MATEMÁTICA Matemática
U410.15
Matemática Autor: Profa. Kelly Cristina Rosa Colaboradores: Profa. Mirtes Vitória Mariano
Profa. Valéria de Carvalho Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Professora conteudista: Kelly Cristina Rosa Licenciada em Matemática pela Universidade Paulista, mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Tem experiência na área de Educação Matemática e o uso de tecnologias aplicadas à Álgebra, à Geometria e ao Cálculo. Participou do grupo de pesquisa em Tecnologias da Informação e Educação Matemática da PUC-SP. Atualmente, ministra aulas no curso presencial de Licenciatura em Matemática e Administração de Empresas da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) R788
Rosa, Kelly Cristina Matemática. / Kelly Cristina Rosa. - São Paulo: Editora Sol. 2011. 176 p. il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-070/11, ISSN 1517-9230. 1.Matemática Básica 2.Modelagem Matemática 3.Introdução a Funções I.Título CDU 511.2
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista.
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Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Profa. Melissa Larrabure Material Didático – EaD
Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Amanda Casale
Sumário Matemática APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 10 Unidade I
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS ..........................................................................................................................13 1.1 Origem ......................................................................................................................................................13 1.1.1 Conjunto dos números naturais ......................................................................................................13 1.1.2 Conjunto dos números inteiros .......................................................................................................13 1.1.3 Conjunto dos números racionais ....................................................................................................14 1.1.4 Irracionais .................................................................................................................................................15 1.1.5 Conjunto dos números reais .............................................................................................................16
1.2 Diagrama de Venn-Euler dos conjuntos numéricos ..............................................................16 2 TRABALHANDO COM NÚMEROS RACIONAIS ......................................................................................19 2.1 Os números racionais ......................................................................................................................... 19 2.1.1 Algumas operações com racionais .................................................................................................20 2.1.2 Potenciação ...............................................................................................................................................22 2.1.3 Radiciação..................................................................................................................................................23
2.2 Frações – aplicações na vida cotidiana .......................................................................................27 2.2.1 A relação de semelhança ....................................................................................................................29 2.2.2 O fator de proporcionalidade ............................................................................................................29 2.2.3 Exemplos de proporções .....................................................................................................................29 2.2.4 Proporções inversas ............................................................................................................................... 31 2.2.5 Regra de três ........................................................................................................................................... 31
2.3 Porcentagem: proporção e forma decimal ................................................................................ 34 2.3.1 Origem do termo.....................................................................................................................................34 2.3.2 A razão centesimal .................................................................................................................................34 2.3.3 Forma decimal ..........................................................................................................................................34 2.3.4 Porcentagem como número relativo ..............................................................................................35 2.3.5 Por que usar porcentagens? ...............................................................................................................35 2.3.6 Cálculos com porcentagens ..............................................................................................................35 Unidade II
3 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA ...........................................................................................................................47 3.1 Resgatando conceitos aritméticos ............................................................................................... 47 3.2 Resgatando conceitos geométricos.............................................................................................. 48 3.3 Álgebra......................................................................................................................................................49 3.3.1 O x da questão ......................................................................................................................................... 51
3.4 Equações de primeiro grau ............................................................................................................. 53
3.4.1 Modelos matemáticos ..........................................................................................................................53 3.4.2 Modelagem: primeiros passos ...........................................................................................................54 3.4.3 Resolvendo equações ............................................................................................................................55
3.5 Inequações ..............................................................................................................................................58 3.6 Resolvendo inequações .....................................................................................................................59 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .......................................................................................................63 4.1 Resolvendo um sistema possível e determinado ....................................................................64 4.1.1 Substituição de variável ......................................................................................................................64 4.1.2 Método da adição ...................................................................................................................................65 4.1.3 Outros métodos ......................................................................................................................................68
4.2 Produtos notáveis e fatoração ......................................................................................................72 4.2.1 Produtos notáveis ..................................................................................................................................72 4.2.2 Quadrado da soma de dois termos ..................................................................................................72 4.2.3 Quadrado da diferença de dois termos .........................................................................................73 4.2.4 Produto da soma pela diferença de dois termos ....................................................................... 73
4.3 Fatoração ................................................................................................................................................. 74 4.3.1 Evidência do fator comum..................................................................................................................74 4.3.2 Agrupamento ..........................................................................................................................................74 4.3.3 Trinômio quadrado perfeito ...............................................................................................................75 4.3.4 Fatoração por diferença de quadrados ..........................................................................................75
4.4 Equações de 2º grau............................................................................................................................75 4.4.1 Resolvendo equações do 2º grau ....................................................................................................77 4.4.2 Fórmula de Bhaskara .............................................................................................................................77 4.4.3 Discriminante ..........................................................................................................................................78 4.4.4 Fatoração: regra da soma e produto...............................................................................................78 Unidade III
5 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÕES ........................................................................................... 90 5.1 A álgebra dos conjuntos ....................................................................................................................90 5.1.1 Os conjuntos .............................................................................................................................................90 5.1.2 Os elementos ............................................................................................................................................90 5.1.3 Número de elementos .......................................................................................................................... 91 5.1.4 Representações........................................................................................................................................ 91
5.2 Operações com conjuntos ................................................................................................................93 5.2.1 Operações ...................................................................................................................................................93 5.2.2 União ............................................................................................................................................................93 5.2.3 Intersecção ................................................................................................................................................94 5.2.4 Diferença simétrica ...............................................................................................................................95 5.2.5 Complementar .........................................................................................................................................96
5.3 Entendendo um diagrama de Venn-Euler ................................................................................97 5.3.1 Representação simbólica .....................................................................................................................97 5.3.2 Resolvendo problemas concretos com conjuntos abstratos ............................................... 98
6 RELAÇÕES .......................................................................................................................................................106 6.1 Par ordenado........................................................................................................................................106 6.1.1 Produto cartesiano ...............................................................................................................................106
6.1.2 Relação binária ......................................................................................................................................108 6.1.3 Representação gráfica ........................................................................................................................109 6.1.4 Representação gráfica dos pares ordenados ............................................................................. 110 6.1.5 Domínio, contradomínio e imagem de relações binárias ....................................................111
6.2 Funções polinomiais..........................................................................................................................114 6.2.1 Função de 1º grau .................................................................................................................................114 6.2.2 Função linear .........................................................................................................................................115 6.2.3 Função afim ............................................................................................................................................116 6.2.4 Função constante .................................................................................................................................116 6.2.5 Gráfico .....................................................................................................................................................117
6.3 Função de 2º grau .............................................................................................................................124 6.3.1 Funções polinomiais ........................................................................................................................... 124 6.3.2 Função quadrática............................................................................................................................... 124 6.3.3 Valor da função .................................................................................................................................... 125 6.3.4 Raízes da função .................................................................................................................................. 125 6.3.5 Gráfico da função quadrática ....................................................................................................... 126 6.3.6 Construção do gráfico ....................................................................................................................... 127 6.3.7 Modelos gráficos.................................................................................................................................. 127 Unidade IV
7 OUTRAS FUNÇÕES .......................................................................................................................................141 7.1 Função exponencial .........................................................................................................................141 7.1.1 Propriedades ...........................................................................................................................................141 7.1.2 Domínio ................................................................................................................................................... 142 7.1.3 Gráficos.................................................................................................................................................... 142 7.1.4 Comparativo .......................................................................................................................................... 143
7.2 Função logarítmica............................................................................................................................144 7.2.1 Definição ................................................................................................................................................. 144 7.2.2 Propriedades .......................................................................................................................................... 144
8 TRIGONOMETRIA ...........................................................................................................................................149 8.1 Trigonometria no triângulo retângulo ......................................................................................149 8.1.1 Relações métricas no triângulo retângulo ............................................................................... 150 8.1.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo................................................................. 150 8.1.3 Ângulos notáveis.................................................................................................................................. 153 8.1.4 Relação fundamental......................................................................................................................... 155 8.1.5 Lei dos senos .......................................................................................................................................... 156 8.1.6 Lei dos cossenos ................................................................................................................................... 156
8.2 Funções trigonométricas ...............................................................................................................157 8.2.1 Círculo trigonométrico ...................................................................................................................... 157 8.2.2 Seno de arcos notáveis ...................................................................................................................... 158
8.3 Função seno..........................................................................................................................................160 8.3.1 Cosseno de arcos notáveis ................................................ .............................................................. 160
8.4 Função cosseno...................................................................................................................................162 8.5 Função tangente.................................................................................................................................163
APRESENTAÇÃO Caro aluno, O objetivo desta disciplina é fazer com que o discente possa se comunicar matematicamente, fornecendo o embasamento para que possa, a partir de problemas do mundo real, interpretálos, equacioná-los e resolvê-los utilizando as estruturas matemáticas básicas. O aluno será capaz também de elaborar argumentações matemáticas, bem como contextualizar e inter-relacionar conceitos matemáticos com aplicações em outras áreas de conhecimento e em situações da vida cotidiana. A disciplina Matemática apresenta-se com o objetivo de resgatar e consolidar conhecimentos de matemática básica apresentados no ciclo básico do ensino (Fundamental e Médio) e está dividida em quatro unidades. Na primeira unidade iremos resgatar os conceitos de conjuntos numéricos, em especial os conjuntos dos racionais e reais. Também iremos recapitular os conceitos de fração, porcentagem e a regra de três, que estão intimamente relacionados. Na segunda unidade abordaremos os conceitos de Álgebra. Esse é o ramo da Matemática que exige maior capacidade de abstração e que, em alguns casos, não possui ligação com nossa vida cotidiana. Trabalharemos com a Álgebra por meio da modelagem matemática utilizando equações, inequações e sistemas de equações lineares. A terceira unidade aborda um conceito fundamental da Matemática, que é o conceito de função. Embora algumas vezes necessite de um esforço maior para sua compreensão, o conceito de função é o que possivelmente apresenta maior correlação com o cotidiano, permitindo vários exemplos práticos e sendo extensivamente usado em diversas áreas. Começamos a unidade trabalhando com a Álgebra dos conjuntos, em seguida será apresentado o conceito de relação com suas respectivas propriedades. A partir daí entraremos efetivamente no estudo das funções, apresentando os modelos de funções de 1º e 2º graus. Na última unidade continuaremos trabalhando com funções, sendo apresentados três novos modelos: as funções logarítmicas, as funções exponenciais e, por fim, as funções trigonométricas. Porém, antes de iniciarmos as funções trigonométricas relembraremos algumas propriedades da trigonometria. Os conteúdos abordados neste material têm como objetivo, além de resgatar os conteúdos já aprendidos no ensino básico, fornecer subsídios para o estudo das disciplinas que serão vistas ao longo do curso, de modo que você seja capaz de desenvolver as competências e habilidades necessárias para que alcance o sucesso profissional. Bom estudo! 9
INTRODUÇÃO O que é matemática? A matemática é a linguagem do raciocínio humano. Assim como o ser humano usa palavras para transmitir informações, imagens para expressar ideias, músicas para expressar sentimentos, ele utiliza a linguagem da matemática para estruturar e comunicar pensamentos lógicos. Podemos considerá-la como uma ferramenta que nos ajuda a organizar e sintetizar o pensamento. Como exemplo, imagine que recebamos a tarefa de ensinar alguém a calcular a quantidade de refrigerante que cabe em uma latinha. Usando a linguagem matemática, podemos dizer o seguinte: 2 V = hπr , onde V é o volume da latinha, h é a altura e r é o raio da base. Já para fazer a mesma coisa sem usar a linguagem matemática ( V = hπr2 ), seria necessário fazer algo como: pegue a medida da menor distância que vai do centro da base da latinha até sua borda (o raio), multiplique por ele mesmo (elevar ao quadrado). Em seguida, multiplique o valor obtido pela constante 3,1416 (valor aproximado de π) e, por último, multiplique novamente pela medida da altura da latinha. O número final obtido corresponde à quantidade de refrigerante que pode ser armazenada no recipiente (o volume). Como podemos perceber, utilizar a fórmula V = hπr2 torna a informação muito mais simples e concisa, permitindo uma rápida comunicação e a sintetização de como deve ser o procedimento para se calcular o volume de um cilindro. E, além disso, a linguagem matemática é universal, ou seja, V = hπr2 pode ser entendida por qualquer pessoa que tenha estudado matemática em qualquer lugar do mundo, não importando que língua essa pessoa fale. O que são números? O principal objeto de estudo da matemática não são os números, mas sim os padrões existentes nas estruturas do nosso Universo. Os números exprimem apenas as ideias quantitativas que o ser humano quer comunicar. Quanto mais nobre o pensamento matemático, menos números e contas ele exige. Os matemáticos costumam dizer que os números são um caso particular do raciocínio matemático, assim como um livro é um caso particular do que é literatura. Não se pode dizer que a literatura é feita de letras, assim como não se pode dizer que a matemática é feita de números. Assim como em um livro as letras são combinadas para formar palavras que transmitem os pensamentos e ideias do autor, na matemática os números são usados para representar as ideias quantitativas que o matemático quer registrar, transmitir ou organizar naquele momento. Matemática = fazer contas? Os cálculos numéricos obedecem às regras da matemática, que nada mais são do que a formalização do raciocínio lógico humano, mas fazer matemática não é fazer contas, senão qualquer calculadora poderia ser considerada um grande matemático. Os cálculos constituem uma pequena parte da matemática chamada aritmética. Fazer matemática é compreender, equacionar e resolver problemas, de qualquer natureza, e envolve algumas fases, entre as quais: 10
• compreender o problema; • identificar as variáveis que interferem no resultado; • identificar as relações entre as variáveis; • construir um modelo que represente a situação estudada; • simular as variações possíveis e observar os resultados obtidos; • validar o modelo proposto verificando sua adequação à situação. Por que aprender matemática? A matemática é a arte de resolver problemas e estudando matemática você está aperfeiçoando seu cérebro para encontrar soluções racionais para problemas do dia a dia. Assim, uma pessoa que adquire um bom raciocínio matemático terá mais facilidade para expressar suas ideias, para entender a leitura de um texto, para acompanhar notícias econômicas e financeiras, para planejar atividades, para obter uma visão global das situações e muitas outras aplicações cotidianas. O matemático britânico Keith Devlin, em seu livro O gene da matemática, defende a ideia de que a habilidade humana de comunicação (compreender e expressar ideias) utiliza as mesmas estruturas cerebrais da habilidade de fazer matemática (compreender e desenvolver raciocínios lógicos). Portanto, o desenvolvimento de um auxilia e potencializa o desenvolvimento do outro, e uma pessoa que aumente seu conhecimento matemático provavelmente também aumentará sua capacidade de expressar e defender suas ideias.
11
12
MATEMÁTICA
Unidade I 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Origem Há mais de mil anos um gênio marroquino concebeu as figuras de 0 a 9 que hoje nós conhecemos como números arábicos. Ele moldou as figuras de tal forma que cada uma apresentasse o número correspondente de ângulos. O número 1 contém um ângulo; o 2, dois ângulos, o 3, três ângulos, e assim por diante. O zero, dessa forma, não tem nenhum ângulo. Eis a forma original desses algarismos:
Figura 1 – Origem dos números arábicos
1.1.1 Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais está relacionado com o princípio da contagem. A própria palavra “cálculo” vem do latim calculus , que significa pedra. Por isso a utilizamos em expressões como “cálculo renal” (significando “pedra nos rins”). Essa palavra remete ao antigo uso que se fazia das pedras para realizar a contagem das quantidades dos bens e valores que se possuía. O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo , e escrevemos da seguinte forma:
{
}: conjunto dos números naturais; * = {1,2,3,4......}: conjunto dos números naturais positivos (sem o zero). = 0,1,2,3,4,...
Porém, será que os números naturais resolvem tudo? E uma equação do tipo: x + 2 = 0? É fácil perceber que não existe número natural que, substituindo a incógnita x, venha satisfazer a equação. Então, para resolver esse tipo de problema, é necessário um novo tipo de conjunto numérico: o conjunto dos números inteiros. 1.1.2 Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros, chamado de conjunto , provavelmente devido a palavra número em alemão – zahl – é formado pela união de todos os números naturais com os números negativos. Assim, podemos dizer que todo número natural é também um número inteiro, e matematicamente expressamos essa relação como ⊂ , ou, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Podemos representá-lo das seguintes formas:
* = {...,-2,-1,1,2,...} : conjunto dos números inteiros; 13
Unidade I
= {...,-2,-1,0,1,2,...} : conjunto dos números inteiros não nulos; + = {0,1,2,3,...} : conjunto dos números inteiros não negativos; -* = {...,-3,-2,-1,0} : conjunto dos números inteiros não positivos; + = {1,2,3,4,5...}: conjunto dos números inteiros positivos; - = {...,-4,-3,-2,-1} : conjunto dos números inteiros negativos.
Observação
A dificuldade de manipulação de números negativos não é exclusiva dos alunos de hoje. Muitos matemáticos famosos como Euler, Laplace, Cauchy, MacLaurin e Carnot também estranharam a aritmética dos números negativos, e sua formalização matemática definitiva só veio com o matemático alemão Hermann Hankel, em 1867, com a publicação de seu livro Teoria do sistema dos números complexos . Mas o conjunto também não resolve todos os problemas matemáticos. Por exemplo, uma equação do tipo 3 × x = 1 não pode ser resolvida no conjunto dos inteiros. Para tais problemas, um novo conjunto numérico teve que surgir: o conjunto dos números racionais. 1.1.3 Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais pode ser definido da seguinte forma: a b
= ,a ∈ e b ∈ *
Assim, um número racional é formado por um par de números inteiros, sendo que o primeiro número, chamado numerador, pode ser qualquer valor inteiro, e o segundo número, chamado denominador, não pode ser o valor zero. 3
18
2
30
Exemplos: ,
,
2 1
O que significa “racionais”? Racional vem de razão, que em matemática significa proporção, que por sua vez pode ser interpretado como uma divisão entre dois números. Mas por que utilizar o símbolo ? O símbolo vem da palavra uociente, que é o resultado de uma divisão entre números inteiros, como no exemplo a seguir: dividendo resto 14
←
13
3
←
1
4
divisor ← quociente
←
MATEMÁTICA
Lembrete Os números racionais são os quocientes das divisões dos números inteiros. As frações (número racionais) geram três tipos de quocientes: Inteiros, que são todos os racionais cujo denominador é unitário (1 ou -1), como: 4 =
1
4
,
3
−
3,
= −
1
2 1
−
2,
1
−
= −
=
1
1,
−
0
0 =
1
=
1
0.
Podemos então perceber que todo número inteiro é
−
também um número racional, e expressamos essa relação como ⊂ . Decimais exatos são todos os racionais cujo valor pode ser expresso como um número decimal com uma quantidade finita de casas decimais, como:
5
1 =
10
=
2
0,5 ,
1
−
0,25 ,
41
= −
4
=
8
5,125 .
Dízimas periódicas são todos os racionais cujo valor pode ser expresso como um número decimal infinito, porém com a repetição de uma mesma sequência de algarismos, como:
1 =
3
0,333...
=
0,3 ,
1.1.4 Irracionais Os irracionais são os números decimais “infinitos” e não periódicos, ou seja, as chamadas dízimas não periódicas. As raízes não exatas geram dízimas não periódicas. Exemplos: π=
e
=
3,141592653589793238462643... 2,718281828459045235360287...
φ = 1,618033988749894848204586... 2
=
1,41421356237309504880168...
3
=
1,73205080756887729352744...
Pela própria definição de números irracionais podemos perceber que um número só será irracional se não for racional, ou seja, não há nenhum número que é, ao mesmo tempo, racional ou irracional, e expressamos isso matematicamente da seguinte forma: ∩ Irracionais = ∅
1.1.5 Conjunto dos números reais 15
Unidade I
Os reais são formados pela união dos racionais e dos irracionais, englobando, assim, todos os números vistos previamente. Dizemos que os reais são um conjunto numérico ordenado e completo. Os reais são todos os números que representam a medida de algo tangível ao ser humano. = ∪
Irracionais
Se os números reais são formados pela união dos racionais com os irracionais, então todos os números racionais obviamente também são números reais. Isso pode ser expresso matematicamente como: ⊂ . Os reais, embora seja um conjunto completo, não é algebricamente fechado, pois existem equações algébricas que não têm solução dentro do conjunto. Exemplo: x
2
4
= −
Se fizermos x = 2, teremos que x2 = 22 = 2 × 2 = 4 . Se fizermos x = -2, vamos ter que 2 2 x = ( −2) = ( −2) × (−2) = 4 . Ou seja, não há número real que multiplicado por ele mesmo seja igual a um número negativo. Com esse tipo de equação, podemos ver que os números reais não são o final dessa jornada dos conjuntos numéricos, pois existem problemas que não podem ser resolvidos por eles. Mas para os problemas práticos de nossa vida cotidiana, os números reais são suficientes, e é sobre esse conjunto que desenvolveremos nossos estudos.
1.2 Diagrama de Venn-Euler dos conjuntos numéricos Podemos perceber que existe uma hierarquia na classificação dos conjuntos numéricos. Vimos que todo número natural é também um número inteiro, e por sua vez todo número inteiro (o que inclui os naturais) é também um número racional, e todo número racional (o que inclui os naturais e inteiros) também é um número real. Assim, cada novo conjunto numérico que foi criado englobava todos os números anteriores (e suas propriedades) e acrescentava novos elementos que resolviam algum problema matemático para o qual o conjunto anterior não era suficiente. Vimos que aos dos números naturais, que surgiram da necessidade de contar elementos, adicionaram-se os números negativos, o que deu origem aos inteiros. Aos inteiros foram adicionados os números decimais, e assim foi formado o conjunto dos racionais. Finalmente, aos racionais uniram-se os números irracionais, chegando assim ao conjunto dos números reais. Essa sequência na qual cada conjunto numérico inclui todos os elementos do conjunto anterior e adiciona mais alguns pode ser sintetizada como uma relação de inclusão, da seguinte forma: ⊂⊂⊂. Entretanto, muitas vezes é mais fácil visualizar essa relação de inclusão utilizando-se de um 16
MATEMÁTICA
diagrama de conjuntos, chamado diagrama de Venn-Euler. Em um diagrama de Venn-Euler, cada conjunto é representado por uma área fechada (geralmente um círculo ou uma elipse) e as áreas em comum de dois conjuntos representam os elementos que são comuns aos dois conjuntos (sua intersecção). Já as áreas independentes de cada conjunto representam os elementos que não são comuns aos dois (sua disjunção). Veja a seguir como fica o diagrama de Venn-Euler para os conjuntos numéricos:
Exemplos de aplicação 1. Identifique no diagrama quem são os elementos e dê um exemplo de um número que os represente.
A) Naturais. B) Inteiros. C) Racionais. D) Reais.
17
Unidade I Resolução:
A) Naturais: {0; 2; 3; 240}. B) Inteiros: {-50; -1; 8; 16}. 1
C) Racionais: {-0,3; ; 0,555...}. 3
x + 2y = 4 x + 2.3 = 4
D) Reais: {
5
;
13
;
x +6 =4
}.
x = 4 −6 x = −2
Observação
Os números acima citados são apenas exemplos, porém nada impede que o aluno o faça de forma diferente, desde que sejam escolhidos os números corretos para seus devidos conjuntos. 2. Preencha o diagrama com os números abaixo classificando-os no conjunto mais estrito a que pertencem: 3
18
; 1;
2
;
9
;
0,25 ; 0,48282... ; 12 ; 8 3
−2
; 1,4326579...
MATEMÁTICA
Resolução: Naturais: {1;
9
8
Inteiros: {
=
4
= −
2
3
;
12 =
4
3
}
}
−
1
Racionais: { 0,25 Reais: {
3
;
2
=
4
;
0,48282...
478 =
990
}
; 1,4326579... }
Observação
Os alunos poderão colocar esses valores no diagrama de Venn-Euler. 2 TRABALHANDO COM NÚMEROS RACIONAIS 2.1 Os números racionais
O conjunto dos racionais ( ) é o conjunto formado pelos números que são formados pela divisão entre duas grandezas inteiras. Assim, 0,5; 0,33333... e 2 são números racionais, pois podem ser expressos pelas divisões
1 2
,
1 3
e 2 , respectivamente. 1
Entretanto, os números racionais podem também ser vistos como indicadores de uma proporção entre duas grandezas. Assim, 1 expressaria uma proporção de 1 quantidade para cada 2 quantidades. A 2
igualdade das frações que denotam a mesma proporção pode ser expressa pela relação de semelhança entre as frações. Dessa forma, temos que as frações 1 , 2 representam uma proporção de 1 para 2.
2 4
,
5 10
e
200
são equivalentes, pois todas elas
400
19
Unidade I
2.1.1 Algumas operações com racionais
Em todos os conjuntos numéricos, quer sejam naturais, inteiros, racionais ou reais, estão definidas as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Entretanto, enquanto que para os conjuntos dos naturais, dos inteiros e dos reais as operações são efetuadas de forma similar, no conjunto dos racionais as técnicas para realizar essas operações são significativamente diferentes. Assim, vamos estudar a seguir como são feitas essas operações no conjunto dos números racionais. Quando representamos um número racional em forma de fração número 2 de numerador e o número 6 de denominador.
2 6
, por exemplo, chamamos o
Agora, e se quisermos somar ou subtrair frações de denominadores iguais? Veja a seguir como esse procedimento é realizado: 2
+
6
3 6
5
5 6
1 −
6
=
4 =
6
6
A técnica é bem simples: na soma e na subtração de frações de mesmo denominador, nós devemos conservar o denominador comum às frações e somar ou subtrair o numerador, conforme a operação. A seguir, outro tipo de representação de soma de frações de mesmo denominador: 3 →
6
+ 2 →
6
= 5 →
6
De forma análoga, faremos a representação da subtração: 5 →
6
2 →
6
= 3 →
6
20
MATEMÁTICA
E quando os denominadores são diferentes? Para conseguirmos somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, precisamos reduzir os seus denominadores a um mesmo denominador comum: 1 3
1 +
2
=
?
Vamos verificar quais são os múltiplos dos denominadores: Múltiplos de 2: {2,4,6,8,10,12....} Múltiplos de 3: {3,6,9,12,15....} Múltiplos comuns: {6,12,18,24...} Analisando os múltiplos comuns entre eles, encontramos os números 6, 12, 18, 24 e assim por diante. É fácil perceber que existem infinitos múltiplos comuns entre eles. Na verdade, existem infinitos múltiplos comuns entre quaisquer números inteiros. Entretanto, para facilitar os cálculos, é preferível utilizarmos o menor dos múltiplos comuns, chamado de MMC, que, no caso dos números 2 e 3, é o número 6. Mas devemos ressaltar que a operação funcionaria perfeitamente bem para qualquer múltiplo comum que utilizássemos. Agora que encontramos o menor múltiplo comum entre eles (MMC), precisamos encontrar as frações equivalentes às frações originais que utilizem o denominador encontrado. Mas como encontrar essas frações equivalentes? Esse processo é realizado em dois passos: primeiro dividimos o valor do denominador comum encontrado, o 6, pelo denominador da fração original; em seguida, multiplicamos o quociente encontrado pelo numerador, e assim chegamos à fração equivalente. Na primeira fração, o denominador é o 3 e o resultado da divisão do múltiplo comum é 2. Em seguida, multiplicamos esse 2 pelo numerador da fração, que é 1. Assim, chegamos à fração 2 , que é a fração equivalente procurada. De forma análoga procedemos com a segunda fração, 1 2
6
, chegando assim à fração equivalente 1 3
1 +
2
2 =
6
3 +
6
3 6
. Então, temos:
5 =
6
Outra forma de representação: 1 →
3
+ 1
→
2
= impossível representar. 21
Unidade I
Mas quando transformamos os denominadores dessas frações em um denominador comum, temos: 2 →
6
+ 3 →
6
= 5 →
6
Na multiplicação de frações, a técnica é bem simples: multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador: 5 2
3 ×
4
15 =
8
Já para a divisão de frações, precisamos usar uma propriedade algébrica dos grupos. O conceito de grupo foge ao escopo deste texto, porém a propriedade que vamos utilizar é a seguinte: dividir um número a por um número b é equivalente a multiplicar o número a pelo inverso de b, ou seja, multiplicar 1
a por . E como se faz o inverso de um número racional? Basta inverter seu numerador com o seu b
denominador. Assim, o inverso de
1 3
3
2
1
5
é , o inverso de
é
5 2
e assim por diante. Utilizando-se dessa
propriedade, a divisão de um racional passa a ser uma simples operação de multiplicação. Então, para se efetuar uma divisão entre racionais devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Por exemplo: 2 3 2 3
1 ÷
7
2 =
÷5=
1
×
3
7
2
1
3
×
5
14 =
3 2
=
15
As operações de potenciação e radiciação possuem algumas propriedades específicas, por esse motivo iremos estudá-las separadamente nos próximos tópicos. 2.1.2 Potenciação
Sabemos que a potenciação nada mais é que a multiplicação de n fatores iguais. O que significa isso? Significa você multiplicar a base à quantidade de vezes que aparece no expoente. Por exemplo: 4
3
2
3
22
=
3× 3× 3× 3 3× 3
81 =
9
=
9
MATEMÁTICA
Sendo 3 a base, 4 o expoente do numerador e 2 o expoente do denominador, multiplicamos o número 3 por ele mesmo quatro vezes (o expoente) no caso do numerador e para o denominador multiplicamos o número 3 por ele mesmo duas vezes. n
Definição:
b × b × b ×... × b = b
n fatores
Onde b é chamado de base; n é chamado de expoente e bn é chamado de potência. As propriedades da potenciação são:
(
1) b0 = 1
5) b × c
2) bx × by = b(x +y) b
3)
x
(x −y)
=b
by
y
x
6)
b = bx c x c
7) b−
( ) =b
4) b
x
)x = bx × cx
x
=
(x×y) 1
8) b
1 b
x
=b
2.1.3 Radiciação
A operação de radiciação é inversa à potenciação. Por exemplo: Tatiana deseja comprar uma embalagem para presente. Ao ir a uma papelaria ela pede ao vendedor uma caixa com 6 cm de lado, em um formato quadrado. Ao verificar suas caixas, o vendedor descobre que em suas mercadorias são informadas a área total das caixas e não seus lados. Por exemplo, ele mostrou as seguintes opções: caixa 1 = 16 cm², caixa 2 = 25 cm², caixa 3 = 36 cm², caixa 4 = 49 cm² e caixa 5 = 64 cm², todas elas em formato quadrado. E agora, o que o vendedor deve fazer para atender Tatiana? É bem simples, como as caixas são quadradas, ele deve pensar que a área de um quadrado é | ×|=| 2, mas se ele tem a área e quer saber o lado, ele utiliza a operação inversa à potenciação, a radiciação. 2
6
=
36
36 =
6
Definição: a raiz enésima de a é o número b que elevado a n resulta em a∈ e n∈ . ∗
n
a
n
=
b se b
=
a
23
Unidade I
x y
1)
y
bx = b
2)
x
a × b = x a× x b
3)
x
a xa = b xb
4)
( b ) = x by
5)
y x
x
y
b=
y ⋅x
b
Exemplos de aplicação 1. Sabemos que a área de uma caixa pequena de papelão quadrada é 0,64. Qual é o tamanho do lado dessa caixa? Resolução:
Sabemos que a área do quadrado é: A = |2 e o problema nos informa que a área total da caixa é 0,64. Logo: 2
A=l 0,64
=
0,64 l
=
2
l
=
l
0,8
2. A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida do seu lado. Sabendo-se que um quadrado tem 1,21 m2, qual a medida do seu lado? Resolução:
Sabemos que a área do quadrado é: A = |2, logo: 2
A=l
2
1,21 l =
1,21 l 1,1 =
24
=
l
MATEMÁTICA
3. O tanque de uma caminhonete tem 60 litros de combustível. Se essa caminhonete gasta em média 0,15 litros a cada quilômetro rodado, quantos quilômetros, aproximadamente, ele pode rodar sem abastecer? Resolução:
Esse problema é bem simples de ser resolvido. Basta usar o total de combustível armazenado e dividir pelo valor médio gasto a cada quilômetro rodado. Ou seja:
15
60 ÷ 0,15 = 400, ou podemos transformar o valor decimal 0,15 em uma fração 0,15 = e 100 efetuarmos a divisão: 60
= 60 ×
15
100
6000 =
15
=
15
400
100
4. O valor da seguinte expressão é: Resolução:
Em primeiro lugar podemos resolver as potências: 2
1 4
4 × (0,5)
+
(0,25) 2
−
+
8
3
=
4 × 0,0625 + 0,5 + 0,25 = 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1 3
5. A seguinte expressão
(a 5
3a
−
−
4
2
a b) 3 2
6a b + 3a b
é equivalente a:
Resolução:
Colocando em evidência o parâmetro com menor expoente, temos: 3
(a 5
3a
−
−
2
a b)
4
=
3 2
6a b + 3a b 2
a (a − b) 3
2
3a (a
−
2
2ab + b )
(a − b) 2
3a(a
−
2
2ab + b )
(a − b) 3a(a − b) × (a − b)
=
=
=
1 3a(a − b) 25
Unidade I
6. Se a2
6
=
99
, b3
12
=
99
e c4
3
=
99
, então abc12 é:
Resolução:
Se a2 = 996, podemos escrever que a2 = (993)2, e assim concluir que a = 993. Da mesma forma fazemos que b3 =(994)3 e, portanto b = 994. Por outro lado, se temos que achar o valor de c12, podemos escrevê-lo da seguinte forma: (c4)3, e sendo c4 = 993 temos que c12 = (c4)3 = (993)3. Substituindo todas as expressões obtidas em abc12, chegamos a abc12 = 993 × 994 × 999 = 9916. 7. Seu José quer cercar sua casa com arame. Ele pretende comprar uma quantidade de arame suficiente para fazer uma cerca com 3 fios. Quantos metros desse material ele deverá comprar, sabendo que a casa tem uma forma quadrada de 169 m2? Resolução:
Sabemos que a área do quadrado é A = | 2, logo: 2
A=l 169
2
=
169 l
=
l
=
l
13
13 é a medida de cada lado. Um quadrado tem quatro lados, então: 13 × 4 = 52 m Porém, José quer colocar 3 fios de arame em cada lado. Sendo assim: 52 × 3 - 156 m 8. Um retângulo tem como medidas 18 cm e 50 cm. Se fôssemos construir um quadrado com a mesma área, qual deveria ser a medida de cada lado? Resolução:
Sabendo que a área do retângulo é: A
=
b×h
A
=
50 ×18
A
=
900
Sabendo que a área do quadrado é: 26
A
= b×h
A
=
2
l
, então:
, temos:
MATEMÁTICA
A
2
=
900
l
2
=
900 l
=
l
=
l
30
9. Calcule o valor da expressão: 3 × 0,25 − 2 × 0,04
+
0,2 × (−0,3)
Resolução:
Resolveremos primeiro as raízes: 3 × 0,25 − 2 × 0,04
+
0,2 × (−0,3) =
3 × 0,5 − 2 × 0,2 − 0, 06 = 1,5 − 0,4 − 0,06 =
2 1 3 2 − − 1,04 10. O valor da expressão: 3 × − + 2 + (−2) 2
Resolução:
Primeiro vamos transformar as potências em frações:
1 2 −3 2 − 3 × − + 2 + ( −2) = 2 1 2 1 1 2 3 × − + 3 + − = 2 2 2 1 1 1 + 8 + 4 = 4 2 + 1 + 2 3 × = 8 5 15 3× = 8 8 3 ×
2.2 Frações – aplicações na vida cotidiana Nas eleições 2010, foram disputados os cargos de presidente da república, senador, governador, deputados estaduais e deputados federais. São eleitos para o Senado Federal 3 representantes de cada Estado da federação, o que dá um total de 81 senadores. Entretanto, diferentemente dos demais cargos, 27
Unidade I
o Senado é renovado apenas parcialmente a cada eleição, sendo que dos 3 representantes de cada Estado, 1 é escolhido em uma eleição e 2 na eleição seguinte. Em 2006, cada estado pôde escolher 1 senador, e em 2010 foram escolhidos os outros 2. Assim, em 2010, foram eleitos 2 dos 3 senadores que representam um Estado, ou, na forma de fração, foram eleitos 1 sido eleito 1 dos 3 senadores, ou dos senadores.
2 3
dos senadores, pois em 2006 já havia
3
3 =
81
Um inteiro
=
27
Um terço
=
54
Dois terços
3 1 3 2 3
1 3
2 +
3
3 =
3
=1
27 + 54 = 81
Outro exemplo prático:
Joana está completando 1 ano de trabalho na empresa FériasJá Ltda. O salário bruto de Joana é R$ 1.200,00 e ela irá gozar os trinta dias de férias que lhe são de direito. Qual será o seu salário bruto no mês das férias, sabendo que as férias acrescentam um terço sobre o salário? Sabemos que R$ 1.200,00 representa
3 3
ou 1 inteiro do salário de Joana. Para calcularmos
1 3
de
R$1.200,00, uma das maneiras é dividir R$ 1.200,00 por 3, ou seja, pelo denominador e multiplicar o resultado por 1, o numerador: 1200 ÷ 3 = 400 400 × 1 = 400 1
O total que Joana irá receber será: R$ 1.200,00 (seu salário bruto mensal) + R$ 400,00 ( de suas 3 férias) = R$1.600,00 Lembrete Uma fração nada mais é do que uma divisão, uma proporção, uma razão na qual representamos partes de um todo. 28
MATEMÁTICA
2.2.1 A relação de semelhança
Dizemos que duas frações são semelhantes se vale a relação: a
c =
b
a× d = b × c
⇔
d
multiplicação em cruz
Assim, duas frações são semelhantes se o produto dos seus extremos é igual ao produto dos meios. Veja alguns exemplos: 1
2
=
2
pois, 1× 4 = 2 × 2 = 4
4
1 2
4
6 =
10
15
=
2 4
, pois 4 ×15 = 10 × 6 = 60
Lembrete Duas frações que são semelhantes expressam o mesmo número racional (faça o teste!) e, assim, podemos dizer que as frações são iguais. 2.2.2 O fator de proporcionalidade Em uma proporção (uma fração) dizemos que o fator de proporcionalidade é o número racional (em sua forma decimal) associado à fração. Na prática, basta efetuar a divisão, como faríamos para encontrar a forma decimal de um número racional. Assim, o fator de proporcionalidade da razão de razão
a
b
é dado por a ÷ b.
1 2
é 0,5, e, genericamente, o fator de proporcionalidade
2.2.3 Exemplos de proporções A ideia da proporcionalidade é frequente em nosso cotidiano. Veja alguns exemplos: 29
Unidade I
1. Imagine um trabalhador autônomo que ganhe R$ 20,00 por peça produzida. Sua razão proporcional então seria
R$ 20, 00 , ou ç 1 peca
20 1
.
2. Escalas: quando olhamos um mapa ou um desenho que representa um objeto real, é comum que seja fornecida a escala, isto é, o fator de proporcionalidade entre o desenho que estamos vendo e o objeto real que ele representa. Geralmente essa escala é dada na proporção 1 : x, onde x é a razão de proporcionalidade (significando que 1 unidade do desenho equivale a x unidades do objeto real).
3. Nos jogos de apostas é comum dizer que tal aposta paga 22 para 1 =
22 1
, ou 10 por 3 =
10 3
.
4. Em uma receita de culinária, há sempre o rendimento da receita. Então, se em uma receita usase 5 ovos e a receita é para 4 pessoas, se você quiser fazer a receita para 6 pessoas terá que usar a proporção 6 para cada item da receita. 4
5. Quando você checa o consumo do seu automóvel, geralmente você completa o tanque de gasolina e verifica quantos quilômetros ele andou. Daí, estabelece uma proporção, por exemplo, 440 quilômetros rodados com um consumo de 40 litros, ou seja, o veículo tem um rendimento de 440 quilômetros por 40 litro de combustível, ou seja, 11 km/l. 6. Várias unidades de medida são expressas como proporções. Por exemplo, quando uma placa na estrada indica que a velocidade máxima permitida é de 80 km/h, está querendo dizer que o seu veículo pode percorrer uma distância de 80 quilômetros a cada 1 hora, ou seja, seu veículo pode se deslocar a uma proporção de 80:1. 30
MATEMÁTICA
Saiba mais
Para conhecer exemplos e belissimas imagens da razão aurea, acesse: http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u20.jhtm http://www1.ime.unicamp.br/lem/jpm/jpm08.pdf http://www.google.com.br/search?tbm=isch&hl=pt-BR&source=hp&bi w=1020&bih=567&q=raz%C3%A3o+aurea+na+natureza&gbv=2&aq=1& aqi=g2&aql=&oq=raz%C3%A3o+a Para saber sobre o número de Euler. Leia artigo de mesmo nome no site : http://www1.ime.unicamp.br/lem/jpm/jpm06.pdf 2.2.4 Proporções inversas
As proporções vistas até agora eram proporções diretas, ou seja, grandezas diretamente proporcionais, nas quais o aumento de uma grandeza implicava o aumento proporcional da outra. Mas, em alguns casos, as grandezas são inversas, isto é, quando uma cresce a outra diminui na mesma proporção. Diz-se que essas grandezas são inversamente proporcionais e seu fator de proporcionalidade está associado à multiplicação das grandezas e não à divisão entre elas. Imagine que um funcionário faça um determinado trabalho em 20 horas. É de se esperar que se colocarmos 2 funcionários de mesma capacidade fazendo o trabalho, o mesmo poderá ser feito em 10 horas. Ou seja, quanto maior o número de funcionários menor o tempo para executá-lo. Essas grandezas são inversamente proporcionais e expressamos essa relação na forma: 20 horas x 1 funcionário = 20, ou, genericamente, a b = k, onde a e b são as variáveis e k a constante de proporcionalidade. ×
2.2.5 Regra de três
As razões proporcionais são extremamente úteis e naturalmente utilizadas em nosso dia a dia para resolver inúmeros problemas. Essa ideia é tão intrínseca em nossa vida que raramente percebemos que a utilizamos e muitos exemplos do seu uso nem sequer nos parece uma aplicação prática dela. Entretanto, utilizamos exatamente essa ideia quando compramos qualquer artigo em quantidade. Se vamos à padaria que vende 1 kg de presunto ao preço de R$ 20,00 e pedimos 300 g, calculamos o valor a pagar usando a proporcionalidade. Assim, temos que 1.000 g de presunto valem R$ 20,00, ou
1000 20
valores são proporcionais, temos que
, então, quanto custará 300 g? Bom, sabendo que esses 300 g R$ x
300 x 200 = x 1000 ou seja, x = R$ 6,00.
=
1000 g . Usando a relação de semelhança, então R$ 20,00
31
Unidade I
Observação O matemático italiano Leonardo de Pisa, conhecido posteriormente como Fibonacci, publicou em 1202 sua obra-prima, Liber abaci (Livro do cálculo), na qual ele discutia as aplicações das razões proporcionais, especificamente a regra de três, também chamada de regra da quarta proporcional. O Liber abaci foi o responsável pela introdução do uso dos algarismos indo-arábicos na Europa, iniciando uma revolução no estudo e desenvolvimento da matemática naquele continente.
Exemplos de aplicação 1. Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples: Trigo 10 x 7x x x
=
Farinha 7 multiplicação em cruz 28 28 × 10
280 = =
7 40
2. Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1.200 kg de milho? Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples: Milho 50
Fubá 35
1200
x
50x x
=
42000
42000 =
50 x
Multiplicação em cruz
=
840 → kg de fubá , dividindo em sacas de 60 kg
840
Temos: 840 ÷ 60 =14 32
MATEMÁTICA
3. Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples: Tempo 5 x 3x x
=
Clientes 3 Multiplicação em cruz 36
180
180 =
3 x
=
60
4. Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância? Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples: Preço 6 x 1250x
Kg 1250 750 Multiplicação em cruz =
4500
4500
x
=
x
=
1250 3,6
5. Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio? Resolução:
Para resolução utilizaremos proporções inversas: Máquinas 6 x
Dias 2 Multiplicação em cruz 1,5
2x=9 33
Unidade I
9
x
=
x
=
2 4,5
Resolvendo dessa maneira estaríamos afirmando que precisaríamos de menos máquinas para escavar o túnel em menos tempo. Para que seja possível escavar o túnel em menos tempo, precisaríamos de mais máquinas, ou seja: quanto maior o número de máquinas, menor o tempo gasto. Assim: Máquinas Dias 6 1,5 Multiplicação em cruz x 2 1,5x
=
12
12
x
=
x
=
1,5 8
2.3 Porcentagem: proporção e forma decimal 2.3.1 Origem do termo
O termo “porcentagem” é uma adaptação do termo “percentagem”, correspondendo ao inglês percent , e tendo origem no latim per cent (por cem). Em português, a preposição latina per tende a ser substituída por “por”, muito embora os termos “percentil” e “percentual” ainda mantenham a forma original. Na matemática, usa-se o termo porcentagem, que foi padronizado em um encontro matemático em 1957. Mas, de um modo geral, os termos “porcentagem” e “percentagem” têm o mesmo significado. 2.3.2 A razão centesimal
Uma porcentagem nada mais é do que uma razão proporcional na qual um dos termos é 100. Assim, 30% é exatamente equivalente a
30 100
, não apenas em significado, mas principalmente como
expressão matemática. Assim, todo cálculo efetuado com porcentagens pode ser efetuado como razões proporcionais utilizando-se a regra de três. 2.3.3 Forma decimal
Por ser uma razão entre duas grandezas, uma porcentagem admite também uma forma decimal, que nada mais é do que a divisão da razão proporcional equivalente à porcentagem. Assim, temos: 34
MATEMÁTICA
30% (porcentagem)
30
=
100
(razão proporcional)
=
0,3 (forma decimal)
Podemos efetuar os cálculos com porcentagens da forma que for mais conveniente para nós, conforme a situação, mas na maioria dos casos a forma decimal é mais conveniente. 2.3.4 Porcentagem como número relativo
Uma porcentagem por si só não tem significado real. Dizer 30% é o mesmo que dizer 0,3, ou seja, é apenas um número, sem correlação com a realidade. A porcentagem só assume significado quando fazemos sua relação com uma grandeza real, dando-nos a ideia da proporção desejada. Quando alguém diz: “Quanto vale 20%?”, a pergunta que nos vem à mente é: “20% do quê?”, pois somente 20% não tem significado, pois é apenas uma proporção. Mas quando você diz que haverá um aumento de 20% no preço da gasolina, esse sim assume um significado bastante real para nós. 2.3.5 Por que usar porcentagens?
Se um vendedor lhe oferecer um desconto de R$ 10,00 para a compra de um produto, você considera este um bom desconto ou não? Evidentemente, a melhor resposta seria: “Depende”. Depende do quê? Sim, depende do preço do bem que está sendo vendido. R$ 10,00 de desconto na compra de um artigo que custava R$ 20,00 é um ótimo desconto, mas o mesmo desconto num bem que custe R$ 80.000,00 soaria ridículo. Então, a comparação de números ou valores absolutos não nos serve para comparar situações distintas. O que é melhor, um desconto de R$ 10,00 num artigo que custe R$ 33,00 ou um desconto de R$ 17,00 num artigo que custe R$ 52,00? Assim, em valores absolutos, fica difícil fazer a comparação. Mas se trouxermos todos os valores para uma mesma base, uma mesma “razão proporcional”, a comparação fica muito fácil. No primeiro caso, teríamos um desconto de aproximadamente 30,3% e, no segundo caso, um desconto de quase 32,7%. Utilizando-se a mesma base (100), as comparações se tornam imediatas. 2.3.6 Cálculos com porcentagens
Como foram feitos os cálculos no exemplo do item anterior? Utilizando-se a ideia de razões proporcionais. No primeiro caso, foi dado um desconto de R$ 10,00 num artigo que custava R$ 33,00. Para transformar em porcentagem, fazemos a seguinte relação: R$ 10,00 R$ 33, 00
x =
100
Fazendo a multiplicação em cruz chegaremos à resposta: x
30, 3
ou 30,3%
Podemos também fazer o cálculo por meio da forma decimal. Se dividirmos 10 por 33, teremos 30,3 0,3030... e, convertendo para a forma centesimal, teríamos 0,3030 , os mesmos 30,3%. =
100
35
Unidade I
A tabela a seguir mostra a forma de cálculo decimal para algumas situações comuns envolvendo porcentagens.
Expressão
Forma de cálculo
Tomar p% de um valor v
p 100
×
v
Aumento de p%
1 + p × v 100
Desconto de p%
1 − p × v 100 p
Tomar p% de q%
100
×
q 100
Exemplos de aplicação 1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais? Resolução:
Podemos utilizar a seguinte fórmula: 1 −
1 − 5 × 1500 = 100 (1 − 0,05) × 1500 = 0,95 × 1500 = 1425
× v 100 p
ou
1500 → preço 1500 × 5%
= 75
- 0075 → desconto 1425
→
valor pago
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 1,2% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? Resolução:
Podemos utilizar a seguinte fórmula: 1 +
36
× v 100 p
MATEMÁTICA
1 + 1,2 × 12000 = 100 (1 + 0,012) ×12000 = 1,012 ×12000 = 12144
ou 12000 → preço
12000 ×1,2% = 144
- 00144
→
acréscimo
12144 → valor pago
3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. Qual a percentagem de lucro sobre o preço de compra? Resolução:
Para esse problema podemos utilizar regra de três simples: Valor 2000 100 2000x x
Porcentagem 100% Multiplicação em cruz x =
10000
10000 =
2000 x
=
5
4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)? Resolução:
Quando não temos o valor de certo produto, podemos representá-lo por 100 (100%). Nesse caso podemos utilizar a seguinte fórmula: 1 +
× v 100 p
1 + 10 × 100 = 100 (1 + 0,10) × 100 = 1,10 × 100 = 110 37
Unidade I
O cálculo acima representou acréscimo em 10% no produto. Agora precisamos calcular o decréscimo sobre o valor com o acréscimo, ou seja, o valor que achamos acima.
1 − 5 × 110 = 100 (1 − 0,05) × 110 = 0,95 ×110 = 104,50 5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados. Resolução:
Para esse problema podemos utilizar regra de três simples: Sabemos que 380 equivale a 100% dos candidatos. O problema nos informa que 15% foi reprovado, ou seja, 100 → total −
015 → reprovado 085 → aprovado
Candidatos
Porcentagem
380
100%
x
85%
100x x
=
32300
32300
ou
=
100 x
=
Multiplicação em cruz
380 → total
323
380 × 15%
= 57
- - 057 → reprovados 323 → aprovados 380 → total
380 × 15%
= 57
- - 057 → reprovados 323 → aprovados 3
6. Uma sala de 1º ano do curso de licenciatura em matemática tem 40 alunos. Quanto representa 8 desse total de alunos?
38
MATEMÁTICA Resolução:
Devemos calcular
3 8
de 40:
Dividimos o valor 40 pelo denominador; 5 × 3 = 15 → O resultado (5) multiplicamos pelo numerador. 40 ÷ 8 = 5 →
7. Um automóvel estacionou em um posto de gasolina com um tanque praticamente vazio. Após o abastecimento do carro com 42 litros de gasolina, o marcador de combustível indicou que o carro possui agora 7 de sua capacidade. Qual a capacidade total do tanque desse carro? 8
Resolução:
Para esse problema podemos utilizar regra de três simples: Litros
Capacidade do tanque 7
42
8
x
8
Multiplicação em cruz =
1
8 7
x
8 7x x x
=
=
42
42 × 8
336 =
=
7 48
8. Em uma pizzaria vende-se o pedaço a R$ 3,50. Eles dividem a pizza em dez partes iguais. Quanto 1 pagarei se comer dessa pizza? 4
Resolução: 1
Se a pizza é dividida em dez pedaços, temos que calcular de 10. Assim: 4
10 ÷ 4 = 2,5
→
quantidade de pizza comida
Sendo assim irei pagar:
39
Unidade I
3,50 → preço/pedaço 2,5
→
quantidade
8,75
→
total pago
×
9. Qual fração é maior:
8 12
ou
3 4
?
I. São equivalentes pois possuem múltiplos comuns. II.
3 4
é maior.
8
III.
12
é maior.
Resolução: 3
Se dividirmos o numerador pelo denominador , obteremos = 0,75. 4
Se dividirmos o numerador pelo denominador
8 12
, obteremos = 0,66.
Sendo assim, 0,75 é maior que 0,66 (0,75 > 0,66), o que corresponde a
3 4
8 >
12
.
10. Os televisores são medidos em polegadas. Se quisermos representar um televisor que tenha 14 mais 3 de polegada, o representaríamos como um número misto: 14 3 . Para transformarmos esse 4 4 número em uma fração imprópria, ou seja, onde o numerador é maior que o denominador. A fração que representaria essa situação é: Resolução:
Para transformarmos um número misto em uma fração imprópria, basta multiplicar o denominador pela parte inteira da fração e somar o resultado dessa multiplicação ao numerador: 14 × 4 = 56 →
multiplicação do denominador pela parte inteira;
56 + 3 = 59 →
soma o resultado da multiplicação ao numerador;
59 →
4
Mantemos o mesmo denominador 1
11. João gasta gasta
1 4
3
de seu salário com as contas de água, luz e telefone. Com alimentação ele
. Sabe-se que o senhor João recebe mensalmente R$ 1.200,00 líquido (já com os descontos
previstos em folha abatidos). Quanto lhe sobrou em dinheiro do seu salário? 40
MATEMÁTICA Resolução:
Devemos calcular
1 3
1200 ÷ 3 = 400 →
de R$ 1.200,00 e
1 4
de R$ 1.200,00:
Gastos com contas de água, luz e telefone;
400 × 1 = 400 1200 ÷ 4 = 300 →
Gastos com alimentação.
300 × 1 = 300
Somando-se os gastos temos: 400 → contas/consumo 300 → alimentação
+
700 → total/despesas
ou 1
1 +
3 7
4
→
12
7 =
12
calcular de R$1.200,00
1200 ÷ 12 = 100 100 × 7 = 700 → total
1200 → salário −
700
→
despesas
500 → dinheiro 2
12. O preço de uma geladeira é R$ 1.200,00. Darei de entrada e o restante será dividido em 4 5 parcelas iguais. Dessa forma, podemos afirmar que o valor de cada parcela é: Resolução: 2
Primeiro precisamos calcular de R$ 1.200,00: 5
x '' =
−b −
∆
2a
41
Unidade I
1200 → preço 480 → entrada
−
720 → restante
Descobrimos que falta ser pago R$ 720,00 que será parcelado em 4 vezes: 720 ÷ 4
=
180
1
13. Sabemos que da conta de luz são de impostos. Uma família gasta, em média, R$ 120,00 3 com energia elétrica. Que valor desse total corresponde ao consumo real de energia (excluindo-se os impostos)? Resolução:
Sabemos que: 1 →
são os impostos, logo:
→
é o consumo, pois:
3 2 3 3
1 −
3
2 =
3
3
Devemos calcular
2 3
de R$ 1.200,00:
1200 ÷ 3 = 40 40 × 2 = 80
14. Numa sala de aula
5 8
dos alunos são homens. Quantas pessoas fazem parte dessa sala de aula,
sabendo-se que o total de mulheres são 21? Resolução:
Podemos resolver esse problema com regra de três. Sabemos que
8 8
é igual ao total de alunos e
é total de homens. Logo, o número de mulheres pode ser calculado como: 8
5 −
8
8
Fração 42
3 =
→
8
número de mulheres
Nº de pessoas
5 8
MATEMÁTICA
3
21
8
Multiplicação em cruz
8
ou 1
x
8 3
x
=
21× 1
x
=
21
8 3 8 3x x x
= 21× 8
168 =
=
3 56 3
15. Uma motocicleta já percorreu da distância entre as cidades de São José dos Campos e São 7 Paulo. Sabemos que a distância total entre as cidades é de 105 km. Quantos quilomêtros essa motocicleta ainda precisa percorrer para alcançar seu objetivo? Resolução: 7
1 é a distância entre as cidades. Podemos resolver esse problema com regra de três. Sabemos que 7 3 Já foi percorrido . Logo, a distância a ser percorrida pode ser calculada como: =
7
7
3 −
7
4 =
7
→
7
Fração 7 =
7
distância a ser percorrida
km 105
1
Multiplicação em cruz
4
x
7
x
x x
= 105 ×
4 7
420 = =
7 60
43
Unidade I
Saiba mais
Recomendamos a leitura da obra O homem que calculava, de Malba Tahan. Disponível em: . Resumo
Nesta unidade procuramos resgatar a origem dos conjuntos numéricos, explorando a necessidade de sua criação e utilizando diagramas de VennEuller para representá-los. Em seguida trabalhamos com os números racionais, abordando suas principais aplicações na vida cotidiana com a utilização de regra de três e porcentagens. Observações
1) Frações são divisões: 6 =
3 → 2 ×3 = 6
2
2) Divisão com zero: 0 =
0 → 5× 0 = 0
5 5 0
= não existe, pois não existe tal que 0 × x = 5
0 =
0
indeterminado, pois existem infinitos x tal que 0 × x = 0
Exemplos: 8 × 0 = 0, 99 × 0 = 0, 43726 × 0 = 0 etc. 3) Os períodos da dízima podem ser bastante longos. Exemplo: 1 =
17 44
0,05882352941176470588235294117647...
=
0,0588235294117647
MATEMÁTICA
Exercícios
Questão 1. (ENEM-2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará
o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? A) 1 : 20 B) 1 : 100 C) 1 : 200 D) 1 : 1.000 E) 1 : 2.000 Resposta correta: alternativa E. Análise das alternativas
Sendo E a razão pedida no enunciado, temos: E
2,1cm =
2,1cm =
42m
42.(100 cm)
2,1cm =
4200 cm
Logo, E
21 =
42000
Então, simplificando-se: E
1 =
2000
, que pode ser representada por 1 : 2000.
Sendo assim, A) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. 45
