind d de un par param amet etru ru .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 INTEGRALE CURBILINII

10.11 10. 10.2 10.3 10.3 10.4 10.4 10.5 10.66 10. 10.7 10.7 10.8 10.8

Not¸iuni de teoria curbel belor . . . . . . . . . . . . . . . . Lungimea Lungimea unui arc de curb˘ a . . . . . . . . . . . . . . . Inte Integgrale rale cur curbili bilini niii de prim primul ul tip . . . . . . . . . . . . Inte Integgrale rale cur curbili bilini niii de tipu tipull al al doi doile leaa . . . . . . . . . . Independent Independent¸a de de dru drum m a inte integr gral alel elor or curb curbil ilin inii ii . . . . . Not¸iuni ¸iuni elementare de teoria câ m p u l u i . . . . . . . . . Orie Orien ntare tarea a cur curbe belo lorr si s¸i dome domeni niil ilor or plan planee . . . . . . . . . Calc Calcul ulul ul arie arieii cu cu ajut ajutor orul ul inte integr gral alei ei curb curbil ilin inii ii . . . . .

99

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 100 1 01 10 1 10 1 10 1 02 103 104 10 5 10 7 10 1077 11 1100 112 113 114 11 1155 117 121 121 121 122 122 124

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . 12 4 . . . . . 125 . . . . . 126 126 . . . . . 128 128 . . . . . 13 1300 . . . . . 132 . . . . . 13 1333 . . . . . 13 1333

11 INTEGRALE MULTIPLE

11.1 Integral Integrala a dubl˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Definit¸ia ¸ ia integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 11.1.2 .2 Sume Sume Darbo Darboux ux.. Criter Criteriu iu de inte integr grab abili ilita tate te . . . . . . . . . 11.1.3 11. 1.3 Reduce Reducerea rea integ integral ralei ei dubl dublee la int integr egrale ale simple simple iterat iteratee . . . 11.1.4 Formula lui Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5 Schimbarea Schimbarea de variabile ˆın integrala dubl˘a . . . . . . . . . 11.2 Integral Integrala a de suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 11. 2.1 Not¸iuni ¸iuni de teoria teoria suprafet suprafet¸elor . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Aria suprafet suprafet¸elor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Integral Integrala a de suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ de primul tip . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Integral Integrala a de suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ de tipu ipul al doilea lea . . . . . . . . . . 11.2.5 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . 1 35 . . . 135 . . . 136 136 . . . 137 . . . 139 . . . 141 . . . 142 . . . 142 . . . 1 44 . . . 144 . . . 146 . . . 148

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA 11.3 Integral Integrala a tripl˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Definit¸ia ¸ ia integralei triple . . . . . . . . . . . 11.3 11.3.2 .2 Sume Sume Darbo Darboux ux.. Criter Criteriu iu de inte integr grab abili ilita tate te . . 11.3 11.3.3 .3 Redu Reduce cere rea a int integ egra rale leii tri tripl plee la inte integr gral alee ite itera rate te 11.3 11.3.4 .4 Form ormula ula lui lui Gau Gauss ss-O -Ost stro rogr grad adsk skii . . . . . . . . 11.3.5 Schimbarea Schimbarea de variabile ˆın integrala tripl˘a . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . 1 50 . . 150 . . 151 151 . . 152 152 . . 15 1533 . . 155

12 ECUAT ¸ II II DIFERENT ¸ IA IALE ORDINARE

157

12.1 Ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸ iale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 12.1.1 12. 1.1 Ecuat Ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale. ¸iale. Solut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 12.1.2 Interpretarea Interpretarea geometric˘a a unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale de ordinul ˆıntâi a i 15 1588 12.1.3 Condit¸ii ¸ii init¸iale iale.. Prob Proble lem ma lui lui Cau Caucchy . . . . . . . . . . . . . . . . 159 159 12.1.4 12. 1.4 Ecuat Ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale explicite, explicite, integr integrabile abile prin prin metode metode elemen elementare tare . 159 12.1.5 Alte ecuat¸ii ¸ii de ordinul ordi nul ˆıntâi, ai, integ integrab rabile ile prin prin metod metodee elemen elementar taree . 166 12.1.6 Teorema eorema de existent¸˘ ¸a˘ ¸si unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.2 Ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸ iale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.2.1 12. 2.1 Solut Solut¸ia ¸ia general˘a. a. Solut¸ii particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.2 12.2.2 .2 Inte Integr gral alee in interm termed edia iare re.. Inte Integr gral alee pri prime me . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1744 12.2.3 Condit¸ii ¸ii init¸iale iale.. Prob Proble lem ma lui lui Cau Caucchy . . . . . . . . . . . . . . . . 175 175 12.2.4 12. 2.4 Ecuat Ecuat¸ii ¸ii de ordin ordin super superior ior integ integrab rabile ile prin prin cuad cuadrat raturi uri . . . . . . . . 175 12.2.5 12. 2.5 Ecuat Ecuat¸ii ¸ii c˘aror a rora a li li se se poa poate te mic miçsora s ora ordi ordin nul . . . . . . . . . . . . . . 17 1788 13 ECUA ECUAT T ¸II S ¸I ¸ I SIST SISTEM EME E DIF DIFEREN ERENT T ¸IALE ¸IALE LIN LINIAR IARE

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Sisteme Sisteme diferent diferent¸iale ¸ iale liniare de ordinul I . . . . . . . . . . Sisteme Sisteme diferent diferent¸iale liniare omogene . . . . . . . . . . . . Sisteme Sisteme diferent diferent¸iale lin liniare neomogene . . . . . . . . . . . Sisteme Sisteme diferent diferent¸iale ¸iale liniare cu coeficient coeficient¸i ¸i constant¸i . . . . Ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale liniare de ordinul n . . . . . . . . . . . Ecuat¸ii ¸ii de ordinul n cu coeficient¸i ¸i constant¸i . . . . . . . . 13.6.1 13. 6.1 Ecuat Ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘ ad˘ acini dist istinc incte . . . . 13.6.2 13. 6.2 Ecuat Ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a are r˘ad˘ ad˘ acini multiple . . . . 13.7 Ecuat¸ia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

181 183 185 186 189 192 193 1 93 196

Capitolul 1

ELEMENTE DE TEORIA SPAT SP AT ¸ I IL ILOR OR ME METR TRIICE

1.1 1. 1 1.1.1 1.1.1

Intr In trodu oduce cere re Eleme Elemen nte de teori teoria a teoria teoria mul mult ¸imilor t

Not¸iunea ¸iunea de mult¸ime ¸ime este o not¸iune ¸iune primar˘a. O mu mu¸ime ¸time X este precizat˘a fie prin indicarea elementelor sale, X = x1 , x2 , . . . , xn , fie prin indicarea unei propriet˘at a¸i ¸ti P ce caracterizeaz˘ a elementele mult¸imii, ¸imii, X = x x are proprietatea P . ¸imii X scriem x X , dac˘a x nu este element al mult¸imii ¸imii Dac˘ a x este element al mult¸imii X scriem x / X . Mult¸imile ¸imile X ¸si si Y sunt egale dac˘ a sunt formate din acelea¸si si elemente. Deci

{

{ |

∈

X = Y

pen pentru tru x

}

}

∈

∈ X ⇐⇒ x ∈ Y. ⊂

⊃

A este submult ¸ime sau parte a mult¸imii ¸imii X ¸si si se noteaz˘ note az˘a A X sau X A, dac˘a x A = x X . Evident c˘a X = Y d.d. X Y ¸si si Y X . Mult¸imea ¸imea care nu cont¸ine ¸ine nici un element se nume¸ste ste mult ¸imea vid˘ a , se noteaz˘a cu ¸si si este submult sub mult¸ime ¸ime a oric˘arei arei mult¸imi ¸imi X . Mult¸imea ¸imea p˘art art¸ilor ¸ilor unei mult¸imi ¸imi X se noteaz˘a (X ). ). Fie A ¸si si B dou˘ a mult¸imi ¸imi oarecare. oarecare. Mult¸imea ¸imea A B = x x A sau x B se nume nume¸¸ste st e reuniunea mult¸imilor ¸imilor A ¸si si B , iar mult¸imea ¸imea A B = x x A ¸si si x B se ¸ia ¸ia mult¸imilor ¸imilor A ¸si nume nume¸¸ste st e intersect si B . Mult¸imile ¸imile A ¸si si B se numesc disjuncte dac˘ a A B = . Mult¸imea ¸imea A B = x x A ¸si si x / B se nume¸ num e¸ste st e diferent ¸a mult¸imilor ¸imilor A ¸si si B , ˆın aceast˘ acea st˘a ordine. ordine. Dac˘ Dac˘a B A, diferent¸a ¸a A B se noteaz˘a A B ¸si si se nume¸ num e¸ste st e complementara mult¸imii ¸imii B relativ˘ a la mult¸imea ¸imea A.

∈

⇒ ∈

⊂

⊂

∅

P

∈ } \

∩

C

6

∪

{ | ∈ ∩ { | ∈ ∅ \

∈ } ∈ } { | ∈ ⊂

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA

7

Prin produs cartezian al mult¸inilor ¸inilor A1 , A2 , . . . , An , ˆın aceast˘ acea st˘a ordine, ord ine, ˆınt¸elegem ¸elegem mul¸t imea sistemelor ordonate de n elemente (n-uple) (a ¸imea ( a1 , a2 , . . . , an ) cu ai Ai , i = 1, n, adic˘a A1 A2 An = (a1 , a2 , . . . , an ), ai Ai , i = 1, n .

∈

× ×···×

{

∈

}

Elementele (a (a1 , a2 , . . . , an ) ¸si si (b1 , b2 , . . . , bn ) sunt egale dac˘ a ai = bi , i = 1, n. Dac˘a Ai = A, i = 1, 1 , n, se folose¸ste ste notat¸ia ¸ia A A A = An .

× ×···×

1.1. 1.1.2 2

No¸iunea ¸ t iunea de aplicat ¸ie ¸ie

Fie X ¸si si Y dou˘ a mult¸imi ¸imi nevide. ne vide. Se nume¸ste ste aplicat ¸ie f a mult ¸imii X ˆın ın mult mu lt ¸imea Y o corespondent¸˘ ¸a˘ prin care fiec˘arui arui element x X i se asociaz˘a ˆın mod unic un element y Y . Y . Orice aplicat¸ie ¸ie f : X Y trebuie conceput˘a ca ansamblul format din trei elemente: mult¸imea ¸imea X numit˘a mult ¸imea de definit ¸ie, ¸ie, mult¸imea ¸imea Y numit˘a mult¸imea ¸imea ˆın care f ia valori ¸si si legea de corespo co respondent ndent¸˘ ¸a˘ f . Dac˘a y Y corespunde elementului x X , atunci not˘am am y = f ( f (x) sau x f ( f (x). In acest caz y se nume¸ nume¸ste st e imaginea lui x prin f sau valoarea aplicat ¸iei f ˆın ın x, iar x se nume nu me¸¸ste st e contraimaginea sau imaginea invers˘ a a lui y prin f . f . Pentru not¸iunea ¸iunea de aplicat¸ie ¸ie se mai utilizeaz˘a denumirile de funct ¸ie ¸ie, transformare, transformare, operator , sau funct ¸ional˘ a . Mult¸imea ¸imea aplicat¸iilor ¸iilor definite pe X cu valori valo ri ˆın Y se noteaz˘a cu (X, Y ). Y ). Aplicat¸iile ¸iile f 1 , f 2 (X, Y ) Y ) se numesc egale, egale, f 1 = f 2 , dac˘a f 1 (x) = f 2 (x), x X . Fie aplicat¸ia ¸ia f : X Y ¸si si A X , B Y . Y . Mult¸imea ¸imea

∈

∈

→

∈

∈

→

F ∈ F ∀ ∈ → ⊂ ⊂ f ( f (A) = {y = f ( f (x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X, y = f (x)} ⊂ Y

se nume¸ num e¸ste st e imaginea mult ¸imii A prin f , f , iar mult¸imea ¸imea f −1 (B ) = x

{ ∈ X | f (x) ∈ B } ⊂ X {}

se nume¸ num e¸ste st e contraimagine contraimaginea a mult ¸imii B prin f . Daca˘ B = y se folose¸ste ste notat¸ia ¸ia f −1 (y) = f −1 ( y ), adic˘a f −1 (y ) = x X f ( f (x) = y X. Mult¸imea ¸imea Gf = (x, f ( f (x)) x X X Y se nume¸ nume¸ste st e graficul aplicat ¸iei f : X Y . Y . Aplicat¸ia ¸ia f : X Y se nume¸ num e¸ste st e injectiv˘ a dac˘ a

{}

{ ∈ | | ∈ }⊂ ×

{ →

∀ x1, x2 ∈ X, x1 = x2 =⇒

}⊂

→



f ( f (x1 ) = f ( f (x2 ),

care este echivalent˘a cu implicat¸ia ¸ia f (x1 ) = f ( f (x2 ) = x1 = x2 . Aplicat¸ia ¸ia f : X Y este injectiv˘a dac˘a pentru orice y Y , Y , mult¸imea ¸imea f −1 (y) cont¸ine ¸ine cel mult un element. Aplicat¸ia ¸ia f : X Y se nume¸ nume¸ste st e surjectiv˘ a sau a sau aplicat¸ie ¸ie a lui X pe Y dac˘ a f (X ) = Y , Y , adic˘a dac˘a oricare ar fi y Y , Y , exist˘a x X a.ˆı. f ( f (x) = y . Aplicat¸ia ¸ia f : X Y se nume¸ num e¸ste st e bijectiv˘ a dac˘ a este injectiv˘a ¸si si surj su rjec ecti tiv˘ v˘a. a. Fie aplicat¸iile ¸iile f : X Y ¸si si g : Y Z . Apli Aplica cat¸ia ¸tia g f : X Z definit˘ a prin (g f )( f )(x x) = g (f ( f (x)), pentru orice x X , se nume¸ num e¸ste st e compunerea sau produsul aplicat¸iilor ¸iilor f ¸si si g , ˆın aceast˘ acea st˘a ordine.

◦

→ → ∈ → →

⇒

∈

∈ →

∈

◦

→


→

→

→

◦ ◦

8

◦ ◦

Dac˘a f : X Y , Y , g : Y Z ¸si si h : Z U , U , atunci h (g f ) f ) = (h g ) f , f , deci compunerea aplicat¸iilor ¸iilor este asociativ˘ a . Aplicat¸ia ¸ia 1X : X X (sau i : X X ) definit˘ defin it˘a prin pri n 1X (x) = x, pentru orice x X , se nume¸ nume¸ste st e aplicat ¸ia identic˘ a a mult¸imii ¸imii X . Aplicat¸ia ¸ia f : X Y se nume¸ nume ¸ste ste inversabil˘ a dac˘ a exist˘a aplicat¸ia ¸ia f −1 : Y X , numit˘a inversa lui f , f , a.ˆı.

→ →

→

∈ →

f −1 f = 1 X , f f −1 = 1 Y .

◦

◦

(1.1)

Teorema 1.1 O aplicat ¸ie inversabil˘ a are invers˘ a unic˘ a.

 S˘ a presupunem c˘a ar exista dou˘a aplicat¸ii ¸ii f 1−1 , f 2−1 : Y (1.1). Atunci

→ X care satisfac condit¸iile ¸iile

f 1−1 = 1X

◦ f 2−1 = (f ( f 1−1 ◦ f ) f ) ◦ f 2−1 = f 1−1 ◦ (f ◦ f 2−1 ) = f 1−1 ◦ 1Y = f 1−1 .  Teorema 1.2 Aplicat ¸ia ¸ia f : X → Y este inversabil˘ a d.d. este bijectiv˘ a.  Necesitatea. Dac˘a f este inversabil˘a ¸si f −1 este inversa sa, are loc (1.1 ( 1.1). ). Cu (1.1)1 avem c˘a

∀ x1, x2 ∈ X :

f ( f (x1 ) = f ( f (x2 )

⇒ (f −1 ◦ f )(x )(x1 ) = (f −1 ◦ f )(x )(x2 ) ⇒ x1 = x2 .

Deci f este injectiv˘a. a. Aplicat¸ia ¸ia f este ¸si si surjectiv˘ surject iv˘a deoarece, din (1.1) 2 avem y = 1Y (y ) = (f f −1 )(y )(y) = f ( f (f −1 (y )), )),

∀ y ∈ Y, de unde rezult˘a c˘ a orice y ∈ Y este imaginea unui element x ∈ X . Acest elemen elementt este − 1 x = f (y ). Suficient ¸a. ¸a. Fie f : X → Y o aplicat¸ie ¸ie bijectiv˘a. a. Definim Definim aplica aplicat¸ia ¸tia f −1 : Y → X prin condit¸ia ¸ia x = f −1 (y ) ⇔ y = f ( f (x), x ∈ X, y ∈ Y. (1.2) ◦

Aplicat¸ia ¸ia f −1 este bine definit˘a deoarece f este injectiv˘a ¸si si surjecti surj ectiv˘ v˘a. a. In plus, avem f −1 (f ( f (x)) = x,

∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y,

adic˘ a aplicat¸ia ¸ia definit˘a prin (1.2) satisface satisf ace (1.1), ¸si si ¸inˆ ¸t inând and seama de Teorema 1.1, rezult˘a c˘a aceasta este inversa aplicat¸ei ¸ei f . f .  num e¸ste st e ¸sir de elemente din X . Se noteaz˘a xn = f ( f (n) ¸si si se O aplicat¸ie ¸ie f : N X se nume¸ nume nu me¸¸ste st e termen general al ¸sirului. sirulu i. Un ¸sir sir este bine bi ne determinat dete rminat de termenul terme nul s˘au au general. Vom nota un ¸sir sir prin (xn )n∈N sau simplu (x (xn ).

→


1.2

9

Defini¸ia ¸ t ia spat ¸iului metric ¸iului

Fie X o mult¸ime ¸ime nevid˘a. a. Teorema 1.3 Aplicat ¸ia ¸ia d : X

× X → R se nume¸ num e¸ste st e metric˘ a sau distant¸˘ ¸a˘ pe X dac˘ a

satisface urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i, numite axiomele metricii: metricii: o 1 . d(x, y) 0, x, y X ¸si si d(x, y ) = 0 d.d. x = y , 2o . d(x, y ) = d(y, x), x, y X , 3o . d(x, y ) d(x, z ) + d(z, y ), x,y,z X.

≥ ∀ ∈ ∀ ∈ ≤ ∀

∈

O mult¸ime ¸ime X pe care s-a definit o metric˘a se nume¸ num e¸ste st e spat ¸iu metric, metric, (X, d). Elementele unui spat¸iu ¸iu metric se numesc puncte. puncte.

× R → R definit˘ a prin d(x, y ) = |x − y|, ∀ x, y ∈ R

Exemplul 1.1 Aplicat ¸ia d ¸ia d : R

este o metric˘ a pe R. Deci (R, d) este un spat ¸iu metric. Exemplul 1.2 Mult ¸imea Q a numerelor rat ¸ionale ¸ional e ˆımpreun˘ ımpreu n˘ a cu aplicat ¸ia d ¸ia d(x, y ) = x y

|−|

este un spat ¸iu metric. Exemplul 1.3 Pe mult ¸imea C a numerelor complexe, aplicat ¸ia ¸ia

| − z2| =

d(z1 , z2 ) = z1



(x1

− x2)2 + (y (y1 − y2 )2 , ∀ zk = xk + iyk ∈ C

este o distant ¸˘ a. Deci (C, d) este un spat ¸iu metric. Exemplul 1.4 Mult ¸imea punctelor spat ¸iului fizic ˆınzestrat˘ a cu aplicat ¸ia care asociaz˘ asociaz˘ a fiec˘ arei perechi P ¸si si Q de puncte distant ¸a d ¸a d(P, Q) dintre cele dou˘ a puncte este o metric˘ a.

Dac˘a pe X se definesc metricele d1 ¸si si d2 , atunci (X, (X, d1 ) ¸si (X, d2 ) sunt spat¸ii ¸ii metrice distincte. Metricele d1 ¸si si d2 se numesc echivalente dac˘ a exist˘a a, b R, 0 < a b a.ˆı. ad1 (x, y )

1.3

≤ d2(x, y) ≤ bd1(x, y),

∈ ∀ x, y ∈ X.

≤

Mul¸imi ¸ t imi de puncte dintr-un spat¸iu ¸iu metric

Fie (X, (X, d) un spat¸iu ¸iu metric, x0 x0 ¸si si de raz˘ ra z˘a ε, mult¸imea ¸imea

∈ X ¸sisi ε > 0. Se nume¸ste ste sfer˘ a deschis˘ a cu centrul ˆın

S (x0 , ε) = x

{ ∈ X | d(x, x0) < ε }.

Se nume¸ nume¸ste st e sfer˘ a ˆınch ın chis is˘ ˘ a cu centrul centr ul ˆın x0 ¸si si de raz˘ raz ˘a ε, mult¸imea ¸imea

{ ∈ X | d(x, x0) ≤ ε}.

S (x0 , ε) = x

Exemplul 1.5 In (R, d), sfera deschis˘ a

S (x0 , ε) = x

{ ∈ R | d(x, x0) = |x − x0| < ε }

este intervalul deschis (x0

− ε, x0 + ε).


10

Exemplul 1.6 In spat ¸iul metric al punctelor din plan unde d(P, Q) este distant distant ¸a dintre

punctele P ¸si si Q ale planului, sfera deschis˘ a S (P 0 , ε) este mult ¸imea punctelor din interiorul cercului cu c u centrul ˆın P 0 ¸si si de raz˘ a ε, iar sfera ˆınchis˘ a S (x0 , ε) este format˘ a din mult ¸imea punctelor din S (x0 , ε) la care se adaug˘ a punctele punctel e de d e pe cercul cu centrul ˆın P 0 ¸si si de raz˘ a ε. Exemplul 1.7 In spat ¸iul fizic, S (x0 , ε) este format˘ a din mult ¸imea ¸imea punctelor punctel or situate ˆın ın

interiorul interi orul sferei cu centrul ˆın P 0 ¸si si raz˘ raz˘ a ε. Denumirea general˘a de sfer˘ a pentru mult¸imea ¸imea S (x0 , ε) dintr-un spat¸iu ¸iu metri met ricc ˆı¸si si are originea origin ea ˆın acest exemplu. Se nume¸ num e¸ste st e vecin˘ atate a punctului x0 X orice mult¸ime ¸ime V X care cont¸ine ¸ine o sfer˘a deschis˘ a cu centrul centr ul ˆın x0 . Prin urmare, urmare, V este vecin˘atate atate a lui x0 dac˘ a exist˘a ε > 0 a.ˆı. S (x0 , ε) V . V . Orice sfer˘a deschis˘a S (x0 , ε) este vecin˘atate atate a lui x0 . O mult¸ime ¸ime A X este m˘ arginit˘ a dac˘ a exist˘a o sfer˘a ˆınchis˘ ınchi s˘a care cont¸ine ¸ine pe A, adic˘a

∈

⊂

⊂

⊂

∃ x0 ∈ X, ∃ M > 0 pentru care A ⊂ S (x0, M ) M ), ceea ce este echivalent cu

∃ x0 ∈ X, ∃ M > 0 pentru care d(x, x0) ≤ M, ∀ x ∈ A. ∈

Punctul x A se nume¸ nume¸ste st e punct interior al mult¸imii ¸imii A dac˘ a exist˘a o vecin˘atate atate V a lui x inclus˘ a ˆın A, V A. T ¸ inand aˆnd seama de definit¸ia ¸ia vecin˘at˘ at˘ at a¸ii ¸t ii unui punct, rezult˘a c˘a x este punct interior al mult¸imii ¸imii A dac˘ a exist˘a ε > 0 a.ˆı. S (x0 , ε) A. Mult¸imea ¸imea punctelor interioare ale mult¸imii ¸imii A se nume¸ nume¸ste st e interiorul lui A ¸si si se note no teaz az˘˘a cu Int A. O mult¸ime ¸ime format˘a numai din puncte interioare se nume¸ nume¸ste ste mult ¸ime deschis˘ a . Deci A este deschis˘a dac˘a A = Int A. Sferele deschise sunt mult¸imi ¸imi deschise deschise.. O mult¸ime ¸ime deschis˘a este vecin˘atate atate pentru orice punct al ei. Intreg spat¸iul ¸iul X este o mult¸ime ¸ime deschis˘a. a. Un punct interior complementarei mult¸imii ¸imii A se nume¸ nume ¸ste st e punct exterior lui A iar Int A se nume¸ num e¸ste st e exteriorul lui A. Punctul x X se nume¸ nume¸ste st e punct aderent al mult¸imii ¸imii A dac˘ a orice vecin˘atate atate V a sa cont¸ine ¸ine cel put¸in ¸in un punct din A, adic˘a V A = . Orice punct x A este punct aderent al mult¸imii ¸imii A. Un pun punct ct x aderent al lui A poate sau nu s˘a apart¸in˘ ¸in˘a mult¸imii ¸imii A. Mult¸imea ¸imea punctelor aderente ale lui A se nume¸ nume¸ste st e aderent ¸a sau ˆınch ın chid iderea erea lui A ¸si se noteaz˘ a cu A. O mult¸ime ¸im e car c aree ˆı¸si si cont con ¸ine ¸t ine toate to ate punctele aderente se nume¸ste ste mult ¸ime ˆınchi ın chis˘ s˘ a . Deci A este o mult¸ime ¸im e ˆınchi ın chis˘ s˘a dac˘a A = A. Sferele Sferel e ˆınchise sunt mult¸imi ¸imi ˆınchise. ınchise. Intreg spat¸iul ¸iul este o mult¸ime ¸im e ˆınchi ın chis˘ s˘a. a. Punctul x X se nume¸ num e¸ste st e punct de acumulare al mult¸imii ¸imii A dac˘ a orice vecin˘atate atate V a sa cont¸ine ¸ine cel put¸in ¸in un punct din A, diferit de x, adic˘a V (A x ) = . O mult¸ime ¸ime format˘a din puncte de acumulare acu mulare se s e nume¸ste ste mult ¸ime perfect˘ a .

⊂

⊂

C

∈

∈

∈

∩ ∅

∩ \{ }  ∅


∈

11

Punctul x A se nume¸ nume¸ste st e punct izolat al mult¸imii ¸imii A dac˘a nu este punct de acumulare al mult¸imii ¸imii A, adic˘ a dac˘a exist˘a o vecin˘atate atate V a sa a.ˆı. V (A x ) = . O mult¸ime ¸ime format˘a numai din puncte p uncte izolate se nume¸ste ste mult ¸ime discret˘ a . Orice punct de acumulare acumulare este punct aderent. aderent. Orice punct aderent aderent al unei mult mult¸imi ¸imi A care nu apart¸ine ¸ine lui A este punct de acumulare al lui A. Orice vecin˘atate atate a unui punct de acumulare al mult¸imii ¸imii A cont¸ine ¸ine o infinitate de puncte din A. De aici aici rezu rezult lt˘a˘ c˘a o mult¸ime ¸ime care are un punct de acumulare este o mult¸ime ¸im e infin in finit˘ it˘a ¸si si deci dec i mult mul¸imile ¸t imile finite nu au puncte de acumulare. Nu toate mult¸imile infinite infinit e au ˆıns˘a puncte de acumulare. De exemplu, mult¸imea ¸imea N a numerelor naturale nu are puncte de acumulare.

∩ \{ } ∅

Teorema 1.4 Mult ¸imea A este est e ˆınchi ın chis˘ s˘ a d.d. d. d. ˆı¸si si cont con ¸ine t toate punctele de acumulare.

 Dac˘ a A este es te ˆınchi ın chis˘ s˘a ˆı¸si si con¸ine ¸t ine punctele punctele aderente. aderente. Cum orice punct de acumulare acumulare este punct aderent, rezult˘a c˘a A ˆı¸si con¸ine ¸tine toate punctele de acumulare. Reciproc, dac˘a A ˆı¸si con¸ine ¸tine toate punctele de acumulare, atunci orice punct aderent este es te ˆın A. Dac˘ Dac˘ a ar exista un punct aderent al lui A care ar fi din A, el ar fi punct de acumulare pentru A ¸si si deci de ci A nu ¸si-ar si -ar cont co nt¸ine ¸ine toate punctele de acumulare. Contradict¸ie. ¸ie. Deci A este est e ˆınchi ın chis˘ s˘a. a.  Punctul x A se nume¸ num e¸ste st e punct frontier˘ a al mult¸imii ¸imii A dac˘a orice vecin˘atate atate V a sa cont¸ine ¸ine atât at puncte din A cât at ¸si si puncte punc te din compleme comp lementara ntara lui A. at ¸si si pentru pent ru A. Un punct frontier˘a este punct aderent atât at pentru mult¸imea ¸imea A cât Mult¸imea ¸imea punctelor frontier˘a ale mult¸imii ¸imii A se nume¸ nume¸ste st e frontiera lui A ¸si si se note no teaz az˘˘a cu Fr A sau ∂A. ∂A .

∈

C

1.3. 1.3.1 1

Spat ¸ii liniare normate

Fie V un spat ¸iu liniar peste corpul corpul K (R sau C).

||·|| : V → R se nume nu me¸¸ste st e norm˘ a pe V dac˘ a satisface urm˘ atoarele axiome: 1o . ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ V ¸si si ||x|| = 0 d.d. x = 0, 0, o 2 . ||αx|| = |α| ||x||, ∀ α ∈ K , ∀ x ∈ V , V , o 3 . ||x + y|| ≤ ||||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ V . V . Num˘ arul arul real nenegativ ||x|| se nume¸ nume¸ste st e norma vectorului x. Un spat¸iu ¸iu liniar pe care s-a definit o nom˘a se nume¸ nume ¸ste st e spat ¸iu liniar normat . Dac˘ a (V, ||·||) este un spat¸iu ¸iu normat, aplicat¸ia ¸ia d : V × V → R, d(x, y) = ||x − y||, ∀ x, y ∈ V, Definit ¸ia ¸ia 1.1 Aplicat ¸ia

define¸ defin e¸ste ste o metri m etric˘ c˘a pe V , V , numit˘a metrica indus˘a de norm˘ a . Fie V un spat¸iu ¸iu liniar real . O aplicat¸ie ¸ie a lui V V ˆın R se nume¸ num e¸ste st e produs scalar pe V dac˘a satisface urm˘atoarele atoarele axiome: 1. x x 0, x V ¸si si x x = 0 d.d. x = 0, 2. x y = y x, x, y V , V , 3. (αx) y = α(x y), α R, x, y V , V ,

×

· ≥ ∀ ∈ · · ∀ · ·

·

∈ ∀ ∈

∀

∈


·

·

· ∀

12

∈

4. (x + y) z = x z + y z, x, y, z V . V . Num˘ arul arul real x y se nume¸ num e¸ste ste produsul produsul scalar al vectorilor x ¸si si y. Se not notea eaz˘ z˘ a cu x2 = x x. Un spat¸iu ¸iu liniar real pe p e care s-a definit un produs scalar se nume¸ nume¸ste ste spat ¸iu euclidian sau spat ¸iu prehilbertian . Se noteaz˘a cu E .

·

·

Teorema 1.5 (Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy) Pentru orice x, y

∈ E avem

√ | x · y | ≤ x2 · y 2 .  Dac˘a x = 0 sau y = 0, cum x · 0 = 0, 0 · y = 0, (1.3) este adev˘arat˘ arat˘ a. a. x, y ∈ E , x  = 0, oricare ar fi λ ∈ R avem (λx + y)2 = x2 λ2 + 2(x · y)λ + y2 ≥ 0, care are loc d.d. ( x · y)2 − x2 y2 ≤ 0, echivalent˘ echivalent˘ a cu (1.3). (1.3).  Teorema 1.6 (Inegalitatea lui Minkowski) Pentru orice x, y ∈ E avem √ (x + y)2 ≤ x2 + y2 .







 Folosind inegalitatea (1.3) putem scrie (x + y)2 = x2 + 2(x y) + y2

·

≤ x2 + 2

de unde obt¸inem ¸inem (1.5).  Aplicat¸ia ¸ia : E R, definit˘a prin

||·||

→

||x|| =

√

x2 ,

√

x2



√

y2 + y 2 = ( x2 +

∀ x ∈ E

(1.3) Pent Pentru ru (1.4)

(1.5)



y2 )2 ,

(1.6)

este o norm˘a pe E . Ea se s e nume¸ste ste norma indus˘ a de produsul produsul scalar sau norma euclidian˘ a. Un spat¸iu ¸iu euclidian este deci un spat¸iu ¸iu liniar normat, cu norma indus˘a de produsul scalar. Norma euclidian˘a pe E induce metrica d : E E R,

× → d(x, y) = ||x − y|| = (x − y)2 ,



(1.7)

care se nume¸ste ste metrica euclidian˘ a . Deci Deci un spat spat¸iu ¸iu euclidian este un spat¸iu ¸iu metric, cu metrica euclidian˘a. a. Cu notat¸ia ¸ia (1.6), inegalit˘at a¸ile ¸tile lui lu i Cauchy Ca uchy ¸si si Minkowski Mi nkowski se s e scriu scri u

|x · y| ≤ ||x||||y||, ∀ x, y ∈ E, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ E.


1.4

13

Mul¸imea ¸ t imea numerelor reale

In raport cu operat¸iile ¸iil e de adunare adun are ¸si si ˆınmult ınmul ¸ire ¸tire R formeaz˘ a un corp corp comutat comutativ. iv. In raport rapor t cu acelea¸si si dou˘a operat¸ii ¸ii R formeaz˘ a un spat ¸iu liniar real . Mult¸imea ¸imea R poate fi organizat˘ a ca spat¸iu ¸iu metric. Fie x un num˘ar ar real. Se nume¸ste ste valoare absolut˘ a sau modul al num˘arului arului real x num˘arul arul x definit prin x, x > 0, 0, x = 0, 0, x = x, x < 0.

||

||

 −

Funct¸ia ¸ia modul are urm˘atoarele atoarele propriet˘at a¸i: ¸ti: 1o . x 0, x R ¸si si x = 0 d.d. x = 0, 2o . x + y x + y , x, y R, o 3 . xy = x y , x, y R, 4o . x < ε d.d. ε < x < ε. ε. o o o Din 1 , 2 ¸si 3 rezult˘ a c˘ a funct¸ia ¸ia modul este o norm˘a pe spat¸iul ¸iul liniar real R. Deci R este un spat R definit˘ ¸iu liniar normat . Aplicat¸ia ¸ia d : R R a prin

| |≥ ∀ ∈ | | | | ≤| | | | ∀ ∈ | | | || | ∀ ∈ || −

× → d(x, y ) = |x − y |, ∀ x, y ∈ R,

determin˘ a pe R o metric˘a. a. In raport cu aceast˘a metr me tric ic˘˘a R formeaz˘ a un spat ¸iu metric. metric.

1.4. 1.4.1 1

Mult ¸imi m˘ arginite argi nite de numere reale

Fie A o mult¸ime ¸ime nevid˘a de numere numere reale. reale. Spunem Spunem c˘a A este m˘ arginit˘ a superior sau majorat˘ a dac˘ b, pentru orice x Num˘ arul arul b se da c˘a exis ex ist˘ t˘a un num˘ar ar real b a.ˆı. x A. Num˘ nume nu me¸¸ste st e majorant al mult¸imii ¸imii A. Not¸iunea ¸iunea de mult¸ime ¸ime majorat˘a se poate defini ¸si si pentru p entru mult¸imi ¸imi de numere rat¸ionale. ¸ionale. Ceea ce deosebe¸ deoseb e¸ste ste mult¸imea ¸imea R de mult¸imea ¸imea Q a numerelor rat¸ionale ¸ionale este axioma lui Cantor a marginii superioare, care st˘a la baza obt¸inerii ¸inerii tuturor rezultatelor profunde ale analizei matematice ¸si si pe care o enunt¸˘ ¸am a˘m mai jos. Axioma lui Cantor. Orice mult ¸ime nevid˘ a majorat˘ a A R admite un cel mai mic majorant . Cel mai mic majorant al mult¸imii ¸imii majorate A se nume¸ nume¸ste st e marginea superioar˘ a a lui A sau supremum de A ¸si si se noteaz˘ note az˘a sup A.

≤

∈

⊂

Exemplul 1.8 S˘ Q x2 a conside consider˘ r˘ am mult ¸imea A = x 3 . Mul¸imea t A, ca submult ¸ime a lui R, este majorat˘ a, de exemplu exemplu de 2, dar d ar ¸si si de d e aproxima ap roximat ¸iile t succesive prin

√

{ ∈

√

|

≤ }

adaos ale lui 3: 1, 8, 1, 74 74,, 1, 733 etc. precum ¸si si de 3. Conform Conform axiomei lui Cantor Cantor A admite admite un cel cel mai mic majorant. majorant. Se poate poate ar˘ ata c˘ a sup A = 3. Ca submu submult lt ¸ime a lui Q, are numerele de mai sus ca majorant ¸i, cu except ¸ia lui 3 care nu apart ¸ine lui Q. Deci ea nu admite un cel mai mic majorant num˘ ar rat ¸ional.

√

√

Num˘ arul arul real M este marginea superioar˘a a mult¸imii ¸imii A, M = sup A, dac˘a M este majorant majorant al mult mul¸imii ¸t imii A ¸si si este cel mai mic majorant. ma jorant. De unde teorema care urmeaz˘a. a.


14

Teorema 1.7 (de caracterizare a marginii superioare) Num˘ arul M = sup A d.d.

1o . x M, x A ( M M este majorant al mult ¸imii A), 2o . ε > 0, xε A a.ˆı. xε > M ε (orice num˘ar ar mai mic decˆ at at M nu este majorant al lui A).

∀

≤

∀ ∈ ∃ ∈

−

Spunem c˘a mult¸imea ¸imea A de numere reale este m˘argin arg init it˘ a ˘ inferior sau minorat˘ a dac˘ a exist˘a un num˘ar ar real a a.ˆı. a x, pentru orice x A. Num˘ arul arul a se nume¸ nume¸ste st e minorant al mult¸imii ¸imii A. Folosind axioma lui Cantor se poate stabili urm˘atoarea atoarea

≤

∈

Teorema 1.8 Orice mult ¸ime nevid˘ a minorat˘ a A a A

⊂ R admite un cel mai mare minorant.

Cel mai mare minorant al mult¸imii ¸imii minorate A se nume¸ nume¸ste st e marginea inferioar˘ a a lui A sau infimum de A ¸si si se noteaz˘ note az˘a inf A inf A. Num˘ Nu m˘arul aru l real re al m este marginea marginea inferioar˘ inferioar˘ a a mult¸imii ¸imii A, m = inf A inf A, dac˘a m este minorant al mult¸imii ¸imii A ¸si si este cel mai mare minorant. De unde teorema: Teorema 1.9 (de caracterizare a marginii inferioare) Num˘ arul m = inf A inf A d.d.

1o . m x, x A ( m este minorant al mult ¸imii A), o 2 . ε > 0, xε A a.ˆı. xε < m + ε (orice (orice num˘ ar mai mare decât at m nu este minorant al lui A).

≤ ∀ ∈ ∀ ∃ ∈

O mult¸ime ¸ime A R se nume¸ num e¸ste st e m˘ arginit˘ a dac˘ a este majorat˘a ¸si si minorat˘ mino rat˘a, a, adic˘a dac˘a exist˘a numerele reale a ¸si si b a.ˆı. a x b, pentru orice x A. este m˘ arginit˘ a rginit˘ a atunci exist˘a sup A ¸si si inf in f A x sup A, pentru orice Dac˘a A si inf A ¸si x A. Mult¸imea ¸imea A const˘ a dintr-un singur element d.d. inf A = sup A. Un majorant al mult¸imii ¸imii A care apart¸ine ¸ine lui A se nume¸ num e¸ste ste cel mai mare element al mult¸imii ¸imii A. Un minor minoran antt al mult ul¸imii ¸t imii A care apart¸ine ¸ine lui A se nume¸ num e¸ste st e cel mai mic element al mult¸imii ¸imii A. Aceste elemente, dac˘a exist˘a, a, sunt unice. Dac˘ a sup A A atunci este cel mai mare element al mult¸imii ¸imii A. Dac˘ Dac˘ a inf A inf A A atunci este cel mai mic element al mult¸imii ¸imii A. Se poate ˆıntâmpla ampla ca o mult¸ime ¸ime A s˘a nu aib˘ a cel mai mare sau/¸si si cel mai mic element. Spre exemplu mult¸imea ¸imea A 1/n, n N nu are cel mai mic element deoarece inf A = 0 / A. sa u/¸si si neminora nemi norat˘ t˘a se nume¸ num e¸ste ste mult O mult¸ime ¸ime A R nemajorat˘a sau/¸ ¸ime nem˘ arginit˘ a .

⊂

≤ ≤

∈

∈

≤ ≤

∈

∈

⊂

{

∈ ∈ }

Teorema 1.10 Dac˘ a A

⊂ R atunci: 1 . A este m˘ arginit˘ a d.d. exist˘ a M > 0 a.ˆı. |x| ≤ M , ∀ x ∈ A. 2o . A este nem˘ arginit˘ a d.d. ∀ M > 0 exist˘ a un xM ∈ A a.ˆı. |xM | > M . M . o

Prezentarea unitar˘a a unor rezultate fundamentale ale analizei matematice impune introducerea simbolurilor ¸si + , numite minus infinit ¸si si respec res pectiv, tiv, plus infinit . Mult¸imea ¸imea R = R ,+ se nume¸ num e¸ste st e dreapta real˘ a ˆınche ın cheiat iat˘ ˘ a . Operat¸iile ¸iile algebrice definite pe R se extind numai part¸ial ¸ial la R. Urm˘ atoarele atoarele operat¸ii ¸ii nu sunt definite pe R:

−∞ ∞ ∪{−∞ ∞}

∞ 0 0 ∞ − ∞, 0 · ∞, 00 , ∞ ∞, 0 , ∞ , 1 .

Acestea se numesc operat ¸ii f˘ ar˘ a sens sau cazuri de nedeterminare. nedeterminare.


1.4. 1. 4.2 2

15

Inter Int ervale vale ¸si si vec v ecin in˘ ˘ at˘ at ˘ at a¸i ¸ti

Fie a, b R, a < b. Numim intervale m˘ arginite mult¸imile: ¸imile: 1) (a, b) = x R a < x < b - interval deschis; 2) [a, b) = x R a x < b - interval ˆınchis la stânga, anga, deschis la dreapta; anga, ˆınchis la dreapta; 3) (a, b] = x R a x < b - interval deschis la stânga, 4) [a, b] = x R a x b - interval ˆınchis sau segment. Numim intervale nem˘ arginite mult¸imile: ¸imile: 1) (a, ) = x R x > a - semidreapt˘a deschis˘a nem˘arginit˘ arginit˘ a la dreapta; 2) [a, ) = x R x a - semidreapt˘a ˆınch ın chis is˘ a, a˘, nem˘arginit˘ arginit˘ a la dreapta; 3) ( , b) = x R x < b - semidr se midreapt eapt˘˘a deschi de schis˘ s˘a nem˘arginit˘ arginit˘ a la stânga; anga; 4) ( , b] = x R x b - semidreapt˘a ˆınch ın chis is˘ a, a˘, nem˘arginit˘ arginit˘ a la stânga. anga. Dreapta real˘a este de asemenea interval nem˘arginit. Fie x0 R. Se nume¸ste ste vecin˘ atate a lui x0 orice mult¸ime ¸ime V R care cont¸ine ¸ine un interval deschis la care apart¸ine ¸ine punctul x0 , x0 (a, b) V . V . In particular, orice interval deschis (a, (a, b) care cont¸ine ¸ine pe x0 este vecin˘atate atate a lui x0 . O vecin˘atate atate a lui x0 de forma (x ( x0 ε, x0 + ε), cu ε > 0, se nume¸ste ste vecin˘ atate simetric˘ a a lui x0 . Orice vecin˘atate atate a lui x0 cont¸ine ¸ine o vecin˘atate atate simetric˘a. a. Se nume¸ num e¸ste ste vecin˘ atate a lui + orice mult¸ime ¸ime V de numere reale care cont¸ine ¸ine o semidreapt˘ a (a, + ). Se nume¸ste ste vecin˘ atate a lui orice mult¸ime ¸ime V de numere reale care cont¸ine ¸ine o semidreapt˘a ( , b).

∈

{ { { {

∈ | } ∈ | ≤ } ∈ | ≤ } ∈ | ≤ ≤ } ∞ { ∈ | } ∞ { ∈ | ≥ } −∞ { ∈ | } −∞ { ∈ | ≤ } ∈

∈

⊂

⊂

−

∞

∞

1.5

−∞

−∞

Spa¸iul ¸ t iul Rn

Se noteaz˘a cu Rn produsul produsul cartezian cartezian al mult¸imii ¸imii R cu ea ˆıns˘ ın s˘a¸ a¸si de n ori, adic˘a Rn = R

× R × · · · × R = {x = (x ( x1, x2 , . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, 1 , n} .

Mult¸imea ¸imea Rn poate fi organizat˘ organizat˘ a ca spat¸iu ¸iu liniar real. Dou˘ a elemente x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) din Rn sunt egale, egale, x = y, d.d. xi = yi , i = 1, 1 , n. Definim operat¸ia ¸ia de adunare ˆın Rn prin

∀ x, y ∈ Rn,

x + y = (x ( x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )

∈ Rn

¸si si opera op erat¸ia ¸t ia de ˆınmu ın mult lt ¸ire cu scalari prin

∀ α ∈ R, ∀ x ∈ Rn,

αx = (αx ( αx1 , αx2 , . . . , α xn )

∈ Rn .

Elementul nul din Rn este 0 = (0, (0, 0, . . . , 0), iar opusul lui x = (x1 , x2 , . . . , xn ) este elementul x = ( x1 , x2 , . . . , xn). Se verifi erific˘ c˘ a u¸sor sor restul axiomelor. axiomelor. Deci Rn este un spat¸iu ¸iu liniar real numit spat ¸iul liniar real n-dimensional , elementele sale x = (x1 , x2 , . . . , xn) le vom numi vectori . Numere Numerele le x1 , x2 , . . ., xn se numesc componentele sau coordonatele vectorului x. Aplicat¸ia ¸ia

−

− −

−

n

·

x y = x1 y1 + x2 y2 +

· · · + xnyn =



k=1

xk yk


16

este un produs scalar pe Rn ¸si si deci de ci Rn este un spat¸iu ¸iu euclidian numit spat ¸iul euclidial n-dimensional . Dup˘ a (1.6), norma indus˘ a de produsul scalar va fi dat˘a de

||x|| =

√

  n

x2

=

xk2 .

(1.8)

k=1

Deci Rn este un spat ¸iu liniar normat . Inegalit˘ at a¸ile ¸tile lui Cauchy ¸si si Minkowski se transcriu n

 |  

k=1

n

       |≤ ·       ≤ n

xk yk

Se verific˘a u¸sor so r c˘a aplicat¸iile ¸iile

yk2 ,

k=1

k=1

n

(xk + yk

k=1

n

xk2

n

xk2

)2

+

k=1

yk2 .

k=1

||x||1 = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}, ||x||2 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|, sunt de asemenea norme pe Rn , echivalente cu norma (1.8). Dup˘ a (1.7), metrica euclidian˘ a pe Rn va fi dat˘a de

  n

|| − y|| =

d(x, y) = x

(xk

k=1

− yk )2.

In concluzie, Rn este un spat ¸iu metric. metric. Sfera deschis˘ a cu centrul centr ul ˆın x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) ¸si si raz˘ raz ˘a ε este mult¸imea ¸imea

  n

{

S (x0 , ε) = x = (x ( x1 , x2 , . . . , xn )

Aplicat¸iile ¸iile δ, ∆ : Rn

∈ Rn,

× Rn → R, δ(x, y) =

n

(xk

k=1

|

k=1

xk

sunt metrici pe Rn echivalente cu metrica euclidian˘a. a.

1.6 1. 6

− xk0 )2 < ε }.

− yk |, ∆(x, y) = max |xk − yk | k=1,n

Funçii ¸ tii cu valori ˆın Rm

→ →

R, se Fie E o mult¸ime ¸ime nevid˘a oarecare. O aplicat¸ie ¸ie a mult¸imii ¸imii E ˆın R, f : E m nume nu me¸¸ste st e funct ¸ie real˘ a , iar o aplicat¸ie ¸ie a mult¸imii ¸imii E ˆın R , m 2, f : E Rm , se nume nu me¸¸ste st e funct ¸ie ¸ie vectorial˘ vectorial˘ a . Prin funct¸ia ¸ia vectorial˘a f , oric˘ ori c˘arui arui element elem ent x E i se ata¸seaz˘ sea z˘a ˆın mod unic elementul m y = (y1 , y2 , . . . , ym ) R , y = f (x).

≥

∈

∈


17

∈

Fie f (x) = (f 1 (x), f 2 (x), . . . , fm (x)), pentru orice x E . Rezult˘a c˘a funct¸ia ¸ia vectorial˘a f define¸ defi ne¸ste st e ˆın mod mo d unic un ic m funct¸ii ¸ii f k : E R, k = 1, m, numite funct ¸ii componente ale funct¸iei ¸iei f . Funct¸ia ¸ia f : R R, ˆın care E R, se nume¸ste ste funct ¸ie real˘ a de o variabil˘ a real˘ a . Num˘ arul arul real x E are ca imagine prin f num˘arul arul real y = f (x). Funct¸ia ¸ia f : E R, ˆın care ca re E Rn , n 2, se nume¸ste ste funct ¸ie real˘ a de o variabil˘ a n vectorial˘ a sau funct ¸ie real˘ a de n variabile reale. reale . Vectorul x = (x1 , x2 , . . . , xn ) R are f (x) = f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ). ca imagine prin f num˘arul arul real y = f ( Rm , ˆın care E R se nume¸ Funct¸ia ¸ia f : E num e¸ste st e funct ¸ie vectorial˘ a de o variabil˘ a m R . Funct real˘ a . Num Numarul a˘rul real x E are ca imagine prin f vectorul y = f (x) unçiile ¸tiile componente sunt m funct¸ii ¸ii reale de o variabil˘a real˘a yk = f k (x), k = 1, 1 , m. Funct¸ia ¸ia f : E Rm , ˆın care E Rn , n 2, se nume¸ nume ¸ste ste funct ¸ie vectorial˘ a de o variabil˘ a vectorial˘ vectorial˘ a sau funct ¸ie vectorial˘ a de n variabile reale. reale . Vectorul x = (x1 , x2 , . . . , xn ) n m R are ca imagine vectorul y = f (x) R . Funct ¸iile ¸iile componente sunt m funct¸ii ¸ii reale de o variabil˘a vectorial˘a sau de n variabile reale yi = f i (x) = f i (x1 , x2 , . . . , xn ), i = 1, 1 , m. Numim grafic al funct¸iei ¸iei f mult¸imea ¸imea

→

→ ∈ →

⊂ ⊂

→

≥

∈

⊂

∈

→

⊂

∈

≥

∈

∈

∈ Rn × Rm | x ∈ E ⊂ Rn, y = f (x) ∈ Rm}. ¸imea Γ = {x ∈ Rn | x = f (t), t ∈ I ⊂ R}, ˆın care car e I este Numim curb˘a ˆın Rn mult¸imea {

Gf = (x, y)

un interval al axei reale, iar funct¸ia ¸ia f satisface anumite condit¸ii. ¸ii. Ecuat Ecuat¸ia ¸ia x = f (t) se nume nu me¸¸ste st e ecuat ¸ia vectorial˘ a a curbei. curbei. Ea implic˘ implic˘ a egalit˘at a¸ile ¸tile xi = f i (t), i = 1, n, numite ecuat ¸iile parametrice ale curbei. Variabila t se nume¸ nume¸ste st e parametru pe curba Γ. R p . Funct¸ia Fie E Rn , funct¸ia ¸ia f : E Rm , F = f (E ) Rm ¸si si func fu nct¸ia ¸tia g : F ¸ia p g f : E R definit˘ a prin z = ( g f )(x) = g(f (x)), pentru orice x E , este compunerea sau produsul funct¸iilor ¸iilor f ¸si si g, ¸si si are componentele compon entele

◦

⊂ →

→

⊂

◦

∈

→

zj = gj (f i (xi , . . . , xn ), . . . , fm (xi , . . . , xn )), )), j = 1, 1 , p. Fie E, F Rn . O aplicat¸ie ¸ie biunivoc˘a f : E F se nume¸ nume¸ste st e transform trans formare are punctua punc tual˘ l˘a a a mult¸imii ¸imii E pe mult¸imea ¸imea F . F . Pentru fiecare x E , y = f (x) F . F . Dac˘a x = (x ( x1 , . . . , xn ) ¸si si y = (y ( y1 , . . . , yn ), egalitatea vectorial˘a y = f (x) este echivalent˘a cu egalit˘at a¸ile ¸tile

⊂

∈

→

∈

yi = f i (x1 , x2 , . . . , xn ), i = 1, n, numite ecuat ¸iile ¸iile transform˘ arii . Deoarece f este es te biun bi univo ivoc˘ c˘a rezul rez ult˘ t˘a c˘a f (E ) = F . F . Aplica Aplicat¸ia ¸tia f −1 : F E se nume¸ num e¸ste st e − 1 transformarea transformarea punctual˘ a invers˘ a transform˘ arii arii f , dac˘a f (y) = x d.d. f (x) = y. m Se noteaz˘a cu (E, R ) mult¸imea ¸imea funct¸iilor ¸iilor definite pe E cu valori val ori ˆın Rm . In raport ¸iu liniar cu operat¸iile ¸iil e de adunare adu nare ¸si si ˆınmult ınmul ¸ire ¸t ire a funct¸iilor, ¸iilor, (E, Rm ) formeaz˘a un spat real . Aplicat¸ia ¸ia definit˘a pe (E, Rm ) cu valori ˆın R prin f = supx∈E f (x) , pentru orice f (E, Rm ), este o norm˘ a pe (E, Rm ), numit˘a norma convergent ¸ei uniforme. uniforme. m Deci (E, R ) este un spat ¸iu liniar normat . Not˘am am cu ρ metrica indus˘ a de norm˘ a :

→

F

F

F

∈ F F

F

|| ||

||

|| − g|| = sup ||f (x) − g(x)||, ∀ f , g ∈ F (E, Rm), ∈E numit˘a metrica convergent convergent ¸ei uniforme. uniforme. Deci F (E, Rm ) este un spat ¸iu metric. metric. ρ = f

x

||

Capitolul 2

S ¸ IRU RUR RI S ¸ I SERI I 2.1

S ¸iruri de numere ¸iruri numere reale reale

Un ¸sir sir de numere numere reale este o funct¸ie ¸ie f : N R. Se not notea eaz˘ z˘ a cu xn = f ( f (n) ¸si si se nume¸ste ste termenul de rang n al ¸sirului. sirulu i. Vom nota un ¸sir sir prin (xn )n∈N sau (x (xn ). ¯ Definit ¸ia ¸ia 2.1 Spunem c˘ a ¸siru si rul l (xn ) are limita x R ¸si si scri sc riem em lim xn = x sau x sau xn x,

→ ∈

n

→∞

→

dac˘ a oricare ar fi V o vecin˘ atate a lui x, exist˘ a num˘ arul natural N = N ( N (V ) V ) a.ˆı. ı. pentru pent ru orice n > N : xn V . V .

∈

Aceast˘ a definit¸ie ¸ie poate fi formulat˘a ¸si si astfel: astf el: Definit ¸ia ¸ia 2.2 S ¸ irul xn are limita x

∈ R¯ dac˘ a ˆın afara oric˘ oric ˘ arei vecin˘ at˘ at ¸i V a lui x se

afl˘ a cel mult un num˘ ar finit de termeni ai ¸sirului, sirului, num˘ ar ce depinde de vecin˘ atatea V . V .

Deoarece ¸sirurile sirurile de numere reale au fost studiate ˆın liceu, ˆın cele ce urmeaz˘a vom formula principalele rezultate f˘ar˘ ar˘ a a relua demonstrat¸iile. ¸iile. Teorema 2.1 Fie (xn ) un ¸sir sir de numere reale. reale.

1o . Dac˘ a (xn ) are limit˘ a atunci limita sa este unic˘ a. 2o . Dac˘ a (xn ) are limita x atunci orice sub su b ¸sir sir al s˘ au are limita x. o 3 . Dac˘ a ˆıntrınt r-un un ¸sir si r cu limit lim it˘ ˘ a schimb˘ am ordinea termenilor, ad˘ aug˘ am sau suprim˘ am un num˘ ar finit de termeni, obt ¸inem un ¸sir sir având and aceea¸si si limit˘ lim it˘ a.

In consecint¸˘ ¸a, a˘, dac˘a (xn) are un sub¸sir sir f˘ar˘ ar˘ a limit˘a sau sa u dac˘ da c˘a (xn ) are dou˘a sub¸siruri sir uri cu limite limite diferite, diferite, atunci (xn ) nu are limit˘a. a. S ¸ iruri ir urile le f˘ar˘ ar˘a limi li mit˘ t˘a se numes num escc oscilante. oscilante. S ¸irurile ¸i rurile cu limit˘ limi t˘ a finit˘a se numesc convergente. convergente. S ¸irurile ¸i rurile care nu sunt convergente se numesc divergente. divergente . Deci, un ¸sir sir este divergent dac˘a nu are limit˘a sau are limit˘a dar aceasta este sau + .

−∞

∞

Teorema 2.2 (de caracerizare a limitei) Fie (xn ) un ¸sir sir de numere reale. reale. 10 . S ) este convergent ¸ si s i are limita l imita R d.d. oricar oric are e ar fi ε > 0, exist˘ a un ¸ irul (xn x N ( N (ε) N a.ˆı. d(x, xn ) = xn x < ε, ε , pentru orice n > N . N .

∈

∈

| − |

18

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA ˘ FINITA

19

CONVERGENTE

˘ CU LIMITA ˘ INFINITA

S ¸ IRU IR URI

DIVERGENTE ˘ A ˘ LIMITA ˘ (OSCILANTE) FAR

20 . S ¸ irul (xn ) are are limita xn < ε, pentru orice n > N . N . 0 3 .S ¸ irul (xn ) are limita + pentru orice n > N . N .

−∞ d.d. d.d. oric oricare are ar fi ε > 0, exist˘ exist˘ a un N ( N (ε) ∈ N a.ˆı. ∞ d.d. oricare ar fi ε > 0, exist˘ a un N ( N (ε) ∈ N a.ˆı. xn > ε, ε,

−

Teorema 2.3 (Operat ¸ii cu ¸ siruri sir uri care au limit˘ lim it˘ a) a)

10 . Dac˘ a ¸sirur si rurile ile (xn ) ¸si si (yn ) au limit˘ a ¸si si suma limitelor limitel or are sens, se ns, atunci ¸sirul sirul sum˘ a (xn + yn ) are limit˘ a ¸si lim (xn + yn ) = lim lim xn + lim yn .

n

n

→∞

n

→∞

→∞

20 . Dac˘ a ¸sirur sir urile ile (xn ) ¸si si (yn ) au limit˘ a ¸si si produsul limitelo l imitelorr are sens, atunci ¸sirul sirul produs (xn yn ) are limit˘ a ¸si lim (xn yn ) = ( lim xn)( lim yn ).

n

n

→∞

n

→∞

→∞

In particular, dac˘ a (yn ) este ¸sirul sirul constant, yn = λ = 0, 0 , pentru orice n



∈ N, atunci

lim (λxn ) = λ( lim xn ).

n

n

→∞

→∞

30 . Dac˘ a ¸sirur si rurile ile (xn ) ¸si si (yn ) au limit˘ a, yn = 0, ¸si si câtul atul limitelor are sens, atunci ¸siru si rull cât at (xn /yn ) are limit˘ a ¸si



lim xn xn n→∞ lim = . n→∞ yn lim yn n

→∞

40 . Dac˘ a ¸siruri sir urile le (an ) ¸si si (xn ) au limit˘ a, an > 0, an xn atun at unci ci ¸sirul si rul (an ) are limit˘ a ¸si lim axnn = ax .

→ a, xn → x ¸si si ax are sens,

n

→∞

Teorema 2.4 (Criterii de existent ¸˘ a a limitei) Fie (xn ) un ¸sir sir de numere reale. reale. 0 1 . (Criteriul major˘ arii) dac˘ a pentru un x R exist˘ a un ¸sir sir (αn ) de numere nenegative, αn 0, a.ˆı. d(x, xn ) = xn x αn , pentru orice n N, atunci xn x. 20 . Dac˘ Dac ˘ a exist ex ist˘ ˘ a ¸siru si rul l (yn ), yn , a.ˆı. xn yn , pentru pentru orice n N, atunci

→

∈

| − |≤ → −∞ xn → −∞. 30 . Dac˘ a exist˘ a ¸siru si rul l (yn ), yn → +∞, a.ˆı. xn → +∞.

∈ → ≤ ∈ xn ≥ yn , pentru pentru orice n ∈ N, atunci


20

{ | ∈ } | |≤

S¸irul ¸i rul de numere num ere real r ealee (x ( xn ) se nume¸ num e¸ste st e m˘ arginit dac˘ arginit dac˘ a mult¸imea ¸imea xn n N a valorilor sale este m˘arginit˘ arginit˘ a. a . Deci Deci (x (xn ) este m˘arginit arginit dac˘a exist˘a M > 0 a.ˆı. xn M , M , pentru orice n N. S¸ irul ir ul (xn ) se nume¸ nume ¸ste st e nem˘ arginit dac˘a mult¸imea ¸imea xn n N este nem˘arginit˘ arginit˘ a, a, adic˘a dac˘ a oricare ar fi M > 0 exist˘a un nM N, a.ˆı. xnM > M . M .

∈

{ | ∈ } | |

∈

Teorema 2.5 (Propriet˘ at ¸i ale ¸ sirurilor siruril or convergente)

10 . S ¸ irul xn x d.d. d.d . ¸sirul si rul d(x, xn ) = xn x 0. 20 . Dac˘ a ¸siru si rul l xn x, atunci atu nci ¸sirul siru l xn x . Reciproca nu este e ste adev˘ adev ˘ arat˘ arat˘ a decât ˆın cazul x = 0. 0. 0 3 . Orice ¸sir convergent convergent este m˘ arginit. arginit. Recipr Reciproc oca a nu este adev˘ arat˘ a. Exis Exist˘ t˘ a ¸siru si ruri ri m˘ arginite care care nu sunt convergente. convergente. Un ¸sir sir nem˘ arginit este divergent. 40 . Dac˘ a xn 0 ¸si si (yn ) este m˘ arginit, atunci xn yn 0. 0 5 . Orice sub¸sir sir al unui ¸sir sir convergent conve rgent este est e convergent converge nt ¸si si are aceea¸si si limit˘ limi t˘ a. 60 . Dac˘ a (xn ) ¸si si (yn ) sunt ¸siruri siru ri convergen con vergente, te, xn x ¸si si yn y, iar xn yn , pentru orice n N, atunci x y. 70 . Dac˘ a ¸sirur sir urile ile (xn ), (yn ), (zn ) satisfac pentru orice n N condit ¸ia x ¸ia xn yn zn , iar (xn ) ¸si si (zn ) sunt sun t convergente converge nte ¸si si au aceea¸si si limit˘ lim it˘ a x, atunci (yn ) este est e convergent converge nt ¸si si are limita x.

→

→

| − |→ | | →| |

→

∈

→

→

≤

→

≤ ≤ ≤

∈

S ¸irul ¸i rul de numere reale ( xn ) se nume¸ a xn xn+1 , pentru pentru orice n N. num e¸ste ste cresc˘ ator dac˘ ator dac˘ ator dac˘ ator dac˘ a xn xn+1 , pentru orice n N. Un ¸sir sir cresc˘ator ator S¸ irul ir ul (xn ) se nume¸ nume ¸ste ste descresc˘ sau descresc˘ator ator se nume¸ste ste monoton .

≤

≥

∈

∈

Teorema 2.6 (Existent ¸a limitei unui ¸ sir sir monoton)

10 . Un ¸sir sir monot mon oton on ¸si si m˘ arginit este convergent. 0 2 . Un ¸sir sir cresc˘ cres c˘ ator ato r ¸si si nem˘ nem ˘ arginit argini t superior superi or are limita limi ta + . 0 3 . Un ¸sir sir descresc˘ des cresc˘ ator ato r ¸si si nem˘ nem ˘ arginit inferior are limita .

∞ −∞

Un ¸sir si r monot mo noton on este e ste ¸sir si r cu limi li mit˘ t˘a. a. Dac˘ Da c˘a (x ( xn ) este cresc˘ator, ator, lim xn = sup xn n iar dac˘a (xn ) este descresc˘ator ator atunci lim xn = inf xn n N .

{ | ∈ }

{ | ∈ N},

Teorema 2.7 (Lema intervalelor ˆ ınchise, Cantor) Dac˘ a (I n ), I n = [an , bn ], este

un ¸sir sir de intervale interv ale ˆınchise ınchise de numere reale reale care satisfac satisf ac condit ¸ia I ¸ia I n+1 n N, atunci atunci intersec intersect ¸ia t lor este nevid˘ a. Dac˘ Dac˘ a, ˆın plus, plus , lim (bn n→∞ intersect ¸ia const˘ a dintr-un singur punct.

∈

⊂ I n, pentru orice − an) = 0, atunci

Teorema 2.8 (Lema lui Cesaro) Un ¸sir si r m˘ arginit de numere reale cont ¸ine un sub¸sir sir

convergent. S ¸irul ¸i rul de numere reale ( xn ) se nume¸ num e¸ste ste ¸sir sir fundame fund amenta ntal l sau ¸sir si r Cauch Cau chy y dac˘ a

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N

| − xn| < ε, ∀ n,m > N.

pentru care d(xn , xm ) = xm

(2.1)

Aceast˘ a definit¸ie ¸ie este echivalent˘a cu urm˘atoarea: atoarea: S¸irul ¸i rul de numere reale ( xn ) se nume¸ num e¸ste ste sir fundamental sau ¸sir sir Cauchy Cau chy dac˘ a

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care d(xn , xn+ p ) = |xn+ p − xn | < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N.

(2.2)


21

Teorema 2.9 Orice ¸sir sir fundamental fundamen tal este m˘ arginit.

 Dac˘ a (xn ) este ¸sir sir fundamental, din (2.2), pentru ε = 1, 1 , rezult˘ rezu lt˘a c˘a

|xm − xn| < 1 ∀ m,n > N = N (1) N (1),, de unde, pentru n = N + 1, obt¸inem ¸inem

|xn| = |(xn − xN +1 +1 ) + xN +1 +1 | ≤ |xn − xN +1 +1 | + |xN +1 +1 | < 1 + |xN +1 +1 |, ∀ n ∈ N. Fie M = max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xN |, 1 + |xN +1 Atuncii |xn | ≤ M , M , pentru orice N +1 |} > 0. Atunc n ∈ N ¸si si deci de ci (xn ) este m˘arginit. arginit.  Teorema 2.10 (Criteriul lui Cauchy) Un ¸sir sir de numere reale este convergent convergent d.d.

este est e ¸sir sir Cauchy. Cauc hy.  Necesitatea. Dac˘ a (x (xn ) este convergent convergent la x, oricare ar fi ε > 0, exist˘a un N ( N (ε) N a.ˆı. xn x < ε/2, ε/ 2, pentru orice n > N . N . De aici rezult˘a c˘a pentru orice m,n > N putem scrie ε ε xm xn xm x + xn x < + = ε 2 2 ¸si si deci dec i (xn) este un ¸sir sir Cauchy. Suficient ¸a ¸a. Dac˘ Dac˘ a (xn ) este un ¸sir sir Cauchy Cauchy, din teorema precedent˘a rezult˘a c˘a este m˘ arginit, iar din Lema lui Cesaro rezult˘a c˘a (x arginit, ( xn ) cont¸ine ¸ine un sub¸sir sir convergent. co nvergent. Fie acesta a cesta (xnk )k∈N ¸si fie x limita sa. Deoarece xnk x

∈

| − |

| − |≤| − | | − | →

∀ ε > 0, ∃ K (ε) ∈ N pentru care |xn − x| < 2ε , ∀ nk > K. k

Pe de alt˘a parte, deoarece (x ( xn ) este ¸sir sir Cauchy ε ∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care |xn − xm | < , ∀ n,m > N. 2 Fie N  = max{N, K }. Pentru n, nk > N  putem scrie |xn − xn | < 2ε , |xn − x| < 2ε , k

k

de unde rezult˘a

|xn − x| ≤ |xn − xn | + |xn − x| < 2ε + 2ε = ε, ∀ n > N  , k

k

deci ¸sirul sir ul (xn ) converge la x. 

2.2

S ¸ iru iruri ri ˆın spat s pat¸ii ¸ii metrice

Fie (X, (X, d) un spat¸iu ¸iu metric metr ic ¸si si (xn ) un u n ¸sir sir de puncte din X . Definit ¸ia ¸ia 2.3 Spunem c˘ a ¸siru si rul l (xn ) converge la x X dac˘ a oricare ar fi o vecin˘ atate V a lui x, exist˘ a un N ( N (V ) V ) N a.ˆı. ı. pentru pentr u orice n > N , N , xn V . V .

∈

∈

∈


→ x dac˘a ∀ V ( V (x), ∃ N ( N (V ) V ) ∈ N pentru care n > N ⇒ xn ∈ V ( V (x).

22

Prin urmare, xn

(2.3)

Punctul x se nume¸ nume¸ste st e limita ¸sirul si rului ui (xn ) ¸si si se noteaz˘ note az˘a lim xn = x sau xn

n

→∞

→ x.

Aceast˘ a definit¸ie ¸ie este echivalent˘a cu urm˘atoarea: atoa rea: Definit ¸ia ¸ia 2.4 S ¸ irul (xn ) este convergent la x dac˘ a ˆın afara oric˘ oric ˘ arei vecin˘ at˘ at ¸i a punc-

tului x se afl˘ a un num˘ ar finit de termeni ai ¸sirului sirului (xn ). S ¸ irul ru l (xn ) se nume¸ nume ¸ste ste divergent dac˘ a nu este convergent.

→ x este ca n > N =⇒ d(x, xn ) < ε.

Teorema 2.11 Condit ¸ia necesar˘ a ¸si si suficien sufic ient˘ t˘ a ca xn

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pent pentru ru care (2.4)  Dac˘ a xn → x, fie, pentru un ε > 0 arbitrar, V ( V (x) = S (x, ε). Din (2.3) (2.3) rezul rezult˘ t˘ a atunci (2.4), deoarece xn ∈ S (x, ε) este echivalent˘a cu d(x, xn ) < ε. ε. Reciproc, oric˘arei arei vecin˘at˘ at˘ at a¸i ¸ti V ( V (x) ˆıi corespunde corespu nde un ε > 0 a.ˆı. S (x, ε) ⊂ V ( V (x). Din Din (2.4) rezult˘a atunci c˘a pentru n > N , N , xn ∈ S (x, ε) ¸si si deci de ci xn ∈ V ( ad ic˘a xn → x.  V (x), adi S¸ irul ir ul (xn ) se nume¸ num e¸ste ste m˘ arginit dac˘ a mult¸imea ¸imea valorilor sale este m˘arginit˘ arginit˘ a. a.

Teorema 2.12 (Propriet˘ at ¸i ale ¸ sirurilor sirurilo r convergente)

10 . Limita unui ¸sir sir convergent este es te unic˘ a. 20 . x n x d.d. d(x, xn ) 0. 30 . (Criteriul (Criteriul major˘ major˘ arii) arii) Dac˘ a exist˘ a un x X ¸si si un ¸sir sir de numere reale (αn ), αn 0, a.ˆı. d(x, xn ) αn , pentru orice n > N , N , atunci xn x. 40 . Orice sub¸sir sir al unui ¸sir sir convergent este convergent. 50 . Un ¸sir sir convergent este m˘ arginit. arginit. Recipro Reciproca ca nu este adev˘ arat˘ a.

→

→

→

∈

≤

→

S¸ irul ir ul (xn ), xn

∈ (X, d), se nume¸ num e¸ste st e ¸sir sir fundame fund amenta ntal l sau ¸sir sir Cauchy Cau chy dac˘ a ∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care d(xn , xm ) < ε, ∀ n,m > N.

(2.5)

sau echivalent: echivalent: S¸ irul ru l (xn) se nume¸ nume ¸ste ste ¸sir sir fundamen fund amental tal sau ¸sir si r Cauch Cau chy y dac˘a

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care d(xn , xn+ p ) < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N. Teorema 2.13 Orice ¸sir sir fundamental fundamen tal este m˘ arginit.

 Dac˘ a (xn ) este est e ¸sir sir fundamental, fundame ntal, din (2.6) pentru ε = 1 rezult˘a c˘ a d(xn , xn+ p ) < 1,

∀ n ≥ N, N = N (1) N (1),, p = 1, 1 , 2, . . . .

In particular, pentru n = N , N , obt¸inem ¸inem d(xN , xN + N + p ) < 1, p = 1, 2, . . .

(2.6)


{

23

}

Fie M = max d(xN , x1 ), d(xN , x2 ), . . . , d( d(xN , xN −1 ), 1 . Rezult˘a atunci atu nci c˘a d(xN , xn )

≤ M, ∀ n ∈ N

¸si si deci de ci ¸siru si rull este est e m˘arginit. arginit.  Reciproca Reciproca teoremei teoremei nu este adev˘ arat˘ arat˘ a. a. Teorema 2.14 Orice ¸sir sir convergent este ¸sir sir fundamental. fundamen tal.

 Dac˘ a xn c˘a

→ x, ∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N a.ˆı. n > N =⇒ d(x.xn ) < ε/2 ε/2. De aici rezult˘a ε ε d(xn , xm ) ≤ d(x, xn ) + d(x, xm ) < + = ε, ∀ n,m > N, 2 2

adic˘a (xn ) este ¸sir sir Cauchy. Cau chy.  Reciproca acestei teoreme nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a. Exist˘ Exist˘ a spat¸ii ¸ii metrice ˆın care nu orice ¸sir sir Cauchy Cauc hy este est e ¸sir sir convergent conve rgent ..

|−| ∈

Exemplul 2.1 Fie (Q, d) spat ¸iul metric al numerelor rat ¸ional ¸ion ale, e, ˆın care d(x, y) = x y , pentru orice x, y Q. S ¸ irul ir ul (xn ), xn = (1 + 1/n 1/n))n Q, n N, este un ¸sir sir Cauchy deoarece (xn ) considerat considerat ca ¸sir sir de numere reale este convergent, convergent, xn e. Dar e / Q. Deci, Dec i, de¸si si (xn ) este un ¸sir sir fundamental de numere din Q, el nu are limit˘ a ˆın Q.

∈

∈

∈

→

Un spat¸iu ¸iu metric ˆın care orice ¸sir sir Cauchy este convergent se nume¸ste ste spat ¸iu metric complet . Exemplul 2.2 Din Teorema 2.10 (Criteriul lui Cauchy) rezult˘ a c˘ a mult ¸imea R a nu-

merelor reale este un spat ¸iu metric complet. Exemplul 2.3 Mult ¸imea Q a numerelor rat ¸ionale nu este spat ¸iu metric complet.

O mult¸ime ¸ime A de puncte dintr-un spat¸iu ¸iu metric metr ic se nume¸ nu me¸ste ste compact˘ a dac˘ a orice ori ce ¸sir sir de puncte din A cont¸ine ¸ine un sub¸sir sir convergent convergent la un punct din A. Exemplul 2.4 Un interval m˘ argin arg init it ¸si si ˆınch ın chis is [a, b] de numere reale este o mult ¸ime com-

pact˘ a, conform Lemei lui Cesaro. Teorema 2.15 O mult ¸ime A

⊂ X compact˘ a este m˘ arginit˘ a ¸sisi ˆınch ın chis is˘ ˘ a.

Reciproca acestei teoreme nu este adev˘arat˘ a. a. Exist˘ Exist˘ a spat¸ii ¸ii metrice ˆın care nu orice mult¸ime ¸ime m˘argint˘ argint˘ a ¸si si ˆınch ın chiis˘a este compact˘a. a. Teorema 2.16 Orice spat ¸iu metric compact este complet.

 Avem de ar˘atat atat c˘a ˆıntr-un ıntr- un spat spa ¸iu ¸t iu metric compact este adev˘arat˘ arat˘ a reciproca Teoremei 2.14, adic˘a orice ¸sir sir fundamental de puncte dintr-un di ntr-un spat¸iu ¸iu metric compact este convergent. Dac˘a (xn ) este un ¸sir sir Cauchy de puncte din spat¸iul ¸iul metric compact X , (xn) cont¸ine ¸ine un sub¸sir sir convergent. convergent. Fie acesta ( xnk )k∈N ¸si fie x X limita sa. Deoarece xnk x

∈

∀ ε > 0, ∃ K (ε) ∈ N

ε pentru care d(x, xnk ) < , nk > K. 2

∀

→


24

Pe de alt˘a parte, deoarece (x ( xn ) este ¸sir sir Cauchy Cau chy ε ∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care d(xn , xm ) < , ∀n,m > N. 2 Fie N  = max{N, K }. Pentru n, nk > N  putem scrie d(xn , xnk ) <

ε ε , d(x, xnk ) < , 2 2

de unde rezult˘a

≤ d(x, xn ) + d(xn, xn ) < 2ε + 2ε = ε, ∀ n > N  ,

d(x, xn )

k

k

deci ¸sirul sir ul (xn) converge la x.  Un spat¸iu ¸iu liniar normat (V, ( V, ) se nume¸ num e¸ste ste spat ¸iu Banach dac˘ a este spat¸iu ¸iu metric complet ˆın ın raport cu metrica indus˘a de norm˘a. a. Un spat¸iu ¸iu euclidian complet ˆın metrica euclidian˘a se nume¸ num e¸ste st e spat ¸iu Hilbert .

||·||

2.3

Prin Pr inci cipi piul ul co con ntr trac act ¸ ¸iei tiei

→ X , a spat ¸iului ¸iului metric X pe el ˆınsu¸ ıns u¸si, si, contract¸ie ¸ie a lui X dac˘ a exist˘ a q ∈ (0, (0, 1) a.ˆı. d(ϕ(x), ϕ(y)) ≤ q d(x, y ), ∀x, y ∈ X. Definit ¸ia ¸ia 2.5 Aplicat ¸ia ϕ : X

se nume¸ nu me¸ste st e (2.7)

Num˘ arul q se nume¸ num e¸ste st e coeficient de contract¸ie. ¸ie. Definit ¸ia ¸ia 2.6 Punctul ξ

ϕ(ξ ) = ξ .

∈

X se nume¸ nu me¸ste st e punct fix al aplica aplicat ¸iei t ϕ : X

→

X dac˘ a

Deci un punct fix al aplicat¸iei ¸iei ϕ este o solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei ϕ(x) = x. Teorema 2.17 (Principiul contract contract ¸iei) O contract ¸ie a unui spat ¸iu metric metric complet complet

(X, d) are un punct fix ¸si si numai unul.  Unicitatea. Dac˘ Da c˘a ξ1 ¸si si ξ2 sunt puncte fixe ale contract¸iei ¸iei ϕ, adic˘a ϕ(ξ1 ) = ξ1 ¸si si ϕ(ξ2 ) = ξ2 , atunci

≤ d(ξ1, ξ2) = d(ϕ(ξ1), ϕ(ξ2)) ≤ q d(ξ1, ξ2). De aici obt¸inem ¸inem c˘a (1 − q) d(ξ1 , ξ2 ) ≤ 0, ceea ce implic˘a d(ξ1 , ξ2 ) = 0, echivalent cu ξ1 = ξ2 . Existent ¸a ¸a. Pornind de la un x0 ∈ X arbitrar, arbitra r, construim construi m ¸sirul sirul 0

x0 , x1 = ϕ (x0 ) , . . . , x n = ϕ(xn−1 ), . . . . Aces Ac estt ¸sir si r se nume¸ num e¸ste st e ¸sirul si rul aproxi apro ximat mat ¸iilor succesive, succesive , x0 se nume¸ num e¸ste st e aproximat ¸ia de ordinul zero sau punctul de start, iar xn se nume¸ nume¸ste st e aproximat ¸ia de ordinul n.


25

Fie δ = d(x0 , x1 ). Dac˘ Dac˘ a δ = 0, atunci x0 = x1 = ϕ(x0 ), adic˘a x0 este punctul fix al aplicat¸iei ¸iei ϕ ¸si si demonstr demo nstrat at¸ia ¸ia este ˆıncheiat ınch eiat˘˘a. a . S˘ a presupunem c˘a δ > 0. Atunci, Atunci, pentru pentru orice n N are loc inegalitatea

∈

d(xn , xn+1 )

≤ qn δ.

Intr-adev˘ar, ar, pentru n = 0 este adev˘arat˘ arat˘ a. a. Procedˆ Proce dând and prin p rin induct¸ie, ¸ie, g˘asim asim c˘a d(xn+1 , xn+2 ) = d(ϕ(xn ), ϕ(xn+1 ))

≤ q d(xn, xn+1) ≤ qn+1 δ.

S ¸ irul (xn ) este convergent . In ade adev˘ v˘ ar, folosind inegalitatea triunghiular˘a ¸si ar, si inegali ineg ali-tatea precedent˘a, a, pentru p N arbitrar putem scrie succesiv

∈

≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+ p) ≤ · · · ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · · + d(xn+ p−1, xn+ p) ≤ n ≤ δq n(1 + q + q2 + · · · + q p−1) = 11−−qq < 1 −δ q qn. d(xn , xn+ p )

A¸sadar

d(xn , xn+ p ) <

δ

qn , ∀n ∈ N, ∀n ∈ N. − 1 q

(2.8)

Deoarece q n 0, ¸sirul sir ul (xn ) este est e ¸sir sir Cauchy. X fiind spat¸iu ¸iu metric complet, rezult˘a c˘ a (xn ) este convergent. Fie ξ limita sa, adic˘a

→

lim xn = ξ sau

n

→∞

lim d(ξ, xn ) = 0.

n

→∞

Punctul ξ este punct fix al contract ¸iei ϕ. In ade adev˘ v˘ ar, a r, din (2.7) (2.7) rezult˘a c˘a ϕ este o aplicat¸ie ¸ie continu˘a, a, deoarece din y x urmeaz˘ a ϕ(y ) ϕ(x). Avem atunci

→

→

ϕ(ξ ) = ϕ( lim xn ) = lim lim xn+1 = ξ, deci ϕ(ξ ) = ξ.  n

→∞

n

→∞

Teorema precedent˘a se mai nume¸ nume ¸ste st e ¸si si teorema de punct fix a lui Banach . Me Metod todaa de demonstrat¸ie ¸ie folosit˘a se nume¸ nume ¸ste ste metoda aproximat ¸iilor succesive. succesive . Ea ne permit permitee s˘a aproxim˘am am solut¸ia ¸ia exact˘a cu xn . Pent Pentru ru estimarea estimarea erorii metodei , s˘ a facem ˆın (2.8), pentru n fixat, p , obt¸inem ¸inem

→∞

d(ξ, xn ) <

2.4 2. 4

δ

1

n − q q , ∀n ∈ N.

S ¸ ir irur urii ˆın R p

Un ¸sir sir de vectori (xn )∈N din R p , xn = (x1n , x2n , . . . , x pn ), pentru orice n N, determin˘a ˆın mod unic ¸sirurile siruri le de numere numer e reale re ale ( xkn )n∈N , k = 1, p. Acestea se numesc ¸siru si ruri rile le componente ale ¸sirului sirulu i de vectori vec tori (xn ).

∈


26

Leg˘atura atura dintre ¸sirul sirul de vectori ( xn ) ¸si si ¸siruri sir urile le component comp onentee ( xkn )n∈N , k = 1, p, este dat˘ a de teorema urm˘atoare. atoare. Teorema 2.18 Fie (xn ) un ¸sir sir de vectori din R p . 10 . S ¸irul ¸i rul de vectori vecto ri (xn ) este m˘ arginit d.d. d.d . ¸sirurile sirurile componente (xkn )n∈N , k = 1, p sunt m˘ arginite. 20 . S ¸irul ¸ir ul de vectori (xn ) converge converge la x0 = (x01 , x02 , . . . , x p0 ) R p d.d. xkn xk0 , k = 1, p, cˆ and n . 0 3 .S ¸ irul de vectori vector i (xn ) este ¸sir sir Cauchy d.d. ¸sirurile sirurile (xkn )n∈N , k = 1, p sunt sun t ¸sirur sir uri i Cauchy.

∈

→∞

→

Studiul ¸sirurilor siruri lor de d e vectori din R p se reduce la studiul ¸sirurilor sirurilor componente. 0 0 Propriet˘ at a¸ile ¸tile 2 ¸si 3 din teorema precedent˘a arat˘a c˘a spat¸iul ¸iul R p este un spat ¸iu metric complet ˆın metrica euclidian˘ euclidi an˘a, a, adic˘a un spat ¸iu Hilbert . Teorema 2.19 (Lema lui Cesaro) Un ¸sir si r m˘ arginit din R p cont ¸ne un sub¸sir sir conver-

gent. Teorema 2.20 Mult ¸imea A

⊂ R p este compact˘ a d.d. este m˘ arginit˘ a ¸sisi ˆınch ın chis is˘ ˘ a.

a, dup˘a Teorema 2.15 este m˘arginit˘  Mult¸imea ¸imea A fiind compact˘a, arginit˘a ¸si si ˆınch ın chiis˘a. a. Reciproc, fie (xn ) un u n ¸sir sir de vectori din A. Mult¸imea ¸imea A fiind m˘arginit˘ arginit˘ a, a, ¸sirl si rl (xn ) este m˘ argini arginit. t. Deci, Deci, dup˘ a Lema lui Cesaro, cont¸ine ¸ine un sub¸sir sir convergent. Limita acestui sub¸ su b¸sir si r este es te ˆın A deoarece A este est e ˆınchi ın chis˘ s˘a. a. Prin urmare, orice ¸sir sir de vectori din A cont¸ine ¸ine un sub¸ s ub¸sir sir convergent la l a un vector din d in A, adi ad ic˘a A este compact˘a. a.

2.5 2. 5 2.5.1

Seri Se riii de de num numer ere e rea reale le Serii converge convergente. nte. Propriet˘ Propriet˘ at a¸i t generale

Fie (a (an ) un ¸sir sir de numere numer e real r ealee ¸si si ( sn ) ¸siru si rull s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , s n = a1 + a2 +

· · · + an, . . .

(2.9)

Perechea de ¸siruri siruri ((a ((an ), (sn )) se nume¸ num e¸ste ste serie de numere reale ¸si si se noteaz˘ note az˘a a1 + a2 +

· · · + an + · · · sau

∞



n=1

an sau



an .

(2.10)

S¸ irul ir ul (an ) se nume¸ste ste ¸sirul siru l termen ter menilor ilor seriei, iar ¸sirul sirul (sn ) se nume¸ste ste ¸sirul siru l sumelor sume lor part ¸iale. ¸iale. Din definit¸ia ¸ia precedent˘a rezult˘a c˘a seria (2.10) determin˘a ˆın mod unic uni c ¸sirul sir ul (sn ) al sumelor part¸iale. ¸iale. Recipro c, dat ¸sirul sirul (s ( sn ), exist˘a o serie care are ca ¸sir sir al sumelor part¸iale ¸iale ¸siru si rull (sn ). Termenul general al ¸sirului sirului termenilor acestei serii este an = sn sn−1 ¸si si deci de ci aceast˘ a serie este s1 + (s (s2 s1 ) + + (s (sn sn−1 ) + (2.11)

−

−

···

¸si si se nume nu me¸¸ste st e seria telescopic˘ a a ¸sirulu sir uluii (sn ).

−

···


27

Aceast˘ a leg˘atur˘ atur˘ a dintre d intre ¸siruri sir uri ¸si si serii seri i justi j ustific˘ fic˘a o mare parte a definit¸iilor ¸iil or care urmeaz˘ urme az˘a. a. Seria an este convergent˘ a ¸ a ¸si are ar e suma s, dac˘a ¸siru si rull (sn ) este e ste convergent ¸si si are limita s. In acest caz scriem ∞ n





an = s = lim n

n=1



→∞



(2.12)

ak .

k=1

→ ±∞

Seria an este divergent˘ a dac˘ a ¸sirul si rul (sn ) este diverge divergent. nt. Dac˘ a sn spun sp unem em c˘a suma seriei este . Dac˘a (sn ) nu are limit˘a se spune c˘a seria este oscilant˘ a . Din definit defini¸ia ¸tia precedent˘a ¸si si Teorema 2.2 2. 2 rezult˘a

±∞

Teorema 2.21 Seria



an este convergent˘ a la s d.d.

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N

| − s| < ε, ∀ n > N.

pentru care sn

(2.13)

T ¸ inand aˆnd seama de observat¸ia ¸ia precedent˘a, a, rezul rez ult˘ t˘a c˘ c ˘a un ¸sir sir (sn ) este convergent ¸si are limita s d.d. seria telescopic˘a (2.11) este convergent˘a ¸si si are limita lim ita s. Teorema 2.22 (Criteriul general al lui Cauchy) Seria

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N

|

pentru care an+1 + an+2 +



an este convergent˘ a d.d.

· · · + an+ p| < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N.

(2.14)

 Dac˘a (sn ) este es te ¸sirul sirul sumelor part¸iale ¸iale ale seriei, atunci pentru orice n, p scrie sn+ p sn = an+1 + an+2 + + an+ p .

−



∈ N putem

···

Seria an este convergent˘a d.d. ¸sirul sirul (sn ) este convergen convergent. t. Dar (s ( sn ) este convergent d.d. este ¸sir sir fundamenal, adic˘a

∀ ε > 0, ∃ N (ε) ∈ N pentru care |sn+ p − sn| < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N. Inlocuind Inlocuind aici diferent diferent¸a ¸a sn+ p − sn cu expresia precedent˘a obt¸inem ¸inem (2.14).  Consecint ¸a ¸a 2.1 Dac˘ a pentru seria

αn



an se poate poate indica un ¸sir sir de numere pozitive (αn ),

→ 0 ¸sisi un num˘ nu m˘ ar natural N a.ˆı. |an+1 + an+2 + · · · + an+ p| < α n, ∀ n > N, ∀ p ∈ N,

atunci seria



an este convergent˘ a.

Prin natura unei serii ˆınt¸elegem ¸elegem caracterul ei de a fi convergent˘a sau divergent˘a. a. Natura unei serii coincide cu natura ¸sirului sumelor ei part¸iale. ¸iale. Exemplul 2.5 Seria

1 1 2

·

+

1 2 3

·

+

· · · + n(n1+ 1) + · · · =

∞

1 n(n + 1) n=1



este convergent˘ a ¸si s = 1. 1 . In adev˘ adev ˘ ar, ar, sn =

1 1 2

·

+

1 2 3

·

+

···

1 + = n(n + 1)

n

 k=1

1 k

−

1 k+1



=1

− n +1 1 → 1.

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Exemplul 2.6 Seria

1 1 1+ + + 2 3

···

1 + + n

28

∞ 1



··· =

n=1

≥

n

se nume¸ nu me¸ste st e seria armonic˘a, deoarece pentru n 2, an este media armonic˘ a a termenilor vecini an−1 ¸si si an+1 . Aceast˘ Aceast˘ a serie este divergent˘ a ¸si si are suma su ma + . In adev˘ ar, ar , ¸siru si rul l (sn ) al sumelor part ¸iale este strict cresc˘ ator ¸si si divergent dive rgent,, deoarece deoarece

∞

|s2n − sn| = n +1 1 + n +1 2 + · · · + 21n ≥ 12 , sir fundamental. Deci lim sn = +∞. ceea ce arat˘ a c˘ a (sn ) ne este ¸sir Exemplul 2.7 Seria n 1

1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1) − + · · · =

∞

−

( 1)n−1

n=1

este divergent˘ a. Ea este o serie oscilant˘ a deoarece ¸sirul sir ul (sn ) al sumelor part ¸iale este est e ¸sirul siru l oscilant: 1, 0, 1, 0, . . .. Exemplul 2.8 Seria 2

n 1

1+ q + q + ··· +q − + ··· =

∞



q n −1 , q

n=1

∈R

se nume¸ nu me¸ste st e seria geometric˘a deoarece deoarece ¸siru si rul l (an ), an = q n−1 , este o progresie geometric˘ a cu rat ¸ia ¸ia q. Natur Natura a aceste acesteii serii serii depinde depinde de valori valorile le lui q. S ¸irul ¸irul sumelor part ¸iale ¸iale are termenul general 2

n 1

sn = 1 + q + q + · · · + q − = Obt ¸inem lim sn =

n

→∞

≤− ||





1 qn 1 q ,

− −

n,



q = 1, 1, q = 1. 1.

1 1 q,

|q| < 1, +∞, q ≥ 1. −

Pentru q 1 ¸sirul (sn ) nu are limit˘ a. Astfel, Astfel, seria geometri geometric˘ c˘ a cu rat ¸ia q este convergent ge nt˘ ˘ a pentru pent ru q < 1 ¸si si are suma sum a 1/(1 q ) ¸si si diverge div ergent nt˘ ˘ a pentru q 1.

−

| |≥

        

Fie seriile (A (A) an ¸si (B ) bn ¸si si λ un num˘ar ar real. Numim sum˘ a a seriilor (A (A) ¸si si (B ) seria (an + bn ). Numim produs al seriei (A (A) cu scalarul λ seria (λan ). Deci:

∞

n=1

an +

∞

n=1

bn =

∞

(an + bn ), λ

n=1

∞

n=1

an =

∞

(λan ).

n=1


29

Teorema 2.23 Dac˘ a seriile (A) ¸si si (B ) sunt convergente, având and sumele s ¸si si respect res pectiv iv σ ,

atunci 10 . Seria (λan + µbn ) este convergent˘ a ¸si si are suma sum a λs + µσ, µσ, oeicare ar fi λ, µ 0 2 . Dac˘ a an bn , pentru orice n N, atunci s σ .



≤

∈

≤

∈ R.

 10 . Fie (s (sn ) ¸si si respectiv respec tiv (σn ) ¸sirurile siruri le sumelor part¸iale ¸iale ale celor dou˘a serii seri i ¸si si S n = λsn + µσn . Atunci lim S n = lim (λsn + µσn ) = λ lim sn + µ lim σn = λs + µσ.

n

→∞

n

n

→∞

→∞

20 . Din an bn urmeaz˘ a sn rezult˘a s σ. 

≤

≤

n

→∞

≤ σn, pentru orice n ∈ N, de unde prin trecere la limit˘a

Teorema 2.24 10 . Dac˘ a ˆıntr-o serie se schimb˘ a ordinea unui num˘ ar finit de termeni,

se obt ¸ine o serie care are aceea¸ aceea¸si si natur˘a cu seria dat˘ a. Dac˘ a seria dat˘ a are sum˘ a, seria obt ¸inut˘ a are aceea¸si si sum˘ a. 20 . Dac˘ a la o serie se adaug˘ a sau se ˆınl˘ ınl˘ atur˘ a un num˘ar ar finit fin it de termeni, termen i, seria se ria obt ¸inut˘ a are aceea¸si si natur˘ nat ur˘ a cu seria dat˘ a. Dac˘a seria se ria dat˘ a este convergent˘ a, sumele celor dou˘ a serii, ˆın ın general, nu n u coincid. Dac˘ a seria dat˘ a este divergent˘ a cu suma , seria obt ¸inut˘ a are suma . 30 . Dac˘ a termenii unei serii, cu suma finit˘ a sau infinit˘ a, se asociaz˘ a ˆın grupe gr upe a¸sa sa fel f el ˆıncˆ ın cˆ at at fiecare grup˘ a s˘ a cont ¸in˘ a un num˘ ar finit fin it de termeni termen i consecutivi ¸si fiecare termen s˘ a apart ¸in˘ a la o singur˘ a grup˘ a, atunci seria ce are ca termen general suma termenilor dintr-o grup˘ a are aceea¸si si natur˘ nat ur˘ a ¸si si aceea¸si sum˘ su m˘ a cu seria dat˘ a.

±∞

±∞

 10 . Prin schimbarea ordinii unui num˘ar ar finit de termeni ai seriei, se modific˘a un num˘ar ar finit de termeni ai ¸sirului sirului sumelor sale part¸iale, ¸iale, ceea ce nu modific˘a natura sa. 0 2 . Prin ad˘augarea augarea sau ˆınl˘aturarea aturarea unui num˘ar ar finit fini t de termeni, te rmeni, ¸sirul sirul sumelor part¸iale ¸iale se modific˘a cu o cantit cantitate ate consta constant nt˘˘a (suma (suma terme termenilo nilorr ad˘ augat augat¸i ¸i sau ˆınl˘ ınl aturat a˘turat¸i), ¸i), deci natura natura sa nu se modific˘ modific˘a. a. Dac˘a acest ¸sir sir este convergent, limita sa se modific˘a cu aceast˘a cantitate constant˘a. a. 0 3 .S ¸ irul iru l sumel s umelor or part p art¸iale ¸iale ale seriei obt¸inute ¸inute este un sub¸sir sir al ¸sirului sirulu i sumelor part¸iale ¸iale ale seriei date ¸si si deci are aceea¸si si natur˘a ¸si si limi li mit˘ t˘a cu aceas ac easta. ta.  Fie an o serie convergent˘a ¸si s suma sa. Num˘arul arul



rn = s

− sn =

∞



k=n+1

ak , n

∈ N,



se nume¸ nume ¸ste ste restul restul de ordinu ordinul l n al seriei seriei conver convergen gente te an, iar (r (rn ) se nume¸ste ste ¸sirul resturilor seriei. S ¸irul ¸irul resturilor seriei este convergent la zero. Teorema 2.25 10 . S ¸irul ¸i rul sumelor sum elor part ¸iale ale unei serii convergente este m˘ arginit.

20 . S ¸irul ¸irul termenilor unei serii convergente convergente este convergent convergent la zero. 0 3 . Dac˘ a ¸sirul sirul termenilor unei serii nu converge la zero, atunci seria este divergent˘ divergent˘ a.  10 . O serie este convergent˘a dac˘a ¸sirul sirul sumelor sale part¸iale ¸iale este convergent, deci m˘arginit. arginit.


30

20 . Afirmat¸ia ¸ia rezult˘a din egalitatea an = sn sn−1 , pentru orice n > 1. 0 3 . Rezult˘ a prin reducere la absurd, t¸inˆ ¸inând and seama de 2 0 .  0 0 Reciprocile afirmat¸iilor ¸iilor 2 ¸si 3 nu sunt adev˘arate. arate.

−

Studiul seriilor comport˘a dou˘a probleme: stabilirea naturii unei serii ¸si, si, ˆın caz de ¸ii convergent¸˘ ¸a, a˘, calculul calculul sumei. sumei. In cele ce urmeaz urmeaz˘˘a vom stabili câteva ateva criterii (condit¸ii suficiente) de convergent¸˘ ¸a. a˘.

2.5.2 2.5.2

Serii Serii cu terme termeni ni pozitiv pozitivii

Definit ¸ia ¸ia 2.7 O serie se rie se nume¸ num e¸ste ste serie cu termeni pozitivi dac˘ a, ˆıncep ın cepˆ ând and cu un anumit

rang, tot ¸i termenii s˘ ai sunt pozitivi.



T ¸ inand aˆnd seama seama de Teorema eorema 2.24, se poate considera considera c˘ a seria an este cu termeni pozitivi pozitivi dac˘ a an > 0, pentru orice n N. S ¸irul ¸i rul sumelor sume lor part¸iale ¸iale ale unei serii cu termeni pozitivi este monoton cresc˘ator.

∈

Teorema 2.26 (Criteriul monotoniei) Dac˘ a ¸sirul sirul sumelor part ¸iale ale seriei cu ter-



meni pozitivi an este m˘ arginit, seria este convergent˘ a, iar dac˘ a este nem˘ arginit, seria este divergent˘ a. S ¸ irul ru l (sn ) fiind monoton ¸si si m˘arginit arginit este convergent.  Teorema 2.27 (Criteriul comparat ¸iei) Fie (A)





an ¸si si (B ) bn dou˘ a serii cu termeni meni pozitiv ozitivi. i. Dac˘ Dac˘ a exist˘ a un num˘ ar natural N a.ˆı. an bn , pentru pentru orice n > N , N , atunci: - dac˘ a seria (B ) este convergent˘ a ¸si si seria ser ia (A) este convergent˘ a; - dac˘ a seria (A) este divergent˘ a ¸si si seria ser ia (B ) este divergent˘ a.

≤

≤

 Fie (s (sn ) ¸si si respectiv respe ctiv (σn ) ¸sirurile siruri le sumelor part¸iale ¸iale ale celor dou˘a serii. Din an bn urmeaz˘ a sn σn , pentru orice n > N . N . Dac˘ a seria (B (B ) este convergent˘a , (σn ) este m˘arginit, arginit, deci, dup˘a criteriul monotoniei, seria (A (A) este convergent˘a. a. Dac˘ a seria (A (A) este divergent˘a, a, (sn ) este nem˘arginit. arginit. Din inegalitatea inegalitatea preceden precedent˘ t˘ a rezult˘a c˘a ¸si (σn ) este nem˘arginit, arginit, deci seria (B (B ) este divergent˘a. a. 

≤

Teorema 2.28 (Criteriul de condensare, Cauchy) Fie (A)



an o serie cu termeni pozitiv pozitivi. i. Dac˘ a ¸siru si rul l (an ) este descresc˘ ator, seria (A) are aceea¸si si natur˘ nat ur˘ a cu seria (D) n n 2 a2 .



si natur˘a cu seriile T ¸ inand aˆnd seama e punctul 3 0 al Teoremei 2.24, seria (A ( A) are aceea¸si (B )

∞



bn = (a1 + a2 ) + (a (a3 + a4 ) + (a (a5 + a6 + a7 + a8 ) +

n=1

cu b1 = a1 + a2 , bn = a2n

1 +1

−

(C )

∞



n=0

+

· · · + a2

n

pentru orice n

≥ 2 ¸si

cn = a1 + (a (a2 + a3 ) + (a ( a4 + a5 + a6 + a7 ) +

···

···


···

31

≥

cu cn = a2n + a2n +1 + + a2n+1 −1 , pentru orice n 0. Deoarec Deo arecee ¸sirul sir ul (an ) este descresc˘ator, ator, avem inegalit˘at a¸ile ¸tile

≥ 12 (2na2

(b) bn

n

), (c) cn

≤ 2na2

n

∀ n ≥ 1.

,

Aplic˘ am criteriul am criteriul comparat comparat¸iei ¸ iei.. Dac˘ Dac˘ a seria (A (A), deci ¸si si (B ) este conver convergen gent˘ t˘a, a , din (b ( b) rezult˘a c˘a seria (D (D) este convergent˘a. a. Dac˘ a seria (A (A), deci ¸si si seria (C ) este divergent˘a, a, din (c (c) rezult˘a c˘ a seria (D (D) este divergnt˘a. a. Reciproc, Reciproc, dac˘ a seria (D (D) este convergent˘a, a , din (b (b) rezult˘a c˘a seria (C (C ), ), deci ¸si si seria (A) este convergent˘a. a. Dac˘ Daca˘ seria (D (D) este divergent˘a, a, din (b (b) rezult˘a c˘a seria (B (B ), deci ¸si (A) este divergent˘a. a.  Exemplul 2.9 Seria

∞

1 nα ,



n=1

∈

α

R, numit˘ numit˘ a seria lui Riemann Riemann sau seria armonic˘ armonic˘ a

generalizat˘ a este: - convergent˘ a pentru α > 1; - divergent˘ a pentru α 1. Intr-adev˘ ar, dac˘ a α a α 0, seria este divergent˘ a deoarec deoarecee ¸sirul sirul termenilor termen ilor ei nu converge la zero. Dac˘ a α > 0, ¸sirul sirul cu termenul termen ul general an = 1/nα este descresc˘ ator ¸si si deci seria s eria lui Riemann Riema nn are acee a ceea¸ a¸si si natur˘ nat ur˘ a cu seria

≤

≤

∞



n=1

2

n

·

∞

 

1 = (2n )α n=1

1

2α−1

n

,

care este o serie geometric˘ a cu rat ¸ia ¸ia q = 21−α > 0, convergent˘ a dac˘ a q = 21−α < 1, adic˘ a a α > 1, ¸si si divergent dive rgent˘ ˘ a dac˘ a q = 2 1−α 1, adic˘ a α 1.

≥

≤



an o serie cu termeni pozitivi. Dac˘ a exist˘ a un num˘ ar natural N a.ˆı. - pentru orice n > N , N , n an q < 1, seria este convergent˘ a; - pentru orice n > N , N , n an q 1, seria este divergent˘ a.

Teorema 2.29 (Criteriul r˘ ad˘ acinii, Cauchy) Fie

√ ≤ √ ≥ ≥

 Aplic˘ am am criteriul comparat¸iei. ¸iei. In primul caz, din enunt¸ avem c˘a an qn , iar seria qn , cu 0 < q < 1 este convergent˘a. a. Deci seria an este convergent˘a. a. In cazul cazul al doilea, n n an q , iar seria q , cu q 1 este divergent˘a. a. Deci seria an este divergent˘a. a. 



≥





≥

≤



Teorema 2.30 (Criteriul (Criteriul r˘ ad˘ acinii cu limit˘ a) Fie seria cu termeni pozitivi

√an = λ :

pentru care exista˘ a lim n→∞ - dac˘ a λ < 1, seria este convergent˘ a; - dac˘ a λ > 1, seria este divergent˘ a; - dac˘ a λ = 1, 1 , caz de dubiu. n

 Din definit¸ia ¸ia limitei rezult˘a c˘a pentru orice ε > 0, exist˘a un N

√ λ − ε < an < λ + ε.



an

∈ N a.ˆı.

n

Dac˘a λ < 1 putem g˘asi asi un ε > 0 a.ˆı. q = λ + ε < 1, adic˘a an < q n , cu q < 1 ¸si si deci seria seri a n este convergent˘ convergent˘ a. a. Dac˘a λ > 1 putem g˘asi asi un ε > 0 a.ˆı. q = λ ε > 1, adic˘a an > q , cu q > 1 ¸si si deci d eci seria este divergent˘a. a. 

−

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Exemplul 2.10 Seria cu termenul general an =

lim

n

√an =

lim

n

→∞

n

→∞

  n



n+1 2n 1

−

n

n

  n+1 2n 1

−

32

este convergent˘ a, c˘ aci

n+1 1 = < 1. n→∞ 2n 1 2

= lim lim

−

Teorema 2.31 (Criteriul raportului, d  Alembert) Fie



an o serie cu termeni poz-

itivi. Dac˘ a exist˘ a un num˘ ar natural N a.ˆı. - pentru orice n > N : N : aann+1 q < 1, seria este convergent˘ a; an+1 - pentru orice n > N : N : an q 1, seria este divergent˘ a.

≤ ≥ ≥

 F˘ ar˘ ar˘ a a restrânge ange generalita generalitatea tea putem putem presupune presupune c˘a inegalit˘at a¸ile ¸t ile din enunt¸ sunt adev˘ arate arate pentru n 1 ¸si si s˘a observ˘am am c˘a

≥

an =

an an−1

· aann−−12 · · · · · aa21 · a1.

In primul caz, din enunt¸ ¸si si egalitatea egalit atea precedent˘a avem c˘a an a1 q n−1 , iar seria q n−1 , cu 0 < q < 1 este convergent˘a. a . Deci Deci seri seriaa an este convergent˘a. a. In cazul cazul al doilea doilea,, n−1 n−1 an a1 q , iar seria q , cu q 1 este divergent˘a. a. Deci seria an este divergent˘ divergent˘a. a. 



≥

≥

≤







Teorema 2.32 (Criteriul raportului cu limit˘ a) Fie seria cu termeni pozitivi an+1 an

pentru care exist˘ a lim =λ: n→∞ - dac˘ a λ < 1, seria este convergent˘ a; - dac˘ a λ > 1, seria este divergent˘ a; - dac˘ a λ = 1, 1 , caz de dubiu.



an

 Se demonstreaz˘a la fel ca la criteriul r˘ad˘ ad˘ acinii. acinii.  Exemplul 2.11 Seria

∞



n=0

1 n!

este convergent˘ a, c˘ aci

an+1 n! 1 = = an (n + 1)! n+1

≤ 21 < 1, n ≥ 1.

Suma acestei serii este e = 2, 2 , 7182818 . . .



an o serie ser ie cu termeni termen i pozitivi. pozitivi . Dac˘a a exist˘ a un ¸sir sir de numere pozitive (kn ) ¸si si un num˘ num ar ˘ natural N a.ˆı. - pentru orice n > N : N : kn anan+1 kn+1 λ > 0, atunci seria an este convergent˘ a; an 1 - pentru orice n > N : N : kn an+1 kn+1 λ 0, iar seria a, kn este divergent˘ atunci seria an este divergent˘ a. Teorema 2.33 (Criteriul lui Kummer) Fie

·



·

−

−

≥

≤ ≤



 F˘ ar˘ ar˘a a restrânge ange generalitatea generalitatea putem putem presupune presupune c˘a inegelit˘at a¸ile ¸t ile din enunt¸ sunt adev˘ arate arate pentru n 1. In primul caz, inegalitatea din enunt¸ se mai scrie

≥

kn an

− kn+1an+1 ≥ λan+1 > 0,


33

de unde rezult˘a c˘a ¸siru si rull (kn an ) este monoton descresc˘ator ato r ¸si si m˘arginit arginit inferior de 0, deci convergent. Fie  limita sa. Prin urmare, seria cu termenul general bn = kn an

− kn+1an+1

este convergent˘a ¸si si are suma k1 a1 . Cum λ > 0, inegalitatea precedent˘a se mai scrie 1 an+1 Aplicˆ and aˆnd criteriul comparat¸iei, ¸iei, deducem c˘a seria an este convergent˘a. a. λ bn . Aplic In cazul al doilea, doilea, din inegalitatea inegalitatea din enunt enunt¸ obt¸inem ¸inem kn an kn+1 an+1 , adic˘a ¸siru si rull kn an este monoton cresc˘ator, ator, deci kn an k1 a1 sau an k1 a1 k1n , pentru orice n 1. Cum 1 seria a, a, deducem c˘a seria an este divergent˘a. a.  kn este divergent˘ In cazul particular kn = n ¸si si λ = r 1 se obt¸ine: ¸ine:

−

≤

≥



≥

−

·

Teorema 2.34 (Criteriul (Criter iul lui Raabe ¸si si Duhamel) Duham el) Fie

≤



itivi. Dac˘ a exist˘ a un num˘ ar natural N a.ˆı. - pentru orice n > N : N : n aann+1 1 r > 1, atunci seria - pentru orice n > N : N : n

 

an an+1

 



− ≥ − 1 ≤ r ≤ 1, atunci seria

an o serie cu termeni poz-

 

an este convergent˘ a; an este divergent˘ a.

Teorema 2.35 (Criteriul lui Raabe Raabe ¸ si si Duhamel cu limit˘ a) Fie

termeni pozitivi pentru care exist˘ a lim n n→∞ - dac˘ a λ > 1, seria este convergent˘ a; - dac˘ a λ < 1, seria este divergent˘ a; - dac˘ a λ = 1, 1 , caz de dubiu.

 − an an+1

≥

1 =λ:



an o serie cu

 Se demonstreaz˘a la fel ca la criteriul r˘ad˘ ad˘ acinii. acinii.  Criteriul Criteri ul lui Raabe ¸si si Duham el se aplic˘a, a, ˆın general, general , ˆın cazul ˆın care criteriul criteri ul lui  d Alembert d˘a dubiu.

2.5.3 2.5.3

Serii Serii cu term termeni eni oareca oarecare re

O serie cu termeni oarecare are o infinitate de termeni pozitivi ¸si o infinitate de termeni negativi. O serie care are tot¸i ¸i termenii negativi, cu except¸ia ¸ia unui num˘ar ar finit, prin ˆınmult¸ire ¸ire cu 1 devine o serie cu termeni pozitivi.

−

Definit ¸ia ¸ia 2.8 Seria cu termeni oarec oarecare are

seria

|

|

an este convergent˘ a.

Teorema 2.36 Dac˘ a seria





an se nume¸ nu me¸ste st e absolut convergent˘ convergent˘ a dac˘ a

an este absolut convergent˘ a, atunci ea este convergent˘ a ¸si

  ∞

n=1

an

  ≤ | | ∞

n=1

|

an .

(2.15)

 Seria modulelor fiind convergent˘a, a, conform criteriului lui Cauchy, p

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care

|

an+k < ε,

k=1

∀ n > N, ∀ p ∈ N.

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA p

Dar

 

34

p

an+k

k=1

 ≤  |

|

∈ N.

an+k , pentru orice n, k

k=1

De unde unde deduc deducem em c˘ a seria

satisface criteriul lui Cauchy. Trecând and la limit˘a ˆın ın inegali ineg alitate tateaa

 n

  ≤ |



an

n

ak

k=1

ak

k=1

|

se obt¸ine ¸ine (2.15). (2.15).  Reciproca teoremei precedente nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a . exis exist˘ t˘ a serii convergente f˘ar˘ ar˘a ca seria modulelor s˘a fie convergent˘a. a. Spre exemplu, dup˘a cum vom vedea mai târziu, arziu, seria

∞

1 ( 1)n−1 , n n=1

−

numit˘a seria armonic˘ a alternant˘ a , este o serie convergent˘a, a, de¸si si seria modulelor, adic˘ a seria armonic˘a, a, este divergent˘a. a. Definit ¸ia ¸ia 2.9 O serie convergent˘ a care nu este absolut convergent˘ a se nume¸ num e¸ste ste semi-

convergent˘a sau simplu convergent˘ convergent˘ a. Seria modulelor unei serii date este o serie cu termeni pozitivi. Criteriile de convergen¸˘ ¸ta˘ pentru serii cu termeni pozitivi se pot p ot folosi ¸si si pentru p entru stabilirea absolutei convergent convergent ¸e a unei serii oarecare. oarecare. Dac˘ a o serie nu este absolut convergent˘a ea poate fi convergent˘a sau divergent˘a. Dam a˘m ˆın continuare un criteriu de convergent ¸˘ a pentru serii cu termeni oarecare. oarecare.



αn an este convergent˘ a dac˘ a (αn ) este un ¸sir sir de numere reale pozitive monoton descresc˘ ator at or ¸si si αn 0, iar

Teorema 2.37 (Criteriul lui Abel-Dirichlet) Abel-Dirichlet) Seria

sn = a1 + a2 +

→

· · · + an

| | ≤ M , pentru orice n ∈ N.

este m˘ arginit, adic˘ a sn

 

 Ar˘ at˘ at˘ am am c˘a seria αn an satisface criteriul general al lui Cauchy. deoarece an+k = sn+k sn+k−1 , putem scrie

−

p

p

αn+k an+k =

k=1



αn+k (sn+k

k=1

− sn+k−1) =

p 1

=

−αn+1sn +

−



(αn+k

k=1

− αn+k+1)sn+k + αn+ psn+ p.

| | ≤ M ¸si (αn) este monoton descresc˘ descresc˘ator, ator, αn+k − αn+k+1 > 0. Prin urmare,

Dar sn

p

 

αn+k an+k

k=1

deoarece αn

→ 0. 

 ≤

M αn+1 + M (αn+1

− αn+ p) + M αn+ p = 2M α n+1 < ε,


¸srul αn =

sin nx nα

este convergent˘ convergent˘ a pentru α > 0. In adev˘ ar, pentru α > 0, este monoton descresc˘ ator la zero, iar

Exemplul 2.12 Seria 1 nα



35

n

sn =



1 nx (n + 1)x 1)x sin , x sin sin 2 2 2

sin kx =

k=1

pentru x = 2kπ 2 kπ,, cu k num˘ num ˘ ar ar ˆıntreg. ın treg. De unde, un de,



|sn| ≤ | sin1 x | , 2

adic˘ a (sn ) este m˘ arginit. Definit ¸ia ¸ia 2.10 Se nume¸ num e¸ste st e serie alternant˘a o serie de forma

α1

− α2 + α3 − α4 + · · · + (−1)n+1αn + · · · ,

ˆın ın care tot to¸i α ¸i t αn sunt numere reale pozitive. Teorema 2.38 (Criteriul lui Leibniz) O serie alternant˘ a este convergent˘ a dac˘ a ¸siru si rul l

(αn ) este monoton descresc˘ ator at or ¸si si αn

→ 0.

 Aplic˘ am am criteriul lui Abel-Dirichlet. Ab el-Dirichlet. S ¸irul ¸irul (αn ) satisface condit¸iile ¸iile cerute de acest criteriu, iar an = ( 1)n+1 , ˆıncˆ nc at aˆt (sn ) este ¸sirul: sirul: 1, 0, 1, 0, . . ., evident m˘arginit. arginit.

−

Exemplul 2.13 Seria armonic˘ a generalizat˘ a (sau seria lui Riemann) alternat˘ a

∞

−

( 1)n+1

n=1

1 nα

a. ˆın ın care care 0 < α 1 este simplu convergent˘ 1 In adev˘ ar, ar , ¸siru si rul l ( nα ) cu α > 0 este monoton descresc˘ ator la zero. Dup˘ a criteriul lui Leibniz seria este convergent˘ a. Pentru α Pentru α > 1 seria este absolut convergent˘ a. In concluzie, pentru 0 < α 1 seria lui Riemann alternat˘ a este simplu convergent˘ a.

≤

≤

2.6

Serii Ser ii ˆın R p

In R p sunt definite sumele finite de vectori, datorit˘a structurii de spat¸iu ¸iu liniar, cât ¸si limitele ¸sirurilor sirurilor de vectori, datorit˘ a structurii de spat¸iu ¸iu normat. Definit¸ia ¸ia convergent¸ei ¸ei unei serii de vectori din R p este complet analoag˘a definit¸iei ¸iei convergent¸ei ¸ei unei serii de numere reale. Fie (an ) un u n ¸sir sir de vectori din R p ¸si (sn ) ¸siru si rull s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + a2 +

· · · + an, . . .

(2.16)


36

Perechea de ¸siruri siruri ((an ), (sn )) se nume¸ nume ¸ste ste serie de de vectori din R p ¸si si se noteaz˘ note az˘a a1 + a2 +

∞



· · · + an + · · · sau

an sau

n=1



an .

(2.17)

S¸ irul ir ul (an ) se nume¸ste ste ¸sirul sir ul termen ter menilor ilor seriei, iar ¸sirul sirul (sn ) se nume¸ste ste ¸sirul siru l sumelor sume lor part ¸iale. ¸iale. Seria an este convergent˘ a ¸si si are ca sum˘ a vectorul s R p , dac˘ a ¸sirul sir ul (sn ) este convergent ¸si si are limita s. In acest caz scriem



∈

n

∞



an = s = lim lim n

→∞

n=1





ak .

(2.18)

k=1

Seria an este divergent˘ a dac˘ a ¸sirul si rul (sn ) este divergent. Deoarece convergent¸a ¸a unui ¸sir sir de vectori din R p se reduce la convergent¸a ¸a celor p n n ¸siruri siruri componente, compone nte, urmeaz˘a c˘a seria de vectori an , ˆın care ca re an = (a1 , a2 , . . . , a pn ) este convergent˘a d.d. seriile de numere reale akn , k = 1, 1 , p, sunt convergente. Multe din rezultatele obt¸inute ¸inute pentru serii de numere reale se ment¸in ¸si si pentru serii de vectori. Teorema 2.39 (Criteriul general al lui Cauchy) Seria an este convergent˘ a d.d.

 

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N

pentru care



||an+1 + an+2 + · · · + an+ p|| < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N.

(2.19)

 Dac˘a (sn ) este e ste ¸sirul sirul sumelor part¸iale ¸iale ale seriei, atunci atunci pentru pentru orice n, p scrie sn+ p sn = an+1 + an+2 + + an+ p .

−

∈ N putem

···



Seria an este convergent˘a d.d. ¸sirul sirul (sn ) este converge convergent. nt. Dar ( sn ) este convergent d.d. este ¸sir sir fundamenal, adic˘a

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N pentru care ||sn+ p − sn || < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N. Inlocuind Inlocuind aici diferent diferent¸a ¸a sn+ p − sn cu expresia precedent˘a, a, obt¸inem ¸inem (2.19). 



Definit ¸ia ¸ia 2.11 Seria de vectori vectori an se nume¸ste ste convergent˘a ˆın norm˘a dac˘ a seria seria an (seria normelor) este convergent˘ a.

 ||

||

Teorema 2.40 Dac˘ a seria

¸si si



an este convergent˘ a ˆın norm no rm˘ ˘ a, atunci ea este convergent˘ a

  ∞

n=1

an

  ≤   || ∞

n=1



an .

(2.20)

 Seria normelor fiind convergent˘a, a, conform criteriului lui Cauchy, p


||

an+k < ε,

k=1

∀ n > N, ∀ p ∈ N.

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Dar

p

 

p

an+k

k=1

∈

   ≤ ||  ||

an+k ,

k=1

pentru orice n, k N. De unde deducem c˘a seria Trecând and la limit˘a ˆın ın inegal ine galitat itatea ea

  n

k=1

se obt¸ine ¸ine (2.20). 

37

   ≤ ||

an satisface criteriul lui Cauchy.

n

ak

k=1

ak

||



Teorema 2.41 (Criteriul major˘ arii) Dac˘ a pentru seria de vectori an exist ex ist˘ ˘ a o serie se rie de numere reale pozitive αn , convergent˘ a ¸si a.ˆı. an αn, pentru orice n N, atunci seria an este convergent˘ a.





|| || ≤

∈

 Pentru demonstrat¸ie ¸ie se folose¸ste ste teorema precedent˘a ¸si si criteriul criteri ul comparat¸iei ¸iei de la serii cu termeni pozitivi. 

Capitolul 3

LIMI LI MITE TE DE FU FUNC NCT T ¸ II 3.1 3. 1

Limi Li mita ta un unei ei fu func nct ¸ ¸ii tii re real ale e de o varia variabi bil˘ l˘ a re real˘ al˘ a

3.1.1

Limita ˆıntr-un ıntr-un punct

Fie f : E

→ R ¸sisi x0 un punct de acumulare al mult¸imii ¸imii E .

Definit ¸ia ¸ia 3.1 Spunem c˘ a num˘ arul real l este limita funct¸iei ¸iei f ˆ f ˆın punctu pun ctull x0 dac˘ a pentru orice vecin˘ atate U a lui l lui l exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x lui x0 a.ˆı. ı. oricare ori care ar fi x = x0 , x V E , s˘ a avem f ( f (x) U ¸si si scrie sc riem m lim f ( f (x) = l.



∈

∈ ∩

x

→x0

Punctul x0 poate poa te s˘a nu apart apa rt¸in˘ ¸in˘a mult¸imii ¸imii E , dar trebuie s˘a fie punct de acumulare pentru E . Atat aˆt x0 cât ¸si l pot fi finite sau infinite, vecin˘at˘ at˘at a¸ile ¸tile V ¸si si U fiind definite corespunz˘ ator. ator. Dac˘a x0 ¸si si l sunt finite, finite, defint¸ia ¸ia precedent˘a este echivalent˘ echivalent˘ a cu definit¸ia ¸ia care urmeaz˘a: a: Definit ¸ia ¸ia 3.2 Spunem c˘ a num˘ arul real l este limita funct¸iei ¸iei f ˆ pun ctull x0 dac˘ a pentru f ˆın punctu

orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ (ε) > 0 a.ˆı. ı. oricare ar fi x s˘ a avem f ( f (x) l < ε. ε.

|

−|

∈ E pentru care |x − x0| < δ ,

Definit¸ia ¸ia limitei unei funct¸ii ¸ii ˆıntr-un ıntr-un punct poate fi formulat˘ fo rmulat˘a ¸si si cu a jutorul jut orul ¸siruri sir urilor lor.. Definit ¸ia ¸ia 3.3 Spunem c˘ a num˘ arul real l este limita funct¸iei ¸iei f ˆ f ˆın punctu pun ctull x0 dac˘ a pentru

orice or ice ¸sir si r (xn ), xn E , x = x0, convergent la x0 , ¸sirul sir ul corespunz˘ corespun z˘ ator al valorilor valorilor funct ¸iei f (xn )) este convergent la l. (f (

∈

3.1.2



Propriet˘ at a¸i ¸ti ale limitei unei funct ¸ii ¸ii

Deoarece limita unei funct¸ii ¸ii ˆıntr-un ıntr-un punct se poate defini cu ajutorul limitei unui ¸sir, sir, o parte dintre propriet˘at a¸ile ¸tile limitelor limitel or ¸sirurilor siruri lor sunt valabile valabi le ¸si si pentru p entru limite l imite de funct f unct¸ii. ¸ii. R ¸si Fie f 1 , f 2 : R, dou˘a funct¸ii ¸ii definite pe E si x0 un punct de acumulare al mult¸imii ¸imii E .

→

⊂

38


39

Teorema 3.1 Dac˘ a funct ¸iile f 1 ¸si si f 2 au limite ˆın punctul x0 , finite fi nite sau infinite infinit e ¸si: si:

1. dac˘ a suma limitelor are sens, atunci funct ¸ia sum˘ a f 1 + f 2 are limit˘ a ˆın punct pun ctul ul x0 ¸si si lim (f 1 (x) + f 2 (x)) = lim lim f 1 (x) + lim lim f 2 (x); x

x

→x0

→x0

x

→x0

·

2. dac˘ a produsul limitelor are sens, atunci funct ¸ia produs f 1 f 2 are limit˘ a ˆın punct pun ctul ul x0 ¸si si lim (f 1 (x) f 2 (x)) = lim lim f 1 (x) lim f 2 (x);

·

x

→x0

· x→x

x

→x0

0

3. dac˘ a câtul atul limitelor are sens, atunci funct ¸ia cât at f 1 /f 2 are limit˘ a ˆın punctul pun ctul x0 ¸si si lim

x

→x0

lim f 1 (x) f 1 (x) x→x0 = ; f 2 (x) lim f 2 (x) x

→x0

4. dac˘ a limita lui f 1 la puterea limila lui f 2 are sens, atunci funct ¸ia ¸ia f 1f 2 are limit˘ a ˆın punctul x0 ¸si si f 2 (x)

lim (f 1 (x))

x

→x0

Teorema 3.2 Fie u : E

→

=



lim f 1 (x)

x

→x0



lim f 2 (x)

x→x0

.

→

F ¸si si f : R dou˘ a funct ¸ii ¸ii ¸si x0 un punct de acumulare al mult ¸imii E , pentru care exist˘ a lim u(x) = u0 , u0 punct de acumulare al mult ¸imii F . F . x

→x0

◦

Dac˘ a exist˘ a lim f (u) = l, atunci funct ¸ia compus˘ a f u : E u

x0 ¸si si

→u0

→ R are limit˘ a ˆın punctul punc tul

◦

lim (f u)(x )(x) = l.

x

→x0

 Funct¸ia ¸ia u avˆ and and limita u0 ˆın punctu pun ctull x0 , urmeaz˘a c˘a pentru p entru orice ori ce ¸sir sir ( xn ) convergent la x0 , ¸siru si rull (un ), cu un = u(xn ), este convergent la u0 Funct¸ia ¸ia f avˆ and and limita l ˆın punctu pun ctull u0 , urmeaz˘a c˘a ¸sirul sirul cu termenul general f ( f (nn ) = f ( f (u(xn )) = (f ( f u)(x )(xn )

◦

este convergent la l.  Pentru Pentru ¸siruri, siruri, criteriul lui Cauchy ne permite s˘a studiem convergent¸a ¸a unui ¸sir sir f˘ar˘ ar˘ aa fi implicat˘a limita acestuia. Definit¸ia ¸ia limitei unei funct¸ii ¸ii cu ajutorul ¸sirurilor sirurilor ne permite s˘a transpunem acest criteriu ¸si si la funct¸ii. ¸ii. Teorema 3.3 (Criteriul (Criteriul lui Cauchy-Bolzan Cauchy-Bolzano) o) Funct ¸ia f are limit˘ a ˆın punctul punc tul x0

d.d. d.d. orica oricarre ar fi ε > 0 exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0 a.ˆ a.ˆı. pentru orice x, x = x0 , x, x V E , s˘ a avem f ( f (x) f ( f (x ) < ε. ε.

∈ ∩

|

−



|

→

→

 Necesitatea. S˘ a presupun pres upunem em c˘a f ( f (x) l când and x x0 , Deci, oricare ar fi ε > 0,  exist˘ a un δ(ε) > 0 a.ˆ a.ˆı. pentru orice x, x V = (x0 δ, x0 + δ ) s˘a avem

∈

|f ( f (x) − l| < ε,

− |f ( f (x ) − l| < ε,

de unde,

|f ( f (x) − f (x )| < |f ( f (x) − l| + |f ( f (x ) − l| < 2ε.


40

∈ E , xn = x0, xn → x0. Conform Conform ipotezei, ipotezei, pentru  orice ε > 0 exist˘a o vecin˘atate atate V a lui x0 a.ˆı. ı. pentr pe ntru u x, x  = x0 , x, x ∈ V ∩ E , s˘ a avem |f ( f (x) − f ( f (x )| < ε. ε. S¸ irul ir ul (xn ) fiind convergent la x0 , exist˘a un N ( N (ε) a.ˆı. ı. pentru pe ntru n,m > N , xn , xm ∈ V ¸si si deci de ci |f (xn ) − f ( f (xm )| < ε. Prin urmare, ¸sirul sirul (f ( f ((xn)) este un ¸sir sir Cauchy de numere Suficient ¸a ¸a. Fie (x (xn ) un ¸sir, si r, xn

reale ¸si si deci are limit˘a. a. Cum ¸sirul sirul (xn ) este arbitrar, deducem c˘a funct¸ia ¸ia f are limit˘a ˆın punctul x0 . 

3.2 3. 2

Limi Li mita ta un unei ei fu func nct ¸ ¸ii tii vec vecto toria riale le de o varia variabi bil˘ l˘ a re real˘ al˘ a

→ Rm, E ⊂ R ¸sisi x0 un punct de acumulare al mult ¸imii ¸imii E . m Definit ¸ia ¸ia 3.4 Spunem c˘ a vectorul l = (l1 , l2 , . . . , lm ) ∈ R este limita funct¸iei ¸iei f ˆın punctul x0 dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ (ε) > 0 a.ˆ a.ˆı. ı. oricare ar fi x ∈ E pentru care |x − x0 | < δ , s˘ a avem Fie f : E

  m

||f (x) − l|| = ¸si si scrie sc riem m lim f (x) = l.

(f k (x)

k=1

− lk )2 < ε

x

→x0

Teorema 3.4 O funct ¸ie vectorial˘ a are limit˘ a ˆıntr-un ıntr-un punct d.d. funct ¸iile sale compo-

nente au limite ˆın ın acel punct, adic˘ a lim f (x) = l

x

→x0

⇔ xlim f (x) = lk , k = 1, m. →x k 0

 Teorema rezult˘a din dubla inegalitate m

|f k (x) − lk | ≤ ||f (x) − l|| ≤

|

f i (x)

i=1

− li |,

k = 1, 1, m

¸si si defini defi nit¸ia ¸tia precedent˘a. a.  Aceast˘ a teorem˘a reduce studiul limitei unei funct¸ii ¸ii vectoriale la studiul limitelor a m funct¸ii ¸ii reale.

→ Rm au limite ˆın punctul x0, atunci: lim (λ1 f 1 (x) + λ2 f 2 (x)) = λ1 lim f 1 (x) + λ2 lim f 2 (x), ∀ λ1 , λ2 ∈ R, x→x x→x x→x

Teorema 3.5 Dac˘ a funct ¸iile f 1 , f 2 : E 0

0

·

0

lim (f 1 (x) f 2 (x)) = lim lim f 1 (x)

x

→x0

x

→x0

· xlim f (x). →x 2 0


3.3 3. 3

41

Limi Li mita ta un unei ei fu func nct ¸ ¸ii tii de o varia variabi bil˘ l˘ a vect vector oria ial˘ l˘ a

R, E Rn , o funct ¸ie real˘ a ¸si si x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) un punct de Fie f : E acumulare al mult¸imii ¸imii E . Definit ¸ia ¸ia 3.5 Spun Sp unem em c˘a num˘ n um˘ arul real l este limita funct¸iei ¸iei f ˆ f ˆın punct pun ctul ul x0 dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ(ε) > 0 a.ˆı. ı. oricare ar fi x = (x1 , x2 , . . . , xn ) E pentru care

→

⊂

∈

  n

||x − x0|| = |

s˘ a avem f ( f (x)

− l| < ε ¸sisi scrie sc riem m

(xi

i=1

− x0i )2 < δ,

f (x) = l. lim f (

x

→x0

Rm , E Rn , o funct Fie f : E ¸ie vectorial˘ a ¸si si x0 = (x01 , x02 , . . . , xn0 ) un punct de acumulare al mult¸imii ¸imii E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 3.6 Spunem Spun em c˘a vectorul vecto rul l = (l1 , l2 , . . . , lm ) Rm este limita funct¸iei ¸iei f ˆın punctul x0 dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ(ε) > 0 a.ˆ a.ˆı. ı. oricare ar fi x E pentru care x x0 < δ, δ , s˘ a avem f (x) l < ε ¸si si scrie sc riem m lim f (x) = l.

∈

|| − ||

||

− ||

∈

x

→x0

Teorema 3.4 r˘amˆ amˆ ane ane valabil˘a ¸si si ˆın cazul cazu l funct fun ct¸iilor ¸iilor vectoriale de o variabil˘a vectorial˘a. a. Teorema 3.6 O funct ¸ie vectorial˘ a are limit˘ a ˆıntr-un ıntr-un punct d.d. funct ¸iile sale compo-

nente au limite ˆın ın acel punct, adic˘ a lim f (x) = l

x

→x0

⇔

lim f k (x) = lk , k = 1, 1 , m.

x

→x0

Capitolul 4

FUNC FU NCT T ¸ I I CO CONT NTIN INUE UE 4.1

Contin Con tinui uita tate tea a fu func nct ¸ ¸iilo tii lor r re real ale e de o varia variabi bil˘ l˘ a re real˘ al˘ a

4.1.1

Continuit Continuitatea atea ˆıntr-un ıntr-un punct

Fie f : E

→ R, E ⊂ R, o funct¸ie ¸ie real˘a ¸si x0 ∈ E .

Definit ¸ia ¸ia 4.1 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f este continu˘a ˆın punctul pun ctul x0 dac˘ a oricare ar fi U o

vecin˘ atate a lui f ( f (x0 ), exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0 , a.ˆ a.ˆı. ı. pentru orice x avem f (x) U . U .

∈

∈ V ∩ E , s˘ a

Vecin˘ atatea atatea V depinde de vecin˘atatea atatea U . U . In problem problema a contin continuit uit˘˘at a¸ii ¸t ii se cerceteaz˘a comportarea funct¸iei ¸iei ˆın vecin˘atatea atatea punctului x0 fat¸˘ ¸a˘ de valoarea funct¸iei ¸iei ˆın punctul x0 , deci x0 trebuie s˘a apart¸in˘ ¸in˘a mult¸imii ¸imii de definit¸ie ¸ie a funct¸iei. ¸iei. Funct¸ia ¸ia este continu˘a ˆın punctul x0 dac˘ a la valori ale variabilei x vecine de x0 funct¸ia ¸ia ia valori oricât at de apropiate de valoarea funct¸iei ¸iei ˆın punctul pun ctul x0 . Nu se pune pune proble problema ma continuit˘at a¸ii ¸tii ˆın punctele punctel e + ¸si si ¸si si nici nic i ˆın punctel punc telee ˆın care valoarea valoar ea funct fun ct¸iei ¸iei devine infinit˘ a. a. Intr-un punct izolat x0 E funct¸ia ¸ia f este continu˘a, a, deoarece ˆın definit¸ia ¸ia continuit˘ at a¸ii ¸t ii nu se cere (ca la definit¸ia ¸ia limitei ˆıntr-un punct) ca x0 s˘a fie punct de acumulare al lui E . Un punct x0 ˆın care funct fun ct¸ia ¸ia este continu˘a se nume¸ste ste punct de continuitate pentru funct¸ia ¸ia f . f . Definit¸ia ¸ia precedent˘a este echivalent˘a cu urm˘atoarea atoarea definit¸ie: ¸ie:

∞ −∞ ∈

Definit ¸ia ¸ia 4.2 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f este continu˘a ˆın punctul x0 dac˘ a pentru orice ε > 0

exist˘ a un num˘ ar δ(ε) > 0 a.ˆ a.ˆı. ı. oricare ar fi x f (x) f ( f (x0 ) < ε. ε.

|

−

|

∈

∈ E pentru care |x − x0| < δ, s˘ a avem

In cazul ˆın care x0 E este punct de acumulare pentru E , continuitatea continuitate a ˆın punctul x0 se poate defini cu ajutorul limitei.

42


43

Definit ¸ia ¸ia 4.3 Spunem c˘ a funct ¸ia f este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 , punct de acumulare

pentru E , dac˘ a f are limit˘ a ˆın x0 ¸si si aceasta este est e egal˘ a cu f ( f (x0 ), adic˘ a lim f ( f (x) = f ( f (x0 ).

x

→x0

Deoarece f este continu˘a ˆın orice punct izolat din E , problema continuit˘at a¸ii ¸t ii se pune numai ˆın ın punctele de acumulare ale lui E . Dac˘ Dac˘ a f nu este continu˘a ˆın x0 , spunem c˘a funct¸ia ¸ia f este discontinu˘ a ˆın punct pu nctul ul x0 , iar x0 se nume¸ nume¸ste st e punct de discontinuitate. discontinuitate . Funct¸ia ¸ia f este continu˘a pe o mult¸ime ¸ime A E dac˘ a este continu˘a ˆın ın fiecare punct al mult¸imii ¸imii A, adic˘a

⊂

⊂

∈

Definit ¸ia ¸ia 4.4 Spunem c˘ a funct ¸ia f este continu˘a pe A E dac˘ a pentru orice x A ¸si si pentru pentr u orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ(ε, x) > 0 a.ˆ a.ˆı. oricare ar fi x E pentru care x x < δ , s˘ a avem f ( f (x ) f ( f (x) < ε. ε.

| − |

4.1.2

|

−

∈

|

Propriet˘ at a¸i ¸ti ale funct ¸iilor ¸iilor continue

Operat ¸ii ¸ii cu funct¸ii ¸ii continue

Din definit¸ia ¸ia continuit˘at a¸ii ¸tii cu c u ajut a jutorul orul ¸siruri sir urilor lor ¸si si propr p ropriet˘ iet˘at a¸ile ¸tile operat¸iilo ¸ii lorr cu c u ¸sirur si rurii rezul rez ult˘ t˘a: a: Teorema 4.1 Dac˘ a funct ¸iile f, g : E

→ R sunt continue ˆın punctul x0, atunci:

1. funct ¸ia f ¸ia f + g este continu˘ a ˆın x0 ; 2. funct ¸ia ¸ia f g este continu˘ a ˆın x0 ; 3. dac˘ a g (x0 ) = 0, 0 , funct ¸ia f ¸ia f /g este continu˘ a ˆın x0 .

·



Continuitatea funct ¸iei ¸iei compuse Teorema 4.2 Fie u : E

x0 E

∈ →

→ F ¸si si f : F → R.

Dac˘ Dac˘ a funct ¸ia u este continu˘ a ˆın punctul punc tul E ¸si si f este continu˘ a ˆın punctul pun ctul u0 = u(x0 ) F , F , atunci funct ¸ia compus˘ a f u : R este continu˘ a ˆın punctul punc tul x0 .

∈

◦

 Deoarece funct¸ia ¸ia u este continu˘a ˆın x0 , pentru orice ¸sir sir (xn ), xn E , convergent la si rul (un ), un = u(xn ), din F este convergent la u0 . Funct¸ia ¸ia f fiind continu˘a ˆın u0 , x0 , ¸sirul ¸siru si rull (f ( f (un )) este convergent la f ( f (u0 ). Deci f ( f (u(xn )) f ( f (u(x0 )). 

∈

→

Prop Pr opri riet et˘ ˘ at at¸i ¸i locale ale funct¸iilor ¸iilor continue



Teorema 4.3 Dac˘ a f este continu˘ a ˆın x0 ¸si si f ( f (x0 ) = 0, exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0

a.ˆı. ı. pentru pentr u orice x

∈ V ∩ E s˘ a avem f ( f (x) · f ( f (x0 ) > 0.

 S˘ a presupunem c˘a f ( f (x0 ) > 0 ¸si si fie ε = 12 f ( f (x0 ). Din definit¸ia ¸ia continuit˘ continuit˘at a¸ii, ¸tii, rezult˘a c˘a exist˘a o vecin˘atate atate V a lui x0 a.ˆı. ı. pentru pent ru orice or ice x V E avem f ( f (x) f ( f (x0 ) < 12 f ( f (x0 ), 1 1 de unde f ( f (x) > 2 f ( f (x0 ) > 0. Dac˘a f ( f (x0 ) < 0, lu˘ am ε = 2 f ( am f (x0 ).  Din demonstrat¸ia ¸ia teoremei precedente rezult˘a

∈ ∩

−

|

−

|

Teorema 4.4 Dac˘ a f este continu˘ a ˆın x0 exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0 ˆın ın care care f este

m˘ arginit˘ a.


44

Prop Pr opri riet et˘ ˘ at at¸i ¸i ale funct¸iilor ¸iilor continue continu e pe un interval inter val ˆınchis ınchi s ¸ si si m˘ arginit argi nit Teorema 4.5 (Prima teorem˘ a lui Weierstrass) O funct ¸ia continu˘ a pe un interval ˆınch ın chis is ¸si si m˘ arginit [a, b] este m˘ arginit˘ a pe [a, b].

→ ∈

R,  Demonstrat¸ie ¸ie prin reducere reducere la absurd absurd.. S˘ a presupunem c˘a funct¸ia ¸ia f : [a, b] continu˘a pe [a, [a, b], nu ar fi m˘arginit˘ arginit˘ a pe [a, [a, b]. Deci, pentru orice num˘ar ar M > 0 exist˘a un punct ξM [a, b] a.ˆı. f ( f (ξM ) > M . M . S˘ a lu˘am am M = n. Urmeaz Urmeaz˘˘a c˘ a pentru orice n N exist˘ a un ξn = ξn [a, b] a.ˆı. f ( f (ξn ) > n. n. Intervalul [a, [a, b] fiind m˘argin arg init it ¸si si ˆınchi ın chis, s, ¸sirul si rul (ξn ) este e ste m˘arginit argi nit ¸si—conf si— conform orm lemei leme i lui l ui Cesaro—se Cesaro—s e poate p oate extrage ex trage un u n sub¸sir sir ( ξnk ) convergent la un punct ξ [a, b]. Funct¸ia ¸ia fiind continu˘a pe [a, [ a, b] este continu˘a ¸si ˆın ξ , deci f ( f (ξn ) f ( f (ξ ). Ins˘a din f ( f (ξnk ) > n k deducem c˘a pentru k , f (ξnk ) . Contradict¸ie. ¸ie. 

∈

|

→∞ |

|

|

|→∞

|

→

|

∈

|

Teorema 4.6 (Adoua teorem˘ teorem˘ a a lui Weierstrass) O funct ¸ie continu˘ a pe un interval

ˆınch ın chis is ¸si si m˘ arginit [a, b] ˆı¸ ı¸si si ating at ingee margin ma rginil ilee pe [a, b].  Funct¸ia ¸ia f : [a, b] R, fiind fiind contin continu˘ u˘ a pe [a, [a, b], dup˘ dupa˘ teorema teorema preceden precedent˘ t˘a este m˘ arginit˘ arginit˘ a pe [a, [ a, b], deci exist˘a numerele numerele m ¸si si M a.ˆı. m f ( f (x) M , M , unde m este marginea inferioar˘a ¸si M marginea superioar˘a a valorilor funct¸iei ¸iei f pe [a, b]. S˘ a ar˘at˘ at˘ am am c˘a exist˘a un punct ξ [a, b] ˆın care ca re f ( f (ξ ) = m. Demonstrat¸ie ¸ie prin reducere reducere la absurd. absurd. S˘ a presupunem presupun em c˘a ˆın ın nici un punct din [ a, b] funct¸ia ¸ia f nu ia valoarea m. Atunci, dup˘a definit¸ia ¸ia marginii inferioare, urmeaz˘a c˘a f (x) m > 0 pe [a, [a, b] ¸si si deci funct¸ia ¸ia f 1 (x) = f (x)1−m este continu˘a ¸si si poziti poz itiv˘ v˘a pe [a, [a, b]. Prin Prin urmare, conform teoremei precedente, f 1 este m˘arginit˘ arginit˘ a pe [a, [ a, b], deci exist˘a un M 1 > 0 1 a.ˆı. f 1 (x) M 1 , de unde rezult˘a c˘ a m + M f ( f ( x ), adic˘ a m nu ar mai fi maginea 1 inferioar˘ a a valorilor funct¸iei ¸iei f pe [a, b]. Contradict¸ie. ¸ie. In mod asem˘an˘ an˘ ator ator se demonstreaz˘a existent¸a ¸a unui punct pu nct ˆın care ca re f ia valoarea M . 

→

≤

≤

∈

−

≤

≤

Teorema 4.7 Dac˘ a o funct ¸ie continu˘ a pe un interval interv al ˆınchis ¸si si m˘ arginit [a, b] ia valori

de semne contrare la capetele capetele intervalului, interva lului, adic˘a a f ( f (a) f (b) < 0, atunci exist˘ a cel put ¸in un punct x0 (a, b) a.ˆı. f ( f (x0 ) = 0.

·

∈

b  S˘a presupun pres upunem em c˘a f ( f (a) < 0, f ( f (b) > 0 ¸si si fie x1 + a+ mijlocul lui [a, [a, b]. Dac˘a 2 f ( f (x1 ) = 0, x1 este punctul c˘autat. autat. In caz contrar, not˘am am cu [a [a1 , b1 ] acela dintre intervalele intervalele b1 [a, x1 ] sau [x [x1 , b] pentru care f ( f (a1 ) < 0, f (b1 ) > 0 ¸si si fie x2 = a1 + mijlocul lui [a [a1 , b1 ]. 2 Dac˘a f ( f (x2 ) = 0, x2 este punctul c˘autat. autat. In caz contrar, contrar, not˘ am a m cu [a [a2 , b2 ] acele dintre intervalele [a [a1 , x2 ] sau [x [x2 , b1 ] pentru care f ( f (a2 ) < 0, f ( f (b2 ) > 0. Continuˆ Continuˆ and and ˆın acest aces t mod, obt¸inem ¸inem un ¸sir sir de intervale intervale m˘argin arg init itee ¸si si ˆınchi ın chise se I n = [an , bn ] cu I n+1 si I n ¸si

bn

− an =

b a 2n

−

→ 0.

Din Lema Lema lui Cesaro Cesaro rezult rezult˘˘a c˘ a

∞



n=1

⊂

I n = x0 , punctul x0 fiind

{ }

∈ [a, b]. Deoarece f ( f (an ) < 0, f (bn ) > 0 → ∞, urmeaz˘a c˘a f ( f (x0 ) ≤ 0 ¸si f ( f (x0 ) ≥ 0,

limita comun˘a a celor dou˘a ¸sirur si rurii (an ) ¸si (bn ) ¸si x0 ¸si si f este continu˘a, a, trecând and la limit˘a pentru n ceea ce conduce la f ( f (x0 ) = 0. 

Teorema 4.8 O funct ¸ie continu˘ a pe un interval interv al ˆınchis ¸si si m˘ arginit [a, b] ia cel put ¸in o

dat˘ a toate valorile cuprinse ˆıntre marginea marginea inferioar˘ inferioar˘ a m ¸si si marginea margin ea superioar s uperioar˘ ˘ a M a valorilor sale pe [a, b].


∈

45

−

 Fie α (m, M ). M ). Funct¸ia ¸ia g (x) = f ( f (x) α este continu˘a pe [a, [a, b]. Dac˘ Dac˘ a ξm ¸si si ξM sunt punctele pentru care f ( f (ξm ) = m ¸si si f ( f (ξM ) = M , avem g (ξm ) < 0, g (ξM ) > 0. Deci exist˘ a un punct x0 cupri cup rins ns ˆıntre ınt re ξm ¸si si ξM a.ˆı. g(x0 ) = 0, adic˘a f ( f (x0 ) = α.  Proprietatea pus˘a ˆın evid e vident ent¸˘ ¸a˘ ˆın aceas ac east˘ t˘a teore teo rem˘ m˘a se nume¸ nume ¸ste st e proprietatea lui Darboux .

4.1.3

Contin Continuita uitatea tea uniform uniform˘ a ˘

→ R este uniform continu˘a pe E dac˘ a oricare ar fi ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ (ε) > 0 a.ˆı. ı. pentru pentr u orice x, x ∈ E pentru care |x − x | < δ ,  s˘ a avem |f ( f (x) − f ( f (x )| < ε. ε. Exemplul 4.1 Funct ¸ia ¸ia f f ((x) = x3 , x ∈ [1, [1, 3] este uniform continu˘ a pe [1, [1, 3]. 3]. Intr-adev˘ ar, |f ( f (x) − f ( f (x )| = |x − x | · (x2 + xx + x2 ) < 27 |x − x | < ε, pentru orice x, x ∈ [1, [1, 3] pentru care |x − x | < δ (ε), cu δ (ε) = 27/ε 27/ε.. Dac˘ a ˆın definit defin it¸ia ¸ia precedent˘a p˘astr˘ astr˘ am a m pe x ∈ E fix, obt¸inem ¸inem definit¸ia ¸ia continuit˘at a¸ii ¸tii Definit ¸ia ¸ia 4.5 Spunem c˘ a funct ¸ia f : E

funct¸iei ¸iei f pe E . Deci Deci o func funct¸ie ¸tie uniform continu˘a pe mult¸imea ¸imea E este continu˘a pe E . Reciproca nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a.

Teorema 4.9 O funct ¸ie continu˘ a pe un interval interva l ˆınchis ¸si si m˘ arginit (compact) este uni form continu˘ a pe acel interval.

 Demonstrat¸ie ¸ie prin reducere reducere la absurd absurd.. S˘ a presupunem c˘a funct¸ia ¸ia f : [a, b] R, [a, b]. Rezult˘ a atunci c˘a exist˘a un ε0 > 0 continu˘a pe [a, [a, b], nu ar fi uniform continu˘a pe [a,  a.ˆ a.ˆı. pentru orice δ > 0 exist˘a punctele xδ , xδ [a, b] cu xδ xδ < δ pentru care  f (xδ ) f (xδ ) ε0 . 1 S˘a lu˘am am δ = n . Obt¸inem ¸inem astfel dou˘a ¸siruri siruri de puncte (xn ), (xn) din [a, [a, b] cu propri1   etatea c˘a pentru orice n N avem xn xn < n ¸si si f (xδ ) f ( f (xδ ) ε0 . Intervalul [a, [a, b] fiind m˘arginit argi nit,, ¸sirul sir ul (xn ) este m˘arginit argini t ¸si—conform si—conf orm Lemei Leme i lui Cesaro— admite un sub¸sir sir (xnk ) convergen convergent. t. Fie x0 limita sa. sa. deoarece deoarece xnk xnk < n1k 0,   urmeaz˘ a c˘a sub¸sirul sir ul (xnk ) al lui (x (xn ) este de asemenea convergent la x0 . Intervalul [a, [a, b] fiind fii nd ˆınchi ın chis, s, x0 [a, b]. Funct¸ia ¸ia f fiind continu˘a pe [a, [a, b], deci de ci ¸si si ˆın x0 , avem

→

|

−

∈

|≥

∈

| − |

| − |

|

−

|≥ | −

|

→

∈

lim f (xnk ) = f ( f (x0 ),

k

de unde 0

→∞

lim f ( f (xnk ) = f ( f (x0 ),

k

→∞

≥ ε0. Contradict¸ie. ¸ie. Rezult˘a c˘a f este uniform continu˘a pe [a, [a, b]. 

O condit¸ie ¸ie suficient˘a de uniform˘a continuitate c ontinuitate este dat˘a de urm˘atoarea atoarea teorem˘a. a. Teorema 4.10 Dac˘ a pentru orice x, x

∈ E exist˘ a un num˘ ar L > 0 a.ˆı. |f ( f (x) − f ( f (x )| < L |x − x |,

(4.1)

atunci funct ¸ia ¸ia f este uniform continu˘ a pe E .  Intr-adev˘ar, ar, pentru δ(ε) = Lε , inegalitatea x x < δ implic˘ a inegalitatea f ( f (x)  f ( f (x ) < ε. ε.  Condit¸ia ¸ia (4.1) (4. 1) se nume¸ste ste condit ¸ia lui Lipschitz .

|

| − |

|

−


4.2

46

Contin Con tinui uita tate tea a fu func nct ¸ ¸iilor tiilor vectoriale

4.2.1

Continuit Continuitatea atea ˆıntr-un ıntr-un punct

Fie f : E

→ Rm, E ⊂ Rn, o funct¸ie ¸ie vectorial˘a ¸si x0 ∈ E .

Definit ¸ia ¸ia 4.6 Spunem c˘ a funct ¸ia f este continu˘a ˆın punctul x0 dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ(ε) > 0 a.ˆ a.ˆı. oricare ar a r fi x E pentru care x x0 < δ , s˘ a avem f (x) f (x0 ) < ε. ε.

||

−

∈

||

|| − ||

In cazul ˆın care x0 E este punct de acumulare pentru E , continuitatea ˆın punctul x0 se poate defini cu ajutorul limitei.

∈

Definit ¸ia ¸ia 4.7 Spunem Spun em c˘a funct fun ct ¸ia ¸ia f este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 , punct de acumulare pentru E , dac˘ a f are limit˘ a ˆın x0 ¸si si aceasta este est e egal˘ a cu f (x0 ), adic˘ a

lim f (x) = f (x0 ), sau sau lim lim

x

→x0

x

→x0

||f (x) − f (x0)|| = 0.

→ Rm, f = (f 1, f 2, . . . , fm ), este continu˘ a ˆın punctul pun ctul x0 d.d. funct ¸iile componente f k E → R, k = 1, 1 , m, sunt continue conti nue ˆın x0 .

Teorema 4.11 Funct ¸ia ¸ia f : E

 Din inegalit˘ at a¸ile ¸tile m

 || ≤ |

|f k (x) − f k (x0)| ≤ ||f (x) − f (x0)

f i (x)

i=1

− f i(x0)|,

k = 1, m,

avem implicat¸iile ¸iile

||f (x) − f (x0)|| < ε ⇒ |f k (x) − f k (x0)| < ε, k = 1,1 , m, |f i (x) − f i (x0)| < mε , i = 1, m ⇒ ||f (x) − f (x0)|| < ε.  Urm˘ atoarele atoarele propriet˘at a¸i, ¸t i, stabilite pentru funct¸ii ¸ii reale de o variabil˘a real˘a, a, se ment¸in ¸in ¸si si pentru pe ntru funct fun ct¸ii ¸ii vectoriale de o variabil˘a vectorial˘a: a: 1. Dac˘ Dac˘ a f este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 exist˘ a o vecin˘atate atate a punctului x0 ˆın care car e funct¸ia ¸ia este m˘arginit˘ arginit˘a. a. 2. Dac˘ Dac˘ a f este continu˘a ˆın punctul pun ctul x0 , atunci funct¸ia ¸ia f este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 . Reciproca nu este adev˘ arat˘ arat˘ a. a. 3. Dac˘ Dac˘ a f ¸si si g sunt continue ˆın punctul x0 , atunci f + g, λf , f g sunt continue conti nue ˆın x punctul 0 . Rm , E Rn , F = f (E ) Rm ¸si R p . Dac˘a funct 4. Fie Fie f : E si g : F f unct¸ia ¸ia f este continu˘a ˆın punctul pun ctul x0 E ¸si si g este continu˘a ˆın punctul punc tul y0 = f (x0 ) F , F , atunci funct¸ia ¸ia compus˘ a g f : E R p este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 . 5. Dac˘ Dac˘ a f este continu˘a ˆın punctul pun ctul x0 ¸si si f (x0 ) = 0, atunci exist˘a o vecin˘atate atate V a punctului x0 a.ˆı. ı. pentru pe ntru orice o rice x V E s˘ a avem f (x) = 0.

|| ||

·

→ ⊂ ∈ ◦ →

⊂

∈ ∩

→





∈


4.2.2

47

Contin Continuita uitatea tea uniform uniform˘ a ˘

→ Rm este uniform continu˘a pe E dac˘ a oricare ar fi ε > 0 exist˘ a un num˘ ar δ(ε) > 0 a.ˆı. ı. pentru pentr u orice x, x ∈ E pentru care ||x − x || < δ , s˘ a avem ||f (x) − f (x )|| < ε. ε. Teorema 4.12 Funct ¸ia ¸ia f : E → Rm , f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ), este uniform continu˘ a pe E d.d. funct ¸iile componente f k E → R, k = 1, 1 , m, sunt uniform continu˘ a pe E . Definit ¸ia ¸ia 4.8 Spunem c˘ a funct ¸ia f : E

 Din inegalit˘ at a¸ile ¸tile m

|f k (x) − f k (x )| ≤ ||f (x) − f (x )|| ≤

| i=1

f i (x)

− f i(x )|,

k = 1, 1 , m,

avem implicat¸iile ¸iile

||f (x) − f (x)|| < ε ⇒ |f k (x) − f k (x )| < ε, k = 1, m, |f i(x) − f i (x )| < mε , i = 1, m ⇒ ||f (x) − f (x)|| < ε.  Teorema 4.13 O funct ¸ie vectorial˘ a continu˘ a pe o mult ¸ime E compact˘ a (m˘ argin rginit it˘ ˘ a ¸si n ˆınch ın chis is˘ ˘ a) din R este uniform continu˘ a pe E .

Capitolul 5

DERIVATE S ¸I DIFERENT ¸ IALE 5.1

Derivata Deriv ata ¸ si diferent si diferent ¸iala funct ¸iala ¸iilo r de o variabi ¸iilor variabil˘ l˘ a

5.1.1

Deriv Derivata ¸ si si diferent diferent ¸iala ¸iala unei unei func funct ¸tii reale reale de o variab ariabil˘ il˘ a real˘ a

Fie f : E

→ R, E ⊂ R, o funct¸ie ¸ie real˘a ¸si x0 ∈ E un punct de acumulare al mult¸imii ¸imii E .

Definit ¸ia ¸ia 5.1 Spunem c˘ a funct ¸ia f este derivabil˘a ˆın ın punctul punc tul x0 dac˘ a exist˘ a ¸si si este est e

finit˘ a limit li mita a ˆın x0 a funct ¸iei Rx0 (x) =

f ( f (x) x

− f ( f (x0 ) − x0 , x ∈ E \ {x0}.

Dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın x0 , limita finit˘ a a funct ¸iei Rx0 se nume¸ nu me¸ste st e derivata funct ¸iei f ˆın ın x0 ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a cu f  (x0 ): f  (x0 ) = lim lim x

→x0

f ( f (x) x

− f ( f (x0 ) − x0 .

Dac˘ a limita funct¸iei ¸iei Rx0 este infinit˘a, a, atunci funct¸ia ¸ia f nu este derivabil˘a ˆın x0 . Dac˘a limita funct¸iei ¸iei Rx0 este se spune c˘a f are derivata ˆın x0 .

±∞

±∞

Definit ¸ia ¸ia 5.2 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f f : E

→ R este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın punct pun ctul ul x0 ∈ E , punct si func fu nct ¸ia t α : E → R satisf˘ de acumulare pentru E , dac˘ a exist˘ a num˘ arul A ∈ R ¸si acˆ and and condit ¸ia ¸ia lim α(x) = α(x0 ) = 0 a.ˆı. x

→x0

f ( f (x) sau, cu x

− f ( f (x0 ) = A (x − x0 ) + α(x) (x − x0 ), ∀ x ∈ E,

− x0 = h f ( f (x0 + h)

− f ( f (x0 ) = A h + α(x0 + h) h, ∀ x0 + h ∈ E. 48


49

Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , aplicat ¸ia h

−→ A h, ∀ h ∈ R,

se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala funct ¸iei f ˆın x0 ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a df ( f (x0 ) = df ( f (x0 ; h) = A h.

→

R, definit˘ Pentru funct¸ia ¸ia identic˘a i : R defin it˘a prin pri n i(x) = x, oricare ar fi x0 identitatea i(x) i(x0 ) = 1 h + 0 h, h R,

−

·

·

∈ R are loc

∀ ∈

care arat˘a c˘a funct¸ia ¸ia identic˘ identic˘ a este este diferen diferent¸iabil˘ ¸t iabil˘ a ˆın orice punct x0 R ¸si si di( di(x0 ) = di( di(x0 ; h) = h, h R. Deoarece diferent¸iala ¸iala funct¸iei ¸iei identice este aceea¸si si ˆın orice punct din R, ea se noteaz˘a di( di(x) = dx = h (5.1)

∈

∀ ∈

¸si si se nume nu me¸¸ste st e diferent ¸iala variabilei independente. independente .

5.1.2

Derivata ¸ si si diferent ¸iala ¸iala unei funct ¸ii vectoriale de o variabil˘ ¸ii a real˘ a

Fie f : E Rm , E mult¸imea ¸imea E .

→

⊂ R, o funct¸ie ¸ie vectorial˘a ¸si x0 ∈ E un punct de acumulare al

Definit ¸ia ¸ia 5.3 Spunem c˘ a funct ¸ia f este derivabil˘a ˆın ın punct pun ctul ul x0 dac˘ a funct ¸ia Rx0 (x) =

f (x)

− f (x0) , x ∈ E \ {x0}, x − x0

are limit˘ a ˆın x0 ¸si si aceasta apart ¸ine lui Rm . Dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın x0 , limita funct ¸iei Rx0 se nume¸ num e¸ste st e derivata funct ¸iei f ˆın ın x0  ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a cu f (x0 ): f (x) f (x0 ) f  (x0 ) = lim lim . (5.2) x→x0 x x0

− −

Teorema 5.1 Funct ¸ia vectorial˘ a f = (f ( f 1 , f 2 , . . . , fm ) este derivabil˘ a ˆın x0 d.d. funct ¸iile

componente f k , k = 1, 1 , m, sunt derivabile derivabil e ˆın x0 . In acest caz

 (x0 )). f  (x0 ) = (f 1 (x0 ), f 2 (x0 ), . . . , fm )).  Teorema rezult˘a din f (x)

− f (x0) = x − x0



f 1 (x) x

− f 1(x0) , f 2(x) − f 2(x0) , . . . , f m(x) − f m(x0) − x0 x − x0 x − x0



¸si si faptul fap tul c˘a o funct¸ie ¸ie vectorial˘a are limit˘a ˆıntr-un ıntr-un punct d.d. funct¸iile ¸iile componente au limit˘ a ˆın ın acel punct. punc t. 


50

∈

Definit ¸ia ¸ia 5.4 Spunem c˘ a funct ¸ia f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın ın punct pun ctul ul x0 E , punct de acumulare pentru E , dac˘ a exist˘ a vectorul A = (A1 , A2 , . . . , Am ) Rm ¸si si func fu nct ¸ia t vectorial˘ a m α : E R satisf˘ acˆ and and condit ¸ia ¸ia lim α(x) = α(x0 ) = 0 a.ˆı.

∈

→

x

→x0

f (x)

sau, cu x

− f (x0) = A (x − x0) + α(x) (x − x0), ∀ x ∈ E,

(5.3)

− x0 = h f (x0 + h)

− f (x0) = A h + α(x0 + h) h, ∀ x0 + h ∈ E. Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , aplicat ¸ia liniar˘ a df (x0 ) : R → Rn , h −→ A h, ∀ h ∈ R,

(5.4)

se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala funct ¸iei f ˆın x0 : df (x0 ) = df (x0 ; h) = A h.

(5.5)

In baza lui (5.5) putem scrie (5.3), respectiv (5.4), astfel

− f (x0) = df (x0; x − x0) + α(x) (x − x0), ∀ x ∈ E, f (x0 + h) − f (x0 ) = df (x0 ; h) + α(x0 + h) h, ∀x0 + h ∈ E. f (x)

(5.6) (5.7)

Diferent¸iabilitatea ¸iabilitatea funct¸iei ¸iei f ˆın x0 atrage continuitatea ei ˆın x0 , deoarece din (5.3) urmeaz˘ a lim f (x) = f (x0 ). x

→x0

Deoarece (5.3) este echivalent˘a cu f k (x)

− f k (x0) = Ak (x − x0) + αk (x) (x − x0), ∀ x ∈ E,

k = 1, 1 , m,

rezult˘a c˘ a funct¸ia ¸ia vectorial˘a f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ) este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 d.d. d.d. funct funct¸iile ¸iile componente f k , k = 1, m, sunt diferent¸iabi ¸ia bile le ˆın x0 . In acest caz df (x0 ) = (df 1 (x0 ), df 2 (x0 ), . . . , df dfm (x0 )). )). Teorema 5.2 Funct ¸ia ¸ia f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 d.d. este derivabil˘ a ˆın x0 . Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , atunci pentru orice h R avem

∈

df (x0 ; h) = f  (x0 ) h.

(5.8)

 Dac˘ a f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 are loc (5.3), (5.3), de unde deducem lim

x

− f (x0) = A ∈ Rm, x − x0

f (x)

→x0 adic˘a f este derivabil˘a ˆın x0 ¸si si f  (x0 ) = A. Luˆ and and A = f  (x0 ) ˆın ın (5.5) (5.5 ) obt¸inem ¸inem (5.8). Reciproc, Reciproc, dac˘ a f este derivabil˘a ˆın x0 are loc (5.2). Construim funct¸ia ¸ia α : E prin f (x)−f (x0 ) , x E x0 x−x0 α= 0, x = x0 .



∈ \{ }

→ Rm, (5.9)


51

a lt˘a parte, din (5.9) ( 5.9) avem Atunci, (5.2) este echivalent˘a cu lim lim α(x) = α(x0 ) = 0. Pe de alt˘ x

→x0

f (x)

− f (x0) = A (x − x0) + α(x) (x − x0), ∀ x ∈ E \ {x0}.

Deoarece α(x0 ) = 0, rezult˘a c˘a egalitatea egalit atea precedent˘a are loc ¸si si pentru x = x0 . A¸sada sa darr f satisface satisface (5.3) cu A = f  (x0), deci este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 .  Cu (5.1), relat¸ia ¸ia (5.8) se mai scrie df (x0 ) df (x0 ) = f  (x0 ) dx, de unde f  (x0 ) = . dx Teorema precedent˘ a se ment¸ine ¸ine ¸si si pentru cazul funct¸iilor ¸iil or reale real e ¸si si df ( f (x0 ) df (x0 ) = f  (x0 ) dx, de unde f  (x0 ) = . dx

−

Diferent¸a ¸a f (x) f (x0 ) se nume¸ num e¸ste ste cre¸sterea st erea funct fun ct ¸iei f ˆın x0 corespunz˘ atoare atoa re cre¸sterii ster ii h = x x0 a variabilei independente indep endente ˆın x0 .

−

Presupunem cunoscute derivatele funct¸iilor ¸iilor elementare, precum ¸si si regulile reg ulile de derivare deri vare a funct¸iilor ¸iilor reale de o variabil˘a real˘a. a. Utilizˆ and and aceste reguli ¸si si teoremele 5.1 ¸si si 5.2 rezult˘a teorema urm˘atoare. atoare. Teorema 5.3 Dac˘ R ¸si Rm , a funct ¸ia scalar˘ a ϕ : E si func fu nct ¸iile t vectoriale f , g : E E R, sunt diferent ¸iabi ¸iabile le ˆın ın x0 E , atunci: 0 1 . Funct ¸ia ¸ia ϕ f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 ¸si si d(ϕ f ) = ϕ df + f dϕ. dϕ. 20 . Funct ¸ia λ ¸ia λf +µg este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , oricare ar fi λ, µ R ¸si d si d(λf +µg) =λd = λdf + µdg. 30 . Produsul scalar al funct ¸iilor f ¸si si g, adic˘ a funct ¸ia f g, este o funct ¸ie diferent ¸iabil˘ a

→

∈

⊂

→

∈

·

¸si si

·

·

·

d(f g) =d = df g + f dg.

→ Rm este derivabil˘ a pe mult ¸imea A ⊂ E dac˘a este est e derivder ivabil˘ a ˆın orice punct punc t x ∈ A. Funct ¸ia ¸ia f  : E → Rm se nume¸ num e¸ste st e funct¸ia ¸ia derivat˘a a funct ¸iei Definit ¸ia ¸ia 5.5 Funct ¸ia f : E

f sau, mai simplu, derivata lui f pe A.

5.1.3

Derivate Derivate si s¸i diferent diferen¸iale t de ordin superior

Fie f : E R, E R, o funct¸ie ¸ie real˘a, a, f  : A un punct de acumulare acumulare pentru A.

→

⊂

→ R, A ⊂ E , derivata funct¸iei ¸iei f ¸si si x0 ∈ A

Definit ¸ia ¸ia 5.6 Spunem c˘ a funct ¸ia f este de dou˘ a ori derivabil˘ a ˆın x0 dac˘ a funct ¸ia f 

este derivabil˘ a ˆın x0 . In acest acest caz, caz, (f  ) (x0 ) se nume¸ num e¸ste st e derivata a doua a funct¸iei ¸iei f ˆın ın  x0 ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a f (x0 ). Deci d2 f d f  (x0 ) = (f  ) (x0 ) sau ( x ) = 0 2 dx

dx

 

df (x0 ). dx


52

Procedând and prin recurent¸˘ ¸a, a˘, spune sp unem m c˘a f este de k ori derivabil˘a ˆın x0 dac˘ a f (k−1) este derivabil˘ a ˆın x0 . Deci dk f d sau (x0 ) = f (x0 ) = (f − ) (x0 ) sau k (k)

(k 1)

dx

dx

dk−1 f (x0 ). dxk−1

 

Cˆ and and afirm˘am am c˘a f este de k ori derivabil˘a ˆın x0 subˆınt¸elegem ¸elegem c˘a f are toate derivatele pân˘ an˘ a la ordinul k 1 inclusiv, pe o vecin˘atate atate a lui x0 ¸si ca˘ derivata de ordinul k 1 este derivabil˘ a ˆın x0 . Funct¸ia ¸ia f se nume¸ nume ¸ste st e infinit derivabil˘ a ˆın x0 dac˘ a admite derivat˘a de orice ordin ˆın acest punct. Funct¸iile ¸iile elementare sunt infinit derivabile derivabile ˆın orice punct interior mult¸imii ¸imii lor de definit¸ie. ¸ie.

−

−

Definit ¸ia ¸ia 5.7 Spunem c˘ a funct ¸ia f este de dou˘a ori diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul punc tul x0 dac˘ a  ¸iabil˘ a ˆın x0 oricare ar fi h R. Dac˘ funct ¸ia ¸ia df ( f (x; h) = f (x) h este diferent Dac˘ a f este de

dou˘ a ori diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 atunci aplicat ¸ia

∈

d2 f ( f (x0 ; h) = d(df )(x )(x0 ; h) = d(f  h)(x )(x0 ; h) = (f  h) (x0 ) h = f  (x0 ) h2 ın x0 . se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala a doua a funct¸iei ¸iei f ˆın

−

Funct¸ia ¸ia f este de k ori diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 dac˘ a diferent¸iala ¸iala de ordinul k 1 a funct¸iei ¸iei k −1 (k−1) k −1 f , f , adi ad ic˘a d f ( f (x; h) = f (x) h este diferent diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 pentru orice h R. In acest caz, aplicat aplica¸ia ¸t ia

∈

f (x0 ; h) = d(dk−1 f )( f )(x x0 ; h) = d(f (k−1) h)(x )(x0 ; h) = (f (k−1) h) (x0 ) h = f (k) (x0 ) hk dk f ( se nume¸ nume¸ste st e diferent ¸iala de ordinul k a funct ¸iei f ˆın x0 . Funct¸ia ¸ia f este de k ori diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 d.d. f este de k ori derivabil˘a ˆın x0 . k Deoarece h = dx, dx, putem scrie d f ( f (x0 ) = f (k) (x0 ) dxk . Definit ¸ia ¸ia 5.8 Funct ¸ia f : I

→ R se nume¸ nu me¸ste st e de clas˘a C k pe intervalul I dac˘ a f are

toate derivatele pân˘ an˘ a la ordinul k pe I ¸si si derivata derivat a de ordinul k este continu˘ a pe I .

). Prin C 0 (I ) = C (I ) se ˆınt¸elege Mult¸imea ¸imea funct¸iilor ¸iilor de clas˘a C k pe I se noteaza C k (I ). ¸elege ∞ mult¸imea ¸imea funct¸iiloe ¸iiloe continue pr I . Prin C (I ) se noteaz˘a mult¸imea ¸imea funct¸iilor ¸iilor infinit derivabile pe I . In mod asem˘an˘ an˘ ator ator se definesc derivatele derivatele ¸si si diferent¸ialele ¸ialele de ordin superior ale unei funct¸ii ¸ii vectoriale f . Funct¸ia ¸ia vectorial˘a f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ) este de k ori derivabil˘ a (diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a) ˆın x0 d.d. d.d. funct funct¸iile ¸iile componente f k , k = 1, m, sunt de k ori derivabile (diferent¸iabi ¸ia bile le)) ˆın x0 ¸si si avem (k) (k) (k) f (k) (x0 ) = (f 1 (x0 ), f 2 (x0 ), . . . , fm (x0 )), )), dk f (x0 ) = (dk f 1 (x0 ), dk f 2 (x0 ), . . . , dk f m (x0 )). )). Evident c˘a

dk f (x0 ) = f (k) (x0 ) dxk .

(5.10)

si scrie scr iem m Spunem c˘a funct¸ia ¸ia vectorial˘a f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ) este de clas˘a C k pe I ¸si k k f C (I ) dac˘ a f i C (I ), ), i = 1, m.

∈

∈

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Teorema 5.4 (Formula lui Leibniz) Dac˘ a f , g

¸si si are loc formula form ula

53

∈ C n(I ), n ∈ N, atunci f · g ∈ C n(I )

n

·

(n)

(f g)

(x) =



C nk f (n−k) (x) g(k) (x),

·

k=0

∀ x ∈ I.

(5.11)

¸ie prin induct¸ie ¸ie dup˘a n.   Demonstrat¸ie n Inmult¸ind ¸ind (5.11) cu dx ¸si avˆ av and ând ˆın vedere (5.10), obt¸inem ¸inem n n

·

d (f g)(x )(x) =

5.1.4



C nk dn−k f (x) dk g(x),

k=0

·

∀ x ∈ I.

Propriet˘ at a¸i ¸ti ale funct ¸iilor ¸iilor derivabile

Multe dintre propriet˘at a¸ile ¸t ile funct¸iilor ¸iilor derivabile de o variabil˘ a real˘ a sunt cunoscute din liceu. Pentru a u¸sura sura expunerea rezultatelor noi, trecem totu¸si si ˆın revist˘a unele dintre aceste propriet˘at a¸i. ¸ti. Puncte Puncte de extrem. extrem. Teorema eorema lui Fermat Fermat

Fie f : E

→ R, E ⊂ R.

Definit ¸ia ¸ia 5.9 Punctul x Punctul x0

∈ E se nume¸ num e¸ste st e punct de extrem local sau relativ al funct ¸iei f f (x0 ) s˘ dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0 a.ˆı. ı. diferen dif erent ¸a f ¸a t f ((x) − f ( a p˘ astreze semn constant pentru orice x ∈ V ∩ E . Dac˘ a: f (x) − f ( f (x0 ) ≤ 0, ∀ x ∈ V ∩ E , x0 este punct de maxim local, f ( f (x) − f ( f (x0 ) ≥ 0, ∀ x ∈ V ∩ E , x0 este punct de minim local. Dac˘ a diferent¸a ¸a f ( f (x) − f ( f (x0 ) p˘ astreaz˘ astreaz˘ a semn constant pentru orce x ∈ E , atunci x0 se nume nu me¸¸ste st e punct de extrem absolut . Orice punct punct de extrem extrem absolut este punct de extrem extrem relativ. Reciproca nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a.

→

⊂

Teorema 5.5 (Teor (Teorema ema lui Fermat) Fie f : I R, definit˘ a pe intervalul I R ¸si si x0 un punct de extrem interior lui I . Dac˘ Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f este derivabil˘ a ˆın x0 , atunci  f (x0 ) = 0.

Teorema lui Fermat este o condit¸ie ¸ie necesar˘ a de extrem. Definit ¸ia ¸ia 5.10 Un punct x0

∈ I se nume¸ nu me¸ste st e punct stat¸ionar ¸ionar sau punct critic al funct ¸iei

f dac˘ a f este derivabil˘ a ˆın x0 ¸si si f (x0 ) = 0.

Teorema eorema lui Fermat ermat afirm˘ afirm˘a c˘a punctele de extrem ale unei funct¸ii ¸ii derivabile sunt puncte stat¸ionare. ¸ionare.


54

Teoremele lui Rolle, Lagrange ¸ si si Cauchy Teorema 5.6 (Teorema lui Rolle) Fie f : [a, b]

1. f este continu˘ a pe [a, b], 2. f este derivabil˘ a pe (a, b), 3. f ( f (a) = f ( f (b), atunci exist˘ a un punct c (a, b) a.ˆı. f  (c) = 0.

→ R. Dac˘ a:

∈

Teorema 5.7 (Teorema lui Lagrange) Fie f : [a, b]

1. f este continu˘ a pe [a, b], 2. f este derivabil˘ a pe (a, b), atunci exist˘ a un punct c (a, b) a.ˆı. f (b)

→ R. Dac˘ a:

− f ( f (a) = f  (c) (b − a) = df ( f (c; b − a). Teoremele lui Rolle ¸si si Lagrange L agrange afirm˘a numai existent¸a ¸a punctului c ∈ (a, b), f˘ar˘ ar a˘ nici o precizare precizar e asupra unicit˘at a¸ii ¸t ii acestuia. Din teorema lui Lagrange rezult˘a c˘ a dac˘a f : I → R este derivabil˘a pe I , atunci oricare ar fi x1 , x2 ∈ I , x1  = x2 , exist˘a ξ de forma ξ = x1 + θ (x2 − x1 ), cu θ ∈ (0, (0, 1), 1) , a.ˆı. f ( f (x1 ) − f ( f (x2 ) = (x1 − x2 ) · f  (ξ ). In particular, dac˘a a, a + h ∈ I , avem f ( f (a + h) = f ( f (a) = h · f  (ξ ), ξ = a + θh, θ ∈ (0, (0, 1). 1). ∈

ste prima teorem˘ a de medie a calculului diferent¸ial ¸ial sau teorema Teorema 5.7 se nume¸ste cre¸sterilo ste rilorr finite fini te.. Consecint ¸a ¸a 5.1 Dac˘ a f : I

este constant˘ a pe I .

→ R este derivavil˘ a pe I ⊂ R ¸si si f  (x) = 0 pe I , atunci f

De aici rezult˘a c˘a dac˘a f, g : I R sunt derivabile pe I R ¸si si f  (x) = g  (x) pe I , atunci f ¸si si g difer˘ a printr-o constant˘a pe I . Urm˘ atoarea atoarea teorem˘a generalizeaz˘a teorema lui Lagrange la cazul funct¸iilor ¸iilor vectoriale de o variabil˘a real˘a. a.

→

Teorema 5.8 Dac˘ a dunct ¸ia ¸ia f : [a, b]

atunci exist˘ a un punct c

⊂

→ Rm este continu˘ a pe [a, b] ¸sisi der d eriva ivabil bil˘ ˘ a pe (a, b),

∈ (a, b) a.ˆı. ||f (b) − f (a)|| ≤ ||f  (c)|| (b − a).

(5.12)

 Dac˘ a f (b) = f (a), inegalitatea (5.12) (5.12) are loc pentru orice punct c presupunem c˘a f (b) = f (a). Definim funct¸ia ¸ia real˘a



ϕ(x) = (f (b) = f (a)) f (x), x

·

∈ (a, b).

∈ [a, b].

Funct¸ia ¸ia ϕ satisface ip otezele teoremei lui Lagrange ¸si si deci exist˘a un punct c  ϕ(b) ϕ(a) = ϕ (c) (b a). Deoarece

−

−

ϕ(b)

− ϕ(a) = (f (b) − f (a))2 = ||f (b) − f (a)||2,

S˘a

ϕ (c) = (f (b)

∈ (a, b) a.i.

− f (a)) · f  (c),

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA obt¸inem ¸inem

55

||f (b) − f (a)||2 = ( f (b) − f (a)) · f (c) (b − a).

Dar, folosind inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, g˘asim asim

− f (a)) · f  (c) ≤ ||f (b) − f (a)||||f (c)||, cu care, dup˘a simplificare simplificare prin ||f (b) − f (a)|| obt¸inem ¸inem (5.12). (5.12).  Teorema 5.9 (Teorema lui Cauchy) Fie funct Da c˘a: a: ¸iile f, g : [a, [ a, b] → R. Dac˘ (f (b)

1. f ¸si si g sunt continue pe [a, b], 2. f ¸si si g sunt derivabile pe (a, b),  3. g (x) = 0, 0 , x (a, b), atunci g (a) = g (b) ¸si si exis ex ist˘ t˘ a un punct c





∈

f (b) g (b)

∈ (a, b) a.ˆı.

− f ( f (a) f  (c) =  . − g(a) g (c)

Aceast˘ a teorem˘a se nume¸ nume ¸ste ste a doua teorem˘ a de medie a calculului diferent ¸ial . Teorema 5.10 (Teorema lui Darboux) dac˘ a funct ¸ia ¸ia f este est e derivab der ivabil˘ il˘a pe I , atunci f 

are proprietatea lui Darboux pe I (adic˘ a nu poate trece de la o valoare la alta f˘ ar˘ a a trece prin toate valorile intermediare). Teorema 5.11 (Regula lui l  Hospital) Fie f, g : [a, b]

1. 2. 3. 4.

→ R ¸si si x0 ∈ [a, b]. Dac˘ a:

f ¸si si g sunt derivabile pe (a, b) x0 ¸si si cont contin inue ue ˆın ın x0 , f ( f (x0 ) = 0, g (x0 ) = 0, g  (x) = 0 ˆıntr-o ınt r-o vecin˘ vecin atate ˘ a lui x0 , f (x) exist˘ a lim g (x) = λ,

\{ }





x

→x0



f (x) x0 g(x)

atunci exist˘ a ¸si lim x

→

= λ.

Formula lui Taylor pentru funct¸ii ¸ii de o variabil˘ a

→ R o funct ¸ie de n ori derivabil˘ a ˆın punct pu nctul ul x0 ∈ I . Polinomul 1 1 1 T n (x) = f ( f (x0 ) + f  (x0 )(x )(x − x0 ) + f  (x0 )(x )(x − x0 )2 + · · · + f (n) (x0 )(x )(x − x0 )n = 1! 2! n!

Definit ¸ia ¸ia 5.11 Fie f : I

n



k=0

1 (k) f (x0 )(x )(x k!

n

− x0)k =



k=0

1 k d f ( f (x0 ; x k!

− x0)

se nume¸ nu me¸ste st e polinomul lui Taylor de gradul n al funct ¸iei f ˆın ın punct pun ctul ul x0 .

−

∈

Funct¸ia ¸ia Rn (x) = f (x) T n (x), x I , se nume¸ste ste restul lui Taylor de ordinul n al funct¸iei ¸iei f ˆın punct pu nctul ul x0 . Din egalitatea precedent˘a avem f ( f (x) = T n (x) + Rn (x),

∀ x ∈ I,

care se nume¸ste ste formula lui Taylor de ordinul n a funct¸iei ¸iei f ˆın punct pu nctul ul x0 . Deoare Deoarece ce lim Rn (x) = 0, pentru valori ale lui x sufucient de apropiate de x0 , polix

→x0

nomul T n (x) aproximeaz˘a pe f ( f (x), adic˘a f (x)

≈ T n(x).


56

→

Teorema 5.12 (Formula lui Taylor) Fie f : I R o funct ¸ie de n + 1 ori derivabil˘ a pe I ¸si si p N. Oric Oricare are ar fi x, x0 I , x = x0 , exist˘ a un punct ξ cuprin cup rinss ˆıntre ın tre x0 ¸si si x,

∈

∈  − x0), θ ∈ (0, (0, 1), 1), a.ˆı. ı. s˘ a avem p+1 1 (k) (x − x0 ) p (x − ξ )n− p+1 f (x0 )(x )(x − x0 )k + f (n+1) (ξ ).

adic˘ a de forma ξ = x0 + θ(x n

f ( f (x) =



k=0

k!

 Pentru orice p condit¸ia ¸ia

n! p

(5.13)

∈ N, x, x0 ∈ I , x = x0, numere fixate, num˘arul arul A ∈ R satisf˘ acˆ acˆ and and

(a) f ( f (x) = f ( f (x0 ) +

1  f (x0 )(x )(x 1!

− x0) + · · · + n1! f (n)(x0)(x )(x − x0 )n + (x (x − x0 ) p · A

este unic determinat. Pentru a dovedi (5.13) r˘amˆ amˆ ane ane s˘a ar˘at˘ at˘ am am c˘a (b) A =

f (n+1) (ξ ) (x n! p

p+1 − x0)n− p+1 .

→ R, definit˘a prin 1 1 ϕ(t) = f ( f (t) + f  (t)(x )(x − t) + · · · + f (n) (t)(x )(x − t)n + (x (x − t) p · A, 1! n!

In acest scop s˘a condider˘am am funct¸ia ¸ia ϕ : I

ˆın care ca re A safisface (a (a). Funct¸ia ¸ia ϕ este derivabil˘a pe I deoarece f este de n + 1 ori derivabil˘ derivabil˘ a pe I . Pe de alt˘a parte, având and ˆın vedere veder e (a), g˘asim asim c˘a ϕ(x0 ) = ϕ(x) = f ( f (x). A¸sadar, sadar, funct¸ia ¸ia ϕ satisface condit¸iilor ¸iilor teoremei lui Rolle pe [x [ x0 , x] ¸si si deci exist˘a un punct ξ (x0 , x) a.ˆı. ϕ (ξ ) = 0. Dar 1 ϕ (t) = f (n+1) (t)(x )(x t)n p( p(x t) p−1 A n! ¸si si deci de ci A are expresia (b ( b), c.c.t.d. c.c.t.d.  Restul din formula (5.13) se nume¸ste ste restul lui Sch¨ omlich

∈

− −

Rn (x) =

(x

−

·

p+1 − x0) p(x − ξ)n− p+1 f (n+1) (ξ ),

n! p

p

∈ N.

Cazuri particulare

1. Dac˘a lu˘am am p = 1, obt¸inem ¸inem Rn (x) =

(x

− x0)n+1 (1 − θ)nf (n+1)(ξ), n!

ξ = x0 + θ (x

− x0), θ ∈ (0, (0, 1), 1),

care se nume¸ste ste restul lui Cauchy . 2. Dac˘a lu˘am am p = n + 1, obt¸inem ¸inem Rn (x) =

(x

− x0)n+1 f (n+1)(ξ), n!

care se nume¸ste ste restul lui Lagrange. Lagrange.

ξ = x0 + θ (x

− x0), θ ∈ (0, (0, 1), 1),


57

Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange se scrie

f ( f (x) = f ( f (x0 )+ n

=



k=0

1  f (x0 )(x )(x x0 )+ 1!

−

1 k d f ( f (x0 ; x k!

1 · · · + n1! f (n) (x0)(x )(x − x0 )n + f (n+1) (ξ )(x )(x − x0 )n+1 (n + 1)!

− x0) + (n +1 1)! dn+1f ( f (ξ ; x − x0 ),

ξ = x0 + θ(x

− x0), θ ∈ (0, (0, 1). 1).

Luˆ and and x

− x0 = h, putem scrie ˆınc˘a formula lui Taylor sub forma 1 1 1 f ( f (x0 + h) = f ( f (x0 ) + f  (x0 ) h + · · · + f (n) (x0 ) hn + f (n+1) (ξ ) hn+1 = 1! n! (n + 1)! n

=



k=0

1 k 1 d f ( f (x0 ; h) + dn+1 f ( f (ξ ; h), ξ = x0 + θh, θ k! (n + 1)!

∈ (0, (0, 1). 1).

∈ ¸sisi lu˘am am x0 = 0, obt¸inem ¸inem 1 1 1 f ( f (x) = f (0) f (0) + f  (0) x + · · · + f (n) (0) xn + f (n+1) (θx) θx) xn+1 = 1! n! (n + 1)!

Dac˘ a0

n

=



k=0

1 k 1 d f (0; f (0; x) + dn+1 f ( f (θx; θx; x), θ k! (n + 1)!

∈ (0, (0, 1), 1),

care se nume¸ste ste formula lui Mac-Laurin . Exemplul 5.1 Funct ¸ia ¸ia f ( f (x) = sin x, x n

−

( 1)k−1

∈ R, are dezvoltarea Mac-Laurin

x2k−1 x2n + sin(θx sin(θx)), θ (2k (2k 1)! (2n (2n)!

∈ (0, (0, 1). 1). − k=1 Exemplul 5.2 Funct ¸ia ¸ia f ( f (x) = cos x, x ∈ R, are dezvoltarea Mac-Laurin sin x =

n

cos x =

−

( 1)k

k=0

x2k x2n+1 + cos(θx cos(θx)), θ (2k (2k)! (2n (2n + 1)!

Exemplul 5.3 Funct ¸ia ¸ia f ( f (x) = ln(1 + x), x n

ln(1 + x) =

−

k=1

∈ (−1, ∞), are dezvoltarea Mac-Laurin

xn+1 + ( 1) , θ k (n + 1)(1 + θx) θx)n+1

k k 1x

( 1) −

−

n

Exemplul 5.4 Funct ¸ia ¸ia f ( f (x) = (1 + x)α , x

Laurin n α

(1 + x) = 1 +



k=1

cu θ

∈ (0, (0, 1). 1).

α(α

∈ (0, (0, 1). 1). ∈ (0, (0, 1). 1).

∈ (−1, ∞), α ∈ R, are dezvoltarea Mac-

− 1) · · · (α − k + 1) xk + α(α − 1) · · · (α − n) xn+1(1 + θx) θx)α−n+1 , k!

(n + 1)!


58

Formula lui Taylor pentru funct¸ii ¸ii vectoriale de o variabil˘ a

Dac˘ a funct¸ia ¸ia vetorial˘a f : I Rm , f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ), este de n + 1 ori derivabil˘a ˆın x0 I atunci pentru fiecare component˘a f i , i = 1, 1 , m, putem scrie

→

∈

n

f i (x) =



k=0

1 (k) f (x0 )(x )(x k! i

− x0)k + Rin(x),

i = 1, m,

care sunt echivalente cu n

f (x) =



k=0

1 (k) f (x0 )(x )(x k!

− x0)k + Rn(x),

n cu Rn (x) = (R1n (x), R2n (x), . . . , Rm (x)), unde

Rin (x) =

1 (n+1) f i (ξi )(x )(x (n + 1)!

− x0)n+1, ξi = x0 + θi (x − x0), θi ∈ (0, (0, 1), 1), i = 1, 1 , m,

care reprezint˘a formula lui Taylor pentru funct ¸ia vectorial˘ vectorial˘ a f cu restul lui Lagrange. Lagrange . Condit ¸ii suficiente de extrem pentru funct¸ii ¸ii ¸ii de o variabil˘ a Teorema 5.13 Fie f : I

x0 , interior lui I , ˆın care

→ R o funct ¸ie de n ori derivabil˘ a ˆıntr-o ınt r-o vecin˘ vecin atate ˘ a punctului

f  (x0 ) = f  (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) = 0, 0, n



≥ 2,

atunci: 1. Dac˘ a n = 2m, m N, punctul x0 este punct de extrem al funct¸iei ¸iei f ¸si si anume an ume:: - punct de maxim dac˘ a f (n) (x0 ) < 0, - punct de minim dac˘ a f (n) (x0 ) > 0; 2. Dac˘ a n = 2m 1, m N, punctul x0 nu este punct de extrem.

∈

−

∈

 Inipotezele Inipotezele teoremei, teoremei, formula formula lui Taylor aylor cu restul restul lui Lagrange Lagrange se scrie f ( f (x)

− f (x0) =

(x

− x0)n f (n) (ξ), n!

ξ = x0 + θ(x

− x0), θ ∈ (0, (0, 1). 1).

Cum f (n) (x0 ) = 0, exist˘a o vecin˘atate atate V a lui x0 ˆın care ca re f (n) (x0 ) f (n) (x) > 0. N, atunci diferent¸a 1. Dac˘ Dac˘ a n = 2m, m ¸a f (x) f ( f (x0 ) are semnul lui f (n) (x0 ), deoarece deoarece (x x0 )n 0. Deci Deci x0 este punct de extrem: extrem: de maxim dac˘a f (n) (x0 ) < 0 ¸si de minim dac˘a f (n) (x0 ) > 0. 2. Dac˘ Da c˘a n = 2m 1, m N, atunci (x (x x0 )n este negativ pentru x < x0 ¸si si pozi po ziti tiv v pentru x > x0 . Punctul x0 nu este punct de extrem deoarece nu exist˘a nici o vecin˘atate atate a lui x0 pe care diferent¸a ¸a f ( f (x) f ( f (x0 ) s˘a p˘ astreze astreze semn constant. 



−

≥ −

∈

−

∈

−

−

·


5.2 5.2.1 5.2.1

Derivatele Deriv atele ¸ si diferent si diferent ¸iala funct ¸iala ¸iilor de ¸iilor

n

59

variabile

Deriv Derivate atele le part part ¸iale ¸ial e ¸ si si difere dif erent nt ¸iala ¸iala funct ¸iilor ¸iilor reale de abile

n

vari-

Fie f : E R, E R2 , f = f ( f (x, y ) o funct¸ie ¸ie real˘a de dou˘ a variabi vari abile le ¸si si x0 = (x ( x0 , y0 ) un punct interior lui E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 5.12 Spunem c˘ a funct ¸ia f ¸ia f este derivabil˘a part¸ial ¸ial ˆın punct pun ctul ul (x0 , y0 ) ˆın raport rapo rt cu variabila x dac˘ a exist ex ist˘ ˘ a ¸si si este es te finit fin it˘ ˘ a

lim

x

→x0

f ( f (x, y0 ) x

− f (x0, y0) . − x0

Limit Li mita a ˆıns˘ ıns ˘ a¸si si se nume nu me¸¸ste st e derivata part¸ial˘ ¸ial˘ a a funct ¸iei f ˆın ın punct pun ctul ul (x0 , y0 ) ˆın raport rapo rt cu x ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a prin ∂f f x (x0 , y0 ) sau (x0 , y0 ). ∂x Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f este derivabil˘a part¸ial ¸ial ˆın punct pun ctul ul (x0 , y0 ) ˆın raport cu c u variabila variabil a y dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a f ( f (x0 , y ) f ( f (x0 , y0 ) lim . y→y0 y y0 Limit Li mita a ˆıns˘ ıns ˘ a¸si si se nume nu me¸¸ste st e derivata part¸ial˘ ¸ial˘ a a funct ¸iei f ˆın ın punct pun ctul ul (x0 , y0 ) ˆın raport rapo rt cu y ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a prin ∂f f y (x0 , y0 ) sau (x0 , y0 ). ∂y

− −

Din definit¸ie ¸ie rezult˘a c˘a atunc a tuncii cˆ c ând and deriv˘ der iv˘aam m ˆın rapor ra portt cu x, variabila y este considerat˘a constant˘ a ¸si si deriv˘ deri v˘am am ca ¸si si cum am avea o funct¸ie ¸ie de singura variabil˘a x. O observ observat at¸ie ¸ie asem˘ am˘ am˘ atoare, atoare, cu schimbarea schimbare a rolului rolul ui variabilelor, variabil elor, are loc lo c ¸si si ˆın privint pri vint¸a ¸a derivatei deri vatei ˆın raport r aport cu y . Exemplul 5.5 Funct ¸ia ¸ia f f ((x, y ) = ln(x ln(x2 + y2 ), (x, y )

∈ R2 \{ (0, (0, 0)} are derivatele part ¸iale

∂f 2x ∂f 2y (x, y ) = 2 , (x, y ) = 2 . 2 ∂x x +y ∂y x + y2 Fie acum f : E R, E Rn , f = f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ) o funct¸ie ¸ie real˘a de n variab vari abil ilee ¸si si x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) un punct interior al lui E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 5.13 Spunem c˘ a funct ¸ia f este derivabil˘ a part¸ial ¸ial ˆın ın punct pun ctul ul x0 ˆın raport cu

variabila xk dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a f (x01 , x02 , . . . , xk0 −1 , xk , xk0 +1 , . . . , x0n ) lim 0 xk xk0 xk →xk

−

− f ( f (x01 , x02 , . . . , x0n ) .

Limit Li mita a ˆıns˘ ıns ˘ a¸si si se nume nu me¸¸ste st e derivata part¸ial˘ ¸ial˘ a a funct ¸iei f ˆın punct pun ctul ul x0 ˆın raport cu variabila xk ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a prin f x k (x0 ) sau

∂f (x0 ). ∂x k


60

Derivata part¸ial˘ ¸ial˘ a ˆın rapo ra port rt cu xk a funct¸iei ¸iei f (x1 , x2 , . . . , xn ) se obt¸ine ¸ine derivând and funct¸ia ¸ia f privit˘ a ca funct¸ie ¸ie numai de variabila xk , celelalte variabile fiind considerate constante. De aici aici rezult rezult˘˘a c˘ a regulile regulile de calcul ale derivatelo derivatelorr part¸iale ¸iale sunt acelea¸ acelea¸si si cu cele ale derivatelor funct¸iilor ¸iilor de o variabil˘a. a. O funct¸ie ¸ie f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ) poate poat e avea, ˆıntr-un punct pu nct x0 , cel mult n derivate part¸iale. ¸iale. Fie din nou f : E R, E R2 , f = f ( f (x, y ) o funct¸ie ¸ie real˘a de dou˘ a variab vari abil ilee ¸si si x0 = (x ( x0 , y0 ) un punct interior lui E .

⊂

→

Definit ¸ia ¸ia 5.14 Spunem c˘ a funct ¸ia f ¸ia f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın ın punct pun ctul ul x0 , punct de acumu2 lare pentru E , dac˘ a exist˘ a vectorul A = (A, B ) R ¸si si func fu nct ¸ia ¸i t a α : E R satisf˘ acˆ and and

∈

condit ¸ia ¸ia lim α(x, y) = α(x0 , y0 ) = 0 a.ˆı.

→

x

→x0

− f ( f (x0 , y0 ) = A (x − x0 ) + B (y − y0 ) + α(x, y ) ||x − x0 ||, ∀ x ∈ E, sau, cu x − x0 = h, y − y0 = k, adic˘ a x − x0 = h, f ( f (x0 + h, y0 + k) − f ( f (x0 , y0 ) = A h + B k + α(x0 + h, y0 + k ) ||h||, ∀ x0 + h ∈ E, (5.14) f ( f (x, y )

Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , aplicat ¸ia liniar˘ a h

→ A · h = A h + B k, ∀ h = (h, ( h, k ) ∈ R2 ,

se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala funct ¸iei f ˆın punct pun ctul ul x0 ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a df ( f (x0 , y0 ) = df ( f (x0 , y0 ; h, k ) = A h + B k.

(5.15)

Pentru funct¸iile ¸iile p : R2 R2 ¸si si q : R2 R2 , definite prin p(x, y ) = x, q (x, y ) = y , 2 oricare ar fi (x ( x0 , y0 ) R , au loc inegalit˘at a¸ile ¸tile

→

∈

→

− q(x0, y0) = k + 0 ||h||, ∀ h ∈ R2, care car e arat˘ ara t˘a c˘a funct¸iile ¸iile p ¸si si q sunt diferent¸iabile ¸iabile ˆın orice punct x0 ∈ R2 ¸si si dp( dp(x0 , y0 ) = p( p(x, y )

− p( p(x0 , y0 ) = h + 0 ||h||,

q (x, y )

dp( dp(x0 , y0 ; h, k ) = h, dq( dq (x0 , y0 ) = dq( dq (x0 , y0 ; h, k ) = k . Deoarece Deoarece diferent diferent¸ialele ¸ialele funct¸iilor ¸iilor p ¸si si q sunt acelea¸ acel ea¸si si ˆın orice ori ce punct pun ct din R2 , ele se noteaz˘a dp( dp(x, y ) = dx = h, dq (x, y ) = dy = k

(5.16)

¸si si se numesc numes c diferent ¸ialele variabilelor independente. independente . Fie acum f : E R, E Rn , f = f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ) o funct¸ie ¸ie real˘a de n variab vari abil ilee ¸si si 0 0 0 x0 = (x1 , x2 , . . . , xn ) un punct interior lui E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 5.15 Spunem c˘ a funct ¸ia f ¸ia f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın ın punct pun ctul ul x0 , punct de acumuR lare pentru E , dac˘ a exist˘ a vectorul A = (A1 , A2 , . . . , An ) Rn ¸si si func fu nct ¸ia t α : E satisf˘ acˆ and and condit ¸ia lim α(x) = α(x0 ) = 0 a.ˆı.

∈

x

→x0

f ( f (x)

− f ( f (x0 ) = A·(x − x0 ) + α(x) ||x − x0 ||, ∀ x ∈ E,

→

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA sau, cu x

61

− x0 = h, f ( f (x0 + h)

− f ( f (x0 ) = A · h+α(x0 + h) ||h||, ∀ x0 + h ∈ E.

Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , aplicat ¸ia liniar˘ a n

h

→ A · h =



Ai hi ,

i=1

∀ h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn,

se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala funct ¸iei f ˆın punct pun ctul ul x0 ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a n

df (x0 ) = df ( f (x0 ; h) = A h =

·

→



Ai hi .

i=1

x0 , rezult˘ Dac˘ Da c˘a ˆın defin de finit it¸ia ¸ia precedent˘a facem pe x a c˘a o funct¸ie ¸ie diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆıntr-un punct este continu˘a ˆın ın acel punct. pun ct. n n R , definite prin pi (x1 , x2 , . . . , xn ) = xi , i = 1, n, oricare Pentru funct¸iile ¸iile pi : R ar fi (x (x01 , x02 , . . . , x0n ) Rn , au loc inegalit˘at a¸ile ¸tile

∈

→

− p( p(x01 , x02 , . . . , x0n ) = hi + 0 ||h||, ∀ h ∈ Rn , sunt sunt diferent diferent¸iabile ¸iabile ˆın orice punct x0 ∈ Rn ¸si si

pi (x1 , x2 , . . . , xn )

care arat˘a c˘a funct funct¸iile ¸iile pi dpi (x0 ) = dp( dp(x0 ; h) = hi . Deoare Deoarece ce difere diferent nt¸ialele ¸ialele funct¸iilor ¸iilor pi sunt acelea¸si si ˆın orice punct din Rn , ele se noteaz˘a dp( dp(x1 , x2 , . . . , xn ) = dxi = hi , (5.17) ¸si si se numesc numes c diferent ¸ialele variabilelor independente. independente . Teorema 5.14 Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f este diferent ¸iabil˘ a ˆın punctul punc tul x0 atunci exist˘ a toate derivatele part ¸iale ¸ia le ˆın ın x0 ¸si si n

df ( f (x0 ) =

 i=1

∂f (x0 ) dxi . ∂x i

(5.18)

 S˘ a presupunem c˘a f este o funct¸ie ¸ie de dou˘ a variabile. Dac˘ a funct¸ia ¸ia f este diferent¸i¸iabil ab il˘˘a ˆın punc pu nctu tull x0 atunci are loc (5.14). Luând and aici k = 0, ˆımp˘ ımp art a˘rt¸ind ¸ind prin h ¸si si trec tr ecˆând and la limit˘ a pentru h 0, apoi luând and h = 0, ˆımp˘ ım p˘art art¸ind ¸ind prin k ¸si si trec tr ecˆând and la limit˘a pentru k 0, obt¸inem ¸inem

→

→

f ( f (x0 + h, y0 ) f ( f (x0 , y0 ) f ( f (x0 , y0 + k ) f ( f (x0 , y0 ) = A, lim = B, h→0 k→0 h k de unde deducem c˘a exist˘a derivatele part¸iale ¸iale ale funct¸iei ¸iei f ˆın x0 ¸si si lim

−

−

A=

∂f ∂f (x0 ), B = ( x0 ) . ∂x ∂y

Inlocuind A ¸si si B ˆın (5.1 (5 .15) 5) ¸si si ¸inˆ ¸tinând and seama de (5.16), obt¸inem ¸inem pentru diferent ¸iala funct¸iei ¸iei f ˆın x0 expresia ∂f ∂f df ( f (x0 ) = (x0 ) dx + (x0 ) dy.  ∂x ∂y Existent¸a ¸a derivatelor part¸iale ¸iale ˆıntr-un punct nu implic˘ i mplic˘a diferent¸iabilitatea ¸iabilitatea funct¸iei ¸i ei ˆın acel punct ¸si si nici n ici continuitatea c ontinuitatea funct¸iei ¸iei ˆın acel punct. Teorema care urmeaz˘a precizeaz˘a condit ¸ii suficiente de diferent¸iabilitate ¸iabilitate a funct¸iei ¸iei f . f .

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Teorema 5.15 Dac˘ a funct ¸ia f are toate derivatele part ¸iale ¸iale pe sfera S (x0 ; δ ) acestea sunt continue ˆın ın x0 , atunci f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 .

62

⊂ E ¸si si

 S˘ a presupunem c˘a f este o funct¸ie ¸ie de dou˘ a variabile variabile.. Pentru Pentru orice x = (x, y ) S (x0 ; δ ) avem f (x, y)

∈

− f (x0, y0) = [f ( f (x, y ) − f ( f (x0 , y )] + [f [f ((x0 , y) − f ( f (x0 , y0 )]

¸si si aplic apl icˆ and aˆnd teorema lui Lagrange ˆın ın fiecare parantez˘a, a, g˘asim asim

− f ( f (x0 , y ) = f x (ξ, y) (x − x0 ), ξ ∈ (x0 , x), f ( f (x0 , y) − f ( f (x0 , y0 ) = f y (x0 , η ) (y − y0 ), η ∈ (y0 , y ), f ( f (x, y )

deci

− f ( f (x0 , y0 ) = f x (x0 , y0 ) (x − x0 ) + f y (x0 , y0 ) (y − y0 )+ [f x (ξ, y ) − f x (x0 , y0 )](x )](x − x0 ) + [f [ f y (x0 , η ) − f y (x0 , y0 )](y )](y − y0 ), f ( f (x, y)

adic˘a f ( f (x, y )

− f ( f (x0 , y0 ) = f x (x0 , y0 ) (x − x0 ) + f y (x0 , y0 ) (y − y0 ) + α(x, y ) ||x − x0 ||,

cu α(x) =

1

||

[f x (ξ, y )

− f x (x0, y0)](x )](x − x0 ) + [f [ f y (x0 , η ) − f y (x0 , y0 )](y )](y − y0 )



, ||x − x0 pentru x  = x0 ¸si si α(x0 ) = 0. S˘a ar˘at˘ at˘ am c˘a α(x) → 0 cˆ si datori dat orit˘ t˘a and and x → x0 , Din |x − x0 |, |y − y0 | ≤ ||x − x0 || ¸si

continuit˘at a¸ii ¸tii derivatelor part¸ial ¸ialee ˆın S (x0 ; δ), avem

|α(x)| ≤ |f x (ξ, y) − f x (x0, y0)| + |f y (x0, η) − f y (x0, y0)](y )](y − y0 )| → 0, deoarece (ξ, (ξ, η ) ¸si (x0 , η ) → (x0 , y0 ) cˆ and and x → x0 .  Aplicat¸ia ¸ia d =

∂ ∂ dx1 + dx2 + ∂x 1 ∂x 2

· · · + ∂x∂ n dxn,

prin care se asociaz˘a fiec˘arei arei funct¸ii ¸ii diferent¸iabile ¸iabile f diferent¸iala ¸ial a sa ˆın x0 , se nume¸ste ste operatorul de diferent ¸iere. ¸iere. Se verific˘a imediat urm˘atoarele atoarele reguli de diferent ¸iere: ¸iere: d(λf + µg) µg) = λ df + µdg,

∀ λ, µ ∈ R,

d(f g) = g df + f dg, d

 f g

=

g df

− f dg dg ,

g2

g (x) =0. =0.




5.2. 5.2.2 2

63

Deri Deriv vate ate part part ¸iale ¸ si si diferent dife rent ¸iala ¸iala funct ¸iilor ¸iilor vector vectoriale iale de variabile

n

Rm , E Rn , f = f (x1 , x2 , . . . , xn ) o funct¸ie Fie f : E ¸ie vectorial˘a de n variabi vari abile le ¸si si 0 0 0 x0 = (x ( x1 , x2 , . . . , xn ) un punct interior al lui E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 5.16 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f este derivabil˘ a part¸ial ¸ial ˆın ın punct pun ctul ul x0 ˆın ın raport cu

variabila xk dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a lim 0

xk

f (x01 , x02 , . . . , xk0 −1 , xk , xk0 +1 , . . . , x0n )

xk

→x

k

− xk0

− f (x01, x02, . . . , x0n) .

Limit Li mita a ˆıns˘ ın s˘ a¸si si se nume nu me¸¸ste st e derivata part¸ial˘ ¸ial˘ a a funct ¸iei f ˆın ın punct pun ctul ul x0 ˆın ın raport cu variabila xk ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a prin f x k (x0 ) sau

f ∂ f (x0 ). ∂x k

Teorema 5.16 Funct ¸ia vectorial˘ a f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ) este derivabil˘ a part¸ial ¸ial ˆın punct pun ctul ul x0 ˆın raport cu c u varia v ariabila bila xk d.d. funct ¸iile componente f i , i = 1, 1 , m, sunt derivabile part ¸ial x0 ˆın ın raport cu variabila xk .

 Afirmat¸ia ¸ia rezult˘a din faptul c˘a raportul incrementar al funct¸iei ¸iei vectoriale f ˆın x0 ˆın raport rap ort cu xk are drept componente rapoartele incrementare ale funct¸iilor componente f i ˆın x0 ˆın raport rap ort cu xk .  Definit ¸ia ¸ia 5.17 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın ın punct pun ctul ul x0 , punct de acuR mulare penrtu E , dac˘ a exist˘ a matricea matricea A = (Aij ) si si funct fun ct ¸ia ¸ia vectorial˘ a m×n ( ) ¸ α : E Rm , α = (α ( α1 , α2 , . . . , αm ), satisf˘ acˆ and and condit ¸ia lim α(x) = α(x0 ) = 0 a.ˆı.

∈M

→

x

→x0

f (x)

sau, cu x

− f (x0) = A·(x − x0) + α(x) ||x − x0||, ∀ x ∈ E,

− x0 = h, f (x0 + h)

− f (x0) = A · h + α(x0 + h) ||h||, ∀ x0 + h ∈ E.

(5.19)

Fie Aj = t (A1j , A2j , . . . , Amj ), j = 1, n, vectorii din Rm ce au drept componente coloanele coloanele matricei A. Dac˘ Dac˘ a f este diferent ¸iabil˘ a ˆın x0 , aplicat ¸ia liniar˘ a df (x0 ) : Rn Rm ,

→

n

h

→ A · h =

 j =1

Aj hj ,

∀ h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn,

se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala funct ¸iei f ˆın punct pun ctul ul x0 : n

df (x0 ) = df (x0 ; h) = A h =

·



Aj hj .

(5.20)

j =1

Teorema 5.17 Funct ¸ia vectorial˘ a f = (f 1 , f 2 , . . . , fm ) este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın punct pun ctul ul x0

d.d. funct ¸iile componente f i , i = 1, 1 , m, sunt diferent ¸iabi ¸iabile le ˆın ın x0 .


64

 Afirmat¸ia ¸ia rezult˘ a din faptul c˘a egalitatea egalitatea vectoria vectorial˘ l˘a (5.19) (5.19) este echiv echivalen alent˘ t˘a cu egalit˘at a¸ile ¸tile n

f i (x0 + h)

− f i (x0) =



Aij hj +αi (x0 + h) h ,

|| || ∀ x0 + h ∈ E, i = 1, m. 

j =1

Egalitatea vectorial˘a (5.20) se scrie pe componente n

df i (x0 ) = df i (x0 ; h) =



Aij hj , i = 1, 1 , m.

j =1

Din Teorema 5.14 rezult˘a atunci c˘a dac˘a f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 , funct¸iile ¸iile f i au toate derivatele part¸ial ¸ialee ˆın x0 ¸si si n

df i (x0 ) =

5.2.3 5.2.3

∂f i (x0 ) dxj , i = 1, 1 , m. ∂x j j =1



Deriv Derivate ate part par¸iale ¸tial e ¸ si si difere dif erent nt ¸iale de ordin superior ¸iale

Fie f : E R, E R2 , f = f ( f (x, y ) o funct¸ie ¸ie real˘ rea l˘a de dou˘ a variabile derivabil˘ a part¸ial ¸ial ˆın raport fiecare variabil˘a x ¸si si y, ˆın ın punctele interioare interioar e ale al e lui lu i E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 5.18 Dac˘ a funct ¸iile f x ¸si si f y sunt derivabile part ¸ial ˆın raport cu x ¸si si y , deri-

vatele lor part ¸iale se numesc derivate part¸iale ¸iale de ordinul doi ale funct ¸iei f ¸si si se noteaz˘ not eaz˘ a: ∂ 2 f ∂ = ∂x 2 ∂x

∂f ∂ 2 f ∂ , = ∂x ∂y∂x ∂y

 

∂f ∂ 2 f ∂ , = ∂x ∂x∂y ∂x

 

∂f ∂ 2 f ∂ , = ∂y ∂y 2 ∂y

 

 

∂f . ∂y

Deci o funct¸ie ¸ie de dou˘a variabile poate avea patru derivate part¸iale ¸iale de odinul doi. In general, o funct¸ie ¸ie de n variabile f = f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ) are n2 derivate part¸iale ¸iale de ordinul doi: ∂ 2 f ∂ ∂f = , i , j = 1, 1 , n. ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j

 

Derivatele part¸iale ¸iale ∂ 2 f/∂x∂y ¸si si ∂ 2 f/∂y∂x (numite ¸si si derivate part¸iale ¸iale mixte), ˆın general, general , nu sunt egale. e gale. Teorema care urmeaz˘a stabile¸ st abile¸ste ste condit¸ii ¸ii suficiente ca derivatele part¸iale ¸iale mixte ale unei funct¸ii ¸ii s˘ a fie egale. Teorema 5.18 (Teoreme lui Schwarz) Dac˘ a funct ¸ia f ¸ia f are derivate part ¸iale mixte de

ordinul doi ˆıntr-o vecin˘ atate V a unui punct (x, y ) din interiorul lui E ¸si si acestea acest ea sunt sun t contin cont inue ue ˆın (x, y), atunci ∂ 2 f ∂ 2 f (x, y ) = (x, y ). (5.21) ∂x∂y ∂x∂y  Fie h = (h, k ) definim funct¸iile ¸iile

∈ R2 a.ˆı.

ϕ(t) = f ( f (x + ht,y + k )

x+h

∈ V . V .

− f ( f (x + ht,y) ht,y),

Pent Pentru ru t

∈ [0, [0, 1] pentru care x+th ∈ V , V ,

ψ (t) = f ( f (x + h, y + kt) kt)

− f ( f (x, y + kt) kt).


−

Se constat˘a imediat c˘a ϕ(1) ϕ(0) = ψ(1) funct¸iilor ¸iilor ϕ ¸si si ψ pe intervalul [0, [0, 1], g˘ asim asim (a)

65

− ψ(0). (0). Aplicˆ and teorema lui Lagrange and

ϕ (θ1 ) = ψ (θ2 ), θ1 , θ2

∈ (0, (0, 1), 1),

de unde



∂f (x + hθ1 , y + k) ∂x

−

∂f (x + hθ1 , y) ∂x

· 

∂f h= (x + h, y + kθ2 ) ∂y

−

·

∂f (x, y + kθ2 ) ∂y

k.

Printr-o nou˘a aplicare a teoremei lui Lagrange funct¸iilor ¸iilor ∂f ∂f (x + hθ1 , y + kt) kt), (x + ht,y + kθ2 ), t ∂x ∂y

∈ [0, [0, 1], 1],

obt¸inem ¸inem ∂ 2 f ∂ 2 f (x + hθ1 , y + kθ3 ) = (x + hθ4 , y + kθ2 ), θ3 , θ4 ∂y∂x ∂x∂y

∈ (0, (0, 1). 1).

Trecând and la limit˘a pentru (h, (h, k ) (0, (0, 0) ¸si si ¸inˆ ¸tinând and seama c˘a derivatele part¸iale ¸iale mixte sunt conti co ntinue nue ˆın (x, y) rezult˘a (5.21).  Rezultatul Rezultatul se ment¸ine ¸ine ¸si si pentru derivatele derivatele de ordin superior

→

∂ n+m f ∂ n+m f ( x, y ) = (x, y ). ∂x n ∂y m ∂y m ∂x n Teorema r˘amˆ amˆ ane ane adev˘arat˘ arat˘ a ¸si si pentru funct¸ii ¸ii reale sau vectoriale de n variabile. 2 Fie f : E R, E R , f = f ( f (x, y ) o funct¸ie ¸ie real˘a de dou˘ a variabile diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın punctele p unctele interioare interioar e ale lui E .

→

⊂

Definit ¸ia ¸ia 5.19 Spunem c˘ a funct ¸ia f este de dou˘a ori diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın punctul punc tul (x, y ) dac˘ a funct ¸ia df ( f (x, y ; h, k ) este diferent ¸iabil˘ a ˆın (x, y) oricare ar fi (h, k ) R2 . Dac˘ Dac˘ a f

este de dou˘ a ori diferent ¸iabil˘ a ˆın (x, y ), atunci aplicat ¸ia ¸ia d2 f ( f (x, y; h, k ) = d(df )(x, )(x, y ; h.k) h.k ) =

∈

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 ( x, y ) h + 2 ( x, y ) hk + (x, y ) k 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

se nume¸ nu me¸ste st e diferent¸iala ¸iala a doua a funct ¸iei f ˆın ın (x, y ). Deoarece h = dx ¸si si k = dy, dy, diferent¸iala ¸iala a doua se mai scrie d2 f ( f (x, y ) =

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 ( x, y ) dx + 2 ( x, y ) dxdy + (x, y ) dy2 . ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

Operatorul 2

d =



∂ ∂ dx + dy ∂x ∂y

(2)



=

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 2 dx + 2 dxdy + dy 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

se nume¸ nume¸ste st e operatorul de diferent ¸iere de ordinul doi .


66

Dac˘ a funct¸ia ¸ia f are toate derivatele part¸iale ¸iale de ordinul p ¸si si acestea sunt continue, funct¸ia ¸ia f este de p ori diferent diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın (x, y ) ¸si si diferen dif erent¸iala ¸t iala de ordinul p este dat˘a de p

d f =



∂ ∂ dx + dy ∂x ∂y



p

( p) p)

f =



C pk

k=0

∂ p f dx p−k dy k . ∂x p−k ∂y k

Pentru funct¸ii ¸ii reale sau vectoriale de n variabile, diferent¸iala ¸iala de ordinul p se define¸ defi ne¸ste ste ˆın mod asem˘an˘ an˘ ator ator p

d f =



∂ ∂ dx1 + dx2 + ∂x 1 ∂x 2

···

∂ + dxn ∂x n



( p) p)

f.

Fie D o mult¸ime ¸ime deschis˘a din Rn . de clas˘a C k pe D dac˘ a f are toate derivatele part ¸iale ¸ia le pân˘ an ˘ a la ordinul k pe D ¸si si derivatele derivate le de ordinul k sunt continue pe D. Definit ¸ia ¸ia 5.20 Funct ¸ia f : D

→ R se nume¸ num e¸ste st e

Mult¸imea ¸imea funct¸iilor ¸iilor de clas˘a C k pe D se noteaz˘a C k (D). Prin Prin C 0 (D) = C (D) se ˆın¸elege ¸telege mult¸imea ¸imea funct¸iilor ¸iilor continue pe D.

5.2.4 5.2.4

Deriv Derivate atele le part part ¸iale ¸ial e ¸ si si difere dif erent nt ¸ialele ¸ialele funct ¸iilor ¸iilor compuse

→

⊂ ∈

Teorema 5.19 Dac˘ R, I R, au derivate continue a funct ¸iile u, v : I continue pe I , iar 2 funct ¸ia ¸ia f : E R, E R , are derivate part ¸iale continue pe E , atunci funct ¸ia compus˘ a R, F ( F : I F (x) = f ( f (u(x), v (x)), )), pentru orice x I , are derivat˘ a continu˘ a pe I , dat˘ a

de

→

→

⊂

dF ∂f du ∂f dv = + . dx ∂u dx ∂v dx  Fie x0

(5.22)

∈ I ¸sisi u0 = u(x0), v0 = v(x0). Aplicând and teorema lui Lagrange, Lagrange, putem scrie [f ((u0 , v ) − f ( f (u0 , v0 )] = f ( f (u, v ) − f ( f (u0 , v0 ) = [f (u, v ) − f ( f (u0 , v )] + [f = f u (uξ , v )(u )(u − u0 ) + f v (u0 , vξ )(v )(v − v0 ), cu uξ ∈ (u0 , u), vξ ∈ (v0 , v ) ¸si u − u0 = u(x) − u(x0 ) = u (ξu )(x )(x − x0 ), v − v0 = v(x) − v(x0 ) = v (ξv )(x )(x − x0 ), cu ξu , ξv ∈ (x0 , x). Rezult˘a F ( F (x) − F ( F (x0 ) f ( f (u, v ) − f (u0 , v0 ) = = f u (uξ , v ) u (ξu ) + f v (u0 , vξ ) v (ξv ). x − x0 x − x0 Trecând and la limit˘a pentru x → x0 , cum ξu , ξv → x0 ¸si si toate funct¸iile ¸iile sunt continue, obt¸inem ¸inem

F  (x0 ) = f u (u0 , v0 ) u (x0 ) + f v (u0 , v0 ) v (x0 ). Cum x0 este arbitrar arbitra r ales ˆın I , rezult˘a (5.22). 


67

Inmult¸ind ¸ind (5.22) cu dx ¸si ¸inˆ ¸tinând and seama c˘a du = u (x) dx, dx, dv = v (x) dx, dx, g˘ asim asim c˘a dF =

∂f ∂f du + dv. ∂u ∂v

In mod asem˘an˘ an˘ ator, ator, pentru funct¸ia ¸ia F ( F (x) = f ( f (u1 (x), u2 (x), . . . , un (x)) avem urm˘aa-toarea regul˘a de derivare dF ∂f du1 ∂f du2 = + + dx ∂u 1 dx ∂u 2 dx

· · · + ∂u∂f n dudxn ,

iar diferent¸iala ¸iala va fi dat˘a de dF =

∂f ∂f du1 + du2 + ∂u 1 ∂u 2

· · · + ∂u∂f n dun.

Rezultatele obt¸inute ¸inute se ment¸in ¸in ¸si si pentru funct¸iile ¸iile vectoriale. Exemplul 5.6 Fie F ( F (x) = f ( f (x + ln x, 1 + x3 ), x > 0. Punem u = x + ln x, v = 1 + x3 .

Avem

 

∂f  ∂f  ∂f 1 ∂f F  (x) = u + v = 1+ + 3x 3x2 . ∂u

Definit ¸ia ¸ia 5.21 Funct ¸ia f : E

∂v

∂u

x

∂v

→ R, E ⊂ Rn, se nume¸ste ste omogen˘ a de gradul m dac˘ a

f ( f (tx1 , tx2 , . . . , t xn ) = tm f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ), pentru orice (x1 , x2 , . . . , xn ), (tx1 , tx2 , . . . , t xn )

∈ E .

Dac˘ a deriv˘am am aceast˘a relat¸ie ¸ie ˆın raport rap ort cu t ¸si si facem face m apoi apo i t = 1, obt¸inem ¸inem x1

∂f ∂f + x2 + ∂x 1 ∂x 2

· · · + xn ∂x∂f n = m f ( f (x1 , x2 , . . . , xn )

numit˘a relat ¸ia lui Euler . Derivatele Der ivatele ¸ si si diferent dife rent¸ialele ¸ialele de ordin superior se calculeaz˘ a ˆın mod mo d asem˘an˘ an˘ator. ator.

Astfel, dac˘ a funct¸ia ¸ia f ( f (u, v) are derivate part¸iale ¸iale de ordinul doi continue ˆın E ¸si si func fu nct¸iile ¸tiile u(x) ¸si v(x) au derivate de ordinul doi continue pe I , atunci funct¸ia ¸ia F ( F (x) = f ( f (u(x), v (x)) este de dou˘a ori derivabil˘a pe I ¸si si d2 F d = 2 dx dx =



∂ 2 f du ∂ 2 f dv + ∂u 2 dx ∂u∂v dx

  du + dx



∂f du ∂f dv + ∂u dx ∂v dx

 

∂ 2 f du ∂ 2 f dv + ∂v∂u dx ∂v 2 dx

= dv ∂f d2 u ∂f d2 v + + , dx ∂u dx2 ∂v dx2

iar diferent diferent¸iala ¸iala a doua d2 F =

∂ 2 f 2 ∂ 2 f ∂ 2 f 2 ∂f 2 ∂f 2 d u + 2 dudv + d v + d u + d v. ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v


68

→ R, D ⊂ R2, u =2 u(x, y), v = v(x, y), au derivate part ¸iale continue pe D, iar funct ¸ia f ¸ia f : E → R, E ⊂ R , f = f (u, v ), are derivate part ¸iale continue pe E , atunci funct ¸ia compus˘ a F : D → R, F ( F (x, y ) = f ( f (u(x, y ), v (x, y )), )), pentru orice (x, y ) ∈ D, are derivate part ¸iale continue pe D, date de Teorema 5.20 Dac˘ a funct ¸iile u, v : D

∂F ∂f ∂u ∂f ∂v ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + , = + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

(5.23)

 Afirmat¸ia ¸ia rezult˘a din teorema precedent˘a, a, deoarece la derivarea part¸ial˘ ¸ial˘ a ˆın raport rap ort cu o variabil˘a cealalt˘a variabil˘ a este ment¸inut˘ ¸inut˘a constant˘a, a, deci F se consider˘a funct¸ie ¸ie numai de o variabil˘a. a.  Deoarece diferent¸iala ¸iala funct¸iei ¸iei F ( F (x, y ) este dat˘a de dF =

∂F ∂F dx + dy, ∂x ∂y

¸inˆ ¸tinând and seama de (5.23) obt¸inem ¸inem dF =



 

∂f ∂u ∂f ∂v + ∂u ∂x ∂v ∂x

dx +

∂f ∂u ∂f ∂v + ∂u ∂y ∂v ∂y



dy,

de unde rezult˘a dF =

∂f ∂f ∂u ∂u ∂v ∂v du + dv, cu : du = dx + dy, dv = dx + dy. ∂u ∂v ∂x ∂y ∂x ∂y

Exemplul 5.7 Fie funct ¸ia F ( F (x, y) = f ( f (x + y, x2 + y 2 ). Punem u = x + y, v = x2 + y 2

¸si obt ¸inem pentru derivatele part ¸iale ∂F ∂f ∂f ∂F ∂f ∂f = + 2x 2x , = + 2y 2y , ∂x ∂u ∂v ∂y ∂u ∂v iar pentru diferent ¸ial˘ a dF =

∂f ∂f ∂f ∂f du + dv = (dx + dy) dy ) + (2x (2x dx + 2y 2y dy) dy). ∂u ∂v ∂u ∂v

Derivatele Derivatele part ¸iale ¸iale ¸ si si diferent¸ialele ¸ialele de ordin ordin superior superior se calculeaz˘ a ˆın mod

asem˘ an˘ an˘ ator ator

=

=





∂ 2 F ∂ = ∂x 2 ∂x

∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v + ∂u 2 ∂x ∂u∂v ∂x

∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v + ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y

  ∂u + ∂x

∂u + ∂x

    

∂f ∂u ∂f ∂v + ∂u ∂x ∂v ∂x

∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v + 2 ∂v∂u ∂x ∂v ∂x

∂ 2 F ∂ = ∂x∂y ∂y

 





∂f ∂u ∂f ∂v + ∂u ∂x ∂v ∂x

∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v + 2 ∂v∂u ∂y ∂v ∂y

∂ 2 F ∂ = 2 ∂y ∂y



∂f ∂u ∂f ∂v + ∂u ∂y ∂v ∂y

= ∂v ∂f ∂ 2 u ∂f ∂ 2 v + + , ∂x ∂u ∂x 2 ∂v ∂x 2 =

∂v ∂f ∂ 2 u ∂f ∂ 2 v + + , ∂x ∂u ∂x∂y ∂v ∂x∂y =

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA =



∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v + ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y

  ∂u + ∂y

∂ 2 f ∂u ∂ 2 f ∂v + 2 ∂v∂u ∂y ∂v ∂y

Pentru diferent¸iala ¸iala a doua avem d2 F =



69

∂v ∂f ∂ 2 u ∂f ∂ 2 v + + . ∂y ∂u ∂y 2 ∂v ∂y 2

∂ 2 F 2 ∂ 2 F ∂ 2 F 2 + 2 + dx dxdy dy , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

ˆın care derivatele part¸iale ¸iale sunt date de expresiile precedente, sau d2 F =

∂ 2 f 2 ∂ 2 f ∂ 2 f 2 ∂f 2 ∂f 2 du + 2 dudv + dv + d u+ d v, 2 2 ∂u ∂u∂v ∂v ∂u ∂v

ˆın care ca re du ¸si si dv au expresiile scrise mai sus, iar pentru d2 u ¸si si d2 v avem d2 u =

∂ 2 u 2 ∂ 2 u ∂ 2 u 2 ∂ 2 v 2 ∂ 2 v ∂ 2 v 2 2 dx + 2 dxdy + dy , d v = dx + 2 dxdy + dy . ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

Pentru funct¸ii ¸ii de mai multe variabile avem o teorem˘a asem˘an˘ an˘ atoare. atoare.

→ R, D ⊂ Rn, uk = uk (x p1, x2, . . . , xn), k = 1, p, au derivate part ¸iale continue pe D, iar funct ¸ia f ¸ia f : E → R, E ⊂ R ,f = f ( f (u1 , u2 , . . . , u p ), are derivate part ¸iale continue pe E , atunci funct ¸ia compus˘ a F : D → R, Teorema 5.21 Dac˘ a funct ¸iile uk : D

F ( F (x1 , x2 , . . . , xn ) = f ( f (u1 (x1 , x2 , . . . , xn ), u2 (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , u p (x1 , x2 , . . . , xn )), )), pentru orice (x1 , x2 , . . . , xn )

∈ D, are derivate part ¸iale continue pe D, date de

∂F ∂f ∂u 1 ∂f ∂u 2 = + + ∂x i ∂u 1 ∂x i ∂u 2 ∂x i

∂f ∂u p · · · + ∂u , p ∂x i

i = 1, 1 , n.

(5.24)

Diferent¸iala ¸iala funct¸iei ¸iei F este dat˘a de dF =

∂F ∂F dx1 + dx2 + ∂x 1 ∂x 2

∂F · · · + ∂x dxn , n

ˆın care derivatele part¸iale ¸iale au expresiile precedente, sau dF = cu duk =

5.2.5

∂f ∂f du1 + du2 + ∂u 1 ∂u 2

∂u k ∂u k dx1 + dx2 + ∂x 1 ∂x 2

∂f · · · + ∂u du p , p

∂u k · · · + ∂x dxn , n

k = 1, 1 , p.

Propriet˘ at a¸i ¸ti ale funct ¸iilor ¸iilor diferent ¸iabile ¸iabile

Teorema lui Lagrange pentru funct¸ii ¸ii de n variabile

Fie a = (a1 , a2 , . . . , an ), b = (b ( b1 , b2 , . . . , bn )

∈ Rn.

Definit ¸ia ¸ia 5.22 Numim segment seg ment ˆınchis ınchi s cu extremit˘ at ¸ile ˆın punctele punc tele a ¸si si b, mult ¸imea Rn de forma: x = a + t(b a), t [0, [0, 1]. 1].

punctelor x

∈

−

∈


70

Teorema 5.22 Fie f : [a, b] R, [a, b] Rn . Dac˘ Dac˘ a f este continu˘ continu˘ a pe [a, b] ¸si si diferent ¸iabil˘ a pe (a, b), atunci exist˘ a un punct c (a, b) a.ˆı.

→

⊂

n

f ( f (b)

− f ( f (a) =

∈

∂f (c) (bi ∂x i

 i=1

− ai).

→

−

R, F (  Consider˘ am am funct¸ia ¸ia F : [0, [0, 1] F (t) = f (a + t(b a)), care satisface satisface condit¸iile ¸iile teoremei lui Lagrange pe intervalul [0, [0 , 1]. Exist˘ Exist˘ a deci un punct θ (0, (0, 1) a.ˆı. F (1) F (1) F (0) F (0) = F  (θ). Dar F (0) F (0) = f ( f (a), F (1) F (1) = f ( f (b) ¸si n

F  (θ ) =

 i=1

∂f (c) (bi ∂x i

− ai ),

c = a + θ (b

∈

−

− a) ∈ (a, b). 

Formula lui Taylor pentru funct¸ii ¸ii de mai multe variabile R, E R2 , o funct¸ie Fie f : E ¸ie de dou˘ a variabile, derivabil˘ a de n + 1 ori pe E ¸si si R, (x0 , y0 ) un punct interior lui E . Pent Pentru ru (x, (x, y ) E , consider˘am am funct¸ia ¸ia F : [0, [0, 1] F ( F (t) = f ( f (x0 + t(x x0 ), y0 + t(y y0 )). Funct¸ia ¸ia F este de n + 1 ori derivabil˘ derivabil˘ a pe [0, [0, 1]. Aplicˆ and formula lui Taylor funct¸iei and ¸iei F pe [0, [0, 1], avem

→

⊂

−

∈

−

F (1) F (1) = F (0) F (0) +

1  1 F (0) + F  (0) + 1! 2!

cu

→

· · · + n1! F (n)(0) + Rn(1), (1),

1 F (n+1) (θ), θ (n + 1)!

Rn (1) =

∈ (0, (0, 1). 1).

Ins˘a F (1) F (1) = f (x, y ) ¸si F (0) F (0) = f (x0 , y0 ). Pentru calculul derivatelor funct¸iei ¸iei F ( F (t) folosim formu formula la de deriv derivare are a funct funct¸iilor ¸iilor compus compuse. e. Deoarece Deoarece F ( F (t) = f ( f (x(t), y (t)), cu x(t) = x0 + (x (x x0 ) t ¸si si y(t) = y0 + (y (y y0 ) t, avem

−

−

k

d F ( F (t) =



∂ ∂ dx + dy ∂x ∂y



(k)

f ( f (x(t), y (t)). )).

Deci



(x

dk F (t) = dtk



k

d F ( F (t) = De unde

Pentru t = 0 obt¸inem ¸inem (k)

F

(0) =

−

(x



∂ x0 ) + (y (y ∂x

−

(x

−

∂ x0 ) + (y (y ∂x

−



(k)

∂ y0 ) ∂y



∂ y0 ) ∂y

−

∂ x0 ) + (y (y ∂x

−

f (x(t), y (t)) dtk .

∂ y0 ) ∂y

(k)

f ( f (x(t), y(t)). )).



(k)

f ( f (x0 , y0 ).

Cu acest rezultat, formula lui Taylor pentru funct ¸ia f ( f (x, y ) ˆın ın punctul punc tul (x0 , y0 ) se scrie 1 f ( f (x, y ) = f ( f (x0 , y0 ) + 1!



(x

−

∂ x0 ) + (y (y ∂x

−

∂ y0 ) ∂y



f ( f (x0 , y0 )+

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA +

1 + n!

···

cu 1 Rn (x, y) = (n + 1)! ˆın care ca re θ



(x



(x

−

∂ x0 ) + (y (y ∂x

−

∂ x0 ) + (y (y ∂x

−

−

∂ y0 ) ∂y



∂ y0 ) ∂y



71

(n)

f ( f (x0 , y0 ) + Rn (x, y ),

(n+1)

f ( f (x0 + θ (x

− x0), y0 + θ(y − y0)), )),

∈ (0, (0, 1). Polinomul 1 T n (x, y ) = f ( f (x0 , y0 ) + 1! +

···

1 + n!



(x

−



(x

−

∂ x0 ) + (y (y ∂x

∂ x0 ) + (y (y ∂x

−

−

∂ y0 ) ∂y

∂ y0 ) ∂y





f ( f (x0 , y0 )+

(n)

f ( f (x0 , y0 )

se nume¸ num e¸ste st e polinomul Taylor de gradul n asociat funct¸iei ¸iei f ˆın punctul pun ctul (x0 , y0 ), care se mai scrie



1 T n (x, y ) = f ( f (x0 , y0 ) + 1! 1 + 2!



∂ 2 f (x0 , y0 )(x )(x ∂x 2 +

−

···

∂f (x0 , y0 )(x )(x ∂x

∂ 2 f x0 ) + 2 (x0 , y0 )(x )(x ∂x∂y 2

1 + n!

n



C nk

k=0

−

∂f x0 ) + (x0 , y0 )(y )(y ∂y

− x0)(y )(y −

∂ n f (x0 , y0 )(x )(x ∂x n−k ∂y k



− y0)

∂ 2 f y0 ) + 2 (x0 , y0 )(y )(y ∂y

+

− y0)

2



+

− x0)n−k (y − y0)k .

Fie acum f : E R, E Rn , o funct¸ie ¸ie de n variabile, derivabil˘ a de p +1 ori pe E ¸si si 0 0 0 x0 = (x1 , x2 , . . . , xn ) un punct interior lui E . In mod asem˘an˘ an˘ ator ator ca la funct¸ii ¸ii de dou˘ do u˘a variabile se demonstreaz˘a c˘ a pentru orice x = (x1 , x2 , . . . , xn ) E are loc formula

⊂

→

∈

p

f ( f (x) = f ( f (x0 ) +

k=1

cu 1 R p(x) = ( p + 1)!

n

  1 k!

n



(xi

i=1

−

(xi

i=1

∂ x0i ) ∂x i



−

∂ x0i ) ∂x i



(k)

f ( f (x0 ) + R p (x),

( p+1) p+1)

f ( f (x0 + θ (x

− x0)), )),

θ

∈ (0, (0, 1), 1),

numit˘a formula lui Taylor pentru funct ¸ii de n variabile. variabile. Exemplul 5.8 Polinomul Polinomul Taylor de gradul gradul 3 asociat asociat funct ¸iei f ( f (x, y) =

punctul (1, (1, 1) este T 3 (x, y ) =

√

2+

1 1 [(x [(x 1! 2

√



x2 + y 2 ˆın

1 1 √ − 1 ) + (y (y − 1)]+ [(x [(x − 1)2 + 2(x 2(x − 1)(y 1)(y − 1 ) + (y (y − 1)2 ]− 2! 2 2

− 3!1 4√1 2 [(x [(x − 1)3 − (x − 1)2 (y − 1) − (x − 1)(y 1)(y − 1)2 + (y (y − 1)3 ].


72

Exemplul 5.9 Polinomul Taylor de gradul n asociat funct ¸iei f (x, y) = ex+y ˆın ın punct pun ctul ul

−

(1, (1, 1) este n

T n (x, y ) = 1 +



k=1

1 [(x [(x k!

n

− 1) + (y (y + 1)]k =

k



k=0 i=0

1 i!(k !(k

− i)! (x − 1)

k i

− (y + 1)i .

Exemplul 5.10 S˘ a se g˘ aseasc˘ a o valoare aproximativ˘ a a num˘ num ˘ arulu aru lui i (1, (1, 1)1,2 .

Polinomul Taylor de gradul 3 asociat funct ¸iei f ( f (x, y ) = xy , x > 0, y > 0, ˆın punct pun ctul ul (1, (1, 1) este 1 − 1) + 2!1 [2(x [2(x − 1)(y 1)(y − 1)] + [3(x [3(x − 1)2 (y − 1)]. 1)]. 3! Putem atunci scrie f (1 f (1,, 1; 1, 2) ≈ T 3 (1, (1, 1; 1, 2) = 0, 0, 1021 1021.. T 3 (x, y) = 1 +

1 (x 1!

Capitolul 6

FUNCT FUNC T ¸ I I DE DEFI FINI NITE TE IMPLICIT 6.1 6. 1 6.1. 6.1.1 1

Funçii ¸ t ii definite implicit de o ecuat¸ie ¸ie Funct unct ¸ii reale de o variabil˘ a real˘ a

Fie dat˘a ecuat¸ia ¸ia F ( F (x; y ) = 0, ˆın care ca re F este o funct¸ie ¸ie real˘ rea l˘a defi d efini nit˘ t˘a pe p e o mult mu lt¸ime ¸ime E

(6.1)

⊂ R2.

Definit ¸ia ¸ia 6.1 O funct ¸ie ¸ie y = f ( f (x) definit˘ a pe o mult ¸ime A

⊂ R se nume¸ nu me¸ste st e solut¸ie ¸ie a ecuat ¸iei (6.1) pe mult ¸imea A dac˘ a F ( F (x; f ( f (x)) = 0, 0, pentru orice x ∈ A, pentru care (x; f (x)) ∈ E . Ecuat¸ia ¸ia (6.1) poate avea pe mult¸imea ¸imea A mai multe solut¸ii ¸ii sau nici una, dup˘a cum rezult˘ a din urm˘atoarele atoarele exemple. Exemplul 6.1 Ecuat ¸ia ¸ia x2 + y2

− 1 = 0 are ˆın raport cu y o infinitate de solut ¸ii definite pe mult ¸imea A = [−1, +1]. +1]. Intr-adev˘ ar, pentru orice α, β ∈ [−1, +1], +1], cu α ≤ β , funct ¸iile √1 − x2, x ∈ [α, β ], f ( f (x) = −√1 − x2, x ∈ [−1, +1] \ [α, β ], √1 − x2, x ∈ [α, β ], − √1 − x2, x ∈ [−1, +1] \ [α, β ], f ( f (x) = sunt solut ¸ii ale ecuat ¸iei x2 + y2 − 1 = 0. Aceste Aceste solut ¸ii sunt funct ¸ii discontinue ˆın ın punctele pun ctele si x = β , pentru α, β ∈ (−1, +1). +1). Numai pentru α = −1 ¸si ¸in funct ¸ii x = α ¸si x si β = +1 se obt

 

continue pe A:

f 1 (x) =

 − 1

x2 , f 2 (x) = 73



− 1 − x2, x ∈ [α, β ].


74

Dac˘ a pe lâng˘ ang˘ a continui continuitate tate cere cerem m ca solut solu¸t iile s˘ a satisfac˘ satisfac˘ a ¸si si condit ¸ia f (0) f (0) = 1, 1, din 2 2 mult ¸imea solut ¸iilor ecuat ¸iei x + y 1 = 0, r˘ amˆ ane ane numai funct ¸ia f 1 . Adic˘ dic˘ a, ecuat ¸ia are o singur˘ sing ur˘a solut sol ut ¸ie, funct ¸ie continu˘ a pe [ 1, +1] care pentru x0 = 0 ia valoarea y0 = 1. 1.

−

−

Exemplul 6.2 Ecuat ¸ia ¸ia x2 + y2 + 1 = 0 nu are nici o solut ¸ie real˘ a, oricare ar fi x

∈ R.

Definit ¸ia ¸ia 6.2 O funct ¸ie y = f ( f (x), solut ¸ie a ecuat ¸iei (6.1), se nume¸ste ste funct¸ie ¸ie defini defi nit˘ t˘a

implicit de ecuat ¸ia ( 6.1). 6.1). Condit¸iile ¸iile ˆın care ecuat¸ia ¸ia (6.1) define¸ste ste implicit funct¸ia ¸ia f , f , precum prec um ¸si si proprie prop riet˘ t˘at at¸ile ¸ile acesteia sunt precizate de teorema care urmeaz˘a.

→ R, une E ⊂ R2 este o mult ¸ime deschis˘ a ¸si (x0, y0) ∈ E . Dac˘ a:  0, F ∈ C 1 (E ), F ( F (x0 ; y0 ) = 0, F y (x0 ; y0 ) = atunci exist˘ a o vecin˘ atate U a lui x0, o vecin˘ atate V a lui y0 ¸si si o funct funçie t f : U → V , V , 1 y = f ( f (x), f ∈ C (U ) U ) a.ˆı. F ( F (x; f (x)) = 0, 0, pentru orice x ∈ U , U , f ( f (x0 ) = y0 ¸si si Teorema 6.1 Fie F : E

f  (x0 ) =



f (x)) − F F x ((xx;; f ( , x ∈ U. f (x))

(6.2)

y

 Funct¸ia ¸ia F y (x; y) este diferit˘a de zero ˆın (x0 ; y0 ) ¸si si continu˘ conti nu˘a ˆın acest punct. Exist˘a  deci o vecin˘atate atate a punctului (x ( x0 ; y0 ) ˆın care car e F y (x; y ) = 0. Putem presupune c˘a F y (x; y) > 0, ˆın aceast˘ acea st˘a vecin˘atate. atate. Funct¸ia ¸ia F ( F (x0 ; y ), de variabila y, are derivata pozitiv˘a ˆıntr-o ıntr -o vecin˘ veci n˘atate atate V = (α, β ) a lui y0 , deci este strict cresc˘atoare atoare pe V . V . Deoarece se anuleaz˘a ˆın punctul y0 , urmeaz˘a c˘a F ( F (x0 ; α) < 0 ¸si F ( F (x0 ; β ) > 0. Funct¸ia ¸ia F ( F (x; α), de variabila x, este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 ¸si si F ( F (x0 ; α) < 0. Exist˘ Exist˘ a deci o vecin˘atate atate U α a lui x0 a.ˆı. F ( F (x; α) < 0, pentru orice x U α . Funct¸ia ¸ia F ( F (x; β ), ), de variabila x, este continu˘a ˆın punctul punc tul x0 ¸si si F ( F (x0 ; β ) > 0. Exist˘ Exist˘ a deci o vecin˘atate atate U β a lui x0 a.ˆı. F ( F (x; β ) > 0, pentru orice x U β . Fie U = U α U β . Pentru Pentru orice orice x U , U , avem: F ( F (x; α) < 0 ¸si F ( F (x; β ) > 0. Funct¸ia ¸ia F ( F (x; y), ca funct¸ie ¸ie de y, este strict cresc˘atoare atoare pe [α, [ α, β ], ], continu˘a pe [α, [α, β ] ¸si si are valori de semne contrare ˆın extremit˘at a¸ile ¸t ile interv intervalului alului.. Exist˘ a atunci un punct ¸si si numai unul y = f (x) (α, β ) a.ˆı. F ( F (x; f ( f (x)) = 0. Deoarece F ( F (x0 ; y0 ) = 0, punctului x0 U ˆıi corespunde corespun de punctul y0 (α, β ), ), adic˘a f ( f (x0 ) = y0 . Funct¸ia ¸ia f este continu˘a pe U . U . Intr-ade Intr-adev˘ v˘ar, ar, pentru orice x, x + h U , U , putem scrie: F ( F (x; f (x)) = 0 ¸si si F ( F (x + h; f ( f (x + h)) = 0. Funct unct¸ia ¸ia F fiind continu˘a pe E , deducem prin trecere la limit˘a ˆın a doua egalitate c˘a F ( F (x; lim f ( f (x + h)) = 0. De aic aicii g˘ asim asim c˘a



∩

∈ ∈

∈

∈

∈

∈

∈

→0

h

lim f ( f (x + h) = f (x).

h

→0

− f (x) = f (x + h) − y, putem scrie F ( F (x + h; f ( f (x + h)) − F ( F (x; f ( f (x)) = F ( F (x + h; y + k ) − F ( F (x; y) = 0,

Notˆ and and apoi cu k = f ( f (x + h)

sau [F ( F (x + h; y + k )

− F ( [F ((x; y + k) − F ( F (x; y + k )] + [F F (x; y )] = 0. 0.


75

Aplicând and teorema teo rema cre¸ cr e¸sterilor sterilo r finite fini te deducem ded ucem F x (ξ ; y + k) h + F y (x; η ) k = 0, 0, ξ

∈ (x, x + h), η ∈ (y, y + k).

T ¸ inand aˆnd seama de expresia lui k, ˆımp˘ mp art a˘rt¸ind ¸ind prin h g˘asim asim F x (ξ ; y + k) + F y (x; η )

f ( f (x + h) h

− f ( f (x) = 0. 0.

→

Trecând and la limit˘a pentru h 0, cum derivatele part¸iale ¸iale ale funct¸iei ¸iei F sunt continue, rezult˘a c˘a f este derivabil˘a ¸si si are loc (6.2). Dac˘a deri d eriv˘ v˘am am iidenti dentitate tateaa F ( F (x; f ( f (x)) = 0 dup˘a regula de derivare a unei funct¸ii ¸ii compuse, avem F x (x; f ( f (x)) + F y (x; f ( f (x)) f  (x) = 0, de unde se deduce (6.2). Aceast˘ a observat¸ie ¸ie ne permite s˘a calcul˘am am derivata de ordinul doi a funct¸iei ¸iei f ˆın 2 ipoteza c˘a F C (E ). ). Derivând and din nou ultima egalitate, avem

∈

 + F  f  (x) + [F  + F  f  (x)] f  (x) + F  f  (x) = 0, F xx [ F yx xy yy y 2), rezul rez ult˘ t˘a de unde, t¸inˆ ¸inând and seama de (6. ( 6.2), f  (x) =

6.1. 6.1.2 2

Funct unct ¸ii reale de

2 F 

− F y n

xx

− 2F x F y F xy + F x2 F yy . F y3

variabile

Fie dat˘a ecuat¸ia ¸ia F ( F (x; y ) = 0, deci deci F(x1 , x2 , . . . , xn ; y) = 0, 0,

(6.3)

⊂ Rn+1. Definit ¸ia ¸ia 6.3 O funct ¸ie ¸ie y = f ( f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) definit˘ a pe o mult ¸ime A ⊂ Rn se nume nu me¸¸ste st e solut¸ie ¸ie a ecuat ¸iei (6.3) pe mult ¸imea A dac˘ a F ( F (x; f ( f (x)) = 0, 0, pentru orice x ∈ A, pentru care (x; f (x)) ∈ E . Teorema 6.2 Fie F : E → R, une E ⊂ Rn+1 este o mult ¸ime deschis˘ a ¸si (x0 , y0 ) ∈ E . Dac˘ a:  0,0 , F ∈ C 1 (E ), F ( F (x0 ; y0 ) = 0, F y (x0 ; y0 ) = atunci exist˘a o vecin˘ atate U a lui x0 , o vecin˘ atate V a lui y0 ¸si si o funct funçie t f : U → V , V , 1 y = f ( f (x), f ∈ C (U ) U ) a.ˆı. F ( F (x; f (x)) = 0, 0, pentru orice x ∈ U , U , f ( f (x0 ) = y0 ¸si si

ˆın care ca re x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ¸si F este o funct¸ie ¸ie real˘a definit˘a pe o mult¸ime ¸ime E

∂f (x0 ) = ∂x k



f ( f (x)) − F F x ((xx;;f ( , f (x)) k

y

x

∈ U.

 Demonstrat¸ia ¸ia urmeaz˘a acelea¸si si etape cu cea din teorema precedent˘a. a. 

(6.4)


6.2 6. 2

76

Funçii ¸ t ii definite implicit de un sistem de ecuat¸ii ¸ii

Fie dat˘a ecuat¸ia ¸ia vectorial˘a F(x; y) = 0,

(6.5)

ˆın care car e x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , ym ) ¸si F = (F 1 , F 2 , . . . , Fm ) este o funct¸ie ¸ie +m n vectorial˘ a definit˘a pe o mult¸ime ¸ime E R . Definit ¸ia ¸ia 6.4 O funct ¸ie y = f (x) definit˘ a pe o mult ¸ime A Rn se nume¸ num e¸ste st e solut¸ie ¸ie a ecuat ¸iei (6.5) pe mult ¸imea A dac˘ a F(x; f (x)) = 0, pentru orice x A, pentru care (x; f (x)) E .

⊂

⊂

∈

∈

Ecuat¸ia ¸ia vectorial˘a (6.5) este echivalen˘a cu sistemul F i (x1 , x2 , . . . , xn ; y1 , y2 , . . . , ym ) = 0, i = 1, 1 , m.

(6.6)

iar egalitatea y = f (x) este echivalent˘a cu yi = f i (x1 , x2 , . . . , xn ), i = 1, 1 , m. Definit ¸ia ¸ia 6.5 Numim determinant funct¸ional ¸ional sau jacobianul funct ¸iilor F 1 , F 2 , . . . , Fm ˆın ın raport cu variabilele variabile le y1 , y2 , . . . , ym , determinantul ce are drept linii derivatele part ¸iale ale funct ¸iilor F i ˆın ın raport cu variabilele variabil ele yj , i, j = 1, 1 , m, adic˘ a

D(F 1 , F 2 , . . . , Fm ) = D(y1 , y2 , . . . , ym )

  

∂F 1 ∂y 1 ∂F 2 ∂y 1

∂F 1 ∂y 2 ∂F 2 ∂y 2

∂F m ∂y 1

∂F m ∂y 2

...

...

∂F 1 ∂y m ∂F 2 ∂y m

... ... ... ...

...

∂F m ∂y m

  

.

Teoremele precedente pot fi extinse ¸si si la acest caz. D˘am, am, f˘ar˘ ar˘ a demonstrat¸ie ¸ie aceast˘a teorem˘ a. a. Teorema 6.3 Fie F : E

Dac˘ a:

→ Rm, une E ⊂ Rn+m este o mult ¸ime ¸ime deschis˘ a ¸si (x0 , y0 ) ∈ E .

D(F 1 , F 2 , . . . , Fm ) (x0 ; y0 ) = 0, D(y1 , y2 , . . . , ym ) atunci exist˘ a o vecin˘ atate U a lui x0 , o vecin˘ atate V a lui y0 ¸si si o funct funçie ¸i t e f : U V , V , 1 y = f (x), f C (U ) U ) a.ˆı. F(x; f (x)) = 0, 0, pentru orice x si pentru pent ru U , U , f (x0 ) = y0 ¸si fiecare k = 1, n, derivatele finct ¸iilor f 1 , f 2 , . . . , fm ˆın raport raport cu variabila xk sunt solut ¸ii ale sistemului algebric liniar F

∈ C 1(E ),



F(x0 ; y0 ) = 0,

∈

∈

m

 i=1

∂F j ∂f i ∂F j (x; f (x)) (x) + (x; f (x)) = 0, 0, j = 1, m. ∂y i ∂x k ∂x k

→

(6.7)

Exemplul 6.3 Sistemul



F ( F (x, y ; u, v ) = u + v x y = 0, 0, G(x, y ; u, v ) = xu + yv 1 = 0,

− − −



pentru x = y, defin de fine¸ e¸ste st e pe u ¸si si v ca funct ¸ii de x ¸si si y. Pentru a calcula derivatele part ¸iale ale funct ¸iilor u = u(x, y ) ¸si si v = v(x, y ), deriv˘ am cele dou˘ a ecuat ¸ii ˆın raport cu x ¸si si apoi apo i cu y . Se obt ¸in sistemele liniare



ux + vx = 1, 1, xux + yvx =

−u,



uy + vy = 1, xuy + yvy =

−v,


77

al c˘ aror determinant este D(F, G) = D(u, v ) Aplicˆ and regula lui Cramer se obt ¸ine and ux =

6.3

y+u , vx = y x

−



1 1 x y

− xy −+ xu ,



=u

uy =

− x = 0.0 .

y+v , vy = y x

−

− yx −+ xv .

Transfo ransform˘ rm˘ ari punctuale. ari punctuale. Deriv Derivarea area funct ¸iilor in¸iilor verse

Numim transformare punctual˘ a pe Rn orice funct¸ie ¸ie f : E

→ F , F ,

y = f (x),

ˆın care ca re E

(6.8)

⊂ Rn, F = f (E ) ⊂ Rn, sau pe componente yi = f i (x1 , x2 , . . . , xn ), i = 1, n.

(6.9)

Definit ¸ia ¸ia 6.6 Spunem c˘ a transformarea transformarea punctual˘ a f este o transformare regulat˘a ˆın ın punctul x0 E dac˘ a exist˘a ¸si si sunt continue toate derivatele derivat ele part ¸iale ∂f i /∂x k , i, k = 1, 1 , n, pe o vecin˘ atate a lui x0 ¸si si

∈

J (x0 ) =

D(f 1 , f 2 , . . . , fn ) (x0 ) = 0. D(x1 , x2 , . . . , xn )



O transformare regulat˘a ˆın punctul pun ctul x0 este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ¸si si deci continu˘a ˆın x0 . Jacobianul J (x0 ) al unei transform˘ari ari regulate ˆıntr-o vecin˘atate atate a punctului x0 p˘ astreaz˘ astreaz˘ a semn constant pe acea vecin˘atate. atate. Teorema 6.4 Dac˘ a transformarea transformarea f este regulat˘ regulat˘ a ˆın punctul punc tul x0 E ¸si si y0 = f (x0 ), atunci exist˘ a o vecin˘ atate U E a lui x0 ¸si si o vecin˘ veci n˘ atate V E a lui y0 a.ˆı. ı. restric rest rict ¸ia t transform˘ arii f la vecin˘ atatea U , U , adic˘ a funct ¸ia ¸ia f : U V , V , este o biject ¸ie a lui U pe V , V , si inversa sa, aplicat ¸ia ¸ia g : V deci inversabil˘ a pe U ¸si U , U ,

⊂

→

→

⊂

∈

x = g(y), deci x k = gk (y1 , y2 , . . . , yn ), k = 1, 1 , n,

satisface condit ¸ia g(x0 ) = x0 ¸si si este o transformare regulat˘ regulat˘ a ˆın y0 . Pentru fiecare j = 1, n, derivatele part ¸iale ∂g k /∂y j (y0 ), k = 1, n, sunt solut ¸iile sistemelor algebrice liniare n ∂f i ∂g k (x0 ) (y0 ) = δij , (6.10) ∂x k ∂y j



k=1

iar jacobianul transform˘ arii inverse este D(g1 , g2 , . . . , gn ) 1 = . D(y1 , y2 , . . . , yn ) J (x0 )

(6.11)


78

 Aplic˘ am am teorema funct¸iilor ¸iilor definite implicit ecuat¸iei ¸iei vectoriale vectorial e ˆın ın necunoscuta necunosc uta x0 : F(x; y) = f (x)

− y = 0. →

A¸sdar, sda r, exist˘ exi st˘a vecin˘at˘ at˘ at a¸ile ¸tile V a lui y0 , U a lui x0 ¸si si funct fu nct¸ia ¸ia g : V U , U , x = g(y), satisf˘ acˆ acˆ and and condit¸iilor ¸iilor g(y0 ) = x0 ¸si si F(g(y); y) = 0, adic˘a f (g(y)) = y, pentru orice y V , V , sau pe componente f i (g1 (y1 , y2 , . . . , yn ), g2 (y1 , y2 , . . . , yn ), . . . , gn (y1 , y2 , . . . , yn )) = yi , i = 1, n.

∈

(6.12)

Aceasta ˆınseamn˘a c˘ a restrict¸ia ¸ia lui f la U este bijectiv˘a ¸si g este inversa acestei restrict¸ii. ¸ii. Conform aceleia¸si si teoreme, funct¸ia ¸ia g este diferent diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın y0 . Apli Aplicˆ cˆ and and teorema de derivare a funct¸iilor ¸iilor compuse, derivând and part¸ial ¸ial membru cu membru identit˘at a¸ile ¸tile (6.12) ˆın raport cu yj ˆın punct pu nctul ul y0 , obt¸inem ¸inem sistemele liniare (6.10). Toate aceste sisteme au ca determinant J (x0 ) = 0, deci admit solut¸ie ¸ie unic˘a. a. Matriceal, Matriceal, egalit˘ egalit˘ at a¸ile ¸t ile (6.10) (6.10) exprim˘a faptul c˘a produsul a dou˘a matrice p˘atratice atratice de ordinul n este egal cu matricea unitate. Luˆ and and determinant¸ii ¸ii ambilor membri deducem



D(f 1 , f 2 , . . . , fn ) D(g1 , g2 , . . . , gn ) (x0 ) ( y0 ) = 1 , D(x1 , x2 , . . . , xn ) D(y1 , y2 , . . . , yn )

·

de unde (6.11). Exemplul 6.4 Fie (x, y ) coordonatele unui punct din R2 . Numi Numim m coordonate coordonate polare

ale acestui punct perechea (r, ϕ), cu r

∈ [0, [0, ∞), ϕ ∈ [0, [0, 2π), legat˘ a de perechea (x, y ) prin

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,

(6.13)

relat ¸ii care defines defi nescc o transform trans formare are punctua punc tual˘ l˘a ˆın ın R2 . Determinantul funct ¸ional al trans form˘ arii este D(x, y ) cos ϕ r sin ϕ = = r. sin ϕ r cos ϕ D(r, ϕ)

 

−



Deci ˆın ın orice punct cu except ¸ia originii, transformarea (6.13) este regulat˘ a ¸si si inversa ei este y r = x2 + y 2 , tgϕ tgϕ = . x Exemplul 6.5 Fie (x,y,z) x,y,z) coordonatele unui punct din R3 . Numim Numim coordonate cilin-

drice ale acestui punct tripletul (r,ϕ,z) r,ϕ,z), cu r [0, [0, ), ϕ [0, [0, 2π ), z de (x,y,z) x,y,z) prin x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z,

∈ ∞

∈

∈ (−∞, ∞), legat (6.14)

relat ¸ii care defines defi nescc o transform trans formare are punctua punc tual˘ l˘a ˆın ın R3 . Determinantul funct ¸ional al trans form˘ arii este cos ϕ r sin ϕ 0 D(x,y,z) x,y,z) r cos ϕ 0 = r. = sin ϕ D(r,ϕ,z) r,ϕ,z ) 0 0 1

 

−

 

Deci ˆın ın orice punct cu except ¸ia celor de pe axa Oz, Oz , transformarea (6.14) este regulat˘ a.


79

Exemplul 6.6 Fie (x,y,z) x,y,z) coordonatele unui punct din R3 . Numim coordonate sferice

∈ ∞

∈

∈

ale acestui punct tripletul (r,θ,ϕ) r,θ,ϕ), cu r [0, [0, ), θ [0, [0, π ], ϕ [0, [0, 2π], legat de (x,y,z) x,y,z) prin x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, (6.15) relat ¸ii care defines defi nescc o transform trans formare are punctua punc tual˘ l˘a ˆın ın R3 . Determinantul funct ¸ional al trans form˘ arii este D(x,y,z) x,y,z) = D(r,ϕ,z) r,ϕ,z )

 

sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ cos θ r sin θ

−r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ 0

−

 

= r2 sin θ.

Deci ˆın ın orice punct cu except ¸ia celor de pe axa Oz, Oz , transformarea (6.15) este regulat˘ a.

6.4 6. 4

Depe De pend nden ent ¸t˘ ¸˘ a¸ si indep enden¸˘ ¸ ta ˘ funct ¸ional˘ a

R, D Rn . Fie funct¸iile ¸iile f , f , f 1 , f 2 , . . . , fm :D Spunem c˘a funct¸ia ¸ia f depinde de funct¸iile ¸iile f 1 , f 2 , . . . , fm pe D, dac˘a exist˘a o funct¸ie ¸ie m F : E R, E R , a.ˆı.

→

→

⊂

⊂

f ( f (x) = F ( F (f 1 (x), f 2 (x), . . . , fm (x)), )),

{

Definit ¸ia ¸ia 6.7 Sistemul de funct ¸ii f 1 , f 2 , . . . , fm

∀ x ∈ D.

}

se nume¸ num e¸ste st e funct¸ional ¸ional dependent pe D dac˘ a cel put ¸in una din funct ¸iile sistemului depinde de celelalte. Sistemul de funct ¸ii ¸ii f 1 , f 2 , . . . , fm se nume¸ num e¸ste st e funct¸ional ¸ional independent pe D dac˘ a nici una din funct ¸iile sistemului nu depinde de celelalte.

{

}

Teorema 6.5 Dac˘ a sistemul de funct ¸ii ¸ii f 1 , f 2 , . . . , fm ¸ional dependent pe D este funct

{

}

¸si si func fu nct ¸iile t ¸iabile pe D, atunci f 1 , f 2 , . . . , fm sunt diferent rg





∂f i (x) ∂x k

< m,

x

∈D.

 Deoarece sistemul de funct¸ii ¸ii f 1 , f 2 , . . . , fm este funct¸ional ¸ional dependent pe D, cel put¸in ¸in una din funct¸iile ¸iile sistemului, sistemului, fie aceasta aceasta f m , depind depindee de celela celelalte lte.. Prin Prin urmare urmare,, avem −1 (x)), )), x D, f m (x) = F ( F (f 1 (x), f 2 (x), . . . , fm

{

}

∀ ∈

unde F este o funct¸ie ¸ie diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a. a. Derivˆ and and ˆın raport ra port cu xi relat¸ia ¸ia precedent˘a, a, obt¸inem ¸inem ∂f m = ∂x i

m 1

− ∂F



k=1

∂y k

(f 1 (x), f 2 (x), . . . , fm −1 (x))

∂f k (x), i = 1, n, ∂x i

care arat˘a c˘ a linia m a matricei (∂f ( ∂f i /∂x k ) este o combinat¸ie ¸ie liniar˘ a de celelalte m linii ale ei ¸si si deci ∂f i rg (x) m 1 < m, x D.  ∂x k



≤

−

∈

−1

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Consecint ¸a ¸a 6.1 Dac˘ a ˆıntr-un ınt r-un punct punc t x0



rg

80

∈ D avem



∂f i (x0 ) = m, ∂x k

{

}

atunci sistemul de funct ¸ii f 1 , f 2 , . . . , fm este funct ¸ional independent pe D. sunt diferent¸iabile Mai general, dac˘a funct¸iile ¸iile f 1 , f 2 , . . . , fm ¸iabile pe D ¸si si rg





∂f i (x0 ) ∂x k

=r

≤ m,

atunci exist˘a o vecin˘atate atate V a punctului x0 pe care r dintre funct¸iile ¸iile f 1 , f 2 , . . . , fm sunt funct¸ional ¸ional independente.

− y, f 2 (x, y) = xy ¸si si f 3 (x, y ) = x2 + y 2 2

Exemplul 6.7 Funct ¸iile f 1 (x, y ) = x

sunt

funct ¸ional dependente deoarece f 3 = f 1 + 2f 2f 2 .

6.5

Schimb˘ Schim b˘ ari de variabile ari variabile

Rezolvarea multor probleme de analiz˘a matematic˘a ˆın care sunt implicate expresii ce cont¸in ¸in funct¸ii ¸ii de una sau mai multe variabile ¸si si derivate ale acestora devine uneori mai simpl˘ a dac˘a se efectueaz˘ efectueaz˘a o schimbare a variabilelor independente sau chiar a funct¸iilor. In cele ce urmeaz˘a vom analiza modul cum se modific˘a aceste expresii la schimbarea variabilelor.

6.5.1

Schim Schimbare barea a varia variabile bilelor lor independ independen ente te

Cazul funct ¸iilor ¸iilor de o variabil˘ variab il˘ a

Fie dat˘a funct¸ia ¸ia y = y (x), x

∈ E , E ⊂ R, de n ori derivabil˘a pe E , ¸sisi fie expresia expresi a dy d2 y F x,y, , 2 , . . . . dx dx





R, o transformare regulat˘a pe I , deci cu ϕ (t) = 0 pe Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a x = ϕ(t), t I I . Presup Presupune unem m c˘a ϕ este de n ori derivabil˘a pe I . Efectu Efectuˆ aˆnd schimbarea de variabil˘a and x = ϕ(t), y devine o funct¸ie ¸ie de t: y = y (ϕ(t)) = f ( f (t), iar expresia F ia forma

∈ ⊂



dy d2 y G t,y, , 2 , . . . . dt dt





Este deci necesar s˘a calcul˘ am am derivatele funct¸iei ¸iei y ˆın raport rap ort cu x ˆın func fu nct¸ie ¸tie de derivatele sale ˆın raport rapor t cu t. Dup˘ a regula de derivare a funct¸iilor ¸iilor compuse, avem dy dy dx dy dy 1 dy = = ϕ (t) , de unde, unde, =  . dt dx dt dx dx ϕ (t) dt Inlocuind aici pe y prin dy/dx obt¸inem ¸inem d d2 y = dx2 dx

  dy dx

1 d =  ϕ (t) dt



1 dy ϕ (t) dt



1 d2 y = 3 ϕ (t) 2 ϕ (t) dt

In mod asem˘an˘ an˘ ator ator se obt¸in ¸in derivatele de ordin superior.





− ϕ (t) dy . dt


81

Cazul funct ¸iilor ¸iilor de dou˘ a variabile

Fie dat˘a funct¸ia ¸ia z = z (x, y), (x, y )

∈ E , E ⊂ R2, de n ori derivabil˘a pe E , ¸sisi fie expresi expr esiaa

∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z F x,y,z, , , , , ,... . ∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2





R2 , o transforma Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a x = ϕ(u, v ), y = ψ (u, v ), (u, v ) D transformare re regulat˘ regulat˘a pe D, D(ϕ,ψ) ϕ,ψ) deci cu D(u,v) Presupune unem m c˘ a ϕ ¸si si ψ sunt de n ori diferent¸iabile ¸iabile pe D. u,v ) = 0 pe D . Presup Efectuˆ and schimbarea de variabile x = ϕ(u, v ), y = ψ(u, v ), z devine o funct¸ie and ¸ie de u ¸si si v: z = z (ϕ(u, v ), ψ (u, v)) = f ( f (u, v), iar expresia F ia forma

∈



⊂

∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z G u,v,z, , , , , ,... . ∂u ∂v ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2





Este deci necesar s˘a calcul˘am am derivatele part¸iale ¸iale ale funct¸iei ¸iei z ˆın raport rapor t cu x si y ˆın funct¸ie ¸ie de derivatele sale part¸iale ¸iale ˆın raport r aport cu u ¸si si v . Dup˘ a regula de derivare a funct¸iilor ¸iilor compuse, avem ∂z  ∂z  ∂z ∂z  ∂z  ∂z = ϕu + ψu , = ϕv + ψ , ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y v de unde ∂z = ∂x

1 D(ϕ,ψ) ϕ,ψ) D(u,v) u,v)



∂z ψ v

∂u



− ψu ∂z , ∂z = ∂v

∂y

1 D(ϕ,ψ) ϕ,ψ) D(u,v) u,v)

−



∂z ∂z ϕv + ϕu . ∂u

∂v

Inlociund Inlociund aici z prin ∂z/∂x ¸si si ∂z/∂y obt¸inem ¸inem derivatele part¸iale ¸iale de ordinul doi etc. Exemplul 6.8 Funct ¸ia ¸ia z = z (x, y ) satisface ecuat ¸ia

∂ 2 z ∂ 2 z ∆z = + = 0. ∂x 2 ∂y 2 Prin trecere la coordonatele polare (r, θ ): x = r cos θ , y = r sin θ, z devine o funct ¸ie de r ¸si si θ ¸si si satisface sati sface ecuat ¸ia ∂ 2 z 1 ∂ 2 z 1 ∂z ∆z = 2 + 2 2 + = 0. ∂r r ∂θ r ∂r

6.5. 6.5.2 2

Schi Schim mb˘ ari ari de variabile independente ¸ si si funct ¸ii ¸ii

Cazul funct ¸iilor ¸iilor de o variabil˘ variab il˘ a

Fie dat˘a funct¸ia ¸ia y = y (x), x

∈ E , E ⊂ R, de n ori derivabil˘a pe E , ¸sisi fie expresia expresi a dy d2 y F x,y, , 2 , . . . . dx dx





Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a x = ϕ(u, v ), y = ψ (u, v ), (u, v ) D R2 , o transformare regulat˘a pe D. Presupunem Presupunem c˘a ϕ ¸si si ψ sunt de n ori diferent diferent¸iabile ¸iabile pe D. Efec Efectu tuˆ and aˆnd schimba schimbarea rea de

∈

⊂


82

variabile x = ϕ(u, v ), y = ψ (u, v ), y = y (x) devine ψ (u, v ) = y(ϕ(u, v)), care define¸ste ste o funct¸ie ¸ie v = v(u), iar expresia F ia forma dv d2 v G u,v, , 2 , . . . . du du





Este deci necesar s˘a calcul˘ am am derivatele funct¸iei ¸iei y ˆın raport rap ort cu x ˆın func fu nct¸ie ¸tie de derivatele funct¸iei ¸iei v ˆın raport rap ort cu u. Dup˘ a regula de derivare a funct¸iilor ¸iilor compuse, avem dv dy ψu + ψv = du

dx





dv ϕu + ϕv , du

de unde, pentru ϕu + ϕv (dv/du) dv/du) = 0, obt¸inem ¸inem



ψ  + ψv dy = u dx ϕu + ϕv

dv du dv du

.

Printr-o nou˘a derivare se obt¸ine ¸ine derivata de ordinul doi etc. Cazul funct ¸iilor ¸iilor de dou˘ a variabile

Fie dat˘a funct¸ia ¸ia z = z (x, y), (x, y )

∈ E , E ⊂ R2, de n ori derivabil˘a pe E , ¸sisi fie expresi expr esiaa

∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z F x,y,z, , , , , ,... . ∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2





Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a x = ϕ(u,v,w) u,v,w ), y = ψ(u,v,w) u,v,w ), z = χ(u,v,w) u,v,w ), (u,v,w) u,v,w )

∈ D ⊂ R3,

o transformare regulat˘a pe D. Presupunem Presupunem c˘a ϕ, ψ ¸si si χ sunt de n ori diferent¸iabile ¸iabile pe and schimbarea schi mbarea de variabile x = ϕ(u,v,w), u,v,w ), y = ψ (u,v,w), u,v,w), z = D. Efectuând u,v,w ), z = χ(u,v,w), z (x, y) devine χ(u,v,w) u,v,w) = z (ϕ(u,v,w) u,v,w ), ψ (u,v,w)), u,v,w )), care define¸ste ste o funct f unct¸ie ¸ie w = w(u, v ), iar expresia F ia forma ∂w ∂w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w G u,v,w, , , , , ,... . ∂u ∂v ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2





Este deci necesar s˘a calcul˘am am derivatele part¸iale ¸iale ale funct¸iei ¸iei z ˆın raport rapor t cu x si y ˆın funct¸ie ¸ie de derivatele sale part¸iale ¸iale ale funct¸iei ¸iei w ˆın raport cu u ¸si si v. Dup Dupa˘ regula de derivare a funct¸iilor ¸iilor compuse, avem

 ∂w = ∂z ψu + ψw ∂u

 ψv + ψw

∂x

∂w ∂z = ∂v ∂x

 

   

∂w ∂z ϕu + ϕw + ∂u

ϕv + ϕw

∂w ∂v

∂y

+

∂z ∂y

 

 ∂w , ψu + ψw

 ψv + ψw

∂u

∂w ∂v

.

Prin rezolvarea acestui sistem se obt¸in ¸in derivatele ∂z/∂x ¸si∂z/∂y si∂z/∂y.. Printr-o nou˘a derivare a sistemului precedent obt¸inem ¸inem derivatele de ordinul doi etc.

Capitolul 7

EXTREME PENTRU FUNC FU NCT T ¸ I I DE MA MAII MU MUL LTE VARIABILE

7.1 7. 1

Puncte Punc te de extre extrem m pe pen ntr tru u fu func nct ¸tii de ma maii mul ulte te variabile

Fie f : E

→ R, E ⊂ Rn.

∈ E se nume¸ nu me¸ste st e punct de extrem local sau relativ al funct ¸iei f dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a lui x0 a.ˆı. ı. diferen dif erent ¸a f ¸a t f (x) − f ( f (x0 ) s˘ a p˘ astreze semn constant pentru orice x ∈ V ∩ E . Dac˘ Da c˘a: a: f ( f (x) − f (x0 ) ≤ 0, ∀ x ∈ V ∩ E , x0 este punct de maxim local, f ( f (x) − f (x0 ) ≥ 0, ∀ x ∈ V ∩ E , x0 este punct de minim local. Dac˘ a diferent¸a ¸a f ( f (x) − f ( f (x0 ) p˘astreaz˘ astreaz˘ a semn constant pentru orice x ∈ E , atunci x0 se Definit ¸ia ¸ia 7.1 Punctul x0

nume¸ ste ste punct de extrem absolut. Orice punct de extrem absolut este punct de extrem local. Reciproca nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a.

Teorema 7.1 (Teorema lui Fermat) Dac˘ a x0 este punct de extrem pentru funct ¸ia f ¸ia f ¸si si f are toate derivatele part ¸iale ¸ia le ˆın ın x0 = (x ( x01 , x02 , . . . , x0n ), atunci

∂f 0 0 (x , x , . . . , x0n ) = 0, i = 1, n. ∂x i 1 2

(7.1)

 Fie F i (t) = f ( f (x01 , . . . , xi0−1 , x0i + t, x0i+1 , . . . , x0n ), i = 1, n. Dac˘ Dac˘ a x0 este punct de extrem pentru funct¸ia ¸ia f , ¸a f ( f (x0 ) p˘astr as trez ez˘˘a semn constant, deci ¸si si f , atunci diferent¸a f (x) f ( F i (t) F i (0) p˘astrez˘ astrez˘a semn constant, ca atare t = 0 este punct de extrem pentru F i . In consecint¸˘ ¸a, a˘, conform teoremei lui Fermat, F i (0) = 0, i = 1, n, ceea ce implic˘a (7.1).

−

−

83


84

Teorema lui Fermat precizeaz˘a condit¸ii ¸ii necesare de extrem. 0 0 0 Un punct punct x0 = (x1 , x2 , . . . , xn ) E pentru pentru care are loc (7.1), (7.1), adic˘ adic˘a o solut¸ie ¸ ie a sistemului ∂f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, i = 1, 1, n (7.2) ∂x i

∈

se nume¸ nume¸ste st e punct stat ¸ionar sau punct critic al funct¸iei ¸iei f . f . Teorema lui Fermat afirm˘a c˘a punctele de extrem ale unei funct¸ii ¸ii sunt puncte stat¸io¸ionare. Reciproca Reciproca afirmat¸iei ¸iei nu este adev˘arat˘ arat˘ a. De exemplu, originea este punct stat¸ionar a. ¸ionar   2 2 pentru funct¸ia ¸ia f ( f (x, y ) = x y , deoarece f x (0, (0, 0) = 0 ¸si si f y (0, (0, 0) = 0, dar nu este punct de extrem deoarece f ( f (x, y) f (0, (0, 0) = x2 y2 nu are semn constant ˆın ın nici o vecin˘atate atate a originii. Un punct stat¸ionar ¸ionar care nu este punct de extrem se nume¸ste ste punc punctt ¸sa . sa . Dac˘a f este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın x0 , punct de extrem pentru f , f , atunci df ( f (x0 ) = 0. Teorema care urmeaz˘a pune ˆın evident¸˘ ¸a˘ condit¸ii ¸ii suficiente ca un punct stat¸ion ¸ionar ar s˘a fie punct de extrem. S˘ a presupunem c˘a f are derivate part¸iale ¸iale de ordinul doi ˆın punctul x0 . Not˘am am cu

− −

Aij =

−

∂ 2 f (x0 ), i , j = 1, 1 , n, ∆ p = ∂x i ∂x j

Teorema 7.2 Fie f : E

 

A11 A21 ... A p1 p1

A12 A22 ... A p2 p2

.. . .. . ... .. .

A1 p A2 p ... A pp

 

, p = 1, n.

→ R, E ⊂ Rn, f ∈ C 2(E ) ¸si si x0 un punct stat ¸ionar al funct ¸iei

f , f , interior lui E . Atunci: 1. dac˘ a ∆ p > 0, p = 1, 1 , n, x0 este punct de minim, p 2. dac˘ a ( 1) ∆ p > 0, p = 1, 1 , n, x0 este punct de maxim, 3. dac˘ dac˘ a rg (Aij ) = r < n ¸si si ∆ p > 0 (respectiv ( 1) p ∆ p > 0), p = 1, r , nu putem decide asupra naturii punctului x0 cu ajutorul derivatelor part ¸iale de ordinul doi, 4. dac˘ a ∆ p nu sunt nici ˆın unul din cazurile precedente, precedente, x0 nu este punct de extrem.

−

−

 Presupunem c˘a f este o funct¸ie ¸ie de dou˘ a a variabile f ( f (x, y) ¸si si (x0 , y0) fiind un punct stat¸ionar ¸ionar al acesteia, not˘am am ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f A= (x0 , y0 ), B = (x0 , y0 ), C = (x0 , y0 ). ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 Avem de demonstrat c˘a: a: 1. dac˘a ∆1 = A > 0 ¸si ∆2 = AC B 2 > 0, (x0 , y0 ) este punct de minim, 2. dac˘a ∆1 = A < 0 ¸si ∆2 = AC B 2 > 0, (x0 , y0 ) este punct de maxim, 3. dac˘ dac˘ a ∆2 = AC B 2 = 0, nu putem decide asupra naturii punctului ( x0 , y0 ) cu ajutorul derivatelor part¸iale ¸iale de ordinul doi, 4. dac˘a ∆2 = AC B 2 < 0, (x0 , y0 ) nu este punct de extrem. Scriem formula lui Taylor Taylor de ordinul ˆıntâi. ai. Deoarece (x (x0 , y0 ) este un punct stat¸ionar ¸ionar

− −

− −

∂f (x0 , y0 ) = 0, ∂x

∂f (x0 , y0 ) = 0 ∂y

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA ¸si si notˆ no tând and x

85

− x0 = h, y − y0 = k, avem

f ( f (x, y )

−

1 ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 f ( f (x0 , y0 ) = (ξ, η ) h + 2 (ξ, η ) hk + 2 (ξ, η ) k2 = 2 2! ∂x ∂x∂y ∂y





1 A h2 + 2B 2B hk + C k 2 + α(h, k ) k2 , 2! ˆın care ca re α(h, k ) 0 când and h 0, k 0, derivatele part¸iale ¸iale de ordinul ordinul doi fiind continue continue.. Rezult˘ a c˘a exist˘a o vecin˘atate atate a punctului (x ( x0 , y0 ) ˆın care semnul diferent¸ei ¸ei f ( f (x, y ) 2 2 f ( f (x0 , y0 ) este dat de diferent¸iala ¸iala a doua ˆın (x0 , y0 ): d f (x0 , y0 ) = A h + 2B 2B hk + C k 2 . 2 2 1. Deoarece A > 0 ¸si AC B > 0, trinomul trin omul ˆın h/k, h/k, A (h/k) h/k) + 2B h/k + C , admite un minim B 2 AC ∆2 m= = > 0, A ∆1



→

→



→

−

−

− − Fie V o vecin˘atate atate a lui (x ( x0 , y0 ) ˆın care car e |α(h, k )| < m.

scrie

f ( f (x, y)

Pent Pentru ru orice orice (x, ( x, y )

∈ V , V , putem

− f (x0, y0) ≥ 12 [m + α(h, k)] k2 ≥ 0.

Deci (x (x0 , y0 ) este un punct de minim. Cazul 2. se trateaz˘ a ˆın ın mod asem˘an˘ an˘ ator. ator. 2 3. Dac˘a B AC = 0 ¸si A = 0, atunci

−



d2 f ( f (x0 , y0 ) =

1 (A h + B k )2 , A

iar dac˘a A = 0, d2 f ( f (x0 , y0 ) = C k 2 , de unde deducem c˘a d2 f ( f (x0 , y0 ) = 0 ˆın punctele dreptei A h + B k = 0, respectiv k = 0. Deci nu putem decide asupra naturii naturii punctului (x0 , y0 ) cu ajutorul derivatelor part¸iale ¸iale de ordinul doi. 4. Dac˘a B 2 AC > 0, atunci atunci d2 f (x0 , y0 ) nu p˘astreaz˘ astreaz˘ a semn constant constant ˆın ın nici o vecin˘atate atate a punctului (x ( x0 , y0 ).

−

Exemplul 7.1 S˘ a determin˘ am punctele de extrem ale funct ¸iei f ( f (x, y) = x3 + 3xy 3 xy 2 15 15x x 12 12yy, (x, y ) R2 .

−

∈

−

Punctele stat ¸ionare sunt solut ¸iile sistemului ∂f = 3(x 3( x2 + y 2 ∂x

− 5) = 0,0, ∂f = 6(xy 6( xy − 2) = 0, 0, ∂x adic˘ a: (2, (2, 1), 1), (−2, −1), 1), (1, (1, 2), 2), (−1, −2). 2). Derivatele de ordinul doi sunt ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f = 6x, 6 = 6 = 6x. x, y, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 In punctul (2, (2, 1), 1), ∆1 = 12 > 0, ∆2 = 108 > 0, (2, (2, 1) este un punct de minim, f (2 f (2,, 1) = 28 28.. In punc punctu tul l ( 2, 1), 1), ∆1 = 12 < 0, ∆2 = 108 > 0, ( 2, 1) este un punct de maxim, f ( 2, 1) = 28. 28. In punctel punctelee (1, (1, 2), 2), ( 1, 2), 2), ∆2 = 108 < 0. Nu sunt sunt puncte puncte de extrem.

−

− −

− −

−

− −

− − −


7.2 7. 2

86

Extr Ex trem eme e pen pentr tru u fun funct ct ¸ii definite implicit ¸ii

Teorema 7.3 Fie f : E

→ R, E ⊂ Rn, y = f (x), o funct ¸ie definit˘ a implicit de ecuat ¸ia ¸ia F ( F (x; y) = 0.

(7.3)

∈

Punctul x0 E este punct stat ¸ionar al funct ¸iei f d.d. punctul punctul (x0 , y0 ), cu y0 = f (x0 ), este solut ¸ie a sistemului

 Deoarece

∂F (x; y ) = 0, F ( F (x; y) = 0, i = 1, 1 , n, ∂x i

(7.4)

∂F ∂F ∂f (x; y ) + (x; y) (x) = 0, cu y = f ( f (x), ∂x i ∂y ∂x i

(7.5)

rezult˘a c˘ a ∂f/∂xi (x0 ) = 0, i = 1, n, d.d. punctul ( x0 , y0 ) este solut¸ie ¸ie a sistemului (7.4).  Pentru a determina punctele de extrem ale funct¸iei ¸iei f definit˘ a implicit de ecuat¸ia ¸ia (7.3), se rezolv˘ rezolv˘ a sistemul (7.4) de n + 1 ecuat¸ii ¸ii ˆın ın necunosc necu noscutel utelee x1 , x2 , . . . , xn , y. Dac˘a (x0 , y0 ) este o solut¸ie ¸ie a sistemului (7.4), atunci x0 este un punct stat¸ionar ¸ionar al funct¸iei ¸iei f ¸si si y0 = f ( f (x0 ). Pentru a vedea care dintre punctele stat¸ionare ¸ionare ale funct¸iei ¸iei f sunt puncte de extrem, s˘a presupu pre supunem nem c˘a f este de dou˘a ori diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a pe E . Derivˆ and and (7.5) ˆın raport cu xj , obt¸inem ¸inem ∂ 2 F ∂ 2 F ∂f ∂F ∂ 2 f ∂F ∂ 2 f ∂ 2 F ∂f ∂ 2 F ∂f ∂f + + + + + = 0. 0. ∂x i ∂x j ∂x j ∂y ∂x i ∂y ∂x i ∂x j ∂y ∂x i ∂x j ∂x i ∂y ∂x j ∂y 2 ∂x i ∂x j Dac˘a x0 este un punct stat¸ionar ¸ionar pentru f , f , atunci f/∂xi (x0 ) = 0 ¸si si din relat¸ia ¸ia precedent˘a rezult˘a ∂ 2 f 1 ∂ 2 F Aij = (x0 ) = ∂F (x0 ; y0 ). ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j ∂y (x0 ; y0 )

−

Aplicˆ and acum Teorema (7.2), putem stabili natura punctului stat¸ionar x0 .  and

7.3 7. 3

Extr Ex trem eme e co cond ndit it ¸ionate ¸ionate

In practic˘a apar uneori ¸si si probleme care nu se pot ˆıncadra ˆın teoria prezentat˘a pân˘a aici. De exemplu: s˘a se determine aria maxim˘a a unui dreptunghi dac˘a perimetrul s˘au au are o valoare constant˘a, a, sau s˘a se determine volumul maxim al unui paralelipiped dac˘a suma muchiilor sale ¸si si aria total˘a au valori constante. In aceste probleme se cere determinarea valorilor extreme ale unei funct¸ii ¸ii de mai multe variabile, dac˘a acestea satisfac un num˘ar ar de condit¸ii ¸ii date. Fie F : E R, E Rn , n 2, y = F ( ¸ie real˘a ¸si F (x1 , x2 , . . . , xn ), o funct¸ie

→

⊂

≥

Gj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, j = 1, 1 , m,

(7.6)


87

→ ∈

un sistem de m < n ecuat¸ii, ¸ii, funct¸iile ¸iile Gj : E R fiind funct¸ional ¸ional independente pe E . 0 0 0 Definit ¸ia ¸ia 7.2 Punctul x0 = (x1 , x2 , . . . , xn ) E se nume¸ num e¸ste st e punct de extrem al funct ¸iei F condit¸ionat ¸ionat de sistemul (7.6) dac˘ a este punct de extrem pentru F pentru F ¸si si solu so lut ¸ie t a sistemului (7.6).

∈

Deoarece, ˆın acest caz, se caut˘a extremele funct¸iei ¸iei F pe mult¸imea ¸imea punctelor x E ale c˘aror aror coordonate x1 , x2 , . . . , xn sunt legate ˆıntre ele prin cele m ecuat¸ii ¸ii (7.6) (leg˘aturi aturi ˆıntre ıntr e variab var iabile ilele le x1 , x2 , . . . , xn ), extremele condit¸ionate ¸ionate se mai numesc extreme cu leg˘ aturi . Extremele funct¸iei ¸iei F definite ˆın paragraful precedent le vom numi extreme libere sau extreme necondit necondit ¸ionate. ¸ionate. Un punct de extrem condit¸ionat ¸ionat este un punct de extrem liber, dar nu orice punct de extrem liber este punct de extrem condit¸ionat. Problema Proble ma determin˘ det ermin˘arii arii extremelor extremel or funct f unct¸iei ¸iei F , F , condit¸ionate ¸ionate de sistemul (7.6) ( 7.6) se poate reduce la o problem˘a de extrem liber prin introducerea funct ¸iei lui Lagrange: Lagrange : L(x; λ) = F ( F (x) + λ1 G1 (x) + λ2 G2 (x) +

· · · + λmGm(x), ∀ (x; λ) ∈ E × Rm,

cu λ = (λ1 , λ2 , . . . , λm). Scalarii λ1 , λ2 , . . . , λm se numesc multiplicatorii lui Lagrange. Lagrange . S˘a observ˘ obse rv˘am am c˘a funct¸iile ¸iile F ¸si si L iau acelea¸si si valori ˆın toare punctele care satisfac sistemul (7.6). Teorema 7.4 Fie x0 un punct de extrem al func;tiei F condit ¸ionat de sistemul (7.6).

Dac˘ a funct ¸iile F ¸si si Gi , i = 1, m, sunt de clas˘ a C 1 pe E ¸si si rg

  ∂G i ∂x j

(x0 ) = m,

(7.7)

0 atun at unci ci exist ex ist˘ ˘ a a λ0 = (λ01 , λ02 , . . . , λm ) Rm a.ˆı. ı. punctul punc tul (x0 ; λ0 ) E Rm s˘ a fie punct stat ¸ionar al funct ¸iei L(x, λ), adic˘ a solut ¸ie a sistemului de n + m ecuat ¸ii

∈

∈ ×

∂L ∂F ∂G 1 (x; λ) = (x) + λ1 (x) + ∂x i ∂x i ∂x i

m · · · + λm ∂G (x) = 0, ∂x i

i = 1, 1 , n,

(7.8)

∂L (x; λ) = Gj (x) = 0, j = 1, m ∂λ j ˆın ın n + m necunoscute x1 , x2 , . . . , xn ; λ1 , λ2 , . . . , λm .  Presupunem m = 1. Sistemul (7.6) se reduce atunci la ecuat¸ia ¸ia G(x1 , x2 , . . . , xn−1 ; xn ) = 0, cu

∂ G (x0 ) = 0, ∂ xn



G(x01 , x02 , . . . , xn0 −1 ; xn0 ) = 0.

Conform teoremei funct¸iilor ¸iilor definite definite implicit, implicit, exist˘ a funct¸ia ¸ia xn = g (x1 , x2 , . . . , xn−1 ), definit˘ a ˆıntr-o ıntr -o vecin˘ veci n˘atate atate a punctului (x ( x01 , x02 , . . . , x0n−1 ) a.ˆı. g(x01 , x02 , . . . , x0n−1 ) = x0n ¸si si G(x1 , x2 , . . . , xn−1 ; g(x1 , x2 , . . . , xn−1 )) = 0. 0. Inlocu Inl ocuind ind ˆın F ( F (x1 , x2 , . . . , xn ) pe xn , obt¸inem ¸inem funct¸ia ¸ia f ( f (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) = F ( F (x1 , x2 , . . . , xn−1 ; g(x1 , x2 , . . . , xn−1 )), )),


88

pentru care x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n−1 ) este un extrem liber, deci ∂f  (x ) = 0, j = 1, n ∂x j 0

− 1,

de unde, t¸inˆ ¸inând and seama de definit¸ia ¸ia lui f deducem ∂F ∂F ∂g  1, n (x0 ) + (x0 ) (x ) = 0, j = 1, ∂x j ∂x n ∂x j 0

− 1,

ˆın care derivatele funct¸iei ¸iei g se obt¸in ¸in din ∂G ∂G ∂g  (x0 ) + (x0 ) (x ) = 0, j = 1, 1, n ∂x j ∂x n ∂x j 0

− 1.

Prin eliminarea derivatelor funct¸iei ¸iei g , condit¸iile ¸iile de extrem pentru funct¸ia ¸ia f se pot scrie sub forma ∂F ∂F x x ∂x j ( 0 ) ∂x n ( 0 ) = = λ0 , j = 1, n 1. ∂G ∂G x x ( ) ( ) 0 0 ∂x j ∂x n

−

−

−

De aici deducem ∂L ∂F ∂G (x0 ; λ0 ) = (x0 ) + λ0 (x0 ) = 0, j = 1, n. ∂x j ∂x j ∂x j Orice solut¸ie ¸ie (x0 ; λ0 ) a sistemului (7.8) se nume¸ste ste punct stat ¸ionar al funct ¸iei lui Lagrange, grange, iar x0 punct stat ¸ionar condit ¸ionat al funct¸iei ¸iei F . ¸ionat F . Punctele de extrem condit¸ionat ale funct¸iei ¸iei F se g˘asesc asesc printre punctele stat¸ionare ¸ionare condit¸ionate. ¸ionate. Pentru a stabili care dintre punctele stat¸ionare condit¸ionate ¸ionate ale funct¸iei ¸iei F sunt puncte de extrem condit¸ionat, ¸ionat, vom da ˆın continuare condit ¸ii suficiente de extrem condit ¸ionat . 2 S˘ a presupunem c˘a funct¸iile ¸iile F ¸si si Gj , i = 1, m, sunt de clas˘a C pe E ¸si si fie (x0 ; λ0 ) un punct stat¸ionar ¸ionar al funct¸iei ¸iei lui Lagrange. Punctul stat¸ionar ¸ionar condit¸ionat ¸ionat x0 este punct de extrem condit¸ionat ¸ionat pentru funct¸ia ¸ia F dac˘ a diferent¸a ¸a F ( F (x) F ( F (x0 ) p˘astreaz˘ astreaz˘ a semn constant pentru orice x, solut¸ie ¸ie a sistemului (7.6), dintr-o vecin˘atate atate a punctului x0 . Not˘ am a m cu Φ(x) = L(x; λ0 ). S˘a observ˘ observ˘ am a m c˘a pentru orice solut¸ie ¸ie a sistemului (7.6) F ( F (x) F ( F (x0 ) = Φ(x) Φ(x0 ). Deoarece dΦ(x0 ) = 0, semnul diferent¸ei ¸ei Φ(x) Φ(x0 ), ˆıntr-o ıntr -o vecin˘ veci n˘atate atate a punctului punctului x0 este dat de diferent¸iala ¸iala a doua

−

−

−

−

n

∂ 2 Φ d Φ(x0 ) = (x0 ) dxi dxj , ∂x i ∂x j i,j=1 i,j =1



2

ˆın care ca re ˆıns˘ ın s˘a diferent¸ialele ¸ialele dxi nu sunt independente. independente. Intr-ad Intr-adev˘ ev˘ar, ar, diferent¸iind ¸iind sistemul (7.6 (7 .6)) ˆın x0 , avem ∂G j ∂G j (x0 ) dx1 + (x0 ) dx2 + ∂x 1 ∂x 2

j · · · + ∂G (x0 ) dxn = 0, ∂x n

j = 1, 1 , m,

care este un sistem algebric liniar de m ecuat¸ii ¸ii cu n necunoscute: dx1 , dx2 , . . . , d xn . In ipoteza (7.7), putem exprima m dintre diferent¸ialele ¸ialele dxi , de exemplu, primele m ˆın funct¸ie ¸ie de celelalte n m. Inlocuindu-le ˆın expresia lui d2 Φ(x0 ), obt¸inem ¸inem

−

n m 2

d Φ(x0 ) =

−



i,j=1 i,j =1

Aij dxm+i dxm+j .


89

Cu Aij astfel determinat¸i ¸i se aplic˘a Teorema 7.2, care precizeaz˘a condit¸ii ¸ii suficiente de extrem.

Capitolul 8

S ¸ IRU RUR RI S ¸ I SERI I DE FUNCT ¸ II 8.1 8.1.1

S ¸iruri de funct ¸iruri ¸ii reale ¸ii S ¸iruri ¸iruri de funct ¸ii. ¸ii. Mult Mul¸imea ¸ t imea de convergent ¸˘ ¸a ˘

⊂ R ¸sisi F (E, R) mult¸imea ¸imea funct¸iilor ¸iilor definite pe E cu valori ˆın R. Un ¸sir sir (f n )n∈ , ∈ F (E, R) se nume¸ num e¸ste st e ¸sir sir de funct funçii t reale. reale. Definit ¸ia ¸ia 8.1 Un punct x0 ∈ E se nume¸ nu me¸ste st e punct de convergent¸˘ ¸a˘ al ¸sirului sirului de funct ¸ii Fie E cu f n

N

(f n ) dac˘ a ¸sirul sir ul numeric num eric (f n (x0 )) este convergent.

Mult¸imea ¸imea punctelor de convergnt¸˘ ¸a˘ ale a le ¸sirului sirulu i de funct¸ii ¸ii (f (f n ) se nume¸ nume ¸ste st e mult ¸imea de convergent ¸˘ a a ¸sirului sir ului (f n ). Exemplul 8.1 S ¸irul ¸i rul de funct funçii ( ¸ii t (f n ), cu f n = R.

8.1. 8.1.2 2

sin x n2 +1 ,

x

∈ R, are mult ¸imea ¸imea de convergent ¸˘ a

Funct unct ¸ia limit˘ lim it˘ a a unui ¸ sir sir de funct fun ct ¸ii ¸ii

Fie (f (f n ) un ¸sir sir de funct¸ii ¸ii definite pe E ¸si si A R, definit˘ Funct¸ia ¸ia f : A a prin

→

⊂ E mult¸imea ¸imea de convergent¸˘ ¸a˘ a ¸sirului. sirulu i.

f ( f (x) = lim lim f n (x), x n

→∞

∈ A,

se nume¸ nume¸ste st e funct ¸ia limit˘ a pe mult¸imea ¸imea A a ¸siru si rulu luii (f n ). 2 2

+1 Exemplul 8.2 S ¸irul ¸i rul de funct funçii t f n (x) = nnx2 +1 , x R, are mult ¸imea de convergent ¸˘ a R 2 ¸si si pentru pentr u orice x R, funct ¸ia limit li mit˘ ˘ a a ¸sirul si rului ui este es te f ( f (x) = x .

∈

90

∈


8.1.3 8.1.3

91

Conv Converg ergen ent ¸a ¸ta simp si mpl˘ l˘ a

Fie (f (f n ) un ¸sir sir de funct¸ii ¸ii pe E

⊂ R.

Definit ¸ia ¸ia 8.2 Spunem c˘ a ¸sirul sirul de funct ¸ii ¸ii (f n ) este simplu (punctual) convergent pe E

c˘ atre funct ¸ia f , f , dac˘ a

∀ x ∈ E, ∀ ε > 0, ∃ N (ε, x)

pentru care (f n )

|

− f ( f (x)| < ε, ∀ n > N.

(8.1)

Din definit defini¸ie ¸tie rezult˘a c˘a num˘arul arul N depinde atât at de ε cât at ¸si si de x. Exemplul 8.3 S ¸irul ¸i rul de funct fun ct ¸ii ¸ii f n (x) =

f ( f (x) = 0. Intr-adev˘ ar,

x2 n+1

< ε d.d. n >

∈ R, este simplu convergent pe R c˘ atre

x

x2 ε ε .

− Deci

N ( N (ε, x) =

8.1.4 8.1.4

x2 n+1 ,

  x2 ε ε

− , ε < x2,

0,

ε

≥ x2.

Conv Converg ergen ent ¸a ¸ta unif un ifor orm˘ m˘ a

Definit ¸ia ¸ia 8.3 Spunem c˘ a ¸sirul siru l de d e funct func ¸ii ( ¸ii t (f n ) este uniform convergent pe E c˘ atre funct ¸ia

f dac˘ a

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε, x)

pentru care (f n )

|

− f (x)| < ε, ∀ n > N, ∀ x ∈ E.

(8.2)

In definit¸ia ¸ia uniformei convergent¸e, ¸e, num˘ num˘arul arul N depinde numai de ε ¸si si este es te acela¸ ace la¸si si pentru orice x E . Un ¸sir sir de funct fun ct¸ii ¸ii uniform uni form convergent este ¸si si simplu s implu convergent. Recipro ca nu este, ˆın ın general gene ral,, adev˘ adev ˘arat˘ arat ˘a. a.

∈

Exemplul 8.4 S ¸irul ¸i rul de funct fun ct ¸ii ¸ii f n (x) =

f ( f (x) = 0. Intr-adev˘ ar,

  cos nx n2 +1

cos nx n2 +1 ,

x

∈ [0, [0, π ], este uniform convergent c˘ atre

ε < ε dac˘ a n21+1 < ε, ε , adic˘ a d.d. n2 > 1− ε . Deci

N ( N (ε) =

1 ε ε

− , ε < 1,

  0,

ε

≥ 1.

Un criteriu de convergent¸˘ ¸a˘ uniform˘a este dat de urm˘atoarea atoarea Teorema 8.1 S ¸irul ¸ir ul de funct ¸ii (f n ) definite pe E converge uniform pe E la funct ¸ia f

dac˘ a exist˘ a un ¸sir si r (an ) de numere pozitive, convergent c˘ atre at re zero, ze ro, a.ˆı. ı.

∀ n ∈ N, |f n(x) − f (x)| ≤ an, ∀ x ∈ E.  Deoarec Deo arecee ¸sirul sir ul (an ) are limita 0,

∀ ε > 0, ∃ N ( pentru care care an < ε, ∀ n > N. N (ε) pentru f (x)| < ε, ε , ∀ n > N , N , ∀ x ∈ E , deci (f (f n ) este uniform convergent pe Prin urmare, |f n (x) − f ( R c˘ atre atre f ( f (x) = 0. 

Exemplul 8.5 S ¸irul ¸i rul de funct funçii f ¸ii t f n (x) = pe R c˘ atre f ( f (x) = 0.

Intr-adev˘ ar,

sin nx nα

  ≤

1 nα

→ 0.

sin nx nα ,

x

∈ R cu α > 0, este uniform convergent


8.1.5

92

Propriet˘ at a¸i ¸ti ale ¸ sirurilor sirurilor uniform convergente

In leg˘atur˘ atur˘ a cu ¸sirurile siruri le de funct¸ii ¸ii uniform convergente vom demonstra trei teoreme privind continuitatea, continuitate a, derivabilitatea derivabil itatea ¸si si integrabilitat integrab ilitatea ea funct¸iei ¸iei limit˘ a. a. Teorema 8.2 Fie (f n ) un ¸sir sir de funct ¸ii uniform convergente pe E la funct ¸ia f . Dac˘ a f . Dac˘

toate funct ¸iile f n sunt continue ˆın punctul x0 ˆın ın punct pun ctul ul x0 .

∈ E , atunci funct ¸ia limit˘ a f este continu˘ a ∈

 Deoarec Deo arecee ¸sirul sir ul (f n ) este uniform convergent pe E , are loc (8.2) pentru orice x E . In particular, particu lar, avem ¸si si f n (x) f n (x0 ) < ε. ε. Funct¸ia ¸ia f n (x) fiind continu˘a ˆın punctu pun ctull x0 , exist˘a o vecin˘atate atate V a lui x0 a.ˆı. ı. pentr pe ntru u x V E s˘a avem f n (x) f n (x0 ) < ε. ε . Dar

|

−

|

∈ ∩ | − | |f ( f (x) − f (x0 )| ≤ |f ( f (x) − f n (x)| + |f n (x) − f n (x0 )| + |f n (x0 ) − f ( f (x0 )| < 3ε, pentru orice x ∈ V ∩ E , ceea ce ea ce dovede¸ste ste continuitatea c ontinuitatea funct¸iei ¸iei f ˆın punct pu nctul ul x0 . 

Consecint ¸a ¸a 8.1 Limita Limi ta unui ¸sir sir (f n ) de funct ¸ii continue pe E , uniform convergent pe

E , este o funct ¸ie continu˘ a pe E . Exemplul 8.6 S ¸irul ¸i rul de funct funçii f ¸ii t f n (x) = 4

funct ¸ia ¸ia f ( f (x) = x , x

n3 x4 +1 n3 +1 ,

∈ [0, [0, 1]. 1].

x

∈ [0, [0, 1] este uniform convergent c˘ atre

Teorema 8.3 Fie (f n ) un ¸sir sir de funct funçii t uniform convergente pe intervalul m˘ arginit I

⊂

E c˘ atre funct ¸ia f . f . Dac˘a toate t oate funct fu nct ¸iile f n au derivate continue pe I ¸si si ¸sirul si rul de funct fun ct ¸ii  (f n ), al derivatelor funct ¸iilor f n , este es te uniform convergent c˘ atre atre o funct ¸ie g pe intervalul I , atunci funct ¸ia limit˘ a f este derivabil˘ a pe I ¸si si f  (x) = g (x), pentru orice x I .

∈

 Fie x0 I . S˘ a ar˘at˘ at˘ am am c˘a f este derivabil˘a ˆın x0 ¸si si f  (x0 ) = g(x0 ). S¸ irul iru l de funct fun ct¸ii ¸ii (f (f n ) fiind fiind u.c. u.c. pe I la g, urmeaz˘a c˘a ¸sirul si rul (f n (x0 )) este convergent, deci

∈

(a)

∀ ε > 0, ∃ N 1(ε) ∈ N

pentru care

∀ n > N 1, |f n (x0) − g(x0)| < ε, ∀ x0 ∈ I.

∈

N, avˆ Funct¸ia ¸ia f n (x), pentru orice n and and derivat˘a continu˘a ˆın punctul x0 , exist˘a o vecin˘atate atate V a lui x0 a.ˆı. ı. pentr pe ntru u ε > 0, ales mai sus, s˘a avem



 

− f n(x0) − f  (x0) < ε, ∀ x ∈ V. (b) n − x0 Pe de alt˘a parte, pentru orice m, n ∈ N, putem scrie (f n (x) − f m (x)) − (f n (x0 ) − f m (x0 )) f n (x) − f n (x0 ) f m (x) − f m (x0 ) − = x − x0 x − x0 x − x0  (ξ )|, = |f n (ξ ) − f m



f n (x) x







=

cu ξ cuprins cupr ins ˆıntre x0 ¸si si x, dup˘a cum rezult˘a aplicând and teorema lui Lagrange funct¸iei ¸iei  f n (x) f m (x). Dar ¸sirul sir ul (f ( f n (ξ )) este convergent, deci dup˘a criteriul general al lui Cauchy pentru ¸siruri, siruri , exist˘a N 2 (ε) N a.ˆı.

−

∈ |f n (ξ) − f m (ξ)| < ε, ∀ n,m > N 2.


∈ I , avem

In consecint¸˘ ¸a, a˘, pentru orice x

F˘ acând acˆ and aici m



f n (x) x

− f n(x0) − f m(x) − f m(x0) − x0 x − x0

→ ∞, rezult˘a



( c)

{

f n (x) x

93



< ε,

∀ n,m > N 2.

  ≤

− f n(x0) − f (x) − f ( f (x0 ) − x0 x − x0

}

< ε,

∀ n > N 2. ∈

Fie acum N = max N 1 , N 2 . Atunci, pentru orice n > N ¸si si oric or icee x , din (a (a), (b) ¸si (c), urmeaz˘ a f ( f (x) f ( f (x0 ) g(x0 ) x x0

≤ 

f ( f (x) x

 −  − 

− f (x0) − f n(x) − f n (x0) − x0 x − x0

Prin urmare,

+

− f n (x) − f n (x0 ) − f n (x0) + |f n (x0) − g(x0)| < 3ε. x − x0



− f ( f (x0 ) x→x − x0 = g(x0), ∀ x0 ∈ I. Deci f este derivabil˘a pe I ¸si si f  (x) = g(x), pentru orice x ∈ I .  lim

0

f ( f (x) x

Un ¸sir si r (f n ) poate fi u.c. c˘atre atre f , f , cu (f (f n ) ¸si f derivabile, f˘ ar˘ ar˘a ca ¸sirul sir ul (f n ) s˘a fie u.c.

Exemplul 8.7 S ¸ irul f n (x) =

sin2 nx n+1 ,

∈

x [0, [0, π ], este este u. u.c. c˘ atre atre funct ¸ia f ( f (x) = 0. 1  Funct ¸iile f n ¸si si f sunt derivabil derivabilee pe [0, [0, π ], ˆıns˘ sin2nx sin2nx ın s˘ a ¸sirul sirul derivatelor derivate lor f n (x) = n+1 nu este convergent pe [0, [0, π ]. Intr-adev˘ ar, pentru x = π/4 π/4 ¸sirul f n (π/4)) π/4)) este divergent. Teorema 8.4 Fie (f n ) un ¸sir sir de funct ¸ii uniform convergente pe intervalul [a, b]

c˘ atre funct ¸ia f . f . Dac˘ a toate funct ¸iile f n sunt continue pe [a, b], atunci b

lim

n

→∞

b



f n (x) dx =

a

  a

⊂ E

b

 

lim f n (x) dx =

n

→∞

f ( f (x) dx.

a

S ¸ irul ru l (f n ) fiind u.c. pe [a, [a, b] c˘ atre atre funct¸ia ¸ia f , f ,

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) pentru care |f n (x) − f ( f (x)| < ε, ∀ n > N, ∀ x ∈ [a, b]. Pe de alt˘a parte, parte, funct funct¸iile ¸iile f n (x) fiind fiind contin continue, ue, dup˘ dup˘a Teorema 8.2, funct¸ia ¸ia f ( f (x) este continu˘a pe [a, [a, b]. Deci putem scrie

 

b

b

a

deci

f n (x) dx

 −

  ≤ | −   b

f ( f (x) dx

a

f n (x)

b

b

lim

n

→∞

f n (x) dx =

a

|

f ( f (x) dx < ε( ε(b

a

a

f ( f (x) dx. 

− a), ∀ n > N,


8.2 8. 2

Ser Se rii de fu func nct ¸ ¸ii tii

8.2. 8.2.1 1 Fie f n

94

Seri Seriii de func funct ¸ii. ¸tii. Mult ¸imea de convergent ¸˘ ¸a ˘

∈ F (E, R) un ¸sir sir de funct¸ii ¸ii reale real e ¸si si sn ∈ F (E, R) ¸sirul sirul definit prin n

sn = f 1 + f 2 +

· · · + f n =



f k , n

k=1

∈ N.

Definit ¸ia ¸ia 8.4 Perechea num e¸ste ste serie serie de funct funct¸ii ¸ii reale ¸si si se Perechea de ¸siruri siruri ((f ((f n ), (sn )) se nume¸

noteaz˘ a f 1 + f 2 +

· · · + f n + · · · =

∞



f n .

(8.3)

n=1

S ¸ irul (sn ) se nume¸ nu me¸ste st e ¸sirul sirul sumelor part¸iale ¸iale ale seriei. Definit ¸ia ¸ia 8.5 Un punct x punct x0

ria numeric˘ a

∞



n=1

∈ E se nume¸ nu me¸ste st e punct de convergent convergent¸˘ ¸a˘ al seriei (8.3) dac˘ a se-

f n (x0 ) este convergent˘ convergent˘ a. Mult ¸imea punctelor de convergent ¸˘ a se s e nume¸ nu me¸ste st e

mult¸imea ¸imea de convergent¸˘ ¸a˘ a seriei de funct ¸ii. Mult¸imea ¸imea de convergent convergent¸˘ ¸a˘ a seriei de funct¸ii ¸ii (8.3) coincide cu mult¸imea ¸imea de convergent¸˘ ¸a˘ a ¸sirului sirul ui de funct¸ii ¸ii (s (sn ) a sumelor part¸iale ¸iale ale seriei. Exemplul 8.8 Dat ¸sirul sirul de funct ¸ii f ¸ii f n (x) = xn , x

∈ R, n ∈ N, form˘am am seria de funct ¸ii 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · . Deoarece Deoarece ¸sirul sir ul de funct func ¸ii s ¸ii t sn (x) = 1+x 1+ x + x2 + · · · + xn−1 este convergent convergent pentru x pentru x ∈ (−1, 1), 1), − rezult˘ a c˘ a seria este convergent˘ a pe ( 1, 1). 1). 8.2.2 8.2.2

Conv Converg ergen ent ¸a ¸ta simpl˘ a a unei serii de funct ¸ii ¸ii

Definit ¸ia ¸ia 8.6 Spunem c˘ a seria de funct ¸ii

∞



n=1

f n este simplu (punctual) convergent˘a pe

E c˘ atre funct ¸ia ¸ia f dac˘ a ¸sirul sirul sumelor sale part ¸iale (sn ) este simplu convergent c˘ atre f pe E . Funct ¸ia f se nume¸ num e¸ste st e suma seriei

∞



n=1

f n pe E .

Folosind definit¸ia ¸ia cu ε a convergent convergent¸ei ¸ei ¸sirul si rului ui (sn ) la funct¸ia ¸ia f pe E , avem urm˘atoarea atoarea definit¸ie ¸ie echivalent˘a. a. Definit ¸ia ¸ia 8.7 Seria de funct ¸ii

funct ¸ia ¸ia f dac˘ a

∞



n=1

f n este simplu (punctual) convergent˘a pe E c˘ atre

  n

∀ x ∈ E, ∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε, x) ∈ N pentru care

k=1

f k (x)

 

− f ( f (x)

< ε,

∀ n > N.

(8.4)

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Exemplul 8.9 Seria de funct ¸ii

∞



|sn(x) −

−

1 xn f ( f (x) = 1 x

 − −

|

pentru x < 1.

||

8.2.3 8.2.3

xn−1 este simplu convergent˘ a pe ( 1, 1) la funct ¸ia

n=1

f ( f (x) = 1−1 x , deoarece

95

1

− 1−x



|x|n → 0 1−x

=

Conv Converg ergen ent ¸a ¸ta uniform˘ a a unei serii de funct ¸ii ¸ii

∞

Definit ¸ia ¸ia 8.8 Spunem c˘ a seria de funct ¸ii



n=1

f n este uniform convergent˘a pe E c˘ atre

funct ¸ia ¸ia f dac˘ a ¸sirul sirul sumelor sale part ¸iale (sn ) este uniform convergent c˘ atre atre f pe E , adic˘ a dac˘ a

  n


f k (x)

k=1

− f ( f (x)

 

< ε,

∀ n > N, ∀ x ∈ E.

Un criteriu de uniform˘a convergent¸˘ ¸a˘ este dat de urm˘atoarea atoarea teorem˘a. a. Teorema 8.5 (Criteriul lui Weierstrass) Seria de funct ¸ii

vergent˘ a pe E c˘ atre funct ¸ia ¸ia f dac˘ a exist˘ a seria

n=1

∞



f n este uniform con-

an de numere pozitive, convergent˘ a,

n=1

a.ˆı.

∞



∀ n ∈ N, |f n(x)| ≤ an, ∀ x ∈ E.  Pentru orice p

∈ N avem p

|sn+ p(x) − sn(x)| = pentru orice n

 

p

f n+k (x)

k=1

∈ N ¸sisi oric or icee x ∈ E . Seria

∀ ε > 0, ∃ N ( N (ε) ∈ N

p

  ≤ |

f n+k (x)

k=1

∞



n=1

pentru care

 |≤

an+k ,

k=1

an fiind convergent˘a, a, p



an+k < ε,

k=1

∀ n > N, ∀ p ∈ N,

de unde rezult˘a

|sn+ p(x) − sn(x)| < ε, ∀ n > N, ∀ p ∈ N, ∀ x ∈ E, adic˘a ¸siru si rull (sn ) este uniform convergent pe E , deci

∞



n=1

f n este u.c. pe E . 


8.2.4

96

Propriet˘ at a¸i ¸ti ale seriilor uniform convergente

In leg˘atur˘ atur˘ a cu seriile de funct¸ii ¸ii uniform convergente vom demonstra trei teoreme privind continuitatea, continuitate a, derivabilitatea derivabil itatea ¸si si integrabilitat integrab ilitatea ea funct¸iei ¸iei sum˘a. a.

∞



Teorema 8.6 Fie

n=1

f n o serie de funct ¸ii uniform convergent˘ convergent˘ a pe E la funct ¸ia f ¸ia f .. Dac˘ a

toate funct ¸iile f n sunt continue pe E , atunci funct ¸ia sum˘ a f este continu˘ a pe E .  Deoarece toate funct¸iile ¸iile f n sunt continue pe E , sumele part¸iale ¸iale sn = f 1 + f 2 + + f n sunt funct¸ii ¸ii continue pe E . Conform Teoremei 8.2, de la ¸siruri siruri uniform uni form convergente, limita li mita f este continu˘a pe E . 

···

∞



Teorema 8.7 Fie

n=1

f n o serie de funct ¸ii uniform convergent˘ a pe intervalul I

⊂ E la

f . Dac˘ funct ¸ia ¸ia f . Dac˘ a toate funct ¸iile f n au derivate continue pe I ¸si si seria de funct ¸ii

∞



n=1

f n

este uniform convergent˘ a c˘ atre o funct ¸ie ¸ie g pe intervalul I , atunci funct ¸ia sum˘ su m˘a a f este derivabil˘ a pe I ¸si si f  (x) = g (x), pentru orice x I .  S ¸irul ¸i rul sumelor part¸iale ¸iale ale seriei

∞

part¸iale ¸iale ale seriei

∞



n=1

 

n=1

∈

f n este este u.c u.c.. pe I la funct¸ia ¸ia f . f . S ¸irul ¸i rul sumelor s umelor

f n este este u.c. u.c. pe I la funct¸ia ¸ia g. Conform Teoremei 8.3, de la ¸siruri siruri

de funct¸ii, ¸ii, funct¸ia ¸ia f este derivabil˘a ¸si si derivata sa este g.  Teorema 8.8 Fie

∞

n=1

f n o serie de funct ¸ii ¸ii uniform convergent˘ convergent˘ a pe intervalul [a, b] la

funct ¸ia f . f . Dac˘ a toate funct ¸iile f n sunt continue pe [a, b], atunci b



b

f ( f (x) dx =



b



b

· · · . (8.5)  Deoarece funct¸iile ¸iile f n sunt continue pe [a, [ a, b], funct¸iile ¸iile sn = f 1 + f 2 + · · · + f n sunt a

f 1 (x) dx +

a

f 2 (x) dx +

a

··· +



f n (x) dx +

a

funct¸ii ¸ii continue pe [a, [a, b], deci integrabile pe [a, [a, b]. Fie b

σn =

 

sn (x) dx =

a

Seria de funct¸ii ¸ii

b

b

∞

n=1





f 1 (x) dx +

a

b

f 2 (x) dx +

a

··· +



f n (x) dx.

a

f n fiind uniform convergent˘a pe [a, [a, b] la f , f , dup˘ a Teorema 8.4, de la

¸siruri sir uri de funct fun ct¸ii, ¸ii, f este integrabil˘a pe [a, [a, b] ¸si b

lim

n

→∞

sau



b

sn (x) dx =

a

f ( f (x) dx,

a

b

lim σn =

n

deci seria



∞

→∞

b f (x) dx a n

 

n=1



f ( f (x) dx,

a

al c˘arei arei ¸sir sir al sumelor part¸iale ¸iale este σn este o serie numeric˘a

convergent˘a ¸si si are loc (8.5). 


8.3 8. 3

97

Serii de puteri ∞



Definit ¸ia ¸ia 8.9 Se nume¸ nu me¸ste st e serie de puteri o serie de funct ¸ii ¸ii

a)n , cu a, an

n=1

∈ R.

f n , unde f n (x) = an (x

−

A¸sadar, sadar, forma general˘ general ˘a a unei serii de puteri este: a0 + a1 (x

∞



− a) + · · · + an (x − a)n + · · · =

an (x

n=0

− a)n.

(8.6)

O serie de puteri este unic determinat˘a de num˘arul arul a ¸si ¸sirul an . Prin trecerea lui x ˆın x, studiul seriei (8.6) se reduce la studiul seriei de puteri ale lui x, a0 + a1 x + · · · + an xn + · · · =

∞



an xn .

−a

(8.7)

n=0

Lema 8.1 (Lema lui Abel) 1. Dac˘ a seria de puteri (8.7) este convergent˘ a ˆın punctul punc tul x0 = 0, atunci ea este absolut convergent˘ a pentru orice x R cu x < x0 .



∈

|| | | 

2. Dac˘ a seria seria de puteri puteri (8.7) (8.7) este este diver divergen gent˘ t˘ a ˆın punctul x0 = 0, atunci atunci ea este divergent˘ a pentru orice x R cu x > x0 .

∈

|| | |

 Pentru x = 0 seria se reduce la a0 ¸si si este , evident, convergent˘a. a. 1. Dac˘a seria este convergent˘a ˆın punctul x0 = 0, 0, atunc atuncii lim an x0n = 0 ¸si si deci exist˘a M > 0 a.ˆı. an x0n avem

|



| ≤ M , pentru orice n ∈ N. n

an x0n

|anx | ≤ |

| · 

x x0

n

 ≤ ·    

Deoarece x/x0 < 1, rezult˘a c˘a seria geometric˘a

|

|

n

→∞

Dar, Dar, pentru pentru orice orice x M

∞

n=0

x x0

x x0

n



∈ R cu |x| < |x0|,

n

.

este o serie majorant˘ majorant˘a conver-

gent˘a pentru seria (8.7), deci aceasta este convergent˘a. 2. Demonstrat¸ie ¸ie prin reducere la absurd. Presupunem c˘a ar exista un punct x1 R, cu x1 > x0 a.ˆ a.ˆı. seria (8.7) s˘a fie convergent˘a. a. Atunc Atunci, i, dup˘ a prima parte a teoremei, seria ar fi convergent˘a pentru orice x R cu x < x1 , deci ¸si si pentru x0 . Contradict¸ie. ¸ie. 

| | | |

∈

∈

|| | |

Teorema 8.9 (Existent ¸˘ a razei de convergent ¸˘ a) Oricare ar fi seria de puteri ( 8.7), 8.7),

exist˘ a ¸si si este unic determinat num˘ arul real r 0 ( r poate poat e fi ¸si si + ) a.ˆı. 1. seria este absolut convergent˘ a pe intervalul ( r, r), 2. seria este divergent˘ a pe( pe( , r) (r, + ).

−∞ − ∪

⊂

≥ − ∞

∞

{| | ∈ } ∈

 Fie A R mult¸imea ¸imea de convergent¸˘ ¸a˘ a seriei (8.7) ¸si si fie r = sup x , x A . Dac˘a r = 0, atunci A = 0 ¸si si singurul punct de convergent convergent¸˘ ¸a˘ al seriei este x = 0. Dac˘a r > 0, atunci pentru orice x ( r, r), adic˘a pentru care x < r , exis ex ist˘ t˘a un x0 A a.ˆı. x < x0 < r ¸si si din teorema precedent˘a rezult˘a c˘ a seria este convergent˘a ˆın punctul pun ctul x. Deci r satisface condit¸ia ¸ia 1. Num˘ arul arul r satisface satisf ace ¸si si condit¸ia ¸ia 2 c˘aci aci dac˘a ar exista un x0 A a.ˆı. x0 > r pentru orice x0 A, aceasta ar contrazice definit¸ia ¸ia lui r. Unicitatea num˘arului arului r rezult˘a din unicitatea marginii superioare a unei mult¸imi. ¸imi. 

|| | |

∈

{}

|

∈ −

||

∈

| |

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Teorema 8.10 (Calculul razei de convergent ¸a) ˘ Dac˘ a ρ = lim n

r=

 

+ , ρ = 0, 0, 1 0 <ρ < ρ, 0, ρ= .

∞

∞

→∞

98

 | | n

an , atunci

∞,

este raza de convergent ¸˘ a a seriei (8.7).  Pentru fiecare x fixat aplic˘am am seriei (8.7) criteriul r˘ad˘ ad˘acinii acinii de la serii numerice. Avem lim n an x n = x n an = x ρ = λ.

 | | · | |



| |· | | | |· n→∞ Dac˘a ρ = 0, atunci λ = 0 < 1, pentru orice x ∈ R ¸si si seria este absolut convergent˘a pe R. Dac˘a 0 < ρ < ∞, seria este absolut convergent˘a pentru λ = |x| · ρ < 1, adic˘ a pentru 1 toate valorile lui x pentru care |x| < ρ ¸si si este divergent dive rgent˘˘a pentru λ = |x| · ρ > 1, adic˘a 1 pentru |x| > ρ .  0 ¸sisi deci seria este divergent˘ Dac˘a ρ = ∞, atunci λ = ∞, pentru orice x = divergent˘a pentru  0, adic˘a r = 0.  orice x = S˘ a observ˘am am c˘a dac˘a 0 < ρ < ∞, seria este absolut convergent˘a pe ( −r, r) ¸si si diverdive rgent˘a pe (−∞, −r) ∪ (r, +∞), dar nu cunoa¸stem stem natura sa ˆın extremit˘ extremit ˘at a¸ile ¸tile intervalului

de convergent¸˘ ¸a. a˘.

Teorema 8.11 (Teorema lui Abel) Dac˘ a seria de puteri

punctul x = r > 0 atunci, pentru orice α

∞



n=0

an xn este convergent˘ convergent˘ a ˆın ın

∈ (0, (0, r ), ea este uniform convergent˘ a pe [−α, r].

 Dac˘ a seria este convergent˘ convergent˘a ˆın punctu pu nctull x = r > 0 atunci ea este uniform convergent˘a pe [0, [0, r]. Aceasta deoarece x n an xn = an rn r

·

n



¸si si seri se riaa an rn este convergent˘ convergent˘ a iar ¸sirul sir ul xr , cu x (0, (0, r) este monoton descresc˘ator ator la zero (criteriul lui Abel). Pentru α (0, (0, r) seria an αn este o serie majorant˘a convergent˘a a seriei (8.7) pe intervalul [ α, 0). Deci seria (8.7) este absolut ¸si si uniform convergent˘ a pe acest interval. 



−

|

∈

|



∈

Teorema 8.12 1. Produsul unei un ei serii cu un num˘ar ar real real nenul are aceea¸ aceea¸si si raz˘ a de con-

vergent ¸˘ a cu seria init ¸ial˘ a. 2. Dac˘ Dac˘ a dou˘ a serii au razele de convergent ¸˘ a r1 ¸si si r2 , atunci seria sum˘ a are raza de convergent ¸˘ a r min r1 , r2 .

≥

{

}


8.4 8. 4

99

Seri Se riii Tayl ylor or

R o funct¸ie Fie f : I ¸ie indefinit derivabil˘a ˆın punctul pun ctul x0 pentru funct¸ia ¸ia f ˆın punctu pun ctull x0 se scrie

→

f ( f (x) = f ( f (x0 ) +

x

∈ I .

Formula ormula lui Taylor aylor

− x0 f  (x0) + · · · + (x − x0)n f (n) (x0) + Rn(x),

∈ I. atre zero, adic˘a lim Rn (x) = 0, pentru x ∈ A ⊂ I , Dac˘a ¸siru si rull Rn (x) este convergent c˘atre n→∞ 1!

x

n!

atunci seria

f ( f (x0 ) +

x

− x0 f  (x0) + · · · + (x − x0)n f (n) (x0) + · · · , 1!

n!

x

∈ A,

(8.8)

numit˘a seria Taylor a funct¸iei ¸iei f ˆın punct pu nctul ul x0 , este convergent˘a c˘atre atre f ( f (x), deci f ( f (x) = f ( f (x0 ) +

x

− x0 f  (x0) + · · · + (x − x0)n f (n)(x0) + · · · , 1!

n!

x

∈ A.

(8.9)

Formula (8.9) se nume¸ste ste formula de dezvoltare a funct ¸iei f ˆın serie Taylor ˆın juru ju rull punctului x0 . Se observ˘a c˘a seria (8.8) este convergent˘a pentru x = x0 . O cond condit it¸ie ¸ie suficient˘a de existent¸˘ ¸a˘ a unei mult¸imi ¸imi de convergent¸˘ ¸a˘ este dat˘a de teorema care urmeaz˘a. a. Teorema 8.13 Seria Taylor a funct ¸iei f este convergent˘ a ˆıntr-o ınt r-o vecin˘ atate V a punctua derivatele de orice ordin f (n) sunt egal m˘ arginite pe V , lui x0 dac˘ V , adic˘ a f (n) (x) M , M > 0, pentru orice x V ¸si si orice num˘ num ˘ ar natural n.

|

∈

|≤

 Restul Rn (x), sub forma lui Lagrange, se scrie Rn (x) = deci

(x x0 )n+1 (n+1) f (ξ ), ξ (n + 1)!

−

 | ≤

|Rn(x) ˆınsa˘ Rn (x) 0 cˆ and and n convergent˘a pentru orice x

|

|→

(x x0 )n+1 (n + 1)!

−

 ·

∈ (x0, x),

M,

→ ∞, deoarece seria cu termenul general an = ∈ R. Intr-adev˘ar, ar, an+1 x − x0 lim = lim lim = 0. 0. n

→∞ an

 

→∞ n + 1

n

 



(x x0 )n+1 (n+1)!

−



este

Dac˘a ˆın ın (8.8) (8.8 ) lu˘am am x0 = 0, seria care se obt¸ine ¸ine se nume¸ste ste seria lui Mac-Laurin : Mac-Laurin : x  x2  f ( f (x) = f (0) f (0) + f (0) + f (0) + 1! 2!

···

xn (n) + f (0) + n!

· · · , x ∈ A.

Capitolul 9

INTEGRAL INTEG RALA A RI RIEM EMAN ANN N S ¸I EXTINDERI 9.1

Primitive Primiti ve.. Inte Integrala grala nedefinit nedefinit˘ ˘ a

Fie I un interval oarecare (m˘arginit arginit sau nem˘arginit, arginit, ˆınchis sau deschis) al axei reale ¸si si f : I R. Definit ¸ia ¸ia 9.1 Se nume¸ R, nu me¸ste st e primitiv˘ a a funct ¸iei f pe intervalul I , o funct ¸ie ¸ie F : I derivabil˘ a pe I , care satisface condit ¸ia

→

→

F  (x) = f ( f (x),

∀x ∈ I.

(9.1)

Din definit¸ie ¸ie rezult˘a c˘a funct¸ia ¸ia ¸si si primitiv primitivaa ei sunt definite pe un interv interval al ce nu se reduce reduce la un punct ¸si si nu pe o reuniune reuniune de interv intervale ale sau alt tip de mult¸ime ¸ime de numere reale. Cˆ and and spunem c˘a funct¸ia ¸ia F ( F (x) este primitiva funct¸iei ¸iei f ( f (x), f˘ ar˘ ar˘ a a indica intervalul I , atunci atun ci se subˆınt ınt¸elege ¸elege c˘a I este orice interval pe care funct¸ia ¸ia f este definit˘a. a. Teorema 9.1 Dac˘ a F ( F (x) este o primitiv˘ a a funct ¸iei f ( f (x) pe intervalul I , atunci funct ¸ia

F ( F (x) + C este de asemenea o primitiv˘ a a funct ¸iei f . f . Dac˘ Dac˘ a F ( F (x) ¸si si Φ(x Φ(x) sunt dou˘ a primitive primitive ale funct ¸iei f pe intervalul I , atunci Φ(x Φ(x) F ( F (x) = C , oricare ar fi x I .

−

∈

(F ((x) + C ) = f (x), rezult˘a c˘a F ( F (x) + C este o primitiv˘a a funct¸iei ¸iei f . f .  Deoarece (F Pe de alt˘a parte, deoarece F ( F (x) ¸si si Φ(x Φ( x) sunt primitive ale funct¸iei ¸iei f ( f (x) pe intervalul I ,  rezult˘a c˘a (Φ(x (Φ(x) F ( F (x)) = 0. Cum I este interval, deducem c˘a Φ(x Φ(x) F ( F (x) = C .  Din aceast˘a teorem˘a rezul rez ult˘ t˘a c˘a dac˘a funct¸ia ¸ia f admite o primitiv˘a atunci ea admite o infinitate de primitive; dac˘a F ( F (x) este o primitiv˘a a funct¸iei ¸iei f ( f (x), atunci orice alt˘a primitiv˘ a este de forma F ( F (x) + C . Spunem c˘a primitiva unei funct¸ii ¸ii se determin˘a pân˘ an ˘a la o constant˘a aditiv˘a. a.

−

−

Definit ¸ia ¸ia 9.2 Se nume¸ nu me¸ste st e integral˘ a nedefinit˘a a funct ¸iei f : I primitivelor funct ¸iei f pe intervalul I .

100

→ R, mult ¸imea tuturor


101



Integrala nedefinit˘a a funct¸iei ¸iei f se noteaz˘a cu simbolul f ( f (x) dx. dx. Din teorema precedent˘a rezult˘a c˘ a dac˘a F ( F (x) este o primitiv˘a oarecare a funct¸iei ¸iei f ( f (x) pe intervalul I , atunci f ( f (x) dx = F ( F (x) + C, C R. (9.2)



∈

Din definit¸ie ¸ie ¸si si expresia (9.2), rezult˘a urm˘atoarel atoa relee proprie prop riet˘ t˘at at¸i ¸i imediate imediate ale integralei integralei nedefinite: d d f ( f (x) dx = f ( f (x) dx, f ( f (x) dx = f ( f (x), (9.3) dx

 



dF ( dF (x) = F ( F (x) + C,







F (x) + C. F  (x) dx = F (

(9.4)

In leg˘atur˘ atur˘ a cu primitivele unei funct¸ii ¸ii se pun urm˘atoarele atoarele probleme: - care sunt clasele de funct¸ii ¸ii ce admit primitive; - dac˘a o funct fun ct¸ie ¸ie admite primitive, cum se determin˘a ele. In ceea ce ea ce prive¸ste ste prima p rima problem˘a afirm˘am am c˘a: a: orice funct ¸ie continu˘ a admite primitive. tive. Demonstrat¸ia ¸ia va fi dat˘a ˆın capitolul capitol ul urm˘ator. ator. Ne vom ocupa numai de primitive primitivele le funct¸iilor ¸iilor continue. In leg˘atur˘ atur˘ a cu a doua problem˘a, a, preciz˘am am c˘a ne va preocupa determinarea primitivelor acelor acelor funct¸ii ¸ii pentru pentru care care primit primitiv ivele ele pot fi exprim exprimate ate sub form˘ form˘a finit˘a, a, adic˘ adic˘ a pot fi exprimate exprimate cu ajutorul unui num˘ar ar finit de operat¸ii ¸ii aritmetice sau operat¸ii ¸ii de compunere a funct¸iilor ¸iilor elementare. Exist˘a ¸si si func fu nct¸ii ¸tii continue ale c˘aror aror primitive primitive nu pot fi exprimate exprimate sub form˘a finit˘a. a . De exemplu: 2 sin x cos x 1 ex , , , , etc. e−x , sin x2 , cos x2 , xn xn ln x x

9.2 9.2.1

Calc Ca lcul ulul ul pr primi imiti tiv vel elor or Integrala sumei ¸si pro dusului cu o constant˘ consta nt˘ a

Dac˘ a funct¸iile ¸iile f ¸si si g au primitive pe intervalul I , atunci funct¸ia ¸ia f + f + g are primitive pe I ¸si si



(f ( f (x) + g (x)) dx =



f ( f (x) dx +

Dac˘ a funct¸ia ¸ia f are primitive pe intervalul I ¸si si α pe I ¸si si



9.2.2

αf ( αf (x) dx = α





g(x) dx.

(9.5)

∈ R, atunci funct¸ia ¸ia αf are primitive

f ( f (x) dx.

(9.6)

Integrarea Integrarea prin p˘ art art ¸i

Teorema 9.2 Dac˘ a funct ¸iile u ¸si si v, definite pe intervalul I , au derivate continue pe I ,

atunci



uv dx = uv −



dx. u v dx.

(9.7)


102

 Deoarece (uv (uv)) = u v + uv  ¸si si deci de ci uv = (uv) uv) u v , ¸inˆ ¸tinând and seama de (9.4), rezult˘a (9.7), numit˘a ¸si formula de integrare prin p˘ art ¸i .  Dac˘ a presupunem c˘a funct¸iile ¸iile u ¸si si v, definite pe intervalul I , au derivate continue pân˘ an˘ a la ordinul n + 1 inclusiv, atunci are loc formula

−



uv

(n+1)

dx = uv

(n)

− uv(n−1) + · · · + (−1)nu(n) v + (−1)(n+1)



dx, u(n+1) v dx,

(9.8)

numit˘a ¸si formula generalizat˘ a de integrare prin pr in p˘ art art ¸i .

9.2.3

Schim Schimbare barea a de variabil˘ ariabil˘ a ˆın integ int egra rala la nede ne defin finit it˘ ˘ a

→ J , f : J → R. Dac˘ Dac˘ a funct ¸ia ¸ia u are derivat˘ a continu˘ a pe I , f este continu˘ a pe J , iar F este o primitiv˘ a a funct ¸iei f , adic˘ a are are loc loc (9.2), (9.2), atunci atunci funct funct ¸ia compus˘ a F ◦ u : I → R, definit˘ a prin (F ◦ u)(t )(t) = F ( F (u(t)), )), este o primitiv˘ a a funct ¸iei f ( f (u(t)) · u (t) pe I ¸si si deci dec i F (u(t)) + C. f ( f (u(t)) · u (t) dt = F ( (9.9)  Deoarece funct¸iile ¸iile F ¸si si u sunt derivabile, funct¸ia ¸ia F ◦ u este derivabil˘a ¸si si avem ave m d dF F ( F (u(t)) = (u(t)) · u (t). dt dx Teorema 9.3 Fie I ¸si si J dou˘ a intervale ¸si si funct ¸iile u : I



Cum F  (x) = f ( f (x), rezult˘ rezult˘a c˘a d F ( F (u(t)) = f (u(t)) u (t), dt

·

de unde (9.9).  Teorema precedent˘a st˘a la baza metodei schimb˘ arii de variabil˘ a (metoda substitut¸iei) ¸iei) ˆın integrala nedefinit˘ nedefini t˘a. a. Ea se folose¸ste ste de fapt pentru p entru g˘asirea asirea primitivelor funct¸iei ¸iei f ( f (x) pe J atunci atun ci când, and, ˆın urma substit subs titut ut¸iei ¸iei x = u(t), este mai u¸sor sor de g˘asit asit o primitiv˘a a funct¸iei ¸iei f ( f (u(t))u ))u (t) pe I . Dac˘a Φ(t Φ(t) este o primitiv˘a a funct¸iei ¸iei f ( f (u(t))u ))u (t), atunci F ( F (u(t)) = Φ(t Φ(t) + C 0 .

(9.10)

Aceast˘ a relat¸ie ¸ie ne permite s˘a determin˘am am pe F ( F (x). Pentru aceasta presupunem c˘a funct¸ia ¸ia − − 1 1 u : I J este inversabil˘a, a, adic˘ a exist˘a funct¸ia ¸ia u : J I , t = u (x). Inlocuind Inlo cuind ˆın (9.10), g˘asim asim F ( F (x) = Φ(u Φ(u−1 (x)) + C 0 .

→

→

Exemplul 9.1 Prin schimbarea de variabil˘ a x = t + a obt ¸inem

I =



dx x

− a = ln |x − a| + C.

Exemplul 9.2 Prin schimbarea de variabil˘ a x = t + a obt ¸inem

I =



dx = (x a)n

−

− n −1 1 · (x − 1a)n−1 + C.


103

Exemplul 9.3 Se d˘ a integrala

I =



dx , 2ax + b

a2

− b < 0. √ Deoarece x2 − 2ax + b = (x − a)2 + α2 cu α = b − a2 , prin schimbarea de variabil˘ a x2

−

x = αt + a, obt ¸inem

1 I = α

9.2.4



−

dt 1 1 x a = arctg = arctg + C. t + C t2 + 1 α α α

Integr Integrarea area prin recuren recurent ¸˘ ta

In multe cazuri funct¸ia ¸ia de integrat depinde nu numai de argumentul s˘au au ci ¸si si de un num˘ar ar natural n. Se poate ˆıntˆ ıntˆ ampla ampla ca aplicând and metoda de integrare prin p˘art art¸i ¸ i s˘a obt¸inem ¸inem o integral˘a de d e aceea¸ a ceea¸si si form˘ for m˘a dar pentru o valoarea a lui n mai mic˘a cu cel put¸in ¸in o unitate. unitate. Continuˆ Continuˆ and and ˆın acest mod, dup˘a un num˘ar ar finit de pa¸si si ajungem la una din integrale integralele le imediate. imediate. O asemenea asemenea metod˘a de calcul a integralelor se nume¸ nume¸ste ste integrarea prin recurent ¸˘ a . Vom ilustra aceast˘a metod˘a prin câteva ateva exemple. Exemplul 9.4 Fie integrala

I n =



(t2

dt , + 1)n

n

∈ N.

Integrˆ and an d prin pr in p˘art art ¸i, avem t I n = 2 (t + 1)n

  − td

1 (t2 + 1)n



t = 2 + 2n 2n (t + 1)n



t2 dt. (t2 + 1)n+1

De unde I n+1 (t) =

1 t 2n 1 + I n (t), c u I 1 (t) = arctg arctg t + C. 2 n 2n (t + 1) 2n

−

Exemplul 9.5 Fie integrala

J n (x) =



Ax + B dx, (x2 2ax + b)n

−

a2

− b < 0, n ∈ N.

Dup˘ Dup ˘ a trans t ransfor form˘ m˘ ari evidente, g˘ asim A J n (x) = 2



2(x 2(x a) dx + (Aa (Aa + B ) 2 (x 2ax + b)n

−

−



(x2

−

dx . 2ax + b)n

Pentru n = 1 obt ¸inem J 1 (x) =

A ln(x ln(x2 2

− 2ax + b) + Aaα+ B arctg x −α a + c,

α=

 − b

a2 .

Pentru n > 1, s˘ a efectu˘ am ˆın integrala integrala a doua schimbarea schimbarea de variabil˘ a x = αt + a, cu 2 α = b a . Avem

√−



(x2

−

dx = 2ax + b)n



[(x [(x

−

dx 1 = 2n−1 I n (t), 2 2 n a) + α ] α


104

ˆın ın care care I n (t) este integrala din exercit ¸iul ¸iul prece precedent. dent. Prin urmare J n (x) =

9.3 9. 3

A 2(1

− n) (x2 −

1 Aa + B + I n 2ax + b)n−1 α2n−1

·

− x

a

α

.

Inte In tegr grar area ea fu func nct ¸ ¸iilor t iilor rat¸ionale ¸ionale

O clas˘ a important˘a de funct¸ii ¸ii ale c˘aror aror primitive se pot exprima sub form˘a finit˘a este clasa funct¸iilor ¸iilor rat¸ionale. ¸ionale. Prin funct ¸ie rat ¸ional˘ a se ˆın¸elege ¸telege o funct¸ie ¸ie de forma R(x) =

P ( P (x) , Q(x)

(9.11)

unde P ( P (x) ¸si Q(x) sunt polinoame polinoame reale. reale. Asemenea funct¸ii ¸ii sunt definite pe reuniuni de intervale intervale ¸si si sunt continue pe tot domeniul de definit¸ie. ¸ie. Vom presupune c˘a P ( P (x) ¸si Q(x) nu au factori comuni. F˘ ar˘ ar˘a a restrânge ange generalitatea putem presupune c˘a grad P ( P (x) < grad Q(x).

(9.12)

In caz contrar, f˘acˆ acˆ and an d ˆımp˘ ım p˘art art¸irea, ¸irea, avem P ( P (x) P 1 (x) = C (x) + , Q(x) Q(x)

grad P 1 (x) < grad Q(x).

(9.13)

Va fi atunci suficient s˘a ne ocup˘am am de integrarea funct¸iilor ¸iilor rat¸ionale ¸ionale de forma (9.11) cu condit¸ia ¸ia (9.12). (9. 12). Presupunem Presupu nem c˘a grad Q(x) = n. Dac˘a ai , i = 1, r, sunt r˘ad˘ ad˘ acinile reale, de ordinele de multiplicitate ni ¸si acinile si αk iβ k , k = 1, s, sunt r˘ad˘ ad˘ acinile complexe de ordinele de multiplicitate mk , ale ecuat¸iei acinile ¸iei Q(x) = 0, atunci Q(x) se poate factoriza sub forma

±

− a1)n · · · (x − ar )n (x2 − 2 p1x + q1)m · · · (x2 − 2 psx + qs)m , unde n1 + · · · + nr + 2(m 2(m1 + · · · + ms ) = n, iar αk ± iβ k sunt r˘ad˘ ad˘ acinile acinile ecuat¸iei ¸iei 0 , cu pk2 − qk < 0. x2 − 2 pk x + qk = 0, Q(x) = a0 (x

1

r

1

s

(9.14)

Vom numi fract ¸ii simple funct¸iile ¸iile rat¸ionale ¸ionale de forma A M x + N , , n 2 (x a) (x 2 px + q)m

− − unde A,M,N,a,p,q ∈ R cu p2 − q < 0, n, m ∈ N.

Orice funct¸ie ¸ie rat¸ional˘ ¸ional˘ a de forma (9.11) ( 9.11) se poate reprezenta ˆın mod unic sub forma unei sume finite de fract¸ii ¸ii simple. Cˆ and and se cunoa¸ste ste descompunerea (9.14) a polinomului Q(x), pentru pentru scrierea scrierea funct¸iei ¸iei rat¸ionale ¸ionale R(x) ca sum˘a de fract¸ii ¸ii simple trebuie s˘a ¸inem ¸t inem seama de urm˘atoarele: atoarele:

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA a). Prezent Prezent¸a ¸a unui factor de forma (x (x sum˘ a de fract¸ii ¸ii simple de forma

− a)n ˆın (9.14) furnizeaz˘ furniz eaz˘a ˆın descompunere descompu nere o

A1 A2 + + x a (x a)2

−

105

−

· · · + (x A−na)n .

(9.15)

b). Prezent¸a ¸a unui factor de forma (x ( x2 2 px+ px +q )m ˆın (9.14) (9. 14) furniz fu rnizeaz˘ eaz˘a ˆın descompunere descompun ere o sum˘a de fract¸ii ¸ii simple de forma

−

M 1 x + N 1 M 2 x + N 2 + 2 + 2 x 2 px + q (x 2 px + q)2

−

−

· · · + (x2M −m2x px+ +N mq)m .

(9.16)

Coeficient¸ii ¸ii Ai , M k , N k se pot determina prin metoda coeficient¸ilor ¸ilor nedeterminat¸i. ¸i. Rezu Re zult˘ lt˘a c˘a integrarea funct¸iilor ¸iilor rat¸ionale ¸ionale se reduce la integrarea fract¸iilor ¸iilor simple. simple. Integrarea acestora s-a f˘acut acut ˆın exemplele exemplel e precedente.

9.3.1

Integr Integrale ale reduc reductibi tibile le la integr integrale ale din din funct funçii t rat ¸ionale ¸ionale

Prin funct¸ie ¸ie rat¸ional˘ ¸ional˘ a ˆın variabile variab ilele le x, y ˆın¸elegem ¸telegem o funct¸ie ¸ie de forma R(x, y ) =

P ( P (x, y ) , Q(x, y )

unde P ( P (x, y ) ¸si Q(x, y ) sunt su nt polinoam p olinoamee ˆın ın variabilele variabilel e x ¸si si y. A). Primitive de forma



R(sin x, cos x) dx.

Efectuˆ and schimbarea de variabil˘a t = tg x2 , adic˘a x = 2arctg t, t and



R(sin x, cos x) dx = 2

  R

2t 1 t2 , 1 + t2 1 + t2

−



∈ R, integrala devine

dt . 1 + t2

Dac˘a integrala se poate scrie sub una din formele





f (sin f (sin x)cos xdx,

f (cos f (cos x)sin xdx,



f (tg f (tg x) dx,

sunt de preferat substitut¸iile ¸iile t = sin x, t = cos x, t = tg x, respectiv. respectiv. B). Primitive de forma ax + b R x, n dx. cx + d

   

Presupunem c˘a ad

− bc = 0, c˘aci aci ˆın caz contrar contr ar ax + b = k. cx + d

Cu ajutorul schimb˘ schimbarii ˘arii de variabil˘a t=

 n

ax + b , cx + d

x=

dtn b , a ctn

−

−


106

obt¸inem ¸inem

    R x,

n

ax + b cx + d

dx = n(ad

− bc) bc)

  R

dtn b ,t a ctn

−

−



tn−1 dt. (a ctn )2

−

C). Primitive de forma

  R(x,

ax2 + bx + c) dx.

Presupunem Presupunem c˘ a trinomul trinomul ax2 + bx + c ia valori valori pozitive pozitive pe un anumit anumit interv interval al ¸si si c˘ a 2 b 4ac = 0. Integralele de aceast˘a form˘a se reduc la primitive din funct¸ii ¸ii rat¸ionale ¸ionale ˆın urma unei substitut ¸ii Euler . 1. Dac˘a a > 0 se poate face schimbarea de variabil˘a

−





ax2

Obt¸inem ¸inem

√ + bx + c = x a + t,

   R x,

= 2. Dac˘a c

  − 2

R

ax2

−√c . b − 2t a

x=



+ bx + c dx =

−√c , − t2√a − bt√+ c√a b − 2t a b − 2t a t2

t2



√ − √ − √

t2 a bt + c a dt. (b 2t a)2

≥ 0 se poate face schimbarea de variabil˘a √ √ 2t c − b 2 ax + bx + c = xt + c, x = . a − t2



Obt¸inem ¸inem

   R x,

ax2

 √

+ bx + c dx =

√− −

√− √ √ t2 c − bt + a c =2 R dt. − (a − t2 )2 3. Dac˘a a < 0 ¸si c < 0 avem b2 − 4ac > 0, c˘aci aci altfel ax2 + bx + c < 0 pentru orice x ∈ R. Fie x1 ¸si si x2 r˘ad˘ ad˘ acinile acinile reale ale ecuat¸iei ¸iei ax2 + bx + c = 0. Atunci ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x )(x − x2 ). 2t c b t2 c bt + a c , a t2 a t2

 

Efectuˆ and and substitut¸ia ¸ia



a(x

rezult˘a

   R x,

ax2



− x1)(x )(x − x2 ) = t(x − x1 ),

+ bx + c dx = 2a(x2

D). Integrale binome.

− x1)

  R

ax2 a

− x1t2 , a(x2 − x1) − t2 a − t2



dt . (a t2 )2

−


107

Prin integrale binome ˆın¸elegem ¸telegem integralele de forma I =



xm (axn + b) p dx,

(9.17)

unde m,n,p sunt numere rat¸ionale. ¸ionale. Cebâ¸ a¸sev sev a demons de monstrat trat c˘a exist˘a numai trei cazuri ˆın care o integral˘a binom˘a se poate reduce la o integral˘a dintr-o funct¸ie ¸ie rat¸ional˘ ¸ional˘ a. a. n S˘ a efectu˘am am ˆın integrala (9.17) schimbarea schimbarea de variabil˘ a x = t, adic˘a x = t1/n . Obt¸inem ¸inem p m+1 m+1 1 1 at + b − 1 p + p−1 n n I = t (at + b) dt = t dt. (9.18) n n t



 



Cele trei cazuri ˆın ın care integrala binom˘a I se reduce la o integral˘a dintr-o funct¸ie ¸ie rat¸ional˘ ¸ional˘ a sunt: 1. Dac˘a p este es te ˆıntre ntregg ¸si si s variabil˘ at=u .

m+1 n

= rs , cu r ¸si si s numere ˆıntregi, se efectueaz˘ efectue az˘a schimbarea de

2. Dac˘a p nu este ˆıntreg, dar mn+1 este es te ˆıntre ınt reg, g, p = efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘a at + b = us .

r s

cu r ¸si si s numere ˆıntregi, se

3. Dac˘a p nu este ˆıntreg, ıntr eg, mn+1 nu este ˆıntreg, dar mn+1 + p este est e ˆıntreg ınt reg,, p = at+ at+b numere ˆıntregi, se efectueaz˘ efectuea z˘a schimbarea de variabil˘a t = us .

9.4 9.4.1

r s

cu r ¸si si s

Integrala definit˘ a Sume Sume integr integrale ale Riemann. Riemann. Integrab Integrabilit ilitate ate

Fie [a, [a, b], a < b, un interval inte rval ˆınchis ınch is ¸si si m˘arginit arginit al axei reale. O mult¸ime ¸ime finit˘a ¸si si ordonat˘ ordo nat˘a de puncte

{

∆ = x0 , x1 , . . . , xn

} ⊂ [a, b],

a = x0 < x 1 <

· · · < x n = b,

determin˘ a o diviziune sau o partit¸ie ¸ie a intervalului [a, [ a, b]. Punctele x0 , x1 , . . . , xn se numesc puncte de diviziune ale diviziunii diviziunii ∆. Fiecare Fiecare interv interval [x [xi−1 , xi ], i = ø1 ø1,, n, se nume¸ste ste interval part ¸ial al diviziun diviziunii ii ∆. Dac˘ Daca˘ not˘am am cu δx i = xi xi−1 lungimea unui interval part ¸ial al diviziunii, avem

−

n

b−a =



δx i .

i=1

Definit ¸ia ¸ia 9.3 Se nume¸ num e¸ste st e norm˘ a a diviziunii ∆ num˘ arul ν = ν (∆) (∆) = maxi δxi , adic˘ a

lungimea celui mai mare interval al diviziunii ∆. Fie (∆n ) un ¸sir sir de diviziuni diviziuni ale interv intervalului alului [a, [ a, b] ¸si si (ν n ) ¸sirul sirul normelor acestora, ν n = ν (∆ (∆n ), n N.

∈


108

Definit ¸ia ¸ia 9.4 Spunem c˘ a ¸siru si rul l (∆n ) este un ¸sir sir normal de diviziuni divizi uni ale intervalului [a, b]

dac˘ a lim ν n = 0. 0. n

→∞

Fie f : [a, b] R o funct¸ie ¸ie definit˘a pe intervalul ˆınch ın chis is ¸si si m˘ arginit [a, b], ∆ o diviziune a intervalului [a, [a, b] ¸si ξi [xi−1 , xi ], i = 1, n.

→

∈

Definit ¸ia ¸ia 9.5 Se nume¸ nu me¸ste st e sum˘ a integral˘a Riemann a funct ¸iei f corespunz˘ atoare diviz-

iunii ∆ ¸si si unei alegeri alegeri date a punctelor intermediare intermediare ξi , num˘ arul σ = σ∆ (f ) f ) definit prin n

σ = σ∆ (f ) f ) =



f ( f (ξi ) δxi .

i=1

Deoarece exist˘a o infinitate de diviziuni ale unui interval [a, [ a, b] ¸si si pentru fiecare diviziune viziune exist˘ a o infinitate de moduri de alegere a punctelor intermediare ξi , rezult˘ rezu lt˘a c˘a pentru o funct¸ie ¸ie f mult¸imea ¸imea sumelor integrale Riemann este o mult¸ime ¸ime infinit˘a. a. Sumele Riemann au urm˘atoarele atoarele propriet˘at a¸i: ¸ti: 1. Suma Riemann a funct¸iei ¸iei constante f (x) = c, x n

σ∆ (c) =

n



c δxi = c

i=1

2. Dac˘ Da c˘a f, g : [a, b] βσ ∆ (g).

∈ [a, b] este



δxi = c(b

i=1

− a).

→ R ¸sisi α, β sunt constante arbitrare, avem σ∆(αf + αf + βg) βg ) = ασ∆ (f ) f ) + →

≤

∀ ∈

R ¸si 3. Dac˘ Dac˘ a f, g : [a, b] si f ( f (x) g (x), x [a, b], atunci atunci σ∆ (f ) particular, dac˘a f (x) 0, x [a, b], atunci σ∆ (f ) f ) 0.

≥ ∀ ∈ ≥ 4. Pentru orice funct¸ie ¸ie f : [a, b] → R, avem |σ∆ (f )| ≤ σ∆ (|f |).

≤ σ∆(g).

In

Definit ¸ia ¸ia 9.6 Num˘ arul finit I se nume¸ nu me¸ste st e limita sumelor integrale σ∆ (f ) f ) cˆ and and norma

diviziunii tinde la zero, dac˘ a oricare ar fi ε > 0, exist˘ a un δ(ε) > 0 a.ˆı. ı. pentru pentr u orice or ice diviziune ∆ a c˘ arei norm˘ a ν (∆) (∆) < δ (ε) ¸si si pentru pentr u orice or ice alegere a punctelor punctel or intermediare, i ntermediare, s˘ a avem σ∆ (f ) f ) I < ε.

|

− |

Scriem atunci

n

I = lim σ∆ (f ) f ) = lim ν

→0

ν



→0 i=1

f ( f (ξi ) δx i .

Se poate demonstra c˘a definit¸ia ¸ia precedent˘a este echivalent˘a cu definit¸ia ¸ia urm˘atoare: atoare: Definit ¸ia ¸ia 9.7 Num˘ arul finit I se nume¸ nu me¸ste st e limita sumelor integrale σ∆ (f ) f ) cˆ and and norma

diviziunii tinde la zero, dac˘ a pentru orice ¸sir sir normal de diviziuni (∆n ), ¸sirul siru l corespuncorespun z˘ ator al sumelor integrale σn = σ∆n (f ) f ) este convergent la I , adic˘ a lim σn = I,

n

→∞

pentru orice alegere a punctelor intermediare ξi .


109

Dac˘ a exist˘a num˘arul arul I spunem c˘a funct¸ia ¸ia f este integrabil˘ a (ˆın sens Riemann) Riemann ) pe [a, b], iar I se nume¸ nume¸ste st e integrala definit˘ a sau integrala integrala Riemann a funct¸iei ¸iei f pe [a, b] ¸si si se noteaz˘ a b



I (f ) f ) =

f ( f (x) dx.

a

Numerele a ¸si si b se numesc limite de integrare, integrare , funct¸ia ¸ia f funct ¸ia de integrat sau integrand , iar x variabil˘ a de integrare. integrare . Exemplul 9.6 Funct ¸ia ¸ia f ( f (x) = c, x

∈ [a, b], este integrabil˘ a ¸si b



c dx = c(b

a

− a).

Dac˘ a funct¸ia ¸ia f este pozitiv˘a, a, atunci suma Riemann σ∆ (f ) f ) reprezint˘a suma ariilor dreptunghiurilor de baz˘a xi xi−1 ¸si si de ˆınalt ˘alt¸ime ¸ime f ( f (ξi ). Deci Deci σ∆ (f ) aproximeaz˘a aria mult¸imii ¸imii din plan

−

{

Dy = (x, y)

∈ R2 | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( f (x)},

delimitat˘ a de axa Ox, Ox, graficul graficul funct¸iei ¸iei f ¸si si drept dr eptel elee x = a, x = b. Se poate ar˘ata ata c˘a dac˘a f este continu˘a, a, atunci mult¸imea ¸imea Dy are arie ar ie ¸si si b

A(Dy ) =



f ( f (x) dx.

a

Mai general, dac˘a f, g : [a, b] atunci mult¸imea ¸imea

{

→ R sunt dou˘a funct¸ii ¸ii continue conti nue ¸si si f ( f (x) ≤ g (x) pe [a, [a, b],

Dy = (x, y)

∈ R2 | a ≤ x ≤ b, f ( f (x) ≤ y ≤ g(x)},

cuprins˘ a ˆıntre graficele funct¸iilor ¸iilor f, g ¸si si drept dr eptel elee x = a, x = b, are arie ari e ¸si si b

A(Dy ) =



[g(x)

a

− f ( f (x)] dx.

Teorema 9.4 Num˘ determiarul I (f ) asociat unei funct ¸ii f ¸ii f pe intervalul [a, b] este unic determi-

nat.

| − I 2| < |I 1 − σ| + |σ − I 2| < 2ε + 2ε = ε.  Teorema 9.5 Orice funct ¸ie ¸ie f : [a, b] → R, integrabil˘ a pe [a, b], este m˘ arginit˘ a pe [a, b].  Prin reducere la absurd. absurd. I 1

 Deoarece f este integrabil˘a pe [a, [a, b], rezult˘ rezult˘ a c˘ c ˘a exi e xist st˘˘a I cu proprietatea c˘a lui ε = 1 ˆıi corespunde corespu nde un δ > 0 a.ˆı. σ∆ (f ) f ) I < 1, (9.19)

|

− |

si oricare ar fi punctele intermediare ξi . oricare ar fi diviziunea ∆ cu ν (∆) (∆) < δ ¸si


110

Fie ∆ o asemenea asemenea diviziune. diviziune. Este suficient suficient s˘a ar˘at˘ at˘ am am c˘a f este m˘arginit˘ arginit˘ a pe fiecare interval [x [xk−1 , xk ], k = 1, n. In acest acest scop, scop, pentru pentru x [xk−1 , xk ], arbitrar, consider˘am am urm˘ atorul sistem de puncte intermediare atorul

∈

ξi = xi , deci i = k, ξk = x.



Atunci, din (9.19) avem

|f ( f (x) δxk + de unde

|f ( f (x)| ≤ M k ,



cu M k =



f (xi ) δx i

i=k



1 (1 + δxk



|

Luˆ and and M = max M k , k = 1, 1 , n , obt¸inem ¸inem f ( f (x)

|

− I | < 1,



| ||

f ( f (xi ) δx i + I ) > 0.

i=k



| ≤ M , ∀x ∈ [a, b]. 

Consecint ¸a ¸a 9.1 O funct ¸ie nem˘ arginit˘ a pe un interval interv al ˆınchis nu este integrabil˘a pe acel

interval. Reciproca Reciproca teoremei teoremei nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a. Exist˘ a funct¸ii ¸ii m˘arginite argini te pe un interval ˆınchis ınchis ¸si m˘arginit arginit [a, [a, b], f˘ ar˘ ar˘a a fi integrabile pe acel interval.

9.4.2

Sume Sume Darboux. Darboux. Criteriu Criteriu de de integr integrabil abilitat itate e

→

Fie f : [a, b] R o funct¸ie ¸ie m˘arginit˘ arginit˘ a ¸si si ∆ o diviziune a intervalului intervalului [a, b]. Deoarece Deoarece f este m˘arginit˘ arginit˘ a pe [a, [ a, b], ea este m˘arginit˘ arginit˘ a pe orice interval part¸ial ¸ial [x [xi−1 , xi ]. Exist˘ a deci numerele m = inf f inf f (x), M = sup f ( f (x), x [a, b], mi = inf f inf f ((x), M i = sup f ( f (x), care se g˘asesc ases c ˆın relat rel at¸ia ¸ia m

∈ x ∈ [xi−1 , xi ],

≤ mi ≤ f ( f (x) ≤ M i ≤ M, ∀x ∈ [xi−1 , xi ].

(9.20)

Definit ¸ia ¸ia 9.8 Sumele

s = s∆ (f ) f ) =

n

n





mi δx i ,

S = S ∆ (f ) =

i=1

M i δxi

(9.21)

i=1

se numesc sume integrale Darboux ( s - inferioar˘ a, S - superioar˘ a) ale funct ¸iei f corespunz˘ punz ˘ atoare atoare diviziun divi ziunii ii ∆. Pentru o diviziune dat˘a ∆ se pot forma o infinitate de sume Riemann σ∆ , dar numai o singur˘a sum˘a Darb Da rboux oux inferio inf erioar˘ ar˘a s∆ ¸si si o sin s ingur gur˘ a˘ sum˘a Darboux superioar˘a S ∆ ; ˆın plus, pl us, pentru orice diviziune ∆, avem m(b In adev˘ar, ar, oricare ar fi ξi

− a) ≤ s∆ ≤ σ∆ ≤ S ∆ ≤ M (b − a).

∈ [xi−1, xi ], avem m ≤ mi ≤ f (ξi ) ≤ M i ≤ M,

de unde, prin ˆınmult¸ire ¸ire cu δx i ¸si si sumare suma re dup˘a i, obt¸inem ¸inem (9.22).

(9.22)


111

Teorema 9.6 (Criteriul de integrabilitate) Condit ¸ia necesar˘ a ¸si si suficien sufi cient˘ t˘ a ca funcR s˘ ¸ia ¸i t a f : [a, b] a fie integrabil˘ a pe [a, b] este ca oricare ar fi ε > 0 s˘ a existe un δ(ε) > 0

s.ˆı.

→

S ∆ (f ) f )

− s∆(f ) f ) < ε,

(9.23)

pentru orice diviziune ∆ a c˘ arei norm˘ a ν (∆) (∆) < δ . Condit¸ia ¸ia (9.23) se poate p oate scrie ¸si si sub forma lim (S ∆

ν

→0

− s∆ ) = 0.

Dac˘ a funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe [a, [a, b], atunci pentru p entru orice ¸sir sir normal de diviziuni, ¸sirur si ruril ilee (sn ), (S n ) ¸si si (σn ) sunt convergente conver gente ¸si si au aceea¸ acee a¸si si limit˘ lim it˘a I . S ¸irurile ¸i rurile (sn ), (S n) ¸si (σn ) aproximeaz˘a integrala, ¸sirul sirul (sn ) prin lips˘a, a, iar ¸sirul sir ul (S n ) prin adaos. Aplicând and criteriul de integrabilitate vom g˘asi asi unele clase de funct¸ii ¸ii integrabile. Teorema 9.7 Orice funct ¸ie ¸ie f : [a, b]

→ R continu˘ a pe [a, b] este integrabil˘ a pe [a, b].

 Deoarece f este continu˘a pe intervalul ˆınchis ¸si si m˘arginit arginit [a, [a, b] rezult˘ rezu lt˘a c˘a ea este uniform continu˘a pe [a, [a, b]. Prin urmare, oricare ar fi ε > 0 exist˘a un δ(ε) > 0 a. a .ˆı. pentru pent ru orice x, x [a, b] pentru care x x < δ ,

∈

| − | ε |f ( f (x) − f ( f (x )| < . b−a

Fie acum ∆ o diviziune a intervalului [a, [ a, b] având and norma ν (∆) (∆) < δ ¸si [xi−1 , xi ], i = ø1, ø1 , n, subintervalele part¸iale ¸iale ale diviziunii. diviziunii. Deoarece f este continu˘a pe [a, [a, b], ea este continu˘a pe orice subinterval [x [ xi−1 , xi ]. m M Dup˘ a a doua teorem˘a a lui Weierstrass, rezult˘a c˘a exist˘a xi ¸si si xi ˆın [xi−1 , xi ] a.ˆı. mi = f ( f (xm f (xM i ), M i = f ( i ). Prin urmare S ∆

− s∆ =

n

n





(M i

i=1

− mi ) δxi =

(f ( f (xM i )

i=1

− f ( f (xm i )) δx i .

Deoarece ν (∆) (∆) < δ , rezult˘a c˘a δxi < δ (ε) ¸si si deci, cu atât at mai mult xM i ε M m Pentru asemenea puncte avem f ( f (xi ) f ( f (xi ) < b−a ¸si si deci de ci

| − xmi | < δ(ε).

−

S ∆

ε

− s∆ < b − a

n



δxi = ε. 

i=1

Continuitatea este suficient˘a dar nu necesar˘a pentru integrabil integrabilitate itate.. Exist˘ Exist˘a funct¸ii ¸ii discontinue pe [a, [ a, b] care sunt integrabile pe [a, [ a, b]. Astfel, Astfel, funct funct¸iile monotone pot avea discontinuit˘ at a¸i ¸ti dar sunt integrabile. Teorema 9.8 O funct ¸ie monoton˘ a pe [a, b] este integrabil˘ a pe [a, b].


112

 Dac˘a f este constant˘a p e [a, [ a, b] ea este este integ integrab rabil˘ il˘ a. a. Vom presu presupun punee c˘ a funct¸ia ¸ia R este diferit˘ monoton˘ a f : [a, b] a de o constant˘ a ¸si si deci f (a) = f ( f (b). O func funct¸ie ¸tie monoton˘ a pe [a, [a, b] este m˘arginit˘ arginit˘ a pe [a, [a, b] c˘ aci aci mult¸imea ¸imea valorilor ei este cuprins˘a ˆıntr ın tree f ( f (a) ¸si f ( f (b). S˘a presupunem presupunem c˘a f este monoton cresc˘atoare. atoare. Fie ∆ o diviziune a lui [a, [ a, b] ¸si [xi−1 , xi ], i = ø1 ø1,, n, subintervalele part¸iale ¸iale ale diviziunii. Deoarece f este cresc˘atoare, atoare, avem

→



m = f ( f (a) = f ( f (x0 ), Fie ε > 0 ¸si δ(ε) =

ε M m .

−

mi = f (xi−1 ),

− s∆ =

n



(M i

i=1

M = f ( f (b) = f (xn ).

Pentru orice diviziune ∆ a c˘arei arei norm˘a ν (∆) (∆) <

n

S ∆

M i = f ( f (xi ),



− mi) δxi =

(f ( f (xi )

i=1

ε − f ( f (xi−1 )) δx i ≤ M − m

ε M m ,

−

avem

n



(f ( f (xi )

i=1

− f ( f (xi−1 )). )).

Deci, S ∆ 

− s∆ ≤ ε ¸sisi dup˘ du p˘a criteriul de integrabilitate, funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe [a, [a, b].

9.4.3

Propriet˘ at a¸i ¸ti ale funct ¸iilor ¸iilor integrabile

1. Dac˘a f este integrabil˘a pe [a, [a, b] atunci f este integrabil˘a ¸si si pe [b, a] ¸si b



a

f ( f (x) dx =

a

Pentru b = a avem atunci

 −

f ( f (x) dx.

(9.24)

b

a



f (x) dx = 0.

a

2. Dac˘ Dac˘ a f ¸si si g sunt integrabile pe [a, [ a, b] ¸si α, β funct¸ia ¸ia αf + βg este integrabil˘a pe [a, [a, b] ¸si b



∈ R sunt constante arbitrare, atunci

b

(αf ( αf (x) + βg( βg (x)) dx = α

a



b

f ( f (x) dx + β

a



g(x) dx.

(9.25)

a

3. Dac˘a f ¸si si g sunt integrabile pe [a, [ a, b], atunci b

f ( f (x)

 ⇒

≤ g(x), x ∈ [a, b] =

b

f ( f (x) dx

a

 ≤

g(x) dx.

(9.26)

a

||

4. Dac˘ a funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe [a, [a, b], atunci funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe [a, [a, b] ¸si

 

b

a

  ≤ | b

f ( f (x) dx

|

f ( f (x) dx,

a

a < b.

·

5. Dac˘a f ¸si si g sunt integrabile pe [a, [ a, b], atunci funct¸ia ¸ia f g este integrabil˘a pe [a, [a, b].



6. Dac˘ Da c˘a f este integrabil˘a pe [a, [a, b], f ( f (x) = 0 pe [a, [a, b] ¸si 1 atunci funct¸ia ¸ia f (x) este integrabil˘a pe [a, [a, b].

1 f (x)

este m˘arginit˘ arginit˘ a pe [a, [a, b],


113

7. Dac˘a f este integrabil˘a pe [a, [ a, b], atunci ea este integrabil˘a pe orice or ice subinterval sub interval ˆınchis ¸si m˘arginit arginit [α, [α, β ] [a, b].

⊂

8. Dac˘a f este integrabil˘a pe [a, [a, c] ¸si si [c, b], atunci este integrabil˘a pe [a, [a, b] ¸si si avem ave m b



c

f ( f (x) dx =

a



b

f ( f (x) dx +

a



f ( f (x) dx.

c

O funct¸ie ¸ie f se nume¸ num e¸ste st e continu˘ a pe port ¸iuni pe [a, b] dac˘ da c˘a exist exi st˘a˘ o diviziune a intervalului [a, [a, b], a = x0 < x i < < xn = b

···

a.ˆı. f este continu˘a pe intervalele deschise (x ( xk−1 , xk ), k = ø1 ø1,, n, are limitele laterale finite f (x0 + 0), f ( f (x1 0), f ( f (x1 + 0), .. . ,f ( f (xn 0) ¸si si ia valori arbitrare arbitrar e ˆın capetele capete le subintervalelor [x [xk−1 , xk ], k = ø1, ø1 , n. 9. Orice funct¸ie ¸ie continu˘a pe port¸iuni ¸iuni pe intervalul [a, [a, b] este integrabil˘a pe [a, [a, b].

−

9.4.4 9.4.4

−

Formule ormule de medie medie

Teorema 9.9 Fie f ¸si si g dou˘ a funct ¸ii integrabile pe [a, b] ¸si si m, M marginile inferioar˘ a ¸si si superioa supe rioar˘ r˘ a a valorilor funct ¸iei f pe [a, b]. Dac˘ Dac˘ a g (x) p˘ astraz˘ a semn constant pe [a, b] atunci exist˘ a num˘ arul µ [m, M ] M ] a.ˆı.

∈

b



b

f ( f (x)g (x) dx = µ

a



g (x) dx.

(9.27)

a

≤ f ( f (x) ≤ M pentru orice x ∈ [a, b], presupunând and g (x) ≥ 0 pe [a, [a, b], rezult˘a mg( mg(x) ≤ f ( f (x)g(x) ≤ M g(x), ∀x ∈ [a, b]. Cum f ¸si si g sunt integrabile pe [a, [a, b], produsul f ( f (x) · g (x) este o funct¸ie ¸ie integrabil˘a pe  Din m

[a, b] ¸si si dup˘a propri pr oprietat etatea ea 3. rezult˘ rezu lt˘a b

m



b

g (x) dx

a

Deoarece g (x)

 ≤  

b

f ( f (x)g (x) dx

a

≥ 0 urmeaz˘a c˘a

b a

g(x) dx

≤ M

≥ 0. Dac˘a

b



g(x) dx.

(9.28)

a

b g (x) dx a



= 0 din (9.28) rezult˘a c˘a

f (x)g(x) dx = 0

a

¸si si deci (9.27) are loc l oc oricare ar fi µ. Dac˘a ˆıns˘ ın s˘a (9.28) devine m

≤ µ ≤ M,

cu µ =

b a

  

g (x) dx > 0, ˆımp˘art art¸ind ¸ind prin

b a

f ( f (x)g (x) dx b g (x) dx a

.

Formula (9.27) se nume¸ste ste prima formul˘ a de medie sub form˘ a general˘ a .

b a



g(x) dx, dx,


114

Dac˘ a sunt ˆındeplinite ındepl inite condit c ondit¸iile ¸iil e teoreme teo remeii preced pr ecedente ente ¸si si ˆın plus p lus f este continu˘a pe [a, [ a, b], atunci exist˘a ξ [a, b] a.ˆı.

∈

b



b

f ( f (x)g (x) dx = f ( f (ξ )

a



g (x) dx.

(9.29)

a

∈

In adev˘ar, ar, ˆın acest caz exist˘a ξ [a, b] a.ˆı. f ( f (ξ ) = µ, deoarece deoarece m Dac˘ a ˆın teorema precedent˘a lu˘am am g (x) = 1, (9.27) devine

≤ µ ≤ M .

b



f ( f (x) dx = µ(b

a

iar dac˘a ˆın plus pl us f este continu˘a, a, atunci exist˘a ξ

− a),

(9.30)

∈ [a, b] a.ˆı.

b



f ( f (x) dx = f ( f (ξ )(b )(b

a

− a).

(9.31)

Formula (9.30) (9. 30) se nume¸ nu me¸ste ste prima formul˘ a de medie. medie.

9.4. 9.4.5 5

Exis Existe tent nt ¸a primitivelor funct ¸iilor ¸iilor continue

→

R o funct¸ie Fie f : [a, b] ¸ie integrabil˘a pe [a, [a, b]. Deoare Deoarece ce f este integrabil˘a pe orice R prin subinterval [c, [c, x], c, x [a, b], definim funct¸ia ¸ia F : [a, [ a, b]

∈

→

x

F ( F (x) =



f ( f (t) dt.

(9.32)

c

Funct¸ia ¸ia F se mai nume¸ste ste integral˘ a cu limita superioar˘ a variabil˘ a sau integral integ ralaa defini de finit˘ t˘a ca funct ¸ie de limita superioar˘ a . Teorema 9.10 Dac˘ a funct ¸ia f este integrabil˘ a pe [a, b] atunci funct ¸ia F este uniform

continu˘ a pe [a, b].  Deoarece f este integrabil˘a pe [a, [a, b] este m˘arginit˘ arginit˘ a pe [a, [a, b], deci exist˘a un M > 0  a.ˆı. f ( f (x) M pe [a, b]. Dar pentru orice x, x [a, b] putem scrie

|

|≤

∈

x

F ( F (x) − F ( F (x ) =

 c



x

f ( f (t) dt

 −

x

f (t) dt =

c

c



f (t) dt +

c

 x

x

f ( f (t) dt =



 x

f ( f (t) dt.



De aici rezult˘a x

|F ( F (x )| = | F (x) − F (

 x



x

 |≤| |

f (t) dt

| | ≤ M |x − x |

f ( f (t) dt

x



¸si si folosind folosi nd definit¸ia ¸ia continuit˘at a¸ii ¸tii uniforme rezult˘a concluzia teoremei.  Teorema 9.11 (Existent ¸a primitivelor primitivelor funct ¸iilor continue) Orice Orice funct ¸ie real˘ real˘ a R continu˘ f : [a, b] a pe [a, b] admite primitive pe [a, b]. Una dintre dintre aceste primitive primitive

→

este funct ¸ia (9.32).


∈ [a, b]. Avem

 Fie x arbitrar din [a, [a, b] ¸si h a.ˆı. x + h F ( F (x + h) h

− F ( F (x) 1 =

h



115

x+h

 

x

f ( f (t) dt

c

 −

f ( f (t) dt

c

Aplicând and teorema de medie rezult˘a c˘ a exist˘a ξ

=

1 h

x+h

f ( f (t) dt.

x

∈ [x, x + h] sau ξ ∈ [x + h, x] a.ˆı.

x+h



·

f ( f (t) dt = h f ( f (ξ ).

x

Prin urmare

−

Deoarece pentru h Deci exist˘a

→ 0, ξ →

F ( F (x + h) F ( F (x) = f ( f (ξ ). h x ¸si si f este continu˘a pe [a, [ a, b], rezult˘a c˘a lim f ( f (ξ ) = f ( f (x).

→0

h

F ( F (x + h) h→0 h

− F ( F (x) = f ( f (x),

lim

adic˘a F este derivabil˘a ¸si F  (x) = f (x).  Prin aceast˘a teorem˘a am dovedit c˘a derivata integralei definite ca funct¸ie ¸ie de limita superioar˘a este funct¸ia ¸ia de sub semnul de integral˘a d dx

9.4.6 9.4.6

x



f ( f (t) dt = f ( f (x).

c

Metode Metode de calcu calcull a integ integral ralel elor or defini definite te

Teorema 9.12 (Formula (Formula fundamental˘ a a calculu calculului lui integr integral) al) Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f : R este continu˘ [a, b] a pe [a, b] ¸si si Φ(x Φ(x) este o primitiv˘ a a ei pe [a, b] atunci

→

b



f ( f (x) dx = Φ(b Φ( b)

a

− Φ(a Φ(a).

(9.33)

 Fie Φ(x Φ(x) o primitiv˘a a lui f ( f (x) pe [a, [a, b]. Dup˘ a teorema precedent˘a, a, x

F ( F (x) =



f (t) dt

c

este de asemenea o primitiv˘a a lui f ( f (x) pe [a, [a, b] ¸si si deci de ci x

Φ(x Φ(x) =



f ( f (t) dt + C.

c

Atunci

c

Φ(b Φ(b)

− Φ(a Φ(a) =

 a

b

f ( f (t) dt +

 c

b

f ( f (t) dt =



f (t) dt. 

a

A¸sadar, sadar, pentru calculul integralei definite a funct¸iei ¸iei f (x) este suficient s˘a cunoa cu noa¸¸stem ste m o primitiv˘ primitiv˘ a a funct¸iei ¸iei f ( f (x).


116

Formula (9.33) (9.3 3) se s e nume¸ nu me¸ste ste formula fundamental˘ a a calculului integral sau formula lui Leibniz-Newton . Num˘arul arul Φ(b Φ(b) Φ(a Φ(a) se noteaz˘a Φ(x Φ(x) ba , ˆıncˆ nc at aˆt formula (9.33) se mai scrie

−

|

b

 a

|b

f (x) dx = Φ(x Φ(x) a .

(9.34)

Teorema 9.13 (Formula schimb˘ arii de variabil˘ a) Dac˘ a:

→ R este continu˘ a pe [a, b], 2. funct ¸ia ϕ ¸ia ϕ : [α, β ] → [a, b] are derivat˘ a continu˘ a pe [α, β ] ¸si si ϕ(α) = a, ϕ(β ) = b, 1. funct ¸ia f ¸ia f : [a, [ a, b]

atunci are loc formula b



β

f ( f (x) dx =

a



f (ϕ(t)) ϕ (t) dt.

·

α

(9.35)

 Deoarece f (x) este continu˘a pe [a, [ a, b] ea are primitive pe [ a, b]. De asemenea funct¸ia ¸ia  f ( f (ϕ(t)) ϕ (t) fiind continu˘a pe [α, [α, β ] are primitive pe [α, [ α, β ]. ]. Dac˘ a F ( F (x) este o primitiv˘a a lui f ( f (x) pe [a, [a, b] atunci F ( F (ϕ(t)) este o primitiv˘a a funct¸iei ¸iei f ( f (ϕ(t)) ϕ (t) pe [α, [ α, β ]. ]. Aplicˆ and formula lui Leibniz-Newton, avem and

·

·

β

 α

b

f ( f (ϕ(t))ϕ ))ϕ (t) dt = F ( F (ϕ(β )) )) − F ( F (ϕ(α)) = F ( F (b) − F ( F (a) =



f ( f (x) dx. 

a

Teorema 9.14 (Formula de integrare prin p˘ art ¸i) Dac˘ a u ¸si si v au derivate continue

pe [a, b], atunci are loc formula b

 a

 Deoarece uv = (uv) uv)

b

b

uv dx =

a

b



u v dx. dx.

(9.36)

a

− u v rezult˘a c˘a

b



b uv dx = uv|a −

 a

(uv) uv) dx −

 a

b u v dx = uv |a −

b



u v dx. dx. 

a

Formula (9.36) se mai scrie ¸si si sub forma b

 a

udv = uv

b

 | − b a

v du. du.

(9.37)

a

Formula (9.36) (9.36 ) sau s au (9.37) se nume¸ste ste formula de integrare prin p˘ art ¸i . O generalizare a teoremei precedente este teorema: Teorema 9.15 Dac˘ a u ¸si si v au derivate pân˘ an˘ a la ordinul n + 1 continue pe [a, b], atunci

are loc formula b

 a

uv

(n+1)

dx = [uv

(n)

− u v(n−1) + · · · + (−1)nu(n) v]|b + (−1)n+1 a

b

 a

u(n+1) vdx. (9.38)


117

O aplicat¸ie ¸ie important˘a a formulei (9.38) este dat˘a de: Teorema 9.16 Dac˘ a f are derivate pân˘ an˘ a la ordinul n + 1 continue pe [a, b], atunci are

loc formula f ( f (b) = f (a) +

b

− a f (a) + · · · + (b − a)n f (n) (a) + 1!

n!

1 n!

b



(b

a

− x)nf (n+1)(x) dx.

(9.39)

n

 Formula (9.39) se obt¸ine ¸ine luând and ˆın (9.38) (9. 38) u(x) = (b−nx! ) ¸si si v(x) = f ( f (x) ¸si si ¸inˆ ¸tinând and seama c˘a (b x)n−k) u(k) (x) = ( 1)k , k = 1, 1 , n, n, u(n+1) (x) = 0. ed (n k)!

−

−

−

Inlocuind aici pe b cu x ¸si pe a cu x0 avem f ( f (x) = f ( f (x0 )+

x

− x0 f (x0)+· · ·+ (x − x0)n f (n)(x0)+ 1 1!

n!

n!

x



x0

(x t)n f (n+1) (t) dt, (9.40)

−

care este formula lui Taylor cu restul sub form˘ a integral˘ a .

9.5

Integ In tegra rale le im impr prop opri riii

Pˆ an˘ an˘a aici, studiind integrala definit˘a, a, am presupus c˘a intervalul [a, [a, b] este m˘arginit arginit arginit˘ arginit˘ a pe [a, [ a, b]. Exist˘ ¸si si func fu nct¸ia ¸tia f ( f (x) m˘ a probleme care necesit˘a extinderea not¸iunii ¸iunii de integral˘ a definit˘a, a, cerând and fie ca intervalul de integrare s˘a fie nem˘arginit, arginit, fie ca funct¸ia ¸ia s˘a fie nem˘arginit˘ arginit˘ a. a. R o funct¸ie Fie f : [a, + ) ¸ie integrabil˘a pe orice interval m˘arginit arginit [a, [a, t] [a, + ). Not˘am

∞→

⊂

∞

t

F ( F (t) =



f (x) dx.

a

Definit ¸ia ¸ia 9.9 Dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a lim F ( F (t) spunem c˘ a funct ¸ia f este integrabil˘ a t

→∞

∞

pe [a, + ) ¸si si scrie sc riem m

∞



f (x) dx = lim F ( F (t) t

→∞

a

(9.41)

¸si si o vom numi num i integral˘ a improprie de spet¸a ¸a ˆıntˆ ntâi. ai. In acest caz spunem c˘a

∞

 

f ( f (x) dx este convergent˘ a .

a

Dac˘ a funct¸ia ¸ia F ( F (t) nu are limit˘a pentru t integrala este divergent˘ a . Exemplul 9.7 Integrala

∞

 a

→ ∞ sau dac˘a tlim lim |F ( F (t)| = ∞ spunem c˘a →∞

1 dx, dx, a > 0, xα


≤ 1.

este convergent˘ a pentru α > 1 ¸si si diverge div ergent nt˘ ˘ a pentru α In adev˘ ar, avem t

F ( F (t) =

 a

dx = xα

¸si si deci deci

1 1 α

→∞

1 1 α 1 aα

−

1

−

ln a,

1

−

+ ,



, α = 1, α=1

, α > 1, α 1.

+

b

Analog se definesc de finesc ¸si si integralel i ntegralelee

1 aα

1

−

ln t

lim F ( F (t) =

t

1 tα

  −  −  ≤ ∞   −

118

∞

f (x) dx, dx,

−∞

Fie Φ(x Φ(x) o primitiv˘a a funct¸iei ¸iei f ( f (x) pe [a, [a, pe intervalul [a, [a, t], putem scrie

f ( f (x) dx. dx.

−∞

∞). Aplicând and formula lui Leibniz-Newton

t



F ( F (t) =

f ( f (x) dx = Φ(t Φ( t)

a

− Φ(a Φ(a).

Rezult˘ a de aici c˘a integrala este convergent˘a d.d. exist˘a ¸si si este finit˘a lim Φ(t Φ(t). Notând and

∞

t

→∞

Φ(+ ) = lim lim Φ(x Φ(x) putem scrie x

→∞

∞



∞ ∞ − Φ(a Φ(a) = Φ(x Φ(x)|a ,

f ( f (x) dx = Φ(+ )

a

care se nume¸ste ste formula lui Leibniz-Newton pentru intrgrale improprii de spet ¸a ˆıntˆ ın tâi ai . Fie f : [a, b) R o funct¸ie ¸ie integrabil˘a pe orice interval m˘arginit arginit [a, [a, t], a < t < b ¸si si lim f ( f (x) = + . Not˘am am

→b−0

x

|

|

→ ∞

t

F ( F (t) =



f ( f (x) dx.

a

Definit ¸ia ¸ia 9.10 Dac˘ a exist ex ist˘ ˘ a ¸si si este es te finit fin it˘ ˘ a lim F ( F (t) spunem c˘ a funct ¸ia f ¸ia f este integrabil˘ integrabil˘ a

→b−0

t

pe [a, b] ¸si si scrie sc riem m b



f ( f (x) dx = lim F ( F (t)

→b−0

t

a

¸si si o vom numi integral˘ a improprie de spet¸a ¸a a doua. doua. b

In acest caz spunem c˘a



f ( f (x) dx este convergent˘ a .

a

Dac˘ a funct¸ia ¸ia F ( F (t) nu are limit˘a pentru t

→ b − 0 sau dac˘a t→libm−0 |F ( F (t)| = ∞ spunem

c˘ a integrala este divergent˘ a . In aceast˘a situat¸ie ¸ie punctul b se nume¸ nume¸ste st e punct singular . Exemplul 9.8 Integrala b

 a

dx (b x)α

−

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA este convergent˘ a pentru α < 1 ¸si si diverge div ergent nt˘ ˘ a pentru α In adev˘ ar, avem t

F ( F (t) =

 a

dx = (b x)α

−

−  1

lim F ( F (t) =

1

α−1

−

1 1 1 α (b a)α



→b−0

t

≥ 1. Punctul b este punct singular.

− (b−a1) − 1 −α − ln(b ln(b − t) + ln(b ln(b − a),

¸si si deci deci

1 (b t)α

−

−

∞

+ ,

1

−

119



, α = 1, 1, α =1



, α < 1, α 1.

≥

Analog se definesc d efinesc ¸si si integralele i ntegralele b



f ( f (x) dx, cu

li m

→a+0

x

a

|f ( f (x)| = + ∞,

b



f (x) dx, cu

|f ( f (x)| = +∞,

li m

→a+0

x

a

lim

→b−0

x

|f ( f (x)| = +∞.

Formula lui Leibniz-Newton r˘amˆ amˆ ane ane adev˘arat˘ arat˘ a ¸si si pentru integrale improprii de spet¸a ¸a Φ(t), respect Φ(t). a doua dac˘a exist˘ exi st˘a ¸si si sunt su nt finite lim Φ(t respectiv iv lim Φ(t

→a+0

t

→b−0

t

Din cele de mai sus rezult˘a c˘ a studiul integralelor improprii se reduce la cercetarea limitei funct¸iei ¸iei t



F ( F (t) =

f (x) dx,

a

¸a ˆıntˆ ınt âi ai ¸si si la stânga anga lui b pentru integrale improla + pentru integrale improprii de spet¸a prii de spet¸a ¸a a doua.

∞

Teorema 9.17 (Criteriul (Criteriul lui Cauchy-Bolzan Cauchy-Bolzano) o) Condit ¸ia necesar˘ a ¸si si suficient˘ suficien t˘ a ca

integrala improprie

b



f ( f (x) dx,

a

având and numai num ai pe b ca punct singular, s˘ a fie convergent˘ a este ca oricare ar fi ε > 0 s˘ a  existe un A [a, b) a.ˆı. ı. pentru pentr u orice t, t (A, b) s˘ a avem

∈

 

∈

 



t

f ( f (x) dx < ε.

t

 Deoarece

 



t

 

f (x) dx < F ( F (t )

t

|

− F ( F (t)|,

teorema este o consecint¸˘ ¸a˘ a teoremei lui Cauchy-Bolzano de caracterizare a funct¸iilor ¸iilor cu limit˘ a finit˘a pentru t b 0 (b = + sau finit). 

→ −

∞ b

Definit ¸ia ¸ia 9.11 Integrala improprie

  |

dx, cu b = + f ( f (x) dx,

a

∞ sau finit, se nume¸ste ste absolut

b

f ( f (x) dx este convergent˘ a. In acest acest caz spunem

a integrala improprie convergent˘a dac˘

a

c˘ a f este absolut integrabil˘ a pe [a, b).

|


120

b

Teorema 9.18 Dac˘ a integrala improprie

f ( f (x) dx este absolut convergent˘ a atunci ea

a

este convergent˘ a.  Pentru orice t, t



∈ (a, b) avem

 

  ≤ |





t

t

f ( f (x) dx

t

 

f ( f (x) dx

|

t

¸si si concluzia concluz ia teoremei t eoremei rezult˘a ¸inˆ ¸tinând and seama de teorema precedent˘a.  Reciproca teoremei nu este adev˘arat˘ arat˘ a. a. Exist˘ Exist˘ a integrale improprii care sunt convergente f˘ar˘ ar˘ a a fi absolut convergente. b

Definit ¸ia ¸ia 9.12 Integrala Integrala improprie improprie



f ( f (x) dx se nume¸ num e¸ste st e semiconvergent˘a dac˘ a ea este

a

convergent˘ a dar nu este absolut convergent˘ a. Teorema 9.19 (Criteriul de comparat ¸ie) Fie integrala improprie b



f ( f (x) dx,

a

având and numai nu mai pe b ca punct singular, cu b = + a). Dac˘ a exist˘ a un A b

∞ sau finit.

∈ [a, b) a.ˆı. |f ( f (x)| ≤ g (x) pentru orice x ∈ (A, b) ¸si si dac˘ da c˘ a integrala b



g (x) dx este convergent˘ a, atunci ¸si si integrala

a



f ( f (x) dx este convergent˘ a.

a

b). b). Dac˘ Dac˘ a exist˘ a un A b

∈ [a, b) a.ˆı.



f ( f (x)

≥ h(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ (A, b) ¸sisi dac˘ da c˘ a b

integrala h(x) dx este divergent˘ a, atunci ¸si si integrala a



f ( f (x) dx este divergent˘ a.

a

 a). Deoarece pentru orice t, t t

∈ [a, b) cu A < t < t  avem



 |



t

|

f ( f (x) dx

t

 ≤

g (x) dx,

t

b

aplicˆ and criteriul lui Cauchy-Bolzano t¸inˆ and ¸inând and seama c˘a integrala



g(x) dx este conver-

a

b

gent˘a, a, rezult˘ rezu lt˘a c˘a integral integ ralaa

 |

|

f ( f (x) dx este convergent˘a, a, adic˘a integrala

a

absolut convergent˘ convergent˘ a ¸si si deci convergent˘a. a. b

b). Dac˘a presupunem c˘a integrala



b



f ( f (x) dx este

a

f ( f (x) dx este convergent˘ convergent˘ a, a, dup˘a partea a). a teo-

a

b

remei, ar rezulta c˘a integrala 



h(x) dx este convergent˘a. a. Se ajunge astfel la contradict¸ie. ¸ie.

a

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Consecint ¸a ¸a 9.2 Fie integrala improprie de spet ¸a ˆınt ın tˆ ai ai

121

∞ f ( f (x) dx. dx.

 a

a). a). Dac˘ Dac˘ a exist˘ a un α > 1 ¸si un A [a, + ) a.ˆı. f ( f (x) xα (A, + ) atunci integrala este absolut convergent˘ a.

∈

∞

∞

|

| ≤ M , pentru orice x ∈

b). Dac˘a exist˘ exis t˘ a un α 1 ¸si un A [a, + ) a.ˆı. f ( f (x)xα x (A, + ) atunci integrala este divergent˘ a.

∈

≤

∞

∈

∞

b a



Consecint ¸a ¸a 9.3 Fie integrala improprie de spet ¸a a doua

singular.

∈

≥ m > 0, pentru pentru orice

f ( f (x) dx, dx, avˆ av ând an d pe b ca punct

| − x)α ≤ M , pentru pentru orice orice

|

a). a). Dac˘ Dac˘ a exist˘ a un α < 1 ¸si si un A [a, b) a.ˆı. f ( f (x) (b x (A, b) atunci integrala este absolut convergent˘ a.

∈

≥

∈

b). b). Dac˘ Dac˘ a exist ex ist˘ ˘ a un α 1 ¸si un A [a, b) a.ˆı. f ( f (x)(b )(b x (A, b) atunci integrala este divergent˘ a.

∈

− x)α ≥ m > 0, pentru orice

Exemplul 9.9 (Integrala lui Euler de prima spet ¸˘ a) Fie integrala 1

B ( p,q) p,q ) =



x p−1 (1

0

− x)q−1dx,

p, q

∈ R.

Integrala este convergent˘ a pentru p > 0 ¸si si q > 0 ¸si si diverge div ergent nt˘ ˘ a pentru p

≤ 0 sau q ≤ 0.

Exemplul 9.10 (Integrala lui Euler de spet ¸a a doua) Fie integrala

Γ( p Γ( p)) =

∞



x p−1 e−x dx,

p

0

∈ R.

Integrala este convergent˘ a pentru p > 0 ¸si si diverge div ergent nt˘ ˘ a pentru p

9.6

≤ 0.

Integ In tegra rale le care care depi depind nd de un par param amet etru ru

9.6.1

Trecerea la limit˘ a sub semnul integral integral

Integralele de forma b(y )

b

I (y) =



f ( f (x, y ) dx,

J ( y ) =



f ( f (x, y ) dx

a(y)

a

se numesc integrale care depind de un parametru. Funct¸ia f ( f (x, y), definit˘a pe o mult¸ime ¸ime [a, b] E , unde E R, este integrabil˘a pe [a, [a, b] pentru orice y E ¸si si a(y ), b(y ) sunt funct¸ii ¸ii definite pe E . Fie y0 un punct de acumulare al mult¸imii ¸imii E ¸si fie

×

⊂

∈

g(x) = lim f ( f (x, y ), y

→y0

∀x ∈ [a, b].


122

Definit ¸ia ¸ia 9.13 Spunem c˘ a funct ¸ia g este limita uniform˘ a pe [a, b] a funct ¸iei f cˆ and and

y

→ y0 dac˘ a ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 pentru care |f ( f (x, y ) − g (x)| < ε

cu

|y − y0| < δ, ∀x ∈ [a, b].

Teorema care urmeaz˘a ne d˘a regula de intervertire a operat¸iei ¸iei de integrare cu operat¸ia ¸ia de trecere la limit˘a. a. Teorema 9.20 Dac˘ a g este limita uniform˘ a pe [a, b] a funct ¸iei f ¸si si f este continu˘ a pe

[a, b] oricare ar fi y

∈ E , atunci b

lim

y

→y0



b

f ( f (x, y ) dx =

a

  a



lim f ( f (x, y ) dx.

y

→y0

(9.42)

∈

 Funct¸ia ¸ia g (x) este continu˘a pe [a, [ a, b]. Intr-ade Intr-adev˘ v˘ar, ar, pentru orice ¸sir sir (yn ), yn E , yn y0 , ¸sirul si rul (f n ), f n (x) = f ( f (x, yn ) este un ¸sir sir uniform convergent pe [ a, b] la funct¸ia ¸ia g (x). Dup˘a teorema referitoare la continuitatea continuitatea ¸sirurilor sirurilor de funct¸ii ¸ii uniform convergente, rezult˘ a atunci c˘a g (x) este continu˘a pe [a, [a, b] ¸si si deci integrabil˘ integrabi l˘a pe [a, [a, b]. Deoarece g este limita uniform˘a pe [a, [a, b] a funct¸iei ¸iei f , f , rezult˘a c˘a

→

 

b

b

f ( f (x, y ) dx

a

 −

b

g(x) dx

a

f ( f (x, y )

a

de unde (9.42). 

9.6.2

  ≤ |

− g(x)| dx < ε(ε(b − a),

pentru y

| − y0| < δ,

Deriv Derivarea integr integralel alelor or care depind depind de un param parametru etru

→ R, unde D = [α, [ α, β ] × [c, d] ⊂ R2 . Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f (x, y ) este continu˘ a ¸si si are derivat˘ deri vat˘ a part ¸ial˘ a ˆın raport rapor t cu y continu˘ a pe D, iar funct ¸iile a, b : [c, d] → [α, β ] au derivate continue pe [c, d], atunci funct ¸ia ¸ia J : [c, d] → R este derivabil˘ a pe [c, d]

Teorema 9.21 Fie f : D

¸si si

b(y)

J  (y ) =



a(y )

f y (x, y ) dx + b (y )f (b(y ), y )

− a(y)f ( f (a(y), y ).

(9.43)

 Fie y0 [c, d]. Ar˘ at˘ at˘ am am c˘a J este derivabil˘a ˆın y0 ¸si si are a re loc l oc (9.43) pentru y = y0 . S˘ a not˘ am a(y ) = a, b(y ) = b, a(y0 ) = a0 , b(y0 ) = b0 ¸si sa˘ observ˘am am am c˘a

∈

b0

J (y ) =



b

f ( f (x, y) dx +

a0



a

f ( f (x, y ) dx

(a) b0

=

a0

f (x, y) y

b0

f (x, y) dx,

J ( y0 ) =

a0

b0

Deci:



 −

J (y ) y

b



b0

f ( f (x, y0 ) dx.

a0

− J (y0) = . − y0

− f (x, y0) dx + 1 − y0 y − y0



f ( f (x, y ) dx

1

− y − y0

a



f ( f (x, y ) dx.

a0

Ne vom ocupa pe rând and de fiecare din integralele din membrul drept.


123

Aplicˆ and and teorema lui Lagrange Lagrange funct¸iei ¸iei f , ca funct¸ie ¸ie de variabila y, avem f ( f (x, y) y

− f ( f (x, y0 ) = f y (x, y0 + η ), |η | < |y − y0 |. − y0

Funct¸ia ¸ia f y (x, y ) fiind uniform continu˘a pe D, urmeaz˘a c˘a pentru orice ε > 0 exist˘a un δ (ε) > 0 a.ˆı.





− f ( f (x, y0 ) − f y (x, y0) = |f y (x, y0 + η) − f y (x, y0)| < ε, pentru |y − y0| < δ − y0 ¸si si pentru pent ru orice ori ce x ∈ [a0 , b0 ], deci funct¸ia ¸ia f ( f (x, y ) − f ( f (x, y0 ) y − y0 conver converge ge uniform uniform pe [ a0 , b0 ] la f y (x, y0 ) cˆ and and y → y0 . Conform teoremei precedente b b b f ( f (x, y) − f (x, y0 ) f ( f (x, y ) − f ( f (x, y0 ) (b) lim lim dx = lim dx = f y (x, y0 )dx. → y →y y y y − y0 y − y0 a a a f (x, y) y

0



 

0

0

0

0

0

 

0

0

Aplicˆ and teorema de medie celei de a doua integrale, avem and 1 y

− y0

b



f ( f (x, y ) dx =

b0

b(y) y

¸si si la limit˘ limi t˘a ( c)

l im

y

1

→y0 y − y0

− b(y0) · f ( − y0 f (b(y0) + ξ), y), |ξ| < |b − b0| b



f ( f (x, y ) dx = b (y0 )f ( f (b(y0 ), y0 ),

b0

deoarece b este derivabil˘a pe [c, [c, d] ¸si f este continu˘a pe D. Asem˘ an˘ an˘ator, ator, g˘asim asim (d)

l im

y

1

→y0 y − y0

a



f ( f (x, y ) dx = a (y0 )f ( f (a(y0 ), y0 ).

a0

Din (a (a), (b), (c) ¸si si (d) rezult˘a (9.43). 

Capitolul 10

INTEGRALE CURBILINII 10.1

No¸iuni ¸ t iuni de teoria curbelor

Reamintim c˘a dac˘a x,y,z sunt trei funct¸ii ¸ii continue pe un interval I R, mult¸imea ¸imea 3 Γ a punctelor M R de coordonate (x ( x(t), y (t), z (t)), t I , se nume¸ num e¸ste st e curb˘ a continu˘ a , iar x = x(t), y = y (t), z = z (t), t I (10.1)

∈

⊂

∈

∈

se numesc ecuat ¸iile parametrice ale curbei Γ, t este parametrul pe curb˘a. a. Dac˘ a raport˘am am pe R3 la un reper ortonormat O, i, j, k , ˆın care car e i = (1, (1, 0, 0), j = (0, (0, 1, 0), k = (0, (0, 0, 1), ¸si si r este vectorul de pozit¸ie ¸ie al punctului M Γ fat¸˘ ¸a˘ de O , ecuat¸iile ¸iile (10.1) se pot scrie sub forma r = r(t) = x(t)i + y (t) j + z (t)k, t I. (10.2)

{

}

∈

∈

In acest mod, curba Γ este imaginea intervalului I prin funct¸ia ¸ia vectorial˘a (10.2). Dac˘a z (t) = 0, atunci x = x(t), y = y (t), t I (10.3)

∈

sau r = r(t) = x(t)i + y(t) j,

t

∈ I.

(10.4)

reprezint˘ a o curb˘a plan˘ a , situat˘a ˆın planu pl anull Oxy. Oxy . Pe o curb˘a putem stabili dou˘a sensuri de parcurs. A orienta curba curb a ˆınseamn ıns eamn˘˘a a alege un sens de parcurs pe ea; o astfel de curb˘a o vom numi orientat˘ a . Unul Unul din sensuri sensurile le de parcurs ˆıl vom numi pozitiv , iar cel˘alalt alalt negativ . In general general,, se alege alege ca sens pozitiv pozitiv sensul sensul de deplasare deplasare a punctului punctului M (t) pe curb˘a cˆ and and t cre¸ cr e¸ste. st e. Partea din curba Γ format˘a din punctele M (t) cu t [a, b] I se nume¸ num e¸ste ste arc de curb˘ a continu˘ a sau drum cu originea ori ginea ˆın punctul pu nctul A(a) ¸si si extremit extr emitatea atea ˆın punctul punc tul B (b). Un drum dr um se s e nume¸ nu me¸ste ste cu tangent˘ a continu˘ a dac˘ a funct¸iile ¸iile x(t), y(t), z (t) au derivate continue pe [a, b]. Punctul M 0 (t0 ) se nume¸ste ste punct singular al curbei Γ dac˘a r (t0 ) = 0. Un drum cu tangent˘a continu˘a se nume¸ste ste drum neted dac˘ a nu are puncte puncte singular singulare. e. Un drum

∈

124

⊂


125

se nume¸ num e¸ste st e part ¸ial neted sau neted pe port ¸iuni dac˘ a este reuniunea unui num˘ar ar finit de drumuri netede.

10.2

Lungimea Lungime a unui arc arc de curb˘ curb˘ a

Fie Γ un drum cu extremit˘at a¸ile ¸tile A(a) ¸si B (b) (cu A = B dac˘ a drumul este ˆınchis, orientat ˆın sensul de cre¸stere stere a parametrului parametru lui t [a, b]. Pe drumu drumull Γ alegem alegem puncte punctele le A = M 0 , M 1 , . . . , M i −1 , M i , . . . , M n = B, ˆın ordinea dictat˘a de orientar orientarea ea lui Γ. Spunem Spunem c˘ a punctele M i , i = 0, n, definesc o diviziune a lui Γ, pe care o vom nota cu ∆ Γ . Vom numi norm˘ a a diviziunii ∆Γ num˘arul arul ν Γ = ν (∆ (∆Γ ) = max d(M i−1 , M i ).

∈

=1,n i=1,n

Diviziunea Diviziunea ∆Γ a lui Γ determin˘a o diviziune ∆ a lui [a, [ a, b]: a = t0 < t 1 < .. . < t i−1 < t i < .. . < t n = b, cu norma ν = ν (∆) (∆) = max (ti i=1,n =1,n

(10.5)

− ti−1) ¸sisi recipro im plic ic˘˘a ν Γ → 0. r eciproc. c. S˘a observ˘am am c˘a ν → 0 impl

Reciproca Reciproca fiind adev˘arat˘ arat˘ a numai pentru drumuri deschise. Diviziunea Diviziunea ∆Γ a lui Γ define¸ste ste o linie poligonal˘a AM 1 M 2 . . . Mi −1 M i . . . B, B , ˆınscr ın scris is˘ a˘ ˆın Γ a c˘arei arei lungime este n

∆ =

 i=1

Deoarece M i (x(ti ), y (ti ), z (ti )), avem

d(M i−1 , M i ).

(10.6)

n

∆ =

 

(x(ti )

i=1

− x(ti−1))2 + (y (y (ti ) − y(ti−1 ))2 + (z (z (ti ) − z (ti−1 ))2 .

(10.7)

Definit ¸ia ¸ia 10.1 Drumul Γ se nume¸ste ste rectificabil rectificabil dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a limita lungimilor ∆ a liniilo lin iilorr poligonal poligo nalee ˆınscris ıns crisee ˆın Γ cˆ and norma diviziunii tinde la zero. Num˘ and arul

L = lim ∆ ν

(10.8)

→0

se nume¸ n ume¸ste ste atunci lungimea drumului Γ. Teorema 10.1 Orice drum Γ cu tangent˘ a continu˘ a este e ste rectificabil rectificabil ¸si si lungimea l ungimea lui l ui este e ste

dat˘ a de

b

L=

 || a

r (t) dt.

||

(10.9)

 Aplicând and teorema lui Lagrange funct¸iilor ¸iilor x(t), y(t) ¸si z (t) pe intervalul [t [ ti−1 , ti ], ∆ se mai scrie n ∆ =

 

x 2 (θix ) + y  2 (θiy ) + z  2 (θiz ) (ti

· − ti−1),

i=1

cu

θix , θiy , θiz

∈ (xi−1, xi). Fie, pe de alt˘a parte, σ∆ suma Riemann a funct¸iei ¸iei f ( f (t) =



x 2 (t) + y  2 (t) + z  2 (t)

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA corespunz˘ atoare atoare diviziunii ∆ ¸si si punctelor intermediare θi

126

∈ [xi−1, xi ], adic˘a

n

σ∆ =

 

x 2 (θi ) + y  2 (θi ) + z  2 (θi ) (ti

· − ti−1).

i=1

Deoarece f ( f (t) este integrabil˘a pe [a, [a, b], b

lim σ∆ =

ν

→0

 

x 2 (t) + y 2 (t) + z  2 (t) dt.

a

Dar lim ∆ = lim σ∆ ¸si si deci de ci ν

→0

ν

→0

b

L=

 

x 2 (t) + y 2 (t) + z  2 (t) dt. 

a

Fie M (t)



∈ Γ ¸si s(t) lungimea arcului de curb˘a AM . Atunci t

s(t) =

 ||

r (τ ) τ ) dτ.

||

a

de unde s (t) = r (t) ¸si si deci de ci

||

||

ds = ||r (t)|| dt =



x 2 (t) + y 2 (t) + z  2 (t) dt.

ds se nume¸ nume¸ste st e element de arc al curbei Γ.

10.3 10. 3

Inte In tegr gral ale e curbi curbili lini niii de prim primul tip tip 

Fie Γ =AB un arc de curb˘a neted˘a pe port¸iuni, ¸iuni, dat˘a prin ecuat¸iile ¸iile parametrice (10.1) 

¸si si f ( f (M ) M ) = f ( f (x,y,z) x,y,z ) o funct¸ie ¸ie definit˘a pe arcul AB. AB . 

Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a ∆Γ o diviziune a arcului AB, AB , ∆ diviziunea corespunz˘atoare atoare a intervalului

∈



[a, b], P i (τ i ) M i−1 M i , cu τ i

¸si si si lungimea arcului

∈ [ti−1, ti ], i = ø1 ø1,, n, puncte intermediare ale diviziunii ∆ Γ

 M i 1 M i

−

ti

si =

  ti

x 2 (t) + y 2 (t) + z  2 (t) dt.

(10.10)

1

−

Definit ¸ia ¸ia 10.2 Se nume¸ num e¸ste st e sum˘ a integral˘a a funct ¸iei f , f , corespunz˘ atoare diviziunii ∆Γ 

a arcului AB ¸si si punctelor punctel or intermediare interm ediare P i , suma σ∆Γ (f ) f ) =

n

n





i=1

f (P i ) si =

i=1

f ( f (x(τ i ), y (τ i ), z (τ i )) si .

(10.11)


127



Definit ¸ia ¸ia 10.3 Spunem Spun em c˘a funct funçia ¸i t a f este integrabil˘ a pe AB dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a

lim σ∆Γ (f ) f ) = I,

νΓ

→0

oricare ar fi punctele intermediare P i .



Dac˘ a funct ¸ia f este integrabil˘ a pe AB atunci I se nume¸ nu me¸ste st e integrala curbilinie de 

si scrie scr iem m primul tip a funct ¸iei f pe AB ¸si I =





f ( f (M ) ds =



f ( f (x,y,z) x,y,z) ds.



AB

AB

Prin urmare



n

f ( f (x,y,z) x,y,z) ds = lim νΓ





→0 i=1

AB

f ( f (x(τ i ), y(τ i ), z (τ i )) si .

(10.12)

Teorema care urmeaz˘a d˘a leg˘atura atura ˆıntre integrala integ rala curbilinie curbili nie de primul tip ¸si si integrala integ rala Riemann. Teorema 10.2 Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f ( f (x(t), y (t), z (t)) este integrabil˘ integrabil˘ a pe intervalul [a, b], atunci 

funct ¸ia ¸ia f ( f (x,y,z) x,y,z) este integrabil˘ a pe AB ¸si si



b

f ( f (x,y,z) x,y,z) ds =





f ( f (x(t), y (t), z (t)) x 2 (t) + y  2 (t) + z  2 (t) dt.

a



AB

(10.13)



 Deoarece arcul AB este neted pe port¸iuni, ¸iuni, funct¸iile ¸iile x(t), y (t), z (t) sunt continue conti nue ¸si si au derivate continue [a, [ a, b]. Aplicˆ and atunci teorema de medie integralei (10.10), obt¸inem and ¸inem si =



x 2 (θi ) + y 2 (θi ) + z  2 (θi ) (ti

σ∆Γ (f ) f ) =

· − ti−1), cu θi ∈ [ti−1, ti]. Putem scrie deci

n





f ( f (x(τ i ), y (τ i ), z (τ i )) x 2 (θi ) + y 2 (θi ) + z  2 (θi ) (ti

i=1

· − ti−1).

(10.14)



Consider˘ am am funct¸ia ¸ia Φ(t Φ(t) = f ( f (x(t), y (t), z (t)) x 2 (t) + y 2 (t) + z  2 (t), definit˘ a pe [a, [ a, b], integrabil˘ a pe [a, [a, b] ¸si si fie σ∆ suma sa Riemann corespunz˘atoare atoare diviziunii divizi unii ∆ ¸si si punctelor p unctelor intermediare τ i . Avem c˘a lim σ∆Γ = lim σ∆ , de unde (10.13). (10.13).  νΓ

→0

ν

→0

Interpretarea Interpreta rea geometric˘ a a integralei curbilinii curbilini i 

Fie f ( f (M ) = f ( f (x, y) ¸si AB un arc de curb˘a plan˘ a, a, dat prin ecuat¸iile ¸iile parametrice (10.3). 

S˘a consider˘ conside r˘am am suprafat supraf at¸a ¸a cilindric˘a avˆ and and curba directoare AB ¸si si generatoarele generatoa rele paralele paralel e 

cu axa Oz. Oz . Pe aceast˘a suprafat¸˘ ¸a˘ s˘a consid con sider˘ er˘am am curba cu rba neted n eted˘˘a pe port¸iuni ¸iuni A B  , de ecuat¸ii ¸ii

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA parametrice x = x(t), y = y (t), z = f ( f (x(t), y (t)), t

∈ I. Atunci,



128

f ( f (x, y) ds este tocmai



AB

aria port¸iunii ¸iunii din suprafat¸a ¸a cilindric˘ a cuprins˘a ˆıntre generatoarele genera toarele AA , BB  ¸si si arcele arce le de 



curb˘ a AB, AB , A B  .

10.4 10. 4

Inte In tegr gral ale e curbi curbili lini niii de tipul tipul al doil doilea ea



Fie AB un arc de curb˘a neted˘a, a, dat prin ecuat¸iile ¸iile (10.1), orientat˘a de la A la B , ˆın sensu se nsull 

de cre¸stere stere a parametrului parametru lui t de la a la b. Fie ∆Γ o diviziune a arcului AB ¸si si M i (xi , yi , zi ), cu xi = x(ti ), yi = y (ti ), zi = z (ti ), punctele diviziunii ¸si si P i (ξi , ηi , ζ i ), cu ξi = x(τ i ), ηi = y (τ i ), ζ i = z (τ i ), puncte intermediare. Proiect¸iile ¸iile segmentului orientat [M [ M i−1 M i ] pe axele de coordonate Ox, Ox, Oy, Oy , Oz, Oz , sunt segmentele orientate [x [ xi−1 , xi ], [y [ yi−1 , yi ] ¸si si respec r espectiv tiv 

[zi−1 , zi ]. Aceste segmente sunt ˆın acela¸si si timp proiect¸iile ¸iile arcului orientat M i−1 M i pe  cele trei axe. Fie ˆınc˘ ınc˘a f ( f (M ) = f (x,y,z) x,y,z) o funct¸ie ¸ie definit˘a pe arcul AB. AB .

Definit ¸ia ¸ia 10.4 Se nume¸ nu me¸ste st e sum˘ a integral˘a ˆın raport rapor t cu x a funct ¸iei f , f , corespunz˘ atoare 

diviziunii ∆Γ a arcului AB ¸si si punctelor punctelo r intermediare interm ediare P i , suma x σ∆ (f ) f ) = Γ

n

n





f ( f (P i ) (xi

i=1

− xi−1) =

f (ξi , ηi , ζ i ) (xi

i=1

− xi−1).

(10.15)



Definit ¸ia ¸ia 10.5 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia f este integrabil˘ a pe AB ˆın raport rapor t cu x dac˘ a exist˘ a

¸si si este est e finit˘ fini t˘ a

x lim σ∆ (f ) f ) = I x , Γ

νΓ

→0

oricare ar fi punctele intermediare P i .



Dac˘ a funct ¸ia f ¸ia f este integrabil˘ a pe AB ˆın raport rapor t cu x, atunci I x se nume¸ num e¸ste st e integrala 

curbilinie de tipul al doilea ˆın ın raport rapor t cu x a funct ¸iei f pe AB ¸si si scrie sc riem m



n

f ( f (x,y,z) x,y,z) dx = lim νΓ





→0 i=1

AB

f ( f (ξi , ηi , ζ i ) (xi

− xi−1).

(10.16)

In mod analog putem forma sumele integrale ale funct¸iei f ˆ f ˆın raport rap ort cu y ¸si si ˆın rap ra port or t cu z : n n y σ∆ (f ) f ) = Γ

 i=1

f ( f (P i ) (yi

z σ∆ (f ) f ) = Γ

− yi−1),



f (P i ) (zi

i=1

− zi−1)

rap ort cu y ¸si ˆın ¸si si putem defini integralele curbilinii de tipul al doilea ale funct¸iei ¸iei f ˆın raport raport cu z :





AB

n

f ( f (x,y,z) x,y,z) dy = lim lim νΓ



→0 i=1

f ( f (ξi , ηi , ζ i ) (yi

− yi−1),




129

n



f ( f (x,y,z) x,y,z) dz = lim lim νΓ



→0 i=1

AB

f ( f (ξi , ηi , ζ i ) (zi

− zi−1). 

Teorema 10.3 Dac˘ a pe [a, b], iar AB este un a funct ¸ia ¸ia f ( f (x(t), y(t), z (t)) este integrabil˘ 

arc neted, atunci funct ¸ia f ¸ia f (x,y,z) x,y,z) este integrabil˘ a pe AB ˆın ın raport rapor t cu x ¸si si



b

f ( f (x,y,z) x,y,z) dx =



f ( f (x(t), y (t), z (t))x ))x (t) dt.

(10.17)

a



AB

 Aplicˆ and and teorema lui Lagrange Lagrange funct¸iei ¸iei x(t), suma integral˘a (10.15) se mai scrie n x σ∆ (f ) f ) = Γ



f ( f (x(τ i ), y (τ i ), z (τ i ))x ))x (θi )(t )(ti

i=1

− ti−1),

cu θi (ti−1 , ti ). Consider˘am am apoi funct¸ia ¸ia Φ(t Φ(t) = f (x(t), y (t), z (t))x ))x (t), definit˘ a pe [a, [a, b], x integrabil˘ a pe [a, [a, b] ¸si si fie σ∆ suma sa Riemann corespunz˘atoare atoare diviziunii divizi unii ∆ ¸si si punctelor pu nctelor x x intermediare τ i . Avem c˘a lim lim σ∆ = lim σ∆ , de unde (10.17).  Γ

∈

νΓ

→0

ν

In mod asem˘an˘ an˘ ator ator se arat˘a c˘a



→0

b









f ( f (x,y,z) x,y,z ) dy =

f ( f (x(t), y (t), z (t))y ))y  (t) dt,

a

AB

b

f (x,y,z) x,y,z) dz =

f ( f (x(t), y (t), z (t))z ))z  (t) dt.

a



AB 

Dac˘ a arcul AB este un segment de dreapt˘a paralel cu axa Oz atunci



f ( f (x,y,z) x,y,z) dx = 0,





f ( f (x,y,z) x,y,z) dy = 0,

etc. etc.



AB

AB

Integrala curbilinie de tipul al doilea de form˘ a general˘ a 

Fie AB un arc de curb˘a neted˘a pe port¸iuni ¸iuni ¸si si trei funct¸ii ¸ii P ( P (M ), ), Q(M ), ), R(M ) definite 



pe arcul AB, AB , P integrabil˘ a pe AB ˆın raport rap ort cu x, Q ˆın raport rap ort cu y ¸si si R ˆın raport rap ort cu z . Prin integral˘ a curbilinie de tipul al doilea de form˘ a general˘ a ˆ a ˆın¸elegem ¸telegem expresia I =





AB

P dx + Q dy + R dz =





AB

P ( P (M ) M ) dx +





AB

Q(M ) dy +



R(M ) dz.

(10.18)



AB

Uneori este comod s˘a scriem integrala curbilinie de tipul al doilea sub form˘a vectorial˘a. a. Fie F(x,y,z) x,y,z ) = P ( P (x,y,z) x,y,z) i + Q(x,y,z) x,y,z) j + R(x,y,z) x,y,z) k o funct¸ie ¸ie vectorial˘a definit˘a pe arcul

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA 

130

·

AB. AB . Deoare Deoarece ce dr = i dx + j dy + k dz, dz , urmeaz˘a c˘ a P dx + Q dy + R dz = F dr ¸si si deci de ci (10.18) se scrie sub forma I =



·

F dr.



(10.19)

AB

Fie τ = dr/ds versorul tangentei la curb˘a, a, orientat ˆın sensul cre¸sterii sterii parametrului parametru lui s. Avem atunci urm˘atoarea atoa rea leg˘atur˘ atur ˘a ˆıntre ıntre integrala integrala curbilinie de tipul al doilea de form˘ a general˘ a ¸si si integrala curbilinie de primul tip: I =





·

F dr =

AB

10.5 10 .5





·

F τ ds.

(10.20)

AB

Inde In depen pende dent nt ¸a de drum a integralelor curbilinii ¸a

Definit ¸ia ¸ia 10.6 O mult ¸ime de puncte din plan sau spat ¸iu se nume¸ num e¸ste ste conex˘ a dac˘ a orice

dou˘ a puncte ale ei pot fi unite printr-un arc de curb˘ a complet cont ¸inut ¸inu t ˆın mult mu lt ¸ime. Definit ¸ia ¸ia 10.7 O mult ¸ime deschis˘ a ¸si si conex˘ cone x˘ a se nume¸ num e¸ste ste domeniu. domeniu. Definit ¸ia ¸ia 10.8 O mult ¸ime de puncte din plan sau spat ¸iu se nume¸ nu me¸ste st e convex˘a dac˘ a orice dou˘ a puncte ale ei pot fi unite printr-un segment de dreapt˘ a complet cont ¸inut ˆın mult m ult ¸ime.

Orice mult¸ime ¸ime convex˘a este ¸si si conex˘a. a. Recipro ca nu este e ste adev˘ ad ev˘arat˘ arat˘a. a. Exist˘a mult¸imi ¸imi conexe care nu sunt convexe. Definit ¸ia ¸ia 10.9 Un domeniu plan D se nume¸ nu me¸ste st e simplu conex, conex, dac˘ a oricare ar fi curba ˆınch ın chis is˘ ˘ a Γ din D, mult ¸imea plan˘ a m˘ arginit˘ a de Γ este inclus˘ a ˆın D. Un domeniu D din spat ¸iu se nume¸ num e¸ste ste simplu conex, conex, dac˘ a oricare ar fi curba ˆınchis˘ ınchis˘ a Γ din D, exist˘ a cel put ¸in o suprafat ¸˘ a S m˘ arginit˘ a de Γ, situat˘ a ˆın ˆıntregi reg ime ˆın D. Un domeniu care nu este simplu conex se nume¸ste ste multiplu conex. conex.

Fie D

⊂ R3 un domeniu dome niu ¸si si P ( P (M ), ), Q(M ), M ), R(M ) trei funct¸ii ¸ii definite pe D.

Definit ¸ia ¸ia 10.10 Spunem c˘ a integrala curbilinie

I =



P dx + Q dy + R dz

(10.21)



AB 

∈

unde AB este est e un drum ˆın D, este independent˘ a de drum ˆın ın D dac˘ a, oricare ar fi A, B D ¸si si oricare ar fi arcele netede net ede pe port ¸iuni Γ1 ¸si si Γ2 situat sit uatee ˆın ın D cu extremit˘ atil at ilee ˆın A ¸si si B , având and aceea¸si si orienta orie ntare, re, avem av em



Γ1




Γ2

P dx + Q dy + Rdz.

(10.22)


131

Teorema 10.4 Condit ¸ia necesar˘ necesar˘ a ¸si si suficient˘ suficien t˘ a ca integr integrala ala I s˘ a fie independent independent˘ a ˘ de

drum dr um ˆın ın D este ca oricare oricare ar fi drumul ˆınchis C , neted pe port ¸iuni, ¸iuni, cont ¸inut ¸in ut ˆın D s˘ a avem P dx + Q dy + R dz = 0. (10.23)



C

 Necesitatea. Presupunem I independent˘ a de drum pe D. Fie C un contur contu r ˆınchis ınch is cont¸inu ¸i nutt ˆın D ¸si si A, B C . Not˘ am am cu Γ 1 ¸si Γ2 arcele determinate de punctele A ¸si si B pe C , avˆ and and aceea¸si si orientare (de ex. de la A la B ). Atunci

∈




AΓ1 B



P dx + Q dy + Rdz.

AΓ2 B

∪

Deoarece C = AΓ1 B B Γ2 A, rezult˘ rezu lt˘a (10.23). (10. 23). Suficient ¸a ¸a. Presupunem Presupunem c˘ c˘a are loc (10.23). (10.23). Fie Γ1 ¸si Γ2 dou˘ a arce situate ˆın D cu extremit˘ atile ati le ˆın A ¸si si B , avˆ and and aceea¸ acee a¸si si orientare. ori entare. Deoarece AΓ1 B B Γ2 A = C din (10.23) (10.23) rezult˘a (10.22). (10.22).  ¸iale P dx+ Propriet˘ at a¸ile ¸tile integralei curbilinii I depind de propriet˘at a¸ile ¸tile expresiei diferent dx+ Q dy + R dz. dz .

∪

Definit ¸ia ¸ia 10.11 Spunem c˘ a expresia diferent ¸ial˘ a P dx + Q dy + R dz este o diferent¸ial˘ ¸ial˘ a

exact˘a pe D, dac˘ a exist˘ a o funct ¸ie U ( U (x,y,z) x,y,z ), diferent ¸iabil˘ a pe D, a.ˆı. dU (x,y,z) x,y,z) = P ( P (x,y,z) x,y,z ) dx + Q(x,y,z) x,y,z) dy + R(x,y,z) x,y,z) dz.

(10.24)

Funct ¸ia U ¸ia U se nume¸ nu me¸ste st e primitiva expresiei expresiei diferent diferent ¸iale P dx + Q dy + R dz. dz. Teorema 10.5 Fie P,Q,R trei funct ¸ii continue pe D. Integrala Integrala I este independent˘ a de

drum pe D d.d. P dx + Q dy + R dz este o diferent ¸ial˘ a exact˘ a pe D. 

 Necesitatea. Presupunem I independent˘ a de drum pe D. Fie AM un drum dr um ˆın D ¸si si x,y,z ) = U ( U (x,y,z)



P dx + Q dy + Rdz.



AM

Dac˘a x = x(τ ), τ ), y = y (τ ), τ ), z = z (τ ), τ ), τ 

AM , atunci

∈ [a, t] este o reprezentare parametric˘a a arcului

t

U ( U (t) =



(P ( P (τ ) τ )x (τ ) τ ) + Q(τ ) τ )y (τ ) τ ) + R(τ ) τ )z  (τ )) τ )) dt,

a

de unde, prin derivare, U  (t) = P ( P (t)x (t) + Q(t)y (t) + R(t)z  (t) sau dU = P dx + Q dy + Rdz. Suficient ¸a ¸a. Dac˘ a P dx + Q dy + R dz este o diferent¸ial˘ ¸ial˘ a exact˘ exac t˘a, a, rezult˘ rezu lt˘a c˘a ∂U = P, ∂x

∂U = Q, ∂y

∂U =R ∂z

(10.25)


132



¸si si deci pentru orice arc AB din D, putem scrie I =





∂U ∂U ∂U dx + dy + dz = ∂x ∂y ∂z

AB b

b ∂U ∂U ∂U b = (t)x (t) + (t)y  (t) + (t)z  (t) dt = U  (t) dt = U ( U (t) a , ∂x ∂y ∂z a a adic˘a I nu depinde de drum.  Din (10.25) (10. 25) rezult˘ rezu lt˘a c˘a dac˘a I este independent˘a de drum ˆın D atunci funct¸iile ¸iile P,Q,R satisfac condit¸iile ¸iile ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P = , = , = . (10.26) ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z Se poate ar˘ata ata c˘a dac˘a domeniul D este simplu conex, atunci este adev˘arat˘ arat˘ a ¸si si recipro reci proca ca afirmat¸iei ¸iei precedente.

 

10.6

 

|

No¸iuni ¸ tiuni eleme elementare ntare de teori teoria a cˆ ampulu i ampului

Definit ¸ia ¸ia 10.12 Se nume¸ nu me¸ste st e câmp amp scalar pe domeniul D o funct ¸ie real˘ a U ( U (x,y,z) x,y,z) defi-

nit˘ a pe D. Dac˘a U ( U (x,y,z) x,y,z ) are derivate part¸iale ¸iale pe D, atunci vectorul grad U =

∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

(10.27)

se nume¸ nume¸ste st e gradientul câmpului ampului scalar U . U . Dac˘ a funct¸ia ¸ia U este diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a atunci dU = grad U dr.

·

Definit ¸ia ¸ia 10.13 Se nume nu me¸¸ste st e câmp amp vectorial pe domeniul D domeniul D o funct ¸ie vectorial˘ a F(x,y,z) x,y,z )

definit˘ a pe D. Definit ¸ia ¸ia 10.14 Cˆ ampul ampul vectorial F(x,y,z) x,y,z) se nume¸ num e¸ste st e câmp amp potent¸ial ¸ial dac˘ a exist˘ a un cˆ ampul ampul scalar U ( U (x,y,z) x,y,z ) a.ˆı. F(x,y,z) x,y,z ) = grad U ( U (x,y,z) x,y,z). In acest caz, funct ¸ia ¸ia U , U , numit˘ a potent¸ialul ¸ialul lui F = (P,Q,R ( P,Q,R)), este primitiva expresiei diferent ¸iale F dr = P dx + Q dy +

·

Rdz.

Definit ¸ia ¸ia 10.15 Se nume¸ nu me¸ste st e divergent¸˘ ¸a˘ a cˆ ampului ampului vectorial vectorial F = (P,Q,R) P,Q,R), cˆ ampul ampul

scalar div F =

∂P ∂Q ∂R + + . ∂x ∂y ∂z

Un câmp amp vectorial se nume¸ste ste solenoidal dac˘ a div F = 0. Definit ¸ia ¸ia 10.16 Se nume¸ nu me¸ste st e rotor al cˆ ampului ampului vectorial F = (P,Q,R) P,Q,R), câmpul ampu l vectorial vecto rial

rot F =



∂R ∂y

− ∂Q ∂z

  i+

∂P ∂z

− ∂R ∂x

  j +

∂Q ∂x

− ∂P ∂y



k=

 

i

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

P

Q

R

 


133 

Definit ¸ia ¸ia 10.17 Se nume¸ nu me¸ste st e circulat¸ia ¸ia câmpului ampului vectorial F = (P,Q,R) P,Q,R) pe arcul AB, AB , F dr. integrala I =





AB

·

Dac˘a F este un câmp amp potent¸ial ¸ial atunci rot F = 0. Dac˘ a domeniul D este simplu conex, atunci este adev˘arat˘ arat˘ a ¸si si afirma afi rmat¸ia ¸t ia reciproc˘a. a. Pentru ca integrala I s˘ a fie independent˘a de drum pe D este necesar, iar dac˘a D este simplu conex, este ¸si si suficient ca rot F = 0.

10.7

Orientarea Orien tarea curbelor curbelor ¸ si domeniilor si domeniilor plane

{

} ×

Fie Π un plan raportat la reperul cartezian ortonomat O, i, j orientat drept. Spunem ˆın acest caz c˘a planul Π este orientat pozitiv . Versorul ersorul k = i j este versorul normalei la fat ¸a pozitiv˘ a a planului Π, iar k este versorul normalei la fat¸a ¸a negativ˘a. a . Un pla plan n orientat pozitiv pozit iv ˆıl ıl vom nota no ta Oxy. Oxy . Un contur ˆınchis C din planul Π se nume¸ste ste orientat pozitiv dac˘ a un observator perpendicular pe plan, ˆın direct¸ia ¸ia normalei pozitive la plan, care se mi¸sc˘ sc˘a pe conturul C , vede mereu ˆın stânga anga lui domeniul D m˘ arginit arginit de conturul C . In acest acest caz spune spunem m c˘a domeniul D este orientat pozitiv . Dac˘ a domeniul D este multiplu conex, adic˘a frontiera lui este format˘a din mai multe contururi ˆınchise, orientarea pozitiv˘ pozi tiv˘a se define¸ define¸ste ste ca mai sus pe fiecare fiecare din conturur contururile ile ˆınchise care alc˘atuiesc atuiesc frontiera lui.

−

10.8

Calcul Cal culul ul ariei ariei cu cu ajutorul ajutorul integr integrale aleii curbili curbilinii nii

{

≤ ≤ ∈ ≤ ≤

∈

}

Fie Dy un domeniu compact definit prin Dy = (x, y ), ϕ(x) y ψ (x), x [a, b] , unde ϕ ¸si si ψ sunt funct¸ii ¸ii continue pe [a, [ a, b] ¸si ϕ(x) < ψ (x) pentru x (a, b). Vom numi numi un asemenea domeniu simplu ˆın raport cu axa Oy . Un domeniu domeniu Dx , compact, definit prin Dx = (x, y), ϕ(y ) x ψ (y ), y [c, d] , se nume nu me¸¸ste st e simplu ˆın raport raport cu axa Ox . Un domeniu plan poate fi simplu s implu ¸si si ˆın ın raport cu Ox ¸si si ˆın rap ra port or t cu Oy. Oy . Fie C conturul ˆınchis, orientat pozitiv, ce m˘argine¸ argi ne¸ste ste domeniu dome niull Dy , presupus simplu ˆın raport cu axa Oy, Oy , A, A ¸si si B , B  punctele ˆın care dreptele dreptel e x = a ¸si si respecti resp ectiv vx=b

{



ˆıntˆ nt alnesc âlnesc curbele y = ϕ(x), y = ψ(x). Atunci C =AB S˘a calcul˘ am am integrala curbilinie y dx = y dx+ dx +

    

C



y dx =



BB

b

y dx = 0,



b ϕ(x) dx a

 

C

niului Dy este es te dat˘ da t˘a de

A=

+

− 

a b

ψ(x) dx =

y dx+ dx +



B A





y dx. dx. Ins˘a



AA





a

a



y dx+ dx +

ϕ(x) dx,

y dx =

ψ (x) dx.

b



AB



y dx =

y dx =



AA



Prin urmare



    

BB

}



∪ BB  ∪ B A ∪ AA. 

AB





∈

B A 

−



b [ψ(x) a



− ϕ(x)] dx. Deci aria dome-

ydx. Pentru domenii simple ˆın raport cu Ox, Ox, se poate

C

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA ar˘ata ata c˘a

A=

134



xdy. Formule de acest tip au loc pentru orice domenii D m˘ arginite arginite de

C

una sau mai multe curbe continue ¸si si ˆınchise. ınchise. In astfel de cazuri se utilizeaz˘a formula ce rezult˘ a din acestea 1 dx, = x dy y dx, 2

A



−

C

integrala curbilinie fiind luat˘a pe frontiera conturului C , care m˘argine¸ argi ne¸ste ste domeniu dome niull D, orientat ˆın sens pozitiv. pozi tiv.

Capitolul 11

INTEGRALE MULTIPLE 11.1

Integrala dubl˘ a

11.1 11 .1.1 .1

Defin Definit it ¸ia integralei duble

Fie D o mult¸ime ¸ime de puncte din plan sau spat¸iu. ¸iu. Definit ¸ia ¸ia 11.1 Numim diametru al mult ¸imii D, marginea superioar˘ a a distant ¸elor din-

tre punctele ei. Mult ¸imea D este m˘ arginit˘ arginit˘ a dac˘ a ¸si si numai num ai dac˘ a diametrul s˘ au este finit. Fie D un domeniu dome niu plan pla n ˆınchis ınchi s ¸si si m˘arginit, arginit, de arie Ω. Definit ¸ia ¸ia 11.2 Numim diviziune ∆ a domeniului D o mult ¸ime finit˘ a de submult ¸imi ale

lui D f˘ ar˘ a puncte interioare comune, a c˘ aror reuniune este D,

{

∆ = D1 , D2 , . . . , D n cu

n



i=1

} ⊂ D,

Di = D. Di se numesc elementele diviziunii ∆.

{

Fie di = max d(P, Q), P , Q

∈ Di } diametrul mult¸imii ¸imii Di , i = 1, n.

Definit ¸ia ¸ia 11.3 Numim norm˘ a a diviziunii ∆ num˘ arul ν = ν (∆) (∆) = max di , i = 1, n . n



{

}

∈ Di, i = 1, n, puncte arbitrare, numite puncte intermediare ale diviziunii ∆. Fie ˆınc˘ a f : D → R.

Not˘ am cu ωi aria elementului Di al diviziunii ∆, cu

i=1

ωi = Ω ¸si cu P i (ξi , ηi )

Definit ¸ia ¸ia 11.4 Se nume¸ nu me¸ste st e sum˘ a integral˘a Riemann a funct ¸iei f , f , corespunz˘ atoare di-

viziunii ∆ a domeniului D ¸si si punctelor punctel or intermediare interm ediare P i , suma σ∆ (f ) f ) =

n

n





f ( f (P i ) ωi =

i=1

i=1

135

f ( f (ξi , ηi ) ωi .

(11.1)


136

Definit ¸ia ¸ia 11.5 Num˘ arul finit I se nume¸ num e¸ste st e limita sumelor integrale σ∆ (f ) f ) cˆ and and norma

diviziunii tinde la zero, dac˘ a oricare ar fi ε > 0, exist˘ a un δ(ε) > 0 a.ˆı. ı. pentru pentr u orice or ice diviziune ∆ a c˘ arei norm˘ a ν (∆) (∆) < δ (ε) ¸si si pentru pentr u orice or ice alegere a punctelor punctel or intermediare, i ntermediare, s˘ a avem σ∆ (f ) f ) I < ε.

− |

|

Scriem atunci

n


→0

ν



→0 i=1

f ( f (ξi , ηi ) ωi .

Dac˘ a exist˘a num˘arul arul I spunem c˘a funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe D, iar I se nume¸ num e¸ste st e integrala dubl˘ a a funct¸iei ¸iei f pe D ¸si si se noteaz˘ note az˘a

 

I (f ) f ) =

f ( f (x, y ) dxdy.

D

Exemplul 11.1 Dac˘ a f (x, y) = C pe D, atunci n

σ∆ (f ) f ) =

n

  

C ω i = C

i=1

¸si si deci deci



ωi = C Ω,

i=1

C dxdy = C Ω.

D

Se poate demonstra c˘a orice funct¸ie ¸ie integrabil˘a pe D este m˘ arginit˘ a pe D.

11.1.2 11.1.2

Sume Sume Darboux Darboux.. Criteriu Criteriu de int integra egrabili bilitate tate

Fie f : D R o funct¸ie ¸ie m˘arginit˘ arginit˘ a ¸si si ∆ o diviziune a domeniului D. Deoare Deoarece ce f este m˘ arginit˘ arginit˘a pe p e D, ea este m˘arginit˘ arginit˘ a pe orice element Di al diviziunii. Exist˘ a deci numerele

→

m = inf f inf f (x, y), M = sup f ( f (x, y ), (x, y) mi = inf f inf f ((x, y ), M i = sup f (x, y),

∈ D, (x, y) ∈ Di ,

care se g˘asesc ases c ˆın relat rel at¸ia ¸ia m

≤ mi ≤ f ( f (x, y ) ≤ M i ≤ M, ∀(x, y ) ∈ Di .


s = s∆ (f ) f ) =

n

n





i=1

mi ωi ,

S = S ∆ (f ) =

M i ωi

i=1

se numesc sume integrale Darboux ( s - inferioar˘ a, S - superioar˘ a) ale funct ¸iei f corespunz˘ atoare atoare diviziunii ∆. Sumele Darboux au propriet˘at a¸i ¸ti asem˘an˘ an˘ atoare sumelor Darboux definite pentru inteatoare gral gr alaa simp s impl˘ l˘a. a.


137

Teorema 11.1 (Criteriul de integrabilitate) Condit ¸ia necesar˘ a ¸si si suficien sufi cient˘ t˘ a ca funcR s˘ ¸ia ¸i t a f : D a fie integrabil˘ a pe D este ca oricare ar fi ε > 0 s˘ a existe un δ(ε) > 0

a.ˆı.

→

S ∆ (f ) f )

− s∆(f ) f ) < ε,

(11.2)

pentru orice diviziune ∆ a c˘ arei norm˘ a ν (∆) (∆) < δ . Aplicând and criteriul de integrabilitate putem pune ˆın ın evident¸˘ ¸a˘ clase de funct¸ii ¸ii integrabile. Teorema 11.2 Orice funct ¸ie ¸ie f : D

→ R continu˘ a pe D este integrabil˘ a pe D.

Propriet˘ at a¸ile ¸t ile funct¸iilor ¸iilor integrabile pe D sunt analoage propriet˘at a¸ilor ¸t ilor funct¸iilor ¸iilor integrabile pe [a, [a, b]. Semnal˘am am aici doar teorema de medie Teorema 11.3 Fie f o funct ¸ie integrabil˘ a pe D ¸si si m, M marginile inferioar˘ a ¸si si supesupe -

rioar˘ a a valorilor funct ¸iei f pe D. Exist˘ a atunci num˘ arul µ

 

∈ [m, M ] M ] a.ˆı.

f ( f (x, y ) dxdy = µΩ.

D

Dac˘a f este continu˘a pe D, atunci exist˘a punctul P ( P (ξ, η ) acest caz avem urm˘atoarea atoarea formul˘ a de medie

 

∈ D a.ˆı.

f ( f (ξ, η ) = µ. In

f ( f (x, y ) dxdy = f ( )Ω. f (ξ, η )Ω.

D

Dac˘a f ( f (x, y) = 1 pe D din formula precedent˘a g˘asim asim Ω=

 

dxdy =

D

 

dω,

D

formul˘ a care d˘a expresia ariei domeniului D cu ajutorul integralei integralei duble. Aici dω = dxdy se nume¸ nume¸ste st e element de arie ˆın coordonate coord onate carteziene. cartezi ene.

11.1.3 11.1.3

Reduce Reducerea rea integr integralei alei duble duble la integr integrale ale simple simple iterate iterate

Cazul domeniului dreptunghiular Teorema 11.4 Dac˘ a funct ¸ia f ¸ia f este integrabil˘ a pe dreptunghiul

{

D = (x, y ), a ¸si si pentru pentr u orice x

≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

∈ [a, b], exist˘ a integrala int egrala simpl˘ simp l˘a a d

I (x) =

 c

f (x, y) dy,


138

b



atunci exist˘ a ¸si si integrala int egrala iterat˘ iterat ˘ a I (x) dx ¸si si are loc egalitatea egalit atea a

 

b

f ( f (x, y) dxdy =



b

I (x) dx =

a

D

d

  dx

a

f ( f (x, y ) dy.

(11.3)

c

Cazul domeniului oarecare

Vom consi co nsidera dera mai ˆıntâi ai cazul unui domeniu Dy simplu ˆın raport rapor t cu axa Oy Dy = (x, y ), ϕ(x)

{

≤ y ≤ ψ(x), x ∈ [a, b]},

unde ϕ ¸si si ψ sunt funct¸ii ¸ii continue pe [a, [a, b] ¸si ϕ(x) < ψ (x) pentru x

∈ (a, b).

Teorema 11.5 Dac˘ a funct ¸ia f ¸ia f este integrabil˘ integrabil˘ a pe domeniul Dy ¸si si pentru pent ru orice or ice x

exist˘ a integrala simpl˘ a

∈ [a, b],

ψ (x)

I (x) =



f ( f (x, y ) dy,

ϕ(x) b



atunci exist˘ a ¸si si integrala int egrala iterat˘ iterat ˘ a I (x) dx ¸si si are loc egalitatea egalit atea a

 

b

f ( f (x, y) dxdy =



I (x) dx =

a

Dy

ψ(x)

b

  dx

a

f (x, y) dy.

(11.4)

ϕ(x)

∈ [a, b] ¸sisi dreptun drep tunghiu ghiull D = {(x, y ), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.

 Fie c = inf ϕ inf ϕ(x), d = sup ψ (x),

x

Definim pe D funct¸ia ¸ia f (x, y) prin f ( f (x, y ) = Evident c˘a

 



f ( f (x, y ), (x, y ) 0, (x, y )

f ( f (x, y ) dxdy =

Dy

 

∈ Dy , ∈ D \ Dy ,

f ( f (x, y ) dxdy.

D

Pentru x fixat din [a, [a, b] avem f ( f (x, y ) =

 

0, y f ( f (x, y ), y 0, y

∈ [c, ϕ(x)), )), ∈ [ϕ(x), ψ(x)], )], ∈ (ψ(x), d].

(11.5)


139

Deoarece pentru fiecare x fixat din [a, [a, b] exist˘a integrala I (x), rezult˘a c˘a exist˘a ¸si si integ int egral ralaa ψ (x)

d

I (x) =



f ( f (x, y) dy =

c



f ( f (x, y ) dy = I (x).

ϕ(x)

Atunci, dup˘a (11.3)

 

b

f ( f (x, y) dxdy =



I (x) dx =

a

D

ψ (x)

b

  dx

a

f ( f (x, y ) dy.

(11.6)

ϕ(x)

Din (11.5) ¸si si (11.6) rezult˘a (11.4).  S˘ a schimb˘am am rolul variabilelor x ¸si si y ˆın teorema precedent˘a, adic˘a s˘ a presupunem c˘a domeniul de integrat este simplu ˆın ın raport cu axa Ox Dx = (x, y ), ϕ(y )

{

≤ x ≤ ψ(y), y ∈ [c, d]}, ∈

unde ϕ ¸si si ψ sunt funct¸ii ¸ii continue pe [c, [c, d] ¸si ϕ(y ) < ψ (y ) pentru y (c, d). Dac˘ a funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe domeniul Dx ¸si si pentru orice y [c, d], exist˘ exist˘ a ψ (y)

integrala simp˘a J (y ) =



f ( f (x, y ) dx, dx, atunci exist˘a ¸si si integrala iterat˘a

 



J (y) dy ¸si si are ar e

c

ϕ(y)

loc egalitatea

∈

d

d

f (x, y) dxdy =



J (y) dy =

c

Dx

ψ (y)

d

  dy

c

f ( f (x, y ) dx.

(11.7)

ϕ(y )

Dac˘ a domeniul de integrat D nu este simplu ˆın ın raport cu nici una dintre dintre axe, se ˆımparte ımp arte ˆın subdome sub domenii nii simple sim ple ¸si si se aplic˘ apl ic˘a formulele precedente. Interpretarea Interpreta rea geometric˘ a a integralei duble

≥

∈

·

Dac˘a f ( f (x, y ) 0, (x, y) D, deoarece produsul f ( f (P i ) ωi este volumul unui cilindru drept cu baza Di ¸si ˆınalt a˘lt¸imea ¸imea egal˘ egal ˘a cu f ( f (P i ), integrala dubl˘a pe D din funct¸ia ¸ia f ( f (x, y ) este tocmai volumul corpului delimitat de cilindrul cu generatoarele paralele cu axa Oz avˆ and and drept curb˘a directoare frontiera domeniului D, planul Oxy ¸si si supra su prafa fat¸a ¸ta z = f ( f (x, y), (x, y ) D, adic˘a

∈

V =

 

f ( f (x, y ) dxdy.

D

11.1.4 11.1.4

Formul ormula a lui lui Green Green

Vom studia acum leg˘atura atura dintre integrala dubl˘a pe un domeniu compact ¸si si integrala curbilinie pe frontiera acelui domeniu.


140

Teorema 11.6 (Formula (Formula lui Green) Green) Dac˘ a P ( P (x, y ) ¸si si Q(x, y) sunt dou˘ a funct ¸ii con-

tinue pe domeniul plan D, orient orientat, at, m˘ arginit arginit de curba curba C , Q are derivat˘ a part ¸ial˘ a ˆın raport cu x, iar P are derivat˘ a part ¸ial˘ a ˆın raport cu y, continue pe D, atunci



P dx + Q dy =

C

  

∂Q ∂x

−

D



∂P dxdy. ∂y

(11.8)

 Consider˘ am am pentru p entru ˆınceput ınceput cazul unui domeniu d omeniu simplu ˆın raport r aport cu axa a xa Oy Dy = (x, y ), ϕ(x)

{

≤ y ≤ ψ(x), x ∈ [a, b]}, ∈ (a, b). Presupunem

unde ϕ ¸si si ψ sunt funct¸ii ¸ii continue pe [a, [ a, b] ¸si ϕ(x) < ψ (x) pentru x acest acest domeniu domeniu orientat pozitiv. Fie 



C =AB





∪ BB  ∪ B A ∪ A A

frontiera sa descris˘a ˆın sens direct. Deoarece P ( P (x, y) este continu˘a pe Dy , cu derivat˘a part¸ial˘ ¸ial˘ a ˆın raport rapor t cu y continu˘a pe Dy , avem

 

∂P dxdy = ∂y

Dy

b

=

 a

ψ (x)

b

  dx

a

∂P dy = ∂y

ϕ(x)

b

P ( P (x, ψ(x)) dx

 −

P ( P (x, ϕ(x)) dx =

a

b

   − 

[P ( P (x, ψ(x))

a

− P ( P (x, ϕ(x))] dx =

P ( P (x, y ) dx +



B A 







AB

P ( P (x, y ) dx

 

.

Dar integralele pe segmentele BB  ¸si si A A, paralele cu axa Oy sunt nule. Obt¸inem ¸inem

 

∂P dxdy = ∂y

Dy

 −

P ( P (x, y ) dx.

C

Aceast˘ a formul˘a r˘ amˆ amˆ ane ane valabil˘ a ¸si si pentru un domeniu D oarecare, simplu sau multiplu conex, care poate fi descompus ˆıntr-un ıntr-un num˘ar ar finit de domenii simple si mple ˆın ın raport cu Oy

 

∂P dxdy = ∂y

D

 −

P ( P (x, y ) dx.

C

Analog se arat˘a c˘ a dac˘a D este un domeniu ˆınchis cu frontier˘ a neted˘a, a, iar Q(x, y ) este o funct¸ie ¸ie continu˘ continu˘a pe D ¸si si are derivat˘ deri vat˘a part¸ial˘ ¸ial˘ a ˆın raport ra port cu x continu˘a pe D, atunci atunci

  D

∂Q dxdy = ∂x



Q(x, y) dy.

C

Adunˆ and membru cu membru ultimele dou˘a relat¸ii and ¸ii obt¸inem ¸inem (11.8).


→

141

R sunt dou˘ Dac˘a u, v : D a funct¸ii ¸ii continue pe D care au derivate part¸iale ¸iale continue ˆın raport cu x continue pe D, atunci luând and ˆın formula lui Green P = 0 ¸si si Q = u v, obt¸inem ¸inem ∂v ∂u u dxdy = uvdy v dxdy, ∂x ∂x

·

 



D

  −

C

D

numit˘a formula de integrare prin p˘ art ¸i ˆın ın integrala int egrala dubl˘ dubl ˘ a .

11.1.5

Schimba Schimbarea rea de variabile ˆın integrala dubl˘ a

S˘a analiz˘am am mai ˆıntˆ ınt âi ai modul cum se transform˘a un domeniu plan printr-o transformare 2 punctual˘ a a lui R . Fie D, domeniul plan m˘arginit arginit de o curb˘a C , imaginea domeniului D , m˘ arginit arginit de  curba C , prin transformarea punctual˘a regulat˘ regulat˘ a



x = x(ξ, η ), y = y (ξ, η ),

(ξ, η )

∈ D ,

(11.9)

cu jacobianul J (ξ, η ) =

D(x, y) = 0, 0, D(ξ, η )

(ξ, η )



∈ D .

Definit ¸ia ¸ia 11.7 Spunem c˘ a transformarea transformarea domeniului D ˆın ın domeniu dome niul l D este direct˘ direct˘ a

dac˘ a unui punct care se deplaseaz˘ a pe C  ˆın sens direct direct ˆıi corespunde corespunde prin (11.9) un punct care se deplaseaz˘ a pe C ˆın sens direct. direct. In caz contrar contrar spunem c˘ a transformarea este invers˘ inversa. ˘ Teorema 11.7 Dac˘ a jacobianul J (ξ, η ) > 0 ˆın ın D , transformarea punctual˘ a (11.9) este

direct˘ a.  Aria Ω a domeniului D este dat˘a de Ω=

 

dxdy =

D



xdy,

C

conturul C fiind parcurs ˆın sens direct. S˘a calcul˘am am transformata acestei integrale prin (11.9)

         −     ∂y ∂y dξ + dη = ∂ξ ∂η

x(ξ, η )

Ω=

C

∂ ∂ξ

D

∂y ∂y dξ + x dη = ∂ξ ∂η

C



=

x



x

∂y ∂η

∂ ∂η

x

∂y ∂ξ

dξdη =

D



J (ξ, η ) dξdη.



De aici rezult˘a c˘a dac˘a J (ξ, η ) > 0, pentru ca Ω > 0 este necesar s˘a parcurgem conturul C  ˆın sens direct, di rect, deci transformarea este direct˘a. a. Dac˘ a aplic˘am am formula de medie ultimei integrale duble, obt¸inem ¸inem Ω = J (ξ0 , η0 ) Ω ,

|

|·

(ξ0 , η0 )

∈ D ,

(11.10)

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA unde Ω =

142



dξdη este aria domeniului D .

D



Putem acum deduce formula schimb˘arii arii de variabile ˆın ın integrala dubl˘ a. Fie ∆ o  diviziune a domeniului D c˘areia, areia, prin transformarea (11.9) ( 11.9) ˆıi corespunde diviziunea ∆ a  domeniului D. Dac˘a ωi ¸si si ωi sunt ariile elementelor Di ¸si si respecti resp ectiv v Di , cu (11.10) avem ωi = J (ξi , ηi ) ωi ,

|

pentru i = 1, 1 , n. Dac˘ a not˘am am cu



|·

xi = x(ξi , ηi ), yi = y (ξi , ηi ),

(ξi , ηi )

(xi , yi )

∈ Di ,

(11.11)

∈ Di ,

avem egalitatea n

n





f (xi , yi )ωi =

i=1

f ( f (x(ξi , ηi ), y (ξi , ηi )) J (ξi , ηi ) ωi .

|

i=1

Trecând and aici la limit˘a pentru ν  = ν (∆ (∆ )

 

f (x, y) dxdy =

D

  D

|

(11.12)

→ 0, ceea ce implic˘a ν = ν (∆) (∆) → 0, obt¸inem ¸inem |

|

f (x(ξ, η ), y(ξ, η )) J (ξ, η ) dξdη,



care este formula schimb˘ arii de variabile variabil e ˆın ın integrala dubl˘ du bl˘ a .

11.2 11. 2

Inte In tegr gral ala a de su supr prafa afat ¸ ¸˘ ta ˘

11.2 11 .2..1

Not ¸iuni de teoria suprafet ¸elor ¸elor

Fie D un domeniu ˆın planul Oxy ¸si si f : D R o funct¸ie ¸ie cu derivate continue pe D. Mult¸imea ¸imea Σ = (x,y,z) ¸˘ a neted˘ a . Spunem x,y,z), z = f ( f (x, y), (x, y) D se nume¸ num e¸ste st e suprafat c˘a z = f ( f (x, y ), (x, y ) D, (11.13)

→ ∈ }

{

∈

este ecuat ¸ia explicit˘ a a suprafet ¸ei Σ. Spunem c˘a suprafat¸a ¸a Σ admite o reprezentare parametric˘ a regulat˘ a dac˘ a punctele sale (x,y,z) x,y,z) pot fi reprezentate sub forma

 

x = x(u, v ), y = y (u, v ), z = z (u, v ),

(u, v )

∈∆

(11.14)

unde ∆ R2 este un domeniu plan, iar funct¸iile ¸iile x,y,z admit derivate part¸iale ¸iale continue pe ∆ care satisfac condit¸ia ¸ia

⊂

A2 + B 2 + C 2 > 0,

(u, v )

∈ ∆,

(11.15)

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA unde A=

D(y, z ) , D(u, v )

B=

D(z, x) , D(u, v )

C =

143

D(x, y ) . D(u, v )

Dac˘a reprezentarea parametric˘a (11.14) (11. 14) stabile¸ sta bile¸ste ste o corespondent coresp ondent¸˘ ¸a˘ biunivoc˘a ˆıntre puncp unctele (u, (u, v ) ∆ ¸si si punctel punc telee (x,y,z) x,y,z) Σ, atunci suprafat¸a ¸a Σ este o suprafat ¸˘ a neted˘ a . Ecuat¸iile ¸iile (11.14) (11.14) se pot scrie ¸si si sub form˘a vectorial˘a

∈

∈

r = r(u, v ) = x(u, v )i + y(u, v ) j + z (u, v )k,

(u, v )

∈ ∆.

(11.16)

Vectorii

∂ r ∂ r , rv = ∂u ∂v sunt vectorii tangentelor la curbele v = const cons t ¸si si u = const ˆın ın punctul de coordonate parametrice (u, (u, v). Condit¸ia ¸ia (11.15) exprim˘a faptul c˘a vectorii ru ¸si si rv nu sunt coliniari ˆın nici un punct al suprafet¸ei. ¸ei. Normala Normala la suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ are direct¸ia ¸ia vectorului ru =

N = ru

(11.17)

× rv = Ai + B j + C k

¸si si deci de ci versorii normalei sunt dat¸i ¸i de n=

× = √Ai + B j + C k . ±|| × || ± A2 + B2 + C 2 ru rv ru rv

(11.18)

Prin alegerea unuia din cei doi versori ai normalei, orient˘ am suprafat¸a ¸a alegând and una dintre fet¸ele ¸ele sale ca fiind fat ¸a pozitiv˘ a . Dac˘a α,β,γ sunt α,β,γ sunt unghiurile dintre versorul n al normalei la fat¸a ¸a pozitiv˘a a suprafet suprafet¸ei ¸ei ¸si si verso ver sori riii i, j, k ai axelor, atunci n = i cos α + j cos β + β + k cos γ.

Orice suprafat¸˘ ¸a˘ definit˘a printr-o reprezentare explicit˘a, a, de forma (11.13) este o suprafat¸˘ ¸a˘ cu dou˘a fet¸e. ¸e. Pentru o astfel de suprafat¸˘ ¸a˘ se alege de obicei ca fat¸˘ ¸a˘ pozitiv˘a fat¸a ¸a superioar˘a a suprafet¸ei ¸ei ˆın ın raport rapor t cu planul Oxy, Oxy , adic˘a aceea pentru care versorul n al normalei ˆıntr-un punct al suprafet¸ei ¸ei face un unghi ascut¸it ¸it cu axa Oz, Oz , deci cos γ > 0, avˆ and deci cosinii directori ai normalei and cos α =

 −

p

1 + p + p2 + q2

,

cos β =

 −

q

1 + p + p2 + q2

,

cos γ =

1



1 + p + p2 + q2

,

(11.19)

unde p = ∂f/∂x, ∂f/∂x, q = ∂f/∂y (notat¸iile ¸iile lui Monge). Orice suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ neted˘a ˆınchi ın chis˘ s˘a este o suprafat¸˘ ¸a˘ cu dou˘a fet¸e. ¸ e. Pent Pentru ru o astf astfel el de suprafat¸˘ ¸a˘ se alege de obicei ca fat¸˘ ¸a˘ pozitiv˘a fat¸a ¸a exterioar˘a a suprafet¸ei, ¸ei, adic˘a aceea pentru care versorul normalei la suprafat¸˘ ¸a˘ este ˆındreptat ındrepta t spre exteriorul exterio rul corpului corpul ui m˘arginit arginit de suprafat¸˘ ¸a. a˘. Fie C o curb˘a ˆınchi ın chis˘ s˘a (contur) ce m˘argine¸ argi ne¸ste ste suprafa supr afat¸ta Σ. Un sens sens de parc parcur urss al num e¸ste st e pozitiv sau coerent cu orientarea suprafet ¸ei dac˘ conturului C se nume¸ a un observator situat pe suprafat¸˘ ¸a, a˘, ˆın direct dir ect¸ia ¸ia ¸si si sensul normalei la suprafat¸˘ ¸a, a˘, care se mi¸sc˘ sc˘a ˆın acest aces t sens, vede suprafat¸a ¸a ˆın stˆ st ânga anga lui.


11.2.2 11.2.2

144

Aria Aria supra suprafe fet ¸elor ¸telor

Fie Σ o suprafat¸˘ ¸a˘ neted˘a definit˘a prin ecuat¸ia ¸ia explicit˘a z = f ( f (x, y ),

(x, y )

∈ D,

(11.20)

unde D este un domeniu m˘arginit arginit din planul Oxy. Oxy . Fie D1 , D2 , . . . , D n o diviziune a domeniului D, M i (ξi , ηi ) un punct arbitrar din Di ¸si si P i (ξi , ηi , f ( f (ξi , ηi)) punctul corespunz˘ator ator de pe Σ. construim planul tangent. tangent. Cilindrul Cilindrul cu generatoa generatoarele rele paralele cu In punctul P i Σ construim axa Oz ¸si si curb cu rb˘˘a directoarea frontiera elementului Di taie pe planul tangent o port¸iune ¸iune plan˘ a de suprafat¸˘ ¸a˘ de arie S i . Dac˘a ωi este aria lui Di atunci

{

}

∈

|

|

ωi = S i cos γ (P i ) ,

sau S i =



1 + p + p2 + q2

|M · ωi , i

(11.21)

unde γ (P i ) este unghiul dintre normala la suprafat¸˘ ¸a˘ ˆın P i ¸si si axa ax a Oz. Oz . Aria suprafet¸ei ¸ei Σ este atunci definit˘a prin n

S = lim ν

n



→0 i=1

S i = lim ν

 

→0 i=1

1 + p + p2

+ q2

unde ν este norma diviziunii domeniului D. Rezult˘a c˘a S =



M i

· ωi,

  

1 + p + p2 + q2 dxdy.

(11.22)

(11.23)

D

Expresia dS =



1 + p + p2 + q2 dxdy =

|

1 dxdy, cos γ

|

se nume¸ nume¸ste st e element de arie pe suprafat suprafat¸a ¸a Σ ˆın coordonate coord onate carteziene. cartezie ne. Dac˘ a suprafat¸a ¸a Σ este e ste dat˘ da t˘a printr-o printr -o reprezentare repr ezentare parametric˘ parametri c˘a r = r(u, v ), (u, v )

atunci S =

  

A2 + B 2 + C 2 dudv =

∆

∈ ∆,

  ||

ru

× rv || dudv,

∆

iar elementul de arie are expresia dS =

11.2.3 11.2.3



A2 + B 2 + C 2 dudv = ru

|| × rv || dudv.

Integ Integral rala a de de supr suprafa afat ¸˘ ta de primul tip

Fie suprafat¸a ¸a Σ dat˘a prin reprezentarea parametric˘a r = r(u, v ) = x(u, v )i + y(u, v ) j + z (u, v )k,

(u, v )

∈ ∆,

(11.24)


145

unde ∆ este un domeniu plan m˘arginit, arginit, iar funct¸iile ¸iile x,y,z au derivate part¸iale ¸iale continue pe ∆ ¸si si satisfac satisf ac condit co ndit¸ia ¸ia ru rv > 0, (u, v ) ∆.

|| × ||

{

∈

}

Fie δ1 , δ2 , . . . , δ n o diviziu diviziune ne a domeni domeniulu uluii ∆, avˆ avand ând norma ν ¸si si fie ωi aria elementului δi . Acestei diviziuni a domeniului ∆ ˆıi corespunde prin reprezentarea (11.24) o diviziune a suprafet¸ei ¸ei Σ: σ1 , σ2 , . . . , σ n ¸si fie S i aria elementului σi . Elementu Elementull σi este la rândul andul lui o suprafat¸˘ ¸a˘ neted˘ neted˘a reprezentat˘a parametric prin ecuat¸iile ¸iile (11.24) cu (u, v ) δi . Aria sa este dat˘a de

{

}

∈

S i =

  ||

ru

(11.25)

× rv || dudv.

δi

Fie F ( ¸ie definit˘a pe Σ, P i (xi , yi , zi ) un punct arbitrar din σi ¸si F (x,y,z) x,y,z ) o funct¸ie si M i (ui , vi ) punctul corespunz˘ator ator din δi , i = 1, n: xi = x(ui , vi ),

yi = y (ui , vi ),

zi = z (ui , vi ).

Definit ¸ia ¸ia 11.8 Numim Numi m sum˘a integral˘ int egral˘ a a funct ¸iei F pe suprafat ¸a Σ ¸a Σ suma

σ (F ) F ) =

n

n





F ( F (P i )S i =

i=1

F ( F (xi , yi , zi )S i .

(11.26)

i=1

Definit ¸ia ¸ia 11.9 Spunem Spun em c˘a funct funçia ¸i t a F este integrabil˘ a pe Σ dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a

I = lim σ (F ) F ) ν

(11.27)

→0

¸si si aceasta aceasta este independent˘ independent a˘ de alegerea punctelor P i . Num˘ Num˘ arul I se nume¸ num e¸ste st e integrala de suprafat¸˘ ¸a˘ de primul tip a funct ¸iei F pe Σ ¸si si scri sc riem em

 

n

F ( F (x,y,z) x,y,z) dS = lim ν

Σ



→0 i=1

F ( F (xi , yi , zi )S i .

(11.28)

Teorema 11.8 Dac˘ a funct ¸ia ¸ia F ( F (x,y,z) x,y,z) este continu˘ a pe Σ atunci ea este integrabil˘ a pe

Σ ¸si si

 

F ( F (x,y,z) x,y,z) dS =

Σ

 

|| × rv || dudv.

F ( F (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )) ru

∆

 Aplicˆ and teorema de medie integralei duble (11.25), rezult˘a and

|| × rv ||M · ωi .

S i = ru

i

Prin urmare, putem scrie σ(F ) F ) =

n

n





i=1

F ( F (P i )S i =

i=1

|| × rv ||M · ωi .

F ( F (x(M i ), y (M i ), z (M i )) ru

i

(11.29)


146

Fie, pe de alt˘a parte σ (Ψ) =

n

n





Ψ(M Ψ(M i )ωi =

i=1

|| × rv ||M · ωi,

F ( F (x(M i ), y (M i ), z (M i )) ru

i=1

i

suma integral˘a a funct¸iei ¸iei

||

× rv (u, v)||, definit˘ a pe ∆, corespunz˘atoare atoare punctelor intermediare M i (ui , vi ) ∈ δi . Funct unçia ¸t ia Ψ fiind Ψ(u, Ψ(u, v ) = F ( F (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )) ru (u, v )

continu˘a pe ∆ este integrabil˘a pe ∆ ¸si si deci avem

lim σ (F ) F ) = lim σ (Ψ), (Ψ),

ν

→0

ν

→0

de unde (11.29). Dac˘ a suprafat¸a ¸a Σ este dat˘a prin p rin ecuat¸ia ¸ia explicit˘a z = f ( f (x, y ), (x, y) D, funct¸ia ¸ia f avˆ and and derivate part¸iale ¸iale continue pe D, iar F fiind continu˘a pe Σ, formula (11.29) devine

∈

 

F ( F (x,y,z) x,y,z ) dS =

Σ

11.2.4 11.2.4

 



F ( F (x,y,f (x, y )) 1 + p + p2 + q2 dxdy.

D

(11.30)

Integ Integral rala a de de supr suprafa afat ¸˘ ta de tipul al doilea

Fie suprafat¸a ¸a Σ dat˘a prin reprezentarea parametric˘a r = r(u, v ) = x(u, v )i + y(u, v ) j + z (u, v )k,

(u, v )

∈ ∆,

(11.31)

unde ∆ este un domeniu plan m˘arginit, arginit, iar funct¸iile ¸iile x,y,z au derivate part¸iale ¸iale continue pe ∆. Vom presupune c˘a determinant¸ii ¸ii funct¸ionali ¸ionali A, B , C nu se anuleaz˘a ˆın ∆. Presupunem c˘a suprafat suprafat¸a ¸a Σ este orie or ient ntat at˘ ˘ a a , avˆ and and ca fat¸˘ ¸a˘ pozitiv˘ a fat¸a ¸a superioar˘a ˆın raport cu planul Oxy, Oxy , adic˘a aceea pentru care versorul n al normalei ˆıntr-un punct al suprafet¸ei ¸ei face un unghi ascut¸it ¸it cu axa Oz. Oz . Fie D proiect¸ia ¸ia suprafet¸ei ¸ei Σ ˆın planul Oxy. Oxy . Presup Presupune unem m c˘ a domeniul plan D este orien orientat tat.. Fie D1 , D2 , . . . , D n o diviziune a domeniului D, M i (ξi , ηi ) un punct arbitrar din Di ¸si si P i (ξi , ηi , ζ i ) punctul corespunz˘ator ator de pe Σ. In punctul P i Σ construim construim planul tangent. tangent. Cilindrul Cilindrul cu generatoarele generatoarele paralele paralele cu si curb cu rb˘˘a directoarea frontiera elementului Di taie pe planul tangent o port¸iune axa Oz ¸si ¸iune plan˘ a de suprafat¸˘ ¸a˘ de arie S i . Dac˘ Dac˘ a ωi este aria lui Di atunci ωi = S i cos γ i , unde γ i = γ (P i ) este unghiul dintre normala la suprafat¸˘ ¸a˘ ˆın P i ¸si si axa ax a Oz. Oz . Fie ˆınc˘ ınc a˘ F ( F (x,y,z) x,y,z) o funct¸ie ¸ie definit˘a pe Σ.

{

}

∈

|

|

Definit ¸ia ¸ia 11.10 Se nume¸ ¸iei F , num e¸ste ste sum˘ a integral˘ a ˆın raport cu planul z = 0 a funct F , pe

suprafat ¸a Σ ¸a Σ, suma z

σ =

n

n





i=1

F ( F (P i ) ωi =

i=1

F ( F (ξi , ηi , ζ i ) ωi .


147

Definit ¸ia ¸ia 11.11 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia F este integrabil˘ a pe Σ ˆın ın raport raport cu planul z = 0

dac˘ a exist˘ a ¸si si este finit˘ a

lim σz = I z ,

ν

→0

oricare ar fi punctele intermediare P i . Dac˘ a funct ¸ia F ¸ia F este integrabil˘ a pe Σ ˆın ın raport cu planul plan ul z = 0, 0 , atunci I z se nume¸ num e¸ste st e integrala integrala de suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ de tipul al doilea ˆın ın raport cu planul z = 0 a funct ¸iei F pe Σ ¸si si scriem

 

n

F ( F (x,y,z) x,y,z) dxdy = lim ν

Σ

|



→0 i=1

F ( F (ξi , ηi , ζ i ) ωi .

|

Deoarece ωi = S i cos γ i , putem scrie n z

σ =



F ( F (ξi , ηi , ζ i ) cos γ i

|

i=1

de unde prin trecere la limit˘a pentru ν

 

| · S i ,

→ 0, rezult˘ rezult˘ a

F ( F (x,y,z) x,y,z) dxdy =

Σ

 

|

|

F ( F (x,y,z) x,y,z ) cos γ dS,

Σ

(11.32)

care exprim˘a leg˘atura atura ˆıntre integrala de suprafat suprafa t¸˘ ¸a˘ de tipul al doilea ˆın ın raport cu planul z = 0 ¸si si integrala de suprafat supraf at¸˘ ¸a˘ de primul tip. Dac˘ a suprafat¸a ¸a Σ este dat˘a prin reprezentarea parametric˘a (11.31), (11.31), atunci atunci cos γ =

1 C D(x, y) √ = · ± A2 + B2 + C 2 ±||ru × rv || D(u, v) .

Dac˘ a funct¸ia ¸ia F este continu˘a pe Σ, atunci dup˘a (11.29)

 


Σ

± 

F ( F (x(u, v ), y(u, v ), z (u, v ))

D(x, y) dudv, D(u, v )

∆

cu + dac˘a Σ ¸si si ∆ au aceea¸ acee a¸si si orientar ori entaree ¸si si cu dac˘ a Σ ¸si si ∆ au orient˘ari ari diferite. f ( f Dac˘ a suprafat¸a ¸a Σ este dat˘a prin ecuat¸ia ¸ia explicit˘a z = (x, y ), (x, y ) D, formula precedent˘a devine

−

 


Σ

∈

± 

F ( F (x,y,f (x, y)) dxdy,

D

cu + dac˘a Σ ¸si D au aceea¸ acee a¸si si orientare orie ntare ¸si si cu dac˘ a Σ ¸si si D au orient˘ari ari diferite. In mod asem˘an˘ an˘ ator se definesc integralele de suprafat¸˘ ator ¸a˘ de tipul al doilea ˆın raport cu planele x = 0 ¸si y = 0 ale funct¸iei ¸iei F pe Σ ¸si si

−

  Σ

F ( F (x,y,z) x,y,z ) dydz =

  Σ

F ( F (x,y,z) x,y,z ) cos α dS,

|

|


 

F ( F (x,y,z) x,y,z) dzdx =

Σ

 

148

F ( F (x,y,z) x,y,z) cos β dS.

|

Σ

|

Dac˘ a funct¸ia ¸ia F este continu˘a pe Σ, atunci dup˘a (11.29)

   

F ( F (x,y,z) x,y,z ) dydz =

Σ

F ( F (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v ))

D(y, z ) dudv, D(u, v )

F ( F (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v ))

D(z, x) dudv, D(u, v )

±  ±  ∆

F ( F (x,y,z) x,y,z) dzdx =

Σ

∆

cu + dac˘a Σ ¸si si ∆ au aceea¸ acee a¸si si orientar ori entaree ¸si si cu

− dac˘a Σ ¸sisi ∆ au orient˘ari ari diferite.

Integrala de suprafat ¸˘ ¸a ˘ de tipul al doilea de form˘ a general˘ a

Fie Σ o suprafat¸˘ ¸a˘ neted˘a ¸si P ( P (M ), ), Q(M ), ), R(M ) trei funct¸ii ¸ii definite pe suprafat¸a ¸a Σ, P integrabil˘ a pe p e Σ ˆın raport cu planul x = 0, Q ˆın raport cu planul y = 0 ¸si R ˆın raport rap ort cu planul z = 0. Prin integral˘ a de suprafat ¸˘ a de tipul al doilea de form˘ a general˘ a ˆın¸elegem ¸telegem expresia

 

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =

Σ

 

P dydz +

Σ

 

Qdzdx +

Σ

 

Rdxdy.

(11.33)

Σ

Uneori Uneori este com comod od s˘ a scriem scriem integrala integrala de suprafat suprafat¸˘ ¸a˘ de tipul al doilea sub form˘a vectorial˘ a. a . Fie F(x,y,z) x,y,z) = P ( P (x,y,z) x,y,z)i + Q(x,y,z) x,y,z) j + R(x,y,z) x,y,z )k o funct¸ie ¸ie vectorial˘a definit˘a pe suprafat¸a ¸a Σ. Deoarece, n = i cos α + j cos β + β + k cos γ,

dac˘a Σ ¸si si ∆ au aceea¸ acee a¸si si orientare orie ntare,, atunci atun ci

 


Σ

adic˘a

 

(P cos α + Q cos β + β + R cos γ ) dS,

Σ

 


Σ

 

·

F n dS,

Σ

care reprezint˘a fluxul cˆ ampului ampului vectorial F prin suprafat¸a ¸a Σ.

11.2.5 11.2.5

Formula ormula lui Stokes Stokes

Formula lui Stokes exprim˘a o leg˘atur˘ atur˘ a ˆıntre integrala de suprafat¸˘ ¸a˘ ¸si si integrala curbilinie curbili nie pe frontiera acestei suprafet¸e. ¸e. Aceast˘a formul˘a generalizeaz˘a formula lui Green. Fie F(x,y,z) x,y,z) = P ( P (x,y,z) x,y,z)i + Q(x,y,z) x,y,z) j + R(x,y,z) x,y,z )k


149

o câmp amp vectorial vectorial definit definit pe suprafat suprafat¸a ¸a Σ, pentru care exist˘a câmpul ampul vectorial rot F =



∂R ∂y

−

∂Q ∂z

  i+

∂P ∂z

−

 

∂R j + ∂x

∂Q ∂x

−

∂P ∂y



k.

Teorema 11.9 (Formula lui Stokes) Fluxul cˆ ampului ampului vectorial rot F prin suprafat ¸a Σ este egal cu circulat ¸ia câmpului ampului vectorial F pe conturul Γ ce m˘ argine¸ste suprafat supraf at ¸a Σ,

avˆ and and orientarea orientarea coerent˘ coerent˘ a cu orientarea suprafet ¸ei, adic˘ a

 

(n rot F) dS =

·

Σ

 Avem de ar˘atat atat c˘a





F dr.

(11.34)

·

Γ


Γ

=

  

∂R ∂y

−

Σ

∂Q ∂z



dydz +



∂P ∂z

−

∂R ∂x



dzdx +



∂Q ∂x

−



∂P dxdy. ∂y

Fie suprafat¸a ¸a Σ dat˘a prin ecuat¸ia ¸ia explicit˘a z = f ( f (x, y ),

(x, y)

∈ D,

unde D este proiect proieçia ¸t ia suprafat suprafat¸ei ¸ei Σ ˆın planul Oxy. Oxy . Fie C (frontiera domeniului D) proiect¸ia ¸ia frontierei f rontierei Γ ˆın planul Oxy. Oxy . Vom presupune c˘a orientarea conturului C este cea impus˘ a de orientarea lui Γ, coerent˘a cu orientarea suprafat¸ei ¸ei Σ, având and versorul normalei la fat¸a ¸a pozitiv˘a a lui Σ dat de (11.19). Atunci ∂f =q= ∂y

β − cos . cos γ

(11.35)

S˘ a transform˘am am pentru ˆınceput ınceput primul termen din integrala curbilinie I x =



P ( P (x,y,z) x,y,z) dx =

Γ



P ( P (x,y,f (x, y )) dx =

Γ



P ( P (x,y,f (x, y)) dx.

C

Aplicˆ and and ultimei integrale integrale formula formula lui Green, Green, obt¸inem ¸inem I x =

− 

∂ P ( P (x,y,f (x, y )) dxdy = ∂y

D

−   D

sau, ¸inˆ ¸t inˆ and and seama de (11.35) I x =

−  

∂P ∂y

−

D



∂P cos β dxdy, ∂z cos γ

care provine din integrala de suprafat¸˘ ¸a˘ I x =

−   Σ

∂P ∂y

−





∂P ∂P ∂f + dxdy, ∂y ∂z ∂y

∂P cos β cos γ dS. ∂z cos γ

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Deci I x =



  

P dx =

Γ

∂P cos β ∂z



−

∂P cos γ dS ∂y

∂Q cos γ ∂x

−

∂Q cos α ∂z

dS,

∂R cos α ∂y

− ∂R cos β ∂x

dS.

Σ

150

¸si si ˆın mo mod d asem as em˘˘an˘ an˘ ator ator obt¸inem ¸inem I y =

 

Q dy =

Γ

I z =

      Σ

R dz =

Γ

Σ

 

Adunˆ and membru cu membru ultimele trei formule obt¸inem and ¸inem (11.34). Demonstrat¸ia ¸ia formulei lui Stokes s-a f˘acut acut ˆın ipoteza c˘a suprafat¸a ¸a orientat˘a Σ se poate proiecta biunivoc pe fiecare din planele de coordonate, iar frontiera sa este o curb˘a neted˘a. a. Teorema eorema r˘ r˘amˆ amˆ ane an e ˆıns˘ ın s˘a valabil˘ a ¸si si ˆın cazul general al unei suprafet¸e ¸e netede pe port¸iuni ¸iuni avˆ and and frontiera neted˘a pe port¸iuni. ¸iuni. Formula lui Stokes cont¸ine ¸ine ca un caz particul particular ar formula formula lui Green. Green. Dac˘ Dac˘a Σ este domeniul plan pl an orientat de contur Γ situat ˆın ın planul z = 0, atunci cos α = 0, cos β = 0 ¸si cos γ = 1, care ˆınlocuite ˆın (11.34) ne conduc la formula lui l ui Green.

11.3

Integrala tripl˘ a

11.3 11 .3.1 .1

Defin Definit it ¸ia integralei triple

Numim m diviziune ∆ a domeniului V o Fie V o domeniu spat¸ial ¸ial m˘ arginit, arginit, de volum . Numi mult¸ime ¸ime finit˘a de submult¸imi ¸imi ale lui V f˘ ar˘ ar˘a puncte interioare comune, a c˘aror reuniune este V n

V

∆ = V 1 , V 2 , . . . , V n

{

} ⊂ V,



V i = V.

i=1

V i se numesc elementele diviziunii ∆. Fie di = max d(P, Q), P , Q V i diametrul mult¸imii ¸imii V i , i = 1, n. Numim norm˘ a a diviziunii ∆ num˘arul arul ν = ν (∆) (∆) = max di , i = 1, n . No Not˘ t˘am am cu τ i volumul elementului

{

∈ }

n



{

}

V ¸si cu P i(xi, yi, zi ) ∈ V i, i = 1,1 , n, puncte arbitrare, numite puncte intermediare ale diviziunii ∆. Fie ˆınc˘ ınc˘ a f : V → R. V i al diviziunii ∆, cu

τ i =

i=1

Definit ¸ia ¸ia 11.12 Se nume¸ nu me¸ste st e sum˘ a integral˘a Riemann a funct ¸iei f , f , corespunz˘ atoare di-

viziunii ∆ a domeniului V ¸si si punctelor punctelo r intermediare interm ediare P i , suma σ∆ (f ) f ) =

n

n





i=1

f (P i ) τ i =

i=1

f ( f (xi , yi , zi ) τ i .

(11.36)


151

Definit ¸ia ¸ia 11.13 Num˘ Num ˘ arul aru l finit fin it I se nume¸ nu me¸ste st e limita sumelor integrale σ∆ (f ) cˆ and and norma

diviziunii tinde la zero, dac˘ a oricare ar fi ε > 0, exist˘ a un δ(ε) > 0 a.ˆı. ı. pentru pentr u orice or ice diviziune ∆ a c˘ arei norm˘ a ν (∆) (∆) < δ (ε) ¸si si pentru pentr u orice or ice alegere a punctelor punctel or intermediare, in termediare, s˘ a avem σ∆ (f ) f ) I < ε.

|

− |

Scriem atunci

n


→0

ν



→0 i=1

f ( f (xi , yi , zi ) τ i .

Dac˘ a exist˘a num˘arul arul I spunem c˘a funct¸ia ¸ia f este integrabil˘a pe V , V , iar I se nume¸ num e¸ste st e integrala tripl˘ a a funct¸iei ¸iei f pe V ¸si si se noteaz˘ note az˘a I (f ) f ) =

  

f ( f (x,y,z) x,y,z) dxdydz.

V

Exemplul 11.2 Dac˘ a f (x,y,z) x,y,z) = C pe V , V , atunci n

n

   

σ∆ (f ) f ) =

C τ i = C

i=1

¸si si deci deci



V V

τ i = C ,

i=1

C dxdydz = C .

V

V V

Se poate demonstra c˘a orice funct¸ie ¸ie integrabil˘a pe V este m˘ arginit˘ a pe V . V .

11.3.2 11.3.2

Sume Sume Darboux Darboux.. Criteriu Criteriu de int integra egrabili bilitate tate

→

R o funct¸ie Fie f : V ¸ie m˘arginit˘ arginit˘ a ¸si si ∆ o diviziune a domeniului V . V . Deoare Deoarece ce f este m˘ arginit˘ arginit˘a pe V , V , ea este m˘arginit˘ arginit˘ a pe orice element V i al diviziunii. Exist˘ a deci numerele

m = inf f inf f ((x,y,z) x,y,z), M = sup f ( f (x,y,z) x,y,z ),

(x,y,z) x,y,z)

mi = inf f inf f ((x,y,z) x,y,z), M i = sup f ( f (x,y,z) x,y,z),

∈ V, (x,y,z) x,y,z) ∈ V i ,

care se g˘asesc ase sc ˆın relat rel at¸ia ¸ia m

≤ mi ≤ f ( f (x,y,z) x,y,z ) ≤ M i ≤ M, ∀(x,y,z) x,y,z) ∈ V i .


s = s∆ (f ) f ) =

n

n





i=1

mi τ i ,

S = S ∆ (f ) =

M i τ i

i=1

se numesc sume integrale Darboux ( s - inferioar˘ a, S - superioar˘ a) ale funct ¸iei f corespunz˘ atoare atoare diviziunii ∆.


152

Sumele Darboux au propriet˘at a¸i ¸ti asem˘an˘ an˘ atoare sumelor Darboux definite pentru inteatoare grala simpl˘a. a. Teorema 11.10 (Criteriul de integrabilitate) Condit ¸ia necesar˘ a ¸si si sufi s uficie cient nt˘ ˘ a ca funct ¸ia f : V R s˘ a fie integrabil˘ a pe V este ca oricare ar fi ε > 0 s˘ a existe un δ(ε) > 0 a.ˆı.

→

S ∆ (f ) f )

− s∆(f ) f ) < ε,

(11.37)

pentru orice diviziune ∆ a c˘ arei norm˘ a ν (∆) (∆) < δ . Aplicând and criteriul de integrabilitate putem pune ˆın ın evident¸˘ ¸a˘ clase de funct¸ii ¸ii integrabile. Teorema 11.11 Orice funct ¸ie f : V

→ R continu˘ a pe V este integrabil˘ a pe V . V .

Propriet˘ at a¸ile ¸t ile funct¸iilor ¸iilor integrabile pe V sunt analoage propriet˘at a¸ilor ¸t ilor funct¸iilor ¸iilor integrabile pe [a, [a, b]. Semnal˘am am aici doar teorema de medie Teorema 11.12 Fie f o funct ¸ie integrabil˘ a pe V ¸si si m, M marginile inferioar˘ inferioar˘ a ¸si si supesupe -

rioar˘ a a valorilor funct ¸iei f pe V . V . Exist˘ a atunci num˘ arul µ

  

∈ [m, M ] M ] a.ˆı.

V

f (x,y,z) x,y,z) dxdydz = µ .

V

Dac˘a f este continu˘a pe V , V , atunci exist˘a punctul P ( P (ξ,η,ζ ) In acest caz avem urm˘atoarea formul˘ a de medie

  

∈ V a.ˆı.

f ( f (ξ,η,ζ ) = µ.

V

f (x,y,z) x,y,z) dxdydz = f ( f (ξ,η,ζ ) .

V

Dac˘a f ( f (x,y,z) x,y,z) = 1 pe V din formula precedent˘a g˘asim asim

V =

   V

dxdydz =

  

dτ,

V

formul˘ a care d˘a expresia expresia volumul volumului ui domeniului domeniului V cu ajutorul ajutorul integra integralei lei triple. triple. Aici Aici dτ = dxdydz se nume¸ num e¸ste st e element de volum ˆın coordonate coord onate carteziene. cartezie ne.

11.3.3 11.3.3

Reduce Reducerea rea integr integralei alei triple triple la integr integrale ale iterate iterate

Cazul domeniului paralelipipedic Teorema 11.13 Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f este integrabil˘ a pe paralelipipedul

V = (x,y,z) x,y,z ), a1

{

≤ x ≤ a2, b1 ≤ y ≤ b2 c1 ≤ z ≤ c2}

¸si si pentru pentr u orice (x, y )

∈ D = {(x, y), a1 ≤ x ≤ a2, b1 ≤ y ≤ b2},

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA exist˘ a integrala simpl˘ a

153

c2

I (x, y ) =



f ( f (x,y,z) x,y,z) dz,

c1

  

I (x, y ) dxdy ¸si si are loc egalitatea egalit atea

atunci exist˘ a ¸si si integrala int egrala iterat˘ iterat ˘ a

D

  

f (x,y,z) x,y,z) dxdydz =

V

c2

I (x, y ) dxdy =

D

   dxdy

f ( f (x,y,z) x,y,z) dz.

(11.38)

c1

D

Cazul domeniului oarecare

Vom consi co nsidera dera mai ˆıntâi ai cazul unui domeniu V z simplu ˆın raport cu axa Oz

{

V z = (x,y,z) x,y,z), ϕ(x, y )

≤ z ≤ ψ(x, y), (x, y) ∈ Dz },

unde ϕ ¸si si ψ sunt funct¸ii ¸ii continue pe Dz , unde Dz este proiect¸ia ¸ia domeniului V z pe planul planul z = 0. Teorema 11.14 Dac˘ a funct ¸ia ¸ia f este integrabil˘ integrabil˘ a pe domeniul V z ¸si si pentru pent ru orice or ice (x, y)

Dz , exist˘ a integrala simpl˘ a

∈

ψ (x,y) x,y)

I (x, y ) =



f (x,y,z) x,y,z) dz,

ϕ(x,y) x,y)

  

si are loc egalitatea egalit atea I (x, y) dxdy ¸si

atunci exist˘ a ¸si si integrala int egrala iterat˘ iterat ˘ a

Dz

   V z

f ( f (x,y,z) x,y,z) dxdydz =

I (x, y ) dxdy =

Dz

ψ (x,y) x,y )

   dxdy

Dz

f ( f (x,y,z) x,y,z) dz.

(11.39)

ϕ(x,y) x,y)

Dac˘ a domeniul de integrat V nu este simplu ˆın raport cu nici una dintre dintre axe, se ˆımparte ımp arte ˆın subdome sub domenii nii simple sim ple ¸si si se aplic˘ apl ic˘a formulele precedente.

11.3.4 11.3.4

Formula ormula lui lui Gauss Gauss-Ost -Ostrogra rogradsk dskii

Vom studia acum leg˘atura atura dintre integrala tripl˘a pe un domeniu compact ¸si si integrala de suprafat¸˘ ¸a˘ pe frontiera acelui domeniu. Fie F(x,y,z) x,y,z) = P ( P (x,y,z) x,y,z)i + Q(x,y,z) x,y,z) j + R(x,y,z) x,y,z )k o câmp amp vectorial definit pe domeniul V m˘ arginit arginit de suprafat¸a ¸a Σ, pentru pentru care exist˘ exist˘a câmpul ampul scalar ∂R ∂P ∂Q div F = + + . ∂x ∂y ∂z


154

Teorema 11.15 (Formula divergent ¸ei) Dac˘ a funct ¸iile P,Q,R ¸si cˆ ampul ampul scalar div F

sunt continue pe V , V , atunci

  

 

(div F) dτ =

·

(F n) dS,

(11.40)

Σ

V

unde n este versorul normalei exterioare la Σ.  Avem de ar˘atat atat c˘a

     

∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z

V



dxdydz =

 

(P cos α + Q cos β + β + R cos γ ) dS.

Σ

Consider˘ am am cazul unui domeniu simplu ˆın ın raport cu axa Oz

{

V = (x,y,z) x,y,z ), ϕ(x, y)

≤ z ≤ ψ(x, y), (x, y) ∈ Dz },

unde ϕ ¸si si ψ sunt funct¸ii ¸ii continue pe Dz , unde Dz este proiect¸ia ¸ia domeniului V pe planul z = 0. S˘a evalu˘am am al treilea termen folosind formula de calcul a integralei triple ψ (x,y) x,y)

    

∂R dxdydz = ∂z

V

=

     − dxdy

Dz

ϕ(x,y) x,y)

R(x,y,ψ( x,y,ψ(x, y )) dxdy

Dz

∂R dz = ∂z

R(x,y,ϕ( x,y,ϕ(x, y )) dxdy.

Dz

S˘ a observ˘am am c˘a suprafat¸a ¸a Σ care m˘argine¸ argi ne¸ste ste domeniu dome niull V se poate scrie: Σ = Σi Σs Σl , ˆın care car e Σi ¸si Σs sunt fat¸a ¸a infe in feri rioa oar˘ r˘a ¸si si fat fa¸a ¸ta superioar˘a, a, iar Σl fat¸a ¸a lateral˘a. a. Deoarece pe fat¸a ¸a superioar˘a cos γ > 0, pe fat¸a ¸a inferioar˘a cos γ < 0, iar pe fat¸a ¸a lateral˘a cos γ = 0, ¸inˆ ¸tinând and seama de formula de calcul a integralei de suprafat¸˘ ¸a˘ de tipul al doilea, avem

∪ ∪

   V

¸si si deci de ci

∂R dxdydz = ∂z

 

Rdxdy +

Σs

  

 

R dxdy dxdy +

Σi

∂R dxdydz = ∂z

 

R dxdy dxdy =

Σl

 

 

R dxdy dxdy

Σ

R cos γ dS, dS,

Σ

V

care nu este altceva decât at formala divergent¸ei ¸ei pentru câmpul ampul vectorial F = Rk, corespunz˘ atoare atoare domeniului V simplu ˆın raport rapor t cu axa Oz. Oz . Aceast Aceast˘ a˘ formul˘a este adev˘arat˘ arat˘ a ¸si si pentru un domeniu V care poate fi ˆımp˘art art¸it ¸it ˆıntr-un ıntr- un num˘ar ar finit de domenii simple ˆın raport cu axa Oz. Oz . Dac˘ a V este un domeniu domeniu ce se poate descompun descompunee ˆıntr-un ıntr-un num˘ num˘ar ar finit de domenii Ox, iar P ( P (x,y,z) x,y,z ) este o funct¸ie ¸ie continu˘a, a, cu derivat˘a part¸ial˘ ¸ial˘ a ˆın simple ˆın raport rap ort cu axa Ox, raport cu x, continu˘a pe V , V , atunci

   V

∂P dxdydz = ∂x

  Σ

P cos αdS.


155

Dac˘a V este un domeniu ce se poate descompune ˆıntr-un ıntr-un num˘ar ar finit de domenii simple ˆın raport rapor t cu axa Oy, Oy , iar Q(x,y,z) x,y,z) este o funct¸ie ¸ie continu˘a, a, cu derivat˘a part¸ial˘ ¸ial˘ a ˆın raport cu y , continu˘a pe V , V , atunci

  

∂Q dxdydz = ∂y

 

P cos β dS. dS.

Σ

V

ıntr-un num˘ar ar finit de Prin urmare, dac˘a V este un domeniu ce se poate descompune ˆıntr-un domenii simple ˆın ın raport cu toate axele, adunând and ultimele trei relat¸ii ¸ii obt¸inem ¸inem (11.40). R sunt dou˘ Dac˘a u, v : V a funct¸ii ¸ii continue pe V care au derivate part¸iale ¸iale continue continue ˆın raport rap ort cu x continue pe V , V , atunci luând and ˆın ın formula lui Gauss-Ostrograds Gauss-Os trogradski ki P = u v ¸si si Q = R = 0, obt¸inem ¸inem

→

·

  

∂v u dxdydz = ∂x

 

uv dydz dydz

Σ

V

   −

v

∂u dxdydz, ∂x

V

numit˘a formula de integrare prin p˘ art ¸i ˆın ın integrala int egrala tripl˘ tri pl˘ a .

11.3.5

Schimbarea de variabile ˆın integrala tripl˘ a

Fie V un domeniu spat¸ial ¸ial m˘argin arg init it ¸si si V  imaginea sa prin transformarea punctual˘a regulat˘a x = x(ξ,η,ζ ), y = y (ξ,η,ζ ), (ξ,η,ζ ) V  , (11.41) z = z (ξ,η,ζ ), cu jacobianul

 

J (ξ,η,ζ ) =

∈

D(x,y,z) x,y,z ) = 0, 0, D(ξ,η,ζ )



Se poate ar˘ata ata ca c a ¸si si la integrala i ntegrala dubl˘a c˘a dac˘a V , V , atunci

V =

   | V

(ξ,η,ζ )

V =

∈ V  .

 

dxdydz, dxdydz, este volumul domeniului

V

|

J (ξ,η,ζ ) dξdηdζ.



Dac˘ a aplic˘ am am formula de medie ultimei integrale, integrale, obt¸inem ¸inem

V = |J (ξ0, η0, ζ 0)| · V , unde

V  =

   V

(ξ0 , η0 , ζ 0 )

∈ V  ,

(11.42)

dξdηdζ



este volumul domeniului V  . Fie ∆ o diviziune a domeniului V  c˘ areia, prin transformarea (11.41) areia, ( 11.41) ˆıi corespunde corespun de  diviziunea ∆ a domeniului V . si τ i sunt volumele elementelor V i ¸si si respec res pectiv tiv V i , V . Dac˘a τ i ¸si cu (11.42) avem τ i = J (ξi , ηi , ζ i ) τ i , (ξi , ηi , ζ i ) V i , (11.43)

|

|·

∈

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA pentru i = 1, 1 , n. Dac˘ a not˘am am cu

avem egalitatea n



  

xi = x(ξi , ηi , ζ i ), yi = y (ξi , ηi , ζ i ), zi = z (ξi , ηi , ζ i ),

(xi , yi , zi )

156

∈ V i,

n

f ( f (xi , yi , zi )τ i =

i=1

f (x(ξi , ηi , ζ i ), y (ξi , ηi , ζ i ), z (ξi , ηi , ζ i )) J (ξi , ηi , ζ i ) τ i .

|

i=1

Trecând and aici la limit˘a pentru ν  = ν (∆ (∆ )

  

  

f (x,y,z) x,y,z) dxdydz =

V

V

|

→ 0, ceea ce implic˘a ν = ν (∆) (∆) → 0, obt¸inem ¸inem |

|

f ( f (x(ξ,η,ζ ), y (ξ,η,ζ ), z (ξ,η,ζ )) )) J (ξ,η,ζ ) dξdηdζ,



arii de variabile ˆın integrala tripl˘ tr ipl˘ a . care este formula schimb˘ Exemplul 11.3 S˘ a se calculeze integrala

I =

  

x2

+ y2

x dxdydz, + z 2 + a2

V

unde

V = (x,y,z) x,y,z) x2 + y 2 + z 2

{

|

≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

Trecem la coordonate sferice:

Se g˘ ase¸ste

 

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ,

∈ [0, [0, R] ×

(r,θ,ϕ) r,θ,ϕ)

π 2

π

I =

π

R

   2

2

dϕ

0

0

dθ

0

0,

r3 sin2 θ cos ϕ dr. r2 + a2

Efectuând and calculule se obt ¸ine

π I = 8

a2 R + a ln 2 a + R2



2

2

π . 2

 × 

dxdy dz = r2 sin θdrdθdϕ

¸si si deci deci

(11.44)



.

0,

Capitolul 12

ECUAT ¸ I I DIFERENT ¸ IALE ORDINARE 12.1

Ecua¸ii ¸t ii diferent ¸iale de ordinul I ¸iale

12.1 12 .1.1 .1

Ecua Ecuat ¸ii ¸tii diferent ¸iale. ¸iale. Solut Solu¸ii ¸tii

Definit ¸ia ¸ia 12.1 Se numesc ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale ecuat ¸iile ale c˘ aror necunoscute sunt funçii ¸i t i de una sau mai multe variabile, ˆın ın care care intr˘ a atˆ at at funct ¸iile cât at ¸si si derivate derivat e ale lor.

Dac˘ a funct¸iile ¸iile necunoscute depind de mai multe variabile, ecuat¸iile ¸iile se numesc ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale; ¸iale ; ˆın caz contrar, adic˘a dac˘a funct¸iile ¸iile necunoscute depind de o singur˘a variabil˘ a independent˘a, a, ecuat¸iile ¸iile se numesc ecuat ¸ii diferent ¸iale ordinare. ordinare . In cele ce urmeaz˘ a ne vom ocupa de acestea din urm˘a. Deoarece ˆın numeroase aplicat¸ii ¸ii fizice variabila variabila independen independent˘ t˘ a este timpul care se noteaz˘ a cu t, vom utiliza ¸si si noi aceast˘ aceast˘ a notat¸ie. ¸ie. Funct unçiile ¸t iile necunoscute vor fi notate cu x, y , z etc. Derivatele Derivatele acestora ˆın ın raport cu t le vom nota x , x , . . . , x(n) . Definit ¸ia ¸ia 12.2 Fie F ( F (t,x,x , . . . , x(n) ) o funct ¸ie real˘ a având and drept argumente variabila

real˘ a t

∈ [a, b] ¸sisi func fu nct ¸ia t real˘ a x ˆımpre ım preun un˘ a ˘ cu derivatele ei x , x , . . . , x(n) . Relat ¸ia F ( F (t,x,x , . . . , x(n) ) = 0

(12.1)

se nume¸ nu me¸ste st e ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul n dac˘ a se cere s˘ a se determine funct ¸iile x = x(t), definite pe intervalul [a, b], avˆ and and derivate pân˘ an˘ a la ordinul n inclusiv inclusi v ˆın orice punct al intervalului [a, b] a.ˆı. s˘ a avem F ( F (t, x(t), x (t), . . . , x(n) (t)) = 0, 0,

∀t ∈ [a, b].

Funct ¸iile reale x(t) care ˆındeplin ınde plinesc esc condit ¸iile precedente se numesc solut¸ii ¸ii ale ecuat ¸iei diferent ¸iale (12.1).

157


158

Dac˘a n = 1 obt¸inem ¸inem ecuat ¸iile diferent ¸iale de ordinul ordi nul ˆıntˆ ınt âi ai , care sunt, conform definit¸iei ¸iei precedente, de forma implicit˘a F ( F (t,x,x ) = 0 (12.2) sau sub forma explicit˘a x = f ( f (t, x).

(12.3)

Exemplul 12.1 Ecuat ¸ia ¸ia x = x + t este o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul ordinu l ˆıntˆ ınt âi. ai. O solut ¸ie ¸ie t t a acestei ecuat ¸ii este x(t) = e t 1, t R. Funct ¸ia x ¸ia x(t) = Ce t 1, unde C este o

− −

∈

− −

constant˘ a arbitrar˘ a, reprezint˘ a o familie de solut ¸ii ale ecuat ¸iei date. Exemplul 12.2 Ecuat ¸ia ¸ia x t

− x = t, t ∈ R este o ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a de ordinul doi. ∈ R, cu C 1 ¸si si C 2 constante arbitrare, reprezint˘ a o

Funct ¸ia x(t) = C 1 e + C 2 e−t − t, t

familie de solut ¸ii ale ecuat ¸iei date.

In continuare ne vom ocupa numai de ecuat ¸ii diferent ¸iale de ordinul ordinu l ˆıntˆ ınt âi ai . Din exemplele prezentate se vede c˘a ecuat¸iile ¸iile diferent¸iale ¸iale admit familii de solut¸ii ¸ii care depind de constante arbitrare. Pentru ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale de ordinul ˆıntâi ai aceste familii depind de o singur˘a constant˘a arbitrar˘a. a. Definit ¸ia ¸ia 12.3 Spunem c˘ a funct ¸ia ¸ia x = x(t, C ) este solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat ¸iei diferen-

¸iale t de ordinul ordinu l ˆıntˆ ınt âi ai (12.2) dac˘ a x = x(t, C ) este o solut ¸ie a ecuat ¸iei (12.2) (12. 2) ¸si si dac˘ a prin particularizarea constantei C obt ¸inem orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (12.2). Solut¸ia ¸ia general˘a a unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸ial e se mai nume¸ste ste ¸si si integrala integrala general˘ a a ecuat¸iei ¸iei considerate. Definit ¸ia ¸ia 12.4 Se nume¸ste ste solut¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a a ecuat ecuat ¸iei (12.2) (12.2) o solut solut ¸ie x = x(t),

t

∈ [a, b], care se obt ¸ine din solut ¸ia general˘ a dând and constant const antei ei C o valoare particular˘ a. Exemplul 12.3 Ecuat ¸ia ¸ia x = tx + (x ( x )2 are solut ¸ia general˘ a x(t) = Ct + C 2 , t ∈ R. Solut ¸ia ¸ia x(t) = t + 1 este o solut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a care se obt ¸ine pentru C = 1. 1.

O solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (12.2) care nu cont¸ine ¸ine o constant˘a arbitrar˘a nu este ˆın mod necesar o solut s olut¸ie ¸ie particular˘a. a. O astfel astfel de solut solut¸ie ¸ie se nume¸ num e¸ste st e solut ¸ie singular˘ a . Exemplul 12.4 Funct ¸ia x(t) =

− 14 t2, t ∈ R este o solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale din

exemplul precedent, dar nu este o solut ¸ie particular˘ a deoarece nu se obt ¸ine din solut ¸ia general˘ a prin particularizarea constantei C . Este deci o solut ¸ie singular˘ a. Graficul Graficul unei solut¸ii ¸ii a unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale este o curb˘a plan˘a numit˘a curb˘ a integral˘ a .

12.1.2

Interpretarea Interpretarea geometric˘ geometric˘ a a unei ecuat ¸ii diferent ¸iale ¸iale de ordinul ˆıntˆ nt ˆ ai

S˘ a consider˘am am ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a sub form˘a explicit˘a (12.3), funct¸ia ¸ia f fiind fii nd defini defi nit˘ t˘a ˆıntr-un ıntr -un domeniu dome niu D R2 .

⊂


159

Fiec˘ arui arui punct (t ( t0 , x0 ) D ˆıi corespunde o direct¸ie ¸ie de coeficient unghiular x0 = f ( f (t0 , x0 ). Prin urmare urmare ecuat ecua¸ia ¸t ia x = f ( f (t, x) asociaz˘a fiec˘arui arui punct M 0 (t0 , x0 ) o direct¸ie ¸ie v(1, (1, f ( f (t0 , x0 )). Dac˘ Dac˘a x = x(t), (t, x) D este o solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei (12.3), fiec˘arui arui punct M ( M (t, x(t)) D i se asociaz˘a direct¸ia ¸ia v(1, (1, f ( f (t, x(t))). Graficul Graficul solut¸iei ¸iei x = x(t) este deci curba integral˘a din D care are proprietatea c˘a ˆın ın fiecare punct al ei, tangenta la curb˘a are direct¸ia ¸ia v. Problema integr˘arii arii ecuat¸iei ¸iei (12.3) ˆın D revine la g˘asirea asirea curbelor curbe lor integrale integ rale din d in D cu proprietatea c˘a ˆın ın fiecare punct al lor sunt tangente câmpului ampului de direct direçii ¸t ii v(1, (1, f ( f (t, x)).

∈

∈

∈

Exemplul 12.5 Ecuat ¸ia ¸ia x = 1, t

∈ R, define¸ defi ne¸ste ste câmpul ampul de direct ¸ii ¸ii v(1, (1, 1) paralel cu

prima bisectoa bisectoare re a axelor. axelor. Curbele Curbele integr integrale ale sunt drepte drepte para paralele lele cu acea aceast˘ st˘ a bisectoare. Ecuat ¸ia lor este x(t) = t + C , t R, unde C este o constant˘ a arbitrar˘ a. Orice paralel paralel˘ ˘ a la prima bisectoare este o curb˘ a integral˘ a particular˘ a.

∈

12.1 12 .1.3 .3

Cond Condit it ¸ii init ¸iale. ¸iale. Problema lui Cauchy Cauchy

Problema determin˘arii arii solut¸iei ¸iei ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (12.3) (12.3) care pentru t = t0 ia valoarea x = x0 , deci al c˘arei arei grafic trece prin punctul (t ( t0 , x0 ), se nume¸ste ste problema lui Cauchy , iar condit¸ia ¸ia ca x(t0 ) = x0 se nume¸ nume¸ste st e condit ¸ie init ¸ial˘ a . Exemplul 12.6 Fie ecuat ecua¸ia ¸i t a diferent diferent ¸ial˘ a x = f ( f (t), cu f o funct ¸ie ¸ie continu˘ a pe [a, b].

Solut ¸ia ei general˘ a este dat˘ a de t

x(t) =



f ( f (t) dt + C,

t0

∈

unde t0 [a, b], iar C este o constant˘ a arbitrar˘ a. Solut ¸ia care satisface condit ¸ia init ¸ial˘ a x(t0 ) = x0 , x0 R, este

∈

t

x(t) = x0 +



f (t) dt.

t0

De aici rezult˘ a c˘ a pentru orice punct (t0 , x0 ) [a, b] R exist˘ exis t˘a o solut solu¸ie ¸i t e unic˘ a care satisface condit ¸ia x ¸ia x(t0 ) = x0 , sau, altfel spus, prin orice punct din [a, b] R R2 , trece o curb˘ a integral˘ a a ecuat ¸iei x = f (t) ¸si si numai num ai una.

∈

12.1 12 .1.4 .4

×

× ⊂

Ecua Ecuat ¸ii ¸tii diferent ¸iale explicite, integrabile prin metode ele¸iale mentare

1. Ecuat Ecuat ¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale care provin din anularea unei diferent¸iale ¸iale exacte

S˘ a consider˘am am ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul ord inul ˆıntâi ai sub forma simetric˘a P ( P (t, x) dt + Q(t, x) dx = 0, 0,

(12.4)

R2 . P ¸si si Q fiind funct¸ii ¸ii continue, continue, cu derivate derivate part¸iale ¸iale continue pe un domeniu D S˘ a observ˘am am mai ˆıntˆ ınt âi ai c˘a orice ecuat¸ie ¸ie x = f ( f (t, x) se poate pune sub form˘a (12.4) cu P /Q = f . f .

⊂

−


160

Teorema 12.1 Dac˘ a funct ¸iile P ( P (t, x) ¸si si Q(t, x) au derivate part ¸iale continue ˆın ın dome2 niul D R , care verific˘ a pentru orice (t, x) D relat ¸ia

⊂

∈

∂P ∂Q = , ∂x ∂t

(12.5)

integrala integrala general˘ a a ecuat ¸iei (12.4) este dat˘ a de t



x

P ( P (τ, x0 ) dτ +

t0



Q(t, ξ ) dξ = C,

(t0 , x0 )

x0

∈ D.

(12.6)

 Deoarece funct¸iile ¸iile P ¸si si Q satisfac condit¸ia ¸ia (12.5), expresia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a P ( P (t, x) dt + Q(t, x) dx este o diferent¸ial˘ ¸ial˘ a exact˘a, a, adic˘ a exist˘a funct¸ia ¸ia F ( F (t, x), diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a ˆın D a.ˆı. dF ( dF (t, x) = P ( P (t, x) dt + Q(t, x) dx, sau

∂F = P ( P (t, x), ∂t

∂F = Q(t, x), ∂x

∀(t, x) ∈ D.

Integrând and ecuat¸ia ¸ia a doua ˆın ın raport cu x avem F ( F (t, x) = ˆın prima pri ma ecuat ecua ¸ie ¸tie ¸si si ¸inˆ ¸tinˆ and and seama de (12.5), g˘asim asim x



x0

de unde rezult˘a G(t) =

t t0



(12.7)

x x0



Q(t, ξ ) dξ + G(t). Inlocuind

∂P (t, ξ ) dξ + G (t) = P ( P (t, x), ∂ξ

P ( P (τ, x0 ) dτ ¸si si deci de ci t

F ( F (t, x) =



x

P ( P (τ, x0 ) dτ +

t0



Q(t, ξ ) dξ.

x0

F (t, x) = Cu F ( F (t, x) astfel determinat˘ determina t˘a, a, integrala general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.4) (12.4) este dat˘a de F ( (12.7).  C , cum rezult˘a din (12.7). Integrala general˘a (12.6) se obt¸ine ¸ine prin dou˘a operat¸ii ¸ii de integrare numite ¸si si cuadraturi . Ea define¸ defi ne¸ste ste solut sol ut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.4) sub form˘a implicit˘ implicit˘ a. a. Exemplul 12.7 S˘ a se integreze ecuat ¸ia ( ¸ia (t2

− x2) dt − 2txdx = 0 ¸sisi apoi apoi s˘ a se determine curba integral˘ a care trece prin punctul (1, (1, 1). 1). 2 2 Avem P ( P (t, x) = t − x , Q(t, x) = −2tx ¸si si P x = Qt = −2x, deci membrul stâng ang al ecuat ¸iei date este o diferent ¸ial˘ a exact˘ a. Atunci integrala integrala general˘ a este dat˘ a de t



t0

2

(τ

−

x20 ) dτ

x

 − 2

x0

tξ dξ = C,

(t0 , x0 )

∈ D.

sau 31 t3 tx2 = C . Solu Solut ¸ia t particutar˘ particutar˘ a care satisface condit ¸ia init ¸ial˘ a dat˘ a este t3 3tx2 + 2 = 0. 0.

−

−


161

2. Ecuat Ecuat ¸ii cu variabile separate ¸ii

Fie ecuat¸ia ¸ia diferent diferent¸ial˘ ¸ial˘ a P ( P (t) dt + Q(x) dx = 0, unde P ( P (t) este derivabil˘a p e [a, [ a, b] ¸si Q(x) este derivabil˘ derivabil˘ a pe [c, [c, d]. Funct unct¸iile ¸iile P ¸si si Q satisfac satisfac condit condi¸ia ¸t ia (12.5) pentru orice (t, x) [a, b] [c, d]. O astfel de ecuat¸ie ¸ie se nume¸ste ste cu variabile separate ¸si si integrala integ rala sa general˘ a este dat˘a, a, dup˘a (12.6), de

∈

×

t



x

P ( P (τ ) τ ) dτ +

t0

cu (t0 , x0 )



Q(ξ ) dξ = C,

x0

∈ [a, b] × [c, d].

Exemplul 12.8 S˘ a se determine solut ¸ia ecuat ¸iei (x2 + 1) dt + (2t (2 t + 1)x 1) x2 dx = 0, care

trece prin punctul (1, (1, 0). 0). Putem separa variabilele 1 x2 dt + 2 dx = 0, 0, 2t + 1 x +1 cu solut ¸ia general˘ a ln(2t ln(2t + 1)2 + x arctg x = C . Solu Solut ¸ia t particular˘ particular˘ a care care satisface satisface condit ¸ia dat˘ a este ln(2t ln(2t + 1)2 + x arctg x = ln ln 6.

−

−

O ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul ˆıntâi ai de forma x = f ( f (t) g (x) este o ecuat¸ie ¸ie cu variabile separabile. Intr-adev˘ar, ar, ea poate fi pus˘a sub forma

·

f ( f (t) dt

− g(1x) dx = 0.0 .

3. Metoda factorului factorului integran integrantt

Fie ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a 0, P ( P (t, x) dt + Q(t, x) dx = 0,

(12.8)

P ¸si si Q fiind funct¸ii ¸ii continue, cu derivate part¸iale ¸iale contin continue ue pe un domeniu domeniu D R2 . Dac˘ a P dt + Q dx nu este o diferent¸ial˘ ¸ial˘ a exact˘a ˆın D, ne propunem s˘a determi dete rmin˘ n˘am am o funct¸ie ¸ie µ(t, x) a.ˆı. expresia expr esia µ(P dt + Q dx) dx) s˘a fie o diferent¸ial˘ ¸ial˘ a exact˘a ˆın D. Trebuie deci s˘ a avem

⊂

∂ ∂ (µP ) µP ) = (µQ) µQ), ∂x ∂t

sau µ



∂Q ∂t

−

∂P ∂x



+Q

∂µ ∂t

− P ∂µ = 0. ∂x

(12.9)

Definit ¸ia ¸ia 12.5 Funct ¸ia µ ¸ia µ(t, x), definit˘ a ˆın D ¸si si cu derivat deri vatee part par¸iale t continue conti nue ˆın D, care

verific˘ a ecuat ¸ia (12.9), ( 12.9), se nume¸ste ste factor integrant al ecuat ¸iei (12.8). Ecuat¸ia ¸ia (12.9) este o ecuat¸ie ¸ie cu derivate part¸iale ¸iale pentru funct¸ia ¸ia µ(t, x). Dup˘a cum se va vedea mai tˆ arziu, arziu, integrarea ei revine la integrarea ecuat¸iei ¸iei (12.8). (12.8). Dar aici nu avem avem nevoie de solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.9), ci doar de o solut¸ie ¸ie particular˘a a acesteia acestei a ¸si si ˆın anumite cazuri determinarea unei astfel de solut¸ii ¸ii este posibil˘a. a. De exemplu, dac˘a c˘aut˘ aut˘ am am un factor integrant µ(t), funct¸ie ¸ie numai de t, ecuat¸ia ¸ia (12.9) devine 1 dµ 1 ∂P ∂Q = (12.10) µ dt Q ∂x ∂t



−




162

¸si si determinarea determin area lui µ este posibil˘a dac˘a membrul drept al ecuat¸iei ¸iei (12.10) este funct¸ie ¸ie numai de t. Intr-adev˘ar, ar, ˆın acest caz ˆın ecuat¸ia ¸ia (12.10) variabilele ariabilele se separ˘ separ˘a ¸si si obt¸inem ¸inem pe µ printr-o cuadratur˘a 1 ∂P ∂Q ln µ = dt. Q ∂x ∂t

 



−

In mod asem˘an˘ an˘ ator, ator, dac˘a c˘aut˘ aut˘ am am un factor f actor integrant µ(x), funct¸ie ¸ie numai de x, ecuat¸ia ¸ia (12.9) devine 1 dµ 1 ∂Q ∂P = (12.11) µ dx P ∂t ∂x





−

¸si si determinarea determin area lui µ este posibil˘a dac˘a membrul drept al ecuat¸iei ¸iei (12.11) este funct¸ie ¸ie numai de x. In acest caz, obt¸inem ¸inem ln µ =

  1 P

∂Q ∂t

−

Exemplul 12.9 S˘ a se integreze ecuat ¸ia (t3 sin x 3

P x = t cos x

3

− 2, Qt = 4t 4t

cos x + 1 ¸si si deci dec i 1 Q



∂P ∂x

este funct ¸ie numai de t. Ca atare avem Inmult ¸ind ecuat ¸ia cu µ, obt ¸inem



sin x

−

2x t3

−

∂Q ∂t

1 dµ µ dt



=

∂P ∂x

=

Avem Avem

− 3t

− 3t ¸sisi o solut sol ut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a este µ = t1 .

1 dt + t cos x + 2 t

x t2

dx.

− 2x) dt + (t(t4 cos x + t) dx = 0.

 

a c˘ arei solut ¸ie general˘ a este t sin x +



3



dx = 0

= C .

4. Ecuat Ecuat ¸ii ¸ii omogene

Ecuat¸iile ¸iile diferent¸iale ¸iale de forma

dx P ( P (t, x) = , dt Q(t, x)

unde P ( P (t, x) ¸si Q(t, x) sunt funct¸ii ¸ii omogene ˆın t ¸si si x de acela¸ acel a¸si si grad m se numesc ecuat ¸ii diferent ¸iale omogene. omogene. Deoarece x x P ( P (t, x) = tm P (1 P (1,, ), Q(t, x) = tm Q(1, (1, ), t t ecuat¸ia ¸ia se poate pune sub forma dx x = f ( ). (12.12) dt t Prin schimbarea de funct¸ie ¸ie x = ty ecuat¸ia ¸ia (12.12) se transform˘a ˆıntr-o ıntr -o ecuat ec uat¸ie ¸ie cu variabile    separabile. Intr-adev˘ar, ar, deoarece x = ty + y ecuat¸ia ¸ia devine ty + y = f ( f (y ), sau separând and variabilele dy dt = , (12.13) f ( f (y ) y t

−

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA care este o ecuat¸ie ¸ie cu variabile separate. separate . Dac˘a f este continu˘a ¸si f ( f (y ) obt¸inem ¸inem dy ln t + C = = Φ(y Φ( y ) f ( f (y ) y



||

163

− y = 0, integrând and

−

¸si si solu so lut¸ia ¸tia general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.12) (12.12) este

x ln t + C = Φ( ). t

|| (12.14) Dac˘a y0 este o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a a ecuat¸iei ¸iei f ( f (y ) − y = 0, atunci y(t) = y0 este o solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei 

ty + y = f ( f (y), deci x(t) = y0 t este o solut¸ie ¸ie singular˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.12).

Exemplul 12.10 S˘a se g˘ aseasc˘ a solut ¸ia ecuat ¸iei t2 + 2x2 = txx , care satisface condit ¸ia

init ¸ial˘ a x(1) = 2. 2. Cu schimbarea de variabil˘ a x = ty, ty, ecuat ¸ia devine ydy dt = , 2 1+y t



√

cu solut ¸ia general˘ a t = C 1 + y2 . Inlocui Inlocuind nd pe y , avem t2 = C t2 + x2 . Cond Condit it ¸ia 1 2 2 2 √ init ¸ial˘ a determin˘ a pe C = 5 . Solut ¸ia ¸ia particular˘ particular˘ a c˘ autat˘ a este t 5 = t + x .

√

√

5. Ecuat Ecuat ¸ii reductibile la ecuat¸ii ¸ii ¸ii omogene

S˘ a consider˘am am o ecuat¸ie ¸ie de forma



dx at + bx + c = f  dt a t + b x + c



(12.15)

unde a, b, c, a , b , c sunt constante. a). a). Dac˘ Dac˘ a c2 + (c ( c )2 = 0, (12.15) este o ecuat¸ie ¸ie omogen˘a. a. Cu substi substitut tut¸ia ¸ia x = ty se separ˘ a variabilele. (c )2 > 0 ¸si ab a b = 0, dreptele b). Dac˘a c2 + (c

− 

at + bx + c = 0,

a t + b x + c = 0

se intersecteaz˘a ˆıntr-un punct (t0 , x0 ). Prin schim schimb˘ b˘ arile arile de variabil˘a independent˘a ¸si si de funct¸ie ¸ie τ = t t0 , ξ = x x0 , ecuat¸ia ¸ia devine

−

−



dξ aτ + bξ = f  dτ a τ + b ξ  care este o ecuat¸ie ¸ie omogen˘a. a. 2 2  c). Dac˘a c + (c (c ) > 0 ¸si ab





− a b = 0,0 , rezul rez ult˘ t˘a aa



=

dx at + bx + c = f dt k(at + bx) bx) + c



b b



.

= k ¸si si deci de ci


164

Prin schimbarea de funct¸ie ¸ie at + bx = y ecuat¸ia ¸ia (12.15) se transform˘a ˆıntr-o ıntr -o ecuat ecua ¸ie ¸t ie cu   variabil variabilee separabile. separabile. Intr-ade Intr-adev˘ v˘ ar, ar, deoarece deoarece bx = y a, separˆ separˆ and and variabilele ecuat¸ia ¸ia devine dy = dt. y +c bf ky+ + a ky +c

−

  

Dac˘a bf

  y +c ky+ ky +c





+ a = 0, prin integrare obt¸inem ¸inem t + C =

dy

   y+c ky+ ky +c

bf



= Φ(y Φ(y ). +a

Revenind la variabilele init¸iale, ¸iale, solut¸ia ¸ia general˘ gene ral˘a a ecuat ecua ¸iei ¸t iei (12.15) (12.15) va fi dat˘a implicit prin: Φ( at + bx) bx). t + C = Φ(at 6. Ecuat Ecuat ¸ii ¸ii liniar lin iare e de ordinu ord inull ˆıntˆ ai ai

O ecuat¸ie ¸ie de forma

dx = a(t)x + b(t), (12.16) dt unde a(t) ¸si b(t) sunt funct¸ii ¸ii continue pe un interval I , se nume¸ste ste ecuat ¸ie diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul ordinu l ˆıntˆ ınt âi ai . Dac˘a b(t) 0 ecuat¸ia ¸ia se nume¸ num e¸ste st e omogen˘ a

≡

dx = a(t)x. dt S˘ a integr˘am am mai ˆıntˆ ınt âi ai ecuat¸ia ¸ia omogen˘a, a, care este o ecuat¸ie ¸ie cu variabile separabile. Intradev˘ ar, ar, putem scrie dx = a(t) dt, x de unde t

ln x =

||

sau

 

a(τ ) τ ) dτ + ln C ,

| |

t0

t

x(t) = C exp C exp

a(τ ) τ ) dτ ,

t

t0

cu t0

∈ I,

∈ I , fixat, reprezint˘a solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei omogene. Dac˘a not˘am am cu t

x0 (t) = exp



a(τ ) τ ) dτ ,

t0

o solut¸ie ¸ie particular˘a a ecuat¸iei ¸iei omogene, atunci solut¸ia ¸ia sa general˘a se scrie x(t) = Cx 0 (t). Teorema 12.2 Solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei liniare neomogene este suma dintre solut ¸ia ¸ia

general˘ a a ecuat ¸iei ¸iei liniare omogene corespunz˘ corespunz˘ atoare ¸si si o solut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a a ecuat ¸iei neomogene.


165

 Fie x∗ (t) o solut¸ie ¸ie particular˘a a ecuat¸iei ¸iei neomoge neo mogene ne ¸si si y (t) = x(t) x∗ (t). Avem Avem   ∗   ∗  c˘a y (t) = x (t) (x ) (t) sau y (t) = a(t)(x )(x(t) x (t)), adic˘a y (t) = a(t)y(t). Deci, y(t) este solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei omogene y (t) = Cx 0 (t). Incât at

−

−

−

x(t) = Cx 0 (t) + x∗ (t). O solut¸ie ¸ie particular particular˘˘a a ecuat¸iei ¸iei neomog neomogene ene se poate poate obt¸ine ¸ine prin metoda variat ¸iei constantelor . Aceast Aceasta a const˘ const˘ a ˆın a c˘auta auta o solut¸ie ¸ie de forma solut¸iei ¸iei generale a ecuat¸iei ¸iei omogene, ˆın care constanta C se ˆınlocu ınl ocuie¸ ie¸ste ste printr-o pri ntr-o funct fun ct¸ie ¸ie u(t) x∗ (t) = u(t)x0 (t).

(12.17)

Inlocuind Inlo cuind ˆın ecuat¸ia ¸ia (12.16) g˘asim asim (x (x0 (t) a(t)x0 (t))u ))u + x0 (t)u = b(t). Cum Cum x0 este solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei omogene, r˘amˆ amˆ ane, pentru determinarea funct¸iei ane, ¸iei u, ecuat¸ia ¸ia

−

x0 (t)u = b(t). O solut¸ie ¸ie a acestei ecuat¸ii ¸ii este t

u(t) =

b(s) ds, x0 (s)



t0

care ˆınlocu ınl ocuit˘ it˘a ˆın (12.17) ne conduce la solut¸ia ¸ia particular˘a t

x∗ (t) = x0 (t)



t0

b(s) ds. x0 (s)

Solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei neomogene se scrie atunci t

x(t) = Cx 0 (t) + x0 (t)



t0

b(s) ds. x0 (s)

Geometric, ea reprezint˘a o familie de curbe ce depinde liniar de constanta arbitrar˘a C . Exemplul 12.11 S˘ a se integreze ecuat ¸ia liniar˘ a neomogen˘ a x = xtg t + cos t, pentru π t R 2 + nπ .

∈ \{

}

Ecuat ¸ia omogen˘ a corespunz˘ atoare, x = xtg t, are solut ¸ia general˘ a 1 x(t) = C , cos t

·

t

∈R

\

π + nπ . 2



C˘ aut˘ am pentru ecuat ¸ia neomogen˘ a o solut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a de forma x∗ (t) = u(t)

· cos1 t .

Se obt ¸ine pentru u ecuat ¸ia ¸ia u = cos2 t, de unde u(t) = 12 t + 14 sin2t sin2t. In consecint ¸˘ a, solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei date este x(t) = C

1 · cos1 t + ( 12 t + 14 sin2t sin2t) · , cos t

t

∈R\



π + nπ . 2




166

7. Ecuat Ecuat ¸ii ¸ii de ordinul ordi nul ˆıntˆ ai ai reductib redu ctibile ile la ecuat ecua t¸ii ¸ii liniare

a). Ecuat ¸ia Bernoulli este o ecuat¸ie ¸ie de forma x = a(t)x + b(t)xα ,

α

∈ R \ {0, 1}.

(12.18)

Prin schimbarea de funct¸ie ¸ie x1−α = y, ecuat ecuat¸ia ¸ia Bernoulli se transform˘a ˆıntr-o ecuat¸ie ¸ie liniar˘a. a. Intr-adev˘ar, ar, cum (1 α)x−α x = y , ˆınloc ınl ocuin uind d ˆın (12.18) (12. 18) obt¸inem ¸inem

−

y = (1

− α)a(t)y + (1 − α)b(t),

care este o ecuat¸ie ¸ie liniar˘ a. a. b). Ecuat ¸ia Riccati este o ecuat¸ie ¸ie de forma x = a(t)x2 + b(t)x + c(t).

(12.19)

Dac˘a se cunoa¸ cun oa¸ste ste o solut so lut¸ie ¸ie particular˘a x∗ (t) a ecuat¸iei ¸iei Riccati, prin schimbarea de funct¸ie ¸ie 1 ∗  x = x + y , ecuat¸ia ¸ia (12.19) se transform˘a ˆıntr-o ıntr -o ecuat ecua ¸ie ¸t ie liniar˘ a. a. Intr-ade Intr-adev˘ v˘ar, ar, cum x = 1  ∗  (x ) ¸ia ¸ia (12.19) devine y 2 y , ecuat

−



1 1 (x∗ ) − 2 y  = a(t) x∗ + y

y



2

 

+ b(t) x∗ +

1 y

+ c(t).

De unde, ¸inˆ ¸t inând and seam˘a c˘a x∗ este solut¸ie, ¸ie, obt¸inem ¸inem y =

−(2x (2x∗ (t)a(t) + b(t))y ))y + a(t),

care este o ecuat¸ie ¸ie liniar˘ a. a. 8. Ecuat Ecuat ¸ii ¸ii algebri alge brice ce ˆ ın x

Fie ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a a0 (t, x)(x )(x )n + a1 (t, x)(x )(x )n−1 +

· · · + an−1(t, x)x + an(t, x) = 0,

(12.20)

care se obt¸ine ¸ine prin p rin anularea unui polinom poli nom ˆın ın x cu coeficient¸ii ¸ii ak (t, x) funct¸ii ¸ii continue conti nue ¸si si a0 (t, x) = 0. Considerat˘ a ca ecuat¸ie ¸ie algebric˘a ˆın x , (12.20) ( 12.20) are n r˘ad˘ ad˘ acini acini f k (t, x), k = 1, n. Fiecare  r˘ad˘ ad˘acin˘ acin˘ a real˘a ne d˘a o ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de forma x = f ( Orice solut solut¸ie ¸ie a unei f (t, x). Orice astfel de ecuat¸ii ¸ii este solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei (12.20).



12.1 12 .1.5 .5

Alte Alte ecua ecuat ¸ii ¸tii de ordinul ordi nul ˆıntˆ ai, ai, integrabile integra bile prin metode metod e elementare

1. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia x = f ( f (x )

Dac˘a f este o funct¸ie ¸ie cu derivat˘a continu˘a, a, solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei x = f ( f (x ) este dat˘ a parametric de 1  t= f ( p) p) dp + C, x = f ( f ( p) p). p




167

Intr-adev˘ar, ar, s˘a punem x = p ¸si sa˘ lu˘am am pe p ca variabil˘ a independent˘a. a. Avem dx = f  ( p) p) dp,

x = f ( f ( p) p),

dt =

1 1 dx = f  ( p) p) dp, p p

de unde obt¸inem ¸inem pe t ca funct¸ie ¸ie de p printr-o cuadratur˘a. a. Exemplul 12.12 S˘ a se integreze int egreze ecuat ¸ia

x = an (x )n + an−1 (x )n−1 +

· · · + a1x + a0.

dx, de unde Punem x = p. Atunci dx = p dt, dt, dt = p1 dx, t=

1 (nan pn−1 + (n (n p



− 1)a 1)an−1 pn−2 + · · · + a1 ) dp.

Solut ¸ia general˘ a este dat˘ a de



1 n n−1 n−2 t = n− + nn− + + a2 p + a1 ln p ln p + C, 1 an p 2 an−1 p − n n−1 x = an p + an−1 p + + a1 p + a0 , p > 0.

···

···

2. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (x, x ) = 0

Integrarea ecuat¸iei ¸iei F ( F (x, x ) = 0 se reduce la o cuadratur˘a dac˘a se cunoa¸ste ste o reprezentare parametric˘ a a curbei F ( F (u, v) = 0, anume u = ϕ(τ ), τ ), v = ψ (τ ), τ ), τ [a, b]. Intr-adev˘ar, ar, dac˘a ϕ ¸si si ψ sunt continue, iar ϕ are derivat˘a continu˘a pe [a, [ a, b], putem  scrie x = ϕ(τ ), τ ), x = ψ(τ ), τ ), τ [a, b] ¸si si deci dec i

∈

∈

dx = ϕ (τ ) τ ), dτ

dt =

1 ϕ (τ ) τ ) dτ, ψ(τ ) τ )

ˆıncat aˆt integrala general˘a este dat˘a parametric parametric de t=



1 ϕ (τ ) τ ) dτ + C, ψ (τ ) τ )

x = ϕ(τ ) τ ).

3. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia t = f ( f (x )

Dac˘a f este o funct¸ie ¸ie cu derivat˘a continu˘a, a, solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei t = f ( f (x ) este dat˘a parametric de t = f ( p) p),

x=



pf  ( p) p) dp + C.

Intr-adev˘ar, ar, s˘a punem x = p ¸si sa˘ lu˘am am pe p ca variabil˘ a independent˘a. a. Avem t = f ( f ( p) p),

dt = f  ( p) p) dp,

dx = p dt = pf  ( p) p) dp,

de unde obt¸inem ¸inem pe x ca funct¸ie ¸ie de p printr-o cuadratur˘a. a. 

Exemplul 12.13 S˘ a se integreze ecuat ¸ia ¸ia t = 2x + ex . Pune Punem m x = p. Atunc tunci i t =

2 p + e p , dx = p dt = (2 p (2 p + pe p) dp. dp. Solut ¸ia general˘ a este dat˘ a de t = 2 p 2 p + e p ,

x = p2 + ( p ( p

− 1)e 1)e p + C.


168

4. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (t, x ) = 0

Integrarea ecuat¸iei ¸iei F ( F (t, x ) = 0 se reduce la o cuadratur˘a dac˘a se s e cunoa¸ c unoa¸ste ste o reprezentare parametric˘ a a curbei F ( F (u, v) = 0, anume u = ϕ(τ ), τ ), v = ψ(τ ), τ ), τ [a, b]. Intr-adev˘ar, ar, dac˘a ϕ ¸si si ψ sunt continue, iar ϕ are derivat˘a continu˘a pe [a, [ a, b], putem dx τ ), τ [a, b] ¸si scrie t = ϕ(τ ), τ ), dt = ψ (τ ), si deci de ci

∈

∈

dx = ϕ (τ ) τ )ψ(τ ) τ ) dτ,

ˆıncat aˆt integrala general˘a este dat˘a parametric parametric de t = ϕ(τ ) τ ),

x=



ψ(τ ) τ )ϕ (τ ) τ ) dτ + C.

5. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia Lagrange

Se nume¸ nume¸ste st e ecuat ¸ie Lagrange o ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de forma A(x )t + B (x )x + C (x ) = 0, cu A, B , C funct¸ii ¸ii continue, continue, cu derivate de ordinul ˆıntˆ ai continue pe un interval [a, ai [ a, b]. Dac˘a B (x ) = 0, ecuat¸ia ¸ia Lagrange se poate scrie sub forma



x = ϕ(x )t + ψ(x ).

Integrarea ecuat¸iei ¸iei Lagrange se reduce la integrarea unei ecuat¸ii ¸ii liniare. liniare. Intr-ade Intr-adev˘ v˘ ar, ar,  dac˘ a not˘am am x = p, avem x = ϕ( p) am ˆın raport rap ort cu t ¸si ¸inem p)t + ψ( p). p). Deriv˘am ¸tinem seama c˘a p este funct¸ie ¸ie de t: dp p ϕ( p) p) = [ϕ ( p) p)t + ψ ( p)] p)] , (12.21) dt de unde, pentru p ϕ( p) p) = 0, rezult˘a

−

−



dt ϕ ( p) ψ  ( p) p) p) = t+ , dp p ϕ( p) p) p ϕ( p) p)

−

−

care este o ecuat¸ie ¸ie liniar˘ a ˆın t ca funct¸ie ¸ie necunoscut˘a ¸si p ca variabil˘ a independent˘a. a. Prin integrarea acesteia obt¸inem ¸inem pe t ca funct¸ie ¸ie de p, care ˆımpreun˘a cu x = ϕ( p) p)t + ψ( p) p) determin˘ a integrala i ntegrala general˘a sub s ub form˘a parametric˘a. a. Dac˘a p = p0 este o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a a ecuat¸iei ¸iei p ϕ( p) p) = 0, atunci p(t) = p0 este o solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei (12.21) ¸si si deci x = p0 t + ψ( p0 ) este o solut¸ie ¸ie singular˘a a ecuat¸iei ¸iei lui Lagrange. Evident, vom avea atâtea atea solut¸ii ¸ii particulare câte ate r˘ad˘ ad˘ acini acini are ecuat¸ia ¸ia p ϕ( p) p) = 0.

−

−

Exemplul 12.14 S˘ a se integreze ecuat ¸ia ¸ia x = 2tx + (x )2 . Pune Punem m x = p. Atun Atunci ci

x = 2tp 2 tp + p2 ¸si si diferen dif erent ¸iem: t dx = 2 pdt + 2t 2t dp + 2 pdp 2 pdp.. Dar dx = p dt ¸si si deci dec i dt 2 = t dp p

− − 1,

care este o ecuat ¸ie liniar˘ a, a c˘ arei solut ¸ie general˘ a, pentru p = 0, este t = pC 2 solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei date se scrie



C t= 2 p

p , 3

2C p2 x= + , p 3

− p ∈ R \ {0}. Pentru p = 0 se obt ¸ine x(t) ≡ 0, care este o solut ¸ie singular˘ a.

− p3 , ˆıncˆ ın cât at


169

6. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia Clairaut

Se nume¸ nume¸ste st e ecuat ¸ie Clairaut o ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de forma x = tx + ψ (x ). unde ψ este o funct¸ie ¸ie cu derivat˘a continu˘a pe un interval [a, [ a, b]. Ecuat¸ia ¸ia Clairaut este o ecuat¸ie ¸ie Lagrange particular˘a, a, anume cu ϕ( p) p) = p. Pent Pentru ru integrarea ei proced˘am am la fel ca pentru integrarea ecuat¸iei ¸iei Lagrange. Lagrange. Inlocuim x = p, x = tp + ψ( p), p), apoi deriv˘aam m ˆın raport ra port cu t ¸si ¸inem ¸tin em seama se ama c˘a p este funct¸ie ¸ie de t. Obt¸inem ¸inem (t + ψ  ( p)) p))

· dp = 0. dt

Avem dou˘a pos p osib ibil ilit˘ it˘at a¸i. ¸t i. Sau dp si si deci de ci x(t) = Ct + ψ(C ) este solut¸ia ¸ia genera gen eral˘ l˘a dt = 0, p = C ¸ a ecuat¸iei ¸iei Clairaut. Sau t + ψ ( p) p) = 0, care ne conduce la solut¸ia ¸ia singular˘a t=

−ψ ( p) p),

x = pψ ( p) p) + ψ ( p) p).

−

Exemplul 12.15 S˘ a se integreze ecuat ¸ia ¸ia x = tx + (x )n . Pune Punem m x = p ¸si si deriv de rivˆ ând and

obt ¸inem: p = tp + p + npn−1 p sau p (t + npn−1 ) = 0. Avem Avem:: p = 0, p = C , care d˘ a solut ¸ia gereral˘ a x(t) = Ct + C n . Sau t = npn−1 , x = (1 n) pn , care reprezint˘ ao integral˘ a singular˘ a.

−

−

7. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia x = f ( f (t, x )

Notând and x = p, avem x = f ( f (t, p) ¸si si deri de riv˘ v˘aam m ˆın raport ra port cu t, ¸inˆ ¸tinând and seama c˘a p este funct¸ie ¸ie de t. Obt¸inem ¸inem ∂f ∂f dp p = + , ∂t ∂p dt

·

de unde putem explicita pe dp/dt. dp/dt. Dac˘ a aceast˘a ecuat¸ie ¸ie poate fi integrat˘a ¸si p = ϕ(t, C ) este solut¸ia ¸ia sa general˘a, a, atunci x(t) = f (t, ϕ(t, C )) )) este solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei date. Exemplul 12.16 S˘ a se integreze int egreze ecuat ¸ia

(x )2 + tx + 3x 3x + t2 = 0. 0. Punem x Punem x = p, avem p avem p2 +tp+3 tp+3x x+t2 = 0. 0 . Deriv˘ Der iv˘am am ˆın ın raport rapor t cu c u t: 2 pp + p+ p+tp +3 p +3 p+2 +2tt = 0   sau (2 p + 1)( p + 2) = 0. 0. Din p = 2 urmeaz˘ a p = 2t + C , de unde solut ¸ia general˘ a

−

x(t) = Apoi t =

−

− 13 [t2 + t(C − 2t) + (C ( C − 2t)2 ],

t

∈ R.

−2 p ¸si si x = − p2 , care reprezint˘ a o integral˘ a singular˘ a.


170

8. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia t = f ( f (x, x )

Notând and x = p, avem t = f ( f (x, p) ¸si si deriv˘ der iv˘am am ˆın raport rapor t cu x, considerând and pe t ¸si si p ca funct¸ii ¸ii de x. Obt¸inem ¸inem 1 ∂f ∂f dp = + . p ∂x ∂p dx

·

Dac˘a putem integra aceast˘a ecuat¸ie ¸i e ¸si p = ϕ(x, C ) este solut¸ia ¸ia sa general˘a, a, atunci t(x) = f ( f (x, ϕ(x, C )) )) este solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei date. Exemplul 12.17 S˘ a se integreze ecuat ¸ia ¸ia t =

1 p x

n

+ p . Deriv˘ am ˆın raport cu x. Obt ¸inem dp (npn−1 dx

·

1 x



x + (x )n . Pune Punem m x = p, avem t =

− p12 ) = 0.

dp Deci dx = 0, p = C , de unde solut solut ¸ia general˘ a t(x) = n t = (n + 1) p 1) p , care reprezint˘ a o integral˘ a singular˘ a.

12.1.6 12.1.6

1 C x

+ C n , sau x = npn+1 ,

Teorem eorema a de existe existent nt ¸˘ a¸ si si uni un icit ci tate at e

In cele ce urmeaz˘a vom stabili condit¸iile ¸iile ˆın ın care problema lui Cauchy pentru o ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul ˆıntâi ai are solut¸ie ¸ie unic˘a ¸si si vom da d a un mijloc mijlo c de construct construc t¸ie ¸ie efectiv˘a a acestei solut¸ii. ¸ii. Fie ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul ordi nul ˆıntâi ai x = f ( f (t, x),

(12.22)

x(t0 ) = x0 .

(12.23)

cu condit¸ia ¸ia init¸ial˘ ¸ial˘ a Teorema 12.3 Dac˘ a:

a). funct ¸ia f ¸ia f ((t, x) este continu˘ a pe domeniul ˆınchis ınchis D, definit prin

∈ R2 |t − t0| ≤ a, |x − x0| ≤ b} b). pentru orice (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ D, funct ¸ia f ¸ia f ((t, x) satisface satisface inegalitatea inegalitatea |f ( f (t, x1 ) − f ( f (t, x2 )| < L |x1 − x2 |, L > 0, numit˘ a condit ¸ia lui Lipschitz, Lipschitz, atunci atunci exist˘ a un num˘ ar real pozitiv h ≤ a ¸si si o singur˘ a funct ¸ie ¸ie x = x(t) definit˘ a ¸si si derivabil˘ derivabil ˘ a pe intervalul [t0 − h, t0 + h], solut solut ¸ie a ecuat ¸iei (12.22) pe intervalul [t0 − h, t0 + h] ¸si si care satis sa tisface face condit ¸ia init ¸ial˘ a (12.23). {

D = (t, x)

 Funct¸ia ¸ia f ( f (t, x) este continu˘a pe domeniul ˆınchis D, deci este m˘arginit˘ arginit˘ a pe D. Fie M > 0, a.ˆı. f ( f (t, x) M, (t, x) D.

|

|≤ ∈ Lu˘am am h = min {a, b/M b/M } ¸si fie I = [t0 − h, t0 + h].


171

Pentru Pentru determinar determinarea ea solut¸iei ¸iei vom folosi metoda aproximat aproximat ¸iilor ¸iilor succesive succesive.. Me Meto toda da const˘ a din a construi un ¸sir sir de funct¸ii ¸ii x0 , x1 (t), . . . , x n (t), . . . care converge ˆın mod uniform p e I c˘ atre atre o funct¸ie ¸ie care c are ˆındepl ınd epline¸ ine¸ste ste condit cond it¸iile ¸iile din enunt¸ul ¸ul teoremei. Primul termen al ¸sirului sirul ui ˆıl lu˘am am x0 ¸si si se nume¸ste ste aproxima apr oximatt¸ia ¸ia de ordinul ordinul zero. zero. Al doilea termen al ¸sirului sirului de funct¸ii, ¸ii, numit ¸si si aproximat¸ia ¸ia de ordinul ˆıntâi, ai, ˆıl definim prin t

x1 (t) = x0 +



f (t, x0 ) dt,

∈ I,

t

t0

aproximat¸ia ¸ia de ordinul doi prin t

x2 (t) = x0 +



f ( f (t, x1 (t)) dt,

∈ I

t

t0

¸si si ˆın general gene ral,, aproxima apr oximat¸ia ¸t ia de ordinul n, prin t

xn (t) = x0 +



t0

f ( f (t, xn−1 (t)) dt,

t

∈ I.

(12.24)

S¸ irul iru l de funct fun ct¸ii ¸ii astfel definit are urm˘atoarele atoarele propriet˘at a¸i ¸ti 1. Toate funct¸iile ¸iile xn (t), n = 1, 2, 3, . . . satisfac condit¸ia ¸ia init¸ial˘ ¸ial˘ a xn (t0 ) = x0 . 2. Tot¸i ¸i termenii ¸sirului sirului sunt funct¸ii ¸ii continue pe intervalul I . IntrIntr-ade adev˘ v˘ ar, ar, f este continu˘a pe D, deci toate integralele integralele care intervin intervin sunt funct¸ii ¸ii continue pe I . 3. Pentru orice n N, xn (t) [x0 b, x0 + b], pentru t [t0 h, t0 + h]. Demonstrat¸ie ¸ie prin induct¸ie. ¸ie. Deoarece f ( f (t, x0 ) M , avem

∈

∈

t

|x1 − x0| =



−

|

|≤

t

 ≤  |

f ( f (t, x0 ) dt

t0

∈ −

 ≤

f ( f (t, x0 ) dt

|

t0

−

| − t0| ≤ M h ≤ b.

M t

S˘ a presupunem c˘a aproximat¸ia ¸ia de ordinul n 1 ˆındepli ınd epline¸ ne¸ste ste aceast˘ acea st˘a condit¸ie, ¸ie, deci xn−1 [x0 b, x0 + b]. Atunci f ( f (t, xn−1 ) M ¸si si putem pute m scri s criee

−

|

|≤

t



∈

 ≤

|xn − x0| = f ( f (t, xn−1 ) dt M |t − t0 | ≤ M h ≤ b, t prin urmare, pentru t ∈ I toate aproximat¸iile ¸iile apart¸in ¸in intervalului [x [x0 − b, x0 + b]. Vom ar˘ata ata acum c˘a ¸sirul sirul de funct¸ii ¸ ii (x (xn (t)) conver converge ge uniform uniform pe interv intervalul alul I la o funct¸ie ¸ie x(t) când n → ∞. Convergent¸a ¸a acestui ac estui ¸sir sir este echivalent˘a cu convergent¸a ¸a seriei de funct¸ii ¸ii x0 + (x (x1 − x0 ) + (x (x2 − x1 ) + · · · + (x (xn − xn−1 ) + · · · , (12.25) 0

deoarece ¸sirul sirul sumelor part¸iale ¸iale ale seriei (12.25) este tocmai to cmai ¸sirul sirul ( xn ). at˘ am am Pentru a ar˘ata ata c˘a seria (12.25) este uniform convergent˘a pe I este suficient s˘a ar˘at˘ c˘a ea este majorat˘ a de o serie numeric˘a cu termeni pozitivi convergent˘a. a. Mai precis, vom ar˘ata ata c˘a pentru orice t I ,

∈

n

|xn(t) − xn−1(t)| ≤ M · Ln−1 · |t −nt!0|

,

n

∈ N.

(12.26)


172

Demonstrat¸ie ¸ie prin induct¸ie. ¸ie. Avem t

|x1(t) − x0| =



 ≤

f ( f (t, x0 ) dt

t0

| − t0|,

M t

deci pentru n = 1 inegalitatea (12.26) este verificat˘a. a. Presupunem Presupunem c˘ a ea este adev˘ adev ˘arat˘ arat ˘a pentru n 1, adic˘a

−

n 1

−

|xn−1(t) − xn−2(t)| ≤ M · Ln−2 · |t(−n −t0|1)!

(12.27)

¸si ar˘at˘am am c˘a este adev˘arat˘ arat˘ a ¸si si pentr pe ntru u n. Avem t

   |≤

|xn(t) − xn−1(t)

[f (t, xn−1 )

t0

− f ( f (t, xn−2 )] dt

¸si si dac˘ da c˘a folosim condit¸ia ¸ia lui Lipschitz ¸si si inegalitatea (12.27), ( 12.27), g˘asim asim t

|xn(t) − xn−1(t)| ≤ L de unde (12.26). Deoarece t t0

 |

xn−1

t0

 ≤

− xn−2| dt

| − | ≤ h, avem avem majorar ma jorarea ea



t

L

(Lh) Lh) |xn(t) − xn−1(t)| ≤ M · L n!

 

|t − t0|n−1 dt , ML −

,

t

n 2

(n

t0

− 1)!



n

∈ I,

de unde rezult˘a c˘ a seria (12.25) este absolut ¸si si uniform convergent˘ convergent˘a pe I , deoarece deoarece seria numeric˘a ∞ M (Lh) Lh)n L n! 1



·

este convergent˘ convergent˘ a. a. Intr-adev˘ar, ar, folosind criteriul raportului avem an+1 Lh = lim lim = 0. n→∞ an n→∞ n + 1 lim

Se poate observa c˘a avem efectiv

∞ M (Lh) Lh)n

 1

L

·

n!

=

M (eLh L

·

− 1). 1).

Rezult˘ a de aici c˘a ¸sirul sir ul aproximat aprox imat¸iilor ¸iilor succesive succesi ve are ca limit˘ l imit˘a o funct¸ie ¸ie continu˘a pe I lim xn (t). x(t) = lim n

→∞

Trecând and la limit˘a ˆın relat rel at¸ia ¸ia de recurent¸˘ ¸a˘ (12.24), g˘asim asim c˘a t

x(t) = x0 +



t0

f ( f (τ, x(τ )) τ )) dτ ,

t

∈ I.

(12.28)


173

Derivˆ and and (12.28) ˆın raport rapor t cu t, obt¸inem ¸inem x (t) = f ( f (t, x(t)), )),

t

∈ I,

de unde deducem c˘a funct¸ia ¸ia x = x(t) este solut¸ie ¸ie pe I a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (12.22). Ea verific˘ a ¸si si condi con dit¸ia ¸t ia init¸ial˘ ¸ial˘ a (12.23), cum rezult˘a din (12.28). Unicitatea solut¸iei ¸iei rezult˘a din unicitatea limitei unui ¸sir sir convergent. convergent. Funct¸iile ¸iile xn (t) constituie aproximat¸ii ¸ii ale solut¸iei ¸iei x(t), care sunt cu atât at mai apropiate de x(t) cu cât at n este mai mare. Deci metoda folosit˘a ˆın demonstrt demonstr ¸ia ¸t ia precedent˘a, a, numit˘a metoda aproximat¸iilor ¸iilor succesive succesive,, d˘ a ¸si si un procedeu procedeu de aproximar aproximaree a solut¸iei ¸iei ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (12.22) care trece printr-un punct dat ( t0 , x0 ), adic˘a un procedeu de rezolvare a problemei lui Cauchy.

12.2

Ecua¸ii ¸t ii diferent ¸iale de ordin superior ¸iale

12.2 12 .2.1 .1

Solu Solut ¸ia ¸tia general˘ gene ral˘ a. a. Solut ¸ii ¸ii particulare

Fie ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a

F ( F (t,x,x , . . . , x(n) ) = 0.

(12.29)

Ordinul maxim al derivatei care figureaz˘a ˆın (12.29) (12 .29) se nume¸ste ste ordinul ecuat¸iei ¸iei diferen¸iale ¸t iale (12.29). Dac˘a n 2 spunem c˘a ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a este de ordin superior . Reamintim c˘a funct¸iile ¸iile x = x(t), definite pe intervalul [a, [ a, b], avˆ and and derivate pân˘ an˘a la ordinul n inclusiv ˆın orice punct al intervalului intervalului [a, b] se nume¸ste ste solut ¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (12.29) pe intervalul [a, [ a, b] dac˘a

≥

0, F ( F (t, x(t), x (t), . . . , x(n) (t)) = 0,

∀t ∈ [a, b].

Exemplul 12.18 Ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a de ordinul trei

x

− x + x − x = 0

admite solut ¸iile x1 (t) = et , x2 (t) = cos t, x3 (t) = sin t. Ecuat ¸ia admite ¸si si solut ¸ia x(t) = C 1 et + C 2 cos t + C 3 sin t,

t

∈ R,

unde C 1 , C 2 , C 3 sunt constante arbitrare. Din exemplul precedent se vede c˘a solut¸iile ¸iile unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale de ordin superior pot depinde de constante arbitrare. Definit ¸ia ¸ia 12.6 Funct ¸ia x = x(t, C 1 , C 2 , . . . , Cn ) este solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat ¸iei dife2 rent ¸iale (12.29) ˆın domeniul D R , dac˘ a este solut ¸ie a ecuat ¸iei (12.29) ¸si si dac˘ a prin

⊂

alegerea convenabil˘ a a constantelor se transform˘ a ˆın orice solut ¸ie a ecuat ¸iei (12.29) al c˘ arei grafic se afl˘ a ˆın D.


174

Solut¸ia ¸ia general˘a a unei ecuat¸ii ¸ii diferent diferent¸iale ¸iale de ordinul n poate fi scris˘a ¸si si sub su b form fo rm˘˘a implicit˘ a Φ(t,x,C Φ(t,x,C 1 , C 2 , . . . , Cn ) = 0. De obicei, unei relat¸ii ¸ii de aceast˘a form˘ for m˘a i se d˘a denumirea de integrala general˘ a a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale de ordinul n. Solut¸ia ¸ia general˘a a unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale de ordinul n poate fi scris˘a ¸si si sub form˘a parametric˘ a t = ϕ(τ, C 1 , C 2 , . . . , Cn ), x = ψ (τ, C 1 , C 2 , . . . , Cn ). Definit ¸ia ¸ia 12.7 Numim solut¸ie ¸ie particular˘a a ecuat ecuat ¸iei (12.29) (12.29) orice orice funct ¸ie x = x(t), t [a, b], (t, x) D R2 , care se obt ¸ine din solut ¸ia general˘ a dˆ and and valori particulare

∈

∈ ⊂

constantelor C constantelor C 1 , C 2 , . . . , Cn . Graficul unei solut¸ii ¸ii particular˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.29) este o curb˘a plan˘a numit˘a curb˘ a integral˘ a . Exemplul 12.19 Ecuat ¸ia x ¸ia x  + x = t are solut ¸ia ¸ia general˘ a x(t) = C 1 cos t + C 2 sin t + t, R. Funct t unct ¸ia x(t) = cos t + t este o solut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a care se obt ¸ine din solut ¸ia ¸ia

∈

general˘ a pentru C 1 = 1 ¸si si C 2 = 0. 0. Solut¸ia ¸ia general˘a a unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale de ordinul n depinde depinde de n constante arbitrare.

12.2.2 12.2.2

Integr Integrale ale int interme ermediar diare. e. Integr Integrale ale prime prime

Fie dat˘a ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul n F ( F (t,x,x , . . . , x(n) ) = 0

(12.30)

Φ(t,x,C Φ(t,x,C 1 , C 2 , . . . , Cn ) = 0

(12.31)

¸si fie

−

integrala sa general˘a. a. Dac˘ a deriv˘am am relat¸ia ¸ia (12.31) de n k ori ¸si si elimin eli min˘ a˘m ˆıntre aceste am aces te n k + 1 relat¸ii ¸ii constantele C k+1 , C k+2 , . . . , Cn , obt¸inem ¸inem o relat¸ie ¸ie de forma

−

Ψ(t,x,x Ψ(t,x,x , . . . , x(n−k) C 1 , C 2 , . . . , Ck ) = 0.

(12.32)

Definit ¸ia ¸ia 12.8 Se nume¸ nu me¸ste st e integral˘ a intermediar˘a a ecuat ¸iei (12.30) o ecuat ¸ie diferent ¸i-

−

≥

al˘ a de ordinul n k , de forma (12.32), care cont ¸ine k 1 constante arbitrare ¸si si care este est e verificat˘ a de integrala general˘ a (12.31) a ecuat ¸iei (12.30). In particu particular, lar, pentru k = 1, (12.32) se nume¸ste ste integral˘ a prim˘a. Cunoa¸sterea sterea unei integrale intermediare simplific˘a rezolva rezolvarea rea ecuat¸iei ¸iei diferent diferent¸iale ¸iale init¸iale. ¸iale. Dac˘ a (12.32) este o integral˘a intermediar˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.30), atunci integrarea ecuat¸iei ¸iei (12.30) se reduce la integrarea ecuat¸iei ¸iei (12.32), care este o ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul n k. Intr-adev˘ar, ar, integrala general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.32) cont¸ine ¸ine n k constante arbitrare arbitra re ¸si si dac˘ a ad˘aug˘ aug˘ am am la acestea cele k constante care intr˘a ˆın structura str uctura ecuat¸iei ¸iei (12.32), solut¸ia ¸ia g˘ asit˘ asit˘ a va cont¸ine ¸ine n constante arbitrare, deci va fi integrala general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.30).

−

−


175

In particular, particu lar, cunoa¸sterea sterea a n integrale prime distincte ale ecuat¸iei ¸iei (12.30) Ψi (t,x,x , . . . , x(n−1) C i ) = 0,

i = 1, 1, n

(12.33)

este echivalent˘ echivalent˘ a cu cunoa¸sterea sterea solut¸iei ¸iei generale a ecuat¸iei ¸iei (12.30), deoarece din sistemul (n−1)  (12.33) putem obt¸ine ¸ine pe x, x , . . . , x ˆın func fu nct¸ie ¸t ie de t, C 1 , C 2 , . . . , C n , de unde, ˆın particular, rezult˘a x = x(t, C 1 , C 2 , . . . , Cn ), adic˘a solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei (12.30).

12.2 12 .2.3 .3

Cond Condit it ¸ii init ¸iale. ¸iale. Problema lui Cauchy Cauchy

In multe probleme care conduc la rezolvarea unei ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale de forma (12.30) nu este necesar s˘a cunoa¸ c unoa¸stem stem solut sol ut¸ia ¸ia general˘a ci doar o anumit˘a solut¸ie, ¸ie, care s˘a satisfac˘a anumite condit¸ii, ¸ii, numite condit ¸ii init ¸iale ¸si si care o determin˘ determin ˘a ˆın ın mod unic. unic . In general, se cere o solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei (12.30) cu proprietatea c˘a pentru t = t0 , x ¸si si derivatele sale pân˘ an˘ a la ordinul n 1 iau valori date

−

x(t0 ) = x0 , x (t0 ) = x0 , . . . , x (n−1) (t0 ) = x0n−1 .

(12.34)

Problema determin˘arii arii solut¸iei ¸iei x(t) care satisface condit¸iile ¸iile init¸iale ¸iale (12.3 (12.34) 4) se nume¸ste ste problema lui Cauchy .

12.2 12 .2.4 .4

Ecua Ecuat ¸tii de ordin superior integrabile prin cuadraturi ¸ii

1. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia x(n) = 0

Este cea mai simpl˘a ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul n. Prin n cuadraturi succesive obt¸inem ¸inem solut¸ia ¸ia general˘a sub forma x(t) =

C 1 C 2 tn−1 + tn−2 + (n 1)! (n 2)!

−

−

adic˘a un polinom arbitrar de gradul n

· · · + C n1!−1 t + C n,

− 1.

Exemplul 12.20 S˘a se g˘ aseasc˘ asea sc˘a solut so lut ¸ia ecuat ¸iei x(5) = 0, 0 , care satisface condit ¸iile init ¸i-

ale: x(0) = 1, 1, x (0) = 0, 0, x (0) =

−1, x(3)(0) = 0,0, x(4)(0) = 1.1.

Solut ¸ia general˘ a este x(t) =

C 1 4 C 2 3 C 3 2 C 4 t + t + t + t + C 5 . 4! 3! 2! 1!

Condit ¸iile init ¸iale precizate conduc la solut ¸ia particular˘ a x(t) =

1 4 t 24

− 12 t2 + 1,1,

t

∈ R.


176

2. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia x(n) = f (t)

Dac˘a f este continu˘a pe intervalul [a, [a, b], solut¸ia ¸ia general˘a a acestei ecuat¸ii ¸ii se poate pune sub forma x(t) =

t

1 (n



− 1)!

(t

t0

C 1 C n−1 − τ ) τ )n−1 f ( f (τ ) τ ) dτ + tn−1 + · · · + t + C n , (n − 1)! 1!

∈

cu t0 [a, b]. Intr-adev˘ar, ar, ecuat¸ia ¸ia se mai scrie (x ( x(n−1) ) = f ( f (t), de unde, prin cuadraturi succesive, avem t x(n−1) = t0 f ( f (t) dt + C 1 , t t (n−2) x = t0 dt t0 f ( f (t) dt + C 1 (t t0 ) + C 2 ,

   ··· ··· ··· · · ·    · · ·  t t0

x=

t t0

dt

t t0

dt

−

f ( f (t) dt +

−

R˘ amˆ amˆ ane ane de ar˘atat atat c˘a t

t

dt

t0

t

dt

f ( f (t) dt =

t0

t0

− + · · · + C 1 t + C n . 1!

C 1 n 1 (n 1)! t

t

1 (n

n−

− 1)!



− τ ) τ )n−1 f (τ ) τ ) dτ.

(t

t0

(12.35)

Prin induct¸ie ¸ie dup˘a n. Pentru n = 2, avem t

t

  dt

t0

t

f ( f (t) dt =

t0

θ

  dθ

t0

t

f (τ ) τ ) dτ =

t0

θ

  [

t0

f ( f (τ ) τ ) dτ ] dτ ] dθ =



f ( f (τ ) τ ) dθdτ,

D

t0

unde D este triunghiul din planul θτ m˘ arginit arginit de dreptele τ = θ, θ = t ¸si si τ = t0 . Inversând and ordinea de integrar integrare, e, putem scrie



t

f ( f (τ ) τ ) dθdτ =

D

t

  [

t0

t

f ( f (τ ) τ ) dθ] dθ] dτ =

τ



(t

t0

− τ ) τ )f ( f (τ ) τ ) dτ.

Deci formula (12.35) este adev˘arat˘ arat˘ a pentru n = 2. Presupunem (12.35) adev˘arat˘ arat˘ a pentru n 1 ¸si si ar˘ ar ˘at˘ at˘ am am c˘a este adev˘arat˘ arat˘ a pentru n. Din (12.35) (12.35) pentru pentru n trecut trec ut ˆın n 1, integrând and ˆın raport rap ort cu t avem

−

−

t

t

dt

dt

t0

2)! 1

f ( f (t) dt =

t0

t0

t

1

(n

t

  · · ·    − −   − θ

dθ

t0

(n

− 2)!

τ ) τ )n−2 f ( f (τ ) τ ) dτ =

(θ

t

dτ

(θ

dt

t0

τ ) τ )n−2 f ( f (τ ) τ ) dτ =

(t

t0

1

2)!

τ ) τ )n−2 f ( f (τ ) τ ) dθ =

1

(n 2)! t0 τ Deci formula este adev˘arat˘ arat˘ a pentru orice n.

−

t

  −  − −  −

(n

t0

t

t

1

(n

− 1)!

(θ

τ ) τ )n−2 f ( f (τ ) τ ) dθdτ =

D

t

(t

τ ) τ )n−1 f ( f (τ ) τ ) dτ.

t0

Exemplul 12.21 S˘ a se determine determin e solut ¸ia ecuat ¸iei x = sin t, care satisface condit ¸iile

init ¸iale x(0) = 1, 1, x (0) = general˘ a

−1, x (0) = 0.0.

Prin trei trei integr˘ integr˘ ari succesive obt ¸inem solut ¸ia ¸ia

1 x(t) = cos t + C 1 t2 + C 2 t + C 3 . 2 Solut ¸ia problemei lui Cauchy este x(t) = cos t + t2 t.

−


177

3. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (t, x(n) ) = 0

Dac˘a se cunoa¸ste ste o reprezentare reprezentare parametric˘a a curbei F ( F (u, v ) = 0 ¸si si anume u = ϕ(τ ), τ ), v = ψ(τ ), τ ), cu ϕ ¸si si ψ funct¸ii ¸ii continue conti nue ¸si si ϕ cu derivat˘a continu˘a pe [a, [ a, b], atunci integrala general˘ a pe [a, [a, b] a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale se obt¸ine ¸ine prin n cuadraturi. (n) Intr-adev˘ar, ar, luˆ and and t = ϕ(τ ), τ ), x = ψ(τ ), τ ), avem dt = ϕ (τ ) τ ) dτ , dτ , dx(n−1) = ψ (τ ) τ ) dt = ψ (τ ) τ )ϕ (τ ) τ ) dτ . De unde obt¸inem ¸inem printr-o cuadratur˘a (n 1)

x − =



ψ(τ ) τ )ϕ (τ ) τ ) dτ + C 1 = Ψ1 (τ ) τ ) + C 1 .

Apoi dx(n−2) = (Ψ1 (τ ) τ ) + C 1 ) dt = (Ψ1 (τ ) τ ) + C 1 )ϕ (τ ) τ ) dτ . dτ . De unde (n 2)

x − =



Ψ1 (τ ) τ )ϕ (τ ) τ ) dτ + C 1 ϕ(τ ) τ ) + C 2 = Ψ 2 (τ ) τ ) + C 1 ϕ(τ ) τ ) + C 2 .

Repetând and operat¸ia ¸ia de n ori, obt¸inem ¸inem solut¸ia ¸ia sub form˘a parametric˘a t = ϕ(τ ) τ ),

x = Ψn (τ ) τ ) + P n−1 (ϕ(τ )) τ )),,

−

ˆın care ca re P n−1 este un polinom de gradul n 1 ˆın ϕ(τ ). τ ). Dac˘ a ecuat¸ia ¸ia poate fi explicitat˘a ˆın raport cu t, adic˘ a putem obt¸ine ¸ine t = f (x(n) ), (n) atunci o reprezentare parametric˘a este dat˘a de x = τ , τ , t = f ( f (τ ). τ ). Exemplul 12.22 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei t = x + ln x . Pune Punem m

x = τ , τ , t = τ + ln τ . τ . Avem dx = τ dt = τ (1 τ (1 + τ 1 ) τ . τ . Se obt ¸ine solut ¸ia general˘ a t = τ + ln τ,

x=

1 3 3 2 τ + τ + C 1 (τ + ln τ ) τ ) + C 2 . 6 4

4. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (x(n−1) , x(n) ) = 0

Dac˘a se cunoa¸ste ste o reprezentare reprezentare parametric˘a a curbei F ( F (u, v ) = 0 ¸si si anume u = ϕ(τ ), τ ), v = ψ(τ ), τ ), cu ϕ ¸si si ψ funct¸ii ¸ii continue conti nue ¸si si ϕ cu derivat˘a continu˘a pe [a, [ a, b], atunci integrala general˘ a pe [a, [a, b] a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale se obt¸ine ¸ine prin n cuadraturi. Intr-adev˘ar, ar, luˆ and and x(n−1) = ϕ(τ ), τ ), x(n) = ψ(τ ), τ ), avem dx(n−1) = ϕ (τ ) τ ) dτ , dx(n−1) = τ ) τ ) ψ (τ ) τ ) dt. dt. De unde dt = ϕψ((τ ) si si printr-o pri ntr-o cuadratu cuad ratur˘ r˘a obt¸inem ¸inem τ ) dτ ¸ 

t=



ϕ (τ ) τ ) dτ + C 1 = Ψ(τ Ψ(τ )) + C 1 , ψ (τ ) τ )

x(n−1) = ϕ(τ ) τ ),

A¸sadar sadar am redus problema la cazul precedent. Exemplul 12.23 S˘ a se integreze int egreze ecuat ¸ia x(3) x(4) = (3)

(4)

−

1 τ ,



este x = τ , τ , x = τ = 0. Obt ¸inem dx Se obt ¸ine solut ¸ia general˘ a t=

− 12 τ 2 + C 1,

x=

·

(3)

−1(3) . O reprezentare reprezentare parametric˘ parametric˘ a 1 = dτ , dτ , dx = − τ dt, dt, deci dt = −τ dτ . dτ .

1 7 1 1 − 105 τ + C 1 τ 4 − C 2 τ 2 + C 3 . 8 2


178

5. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (x(n−2) , x(n) ) = 0

Dac˘a se cunoa¸ste ste o reprezentare reprezentare parametric˘a a curbei F ( F (u, v ) = 0 ¸si si anume u = ϕ(τ ), τ ), v = ψ(τ ), τ ), cu ϕ ¸si si ψ funct¸ii ¸ii continue conti nue ¸si si ϕ cu derivat˘a continu˘a pe [a, [ a, b], atunci integrala general˘ a pe [a, [a, b] a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale se obt¸ine ¸ine prin n cuadraturi. (n−2) (n) dt, dx(n−2) = Intr-adev˘ar, ar, luˆ and and x = ϕ(τ ), τ ), x = ψ(τ ), τ ), din dx(n−1) = x(n) dt, x(n−1) dt, dt, prin eliminarea lui dt g˘asim x(n−1) dx(n−1) = x(n) dx(n−2) = ϕ (τ ) τ )ψ(τ ) τ ) dτ, de unde x(n−1) =

  2

ϕ (τ ) τ )ψ (τ ) τ ) dτ + C 1 ,

x(n−2) = ϕ(τ ) τ ).

A¸sadar sadar am redus problema la cazul precedent.

12.2 12 .2.5 .5

Ecua Ecuat ¸ii ¸tii c˘ arora aror a li se poate poa te miç sora sora ordinul

1. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (t, x(k) , x(k+1) , . . . , x(n) ) = 0

Ecuat¸ia ¸ia se transform˘a ˆıntr-o ıntr- o ecuat ecua ¸ie ¸t ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a de ordinul n funct¸ie ¸ie x(k) = u. Derivˆ and an d ¸si si ˆınlo ın locu cuin ind d obt¸inem ¸inem ecuat¸ia ¸ia

− k prin schimbarea de

F ( F (t,u,u , . . . , u(n−k) ) = 0. Dac˘ a aceast˘a ecuat¸ie ¸ie poate fi integrat˘a, a, sulut¸ia ¸ia sa general˘a va fi de forma u(t) = ϕ(t, C 1 , . . . , Cn −k ). Integrarea ecuat¸iei ¸iei date se reduce atunci la integrarea ecuat¸iei ¸iei de ordinul k: x(k) = ϕ(t, C 1 , . . . , Cn −k ). Exemplul 12.24 In ecuat ¸ia

x(n) sin t

− x(n−1) cos t + 1 = 0,0,

punem x(n−1) = u ¸si si ecua ecuat ¸ia t se transform˘ a ˆıntr-o ınt r-o ecuat ¸ie liniar˘ a ˆın u: u sin t

− u cos t + 1 = 0.0.

2. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (x, x , . . . , x(n) ) = 0

Prin schimbarea de funct¸ie ¸ie x = p, luˆ and and pe x ca variabil˘ a independent˘a, a, reducem ordinul ecuat¸iei ¸iei date cu o unitate. Obt¸inem ¸inem succesiv dx d2 x d = p, = dt dt2 dt

d3 x d = 3 dt dt

          d2 x dt2

d dp = p dt dx

dx dt

=

dp dp = p, dt dx

d dp = p p = p dx dx

k

dp dx

2

+ p2 k−1

d2 p . dx2

d p Se observ˘a c˘ a derivatele ddtkx se exprim˘a cu ajutorul lui p, dp Inlo cuite ˆın ın dt , . . . , dxk 1 . Inlocuite ecuat¸ie ¸ie ne conduc la o ecuat¸ie ¸ie de ordinul n 1 ˆın funct¸ia ¸ia p de variabila independent˘a x. −

−


179

Exemplul 12.25 S˘ a se integreze int egreze ecuat ¸ia

xx

− (x )2 = x2.

dp Punem x = p, x = p dx ¸si obt ob¸inem t ecuat ¸ia

xp

dp = p2 + x2 , dx

care este o ecuat ¸ie omogen˘ a. 4. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (t,x,x , . . . , x(n) ) = 0 omogen˘ a ˆın x, x , . . . , x(n)

Ecuat¸ia ¸ia fiind omogen˘a ˆın x, x , . . . , x(n) , se poate pune sub forma F ( F (t, Cu schimbarea de funct¸ie ¸ie



x x

x x(n) ,..., ) = 0. x x

= u, obt¸inem ¸inem succesiv

x = xu, x = x(u2 + u ), x = x(u3 + 3uu 3uu + u ). (k) Se observ˘a c˘ a x x se exprim˘a ˆın funct¸ie ¸ie de u, u , . . . , u(k−1) , care c are ˆınlocuite ınlo cuite ˆın ecuat¸ie ¸ie ne conduc la o ecuat¸ie ¸ie de ordinul n 1 ˆın u.

−

Exemplul 12.26 S˘ a se integreze int egreze ecuat ¸ia

txx + t(x )2

− xx = 0.0 .

Este o ecuat ¸ie omogen˘ a ˆın x, x , x  . Cu schimbarea de funct ¸ie u



x x

¸inem = u, obt

− 1t u + 2u 2u2 = 0

care este o ecuat ¸ie Bernoulli. 4. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (t,x, dx dt , . . . ,

dn x dtn ) =

a ˆın t,x,dt,dx,...,dn x 0 omogen˘

Fiind omogen˘a ˆın ın toate argumentele se poate pune sub forma x dx td2 x tn−1 dn x F , , 2 ,..., t dt dt dtn





= 0.

Prin schimbarea de funct¸ie ¸ie xt = u ¸si si schimbarea de variabil˘a independent˘a t = eτ , se transform˘ a ˆıntr-o ecuat¸ie ¸ie c˘areia areia i se poate reduce ordinul cu o unitate. Obt¸inem succesiv x dx d2 x = u, = u + u, t 2 = u + u . t dt dt k

Se observ˘a c˘a produsele tk−1 ddtkx nu cont¸in ¸in decât a t pe u ¸si si derivatele sale ˆın raport rapor t cu τ pân˘ an˘ a la ordinul k , ˆıncat aˆt ecuat¸ia ¸ia devine F ( F (u, u + u, u + u , . . .) .) = 0, care este o ecuat¸ie ¸ie ce nu cont¸ine ¸ine explicit variabila independent˘a, a, de forma studiat˘a la punctul 2., deci c˘areia areia i se poate reduce ordinul cu o unitate.


180

Exemplul 12.27 Ecuat ¸ia

t2 xx + t2 (x )2

− 5txx + 4x 4x2 = 0

este omogen˘ a de ordinul 4. Imp˘ art ¸ind prin t2 se poate pune sub forma x tx + (x (x )2 t

·

−

x  x 5 x +4 t t



·

Punem t = eτ , x = tu ¸si si ecua ecuat ¸ia t devine uu + (u (u )2

2

= 0. 0.

− 2uu = 0.0 .

Luˆ and and acum u = p obt ¸inem ecuat ¸ia lini li niar ar˘ ˘ a a dp 1 + p du u

− 2 = 0.

5. Ecuat Ecuat ¸ia ¸ia F ( F (x,tx , t2 x , . . . , tn x(n) ) = 0

Prin schimbarea de variabil˘a independent˘a t = eτ , obt¸inem ¸inem o ecuat¸ie ¸ie c˘areia areia i se poate reduce ordinul cu o unitate. Obt¸inem ¸inem tx =

dx 2  d2 x , t x = 2 dτ dτ

− dx . dτ

Se observ˘ obse rv˘a c˘a tk x(k) se exprim˘a ˆın funct fu nct¸ie ¸ie numai de ia forma dx d2 x dx ,... F x, , 2 dτ dτ dτ



−

dx dτ ,



...,

dk x dtk .

Prin Prin urmare urmare ecuat ecua¸ia ¸t ia

= 0, 0,

ˆın care nu apare explicit τ . τ . Punem Punem dx si si lu˘am am pe x ca variabil˘ a independent˘a. a . Se dτ = p ¸ reduce astfel ordinul ecuat¸iei ¸iei cu o unitate.

Capitolul 13

ECUAT ¸ II S ¸ I SISTEME DIFE DI FERE RENT NT ¸ IA IALE LE LI LINI NIAR ARE E Studiul ecuat¸iilor ¸iilor ¸si si sistemelor de ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale ¸iale liniare ofer˘a exemplul unei teorii ˆınchegat ınch egate, e, bazat˘ baza t˘a pe metodele ¸si si rezultatele algebrei liniare.

13.1 13 .1

Sist Si stem eme e di dife fere rent nt ¸iale liniare de ordinul I ¸iale

Un sistem de ecuat ¸ii diferent ¸iale liniare de ordinul ˆıntâi ai este de forma: n

xi =



aij (t)xj + bi (t),

i = 1, 1 , n, n,

t

j =1

∈ I,

(13.1)

unde aij ¸si si bi sunt funct¸ii ¸ii reale continue pe un interval I R. Sistemul (13.1) se nume¸ste ste neomogen . Dac˘a bi 0, i = 1, n, atunci sistemul ia forma:

⊂

≡

n

xi =



aij (t)xj ,

i = 1, n, n,

t

j =1

∈ I

(13.2)

¸si si se nume nu me¸¸ste st e omogen . Prin solut ¸ie ¸ie a sistemului diferent¸ial ¸ial (13.1) se ˆınt¸elege ¸elege un sistem de funct¸ii ¸ii

{x1(t), x2(t), . . . , xn(t)},

t

∈ I,

continuu diferent¸iabile ¸iabile pe intervalul intervalul I care verific˘a ecuat¸iile ¸iile (13.1) (13.1) pe acest interval, adic˘a: a: n

x (t) = i



aij (t)xj (t) + bi (t),

j =1

∀t ∈ I,

i = 1, n.

In general, mult¸imea ¸imea solut¸iilor ¸iilor sistemului (13.1) este infinit˘a ¸si si o vom numi solut ¸ie general˘ a . O solut ¸ie particular˘ a a sistemului se poate obt¸ine ¸ine impunând and anumite condit¸ii. ¸ii. 181


182

Cel mai uzual tip de condit¸ii ¸ii ˆıl constit con stituie uie condit ¸iile init ¸iale: ¸iale : x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , . . . , x n (t0 ) = x0n ,

(13.3)

unde t0 I ¸si (x01 , x02 , . . . , x0n ) Rn sunt date ¸si si se numesc valori init ¸iale. ¸iale. Prin problem˘ a Cauchy asociat˘a sistemului (13.1) se ˆınt¸elege ¸elege determinarea unei solut¸ii ¸ii

∈

∈

xi = xi (t),

i = 1, 1, n

(13.4)

a sistemului (13.1) care s˘a verifice condit¸iile ¸iile init¸iale ¸iale (13.3). Din punct de vedere geometric, o solut¸ie ¸ie a sistemului (13.1) reprezint˘a parametric o curb˘ a ˆın spat sp at¸iul ¸iul Rn , numit˘a curb˘ a integral˘ a a sistemului (13.1). Fie matricea A(t) = aij (t) , p˘ atratic˘ atratic˘ a de ordinul n ¸si si vectorii vecto rii din Rn :

||

||

x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), )), b(t) = (b1 (t), b2 (t), . . . , bn (t)), )), x0 = (x ( x01 , x02 , . . . , x0n ).

Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a aplica aplicat¸ia ¸tia T = T ( T (t; x), liniar liniar˘ a˘ ˆın x, definit definit˘a˘ ˆın baza canonic˘a din Rn , prin T ( T (t; ej ) =

n



aij (t)ei . Atunci sistemul (13.1) se poate scrie sub forma vectorial˘a:

i=1

x = T ( T (t; x) + b(t),

t

∈ I,

(13.5)

iar condit condit¸iile ¸iile init¸iale ¸iale (13.3): x(t0 ) = x0 .

(13.6)

Teorema 13.1 Oricare ar fi punctul t0 Rn , exist˘ I ¸si si oricare ar fi vectorul x0 a o singur˘a solut¸ie ¸ie x = x(t) a sistemului liniar (13.5), definit˘ a pe ˆıntreg intervalul interv alul I ¸si si

∈

∈

satisf˘ acˆ and and condit ¸ia init ¸ial˘ a (13.6).  Pentru t0

∈ I fixat, construim aproximat¸iile ¸iile succesive: t

0

x (t) = x0 , x

k+1

(t) = x0 +



t

k

T ( T (t; x (t)) dt +

t0



b(t) dt,

t0

t

∈ I

(13.7)

¸si ar˘at˘am am c˘a ¸siru si rull xk (t) k∈N converge uniform pe I la solut¸ia ¸ia c˘autat˘ autat˘ a. a. In adev˘ar, ar, notând and cu f (t, x) = T ( T (t; x) + b(t), avem pentru t I ¸si si x oarecare

{

}

∈

||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L||x − y||, unde L = sup ||A(t)||, pentru pentru t ∈ I . Prin norma unei matrici matrici ˆınt ınt¸elegem ¸elegem tot norma norma euclidian˘ a, a, adic˘a r˘ad˘ ad˘ acina acina p˘atrat˘ atrat˘ a din suma p˘atratelor atratelor tuturor tuturor elemente elementelor lor sale. Dac˘a not˘ am am cu M = sup ||x1 (t) − x0 ||, pentru t ∈ I , vom g˘asi asi majorarea majorarea (L|t − t0 |)k k+1 k ||x (t) − x (t)|| ≤ M · , k = 0, 1, 2, 3, . . . k!

care atrage convergent¸a ¸a uniform˘a pe I a ¸siru si rulu luii xk (t) la solut¸ia ¸ia c˘autat˘ autat˘ a. a. 

{

}


13.2 13 .2

183

Sist Si stem eme e di dife fere rent nt ¸iale liniare omogene ¸iale

Vom studia pentru ˆınceput sistemul diferent difere nt¸ial ¸ial omogen (13.2), care sub form˘ a vectorial˘a se mai scrie x = T ( T (t; x), t I. (13.8)

∈

Teorema 13.2 Dac˘ a x1 (t) ¸si si x2 (t) sunt dou˘ a solut ¸ii particulare ale sistemului omogen (13. (1 3.8) 8) ¸si si α1 , α2 R, atunci α1 x1 (t) + α2 x2 (t) este de asemenea solut ¸ie.

∈

 Cum x1 (t) ¸si x2 (t) sunt solut¸ii, ¸ii, putem scrie [α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] = T ( T (t; α1 x1 (t) + α2 x2 (t)). )).  Teorema 13.3 Mult ¸imea solut ¸iilor sistemului omogen (13.8) formeaz˘ a un spat ¸iu vecto-

rial de dimensiune n.  C˘ a mult¸imea ¸imea solut¸iilor ¸iilor sistemului (13.8) formeaz˘a un spat¸iu ¸iu vectorial rezult˘a din Teorema eorema 13.2. Pentru Pentru a demonstra demonstra c˘a dimensiunea acestui spat¸iu ¸iu este n vom ar˘ata ata c˘a n exist˘a un izomorfism izomorfis m ˆıntre ıntre spat¸iul ¸iul S al solut¸iilor ¸iilor sistemului (13.8) ¸si si spat s pat¸iul ¸iul R . Pentru n aceasta introducem aplicat¸ia ¸ ia Γ : S R definit˘ a prin Γ(x) = x(t0 ), pentru t0 I fixat. Evident Evident c˘ a Γ este o aplicat¸ie ¸ie liniar˘ a. a. Din Teorem Teoremaa 13.1 de existent¸˘ ¸a˘ ¸si si unicita uni citate te a solut¸iei ¸iei problemei lui Cauchy asociat˘a sistemului (13.8) rezult˘a c˘a Γ este surjectiv˘a (adic˘ a Γ(S Γ(S ) = Rn ) ¸si si injecti inj ectiv˘ v˘a (adic˘a ker Γ = 0 ). Prin urmare, urmare, Γ este un izomorfism izomorfism al spat¸iului ¸iului S pe Rn . Deci, dim S = dim Rn = n.  Din Teorema 13.3 rezult˘a c˘a spat sp at¸iul ¸iul S al solut¸iilor ¸iilor sistemului (13.8) admite o baz˘a 1 2 n forma fo rmat˘ t˘a din di n n elemente. Fie x (t), x (t), . . . , x (t) o astfel de baz˘a, a, adic˘ a un sistem de n solut¸ii ¸ii ale sistemul sistemului ui (13.8), (13.8), liniar independente independente pe I . Orice sistem de n solut¸ii ¸ii x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) liniar independente ale sistemului (13.8) (13. 8) se nume¸ste ste sistem fundamental de solut ¸ii . Matricea X (t), p˘atratic˘ drept coloan coloanee coordon coordonate atele le celor celor n atratic˘ a de ordinul n, ce are drept vectori solut¸ii, ¸ii, )], t I, X (t) = [x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)],

→

∈

{}

{ {

} }

∈

se nume¸ num e¸ste ste matrice mat rice fundame fund amenta ntal˘ l˘a a . Deoa Deoare rece ce [xk (t)] = T ( T (t; xk (t)), pentru pentru k = 1, n, rezult˘a c˘a matricea X (t) este solut¸ie ¸ie a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale matriceale X  (t) = A(t)X (t),

t

∈ I.

(13.9)

(S-a notat cu X  (t) matricea format˘a din derivatele elementelor matricii X (t)). Evident, matricea fundamental˘a nu este unic˘a. a. Fiind dat un sistem de n solut¸ii ¸ii ale al e sistemului si stemului (13.8), se nume¸ste ste wronskianul acestui sistem, sistem, notat notat cu W ( W (t), determinantul W ( W (t) = det X (t). Teorema 13.4 Dac˘ a exist˘ a un t0

t

∈ I .

∈ I a.ˆı.

(13.10)

W ( W (t0 ) = 0, atunci W ( W (t) = 0 pentru orice


184

 Deoarece W ( W (t0 ) = 0, ˆıntre coloanele determinantului determinantului (13.10), pentru t = t0 , exis ex ist˘ t˘a o relat¸ie ¸ie de dependent¸˘ ¸a˘ liniar˘ a, a, deci exist˘a scalarii λ1 , λ2 , . . . , λn R, nu tot¸i ¸i nuli, nul i, a.ˆı. ı.

∈

λ1 x1 (t0 ) + λ2 x2 (t0 ) + . . . + λn xn (t0 ) = 0. Cu ace¸ ac e¸sti st i λi form˘ am am combinat¸ia ¸ia liniar˘ a x(t) = λ1 x1 (t) + λ2 x2 (t) + . . . + λn xn (t),

t

∈ I.

Observ˘ am am c˘a x(t) astfel definit este o solut¸ie ¸ie a sistemului (13.8) ¸si si x(t0 ) = 0. Dar Dar din din Teorema 13.1, care asigur˘a unicitatea solut¸iei ¸iei problemei lui Cauchy pentru sistemul (13.8) cu condit¸ia ¸ia init¸ial˘ ¸ial˘ a x(t0 ) = 0, rezult˘a c˘a x(t) = 0 pentru orice t I , adic˘a ˆıntre coloanele coloanel e determinantului (13.10) exist˘a o relat¸ie ¸ie de dependent¸˘ ¸a˘ liniar˘ a pentru orice t I ¸si si deci de ci W ( W (t) = 0 pentru orice t I . 

∈

∈

∈

Teorema 13.5 Sistemul de solut ¸ii ¸ii x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) este fundamental fundamental d.d. exist˘ a

{

}

∈ I a.ˆı. W (  0. W (t0 ) = 0.  Dac˘a sistemul este fundam fundamen ental tal el este este liniar liniar indepen indepen-sistemul {x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)} este 1 2 n dent pe I , deci pentru t0 arbitrar din I , vectorii x (t0 ), x (t0 ), . . . , x (t0 ) sunt liniar  0. independent¸i ¸i ¸si si ˆın conse con seci cint nt¸˘ ¸a˘ W ( W (t0 ) =  0, dup˘a Teorema 13.4, W (  0 pentru Reciproc, dac˘a exist˘a un t0 ∈ I a.ˆı. W ( W (t0 ) = W (t) = 1 2 n orice t ∈ I , deci sistemul {x (t), x (t), . . . , x (t)} este liniar independent pe I , adic˘ a este un t0

sistem fundamental.  Din teoremele precedente rezult˘a: a:

Teorema 13.6 Dac˘ a x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)

{

} este un sistem de n solut ¸ii ale sistemu 0, atunci acesta este un sistem lui (13.8) pentru care exist˘ a un t0 ∈ I a.ˆı. W ( W (t0 ) =

fundametal de solut ¸ii pentru (13.8) ¸si si solut ¸ia sa general˘ a este de forma x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + . . . + cn xn (t) = X (t) c,

t

∈ I,

ˆın ın care care c = (c ( c1 , c2 , . . . , cn ) este un vector arbitrar din Rn . Exemplul 13.1 Sistemul

x =

4 x t

− t42 y,

y = 2 x

− 1t y

admite solut ¸iile particulare: x1 (t) = 1, y1 (t) = t ¸si si x2 (t) = 2t2 , y2 (t) = t3 , t (0, (0, ). 3 Deoarece W ( W (t) = t = 0, 0 , cele dou˘ a solut ¸ii formeaz˘ a un sistem fundametal de solut ¸ii ¸ii pentru sistemul sistem ul dat d at ¸si si deci d eci solut ¸ia general˘ a este

∈ ∞

− 

x(t) = c1 + 2c 2 c2 t 2 ,

y (t) = c1 t + c2 t3 .


13.3 13 .3

185

Sist Si stem eme e di dife fere rent nt ¸iale liniare neomogene ¸iale

Vom studia acum sistemul diferent¸ial ¸ial neomogen x = T ( T (t; x) + b(t),

t

∈ I.

(13.11)

Un prim rezultat se refer˘a la structura mult¸imii ¸imii solut¸iilor. ¸iilor. Teorema 13.7 Fie X (t) o matrice matrice fundamental fundamental˘ ˘ a a sistemului sistemului omogen omogen core corespunz˘ spunz˘ ator (13.8 (1 3.8)) ¸si si x∗ (t) o solut ¸ie particular˘ a a sistemului sistemului neomo neomogen gen (13.11). (13.11). Solut ¸ia general˘ a a sistemului neomogen este suma dintre solut ¸ia general˘ a a sistemului omogen ¸si si o solut ¸ie particular˘ a a sistemului neomogen, adic˘ a x(t) = X (t) c + x∗ (t),

unde c

t

(13.12)

∈ I,

∈ Rn este un vector arbitrar.

 Fie x(t) o solut¸ie ¸ie a sistemului neomogen. Punem y(t) = x(t)

− x∗ (t). Avem

y  = x

− x∗ = T ( T (t; x) + b − (T ( T (t; x∗ ) + b) = T ( T (t; x − x∗ ) = T ( T (t; y), deci y(t) este solut¸ia ¸ia general˘a a sistemului omogen, adic˘a y(t) = X (t) c, c ∈ Rn ¸si si deci de ci

are loc (13.12). 

Teorema 13.8 ( Metoda Metoda variat ¸iei constantelor ) Fie X (t) o matrice fundamental˘ a a

sistemului sistemului omogen omogen (13.8). Atu Atunci nci o solut ¸ie particular˘ a a sistemului neomogen (13.11) este x∗ (t) = X (t) u(t) = u1 (t)x1 (t) + u2 (t)x2 (t) + (13.13) + un (t)xn (t),

···

unde funct ¸ia ¸ia u : I

→ Rn este dat˘ a, pân˘ an ˘ a la un vector constant aditiv, de u (t) = X −1 (t)b(t), t ∈ I.

(13.14)

 C˘autam ˘am o solut¸ie ¸ie particular˘a pentru sistemul neomogen de forma solut¸iei ¸iei generale a sistemului sistemulu i omogen, ˆın care vectorul vectoru l c ˆıl presupunem presupun em o funct¸ie ¸ie u(t), deci de forma (13.13). Derivˆ and and ¸si si ˆınlocu ınl ocuind ind ˆın (13.11), (13. 11), se obt¸ine ¸ine X  (t) u(t) + X (t) u (t) = A(t)X (t) u(t) + b(t), care ˆımpreun˘ ımpr eun˘a cu (13.9) d˘a X (t) u (t) = b(t). Dar W ( W (t) = 0, 0 , deci exist˘ exi st˘a X −1 (t), ˆıncˆ ın cât at  − 1 u (t) = X (t) b(t), t I . Din (13.12), (1 3.12), (13.13) ¸si si (13.14) (13. 14) rezult˘ rezu lt˘a c˘a solut¸ia ¸ia problemei lui Cauchy pentru sistemul (13.11) cu condit¸ia ¸ia init¸ial˘ ¸ial˘ a x(t0 ) = x0 este



∈

t

x(t) = X (t)X −1 (t0 ) x0 +



t0

X (t)X −1 (s) b(s) ds,

t

∈ I.

Matricea U ( U (t, s) = X (t)X −1 (s) se nume¸ nume ¸ste st e matricea de tranzit ¸ie ¸ie a sistemului.

(13.15)


186

Exemplul 13.2 Fie sistemul liniar neomogen

x =

4 x t

− t42 y + 1t ,

y = 2 x

− 1t y + t,

t

∈ (0, (0, ∞).

A¸sa sa cum am v˘ avut, solut ¸ia general˘ a a sistemului omogen corespunz˘ ator este x(t) = c1 + 2c 2c2 t2 ,

y (t) = c1 t + c2 t3 .

C˘ aut˘ am pentru sistemul neomogen o solut ¸ie particular˘ a de forma x∗ (t) = u(t) + 2t 2 t2 v (t), y (t) = t u(t) + t3 v(t). Derivˆ and and ¸si si ˆınlocu ın locuin ind d ˆın siste sis tem, m, obt ob¸inem t u + 2t 2t2 v =

1 , u + t3 v  = t, t

sau, rezolvând and ˆın privint priv int ¸a lui u ¸si si v : u = 2

− 1t ,

v =

− t12 + t13 ,

de unde, prin integrare u(t) = 2t

− ln t,

v (t) =

1 t

− 21t2 .

Inlocu In locuind ind ˆın x∗ (t) ¸si si y∗ (t), obt ¸inem solut ¸ia ¸ia particular˘ particular˘ a a sistemului neomogen x∗ (t) = 4t

− 1 − ln t,

y ∗ (t) = 3t2

− 21 t − t ln t

¸si si deci solut solu¸ia t general˘ a a sistemului neomogen este x(t) = c1 + 2c 2c2 t2 + 4t 4t

− 1 − ln t,

y (t) = c1 t + c2 t3 + 3t 3 t2

− 12 t − t ln t,

t > 0.

Problema cea mai dificil˘a ˆın ın rezolvarea rezolvarea unui sistem liniar o constituie determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii. ¸ii. In cele ce urmeaz˘a vom ar˘ata ata c˘a ˆın cazul particular cˆ and and matricea A a sistemului este o matrice constant˘ a , problema determin˘arii arii unui sistem fundamental de solut¸ii ¸ii se reduce la o problem˘ problem˘ a de algebr˘a liniar˘ a ¸si si anume anu me la determinarea determi narea valorilor valoril or proprii ¸si si a vectorilor v ectorilor proprii ai matricii A.

13.4 13 .4

Sistem Sist eme e difer diferen ent ¸tia iale le li lini niar are e cu coefi coefici cien ent ¸ ti co connstant ¸i ¸i

Consider˘ am sistemul diferent am ¸ial liniar omogen cu coeficient ¸i constant ¸i x = T ( T ( x),

t

∈ R,

(13.16)


187

|| || ∈ M(R) este o matrice p˘atratic˘ atratic˘ a cu elemente constante. n Aplicat¸ia ¸ia T : Rn → Rn definit˘ a prin T ( T (ej ) = aij ei , j = 1, n, este o transformare

unde A = aij



i=1

liniar˘a pe Rn .

Teorema 13.9 Funct ¸ia ¸ia x : R

→ Rn, definit˘ a prin x(t) = u eλt , t ∈ R,

(13.17)

este o solut ¸ie a sistemului (13.16) d.d. λ este valoare proprie a transform˘ arii liniare T , T , iar u vector propriu corespunz˘ ator.  Derivˆ and and (13.17) (13. 17) ¸si si ˆınlocu ınl ocuind ind ˆın (13.16), (13. 16), obt¸inem ¸inem T ( T (u) = λu.

(13.18)

Deci λ trebuie s˘a fie valoare proprie pentru T , T , iar u vector propriu corespunz˘ator. ator. Reciproc, Reciproc, dac˘ a u este vector propriu al transform˘ transform˘ arii arii liniare T corespunz˘ ator ator valorii proprii λ, atunci atunci are loc (13.18), (13.18), de unde prin ˆınmult ınmult¸ire ¸ire cu eλt , g˘ asim asim c˘a x(t) dat de (13.17) este solut¸ie ¸ie a sistemului (13.16). Pentru a obt¸ine ¸ine solut¸ia ¸ia general˘a a sistumului (13.16) sunt necesare n solut ¸ii liniar independente, independente, care ˆın general nu p ot fi toate de forma (13.17) deoarece nu orice transformare liniar˘a poate fi adus˘a la expresia canonic˘a. a. Teorema 13.10 Dac˘ a transformarea liniar˘ a T a T poate fi adus˘ a la expresia canonic˘ a, adic˘ a 1 2 n exist˘ a n vectori proprii proprii u , u , . . . , u liniar independent independent ¸i, ¸i, corespunz˘ corespunz˘ atori valorilor valorilor

proprii λ1 , λ2 , . . ., λn nu neap˘ arat distincte, atunci funct ¸iile x1 (t) = u1 eλ1 t , x2 (t) = u2 eλ2 t , . . . , xn (t) = un eλn t ,

t

∈R

(13.19)

formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii pentru sistemul diferent ¸ial (13.16).  Prin ipotez˘a sistemul u1 , u2 , . . . , un de vectori din Rn formeaz˘ a o baz˘a ˆın Rn ˆın care matricea transform˘arii arii T are forma diagonal˘ diagonal˘ a diag λ1 , λ2 , . . . , λn , deci

{

}

T ( T (uk ) = λk uk ,

{

}

k = 1, 1 , n.

(13.20)

Conform teoremei precedente, funct¸iile ¸iile (13.19) sunt solut¸ii ¸ii ale sistemului (13.16). Pentru a forma un sistem fundamental de solut¸ii ¸ii este necesar s˘a fie liniar independente. Fie deci combinat¸ia ¸ia liniar˘ a α1 x1 (t) + α2 x2 (t) +

· · · + αnxn(t) = 0,

t

∈ R.

T ¸ inand aˆnd seama de (13.19), urmeaz˘a α1 u1 eλ1 t + α2 u2 eλ2 t +

· · · + αnuneλ t = 0, n

t

∈ R.

Deoarece u1 , u2 , . . . , un formeaz˘ a o baz˘a ˆın Rn, rezult˘a c˘ a egalitatea precedent˘a are loc numai dac˘a α1 = 0, α2 = 00,, . . . , αn = 0 ¸si si deci vectorii x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) sunt liniar independent¸i. ¸i. 

{

}


188

Exemplul 13.3 S˘ a determin˘ determin˘ am solut ¸ia general˘ a a sistemului

x = 3y 3y

− 4z,

y =

z =

−z,

−2x + y.

Matricea Matricea transform˘ arii liniare asociate este A=

 −

0 3 0 0 2 1

 

−4 −1 0

.

Ecuat ¸ia caracteristic˘ caracteristic˘ a a transform˘ arii liniare T este λ3 7λ 6 = 0, cu r˘ ad˘ acinile λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, simple. simple. Deci Deci transformar transformarea ea T poate fi adus˘ a la expresia canonic˘ a. Vectorii proprii corespunz˘ corespunz˘ atori sunt

−

−

u1 = (1, (1 , 1, 1), 1),

u2 = (5, (5 , 2, 4), 4),

− −

u3 = (5, (5, 1,

−3). 3).

Deci funct ¸iile x1 (t) = e−t (1, (1, 1, 1), 1),

x2 (t) = e−2t (5, (5, 2, 4), 4),

x3 (t) = e3t (5, (5, 1,

−3)

formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii. Solut ¸ia general˘ a a sistemului se scrie atunci

 

x(t) = c1 e−t + 5c 5c2 e−2t + 5c 5c3 e3t , y (t) = c1 e−t + 2c 2c2 e−2t + c3 e3t , t z (t) = c1 e−t + 4c 4c2 e−2t 3c3 e3t ,

−

∈ R.

Dac˘ a ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a admite o r˘ad˘ ad˘acin˘ acin˘ a complex˘a λ1 , atunci λ2 = λ1 , conjugata sa complex˘ complex˘ a, a , este de asemenea o r˘ad˘ acin˘ acin˘ a. a. Vectori ectoriii propri propriii coresp corespunz unz˘˘atori atori vor avea coordonate complex conjugate. Deoarece eiθ = cos θ + i sin θ ¸si si deci de ci 1 iθ (e + e−iθ ) = cos θ, 2

1 iθ (e 2i

− e−iθ ) = sin θ,

putem ˆınlocui ınlo cui solut¸iile ¸iile complexe corespunz˘atoare atoare x1 (t), x2 (t) (complex conjugate) prin solut¸ii ¸ii reale, efectuând and schimbarea y 1 ( t) =

1 1 (x (t) + x2 (t)), )), 2

y2 (t) =

1 1 (x (t) 2i

− x2(t)). )).


x = y,

y =

−x.

Ecuat ¸ia caracteristic˘ caracteristic˘ a este λ2 + 1 = 0 ¸si si deci dec i λ1 = i, λ2 = i, iar vectori vectoriii proprii proprii 1 2 corespunz˘ atori u = (1, (1, i), u = (1, (1 , i). Un sistem fundamental de solut ¸ii (complexe) va fi x1 (t) = (eit , ieit ), x2 (t) = (e−it , ie−it ).

−

−

−

Prin schimbarea precedent˘ a, obt ¸inem sistemul fundamental de solut ¸ii (reale) y1 (t) = (cos t,

− sin t),

y2 (t) = (sin t, cos t),

ˆıncˆ at, at, solut ¸ia general˘ a a sistemului diferent ¸ial dat se va scrie x(t) = c1 cos t + c2 sin t,

y (t) =

−c1 sin t + c2 cos t.


189

Dac˘ a transformarea liniar˘a T nu poate fi adus˘a la expresia canonic˘a ¸si λ este o valoare proprie multipl˘a de ordinul m, atunci se poate c˘auta auta o solut¸ie ¸ie de forma x(t) = Pm−1 (t)eλt ,

t

∈R −

unde Pm−1 (t) este un vector ale c˘arui coordonate sunt polinoame de grad cel mult m 1. Dac˘a λ1 , λ2 , . . ., λs sunt valorile proprii ale transform˘arii arii liniare T ¸si si m1 , m2 , . . ., ms ordinele lor de multiplicitate, cu m1 + m2 + . . . + ms = n, solut¸ia ¸ia general˘a a sistemului (13.16) va fi de forma s

x(t) =



k=1

Pmk −1 (t)eλk t ,

t

∈R

unde Pmk −1 (t) sunt vectori ale c˘aror aror coordonate sunt polinoame de grad cel mult mk 1, k = 1, s. Coeficie Coeficient nt¸ii ¸ii acestor polinoame se determin˘a prin identificare, ˆın funct¸ie ¸ie de n dintre ei, ale¸si si drept constante arbitrare. Acest mod de a obt¸ine ¸ine solut¸ia ¸ia general˘a a sistemului se nume¸ste ste metoda coeficient ¸ilor nedeterminat ¸i .

−


x = y,

y =

−x + 2y. 2y.

Ecuat ¸ia caracteristic˘ a este (λ 1)2 = 0 ¸si si deci dec i λ1 = 1, cu m1 = 2, iar vectorul pro1 priu corespunz˘ ator u = (1, (1, 1). 1). Transformarea ransformarea liniar˘ a T nu poate fi adus˘ a la expresia canonic˘ a. C˘ aut˘ am atunci solut ¸ia general˘ a sub forma

−

x(t) = (a + bt) bt)et ,

y (t) = (c + dt) dt)et .

Derivˆ and and ¸si si ˆınlocuind ınl ocuind ˆın ın sistem sis tem,, obt ¸inem pentru a, b, c, d sistemul: a + b = c, b = d, a c + d = 0, b 2c + d = 0, care care este comp compatibi atibill dublu dublu nedeter nedeterminat. minat. Luˆ and and a = c1 , b = c2 , g˘ asim c = c1 + c2 , d = c2 a.ˆı. ı. solu so lut ¸ia t general˘ a va fi

−

−

x(t) = (c1 + c2 t)et ,

13.5

y (t) = (c1 + c2 + c2 t)et .

Ecua¸ii ¸t ii diferent ¸iale liniare de ordinul ¸iale

n

S˘ a consider˘am am ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n, neomogen˘a x(n) + a1 (t)x(n−1) +

· · · + an(t)x = f ( f (t),

t

∈ I

(13.21)

¸si si ecua ec uat¸ia ¸t ia omogen˘a asociat˘ asociat˘a x(n) + a1 (t)x(n−1) +

· · · + an(t)x = 0,0 ,

t

∈ I

unde ai (t), i = 1, n ¸si si f ( f (t) sunt funct¸ii ¸ii continue pe intervalul I .

(13.22)


190

Ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a (13.21) (respectiv (13.22)) se reduce la un sistem diferent¸ial ¸ial de ordinul I. Asociem funct¸iei ¸iei necunoscute x, funct¸ia ¸ia vectorial˘a x = (x1 , x2 , . . . , xn) prin relat¸iile ¸iile x1 = x, x2 = x , x3 = x , . . . , x n = x(n−1) . (13.23) Cu aceast˘ aceast˘ a substitut¸ie, ¸ie, ecuat¸ia ¸ia neomogen˘ n eomogen˘a (13.21) este echivalent˘a cu urm˘atorul atorul sistem diferent¸ial ¸ial liniar linia r de ordinul ˆıntâi ai



xi = xi+1 , i = 1, n xn = an (t)x1

− 1, − · · · − a1(t)xn + f (t).

−

(13.24)

Mai precis, aplicat¸ia ¸ia Λ definit˘a prin x = Λ(x Λ(x) = (x, x , . . . , x(n−1) ) este un izomorfism ˆıntre ınt re mult mul¸imea ¸t imea solut¸iilor ¸iilor ecuat¸iei ¸iei (13.21) (13.21 ) ¸si si mult¸imea ¸imea solut¸iilor ¸iilor sistemului (13.24). Ecuat¸iei ¸iei omogene (13.22) ˆıi ıi corespunde prin izomorfismul Λ sistemul liniar omogen



1, n xi = xi+1 , i = 1,  xn = an (t)x1

− 1, − · · · − a1(t)xn.

−

(13.25)

Din teorema de existent¸˘ ¸a˘ ¸si si unicitate unicita te a solut¸iei ¸iei pentru sisteme diferent¸iale, ¸iale, rezult˘a: a: I ¸si si oricare ar fi (x0 , x0 , . . . , x(n−1) ) din Rn exist˘ ao ¸iei ( 13.21), si care sat s atisf isface ace singur˘ a solut ¸ie ¸ie x = x(t) a ecuat 13.21), definit˘ a pe ˆıntreg ınt reg inter in tervalu valul l I ¸si condit ¸iile init ¸iale

Teorema 13.11 Oricare ar fi t0

∈

(n−1) x(t0 ) = x0 , x (t0 ) = x0 , . . . , x (n−1) (t0 ) = x0 .

(13.26)

Conform Teoremei 13.3 de la sisteme diferent¸iale ¸iale avem: Teorema 13.12 Mult ¸imea solut ¸iilor ecuat ¸iei omogene (13.22) formeaz˘ a un spat ¸iu vec-

torial de dimensiune n. Fie x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) o baz˘a ˆın acest ac est spat sp at¸iu, ¸iu, adic˘a n solut¸ii ¸ii liniar independente ale ecuat¸iei ¸iei (13.22). (13. 22). Ca ¸si si ˆın cazul sistemelor sistemel or diferent dife rent¸iale ¸iale liniare, un sistem format din n solut¸ii ¸ii liniar independente ale ecuat¸iei ¸iei (13.22) (1 3.22) ˆıl vom numi sistem fundamental de solut ¸ii ¸ii . Cum prin izomorfismul Λ fiec˘arei arei solut¸ii ¸ii x(t) a ecuat¸iei ¸iei omogene ˆıi corespunde cores punde o solut s olut¸ie ¸ie

}

{

x(t) = (x(t), x (t), . . . , x(n−1) (t))

a sistemului omogen, sistemului de solut¸ii ¸ii x1 , x2 , . . . , xn ˆıi corespunde corespun de matricea

{

X (t) =

 

x1 (x1 ) ... (x1 )(n−1)

x2 .. . 2  (x ) ... ... ... 2 (n−1) (x ) ...

}

xn (xn ) ... (xn )(n−1)

 

.

(13.27)

Fie Fi e ˆınc˘ ın c˘a W ( W (t) = det X (t) wronskianul sistemului wronskianul sistemului de solut¸ii. ¸ii. Din Teorema Teorema 13.5 deducem atunci: Teorema 13.13 Sistemul de solut ¸ii ¸ii x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) este fundamental d.d. exis-

t˘ a un t0

∈ I a.ˆı. W (  0. W (t0 ) = 0.

{

}


191

In final, obt¸inem ¸inem din Teorema 13.6: Teorema 13.14 Fie x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) este un sistem fundamental de solut ¸ii pen-

{

}

13.22), atunci solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei (13.22) este tru ecuat ¸ia ( 13.22), x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) +

· · · + cnxn(t),

t

∈ I,

(13.28)

unde c1 , c2 , . . . , cn sunt constante arbitrare. Exemplul 13.6 Ecuat ¸ia diferent ¸ial˘ a x + a2 x = 0, 0, a

∈ R \ {0} admite solut ¸iile x1 (t) = cos at, at, x2 (t) = sin at. at. Wronskianul sistemului {x1 (t), x2 (t)} este W ( W (t) =

 −

cos at sin at a sin at a cos at



= a = 0.



Deci x1 (t), x2 (t) formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii pentru ecuat ¸ia dat˘ a, iar solut ¸ia ei general˘ a este

{

}

x(t) = c1 cos at + c2 sin at,

t

∈ R.

cu c1 , c2 constante arbitrare. arbitrare. Din Teorema 13. 13.77 de la sistem sistemee liniare liniare neomo neomogen gene, e, rezult rezult˘˘a c˘a solut¸ia ¸ia general˘ general˘ a a ecuat¸iei ¸iei liniare neomogene de ordinul n, este de forma x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) +

· · · + cnxn(t) + x∗ (t), t ∈ I,

(13.29)

unde x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) este un sistem fundamental de solut¸ii ¸ii pentru ecuat¸ia ¸ia omo∗ gen˘ a asociat˘a, a, iar x (t) este o solut¸ie ¸ie particular˘ particu lar˘a a ecuat¸iei ¸iei neomogene. O solut¸ie ¸ie particular˘a pentru ecuat¸ia ¸ia neomogen˘a se poate c˘auta auta prin metoda variat ¸iei ∗ constantelor deja constantelor deja utilizat˘a pentru sisteme; vom lua l ua deci x (t) de forma

{

}

x∗ (t) = u1 (t)x1 (t) + u2 (t)x2 (t) +

· · · + un(t)xn(t),

(13.30)

ˆın care car e x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) este este un sistem sistem fundam fundamen ental tal de solut solut¸ii ¸ii pentru ecuat¸ia ¸ia omogen˘ a, a, iar u(t) = (u1 (t), u2 (t), . . . , un (t)) este o solut¸ie ¸ie a sistemului (13.14)

{

}

X (t) u (t) = b(t),

(13.31)

cu b(t) = (0, (0, 0, . . . , f ( t)), dup˘a cum rezult˘a din (13.24), adic˘a x1 u1 + x2 u2 + + xn un = 0 (x1 ) u1 + (x (x2 ) u2 + + (x (xn ) un = 0

  · · · · · · · · · · · · · ·· ···· · ·· ·· ·· · · · · · · · · · · ·  ··· ··· 1 (n 2)

(x ) − u1 + (x (x2 )(n−2) u2 + 1 (n−1)  (x ) u + (x (x2 )(n−1) u + 1

2

(13.32) n (n 2)

+ (x (x ) − un = 0 + (x (xn )(n−1) u = f ( f (t) n



Deoarece det X (t) = W ( W (t) = 0 pe I , sistemul (13.32) determin˘a ˆın ın mod unic funct¸ia ¸ia u (t). Solut¸ia ¸ia sa se scrie

u (t) = X −1 (t)b(t).

De unde se determin˘a atunci u(t) pân˘ an˘ a la un vector c arbitrar.

(13.33)

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA Exemplul 13.7 Fie ecuat ¸ia x ¸ia x + a2 x = cos at, at, a

omogene asociate este

192

∈ R \ {0}. Solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei

x(t) = c1 cos at + c2 sin at,

t

∈ R.

C˘ aut˘ am o solut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a pentru ecuat ¸ia neomogen˘ a sub forma x∗ (t) = u1 (t)cos at + u2 (t)sin at,

t

∈ R.

ˆın ın care care u1 (t) ¸si si u2 (t) verific˘ a sistemul sistemul u1 cos at + u2 sin at = 0, 0, Rezult˘ a

−au1 sin at + au2 cos at = cos at.

1 (1 + cos cos 2at) at). 2a De unde, pân˘ an˘ a la constante aditive arbitrare, obt ¸inem u1 =

u1 (t) =

− 21a sin2a sin2at,

u2 =

1 cos2a cos2at, 4a2

u2 (t) =

1 1 t + 2 sin2at. sin2at. 2a 4a

Avem deci solut ¸ia ¸ia particular˘ particular˘ a 1 1 cos at + t sin at, 2 4a 2a

x∗ (t) =

t

∈ R.

Solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei date se scrie atunci x(t) = c1 cos at + c2 sin at +

1 1 cos at + t sin at, 2 4a 2a

t

∈ R.

cu c1 , c2 constante arbitrare. Solut ¸ia problemei lui Cauchy cu condit ¸iile init ¸iale x(π/a) π/a) = 1 t  0, x (π/a) π/a) = π/2 π/ 2a, cum c1 = 4a2 , c2 = 0, este x(t) = 2a sin at. at.

−

13.6

−

Ecua¸ii ¸t ii de ordinul

n

cu coeficient ¸i constant ¸i ¸i ¸i

O ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a liniar˘ a Ln (x) = a0 x(n) + a1 x(n−1) +

· · · + an−1x + anx = 0,

a0 = 0



(13.34)

unde ai , i = 0, n sunt constante reale, este o ecuat¸ie ¸ie de ordinul n, cu coeficient ¸i constant ¸i , omogen˘ a. a. Pentru aceast˘a clas˘a de ecuat¸ii ¸ii putem determina totdeauna un sistem fundamental de solut¸ii. ¸ii. C˘ aut˘ aut˘ am a m o solut¸ie ¸ie de forma x = ert . Deoa Deoare rece ce x(k) = rk ert , ˆınlocu ınl ocuind ind ˆın ecuat ecua ¸ia ¸tia rt (13.34) obt¸inem ¸inem e K n (r) = 0, unde K n (r) = a0 rn + a1 rn−1 +

· · · + an−1r + an = 0.

(13.35)


193

Prin urmare, num˘arul arul r (real sau complex) trebuie s˘a fie r˘ad˘ ad ˘acin˘ acin˘ a a ecuat¸iei ¸iei algebrice (13.35) pe care o vom numi ecuat ¸ia caracteristic˘ a a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (13.34). In cele ce urmeaz˘ a vom analiza modul ˆın care se poate obt¸ine ¸ine un sistem fundamental de solut¸ii ¸ii ˆın funct fun ct¸ie ¸ie de natura r˘ad˘ ad˘ acinilor acinilor ecuat¸iei ¸iei caracteristice.

13.6 13 .6.1 .1

Ecua Ecuat ¸ia ¸tia cara ca ract cter eris isti tic˘ c˘ a are ar e r˘ ad˘ ad˘ acin ac inii dist di stin inct cte e

Teorema 13.15 Dac˘ a ecuat ¸ia caracteristic˘ a are r˘ ad˘ acinile simple r1 , r2 , . . . , rn , atunci

solut ¸iile particulare x1 (t) = er1 t , x2 (t) = er2 t , . . . , x n (t) = ern t ,

(13.36)

formeaz˘ a un sistem fundamental de solut ¸ii ale ecuat ¸iei (13.34).  C˘ a funct¸iile ¸iile (13.36) sunt solut¸ii ¸ii rezult˘a din teorema precedent˘ a. a. Wronskianul acestui sistem de solut¸ii ¸ii este

  ·  n

W ( W (t) = exp t(

rk )

k=1



1 r1 ... r1n−1

1 ... r2 .. . ... ... n−1 r2 .. .

1 rn ... rnn−1



 

n

  

= exp t(

rk )

k=1

1 j
≤

− 

(ri rj ) = 0, 0,

≤

deoarece ri = rj pentru i = j . Deci solut¸iile ¸iile (13.36) formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii. ¸ii.  Dac˘a toate toat e r˘ad˘ ad˘acinile acinile ecuat¸iei ¸iei caracteris caracteristice tice sunt reale, reale, atunci atunci solut¸ia ¸ia general˘ general˘ a a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (13.34) este de forma x(t) = c1 er1 t + c2 er2 t +

· · · + cner t, n

t

∈ R.

(13.37)

Dac˘ a ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a are o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a complex˘a r = α + iβ , atunci atu nci ¸si si r = α este r˘ad˘ ad˘acin˘ acin˘ a, a, ¸si si solut sol ut¸iile ¸iile cu valori complexe iβ)t iβ )t e(α+iβ) = eαt (cos βt + i sin βt) = eαt (cos βt βt ), e(α−iβ)

− iβ

− i sin βt) βt ),

pot fi ˆınlocuite ınlo cuite ˆın (13.37) prin solut¸iile ¸iile cu valori reale 1 (α+iβ) 1 (α+iβ) iβ )t (e iβ)t + e(α−iβ) ) = eαt cos βt, (e iβ)t 2 2i

13.6 13 .6.2 .2

iβ )t − e(α−iβ) ) = eαt sin βt.

Ecua Ecuat ¸ia ¸tia cara ca ract cter eris isti tic˘ c˘ a are ar e r˘ ad˘ ad˘ acin ac inii multi mul tipl ple e

Teorema 13.16 Dac˘ a ecuat ¸ia ¸ia caracteristic˘ caracteristic˘ a (13.35) are r˘ ad˘ acina multipl˘ a r = α, de

ordinul de multiplicitate m + 1, 1, atunci funct ¸iile x p (t) = t p eαt ,

t

∈ R, p = 0, m,

sunt solut ¸ii liniar independente ale ecuat ¸iei (13.34).  Pentru orice t

∈ R ¸sisi r real sau complex, are loc identitatea Ln (ert ) = ert · K n (t).


194

S˘a deriv˘ deri v˘am am aceast˘ acea st˘a identitate de p ori ˆın raport rapor t cu r, p = 1, m, p) p) [Ln (ert )](r p) = [e [ ert K n (t)](r p) .

·

S˘a observ˘ obse rv˘am am c˘a operatorul Ln comut˘a cu derivata ˆın ın raport cu r deoarece Ln este un rt operator liniar cu coeficient¸i ¸i constant¸i, ¸i, iar e are derivate derivate de orice ordin continu continue. e. In membrul drept vom aplica regula lui Leibniz de derivare a unui produs. Putem deci scrie Ln (t p ert ) = ert [t p K n (r) + C p1 t p−1 K n (r ) +

p) · · · + C p pK n( p) (r)]. )].

(13.38)

Pe de alt˘a parte, dac˘a r = α este r˘ad˘ ad˘ acina acina multipl˘a, a, de ordinul de multiplicitate m + 1, a ecuat¸iei ¸iei caracteristice K n (r) = 0, atunci K n (α) = 0, K n (α) = 0, . . . , K n( m) (α) = 0, K n(m+1) (α) = 0. 0.



(13.39)

Din (13.38) (13. 38) rezult˘ rezu lt˘a atunci atun ci c˘a Ln (t p eαt ) = 0, pentru p = 0, m. Solut¸iile ¸iile t p eαt , p = 0, 0 , m, sunt liniar independente pe R deoarece funct¸iile ¸iile t p , p = 0, 0 , m, sunt liniar independen independente te pe R.  Dac˘a r˘ad˘ ad˘acina acina r = α a ecuat¸iei ¸iei caracteristice este real˘ a , atunci contribut¸ia ¸ia ei la solut¸ia ¸ia general˘ a a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (13.34) este de forma x(t) = (c0 + c1 t +

· · · + cmtm)eαt,

t

(13.40)

∈ R.

Dac˘ a ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a are o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a complex˘a r = α + iβ , atunci atu nci ¸si si r = α este r˘ad˘ ad˘acin˘ acin˘ a, a, ¸si si solut sol ut¸iile ¸iile cu valori complexe iβ )t iβ)t t p e(α+iβ) = t p eαt (cos βt + i sin βt) βt ), t p e(α−iβ) = t p eαt (cos βt

− iβ

− i sin βt) βt ),

pot fi ˆınlocuite ınlo cuite prin solut¸iile ¸iile cu valori reale 1 p (α+iβ) iβ )t t (e iβ )t + e(α−iβ) ) = t p eαt cos βt, 2 1 p (α+iβ) t (e iβ)t 2i

iβ )t − e(α−iβ) ) = t p eαt sin βt,

cu p = 0, m, contribut¸ia ¸ia acestei r˘ad˘ ad˘ acini acini la solut¸ia ¸ia general˘a a ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (13.34) fiind de forma m m



x(t) = (

c p t p )eαt cos βt + (

p=0 p=0



c p t p )eαt sin βt.

p=0 p=0

Pentru determinarea unei solut¸ii ¸ii particulare a ecuat¸iei ¸iei neomogene Ln (x) = a0 x(n) + a1 x(n−1) +

· · · + an−1x + anx = f ( f (t),

putem folosi metoda variat ¸iei ¸iei constantelor . Exemplul 13.8 S˘ a se integreze ecuat ¸ia

x + x =

1 , cos t

t

∈ R \ {kπ + π2 }.


195

Ecuat ¸ia omogen˘ a x + x = 0 are ecuat ¸ia caracteristic˘ a r2 + 1 = 0, 0, cu r˘ ad˘ acinile r1 = i, r2 = i. Solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei omogene este deci

−

x(t) = c1 cos t + c2 sin t. C˘ aut˘ am o solut ¸ie ¸ie particular˘ particular˘ a pentru ecuat ¸ia neomogen˘ a sub forma x∗ (t) = u1 (t)cos t + u2 (t)sin t, cu u1 cos t + u2 sin t = 0, 0, de unde u1 =

−tg t, u2 = 1 ¸sisi deci deci

−u1 sin t + u2 cos t = cos1 t , |

u1 (t) = ln cos t , u2 (t) = t,

|

ˆıncˆ at, at, solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei neomogene va fi

· |

|

x(t) = c1 cos t + c2 sin t + cos t ln cos t + t sin t. In unele cazuri particulare putem g˘asi o solut¸ie ¸ie particular˘a, a, prin identificare, identificare, f˘ ar˘ ar˘a a apela la metoda variat¸iei ¸iei constantelor. Un astfel de caz este cel ˆın care termenul liber al ecuat¸iei ¸iei neomogene neomogene este de forma f ( f (t) = P m (t)eαt cos βt + Qm (t)eαt sin βt,

{

}

unde P m (t) ¸si Qm (t) sunt polinoame, polinoame, m = max grad P m (t), grad Qm (t) . In acest caz se poate c˘auta auta o solut¸ie ¸ie particular˘a de forma

∗ (t)eαt cos βt + Q∗ (t)eαt sin βt, x∗ (t) = P m m ∗ (t) ¸si Q∗ (t) sunt polinoame de grad cel mult m, ai c˘aror ˆın car c aree P m aror coeficient¸i ¸i se determin˘a m prin identificare. Dac˘a r = α + iβ este es te r˘ad˘ ad ˘acin˘ acin˘ a a ecuat¸iei ¸iei caracteristice, de ordin de multiplicitate p, atunci, pentru a fi posibil˘a identificarea, solut¸ia ¸ia particular˘a se caut˘a de forma ∗ (t)eαt cos βt + t p Q∗ (t)eαt sin βt. x∗ (t) = t p P m m Exemplul 13.9 S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei

xIV + 2x 2x + 5x 5x + 8x 8x + 4x 4x = 40 40ee−t + cos t. Ecuat ¸ia caracteristic˘ a r 4 + 2r3 + 5r2 + 8r + 4 = 0 are r˘ ad˘ acinile r1 = r2 = r4 = 2i. Solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei omogene se scrie

−

x(t) = (c1 + c2 t)e−t + c3 cos2t cos2t + c4 sin2t, sin2t,

t

−1 ¸si si r3 = 2i 2 i,

∈ R.

Deoarece r = 1 este r˘ ad˘ acin˘ a dubl˘ a pentru ecuat ¸ia ¸ia caracteristic˘ caracteristic˘ a, vom c˘ auta o solut ¸ie ¸ie particular˘ a de forma x∗ (t) = At2 e−t + B cos t + C sin C sin t. Introducˆ and an d ˆın ecuat ecua¸ie t ¸si si identifi iden tificˆ când and coeficient ¸ii, se g˘ ase¸ as e¸ste A = 4, B = 0, C = 1/6 ¸si si deci solut ¸ia general˘ a a ecuat ¸iei neomogene va fi 1 x(t) = (c1 + c2 t)e−t + c3 cos2t cos2t + c4 sin2t sin2t + 4t 4t2 e−t + sin t, t R. 6

−

∈


13.7

196

Ecua¸ia ¸t ia lui Euler

O ecuat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n de forma a0 tn x(n) + a1 tn−1 x(n−1) +

· · · + an−1tx + anx = f ( f (t),

(13.41)

cu ai , i = 0, 0 , n constante reale, se nume¸ste ste ecuat ¸ia lui Euler . Prin schimbarea de variabil˘a independent˘a t = eτ , ecuat¸ia ¸ia (13.41) se transform˘ transfo rm˘a ˆıntr-o ınt r-o ecuat ec uat¸ie ¸ie diferent¸ial˘ ¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient¸i ¸i constant¸i. ¸i. Intr-adev˘ar, ar, luˆ and, and, pentru t > 0, t = eτ , g˘ asim asim

||

tx =

dx 2  d2 x , t x = 2 dτ dτ

− dx , ... dτ

adic˘a, a, tk x(k) este o combinat¸ie ¸ie liniar˘ a cu coeficient¸i ¸i constant¸i ¸i de derivatele pân˘ an˘ a la ordinul k ale funct¸iei ¸iei x ˆın raport rap ort cu τ . τ . Inlocuind ˆın (13.41) obt¸inem ¸inem o ecuat¸ie ¸ie liniar˘ a cu coeficient¸i ¸i constant¸i, ¸i, de forma b0

dn x dn−1 x + b + 1 dτ n dτ n−1

· · · + bn−1 dx + bn x = f ( f (eτ ). dτ

(13.42)

Pentru t < 0 se ajunge la acela¸si si rezultat. Ecuat¸ia ¸ia omogen˘a corespunz˘atoare atoare ecuat¸iei ¸iei (13.42) admite solut¸ii ¸ii de forma eατ , unde r = α este o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a a ecuat¸iei ¸iei caracteristice. Revenind la ecuat¸ia ¸ia init¸ial˘ ¸ial˘ a ¸si si observˆ obse rvând and c˘a eατ = (eτ )α = t α , deducem c˘a ecuat¸ia ¸ia Euler omogen˘a admite solut¸ii ¸ii de forma t α . C˘ autˆ autˆ and and pentru ecuat¸ia ¸ia Euler omogen˘a o solut¸ie ¸ie de forma

||

||

x(t) = A t r , A = 0,

||



g˘ asim asim ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a a ecuat¸iei ¸iei Euler K n (r) = a0 r(r

− 1) · · · (r − n + 1) + · · · + an−1r + an = 0.0 .

Fie r1 , r2 , . . . , rn r˘ad˘ ad˘ acinile acinile ecuat¸iei ¸iei caracteris caracteristice. tice. In funct¸ie ¸ie de ordinele de multiplicitate ¸si si natura acestor r˘ad˘ ad˘ acini, acini, se determin˘a, a, la fel ca la ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient¸i ¸i constant¸i, ¸i, un sistem fundamental de solut¸ii. ¸ii. reale, atunci atunci solut¸ia ¸ia general˘ general˘ a a Dac˘a toate toat e r˘ad˘ ad˘acinile acinile ecuat¸iei ¸iei caracteris caracteristice tice sunt sunt reale, ecuat¸iei ¸iei diferent¸iale ¸iale (13.41) (13.41) este de forma x(t) = c1 t r1 + c2 t r2 +

||

||

· · · + cn|t|r

n

,

t

∈ R \ { 0} .

Dac˘ a ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a are o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a simpl˘a complex˘a r = α + iβ , atunci ¸si si r = α iβ este r˘ad˘ ad˘acin˘ acin˘ a, a, ¸si si lor le corespund solut¸iile ¸iile cu valori valori reale

−

|t|α cos(β cos(β ln ln |t|), |t|α sin(β sin(β ln ln |t|). Dac˘a r = α este r˘ad˘ ad˘acin˘ acin˘ a real˘ a de ordinul de multiplicitate m + 1 a ecuat ecuat¸iei ¸iei caracteristice, atunci contribut¸ia ¸ia ei la solut¸ia ¸ia general˘a este de forma

| | · · · + cm lnm |t|)|t|α,

x(t) = (c0 + c1 ln t +

t

∈ R \ {0}.


197

Dac˘ a ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a are o r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a complex˘a r = α + iβ , de ordinul de multiplicitate m + 1, atunci atun ci ¸si si r = α iβ este r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘a de acela¸si si ordin de multiplicitate, multiplic itate, ¸si si contribut¸ia ¸ia acestor r˘ad˘ ad˘ acini acini la solut¸ia ¸ia general˘a este de forma

−

m

x(t) = (



p=0 p=0

m

c p ln p t ) t α cos(β cos(β ln ln t ) + (

||||

||



p=0 p=0

c p ln p t ) t α sin(β sin(β ln ln t ).

||||

||

Pentru determinarea unei solut¸ii ¸ii particulare a ecuat¸iei ¸iei Euler neomogene putem folosi metoda variat ¸iei ¸iei constantelor .

Bibliografie ˘ , T. Morozanu , Culegere de probleme de calcul diferent ¸ial ¸si a [1] Lia Arama, si integral, int egral, Vol. I , Editura Tehnic˘a, a, Bucur B ucure¸ e¸sti, sti , 1967. 19 67.

[2] V. Barbu , Ecuat ¸ii diferent ¸iale, ¸iale, Editura Ed itura Junimea, Ia¸si, si, 1985. Berman an, A Probl [3] G. N. Berm Problem em Book Book in Mathem Mathemati atica call Analy Analysis sis,, Mir Publisher Publishers, s, Moscow,1980. ˆ mpu, S. G ain ˘ ina ˘ , Culegere de probleme de calcul diferent a a [4] Gh. Bucur, E. C ampu, ¸ial ¸ia l ¸si integral, Vol. II I I ¸si si III , Editura Tehnic˘a, a, Bucure¸sti, sti, 1967. Burdujan, Elemente de algebr˘ [5] I. Burdujan a liniar˘ a ¸si si geometrie analitic˘ analitic ˘ a , Rotaprint IPI, 1982.

[6] N. Calistru, Gh. Ciobanu , Curs de analiz˘ a matematic˘ a , Rotaprint Rotaprint IPI, 1988. ´ [7] G. Chilov, Analyse Anal yse math´ mat hématique emat ique,, Editions Mir, Moscou, 1984. ˘ , Probleme de matematici superioare, Ch irit it ¸a [8] S. Chir superioare , Editura Didactic˘a ¸si si pedagog ped agogic˘ ic˘a, a, Bucure¸ Buc ure¸sti, sti , 1989 1989.. Corduneanu, Ecuat [9] A. Corduneanu ¸ii diferent ¸iale cu aplicat ¸ii ˆın electrotehn elect rotehnic˘ ic˘ a , Editura Editura FACLA, Timi¸soara, soara, 1981.

[10] A. Corduneanu, A. L. Pletea , Not ¸iuni de teoria ecuat ¸iilor diferent ¸iale, ¸iale, Editura MATRIX ROM, RO M, Bucure¸sti, sti, 1999. [11] B. Demidovich, Problems in mathematical analysis, analysis , Mir Publishers, Moscow, 1981. Donciu, D. Flondo Flondor r , Analiz˘ [12] N. Donciu, a matematic˘ matematic˘ a. Culeger Culegeree de proble probleme me,, Editur Edituraa ALL, Bucure¸sti, sti, 1993.

[13] N. Gheorghiu, T. Precupanu , Analiz˘ a matematic˘ a , Editura Didactic˘a ¸si si pedaped agogic˘ a, a, Bucur B ucure¸ e¸sti, sti , 1979. 19 79. [14] M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, E. Shihin , Mathematical Analysis for Engineers, Engineers, Vol. I and II, Mir Publishers, Mosvow, 1990. [15] V. A. Kudryavtsev and B. P. Demidovich , A Brief Course of Higher Mathematics, matics, Mir Publishers, Moscow, 1978. 198


199

¸anu, Ecuat [16] Gh. Moros¸anu ¸ii diferent ¸iale. Aplicat ¸ii , Editura Edi tura Academiei, Aca demiei, Bucure¸sti, sti, 1989.

[17] C. P. Nicolescu , Teste de analiz˘ a matematic˘ a , Editura Edi tura Albatros, Al batros, Bucure¸sti, sti, 1984. [18] M. Nicolescu, N. Dinculeanu, Dinculeanu, S. Marcus Marcus , Analiz˘ a matematic˘ a , Vol. I, Editura Didactic˘ a ¸si si pedago pe dagogic˘ gic˘a, a, Bucure¸ Bucu re¸sti, sti , 1966 1 966 [19] Gh. Procopiuc, Matematic˘ a , Univ. Tehnic˘a “Gh. “ Gh. Asachi” Ia¸si, si, 1999. Procopiuc, Gh. Slabu, M. Ispas , Matematic˘ [20] Gh. Procopiuc, a, teorie ¸si si aplicat ¸ii , Editura “Gh. Asachi” Ia¸si, si, 2001. Ros¸culet ¸ , Analiz˘ [21] M. Ros a matema mat emati tic˘ c˘a a , Editura Editura Didactic˘ Didactic˘ a ¸si si pedagogic˘ pedag ogic˘a, a, Bucure¸ Bucu re¸sti, sti , 1984. Rus,, Paraschiv araschiva a Pavel, Gh. Micula, Micula, B. B. Ionescu Ionescu , Probleme de [22] Ioan A. Rus ecuat ¸ii diferent ¸iale ¸iale ¸si si cu derivate part ¸iale, ¸iale, Editura Editura Didactic˘ Didactic˘ a ¸si si pedagogic˘ pedag ogic˘a, a , BuBucure¸sti, sti , 1982 1982.. Shestakov v, A Course [23] A. A. Shestako Course of Higher Higher Mathematic Mathematicss , Mir Publishers, Publishers, Moskow, Moskow, 1990. Gh . Sir S iret et ¸ chi ch i, Calcul diferent [24] Gh. ¸ial ¸si si integral, Vol. 1, Not ¸iuni fundamentale, fundamentale , Ed. Ed . ¸st. st . ¸si si Encicl. Enci cl.,, Bucure¸ Bucu re¸sti, sti, 1985 1985.. Sir et ¸ chi , Calcul diferent [25] Gh. Siret ¸ial ¸ial ¸si si integral, integral, Vol. 2, Exercit ¸ii , Ed. S¸ t. ¸si si Encicl. Enci cl.,, Bucure¸ Buc ure¸sti, sti , 198 1985. 5.

[26] Rodica Tudorache, Culegere de probleme de analiz˘ a matematic˘ a, Vol. I, Calculul diferent ¸ial , Univ. Tehnic˘a “Gh. “ Gh. Asachi” Ia¸si, si, 2000. [27] Rodica Tudorache, Culegere de probleme de analiz˘ a matematic˘ a, Vol. II, Calculul integral , Univ. Tehnic˘ a. a. “Gh. Asachi” Ia¸si, si, 2001.

Index aplicat¸ie, ¸ie, 7 injectiv˘a, a, 7 invers˘a, a, 8 surjectiv˘ a, a, 7

solut¸ie ¸ie particular˘a, a, 158, 174 formula de medie, 152 divergent¸ei, ¸ei, 154 lui Green, 140 lui Leibniz-Newton, 116 lui Mac Laurin, 57 lui Stokes, 149 lui Taylor, 55, 58, 70 funct¸ia ¸ia lui Lagrange, 87 funct¸ie ¸ie continu˘a, a, 42 continu˘a pe port¸iuni, ¸iuni, 113 definit˘ a implicit, 74 derivabil˘a, a, 48, 49 diferent¸iabil˘ ¸iabil˘ a, a, 48, 50, 60 omogen˘ a, a, 67 real˘ a, a, 16 uniform continu˘a, a, 45 vectorial˘ a, a, 16 funct¸ii ¸ii funct¸ional ¸ional dependente, 79 funct¸ional ¸ional independente, 79

contract¸ie, ¸ie, 24 criteriul de integrabilitate, 137 lui Cauchy, 21 derivata part¸ial˘ ¸ial˘ a, a, 59 unei funct¸ii ¸ii reale, 48 unei funct¸ii ¸ii vectoriale, 49 determinant funct¸ional, ¸ional, 76 diametru unei mult¸imi, ¸imi, 135 diferent¸iala, ¸iala, 60 unei funct¸ii ¸ii reale, 49 unei funct¸ii ¸ii vectoriale, 50 ecuat¸ia ¸ia diferent¸ial˘ ¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n, 189 cu coeficient¸i ¸i constant¸i, ¸i, 192 ecuat¸ia ¸ia caracteristic˘a, a, 193 metoda variat¸iei ¸iei constantelor, 191 sistem fundamental de solut¸ii, ¸ii, 190 wronskianul, 190 ecuat¸ii ¸ii diferent¸iale, ¸iale, 157 condit¸ie ¸ie init¸ial˘ ¸ial˘ a, a, 159 de ordin superior, 173 de ordinul I, 158 integral˘ a intermediar˘a, a, 174 integral˘ a prim˘a, a, 174 metoda aproximat¸iilor ¸iilor succesive, 171 ordinare, 157 problema lui Cauchy, 159, 175 solut¸ia ¸ia general˘a, a, 158, 173

integrala curbilinie de form˘a general˘ general˘ a, a, 130 de primul tip, 127 de tipul al doilea, 128 de suprafat¸˘ ¸a˘ de primul tip, 145 de tiput al doilea, 147 definite, 109 dubl˘ a, a, 136 improprie de spet¸a ¸a a II-a, 118 de spet¸a ¸a I, 117 200

˘ MATEMATICA ˘ GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZA nedefinit˘ a, a, 100 tripl˘a, a, 151 limita unei funct¸ii, ¸ii, 38 reale, 38 vectoriale, 40 unui ¸sir, sir , 18 metric˘ a, a, 9 euclidian˘ a, a, 16 mult¸ime ¸ime de convergent¸˘ ¸a, a˘, 90 deschis˘ a, a, 10 m˘ arginit˘ arginit˘a, a, 10 operatorul operatorul de diferent diferent¸iere, ¸iere, 62 polinomul lui Taylor, 55, 71 primitiv˘ a, a, 100 produs cartezian, 7 scalar, scalar, 11 proprietat proprietatea ea lui Darboux, Darboux, 45 punct aderent, 10 de acumulare, 10 de continuitate, 42 de convergent¸˘ ¸a, a˘, 90 de discontinuitate, 43 de extrem, 58, 83 condit¸ionat, ¸ionat, 87 fix, 24 frontier˘ a, a, 11 interior, 10 stat¸ionar, ¸ionar, 84 reguli de diferent¸iere, ¸iere, 62 relat¸ia ¸ia li Euler, 67 serie absolut convergnt˘a, a, 33 alternant˘ a, a, 35 armonic˘ a, a, 28 armonic˘ a alternant˘a, a, 34 armonic˘ a generalizat˘a, a, 31 convergent˘a, a, 27

201

convergent˘a ˆın norm˘ no rm˘a, a, 36 cu termeni oarecare, oarecare, 33 cu termeni pozitivi, 30 de funct¸ii, ¸ii, 94 de funct¸ii ¸ii uniform convergente, 95 de numere reale, 26 de puteri, 97 divergent˘a, a, 27 geometric˘ a, a, 28 Mac-Laurin, 99 oscilant˘ a, a, 27 semiconvergent˘a, a, 34 Taylor, 99 telescopic˘ a, a, 27 sir, 8 al aproximat¸iilor ¸iilor succesive, 25 Cauchy, 20 convergent, 18 cresc˘ ator, ator, 20 de funct¸ii ¸ii reale, 90 de numere reale, 18 descresc˘ ator, ator, 20 divergent, 18 fundamental, 20 m˘ arginit, arginit, 20 monoton, 20 nem˘arginit, arginit, 20 oscilant, 18 sisteme diferent¸iale ¸iale liniare, 181 cu coeficient coeficient¸i ¸i constant¸i, ¸i, 186 neomogene, 181 omogene, 181 problema lui Cauchy, 182 sistem fundamental de solut¸ii, ¸ii, 183 solut¸ia ¸ia general˘a, a, 181 solut¸ie ¸ie particular˘a, a, 181 valori init¸iale, ¸iale, 182 spat¸iu ¸iu liniar, 11 metric, 9 complet, 23 prehilbertian, 12 transformare punctual˘ a, a, 17 regulat˘ a, a, 77

Analiza Matematica (Anul I)

Recommend Documents