F UNDAMENTOS DA
M ATEMÁTICA 1a Edição - 2008
SOMESB S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA . G ERVÁSIO M ENESES DE O LIVEIRA PRESIDENTE
S AMUEL SOARES S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO G ERMANO TABACOF S UPERINTENDENTE DE E NSINO, PESQUISA E E XTENSÃO PEDRO DALTRO G USMÃO DA SILVA ESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO SUPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO
FTC-EAD
FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA
D IRETOR G ERAL M ARCELO N ERY D IRETOR ACADÊMICO ROBERTO F REDERICO MERHY D IRETOR DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES M ÁRIO F RAGA D IRETOR C OMERCIAL J EAN EA N C ARLO N ERONE D IRETOR DE T ECNOLOGIA A NDRÉ P ORTNOI D IRETOR ADMINISTRATIVO E F INANCEIRO RONALDO C OSTA G ERENTE DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES
JAN E F REIRE G ERENTE DE E NSINO L UÍ S C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO O SMANE C HAVES C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE J OÃO JACOMEL C OORD. DE PRODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO
M ATERIAL D IDÁTICO P RODUÇÃO ACADÊMICA AN E F REIRE J ANE G ERENTE DE E NSINO
A NA PAULA A MORIM
S UPERVISÃO
F ERNANDA L ORDÊLO A NA PAULA A NDRADE M ATOS M OREIRA M ARIA VALESCA S ILVA
P RODUÇÃO T ÉCNICA J OÃO J ACOMEL C OORDENAÇÃO C ARLOS M AGNO R EVISÃO DE TEXTO
B RITO A LMEIDA S ANTOS
C OORDENADORES DE C URSO
PAULO H ENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO R EVISÃO DE C ONTEÚDO
M ARIA VALESCA S ILVA
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO R EVISÃO DE C ONTEÚDO
C OORDENADOR DE C URSO
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N ASCIMENTO
A DRIANO P EDREIRA C ATTAI PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
E DIÇÃO EM LATEX 2ε
EQUIPE ANDRÉ P IMENTA , ANTONIO F RANÇA F ILHO, AMANDA RODRIGUES, BRUNO BENN DE LEMOS , CEFAS G OMES, CLÁUDER F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, IVES A RAÚJO, JOHN CASAIS , M ARCIO SERAFIM , MARIUCHA SILVEIRA PONTE E RUBERVAL DA F ONSECA. c 2.008 FTC-EAD Copyright Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98 19/02/98.. É proibida a reprodu reprodução ção total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD- Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância. www.ead.ftc.br
Sumário
Bloc Bl oco o 1: Estu Estudo do das das Funç Funçõe õess e sua sua Ap Apli lica cabi bili lida dade de na Econ Econom omia ia
6
Tema 1: O Estudo das Funções Econômicas
6
O Estudo das Funções do 1 ◦ e 2 ◦ Graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funções do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2.1 Gráfico de uma Função Afim.... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Zeros ou Raízes de uma Função Afim.. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1.2.2 Funções do 2o Grau (o (ou Qu Quadráticas).. ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 1.3 1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico de uma Função Quadrática... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 1.3.2 Funções Custo, Receita e Lucro.................................................................... 1.4 1.4.1 Função Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função Re Receita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Funções Oferta rta e Demanda .. ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 1.5 1.6 Outras Fu Funções Im Importa rtantes ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1.6.1 Um Vínculo Orçamentário ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Funções de Depreciação ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 1.6.2 1.6.3 Composição de Funções... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1.7 Fun Funções Definidas por mais de uma Sentença .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Funções de de Du Duas Va Variáveis ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 1.8 1.8.1 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1.1
Tema 2: Estudos udos de Outras ras Funç Funçõ ões Matemática icas e Suas Aplic plicaações
32
Funções Exponenciais e suas Aplicações.......................................................... 2.2 Funções Exponenciais ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Crescimento Ex Exponencial ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 2.2.1 2.2.2 Decrescimento Exponencial ................................................................... 2.3 Funções Logarítmicas e suas Aplicações .......................................................... Um Pouco de História ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.3.1 Prop roprie riedades Fu Fundamentais do dos Lo Logarit ritmos. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2.3.2 2.4 Funções Logarítmicas .............................. ................................................ Aplicações do dos Lo Logaritmos ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.4.1 Funções Tr Trigonométricas . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.5 2.5.1 Car Caracte acterí ríst stic icas as de de Algu Algum mas Fun Funçõ ções es Tri Trigo gono nomé métr triicas cas .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2.5.2 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.1
Bloc Bl oco o 2: O Estu Estudo do do Cá Cálc lcul ulo o e suas suas Impl Implic icaç açõe õess Econ Econôm ômic icas as
32 33 35 36 37 38 38 38 40 40 42 43
44
Tema 3: Estudo do Cálculo Diferencial e suas aplicações
44
Noções Bá Básicas de de Li Limites .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Propriedades do dos Li Limites ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3.1.1 3.2 Derivadas e su suas Ap Aplicações . ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . Regras de Derivação................................ ........................................... 3.2.1 Pontos de de Má Máximos e Mí Mínimos ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3.3 3.1
7 8 9 9 11 11 12 17 17 18 23 25 25 26 26 28 29 29
44 46 46 47 48
Fundamentos da Matemática
3
Deriv rivada da da Fu Função Co Composta sta (R (Regra da da Ca Cadeia) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Notação de Derivadas ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3.4.1 Deriv rivadas de de Al Algumas Fu Funções El Elementares res .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3.4.2 3.5 Taxas de Variação.... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3.6 Taxa de Variação Percentual........................................................................ 3.7 Aproximação por Diferenciais....................................................................... Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3.7.1 3.8 Aproximação da da Va Varia riação Pe Percentual... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3.8.1 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3.8.2 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3.4
Tema 4: Estudo do Cálculo Integral e Aplicações Inte Integgral Inde Indefin finiida e suas suas Prop ropried riedad adees Oper Operat atóórias. rias. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.2 Regras de Integração ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.2.1 Integração da Função Potência................................................................ 1 A Integral da Função f (x ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 x 4.2.3 A Integral da Função f (x ) = e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 A Int Inteegral ral do do Pro Produ duto to de uma uma Con Const stan ante te por por um uma Fu Função.. nção.. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.2.5 A Integral da Soma é a Soma das Integrais ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Integração por por Sub Substituição ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . 4.3 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.3.1 4.4 Integral por Partes ............................... ................................................... 4.4.1 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.5 Área e Integral Definida ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.5.1 Área co com In Integral De Definida. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.5.2 4.5.3 Área entre Duas Curvas .. ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.5.4 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.6 Aplic plicaç açõe ões: s: O Exce xcedent dentee do Con Consumi sumiddor e do Produ roduto torr .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Lucro Lí Líquido Ex Excedente... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.6.1 Excedente do do Co Consumidor ... ... .... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.6.2 4.6.3 Excedente do Produtor.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.6.4 Exercícios Propostos. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4.1
Referências Bibliográficas
4
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50 51 51 52 52 52 53 53 53 54
55 55 55 55 56 56 56 56 58 59 59 59 59 60 60 62 62 62 62 63 64 64 66
A PRESENTAÇÃO DA D ISCIPLINA Prezados, Sejam bem vindos! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi concebido e escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática, seus objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bacharelado em Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organização e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem. Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente, os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devem ser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina: 1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e exercitando MUITO. 2. Refaça os exercícios exercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento desenvolvimento para encontrar a solução. 3. Resolva todos os exercícios complementares e propostos. 4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em exercícios que o estimulam a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras. 5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental fundamental e do ensino médio, como, por exemplo, o de números reais, equações e funções. 6. Utilize uma calculadora científica quando julgar necessário. Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira que somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva que possa lhe levar a compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática. Estejam sempre atentos, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e os mecanismos mecanismos que facilitam facilitam a compreensão compreensão de uma determinada determinada teoria ou problema. problema. Desta forma, vocês aprenderão e sentirão cada vez mais prazer em estudar. Prof. Prof . Geciara da Silva Carvalho e Prof. Jones Garcia da Mata. a
Estudo das Funções e sua
BLOCO01
Aplicabilidade na Economia
Apresentação A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática frequentemente origina expressões que envolvem combinação de funções. Considere os seguintes questionamentos:
• Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo? • Que efeitos efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
• Será possível, determinar a depreciação de um determinado bem? • Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção? O uso do conceito e propriedades de algumas funções nos permite responder tais perguntas, pois elas representam uma “fatia da matemática” que possibilita descrevê-las como ferramentas para o desenvolvimento de modelos matemáticos matemáticos de fenômenos fenômenos do mundo real. Além disso, disso, constitui-se constitui-se o objeto fundamental fundamental do Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco 2. Nesta perspectiva, faremos uma abordagem prática de tais conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os Modelos econômicos e financeiros. Neste bloco, trabalharemos, no tema I, o estudo das funções econômicas e, no tema 2, aplicações de outras outras funções, tais como função exponencial exponencial e a logarítmica logarítmica.. Portanto Portanto,, tais conceitos conceitos serão trabalhado trabalhadoss de forma contextualizada e, sempre que possível, faremos uma revisão dos conteúdos matemáticos envolvidos.
TEMA01
O Estudo das Funções Econômicas
O Conceito de Função no Cotidiano As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por exemplo, o custo C de se enviar uma carta pelo correio depende do seu peso P . Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P . Assim: 1.1 Definição.
Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função
de x e escreve-se y = f (x ) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca, no sentido A x chama-se variável independente e a y variável dependente. Existem quatro maneiras de representar uma função:
• verbalmente: descrevendo-a com palavras 6
FTC EAD
|
x
→ y .
• numericamente: por meios de tabelas • graficamente: visualização através de gráficos • algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capaz de compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação a outra com desenvoltura. Nos conteúdos a seguir, buscamos exemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o conteúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destes conteúdos no cotidiano do aluno, é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos e, por fim, desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visualização, ização, experimentaç experimentação ão numérica e gráfica e aplicada do objeto objeto apreendido apreendido.. No entanto, entanto, cabe ao estudante estudante considerar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhe permita desenvolver a capacidade de “tomar partes de descobertas”. “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta descoberta na solução de qualquer problema. problema. Seu problema problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta". George Polya Polya Portanto, trataremos especificamente no tema I de aplicações de funções econômicas de 1o e 2o graus, a saber: Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outras aplicações aplicações.. No entanto, entanto, de forma sucinta, destacaremos destacaremos as propriedades propriedades de cada função a ser trabalhada trabalhada,, tendo como foco a contextualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo conexões entre diversos conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas.
1.1 1.1 O E Est stud udo o das das Funçõe unçõess do do 1◦ e 2◦ Graus A qualquer conexão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de "relação"de A em B . Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial, em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B , o qual é denominado função. Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir. Suponha Suponha que você necessite utilizar utilizar um táxi para deslocar-se deslocar-se até a sua unidade pedagógica pedagógica.. O preço a pagar pela corrida de táxi depende depende da distância distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes: uma parte fixa denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número x de quilômetros rodados. $3,, 00 e o quilômetro rodado R $0 $0,, 60. A tarifa de táxi é obtida através da Supondo que a bandeirada custe R $3 fórmula: y = 0,60 x + 3.
·
Esta expressão matemática se constitui em um exemplo exemplo de função, função, particularmente, uma função do 1o grau. Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes. 1. Uma função f de A em B é uma relação em A × B que associa a cada variável x em A, um único y em B . Fundamentos da Matemática
7
2. Uma das notações notações mais usadas para uma função função f de A em B é: f : A
→ B
3. O conjunto A é chamado de domínio da função. 4. O elemento y é chamado imagem de x por f e denota-se y = f (x ). 5. O conjunto B é o contradomínio da função.
1.2 Funç unções ões do 1o Grau 1.2 Definição. Definição.
Uma função real do 1o grau ou afim, é qualquer função que pode ser escrita sob a forma
f (x ) = ax + b , com a
um número real não nulo e b um real. Simbolicamente, f : R
→ R; f (x ) = ax + b em que a, b ∈ Rea = 0 é função real afim.
Os exemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1o grau. Exemplo 1.1. Sejam os conjuntos f (x ) = 2x + 1.
A =
Observe que que
{0,1,2} e B = {0,1,2,3,4,5 } e a função f : A → B definida por
x
f (x )
y ou f (x )
0
f (0) (0) = 2 0 + 1 = 1
1
1 2
· (1) = 2 · 1 + 1 = 3 f (1) (2) = 2 · 2 + 1 = 5 f (2)
3 5
Numa função f : A → B ,
• Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No exemplo, note que Dom(f ) = {0,1,2}. • A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por ℑ(f ). No exemplo exemplo anterior anterior,, ℑ(f ) = {1,3,5}. • Seu contradomínio é o conjunto B . Nele, temos que ℑ(f ) ⊂ B . No exemplo, verifica-se que:
• f (0) (0) = 1, isto é, 1 é a imagem imagem de 0 pela função f ; (1) = 3, isto é, 3 é a imagem • f (1) imagem de 1 pela função f ; (2) = 5, isto é, 5 é a imagem • f (2) imagem de 2 pela função f . Determine o valor real de x para que Exemplo 1.2. Seja f : R → R uma função definida por f (x ) = 3x − 5. Determine
se tenha f (x ) = 10, ou seja, sua imagem seja igual a 10, a partir desta função. Solução: Veja como é fácil!
Observe que quando igualamos a imagem da função a 10, essa expressão se constitui numa equação de Para saber mais sobre isso consulte consulte um livro qualquer qualquer das séries finais finais do ensino ensino fundamenta fundamentall (8a 1o grau. Para 15 x = 15 = 5. série). De fato, f (x ) = 3x 5 e f (x ) = 10 3x 5 = 10 3x = 15 3
−
⇒ −
⇒
⇒
Logo, para a imagem por f ser 10, o valor atribuído a x deve ser 5. 8
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|
1.2. 1.2.1 1
Gráfi Gráfico co de de uma uma Fun Funçã ção o Afim Afim
O gráfico de uma função de 1o grau (f (x ) = ax + b ) é uma reta. A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que: Um fato bastante conhecido da geometria plana (axioma de Euclides) é que dois pontos são suficientes para determinar determinar uma reta. Portanto, ortanto, para construir construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos as coordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (x , f (x )). Logo, Logo, para esboçarmos esboçarmos o gráfico gráfico de uma função afim f (x ) = 2x + 3 , basta determinar determinar as coordenadas coordenadas de dois pontos distintos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. pontos. Para Para isso, escolheremos escolheremos dois valores quaisquer para x sem critério algum. Por exemplo, x = 1 e x = 2. Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim, (1) = 2 1 + 3 = 5 f (1)
· (2) = 2 · 2 + 3 = 7 f (2) Desta forma, os pontos A(1, Para esboçar esboçar o gráfico de f , (1, 5) e B (2, ( 2, 7) pertencem ao gráfico da função f . Para devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras a seguir. y
y
8 6
-2
8
B
6
A
4
4
2
2 2
x
-2
B A
2
x
Observe que no ponto em que a reta corta o eixo- x , a imagem é zero! Este ponto ponto será importante importante para traçarmos o gráfico desta função.
1.2.2 1.2.2
Zeros Zeros ou Raízes Raízes de uma uma Funç Função ão Afim Afim
Denomina-se zero ou raiz de uma função real f , a todo valor x ∈ Dom(f ) tal que f (x ) = 0. Nota 1.
• A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eixo- x x é um zero
de f .
•
y . O valor f (0) (0) é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo- y b
0, então f (x ) = 0 ⇒ ax + b = 0. Segue que, o zero de f é x = − a . Portanto, se f (x ) = ax + b , com a = (0) = a · (0) + b = b . Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eixo- y no ponto Temos, ainda, que f (0) (0, b ). Fundamentos da Matemática
9
Nota 2. Na função f (x ) =
ax + b , a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a
inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada y . do ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo- y
A fim de esboçar, de maneira prática, o gráfico, marque, no plano cartesiano, 1. o ponto de interseção interseção com com o eixo-x (zero da função)
− b a , 0
;
2. o ponto de interseção interseção com com o eixo-y (coeficiente linear) (0, b ). Exemplo 1.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função f .
⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = − 32 . Logo, A −
f (x ) = 0
4
3 ,0 é 2
B
o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo- x .
2
(0). Agora, encontremos o valor f (0) f (0) (0) = 2 0 + 3 = 3.
·
Graf(f )
Logo, B (0, ( 0, 3) é o ponto em que o
gráfico de f intercepta o eixo-y .
4
-2 A
Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico
2 -2
de f conforme a figura ao lado. Exemplo 1.4. Construir o gráfico da função afim f (x ) = −3x + 6.
Solução: Para encontrar o zero da função f , devemos resolver a equação f (x ) = 0. Segue que,
−3x + 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2. Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eixo- x no ponto A(2,0). y
Determinemos, agora, o valor de f (x ) quando x = 0. Então, 6 f (0) (0) =
B
−3 · 0 + 6 = 6. o eixo-y no ponto
4
Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando
2
Portanto, o gráfico da função
f intercepta
Graf(f )
( 0,6). B (0,6) (0, 6) e (2, (2, 0), obtemos o gráfico uma reta que passa pelos pontos (0,
de f conforme a figura ao lado.
Note, respectivamente, que nas funções f (x ) = 2x + 6 e f (x ) = −3x + 9, temos:
10
1.
a = 2 (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE;
2.
a=
−3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE.
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|
A
2
x
Em resumo, dada uma função afim f (x ) = ax + b , temos que: Nota 3.
1. Se a > 0, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação
positiva e passa pelos pontos
− b a , 0
). e (0, b ).
2. Se a < 0, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa e passa pelos pontos
− b a , 0
e (0, b ). ).
Veja, portanto, por tanto, que: 1. a função f (x ) = 2x + 6 é crescente ( a = 2 > 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação positiva . 2. a função f (x ) = −3x + 9 é decrescente (a = −3 < 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação negativa .
1.3 Funç unções ões do 2o Grau (ou Quadráticas) 1.3 Definição.
Uma função real f , da forma f (x ) = ax 2 + bx + c , em que os coeficientes a, b e c são números
0 , é uma função quadrática ou do 2 ◦ grau. reais, com a = São exemplos de quadráticas as funções:
• f (x ) = x 2 − 5x + 6 • f (x ) = x 2 − 4x • f (x ) = x 2 − 9 1.3. 1.3.1 1
Zero Zeross da Funç Função ão do 2 Grau o
Ao igualarmos uma função f a 0, estamos interessados em descobrir, caso existam, os valores per tencentes ao domínio de f os quais se associam ao valor 0. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função. O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso existam, quem são os zeros de uma função quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante ∆ = b 2
− 4ac
e, caso ∆ ≥ 0, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas:
√ √ − − b + ∆ b − ∆ x 1 = e x 2 = 2a
2a
É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do 2o grau, ok? Isso facilitará a compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função. Fundamentos da Matemática
11
1.3.2 1.3.2
Gráfico Gráfico de uma uma Funç Função ão Quad Quadrát rática ica
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, devem-se seguir os passos: 1. Verificar a sua concavidade:
• se a > 0, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima; • se a < 0, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baixo. a<0
a>0
2. Determinar Determinar o ponto de interseção interseção com o eixo-y , ou seja, (0, f (0)) (0)). (0) = a · 02 + Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para x = 0. Sendo assim, f (0) b · 0 + c = c . Logo, o ponto de interseção com o eixo-y tem coordenadas (0, c ).
3. Calcular o discriminante
∆ e, se
• ∆ > 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o eixo-x em dois pontos.
• ∆ = 0 , a função quadrática então possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eixo- x em apenas um ponto.
• ∆ < 0, a função quadrática então não possui zeros e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto algum sobre o eixo- x . Você é capaz de dizer o porquê desta afirmação?
4. Calcular as raízes da função. 5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Elas são determinadas por V
−b , −∆ 2a
4a
6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da parábola. Exemplo 1.5. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 5x + 6. Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente. 1. Verificação da concavidade Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas. f (0) (0) = 02
12
FTC EAD
|
− 5 · 0 + 6 = 6. Logo, (0, (0, 6) é este ponto.
3. Calcular Calcular o discriminante discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função. Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja, x 2
− 5x + 6 = 0
Como a = 1, b = −5 e c = 6, temos que ∆ = ( 5)2
− − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√ −(−5) + √1 5 + 1 √ −(−5) − √1 5 − 1 − − b + ∆ b − ∆ = = = 3 e x 2 = = = = 2. x 1 = 2a 2·1 2 2a 2·1 2 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Como V
−b , −∆ 2a
4a
, temos x V V =
Portanto, V
5 , 2
− 14
−b = −(−5) = 5 e y 2a 2·1 2
V V
=
−∆ = −1 = − 1 4a 4·1 4
.
O gráfico da função é, portanto: 6 f
3
1
2
V
3
4
Exemplo 1.6. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 5x − 6. Solução: Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma função quadrática. 1. Verificação da concavidade Como a = −1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baixo. 2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas. (0) = f (0)
−02 + 5 · 0 − 6 = −6. Logo, (0, −6) é este ponto.
3. Calcular Calcular o discriminante discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função. Fundamentos da Matemática
13
Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,
−x 2 + 5x − 6 = 0 Como a = −1, b = 5 e c = −6, temos que ∆ = 52
− 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1
Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√ −5 + √1 −5 + 1 √ −5 − √1 −5 − 1 − − b + ∆ b − ∆ x 1 = = = −2 = 2 e x 2 = 2a = 2 · (−1) = −2 = 3. 2a 2 · (−1) 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Como V
−b , −∆ 2a
4a
, temos x V V =
Portanto, V
−b = −5 = 5 e y 2a 2 · (−1) 2
V V
=
−∆ = −1 = 1 4a 4 · (−1) 4
5 1 , . 2 4
O gráfico da função é, portanto: 1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
2
3
4 f
Veremos, no exemplo a seguir, que se ∆ = 0, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto é, a função corta o eixo-x em apenas um ponto. Exemplo 1.7. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 2x + 1. 1. Verificação da concavidade. Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo- y . f (0) (0) = 1 02
· − 2 · 0 + 1 = 1.
(0, 1). Logo, o ponto procurado é (0,
3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática x 2 − 2x + 1 = 0:
Como a = 1, b = −2 e c = 1 , temos que ∆ = b 2
14
FTC EAD
|
− 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0.
Observe, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais. Os zeros da função:
√ −(−2) + √0 2 √ −(−2) − √0 2 − − b + ∆ b − ∆ x 1 = = = = 1 e x 2 = = = =1 2a 2·1 2 2a 2·1 2 4. As coordenadas coordenadas do vértice da parábola parábola:: x V V =
(1, 0). Portanto, V (1,
−b = −(−2) = 2 = 1 e y 2a 2·1 2
=
V V
−∆ = −0 = 0 4a 4·1
O esboço do gráfico da função é: 4 3 2 1 V
-1
1
2
3
Exemplo 1.8. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 2x − 1. Solução: Temos que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · (−1) · (−1) = 4 − 4 = 0, ou seja, a função quadrática tem
dois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são
x 1 = x 2 = 1
(1, 0). e o vértice V (1,
O esboço do gráfico da função f é: 1 V
-1
-1
1
2
3
-2 -3 -4 Exemplo 1.9. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x 2 + x + 3. Solução: 1. Verificação da concavidade. Como a = 2, a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo- y . (0) = 2 02 + 1 0 + 3 = 3. f (0)
·
·
Fundamentos da Matemática
15
Logo, o ponto procurado é (0,3). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática 2x 2 + x + 3 = 0: Como a = 2, b = 1 e c = 3 , temos que ∆ = b 2
− 4ac = 12 − 4 cdot 2 · 3 = 1 − 24 = −23.
Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais. 4. As coordenadas coordenadas do vértice da parábola: parábola:
x V V =
Portanto, V
−1 , 23 4
8
−b = −1 = −1 e y 2a 2·2 4
V V
=
−∆ = −(−23) = 23 4a 4·2 8
.
O esboço do gráfico da função f é:
V
23 8
− 14 Observe que o gráfico da função não corta o eixo- x .
Exemplo 1.10. Construir o gráfico da função f (x ) = −2x 2 − x − 3.
Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que ∆ = −23 e, portanto, a função não possui zeros
(0) = −3, o ponto (0, −3) e o de interseção reais. Como f (0) interseção como o eixo das ordenadas. Como a = −2, temos
que a parábola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vértice são O esboço do gráfico da função f é:
−4 − 238 V
Observe que o gráfico da função não intercepta o eixo- x . 16
FTC EAD
|
V
−1 , −23 4
8
.
1.4 1.4 Funções unções Custo Custo,, R Rec ecei eita ta e Lucro Lucro 1.4. 1.4.1 1
Funç Função ão Cu Cust sto o
1.4 Definição.
Uma função C que associa a produção de uma quantidade
q de algum bem ao custo total é
chamada de função custo .
Para refletir Que tipo de função você espera que seja C (q )? Nota 4. Quanto maior maior for a quantidade quantidade de bens produzidos, produzidos, maior será o custo. custo. Sendo assim, C (q ) é uma função definida para valores não negativos de q , não somente para inteiros.
Suponha Suponha que você seja dono de uma grande grande companhia companhia que fabrica cadernos escolares. escolares. A fábrica e o maquinário necessários para começar a produção são custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhum caderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem da quantidade de cadernos feitos. Imagine que em um determinado momento, os custos fixos de sua fábrica sejam de R $36.000 $36.000,, 00 e os custos variáveis de R $3,00 $ 3,00 por caderno. Então Custo total para a companhia = Custo fixo + Custo variável = 36. 36.000 + 3,0 q ,
·
em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim, 36.0000 + 3, 3, 0 q . C (q ) = 36.00
·
Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com inclinação 3, 0 e intercepto vertical 36.000. C (q ) s e r a h l i m
36.000
q (qu
Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes: 1. Custos fixos C F F , que existem ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical. 2. Custos variáveis C V V (q ), que varia dependendo de quantas unidades são produzidas. 3. Custos totais C T T (q ) que é a soma dos custos fixos e dos variáveis, isto é,
C t t (q ) = C F F + C V V (q ). Fundamentos da Matemática
17
1.4.2 1.4.2
Funçã Função o Receit Receitaa
1.5 Definição.
Uma função R que associa associa a venda venda de uma quantidade quantidade q de algum bem bem ao valor total monetário
recebido por uma firma é chamada de função receita . $12, 2, 00, a receita por 100 cadernos é 12 · 100 = Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R $1 1.200.
Representando o preço por p e a quantidade vendida por q , temos Receita = Preço · Quantidade R (q )
= p q
·
.
Portanto, R (q ) = 12q . Nota 5. Utilizaremos as letras q ou x para indicar a quantidade de um determinado produto. Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um determinado produto é uma reta que passa pela origem. R
q
Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de custo fixo é de 36.000, para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro?
$3,, 00 R $3
e que o
A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos c ustos (R (q ) ≥ C (q )), de modo que queremos achar os valores de q para os quais o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ). Observe que o gráfico R (q ) está acima do gráfico de C (q ), quando q ≥ Q N N . Receita Custo
q N N
q
Observando o gráfico acima, verifique que o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ) para todos os 18
FTC EAD
|
valores de q maiores que q N gráficos de R (q ) e C (q ) se cruzam. Em outras palavras, as imagens da N , onde os gráficos função R (q ) são maiores que as imagens da função C (q ) quando os valores de q são maiores que q N N . No ponto N (q N N , R (q N N )) ou N (q N N , C (q N N )), chamado ponto de nivelamento, a receita é igual ao custo. Assim, para obtermos q N ), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual ao N (quantidade de nivelamento ), custo, basta: R (q ) = C (q )
36.000 + 3q ⇒ 9q = 36.000 ⇒ q = 4.000 ⇒ 12q = 36.000
Portanto, q N N = 4.000 cadernos. Assim, a fábrica terá lucro se produzir e vender mais que 4.000 cadernos. Perderá dinheiro se produzir e vender menos que 4.000 cadernos. R $
Receita Custo
48.000
36.000
4.000
q
Contextua Contextualizando lizando o Saber $5,, 00 a refeição, que tem Problema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R $5
um preço de custo de R $$3,00 observou ou que, que, a cada R $0 3,00. Ele observ $0,, 20 que ele oferece de desconto no preço da refeição, refeição, sua venda aumenta em 40 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo? Solução: Podemos extrair deste problema que p = 5
→ x = 300 ⇒ (5; 300 300)) 4, 8 → x = 340 ⇒ (4, (4, 8; 34 340) 0) p = 4, Considerando p (x ) = ax + b , temos que: 5
= 300a + b
4, 8
= 340a + b
6, 5. Resolvendo este sistema linear, encontramos a = −0,005 e b = 6,
A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é: p (x ) =
−0,005x + 6,5. Fundamentos da Matemática
19
Sabendo que R (x ) = p (x ) · x , temos que: R (x ) = ( 0,005x + 6,5) x =
−
·
−0,005x 2 + 6,6, 5x .
Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável, encontramos a função custo fazendo: C (x ) = C u u x = 3 x .
·
Logo, a função lucro é obtida como segue abaixo: L(x ) = R (x )
− C (x ) = −0, 00 0055x 2 + 6, 6, 5x − 3x = −0,005x 2 + 3, 3, 5x
Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo? Pergunta Perguntamos mos ainda: que “ferramenta “ferramenta matemática” matemática” podemos utilizar utilizar para, enfim, respondermos esta questão? O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máximo ou de mínimo. Neste caso, como a < 0 na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máximo. Logo, x =
−b = 2a
−3, 5 = 350 2 · (−0,005)
Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é
x = 350
e, para obtermos o preço que maximiza o lucro,
basta substituir x por 350 na função preço: p =
−0, 00 0055 · 35 350 0 + 6, 6, 5 = 4, 75 75..
5.000, 00, o custo variável Exemplo 1.11. O custo fixo mensal de uma empresa é R $$5.000, variável por unidade produzida produzida é $ 30,00 e o R $30,00
$ 40,00. preço de venda é R $40,00
(a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro? (b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo? Solução: (a) Temos que o custo total é encontrado por C (x ) = C F F + C u u x ,
·
em que C F F é o custo fixo e C u u é o custo unitário. Assim, C (x ) = 5.000 5.000 + 30x .
A receita é encontrada por R (x ) = p x ,
·
20
FTC EAD
|
R $2. $2.000,00 000,00
mensal,
Em que p é o preço de venda e x é a quantidade. Assim, R (x ) = 40 x .
·
O lucro total é dado por LT (x ) = R (x )
− C (x ) = 40x − (5.000 + 30x ) = 10x − 5.000.
O lucro líquido é obtido por LL (x ) = LT (x )
− I (x ).
Em que I (x ) = 0,35 · LT (x ). Daí, segue segue que LL (x ) = LT (x )
− 0,35L
T (x )
= 0,65LT = 0, 65(10 65(10x
− 5.0 5.000) 00) = 6, 5x − 3.250.
Como LL (x ) = 2.000, temos 6, 5x − 3.250 = 2.000. Resolvendo esta equação, em x , temos: 6, 5x = 2.000 + 3.250
⇒ x = 5.250 ⇒ x ≈ 807 807,, 7. 6, 5
(b) Neste caso, temos R (x ) = C (x ) ⇒ LL (x ) = 0 ⇒ 6, 5x − 3.250 = 0 ⇒ x = 500. 2 Exemplo 1.12. Sejam R T T (q ) = −q + 10 q e C T T (q ) = q + 8 , com 0 ≤ q ≤ 10, as funções receita total e custo
total, respectivamente.
(a) Determine os pontos de nivelamento. (b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções
R T T
e C T T destacando os pontos de nivela-
mento. (c) Determinando a função lucro e construindo seu gráfico, para quais valores de
q temos:
lucro máximo,
lucro, prejuízo e nenhum lucro? (d) Qual a quantidade produzida, que produz a maior receita? Solução: (a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer R T T (q ) = C T T (q ), logo
−q 2 + 10q = q + 8 ⇒ q 2 − 9q + 8 = 0. Resolvendo esta equação de 2o grau, obtemos q N N 1 = 1 e q N N 2 = 8 . 2 (b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita R T T (q ) = −q + 10 q , que é quadrática.
Sendo a = −1, então a concavidade é voltada para baixo; Seu discriminante é ∆ = ( −10)2 − 4 · 1 · 0 = 100; Fundamentos da Matemática
21
Suas raízes são assim determinadas:
√ 10 ± 100 − ⇒ q = 0 q = 2 · (−1) O vértice V tem coordenadas x V V = −
ou
−10 = 5 e y 2 · (−1)
V V
=
Como c = 0 , a parábola parábola corta o eixo vertical vertical em P (0,0) ( 0,0). R
q = 10.
= 25. Assim V (5, (5, 25 25)). − 4 ·100 (−1)
V
25
q
Para a função custo C T T (q ) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar uma reta. Para tanto, temos: O zero é obtido fazendo
C T T (q ) = 0,
ou seja,
q + 8 = 0
implicando em q = −8. Logo, o ponto é
( 8,0);
−
Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eixo vertical vertical em P (0, ( 0, 8). C
18
10 q Como não existe quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eixo das abscissas. Além disso, temos 0 ≤ q ≤ 10. Abaixo, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, 0 ≤ q ≤ 10. R $
25
18 16
9
1
22
FTC EAD
|
5
8
10
q
Observe que C T T (0) = 0 + 8 = 8 e C T T (10) = 10 + 8 = 18 . 2 2 (c) Sabemos que LT (q ) = R T ortanto, a função lucro lucro T (q ) − C T T (q ) = −q + 10 q − (q + 8) = −q + 9 q − 8. Portanto,
(Lt (q )) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1. R $
• O discriminante é ∆ = (9)2 − 4 · (−1) · (−8) = 49 e suas raízes são q = 1 e q = 8.
• O seu vértice tem coordenadas V 92 , 252 . • Como c = −8, a parábola corta o eixo vertical em P (0, (0, −8). • O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado.
1
9 2
8
q
Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, LT (x ) = 0 implica R T T (x ) = C T T (x ). Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro, no intervalo (1,8); prejuízo (LT (x ) < 0): 0 <
q < 1
ou 8 <
q < 10.
Não se tem lucro e nem prejuízo
quando q = 1 ou q = 8 . O lucro máximo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, Lmax = y V V = (d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o
x V V
da função receita, ou seja,
25 2 q = 5.
Confirme este resultado no item (b).
1.5 1.5 Funções unções Ofer Oferta ta e Dema Demanda nda A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p . Usualmente, se assume que quando o preço sobe, os produtos têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda (procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço, há duas funções ligando p e q . Estas funções funções podem ser representada representadass por qualquer qualquer curva. Criteriosamen Criteriosamente te trabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau. A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do produtor, dutor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria, maior será a sua disponibi disponibilidad lidadee por parte dos produtores produtores no mercado. mercado. Enquanto Enquanto que a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista do consumidor, ou seja, quanto mais interessante (baixo) o valor da mercadoria maior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções de oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, como mostra a figura ao lado.
p (q )
Oferta
Demanda q
Para pensar A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto. Fundamentos da Matemática
23
(a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A este preço, que quantidade será produzida?
p (q )
50
(b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 12. A este este preço preço,, quanto quantoss itens os fornecedores estarão dispostos a produzir? Quantos Quantos itens os consumidores consumidores quererão quererão compra comprar? r? Use suas respost respostas as a estas estas pergunperguntas para explicar porque, se os preços estiverem acima do preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para baixo (em direção ao equilíbrio).
Oferta
40 30 20 10
Demanda 3000
6000
q
(c) Agora escolha um preço abaixo do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 8. A este preço, quantos itens os fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas respostas a estas perguntas para explicar porque, se os preços estiverem abaixo do preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio). Nota 6. No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma espaço para discussão coletiva, chamado Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão.
Situação Problema Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 10 + 0, 5x .
p = 100
− 0, 5x e
(a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado? $3,, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço (b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3 e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir no mercado. O preço do bem define a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois se o preço na análise do produtor é baixo, o mesmo não disponibiliza-o no mercado, para que a procura do produto (ausência no mercado) gere aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, estiver, mas dispostos dispostos os produtores produtores estarão a colocar sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este impasse, impasse, o governo estabelece estabelece um ponto de equilíbrio equilíbrio,, a fim de se garantir garantir o produto produto no mercado mercado a um preço que o consumidor possa adquiri-lo. Portanto, é preciso saber que o preço este diretamente ligado a escassez ou a oferta de um bem no mercado. Como encontraremos o ponto de equilíbrio? A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda. Sendo assim, 100 − 0, 5x = 10 + 0, 5x ⇒ x = 90. Fazendo a substituição de x por 90 em uma das equações (isso se deve ao fato, de para equações são equivalentes. Daí, p = 10 + 0, 5 90 = 55
·
24
FTC EAD
|
x = 90, ambas as
(90, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidade Logo, o ponto de equilíbrio, é (90, que o consumidor estará disposto a comprar é de 90 unidades do produto. $3,, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3 e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 10+ 0, 0, 5x + 3 = 13 13 + 0,5x . Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: x = 87, que é a solução da equação 100 − 0, 5x = 13 + 0, 5x . Atenção: Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda. Para o novo ponto de equilíbrio,
x = 87
representa a quantidade de equilíbrio e, o novo preço de equilíbrio
é: 56, 5. p = 10 + 0, 5 87 = 56,
·
Como podemos perceber, o imposto sobre o produtor resultou no aumento do preço do produto, o consumidor pagou R $1,5 a mais. Sendo assim, o consumidor sempre paga a conta e, neste caso, assume parte do imposto que deveria ser aplicado sobre o produtor que repassa, através do aumento do preço do produto, para o consumidor. Pode?
1.6 1.6 Outr Outras as Funções unções Impo Import rtant antes es 1.6.1 1.6.1
Um Víncul Vínculo o Orçame Orçamentá ntário rio
Um debate constante envolve a alocação entre defesa e programas sociais. Em geral, quanto mais é gasto com a defesa, defesa, menos fica disponível disponível para programas programas sociais e vice-versa. vice-versa. Simplifiqu Simplifiquemos emos o exemplo exemplo para armas e manteiga. Assumido que um orçamento constante é afim, mostraremos que a relação entre o número de armas e a quantidade quantidade de manteiga manteiga é afim. Suponha Suponha que existem R $12.000 $12.000,, 00 para serem gastos e que devem ser divididos entres armas, custando R $400, $400, 00, e manteiga, custando R $2. $2.000 000,, 00 a tonelada. Suponha, também, que o número de armas comprado é g e que o número de toneladas de manteiga é b . Então a quantia gasta com armas é R $4.000, $4.000, 00 a quantia gasta com manteiga é R $2.000 · b . Supondo que todo o dinheiro é gasto, quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 12.000, ou 400g + 2.000b = 12.000.
Dividindo por 400, obtemos g + 5b = 30
A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe: b
6
30
g
Como o número de armas compradas compradas determina a quantidade quantidade de manteiga manteiga comprada (porque todo o dinheiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g . Logo, g = 30
− 5b , Fundamentos da Matemática
25
que é uma formula explícita para
g em termos de b . Do mesmo modo,
30 g + 5b = 30
⇒ 5b = 30 − g ⇒ b = 30 5− g ou b = 6 − 0, 2g ,
que explicita b como função de g . Como tais funções são afins, o gráfico do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto.
1.6.2 1.6.2
Funçõe Funçõess de de Deprec Depreciaç iação ão
A função de depreciação D (t ) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função do tempo t , desde que o produto foi comprada. Será representado por D (t ) = v i i + m t ,
·
em que v i i é o valor do bem quando novo; v f f é o valor do bem após t anos. m
é a inclinação dada pela fórmula
m=
v f f t f f
− v . − t i i
i i
$18.000 .000,, 00. Os gerentes Exemplo 1.13. Suponha Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R $18
da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por
R $2. $2.500,00 500,00 .
Dizemos, neste
$18.000 .000,, 00 hoje a um valor de revenda de R $2.500, $2.500, 00 reais em caso, que o valor da máquina se deprecia de R $18
dez anos. 18.000,, 00 e t = 0, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso, Solução: O valor da máquina nova é R $$18.000 (0) = 18.000 18.000 + 0 = 18.000. v I I = 18.000 e D (0)
·
Quando t = 10 e v f f = 2.500. Logo, m=
2.500 18.000 = 10 0
− −
−15.500 = −1.550. 10
A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taxa de R $
18.000
2.500
12 10
1.6.3 1.6.3
Composiç Composição ão de Funçõe Funçõess
Observe a situação abaixo. 26
FTC EAD
|
q
$1.550 por ano. R $1.550
Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos em crediário crediário.. No mês de outubro, outubro, a loja fará a seguinte seguinte promoção: promoção: o cliente que pagar a prestação na primeira quinzena quinzena do mês terá um desconto desconto sobre o valor valor x da prestação. prestação. O cliente pagará apenas o valor valor f (x ), dado pela função: f (x ) = 0, 0, 8x . O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia de t reais recebidos, o banco transfere para conta da loja a quantia g (t ) = 0,95t . Entenda bem o esquema: Banco f (x ) = t g
f
Cliente
Loja
x
g (t )
A prestação do mês de outubro de um cliente é de 150 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena do mês, quanto pagará? A resposta para essa questão é dada pela função f (x ) = 0, 0, 8x . O cliente vai pagar f (150) ( 150) = 0, 8 · 150 = 120 reais Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja? A resposta é dada pela função g (t ) = 0,95 · t . Como o banco terá recebido recebido t = 120 reais do cliente, a loja receberá do banco: (120) = 0, 95 · 120 = 114reais g (120) A prestação de um cliente para o mês de outubro é de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena de outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função de x , sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena? Banco 0, 8 x
·
g
f
Loja
Cliente x
0, 9 0, 8 x
·
h
·
A função h é que expressa o valor recebido pela loja em função de x , ou seja, h(x ) = 0,95 0, 8x = 0,76x .
·
A função h é chamada de função composta de g com f . Sejam A,
e C conjuntos e sejam as funções f : A → B e g : B → C . A fun funçã çãoo h : A → C tal que h(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g com f . Indicaremos Indicaremos essa composição composição por g ◦ f , lê-se g composta com f . B
Fundamentos da Matemática
27
Em diagramas, temos: B f (x ) g
f
A
C
x
h = g f
◦
g (f (x ))
Para Fichar Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóxido de carbono no ar será dada pela função C (n) = 0,37n + 3, 3, 9 partes por milhão (p .p .m) de monóxido de carbono, quando sua população for de n mil habitantes habitantes.. Um estudo demográfico demográfico indica indica que a população população da cidade cidade é dada pela 12,9 mil habitantes, onde t é dado em anos. função n(t ) = 0,67t 2 + 12,9 (a) Determine a função que nos dá a concentração de monóxido de carbono no ar em função do tempo t . (b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóxido de carbono no ar dessa cidade? (a) Temos que ) ) = 0,37(0, 0,37(0, 67t 2 + 12, 12, 9) + 3,9 = 0, 24 2479 79t 2 + 8,6730p.p.m. C (n(t ))
(b) Nesse caso, ) ) = 13, 13, 87 C (n(t ))
√20,, 96 ⇒ t ∼ 4,58 anos 2479 79t 2+8,6730 = 13, 13, 87 ⇒ 0,2479t 2 = 5, 19 1977 ⇒ t 2 ⊥ 20,96 ⇒ t ⊥ 20 ⇒ 0, 24 =
ou seja, daqui a aproximadamente 4 anos e 7 meses.
1.7 1.7 Funções unções Defin Definid idas as por por mais mais de uma uma Senten Sentença ça Consideremos a seguinte situação: Um elevador é construído mediante as seguintes especificações:
• Para carga de massa menor ou igual a 1.000k g , são usados cabos de aço de 20mm de diâmetro. • Para carga de massa x k g , em que x > 100, são usados cabos de aço de 50x mm de diâmetro. A função seguinte mostra o diâmetro f (x ) de cada cabo, em função da massa x , f (x ) em mm e x em k g : f (x ) =
20 , x
50
,
se 0 ≤ x ≤ 1.000 se x > 1.000
Esta função é um exemplo de função definida por sentenças, neste caso, duas sentenças, são elas: 28
FTC EAD
|
1. f (x ) = 20, se 0 ≤ x ≤ 1.000; 2.
x
50
, se x > 1.000.
Constrói-se o gráfico de uma função com várias sentenças a partir de cada sentença, respeitando as condições de existência, num mesmo sistema de coordenadas. O gráfico está exibido a seguir. y
50
20 x
1000
1.8 1.8 Funções unções de Duas Duas Variáv riávei eiss $600,, 00 a unidade e o segundo a $80 $800, 0, 00 a unidade. Considere Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $600 x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente:
(a) Determine a função receita: (b) Qual o valor da receita se forem vendidos 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo: (c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto a loja precisa $12.000,00 000,00 . vender para ter uma receita de $12. Solução: (a) A função receita é dada por R (x , y ) = 600x + 800 · y . 600 · 7 + 800 · 13 = 14.600, 14.600, 00 unidades monetárias. (b) R (7, 13) = 600
(c) R (x , y ) = 12.000 ⇒ 600x + 800y = 12.000 ⇒ 800y = −600x + 12.000 ⇒ y = − y
3 x + 20 4
20
80 3
1.8.1 1.8.1 EP 1. 1.1 1.
x
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Uma fábrica de equipamento Eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de
x
calculadoras por dia é dado por: Fundamentos da Matemática
29
$ 8,00 por unidade. • Matéria-prima: R $8,00 $7,, 00 por unidade. • Mão de obra: R $7 30,00 e o custo fixo mensal é de Sabendo que cada calculadora é vendida por R $$30,00
R $3. $3.000, 000, 00, podemos
afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de no $4.000, 00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do lucro, é? mínimo R $4.000,
(a) 50 EP 1. 1.2 2.
(b) 51
(c) 52
(d) 54
$500, 00 a unidade e o segundo a R $600, $600, 00 a unidade. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R $500,
Considere x e
y as quantidades quantidades
vendidas vendidas do primeiro primeiro e do segundo respectivament respectivamente. e. Qual das alternativ alternativas as
abaixo responde as seguintes perguntas: (I) Qual o valor da receita se for vendidos 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo. (II) Qual expressão representa a quantidade do primeiro produto e do segundo produto que a loja precisa vender para ter uma receita de R $300.00 $300.000, 0, 00. 5x 6 5x $15.000; y = 500 500 + (b) R $15.000 6 5x (c) R $14.000; y = 500 + 6 5x (d) R $15.000 $15.000; y = 500 6 $14.000; y = 500 − (a) R $14.000
−
EP 1. 1.3 3.
Uma caixa aberta em cima tem um volume volume de 10m3 . O comprimento comprimento da base é o dobro da largura. largura.
O material da base custa R $1 $10, 0, 00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R $6 $6,, 00 por metro quadrado. A expressão que representa o custo total em função da largura da caixa é: (a) C (l ) = 20l 2 +
180 l
, l > 0
(b) C (l ) = 20l 2 + 36l , l > 0 (c) C (l ) = 20l +
180
(d) C (l ) = 20l 2 + EP 1.4.
l
, l > 0
180 l 2
, l > 0
$1,, 20 por unida Para produzir um determinado produto, uma firma gasta R $1 unidade de.. Além Além disso, disso, há
$4.000,00 000,00 , independent $2,, 00 por uma despesa fixa de R $4. independentee da quantidade quantidade produzida. produzida. O preço de venda venda é de R $2
unidade. Qual é o mínimo de unidades, a partir de qual a firma começa a ter lucro? $1.800, 00 (a) R $1.800, EP 1. 1.5 5.
FTC EAD
$3.600, 00 (c) R $3.600,
$5.000,00 000,00 (d) R $5.
Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica exclusivamente à produção de leite e
que 30
$2.500, 00 (b) R $2.500,
|
Preço da caixa caixa de leite
Quantidade Quantidade de caixas caixas de leite leite ofere oferecidas cidas
10
1
40
5
70
9
100
13
130
17
160
21
Admita, também, que a caixa de leite, comprada pelo Sr. Cardoso, possui a função demanda 2, 5x . Marque a alternativa que determina o ponto de equilíbrio.
(a) (77, (77, 5; 10 10))
(b) (10; (10; 77 77,, 5)
(c) (10; (10; 25)
102, 5 p = 102,
−
(d) (25;10)
Gabarito . (d)
1.1
1.2
. (a)
. (a)
1.3
1.4
. (d)
. (b)
1.5
Fundamentos da Matemática
31
Estudos de Outras Funções TEMA02
Matemáticas e Suas Aplicações
Apresentação Neste tema, nosso objeto de estudo será a aplicação aplicação de funções exponenciais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas trigonométricas na área de Ciências Sociais.
2.1 2.1 Funções unções Expon Exponen enci ciai aiss e suas suas Aplic Aplicaç ações ões Você já parou para pensar como tem sido crescente o aumento da internet neste últimos anos? Observamos que não se espera uma interrupção de crescimento entre, aproximadamente, 15 a 20 anos, ou melhor, não se conhecem, neste momento, barreiras científicas ou tecnológicas que impossibilitem a continuação do processo de evolução tecnológica exponencial da área de informática ou de telecomunicações... Desta forma, não está descartada a possibilidade de uma nova melhora da ordem de 1.000 vezes, nos próximos 15 a 20 anos, na capacidade de processamento de computadores. ..., não estão descartadas velocidades de 25 Tbps (25 trilhões de bits por segundo) num futuro não muito distante. Estes ganhos, se concretizados, mais uma vez mudarão completamente o perfil global da área em direções que são absolutamente imprevisíveis neste momento. Como será o mundo em que cada mesa terá $2.000.000, 00, comunicando-se com velocidades um milhão de vezes um computador que hoje valeria U S $2.000.000, maiores do que as atuais? Que “software” rodará em tal ambiente? Texto retirado em http://www.ime.usp.br/ ∼is/abc/abc/node17.html com acesso efetuado em 23 de Maio de 2008. Ao resolver problemas de juros compostos, usando logaritmos e funções exponenciais, você percebe que tais conteúdos têm sentido em sua vida presente e futura. Vejamos: “O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza". Albert Einstein Suponha que seja investido um capital C , a uma taxa de juros i . O montante montante M será: M = C + C i
· ⇒ M = C (1 + i ).
$ 10, 00 por dia desde o nascimento de seu filho, quando Você sabia que se os pais guardam e investem R $10, $150.000, 0, 00 acumulados a juros compostos, supondo que a taxa de retorno este completar 18 anos, terá R $150.00 anual seja de 12%. Em 33 anos, se mantido o mesmo plano com a mesma razão de investimento, ele já terá $1 1milhoe , em 65anos , R 2,35 milhões. R $ 32
FTC EAD
|
$1.000,00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual Exemplo 2.1. Foram investidos R $1.000,00 Qual o montan montante te após o
primeiro mês?
Solução:
1.020. M = C (1 + i ) = 1.000 (1 + 0, 02) = 1.000 1, 02 = 1.020
·
·
·
Exemplo 2.2. Qual o montante deste capital se o período do investimento for de dois meses, supondo o regime regime de capita capitaliz lizaçã açãoo composto composto,, isto isto é, os juros juros incide incidem m tanto sobre sobre o capita capitall com sobre sobre os juros juros acumu acumulad lados? os?
Solução: Observe o seguinte comportamento: 1◦ mês
M 1
= C (1 + i )
2◦ mês
M 2
=
3◦ mês
M 3
=
M n
= C (1 + i )(1 + i ) . . . (1 + i ) = C (1 + i )n
.. . n◦
mês
.. .
· C · (1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )2 C · (1 + i )(1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )3 ·
· ·
·
n
Sendo assim, se investirmos um capital M = C (1 + i )n
·
C por um período n
a uma taxa de juros i , teremos um montante
ao fim do período.
Portanto, para o segundo mês, teremos: 0, 02)2 = 1.000 (1, (1, 02 02))2 = 1.000 1, 0404 = 1.040, 1.040, 40, M = 1.000 (1 + 0,
·
·
·
1.040, 0, 40 reais. ou seja, um montante de 1.04
Podemos notar que o montante é uma função exponencial crescente que depende do período n, pois, neste caso, C é uma constante, (i + 1) = a > 1 e n é a variável independente que está fazendo o papel da variável x . É por esta razão que dizemos que o montante na capitalização composta cresce exponencialmente. Temos, então, que o montante é uma função exponencial M (n) = C · (1 + i )n , em que (1 + i ) > 0 e C é uma constante. Antes de continuarmos abordagem do conteúdo, faremos uma revisão das características principais das funções exponenciais.
2.2 2.2 Funções unções Expone Exponenci nciai aiss
1 é dita uma função exponencial. Uma função f : R → R, tal que f (x ) = ax , em que a ∈ R, com a > 0 e a = Exemplo 2.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x . Fundamentos da Matemática
33
$18.750,, 00 Exemplo 2.5. Suponha que uma empresa contrate um financiamento de um capital de giro de R $18.750 75% % ao mês. Qual o montante a ser pago pela empresa ao fim do período, supondo por 30 meses, à taxa de 4, 75
que a capitalização é composta? Esboce o gráfico desta função.
M (n)
Solução: 30
(1, 047 0475) 5)
0475) 5)30 · (1 + 0, 047
18.7 .750 50 M = 18
= 18 18.7 .750 50
= 75.44 75.443, 3, 57 reais.
·
80000 60000
0475))30, O gráfico da função montante M = 18.750 · (1, 0475
em que 0
≤ n ≤ 30.
Observe Observe que que o cresci crescimen mento to do
40000
montante é exponencial.
20000 n
10 20 30 $1.575, 78 em fundos de renda fixa. Após 76 dias, seu saldo Exemplo 2.6. Uma pessoa aplicou aplicou R $1.575, saldo era de R $2.476, $2.476, 98. Qual foi a taxa de juros mensal desta aplicação?
Solução: Como 76 dias equivalem a
76 meses e M = C (1 + i )n , temos: 30
·
30
2.476, 2.4 76, 98 = 1.575, 1.575, 78 (1 + i )
·
2.476, 98 76 2.476, 76 = (1 + i ) 30 1.575, 1.5 75, 78 30 2.476, 2.4 76, 98 76 = 1 + i 1.575, 1.5 75, 78 30 2.476, 2.4 76, 98 76 i = 1 1.575, 1.5 75, 78 i 0, 19 1955 55 = 19,55%
76 30
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ≈
30 76
−
De modo geral, temos que: n
M = C (1 + i )
·
2.2.1 2.2.1
⇒
M (1 + i ) = C n
n
⇒ [(1 + i ) ]
1 n
=
M C
1 n
⇒ 1 + i =
M C
1 n
⇒ i =
M C
1 n
−1
Cresci Crescimen mento to Exponen Exponencia ciall
Na Matemática, o crescimento exponencial ocorre quando a taxa de crescimento de uma função é proporcional a própria função. Isso implica que, para qualquer quantidade crescendo exponencialmente, quanto maior a quantidade existente, mais rápido crescerá, se nós usarmos a escala correta de tempo. Uma grandeza da forma Q (t ) = Q 0 · e kt , em que Q 0 e k são constantes positivas, tem um crescimento exponencial. Por exemplo, os juros compostos têm um crescimento exponencial. 100 bilhões em 1975 e de U $180 bilhões Exemplo 2.7. O produto nacional bruto (PNB) do Brasil era de U $$100
em 1980. Admitindo que o PNB do Brasil cresça exponencialmente, estime de quanto foi o PNB em 1985. Solução:
P (t ) = P 0 e kt , em que
·
P (t ) é o PNB no tempo t ;
Fundamentos da Matemática
35
P 0
é o PNB inicial
K é uma constante positiva
Calculemos o PNB inicial: (0) = P 0 e k 0 = P 0 1 = P 0 = 100, P (0)
·
ou seja, o PNB inicial
P 0
·
$100 bilhões e escrevemos P 0 = 100. é de U $100
Para t = 5, temos: (5) = P 0 e k P (5)
·
c d o t5
= P 0 e 5k = 180,
·
isto é, 5 anos após 1975, o PNB era U $180 bilhões. 180 = 1, 1, 8. 100 Estimaremos o PNB do Brasil em 1985, isto é, 10 anos depois de 1975:
Desta forma, 100 · e 5k = 180 e e 5k =
(10) = 100 e k ·10 = 100 (e 5k )2 = 100 (1, (1, 8)2 = 324. P (10)
·
·
·
$324 bilhões. O PNB do Brasil em 1985 foi de U $324
receita de uma determinada empresa está crescendo crescendo exponencialm exponencialmente, ente, em 1990 era de Exemplo 2.8. A receita $52 mil e em 1998 de R $63 $63 mil. Estime sua receita em 2003? R $52
Solução:
R (t ) = R 0 e k ·t , em que R (t ) é a receita no tempo t , R 0
·
é a receita inicial e K é uma constante
positiva. Calculemos o PNB inicial: (0) = R 0 e k ·0 = R 0 1 = R 0 = 52, R (0)
·
·
$52 mil e escrevemos R 0 = 52. isto é, a receita inicial R 0 é de U $52
Para t = 8 , R (8) (8) = R 0 · e 8k = 63 6 3, ou seja, 8 anos após 1998 era de U $63 $63 mil. Podemos escrever e 8k =
63 . 52
Estimaremos agora, a receita desta empresa em 2003, isto é, 13 anos depois de 1990: k ·13
R (13) = 52 e
·
13k
= 52 (e
·
8 8
8k
) = 52 (e )
·
13 8
= 52
·
63 52
13 8
= 71,03
$71, 1, 03 mil. A receita do Brasil, em 2003, foi de U $7
2.2.2 2.2.2
Decres Decrescim ciment ento o Exponen Exponencia ciall
Uma grandeza da forma Q (t ) = Q 0 · e −kt , em que Q 0 e k são constantes positivas, tem um decrescimento exponencial. $13 bilhões a um determinado país no ano Exemplo 2.9. O FMI - Fundo Monetário Internacional, emprestou U $13
de 1960 e determinou que a dívida do país referente a este empréstimo deveria decrescer exponencialmente. Se em 1971 o país devia U $7 bilhões, estime qual deveria ser a dívida do país em 1977. 36
FTC EAD
|
D (t ) = D 0 e −k ·t ,
·
em que D (t ) é o valor da dívida no tempo t , D 0 é a dívida inicial e k é uma constante positiva. A dívida incial é a dívida em t = 0 . Portanto, D (0) (0) = D 0 e −k ·0 = D 0 1 = D 0 = 13.
·
·
Assim, D 0 = 13 é a dívida inicial. (11) = 7. Assim, Como em 1971 o país devia U $$77 bilhões, ou seja, 11 anos após, temos que D (11) Assim, (11) = D 0 e −k ·11 D (11)
·
⇒ 7 = 13 · e −11 ⇒ e −11 k
k
=
7 13
·
7 13
Estimaremos a dívida do país em 1977, isto é, 17 anos após 1960: −k ·17
D (17) (17) = 13 e
·
−17k
= 52 (e
·
)
11 11
−11k
= 52 (e
·
)
17 11
= 52
17 11
= 4,99
4, 99 bilhões. Logo, a dívida do país em 1977 era de U $$4,
Exemplo 2.10. Um determinado modelo de carro tem o seu preço depreciado após t anos segundo a função 1 4·t P (t ) = P 0 e −f r a c 14 . Após 7 anos, o valor desse carro era de R $7.000, $7.000, 00. Por quanto esse carro foi comprado?
·
Solução: Para
t = 7,
temos P (7) ( 7) = 7.000, isto é, 7 anos após a compra, o valor do carro era de
1 4·7 , $7.000, 00. Queremos encontrar P 0 , que é o valor em que o carro foi comprado. Como P (t ) = P 0 e −f r a c 14 R $7.000,
temos P 0 =
7.000 14·t e −f rac 14
·
≈ 40. 40.282, 282, 22, ou seja, o carro foi comprado por R $40 $40.282 .282,, 22.
2.3 Funções Loga Logarítmic rítmicas as e suas Aplica Aplicações ções Para facilitar a compreensão da função logarítmica, trataremos, inicialmente, dos conceitos e propriedades básicas do logaritmo. 2.1 Definição.
1. O logaritmo de b na base a, o expoente x Sejam a e b números reais positivos, em que b =
tal que ax = b . Em símbolos,
loga b = x
⇒a
x
= b .
Exemplo 2.11. Calcule: (b) log 13 81
(a) log2 8 Solução: (a) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3. (b) log 13 81 = x ⇒
1 3
x
= 81
⇒ (3−1)
x
= 34
⇒ 3−
x
= 34
⇒ x = −4.
Para que servem os Logaritmos? O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras disciplinas, como, por exemplo, na Química para o cálculo do PH (potencial de hidrogênio). hidrogênio). Na Física, utilizamos utilizamos logaritmos logaritmos em acústica para determinarmos determinarmos à intensidad intensidadee (decibel) (decibel) de um som, e muito mais. Observe como as ciências são intimamente ligadas. Fundamentos da Matemática
37
2.3. 2.3.1 1
Um Pou Pouco co de de Hist Histó ória ria
Os logaritmos foram descobertos no início do século XVII, pelo esforço conjunto de grandes matemáticos, a exemplo de John Napier (escocês: 1550-1617), Jobst Bürgi (suíço: 1552-1632) e Henry Briggs (inglês: 15561631). A idéia original, entretanto, coube a John Napier.
2.3.2 Proprieda Propriedades des Fundamen Fundamentais tais dos Loga Logaritmos ritmos 1. log a (b · c ) = log a b + log a c 2. log a
b c
= log a b
− log
a c
3. log a (b c ) = c · log a b 4.
b logb a = a
5. loga b =
logc b logc a
Nota 7. Lembre-se Lembre-se de que: 1. log(x ) = log10 (x ). 2. loge (x ) = ln(x )
Exemplo 2.12. Admitindo que log log(2) (2) = 0, 30 e log log(3) (3) = 0, 48, temos: (a) log(16) = log(24 ) = 4 · log(2) = 4 · 0,30 = 1,20 log(2) (2) + 2 log log(3) (3) = 2 · 0, 30 + 2 · 0,48 = 1,56 (b) log(36) = log(22 ) · 32 = log(22 ) + log(32 ) = 2 log
(c) log
1 3
(d) log3 2 =
= log(1)
− log(3) = 0 − 0,48 = −0,48
log(2) 0,30 = = 0, 62 6255 log(3) 0,48
(e) Quanto deverá ser o valor de
x para satisfazer a equação exponencial 2x = 3 ?
Podemos fazer de duas formas, que são equivalentes. Vejamos. i. Pela definição de logaritmos, temos que 2x = 3 ⇔ x = log2 3, ou seja, x =
log3 0,48 = = 1, 1, 6 log2 0,30
log 3 e, então prosseguimos: ii. A partir da igualdade 2x = 3 , podemos escrever: log2x = log log(2x ) = log(3)
0,48 = ⇒ x · log(2) = log(3) ⇒ x = log(3) ≈ 1,6. log(2) 0,30
2.4 2.4 Funções unções Loga Logarí rítmi tmica cass 2.2 Definição. Definição.
Uma função
logarítmica na base a. 38
FTC EAD
|
f :
∗ R+
→ R, tal que f (x ) = log (x ), em que 0 < a = 1, é dita uma função a
Para compreender o comportamento da função função logarítmica utilizaremos utilizaremos sua representação gráfica. Observe Obser ve nos exemplos a seguir como esboçar o gráfico desta função.
Exemplo 2.13. Construir o gráfico da função f (x ) = log2 (x ).
Solução: Vamos pegar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log2 (x ), para observarmos como se comportam esses pontos do seu gráfico. Para tanto, pegaremos alguns valores para x , como segue:
• Se x = 14 , então f
1 4
que y = −2, ou seja, f
• Se x = 12 , então f
1 2
que y = −1, ou seja, f
= log2 1 4
=
=
= y . Assim, pela definição de logaritmo 2y =
−2. Logo, o ponto
= log2 1 2
1 4
1 2
1 , 2 4
− ∈ Graf(f ).
= y . Assim, pela definição de logaritmo 2y =
−1. Logo, o ponto
1 . Obtemos, Obtemos, então, então, 4
1 . Obtemos, Obtemos, então, então, 2
1 , 1 2
− ∈ Graf(f ).
• Se x = 1, então f (1) = log2 (1) = y . Assim, Assim, pela definição de logaritmo logaritmo 2 y = 0, ou seja, f (1) = 0. Logo, o ponto (1,0) ∈ Graf(f ).
= 1. Obtemos, então, que
• Se x = 2, então f (2) = log2 (2) = y . Assim, Assim, pela definição de logaritmo logaritmo 2 y = 1, ou seja, f (2) = 1. Logo, o ponto (2,1) ∈ Graf(f ).
= 2. Obtemos, então, que
• Se x = 4, então f (4) = log2 (4) = y . Assim, Assim, pela definição de logaritmo logaritmo 2 y = 2, ou seja, f (4) = 2. Logo, o ponto (4,2) ∈ Graf(f ).
= 4. Obtemos, então, que
y
y
y
y
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
2
ver o comportamento do gráfico da função
1
f (x ) = log2 (x ),
1 -1
como figura ao lado.
-2
Note que a função f (x ) = log2 (x ) é crescente.
-3
1
2
3
4
5
6
x
Exemplo 2.14. Construir o gráfico da função f (x ) = log 12 (x ).
Solução: Vamos pegar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log 12 (x ), para observarmos observarmos como se Fundamentos da Matemática
39
comporta seu gráfico. Observe a seguinte tabela. y = f (x )
x
1 4 1 x = 2 x = 1 x =
(x , y )
1 1 = log 1 =2 2 4 4 1 1 f = log 12 =1 2 2 f (1) (1) = log 12 (1) = 0
1 ,2 4 1 ,1 2 (1, 0)
f
x = 2
f (2) (2) = log 1 (2) =
x = 4
f (1) (1) = log 1
2
2
∈ Graf(f )
−1 (4) = −2
(2, 1)
− (4, −2) y
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
2
ver o comportamento do gráfico da função
1
f (x ) = log 1 (x ),
1 -1
2
como figura ao lado.
-2
Note que a função f (x ) = log 12 (x ) é decrescente.
-3
2.4.1 2.4.1
1
2
3
4
5
6
x
Aplica Aplicações ções dos Logar Logaritm itmos os
$3.000,00 000,00 na poupança e deseja retirar sua aplicação quando o saldo Exemplo 2.15. Uma pessoa investiu R $3. $5.000, 00. Supondo que a taxa de juros da poupança seja fixa de 0,67% ao mês, determine o tempo for de R $5.000,
que o investidor deve deixar seu dinheiro investido. Solução: Como M = C · (1 + i )n . Logo, 5.000 = 3.000 (1 + 0, 0067 0067))n
·
n
⇒ (1, 0067 0067))
=
5.000 . 3.000
Aplicando a função logarítmica na base e , temos: ln(1, ln(1, 0067 0067))n = ln
5 3
⇒ n · ln(1, ln(1, 006 0067) 7) = ln
5 3
5 3 n= ln(1, ln(1, 0067 0067)) ln
⇒
≈ 76,50
O tempo será de 76,5 meses ou 6 anos, 4 meses e 12 dias.
2.5 Funções Trigon rigonomét ométric ricas as As funções trigonométricas são importantes no estudo de fenômenos que apresentam comportamento periódico, como por exemplo, os movimentos harmônicos (molas, pêndulos de abertura pequena, projeções de movimentos circulares são exemplos comuns que utilizam funções trigonométricas para seu estudo), ou ainda para tentar modelar fenômenos que se repitam de ciclos em ciclos, (ondas sonoras, ou ainda ciclos geológicos / astronômicos / climáticos / turísticos que se repitam de tempos em tempos). 40
FTC EAD
|
Fique Sabendo A palavra trigonometria trigonometria é formada formada por três radicais radicais gregos: tri (três), gono (ângulo) (ângulo) e metron (medida); significando significando,, assim, “medida dos triângulos” triângulos”.. Inicialmen Inicialmente, te, considerada considerada como uma extensão extensão da geometria, geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco ( 190 a.C. - 125 a.C.), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século V I I I , com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém, o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o “tratado dos triângulos”, escrito pelo matemático alemão Johann Müller, Müller, também chamado Regiomonta Regiomontanus. nus. Sabe-se Sabe-se que Regiomaont Regiomaontanus anus foi discípulo discípulo de Purback. AtualAtualmente, mente, a trigonometri trigonometriaa não se limita limita apenas a estudar estudar triângulos. triângulos. Sua aplicação aplicação se estende estende a outros campos campos da Matemática, Matemática, como a Análise, Análise, e a outros campos campos da atividade atividade humana como a Eletricida Eletricidade, de, a Mecânica, Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc. Apresentamos aqui uma situação do nosso dia-a-dia, em que podemos encontrar tais relações funcionais. Alguns Alguns produtos agrícolas agrícolas têm seu preço de venda venda com variação variação periódica. periódica. Esses produtos produtos apresentam apresentam épocas épocas de safra e épocas de entressafra entressafra.. Suponha Suponha que o preço médio de venda venda da saca de soja do produtor produtor ao atacadista, numa determinada região, possa ser representado pela função p (x ) = 30 + 10 10 sen x
·
· π6
,
sendo p o preço médio da saca ( 60k g ) de soja, em reais, e x o mês do ano. Pergunta-se: (a) Qual o valor máximo obtido na venda de uma saca de farinha? (b) Em qual mês foi obtido esse valor? (c) Qual foi o pior valor de venda dessa saca? (d) Qual foi a variação do valor da saca de soja? (e) Qual foi o período de variação do preço da saca? Vamos lá! Solução: (a) Valor máximo: sen
x
· π6
Então: = 1. Então:
p (x ) = 30 + 10 sen x
·
· π6 ⇔ p (x ) = 30 + 10 · 1 = 40.
$ 40,00. O valor máximo obtido foi R $40,00
⇔ x · π6 = π2 ⇔ x = 3 . Portanto, no mês de março. π = −1. Então: (c) Valor mínimo: sen x · 6 (b) sen
x
· π6
=1
p (x ) = 30 + 10 sen x
·
· π6 ⇔ p (x ) = 30 + 10 · (−1) = 20.
$ 20, 00. O valor mínimo obtido foi R $20,
(d) O conjunto imagem (variação do preço da saca de 60k g de soja) será:
ℑ(p ) = [20, 40] 40].. Fundamentos da Matemática
41
(e) Para o arco inicial, temos x = 0; θ0 = 0 ·
π 6
⇔ θ0 = 0. Para completar o período, acrescenta-se 2πrad
ao arco inicial: θ0 + 2π 2π = x
· π6 ⇔ x = 12 meses.
2.5.1 Caracter Característica ísticass de Algumas Algumas Funções Funções Trigono Trigonométr métricas icas
• Função Seno f (x ) = sen(x ). (a) Domínio: o conjunto R dos números reais. ( 0) = sen(0) = 0 e, portanto, a interseção com o eixo- y é o ponto (b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) (0,0). A intersecção como eixo- x é feita fazendo f (x ) = sen(x ) = 0 e, portanto, x = k · π, k ∈ Z.
(c) O gráfico da função f (x ) = sen(x ). y
−10
2π π
π
π
π
6
4
3
2
π
x
3π 2
(d) Como o maior valor de seno é 1 e o menor é −1 e tendo em conta conta o gráfico dessa função, função, concluímos concluímos que o conjunto imagem é o intervalo [−1,1].
• Função cosseno f (x ) = cos(x ). (a) Domínio: o conjunto R dos números reais. (b) Interceptos: Interceptos: se x = 0, f (0) portanto, a intersecção intersecção com o eixo-y é o ponto (0,1). A (0) = cos(0) = 1 e, portanto, π intersecção com o eixo- x é feita fazendo f (x ) = cos(x ) = 0 e, portanto, x = + k π , k ∈ Z. 2
(c) O gráfico da função f (x ) = cos(x ) y
1 2π 0
π
π
π
π
6
4
3
2
π
x
3π 2
−1 (d) Como o maior valor do cosseno de um ângulo é 1 e o menor −1 e tendo em conta o gráfico dessa função, concluímos que o conjunto imagem [−1,1]. Função Tangente f (x ) = tg(x ) (a) Domínio: o conjunto R dos números reais, excluindo os valores de π seja, os valores da forma x = + k π, k ∈ Z.
x para os quais cos(x ) = 0,
ou
2 (0) = tg(0) e, portanto, a interseção com o eixo- y é o ponto (0,0). A (b) Interceptos: Interceptos: se x = 0, temos f (0) intersecção com o eixo- x é feita fazendo f (x ) = tg(x ) = 0 e, portanto, x = k π , k Z.
∈
42
FTC EAD
|
(c) O gráfico da função f (x ) = tg(x ) y
1
2π
0
π
π
π
π
6
4
3
2
(d) O conjunto imagem é o conjunto y .
2.5.2 2.5.2 EP 2. 2.1 1.
π
R
x
3π 2
dos números reais, pois para todo y real, existe x tal que tg(x ) =
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Daqui a t anos, o valor de um automóvel será
V = 2.000 (0,75)t dólares. dólares.
·
A partir de hoje, daqui a
quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote: log log(2) (2) = 0, 3 e log log(3) (3) = 0, 48. (a) 3 anos EP 2. 2.2 2.
(b) 2, 5 anos
(c) 2 anos
(d) 4, 5 anos
Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado pela função: P (t ) = P 0 · e 0,01·t ,
em que a variável
t indica indica
o tempo dado em dias. Qual é a população população inicial, inicial, sabendo que após 40 dias a
população é de, aproximadamente, 400.000 indivíduos? (a) 268.000 EP 2. 2.3 3.
(b) 368.000
(c) −268.000
(d) −368.000
O preço de um carro é R $11 $11.261 .261,, 62, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses.
11,, 2%. Qual a taxa de juros cobrada nesta Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11
operação? (a) 1%
02% % (b) 0, 02
Foi feito um empréstimo pessoal de
EP 2.4.
(c) 0,2% R $1.500, $1.500, 00,
(d) 2%
e a taxa de juros cobrada foi de 4, 32 32% % a.m.,
$3.078, 078, 50. determine quanto tempo se passou quando o devedor saldou a dívida em R $3.
(a) 4 anos EP 2. 2.5 5.
(b) 3 anos
(c) 5 anos
(d) 2 anos
O valor das ações da Petrobrás na Bolsa de Valores variou, durante determinado mês, segundo a π π + t , em que V (t ) é o valor de venda de um lote de 1.000 ações, em reais, 2 2
equação V (t ) = 3 + 1, 2 · sen
·
e t é o tempo em dias. Assinale Assinale a alternativa alternativa que representa representa o período de oscilação do valor das ações na
Bolsa. (a) 10
(b) 15
(c) 20
(d) 24
Gabarito . (b)
2.1
2.2
. (a)
. (d)
2.3
2.4
. (a)
. (a)
2.5
Fundamentos da Matemática
43
O Estudo do Cálculo e suas BLOCO02
Implicações Econômicas
Apresentação Inicialmente, no Bloco I, foram trabalhadas as características principais de funções e suas aplicações, estas voltadas para a economia, negócios e outros temas que importam ao profissional de Administração e Contábeis, tábeis, dentre outros. outros. Neste bloco bloco trabalharemos trabalharemos de forma sucinta sucinta os conceitos conceitos de limites limites e suas principais principais propriedades, para, enfim, adentrarmos no conteúdo de Derivadas e Integrais, no mesmo contexto.
Estudo do Cálculo Diferencial e suas TEMA03
aplicações
3.1 3.1 Noções Noções Básic Básicas as de Limi Limites tes O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Estudo das funções, limites, derivas e integrais. O conceito de limite tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento delas quando x aumenta muito (tende ao infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Para entender os conceitos mais importantes daquela lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. Antes de compreender aspectos básicos de limites, vejamos a seguinte situação: Uma empresa fabrica uma linha de cadeiras para executivos. Estima-se que o custo total da fabricação de 200.000 .000 em reais por ano, de modo que o custo médio da fabricação x mesas de certo modelo é C (x ) = 100x + 200 de x cadeiras é dado por: C M M (x ) =
100x + 200.000 200.000 C (x ) = = 100 + x x x
em reais por cadeira. C (x ) ), dividido pela Nota 8. O custo médio, em economia, é definido como o custo total de produção ( C
quantidade produzida (x ).
Observe, abaixo, o comportamento do valor do custo quando se aumenta a produção de cadeiras: Quanti Quantidad dadee de cadeir cadeiras as produzi produzidas das 1 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000
.. .
x
44
FTC EAD
|
→ +∞
Custo Custo médio médio quando quando × cadeiras são produzidas C (1) = 100 +
200.000 1
= 100 + 200.000 = 200.100
C (1.000) = 100 + 200.000 1.000 = 100 + 200 = 300 C (10.000) = 100 + 200.000 10.000 = 100 + 20 = 120 200.000 C (1) = 100 + 1.000.000 = 100 + 0,2 = 10 100, 0, 2 200.000 C (10.000.000) = 100 + 10.000.000 = 100 + 0,02 = 100,02
.. .
100 +
200.000 x
→ 100, pois
200.000 x
→0
Visualize graficamente A partir da análise do gráfico concluir-se que o resultado que obtivemos é certamente esperado se considerarmos suas implicações econômicas. Intuitivamente, observa-se que à medida que o nível de produção cresce, o custo fixo aumenta por cadeira pro200.000 duzida, duzida, representado representado pelo termo , diminui sensivelmente. x O custo médio se aproxima de um valor constante por unidade produzida, R $100, neste caso. Logo, algebricamente, temos que: lim C (x ) = lim lim
x →∞ →∞
100 +
x →∞ →∞
200.000
= lim 100+ lim
x
x →∞ →∞
200.000
x →∞ →∞
x
y
x
-10000
10000
= 100,
tende a 0 em que lim C (x ) representa o limite da função custo médio quando x cresce indefinidamente, ou seja , a mex →∞ →∞ dida que quantidade de cadeiras produzidas crescem, o custo médio diminui, se aproximando de 100 reais por mês. Observe, Observe, ainda, que quando a produção é pequena, pequena, o custo é muito alto. alto. Para Para compreender compreender isto, isto, calcularemos o custo médio quando uma unidade é produzida: C (1) = 100 +
200.000 = 200.100 (muito alto). 1
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar a compreensão intuitiva de limites, consideremos a função x 2
− 1: x − 1
f :
R
− {1} → R, definida por f (x ) =
1, f pode ser simplificada e reescrita na forma equivalente: Para x = f (x ) =
x 2 x
− 1 = (x − 1)(x + 1) = x + 1 ⇒ f (x ) = x + 1. −1 x − 1
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima do valor y = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) como por valores x > 1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f , para valores esquerda e à direita de x = 1.
x
à
• Pela esquerda de x = 1 : x
0
0, 5
0, 9
0, 99 99
0, 99 999
0, 99 9999
f (x )
1
1, 5
1, 9
1, 99 99
1, 99 999
1, 99 9999
y
• Pela direita de x = 1 : x
2
1, 5
1, 1
1, 01 01
1, 00 001
1, 00 0001
f (x )
3
2, 5
2, 1
2, 01 01
2, 00 001
2, 00 0001
2
Neste caso, dizemos y = 2 é o limite limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por: 1
x
lim f (x ) = 2.
x →1
Este resultado pode ser visto através do esboço gráfico de f , ao lado: Fundamentos da Matemática
45
3.1.1 3.1.1
Propr Propried iedade adess dos Limites Limites
Apresentaremos as propriedades que podem ser usadas para obtenção das regras e propriedades da derivação. 1. Se f (x ) = C , em que C é constante, então: lim f (x ) = lim C = C .
x →a
x →a
2. Se k e b são constantes e f (x ) = k x + b , então: lim f (x ) = lim (k x + b ) = ka + b .
x →a
3. Se
são duas funções, lim g (x ) = B , então: f
e
g
k
x →a
uma constante,
A
e
B
números reais e, além disso, lim f (x ) = x →a
A
e
x →a
lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B 4. (a) lim (f ± g )(x ) = lim x →a
x →a
x →a
5. (b) lim (f · g )(x ) = lim f (x ) · lim g (x ) = A · B x →a
x →a
x →a
6. (c) lim (k · f )( )(x ) = k · lim f (x ) = k · A x →a
x →a
7. (d) lim (f )n (x ) = (lim f (x ))n = An x →a
8. (e) lim
x →a
x →a
lim f (x ) f A x →a (x ) = = , se B = 0. lim g (x ) g B
x →a
9. (f) lim exp[f (x )] = exp lim f (x ) = exp(A) x →a
x →a
10. Se acontecer uma das situações abaixo: 11. i. lim f (x ) = 0 x →a
12. ii. x lima f (x ) > 0 e n é um número natural →
13. iii. lim f (x ) < 0 e n é um número natural ímpar, então lim x →a
x →a
n
f (x ) =
n
lim f (x ).
x →a
3.2 3.2 Deri Derivad vadas as e sua suass Apl Aplic icaç ações ões y
Neste conteúdo introduziremos a taxa de variação instantânea de uma função num ponto. A taxa de variação variação num dado instante f (x ) nos leva ao conceito de derivada. Esta pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente como taxa de variação. variação. Veremos que a noção de limites, limites, vista no conteúdo anterior, permite-nos definir a noção de derivada e também discutirmos algumas aplicações que provam a utilidade de sua in- f (x 0 ) terpretação.
Graf(f )
x 0 f (x )
− f (x )
x
x
0 = x 0 . Dada uma função f : I → R e x 0 ∈ I , considere o quociente q (x ) = , que está definido se x x − x 0 Logo, temos uma função q : I − {x 0} → R, cujo valor q (x ) nos dá a inclinação inclinação da reta secante ao gráfico gráfico de f nos pontos (x 0 , f (x 0 )) e (x , f (x )).
46
FTC EAD
|
Se imaginarmos x sendo o tempo e f (x ) a posição de um carro em uma estrada, teremos que q (x ) é a velocidade média deste carro no intervalo de tempo de x 0 a x . v m =
∆S S = ∆t t
− S 0 = f (x ) − f (x 0) = q (x ). x − x 0 − t 0
Temos que q (x ) é a relação entre a variação de (x ) e de x a partir do ponto x 0 . Vamos fazer x se aproximar cada vez mais de x 0 , isto é, x → x 0 (x tender a x 0 ). Isto é, considere o seguinte limite: lim
x →x 0
f (x ) x
− f (x 0) . − x 0 y
Graf(f )
Notamos que se este limite existir obteremos a inclinação da f (x ) reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0 , f (x 0 )), que é a velocidade instantânea do carro no instante x = x 0 . Em outras palavras, a “taxa de variação instantânea” da função f no ponto. Definimos a derivada de f no ponto x 0 , sendo o limite: f (x ) x
lim
x →x 0
− f (x 0) − x 0
f (x 0 ) x 0
x
x
Fazendo ∆x = x − x 0 , se x → x 0 , temos que ∆x → x 0 e que x = x 0 + ∆x . Logo, lim
x →x 0
f (x ) x
− f (x 0 ) = − x 0
lim
∆x →0
f (x + ∆x ) ∆x
Se este limite limite existe, existe, dizemos que é derivável derivável no ponto derivável em I .
3.2.1 3.2.1
− f (x 0) = f ′(x 0 ).
x 0 .
Se exis existe te
f ′ (x ),
∀ x ∈ I , dizemos que f é
Regras Regras de Deriva Derivação ção
1. (f ± g )′ = f ′ ± g ′. 2. (f · g )′ = f ′ · g + f · g ′ . 3. Se f (x ) = c , então f ′ (x ) = 0 .
0 , então 4. Se g =
f g
=
f ′ g
· − f · g ′ . g 2
Como conseqüência destas propriedades, obtém-se as seguintes regras de derivação: 5. [k · g (x )]′ = k · g ′ (x ), em que k é uma constante. 6. [k · x n ]′ = k n · x n−1 , ∀ n ∈ R 7.
1 g (x )
′
′
=
− [g g ((x x )])2
Exemplo 3.1. Derive as seguintes funções. (a) f (x ) = 7x 6 + 3x x 4 + 8
(b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6)
(c) f (x ) =
x 4 + 3x x 1
−
Fundamentos da Matemática
47
Solução: (a) f (x ) = 7x 6 + 3x 4 − x + 8 ⇒ f ′ (x ) = (7x 6 )′ + (3x 4 )′ − (x )′ + (8)′ = 42 x 5 + 12x 3 − 1 (b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6) ⇒ f ′ (x ) = ( x 2 + 3)′ · (x 5 − 6)+(x 2 + 3) · (x 5 − 6)′ = 2x · (x 5 − 6)+5x 4 · (x 2 +3) = 2x 6
− 12x + 5x 6 + 15x 4 = 7 x 6 + 15x 4 − 12 x 4 + 3x (4x 3 + 3) · (x − 1) − (x 4 + 3x ) · 1 f ′ (x ) = ⇒ (c) f (x ) = x − 1 (x − 1)2 3x 4 − 4x 3 − 3 (x − 1)2
=
4x 4
− 4x 3 + 3x − 3 − x 4 − 3x (x − 1)2
=
3.3 3.3 Pontos ontos de Máxi Máximo moss e Mín Mínim imos os Dada uma função f (x ), os valores de x tais que f ′ (x ) = 0, são ditos pontos críticos de f . Se a segunda derivada de f (f ′′ (x )) calculada nestes pontos críticos for positiva ( f ′′ (x ) > 0) dizemos que estes pontos críticos são pontos de mínimo, se os valores nesses pontos críticos forem negativos ( f ′′ (x ) < 0) dizemos que estes pontos críticos são pontos de máximo. Exemplo 3.2. Considere a função quadrática f (x ) = x 2 − 4x + 3. Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do seu vértice são V (2, −1). O esboço do seu gráfico está ao lado. Notamos Notamos que x = 2 é um ponto de mínimo da função, que é justamente x V V . Se nós derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = 2x − 4. Igualando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função. f ′ (x ) = 0
y
6 3
⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2.
x
2 4 Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, nós calculamos a segunda derivada da função f neste ponto crítico. f ′′ (x ) = 2
⇒ f ′′ (2) = 2 > 0.
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f . Note que f ′ (x ) < 0, se x < 2, e que f ′ (x ) > 0, se x > 2. Observe Observe pelo pelo gráfico gráfico que que a função f (x ) é decrescente, para x < 2, e é crescente, para x > 2, justamente onde a derivada é negativa e positiva, respectivamente. Exemplo 3.3. Considere a função quadrática f (x ) = −x 2 + 4x − 3. Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do (2, 1). O esboço do seu gráfico está ao lado. seu vértice são V (2, Notamos que x = 2 é um ponto de máximo da função, que é justamente x V V . Se nós derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = −2x + 4. Igualando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função. ′
f (x ) = 0
y
2
4
x
-3 -6
⇒ −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2.
Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, nós calculamos a segunda derivada da função f neste ponto crítico. f ′′ (x ) =
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f . 48
FTC EAD
|
−2 ⇒ f ′′ (2) = −2 < 0.
Note que f ′ (x ) > 0, se x < 2, e que f ′ (x ) < 0, se x > 2. Observe pelo gráfico, que a função f (x ) é crescente, para x < 2, e é decrescente, para x > 2, justamente onde a derivada é positiva e negativa, respectivamente. Com esta observação e com a anterior, nós vamos enunciar o seguinte resultado: Dada uma função f (x ), temos que se f ′ (x ) > 0, para x pertencente pertencente a um determinado determinado intervalo, intervalo, então a ′ função f será crescente neste mesmo intervalo. Se f (x ) < 0, para x pertencente a um determinado intervalo, então f será decrescente neste mesmo intervalo. Exemplo 3.4. Dada a função f (x ) = máximo e mínimo de f .
x 3
3
2
− 132x
Solução: Derivando Derivando a função f , obtemos pontos críticos x = 3 ou x = 10. Derivando, agora, a função f ′(x ), obtemos
+ 30 x + 10 , em que 0 < x < 13. Determine os pontos de
f ′ (x ) = x 2
− 13x + 30.
f ′′ (x ) =
y
− 13. Logo, f (3) = −7 < 0 e f (10) = 7 > 0. Con-
50
ponto de mínimo. mínimo. Através Através do estudo do sinal da função
40
2x
′′
′′
Igualando Igualando f ′ (x ) a zero, obtemos os
cluímos que x = 3 é um ponto de máximo e x = 10 é um f ′ (x )
obtemos os intervalos onde a função f é crescente
ou decrescente, isto é,
f ′ (x ) < 0,
se 3 <
f ′ (x ) > 0, se 0 < x < 3 ou 10 < x < 13.
cente, se 3 < ou 10 < (10) = f (10)
ao lado.
x < 10
x < 13.
x < 10
e
Logo, f é decres-
e f será crescente, se 0 <
x < 3
Temos, também, também, que f (3) ( 3) = 50,5 e
30 20 10
−6,67. O esboço do gráfico da função f (x ) está
5
x
10
Exemplo 3.5. O lucro obtido por um determinado fabricante com a venda de determinado produto é dado pela função L(p ) = 400 · (15 − p ) · (p − 2), em que p é o preço de venda do seu produto. produto. Calcule Calcule o preço que
maximiza o lucro.
Solução: Primeiro derivamos a função lucro e igualamos esta derivada a zero para obtermos os pontos críticos. L′ (p ) = 400 [( 1) (p
· − · − 2) + (15 − p ) · 1] = 400 · (−p + 2 + 15 − p ) = 400 · (−2p + 17)
8, 5 que é a abscissa do ponto crítico da função lucro. Igualando-se esta deriva da a zero, encontramos p = 8,
A segunda derivada da função lucro é p = 8, 8, 5, temos L′′ (8,5) =
L′′ (p ) =
−800 e, para
−800 < 0. Logo, p = 8,8, 5 é um ponto de
10000
máximo, isto é, o preço de 8, 5 maximiza o lucro.
Note que a função lucro é quadrática L(p ) = −400p 2 +6.800p −
12.000. O seu gráfico está logo ao lado.
8.5
17.0
p
-10000
Exemplo 3.6. A receita de uma empresa é dada em função do preço (p ) do seu produto pela função R (p ) =
p 3
3
2
− 132p
Solução:
+ 30p + 10, em que 0 < p < 13. Determine Determine o preço p que maximiza a receita R .
R ′ (p ) = p 2
1 0 ou p = 3. − 13p + 30 = 0 → p = 10 Fundamentos da Matemática
49
R
Como
′′
R (p ) = 2p
− 13, então R (3) = −7 < 0 e R (10) = ′′
′′
7 > 0. Portanto, temos que p = 3 é a abscissa de um ponto de
máximo e que p = 10 é a abscissa de um ponto de mínimo, isto 1 0 minimiza a receita. é, p = 3 maximiza a receita e p = 10
p
6.5
Analogamente ao que foi feito para a função f (x ) do exemplo anterior, temos o esboço do gráfico da função R ′ .
Exemplo 3.7. O lucro de uma empresa é dada em função do preço do seu produto pela expressão L(p ) =
p 3
3
− 15p 2 + 200p − 300, em que 0 < p < 23. Determine o preço que maximiza o lucro. Esboce o gráfico da
função L.
Solução: L′′ (10) =
L′ (p ) = p 2
− 30p + 200 = 0 ⇒ p = 10 ou p = 20.
Temos que que
L′′ (p ) = 2p
− 30, temos que
−10 < 0 e L′′(20) = 10 > 0. Logo, p = 10 é ponto de máximo da função L(p ) e p = 20 é ponto de
mínimo de função L(p ), isto é p = 10 maximiza o lucro e p = 20 minimiza o lucro. Temos que
L′ (p ) < 0,
cente, se 10 < ou 20 <
p < 20
p < 23.
se 10 <
p < 20.
e temos que
Logo, L(p ) é decres-
L′ (p ) > 0,
se 0 <
Logo Logo,, L(p ) é crescente, se 0 <
p < 10
p < 10
ou
emos que L(10) = 533,3 e L(23) = 420,67. O 20 < p < 23. Temos 10
esboço do gráfico de L está logo ao lado.
p
20
3.4 Deriva Derivada da da Função unção Composta Composta (Regr (Regraa da Cadei Cadeia) a) )) e Sejam f (x ) e g (x ) funções e h(x ) = f o g (x ) e l (x ) = g of (x ) as compostas de f e g , isto é h(x ) = f (g (x )) l (x ) = g (f (x )). Temos que as derivadas de h(x ) e l (x ) são: h′ (x ) = f ′ (g (x )) g ′ (x )
·
e l ′ (x ) = g ′(f (x )) · f ′ (x ).
A derivada da função composta é conhecida por regra da cadeia. Exemplo 3.8. Sejam f (x ) = x 2 + 2x e g (x ) = x + 1. Determine a expressão de h(x ) = f o g (x ) e l (x ) = g of (x ) e de suas derivadas. Solução: Temos que h(x ) = f o g (x ) = x 2 +4 x + 3 e l (x ) = g of (x ) = x 2 + 2x + 1. Logo, suas derivadas são h′ (x ) = 2 x +4 e l ′ (x ) = 2x +2.
como a derivada de
Pela regra regra da cadeia cadeia obtemo obtemoss que h′ (x ) = f ′ (g (x ))·g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′(f (x ))·f ′ (x ),
f ′ (x ) = 2x + 2
e
g ′ (x ) = 1,
temos que
h′ (x ) = f ′ (g (x )) g ′ (x ) = (2(g (x )) + 2) 1 =
·
·
2(x + 1) + 2 = 2x + 4 e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) f ′ (x ) = 1 (2x + 2) = 2x + 2.
·
·
Exemplo 3.9. Sejam f (x ) = x 5 e g (x ) = 2x 2 +3x +5. Determine a expressã expressãoo de h(x ) = f o g (x ) e l (x ) = g of (x ) e de suas derivadas. Solução: Temos que h(x ) = f o g (x ) = (2x 2 + 3x + 5)5 e i (x ) = g of (x ) = 2x 1 0 + 3 x 5 + 5. Pela regra da cadeia temos que f ′ (x ) = 5 x 4
50
FTC EAD
|
h′ (x ) = f ′ (g (x )) g ′ (x )
·
)) · f ′ (x ), como a derivada e l ′(x ) = g ′ (f (x )) derivada de f é
)) · g ′ (x ) = 5(g (x )) ))4 · (4x + 3) = 5(2 5(2x 2 + 3x + 5)4 · (4x + 3) e g ′ (x ) = 4 x + 3, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x ))
)) · f ′ (x ) = (4f (x ) + 3) · f ′ (x ) = (4x 5 + 3) · 5x 4 . e i ′ (x ) = g ′ (f (x ))
Exemplo 3.10. Derive a função f (x ) = 1
Solução: f (x ) = (x 2 + 3x + 1) 3
√x 2 + 3x + 1. 3
⇒ f ′(x ) = 13 (x 2 + 3x + 1) −1 · (2x + 3) = 3 · √3(x 2x 2 ++ 33x + 1)2 . 1 3
Exemplo 3.11. Calcule a derivada da função f (x ) = − √
2
5x 3 + 7
1
Solução: f (x ) = −2 · (5x 3 + 7)− 2
3.4.1 3.4.1
, em x = 1.
3 2
⇒ f ′(x ) = (5x 3 + 7)− · 15x 2 ⇒ f ′(x ) =
15x 2 (5x 3 + 7)
15 f (1) (1) = √ ⇒ . 3 123
Notaçã Notação o de Deriva Derivadas das
Podemos denotar a derivada de uma função das seguintes maneiras: A derivada da função f (x ) pode ser denotada por temos que f ′ (x ) = y ′ (x ) =
d y (x ) . d x
f ′ (x ) =
d f (x ) , d x
como podemos considerar considerar f (x ) = y (x )
Se temos a função função f (t ) = y (t ), temos f ′ (t ) = y ′ (t ) =
d f (t ) d y (t ) . = d t d t
3.4.2 Derivadas Derivadas de Algumas Algumas Funções Funções Elemen Elementa tares res
1. Como exemp Dada a função exponencial exponencial f (x ) = ax , temos que f ′ (x ) = ax · ln(a), em que 0 < a = exemplo lo,, vamos derivar a função f (x ) = e x ⇒ f ′ (x ) = e x · ln(e ) ⇒ f ′ (x ) = e x . Como outro exemplo, ao derivar a função f (x ) = 5x , temos f ′ (x ) = 5 x · l n(5). Dada a função f (x ) = loga (x ), temos que f ′ (x ) = ao derivar a função f (x ) = ln(x ), temos f (x ) = log5 (x ), temos f ′ (x ) =
1 x
f ′ (x ) =
1
1 x
· log (e ), em que 0 < a = 1 e x > 0. Como exemplo, a
· ln(e ) = x
1
x
. Como outro outro exemplo exemplo,, ao derivar derivar a função
· log5(e ). f (x + ∆x ) ∆x f (x + ∆x ) lim ∆x →0 ∆x
Dada uma função f (x ), temos que a taxa de variação média de f é o quociente quociente de variação instantânea de f é dada pelo limite da variação média de f , isto é,
− f (x ) . A taxa − f (x ) .
Exemplo 3.12. A população de uma cidade é estimada a partir de agora pela função P (t ) = t 2 + 10t +16.000, em que t é o tempo dado em meses. (a) A que taxa a população estará variando daqui a 2 meses? (b) Qual a variação real da população durante o 3o mês? Solução: (a) Temos que a taxa de variação da população é dada pela derivada da função é,
P ′ (t ) = 2t + 10 .
P (t ),
isto
Como queremos a taxa de variação da população daqui a 2 meses, calculamos, então
P ′ (2) = 14 pessoas por mês.
(b) A variação real da população durante o terceiro mês é dada pela diferença da população no terceiro Fundamentos da Matemática
51
(3) − P (2) (2) = 15 pessoas. Podemos notar que o valor da taxa mês pela população do segundo mês, isto é, P (3)
de variação no segundo mês é bem próximo do valor real da variação da população durante o terceiro mês. Logo, podemos estimar a variação real da população pela taxa de variação da população.
3.5 3.5 Taxas axas de Variaçã riação o Temos que a taxa de variação real é dada por f (x + ∆x ) − f (x ) e a taxa de variação variação média pelo quof (x + ∆x )
y
Graf(f )
f (x + ∆x )
− f (x )
ciente , se tivermos ∆x = 1, teremos teremos ∆x que a variação real será igual à variação média e temos que a taxa de variação instantânea é dada pelo limite da variação média quando ∆x tende a zero, isto f (x + ∆x ) − f (x ) é, lim . Logo, podemos ver grafica∆x →0 ∆x mente que a taxa de variação instantânea é uma boa aproximação da variação real da função.
f (x ) x
x + ∆x x
3.6 Taxa de Varia Variação ção Percen Percentual tual Para transformarmos a variação da função em porcentagem montamos uma regra de três simples, da seguinte forma: f (x ) f (x + ∆x )
100% ∆%
− f (x )
Logo, ∆f % =
f (x + ∆x ) f (x )
− f (x ) · 100%,
pois, f (x + ∆x ) − f (x ) ≈ f ′ (x ), como já visto acima. Exemplo 3.13. Considere o exemplo anterior. Qual a taxa percentual de variação da população no segundo mês? Solução:
∆P % =
14 P ′ (2) 100% = = 0, 08 087% 7%. (2) 16.024 P (2)
·
3.7 Apro Aproxim ximação ação por Difere Diferenci nciais ais Seja f (x ) uma função, temos que se ∆x for pequeno, então f ′ (x ) f (x ) ≈ f ′ (x ) · ∆x , isto é ∆f ≈ f ′ (x ) · ∆x .
) − f (x ) ≈ f (x + ∆x . Logo, f (x + ∆x ) − ∆x
Análise marginal é a técnica de aproximação utilizada em economia para estimar a variação de uma função quando pequenas variações são feitas na variável independente. 52
FTC EAD
|
3.7.1 3.7.1 EP 3. 3.1 1.
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os O custo total em reais de uma fábrica para produzir
q unidades é dado pela função C (q ) = 5q 2 +
10q + 20. O nível atual de produção é de 55 unidades. Uma estimativa para a variação do custo se a produção
for de 55,4 unidades e a variação real do custo, em reais, são, respectivamente: (a) 224 e 224,6 EP 3. 3.2 2.
224, 4, 8 e 224,6 (b) 22
(c) 224 e 224,8
Um estudo ambiental feito em Camaçari indicou que,
t anos
224, 4, 8 (d) 224,8 e 22
a partir de agora o nível médio de
pp m. Uma estimativa para a variação do monóxido de carbono no ar será de C (t ) = 0,04t 3 + 0 , 3t 2 + 0 , 2t + 2 , 1ppm
monóxido de carbono nos próximos 3 meses é: (a) 0,04ppm pp m
(b) 0,05ppm pp m
(c) 0,055ppm pp m
(d) 0, 5ppm pp m
3.8 Apro Aproxim ximação ação da Va Variação riação Perce Percentua ntuall Partindo de uma regra de três simples, mostramos facilmente que
3.8.1 3.8.1 EP 3. 3.3 3.
≈ f (f x ()x ·)∆x · 100%.
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Nos exemplos
(a) 1,48% e 2,30% EP 3. 3.4 4.
′
∆f %
3.1
e
3.2, uma estimativa para as variações percentuais são, respectivamente:
40% % e 2,30% (b) 1, 40
(c) 1,40% e 2,38%
A produção de uma indústria é dada pela expressão P (C ) = 2.500 ·
38% % (d) 1,43% e 2, 38
√ 3
C 2
unidades, em que C é o
capital investido. A estimativa para a variação percentual da produção se aumentarmos o capital investido em 3% é:
(a) 1%
(b) 2%
(c) 3%
(d) 4%
Em economia o uso da derivada para aproximar a variação de uma função, quando temos uma variação de uma unidade na variável independente, é denominado de análise marginal. Seja C (q ) e R (q ) as funções custo e receita total. Temos, então, que o custo marginal é a aproximação da seguinte variação: ∆C = C (q + 1) − C (q ) ≈ C ′ (q ) · ∆q = C ′ (q ) · 1 = C ′ (q ). Analogamente, temos que a receita marginal é a aproximação da variação da receita pela derivada quando ∆q = 1, isto é, ∆R ≈ R ′ (q ). Notamos que C ′ (q ) e R ′(q ) são, respectivamente, a aproximação do custo para produzir a (q + 1)a unidade e a receita referente à venda da (q + 1)a unidade. Exemplo 3.14. Uma indústria tem custo total dado por
C (q ) = 3q 2 + 5q + 10.000
unidad unidades. es. O preço de venda venda do seu produto produto é dado por P (q ) = vendidas.
reais, para produzir
q
−2q + 30 reais quando q unidades são
(a) Determine as funções custo e receita marginal. (b) Use o custo e a receita marginal para estimar o custo de produção e a receita da venda da 5o unidade. Fundamentos da Matemática
53
Solução: (a) C ′ (q ) = 6q + 5 e R ′ (q ) = −4q + 30. (b) C ′ (4) = 29 reais por unidade e R ′ (4) = 14 reais por unidade. A variação real do custo e da receita da (5) − R (4) (4) = 12 produção e venda da 5a unidade são, respectivamente, ∆C = C (5) − C (4) = 32 reais e ∆R = R (5)
reais.
3.8.2 3.8.2
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Um pequena loja de gravatas vende cada uma por U $3,5 $ 3,5. A função custo diário é estimada em C (x )
EP 3. 3.5 5.
0066x 3 − 0,03x 2 + 2x + 20 . O dólares, em que x é o número de gravatas vendidas em um dia típico e C (x ) = 0, 00
valor de x que irá maximizar o lucro diário é: (a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12
A demanda semanal por modelo de televisor Pulsar é igual a
EP 3. 3.6 6.
p = 3x
− 75x − 25, 0 ≤ x ≤ 10.000,
em que p denota o preço unitário por atacado em dólares e x denota a quantidade demandada. A receita real
obtida pela venda da 101o unidade, assumindo que 100 unidades são vendidas deste produto e uma estimativa para a receita produzida pelo 101o televisor, televisor, utilizando análise marginal, são, respectivamente: (a) 538 e 575
(b) 581 e 538
O custo para se manufaturar
EP 3. 3.7 7.
(c) 538 e 581 x caixas
de cereal é de
(d) 531 e 588
C
produção produção semanal semanal em t semanas, contadas a partir do presente, é estimada em marginal
d C d C , a taxa de variação do custo d x d t
√
A
x = 6.200 + 100t .
O custo
Dólares, em que
C = 3x + 4 x + 2.
e a velocidade com que os custos estão crescendo quando t = 2
são, respectivamente: (a)
d C 4 d C = 3+ = 300 + , d x x d t
√6220+ t e 300,5
(b)
d C 4 d C = 3+ = 300 + , d x x d t
√62200+ t e 300,5
(c)
d C 20 d C = 3+ = 300 + , d x x d t
√6420+ t e 30 302, 2, 5
(d)
d C 2 d C = 3+ = 300 + , d x x d t
√6220+ t e 302,5
√
√
EP 3. 3.8 8.
√ √
O custo de uma indústria indústria é dado pela função C (q ) =
q 3
3
− 4q 2 + 15q + 2.000, em que 0 ≤ q ≤ 6. A
quantidade q que minimiza o custo e o custo mínimo aproximado são, respectivamente: 216,, 67 (a) 3 e 216 EP 3. 3.9 9.
(b) 4 e 217
216,, 67 (c) 5 e 216
(d) 5 e 650
5, 00, a demanda mensal Um produtor observou que quando o preço unitário de seu produto era R $$5,
6, 00, a demanda mensal era 2.800 unidades. Admitindo-se que era de 3.000 unidades e, quando o preço era R $$6,
a demanda é uma função do 1o grau, o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita mensal é: 5, 50 (a) R $$5,
$ 7,00 (b) R $7,00
$ 10,00 (c) R $10,00
Gabarito . (c)
3.1
54
FTC EAD
3.2
|
. (b)
3.3
. (d)
3.4
. (b)
3.5
. (c)
. (a)
3.6
3.7
. (d)
. (c)
3.8
3.9
. (c)
$12, 2, 00 (d) R $1
Estudo do Cálculo Integral e TEMA04
Aplicações
4.1 Integra Integrall Indefini Indefinida da e suas Prop Proprie riedade dadess Operató Operatória riass 4.1 Definição.
Uma função F (x ) tal que F ′ (x ) = f (x ) é dita uma primitiva da função f .
Exemplo 4.1. A função F (x ) = F ′ (x ) = f (x ).
2x 5 3x 2 + + 5 x + 10 é uma primitiva da função f (x ) = 2x 2 + 3 x + 5, pois 3 2
2x 5 3x 2 + + 5x + C , em que C é uma constante, é também, uma primitiva da 3 2 função f (x ) = 2x 2 + 3x + 5, pois F ′ (x ) = f (x ).
Exemplo 4.2. A função F (x ) =
Simbolicamente, escrevemos a integral indefinida de f por f (x )d x = F (x ) + C ,
em que C é uma constante e lemos a integral indefinida de f (x )d x é igual a F (x ) + C . 2x 2 + 3x + 5d x .
Exemplo 4.3. Calcular a integral
Solução:
2x 2 + 3x + 5d x =
2x 3 3x 2 + + 5x + C . 3 2
Nota 9. Temos que f (x )d x = F (x ) + C
⇔ F ′ (x ) = f (x ) ⇔
F ′ (x )d x = F (x ) + C .
4.2 4.2 Regr Regras as de Integ Integra ração ção 4.2.1 4.2.1
Integr Integraçã ação o da Funç Função ão Potê Potênci nciaa
Dada a função f (x ) = x n , temos que f ′ (x ) = n · x n−1. Logo, f ′ (x )d x = f (x ) + C
⇒
nx n−1 d x = x n + C
⇒n
x n−1 d x = x n + C
⇒
x n−1 d x =
x n + C . n
= −1, temos: De modo geral, dada a função f (x ) = x n , em que n x n+1 x d x = + C . n+1 n
Exemplo 4.4. Obtenha as integrais indefinidas das seguintes funções: (a) f (x ) =
√x
(b) f (t ) =
√1t
(c) f (t ) =
√2 3
t
(d) f (x ) = 1 Fundamentos da Matemática
55
Solução: 5 4 1 3 x + x 16 6
5x 6 + 2x 5 3x 2 + 7 4x 3
−
f (x )d x =
d x =
5 4
1 2
x 3 d x +
x 2 d x
− 34
1 x
d x +
7 4
x −3 d x =
− 34 ln |x | − 78 x 12 + C .
Agora é sua vez! EP 4. 4.1 1.
Mostre que a derivada derivada da função função F (x ) =
5x 6 + 2x 5 3x 2 + 7 . 4x 3
−
5 4 1 3 x + x 16 6
− 34 ln |x | − 78 x 12 + C é igual a função f (x ) =
Exemplo 4.6. Qual a função cuja inclinação da reta tangente ao seu gráfico em x é pelo ponto (1,2).
3 3 x + 2x + 5 e que passa 4
Solução: Temos que a derivada da função f (x ) que queremos determinar é f ′ (x ) =
3 3 x + 2x + 5. Logo, 4
para determinar f (x ), integramos sua derivada f ′ (x ), isto é, f (x ) =
f ′ (x )d x =
3 3 3 x + 2x + 5 d x = 4 4
x 3 d x + 2
x d x + 5
d x =
3 4 x + x 2 + 5x + C . 16
(1) = 2, isto é, Temos que f (1) f (1) (1) =
Logo, C = −
3 14 + 12 + 5 1 + C = 2. 16
·
·
67 3 . Então, temos que f (x ) = x 4 + x 2 + 5x 16 16
− 67 . 16
Exemplo 4.7. O custo marginal de uma indústria é calculado pela expressão 5q 2
− 10q + 100 reais por
unidade, quando q unidades são produzidas. O custo de fabricação das três primeiras unidades é de 800 reais. Qual o custo de fabricação das 10 primeiras unidades? Solução: Como o custo marginal é a derivada da função custo, então C (q ) =
C ′ (q )d q =
(5q 2
C ′ (q ) = 5q 2
− 10q + 100. Logo,
− 10q + 100)d q = 53 q 3 − 5q 2 + 100q + C . Como C (3) = 800, temos que C = 500.
Desta forma, temos que C (q ) =
5 3 q 3
2.666,67 6,67 − 5q 2 +100q +500. Logo, C (10) = 53 103 − 5 · 102 +100 · 10+500 = 2.66
reais. Exemplo 4.8. Estima-se que a população de uma determinada cidade esteja variando a uma taxa de 3t 2 +
√t + 1 pessoas por ano. A população atual é de 11.000 pessoas. Qual será a população daqui a 2 anos? 3
Solução: Queremos Queremos determinar determinar a função população população P (t ), onde t é o tempo. Sabemos que a taxa de variação de uma função é sua derivada. Logo, P (t ) =
P ′ (t )d t =
P ′ (t ) = 3t 2 +
(3t 2 +
√t + 1. Desta forma, temos que 3
√t + 1)d t = t 3 + 3 √t 4 + t + C .
(0) = 03 + Como a população atual é de 11.000 pessoas, isto é, P (0) (2) = 23 + a população daqui a 2 anos será P (2)
√
3
3
4
√
33 4 0 + 0 + C = 11.000, C = 11.000. Logo, 4
3 3 4 2 + 2 + 11.000 11.000 = 11.011, 89 pessoas. 4 Fundamentos da Matemática
57
4.3 Integra Integração ção por Substit Substituiçã uição o Dada a função composta composta f ◦ g (x ) = f (g (x )), temos que sua derivada é dada pela regra da cadeia, isto é, (f ◦ g (x ))′ = ( f (g (x ))′ = f ′ (g (x )) · g ′ (x ). Logo, a integral da derivada da função composta será: (f g (x ))′ d x =
f ′ (g (x )) g ′ (x )d x = f g (x ) + C
◦
·
◦
Exemplo 4.9. Dada a função função f (x ) = (5x 2 +2 x +3)3, temos que sua derivada derivada é f ′ (x ) = 3(5x 2 +2 x +3)2 ·(10x +2).
Logo, a integral da função derivada
f ′ (x )
será a função f adicionada a uma constante C , pois é uma integral
indefinida, isto é, 3(5x 2 + 2x + 3)2 (10x + 2)d x = (5x 2 + 2x + 3)3 + C = f (x ) + C .
f ′ (x )d x =
·
Logo, quando tivermos integrais de funções produto, nós podemos verificar se o integrando é proveniente da derivada de uma função composta. Para sabermos se o integrando é proveniente da derivada de uma função composta, nós devemos observar se a derivada de uma das funções do integrando pode ser escrita em função da outra função. Exemplo 4.10. Integre a função f (x ) = 4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4). Solução:
4 (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 (3x 2 + 4x + 4)d x .
f (x )d x =
·
·
Note que a derivada da função (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 é igual a função 3x 2 + 4x + 4. Logo, esta integral pode ser resolvida pela técnica de integração por substituição. Chamando de u = x 3 + 2x 2 + 4x + 1 ⇒
d u = (3 x 2 + 4x + 4) d x
⇒ d u = (3x 2 + 4x + 4)d x . Logo,
4 (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 (3x 2 + 4x + 4)d x
f (x )d x =
·
·
4u 3 d u = 4
=
u 3 d u = 4
4
· u 4
+ C = u 4 + C
= (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)4 + C
Exemplo 4.11. Determine a integral da função f (x ) =
Solução:
·
forma, que f (x )d x =
6
x 5 e x +11 d x .
f (x )d x =
6
·
e x +11 x 5 d x =
Exemplo 4.12. Integre a função f (x ) =
Solução: que 58
f (x )d x =
FTC EAD
|
f (x )d x =
2x 3 5x 4
− 11
2x 3 5x 4 d x =
− 11
·
e u
d u
6
=
1 6
d u = 6x 5 d x
e u d u =
⇒ d6u = x 5d x . Temos, desta
1 u 1 6 e + C = e x +11 + C . 6 6
2x 3 5x 4
d x .
d u
·
Seja u = x 6 + 11 . Logo,
6
x 5 e x +11 d x =
6
x 5 e x +11 d x .
− 11 .
Seja u = 5x 4 − 11 ⇒ d u = 20x 3d x ⇒
10 = 1 u 10
1 1 d u = ln u + C = ln 5x 4 u 10 10
||
d u
10
= 2x 3 d x . Logo, temos
| − 11| + C .
4.3.1 4.3.1 EP 4. 4.2 2.
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Integre as funções:
(a) f (x ) = EP 4. 4.3 3.
20x + 5 3
(4x 2 + 2x
− 2)2
;
(b) f (x ) =
Integre a função f (x ) =
x . 2x 3
−
8x + 3 3
(4x 2 + 3x
− 2)2
;
(c) f (x ) =
(ln(x ))5 x
Sugestão: Faça u = 2x − 3 e veja que d x =
d u
2
. e x =
u + 3
2
.
4.4 4.4 Integ Integra rall por por Partes rtes É a técnica técnica de integração proveniente da da derivada da função produto, isto é, se tivermos a derivada derivada seguinte: (u (x ) · v (x ))′ = u ′ (x ) · v (x ) + u (x ) · v ′ (x ). Logo, temos que a integral (u (x ) v (x )) ))′ d x =
u ′ (x ) v (x )d x +
·
⇒ ⇒ Logo, temos que
Então, temos que 1 2x e x 2
· − 14 e 2
x
4.4.1 4.4.1 EP 4. 4.4 4.
(a)
·
u ′ (x ) v (x )d x +
·
u (x ) v ′ (x )d x
·
u (x ) v ′ (x )d x
· v (x ) · u ′ (x )d x = u (x ) · v (x ) − u (x ) · v ′ (x )d x .
v (x )u ′ (x )d x = u (x ) v (x )
·
Exemplo 4.13. Determine Solução: Seja
u (x ) v (x ) =
·
−
u (x ) v ′ (x )d x .
·
x e 2x d x .
u ′ (x ) = e 2x
e v (x ) = x . Logo Logo,, u (x ) =
v (x )u ′ (x )d x = u (x ) v (x )
·
−
u ′ (x )d x =
u (x ) v ′ (x )d x
·
⇒
e 2x d x =
x e 2x d x =
1 2x e e v ′ (x ) = 1. 2
1 2x e x 2
· −
e 2x
2
· 1d x =
+ C .
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Calcule:
√
x x + 5d x ;
(b)
ln(x )d x ;
4.5 4.5 Área Área e Integ Integra rall Defin Definid idaa d F (x )
= F ′ (x ), a taxa de variação da função F (x ). Queremos saber qual de a variação de F (x ) Seja f (x ) = d x entre x = a e x = b . b b F ′ (x )d x = F (b )
f (x )d x = a
a b
− F (a),
em que F é uma primitiva de f . O símbolo f (x )d x é lido como “a integral (definida) de a números a e b são denominados limites de integração .
f de a
até b ”. ” . Os
Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é comum usar o símbolo F (x )|b a para representar a diferença F (b ) − F (a). Fundamentos da Matemática
59
√
Exemplo 4.14. Uma população de uma cidade está crescendo a uma taxa de 5 3 t 2 + 3 t + 10 pessoas por mês, onde t é o tempo dado em meses. Qual o crescimento da população nos próximos 6 meses? Solução:
√
6
3
P ′ (t ) = 5 t 2 + 3t + 10
√
6
3
5 t 2 + 3t + 10d t =
(6) − P (0) ( 0) = ⇒ P (6)
2
5t 3 + 3t + 10d t =
0
0
6 5
5
t 3
t 2
+3
3 = [3t + t 2 + 10t ] 2 5 3
+ 10t ]
5 2 3 173 pessoas
6 0
√
√ · − [3 05 + 32 · 0 + 10 10 · 0] = 173,43 pessoas ≈
3 3 = 3 65 + 62 + 10 6 2
3
0
Exemplo 4.15. Calcule as seguintes integrais definidas: 1
(a)
2
(b)
e x d x
0
1
1
Solução: (a) 0 2
(b)
|1
x 3
x + 5 d x =
3
1 5
(c)
3
(d) 0
4.5.1 4.5.1
10
(d)
3
2x d x x 2 + 1
e
ln(x )
0
= 1
8 + 10 3
− 13 − 5 = 73 + 5 = 223
− ln(1) = ln(5)
2x d x = ln x 2 + 1 +1
3 0
x 2
= ln(10)
− ln(1) = ln(10)
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Calcule:
EP 4. 4.5 5.
(a)
+ 5x
d x x
− e 0 = e − 1
2
d x 5 = ln(x ) 1 = ln(5) x
|
1
1
e x d x = e x 0 = e 1
2
5
(c)
(x 2 + 5)d x
4d x ;
2
(b)
1
1
(c)
x 3 + 3 d x
0
(d)
8x (x 2 + 1)3 d x
x
1
0
d x
Exemplo 4.16. O custo marginal de uma fábrica é de 6(q 2 + 2 q + 3)2 · (q + 1) reais por unidade. De quanto
o custo aumentará se a produção aumentar de 5 para 8 unidades? Solução:
q 2
′
C (q ) = 6(
+ 2q + 3)
2
8
· (q + 1) ⇒ C (8) − C (5) =
C (q )d q = 6 5
Seja u = q 2 + 2q + 3 ⇒ d u = (2q + 2)d q ⇒ d u = 2( q + 1)d q ⇒ 8
C (8)
− C (5)
=
4.5.2 4.5.2
C (q )d q = 6 5
=
8
′
3
3
= 5
(q + 2q + 3)
2
5
3 8
u
2
8 u 3 5
|
=
(q 2 + 2q + 3)3 85
|
8
′
·
5
d u
2
= (q + 1)d q . Logo, 8
· (q + 1)d q = 6
2
u 5
= (82 + 2 8 + 3)3
·
(q 2 + 2q + 3) (q + 1)d q .
·
d u
2
8
=3
u 2 d u
5
− (52 + 2 · 5 + 3)3 = 516.915 reais.
Área Área com com Integr Integral al Definid Definidaa
Suponha que f é uma função não negativa definida no intervalo a ≤ x ≤ b . Então, Então, a região R limitada pelo gráfico de f , pelo eixo Ox e pelas retas x = a e x = b tem uma área de b
A(R ) =
f (x )d x . a
60
FTC EAD
|
y f (a) y = f (x ) f (b )
R a
x
b
Exemplo 4.17. Encontre a área da região limitada pela reta
y = 2x , o eixo-x e a
reta vertical vertical x = 2. y
4 2
Solução: A área A(R ) =
2x d x = x 2
0
o esboço gráfico.
2 0
= 22
− 02 = 4. Observe 2 x
Exemplo 4.18. Encontre a área da região limitada pela curva
y =
−x 2 + 4x − 3 e pelo eixo-x . y
Solução:
Fazen azendo do o esbo esboço ço gráfi gráfico co (vej (vejaa figur figuraa ao lado lado), ),
vemos que a área é
−
x 3
4x 2 + 3 2
= 1
3
− 3x
3
A(R )
= 1
−x 2 + 4x − 3
−9 + 18 − 9 − − 13 + 2 − 3
=
d x
=
1
x
3
4 . 3
y y = x
Exemplo 4.19. Encontre Encontre a área da região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva y = (eixo x ) e x = 2 .
1 x
e é limitada por esta curva e pelas retas y = x , y = 0 y = R 1
R 2
1
2
1 x
x
Solução: Calculemos as áreas da regiões R 1 e R 2 . 1
A(R 1 ) =
2
A(R 2 ) = 1
Portanto, A(R ) = A(R 1 ) + A(R 2 ) =
x d x = 0
x 2
2
1
= 0
1 . 2
d x = ln(x ) x
1 + ln(2) 2
|21 = ln(2) − ln(1) = ln(2)
≈ 1,19. Fundamentos da Matemática
61
4.5.3 4.5.3
Área Área entr entree Dua Duass Curvas Curvas y
Sejam f (x ) e g (x ) funções definidas no intervalo a ≤ x ≤ b , com f (x ) ≥ g (x ). Se R é a região limitada limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e x = b , então b
A(R ) =
b
f (x )d x a
R
b
g (x )d x =
−
f (x )
a
(f (x ) a
− g (x )) d x .
g (x ) a
Encontre a área da região região R limitada pelas curvas y = Exemplo 4.20. Encontre
x 2 + 1
x = 2.
x
b
e y = 2x − 2 entre x = −1 e y
Solução:
2
A(R )
=
(x 2 + 1)
−1
2
2
x −1
− 2x + 3
d x =
x 3
3
2
− x
2
+ 3x
EP 4. 4.6 6.
= −1
27 =9 3
4.5.4 4.5.4
− (2x − 2) 14 3
d x
− − 133
= =
−1
2
x
−2
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os 5
Calcule
(2x + 3)d x 2
EP 4. 4.7 7.
eixo-x .
Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções f (x ) = x 2 − 4x + 4 , g (x ) = x e pelo
4.6 4.6 Aplic Aplicaçõe ações: s: O Excede Excedente nte do do Consum Consumid ido or e do Produto Produtorr 4.6.1 4.6.1
Lucro Lucro Líquido Líquido Excede Excedente nte T
Suponha que daqui a t anos dois planos de investimento estarão gerando lucros às taxas T 1 (x ) e T (x ) u.m por ano, respectivamente, e que nos próximos N anos a taxa T 2 será maior que a taxa T 1 , como mostra a figura abaixo. N
O Lucro líquido excedente é 0
[T 2 (x )
− T 1(x )]d x .
Graf(T 2 ) Lucro líquido excedente
Graf(T 1 ) N
62
FTC EAD
|
t
Exemplo 4.21. Suponha que daqui a t anos, um plano de investimento estará gerando lucro a uma taxa de 50 + t 2 u.m. por ano, enquanto um segundo plano estará gerando lucro a uma taxa de T 2 (t ) = 200+ 200+ 5t T 1 (t ) = 50
u.m. por ano. (a) Esboce os gráficos de T 1 e T 2 no mesmo plano. (b) Calcule o lucro líquido excedente. Solução: (a)
T 1 (t ) = T 2 (t )
−10 ou t = 15 ⇒ T 2(15) = 275.
⇒
50 + t 2 = 200 + 5t
⇒
t =
T
275
(b) O lucro líquido excedente é: 15
200 15
[T 2 (t ) 0
− T 1(t )])]d t
= = =
Graf(T 2 ) Lucro Líquido
− (50 + t 2)]d t 0 15 (150 + 5t − t 2 )d t 0 15 5 1 150t + t 2 − t 3 = 1.687, 1.687, 5 2 3 [(200 + 5t )
50
Graf(T 1 )
15
t
0
4.6.2 4.6.2
Excede Excedente nte do Consumi Consumido dorr p
Suponha que a função p = D (q ), representada no gráfico da figura I, descreva a demanda de uma mercadoria e que , no instante stante considerado considerado,, o preço dessa mercadoria mercadoria seja p 0, o que faz com que os consumidores a demandam numa quantidade q 0 . Note que p 0 não não é o preço preço máxi máximo mo que que os cons consum umid idor ores es estã estãoo disp dispos osto toss a pagar por essa mercadoria, pois, para preços um pouco maiores que p 0 , ainda há quantidades demandadas, embora menores que q 0 .
p = D (q )
p 0
q 0
q
Então, a economia do consumidor, pelo fato de o preço ser menor do que aquele que ainda pagaria pela mercadoria é representado pela diferença entre o preço que seria capaz de pagar por uma quantidade menor para não ficar sem a mercadoria e o preço que paga pela quantidade quantidade que compra. compra. Essa economia, economia, chamada Excedente do Consumidor é representada pela área assinalada no gráfico, ou seja, pela expressão: q 0
q 0
(D (q ) 0
− p 0) d q =
q 0
D (q )d q 0
−
q 0
p 0 d q = 0
D (q )d q 0
− p 0q 0
Exemplo 4.22. Determine se o excedente do consumidor de uma mercadoria cujo c ujo preço é 10 e cuja demanda é descrita pela função p = 40 − 2q : p
Solução:
p = 10
15
E C =
15
(40 0
40
1 5. Logo, ⇒ 10 = 40 − 2q ⇒ 2q = 30 ⇒ q = 15
− 2q − 10) d q =
(30 0
− 2q ) d q =
30q
− q 2
O resultado é a área da região hachurada na figura ao lado.
p = 40 15 0
− 2q
= 450 225 = $225.
−
10 15 20 q Fundamentos da Matemática
63
4.6.3 4.6.3
Excede Excedente nte do Produto Produtorr
Da mesma forma que acontece com o consumidor, o produtor também tem uma sobra quando é fixado um preço p 0 para a mercadoria que oferece. Se ao preço p 0 o produtor oferece uma quantidade q 0, a preços mais mais baixos ainda estaria interessado em oferecer uma quantidade, embora menor, dessa mercadoria. Nota 10. A diferença entre o preço ao qual o produtor oferece uma quantidade da mercadoria e aquele ao qual ainda estaria disposto a oferecê-la é também uma sobra ou uma renda econômica chamada Excedente do Produtor. p
Supondo que a função Oferta é dada por p = S (q ) e que o preço da mercadoria está fixado em p 0 , o excedente do produtor é representado pela área hachurada do gráfico da figura abaixo, ou seja, pela expressão: q 0
q 0
[p 0 0
− f (q )])] d q =
Exemplo 4.23. Seja
q 0
p 0 d q 0
p = 2q + 10
−
p 0
q 0
S (q )d q = p 0 q 0 0
−
S (q )d q . 0
q 0
q
a função oferta para uma mercadoria cujo preço atual é 50. Determine o
Excedente do Produtor. Solução: O excedente do produtor será calculado da seguinte forma: p = 50
p
50
⇒ 50 = 2q + 10 ⇒ 2q = 40 ⇒ q = 20.
Portanto, 20
E P =
20
[50 (2q +10)] +10)]d q =
−
0
(40 0
− 2q ) d q =
40q
− q 2
20 0
= 400 0 = $400.
−
A região assinalada no gráfico da figura ao lado, mostra a área que repre- 10 senta o Excedente do produtor .
q
20 p
Para treinar
20
+1 a função oferta para certo produto. Seja p = e q +1
(a) Observe o gráfico da função e assinale a área que representa o Exce- 2 0). dente do produtor quando o preço do produtor é 20 (use e 3 = 20 (b) Determine o Excedente do produtor para p = 20.
e
2
4.6.4 4.6.4 EP 4. 4.8 8.
Exercí Exercício cioss Propost Propostos os Quando uma companhia produz e vende x unidades por semana, o seu lucro total de
dólares, em que P =
200x . 100 + x 2
O nível de produção em t semanas contadas a partir do presente é x = 4 + 2t . (a) Encontre o lucro marginal 64
FTC EAD
q
|
d P , ou seja, derive P em a função de x . d x
P milhares de
(b) Encontre a taxa de variação do lucro variável t .
d P , d t
ou seja, substitua
x = 4 + 2t e
(c) Com que velocidade (em relação ao tempo) o lucro está variando quando
derive agora em função da
t = 1?
Substi Substitua tua t = 1 na
questão anterior. EP 4. 4.9 9.
Um fabricante de mountain bikes tem a seguinte função de custo marginal C ′ (x ) =
100 , 0, 1q + 5
em que q é a quantidade de bicicletas produzidas. (a) Se o custo fixo da produção de bicicletas é
$800, 00, R $800,
ache o custo total para produzir 50 bicicletas.
Considere ln(5) = 1,6 e ln(10) ln(10) = 2, 3. $100, 0, 00 cada, qual é o lucro (ou perda) sobre as 50 primeiras bicicle(b) Se as bicicletas forem vendidas a R $10
tas? (c) Determine, aproximadamente, o lucro marginal sobre a 51a bicicleta. EP 4. 4.10 10.
Estima-se que a receita anual (em milhões de unidades) de uma determinada empresa varia de
18.000x , em que x é medido em anos. Determine a receita ( x 2 200)2 adicional se a empresa aumentar a produção de 10 para 20 milhões de unidades.
acordo com a função receita marginal R ′ (x ) =
EP 4. 4.11 11.
− −
Sejam p = −2q + 7 e p = q 2 /2 + 1 as funções demanda e oferta para determinado produto.
(a) Esboce os gráficos das funções e determine o ponto de equilíbrio; (b) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é o de equilíbrio; (c) Determine o Excedente do Produtor para p = 20 EP 4. 4.12 12.
Seja p = −q 2 − 2q + 24 a função demanda para certo produto.
(a) Faça gráfico da função e assinale a área que representa o Excedente do consumidor quando o preço do produto é 9. (b) Determine o excedente do consumidor para p = 9. (c) Determine o excedente do consumidor para p = 16 . EP 4. 4.13 13.
Após um período de testes, testes, um fabricante fabricante determina que se x unidades de um certo produto são
produzidos por semana, o custo marginal
−10 − 2x 2 , em que C (x ) é o custo total de produção de x x 9 unidades. Se o preço de venda do produto é dado por p = − x reais e o custo fixo é R $10,00 $ 10,00 por semana, 3 2 C ′ (x ) =
ou seja C (0) = 10, ache, aproximadamente, o lucro total máximo que pode ser obtido por semana.
Gabarito .
4.1
15 3 [ln(x )] )]6 1 4.3. 4.4. (a) 4x 2 + 2 x − 2 + C ; (b) 3 3 4x 2 + 3 x − 2 + C ; (c) + C . [2x − 3 + 3ln |2x − 3|] + C . 2 6 4 · (3x + 10) + C ; (b) −x + x ln |x | + C 4.5. (a) 36; (b) 10; (c) 2; (d) 12 . 4.6. 30. 4.7. 56 u.a 4.8. 4.9. (a) R $1502,58 $1502,58; (b)
. (a)
4.2
3 10 (x + 5) 2 3 R $3497,42 $3497,42; (c) R $83,33 $ 83,33.
. 15
4.10
. (a) O ponto de equilíbrio (2, (2, 3) (b) 4
4.11
4.12
.
4.13
. R $ − 1,33. (menor prejuízo) prejuízo)
Fundamentos da Matemática
65
ReferênciasBibliográficas [1] TAN, S. T.; T.; Matemática Aplicada à Administração e Economia. Economia. São Paulo: Pioneira, 2001. [2] MEDEIROS, Sebastião; et. al.; Matemática para Economia, Administração e Ciências Contábeis. Contábeis. São Paulo: Atlas, [3] HOFFMAN, HOFFMAN, Laurence D. D. & BRADLEY, BRADLEY, Gerald L.; Cálculo: um Curso Moderno e suas Aplicações. Aplicações. 7a edição. Campinas: LTC, 2002. [4] ANTON, Howard; Cálculo: Um Novo Horizonte VOL. 1. 1. 6 a edição. Porto Alegre: Bookman, 2000. [5] PATTERSON, D. A.; Microproc Microprocessor essorss in 2020. 2020. Scientific American, 273(3):48-51, September 1995. 150th Anniversary Issue. [6] CHAN, V. V. W. W. S.; All-optical All-optical networks networks.. a edição. Scientific American, 273(3):56-59, September 1995. 150th Anniversary Issue.
66
FTC EAD
|
FTC-EAD Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância Democratizando a educação. www.ead.ftc.br
