CAPÍTULO N° 1 NÚMEROS REALES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54) NIVEL I Resolución 1 8 Vemos que: * = 1, 6 5 3 * 11 = 0, 27 (Periódico puro) 1 * 2 = 0, 5 1 0 , 3 (Periódico puro) = * 3 8 0 , 53 = (Periódico mixto) * 15
∴
VVV
(V)
Rpta.: C
Resolución 7 Sea 4 x − 7 = 13 Por propiedad: propie dad: Si a = b
Rpta.: E
x=−
Resolución 3 Rpta.: B
Resolución 4
∴
∨
a = −b
7
Hay 2 números irracionales Rpta.: B
∨
3 2
Rpta.: D
Resolución 8 A) − 3 =
Son irracionales: π y
a=b
Tenemos que:
∴ Denso
Rpta.: C
4x − 7 = −13 4x = −13 + 7 4x = −6 3 x=− ∨ x=5 2 Luego, tomamos el valor negativo de “x”
(V) (V)
B − A = 3; 8
4x − 7 = 13 4x =13 + 7 4x = 20
Resolución 2
⊂ IR IN ⊂ Q ∪ II =
∴
3
(verdadero)
B) −4 2 = 4 2
(verdadero)
C) x = x , si si x > 0
(verdadero)
D) 6 + −6 = 0
(falso)
Porque: 6 + 6 ≠ 0
Resolución 5
526 − 52 90 474 79 = = 90 15
5, 26 2666. .. . = 5, 26 26 =
4 = 5 15
Resolución 6 Si A = −∞; 3 ; B = −2; 8 Graficamos los intervalos.
Rpta.: A
E) x = − x , si x < 0 (ver (verda dade dero ro)) Resolución 9
1 1 1 = 141 2 : 14 2 7 2 7 2 1
= 1× 7 2 = 1 1× 14 2 2 2
= 0,50
Rpta.: B
Rpta.: D
Resolución 10
Resolución 15
a5·a2 = a10 ........... es falso
I.
ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a 10 3 27
II.
a
=a
27 3
= a9 ≠ a3
= 7
NIVEL II
0, 9 = 0, 3 ........ es falso
Resolución 1
9 3 ≠ 0, 3 ya que: 0, 9 = 10 = 10
FFVF
Rpta.: D
Resolución 11
I. II. III.
3, 15 > 3, 2 −5, 7268 < −5, 7271 3,1416 es irracional
es falso es falso es falso
∴
Relación correcta: F F F
Rpta.: E
Resolución 2
+ 5 −243 = 3 b −5 g + b −3g = 3 −8
= −2
Por dato: −2r > 7
Rpta.: B
7 2 r < −3,5 r: −4; −5; ......... r<−
Resolución 12 A = 3 16 3 64 = 3 16 · 4 = 4
A=4
B = 6 36 = 6 · 6 = 6
B=6
∴
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
∴
7 1 2 7
Rpta.: D
2
ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21
3 3 −125
14 7
=
= 7· 1 = 7 × 7 = 7 7 2 7 2 7 7 2· 7
III. b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero
∴
2
3 ........ es falso
ya que: 3 a 27 = a
IV.
1
7 2 7 = 2 14 2
(A + B)2 = 100
Rpta.: C
Rpta.: B
rmax = −4
Resolución 3 Graficamos los intervalos dados:
Resolución 13 3 12 − 3 80 + 4 45 − 2 27 3 4 · 3 − 3 16 · 5 + 4 9 · 5 − 2 9 · 3 3 4 · 3 − 3 16 · 5 + 4 9 · 5 − 2 9 · 3
Luego: A ∩ B = −2; 3 C = −∞; 3
3 · 2 3 − 3 · 4 5 + 4 · 3 5 − 2· 3 3 6 3 − 12 5 + 12 5 − 6 3 = 0
Rpta.: E
b A ∩ Bg − C =
={3}
Resolución 14 L=
50 + 2 = 25 · 2 + 2 18 − 2 9· 2 − 2
L=
25 · 2 + 2 9· 2− 2 2
5 2+ 2 6 2 L= = =3 3 2− 2 2 2 1
∴
L=3
−2; 3 − −∞; 3
Rpta.: C
Rpta.: D
Resolución 4 Reemplazamos con los valores aproximados al centésimo, obtenemos:
eπ +
10 j: e 13 − 10 j
(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16) 6,30 : 0,45 = 14,00
Rpta.: C
Resolución 5 I. II.
Resolución 8
π ∈IR ....................... (V)
F 4 1 − 2−2 − 2−3 I −1 / 3 = F 1 − 1 − 1 I −1 / 3 GH 2 22 23 J K GH 16 J K
−52 ∈IN ................... (F) ya que: −52 = −25 ∉IN
III.
( ∪ ) ∩ =
= F GH − −
1 1 1 I J 2 4 8 K
∩ = . .............. (V) IV.
∴
−49 ∈IR ................. (F) Relación correcta es: V F V F
1 I −1 / 3 H 8 J K
Rpta.: D
1 3
= 8 = 2 Rpta.: B
1− 2 + 2 − 3 ........ (I)
∧
2 −3 <0
Resolución 9 *
Tenemos que:
A = 12 + 75 − 48 A = 4 · 3 + 25 · 3 − 16 · 3
1− 2 = − e1 − 2 j
A = 4 · 3 + 25 · 3 − 16 · 3
1− 2 = 2 − 1
A = 2 3 + 5 3 −4 3 = 3 3
2 − 3 = −e 2 − 3 j
*
2 −3 = 3− 2
e
1− 2 + 2 − 3 = 2
B = 3 16 + 3 128 − 3 54
B = 23 2 + 4 3 2 − 3 3 2 = 3 3 2
2 − 1j + e 3 − 2 j
2 − 1+ 3 − 2 = 2
A = 27
B = 3 8 · 2 + 3 64 · 2 − 3 27 · 2
Reemplazando en (I) tenemos que:
∴
B = 3 54
Luego: Rpta.: B
A 2 + B3 =
Resolución 7
∴
2 7 x − 1 = 26 7 x − 1 = 13
∴
7x − 1 = 13
∨
x=2
∨
Solución mayor = 2
e
2
27 j + e 3 54 j
3
= 27 + 54 = 81
2 7 x − 1 − −26 = 0
1 3
= F G
Resolución 6
como: 1− 2 < 0
−
7x − 1 = −13 12 x=− 7 Rpta.: E
A 2 + B3 = 9
Rpta.: B
Resolución 10 −1 / 3 3 / 4 R U 81 | | A = S 2 / 5 V T| 32 − 271/ 3 W|
R| 4 813 U|−1 / 3 A=S V 2 T| 5 32 − 3 27 W| R 33 U|−1 / 3 |T 22 − 3 V|W
A = |S
Resolución 12
27 U−1 / 3 = 27−1 / 3 V T4− 3W
A = RS
1/ 3
1 27
A =
A=
∴
=
e 8 6 36 j · e 3 9 729 j = 8 3 6 · 39 36 6 3 16
1 3
6 · 23 2
= 2 3 3 · 3 32
1 3
= 2 3 3 · 32
Rpta.: C
=2·3 = 6 Rpta.: D Resolución 11
Resolución 13
Racionalizamos cada sumando:
L = n 7n− 4 · n 49n+ 2 1 5+ 3
5− 3 = 5− 3
×
=
=
1 5+ 3
5− 3 5 + 3 je 5 − 3 j
e
n +2
5− 3
F H
2
5 − 3
L = n 7n− 4 · 49n+ 2
2
L = n 7n− 4 · e 72 j
I K
L = n 7n− 4 · 72n+ 4 L = n 7n− 4 + 2n+ 4
= 5− 3
1 3 −1 × = 3 +1 3 −1
2
e
L = n 73n = 73
3 −1 3 + 1je 3 − 1j
∴
Resolución =
3 −1 2 3 − 12
E=
1 3 −1 = 2 3 +1 1 4+2 5 4– +2 5 × – = 4 +− 2 5 4 –+ 2 5 e 4 + − 2 5 je 4 –+ 2 5 j
=
=
6
14
9·49·39 20 9 · 5 9
Hallamos el M.C.M de los índices de las raíces: m.c.m (6; 4; 3; 20; 5) = 60 Luego:
2 e2 –+ 5 j 42 − e 2 5 j
Rpta.: E
L = 343
E = 60
2
2e 2 – + 5j
E=
910 · 915 · 9 20 93 · 912
60 10
9 ·9
20
=
2 60 30 1
9
−4
= 9 =3
1 = − 2 –+ 5 2 4−2 5
∴
E=3
Rpta.: B
Luego, efectuando tenemos que: 1 5 + 3
+
Resolución 15
1 1 − 3 +1 4 + 2 5
Reducimos “A”, obteniendo:
A= 3 x ·34 x ·5 4 x ·6 5 x
− F + I 5− 3 + 3 1 − G − 2 – 5 J 2 2 H 2 K
A = 3·2 x · 3·4 x · 5·4 x · 6·5 x
A = 6 x · 12 x · 20 x · 30 x
5 − 3 + 3 − 1+ 2 +– 5 = 1 2 2
m.c.m (6; 12; 20 y 30) = 60 Rpta.: A
A = 60 x10 · x 5 · x 3 · x 2
3
A=
60 10 + 5+ 3 + 2
x
=
60
20
x
1
e2 − = e2 +
2− 3 2+ 3
A=3x
3 je 2 − 3 j 3 je 2 − 3 j
Ahora reducimos “x”, obteniendo: x = 4 23 2 3 64
3j
e2 − =
3j
22 − 3
2 2
4−3
x = 4 23 2 · 4 = 4 2 · 3 8
2− 3 2+ 3
x = 4 2· 2 = 4 4
x = 4·2 →
2
e2 − =
x=8
e2 − =
2
3j 1
Reemplazamos en:
Luego: 2+ 3 2− 3
A=3x =38
∴
A=2
Rpta.: B
e2 + 3 j
Resolución 16 A = e 3 343 − 3 −125 j
y B = 3 4 236
A = b 7 + 5g 2
y B = 3 29
A = 144
y
e2 +
∴
+
2− 3 2+ 3
e 2− 3 j
2
1
3 j + e2 − 3 j
Rpta.: E
2+ 3 +2− 3 = 4
B=8
Resolución 18
Luego: 2A = B
2
1 2
+
Hallamos “A”
F 18 I H K =
2G 144 J
8
A = 2 − 5 = −e 2 − 5 j ; ya que: 2 − 5 < 0
2 · 18 = 36
1
2A =6 B
A = 5 −2
Hallamos “B” B = 3 − 5 = 3 − 5 ; ya que: 3 − 5 > 0
Rpta.: A
B = 3− 5
Luego:
b A + B g7 = e
Resolución 17 Racionalizamos cada sumando: 2
2 + 3 e 2 + 3 je 2 + 3 j e 2 + 3 j = = 2 − 3 e2 − 3 je 2 + 3 j 22 − 3 2
e2 + =
3j
4−3
2
2 + 3 e2 + 3 j = 1 2− 3
2
∴
b A + B g7 = 1
7
5 − 2 + 3 − 5 j =1 7
Rpta.: A
Resolución 19
3+2 2 +
e1−
2j
2
1+ 2 + 2 2 + 1 − 2 2
12 + 2 + 2 · 2 · 1 + e 2 − 1j
e
2
2 + 1j + 2 − 1
2 + 1+ 2 − 1 = 2 2 Rpta.: C
Resolución 20 Racionalizando cada sumando:
1
* 2− 3
=
∴
1· e 2 + 3 j
= 2 + 32 e 2 − 3 je2 + 3 j 22 − 3 =
1 2− 3
6
2+ 3 4−3
6
22e5 − 3 j
3
= * 5+ 3 = e 5 + 3 je5 − 3 j 52 − 3 2
=
22e5 − 3 j 25 − 3 22e5 − 3 j 22
22
= 5− 3 5+ 3 Reemplazando en: 1 2− 3
+
5 e 5 − 1j −5 A= 5 + 5 e 5 + 1je 5 − 1j 4 5 5− 5 5 + 2 − A= 2 5 5 −1 4
A=
2 + 1 · 3 1− 2
e1+
2 je1− 2 j 2
3 2 1 −
2 = 3 −1 = −1
5 5− 5 5 + − 5 4 4
Rpta.: E
Resolución 23
F 3 27 − e3−1j−1 I 2 G J GG 5 32 + 20,5 J J H K
−1
F 3 − 3(−1)×(−1) I 2 =G J H 2 + 2 K 1 2
F I = G 3 − 3 J H 2 + 2 K =0
−1
1 / 2 F 0 I =G H 2 + 2 J K
Rpta.: E
Resolución 24 Reducimos “E” x5 x x
E=3
1 + 1 −5 5 5 +1 4 5
5 + 5 −5 A= 5 5 +1 4
A=
2
2 + 1j · 3 1− 2
5+ 3
Resolución 21 1 + 11 − 5 A= 4 5 1+ 5
A=
e
22
2 + 3 + 5 − 3 = 7 Rpta.: B
A=
2 2 + 3 · 3 1− 2
3
=
Rpta.: E
20
Resolución 22
= 2+ 3 22 · e5 − 3 j
22
− 5
A=
x = x x = x x x· x
;
1
1
x=
60 27
3
E = 3 x · 5 x = x2 · x 5
E=
7 30 x ; para: 7 60 30 27
F GH
E=G
E = 22
I J J K
=
→
3
7
E = x 10
2 60 7 × 7 30 1 2
E=4
Rpta.: A
Resolución 25
4 5 + 5 e5 − 5 j − 5 · 5
Expresamos las fracciones en decimales 7 = 0, 35 y comparamos con: 20
20
A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2
4 5 + 25 − 5 5 − 25 − 5 = 20 20
→
29 60
→
11 30
→
3 20
→
3 10
1 5
→
∴
Está más cerca:
11 30
Rpta.: B
E=
10 · 9
5
9 4
1
10 3 ·
=
9
2
26
∴
f = 1,09 × 0,53 : 0,36
f=
109 − 1 53 36 × : 99 99 99
f=
108 × 53 99 × 36
3
=
159 99
5 3
E=
= 1, 60
A
=
4
f = 1,60
Rpta.: C
A=
∴
=
e 2j
14 3
e 2j
1 25
2
1 3
7 3
=
2
=42
F H
Rpta.: C
Resolución
A
Rpta.: D
Resolución
1 2 3 4 24 · · · · ... · 2 3 4 3 25
S
2 3
27
F 1 I F 1 I F 1 I F 1 I F 1 I J S = G 1− J G 1− J G 1 − J G 1 − J ... G 1− H 2 K H 3 K H 4 K H 5 K H 25 K
∴
30
2
Resolución
S=
Rpta.: A
Resolución
1
∴
5 3
1
3
Resolución
=
31
3 ·7
7
5 · 14 2
I 7 K
e 2 × 7 3 · 7 × 2 5 · 14 2 j
7
7
e14 3 · 14 5 · 14 2 j
28
Graficamos los intervalos:
7
7
(14 3 · 5 · 2 ) = (14 30 ) 1
7 14 2
= 30
= 301 / 2 =
Del gráfico vemos que: A ∩ B = 2; 6
Resolución
Por datos: A ∩ B =
a ; 3b 2
a 2
a=4
6 = 3b
b=2
Por comparación: 2 =
∴
a+b=4+2=6
Resolución
b g
E = 0, 9
−1
·
F GH F M=G H M=
Rpta.: D
M=
2
−
2
−
F 2 GH
2
4
M=
F G 2 + 1 I J 0,2 H 4 K
I F J G 2 K H 2 I F 2 J K GH 1
2− 2 2
5
−
5
−
I F 5 J K GH
I F 10 − J G 5 K H 5 I F 10 − 5 J K GH 1
5− 5 5
I F 10 J K GH
2
−1 9 I F F 1 I 9 E = G J · 9 G 2 + J H 10 K H 4 K
2 4 5 9 10 · · 5 10 2 1
M=
M=
5
2 · 5 · 9 10 25 9 100 25
=
2
=
9 × 10
25
=
9 2 × 5 × 10 25 18 5
5
∴
M = 3,6
Rpta.: D
32
1 2
29 4 9
30
Rpta.: C
I J 10 K 10 I 10 J K 1
10 − 10 10
I J K
Resolución 33 Hallamos: 2 − 3 x 2 − 3x = 5 −3 = 3x x = −1
Resolución 34 = −5 =
Resolviendo, tenemos que:
5
2 − 3x = −5 7 = 3x 7 x= 3
∨
∨
x +1 = 3 x −1 x + 1 = 3 e x − 1j
Luego: 7 Σ de soluciones = b −1g + 3 ∴
Σ
de soluciones = 1, 3
=
x + 1= 3 x − 3
4 3
4=2 x x
Rpta.: D
=
2
→
x=4
Luego: M = x + x2 M = 4 + 42 = 4 +16 ∴
M = 20
Rpta.: B
CAPÍTULO N° 2 RELACIONES Y FUNCIONES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92) NIVEL I
Resolución 4
Resolución 1 A = {−2 ; 3}
M = l0; 2; 4q Luego: M2 = M × M
∧ B = {1; 2}
A × B = mb −2; 1g; b −2; 2 g; b 3; 1g;b 3; 2g r
Rpta.: D
Resolución 2 40;
− 3) = (
) .......... (V)
(
II.
(17;161/ 2 ) = ( 50 ; 3 64 ) ....... (V)
III.
(3; −2) = (−2; 3) .................. (F)
∴
∧
M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)} Rpta.: C
Resolución 5
1; 3 − 27
I.
3 ≠ −2
−2 ≠ 3
La relación correcta es VVF
Resolución 3
Rpta.: B
G = {x∈ / −6 < x < 2} G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1} n° elementos de G: n(G) = 7 H = {x ∈ / −5 < x < 0} H = {−4; −3; −2; −1} n° de elementos de H: n(H) = 4 n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4 ∴
n(G × H) = 28
Rpta.: C
Se debe cumplir: (a + 3; 7) = (8; b)
Resolución 6
a+3=8 → a=5 7=b Luego: a + b = 5 + 7 ∴ a + b = 12 Rpta.: A
A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7} A ∩ B = {6} Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7} ∴ (A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)}
Rpta.: E
b − 7 = 9 b = 16 Luego, hallamos:
Resolución 7
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} B = {3; 4; 5; 6} x R = RSb x; y g ∈ A × B / Y = UV 2W T
∴
R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)} Rpta.: C
Resolución
T
f(x) = 3x2 − 4x + 5 f(2) = 3(2) 2 − 4(2) + 5 f(2) = 9 Si g(x) = 5 − 2x2 g(−3) = 5 − 2( −3)2 g(−3) = −13 Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13) Si
xU V 2W
R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)} Rpta.: A
Resolución
9
R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3}
∴
R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)} Luego: Dom R = {−3; −1; 1}
Ran R = { −3; 1; 5}
Rpta.: C
x ∈ [ 1; 8 ]
f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31 Rpta.: A
Resolución 11 Analizamos cada alternativa: f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función
B)
f2 = {(−2; 3);(5; 7)}
f(x)∈ [f(1); f(8)]
∴
Rango = [10; 31]
Rpta.: D
Resolución 15
sí es función
C) f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función D) f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es función de B en A f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función Rpta.: D Resolución 12
Límite superior Límite inferior
Luego: f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10
Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}
A)
Rpta.: D
Sea f(x) = 3x + 7
Recuerde que para que sea una función, la primera componente de cada par ordenado, debe tener una sola imagen.
E)
f(2) + g(−3)= −4
Resolución 14
Resolución 10
∴
Rpta.: A
a+b = 5
Resolución 13
8
R = RSb x; y g ∈ S × T / y =
a + b = 9 + 16 = 25 = 5
Analizamos las altenativas y podemos observar que (2; 9) no pertenece a la gráfica: 2 y = x2 3 Reemplazamos las coordenadas en la gráfica: 2 2 Y = x 2 9 = b 2g 2 3 3 8 9 = es falso Rpta.: E 3
Nos dicen que: {(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}
Resolución 16
Es una función, entonces se debe cumplir que:
R = {(x; y)/ x + y es par }
* (−5; a + 1) = (−5; 10) a + 1 = 10 a=9 * (−2; b − 7) = (−2; 9)
∴
R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5); (7; 7);(4; 4);(6; 6)} n° de elementos de R = 8
Rpta.: B
Resolución 17
Resolución 22
R = {(x; y) / x > y + 1} R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}
Se tiene: A = {2; 3; 4} Analizaremos cada alternativa: A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)} No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3) B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)} Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A (3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A (4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A ∴ Sí es refelexiva Además: C; D y E no son reflexivas
Luego: Dom R = {6; 7; 8} Ran R = {4; 5; 6}
Rpta.: D
Resolución 18 Analizando las altenativas, vemos que no cumple: {(2; 6);(1; 5)} ya que: 1∉ A
Rpta.: C
Resolución 19
Resolución 23 Tenemos que: R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z); (Santiago; Y);(Chile; Santiago)} Recuerde que una relación R será simétrica cuando: (a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈R Luego: • (Lima; Perú) ∈R ∴ x = Lima (Perú; Lima) ∈R • (Caracas; Z) ∈R (Z; Caracas)∈R Z = Caracas ∴ • (Chile; Santiago)∈R ∴ Y = Chile (Santiago; Chile) ∈R
Tenemos que:
∴
Son refelexivas: R1 y R3
Rpta.: D
Se tiene que:
A = {Lima; Chile; Caracas}
Resolución 24
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)} Rpta.: E
Resolución 21 Recuerde: (a; b) = (m; n) ⇔ a = m ∧ b = n
F 3 y − 2 I Luego: b 2 x + 1; 5g = GH 7; 2 J K
∴
Luego: A= {x; y; Z}
Resolución 20
Rpta.: B
2x + 1 = 7
∧
x=3
∧
5=
x + y = 3 +4 = 7
3y − 2 2
y=4 Rpta.: C
Recuerde: R1 será simétrica Si ∀ (a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈R Analizando cada alternativa: A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1) (1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R ∴ No es simétrica. B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)} (3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R ∴ No es simétrica. C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)} (1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R ∴ No es simétrica. D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)} (1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R ∴ Sí es simétrica E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)} (1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R
∴
No es simétrica
Rpta.: D
Rpta.: A
Resolución 25
NIVEL II
Resolución 1
Se tiene: R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)} Definida en: A = {2; 3; 5; 7} Cumple:
Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}
R1 ={(a; b)/a + 2 = b} R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)} Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4
*
R2 = {(a; b)/a+3=b}
*
Rpta.: C
Resolución 26 A = {2; 3; 4} En “A” se define la siguiente relación: R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)} y es reflexica (2; a) = (2; 2) → a = 2 (b; 4) = (4; 4) → b = 4 (3; c) = (3; 3) → c = 3 Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3 ∴
a+b+c=9
Rpta.: D
Resolución 27 Hallamos los elementos del conjunto A A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4) Dom R = {4; 6; 8} Ran R = {2; 3; 4}
Rpta.: D
Analizamos cada relación: R1 ={(x; y) / x es hermano de y} * Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1 (x; z) ∈ R (sí cumple) 1 ∴ R1 es transitiva. R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y} * Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2 (x; y)∈ R2 (sí cumple) ∴ R2 es transitiva.
Resolución 2 Hallamos los elementos de “A” A={5; 7; 9; 11} Se tiene además que: R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)} Es reflexiva y simétrica. (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ R Luego, se debe cumplir que: c + b − 1= 11 c + b = 12 7 5 Además como: (a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R
∴
(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) ∈ R a =9 ; b= 5 ; c = 7 a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A
Se tiene: A = {2; 3; 4; 7} como: R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)} Es reflexiva (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R
c=7
Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R
b=2
a=3
∧
a + b + c = 12 Luego, la relación quedaría así: R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)} ∴
R3 = {(x; y)/ x es padre de y} * Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3 pero: (x; z)∉ R3 (No cumple) ∴ R3 no es transitiva. Son transitivas: R1 y R2
Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7
Resolución 3
Resolución 28
∴
R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)} Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3
Rpta.: D
como: (2; 3) ∈ R
(3; 3) ∈ R
(2; 3) ∈ R
como: (2; 4) ∈R
∧
∧
(4; 4) ∈R
(2; 4) ∈ R
Rpta.: C
∴
Es transitiva
Tenemos que: (2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R
Rpta.: A
Resolución 4
y {2; 3; 4; 5} ∈A
Se tiene: A ={4; 5; 8; 9} R = {(x; y)/x + y, es número par}
∴
∴
Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R
R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5); (5; 9);(9; 5);(9; 9)} n(R) = 8
R es reflexiva.
(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R
∴
Rpta.: B
R es transitiva
Resolución 5
Resolución 9
I.
Se tiene: M = {8; 9; 10} Además:
Una relación R definida en el conjunto A es simétrica si(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verdadero) II. Toda relación de equivalencia es una relación simétrica ........... (Verdadero) III. n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero) IV. Toda función es una relación ........... ....................................... (Verdadero)
∴
Relación correcta: VVVV
Rpta.: B
R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)} es reflexiva. Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R c + 5 = 10 U V c=5 2c = 10 W Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R
Resolución 6
Rpta.: E
a=8
Como: (b + 5; 9) ∧(9; 9)∈R b+5=9 → b=4
n° de relaciones = 2 2 × 2 = 24 = 16
∴
a + b – c = 8 + 4 − 5 = 7
Rpta.: C
Rpta.: E Resolución 7 I. II.
III.
Si R es una relación de equivalencia, entonces R es simétrica ... (Verdadero) Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relaciones diferentes ... (Verdadero) ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512 Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a; c);(b; d);(c; a);(a; a)} Entonces R es transitiva ........ (Falso) Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R (a; a) ∈ R cumple.
(4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R c+1=4 → c=3 Luego, la relación quedaría así: R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)}
Luego: (c; a) ∧ (a; c)∈R Pero (c; c) ∉ R ∴ No es transitiva Relación correcta: VVF
Resolución 10 Como: R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)} es simétrica. (2; 3) ∧ (3; b) ∈R ∴ b=2
∴
(9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R a+2=9 → a=7 a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12
Rpta.: C
Rpta.: C Resolución 11
Resolución 8 Del gráfico:
Como: R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6); (e; e + 2);(6; 4);(d; 5)} es de equivalencia. Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R
(6; 5)∈R
Por deducción: (d; 5) = (6; 5) d=6 Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R (4; 6)∈R
Resolución
15
S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈
}
S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)} S = {−9 ; –12}
Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6) e=4
S2 = {( −9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}
Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R (5; 5)∈R
Resolución
Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5
Hallamos los elementos de cada conjunto:
Rpta.: B
(b; b) = (6; 6) b = 6 Luego, la relación quedaría así: R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)} Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)
∴
A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈
B
Resolución
Rpta.: B
2
− 2;
−3 ; 2
− 1;
−1 ; 0 2
17
T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x
∈
}
T = {−10; −8; −2; 8}
/ −2 ≤ x < 2}
Ahora se sabe que:
M = {−2; −1; 0; 1}
R = {(x; y)∈ T × IN / y = 4 − 2x}
N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN }
Hallamos los elementos de la relación R:
N = {13; 16}
R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}
Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13);
∴
(−1; 16);(0; 13);(0; 16); (1; 13);(1; 16)}
Resolución
−5 ;
Hallamos los elementos de “T” :
Resolución 13
(−2; 5) ∉ M × N
2
− 3;
Rpta.: D
13 = 1 + 4(3) = 13 26 = 2 + 4(6) = 26 39 = 3 + 4(9) = 39
∴
−7 ;
RSb x; y g ∈ A × B / y = x + 5 UV 2 W T R F −3 I J ; b −5; 0 gUV R = Sb −11; − 3 g; G −8; H 2 K T W
R = ob a; b g / ab = a + 4bt
B = −4;
R=
Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)} Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B”
T
UV W
x−2 / −6 ≤ x < 3; x ∈ 2
Hallamos los elememtos de R:
Resolución 12
M = {x∈
}
A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}
= RS
c=4
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4 Rpta.: E a + b + c + d + e = 25
16
Dom R = {−2; −8; −10}
Resolución
Rpta.: B
Rpta.: E
18
Hallamos los elementos de “J” : J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈
14
}
J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}
Analizamos cada alternativa:
Ahora, se sabe que:
→ tiene 6 elementos B) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos C) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementos
R = {(x; y)∈ J ×
A) {1; 3} × {2; 3; 7}
/ y = 30 − 3x}
Hallamos los elementos de la relación R. R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);
D) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}
(9; 3);(10; 0)}
→ tiene 24 elementos E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos
∴
Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75} Rpta.: A
Rpta.: D
Resolución 19 Por dato: {(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función (a; 3b) = (a; a + b) → 3b = a + b Luego: (a; 3b) = (2b; 3b)
(2b; 3b) = (2b; 12) → 3b = 12
2b = a Rpta.: B b=4 a=8
Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4
∴
a − b = 4
Rpta.: C
Resolución 20 Hallamos los elementos de los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7} B = {0; 1; 2}
Resolución 23 Los valores del rango están expresados por los valores que toma “y” 1 Tenemos que: h( x ) = x − 4 ; x ∈ −3; 6 3 1 y = x−4 ∧ −3 < x ≤ 6 3 Damos forma conveniente a: −3 < x ≤ 6 −3 < x ≤ 6 3
3 3 −1 < x ≤ 2 (Restamos: 4) 3
Notamos que: {(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B.
−1− 4 < x − 4 ≤ 2 − 4
Rpta.: C
Ya que: 9 ∉ A
3
Resolución 21
−5 < y ≤ −2
Sabemos que: f(x) = 4x − 1 g(x)= 2x + 13
∴
Rango = −5; −2
Rpta.: E
Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13
Luego:
∴
Resolución 24
g(−7) = −1 f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5 Rpta.: E
f(g(−7)) = −5
Resolución 22 Para graficar: y = 2x + 1 Hacemos: x = 0
y = 2(0) + 1 y=1
Obteniendo la coordenada: (0; 1) Hacemos: y = 0
0 = 2x + 1 −1 x= 2
Obteniendo la coordenada:
F G −1; 0I J H 2 K
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
La ecuación de la parábola es de la forma: (x − h)2 = 4p(y − k) ... (α) Donde: vértice = (h; k) Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1 Para hallar el vértice damos la forma de (α), completando cuadrados: y = 2x2 + 4x − 1 y = 2(x2 + 2x) −1 y = 2[(x + 1)2 − 1] −1 y + 1= 2(x + 1) 2 − 2 y + 3 = 2(x + 1)2 1 (x + 1)2 = (y + 3) 2 1 (x − (−1))2 = (y − (−3)) 2 (x − h)2 = 4p(y − k) Donde: h = −1 ∧ k = −3 Rpta.: A ∴ Vértice = (−1; −3)
Resolución 25 Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola) Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba Las alternativas descartadas. Completamos cuadrados para hallar el vértice. y = 3x2 − 12x + 20 y = 3(x2 − 4x) + 20 y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4] y − 20 = 3(x − 2)2 − 12 y − 8 = 3(x − 2)2 1 (x − 2)2 = (y − 8) 3
De la gráfica, vemos que: f(0) = −9 f(–1)= −5 f(−2) = −9 Luego: k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9) ∴ k = −23 Rpta.: C
(x − h)2 = 4p(y − k) Donde: h = 2 ∧ k = 8 Vértice = (2; 8) Luego, la gráfica es:
Resolución 28 Sea: f(x) = 4x2 − 2x + 3 f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3 f(−2) = 23 Sea: g(x) = x2 − 3
gb 4 g = 42 − 3 = 16 − 3
Resolución 26
Como: f(x) = 3x2 − 1
gb 4 g = 13
Reemplazamos los valores hallados en:
Rpta.: C
Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1
f(2) =
f(5) = 74 3(2)2 − 1
= 3(4) -1
2
f e 6 j = 17
Reemplazamos estos valores hallados en: f b 5g + fb 2g 74 + 11 85 = = 17 17 fe 6 j
∴
f b 5g + fb 2g =5 fe 6 j
∴
2
f(−2) + (g(4))2 = 36
Rpta.: B
Resolución 29
f(2) = 11
fe 6 j = 3e 6 j − 1 = 3(6 ) − 1
f(−2) + (g(4))2 = 23 + e 13 j
El rango viene a ser los valores que toma “y” Así, tenemos que: 1 f b x g = x − 3 ∧ x ∈ −2; 4 2 1 y = x − 3 ∧ −2 < x < 4 2
−2 F G
1 I 1 F 1 I H 2 J K < 2 x < 4 GH 2 J K
Rpta.: A
−1 < 1 x < 2 2
−1− 3 < 1 x − 3 < 2 − 3
Resolución 27
2
Se tiene:
−4 < y < −1 ∴
Rango = −4; − 1
Rpta.: D
Resolución 30
Resolución 33
Para graficar es suficiente conocer 2 puntos, ya que la función es una recta.
Del gráfico:
Hallamos dichos puntos: *
Para: x = 0
y=
0− 1 → y = –1 2
Dando el punto : (0; 1) *
Para: y = 0
0=
x− 1 → x=2 2
Dando el punto: (2; 0) Ubicamos los puntos y graficamos:
Vemos que: f(0) = 3 f(1) = 2 f(2) = 3 Luego:
M = f(0) + f(1) − f(2)
M = 3 + 2 − 3
∴
M=2
Rpta.: D
Resolución 34 Rpta.: C Resolución 31 Sea la parábola: y = −x2 + 2x − 1 A esta ecuación le damos la forma: (x − h)2 = 4p(y − k) Donde: vértice = (h; k) Multiplicamos por (−1)a ambos lados: y = −x2 + 2x −1 −y = x2 − 2x + 1 −y = (x − 1)2 , le damos forma (x − 1)2 = −1 (y − 0) h=1
∴
k=0
Vértice = (1; 0)
Rpta.: C
Como: (1; 2) ∧ (2; 1) ∈R
Si f(x) = x2 + 3 f(10) = 102 + 3 = 103 2
f e 40 j = e 40 j + 3 = 43
f e 20 j = e 20 j + 3 = 23
2
Reemplazamos los valores hallados en:
(1; 1) ∈ R
a=1
Como: (2; 1) ∧ (1; 2) ∈R (c; c) = (2; 2)
(2; 2) ∈R
c=2
Como: (2; 1) ∧ (1; b) ∈R (2; b) ∈ R Como: (2; 3) ∈R ∧ (2; b) ∈R
(2; 3) = (2; b)
∴
a+b+c=1+3+ 2=6
b=3 Rpta.: C
Resolución 35
Como ∀ a ∈ A ∃ (a; a) ∈R R es reflexiva. Como: ∀ (a; b)∈R
(b; a) ∈R
R es simétrica.
Como: (7; 4) ∧ (4; 8)∈R ∧ (7; 8) ∈R
f b10g + fe 40 j + fb 20g
R no es transitiva.
Luego: R es reflexiva y simétrica.
103 + 43 + 23 = 169
= 13
(a; a) = (1; 1)
Dado el conjunto: A = {4; 8; 7; 9} y la relación R = {(4; 4);(4; 8);(4; 7);(8; 8);(8;4);(7; 7); (7; 4);(9; 9)}
Resolución 32
Sabemos que: R = {(1; 2);(2; 1);(a; a);(c; c);(2; 3);(1; b)} es transitiva.
Rpta.: B
∴
Cumple: sólo I y II
Rpta.: C
CAPÍTULO N° 3 LEYES DE EXPONENTES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(110, 111, 112) NIVEL I
−2 F 3 I − 2 G J x6 · H x K M=
Resolución 1
x( −4)·(2)·(−3)
Am + n = Am · An
Aplicando:
F −2 3 I · b−2g
Obtenemos:
x6 · xH K M= x24
5m+1 − 5m 5m · 51 − 5m = 4 · 5m 4 · 5m
= 5−1 = 4 = 1 4
Rpta.: A
4
Resolución 2
∴
Obtenemos: (22)3 − (−2)4 − (−2)5 = 43 − 2 4 − ( −25) = 64 − 16 + 25 = 64 − 16 + 32 = 80
Rpta.: C
Obtenemos: 1 / a + 2a
O PP Q
a+2
L MN
=M
1 / a
j OP P PQ
23 + 1
L 2 I a O1 / a J P MNH 3 K PQ
= MF G
2 a · 23 a
1/ a + 2a
3 ·3
2
Am×n = (Am)n
Aplicando:
Obtenemos: x12X = x 3 x· 4 = e x 3x j
Rpta.: B
3
El exponente de x3x es 4
=
−bimpar
Le Am jn OP = Am × n × p MN PQ Obtenemos: 3 −2
x6 · LM x( −2 )
N
Rpta.: B
(Am)n = Am×n
Obtenemos: 4
5
70
6
a7 · e a3 j · a 1 · e a −4 j · a 2
=
1
= a 7· a 3×4· a1· a−4×6· a2 = a7·a 12·a1·a-24 ·a 2 Aplicando:
Am·An·Ap=Am+n+p
Obtenemos: a7+12+1+(−24)+2 = a−2 Resolución 7
(−b)impar
Aplicando:
O PP Q
L a O1 / a = L 2a O1/ a MN 3 · 9 PQ MMN 3a PPQ
=2
4
b1 = b ∧ b° = 1
= M 2a · 9 P
Resolución 4
M=
Rpta.: D
Aplicando:
L e a NM 3 · 9
= MM
M = x−2
Resolución 6
Am + n = Am · An
Aplicando:
2a
x6 · x16 = x6 +16 −24 x24
Si 12x = 4 · 3x = 3x · 4 x12 = x4·3x = x3x·4
∴
Resolución 3
3
M=
Resolución 5
(−b)impar = −bimpar
L MM N
x6 · x( −8)·(−2) x24
(−b)par = bpar
Aplicando:
2a + 3
M=
O PQ
Le x−4 j2 O −3 MN PQ
Tenemos que: x6 = x3·x3 ∧
x4 = x3·x
(x6 + x4)x-3 = (x 3·x3+x3·x)x-3 = (x3·(x3+x))x-3 1 = x3·(x3 + x)· 3 x = x3 + x ... (α)
Rpta.: D
Pero: x3 = 8 → x3 = 23
Resolución 10
x=2 x3 +
Luego:
x = 8 + 2 = 10
Rpta.: C
1 An
A −n =
Aplicando:
∧
b° = 1
Obtenemos:
Resolución 8 Por dato: 3a
x · 2a x = x 5 / 12 n
Aplicando:
A=
−
1 An
− 27
1
1 3
27
= 64
1 3
Am · An = Am + n = 64
Obtenemos: 1 3 x a
x x
x
1 2 ·x a
1 1 + 3a 2 a 2a + 3a 6a2 5a 6a2
=
=x =x
=x
5 12 x
= 64
5 12
=
x =x 5 5 = 6a 12
27
−1 3
1 1 1 = = 641 / 3 3 64 4
Rpta.: C Resolución 11
5 12
Sabemos que: x −n = 9 ............. ( α)
5 12
12 · 5 = 5 · 6a Rpta.: B
12 = 6a → a = 2
1 =9 xn
A− n =
1 xn = .... (β) 9
Aplicando: Am·n = (A m)n Tenemos que: 81x2n + x−2n = 81xn·2 + x −n·2 = 81(xn)2 + (x−n)2 Reemplazamos: (α) y (β) 1 I 2 F 81 = G J + b 9 g2 H 9 K
Resolución 9 Aplicando:
− 31
5 12
Iguales 5 6a
1 27
=3
= 81· 1 + 81
1 An
81
= 82
Rpta.: C
Obtenemos: 5n + 2n 5n + 2n = 1 1 5− n + 2 − n + 5n 2n
Resolución 12 Aplicando:
n n = 5n + 2n 2 +5 5n · 2n
Obtenemos: n
2 +5
= 5n · 2n = (5 · 2)n = 10 n
A =nA (−b)impar = −bimpar
5n + 2n j5n · 2n e = n
1 n
Rpta.: B
b −2g
251 / 2
+ b4 g
271/ 3
25
= b −2 g + b 4 g = (−2)5 + (4)3 = −25 + 43 = −32 + 64 = 32
3 27
Rpta.: C
Resolución 13
Resolución 16
a n b = n an · b
Aplicando:
n mp
A =
Sea: K =
n× m× p
3 3 3...... + 6
Hacemos: n = 3 3 3......
A
nn
Obtenemos:
F GH
2
n = 3· n
8 I 22 · 2 J J K
8 F I 2 J = GG K H
n2 = 3n → n = 3 Reemplazamos el valor de “n” en: 8
2× 2× 2 2 2 · 2 I = F H K
= e8 8 j
K=
8
K = n+6 = 3+6 = 9
Rpta.: C
=8
k=3
Rpta.: A
Am = A
8 8 8
Sea: M =
a n b = n an · b n
∴
Resolución 17
Resolución 14 Aplicando:
3 3 3...... + 6
m / n
Obtenemos:
U |V |W
M
Entonces:
35 3−2 =
e 35 j
2
· 3−2
8 M
M=
= 2 × 2 310 · 3 −2
M3 = 8
= 4 310−2 = 4 38
=3
∴
8 4
M=2 Luego: 4 + M = 4 + 2 = 6
= 3 2
El exponente de 3 es 2
Resolución
Rpta.: B
Rpta.: B
18 60 veces
x · 3 y · x · 3 y · ...... · x · 3 y xy · xy · xy · ...... · xy
Resolución 15
(Am)n = Am×n
Aplicando:
8 M2 = M
20 veces
b° = 1
30 veces 30 veces
Obtenemos:
x · x · x · ... · x · 3 y · 3 y · 3 y · .... · 3 y 3
5
6 10 1 − −1 · 3 5 5 7 ( ) 7(−1)×(−1)· 3 = 0 1 (2 + 4 + 6 + 8 + 10 ) = 7·
3
e 3 55
20
5
3 ×5 55
3
xy j
= 7 · 53 =7×5 Rpta.: B = 35
30
e x j ·e3 y j x
20
Aplicando:
· y n
30
20
m
A =
m An
Am = A m− n n A
Obtenemos: 30 x2 20 x2
Obtenemos:
·
30 y3
·
20 y2
=
x15 · y10 x10 · y10
4 −7 · 4 6 · 410 2 20 · 16−2
x15
=
x10
4−7 +6 +10 −2 220 · 2 4
=
e j
= x15-10 = x5 Resolución
9
=
Rpta.: C
19
e 22 j
=
220 · 2−8 218
=
12
2
49
=
2 20 · 24 ×( −2)
22 × 9 220+( −8)
18 −12
= 26 = 64
=2
−
Tenemos:
2 − 2 4 − 1 2 1 + ⋅ −4 3 3 3
Aplicando:
F G A I J −n = F G B I J n H B K H A K
1 A −n
Rpta.: B
Resolución
=A
n
e 34 − 5 2 j · 8x · 2 = b 81− 25g · e 23 j 23 x + 4
Aplicando: e Am j = Am × n
3 2 3 − + 2 4 −2
Am + n
= Am · A n
Obtenemos:
· 34
· 81 =
L 12 O MN 4 PQ
b 81− 25g · e23 j
−2
2
· 81
x
·2
=
3x + 4
=
1 · 81 32
=
1
9
2
·2
56 · 2 16
·2 4
=7
3
9
· 81 = 9
Rpta.: B
Le x −3 j4 O −3 MN PQ Le x−6 j3 O−2 MN PQ
x12 · R=
20
=
3x
3x
Rpta.: B
1
1 An
56 · 2
=
Resolución
Aplicando: A −n
·2
2
= 3−2·81
Resolución
x
2 3x + 4
n
Obtenemos:
L9 + 3O MN 4 4 PQ
Sea:
2
1 n A
∧
=n A
p
Am n Am×n×p ( ) =
Aplicando:
Obtenemos:
Am × n
= eAm j
n
Obtenemos: 1
=4 =2
4
1 2
=4 =
R=
4
Rpta.: A
R=
NIVEL II
Resolución
1
Aplicando:
Am·An·AP = A m+n+p n
e j Am
= Am × n
Am n
A
( −3)· 4· (−3 ) x12 · x x( −6 )· 3· (−2)
x12 · x 36 x
36
e j
R = x2
∴ m− n
=A
= x12 = x2 × 6
6
EL exponente de “x2” es 6
Rpta.: B
Resolución 4
2+n = 2 4
Reducimos: a x · 2a x · 3a x n
Aplicando:
Am = A 1 a
Obtenemos: x · x
1 2a
∴
m n
·x
1 3a
Sea:
x
n
e Am j
1 12
← Es de grado =
214 + e 22 j
5
210 + e 23 j
2
x =
11
n
Aplicando:
2 6 e 28 + 2 4 j 26 e 24 + 1j
→ a = 22
Reemplazamos el valor de a = 22 en: a
14 10 = 2 10 + 2 6 2 +2
=
11 1 = 6a 12 11
= Am × n
Obtenemos:
1 1 1 + + a 2 a 3a 11 6a
214 + 45 210 + 8 2
Aplicando:
Obtenemos: x
Rpta.: C
n=6
Resolución 6
Am·An·Ap = A m+n+p
Aplicando:
x
=
22
Am = A
24 e2 4 + 1j 24 + 1
= 24 = 16
m n
∴
x22
=x
22 11
=
n
Aplicando:
Grado
x2
Am = A
Rpta.: B
Reducimos:
Resolución 5
5a
x·
2a 3
x =x
Reducimos: x2 · x xn
=x
Aplicando: an b = n an · b
A =
m× n
17 10a
A
Obtenemos: x2 x xn = x 2 ·
x 2 · xn
= x 2 4 x 2 · xn Aplicando: Am·An = Am+n
n
m
A =A
= x · x2+n = x 2 · x 2 4
=x Por dato:
2+
m n
Am·An = A m+n
El grado es 2
mn
Rpta.: E
Resolución 7
Obtenemos: 11
2+n=8
2 n 2+ + 4
2+n = 4 4
·x
1 3 + 5a 2 a
3 2a
=x
17 10a
17 20
Por dato: x =x Si las bases son iguales, los exponentes son iguales. 17 17 = 10a 20
∴ m n
1 5a
a=2
Resolución
2 +n 4
Rpta.: B 8
= 216 = Apl ic and o:
22 × 8
Am×n = (Am)n
Obtenemos:
∴
Es la octava potencia Rpta.: D
Resolución 12
Resolución 9
F G A I J −n = F G B I J n H B K H A K
Aplicando:
m An
F G 4 I J − H 9 K
Sabemos que:
−1 / 2 32 − 25
1 A −n = n A
1 1 / 2 −32 25
= n Am
−
1 n A
F G 4 I J H 9 K
Tenemos que:
F 9 I −1 + F 3 I −2 F 2 I + F 5 I 2 H 2 K H 5 K = H 9 K H 3 K F 3 I −2 + F 25 I 0,5 F 2 I 2 + F 25 I 1/ 2 H 2 K H 81 K H 3 K H 81K
F G 4 I J −32 H 9 K
− 1
25
2 25 27 + 3 9 9 = = 495 = 9 4 25 + + 9 9 9 9 81
− 32 = F GH 49 I J K
=nA
−1 5
− 1
− 1
1 / 5 = F GH 49 I J K 32 = F H G 49 I J K 5 32
−1
Rpta.: C
=3
= F GH 49 I J K
Resolución 10
Rpta.: B
Tenemos que:
Resolución 13
5e 3n+ 5 j
− 3n+3 − 3n+2
=
5 · e 3n · 35 j 3n · 34
− 3n · 33 − 3n · 32
a n b = n an · b A = m× n× p A
Tenemos que:
5 · 33 135 = 2 3 − 3−1 5
= 27
Aplicando:
mn p
5 · 3n · 32 · 33 Factorizando: n 2 2 3 · 3 e 3 − 3 − 1j
Rpta.: D
L3 M M MN
3
2 2
O72 LM 3 P =M P M PQ N
Resolución 11
A −n
= 1n A
An·Bn = (A·B)n Tenemos que:
3n
+ 5n
=
3n + 5n 3n + 5n = 1 1 n 5n + 3n + 3n 5n 3n · 5n
E = n 3n · 5n E = n b 3 · 5 gn
∴
E = 15
Rpta.: C
22 · 2
72 8 72
72
= 8 Rpta.: D
Resolución 14 Aplicando:
n
E = n −n −n 3 +5 E=n
3
O72 P P PQ
3 × 2× 3× 2× 2 8
=
Aplicando:
1
= F GH 49 I J K 2 = 94 = 32
Am+n = A m·An
Apl icand o:
3n+ 4
2
Am
=A
m n
Am = Am − n n A
Tenemos que:
n n(n + 3 ) 5
53
=
5
n(n + 3) n 53
n+ 3 =53
5
= 5n + 3 − 3 = 5n
∴
El exponente de 5 es n Rpta.: A
Resolución 15
Resolución 17
Aplicamos la siguiente regla práctica:
Tenemos que:
n m p q r x · x · n m p q x · x 3
=x
4· 2· 4 4
xs
4 · 3 64
=x
(mp + q)r + s npr
5 · 5 · 5 · . . . · 5 · 5 · 25 25
mp + q np
=
5 · 5 · 5 · .. . · 5 · 5 · 5
3 2 2 1 2 2 2 · 2 · 2
5 · 5 · 5 · .. . · 5 · 25 25
4 2 3 6 2 · 2
=
=
5 · 5 · 5 · .. . · 5 · 5
(2·2+1)2 +2 2 3·2·2 2·3 +6 2 4·3
5 · 5 · 5 · . . . · 25
12
5 · 25 = 5 · 5 = 25 = 5
2 12 12 2 12
=1
. . . . . . . . . .
Rpta.: A
Rpta.: B Resolución 18
Resolución 16
x
L 25 · 4 5−3 · 5 O16 M P N Q L 2 52 · 4 5−3 5 O16 M P N Q
x
L 2 52 · 4 5−3 · M N
=x
(mp +q)r + s npr
= 5 x 4 · 2 x −1 · 2 x − n
n m p q r s x · x· x
3 x 10 3 x 10
=x =
( 4· 2 −1)2 −n 5· 2 · 2
14 −n x 20
Luego, a bases iguales, exponentes iguales.
Aplicando: (Am)n = A m×n
L 1611 O16 1611 × 16 11 =5 Tenemos que: = MM5 PP = 5 N Q
=x
(mp + q)r +s npr
Obteniendo:
16 L ( 2· 4 − 3)2 +1 O16 O 5 P = M 5 2· 4 · 2 P PQ Q MN
L 1611 O16 = M5 P MN PQ
∴
3 10
= 5 x 4 · x −1 · x − n
Aplicamos la regla práctica:
Aplicamos la siguiente regla práctica: n m p q r s x · x · x
3 10
3 14 − n = 10 20
n=8 Finalmente: n +1 = 8 +1 = 9 = 3
El exponente de 5 es 11 Rpta.: C
Resolución 19 Pero:
68
Si:
Rpta.: A 68
= n 2n
= 2 × 3 23 = 2
Vemos que: 2 = 2 × 3 23 = 2 × 4 24 = 2 × 5 25 =.... = 2a 2a
Como: 6 8 = 2 × 3 23 = n 2n
n
2n = 2 a 2 a
Luego:
∧
n = 2a
→
2n = 2a
Obtenemos:
2(2a)= 2a 4a = 2a
Analizando: Si a = 1 → 4(1) = 21
→
4=2 Si a = 2
→
Si a = 3
→
ex ·
no cumple
4(2) = 22
→
8=4
→
4(3) = 23
j
30 3
n
A·B
E=
Entonces: n = 2a = 2(4) n+1 =
→
30 2
·y
x10 ·
n=8
8 +1 =
x
9 =3 Rpta.. D
Aplicando:
x10 · y
E=
Am n
A
ex ·
y
10
j
= n A ·n B
12 2
10 y2
x 30 · y12
x30 · y12
4(4) = 24
a=4
Hallamos:
y
E=
Tenemos que: E =
16 = 16 → cumple
·y
60 5
Aplicando:
no cumple
12 = 8 → no cumple Si a = 4
x
E=
60 2
=A
10
x15 · y 6 x10 · y 5
m− n
Tenemos que: E = x 15−10 · y6−5 Resolución
20
∴
E = x5 · y
Rpta.: B
Tenemos que: 120 veces
E=
x · 5 y · x · 5 y · ....· x · 5 y 3
30 veces
E=
21
Aplicando: A −n
E=
Resolución
x y · 3 x y · .... · 3 x y
60 veces
60 veces
=
1 An
= 16
F 3 x y I H K
30
e xj 3
·e
x y
Aplicando:
5y
60
j
30
n
A
m
=A
m n
(A·B)n = A n·Bn
∧
= n Am
Calculamos:
x · x · x · ... · x · 5 y · 5 y · 5 y · ... · 5 y
60
m An
A=
1 2
−1 4
=
1 1 / 4
16
=
1 4
16
B
1 − 2 = 64
Reemplazamos el valor de “M” en:
=
1 = 641 / 2 B=
1 =1 64 8
1 8
K = 19 + M
1 F 1 I −1 1 = ·8=4 Luego: A · B−1 = · GH J 2 8 K 2
∴
K = 19 + 6 · 6 · 6 · ...
A · B−1 = 4
K = 19 + 6 = 25 = 5
∴
K=5
Rpta.: C
Rpta.: B Resolución 24 Aplicando la siguiente fórmula:
Resolución 22 x = a · a · a · a · ...
(Am)n = Am·n
Aplicando:
n
Am = A
m n
Tenemos que:
Am·An = A m+n
A = 13 · 13 · 13 · ...
Tenemos que: 5 x
9 = 3x · 5 27
5
e 32 j
5 2x
3
x
= 3x · 5 33
3 x = 3 · 35
2 x 35
3 x+ =3 5
A = 13
B = 3 · 3 · 3 · ...
= 3x · 5 3 3
2x 35
x=a
B=3
Luego: A + B = 13 + 3 16 = 4
∴
Si las bases son iguales, los exponentes serán iguales.
2x 3 = x+ 5 5
∴
x = −1
Rpta.. B
Resolución 23 Hacemos:
M = 6 · 6 · 6 · 6 · ...
Esta expresión es igual a "M"
M = 6·M
M2 = 6M → M = 6
A +B = 4
Rpta.: D
Resolución 25 Aplicando la siguiente fórmula: x=
a a a a
125 125 125
B=
B = 3 125
x=3a
B=5 Luego: A + B = 4 + 5 = 9 = 3
∴
Rpta.: B
A +B = 3
Tenemos que:
A=
64 64 64
A = 3 64
A=4
CAPÍTULO N° 4 POLINOMIOS EN IR EJERCICOS DE REFORZAMIENTO (POLINOMIOS). Pág.(135, 136, 137, 138) NIVEL I Resolución 1
Sea: Q(x; y) = 5xy11
Sea: Q(x; y; z) = 8x4yz6
G(Q) = 1 + 11 = 12
G(Q) = 12
•
El exponente de la variable “y” es 1
Como: P(x; y) = 9xy3b−1 y Q(x; y) = 5xy11
Grado relativo a “y” : G·R·(y) = 1
•
El exponente de la variable “z” es 6
Grado relativo a “z” :
Son términos semejantes, entonces sus grados son iguales: G(P) = G(Q)
G·R(z) = 6
Luego: G·R(y) + G·R·(z) = 1+ 6
∴
G·R·(y) + G·R·(z) = 7
Rpta.: C
3b = 12
→
b=4
Rpta.: B
Resolución 4
Resolución 2
Sea el monomio: P(x; y) = 12x3n+2 y6
Sea: 5x2a-b+3 y3b+1 Luego: G·R·(x) = 2a − b + 3 = 6 ... (I) G·R·(y) = 3b + 1 = 16 ....... (II) De (II) tenemos que: 3b + 1 = 16 → b = 5 Rpta.: C 3b = 15
Grado del monomio: G(P) = (3n + 2) + 6 ...(I)
Resolución 3 Sea: P(x; y) = 9xy3b − 1
G(P) = 1+ (3b − 1) = 3b
G(P) = 3b
Por dato: G(P) = 14 ............................... (II) De (I) y (II) tenemos que: (3n + 2) + 6 =14 3n + 8 = 14 3n = 6 →
n=2 Rpta.: A
Resolución 5
Resolución 10
Efectuando: (x5· ya)(x4·y3)=x5+4 ·ya+3
Sea: R(x) = x4m−3 + x4m−5 + 6
= x9 ya+3 Hallamos el grado del monomio x9ya+3 : Grado = 9 + (a + 3) Por dato: Grado = 17 9 +(a + 3) = 17
Como el grado absoluto de R(x), es igual al mayor grado absoluto de uno de sus téminos, analizamos y vemos que: 4m − 3 > 4m − 5 G·A·(R) = 4m − 3 Por dato: G·A·(R) = 25 4m − 3 = 25
∴
a=5
Rpta.: C
Resolución 6
R ( x; y ) =
∴
Sea:
x6 − my9 +n x2 −m
R(x; y) = x6−m−2+m y 9+n R(x; y) = x 4 y 9+n G.A.(R) = 4 +(9 + n) Por dato: G·A·(R) = 21
∴
4+(9+n) = 21 13 + n = 21 n=8
Sea: Q(x) = 3mx m + 6mxm−1 + 11mxm−2 Analizando los exponentes de cada término, vemos que: m > m − 1 > m − 2 G·A·(Q) = 6 Por dato: G.A(Q) = 6 m=6 El coeficiente de mayor valor será: 11m = 11(6) = 66 Resolución 12
Reducimos: P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2 P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2 P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a
Si: M = a3xa+8 y b-4 N = b2 xb+5 y -a+5 Donde: “M” y ”N” son términos semejantes
P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a P(a) = 2a
Rpta.: A
Resolución 8 Reducimos: E = −x−(−x−y) − (−y + x)− y E = − x + x + y + y − x − y
∴
Rpta.: D
Rpta.: C
Resolución 7
∴
Rpta.: C
Resolución 11
R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n
m=7
E = y − x
Rpta.: B
Resolución 9 Sea:P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5 Grado del monomio: 6x3y2 z5 3 + 2 + 5 = 10 Grado del monomio: 9x2y6z4 2 + 6 + 4 = 12 Grado del monomio: 13xy7z5 1 + 7 + 5 = 13 Luego: grado absoluto del polinomio es: G·A· (P) = 13
Rpta.: C
x a+8 = x b+5 a+8=b+5 a − b = –3 ........... (I) y b−4 = y −a+5 b − 4= −a + 5 b + a = 9 ........... (II)
Sumando (II) + (I): b + a = 9 (+) a − b = −3 → a=3 2a = 6 Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que: 3 − b = −3 b=6 Luego: a×b = 3×6 = 18 Resolución 13
Rpta.: B
Sea:
P(x; y) = 3xa−8y6 + 4xa−11y5 + 7xa−13y20 Analizando los exponentes de“x” tenemos que: a−8 > a − 11 > a − 13
G·R·(x) = a − 8
2
Por dato: G·R·(x) = 5
E=
x19 · x3
a − 8= 5 → a = 13
x13
3
P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20
∴
G·A·(P) = 20
Resolución 16 Donde:
m+2 n+3 * Grado del monomio 6x y es: (m + 2) + (n + 3) = m + n + 5 m+1 2n − 1 es: * Grado del monomio 4x y (m + 1) + (2n − 1) = m + 2n
Como: P(x; y) es homogéneo
Sea:
m + n + 5 = m + 2n
Qb x; y g = a − 2 x 3a · y 6
∴
n=5
Qb x; y g = a − 2 x3a · a − 2 y 6
Resolución 17
Qb x; y g = x
3a a −2
· y a−2
=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B
3a 6 + =9 a−2 a−2
Resolución 18
3a + 6 = 9 a−2 3a + 6 = 9(a − 2) 3a + 6 = 9a − 18
Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4
a=4
· x5 2
x8 · x5
3
P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5
P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9
P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13
P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1
3
2
x15 · x4 · x3
Sea:
P(x) = 4x + 1
2
E=
Rpta.: C
Resolución 19
x5 × 3 · x4 · x3 x2 × 4
E = 121
Reduciendo:
Le x5 j3 · x4 O2 · x3 M PQ E= N Le x 2 j 4 · x 5 O 3 MN PQ E=
E= (4 + 16 − 9)2 = 112
Rpta.: B
∴
Resolución 15
E = (aa + c a − b a)a E = (22 + 42 − (−3)2 )2
→
24 = 6a
Rpta.: C
Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en: x−y·(−2y)x Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =
6
Por dato: G·A·(Q) = 9
Sea:
P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y 2n−1
Rpta.: B
Resolución 14
Grado del monomio =2 Rpta.: B
Donde: • Grado del monomio: 3x5y6 es: 5 + 6= 11 • Grado del monomio: 4x2y5 es: 2 +5 = 7 • Grado del monomio: 7y20 es: 20
∴
x
= x38 + 3 − 39 = x2
Luego: P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20
19 · 2 3 = x 13··3x
E=
x15+ 4 · x3 x8 + 5
3
Luego: E = Pb1g + Pb 2g = 5 + 9 = 14 P b 3g + Pb 0 g 13 + 1 14
∴
E=1
Rpta.: B
Resolución 20
Sea:
P(x−5) = 5x + 5 *
Si P(−1) = P(x−5)
−1 = x − 5 → x = 4 P(−1) = 5(4) + 5 P(−1) = 25 Si P(0) = P(x − 5) 0 = x − 5 → x = 5
∴
P(0) = 5(5) + 5
∴ *
1 = Pb 0 g Luego: P PcPb 2g h = P Pb g Hallamos “x” Si
P(x+1) = P(0)
x+1=0 →
∴
P(0) = (1−)2
x = −1
P(0) = 1
Finalmente:
P PcPb 2g h = P Pb g 1 =P 0 =1 NIVEL II
P(0) = 30 *
Si P(1) = P(x − 5)
1 = x − 5
∴
P(1) = 5(6) + 5
→
Resolución 1
P(x; y) = (5xn+4·y2)5
x=6
P(x; y) = 5 5 ·(xn+4)5 ·(y 2)5 P(x; y) = 5 5 · x5(n+4) · y 10
P(1) = 35 *
∴
Si P(−2) = P(x − 5)
−2 = x − 5 → x = 3 P(−2) = 5(3) + 5 P(−2) = 20
Luego: R =
∴
P b −1g + Pb 0g 25 + 30 55 = = Pb1g + Pb −2g 35 + 20 55
R=1
Sea: P(x) = 2x + 3
P(2) = 2(2)+3 → P(2) = 7 P Pb 2 g = P 7
Luego:
Donde: P(7) = 2(7)+ 3
Pb7 g = 17 = P Pb 2 g
∴
P(x; y) = 5 5 · x 5n + 20 · y10 Como el grado del monomio es 40 (5n + 20) + 10 = 40 5n + 30 = 40
∴
P Pb 2g = 17
Rpta.: D Sea: P(x+1) = x2
Resolución 22 Hallamos “x” : Si P(x+1) = P(2)
x + 1= 2
∴
P(2) = (1)2
→
x=1 P(2) = 1
B = 3nx3n−2 y 4m−8 Como A y B son términos semejantes, entonces la parte variable tienen los mismos exponentes. Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I) 3m + n = 4m − 8 ......... (II) Sumando: (I) + (II) m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 8 4m + n + 2 = 3n + 4m − 10 10 + 2 = 3n − n 12 = 2n → n = 6 Reemplazando: “n = 6” en (I): m + 2 = 3(6) −2 m = 14 Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B: A = 2(14)x14+2 y3(14)+6
Hallamos “x” :
∴
P(1) = 02
A = 28x16 y 48 B = 3(6)x 3(6)−2 y 4(14)−8
Si P(x+1) = P(1) x + 1= 1
Rpta.: B
A = 2mxm+2 · y 3m+n
Luego: P(P(2)) = P(1)
n=2
Resolución 2
Rpta.: B
Resolución 21
Sea:
→
x=0 P(1) = 0
B = 18x16 y 48
Luego: A − B = 28x16 y 48 −18x16 y 48
∴
A − B = 10x16 y 48
Rpta.: B
Rpta.: B
Resolución 3 •
•
Resolución 7
Sea:
M(x; y) = 10x3a+b y a+3b
Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)
Como: G·R·(x) = 11 3a + b = 11 ........................ (I) Como G·A·(M) = 20 (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)
Luego:
R = 2a − 3 x3a · y6 3a
R = ex · y
Reemplazando (I) en (II), tenemos: (11) + (a + 3b) = 20
a + 3b = 9 ........................... (III) G·A·(R)=
Sumando (I) + (III): 3a + b = 11 U (+) a + 3b = 9 VW 4a + 4b = 20
G·A·(R) =
Si 9xb + 4ax5 = 17x5
Resolución 4
Analizando, vemos que para que cumpla la igualdad, el exponente de “x” debe ser 5 b=5 También, los coeficientes deben ser iguales en ambos lados de la igualdad, por lo que:
Luego:
→
3a + 6 ........ (II) 2a − 3
P = 3x2a·y3a−1
P = 3x10· y 14
a=2
Donde: G·A·(P) = 10 + 14
Luego: 2a + b = 2b 2g + 5 = 9 = 3 Rpta.: B Resolución 5
3a + 6 2 a − 3 2a − 3
P = 3x2(5)· y3(5)−1
9 + 4a = 17 4a = 8
·y
6 2a− 3
3a + 6 =3 2a − 3 3a + 6 = 3(2a − 3) 3a +6 = 6a − 9 15 = 3a a=5
Rpta.: B
a+b=5
j
De (I) y (II), tenemos que:
4(a + b) = 20
∴
R=x
3a 2a − 3
1 6 2a − 3
Efectuando:
∴
G·A·(P) = 24
Resolución 8
Rpta.: C Sea:
P(x; y) = (5a−1·xa+2 ·ya)2
A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]
P(x; y) = (5a−1)2 · (x a+2)2 ·(y a)2
A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]
P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a
A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]
Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a
A = −p − 4q − 3 − q + 4p
∴
A = 3p − 5q − 3
= 2a + 4 + 2a Rpta.: B
Resolución 6
R = 3x − y + 2 x − x − b3y + 2 x g − bx + y g R = 3x − y − 2 x − x − 3y − 2 x − x − y R = 3x − y − 2 x − x − 3y − 2 x − x − y
R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y
∴
R = 3x + 3y
Rpta.: C
G·A·(P) = 4a + 4 Por dato: G·A(P) = 16 4a + 4 = 16 4a = 12 → a=3 Reemplazando el valor de: a = 3
− El coeficiente del monomio será: 52(a−1) = 5 2(3−1) = 5 2(2) = 5 4 = 625 Rpta.: C
Resolución 9
Sea:
Resolución 11 Reduciendo la expresión:
4
P b x g = x3m · 3 x 2m Pb x g =
2m 4 3m x ·x 3
Pb x g =
2m 4 3m+ 3 x
Pb x g =
9m+ 2m 4 x 3
Pb x g =
Pb x g =
M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m M(x; y) = x m+n · ym−n+1 Sabemos que: G·R·(x) = 5 m + n = 5 ............................... (I) Sabemos que: G·A·(M) = 7 (m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II) Reemplazando (I) en (II), tenemos que: 5 + (m − n + 1) = 7 m − n = 1 ................................. (III)
1 11m 4 x 3
F GH
I J J K
11m x 12
Como el grado de P(x) es 22
2
∴
11m = 22· 12
∴
Sumando (I) + (III), tenemos que: m + n = 5 U(+) m − n = 1 VW 2m = 6 → m = 3 Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que: 3+n=5 → n=2 Luego: 2m + n = 2(3) + 2
11m = 22 12 1
x 3+m· y 7−n x3−n · y6 −m
M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)
11m x 3
4
Pb x g = G
M( x; y ) =
m = 24 Rpta.: D
2m + n = 8
Resolución 12
Rpta.: D Sea:
Resolución 10
Q(x; y) = 15x 4y3n − x 4ny6 + 8(x3y2)6n
Reduciendo la expresión:
Q(x; y) = 15x4y3n − x 4ny6 + 8x18n y 12n
3
x n − 4 j · e x 4n j e Pb x g = 4 e x n − 2 j · x 6n
2
Pb x g =
x3(n− 4) · x8n x4(n− 2) · x6n
Pb x g =
x3n−12 · x 8n x 4n− 8 · x6n
Pb x g =
x3n−12 +8 n x 4n− 8+ 6n
Pb x g =
x11n−12 (11n−12)−(10n− 8) 10n− 8 = x x
P(x) = x11n−12−10n + 8 P(x) = xn−4 Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que: n − 4 = 4
∴
n=8
Rpta.: C
Como: G·R·(y) = 24 Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponente de “y” en la expresión. Como:12n > 3n ; ∀ n > 0 G·R·(y) = 12n = 24 → n=2 Hallamos el grado relativo de “x” : Los exponentes de “x” en la expresión dada son: 4; 4n; 18n Reemplazando “n = 2”, obtenemos: 4; 8; 36
∴
G·R·(x) = 36
Rpta.: C
Resolución 13
Donde: el grado de Q(x) = 6
Reduciendo la expresión:
Luego: el grado de Qb x g 5 = 6 × 5
A b x g = 3bn − 1g · 6 x2n · x8 A b x g = 3bn − 1g
8 6 · x2n · x 2
A b x g = 3bn − 1g
· 6 x2n · x 4
∴
Resolución 17
2n+ 4 ·x 6
Luego: el coeficiente será: 3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6) 3(n − 1) = 18
Resolución 14
Rpta.: C Sea:
Analizando los exponentes, vemos que: a+8>a+6>a+5 G·A(P) = a + 8 a + 8 = 17 Por dato: G·A·(P) = 17 a=9 Los coeficientes de P(x) son: 3a; 5a; 2a
La suma de coeficientes será: 3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9 10a = 10(9) = 90
Resolución 15
Rpta.: E
Sea:
P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x 2 − 4x P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x
P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3) P(3) =
3(3)88(9
− 9) + 27 − 12 0
P(3) = 3(3)88(0) + 15
∴
P(3) = 15
∴
grado de Q2(x) =9 × 2 = 18
Rpta.: C
Grado de H(x) = 21
Rpta.: B
Resolución 18 Como: F(x) = es un polinomio lineal, será de la forma: F(x) = ax + b ; a y b constantes
F(2) = a(2) + b = 5
2a + b = 5 ......... (I) F(1) = a(1)+ b = 4 a + b = 4 ......... (II)
Restamos (I) − (II); obteniendo: 2a + b = 5 U (−) a + b = 4 VW a=1 Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II); obteniendo: 1+b=4 → b=3 Si: F(x) = ax + b = 1·x + 3 F(x) = x + 3
F(7) = 7 + 3
∴
F(7) = 10
Rpta.: B
Resolución 19 Si: N(x) = 2x − 5 N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5 N(3) = 1 Luego: R Nb 3 g = R 1 Si: R(x) = 4x + 3
Resolución 16
grado de P3(x) = 7 × 3 = 21
es el mayor grado de ambos monomios:
P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8
Si grado de P(x) = 7
Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que: 2n + 4 = 3 6 2n + 4 = 18 2n = 14 → n = 7
∴
Rpta.: C
= 30
Si grado de Q(x) = 9
A b x g = 3bn − 1g · 6 x2n + 4 A b x g = 3bn − 1g
5
Grado de Qb x g
Sea:
R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3 R(1) = 7
Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6
∴
R Nb 3 g = 7
Rpta.: C
Resolución 20 Como: R(x) es un polinomio lineal, será de la forma: R(x) = ax + b ; a y b constantes
R(−3) = a(−3) + b = 8 −3a + b = 8 ......... (I) R(2) = a(−2)+ b 6 −2a + b = 6 ........ (II)
Restamos (II) − (I), obteniendo: −2a + b = 6 UV (−) −3a + b = 8 W (−2a)−(−3a) = −2 −2a + 3a = −2 a = –2 Reemplazando “a = -2” en (I): −3(−2)+b = 8 → 6+b=8 b=2 Las constantes serán: a = −2 y b = 2 R(x) = −2x + 2 Luego:
∴
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que: 10 + 2n > n + 5 > n + 4 G·A·(P)= 10 + 2n Por dato del problema: G·A·(P) = 16 Entonces, tenemos que: 10 + 2n = 16 → 2n = 6 n=3 Reemplazamos: m = 6 ∧ n = 3 en: m 6 = =2 n 3
∴
Rpta.: C
P(x; y) = 3xm+1 yn−3 + 7xm+3 yn−4 − xm+4 y2n Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que: m+4>m+3>m+1
G·R·(x) = m + 4
Por dato del problema: G·R·(x) = 10 Entonces, tenemos que: m + 4 = 10 → m = 6 •
Hallamos el grado de cada monomio y el mayor grado será el grado absoluto del polinomio P(x; y)
−
Hallamos el grado del 1° monomio: (m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3 = 7 + n − 3
Grado del 1° monomio: n + 4
−
Hallamos el grado del 2° monomio
(m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4)
= 9 + n − 4 Grado del 2° monomio: n + 5
− Hallamos el grado de 3° monomio:
(m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n Grado del 3° monomio: 10 + 2n
Sea:
F(3x − 1) = 2x + 3 P(x) =4x − 1 Hallamos “x” para hallar F(2): Si F(3x − 1) = F(2) 3x − 1 = 2
→
3x = 3 Luego:
Resolución 21
Rpta.: A
Resolución 22
R(−4) = −2(−4)+2
R(−4) = 10
m =2 n
x=1
F(2) = 2(1)+ 3
F(2) = 5
Luego: PcF b 2 g h = Pb 5 g Si
P(x) = 4x − 1
P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19
∴
PcF b 2 g h = 19
Resolución 23
Rpta.: B Sea:
Q(x) = 2mxm + 4mxm−1 + 6mxm−2 Analizando los exponentes de “x”, vemos que: m > m − 1 > m − 2 Entonces: G·A·(Q) = m (Dato) Pero: G.A(Q) = 5 m=5 Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que: Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2 Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3 Término cúbico
∴
El coeficiente del término cúbico es 30 Rpta.: D
2(2) + 1= 7 − m 5 = 7 − m → m = 2
Resolución 24 P(x; y) = x5m+2n+3 y 2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 + 7x3m+2n y 4m+5 Los exponentes de “y” son: * 2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5 Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5 menor exponente de “y”
Por dato:
G:R (y)
2m + 1 = 7 → m=3 2m = 6
Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”, tenemos que: 5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n 4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n 3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n G:R (x)
Luego: G·R·(x) + G·R·(y) = 43 (18 + 2n) + (4m + 5) = 43 18 + 2n + 4(3) + 5 = 43 18 + 2n + 12 + 5 = 43 → n=4 2n = 8 Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que: P(x; y) = x26 y7 + x 21 y 11 + 7x 17 y17
∴
G·A·(P) = 17 + 17 = 34
Rpta.: D
Luego: mn = 2 2 = 4
∴
Resolución 27 P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3 • Factorizando: P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3 Como: P(x; y) es idénticamente nulo:
6 − n + 5 = 0 ∧ ∧ n = 11
m − 4 = 0 m=4
Reemplazando estos valores en: 2
em n − 2 j = e 4 11− 2 j ∴
2
em n − 2 j
=3
2
Rpta.: B
Resolución 28 P(x) = xa+b + 4x a − 7xb + 5 Si P(x) es ordenado y completo de grado 3
a + b =3
∴
a2 + b2 = 22 + 12 = 5
a=2
b=1
Rpta.: C
Resolución 29 2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4
Resolución 25 P(x; y) = 8x2n+6 − 3x 2n+3 y n+2 + 5y9−n Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus términos tienen el mismo grado. Como: P(x; y) es homogéneo 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n 2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n • 2n +6 = 3n + 5 → n = 1 • 3n + 5 = 9 − n → n = 1 Los exponentes de “y” son: n+2=1+2=3 * 9 − n = 9 − 1 = 8 * Rpta.: B G·R·(y) = 8
(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4)
B = –4 −C = 5 → C = −5 2A + B = 8 2A + (−4) = 8 2A = 12 → A = 6
Luego: A + B + C = 6 +(−4) + (−5)
∴
Rpta.: B
A + B + C = −3
Resolución 30
Si:
B(x)=x2 + x − 1
Resolución 26 n2 +1 +
mn = 4 Rpta.: B
6xn+2 yn−1 − 13y7−m
Q(x; y) = x Como: Q(x; y) es homogéneo: n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − m n2 + 1 = 2n +1 = 7 − m • n2 + 1 = 2n + 1 → n = 2 • 2n + 1 = 7 − m
B(2) = (2)2 + (2) −1 B(2) = 5
Luego: A Bb 2 g = A 5
Si: A b x g =
x +1 2
A (5 ) =
5 +1 2
A(5) = 3
∴
A B b 2g = 3
Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146) NIVEL I
Resolución 5 A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)
Resolución 1 Sea: P(x; y) = 3x + y + 6
A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1
3P(x; y) = 3(3x + y + 6)
−3 x2 A − B = 7
3P(x; y) = 9x + 3y + 18
2 términos
También: Q(x; y) = −3y + x − 9 Luego: 3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9) = 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9
∴
∴
e 2 x2 − 4 x + 1j + e −2 x − x2 − 3j − e x2 + 3 x − 4j =
3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9
Resolución 2
Rpta.: C
B
Rpta.: C
= −9x + 2
2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)
2P(x; y) = 10x + 6y − 6
A
4x 3
(
B
− 2x + 1) − (
x3
= 4x2 − 2x − 1
2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y − 6)+(10y −10x + 25)
−
3x2
C
+ 6) + ( x2 − 3x3 + 4) =
Rpta.: C
Resolución 8
= 10x + 6y − 6 + 10y − 10x + 25
Sea “L” el lado del cuadrado Perímetro del cuadrado = 4L Como: L = 3x + 2
Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)
*
2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Resolución 3 P(x) − Q(x) = (5x2 − 3x +1) − (x2 − 3) = 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3
Perímetro del cuadrado = 12x + 8 *
Rpta.: E
Resolución 4
P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3) P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3 3 2 − x + x +8 P + Q = 4x 4 términ os
El polinomio resultante tiene 4 términos
Hallamos: “A − B + C”
= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4=
5Q(x; y) = 10y − 10x + 25
Luego:
∴
A
Rpta: D
Resolución 7
Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5 5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)
= 4x2 − 3x + 4
C
= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =
Si:
∴
Hallamos: (B + C − A)
Resolución 6
P(x; y) = 5x + 3y − 3
El polinomio resultante tiene 2 términos.
Sean “a” y “b” los lados del rectángulo Perímetro del rectágulo = 2(a + b) Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2 Perímetro del rectángulo: = 2[(4x − 1) + (5x + 2)] =2[4x − 1 + 5x + 2] = 2[9x + 1] Perímetro del rectángulo = 18x + 2
Rpta.: B
Luego:
Perímetrodel + perímetro del = (12x + 8)+(18x + 2) cuadrado
rectángulo
Perímetro del rectángulo
= 30x + 10 Rpta.. D
*
Resolución 9 *
Sea “L” el lado de cuadrado:
Perímetro del cuadrado = 4L
Como:L = 7x + 1 Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Perímetro del hexágono = 6a como: a = 2x + 1 Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1) Sea “L” el lado del cuadrado Perímetro del cuadrado = 4L Como: L = 3x − 1 Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1) Perímetro del = 12x − 4 cuadrado
Luego: Perímetro del hexágono
Perímetro del cuadrado = 28x + 4 *
Sea el triángulo isósceles:
= 12x + 6
del − Perímetro cuadrado = (12x + 6)− (12x − 4) = 12x + 6 − 12x + 4
= 10
∴
Excede: en 10 Rpta.: E
Resolución 13 *
Perímetrodel = (10x − 3)+(10x−3)+(7x + 1) triángulo Perímetrodel triángulo =
27x − 5 *
Luego:
Perímetrodel perímetro del cuadrado + triángulo
= (28x + 4)+(27x − 5) = 55x −1
Rpta.: D Resolución 10 Sea “M” la expresión buscada: (5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3 M= 8x2 + 5x − 3 − (5x2 − 3x + 6) M = 8x2 + 5x − 3 − 5x2 + 3x − 6
∴
M=
3x2 +
8x − 9
Si el pentágono es regular, entonces sus cinco lados son iguales. Si el lado del pentágono es “L” Perímetro del pentágono = 5L como: L = 4x + 3 Perímetro del pentágono = 5(4x + 3) Perímetro del pentágono = 20x + 15 Sean “a” y “b” los lados del rectángulo Perímetro del rectángulo = 2(a + b) como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1 Perímetrodel = 2((7x + 4)+(3x + 1) rectángulo = 2(10x + 5) Perímetrodel rectángulo = 20x + 10
Luego: Perímetro del Perímetrodel pentágono − cuadrado = (20x + 15)−(20x + 10)
= 20x + 15 − 20x − 10 =5
Rpta.: C
Resolución 11
∴
Sea “N” la expresión buscada: (16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8 (16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N 16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N
Resolución 14
∴
N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1
Rpta.: E
Resolución 12 *
Si el hexágono es regular, entonces sus 6 lados son iguales. Si el lado del hexágono es “a”
Excede en 5
Rpta.: D
R = −3x2−{5y +[−3x2 + {y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]} R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]} R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]} R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6} R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6
∴
R = 6 − 5y
Rpta.: B
Resolución 15
NIVEL II
E = x − 3 x + 2 b− x + 1g + 2
Resolución 1
P(x; y) = 2x2 − 2x + 3y2 − 3
E = x − 3x − 2x + 2 + 2 E = x − 3x + 2x − 2 − 2
∴
E = −4
Rpta.: E
Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6
P = x + {(−2x + y ) − −x + y − z + x} − z
Luego:
P = x + l −2 x + y + x − y + z + x q − z P = x + z − z
2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) + (4x − 4x2 − 3y2 + 6)
P =x
2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x − 4x2 − 3y2 + 6
Rpta.: C
Resolución 17 (Ax2 +
5x +
8)+(3x2 +
Bx − 6)=5x2 +
7x + 2
Ax2 + 5x + 8 + 3x 2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2
∴
Luego: A+3=5 → A=2 5+B=7 → B=2 Entonces: A + B = 2 + 2 A + B = 4Rpta.: D 5x 2 +2x
+ 4) − = 2x3 +3x2 − 3x + 1
(6x3 +Nx2 +
5x + 3)
Mx3 + 5x2 +2x + 4 − 6x3 − Nx2 − 5x − 3 = 2x3 + 3x2 − 3x + 1 (M – 6)x3 + (5 − N)x2 − 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 − 3x + 1
Sea:
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5
2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5) 2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10
A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8) −(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10) A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2 −4x2y − 2xy − 10
∴
A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2
Luego: M − 6 = 2 → M = 8 5 − N = 3 → N = 2 Entonces: M − N = 8 − 2
Resolución 3
∴
∴
M − N = 6
Rpta.: C
Luego:
Resolución 18 (Mx3 +
2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2
Resolución 2
(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2
∴
2 P(x; y) = 2 (2x 2 − 2x + 3y2 − 3) 2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y 2 − 6
Resolución 16
∴
Si:
Rpta.: B
Rpta.: B
P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4) P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4 P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7
Resolución 19
Rpta.: B
P + Q − R = (x2 + x − 3)+(2x2 − 2x + 1)−(3x2 − 4x + 5) P + Q − R = x2 + x − 3 + 2x2 − 2x + 1 − 3x2 + 4x − 5
∴
P + Q − R = 3x − 7
Rpta.: B
Resolución 20 (A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3)) −(3x2 − 4x + 1) (A − C) −B = (5x 2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3) −3x2 + 4x − 1 (A − C)− B =
∴
3x2 − 6x
+
(A − C) − B = − 2x
1 − 3x2 +
4x − 1
Rpta.: B
Resolución 4 P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1) P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3 Término de mayor grado
Término de menor grado
Luego:
F CoeficientedelI F CoeficientedelI términ o de G mayor J − G términ o de J = 3 − 3 grado K H menor grado K H =0 Rpta.: C
Resolución 5 A − B = (5x4 − 3x3 + 5x + 1) − (7x4 + 2x2 − 6) A − B = 5x4 − 3x3 + 5x + 1 − 7x4 − 2x2 + 6 A − B = −2x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 7 Término de mayor grado
Término de menor grado
Luego:
F CoeficientedelI F CoeficientedelI términ o de G mayor J + G términ o de J = (−2) + 7 grado K H menor grado K H =5 Rpta.: C Resolución 6
AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC = AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC
P + Q = (5x3 + 2x2 − x + 6) + (–2x2 + x + 3) P + Q = 5x3 + 2x2 − x + 6 – 2x2 + x + 3 P + Q = 5x3 + 9
∴
Polinomio de 2 términos
El polinomio resultante tiene 2 términos Rpta.: C
Resolución 7
Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C
Resolución 10 Sea la figura:
A − B = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8 − 5x3 − x − 2x2 − 8
∴
= AB + AB + BC + PM + PM + BC = 2AB + 2BC + 2PM =2(AB + BC + PM) = 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2)) = 2 (13x + 7) = 26x + 14
∴
A − B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8) − (5x3 + x + 2x2 + 8) A − B = 6x4 − 16
Vemos que: DC = AB = 4x + 1 QN = PM = 3x + 2 BC = AP + MN + QD = 6x + 4 Luego: El perímetro de la figura será:
Polinomio de 2 términos
El polinomio resultante tiene 2 términos Rpta.: C
Resolución 8 Diferencia = (4x3 + 3x − 6) − (5x3 − 2x2 + 4x − 4) Diferencia = 4x3 + 3x − 6 − 5x3 + 2x2 − 4x + 4 Diferencia = − x3 + 2x 2 − x − 2 Sea “M” la expresión pedida:
M + diferencia = 2x2 + x - 2 M = (2x2 + x − 2) − diferencia M = (2x2 + x − 2) − (−x3 + 2x2 − x − 2) M = 2x2 + x − 2 + x3 − 2x2 + x + 2 M = x3 + 2x M = x(x2 + 2)
Rpta.: B
Vemos que: BC = BF + m → BF = BC − m CD = ED + n → ED = CD − n También: AB = CD BC = AD FG = n GE = m Luego, perímetro del rectángulo ABCD es: AB + BC + CD + AD = 32 x
Resolución 9 De la figura:
CD + BC + CD + BC = 32x 2BC + 2CD = 32x 2(BC + CD) = 32x BC + CD = 16x AD + AB = 16x
Luego: El perímetro de la región coloreada es: AD +AB + BF + FG + GE + ED =
Resolución 14 Tenemos que: [(6x2 + 11x − 35) + (3x2 − 6x)] −(9x2 + 3x − 29) = mx + n
= = =
16x + (BC − m) + n + m + (CD − n) = 16x + BC − m + n + m + CD − n = 16x + BC + CD
=
16x + 16x
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n 2 x − 6 = m x + n
=
32x
Entonces: m = 2
Rpta.: B
Resolución 11 R = −[−(−x)]−[+(−x)] + {−(−y+z) − [+(−z)]} R = −[x] − [−x] + {y − z − [−z]} R = −x + x + {y − z + z }
∴
R=y
[6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x] − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
∧ n = −6 Luego: m + n = 2+ (−6) ∴ m + n = − 4 Rpta.: B Resolución 15
Sea la figura:
Rpta.: D
Resolución 12 Q = −[−3x + (−x − {2y−3})] +{−(2x + y) + ( −x −3)+2−(x + y)} Q = −[−3x + (− x − 2y + 3)] +{−2x − y − x − 3 + 2 −x − y} Q = −[−3x − x − 2y + 3] + {−4x − 2y − 1} Q = 3x + x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1 Q = 4x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
∴
Q = − 4 Rpta.. D
Resolución 13
Tenemos que:
Vemos que: El perímetro del cuadrado ABCD es: 4(4a) = 16x a=x El perímetro de la región coloreada es: Perímetro de región coloreada =2(a + 4a)
(Ax2 −xy + y2) + (2x 2 + Bxy − 3y2) − (3x2 − xy − Cy2)
=2(5a) = 10a
= 3x2 + 2xy + y2 Ax2 −xy + y2 + 2x2 + Bxy − 3y2 − 3x2 + xy + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2
como: a = x
∴
Perímetro de región coloreada = 10x
Rpta.: C
Ax2 − x2 + Bxy − 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2 (A − 1)x2 + Bxy + (C − 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2
Resolución 16
Luego: A − 1 = 3 → A = 4 B=2 → C=3 C − 2
De la figura, podemos observar que: CD = HG + GF + FN Como: HG = GF = FN CD = 3HG 3x = 3HG → HG = x
Entonces: A + B + C = 4 + 2 + 3 = 9 Rpta.: C
FN = x Luego: AD = BC = 4x + 3 Si: BC = BH + HC Como: BH = HC = FE
BC = 2BH 4x + 3 = 2BH 4x + 3 BH = 2 FE =
E = −5 x − 5y − 2x − y + 2b 2 y − 2 x − 2g + 2 x E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 4 y − 4 x − 4 + 2 x
E = −5x − 5y − 2x + y − 4y + 4x + 4 + 2x
4x + 3 2
∴
Perímetro de la Perímetro del Perímetro del regióncoloreada = rectángulo MBHG + rectángulo NFED
Si:
F F 4 x + 3 I I = 2GH x + GH 2 J K J K
Perímetrodel rectánguloMBHG
F 2x + b 4 x + 3 g I = 2G J K H 2
Perímetrodel rectánguloMBHG = 6x + 3
Perímetrodel rectánguloNFED
Luego:
Perímetro de la = región coloreada
(6x + 3)+(6x + 3)
Perímetro de la regióncoloreada = 6(2x + 1)
Rpta.: D
(A + B)−2C = ((3x2 + 6x3 +2x − 5) + (x2 − 4x3 + 5x − 7)) −2(x3 − x2 + 3x − 6) (A + B)−2C= (3x2 + 6x3 +2x − 5 + x2 − 4x3 + 5x − 7)
−2x3 + 2x2 − 6x + 12 (A + B)−2C = 2x3 + 4x2 + 7x − 12 − 2x3 + 2x2 − 6x + 12 (A + B)−2C = 6x2 + x Rpta.: D
(a + 6)x2 + (b − 3)x + (c + 5)= 9x 2 + 2x + 7 a+6=9 → a=3 b − 3 = 2 → b = 5 c+5=7 → c=2 Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2 Entonces:
a + b + c = 10 Rpta.: C
∴
A + B + C = 8x3
U |V |W
(+)
Rpta.: D
Sea la diferencia igual a “D” D = (4x3 − 11x + 2) − (2x3 − x − 9) D = 4x3 − 11x + 2 − 2x3 + x + 9 D = 2x3 − 10x + 11 Sea “S” la cantidad que se debe sumar: D + S = 2x3 + x − 5 (2x3 − 10x + 11) + S = 2x3 + x − 5 S = 2x3 + x − 5 − (2x3 − 10x + 11) S = 2x3 + x − 5 − 2x3 + 10x − 11
(2P − R)+Q = (2(x 4 + 3x2 +5x)
Resolución 23
−(2x4 + x2 + x3 − 3x + 2)) + (x3 − 13x + 2) 6x2 +
− 2x4 − x2
10x − x3 + 3x − 2) + x3 − 13x + 2
(2P − R)+Q = −x3 + 5x2 + 13x − 2 + x3 − 13x + 2
∴
Hallamos: A + B + C
A = x3y3 − x2y2 + 3x 3 + y 3 B = −2x3y3 + 2x2y2 + x 3 − y3 C = x 3y3 − x2y2 + 4x 3
∴
(2P − R)+ Q =
Si: A + B = C
(ax2 + bx + c) + (6x2 − 3x + 5) = 9x2 + 2x + 7
Resolución 18
(2x 4 +
Rpta.: A
Resolución 22
Resolución 17
∴
Resolución 21
Perímetro de la región coloreada = 12x + 6
∴
Resolución 20
∴
= 6x + 3
E = −x − 8y + 4
(2P − R)+ Q = 5x 2
E = −5b x + y g − 2x − y + 2e − x + y − 3 − x − y − 1j + 2 x E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 2b − x + y − 3 − x + y +1g + 2 x
Rpta.: B Hallamos “A + B − C” :
(−4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2) + (2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2)
−(−5x2y2 − 5x2y3 − 9x3y2) = = −4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2 + 2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2 +5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 =
Rpta.: C
Resolución 19
S = 11x − 16
A + B − C = x2y2
Luego: A + B − C = x2y2 = xy Rpta.: D
Resolución 24
Resolución 25
A = 6x2y + 3xy2 − 12xy B = −4x2y + 2xy2 + 16xy C = x2y − 5xy2 + 4xy
P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy) + (x2 − y2 + xy) P + Q + R = 9 x2 + 6 y2 + 10 xy Luego:
∴
U |V (+) |W
A + B + C = 3 x2y + 8 xy
Coeficientes Suma de = coeficientes
Hallamos: A + B + C
Coeficientes
de Luego: Suma coeficientes = 3 + 8
9 + 6 + 10
Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B
∴
Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pág.(168, 169, 170, 171) NIVEL I Resolución 1
Resolución 4
2(3x + 2)(2x + 3)−(3x + 4)(4x + 3)= =2(6x2 + 4x + 9x + 6)−(12x2 + 9x + 16x + 12) = 12x2 + 8x + 18x + 12 − 12x2 − 9x − 16x − 12 = 26x − 25x Rpta.: D
=x
Resolución 2 A =(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1)− x) (a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2 A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12)− x 2 A = (x4 + 2x2 + 1) − x2 A = x4 + x2 + 1
∴
Resolución 3
B = x2 − (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2 Aplicamos: b)2 = a2 +
2a·b +
b2
B = x2− ((3x)2 + (1 + 2)3x + 1·2) +2 ((2x)2 + 2(2x)(1) + 12) B = x2 − (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1) B = x2 − 9x2 − 9x − 2 + 8x2 + 8x + 2 B = −x
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2 Obteniendo: M = x2 − y2 + x2y − xy2 − x2y + xy2 + y2 ∴
M = x2
Rpta.: C
Resolución 5
* Hallamos “A” :
A = (2x − 1)(3x + 2) A = (2x)(3x) + (2x)(2) + ( −1)(3x) + (−1)(2) A = 6x 2 + x − 2 * Hallamos “B” : B = (4x + 3)(x − 2) B = (4x)(x) + (4x)(−2) + (3)(x) + (3)(−2) Luego: (A + B)· A = ((6x2 + x − 2)+(4x2 − 5x− 6))(6x2 + x − 2) (A + B)·A = (10x2 − 4x − 8)(6x2 + x − 2)
Obteniendo:
∴
M = (x + y)(x − y)+ xy(x − y)−x2y + xy2 + y2
B = 4x2 − 5x − 6
(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + a·b (a +
M = (x + y + xy)(x − y)−x2y + y2(x + 1) M = ((x + y)+ xy)(x−y)−x2y + xy2 + y2
Rpta.: C
Sea:
Sea:
Rpta.: B
(A + B)·A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(−2) +(–4x)(6x2) + (−4x)(x) + (−4x)(−2) +(−8)(6x2) + (−8)(x) + (−8)(−2) (A + B)·A = 60x4 + 10x3 − 20x2 − 24x3 −4x2 + 8x − 48x2 − 8x + 16 ∴
(A + B)·A = 60x4 − 14x3 − 72x2 + 16
Rpta.: C
Resolución 6
Luego:
* Hallamos: “P” :
F Mayor I − F Menor I = 15 − (−13) H coeficienteK H coeficienteK
P = ( x + 6)(2x − 3) P = (x)(2x) + (x)(−3) + (6)(2x) + (6)(−3) P=
2x2 +
= 15 + 13 = 28
9x − 18
Rpta.: D
Hallamos “Q” : * Q = (3x − 1)(x + 4) Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (−1)(x) + (−1)(4)
Resolución 9
Del enunciado:
((2x + 7)(3x − 5)+ 3x(x − 2)) − (9x2 + 3x − 29) = mx + n
Q = 3x2 + 11x − 4
((2x)(3x) + (2x)(−5) + (7)(3x) + (7)(−5) + 3x2 − 6x)
* Hallamos “R” : R = (x − 2)(x + 8) R = x2 + (−2 + 8)x + (−2)(8)
− 9x2 − 3x + 29 = mx + n (6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x)−9x2 − 3x + 29 = mx + n
R = x2 + 6x − 16
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n 2x + (−6) = mx + n
Luego: P + (Q − R) = (2x2 + 9x − 18) + ((3x2 + 11x − 4) − (x2 + 6x − 16))
Comparando términos, tenemos que: • 2x = mx → m=2 • n = −6 Luego: m + n = 2 + (−6) Rpta.: B ∴ m + n =−4
P + (Q − R) = 2x 2 + 9x − 18 + (3x2 + 11x − 4 − x2 − 6x + 16) P +(Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + 2x2 + 5x + 12
∴
P+(Q − R) = 4x 2 + 14x − 6 Rpta.: B
Resolución 7 N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2) N = 5x3·(x + 2) + 4x2·(x + 2) + 3x·(x + 2) N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x 2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2) N = 5x4 + 10x3 + 4x3 + 8x2 + 3x2 + 6x N = 5 x4 + 14 x3 + 11 x2 + 6 x Coeficientes
Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6
∴
Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C
Resolución 8 (6x4
Sea:
− 3x3 +
2x2 +
5x)(x2 +
P= 3x − 1) P = (6x4)(x2) + (6x4)(3x) + (6x4)(−1) +(−3x3)(x2) + ( −3x3)(3x)+(−3x3)(−1) +(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(−1) + (5x)(x2) + (5x)(3x) + (5x)(−1) P = 6x6 + 18x5 − 6x4 − 3x5 − 9x4 + 3x 3 + 2x 4 + 6x 3 − 2x2 + 5x3 + 15x2 − 5x P = 6x6 + 15x5 − 13x4 + 14x3 + 13x2 − 5x P = 6x6 + 15 x5 + (−13) x4 + 14x3 + 13x2 − 5x Menor coeficiente Mayor coeficiente
Resolución 10 Del enunciado, tenemos que: [(3x + 2)(x − 4) − (2x − 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x − 16) = ax2 +bx [(3x2 − 12x + 2x − 8) − (2x2 + 12x − 4x − 24)] +(8x2 + 25x − 16) = ax2 + bx [(3x 2 − 10x − 8) − (2x2 + 8x − 24)] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx [3x2 − 10x − 8 − 2x2 − 8x + 24] + 8x2 + 25x − 16 =ax2 + bx [x2 − 18x + 16] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx x2 − 18x + 16 + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx 9x2 + 7x = ax2 + bx Por comparación de términos, tenemos que: • 9x2 = ax2 → a = 9 → b=7 • 7x = bx Luego: a + b = 9 + 7
∴
a + b = 16
Resolución 11
Rpta.: C Sabemos que:
Área del cuadrado = (Lado)2 Área del rectángulo = (Lado mayor) × (Lado menor) De la figura: • Área del cuadrado = (3x + 2)2 Área del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2)+ (2)2)
Área del cuadrado = 9x2 + 12x + 4 •
Área del rectángulo = (3x + 6)(3x − 2) Área del rectángulo = ((3x)2 + (6 − 2)(3x) + (6)(−2)) Área del rectángulo = 9x2 + 12x − 12
Luego:
F G Áreadel I J − F G Áreadel I J = (9x2 + 12x + 4) H cuadradoK H rectánguloK −(9x2 + 12x − 12) = 9x2 + 12x + 4 −9x2 − 12x + 12 = 16 Rpta.: E Resolución
12
Resolución 13 P = (x + 1)2 − (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2 P = (x2 + 2x + 1) − (x2 + 4x + 4) − (x2 + 6x + 9) + (x2 + 8x + 16) P = x2 + 2x + 1 − x2 − 4x − 4 − x2 − 6x − 9 + x2 + 8x + 16 P = 10x − 10x + 4
∴
P=4
Resolución 14 Q = 2b 2 + 2ab +
Aplicamos:
Sabemos que:
I F I Área del rectángulo =F H mayorK × H menor K Lado
Lado
•
Sea: 2
ea2 + b2 j − b 2abg2
m2 – n2 = (m + n)(m − n) (m + n)2 = m2 + n2 + 2mn (m − n)2 = m 2 + n2 − 2mn
Obteniendo:
Áreadel triángulo = b cateto g × b cateto g rectángulo 2
•
Rpta.: B
Q = 2b2 + 2 ab +
ea2 + b2 + 2ab je a2 + b2 − 2 abj
De las figuras, tenemos que:
Q = 2b 2 + 2ab +
ba + b g2 ba − bg2
Áreadel rectángulo (x + 2)(8x + 10)
Q = 2 b 2 + 2 ab +
b a + bgb a − bg 2
Áreadel 2 rectángulo = 8x + 10x + 16x + 20
Q = 2b 2 + 2ab +
a2 − b 2
2
Áreadel 2 rectángulo = 8x + 26x + 20
Q = 2b2 + 2ab + (a2 − b2) Q = 2b2 + 2ab + a 2 − b2 Q = a2 + 2ab + b2
Áreadel triángulo = b 4 x + 3gb 2 x + 5g rectángulo 2
∴
2 Áreadel triángulo = 8x + 20x + 6x + 15 rectángulo 2
2 Áreadel triángulo = 8 x + 26 x + 15 rectángulo 2
Luego:
I F G Áreadel J I −2F G Áreadel triángulo J =(8x2 + 26x + 20) H rectánguloK GH rectánguloJ K F 2 I −2G 8 x + 26x + 15 J H
2
= 5
Rpta.: C
Rpta.: B
Resolución 15 E = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1 Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Obteniendo: E = (x 2 − 12)(x2 + 1) + 1 E = (x2 − 1)(x2 + 1) + 1 E = ((x 2)2 − (1)2) + 1 E = (x4 − 1) + 1= x4 − 1 + 1
∴
E = x4
Rpta.: D
Resolución 16
Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3
K
= 8x2 + 26x + 20 −8x2 − 26x − 15
Q = (a + b)2
A = (z + 1)3 A = z3 + 3·z2·(1) + 3·z·(1)2 + (1)3 A = z3 + 3z2 + 3z + 1
Aplicamos: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 B = (z − 1)3
B = z 3 − 3(z)2·(1) + 3(z)·(1)2 − (1)3 B = z3 − 3z2 + 3z − 1 Luego: B − A =(z3 − 3z2 + 3z − 1)− (z3 + 3z2 + 3z + 1) B − A = z3 − 3z2 + 3z − 1− z3 − 3z2 − 3z − 1 B − A = −6z2 − 2
∴
Resolución 17
∴
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a·b(a − b) Obteniendo: (x − 1)3 − x3 + 1 =(x3 − 13 − 3(x)(1)(x − 1) − x3 + 1) =x3 − 1 − 3x(x − 1) − x3 + 1 = −3x(x − 1) =−3x[−(1−x)] = 3x(1 − x)
E = a2 + ab
∴
E = a(a + b)
Rpta.: E
Resolución 19
A = 3 − e 3 − x3 je x 3 + 3 j
(3)2 = a2 + 2(4) + b2 9 = a2 + 8 + b2
∴
a2 −
a2b − 2 y 2 + x 2 = b b x · y g2
2
a2b − 2 y 2 + x 2 = b b bg2
Rpta.: E
Resolución 20
x2 + y2 b x2 + y 2 = b(a2b − 2) a2b − 2 =
Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b) 2
E= E=
2
E = e 3 + 2j −e 3 − 2j
e
3 + 2j + e 3 − 2j 3+ 2+ 3− 2
E= 2 3 2 2
2 1 1 = + b x2 y 2
a2b − 2 y 2 + x 2 = 2 2 b x ·y
A = 3 + (x6 − 3) A = x6
F 1 + 1 I 2 = F G 1 I J 2 + 2F G 1 I J F 1 I + F 1 I 2 GH x y J K H x K H x K GH y J K GH y J K
Pero: x−1 + y−1 = a 1 1 + =a x y
I H j − e 3 j J K
∴
Aplicamos:
F 1 + 1 I 2 = 1 + 2 + 1 GH x y J K x2 xy y2 ......... (I)
(a + b)(a − b) = a2 − b2
A = 3 + F Ge
Rpta.: B
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
A = 3 + e x3 − 3 je x 3 + 3 j
a2 + b2 = 1
Resolución 22
A = 3 − − e x3 − 3 j e x 3 + 3 j
2 x3
a+b=3
También: x·y = b Reemplazando estos valores en (I), tenemos: e a2 j = x12 + b2 + y12
Sea:
A = 3 − e x3 + 3 je 3 − x 3 j
Aplicamos:
∧
Rpta.: D
Sabemos que:
a·b = 4
Aplicamos:
ab a + b g2 · ba − b g ba + b gb a − bg
Rpta.: E
Si
a2 − b2 = (a + b)(a − b) Simplificando, obtenemos: E=
E2 = 96
2
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b 2
Resolución 18
E2 = e4 6 j
Resolución 21
Rpta.: D
Aplicamos:
→
E=4 6
e
3 + 2j −e 3 − 2 j 3+ 2− 3 + 2
∴
x2 + y 2 = a 2b2 − 2b
Resolución 23
Rpta.: B
Sea:
2 F L O 3 − 13 I M=G − 3 M 3 − 13 P − 1 J H 2 K MN 2 PQ
(3 − M= M=
M=
M=
e3 − e3 −
Luego, aplicamos: (a + b)(a − b) = a 2 − b2 Sea:
2
13 j − 6e 3 − 13 j − 4
Q= F a + b · a − b I F a 2 − b I + b
H K H K F I a2 − b I + b Q = G e a + b je a − b j J F K H K H F 2 I Q = G a 2 − e b j J F a2 − b I H K + b H K Q = F a 2 − b I F a2 − b I + b H K H K 2 2 − b I + b Q = F a H K
2
13 j − 18 + 6 13 − 4 4
e3 −
2
13 j + 6 13 − 22 4
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
F G 32 − 2b3ge H M=
e9 − 6
13 j + e 13 j
2
I J + 6 K
13 − 22
4
Q = a2 − b + b
13 + 13 j + 6 13 − 22 4
∴
M=0
Rpta.: B Sabemos que:
a3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b2) Si a + b = 3 ∧ ab = 3 a3 + b3 = (3)(a2 − 3 + b 2)
Rpta.: A
Resolución 24
Q = a2
Resolución 27
22 − 6 13 + 6 13 − 22 M= 4
∴
Sabemos que:
A · B = A·B
4
Aplicamos:
M=
Resolución 26
2
13 ) 3(3 − 13 ) − −1 4 2
a3 + b3 = 3(a2 + b2 − 3) ..... (I) Hallamos: a2 + b2 Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Aplicamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 P = (m − 3n)2 − 4n(2n − m) + 8 P = (m2 − 2(m)(3n)+(3n)2)−8n2 +4mn + 8 P = m2 − 6mn + 9n2 − 8n2 + 4mn + 8 2 + n2 − 2mn + 8 P = m
∧
Si
a + b= 3
a·b = 3
(3)2 = a 2 + 2(3) + b2 9 = a2 + b2 + 6
P = (m − n)2 + 8 Pero: m − n = 8 P = (8)2 + 8 = 64 + 8
a2 + b2 = 3 ..... (II) Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
∴
∴
P = 72
a3 + b3 = 3(3 − 3) = 3(0)
Rpta.. C
a3 + b3 = 0
Resolución 28
Resolución 25
Rpta.: A Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero) B) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)
C) a2 + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2 ................. (Falso) D) a2 − b2 = (a + b)(a − b) ......... (Verdadero)
F G n + 1 I J 2 = 3 H n K 1 I F 1 I 2 F 2 n + 2bngG J + G J = 3 H n K H n K n2 + 2 +
E) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ...(Verdadero) Rpta.: C
1 = 3 n2
n2 + 12 = 1 ..... (I) n
n+
Aplicamos: a3 + b 3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
F G 1I J 3 = F G n + 1 I J F G n2 − n · 1 + F G 1 I J 2 I J H n K H n K H n H n K K
1 1 F 2 1 I n + 3 = F n + I G H n J K GH n + n2 − 1J K n
Reemplazamos (I) y (II): 1 n3 + 3 = e 3 jb1− 1g = 3 b 0g n
∴
M=
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
P = (x3 + 13 )
−
P=2
Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab Identidad de Legendre R= R=
∴
bn + 3g2 − bn − 3g2 6n
4bngb3g 12n = 6n 6n
R=2
Rpta.: B Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2 P=
P=
b x + 2gb X − 2g + 9 X2 + 5
e
x2
− 22
P=1
Rpta.: E
b x + 1g − b x − 1g = x + 1− x + 1 b x − 1gb x + 1g b x − 1gb x + 1g
E=
2 b x − 1gb x + 1g
E=
E=
∴
E=
2 x2
− 12
; pero: x = 5
2
e 1 2
= 2 =2 5j −1 5 −1 4 2
Rpta.: D
Resolución 34
Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
∴
A = ((x + y)+1)2 − ((x + y)− 1)2 A = 4(x + y)(1) A = 4(x + y)
Rpta.: A
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x − 2)(x − 5)(x − 3)(x − 4) R = (x2 − 7x + 11)2 − (x2 − 7x + 10)(x2 − 7x + 12) Hacemos: a = x2 − 7x + 11 a − 1 = x2 − 7x + 10 a + 1= x2 − 7x + 12 Reemplazamos estos valores en “R”
R = b a g2 − b a − 1gb a + 1g
j+9
Diferencia de cuadrados
x2 + 5
x2 − 4 + 9 x2 + 5 P= = 2 x2 + 5 x +5
∴
2 x2 + 2 − 2 2 x2 = 2 x2 x
Resolución 35
Resolución 31
x2
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
Rpta.: B
Resolución 30
2e x2 + 12 j − 2
E=
(x3 − 13)
P = x3 + 1 − x3 + 1
x2
Resolución 33
P = (x + 1)(x2 − x + 1)−(x − 1)(x2 + x + 1)
P = (x + 1)(x2 − x·1 + 12) − (x − 1)(x2 + x·1 + 12)
b x + 1g2 + b x −1g2 − 2
M=2
Aplicamos:
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b 3
∴
∴
Rpta.: B
Resolución 29
M= M=
3
1 n3 + 3 = 0 n
Aplicamos:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a 2 + b2) Identidad de Legendre
1= 3 ...... (II) n
n3 +
32
Resolución
1 I 2 F n + J = 3 Además: GH n K
Rpta.: C
∴
R = a 2 − (a2 − 1 2) R = a2 − a2 + 1 R = 1 Rpta.: C
(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35 M = 9x2 + 36x + 35 − (9x2 + 12x + 4) M = 9x2 + 36x + 35 − 9x2 − 12x − 4
NIVEL II Resolución 1 Reemplazando los valores en:
∴
S = P(Q + R) S = (x2 − x + 2)((3x2 − x − 1)+(2x2 + 2x − 3))
((6x)2 + 2(6x)(5) + (5) 2)− N = 36x2 − 7x − 15 (36x2 + 60x + 25) − N = 36x2 − 7x − 15 (36x2 + 60x + 25) − (36x2 − 7x − 15) = N 36x2 + 60x + 25 − 36x2 + 7x + 15 = N ∴ N = 67x + 40 Rpta.: B
S = 5x4 + x3 − 4x2 − 5x3 − x2 + 4x + 10x2 + 2x − 8 S = 5x4 − 4x3 + 5x2 + 6x − 8 Rpta.: B Resolución 2 A = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)−x) Aplicamos:
∴
(a + b)(a − b) = a2 − b2
A = (x2 + 1)2 − x2
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
A = ((x2)2 + 2(x2)(1) + 12) −x2 A = x4 + 2x2 + 1 − x2 A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C
Resolución 3
Reemplazando los valores en:
[2A − 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x 2y3) −3(4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3)] [2A − 3B]2 = [16x3y2 + 12x2y2 + 6x 2y3 −12x2y2 − 15x3y2 − 6x2y3] [2A − 3B] 2 = 16x3y2 − 15x 3y2
∴
[2A − 3B]2 = x3y2
Rpta.: A
Resolucíon 5 Sea “N” la expresión que se debe restar, según el enunciado tenemos que: (6x + 5) 2 − N = (9x + 5)(4x − 3) Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
S = (x2 − x + 2)(5x2 + x − 4) S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(−4)+(−x)(5x2) +(−x)(x) + (−x)(−4) + (2)(5x2) + (2)(x) +(2)(−4)
∴
M = 24x + 31
Rpta.: A
Resolución 6 * * * * *
(x + 2)(3x − 3) = (x + 2)[3(x − 1)] = 3(x + 2)(x − 1) (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)(3x − 3) (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)[−(3 − 3x)] = −(2 + x)(3 − 3x) (x + 2)(3x − 3) ≠ (2 + x)(3 − 3x) (x + 2)(3x − 3) = 3x 2 + 3x − 6 Rpta.: D
Resolución 7
Efectuando:
(a + b)x + (b + c)y−[(a − b)x-(b − c)y]−2b(x + y) =(a + b)x + (b + c)y −(a − b)x+(b − c)y −2b(x + y) =x((a + b)−(a − b)) +y ((b + c) + (b − c))−2b(x + y) =x(a + b − a + b) + y(b + c + b − c)−2b(x + y) =2bx + 2by − 2bx − 2by = 0 Rpta.: C Resolución 8 De la figura, podemos ver que:
Resolución 4 Sea “M” la expresión a agregar. Luego, según el enunciado: (3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)
Sabemos que:
Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
*
Áreadel =(Lado)2 cuadrado
*
Áreadel rectángulo =(Lado mayor)×(Lado menor)
(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + a·b ((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2)
+M
= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 5·7
Luego:
F Áreadel I Área del rea G rectánguloJ − cuadrado coloreada = GH ABCD J K QRCP
•
{x(x + y − x − y)}·[5y2 − x2]+M = 2x3y + 3xy3
Áreadel cuadrado = ((4x + 3) − (3x + 1))2 QRCP
{2xy}[5y2 − x2]+M = 2x3y +3xy3
=(x + 2)2 =x2 + 4x + 4
•
(10xy3 − 2x 3y)+M = 2x3y + 3xy3
Áreadel rectángulo = (7x + 2)(4x + 3) ABCD
M = (2x3y + 3xy3) − (10xy3 − 2x3y)
Área coloreada
∴
M = 2x3y + 3xy3 − 10xy3 + 2x 3y
= 28x2 + 29x + 6
=(28x2+29x+6)−(x2+4x+4)
= 28x2 + 29x + 6 − x2 − 4x − 4
∴
M = 4x3y − 7xy3 Rpta.: A
Resolución 11
Área = 27x2 + 25x + 2 coloreada
A = (2x2 − 3)(3x2 − 2x + 5) Rpta.: A
A = (2x2)(3x2) + (2x2)(−2x)+ (2x2)(5) + (−3)(3x2) + ( −3)(−2x) + (−3)(5)
Resolución 9
A = 6x4 − 4x3 + 10x2 − 9x2 + 6x − 15
De la figura podemos ver que: El triángulo BAM es rectángulo e isósceles, es decir: AB = AM = 2x + 4
•
Áreadel = b ABg · b AMg triángulo 2 =
=
•
4 x 2 + 16 x + 16 2
4 e x 2 + 4 x + 4j 2
Áreadel = 2(x2 + 4x + 4) triángulo Áreadel rectángulo =(AD)(CD) =(3x + 5)(2x + 4)
Áreadel 2 rectángulo =6x + 22x + 20 Luego:
∴
F Área del I J −F G Área del I J Área = GH rectángulo K H triángulo K coloreada = 6x2 + 22x + 20−(2(x2 + 4x + 4)) =6x2 + 22x + 20 − (2x2 + 8x + 8) =6x2 + 22x + 20 − 2x2 − 8x − 8 Área = 4x2 + 14x + 12 coloreada
B = 6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x + 10
C = 13x3 − 20x2 − 11x + 25 Luego: S = A − B + C 4 S = (6x − 4x3 + x2 + 6x − 15) − (6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x +10) +(13x3 – 20x2 – 11x + 25) S = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15 − 6x4 − 9x3 + 19x2 + 6x − 10 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25 S = −13x3 + 20x2 + 12x − 25 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25
∴
B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(−5) B = 6x4 + 9x3 − 15x2 − 4x2 − 6x + 10
2
=
B = (3x2 − 2)(2x2 + 3x − 5) + (−2)(2x2) + ( −2)(3x) + (−2)(−5)
b 2 x + 4gb 2 x + 4g = b 2 x + 4g2 2
A = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15
S =x
Rpta.: A
Resolución 12
E = A(B + 1)+B(1 − A) −C E = AB + A + B − BA − C E = A + B − C
Reemplazando los valores dados: Rpta.: C
Resolución 10 Sea “M” la expresión que hay que sumar, según el enunciado tenemos que: {x(x + y) − x(x − y)}·[2(x2 + y2)−3(x2 − y2)]+M = 2x3y + 3xy3 {x((x + y)−(x − y))}·[2x2 + 2y2 − 3x2 +3y2]+M =2x3y+ 3xy3
E = (3x2 + 5xy − 2y2) + (3y 2 − 4xy + 5x2) − (xy + 5y2 + 8x 2) E =3x2 + 5xy − 2y2 + 3y2 − 4xy + 5x2 − xy − 5y2 − 8x 2 E = 8x2 + xy + y2 − xy − 5y2 − 8x2 ∴
E = −4y2
Rpta.: D
Resolución 13
Resolución 16
E = (mx + n)(x 2 + x + 1) E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) +
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2
(n)(x2)
+ (n)(x) + (n)(1) E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + n E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n Según el enunciado: mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n = 4x3 + Ax2 + Bx + 5 Por comparación de términos, tenemos que: m=4 ; n=5 m+n=A ; m+n=B
Aplicamos:
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2 (x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
Pero: x2 + y2 = 26 ; x·y = 5 (x − y)2 = (26) − 2(5) (x − y)2 = 26 − 10 = 16 x − y = 4 x−y = 4 = Luego: 2 Rpta.: E 2 2
A=4+5 ; B=4+5 A=9 ; B=9 Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5 ∴ A + B + m + n = 27 Rpta.: B
Resolución 17
Resolución 14
Si: x + y = 5 ∧ x2 + y2 = 11 (5)2 = (11) + 2xy 25 − 11 = 2xy 14 = 2xy xy = 7
R = (ax + b)(x2 − x + 1) R = (ax)(x2) + (ax)(−x) + (ax)(1) + (b)(x2) + (b)(−x) + (b)(1) R = ax3 − ax2 + ax + bx2 − bx + b R = ax3 − (a − b)x2 + (a − b)x + b Según el enunciado: ax3 −(a − b)x2+ (a − b)x + b =7x3 − mx2 + nx + 4 Por comparación de términos, tenemos que: a=7 ∧ b=4 También: m = a − b → m = 7 − 4 n = a − b → n = 7 − 4 m=3 ∧ n=3 Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3 Rpta.. C ∴ a + b + m + n = 17 Resolución 15 Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
T=e 3 + 1jF G e 4 3 j − 12 I J 2
H
K
T = e 3 + 1je 3 − 1j 2
T = e 3 j − 12 = 3 − 1
∴
T=2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
Rpta.: C
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y) 2 = (x2 + y2)+ 2xy
Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 − ab + b2) x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) − xy) Si: x + y = 5 x2 + y 2 =11 x·y = 7 x3 + y3 = (5)((11) − 7)
∴
x3 + y3 = 20
Resolución 18
Rpta.: D Aplicamos:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
T = e 3 + 1je 4 3 + 1je 4 3 − 1j
Aplicamos:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y) 2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Pero: x + y = 2 ∧ x·y = 3 (2)2 = x2 + y 2 + 2(3) 4 = x2 + y2 + 6 x2 + y2 = −2 Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b2)
x3 + y3 = (x + y)(x2 − x·y + y2) x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2)− xy)
Si: x + y = 2 x·y = 3 x2 + y2 = −2
x3 + y 3 = (2)((−2)−3) x3 + y 3 = −10 R=
∴
Rpta.: D
R=5
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2 (x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
x 3 + y 3 −10 = −2 x2 + y2
Luego:
Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que: (x − y)2 = 16 − 2(4) (x − y)2 = 8
Resolución 19
∴
(x + a)(x − 2) = x2 + bx + 6 x2 + (a + ( −2))x + (a)(−2) = x2 + bx + 6 x2 + (a − 2)x + (−2a) = x2 + bx + 6 (a − 2)x + ( −2a) = b x + 6 Por comparación de términos, tenemos que: −2a = 5 → a = −3 a − 2 = b (−3) − 2 = b → b = −5 Luego: a − b =(−3)−(−5) a − b = 2
•
Si: x + 1 = 3
x2 +
Suma de áreas = (x + y)2 + (x − y)2 Aplicamos: (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) Identidad de Legendre
1= 5 x
Luego:
2 1 2 F 1 I x − 2 = x − G J H x K x
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Aplicamos:
a2 − b2 =(a + b)(a − b)
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Resolución 21
1 = 7 x2
F G x − 1 I J 2 = 7 − 2 = 5 H x K x−
Rpta.: E
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2
F G x − 1 I J 2 = x2 − 2b x gF G 1 I J + F G 1 I J 2 H x K H x K H x K F G x − 1 I J 2 = x2 + 1 − 2 H x K x2
2 Pero: x +
1 x2
1 = 7 x2
Aplicamos:
b3g2 = x2 + x12 + 2
9 − 2 = x2 +
Áreadel I Áreadel I Suma de = F GH cuadrado1 J K + F GH cuadrado 2 J K áreas
F G x + 1I J 2 = x2 + 2b xg F G 1 I J + F G 1 I J 2 H x K H x K H x K
x
Sabemos que: Área del cuadrado = (Lado)2 Lado del cuadrado 1: x + y Área del cuadrado 1 = (x + y)2 Lado de cuadrado 2: x − y Área del cuadrado 2 = (x − y)2
Aplicamos:
F G x + 1I J 2 = x2 + 1 + 2 H x K x2
Rpta.: C
Suma de = 2(x2 + y2) áreas
Rpta.: E
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Resolución 20
•
x−y = 8
Resolución 22
∴
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2
Aplicamos:
Aplicamos:
Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que: 2
= x2 + y2 + 2b4 g 24 = x2 + y2 + 8 x2 + y2 = 16 ........ (3)
e2 6 j
2
2 x2 − F GH 1x I J K = F GH x + x1 I J K F GH x − 1x I J K
Pero: x +
∴
1= 3 x
x−
∧
1= 5 x
2 x2 − F GH x1I J K = b3g · e 5 j
x2 −
1 =3 5 x2
Rpta.: A
Resolución 23
Aplicamos:
Resolución 26 La expresión se puede escribir de la manera siguiente:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b Identidades de Legendre
x + y g2 − b x − y g 2 b R= b x + y g2 + b x − y g2
Si
x2 + y2 = 3xy
P = 2 LMe 2 − 1j · e 2 − 1j + 41OP 4
N
P=
4 xy R= = 4 xy 2b 3 xyg 6 xy
Resolución 24
T=
2 − y3
O PQ
2 − 1j + 41P
O PQ
2
2 − 2 · 2 · 1+ 12 I K · e 2 − 1j + 41P 2
Aplicamos:
2 x 2 + y3
2
P = 2 32 − 2(3)(2 2 ) + (2 2 ) ( 2 − 1) + 41
P = 2 · LM17 2 − 17 − 12 2 + 12 2 + 41OP 2
N
2 F G e x2 j + e y3 j 2
e j +e j = H 2 4 x2 · x−2 e x2 + x −2 j − e x2 − x−2 j
P = 2 · e17 − 12 2 je 2 − 1j + 41
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab Identidades de Legendre x2
I J · e K
2
Rpta.: D
R = 2/3
2 2
P = 2·(3 − 2 2 ) · ( 2 −1) + 41
3
∴
L MNH L 2 · MF MNH
P = 2 · MF G e 2 − 1j
= 42x · y 2 2e x + y j
2
Q
2
I J K
Q
P = 2 · 29 2 − 17 − 24 + 41 P = 2 · 29 2 2
P = 29 2 = 29 · 2 = 58 Rpta.: C
1
2 e x4 + y6 j x4 + y 6 T= = 2· 1 2 · x 4 2 x 2
Resolución 27
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
Pero: x4 + y6 = 4
T=
2
x4 + y6 4 = =2 2 2
Rpta.: B
Resolución 25
x2 + 2 = x → x2 − x = −2 Reemplazamos el valor hallado en “R”, obteniendo: R = ((−2)−6)((−2)−12) R = (−8)(−14) R = 112
Rpta.: C
2
I = F H 2 + 2 2 K
x2 + x−2 = 2 2 2
2
e x 2 + x −2 j = e 2 2 j
(x2)2 + 2(x2)(x−2) + (x−2)2 = 8 x4 + 2 + x−4 = 8
∴
x4 + x−4 = 6
Resolución 28
2
x +2 =1 x
e x + x −1j
x2 + 2x ·x−1 + (x−1)2 = 2 + 2 2 x2 + 2 + x−2 = 2 + 2 2
R = (x − 3)(x + 2)(x − 4)(x + 3) R = (x2 +(−3 + 2)x + (−3)(2))(x2 + (−4 + 3)x +(−4)(3)) R = (x 2 − x − 6)(x2 − x − 12) R = ((x2 − x)-6)((x2 − x)− 12) 2 De la condición: x + = 1 x
∴
Aplicamos:
Rpta.: C Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b) M = (x + 5)(x + 4)(x2 − 32)(x − 2)(x − 1) M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x − 3)(x − 2)(x − 1) M = (x + 5)(x − 3)(x + 4)(x − 2)(x + 3)(x − 1)
M = (x2 + 2x − 15)(x2 + 2x − 8)(x2 + 2x − 3) Pero: x2 + 2x = 9 M = (9 − 15)(9 − 8)(9 − 3) M = ( −6)(1)(6)
∴
M = −36
Rpta.: C
Resolución 29
Q=
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera: (a + b)(a − b)= a2 − b2
E = F Ge 2 + 3 j − e 5 j 2
2
H
I J − 2 K
6
E = F 2 + 2e 2 je 3 j + 3 − 5I − 2 6 2
H
2
K
x 2 + y2 xy ; pero: x = y
Q=
x 2 + x2 2 x2 = 2 x· x x
∴
Q=2
Rpta.: B
*
Aplicamos:
(a − b)(a2 + ab + b2) = a 3 − b 3 M = 4 ba − 1gea 2 + a + 1jea3 + 1jea6 + 1j + 1
Resolución 30 *
Rpta.: B
Resolución 31
E = 5 +2 6 − 5 −2 6 E=0
8b xyg2
Q=
E = ee 2 + 3 j + 5 je e 2 + 3 j − 5 j − 2 6
Aplicamos:
8 xy e x2 + y2 j
Área del cuadrado = (Lado)2 Área del cuadrado = (x + y)2 Áreadel = bbaseg · b alturag triángulo 2 Áreadel = x · y triángulo 2
Según el enunciado, tenemos que:
b x + y g = 8 F GH x 2· y I J K 2
M = 4 e a3 − 13 je a3 + 1je a6 + 1j + 1 M = 4 e a3 − 1je a3 + 1jea6 + 1j + 1
Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
M = 4 F G e a3 j − b1g2 I J ea6 + 1j + 1 2
H
K
M = 4 e a 6 − 1je a 6 + 1j + 1 M = 4 F G e a6 j − b1g 2 I J + 1 2
(x + y)2 = 4xy
H
x2 + 2xy + y 2 = 4xy
K
M = 4 a12 − 1+ 1 = 4 a12
x2 + 2xy + y 2 − 4xy = 0 x2 − 2xy + y2 = 0
∴
(x - y)2 = 0 x − y = 0 → x = y
Resolución 32 La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
M = a3 Rpta.: B
Q=
Q=
b x + y g 4 − b x − y g4 2 2 e 2 x 2 + y 2 j − e 2 x 2 − y2 j b x + y g2
− b x − y g2
2
2
Q=
Q=
2
I E = G F H 2 + 3 − 2 − 3 K
I J K
Aplicamos: (a − b)2 = a 2 − 2ab + b2 3 F I 2 − 2 F 2 + 3 I F 2 − 3 I + F 2 − 3 I 2 I E = G F 2 + 3 J K H K H K H K K H H
I 3 K
(a + b)2 −(a − b)2 = 4ab
F H F E = G 4 − 2 e2 + H
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 +b2)
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
e 2 x 2 + y 2 j − e 2 x 2 − y2 j
Aplicamos:
2
2 3
F H
Luego:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
b x + yg2 + b x − yg2 b x + yg 2 − b x − yg 2 4e 2 x2 je y2 j 2e x2 + y2 j 4 xy 8 x 2y 2
E = G 2 + 3 − 2 e 2 + 3 je 2 − 3 j + 2 − 3 J
I 3 K
3 je 2 − 3 j J
3 F 2 I 2 E = G 4 − 2 b 2 g − e 3 j J H K 3
E = e4 − 2 4 − 3 j
E = (4 − 2)3
∴
E=8
Rpta.: C
Resolución 33
Sabemos que:
Resolución 34
Perímetro del cuadrado = 4×(Lado)
M = (x + y + z)3 − (x + y)3 − 3(x + y + z)(x + y)z Hacemos: a = x + y
Perímetrodel cuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)
M = (a + z)3 − a3 − 3(a + z)(a)z M = (a + z)3 − a3 − 3az(a + z) Aplicamos: (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3
8b 2 x + 1g = bLadog 4
Sea:
Lado del cuadrado ABCD = 2(2x + 1)
M = (a3 + 3a2z + 3az2 + z3) − a3 − 3az(a + z) De la figura, podemos ver que: Lado del F Lado del I cuadrado ABCD = 2 H cuadrado EFGDK
M = a3 + 3a2z + 3az2 + z3 − a3 − 3a2z − 3az2
∴
M = z3
Rpta.: C
2(2x +1)
F Lado del I = 2 H cuadradoEFGD K
2b 2 x + 1g 2
Lado del = cuadrado EFGD
Resolución 35 Sabemos que: 2 = 5 − 3 Luego: La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
Lado del cuadrado EFGD = 2x + 1
M = 4 b 5 − 3gb 5 + 3ge 52 + 3 2 je54 + 3 4 j + 3 8
Luego:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
F Áreadel I F Áreadel I Área =G cuadradoJ + GG cuadradoJ coloreada GH ABCD J K H EFGD J K
Aplicamos:
Lado del I 2 Lado del I 2 F F rea = G cuadradoJ + G cuadradoJ coloreada H ABCD K H EFDG K
M = 4 F G e 5 2 j − e 32 j
2 rea 2 = coloreada c 2b 2 x + 1gh + b2 x + 1g
M = 4 e 54 − 34 je 5 4 + 3 4 j + 3 8
Área = 4(2x + 1)2 +(2x +1)2 coloreada
M = 4 F G e 5 4 j − e 34 j
rea = 5(2x + 1) 2 coloreada
M = 4 58 − 3 8 + 3 8
Área = 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 1 2) coloreada
M = 4 58 = 5 2
∴
Área = 5(4x2 + 4x + 1) coloreada
M = 4 e 52 − 32 je 52 + 32 je 5 4 + 3 4 j + 3 8 2
2
H
2
2
H
Rpta.: C
∴
I J e 54 + 34 j + 38 K I J + 38 K
M = 25 Rpta.: E
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pág.(193, 194, 195, 196)
NIVEL I Resolución 1 Sabemos que:
D = d × q + R . ... (I)
Según los datos : d = (x2 + 1) q = (x + 2) R = (x − 3)
Reemplazando en (I) tenemos que: D = (x2 + 1)(x + 2) + (x − 3) D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3
∴
D = x3 + 2x2 + 2x − 1 Rpta.: B
Resolución 5 Por el teorema del Resto: x + 3 = 0 → x = −3 Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendo Dividendo = x4 − 2x2 − 6 Residuo(R) = (−3)4 − 2(−3)2 − 6 = 81 − 2(9) − 6 ∴
Resolución 2 Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor
R = 57 Rpta.: D
Resolución 6 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
64 x 4 − 36 x 2 + 8 x 4 x − 1 : 4 4 1 16 x4 − 9 x2 + 2 x : x − 4
Aplicamos el método de Ruffini:
∴
Cociente = x2 − 3x − 11 Residuo = −34x2 + 2x + 12
∴
cociente: 16x3 + 4x2 − 8x
Resolución 7 Rpta.: C
Rpta.: C
Por el teorema del
Resolución 3
Resto: x − 1= 0 → x = 1 Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Dividendo = 6x3 − 5x 2 − 4x + 4 Residuo(R) = 6(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4 = 6 − 5 − 4 + 4 ∴
R=1
Rpta.: A
Resolución 8
Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b) Cociente: x − 4 Residuo: 8x − 4
M=
Luego: Suma de coeficientes = 8 +(−4)= 4 del residuo Rpta.: D
M=
e 4 x 2 + 6 x + 1j
2
− x2
4 x2 + 7 x + 1
e e4 x2 + 6 x + 1j + x jee 4 x2 + 6 x + 1j − xj 4 x2 + 7 x + 1
4 x2 + 7 x + 1je 4 x2 + 5 x + 1j e M= 4 x2 + 7 x + 1
∴
M = 4x2 + 5x + 1
Rpta.: E
Resolución 4 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴
Cociente = x + 1
Rpta.: A
Resolución 9 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴
Residuo = −5x + 14
Rpta.: E
Resolución 10 La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
Residuo = 19x − (1 + 3k)
•
Por el dato: residuo = 19x − 7
19x − (1 + 3k) = 19x − 7
x3 + e 4 x2 y − x2 y j − 4 y3 E= x−y E=
x3 − x2 y + 4 x2 y − 4 y3
E=
1 + 3k = 7
∴
x−y
x2 b x − yg + 4 ye x2 − y2 j E= x−y E=
−(1 + 3k) = − 7 k=2
Rpta.: D
Resolución 14 Por el método de Horner, obtenemos:
x2 b x − yg + 4 yb x + ygb x − yg x−y
b x − y g e x2 + 4 y b x + y g j x−y
x2 + 4xy + 4y2
E= E = x2 + 2(x)(2y) + (2y)2
∴
E = (x + 2y)2
Rpta.: B
Resolución 11 Por el teorema del Resto: x − 2= 0 → x = 2 Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo= x4 − 2x3 + 4x 2 − x + 1 Residuo(R) = (2) 4 − 2(2)3 + 4(2)2 − (2) + 1 = 16 − 2(8) + 4(4) − 2 + 1
∴
R = 15 Rpta.: C
Resolución 12 Por el teorema del Resto: x − 2 = 0 → x = 2 Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 4x5 − 2x 3 + kx − 2 Como el dividendo es divisible por (x - 2), el residuo debe ser cero Residuo(R) = 4(2)5 − 2(2)3 + k(2)−2 = 0 =4(32) − 2(8) + 2k − 2 = 0 110 + 2k = 0 −110 = 2k
∴
k = −55
Como: 5x3 − 2x2 + ax − b es divisible por x2 + 1 Entonces, la división es exacta. O sea que: i) a − 5 = 0 → a = 5 ii) −b + 2 = 0 → b = 2 Rpta.: A Resolución 15 Como: x3 − ax − x + b es divisible por x2 + x− a Entonces, la división debe ser exacta. O sea, el residuo es igual a cero. • Dividendo = x3 − (a + 1)x + b Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Como: residuo = 0 b − a = 0 ∴ a = b Rpta.: B Resolución 16
Rpta.: E
Resolución 13 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Sea el cociente notable:
x20 − yn xn + y5 Número de = 20 = n términos n 5
20 × 5 = n2 100 = n2 → n = 10
∴
Número de = 20 = 2 términos 10
Rpta.: A
Resolución 17 Hallamos el número de términos (n): 31 n= → n = 31 1
Resolución 2 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
F Como"K" es par, el I Por dato: k = 14 H términoserá negativoK Luego:
∴
Tk = ± xn−k · yk −1
T14 = −x31-14 · y 14−1 T14 = −x17 · y13
Rpta.: E
∴
Cociente = x2 + 2x + 3
Rpta.:C
Resolución 18
Resolución 3
Por el teorema del Resto:
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
x − 2= 0 → x = 2 Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 2x4 − 8x2 + 7x − 11 Residuo(R) = 2(2)4 − 8(2)2 + 7(2) − 11 = 2(16) − 8(4) + 14 − 11
∴
R=3
Rpta.: A
Resolución 19 Por el teorema del Resto: x − 4= 0 → x = 4 Reemplazamos el valor x = 4 en el dividendo: Dividendo = (x − 3) 8 + 16 Residuo(R) = (4 − 3)8 + 16 = 18 + 16
∴
–4 –
Cociente = x3 + x2 + 2x + 2 Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 2 del cociente
∴
Suma de coeficientes = 6 del cociente
Rpta.. A
Resolución 4 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
R = 17 Rpta.: A
Resolución 20 Por el teorema del Resto: x + 1 = 0 → x = –1 Reemplazamos el valor x = −1 en el dividendo: Dividendo = 4x6 + 2x + a Residuo(R) = 4(−1)6 + 2(−1) + a = 4 − 2 + a R=2+a Por dato: R = 7 2+a=7
∴
a=5
Rpta.: C NIVEL II
∴
Residuo = 4x + 2
Rpta.: B
Resolución 5 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Resolución 1 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴ ∴
Cociente = x2 + 3x + 2
Rpta.. A
Residuo: 7x + 15
Rpta.: A
Resolución 6 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Resto= (A − 4)x + (B + 12) Por dato: Resto = 3x + 14 (A − 4)x + (B + 12) = 3x + 14
Por comparación de términos, tenemos que: → A=7 i) A − 4 = 3 ii) B + 12= 14 → B = 2 Luego: A + B = 7 + 2 Residuo= (M + 17)x + (N − 11) Por dato: Residuo = 2x+ 3 (M + 17)x + (N − 11) = 2x + 3
Por comparación de términos, tenemos: i) M + 17 = 2 → M = −15 ii) N − 11 = 3 → N = 14 Luego: M + N = ( −15)+ 14
∴
M + N = −1
∴
A+B=9
Rpta.: D
Resolución 9 Como la división es exacta, entonces Residuo = 0 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Rpta.: B
Resolución 7 Aplicando el método de Horner, obtenemos: Como residuo = 0 i) a + 9 = 0 → a = -9 ii) b + 9 = 0 → b = -9 a = −9 = 1 Rpta.: A ∴ b −9
Cociente = x3 + x2 + 2x + 3 Luego:
Resolución 10 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 3 del cociente
∴
Suma de coeficientes = 7 del cociente
Rpta.: B
Resolución 8 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Como la división es exacta, residuo = 0 i) m + 8= 0 → m= −8 ii) n + 3 = 0 → n = −3
∴
mn = (−8)(−3) = 24
Resolución
11
Rpta.. C
Por el teorema del Resto:
x + 2= 0 → x = −2 Reemplazamos el valor x = −2 en el dividendo: Dividendo = x4 + 3x 3 + 2x 2 + 5x + 4 Residuo(R) = (−2)4 + 3(−2)3 + 2(−2)2 + 5(−2)+4 = 16 + 3(−8)+2(4)−10+4
∴
R = −6 Rpta.. D
Resolución 12 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴
Término indenpendiente
Residuo = 6x + 7 Término Independiente = 7
Rpta.. D
Resolución 13 Por el teorema del Resto, tenemos que: x − 2= 0 → x = 2 Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 2x7 − 4x6 + 2x + 3 Residuo(R)= 2(2)7 − 4(2)6 + 2(2) + 3 =2(128) − 4(64) + 4 + 3
∴
R=7
Rpta.: C
Resolución 14 Por el teorema del Resto, tenemos que: n 2x + n = 0 → x = − 2 n 2
Reemplazando el valor x = − en el dividendo: Dividendo = 2x3 + nx 2 − 4x + n 3
2
GH − n I J K + nF GH − n I J K − 4F GH − n I J K + n Residuo(R) = 2F 2
2
2
F 3 I F 2 I = 2G − n J + nG n J + 2n + n H 8 K H 4 K 3
3
4
4
= − n + n + 3n
R = 3n Por dato: R = −15 3n = −15
∴
n = −5
Rpta.: A
Resolución 15 Por el teorema del Resto, tenemos que: x2 + 1 = 0 → x2 = −1 Reemplazamos el valor x2 = −1 en el dividendo Dividendo = (x2)2 + 2(x2) + 5 Residuo(R) = (−1)2 + 2(−1) + 5 = 1 − 2 + 5
∴
R=4
Rpta.: A
Resolución 16 Por el teorema del Resto, tenemos que: x − 1 = 0 → x = 1 Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo: Dividendo = x9 + x 8 + x2 + x + 1 Residuo(R) = (1)9 + (1)8 + (1)2 + (1) + 1 =1+1+1+1+1
∴
R=5
Rpta.: D
Resolución 17 Aplicando el método de Ruffini: Igualamos el divisor a cero: x − 3 = 0 → x = 3
Cociente = 3x2 + 7x + 6 Luego: “el cociente disminuido en (3x2)”
3x2 + 7x + 6 − (3x2) = 7x + 6 Rpta.: C Resolución 18 Aplicando el teorema del Resto, tenemos que: x − 2= 0 → x = 2 Reemplazando el valor x = 2 en el dividendo: Dividendo = 3x4 − 2x3 + ax 2 − x − 2 Residuo(R) = 3(2)4 − 2(2)3 + a(2)2 − 2 − 2 = 3(16)−2(8) + 4a − 4 R = 28 + 4a Como la división es exacta, entonces: R=0 28 + 4a = 0
∴
a = −7
Rpta.: B
Resolución 19 Aplicamos el método de Horner, obtenemos:
Residuo= (a − a 3)x + (1 − a 2) Como el residuo es un polinomio idénticamente nulo, tenemos que:
i)
a − a3 = 0 → a(1 − a2) = 0 a=0 ó 1 − a2 = 0 1 = a2 → a = ±1
ii)
1 − a2 = 0 → 1 = a2
∴
a = −1
Residuo(R) = (b − 2a2)a3 + 2a 2·a + a5 + a·a4
R=5
n + 1 = 3n − 4 1 2 2(n + 1) = 3n − 4 2n +2 = 3n − 4
Rpta.: C
Dividendo = (b − 2a2)x3 + 2a 2x + x 5 + ax4 +(a − ab)x2 + 5 − 3a3
∴
xn+1 − y3n − 4 es un cociente notable, se debe cumplir: x − y2
Si
→ a = ±1
Resolución 20 Por el teorema del Resto, tenemos que: x − a = 0 → x = a Reemplazamos el valor x = a en el dividendo:
Resolución 23
+(a − ab)a2 + 5 − 3a3 = a3b − 2a5 + 2a3 + a5 + a5 + a3 − a3b + 5 − 3a3 = −2a5 + 3a3 + 2a5 + 5 − 3a3 Rpta.: D
Resolución 21 Por el torema del Resto, tenemos que: xn + 1 = 0 → xn = −1
∴
n=6
Rpta.: A
Resolución 24 Número de = 3n+8 = 2n − 1 términos 2 1 3n + 8 = 2(2n − 1) 3n + 8 = 4n − 2
10 = n
de = 2n − 1 = 2b10 g − 1 Luego: Número términos 1 1 Número de = 19 términos
∴
Rpta.: D
Resolución 25 Número de = 4n − 5 = 2n términos 3 2 4n − 5 = 3n n=5
Reemplazamos el valor xn = −1 en el dividendo. Dividendo = x3n + 3xn + 2x4n + 12 = (xn)3 + 3(xn) + 2 (xn)4 + 12 Residuo(R) = ( −1)3 + 3(−1) + 2(−1)4 + 12 = −1 − 3 + 2(1) + 12
de = 4n − 5 = 4b 5 g − 5 Luego: Número términos
∴
∴
R = 10 Rpta.: D
Resolución 22 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
3
3
Número de = 5 términos
Rpta.: B
Resolución 26 La expresión dada se puede escribir de la manera siguiente: 5
5
4 3 x20 + y15 ( x ) + ( y ) = x4 + y3 x4 + y3
Aplicamos: xn + yn = xn−1 − xn − 2 · y + xn− 3 · y 2 − ... + yn−1 x+y 5
Residuo = m − 1 Como el resto es nulo, entonces: Residuo = 0 m − 1 = 0
∴
m=1
Rpta.: D
e x4 j + e y3 j x4
+ y3
5
=(x4)4−(x4)3(y3) + (x4)2(y3)2
− (x4)(y3)3 + (y 3)4 ∴
x20 + y15 = x 16 − x 12·y3 + x 8·y6 − x4·y9 x4 + y3
+ y12 Rpta.: B
Resolución 27
Hallamos el número de términos(n): 31 n= → n = 31 1 Según el enunciado: K = 14 F Como "K" espar el términoI H será negativo K Luego: Tk = ± xn− k · yk −1
Cociente = 2x3 −4 x2 + 4x + 1 Menor coeficiente
∴
Menor coeficiente = −4
Rpta.: B
Resolución 31 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
T14 = −x31−14·y14−1
∴
T14 = −x17·y13 Rpta.: E
Resolución 28 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
0
0
Término indenpendiente
0
∴ ∴
Cociente = 2x2 + 4x −3
Residuo = −6x2 − 10x + 7
Término indenpendiente = −3
Rpta.: E
Resolución 29 Como: P(x) es divisible por q(x) Entonces: Residuo = 0 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
Resolución 32 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
–
∴
Residuo = 1
Rpta.: C
Como: Residuo = 0
−n + 3 = 0 → n = 3 ii) m + 2 = 0 → m = –2 Luego: m + n = (−2) + 3 ∴ m+n=1 Rpta.. E i)
Resolución 33
Resolución 30 Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴
Residuo = 2x2 + 2x + 1 Rpta.: A
Rpta.: E
CAPÍTULO N° 5 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (FACTORIZACIÓN). Pág.(232, 233, 234) NIVEL I
M = eb 5ng2 − 12 jc 2bn + a gh
Resolución 1
Diferencia de cuadrados
Aplicando el método del Aspa, tenemos que: I.
M = (5n + 1)(5n − 1)·2·(n + a) M = 2(n + a)(5n + 1)(5n − 1)
∴
Uno de los factores será: 5n + 1 Rpta.: B
x2 + 5x − 14 = (x + 7)(x − 2)
II.
Resolución 4
Q = (x + 3)2 − (x + 1)2 a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Aplicamos:
Sea:
Obteniendo: Q = ((x+ 3)+(x + 1))((x + 3)−(x − 1)) Q = (x + 3 + x + 1)(x + 3 − x − 1) Q = (2x + 4)(2) Q = (2(x + 2))·2 ∴ Q = 4(x + 2) Rpta.: E
x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
III.
Resolución 5
∴
x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2) Factor común = x − 2
Rpta.: E
Resolución 2 Sea: P = nx − 2ny − mx + 2my Ordenando adecuadamente, tenemos: P = nx − mx − 2ny + 2my P = nx − mx −(2yn − 2ym) P = x(n − m) − (2y(n − m)) P = x(n − m)− 2y(n − m) P = (n − m)(x − 2y) ∴ P = (x − 2y)(n − m) Rpta.: A Resolución 3
Sea:
M = 50n3 − 2a + 50an2 − 2n Ordenamos la expresión adecuadamente y factorizamos. M = 50n3 − 2n + 50an2 − 2a M = 2n·25n2 − 2n + 2a·25n2 − 2a M = 2n(25n2 − 1) + 2a(25n2 − 1) M = (25n2 − 1)(2n + 2a)
•
Aplicamos: factorización por suma y resta
U |V | = 2 y2 W
*
x 4 = x2
Doble producto de las raíces halladas sería:
*
4 y4
2(x2)(2y2) = 4x2y2
2 2 + 4 + 4 y4 - 4x 2y2 x4 + 4y4 = x4 x y ( T.C.P ) 2
x4 + 4y4 = ( x2 + 2y2 ) − (2xy)2
Diferencia de cuadrados
x4 + 4y 4 = ((x2 + 2y2)+2xy)((x2 + 2y2 − 2xy) x4 + 4y4 = (x2 + 2xy + 2y2)(x2 − 2xy + 2y2)
∴
x4 + 4y4 = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2)
Resolución 6
Rpta.: C
Sea:
P = 3x2 − 3x4 + y 2 − x2y2 Ordenamos la expresión convenientemente y factorizamos P = 3x2 − 3x2·x2 + y 2 − x2y2 P = 3x2(1− x2) + y2(1 − x2) P=
1− x2 j e 3 x2 − y2 j e
Diferencia de cuadrados
+
p = (1 + x)(1 − x)(3x2 + y2)
∴
P = (3x2
+ y2)(1 + x)(1
Resolución
− x)
Rpta.: E
12
P(x; y) = x 2 + x 4y2 − y4 − x2y6
Resolución 7
P(x; y) = (x2 + x 4y2) − (y4 + x 2y6)
La expresión dada se puede escribir así: E = (a4 + a3) − (a + a2) Factorizamos: E = a3(a + 1) − a(1 + a)
P(x; y) = x 2(1 + x2y2) −y4( + x2y2)
E = (a + 1)(a 3 − a) E = (a + 1)(a(a 2
− 1))
Diferencia de cuadrados
P(x; y) = (1 + x 2y2) (x + y2) (x − y2) Diferencia de cuadrados
G.A = 4
∴
E = (a + 1)(a(a + 1)(a − 1)) E = a(a + 1) 2· (a − 1)
∴
P(x; y) = (1 + x 2y2) e x2 − y 4 j
Factor primo de 2 2 mayor grado es: 1 + x y
Resolución
Un factor será: a − 1 Rpta.: D
G.A = 3 G.A = 3
Rpta.: E
13
Factorizamos por el método del Aspa
Resolución 8 Q(X) = 8x2 − 6ax − 12bx + 9ab Q(x) = 2x(4x − 3a) − 3b(4x − 3a) Q(x) = (4x − 3a)(2x − 3b)
∴
Un factor será: 4x − 3a
Resolución 9
Rpta.: C
Sea:
Factores primos
M = 3am + 3bm + 3an + 3bn M = 3(am + bm + an + bn) M = 3(m(a + b) + n(a + b)) M = 3((a + b)(m + n))
Suma de factores primos: (3x + 1)+(2x − 3) = 5x − 2
∴
M = 3(a + b)(m + n)
∴
Un factor será: m + n Rpta.: C
Resolución 10 E = ac + ad − acd − bc − bd + bcd E = a(c + d − cd) − b(c + d − cd) E = (c + d − cd)(a − b)
∴
Un factor será: a − b
3x+1gb 2 x − 3 g 6x2 − 7x − 3 = b
Rpta.: C
Suma de factores primos = 5x − 2
Resolución
Rpta.: A
14
2 − b2)(a − c) + (a 2 − c2)(a − b) E = (a Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados
E = (a + b)(a − b)(a − c) + (a + c)(a − c)(a − b) E = (a − b)(a − c)((a + b) + (a + c)) E = (a − b)(a − c)(2a + b + c)
∴
Factor primo trinomio = 2a + b + c
Resolución 11 2
Rpta.: C 2
x6 − y6 = e x3 j − ey 3 j
Resolución
Diferencia de cuadrados
A = a2 ab −2 + b2 − ac + bc T.C.P
3 3 3 3 x6 − y6 = e x + y je x − y j
A = (a − b)2 − c(a − b)
Suma de Diferencia cubos de cubos
A = (a − b)·(a − b) − (a − b)·c A = (a − b)((a − b)−c)
x6 − y6 = [(x + y)(x2 − xy + y2)][(x − y)(x2 + xy + y2)] x6 − y6 = (x + y)(x2 − xy + y2)(x − y)(x2 + xy + y2)
∴
Un factor será: x2 + xy +y 2
15
∴
Rpta.: D
A = (a − b)(a − b − c)
Rpta.: D
Resolución 20
Resolución 16 B = a 2b2c2 + ab 2c + abc2 + bc B = a 2b2c2 + abc2 + ab 2c + bc B = abc2(ab + 1)+bc(ab + 1) B = (ab + 1)(abc2 + bc) B = (ab + 1)(bc(ac + 1)) B = bc(ac + 1)(ab + 1)
∴
Un factor primo binomio será: ac + 1 Rpta.: D
Q(x) = ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) Q(x) = abx2 + aby2 + xya2 + xyb2 Q(x) = abx2 + xya2 + aby2 + xyb2 Q(x) = ax(bx + ay)+ by(ay + bx) Q(x) = (bx + ay)(ax + by)
∴
NIVEL II Resolución 1
Resolución 17 2a6b
∴
− 4a 4b3 +
2a2b5
Un factor primo es: ax + by Rpta.: E Aplicamos:
A2 − B2 = (A + B)(A − B)
P= P = 2a2b(a4 − 2a 2b2 + b4) P = 2a2b((a2)2 − 2(a2)(b2) + (b2)2)
P = 4a2b2 − (a 2 + b 2 − c 2)2
P=
P = (2ab + a 2 + b2 − c2 )(2ab − a2 − b2 + c 2)
Trinomio cuadrado perfecto 2a2b(a2 − b2)2
Diferencia de cuadrados
P = 2a2b((a + b)(a − b))2 P = 2a2b(a + b)2(a − b)2 Un factor primo es: a − b
Resolución
18
P = (2ab)2 − (a2 + b 2 − c2)2 P = ((2ab) + (a2 + b2 − c2))(2ab − (a2 + b2 − c2)) 2 + 2ab + b2 − c2)(c2 − (a2 − (a2 − 2ab + b2)) P = (a T.C.P
Rpta.: C
Empleando aspa doble:
T.C.P
P = ((a + b)2 − c2)(c2 − (a − b)2) Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados
P = ((a + b)+c)((a + b)−c)(c + (a − b))(c − (a − b)) P = (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c − a + b)
∴
Rpta.: B
Un factor será: a + b + c
Resolución 2 F = (x4 + x3 + x2 + x + 1)2 − x4 2
2
F = e x4 + x3 + x2 + x + 1j − e x2 j
Diferencia de cuadrados
Luego: x2 + 2xy + y2 − 2x − 2y − 63=(x + y + 7)(x + y − 9)
∴
Un factor será: x + y + 7
Rpta.: C
F = [x 4 + x3 + x2 + x + 1 + x 2] [x4 + x3 + x2 + x + 1 − x2]
Resolución 19
F = [x 4 + x3 + 2x2 + x + 1][x 4 + x3 + x + 1]
P(x) = x3 + 3x2 − x − 3
F = [x 4 + x3 + 2x2 + x + 1][x 4 + x + x3 + 1]
P(x) = x3 − x + 3x2 3
F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x(x3 + 1) + (x3 + 1)]
P(x) = x(x2 − 1) + 3(x2 − 1)
3 + 1)(x + 1)] F = [x 4 + x3 + 2x2 + x + 1][(x
x2 − 1) (x +3) P(x) = (
Suma de cubos
Diferencia decuadrados
∴
P(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 3)
F = [(x4 + x3 + x2 + x + 1)+x 2] [(x4 + x3 + x2 + x + 1) −x2]
Rpta.: D
F = [x 4 + x3 + 2x2 + x + 1] [(x + 1)(x2 − x + 1)(x + 1)]
F = (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)(x + 1) 2(x2 − x + 1) Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 1 + 1
∴
Suma de coeficientes de uno de l os factores e s: 6 Rpta.: A
2 − z2) M = (a + y)(x 2 + z2)(x
Resolución 3
Diferencia de cuadrados
P = abx2 − (a2 + b2)x + ab P = abx2 − a2x − b2x + ab P = abx2 − b2x −(a2x − ab) P = bx(ax − b) − a(ax − b) P = (ax − b)(bx − a)
∴
M = (a + y)(x2 + z2)(x + z)(x − z)
∴
Resolución
Un factor será: ax − b Rpta.: B
Q = x7 + y 3x4 − y4x3 − y7 Q = x4(x3 + y3) − y4(x3 + y3)
∴
− y4)
Suma de Diferencia de cuadrados cubos
2 − y2) Q = (x + y)(x2 − xy + y2)(x2 + y2)(x
Diferencia de cuadrados
Q = bx + yg
e
− xy +
y2
je
x2 + y2
jb x − yg
Número de factores primos = 4
Rpta.: C
P = [(12x2 + 7x) + 1][2(12x2 + 7x) + 1] − 36 12x2 + 7x = a
Reemplazamos:
Factores primos
∴
Un factor es: x + y 2
P = [12x2 + 7x + 1][24x2 + 14x + 1] − 36
Q = (x + y)(x2 − xy + y2)(x2 + y2)(x + y)(x − y) x2
7
Resolución 8 Agrupamos la expresión convenientemente y resolvemos: P = [(4x + 1)(3x + 1)]·[(12x + 1)(2x + 1)] − 36
3 y 3)((x2)2 − (y2)2) Q = (x +
2
Rpta.: C
Agrupamos convenientemente: N = x3 + x2y2 + xz + y 2z N = x2(x + y2) + z(x + y2) N = (x + y2)(x2 + z)
Resolución 4
Q = (x3 + y3)(x4
Un factor primo es: a + y
Rpta.: C
P = [a + 1][2a + 1] − 36 P = 2a2 + 3a + 1 − 36 P = 2a2 + 3a − 35 Aplicamos el “método del Aspa”:
Resolución 5 R = a 2b − ab2 + b 2c − bc2 − a2c + ac2 Agrupamos convenientemente: R = (a2b + b 2c) − (bc2 + a 2c) − (ab2 − ac2) R = b(a2 + bc) − c(bc + a2) − a(b2 − c2) Diferencia de cuadrados
R = (a2 + bc)(b − c) − a(b + c)(b − c) R = ((a2 + bc) − a(b + c))(b − c) R = (a2 + bc − ab − ac)(b − c) R = (bc − ac − ab + a 2)(b − c) R = (c(b − a) − a(b − a))(b − c) R = ((b − a)(c − a)(b − c)
∴
Rpta.: E
Un factor es: b − a
Resolución 6 x4a
x4y
− z4a
− z4y
M= + M = x4a + x4y − (z4a + z4y) M = x4(a + y) − z4(a + y)
P = (2a − 7)(a + 5) Pero: a = 12x2 + 7x P = (2(12x2 + 7x)−7)(12x2 + 7x + 5) P = (24x2 + 14x − 7)(12x2 + 7x + 5) Coeficientes = 12; 7; 5
Luego: Producto de coeficientes = 12×7× 5
∴
M = (a + y)(x4 − z4) M = (a + y)((x2)2 − (z2)2) Diferencia de cuadrados
Producto de = 420 coeficientes
Rpta.: B
Resolución 9
2
= e 3 x2 + 2 y2 j − b 2 xy g2
Aplicamos la factorización por suma y resta. *
a4 = a2
*
4 =2
U| V| W
Diferencia de cuadrados
El doble producto de las raíces halladas será: 2(a2)(2) = 4a2
= ((3x2 + 2y2) + (2xy))(3x2 + 2y2) − 2xy)) = (3x2 + 2xy + 2y2)(3x2 − 2xy + 2y2) Producto de coeficientes : 3 × 2 × 2
Luego: 2 + 4 − 4 a2 +4a a 4 + 4 = a4
∴
T.C.P
2
a 4 + 4 = e a2 + 2 j − b 2 a g2
P = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) − 15 P = (x − 1)(x − 4)(x − 2)(x − 3) − 15
a4 + 4 = ((a 2 + 2)+(2a))((a2 + 2) − (2a)) a4 + 4 = (a 2 + 2a + 2)(a 2 − 2a + 2)
P = (x2 − 5x + 4)(x 2 − 5x + 6) − 15 Hacemos: a = x2 − 5x P = (a + 4)(a + 6) − 15
Suma de coeficientes : 1 + 2 + 2
∴
Resolución
Rpta.: D
Resolución 12
Diferencia de cuadrados
Suma de coeficientes =5 de un factor primo
Producto de coeficientes = 12
2 (a + 10a + 24)
− 15 P= 2 P = a + 10a + 9 Por el método del Aspa:
Rpta.: D
10
A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 1)(x + 4) + 1 − x2 A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 − 1)(x + 4) + [(−(x2 − 1)] A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 − 1)(x + 4) − (x2 − 1) A = (x2 − 1)[(x + 2)(x + 3) + (x + 4) − 1] A = (x2 − 1)[(x + 2)(x + 3) + x + 4 − 1] A=
P = (a + 9)(a + 1) Si : a = x2 − 5x
x2 − 1j b x + 2 gb x + 3 g + b x + 3g e
Diferencia de cuadrados
P = (x2 − 5x + 9)(x2 − 5x + 1)
∴
Un factor es: x2 − 5x + 1
Rpta.: A
A = (x + 1)(x − 1)[(x + 3)((x + 2)+ 1)] Resolución 13 Aplicando: método de los divisores binomios. Sea:x3 + 5x2 − 33x + 27 Los posibles valores que anulan el polinomio serán: • 27 divisores de 27: ±1; ±3; ± 9; ± 27 • 1 divisores de 1: ±1
A = (x + 1)(x − 1)[(x + 3)(x + 3)] A = (x +1)(x − 1)(x + 3)2
∴
Factor primo que se repite es: x+3
Rpta.: E
Resolución 11
Los posibles valores serán: ±1; ±3; ± 9; ± 27 − Probando con x = 1
Aplicamos la factorización por suma y resta. 9 x4 = 3 x2 4y4
= 2 y2
El doble del producto de las raíces halladas será: 2(3x2)(2y2) = 12x2y2 Luego: 9x4 + 8x 2y2 + 4y 4 + 12x2y2 − 12x 2y2 =
x3 + 5x2 − 33x + 27 = (1)3 + 5(1)2 − 33(1) + 27 = 1 + 5 − 33 + 27 = 0
∴ (x − 1) sí es factor del polinomio. Dividimos: (x3 + 5x2 − 33x + 27):(x − 1) Aplicando Ruffini:
4+ = 9x 12 x2 y2 + 4 y4 − 4 x2 y2 T.C.P
E = ((x + 3) +y)((x + 3) − y) E = (x + y + 3)(x − y + 3)
∴
Un factor primo es: (x − y + 3) Rpta.: A
Resolución Sabemos que: dividendo = divisor × cociente
x3 + 5x2 − 33x + 27 = (x2 + 6x − 27)(x − 1)
x x
+9 −3
x3 + 5x2 − 33x + 27 = (x + 9)(x − 3)(x − 1) Suma de factores primos = (x +9)+(x − 3)+(x − 1)
∴
Suma de = 3x + 5 factores primos
Rpta.: A
Resolución 14
Aplicamos: “Diferencia de cubos” E = (x − 2)3 −53 E = [(x − 2)−5][(x − 2)2 + (x − 2)(5) + 5 2] E = [x − 7][(x2 − 4x + 4) + 5x − 10 + 25] E = (x − 7)(x2 + x + 19) Luego: Suma de factores = (x − 7)+(x2 + x + 19) primos
∴
Suma de factores 2 = x + 2x + 12 primos
Resolución
Q(x) = x4 + 4x3 − 7x2 − 34x − 24 Q(x) = x4 + 4x3 − (7x2 + 34x + 24)
17
Rpta.: A
18
Aplicamos: Aspa doble Completamos el polinomio: M = 2x2 − 3xy + y2 + x − y + 0
Q(x) = x4 + 4x3 − (7x + 6)(x + 4)
Comprobación
Q(x) = x3(x +4) − (7x + 6)(x + 4) Q(x) = (x + 4)(x3 − (7x + 6)) Q(x) = (x + 4)(x3 − 7x − 6)
∴
El factor primo binomio es: x + 4 Rpta.: D
Resolución 15 P(x; y) = (x − y)2 + (x − y) + (x2 − y2) Diferencia de cuadra2 P(x; y) = (x − y) + (x − y) +dos (x + y)(x − y)
Luego: M = (2x − y + 1)(x − y)
∴
Resolución
P(x; y) = (x − y)[(x − y) + 1 + (x + y)] P(x; y) = (x − y)[2x + 1]
∴
Un factor es: (2x + 1) Rpta.: B
Resolución 16 Agrupamos convenientemente:
E = (x + 3)2 − y2
19
Rpta.: B
Aplicamos:
a3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b2) T = ((a + b)+(a + 2b)((a + b)2 − (a + b)(a + 2b) + (a + 2b) 2) T = (2a + 3b)((a2 + 2ab + b2) − (a2 + 3ab + 2b2) + (a2 + 4ab + 4b2)) T = (2a + 3b)(a 2 + 2ab + b 2 − a2 − 3ab − 2b2
E = e x2 + 6 x + 9 j − y2 T.C.P
Un factor es: (2x − y + 1)
+ a2 + 4ab + 4b 2) T = (2a+ 3b)(a2 + 3ab + 3b2)
∴
Diferencia de cuadrados
Un factor es: (a2 + 3b2 + 3ab)
Rpta.: A
Resolución 20
Q = (x + y)(yz(2y − z))
Factorizando:
Q = 2xy2z − xyz2 + 2y3z − y2z2 Q = 2y2z(x + y) − yz2(x + y)
Q = yz(x + y)(2y − z) Suma de factores será: (x + y)+y + z + (2y − z) =
Q = (x+ y)(2y2z − yz2)
= x + y + y + z + 2y − z = x + 4y
Rpta.: D
CAPÍTULO N° 6 ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO (EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO). Pág.(268, 269, 270, 271, 272)
NIVEL I Resolución 1 I)
+ 5 gb x − 5 g = x2 + 10 x bx Diferencia de cuadrados
x2 − 25 = x2 + 10x
II)
Esta igualdad NO es una identidad; pues no se verifica para cualquier valor de x. x(x + 6) = x2 + 6x x2 + 6x ≡ x2 + 6x
Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x III) 3x − 5 = 2x + 8 Esta igualdad NO es una identidad, pues no se verifica para cualquier valor de x IV) (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 a2 + 2a + 1 ≡ a2 + 2a + 1 Es una identidad,pues se verifica para cualquier valor de x
∴
Son identidades II y IV Rpta.: C
Resolución 2 I)
II)
x2 + 6x ≡ x2 + 6x Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x. Desarrollando: (x + 3)(x +5) = x2 + 8x +15 x2 + 8x + 15 ≡ x2 + 8x +15 Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x.
III) Desarrollando: 2x − 6 = 4x + 4 −6 − 4 = 4x − 2x −10 = 2x → x = −5 Es una ecuación, pues solo se verifica para x = −5 IV) (x + 3)(x − 3) = x2 − 9 x2 − 9 ≡ x2 − 9 Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de x.
∴
Es una ecuación: sólo III
Rpta. C
Resolución 3 A) Efectuando y trasponiendo términos: 2x + 6 = x − 7 2x − x = − 7 − 6 x = −13 Raíz de la ecuación es: −13 B) Efectuando y trasponiendo términos: 3x − 15 = 4x − 40 −15 + 40 = 4x − 3x 25 = x Raíz de la ecuación es: 25 C ) Efectuando y trasponiendo términos: 5x + 20 = 2x + 17 5x − 2x = 17 − 20 3x = −3 x = −1 Raíz de la ecuación es: −1 D) Efectuando y trasponiendo términos: 5x − 15 = 4x − 7 5x − 4x = −7 + 15 x=8 Raíz de la ecuación es: 8
E) Efectuando y trasponiendo términos: 4x + 28 = 2x − 10 4x − 2x = −10 − 28 2x = −38 x = −19 Raíz de la ecuaciónes: −19 Rpta.: D
IX) 6x(7 − x) = 36 − 2x(3x − 15) 42x − 6x2 = 36 − 6x2 + 30x 42x = 36 + 30x 42x − 30x = 36 12x = 36
Resolución 4 • Trasponiendo términos: I) 3x − 12 = 0 3x = 12 12 X= → x=4 3 II) 4x = 5x 0 = 5x − 4x → x = 0 III) 2(x − 1) = 3x + 8 2x − 2 = 3x + 8 − 2 − 8 = 3x − 2x −10 = x Rpta.
X)
IV) 4(x − 3) − 2 = 1 + 3x 4x − 12 − 2 = 1 + 3x 4x − 14 = 1 + 3x 4x − 3x = 1 + 14 x = 15 9x − 8 = 3(x + 2) 9x − 8 = 3x + 6 9x − 3x = 6 + 8 6x = 14 14 X= → 6 VI) 4 − 8x = 7 − 6x 4 − 7 = − 6x + 8x
Rpta.
II)
7 3
Rpta.
→ x = −5
Rpta.
5
x x + = x−2 m.c.m = 4 2 4 2 x + x 4b x − 2g = 4 4
3 x x−2 x− = m.c.m = 12 4 3 2 9 x − 4 x 6b x − 2 g = 12 12
5x = 6x − 12 12 = 6x − 5x Rpta 12 = x
Rpta.
Rpta.
VIII) (2x + 3)2 = x(2x - 1)+2x(x + 3) 4x2 + 12x + 9 = 2x 2 − x + 2x2 + 6x 4x2 + 12x + 9 = 4x 2 + 5x 12x + 9 = 5x 12x − 5x = −9 7x = −9 9 7
→ x=3
2x + x = 4(x − 2) 3x = 4x − 8 8 = 4x − 3x Rpta 8=x
VII) (x − 3)(x + 5) = x(x + 3) x2 + 2x − 15 = x2 + 3x 2x − 15 = 3x −15 = 3x − 2x −15 = x Rpta.
x=−
Resolución I)
3 x=− 2
→
− 10 = x 2
Rpta.
x=
36 12
4x(x − 7) = 2x(2x − 13) + 10 4x2 − 28x = 4x2 − 26x + 10 −28x = −26x + 10 −10 = −26x + 28x −10 = 2x
Rpta.
V)
−3 = 2x
x=
5 x + x = 2b x + 1g m.c.m = 3 3 3 x + 5 x 6b x + 1g = 3 3 8x = 6x + 6 8x − 6x = 6 2x = 6 6 x= → x=3 Rpta. 2 IV) 9 + x 8 − x x + 1 m.c.m = 6 − = +x−2 III)
2
3
2
3b 9 + x g − 2b 8 − x g 3b x + 1g + 6 x − 12 = 6 6
27 + 3x − 16 + 2x = 3x + 3 + 6x − 12 11 + 5x = 9x − 9 11 + 9 = 9x − 5x 20 = 4x 20 = x → x = 5 Rpta. 4
Rpta.
V)
3 1 5 x + 9 g + b x − 11g = b x + 2 g b 5 10 3
IV)
m.c.m = 30
x2 = x+3+3 x−3
18b x + 9g + 3b x − 11g 50b x + 2g = 30 30 18x + 162 + 3x − 33 = 50x + 100 21x + 129 = 50x + 100 129 − 100 = 50x − 21x 29 = 29x 29 =x 29 x=1 Rpta.
x2 = x+6 x−3 x2 = (x + 6)(x − 3) x2 = x2 + 3x − 18 0 = 3x − 18 18 = 3x 18 = x → x = 6 Rpta. 3
Resolución 6 i)
1
+ 2 = 25 x −1 x x − x
x2 −3= x+3 x−3
V)
− 1 1 + = 3 x2 1 m.c.m. = 2x(2x2 + 1) x 2x 2x + 1 2e 2 x2 + 1j + 2 x2 + 1
Factorizamos y luego hallamos m.c.m. 1 +2= 5 x − 1 x xb x − 1g
2 xe
2 x2
+ 1j
x + 2b x − 1g 5 = x b x − 1g xb x − 1g x + 2x − 2 = 5 3x = 5 + 2
ii)
iii)
3 = −2x → x = −
3 2 Rpta.
→ x=
7 3
1
Rpta.
= 2 m.c.m. = (x − 1)(x + 3) x −1 x + 3 2b x − 1g x+3 = b x − 1gb x + 3g b x − 1gb x + 3g x + 3 = 2x − 2 3 + 2 = 2x − x 5=x Rpta.
Resolución 7 i)
a(x + 1) − b(x − 1) = a + b + 1 ax + a − bx + b = a + b + 1 ax − bx = 1 x(a − b) = 1 x=
ii)
1− x 5 8 − x + = x x x+3 1− x + 5 8 − x = x x+3 6− x 8−x = x x+3 (6 − x)(x + 3) = (8 − x)x 6x + 18 − x2 − 3x = 8x − x2 3x + 18 = 8x 18 = 8x − 3x 18 = 5x 18 =x 5
2 xb 3 x − 1g 2 x e 2 x2 + 1j
4x2 + 2 + 2x 2 + 1 = 6x 2 − 2x 6x2 + 3 = 6x2 − 2x
m.c.m. = x(x − 1)
3x = 7
=
1 a−b
m 2 −n x n m mx + n2x = + n n mx − n =
xem + n2 j =
m + n2 n
m + n2 x= n 2 m+n x=
Rpta.
1 n
Rpta.
iii)
1=x iv)
v)
Reemplazamos (I) en (II), obteniendo:
a − x = ax − b b b a − bx ax − b = b b a − bx = ax − b a + b = ax + bx a + b = x(a + b) a+b =x a+b
100x + 50(24 − x) = 1950 100x +1200 − 50x = 1950 50x = 1950 − 1200 50x = 750 x=
∴ Rpta
→ x = 15 Rpta.: C
Billetes de S/. 100 = 15
Resolución
9
a + bx + x = a − x + 1 m.c.m. = a − 1 a −1 a −1 a + bx + xb a − 1g a − x + 1 = a −1 a −1 a + bx + ax − x = a − x + 1 bx + ax − x + x = a + 1 − a x(a + b) = 1 1 x= Rpta a+b
Sean los números: x(Mayor) , e y(Menor) x + y = 240 ......... (I)
ax bb x − b g − =a b a
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: (3y + 8) + y = 240 4y + 8 = 240 4y = 240 − 8 4y = 232
m.c.m = ab
a2 x − b2 b x − b g a2b = ab ab 2 2 3 a x − b x + b = a 2b x(a2 − b2) = a2b − b3 x(a2 − b2) = b(a2 − b2) x=
be a2 − b2 j
e a 2 − b2 j
x = b Rpta Resolución 8 *
Sea:
− −
Cantidad de billetes de S/. 100 = x Cantidad de billetes de S/. 50 = y
x + y = 24 y = 24 − x .......... (I) Si tengo: * − “x” billetes deS/. 100 Tengo: S/.100x Si tengo: * − “y” billetes de S/. 50 Tengo: S/. 50 y Según el enunciado del problema: S/. 100x + S/. 50y = S/. 1950 100x + 50y = 1950 ......... (II)
750 50
• Recuerde que: Dividendo = divisor × cociente + resto. Según el enunciado del problema: x = y·3 + 8 x = 3y + 8 ........ (II)
y=
232 4
→
y = 58
Reemplazamos el valor y = 58 en (I) x + 58 = 240 x = 240 − 58 x = 182
∴
El número mayor es: 182
Resolución • • •
10
Si:
Parte mayor = x Según el enunciado del problema: 9 x Parte intermedia = 20 1 F 9
I
Parte menor = 9 GH 20 xJ K x+
Luego:
9 1 9 I = 90 x + GF xJ 20 9 H 20 K
9 1 x + x = 90 20 20 20 x + 9 x + x = 90 20 30 x = 90 20
x+
Rpta.: A
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: (18 + y) + y = 40 18 + 2y = 40 2y = 40 - 18 2y = 22 22 y= → y = 11 2
3
90 · 20 → x= 30
x = 60
1
3 I Parte intermedia = 9 x = 9 GF 60J
20
∴
20 H 1
Parte intermedia = 27
K
Rpta.: B
∴ Resolución 11
− La cuarta parte del menor =
x + y = 32 ..................................... (I) Sabemos que: Dividendo = Divisor × Cociente + residuo Según el enunciado del problema tenemos:
1 x 5 1 y 4
x = 5y + 2 ...................................... (II) Reemplazando (II) en (I) , obtenemos: (5y + 2) + y = 32 6y + 2 = 32 6y = 32 − 2 6y = 30 30 y= → y=5 6 Reemplazamos el valor: y = 5 en (II) x = 5(5) + 2 x = 25 + 2 → x = 27
Según el enunciado el problema: 1 1 x= y 5 4 4x = 5y ......................................... (II) Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 4(54 − y) = 5y 216 − 4y = 5y 216 = 5y + 4y 216 = 9y 216 = y → y = 24 9
∴
El triple del menor = 3y = 3(24) = 72
Resolución 12 Sean los números: x(mayor) e y(menor) Según el enunciado del problema: *
4 b x + y g = 32 5 8
32 · 5 x+y = 4 1
x + y = 40 ...................................... (I) *
10 b x − y g = 20 9 2
20· 9 x−y = 10 1
x − y = 18 x = 18 + y ......... (II)
Rpta.: C
Resolución 13 Sean x(mayor) e y(menor), las dos partes en que se divide 32.
Sean los números: x(mayor) e y(menor) x + y = 54 x = 54 − y ......... (I) Si: − La quinta parte del mayor =
El número menor es 11
∴ Rpta.: B
Una de las partes será 27
Resolución 14
Rpta.: D
Si:
x = n ° de manzanas de José y = n ° de manzanas de Antonio x + y = 45 Donde: x = 45 − y ........ (I) Luego: − Si Antonio da a José 5 manzanas: • José tendrá: x + 5 • Antonio tendrá: y - 5 Según el enunciado del problema: x + 5 = 2(y − 5) ....... (II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos: (45 − y) + 5 = 2(y − 5) 50 − y = 2y − 10 50 + 10 = 2y + y 60 = 3y y = 20 →
∴
Antonio tiene 20 manzanas Rpta.: B
Resolución 15
Resolución
Sean: x e y los números. x + y = 10 x = 10 − y ....................................... (I) 1 Luego: la mitad de un número = x 2
Sean: x(mayor) e y(menor) los números: x >1 como: x > y y Según el enunciado del problema: x = 13 → x = 13y y También : x − y = 180
La tercera parte del otro =
1 y 3
Según el enunciado del problema:
(13y) − y = 180 12y = 180 y = 15
x y = 2 3
3x = 2y .......................................... (II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos: 3(10 − y) = 2y 30 − 3y = 2y 30 = 2y + 3y 30 = 5y → y=6 Reemplazamos el valor y = 6 en (I) x = 10 − 6 → x=4
∴
Dichos números son: 4 y 6 Rpta.: A
Resolución 16 Sean x e y los números: y 2 x El tercero del primero = 3 Según el enunciado del problema:
•
•
La mitad del segundo =
y + x = 10 2 y + 2x = 10 2
y + 2x = 20 ....... (I) x + y = 10 3 x + 3y = 10 3
x + 3y = 30 x = 30 − 3y .................................... (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: y + 2(30 − 3y) = 20 y + 60 − 6y = 20 60 − 20 = 6y − y 40 = 5y y=8
∴
Uno de los números es 8 Rpta.: B
17
Como: x = 13y → x = 13(15) x = 195
∴
El número mayor es 195 Rpta.: C
Resolución 18 Sean los números: x(mayor)e y(menor) x − y = 35 x = 35 + y ............................... (I) y Luego: la mitad del número menor = 2 Según el enunciado del problema, tenemos: y x − = 65 2 2x − y = 65 2 2x − y = 130 ...................................... (ΙΙ) Reemplazando (I) en (II), obtenemos: 2(35 + y) − y = 130 70 + 2y − y = 130 70 + y = 130 y = 130 − 70 y = 60 Reemplazamos el valor y = 60 en (I) x = 35 + 60 → x = 95
∴
Los números son: 60 y 95 Rpta.: C
Resolución
19
Sean los números: x(mayor) e y(menor) x >1 como: x > y y Según el enunciado del problema: x = 12 → x = 12y y
También:
x + y = 169
3y = 60 Como: x = 2y
(12y) + y = 169 13y = 169 y = 13
∴
El número menor es 13
Resolución 20 • •
∴ Rpta.: B
Según el problema:
1° hijo recibe : x 2° hijo recibe: y x + y = 1200 ................................... (I)
Del enunciado, se plantea la ecuación: 2x − y = 300 2x − 300 = y .................................. (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: x + (2x − 300) = 1200 3x − 300 = 1200 3x = 1200 + 300 3x = 1500 x = 500 Reemplazamos el valor x = 500 en (II) 2(500) − 300 = y 1000 − 300 = y y = 700
∴
Cada uno recibe: S/. 500 y S/. 700 Rpta.: A
Resolución 21
→
y = 20 x = 2(20) x = 40
Los números son: 40 y 20 Rpta.: C
Resolución 22 Sean: x: mayor parte y: menor parte
x + y = 260
x = 260 − y ......................................(I) Luego: • Doble de la mayor parte = 2x • Triple de la menor parte = 3x Sabemos que: Dividendo = divisor × cociente + resto Según el enunciado del problema, tenemos: 2x = (3y)·(2) + 40 2x = 6y + 40 ...................................(II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos: 2(260 − y) = 6y + 40 520 − 2y = 6y + 40 520 − 40 = 6y + 2y 480 = 8y y = 60 Reemplazando el valor y = 60 en (I) : x = 260 − 60 → x = 200
∴
Una de las partes es 200
Rpta.: C
Sean: x e y los números: Resolución 23
2
x 10 = y 5
Donde:
1
x =2 y
→
x = 2y
Según el problema se plantea la ecuación 1
x − 20 5 = y + 20 10 2
x − 20 1 = y + 20 2
2(x − 20) = y + 20 2x − 40 = y + 20 2x − y = 20 + 40 2(2y)−y = 60 4y − y = 60
Si:
Edad de Ángela = x Edad de Sergio = y Según el enunciado del problema, se plantean las siguientes ecuaciones: •
2x − y = 14 ..................................... (I) y = x − 13 • 5 y = 5(x − 13) y = 5x − 65 ................................... (II) Reemplazamos, (II) en (I), obteniendo: 2x − (5x − 65) = 14 −3x + 65 = 14 65 − 14 = 3x 51 = 3x → x = 17
∴
La edad de Ángela es 17 años Rpta.: D
Resolución 24 Sean los números: x(mayor) y(menor) Según el enunciado del problema se plantean las siguientes ecuaciones: • x − 2y = 1 x = 1 + 2y ...................................... (I) • 2x − y = 23 .................................... (II) Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 2(1 + 2y) − y = 23 2 + 4y − y = 23 2 + 3y = 23 3y = 23 − 2 → y=7 3y = 21 Reemplazamos el valor y = 7 en(I): x = 1 + 2(7) x = 1 + 14 → x = 15 ∴ x + y = 15 + 7 = 22 Rpta.: C
ΙV) −3(x − 2) + 2(x –1) = 4(x + 6) −3x + 6 + 2x − 2 = 4x + 24 6 − 2 − 24 = 4x + 3x − 2x −20 = 5x − 20 = x 5 −4 = x Rpta V) 3(x − 3) + 2(3x − 1) − 4(x + 1) = 0 3x − 9 + 6x − 2 − 4x − 4 = 0 5x − 15 = 0 5x = 15 15 x= 5 Rpta x=3 VΙ) x 2 + 2 = 4 − x x 2 +x = 4−2 xe 2 + 1j = 2
NIVEL II Resolución 1
Ι) Efectuando: (25x2 + 30x + 9) + (24x2 − 128x + 45x − 240) = (49x2 − 112x + 64) (25x2 + 30x + 9) + (24x 2 − 83x − 240) =49x2 − 112x + 64 49x2 − 53x − 231 = 49x2 − 112x + 64 −53x − 231 = –112x + 64 −53x + 112x = 64 + 231 59x = 295 295 x= → x=5 Rpta 59 + 4x)(7 4x) = 6x − 15 ΙΙ) 8(2x2 − 5) + (7 − 16x2 − 40 + ((7)2 − (4x)2) = 6x − 15 16x2 − 40 + 49 − 16x2 = 6x − 15 9 = 6x − 15 9 + 15 = 6x 24 = 6x x = 4 Rpta ΙΙΙ) (14x + 15)(14x − 15) = (14x − 5)2 + 30 (14x)2 − (15)2 = ((14x)2 − 140x + 25) +30 (14x)2 − 225 = (14x)2 − 140x + 55 −225 = −140x + 55 140x = 55 + 225 140x = 280 Rpta x=2
2 2 +1
x=
Racionalizando: 2 2 −1 · 2 +1 2 −1
x= x=
x=
2e 2 − 1j
e
2 + 1je 2 − 1j
=
2e 2 − 1j 2
2 − 12
2e 2 − 1j 2−1
x = 2e 2 − 1j 2
Rpta 2
2
VΙΙ) e x 2 − 1j + e 2 + x j = e 3 x − 2 j
e 2 x2 − 2
2 x + 1j + e2 + 2 2 x + x2 j
= 3 x2 − 4 3 x + 4 2 x2 − 2 2x + 1+ 2 + 2 2x + x2 = 3 x2 − 4 3 x + 4 3 x2 + 3 = 3 x2 − 4 3 x + 4 3 = –4 3 x + 4 4 3 x = 4 − 3 4 3x=1 x=
1 4 3
Racionalizando:
x=
1 3 = 3 · 4 3 3 4· 3
x=
3 12
Rpta
VΙΙΙ) 0,25x − 0,2x = 1 0,05x = 1 Multiplicamos por 100 a ambos miembros de la igualdad. 100×(0,05x) = 1·100 5x = 100 x = 20 Rpta
Resolución 2
Ι)
32x − 18x = 2 16 · 2 x − 9 · 2 x = 2 16 · 2 x − 9 · 2 x = 2
2x = 2 x=
Rpta. 2
75x − 50x = e 5 j
X)
ΙΙΙ)
25 · 3 x − 25 · 2x = 5 5 3x − 5 2x = 5 5e 3 x − 2 x j = 5 xe 3 − 2 j = 1
1
x=
x=
3 x + 2 − 3b x − 1g + 9 =0 9
3+ 2 = 32 + 2 2 3 − 2 je 3 + 2 j 3 − 2
V)
3+ 2 3−2 x= 3+ 2
; m.c.m = 36
9
3− 2
1 3+ 2 × 3− 2 3+ 2
e
x x+2 x+3 + − =3 3 4 9
ΙV) x + 2 − x − 1 + 1 = 0 ; m.c.m = 9
Racionalizando: x=
g
10 10 3 15b x − 5 g −48 + 10b x − 3 g = 30 30
12 x + 9b x + 2 g − 4b x + 3g 108 = 36 36 12x + 9x + 18 − 4x − 12 = 108 17x + 6 = 108 17x = 108 − 6 17x = 102 Rpta x=6
25 · 3 x − 25 · 2 x = 5
x=
0, 5b x − 5 g = −1, 6 +
15x − 75 = − 48 + 10x − 30 15x − 10x = − 78 + 75 5x = − 3 x = −3/5 Rpta
2 2 2
x= 2
Rpta
x−3 3 La ecuación se puede escribir de la siguiente manera: 5 16 x − 3 m.c.m. = 30 x−5 = − +
2 2 Racionalizando: x = · 2 2 x=
3(x + 1)−5(x − 3) = 0 3x + 3 − 5x + 15 = 0 −2x + 18 = 0
b
2 2
m.c.m. = 30
18 = 2x → x = 9
ΙΙ)
4 2 x − 3 2x = 2
;
3b x + 1g − 5b x − 3 g =0 30
ΙX)
x +1 x − 3 − =0 10 6
Rpta
x + 2 − 3x + 3 + 9 = 0 −2x + 14 = 0 14 = 2x x=7 Rpta x x −1 x +1 + − = 1 ; m.c.m. = 12 2 3 4 6 x + 4b x − 1g − 3b x + 1g =1 12
6x + 4x − 4 −3x − 3 = 12 7x − 7 = 12 7x = 12 + 7 7x = 19 x = 19/7 Rpta
1
1
VΙ) 2 ( x − 5) − 3 (x − 2) = 3 (x − 1) ; m.c.m = 6 3b x − 5 g − 2 b x − 2 g = 3x − 3 6
Resolución
Ι)
3x − 15 − 2x + 4 = 6(3x − 3) x − 11 = 18x − 18 −11 + 18 = 18x − x 7 = 17x 7 x= Rpta 17 VΙΙ)
x 2 3x 1 − = + m.c.m. = 12 2 3 4 12 6x − 8 9x + 1 = 12 12
8x +5x + 5 = 20 + 6x + 6 13x + 5 = 26 + 6x 13x − 6x = 26 − 5 7x = 21 x = 3 Rpta
ΙΙ)
VΙΙΙ) 3x + 10 − x − 4 = 3 x + 6 m.c.m. = 4
ΙΙΙ)
6 − 2x x+3 x+3
1=
6 − 2x x+3
Rpta
5 + 4 = 12 x + 6 2 x + 1 x − 1 2 x2 − x − 1
5x − 5 + 8x + 4 = 122 x + 6 2 2x − x − 1 2x − x − 1
4
13x − 1 = 12x + 6 13x − 12x = 6 + 1
2b 5 x + 7 g − 12 b 3 x + 5 g + 8 x = 4 4
X)
1=
5b x − 1g + 4b 2 x + 1g 12 x + 6 = 2 b 2 x + 1gb x + 1g 2 x − x − 1
ΙX) 5 x + 7 m.c.m. = 4 + − 3 = 3x 5 + 2x
10x + 14 − 12 = 11x + 5 10x + 2 = 11x + 5 2 − 5 = 11x − 10x x = −3 Rpta
2x + 1= 6 x+3 x+3
x + 3 = 6 − 2x x + 2x = 6 − 3 3x = 3 → x = 1
2 4 2b 3 x + 10g − 4 x − 16 3 x + 6 = 4 4
2
x 5 5 3 + = + x + 1 8 2( x + 1) 4 m.c.m. = 8(x + 1)
8 x + 5b x + 1g 20 + 3c 2 b x + 1gh = 8 b x + 1g 8b x + 1g
6x − 8 = 9x + 1 − 8 −1 = 9x – 6x −9 = 3x x = −3
6x + 20 − 4x − 16 = 3x + 6 2x + 4 = 3x + 6 4 − 6 = 3x − 2x − 2 = x Rpta
3
x=7 5
1
Rpta 11x − 1
ΙV) 3x − 1 − 5x − 7 = 2 15x − 26x + 7 5 (5x − 7) − (3x − 1) 11x − 1 = (3x − 1)(5x − 7) 15x2 − 26x + 7
m.c.m. = 10 3x + 7 + 3x − 7 = 2x + 3 2 5
25x − 35 − 3x + 1 11x − 1 = 2 2 15x − 26x + 7 15x − 26x + 7
5b 3 x + 7 g + 30 x − 70 2b 2 x + 3g = 10 10
22x − 34 = 11x − 1 22x − 11x = − 1 + 34 11x = 33 x = 3 Rpta
15x + 35 +30x − 70 = 4x + 6 45x − 35 = 4x + 6 45x − 4x = 6 + 35 41x = 41 x = 1 Rpta
V)
VΙ)
4 8 − 3 = x − 2 x + 1 b x + 1gb x − 2 g
1 = 4 − b x 1g2 b x − 1g
4b x + 1g − 3b x − 2 g 8 = x 2 x 1 x 1 − + + b gb g b gb x − 2g
1 =4 x −1
4x + 4 − 3x + 6 = 8 x + 10 = 8 x = 8 − 10 x = − 2 Rpta
1 = 4(x − 1) 1 = 4x − 4 1 + 4 = 4x
3x − 1 3 x − 7 = x−2 x+4 (3x − 1)(x + 4) = (3x − 7)(x − 2) 3x2 + 12x − x − 4 = 3x2 − 6x − 7x + 14 11x − 4 = −13x + 14 11x + 13x = 14 + 4 24x = 18 18 x= 24
5 = 4x → x =
x−2
2x + 3
2x − x − 6
b 2 x + 4gb 2 x + 3g − 3b x − 2gb x − 2g = x2 + 78 b x − 2gb 2 x + 3g 2 x2 − x − 6 4 x2 + 6 x + 8 x + 12 − 3b x − 2g2 x2 + 78 = 2 x2 + 3 x − 4 x − 6 2 x2 − x − 6
2 x2
5 x2
− 27 x −x= 1−6 5x + 3 x
Rpta
2 ΙX) 2 x + 4 − 3b x − 2 g = x2 + 78
4 x2 + 14 x + 12 − 3e x2 − 4 x + 4 j
x = 3/4 Rpta VΙΙ)
5 4
−x−6
2+ = x2 78 2x − x − 6
5 x2 − 27 x − x − 1 = −6 5x + 3 x
4x2 + 14x + 12 − 3x2 + 12x − 12 = x2 + 78 x2 + 26x = x 2 + 78 26x = 78 x=3 Rpta
m.c.m. = x(5x + 3)
X)
xe 5 x2 − 27 xj − x2 b5 x + 3 g − b 5 x + 3 g xb 5 x + 3 g
2 x2 − 2 x − 1 xb 3 x − 1g = 2x 3x − 1
= −6
2 x2 − 2 x − 1 =x 2x
5 x3 − 27 x2 − 5 x3 − 3 x2 − 5 x − 3 = −6 5 x2 + 3x −30x2 − 5x − 3 = −6(5x2 + 3x) −30x2 − 5x − 3 = 30x2 − 18x −5x + 18x = 3 13x = 3 3 x= Rpta 13 1 4 4 VΙΙΙ) 2 − 2x − 2 = 2 x − 2 b x − 1g 1 = 4 + 4 2 b x − 1g 2 x − 2 2 x − 2
2 x2 − 2 x − 1 3 x2 − x = 2x 3x − 1
2x2 − 2x − 1 = 2x 2 −2x − 1 = 0 −1 = 2x − 1 = x Rpta 2
Resolución 4 Ι) 6(x − 6) = 1 + (x − m)m 6x – 36 = 1 + mx − m2 6x − mx = 1 − m2 + 36 x(6 − m) = 37 − m2
1 8 2 = 2x − 2 b x − 1g
x=
1 8 2 = 2 b x − 1g b x − 1g
37 − m2 6−m
Rpta
ΙΙ)
a(x + b) = a2 + b2 + b(x − a) ax + ab = a 2 + b2 + bx - ab ax − bx = a2 + b2 − ab − ab x(a − b) = a 2 − 2ab + b2
b 4a − a = 2 x b 3a = 2 x
x(a − b) = x = a − b
x=
2 (a − b)
Rpta
3 3 ΙΙΙ) b x + a g + b x − a g = 2x3 + 12a3
VΙΙ)
Suma de cubos
x=
Rpta
x(a2 + 2a) = 2a + a 2 x= VΙΙΙ)
F G 4 J I x = 3 H 2a + b K 2
VΙ)
2a 2b 4a
x=
ab 2
x=
3 F 2 a + b I ·G J 2 H 4 K
x=
6 a + 3b 8
Rpta
x ΙX) x − a = b x F G 1−
1 I H a J K = b x F GH a a− 1J K I = b
Identidad de Legendre
x=
4x +3 =3 2a + b 2
4x = 6−3 2a + b 2
x + a )2 − ( x − a)2 = (a2 + b ) − a4 − b2 (
4xa = (a4 + 2a 2b + b 2) − a4 − b 2 4ax = a4 + 2a 2b + b 2 − a4 − b2 4ax = 2a2b
2 a + a2 → x = 1 Rpta a 2 + 2a
4x = 3− 3 2a + b 2
2
V)
x − 1 1− x = 2 2a a
a2x + 2ax = 2a + a 2
x = 2a Rpta
4a =x 11a − 1
→
a2x − a2 = 2a − 2ax
12a 3 6a 2
ΙV) 4a + x + 4x2 = (2x − a)2 + a(15x − a) 4a + x +4x2 = (4x2 − 4ax + a2) +15ax a2 4a + x + 4x2 = 4x2 − 4ax + a2 +15ax − a2 4a + x + 4x 2 = 4x2 + 11ax 4a + x = 11ax 4a = 11ax − x 4a = x(11a − 1)
x 1− x 1 − = 2 a a2 2a
a2(x − 1) = (1 − x)2a
Diferencia de cuadrados
= 2x3 + 12a3 (2x)(2(x2 + a 2) − (x2 − a2)) = 2x3 + 12a3 2x(2x2 + 2a 2 − x2 + a 2) = 2x3 + 12a3 2x(x2 + 3a2) = 2x3 + 12a3 2x3 + 6a2x = 2x3 + 12a3 6a2 x = 12a 3
Rpta
x − 1 = 1− x 2 a 2 a a2
((x + a)+(x − a))((x + a)2 − (x +a)(x − a) + (x − a)2) = 2x3 + 12a3 (x + a + x − a)((x + a)2 + (x − a)2 − (x + a)(x − a)) I. Legendre
6a b
x=
X)
ab a −1
Rpta
x − a x + 3b 3 a − 13b m.cm. = 6ab − = 2b 3a 6b 3 a b x − a g − 2b b x + 3b g 3a − 13b = 6 ab 6b 3 ax − 3a2 − 2 bx − 6 b2 3a − 13b = 6ab 6b b 3a − 13b g6ab 3 ax − 2bx − 3a2 − 6 b2 = 6b
Rpta
a b 4a + = x 2 x
x(3a − 2b) − 3a2 − 6b2 = (3a − 13b)a x(3a − 2b) − 3a 2 − 6b 2 = 3a 2 − 13ab
b 4a a = − 2 x x
x(3a − 2b) = 3a2 − 13ab + 3a2 + 6b 2 x(3a − 2b) = 6a 2 − 13ab + 6b 2
300 +
3b 300g + 2b x − 200g =x 3 900 + 2x − 400 = 3x 900 − 400 = 3x − 2x 500 = x
x(3a − 2b) = (3a − 2b)(2a − 3b) x = 2a − 3b
2 b x − 200g = x 3
Rpta
∴
Al principio tuvo S/. 500
Rpta.: A
Resolución 5
Resolución 7
De los datos del problema: − Lo que tiene Alicia = x 2 − Lo que tiene Jorge = x 3
Sea la fracción: x → Numerador y → Denominador Según el problema, se plantean las siguientes ecuaciones: • y − 2x = 1......... (I)
3 F 2 I − Lo que tiene Mónica = 5 GH 3 x J K Según el enunciado del problema:
•
2 3 2 I x + x + GF x J = 24 800 3 5 H 3 K 2 2 x + x + x = 24 800 m.c.m. = 15 3 5
15 x + 10 x + 6 x = 24 800 15
3(x − 4) = 1·y 3x − 12 = y ...................................... (II) Reemplazando (II) en (I) obtenemos: (3x − 12) − 2x = 1 x − 12 = 1 x = 1 + 12 → x = 13 Reemplazando el valor x = 13 en (II) 3(13) − 12 = y 39 − 12 = y 27 = y
31x = 24 800 15
∴ 800
x = 24 800·
15 31 2 2 F 4000 I x = G 12 000J 3 3 H K 1
Jorge tiene: 8000
Rpta.: B
Resolución 6 Javier tiene: x Si gastó: 200 Entonces le queda: x − 200 2 Si prestó: b x − 200 g 3 Ahora tiene: 100 Luego:
∴
200
+
2 b x − 200g + 3
8
Son 13 hombres
Rpta.: D
Resolución 9
Lo que gastó + lo que prestó + lo que tiene = x
Rpta.: D
Según el enunciado del problema: n° de hombres = x n° de mujeres = 2x n° de niños = 3(x + 2x) Luego: #de hombres + #de mujeres + #de niños = #de personas x + 2x + 3(x + 2x) = 156 3x + 3(3x) = 156 3x + 9x = 156 12x = 156 x = 13
x = 12 000
∴
x 13 La fracción es: y = 27
Resolución
1
Luego: Jorge tiene
x−4 1 = y 3
100
=x
Sean los números: x(mayor) e y(menor) x + y = 51........................................ (I)
Según el enunciado del problema, se plantea: x = 2y + 3 ...................................... (II) Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: (2y + 3) + y = 51 3y + 3 = 51 3y = 51 − 3 → y = 16 3y = 48
Reemplazamos (I) en (II), obtenemos: 4(2000 − x) − x = 90 8000 − 4x − x = 90 8000 − 90 = x + 4x 7910 = 5x
Reemplazamos el valor y = 16 en (II): x = 2(16) + 3 → x = 35 x = 32 + 3
∴
∴
La parte mayor es 35
Rpta.: C
Resolución 10 Si se compran “x” patos e “y” gallinas x + y = 22 Donde: y = 22 - x ................................... (I) • Sisecompran “x”patos a 8 dólarescadauno Se gasta: 8x dólares Si se compran “y” gallinas a 7 dólares cada uno Se gasta: 7 y dólares Si en total se gasta 166 dólares 8x + 7y = 166 ............................... (II) Reemplazamos (I) en (II), obteniendo:
7910 =x 5
∴
12 son patos
Rpta.: D
Resolución 11 Sean las partes: x (Parte mayor) y(Parte menor) x + y = 2000 y = 2000 − x .................................. (I) Luego: Cuádruplo de la parte menor = 4y * Parte mayor aumentado en 30 = x + * 30 Según el enunciado del problema, se plantea: 4y − (x + 30) = 60 4y − x − 30 = 60 4y − x = 60 + 30 4y − x = 90 .................................... (II)
A uno le toco 1 582 dólares Rpta.: C
Resolución
Sea:
12
ab el número de 2 cifras. Según el enunciado, se plantea la ecuación: ba = ab − 36 Descomponemos polinómicamente los números ab y ba :
•
8x + 7(22 − x) = 166 8x + 154 − 7x = 166 8x − 7x = 166 − 154 x = 12
x = 1582
→
(10b +a) = (10a + b) −36 36 = (10a + b) − (10b + a) 36 = 10a + b − 10b − a 36 = 9a − 9b 36 = 9(a − b) 36 = a−b 9 a − b = 4 ...................................... (I)
•
Como dichas cifras suman 12; a + b = 12 ................................... (II)
Sumamos: (I) + (II): a − b = 4 U (+) V a + b = 12 W 2a = 16 →
a=8
Reemplazamos el valor a = 8 en (II) : 8 + b = 12 → b = 4
∴
El número ab es 84
Rpta.: D
Resolución 13 Si: Edad del hijo: x años Edad del padre = 6x años Según el enunciado del problema: Edad del hijo + Edad del padre = 91 años x
+ 7x x = 13
6x = 91
= 91
Edad del padre: 6x = 6(13) = 78
∴
El padre tiene 78 años
Rpta.: B
Resolución 14
Resolución 16
Sea la fracción: x → Numerador y → Denominador Según el problema se plantean las ecuaciones:
“x” es la cantidad con la que empiezan a jugar ambos jugadores. El primero pierde 400 nuevos soles * Le queda: x − 400 El segundo pierde 220 nuevos soles * Le queda: x − 220 Según el enunciado del problema, se tiene que:
•
x−5 =1 y+8 x − 5 = y + 8 x − y = 8 + 5 x − y = 13 ........................................ (I)
•
x y−7
b x − 400g = 21 b x − 220g 2(x − 400) = x − 220 2x − 800 = x − 220 2x − x = −220 + 800 x = 580
=3
x = 3(y − 7) x = 3y − 21 .................................... (II) Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: (3y − 21) − y = 13 2y − 21 = 13 2y = 13 + 21 2y = 34 → y = 17 Reemplazamos el valor y = 17 en (II) x = 3(17) − 21 x = 51 − 21
∴
→
La fracción será:
Resolución 15
30 17
x = 30 Rpta.: C
Sea:
ab el número de 2 dígitos Unidades Decenas
a + b = 12 ...................................... (I)
Según el enunciado del problema: b = a + 2 ....................................... (II) Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: a + (a + 2) = 12 2a + 2 = 12 2a = 12 − 2 2a = 10 → a=5 Reemplazamos el valor a = 5 en (II): b=5+2 → b=7
∴
Si:
∴
Empiezan a jugar con 580 soles Rpta.: C
Resolución 17 − Si se depositó: • “x” billetes de 10 nuevos soles Se depositó: 10x nuevos soles • “y” billetes de 50 nuevos soles Se depositó: 50y nuevos soles Si se depositó en total: S/. 1480 10x + 50y = 1480 ........................... (I) Si en total fueron 60 billetes x + y = 60 x = 60 − y ...................................... (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: 10(60 − y) + 50y = 1480 600 − 10y + 50y = 1480 600 + 40y = 1480 40y = 1480 − 600 40y = 880 y = 22
∴
Se depositó 22 billetes de mayor denominación Rpta.: C
Resolución 18
Sea:
ab el número. Unidades Decenas
El número ab es 57 Rpta.: C
a + b = 10 ...................................... (I) Según el problema, se plantea: b = 2a + 1 ...................................... (II)
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo: a + (2a + 1) = 10 3a + 1 = 10 3a = 10 − 1 3a = 9 → a=3 Reemplazamos el valor a = 3 en (II) b = 2(3) + 1 b=6+1 → b=7
∴
El número es: 37
Resolución 21 n° de conejos = x n° de patos = y n° de conejos + n° de patos = n° de animales x + y = 28 ....................................... (I) Según el enunciado del problema, se plantea: x = y + 8 ........................................ (II) Reemplazando(II) en (I), obtenemos: (y + 8) + y = 28 2y + 8 = 28 2y = 28 − 8 → y = 10 2y = 20
Rpta.: D
Resolución 19 •
La bicicleta tiene 2 llantas Si hay “x” bicicletas, habrá: 2x llantas • El triciclo tiene 3 llantas Si hay “y” triciclos, habrá: 3y llantas Si en total hay 60 llantas 2x + 3y = 60 ................................... (I) Si hay 5 bicicletas más que triciclos x = y + 5 ........................................ (II)
∴
Resolución
Hay 15 bicicletas
Rpta.: B
Resolución 20 Si se obtienen 2 puntos por respuestas correctas y el número de respuestas correctas es x Puntaje a favor = 2x puntos − Si se pierde 1 punto por respuesta incorrecta y el número de respuestas incorrectas es y. Puntaje en contra = y puntos − Si se contestó 50 preguntas x + y = 50 ...................................... (I) Además se obtuvo 64 puntos 2x − y = 64 2x − 64 = y .................................... (II) Reemplazamos (II) en (I), obtenemos: x + (2x − 64) = 50 3x − 64 = 50 3x = 50 + 64 3x = 114 x= 38
−
∴
Rpta.: D
22
Sea S/.a el precio por metro. • Si se vendió “x” metros, todo por 90 nuevos soles ax = 90 ....................................... (I) • Si se vendió “y” metros, todo por 72 nuevos soles. ay = 72 .......................................... (II) • Si de 36m sobran 9m, entonces se vendió: 36m − 9m = 27m x + y = 27 ..................................... (III) Sumando las ecuaciones(I) y (II) obtenemos: ax = 90 U (+) ay = 72 VW ax + ay = 162 a(x + y) = 162 ............................... (IV)
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: 2(y + 5)+ 3y = 60 2y + 10 + 3y = 60 2y + 3y = 60 − 10 5y = 50 y = 10 Reemplazamos el valor y = 10 en (II) → x = 15 x = 10 + 5
∴
Juan tiene 10 patos
Reemplazamos (III) en (IV) obtenemos: a(27) = 162 162 a= → a=6 27
∴
Respondió correctamente 38 preguntas Rpta.: D
El precio por metro es S/. 6 Rpta.: C
CAPÍTULO N° 7 ECUACIONES E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(299, 300) x2 + 2x − 3 = 12 x2 + 2x − 3 − 12 = 0 x2 + 2x − 15 = 0
Resolución 1 1.
•
x(x + 2) = 15 x2 + 2x = 15 x2 + 2x − 15 = 0 Factorizamos por el método del Aspa:
•
Factorizando por el método del Aspa
(x + 5)(x − 3) = 0 i)
x+5=0→
x1 = −5
(x + 5)(x − 3) = 0
ii)
x−3=0→
x2 = 3
• i)
Igualamos cada factor a cero: → x1 = −5 x+5=0
∴ 5.
C.S = {−5; 3}
ii)
x − 3= 0
∴
C.S. ={−5; 3}
2.
x2 +14 = 9x x2 + 14 − 9x = 0 x2 − 9x + 14 = 0
•
→ x2 = 3 Rpta
Rpta
(x + 3)2 + (x − 2)2 = 25 (x2 + 6x + 9) + (x2 − 4x + 4) = 25 2x2 + 2x + 13 = 25 2x2 + 2x + 13 − 25 =0 2x2 + 2x − 12 = 0 2(x2 + x − 6) = 0
Factorizamos por el método del Aspa:
(x + 3)(x − 2) = 0
(x − 7)(x − 2) = 0 •
Igualamos cada factor a cero:
i)
x − 7 = 0 →
x1 = 7
ii)
x − 2 = 0 →
x2 = 2
∴ 3.
C.S = {2; 7}
∴ 4.
x+3=0→
x1 = −3
ii)
x − 2 = 0 →
x2 = 2
∴ 6.
C.S = {−3; 2}
Rpta
x2 − 8(x − 2) = 0
−8x + x2 16 =0
i)
Rpta
(x − 2)2 + (x + 1)(x − 3) = 4x + 1 (x2 − 4x + 4) + (x 2 − 2x − 3) = 4x + 1 2x2 − 6x + 1 = 4x + 1 2x2 − 6x + 1 − 4x − 1 = 0 2x2 − 10x = 0 2x(x − 5) = 0
T.C.P
i)
(x − 4)2 = 0
ii)
→ x1 = 0 x − 5 = 0 → x2 = 5
∴
C.S. = {0; 5}
x − 4 = 0 →
x=4
C.S. = {4}
Rpta
(x − 1)(x + 3) = 12 x2 + (−1 + 3)x + ( −1)(3) = 12
2x = 0
Rpta
7.
10. 16x = x2 + 60
2 x + 4 g + x2 = 3 b 3 Donde: m.c.m. = 3 2b x + 4 g + 3 x 2 =3
0=
3
2 x + 8 + 3 x2 =3 3
3x2 + 2x + 8 = 9 3x2 + 2x + 8 − 9 = 0 3x2 + 2x − 1 = 0
0 = (x − 10)(x − 6)
i)
x − 10 = 0
ii)
∴
→ x1 = 10 → x2 = 6 x−6=0 C.S. = {6; 10} Rpta
Resolución 1.
(3x − 1)(x + 1) = 0
i)
3x − 1 = 0
→ 3x = 1 x1 =
ii)
x+1=0
∴
C.S. = { −1; 1/3} Rpta
8.
→
1 3
x2 = −1
2
x + 35 =x 12
x2 + 35 = 12x
2
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 2x2 + 6 = 3x 2x2 − 3x + 6 = 0 Donde: a = 2 b = −3 c=6
Suma de raíces: x1 + x2 = −
x1 + x2 = −
∴
x1 + x2 =
3 2
b a
b −3g 2 Rpta
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 −7 x2 + x = 4 7 x2 + x + = 0 4 Donde: a = 1 b=1 7 c= 4 b Suma de raíces: x1 + x2 = − a 1 x1 + x2 = − 1 ∴ x1 + x2 = −1 Rpta 2.
–
(x − 7)(x − 5) = 0 i)
x−7=0 →
x1 = 7
ii)
x−5=0 →
x2 = 5
∴ 9.
C.S. = {5; 7} 2(3x + 8) = x2 6x + 16 = x 2 0=
Rpta
0 = (x − 8)(x + 2)
i)
x − 8 = 0 → x1 = 8
ii)
x + 2 = 0 → x2 = −2
∴
C.S. = { −2; 8}
Rpta
3.
6x(x − 1) = 5(x2 − 1)
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 6x2 − 6x = 5x2 − 5 6x2 − 6x − 5x2 + 5 = 0 x2 − 6x + 5 = 0 Donde: a = 1 b = −6 c=5
Suma de raíces: x1 + x2 = −
b a
−6 1
x1 + x2 = −
∴
x1 + x2 = 6
4.
2x2 = 8x − 5
Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 2x2 − 8x + 5 = 0 Donnde Do de:: a = 2 b = −8 c=5 b Suma de raíces: x1 + x2 = − a −8 x1 + x2 = − 2
∴
x1 + x2 = 4
5.
2 x + 3g − x2 + 5 = x b 3
Rpta
Le damos la forma: ax 2 + bx + c = 0 m.c.m. = 3 2 b x + 3 g − 3 x 2 + 3b 5 g =x 3
2. x2 = 3(x + 2) Le damos la forma: ax 2 + bx + c = 0 x2 = 3x + 6 x2 − 3x − 6 = 0 Don ondde: a = 1 b = −3 c = −6 c Producto de raíces: x1 · x2 = a −6 x1 · x2 = 1
∴ 3.
Resolución 1.
3
2x2 − 3x + 5 = 0
Es de la forma: ax 2 + bx + c = 0 Donde: a = 2 b = −3 c=5 c Producto de raíces: x1 · x2 = a 5 x1 · x2 = Rpta 2
Rpta
1 1 x2 + x = 2 2 1 1 x2 + x − = 0 2 2
Es de la forma: ax 2 + bx + c = 0 Don ondde: a = 1 b = 1/2 c = −1/2 c Producto de raíces: x1 · x2 = a −1 2 1
x1 · x2 =
∴
x1 · x2 = −
4.
2x2 − 5x = 8 2x2 − 5x − 8 = 0
2 x + 6 − 3 x 2 + 15
=x 3 2x + 6 − 3x2 + 15 = 3x 0 = 3x2 − 2x − 6 − 15 + 3x 0 = 3x2 + x − 21 Donde: a = 3 b=1 c = −21 b Suma de raíces: x1 + x2 = − a 1 x1 + x2 = − Rpta 3
x1·x2 = −6
1 2
Rpta
Es de la forma: ax 2 + bx + c = 0 Don ondde: a = 2 b = −5 c = −8 c Producto de raíces: x1 · x2 = − a −8 x1 · x2 = − 2 ∴ x1·x2 = −4 Rpta 5. (x − 3)2 = 2x + 15 Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0 x2 − 6x + 9 = 2x + 15 x2 − 6x + 9 − 2x − 15 = 0 x2 − 8x − 6 = 0 Don ondde: a = 1 b = −8 c = −6
Producto de raíces: x1 · x2 = −
c a
−6 1
x1 · x2 =
∴
x1·x2 = −6
•
Suma de raíces: S = x1 + x2 S = 16
•
Producto de de raíces: P = x1·x2 P = e 8 + 63 je8 − 63 j
x1 = 2 ∧
•
Suma de raíces : S = x1 + x2 S=2+3 S=5
x2 = 3
2
P = b 8 g2 − e 63 j
P = 64 − 63 P=1
Producto de raíces: P = x1·x2 P = 2·3 P =6
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 x2 − (16)x + (1) = 0
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 x2 − (5)x + 6 = 0 La ecuación es: x2 − 5x + 6 = 0
∴
La ecuación es: x2 − 16x + 1 = 0 Rpta
5.
x1 =
•
Suma de raíces raíces : S = x 1 + x2
Rpta 2.
x1 = 7 ∧
•
Suma de raíces: S = x1 + x2
x2 = −1 S = 7 + ( −1) S=6
Producto de raíces: P = x1·x2 P = (7)·(−1) P = −7 x2 − (6)x + (−7) = 0
∴
La ecuación es: x2 − 6x − 7 = 0
3.
x1 = 3 + 7
•
•
Suma de raíces: S = x1 + x2
S=
5+ 3 + 5− 3 2 2
S=
5+ 3 +5− 3 2
F 5 + 3 I F 5 − 3 I · H 2 J K H G 2 J K F 52 − 3 2 I H K = 25 − 3 = 22 P=
Rpta
4
P=
S = e 3 + 7 j + e3 − 7 j
S=6 Producto de de raíce ces: s: P = x1·x2 P = e 3 + 7 je 3 − 7 j
= 32
2
−e 7j
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 x2 − (6)x + (2) = 0 La ecuación es: x2 − 6x + 2 = 0 Rpta
4
4
11 2
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 x2 − b 5 g x + F GH 11 J I = 0 2 K
∴
7+ 2 ∧ 4
6.
x1 =
•
Suma de raíces raíces : S = x1 + x2
11 =0 2 Rpta
La ecuación es: x2 − 5 x + 2x2 − 10x + 11 = 0
P=9−7 P=2
∴
5− 3 2
Producto de raíces raíces : P = x 1·x2
x2 = 3 − 7
P
x2 =
∧
P=G
∧
5+ 3 2
S =5
La ecuación ecuación será: x2 − S·x + P = 0
•
x2 = 8 − 63
∧
Rpta
1.
∴
x1 = 8 + 63
S = e 8 + 63 j + e 8 − 63 j
Resolución 4
•
4.
x2 =
7− 2 4
ó
S=
7+ 2 7− 2 + 4 4
8.
x1 = 6 + 2
S=
7 + 2 7 − 2 14 + = 4 4 4
•
Suma de raíces raíces : S = x 1 + x2 S = e 6 + 2j+ e 6 − 2j
7 S= 2 •
∧ x2 = 6 − 2
S=2 6 •
Producto de raíces raíces : P = x 1·x2
Producto de raíces raíces: P = x1·x2 P = e 6 + 2 j· e 6 − 2j
F 7 + 2 I F 7 − 2 I P=G · H 4 J K H G 4 J K
2
P = e 6j −e 2j
2
P= 6−2 P=4
72 − 2 P= = 49 − 2 16 16
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0
47 P= 16
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 7 I F 47 I x 2 − F H G 2 J K x + H G 16 J K = 0 * Multiplicamos por 16: ∴ La ecuación es: 16x2 − 56x + 47 = 0
x2 − e 2 6 j x + b 4g = 0
∴
La ecuación es: x2 − 2 6 x + 4 = 0 Rpta
9.
x1 = 3
•
Suma de raíces: S = x1 + x2
∧ x2 = − 3 S = e 3 j + e− 3 j
Rpta
S=0
7.
1 2 x1 = ∧ x2 = − 3 3
•
Suma de raíces: S = x1 + x2 S=
•
P = −3 La ecuación será: x2 − S·x + P = 0 x2 − (0)x + (−3) = 0
1 3
∴
Pro rodducto de raíces: P = x1·x2 1 I F 2 I P = F H G 3 J K · H G − 3 J K
P=−
La ecuación es: x2 − 3 = 0
Rpta
− 1+ 5 10. x1 = ∧ x2 = 1 5 2
•
2 9
2
Suma de raíces raíces : S = x 1 + x2
F 1+ 5 I + F 1− 5 I H 2 J K H G 2 J K
S=G
La ecuación será: x2 − S·x + P = 0
Producto de de ra raíces: P = x1·x2 P = e 3 je je − 3 j
1 F 2 I + G − J 3 H 3 K
S=− •
2
x2 − F G−
1 I F 2 I H 3 J K x + H G − 9 J K = 0
S=
1 2 x2 + x − = 0 3 9
e1+
5 j + e1− 5 j 2
S=1
* Multiplicamos por 9: ∴ La ecuación es: 9x2 + 3x − 2 = 0
Producto de raíces raíces : P = x 1·x2
Rpta
F 1+ 5 I F 1− 5 I · H 2 J K H G 2 J K
P=G
e1+ P= P=
5 je1− 5 j 4
12 − e 5 j
2
4
− =1 5 4
De (I) ; (II) y (III) se deduce que: 1 1 1 = + ; m.c.m. = 180 x 36 45 1 5+4 = x 180 1 = 9 → x = 20 x 180
P = −1 La ecuación será: x2 − S·x + P = 0
x2 − (1)x + (−1) = 0
∴
La ecuación es: x2 − x − 1 = 0
Rpta
Resolución 5 (Problemas) 1.
− −
En 1 minuto(A y B) llenarán: 1 del depósito ............................ (III) x
∴
Sea “x” el número El cuadrado del número: x2 El número aumentado en 30: x + 30
A y B pueden llenar un depósito en 20 minutos. Rpta
4.
Sean los números enteros consecutivos: x ; x+ 1
Se plantea la ecuación, según el enunciado: x2 = x + 30
Número mayor
Según el enunciado del problema se plantea la ecuación: x2 + (x + 1)2 = 3(x + 1) + 13 x2 + (x2 + 2x + 1) = 3x + 3 + 13 2x2 + 2x + 1 = 3x + 16
(x + 5)(x − 6) = 0
i)
x + 5 = 0 → x = −5
ii)
x−6=0 → x=6
Según el problema, “x” es natural
∴ 2.
x=6
Rpta
Sean los números consecutivos x ; x + 1 Número Número menor
(2x + 5)(x − 3) = 0
i)
2x + 5 = 0
→ 2x = −5 5 x=− 2
ii)
x−3=0
→
mayor
Se plantea la ecuación, según el enunciado del problema: x·(x + 1) = x2 + 9 x2 + x = x2 + 9 x=9 Número mayor: x + 1 = 9 + 1 ∴ Número mayor = 10 Rpta 3.
x=3
Como “x” es entero: x=3 ; x+1=4
∴
Suma de los : 3 + 4 = 7 números
Resolución
−“A” llena un depósito en 36 minutos: En 1 minuto “A” solo llenará: 1 del depósito............................. (I) 36
− “B” llena un depósito en 45 minutos En 1 minuto “B” solo llena: 1 del depósito ........................... (II) 45 Supongamos que “A” y ”B” llenan el depósito en “x” minutos
Rpta
6
1.
Efectuamos las operaciones y hacemos trasposición de términos: 3x − 5 > 2(x + 7) 3x − 5 > 2x + 14 3x − 2x > 14 + 5 x > 19
∴
C.S = 19; ∞
Rpta
2.
Efectuando las operaciones y hacemos trasposición de términos 4x + 8 < 3 (x - 9) 4x + 8 < 3x − 27 4x − 3x < − 27 − 8 x < − 35
∴
C.S = −∞; − 35 Rpta
3.
Efectuamos las operaciones y hacemos trasposición de términos. (x + 3)2 − 2x ≥ x2 (x2 + 6x + 9) − 2x ≥ x2 x2 + 4x + 9 ≥ x2 4x + 9 ≥ 0 9 → x≥− 4x ≥ −9 4
∴
C. S = −9 / 4; ∞
4.
Efectuando las operaciones y hacemos trasposición de términos. (x − 5)(x + 2) ≤ x2 − 7 x2 − 3x - 10 ≤ x2 − 7 −3x ≤ −7 + 10 −3x ≤ 3
C. S = −1; ∞
5.
Efectuamos las operaciones y hacemos trasposición de términos 2(x − 7)(x + 1) > (2x + 1)(x + 3) 2(x2 − 6x − 7) > 2x2 + 7x + 3 2x2 − 12x − 14 > 2x2 + 7x + 3 −12x − 7x > 3 + 14 −19x > 17
∴
Factorizamos el primer miembro: x2 − 5x + 6 > 0 (x − 3)(x − 2) > 0
i)
x−3=0 x=3
ii)x − 2 = 0 x=2
(Punto crítico)
(Punto crítico)
∴
C.S. = −∞; 2 ∪ 3, ∞
2.
Factorizamos el primer miembro: x2 − 6x − 7 ≤ 0 (x − 7)(x + 1) ≤ 0
i)
x−7=0 x=7
ii) x + 1 = 0 x = −1
(Punto crítico)
(Punto crítico)
∴ 3.
Rpta
∴
Al pasar a dividir o multiplicar por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. 17 x<− 19 C. S. = −∞; −
1.
Rpta
Si multiplicamos o dividimos por una cantidad negativa a ambos miembros, el sentido de la desigualdad cambia. Entonces tenemos que: −3x ≤ 3 x ≥ −1
Resolución 7
17 19
C.S = [ −1; 7] Rpta Resolviendo: 2x(x + 9) + 40 ≥ 0 2x2 + 18x + 40 ≥ 0 2(x2 + 9x + 20) ≥ 0 x2 + 9x + 20 ≥ 0 (x + 5)(x + 4) ≥ 0 i) x + 5 = 0 x = −5
ii) x + 4 = 0 x = −4
(Punto crítico)
(Punto crítico)
∴
C.S. = −∞; − 5] ∪ −4; ∞
4.
Resolviendo: 2(x2 + 11) < 13x + 1 2x2 + 22 < 13x + 1 2x2 + 22 − 13x − 1 < 0 2x2 − 13x + 21 < 0 (2x − 7)(x − 3) < 0
i)
2x − 7 = 0 7 x= 2 (Punto crítico)
C. S = 3; 7 2
Rpta
ii) x − 3= 0 x=3 (Punto crítico)
Rpta
∴
Rpta
Rpta
5.
Resolviendo: 17 2 x2 + 9 > x 2 2(2x2 + 9) > 17x 4x2 + 18 > 17x 4x2 − 17x + 18 > 0 (4x − 9)(x − 2) > 0
i)
4x − 9 = 0 x=
ii) x − 2= 0
9 4
x=2
(Punto crítico)
∴
(Punto crítico)
C. S. = −∞; 2 ∪ 9 4 ; ∞
Rpta
CAPÍTULO N° 8 MAGNITUDES PROPORCIONALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(325, 326, 327, 328) NIVEL I Resolución 1 #de mujeres = 240 U 400 personas #de hombres = x VW Luego: #de hombres + #de mujeres = #de personas x + 240 = 400 x = 160 #de hombres = 160 Hallamos la relación:
x
Resolución 4 # de niños = 20 # de niñas = 32
2
# de hom bres 160 2 = = # de mujeres 240 3
5
Rpta.: B
3
Resolución 2
Sean:
Resolución
Del enunciado:
# de niños 20 5 = = # de niñas 32 8
Rpta.: A
8
x(menor) e y(mayor) los números. x 3 *y=4
3
Del enunciado: y = 2 2x = 3y .................. (II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos: 2(5 + y) = 3y 10 + 2y = 3y ∴ 10 = y Rpta.: B
5
Sea “x” el número:
x 9 = 8 12 6
9 · 8 72 x= = 12 12
→ 4x = 3y ...................... (I)
* x + y = 56 → x = 56 − y .................(II) Reemplazando (II) en (I) obtenemos: 4(56 − y) = 3y 224 − 4y = 3y 224 = 7y ∴ y = 32 Rpta.: E Resolución 3
Sean:
1
∴
x=6
Rpta.: C
Resolución 6 Si: # de hombres = x # de mujeres = 2x Luego: # de mujeres 2 x 2 = = # de hom bres x 1
x(mayor) e y(menor) los números: Del enunciado: x − y = 5 x = 5 + y ....................(I)
Rpta.: E
Resolución 7
x=
Caramelosde fresa = x U x + y = 80 caramelos Caramelos de limón = y VW
Luego: por 1 caramelo de fresa, hay 3 caramelos de limón.
Caramelos de fresa 1 = Caramelos de limón 3 x 1 = y 3
3x = y Reemplazando el valor: y = 3x en: x + y = 80 x + (3x) = 80 4x = 80 = 20
∴
Hay 20 caramelos de fresa Rpta.: B
32 8 = x 9
Rpta.: B
Resolución 11 Según el enunciado del problema: # de patos = 3 ∧ # de conejos = 1 # de conejos 2 # de gallinas 2 Si hay 12 patos: 12 =3 # de conejos 2 12 · 2 24 = 3 3 # de conejos = 8 # de conejos 1 Si: # de gallinas = 2 8 =1 # de gallinas 2 # de gallinas =
∴
4
Jorge tiene 36 años
Rpta.: D
Resolución 9 En A hay 20 litros En B hay 40 litros Si de A se pasan 5 a B • En A quedan 15 • En B ahora hay 45 Según el enunciado del problema:
Si Cecilia tiene 16 años:
Edad de Betty 2 = 16 1
Edad de Betty =
16 · 2 = 32 1
Como: edad de Betty = 32
Edad de Ana 5 = 32 4
1
8
Rpta.: A
3
Resolución 10 # de plátanos = 2(12) = 24 # de manzanas = x Según el enunciado del problema: # de plátanos 2 = # de manzanas 1 24 2 = x 1
Rpta.: B
Hay 16 gallinas
Edad de Ana = 5 Edad de Betty = 2 Edad de Betty 4 ∧ Edad de Cecilia 1
1
15 1 = 45 3
8· 2 = 16 1
Resolución 12 Según el enunciado del problema:
32.9 x= = 36 8
∴
x = 12
# de conejos =
Resolución 8 Arturo tiene: 32 años Jorge tiene: x años Según el enunciado del problema: Edad de Arturo 8 = Edad de Jorge 9
∴
24 · 1 2
32.5 Edad de Ana = 4 = 40 1
∴
Ana tiene 40 años
Rpta.: C
Resolución 13 Según el enunciado del problema, tenemos: # de libros de Matemática 3 = ; y # de libros deFísica 4
# de libros d e Bio log ía 3 = # de libros de Física 2
•
Si hay 18 libros de Matemática:
18 =3 # de libros deFísica 4 6
# de libros de Física = 4 · 18 = 24 3 1
# de libros d e Bio log ía 3 = 24 2
# de libros de Biología =
3 12 · 24 = 36 2 1
∴
Hay 36 libros de Biología Rpta.: D
Resolución 14
Si:
a b = → 3a = 2b .................. (I) 2 3 Además: a + b = 35 → a = 35 − b .... (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: 3(35 − b) = 2b 105 − 3b = 2b → b = 21 105 = 5b Reemplazando el valor: b = 21 en (II) a = 35 − (21) → a = 14 Luego: b − a = 21 − 14
∴
Rpta.: C
b−a=7
Resolución 15
Si:
x y = =z 3 2
x =z 3
∧
y =z 2
x = 3z
∧
y = 2z
Reemplazando “x” e “y” en: x·y·z = 64 (3z)·(2z)·z = 64 6z3 = 64 4 =6 6 z3 = 63
z3
z=6 Luego: x + y + z = (3z) + (2z) + z = 6z =6(6) x + y + z = 36
Rpta.: A
16
Si
a b c = = =k 2 5 3
entonces: a = 2k b = 5k c = 3k Del dato: a2 + b2 + c2 = 152 (2k)2 + (5k)2 + (3k)2 = 152 4k2 + 25k2 + 9k2 = 152 38k2 = 152 → k=2 k2 = 4 Hallamos: a + b + c a + b + c = (2k) + (5k) + (3k) = 10k = 10(2)
∴
a + b + c = 20
Rpta.: A
1 2 3 = = a b c La expresión dada se puede escribir también de la siguiente manera: Resolución
17
Si:
a b c = = = k ; k = constante 1 2 3
Entonces: a = k b = 2k c = 3k Del dato: a + b + c = 48 k + 2k + 3k = 48 6k = 48 k=8 Luego: a2 + b2 + c 2 = (k)2 + (2k)2 + (3k)2 a2 + b2 + c 2 = k2 + 4k2 + 9k2 a2 + b 2 + c 2 = 14k2 Si: k = 8
∴
→
a2 + b2 + c2 = 14(8)2 a2 + b2 + c2 = 14·64
a2 + b 2 + c 2 = 896
Resolución
∴
Resolución
18
Rpta.: C
Sea:
Lado del cuadrado mayor = x Lado del cuadrado menor = y Según el enunciado del problema: x 3 = y 4 Entonces: y = 3k x = 4k
Recuerde que:
90
720 · 5 y= 8
Áreadel = (lado)2 cuadrado
1
Luego:
F Áreadel I F Áreadel I Área = J − G cuadradoJ coloreada GG cuadrado H mayor J K GH menor J K Área x2 coloreada = Hallamos la razón:
y2
−
y = 450 Reemplazando el valor y = 450 en (I): x + 450 = 720 x = 270
∴
Una de las partes es 270
Rpta.: B
Resolución 21
Área 2 2 coloreada = x − y Área cuadrado x2 mayor
=
b 4k g2 − b3K g2 b 4K g2
2− 2 = 16k 29k 16k
De la figura:
*
Área total = Área de = (2a)·(2b)
ABCD
Área total = 4ab
*
Área del Área coloreada = Áreadel ∆ AMN + ∆ CMO
2
= 7k 2 16k
∴
Razón:
7 16
Rpta.: C Área coloreada =
Resolución 19 *
3 41 =
13 4
*
3 41 =
21 4
+ = 2ab ab 2
Hallamos la razón:
∴
Sean “x” e “y” las partes: x + y = 720 Según el enunciado del problema: 3
5
720 3 + 5 = y 5 720 8 = y 5
x 3 = y 5
x+y 3+5 = y 5
Pero: x + y = 720
3 ab 2
área coloreada 3 ab Razón = área total = 2 4 ab
Rpta.: B
Resolución 20
x = 0, 6 = 6 y 10
Área coloreada =
Luego:
13 4 = 13 · 4 = 13 21 4 · 21 21 4
Por propiedad:
a· (2b ) a· b + 2 2
Razón =
3 8
Rpta.: B
Resolución 22 Sea la proporción continua: a b = → ac = b2 b c Del dato: a · b · b · c = 1296 a · b2 · c = 1296 a · c · b2 = 1296 Reemplazando: a·c = b2 Tenemos: b2·b2 = 1296 b4 = 1296 b=6
Resolución
Si: a = 4 (Según el enunciado) a·c = b2 4·c = 62 4c = 36 → c = 9
∴
La proporción es:
Resolución 23
4 6 = 6 9
Si
25
Por traslado de áreas se obtiene:
Rpta.: D
a b c = = 5 3 6
a b a c = = ∧ 5 3 5 6 Por propiedad: a c a+c a = = → 5 6 5+6 5 Por dato: a + c = 66 66 =a 5+6 5 66 a = 11 5
De la figura *
*
Área total = área del Área total = a2 área coloreada =
F G a J I · a H 3 K
área coloreada =
a2 3
6
66·5 =a 11
→
a = 30
1
ABCD
Luego:
Reemplazamos el valor: a = 30 en: a b = 5 3 30 b = 5 3
2 Área coloreada a Razón = Área total = 32 a
∴
6
Razón =
1 3
Rpta.: D
30· 3 =b 5
NIVEL II
1
∴
b = 18
Resolución 24 Por propiedad:
a +1 b + 2 Si = 2 3
ba + 1g + bb + 2 g = a + 1 2+3
a + b + 3 a +1 = 5 2 Por dato: a + b + 3 = 20 20 a + 1 = 5 2 a+1=8
∴
a=7
Resolución
Rpta.: C
Rpta.: B
2
1
Según el enunciado del problema: # de damas = 10 # de caballeros 9 Entonces:
# de damas = 10k # de caballeros = 9k Si se retiran 8 damas y 3 caballeros, tenemos que: 10k − 8 4 = 9k − 3 5 5(10k − 8) = 4(9k − 3) 50k − 40 = 36k − 12 50k − 36k = −12 + 40 14k = 28 k=2 Luego:
∴
# de damas = 10k = 10(2)
# de damas = 20
Rpta.: C
Resolución 2 Según el enunciado del problema, tenemos que: # de patos = 3(# de pollos)
Resolución 5
Largo del rectángulo = a Ancho del rectángulo = b
# de pollos 1 También: # de pavos = 4
Si
n° de pollos = k n° de pavos = 4k n° de patos = 3(n° de pollos)
n° de patos = 3·k
Entonces:
7k
∴
Hay 4 pollos
perímetro = 2(a + b)
Por dato:
perímetro = 70
4k = 28 = 28 k=4 Rpta.: A
5
Resolución 3
35·2 b= 7
Sea “x” el número
1
b = 10
El duplo del número: 2x * Dicho número, aumentado en 2: x + 2 * Según el enunciado, tenemos que: 2x =4 x+2 7 (2x)· 7 = 4(x + 2) 14x = 4x + 8 10x = 8
Reemplazando el valor: b = 10 en (I): a + 10 = 35 a = 25 Luego:
∴
8 x= = 0, 8 10
∴
Áreadel 2 rectángulo = 250 cm
Rpta.: B
Si:
# de muchachos 5 = # de chicas 3
Según el problema:
Si: edad de Manuel = x edad de Sara = x + 14 La razón de las edades es: x = 0, 75 x + 14 x =3 x + 14 4 4x = 3(x + 14) 4x = 3x + 42 4x − 3x = 42 x = 42
∴
Áreadel rectángulo = a·b =(25)(10) = 250
Resolución 6
El número buscado es 0,8 Rpta.: C
Resolución 4
2(a + b) = 70
a + b = 35 ....................................... (I) Según el enunciado, tenemos: a 5 = b 2 a+b 5+2 = Por propiedad: b 2 Reemplazando (I) en la propiedad tenemos que: 35 5 + 2 35 7 = = b 2 b 2
#de patos + #de pavos = 28 +
Entonces:
Del enunciado: 3k
Si:
Entonces:
n° de muchachos = 5k n° de chicas = 3k
Donde: n°de estudiantes = n° de muchachos + n° de chicas n° de estudiantes = 5k + 3k n° de estudiantes = 8k Luego: El número de estudiantes es múltiplo de 8. Analizando las alternativas, vemos que 36 no es múltiplo de 8 Rpta.: B
La edad de Manuel es 42 años Rpta.: B
Reemplazando el dato en la propiedad, tenemos que:
Resolución 7 Sean “a” y ”b” los números a 2 Donde: = b 3 Entonces: a = 2k b = 3k Según el enunciado del problema, tenemos que: 2k + 15 = 3k + 10 15 − 10 = 3k − 2k 5=k Luego: El número mayor es: 3k =3(5)
∴
El número mayor es 15
Rpta.: A
Resolución 8 Sea: “x” la cantidad que se pasa de una caja a la otra. Según el enunciado del problema se tiene que: 25 + x 7 = 25 − x 3
3(25 + x) = 7(25 − x) 75 + 3x = 175 − 7x 3x + 7x = 175 − 75 10x = 100 x = 10
∴
Hay que pasar 10 fósforos Rpta.: B
Resolución 9 B
C N
A
D
M
Por traslado de áreas se obtiene: De la figura: *
Área coloreada: 3a
*
Área total: 8a
Luego: Razón =
∴
Razón = 3/8
Resolución 10
30 =k 5 + 10 + 15 + 20 30 =k 50
k=
3 5
F 3 I Luego: p = 20k = 20GH J 5 K ∴
P = 12
Resolución 11 Cantidad de dinero de A = a Cantidad de dinero de B = b Según el enunciado, tenemos que: a 7 → a = 7k = b 5 → b = 5k Si “A” le da a “B” 60 soles, entonces: A tendrá: 7k − 60 B tendrá: 5k + 60 Según el enunciado se tiene que: 7 k − 60 5 = 5k + 60 7 7(7k − 60) = 5(5k + 60) 49k − 420 = 25k + 300 49k − 25k = 300 + 420 24k = 720 k = 30 Luego: Al principio “A” tenía:a = 7k a = 7(30) a = 210
∴
“A” tenía al principio S/. 210 Rpta.: B
17 19 21 = = , A B C la expresión se puede escribir de la siguiente manera: A B C = = =k 17 19 21 B =K Donde: 19 B = 19K ......................................(I) Resolución
Áreacoloreada 3a = Área total 8a
Rpta.: E Si:
x = y = z = p =k 5 10 15 20 p = k → p = 20k 20
Rpta.: D
12
Por propiedad:
Si:
A +B +C =k 17 + 19 + 21 A +B +C =K 57
x+y+z+p =k Por propiedad: 5 + 10 + 15 + 20
A + B + C = 57K ..........(II)
Del dato: x + y + z + p = 30
Del dato: A + 2B + C = 152 (A + B + C) + B = 152 ........(III)
a+b Por propiedad: 2 + 5 = k Como: a + b = 28 (dato)
Reemplazando (I) y (II) en (III), obtenemos: 57k + 19k = 152 76k = 152 k=2
Reemplazando el valor: k = 2 en (II) A + B + C = 57(2)
∴
Luego:
k=4
→
a = 2k =2(4) = 8 Rpta.: B
A + B + C = 114 Rpta.: B
Resolución 13
5
Resolución 15
Si:
Entonces: # de mujeres = 3k
3
15·8 → a= 5 1
a = 24 Como: a + b + c = 37
24 + b + c = 37 b + c = 37 − 24
∴
b + c = 13
Rpta.: C
Resolución 16 Por traslado de áreas se obtiene:
Si hay 56 personas: #de hombres + #de mujeres = # de personas 4k + 3k = 56 7k = 56 k = 8 ............................... (II)
Donde: área del octágono = área coloreada
Reemplazando (II) en (I) obtenemos: x = 10 − (8) → x=2
Resolución 14
5 15 b = = 8 a c
5 15 Luego: = 8 a
# de hombres = 4k • Si se retiran 6 mujeres # de mujeres sería : 3k - 6 • Si se retiran “x” hombres # de hombres sería: 4k − x Según el enunciado, tenemos que: 3k − 6 3 = 4k − x 5 5(3k − 6) = 3(4k − x) 15k − 30 = 12k − 3x 15k − 12k = −3x + 30 3k = 30 − 3x 3k = 3(10 − x) k = 10 − x x = 10 − k .......................... (I)
Deben irse 2 hombres
1, 5 15 5 = = Si 2, 4 24 8 8
# de mujeres 3 = # de hom bres 4
∴
28 =k 2+5 28 =k 7
De la figura:
Rpta.: A
*
Área coloreada = 7s
Área del octágono = 7s
* Área del rectángulo = 9s Luego:
a 2 b2 = Si 4 25
Extaemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad, obteniendo: a b = =k 2 5
Áreadel octágono 7 s 7 = = Áreadel rectángulo 9 s 9 Rpta.: A
Entonces: a = 2k b = 5k
Resolución 17
Resolución
Si:
a b = = c = d = e =k 3 15 0, 6 12 1, 4 a +b+ c+ d+ e Por propiedad: 3 + 15 + 0, 6 + 12 + 1, 4 = k a +b+ c+ d+ e =k 32 a + b + c + d + e = 32k Por dato: a + b + c + d + e = 64 32k = 64 k=2 a = k → a = 3k = 3(2) → a = 6 Si: 3 b = k → b = 15k = 15(2) → b = 30 15 d = k → d = 12k = 12(2) → d = 24 12 Luego:
∴
a + b − d = 6 + 30 − 24
a + b − d = 12 Rpta.: C
Resolución 18
Sea la figura:
19
Según el enunciado del problema: R A = 2k (Edad de A ) A B C = = = K → |SB = 5k (Edad de B ) 2 5 7 T|C = 7k (Edad de C) Hace 4 años: • La edad de A era: 2k − 4 La edad de B era: 5k − 4 2k − 4 1 = Entonces: 5k − 4 3 3(2k − 4) = 1(5k − 4) 6k − 12 = 5k − 4 6k − 5k = −4 + 12 k=8 Luego: edad de C = 7k = 7(8) = 56
∴
La edad de C es 56 años
Rpta.: A
Resolución 20 − Litros de vino: 27 litros − Litros de agua: 36 litros Si se agregan “x” litros de vino, tenemos que: 27 + x 5 = 36
6
6(27 + x) = 5·36 162 + 6x = 180 6x = 18 x=3
∴
Se debe agregar 3 litros de vino
De la figura:
Rpta.: A
Área coloreada = área
− área
1 = π (2R)2 − πR2 2
Resolución
llegan “x” caballeros ; y llegan “x” damas Según el enunciado del problema: 42 + x 10 = 48 + X 11
= 2π R2 − πR2
Luego: Razón =
∴
11(42 + X) = 10(48 + X) 462 + 11X = 480 + 10X 11X − 10X = 480 − 462 x = 18
Área coloreada = πR2
Área total = área 1 = π b 2Rg2 2 Área total = 2 πR2
Razón =
1 2
Área sombreada πR2 = Área total 2πR2
Rpta.: C
Si llegan “x” parejas
Entonces:
= 1 π e 4R2 j − πR2 2
21
∴
Deben llegar 18 parejas
Resolución
22
# de caballos 5 → = # de vacas 9 # de vacas 3 = # de burros 2
Rpta.: B
RS # de caballos = T # de vacas =
5k 9k
# de vacas = 3M → RST# de burros = 2M
(k y M son constantes de proporcionalidad) Vemos que: 9k = 3M 9 k = M → M = 3k 3 Si: # de burros = 2M = 2(3k) # de burros = 6k Según el enunciado: “si 4 burros fueran caballos, habría tantos burros como caballos” 6k − 4 = 5k + 4 6k − 5k = 4 + 4 k=8
∴
De la figura: •
Área total = 3s
•
Área coloreada = s
∴
Área coloreada s 1 = = Área total 3s 3 Rpta.: B
Resolución 25 De la figura:
# de vacas = 9k = 9(8) = 72 Rpta.: D
Resolución 23 # de niños 8 = # de niñas 5
→
RS # de niños = 8k T # de niñas = 5k
Si vienen 4 niños y se van 5 niñas, tenemos que: • # de niños será: 8k + 4 • # de niñas será: 5k − 5 Según el enunciado, se tiene que: 8k + 4 2 = 5k − 5 1 1·(8k + 4) = 2·(5k − 5) 8k + 4 = 10k − 10 4 + 10 = 10k − 8k 14 = 2k k=7 Luego: Al final hay: (8 k + 4)niños
•
•
Al final hay 60 niños
=
b 6b + 2 b g · h 2 = 8b · h 2
Área total = 4bh Área coloreada = Área Área coloreada = 2bh
= (2b)·h
1
Área coloreada 2bh 1 = = Luego: Área total 4 bh 2 2
∴
(8(7) + 4) niños (56 + 4) niños 60 niños
∴
Área total = área
Rpta.: A
La relación es 1:2
Resolución 26 Edad de Manuel 7 = Edadde Sara 5
Rpta.: B
RSEdad de Manuel = 7k TEdad de Sara = 5k
Del enunciado: “Manuel es 10 años mayor que Sara”, tenemos: 7k = 5k + 10 7k − 5k = 10 2k = 10 → k = 5
Resolución 24 Por traslado de áreas se obtiene:
Luego: hace 15 años: Edad de Manuel = 7k − 15 = 7(5) − 15 = 35 − 15 = 20
∴ Como la base y la altura de los tres triángulos ( ∆AMB; ∆MBN, ∆NBC) son iguales, entonces las áreas de los triángulos son iguales.
Hace 15 años Manuel tenía 20 años Rpta.: E
5(a − 6) = 3(b − 6) 5a − 30 = 3b − 18 5a − 3b = −18 + 30 5a − 3b = 12 .................................. (I)
Resolución 27 Sean “a” y “b” los números. a 7 a = 7k = → RSb = 3k T b 3 Luego:
a2 a2
2
•
2
b 7k g + b 3 k g + = 2 −b b7k g2 − b3k g2 b2
2 2 = 49k 2 + 9k 2 49k − 9k
= ∴
Razón:
29 20
58k 2 29 = 40k 2 20
Dentro de 9 años: a+9 7 = b + 9 10 10(a + 9) = 7(b + 9) 10a + 90 = 7b + 63 10a − 7b = 63 − 90
10a − 7b = −27 ..............................(II) De (I) y (II), resolvemos el sistema, obteniendo: a = 33
Rpta.: D
Resolución 28 Sean a y b las edades de las personas actualmente. • Hace 6 años: a−6 3 = b−6 5
∧
b = 51
Luego, suma de edades es: a + b 33 + 51
∴
Suma de edades = 84 años Rpta.: D
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(390, 391, 392, 393, 394) NIVEL I Resolución 1
24 3 = x 12
Si Q es D.P a Z
Valor de Q = constante Valor de Z
2=3x
∴ Cuando: Q = 18 ; Z = 6 Cuando: Q = x ; Z = 14 Entonces:
18 6 x 14
Resolución
18 x = 6 14
Si Si
3
x=
x = 42
Rpta.: C
Resolución 2
Rpta.: D 3
A = 2 ; B = 16 A = x ; B = 12
22 x2
A2 es D.P a B
18 · 14 6 1
∴
x=8
22 x 2 = 16 12
3
Si A es I.P a B
e Valor de 3 A j · b Valor de Bg = constante
Cuando: A = 64 ; B = 6
Cuando: A = x ; B = 12
6
3
12
Entonces: e 3 64 j · b 6 g = e 3 x j · b12 g
3
x2
1
12 · 22 12· 4 = = =3 16 16 4 1
3 64
x
Valor de A2 = constante Valor de B2
x2 = 3
∴
4 · 6 = 3 x · 12
x = 3 Rpta.: A
16 12
Resolución 4
Resolución 8 Tenemos que: Carlos → 2 vocales ; recibe x nuevos soles Mario → 3 vocales ; recibe y nuevos soles Timotea → 4 vocales ; recibe z nuevos soles Si repartimos 78 en partes inversamente proporcionales a: 2; 3 y 4 ; obtenemos:
Si R = 14 ; A = 2 (14 − 4) (2 + 7) Si R = x ; A = 8 (x − 4) (8 + 7) (R − 4) es I.P a (A + 7) (Valor de R − 4)·(Valor de A + 7) = constante (14 − 4)·(2 + 7) = (x − 4)(8 + 7) 10 · 9 = (x − 4)·15 90 = x−4 15 6=x−4
∴
x = 10
Donde: x =
k 2
k 3 k z= 4
y=
Rpta.: B
Resolución 5 Si
x = y = z = k 1 1 1 2 3 4
Del gráfico:
U | || V | | |W
6k + 4 k + 3 k = 78 12
y 24 30 = = 8 x 20 y 30 30 · 8 → y = 12 Donde: 8 = 20 → y = 20 24 30 20 · 24 = → x = 30 → x = 16 x 20
13k = 78 12
k = 72 Luego: Timotea recibe: z = k = 72 = 18 4
Luego: x + y = 16 + 12 = 28
∴ Rpta.: A
Resolución 6
Si:
Carga = 2T; recorrido = 40km 2T 40km Si carga = 5T ; recorrido = x 5T x Como: la carga es I.P al recorrido (carga)·(recorrido) = constante (2T)(40km) = (5T)(x) 8
1
x = 16km
4
Timotea recibe S/. 18 Rpta.: B
Resolución 9 Sea N la herencia a repartir (x; y; z las partes) R| x = 4k x y z = = = k → S y = 7k 4 7 9 |Tz = 9k Según el problema: 4k = 28 → k = 7 Luego: N=x+y+z N = 4k + 7k + 9k N = 20k Reemplazando el valor: k = 7, tenemos: N = 20(7) = 140
2 T · 40 km x= 5T
Rpta.: A
∴
Resolución 7 Se divide 40 nuevos soles en dos partes directamente proporcionales a 3 y 5 Las partes serán: 3k y 5k Donde: 3k + 5k = 40 8k = 40 k=5
∴
k k k + + = 78 2 3 4
A es D.P. B
∴
x + y + z = 78
El mayor recibe: 5k = 5(5) = 25 Rpta.: C
La herencia es deS/. 140
Rpta.: D
Resolución 10 Se reparte: 110 en partes D.P. a Entonces: x1 = 2y = 5z = k 3 3 Donde: x = k 3 2k y= 3 5k z= 6
6
1 2 5 ; ; 3 3 6
Resolución 13 Si pienso trabajar “x” horas diarias, pero trabajo 2 horas menos Entonces: Trabajaré : (x − 2) horas
Luego: k + 2k + 5k = 110 3
3
6
2k + 4k + 5k = 110 6
11 k = 110 6
k = 60 Las partes serán: k 60 = 3 3 2k 2b 60g y= = 3 3 5k 5b 60g z= = 6 6 x=
∴
→
x = 20
→
y = 40
→
z = 50
La menor parte es 20
Aplicando la regla práctica: 18·x = (18 + 6)·(x − 2) 18x = 24(x − 2) 18x = 24x − 48 48 = 24x − 18x 48 = 6x x=8 Luego: Se trabajó: (x − 2)horas diarias (8 − 2)horas diarias
Rpta.: C
Resolución 11
Se trabajó 6 horas diarias
∴
Dividimos: 1350 en partes I.P. a los números
Resolución
1 1 1 1 ; ; y 6 7 4 8
Rpta.: D
14
Si 160 zapatos < > 80 pares de zapatos
x y z w Entonces: 6 = 7 = 4 = 8 = k
Donde: x = 6k y = 7k z = 4k w = 8k Si: x + y + z + w = 1350 6k + 7k + 4k + 8k = 1350 25k = 1350 k = 54 Luego: la mayor parte es 8k = 8(54) = 432
∴
20 x
x=
La mayor parte es S/.432 Rpta.: C
Resolución 12 Como son magnitudes directamente proporcionales, tenemos que:
120 80
18 24
20 · 80 · 18 120 · 24
x = 10 # de personas = 10
∴
Resolución
Rpta.: B
15 I.P.
30
50
Entonces: 750 = x 50 · 750 x= 30
20 40
160 200
x = 1250
∴
Recorrerá 1250 segundos Rpta.: A
Entonces: x =
48 x
48 ⋅ 200 ⋅ 20 ⋅ 8 40 ⋅ 160 ⋅ 4
x = 60
∴
Tardarán 60 días
Rpta.: A
8 4
Resolución 16
Resolución 20 Según el enunciado tenemos que: 20% de M = 60% de E 1
6 10
50 x
Entonces: x =
–9 6
10 15
50 · 10 · 18 · 6 6 · 10 · 9
x = 83,3
∴
Consumirán 83,3 toneladas de carbón Rpta.: A
Resolución 17 6
16
1
1
10 2 40 60 000 × 80 × × × 6000 = 100 5 100 10 000 × 5 = 96
Rpta.: E
3E Tanto por ciento = M × 100% Pero: M = 3E
Tanto por ciento =
∴
Tanto por ciento = 100%
Suponiendo que el lado L = 10 Área del cuadrado = L 2 = 10 2 = 100 Si aumenta en un 30% Entonces: 10 → 100% x → 130% x=
B=
10 × 300 → 100
El nuevo lado será: x = 13 La nueva área será: x2 = 13 2 = 169
B = 30
Donde: • El área 100 representa el 100% del área inicial • El área 169 representa el 169% del área inicial Luego: 169% − 100% = 69%
20 × b135 + 30g 100 = 20 × 165 = 33 100
Luego: 20% de (A + B) =
∴
130% · 10 = 13 100%
A = 135
B = 10% de 300
Rpta.: D
Resolución 21
A = 15% de 900
3E × 100% 3E
Resolución 18 15 A= × 900 → 100
3
20 60 ×M = ×E 100 100 M = 3E
20% de (A + B) = 33
Rpta.: C
∴
R• El d oble es: 2 x | Sea “x” el número: S•La quinta : 1 x |T parte es 5
Rpta.: D
Resolución 22 1° descuento:
Resolución 19
Su área aumenta en 69%
100% − 40% de 100% 40
= 100% − 100 · 100% = 60% 2° descuento: 60% − 50% de 60% 50 = 60% − ·60% = 30% 100 Luego: Descuento único = 100% − 30%
1x Luego: Porcentaje = 5 × 100% 2x 10 = 1 × 100 % = 10% 10 1
∴
Porcentaje = 10%
∴
Rpta.: C
Descuento único = 70%
Rpta.: A
Resolución 23
Obteniendo: C =
Si gana el 30% significa que: Supuesto: Pc = S/. 100 g = S/. 30
100b S /. 200 g 4·1
C = S/. 5000
(+)
∴
La cantidad de dinero es de S/. 5000 Rpta.: A
Pv = S/. 130 Resolución
Planteamos la regla de tres directa. Si S/. 100Pc corresponde a S/. 130Pv S/. S/. 840 Pc corresponde a x entonces:
Según datos: C + I = S/. 1350
S/. 900 + I = S/. 1350 I = S/. 450
S /. 130 Pv · S /. 840 Pc S /. 100 Pc
x=
Pero: I = C · % · t ; para “t” en meses 1200
x = S/. 1092 Pv
∴
El precio de venta es S/. 1092 Rpta.: B
Resolución 24
∴
1200
Tasa trimestral =
60% = 15% 4
Rpta.: B
b S /. 2000gb 50gb1/ 2g
Resolución 28 Como los triángulos (∆BCN; ∆MBN; ∆MND; ∆MAD) son iguales, entonces:
100
I = S/. 500 El interés es de S/. 500
b S/. 900g · % b10g
% = 60% anual Para convertirlo a tasa trimestral, dividimos por 4.
Aplicando la fórmula: I = C · % · t 100
∴
Reemplazando: C = S/. 900 → t = 10 meses I = S/. 450 Obtenemos: S/. 450 =
Datos: % = 50 C = S/. 2000 t = 6 meses = 1/2 año I =?
Obtenemos: I =
27
Rpta.: C
Resolución 25 Datos: C = ? %=4 t = 10 meses = 5/6 año I = S/. 12 Aplicando la fórmula: Obtenemos: C =
C=
De la figura:
− Área de rectángulo ABCD = 4S − Área coloreada = 2S Luego:
100· I %· t
100 · bS /. 12g b 4g · b 5 / 6g
Porcentaje =
C = S/. 360
∴
El capital producto es de S/. 360
=
Rpta.: B
∴
Resolución 26 Datos: I = S/. 200 %=4 t = 12 meses = 1 año C=? Aplicando la fórmula:
C=
100· I %· t
rea coloreada × 100% rea del rectángulo
2S × 100% 4S
Porcentaje = 50%
Rpta.: D
Resolución 29
P. V. = bP + 2 gF GV −
40 I H 100 × V J K − 40 V I P. V. = bP + 2 gF GH 100V100 J K F 603 V I J P. V. = bP + 2 gG GH 100 J 5 K
Por traslado de áreas se tiene:
3 I P. V. = bP + 2 gGF V J H 5 K
De la figura: − Área del cuadrado ABCD = 8S − Área sombreada = 4S Luego: Porcentaje =
= ∴
3 6 P. V. = P. V + V 5 5
3P. V + 6 V 5 5P.V = 3PV + 6V 2P.V = 6V P. V. =
Área coloreada × 100% Área del cuadrado
4S × 100% 8S
Porcentaje = 50%
P=
Rpta.: C
∴
6V =3 2V
El gas está sometido a una presión de 3 atm.
Resolución 30
Rpta.: B Resolución 2 Si la deformación(d) es D.P. a la fuerza (F) entonces:
De la figura: − Área coloreada = 3a − Área del triángulo ABC = 8a Luego: Porcentaje =
Porcentaje = 37,5%
Rpta.: D NIVEL II
Resolución 1 Como: la presión(P) es I.P. al volumen(V) P.V. = constante Si P aumenta, entonces V disminuye * Si P disminuye, entonces V aumenta * Según el enunciado del problema, tenemos: P.V. = (P + 2)(V − 40% de V)
3
4
6 x − 30 = 3 4
rea coloreada × 100% Área del triángulo
= 3a × 100% 8a
∴
Donde:“x” es la nueva longitud del resorte al aplicarle la fuerza de 4 newton d = constante Si: F 36 − 30 x − 30 =
8 = x − 30 x = 38
∴
La longitud será de 38cm
Rpta.: C
Resolución 3 Sea:S = sueldo del empleado x = años que transcurren hasta que se cuadruplica el sueldo S Sueldo (Edad)2 S (18)2 4S (18 + x)2 Como: sueldo es D.P. a (Edad)2
Sueldo = constante bEdadg2
Resolución
S = 4S 182 b18 + x g2
∴
6
Sean: x; y; z las partes repartidas Según el enunciado, tenemos que: x y z = = =k 2 1 5 3 5 6
(18 + x)2 = 4·182 (18 + x)2 = 2 2· 182 (18 +x)2 = (2·18) 2 18 + x =2·18 18 + x = 36 x = 18 Cuadriplicará su sueldo dentro de 18 años
•
Por propiedad:
Rpta.: C Resolución 4 Del gráfico: A es I.P. a B
A·B = constante
(x − 1)·45 = x·36 = (x + 1)·y 2
x+y+z =
45(x − 1) = 36x 45x − 45 = 36x 45x − 36x = 45 9x = 45 x=5
Tenemos que:
y = k → y = 1 k = 1 b 7200g 1 5 5 5 Menor y = 1440 parte
Rpta.: A
A es D.P. a B A es I.P. a C
z 5 5 = k → z = k = b 7200g 5 6 6 6 z = 6000
A· C = constante B
Luego: Reemplazando los valores dados en el enunciado, obtenemos: A · 36 30 25 = 24 8 A · 6 30 · 5 = 24 8 30 · 5 · 24 A= 8· 6 A = 75
∴
Suma de cifra de A = 7 + 5 = 12
x 2 2 k → x = k = b 7200g = 2 3 3 3 x = 4800
Donde:
Resolución 5
Entonces:
51k = 12 240 30
k = 7 200
36(5) = (5 + 1)·y 180 = 6y y = 30 Luego: 2x + 3y = 2(5) + 3(30) = 10 + 90 2x + 3y = 100
51k 30
Si: x + y + z = 12 240
De 2 : 36x = (x + 1)·y
∴
x+y+z =k 20 + 6 + 25 30 x+y+z =k 51 30
1
De 1 :
x+y+z =k 2 1 5 + + 3 5 6
∴
La menor parte es 1440
Resolución 7 Sea: x + y + z = 200 x = y = z 8 18 50
x
= y = z
2 2 3 2 5 2 x+y+z = x = y = z 10 2 2 2 3 2 5 2 200 = x → x = 40 10 2 2 2
Rpta.: C
Rpta.: B
Sabemos que: x + y + z = 6510 930 + 930A + 930A2 = 6510 930(1 + A + A2) = 6510
200 = y → y = 60 10 2 3 2 200 = z → z = 100 10 2 3 2
∴
La mayor parte es 100
A2 + A + 1 =
Rpta.: C
A2 + A + 1 = 7 A2 + A − 6 = 0 (A + 3)(A − 2) = 0
Resolución 8 Sean: a; b; c las partes
A+3=0 ∧ A = −3 ∧
2 2 a2 = b =c 125 245 80
n
Tenemos que:
2 2 a2 = b = c =k 125 245 80
a
= b = c =k 5 5 7 5 4 5
∴
a+b+c Por propiedad: 5 5 + 7 5 + 4 5 = k
k=
El mayor recibió S/. 3720
Rpta.: A
Resolución 10
a+b+c =k 16 5
Si a + b + c = 2560
A−2=0 A=2
Si: A = 2 AK = 2k = 930 K = 465 Si el mayor es: Z = A 3K Z = (2)3(465) Z = 3720
n
a c = ⇒na =nc b d b d
De la propiedad:
6510 930
* 2560 =k 16 5
Si se ha hecho la mitad de la obra, queda por hacer la otra mitad.
Entonces, tenemos que:
160 5
F I H 5 K F 160 I → b = 1120 5G H 5 J K
160 Donde: a = 5 5 k = 5 5 G J → a = 800 b=7 5 k =7 c=4 5 k=4
∴
2 20· 1 · 15 2 Luego: x = = 30 10· 1 1 2
F 160 I → c = 640 5G H 5 J K
La menor parte será 640 Rpta.. C
∴
Tardarán 30 días
Rpta.: D
Resolución 11
Resolución 9 Sean: x; y; z las partes repartidas. Si el reparto es en forma inversamente proporcional, tenemos que: x·A−1 = y·A−2 = z·A−3 = k x = y = z =k A A2 A 3
Donde:
x = AK y = A2K z = A3K Si el menor: x = AK = 930 También: y = A·AK → y = 930A z = A2·AK → z = 930A2
Luego: x = 720 · 25 · 8 = 960 5 · 30
∴
Se necesitaron 960kg de carne Rpta.: A
Resolución 12 Sea: “x” el número de personas que había inicialmente
x=
∴
Hallamos el # de personas:x + 3 = 5(x + 3) = 6x 5x + 15 = 6x 15 = 6x − 5x → n° de personas = 15 Luego:
Y=
∴
15 · 6 1
→
x· 6 5
280 · 13k = 728 5k
Habrá realizado 728m
Rpta.: D
Resolución 15 Según el enunciado, tenemos que: Rendimiento de Rendimiento de un albañil un ayudante = 3 Se tiene la relación: Rend. de un ayudante =1 Rend. de un 3 albañil
x = 15
Donde: Rendimiento de un ayudante = K Rendimiento de un albañil = 3k Luego:
y = 90 x=
Una sola persona cavará en 90 días
22 · b 6k + 3k g 9k + 2 k 2
Rpta.: E
22· 9k = 18 x= 11k
Resolución 13
1
∴
La obra la harán en 18 días Rpta.: D
Resolución 16 Sea “x” el número de obreros a contratar. Si la habilidad de los 15 obreros es 100% La habilidad de los “x” obreros será 200% 70 · 41 · 2250 70 = 45 x= 2050 · 1
∴
Las provisiones durarán 45 días Rpta.: B
Resolución 14 Según el enunciado, tenemos que: Habilidad de A 5 = Habilidad de B 13
Entonces: Habilidad de A = 5k Habilidad de B = 13k
Luego:
F 100 · 15I · 60 · 15 2 F I 100 200 F G · 15J I + G · x J = H 100 K H 100 K G 100 J 12 · 25 H
1
K
15 · 60 · 15 12 · 25 15 + 2x = 45 x = 15 15 + 2 x =
∴
Deberán contratar 15 obreros más Rpta.: C
Reemplazando el valor de “A”, obtenemos:
Resolución 17 Si se emplean “x” obreros más, tenemos:
•
A + B = F GH 32 BJ K I + B
5 A +B = B 2
D.P.
•
2
Entonces: 15 + x = 15 · 30 · 10 · 22 30 10 · 11· 1
3 I 2 A + 7B = 2 GF BJ H 2 K + 7B =3B + 7B 2A + 7B = 10B
Luego:
Porcentaje =
1
15 + x = 30
∴
→
Se emplean 15 obreros más
Resolución 18 Sea “N” el número:
5 B Porcentaje = 2 × 100% 10B
x = 15 Rpta.: D
∴
Porcentaje = 25%
Rpta.: E
Resolución 20
El doble del 60% de N = 2(60% de N)
Según el enunciado del problema, tenemos que: S = 150% de T
= 2 · 60 · N 100 = 6 ·N 5
S=
150 ·T 100
S=
3 T 2
→
S 3 = T 2
Donde: S = 3k T = 2k
Luego: 2 de N 5 30 20 2 3 × × N= N = 100 100 5 125
El 30% del 20% de los
Luego:
Hallamos el porcentaje: 3 N Porcentaje = 125 × 100% 6 N 5
∴
Porcentaje = 2%
Porcentaje =
Rpta.: D
Resolución 19 Según el enunciado, tenemos que: 40% del 50% de A = 30% de B 40 50 30 × ×A= ×B 100 100 100 2A = 3B 3 A= B 2
bS + T g × 100% T
Porcentaje =
b 3k + 2k g × 100%
Porcentaje =
5K × 100% 2K
2k
Porcentaje = 250%
Resolución 21
= 1 × 100% 50 ∴
A +B × 100% 2 A + 7B
Rpta.: A
Sea “N” el número:
Según el enunciado del problema, tenemos que: 2 30% del 20% de los de N 5 = 24% del 0,01% de 1000 30 20 2 24 0, 01 · · N= · · 1000 100 100 5 100 100 3 3 N= 125 125 N=1
∴
El número es 1
Rpta.: A
Resolución 22
−
Me queda lo que no gasté, o sea 700 nuevos soles.
Gasté el 40% de 700 40 · 700 gasté: 100 Luego: Inicialmente = lo que gasté + lo queme tenía queda
= 280 nuevos soles + 700 nuevos soles Inicialmente tenía 980 soles Rpta.: C Resolución 23
Sea
∴
El total de alumnos aumentó en 19%
Resolución
25
Áreadel = Base × Altura Sabemos: rectángulo Suponiendo: Base = 20 Altura = 5
1 x I N = NF GH 1− 100 J K 5
∴
Porcentaje = 19% Rpta.: D
“N” el número y “x” el porcentaje que disminuye. Según el enunciado, tenemos que: 10 60% × 25% × 80% × 50% × N = N − x% de N 3 60 25 80 50 10 x · · · · N = N− N 100 100 100 100 3 100
1 = 1− x 5 100 x = 1− 1 100 5 x =4 → 100 5
El nuevo n° de hombres será: 10 1050 + · 1050 = 1050 + 105 = 1155 100
Luego: El nuevo # de alumnos será: 630 + 1155 Nuevo n° de alumnos = 1785 El aumento de alumnos es: 1785 − 1500 Aumento de alumnos = 285 Hallamos, qué porcentaje es 285 de 1500 285 Porcentaje = × 100% 1500
Gasté: 280 nuevos soles
∴
Si el n° de hombres aumenta en 10%
x = 80
*
Si la base aumenta en 30%: 30 Base = 20 + ·20 = 20 + 6 = 26 100
*
Si la altura disminuye en 20% : 20 Altura = 5 − ·5 = 5 − 1 = 4 100
Habrá que disminuir en 80% Rpta.: C
F Re presenta elI Área = 20×5 = 100 G 100% del áreaJ H inicial K
Donde: Área = 26 × 4 = 104
Resolución 24 Luego:
Total de alumnos = 1500 70 · 1500 100
Variación del área = 104% − 100% = 4%
30 · 1500 100
Resolución
•
n° de hombres: 70% de 1500 =
n° de hombres = 1050
•
n° de mujeres: 30% de 1500 =
n° de mujeres = 450
−
Si el n° de mujeres aumenta en 40%
El nuevo n° de mujeres será: 450 +
F Re presenta elI 104% del J G área inicial K H
40 ·450 = 450 + 180 = 630 100
∴
Aumenta en 4%
Rpta.: D
26
Sea:b = base h = altura x = porcentaje que se debe aumentar la altura. Área inicial = b·h/2 *
Si la base disminuye en 50% Nueva = b base 2
*
Si la altura aumenta en x%
Resolución 29
x I Nueva = hF 1+ G H 100 J K altura
Por traslado de áreas se obtiene:
Área = b × h 1 + x final 4 100 Como el área no varía Área inicial = Área final De la figura: • Área coloreada = área del rectángulo MFGN
b⋅h b x = ⋅ h 1+ 2 4 100 2 = 1+
∴
x → 100
F I = G a 2 J · e a 2 j H 2 K
x = 100
Área coloreada = a2 • Área del cuadrado ABCD = (2a)2 Área del cuadrado ABCD = 4a 2 Luego:
La altura debe aumentar en 100% Rpta.: B
Resolución 27 Supuesto: Pc = S/. 100 (+) g = S/. 20 Pv = S/.120 Luego: planteamos la regla de tres directa.
Porcentaje =
rea coloreada × 100% rea del cuadradoABCD
Porcentaje =
a2 × 100% 4 a2
∴
S/. 120 Pv corresponde a S/. 100 Pc S/. 720 Pv corresponde a x
Porcentaje = 25%
Rpta.: C
Resolución 30 Por traslado de áreas se obtiene:
Donde: x = S /. 720 Pv · S /. 100 Pc S /. 120 Pv
x = S/. 600Pc
∴
La grabadora le costó S/. 600 Rpta.: D
Resolución 28 Del enunciado: M = 5C Sabemos que: M = C + I Entonces, tenemos que: 5C = C + I I = 4C Aplicando la fórmula:
Del gráfico:
I=
C· %· t 100
Además: 20% trimestral = 20% × 4 = 80% anual C · 80 · t Luego: 4C = 100
∴
t = 5 años
*
Área coloreada = Área del rectángulo BEGF = b·h Área coloreada = bh
*
Área total = Área del trapecio ABCD b 2b + 6b g · h = 2 Área total = 4bh
Luego: Rpta.: B
Porcentaje =
Área coloreada × 100% Área total
= bh × 100% 4bh ∴
Porcentaje = 25%
Rpta.: C
CAPÍTULO N° 9 GEOMETRÍA EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE SEGMENTOS. Pág.(405, 406, 407) Resolución 1 Según el enunciado, graficamos:
1
= 2x + y − y = 2 x 6x 6x 3
∴ Del gráfico: (3x) 3x + x + 4(3x) = 160 4x + 12x = 160 16x = 160 ∴ x = 10 Rpta.: C Resolución 2 Según el enunciado, graficamos:
Del gráfico: AB = y 3AB = 3y CD = 3BC = 3x AD = y + x + 3x AD = y + 4x Luego:
3AB + AD 2 = 28 ;
3y+ + (y + 4x) = 28 4y + 4x = 28 4(y + x) = 28 y+x=7 Si: AC = y + x ∴ AC = 7 Rpta.: A Resolución 3 Según el enunciado, graficamos
Del gráfico: AC = (x + y) + x AC = 2x + y CD = y BC = x Luego: Reemplazamos estos valores en: AC − CD b 2 x + y g − y = 6 · BC 6· x
AC − CD 1 = 6 · BC 3
Rpta.: C
Resolución 4 Según el enunciado, graficamos:
Luego: AE = x + x + 2y + y AE = 2x + 3y También: AB = x Como: AB + AE = 24 x+(2x + 3y) = 24 3x + 3y = 24 3(x + y) = 24 x+y=8 Del gráfico: AD = x + x + 2y AD = 2x + 2y AD = 2(x + y) AD = 2(8)
∴
AD = 16
Rpta.: E
Resolución 5 Según el enunciado, graficamos:
Del gráfico: AC = 2 + x BD = x + 5 AD = 2 + x + 5 AD = x + 7 Como: AC + BD + AD = 56 (2 + x) + (x + 5) + (x + 7) = 56 3x + 14 = 56 3x = 42 x = 14 Si: AD = x + 7 AD = 14 + 7
∴
AD = 21
Rpta.: C
Resolución
Si:
6
AD = 7·BC 24 − x = 7x 24 = 8x →
Según el enunciado, graficamos: ∴
Resolución
x=3
Rpta.: C
BC = 3
9
Con los datos, graficamos: Sea:
M punto medio de AB N punto medio de CD
Del gráfico:
BC = 28 - 2x BC = 30 − 2y 28 − 2x = 30 − 2y 2(14 − x) = 2(15 − y) 14 − x = 15 − y y − x = 1 .......................... (I)
Luego:
MN = x + (28 − 2x) + y
Sean: M punto medio de AB N punto medio de CD Luego:
MN = x + (24 − 2x) + y MN = x + 24 − 2x + y MN = 24 + y − x
Del gráfico:
• BC = 24 − 2x • BC = 30 − 2y 24 − 2x = 30 − 2y 2(12 − x) = 2(15 − y) 12 − x = 15 − y y−x=3
MN = x + 28 − 2x + y MN = 28 + (y − x) .......... (II) Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
MN 28 + (1) ∴
MN = 29
Resolución
Rpta.: B
7
Según el enunciado, graficamos:
AC = x + x + y
AC = 2x + y
También:
BC = y
Luego:
AC + BC = 40 (2x + y) + y = 40 2x + 2y = 40 2(x + y) = 40 x + y = 20
Del gráfico:
MC = x + y MC = 20
MN = 24 + (y − x) MN = 24 + (3)
∴
MN = 27
Resolución
Del gráfico:
∴
Si:
Rpta.: D
10
Rpta.: B
Si:
AB =
BC 2
→
BC = 2AB
AB =
CD 3
→
CD = 3AB
Según los datos, graficamos:
Del gráfico:
•
AC = x + 2x AC = 3x
Resolución
8
•
BD = 2x + 3x BD = 5x
Con los datos, graficamos: •
BC = 2x
Reemplazamos estos valores en: M= Del gráfico:
AD = (10 − x) + x + (14 − x) AD = 10 − x + x + 14 − x
M=
AD = 24 − x También:
BC = x
M= ∴
AC2 + BD2 BC2
b 3 x g2 + b5 x g2 2 b2x g 9 x 2 + 25 x2
M = 8,5
4 x2
=
34 x2 4 x2
Rpta.: A
Resolución
11
Resolución
Según el enunciado graficamos:
Del gráfico:
AD = x + 2y BC = x
Si:
AD = 2·BC x + 2y = 2x 2y = 2x − x
Del gráfico:
Como: C es punto medio de AD AC = CD Del gráfico:
2y = x CD y y 1 = = = BC x 2 y 2 CD = 0, 5 BC
∴
Resolución
Según los datos del enunciado graficamos:
AD = y + x + y
También:
14
∴
Rpta.: C
• •
4 + x = 10 − x 2x = 6 x=3
Rpta.: C
BC = 3
Resolución
15
Según los datos del enunciado graficamos:
12
Según el enunciado, graficamos:
Del gráfico:
•
Si: Luego:
•
• Si:
AB = 2x + y BC = y
Resolución
FB = 14
AC = x + 10 BD = 10 + y AC + BD = 32 (x + 10) + (10 + y) = 32 20 + x + y = 32 x + y = 12
AB = (x + y) + x Del gráfico:
AB − BC = 28 (2x + y) − y = 28 2x + y − y = 28 2x = 28 → ∴
AC = 4 + x CD = 10 − x
•
AD = x + 10 + y AD = 10 + x+ y AD = 10 + 12
Rpta.: C
AD = 22
∴
x = 14
Rpta.: E
13
NIVEL II Resolución
1
Con los datos del enunciado, graficamos:
Según los datos del enunciado graficamos:
Como: C es punto medio de AD
Del gráfico:
AC = CD •
∴
• AD = y + 2x • BC = x − y
BD = y + (x + y) BD = x + 2y
Luego:
Del gráfico, vemos que:
•
BA = x
•
BC = y
Si:
AD + BC = 12 (y + 2x) + (x − y) = 12 y + 2x + x − y = 12 3x = 12
BD − BA b x + 2 y g − x = 3 · BC 3· y =
x + 2y − x 3y
=
2y 3y
BD − BA 2 = 3 · BC 3
∴
Resolución
x =4
2
Según el dato, graficamos:
Rpta.: B
Rpta.: D
Del gráfico:
•
AC = x + x + z AC = 2x + z
•
BD = z + y + y BD = z + 2y
Si:
AC 2 +
BD 2
(2x + z) + (z + 2y) 2x + z+ z + 2y 2x + 2z + 2y 2(x + z + y)
Según los datos graficamos:
= 34 = 34 = 34 = 34
Por dato:
AB · BC = 28 2 · x = 28 x = 14
Del gráfico:
AC = 2 + x AC = 2 + 14
∴
AC = 16
Del gráfico : EF = x + z + y EF = 17
∴
Rpta.: B
Resolución
3
Resolución
5
= 34
x + z + y = 17
Resolución
Rpta.: D
6
Según los datos graficamos:
Según los datos graficamos:
Del gráfico:
•
BM = x
• MD = x + 6 BM · MD = 7
Como:
x · (x + 6) = 7 x2 + 6x = 7 x2 + 6x − 7 = 0 x2 + 6x − 7 = 0 Factorizando, tenemos: (x + 7)(x − 1) = 0 x = −7
∧
x=1
Como: x ∈ IN
→
x = 1
Luego: Del gráfico:
AM = 3 + x AM = 3 + 1
∴
AM = 4
Resolución
Del gráfico vemos que: AC = AB + BC → AC = x + BC BD = BC + CD CE = CD + DE DF = DE + EF → DF = DE + y Reemplazando estos valores, tenemos: AC + BD + CE + DF = 46 (x + BC) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + y) = 46 x + 2BC + 2CD + 2DE + y = 46 x + y + 2(BC + CD + DE) = 46 Por dato:
BE = 24
Pero:
BE = BC + CD + DE
Rpta.: C
4
AB BC CD = = =k 2 3 7 AB = 2k BC = 3k CD = 7k Con estos datos graficamos: Como:
BC + CD + DE = 24
Reemplazando, tenemos que: x + y + 2(BC + CD + DE) x + y + 2(24) x + y + 48 x+y Luego:
∴
Resolución
AF = x + 24 + y AF = 24 + (x + y) AF = 24 + ( −2) AF = 22
7
Según los datos graficamos:
Del gráfico:
AD = 2k + 3k + 7k AD = 12k
Por dato:
AD = 48 12k = 48 k=4
Luego: ∴
AB = 2k = 2(4) AB = 8
Rpta.: B
Si:
AE = 28 = AB + BE 28 = AB + 16 AB = 12
Si:
AC = 15 = AB + BC 15 = 12 + 3x 3 = 3x x=1
= 46 = 46 = 46 = −2
Rpta.: D
Si:
BE = 16 = BC + CD + DE 16 = 3x + CD + x 16 = 4x + CD 16 − 4x = CD
Resolución
10
Según los datos graficamos:
Como: x = 1, tenemos: Del gráfico:
CD = 16 − 4(1) ∴
BD = y +(x + y)
Rpta.: A
CD = 12
BD = x + 2y •
8
Resolución
•
Según los datos graficamos:
AB = x
Si:
BD − AB = 4 (x + 2y) − x = 4 x + 2y − x = 4 →
2y = 4 Según datos: 2(AC + BC) 2(b + b − a)
c=
= 3CD = 3c
3
Resolución
Resolución
7b − 2 a 3
Rpta.: D
BC = 2
11
Según los datos, graficamos:
4b − 2a AD = b + 3 AD =
BC = y
∴
4b − 2a
De acuerdo al gráfico:
∴
Del gráfico:
y=2
Rpta.: C Del gráfico:
9
Según los datos se grafica:
Del gráfico, vemos que: n − m = x + y ............................. (I) Por dato: AB· CD = BC·AD m·y = x·n xn ...................... (II) m Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
MN = 15 + 3 MN = 18
También:
NB = 3
Luego:
MN 18 = =6 NB 3
Resolución
Rpta.: A
12
Según los datos, graficamos:
Despejamos “y” : y =
xn n − m = x+ m
Del gráfico:
AD = 6x
Luego:
AD = AB + BC + CD AD = BC + AB + CD 6x = x + AB + CD 5x = AB + CD
Por dato:
AB + CD = 40 5x = 40 x=8
F I n − m = x GH 1+ J m K n
F m + n I J n − m = x GH m K m b n − mg m+ n
Del gráfico:
=x
Como:
AD = 6x = 6(8) ∴
AC = m + x
BC = x
∧
AD = 48
Rpta.: D
Reemplazando el valor de “x”, obtenemos: AC = m + AC =
∴
mbn − mg m+ n
Resolución
13
Según los datos graficamos:
bm + n g + mb n − mg m+n
AC =
m2 + mn + mn − m2 m +n
AC =
2m · n m+n
Del gráfico:
Rpta.: C
• • •
AC = x + y AB = x BC = y
Si:
3(AC + AB)= 4BC 3((x+ 3((x + y) + x) = 4y 4y 3(2x 3( 2x + y) = 4y 6x + 3y = 4y 6x
∴
=y
AB x x = = BC y 6 x
Luego:
∴
Dell gráfi De gráfico co::
AB 1 = BC 6
Resolución
Resolución
AD = 2x 2x + BC + x AD = 2x + (10 − 3x) + x AD = 3x + 10 − 3x
Rpta.: B
AD = 10
15
Según los datos graficamos:
Rpta.: C Dell gráfi De gráfico co::
14
Según los datos graficamos:
AD = 4 + 2 + x AD = 6 + x
También:
CD = x
C o mo :
AB·CD = AD·BC 2
Si:
1
AC = AB + BC
4· x = ( 6 + x ) · 2 2x = 6 + x
AC = 2x + BC
x=6
Lueg o: 3AC − BC = 20 3(2x + BC) − BC = 20 6x + 3BC − BC = 20 6x + 2BC = 20 2(3x + BC) = 2·10 3x + BC = 10 BC = 10 − 3x
Si:
AD = 6 + x = 6 + 6
∴
AD = 12
Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE ÁNGULOS. Pág.(422, 423, 424) NIVEL I Resolución
1
Resolución
Como los ángulos son c omplementarios, hallamos el complemento de 38° 24´ 52´´ *
Complemento de 38°24´52´´ = 90° − 38°24’52’’
*
Complemento de 38°24’52’’ = 51°35’8’’
∴
El otro es 51°35’8’’
Resolución
2
105° 15’ 25’’ 75° 42’ 37’’
Tenemos: −
no se puede La expresión se puede escribir de la siguiente manera: 104° 74´ 85´´ 75° 42´ 37´´
Rpta.: A
29° 32´ 48´´
Rpta.: B
Sea el ángulo: x°
Complemento de x° = 90° − x°
Suplemento del complemento de (90° − x°) =180° − (90° − x°)
Resolución
Según los datos, tenemos que: 180° − (90° − x°) = 124°34’20’’ 90° + x° = 124°34’20’’
Rpta.: B
Sea el ángulo: x°
x° = 80° Luego:
x° = 124°34’20’’ – 90° x° = 34°34’20’’
4
Complemento de x = 90° – x°, tenemos que: x° = 8·(90° − x°) x° = 720° − 8x° 9x° = 720°
180° - 90° + x° = 124°34’20’’
∴
3
Suplemento de 80° = 180° − 80° ∴
Suplemento de 80° = 100°
Rpta.: D
Resolución
5
Del dato: De la figura: α + α + β + β = 130° 2α + 2β = 130° 2(α + β) = 130°
m AOC + m BOD = 200° (α + β) + (β + φ) = 200° 2β + α + φ = 200° .......... ............(I) ..(I) m∠) BOC =
Del dato:
3 bα + β + φg 7 7β = 3(α + β + φ) 7β = 3α + 3β + 3φ 4β = 3α + 3φ 4β= 3(α + φ)
α + β = 65°
Sea: Se a:
β=
OM bis bisec ectr triz iz del del áng ángul ulo o AOB AOB ON bisectriz del ángulo BOC
Luego: Nos piden: ∴
Resolución
m MON = α + b m MON = 65°
4 β = α + φ ......... .................... ........... (II) 3
Rpta.: C
Reemplazando (II) en (I), obtenemos:
6
4 2β + β = 200° 3 6β + 4β = 200° 3 10β = 600°
* m AOC = 180° (ángulo llano) * OM es bisectriz del ángulo BOC
β = 60°
De la figura:
∴
m AOM = m AOB + m BOM m AOM = 150° + 15° m AOM = 165° Rpta.: A
Resolución
3 · m∠) AOD 7
Reemplazando el valor β = 60° en (II): 4 b 60° g = α + φ 3 80 80° = α + φ
7
Luego: m ∠) AOD = m ∠) AO AOB B + m ∠) BO BOC C + m ∠) COD m ∠) AOD = α + β + φ m ∠) AOD = β + (α + φ) m ∠) AOD = 60° + 80° ∴
Si:
Rpta.: E
ON es bi bise sect ctri riz z de del áng ángul ulo o AOC AOC
Del dato:
∴
m ∠) AOD = 140°
M AOB - m BOC = 34° (α + β) − (α − β) = 34° α + β − α + β = 34° 2β = 34° β = 17°
m NOB = 17°
Resolución
8
Resolución
9
De la figura: α + β + θ = 150° ........... ............... .... (I)
Rpta.: D Del dato:
m ∠) AOC + m ∠) BOD = 200° (α + β) + (β + θ) = 200° α + β + θ+ β = 200° (α + β + θ) + β = 200° ..... (II)
Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 150° + β = 200° β = 50° ∴
m ∠) BOC = 50°
Rpta.: C
Resolución
10
Resolución
13
En la figura, ubicamos el punto “O” y trazamos una recta L2, paralela a L y L1 y que pase por “O” Luego, trasladamos todas las rectas, de tal forma que todas pasen por “O”.
De la figura: • M es es bis bisect ectri riz z del del án ángul gulo o AOB AOB • N es bisectriz del ángulo COD
De la figura figura:: x + 2x 2x + 3x 3x + 4 4x x = 180° 180° 10x = 180°
Como:m ∠) MON = 90° α + β + φ = 90°
∴
De la figura:
Resolución
m ∠) AOC + m ∠) BOD = (α + α + β)+ (β + θ+ θ) = 2α + β + β + 2θ = 2α + 2β + 2φ =2(α + β + θ) =2(90°) ∴
m ∠) AOC + m ∠) BOD = 180°
Resolución
Rpta.: C
x = 18°
14
Rpta.: E Trazamos la rectas L2 y L3 , paralelas a las rectas L1 y L. ...................... ....................... ............... .... (I) α + β = y .......... ..................................... ....... (II) φ + θ = x ..............................
11
Trazamos la recta L 2 paralela a las rectas L1 y L
• Usando ángulos alternos internos internos entre L y L
2
α = 25°
• Usando ángulos alternos internosentre L y L 2
1
β = 30°
De la figura:
3 φ + φ = 90° 2
Reemplazando en (I), obtenemos: 25° + 30° = y
3φ + 2φ = 90° 2 5φ = 90°·2 5φ = 180° → φ = 36°
•
Usa san ndo án ángulos conjugados in internos
120 + φ = 180° φ = 60°
x + 36° = 180°
Resolución
x = 144°
•
Rpta.: C
Usa san ndo ángulos conjugados inter
12
φ + 130° = 180° φ = 50°
Reemplazando en (II), obtenemos:
140° + φ = 180°
60° + 50° = x
φ = 40°
Usando ángulos conjugados internos entre L y L 2, tenemos que: Reemplazando el valor: φ = 40° x + 2(40°) = 180° x + 80° = 180° x = 100°
∴
Rpta.: B
x = 110° x 110° = y 55°
Luego:
x + 2φ = 180°
entre L 3 y L1 :
n os
Usando ángulos conjugados internos entre L 1 y L2 , tenemos que:
∴
entre L y L3 :
De la fig figur ura: a: x + φ = 180° ∴
y = 55°
x =2 y
Rpta.: B
15
Resolución
Resolución
3
Si:
α
Trazamos la recta L paralela a las rectas L y L1 2
•
Usando ángulos correspondientes
→
entre L y L :
Si: • OM es bisectriz del ángulo AOB
2
→
α = x .............................. (I)
•
Usando ángulos conjugados internos
• ON es bisectriz del ángulo COD De la figura: m ∠) BOD = 90° m ∠) BOD = x + 2 θ
entre L y L : 2
1
β + 4x = 180°
x + 2θ = 90° ................................ (I)
De la figura: m ∠) AOC = 90°
β = 180° − 4x ................ (II)
m ∠) AOC = 2 α + x
De la figura: α + β = 150° ................. (III)
Reemplazando (I) y (II) en (III), obtenemos:
Sumando (I) + (II), obtenemos:
x + (180° − 4x) = 150° 180° − 3x = 150° 180° − 150° = 3x 30° = 3x ∴
x + 2θ = 90° 2α + x = 90°
NIVEL II Resolución
(+)
De la figura: m ∠) MON = α + x + θ
1
∴
A = 180° −[86°35’25’’ − 25°59’45’’] : 5 A = 180° − [85°94’85’’ − 25°59’45’’] : 5 A = 180° − [60°35’40’’] : 5
UV W
x + 2θ + 2α+ x = 180° 2x + 2θ + 2α = 180° 2(x + θ + α) = 180° x + θ + α = 90°
Rpta.: D
x = 10°
2α+ x = 90° ................................ (II)
Resolución
m ∠) MON = 90°
Rpta.: D
4
A = 180° − [60°35’40’’] : 5 A = 180° − 12°7’8’’ A = 179°59’60’’ − 12°7’8’’ ∴
A = 167°52’52’’
Resolución
Rpta.: A
2
De acuerdo a la figura: *
De la figura:
∠) AOD ∠) AOC m =m + m ∠) COD
180° =
152°
+ m ∠) COD
m ∠) COD = 180° − 152° m ∠) COD = 28° *
∠) BOD ∠) COD m = m ∠) BOC + m
48° = m ∠) BOC + ∴
m ∠) BOC = 20°
∠) BOD ∠) m ∠) BOC = m COD − m
m ∠) BOC = ∴
m ∠) BOC = 150°
Resolución
28°
Rpta.: C
170°
5
−
20°
Rpta.: D
Según el enunciado del problema, tenemos: Suplemento de 2x = 180 − 2x x + 30° = 180° − 2x x + 2x = 180° − 30° 3x = 150°
OC es bisectriz del ángulo BOD De la figura: m ∠) AOD = 20° + α + α m ∠) AOD = 20° + 2 α ........ (I) Del dato:
m ∠) AOD = 80° ............... (II)
De (I) y (II) obtenemos: 20° + 2α = 80° 2α = 60°
x = 50°
∴
→
Resolución
α = 30°
Rpta.: A
9
De la figura: m ∠) AOC = 20° + α m ∠) AOC = 20° + 30° ∴
Resolución
m ∠) AOC = 50°
Rpta.: D
6 →
OM es bisectriz del ángulo AOB →
ON es bisectriz del ángulo COD De la figura: m ∠) MON = x + z + y Del dato:
m ∠) MON = φ x+z+y= φ
De la figura: m ∠) AOC = 2x + z Del dato:
m ∠) BOD = z + 2y
m ∠) AOB · m ∠) BOD = m ∠) AOC · m ∠) COD
Del dato m ∠) AOC − m ∠) BOD = θ Reemplazando los valores de la figura, tenemos: (2x + z) − (z + 2y) = θ 2x + z − z − 2y = θ 2x − 2y = θ 2(x − y) = θ
Reemplazando los datos de la figura, obtenemos: x·(α + 28°) = (x + α)28° x·α + 28°x = 28°x + 28°α x·α = 28°α ∴
x = 28°
Rpta.: B
Resolución
7
Sea “x” el ángulo.
Luego:
Complemento de x = 90° - x Suplemento de x = 180° - x
Si:
1 · b180° − x g 4
180° − x 4
x = 60°
Resolución
x + x + z = φ −y + x 2x + z = φ + (x − y) ...................... (II)
2x + z = φ +
4(2x − 90°) = 180° − x 8x − 360° = 180° − x 9x = 540° ∴
................................... (I) 2 x+z+y=φ x + z = φ −y
Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
180° − x x − 90° + x = 4
2 x − 90° =
θ
Le sumamos “x” a ambos lados de la igualdad:
Según el enunciado del problema, se plantea lo siguiente: x − b 90° − x g =
x−y =
Rpta.: D
θ
2
De la figura: m ∠) AOC = x + x + z m ∠) AOC = 2x + z ∴
Resolución
8
m ∠) AOC = φ + 10
θ
2
Rpta.: A
→
De la figura: como hay dos ángulos con jugados internos que valen 90°, entonces las rectas L1 y L2 son pararlelas.
OM es bisectriz del ángulo AOB →
ON es bisectriz del ángulo COD
Usando ángulos correspondientes entre L1 y L2, vemos que: α=θ De la figura: φ + 90° + α + 90° = 360° φ + α + 180° = 360° φ + α = 180°
De la figura: m ∠) AOC = 2 α + β m ∠) BOD = β + 2θ Del dato:
También:
m ∠) AOC = m ∠) BOD 2α + β = β + 2θ 2α = 2θ α = θ
φ + θ = 180° ................................ (I)
m ∠) AOC = 70°
U| V (II) W θ = 6x + 10° |
Por dato:
2α + β = 70° .................... (I)
φ = 3x + 5°
De la figura: m ∠) MON = α + β + θ Pero: α = θ
Reemplazando (II) en (I), obtenemos: m ∠) MON = α + β + α m ∠) MON = 2α + β
(3x + 5°) + (6x + 10°) = 180° 9x + 15° = 180° 9x = 165°
De (I) tenemos que: m ∠) MON = 2α + β = 70° ∴
Resolución
m ∠) MON = 70°
3x = 55°
Rpta.: C
Si:
φ = 3x + 5° φ = 55° + 5°
11
∴
Resolución
L2 y L 3 son paralelas, ya que “α” es un ángulo correspondiente Como: L2 y L3 son paralelas,ubicamos “x” en la figura.(Por ángulos correspondientes) Como: L y L1 son paralelas, ubicamos “φ” en la figura. (Por ángulos correspondientes) De la figura, se tiene:
∴
110° + φ = 180° φ = 70°
De la figura, sumamos los ángulos internos del cuadrilátero formado: 2φ + 110° + φ + x = 360° 3φ + 110 + x = 360° 3φ + x = 250° , pero: φ = 70°
x + θ + 180° − φ = 180° x = 180 + φ − 180 − θ x =φ − θ Rpta.: D
3(70°)+ x = 250° 210° + x = 250° ∴
Resolución Resolución
12
13
Usando ángulos conjugados internos entre L y L1, tenemos que:
Donde:
Rpta.: D
φ = 60°
x = 40°
Rpta.: B
14
Usando ángulos conjugados internos, tenemos que: (4φ + 20°) + (3 φ − 15°) = 180° 7φ + 5° = 180° 7φ = 175° φ = 25°
De la figura: x + (4φ+ 20°) = 180° x + 4φ + 20° = 180° x + 4φ = 160°
Pero:
φ = 25° x + 4(25°) = 160° x + 100° = 160°
∴
x = 60°
Resolución
También:
θ +70° + x = 180° 60° + 70° + x = 180° x = 180° − 70° − 60°
Rpta.: C
Rpta.: A
x = 50°
∴
15
Usando ángulos conjugados internos tenemos que: 60° + 2θ = 180° 2θ = 120° θ = 60°
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE TRIÁNGULOS. Pág.(433, 434, 435) NIVEL I Resolución
1
Por propiedad: m ∠) A + m ∠) B + m ∠) C = 180° α + 90° + α = 180° 2α = 90° ∴ α = 45° Rpta.: D
4
Resolución
Por dato: el tercer lado deberá ser 6 ó 8 Aplicando la propiedad:
Por propiedad: m ∠) A + m ∠) B + m ∠) C = 180°
Un lado es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados.
82°24’54’’ + 34°56’18’’ + x = 180° 116°80’72’’ + x = 180° 117°21’12’’ + x = 180° ∴
x = 62°38’48’’
Resolución
Rpta.: C
4−3
Analizando el conjunto solución, tenemos que:
2
8 ∈ 1; 7 Aplicando la propiedad que un lado es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados.
∴
Rpta.: A
x=6
Resolución
5
6−5
Usando ángulo exterior de un triángulo. Entonces:
xmenor = 2
Resolución
3
Rpta.: B
En el ∆ EDC. y = m ∠) D + m ∠) C y = 15° + 20°
Sea el triángulo Isósceles ABC
y = 35°
Donde:
Usando el ángulo exterior de un triángulo.
AB = BC → m∠) A = m∠) C
En el ∆ ABE: x = m∠) E + m ∠) B x = y + 30° x = 35° + 30° ∴
x = 65°
Rpta.: D
Resolución
Usando ángulo exterior de un triángulo
6
En el triángulo BCD: 112° = m ∠) B + m ∠) D 112° = φ + θ ............................... (I)
En el ∆ ABC: •
Suma de ángulos internos = 180°
74° + 2 φ +2β = 180° 2φ + 2β = 106° 2(φ + β) = 106°
Usando el triángulo ABD: 2θ = m ∠) A + m ∠) B 2θ = x + (180° − 2φ) 2θ − (180° − 2φ) = x 2θ − 180° + 2φ = x 2(θ + φ) − 180° = x .................... (II) Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 2(112°) − 180° = x 224° − 180° = x
φ + β = 53° ................... (I)
•
x = 44°
∴
En le ∆ DBC: Suma de ángulos internos = 180° x + β + φ = 180° x = 180° − φ − β
Resolución
Rpta.: D
9
x = 180° − (φ + β) ...................... (II) Reemplazando (I) en (II) obtenemos: x = 180° − (53°) ∴
x = 127°
Resolución
Rpta.: B
7
Como el triángulo es equilátero,sus tres lados son iguales.
2x + 3y − 17 = 6 2x + 3y = 23 ............................... (I)
6 = 2y − x x = 2y − 6 .................................. (II)
En un triángulo rectángulo, un cateto es menor que la hipotenusa, entonces en la figura vemos: BH < 8 BH < 10 2BH < 18 BH < 9
Reemplazando (II) en (I) obtenemos: 2(2y − 6) + 3y= 23 4y − 12 + 3y = 23 7y = 35 y =5 Reemplazando el valor y = 5 en (II), obtenemos: x = 2(5) − 6 = 10 − 6 x=4 Luego:
x+y 4+5 9 = = y−x 5−4 1
∴
x+y =9 y−x
Resolución
UV (+) W
∴
BH mayor = 7
Resolución
10
Rpta.: E
8
En el ∆ ABC: AB = BC
α = 40°
Luego, tenemos:
Resolución
12 Como el ∆ ABC es Isósceles: AB = BC
m ∠) A = m ∠) C α = 36° + 36° α = 72°
En el ∆ ABC: En el ∆ ABC: Suma de ángulos internos = 180° 40° + 40° + (60° + β) = 180° 140° + β = 180° β = 40° En el ∆ BEC: Usando ángulos exteriores del triángulo: θ = β + 40° θ = 40° + 40° → θ = 80° En el ∆ EDC Suma de ángulos internos = 180° θ + 70° + x = 180° 80° + 70° + x = 180° 150° + x = 180° x = 30° Luego:
m ∠) C = x + 40° m ∠) C = 30° + 40°
Suma de ángulos internos = 180° m ∠) A + m ∠) B + m ∠) C= 180° α + θ + 72° = 180° 72° + θ + 72° = 180° θ = 36° En el ∆ BFC:
m ∠) FBC = m ∠) BCF FB = FC
En el ∆ AFC: Suma de ángulos internos = 180° α + β + 36° = 180° 72° + β + 36° = 180° 108° + β = 180° β = 72° Como:m ∠) FAC = m ∠) AFC AC = FC = 14 Como: FC = FB ∴
FB = 14
Rpta.: E
m ∠) C = 70° Resolución
Del ∆ DBC:
13
Como: m ∠) D = m ∠) C
∴
Rpta.: B
BD = 9
Resolución
BD = BC = 9
11
En el ∆ ADC: •
Suma de ángulos internos = 180° m ∠) A + m ∠) D + m ∠) C = 180° 2x + 90° + m ∠) C = 180°
En el ∆ BEC:
m ∠) C = 90° − 2x
Usando ángulos exteriores del triángulo: φ = 60° + α ................................. (I) En el ∆ BDA: Usando ángulos exteriores del triángulo: θ = 40° + α ................................ (II) Remplazamos (I) y (II) en “φ − θ”: φ − θ = (60° + α) − (40° + α) = 60° + α − 40° − α ∴
φ − θ = 20°
En el ∆ EFC •
Suma de ángulos internos = 180° m ∠) E + m ∠) F + m ∠) C = 180° (180° − 3x) + 90° + (90° − 2x) = 180° 360° − 5x = 180° 180° = 5x
∴
Rpta.: B
x = 36°
Rpta.: D
Resolución
14
x + 180° +9 x = 180° 3 10x + 180° = 540° 10x = 360° ∴ x = 36°
φ
Rpta.: D
NIVEL II Resolución
1
En el ∆ BAD: • Usamos ángulos exteriores del triángulo (3φ + φ) + x = (3 θ + θ) 4φ + x = 4θ x = 4θ − 4φ x = 4(θ − φ) ............. (I) En el ∆ ABC: • Usamos ángulos exteriores del triángulo: 3φ + 30° = 3θ 3(φ + 10°) = 3 θ φ + 10° = θ 10° = θ − φ .................... (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: x = 4(10°) ∴
Rpta.: B
x = 40°
•
En el ángulo llano “A”:
•
En el ángulo llano “B”:
•
En el ángulo llano “D” :
Resolución
15
x + α = 180° α = 180° − x
y + β = 180° β = 180° − y
w + φ = 180° φ = 180° − w
En el ∆ABE: −
Usando ángulos exteriores del triángulo: α + β = θ .................................... (I)
En el ∆CED: −
Usando ángulos exteriores del triángulo: θ + φ = z .................................... (II)
Reemplazando (I) en (II): (α + β) + φ = z .......................... (III)
En el ∆ ABD:
Reemplazando los valores de “α”; “ β” y “ φ” en la ecuación (III): (180° − x) + (180° − y) + (180° − w) = z 540° − x − y − w = z 540° = z + w + y + z
• Usamos ángulos exteriores del triángulo
∴
Del ángulo llano D , tenemos que: y + θ + 2φ = 180°
y = 180° − θ − 2φ
x + y = φ + 2θ x + (180° − θ − 2φ) = φ + 2θ x + 180° − θ − 2φ = φ + 2θ x + 180° = 3 φ + 3θ x + 180° = 3( φ + θ)
x + y + z + w = 540°
Resolución
Rpta.: D
2
x + 180° = φ + θ ........................ (I) 3 En el ∆ BCD: • Suma de ángulos internos = 180°
φ + θ + 3x = 180° ...................... (II)
Reemplazando (I) en (II), obtenemos: x + 180° + 3 x = 180° 3
En el triángulo rectángulo FEB: m ∠) F + m ∠) B = 90° 40° + θ = 90° θ = 90° − 40° θ = 50°
En el ∆ ABC:
4
Resolución
− Usando ángulos exteriores del triángulo: m ∠) A + m∠) B = 3x (x + 12°) + θ = 3x
Como: θ = 50° (x + 12°) + 50° = 3x x + 62° = 3x 62° = 2x x = 31°
∴
Resolución
En el ángulo llano “A” : 132° + α = 180° α = 48°
Rpta.: C
En el ∆ AED :
3
Suma de ángulos internos = 180° α + β + 100° = 180° 48° + β + 100 = 180° β = 180° − 100° − 48°
β = 32°
Luego: Como el ∆ ACD es rectángulo recto en D, tenemos que: m ∠) A + m ∠) C = 90° 45° + β = 90° β = 45°
• Por ser ángulos opuestos por el vértice: m ∠) AED = m ∠) BEC = β En el ∆ EBC: − Usando ángulos exteriores del triángulo:
x + β = 3x
Vemos que: m ∠) A = m ∠) C = 45° Entonces el ∆ ACD es Isósceles: AD = DC Como el ∆ ABD es equilátero, tenemos que: AB = AD = DB En todo triángulo equilátero sus ángulos miden 60°, entonces vemos que: φ + 45° = 60° φ = 15° En el ∆ BCD: • Sabemos que:
x + 32° = 3x 32° = 3x − x 32° = 2x x = 16°
∴
Resolución
Rpta.: A
5
DB = AD AD = DC DB = DC
Entonces, el ∆BCD es Isósceles Como: DB = DC ; β = 45° θ = α + β θ = α + 45° ................................ (I) En el ∆ ABC: − Usando ángulos exteriores del triángulo: α + φ = x ; θ = 15° α + 15° = x α = x − 15° ................................ (II) Reemplazando (II) en (I), obtenemos: θ = (x − 15°) +45° θ = x + 30° Luego: En el ángulo llano: “B”: x + 60° + θ = 180°
* En el ∆ ABD: • Suma de ángulos internos = 180° 2φ + 90° +56° = 180° 2φ = 180° − 90° − 56° 2φ = 34° φ = 17°
En el ∆ ACD: •
Suma de ángulos internos = 180° φ + x + 56° = 180°
17° + x + 56° = 180° x = 180° − 56° − 17 ∴
x + 60° + (x + 30°) = 180° 2x + 90° = 180° 2x = 90° x = 45° ∴ Rpta.: C
x = 107°
Rpta.: D
Resolución
• En el ∆ADE
6
Suma de ángulos internos: 180° x + α + β = 180° x + 82° +30° = 180° x = 180° − 82° − 30° ∴
Rpta.: E
x = 68°
Resolución
8
− En el ángulo llano “D” : α + 106° = 180° α = 74° − En el ∆ AED:
• Suma de ángulos internos = 180° α + β = 180° 60° + 0 60° + 74° + β = 180° β = 180° − 74° − 60°
β = 46°
− En el ángulo llano “E” :
• En el ∆ ADC
β + 78° + θ = 180° 0
θ + θ = 72°
46° + 78°+ θ = 180° θ = 180° – 78° – 46°
2θ = 72° • En el ∆ ABC: AB = BC
θ = 56°
− En el ∆EBF
• Suma de ángulos internos = 180°
• Suma de ángulos internos = 180°
θ + 60° + x = 180° 0
(α + θ) + 40° + β = 180°
56° + 60° + x = 180° x = 180° − 60° − 56° ∴
Resolución
x = 64°
m ∠) A = m ∠) C α + θ = β
(α + θ) + 40° + ( α + θ) = 180° 2α + 2θ + 40° = 180°
Rpta.: B
2α + 72° + 40° = 180° 2α = 68°
7
α = 34°
• En el ∆ ABE: β
Utilizamos ángulos exteriores del triángulo: α + 40° = x 34° + 40° = x ∴
x = 74°
Como: ∆ EBC es rectángulo → m ∠) Β= 90° Suma de ángulos internos = 180° θ + 2θ + 90° = 180° 3θ + 90° = 180° 3θ = 90° θ = 30°
Resolución
• En el vértice “E” : Por ser ángulos opuestos por el vértice, tenemos que: β = θ → β = 30° • En el vértice “A” : Por ser ángulos opuestos por el vértice, tenemos que: α = 82°
9
Rpta.: C
• En el ∆ ADB(triángulo rectángulo):
Como en el ∆ ABC
* Suma de ángulos internos = 180° (2φ + 6°) + φ + 90° = 180° 3φ + 96° = 180° 3φ = 84° φ = 28°
AC = BC
m ∠) A = m ∠) B = β
En el ángulo llano “D” 142° + α + = 180°
• En el ∆AFC :
α = 38°
* Usando ángulos exteriores del triángulo: m ∠) A + m ∠) F = x (2φ + 6°) + 3φ = x 5φ + 6° = x
Si:
β = α + x
β = 38° + x ................................. (I)
Si:
∴
• En el ∆ ABC : * Suma de ángulos internos = 180° β + β + (x + 2°) = 180° 2β + x = 178° ............................ (II)
φ = 28° x = 5(28°) + 6° x = 140° + 6° x = 146° Rpta.: D
Reemplazando (I) en (II) obtenemos: 2(38° + x) + x = 178° 76° + 2x + x = 178° 3x = 102° x = 34° Rpta.: D ∴
10
Resolución
Como el triángulo ABC es Isósceles y rectángulo, entonces sus ángulos agudos miden 45° cada uno.
Resolución
12
• En el ángulo llano “A” 58° + 45° + θ = 180° 103 + θ = 180° θ = 77°
• En al ∆ ABD :
Como: L // L1 “x” y “θ” son correspondientes, entonces son congruentes: x =θ ∴
Rpta.: A
x = 77°
Resolución
11
Si:
AB = BD m ∠) A = m∠) D = w
• En el ∆ AEB: * Usando ángulos exteriores del triángulo w + φ = z • En el ∆ BDC : * Usando ángulos exteriores del triángulo x + θ = w Como m ∠) EBC = 90° y + θ = 90° y = 90° − θ • En el ∆ EBD :
Si los ángulos “ θ” y “x” son ángulos opuestos por el vértice, tenemos que: x =θ • En el ∆ DEA: Usando ángulos exteriores del triángulo: α + θ = β
* Suma de ángulos internos = 180° z + y + w = 180° Reemplazando los valores de “z”; “w”; “y” obtenemos: (w + φ) + (90° − θ) + (x + θ) = 180° x + θ + φ + 90° − θ + x + θ = 180° 2x + φ + θ + 90° = 180°
α + x = β
Por dato:
• En el ∆ QRC:
φ + θ = 22°
2x + 22° + 90° = 180° 2x + 112° = 180° 2x = 68° ∴ x = 34°
Como: QR = RC
• En el
Rpta.: C
ABC (triángulo rectángulo): α + β = 90° ................................. (I)
13
Resolución
m ∠) RQC = m ∠) RCQ = β
• En el ángulo llano “Q” α + x + β = 180° x + (α + β) = 180° ......................(II)
Reemplazando (I) en (II), obtenemos: x + (90°) = 180° ∴
x = 90°
Resolución
Rpta.: D
15
B
• En el vértice “G” * Por se ángulos opuestos por el vértice m ∠) BGA = m ∠) FGE = α • En el vértice “F”
En el ∆ ABE:
* Por ser ángulos opuestos por el vértice: m ∠) CFD = m ∠) GFE = β
* Usando ángulos exteriores del triángulo: m ∠) A + m∠) B = α
• En el ∆ EFG:
25° + (50° − φ) = α
* Usando ángulos exteriores del triángulo: α + β = v .................................... (I)
75° − φ = α ..................... (I) • En el ∆ CED:
• En el ∆ ABG
* Usando ángulos exteriores del triángulo m ∠) E + m∠) D = x
* Suma de ángulos internos = 180° x + y + α = 180° α = 180° − x − y ........................ (II)
α + (φ + 40°) = x ....................... (II)
En el ∆FCD
Reemplazando (I) en (II), obtenemos:
* Suma de ángulos internos = 180°
(75° − φ) + (φ + 40°) = x
z + w + α = 180°
75° − φ + φ + 40° = x
β = 180° − z − w ....................... (III)
∴
Reemplazando (II) y (III) en (I):
x = 115°
Resolución
(180° − x − y) + (180° − z − w) = v
Rpta.:B
16
360° − x − y − z − w = v ∴
360° = v + w + z + y + x
Rpta.: C Resolución
14 Aplicando la propiedad: Un lado es menor que la suma de los otros dos lados y es mayor que la diferencia de los otros dos lados.
10 − 4 < x < 10 + 4 6
• En el ∆ APQ: m ∠) PAQ = m ∠) PQA = α
14
xpares = {8; 10; 12}
Como: AP = PQ
∴
Máximo xpar = 12
Rpta.: D
CAPÍTULO N° 10 CONVERSIONES DE UNIDADES Y FÓRMULAS GEOMÉTRICAS . Pág.(466, 467, 468) NIVEL I Resolución 1 12 km ·
105 cm = 12. 105 cm 1km
Rpta.: C
16 Mm2 = 16 (103 km)2 = 16 · 106 km2
Rpta.: A
Rpta.: D
Rpta.: C
Resolución 8
Resolución 3 8 m 3 = 8(10-2 hm)3 = 8 × 10 -6 km2
Vol. del prisma rea de la × (altura ) base
Rpta.: C
*
Área del triángulo =
*
Área del
AED =
b×h 2
8×5 = 20 cm2 2
Dato: Base: triángulo equilátero de lado 2 cm altura = 5 cm.
Resolución 4
→ Área de la base = Rpta.: E
Resolución 5
∴ V=
(
22 × 3 = 3 cm2 4
3 cm2 ) (5 cm ) = 5 3 cm 3
Rpta.: B
Resolución 9
D×d 2 * D = Diagonal mayor * d = Diagonal menor Dato: D = 28 cm d = D/4 = 28/4 = 7 cm
Sabemos:
Área del rombo =
∴ Área del Rombo =
28 × 7 = 98 cm2 2
Área dela base × (altura ) Vól. de la piramide = 3
Rpta.: B
Dato: lado del cuadrado = 9 cm 1 altura = ⋅ 9 cm = 3cm 3
∴ Vol. =
Resolución 6 Dato:
2 (9 cm) × 3 cm
3
= 81cm 3
Rpta.: A
Resolución 10
perímetro del
→
6×6 = 18 cm 2 2
Resolución 7 3 * Volumen del cubo = a * a = arista Dato: a = 3 cm → V = (3 cm)3 = 27 cm3
Resolución 2
*
AED =
Área del
= 4 = 24 cm
= 6 cm
6
De un cilindro de revolución sabemos que: r = 3 cm h = 2r = 6 cm Además: AL = 2π r · h
∴ AL= 2π · 3 · 6 = 36π cm2
Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 8 (85 m3) · 4 + (15 m 3) · 6 340 m3 + 90 m3 = 430 m3
Resolución 1
105 cm = 125.102 cm 1km Rpta.: B Resolución 2
Rpta.: B
0, 125 km ⋅
Resolución 9
5 km 4 hm en m → 5 000 m + 400 m = 5 400 m
3 · (3km3) + 2 · = 15 · 109m3 3 · 3(103m)3 + 2 · =15 · 109m3 9 · 109m3 + 2 = 15 · 109m3 2 = 15 · 109m3 – 9 · 10 9m3 2 = 6 · 109m3 ∴ = 3 · 109m3 Rpta.: C
Rpta.: D
Resolución 3 Dato: lado de un cuadrado = 4 m 5dm = 4m + 5×10-1 m = 4, 5m Piden: perímetro del cuadrado = 4 (4,5 m)
Resolución 10 Sabemos: Área del rectángulo = Dato:
Dato:
S/.28 S/.28 x
500 dm2 = 500(10-1m)2 = 500 · 10-2 m2 = 5 · 102 · 10-2 · m2 500 dm2 = 5 m2
10 cm ) h 2
Rpta.: C
8 cm = h
Resolución 12 Dato: Perímetro de un cuadrado = 4 = 32 cm → = 8 cm
Rpta.: E
Resolución 6 mm2 = 264 · 10-6m2 10-6m2 = 264 · 10-6m2 10-6m2 = 24 · 10-6m2 Rpta.: D
Me piden: Área =
Resolución 7 Sabemos: 1 ha = 10 000 m2 1 m2 = 10-4 ha 900 m2 ⋅
= 40 cm2 = 10 cm =? que: b×h A = 2
→ 40 cm2 = (
Resolución 5
= 24
Rpta.: D
A b h Sabemos Rpta.: C
x = S/.896
∴
= 30 cm × 20 cm = 600 cm2
Resolución 11
S/.28 ⋅ 32 ca 1ca
240 mm2 + 240 . 10-6m2 +
Área
Resolución 4
x=
× a
= 30 cm 2 2 a = ⋅ = ⋅ 30 = 20 cm 3 3 Me piden:
100 cm P. del cuadrado = 18 m ⋅ 1m ∴ P del cuadrado = 1 800 cm Rpta.: A
Sabemos que: 1 ca = 1 m2 Dato: 1 m2 → ➠ 1ca → 32ca →
10 −4 ha = 9 × 10 −2 ha 1m2
Rpta.: B
2 =
(8 cm)2 = 64 cm2 Rpta.: A
Resolución 13 Del paralelogramo se sabe: b = 14 cm h = b – 2 cm = 14 cm – 2 cm = 12 cm Sabemos: Área = b × h Me piden: Área = 14 cm × 12 cm = 168 cm2 Rpta.: C
Resolución 14
Resolución 17
Tenemos que:
MQ//BC//AD , AB//PN//CD ➠ M, N, Q, P son puntos medios Dato: Área de la región = 32 cm2 MBNO
S=
8 cm × 12 cm = 48 cm2 2
Área de la región pintada = 5S ∴ Área de la región pintada = 5 × 48 cm2 = 240 cm2
Rpta.: D
Me piden: área de POQD = 32 cm2
Resolución 15 Dato:
Rpta.: D
Resolución 18
D = 40 cm 5 5 d = D = ⋅ 40 cm = 25 cm 8 8 Me piden: Área =
área de la región área de la región = POQD MBNO
40 cm × 25 cm = 500 cm2 2
Rpta.: B
Resolución 16 área de la región = A pintada A
= 3 cm × 4 3 cm = 12 3 cm2 2
A Área de la región Área del = + Pintada de radio 4 cm
Área de radio 2 cm
=
(2 3 ) 4
1 2 = 2 π ( )
Área de la de radio 2 cm
=
∴
=
3 =
3 3 cm2
Área de la región 12 3 cm2 2 3 3 cm2 = ( ) pintada −
=
Área de la de radio 4 cm
– 2A
6 3 cm 2
Rpta.: A
2
π
Resolución 19 Área de la región pintada
1 2 2 ( ) = 2
Área de la región pintada = 8π cm2 + 2π cm2 = 10π cm2
Rpta.: E
= área de la corona circular
Dato: R = 6 cm, r = 3 cm 2 2 2 ∴ Área de la región = π(6 –3 )cm pintada = 27π cm2 Rpta.: D
Resolución 20
Resolución 23 Del cilindro se sabe:
Volumen total = 3. Vol del cubo Vol. del cubo = a3 Dato: a = 2 cm 3 3 ➠ Volumen del cubo = (2 cm) = 8 cm
∴ Vol total = 3 (8 cm3) = 24 cm3
h = 18 cm : r= Rpta.: B
Resolución 21 Sabemos: Vól del prisma = A base × h
= 5 cm base: rectángulo a = 3 cm h = 6 cm
π 9 2 × π = 18 3
∴ Vol. del cono =
× a = 15 cm2
∴ Vol del prisma = 15 cm2 × 6 cm = 90 cm3
2
= (4 cm)2 = 16 cm2
h = 3 · = 3 × 4 cm = 12 cm 16 cm 2 × 12 cm = 64 cm3 ∴ V= 3
3
∴
Área de la esfera = 4 π (4 cm) 2 = 64 π cm 2 Rpta.: D
Rpta.: A
CAPÍTULO N° 11 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(481, 482) NIVEL I
Resolución 2
Resolución 1 Ordenando los datos en una tabla de distribución de frecuencia, obtenemos:
Ordenando los datos, obtenemos: 1; 1; 3; 5 ; 7 ; 9; 9 ;11; 13
9 valo res dela variable
Como 9 es impar, hay 4 valores antes del 7 y 4 valores después. La mediana es 7 ∴ Rpta.: B Resolución 3 Según la tabla de distribución de frecuencias:
∴
Rpta.: B
Resolución 25 Dato: R = 4 cm Sabemos: Área de la = 4π·R2 esfera
De la piramide se sabe:
Rpta.: C
Rpta.: C
Resolución 22 A base =
∴ V = 9π cm2 × 18 cm = 162π cm3
Resolución 24 Del cono se sabe: 2r = 6 cm ➠ r = 3cm h = 6 cm
Dato:
A base =
1 ·h = 3 cm 6
Frecuencia acumulada de 3 a 6 = 6
Rpta.: E
Como el número de datos (n = 60) es par, los valores centrales corresponden a x 30 y x31. Según la tabla: Mediana =
∴
x 30 = 16
16 + 17 2
∧
x31 = 17
= 16, 5
La mediana es 16,5
Resolución
Rpta.: C
4
Según la tabla, tenemos que: x=
x
85 × 2 + 90 × 3 + 95 × 5 + 100 × 7 + 105 × 2 +110 × 4 +115 × 4 +120 × 2 +125 ×1 2 + 3 +5 +7 +2 +4 +4 +2 +1
= 170 + 270 + 475 + 700 + 210 + 440 + 460 + 240 + 125
∴
x
Resolución
5
Sean los datos:
Resolución
1; 0; 1; 2; 1; 6; 1; 2; 3; 2; 1; 3; 2; 1; 0 ; 0 ; 3; 4; 5; 0; 1; 1; 0; 2; 3; 0; 1; 1; 0; 6
= 103
Rpta.: D
30
mediana =
0+0 2
Sean los datos:
1; 2; 2; 5; 6; 7 ; 7; 7; 8; 9 • Media aritmética
=0
x
Vemos que: El número 1 se repite 7 veces
= 1+ 2+ 2 + 5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 9 =
∴
Moda = 1
∴
La mediana y moda son respectivamente: 0 y 1
Rpta.: A Resolución
7
Ordenando los datos en una tabla de distribución de frecuencias, obtenemos:
54 10
Media aritmética = 5,4
• Mediana =
∴
6
10
6+7 2
= 13 2
Mediana = 6,5
• Moda: el dato que más se repite es 7(3veces)
∴
Rpta.: C
Moda = 7
Resolución
8
Del gráfico:
• # de alumnos que participan en el folclore: 135° < > x # total de alumnos: 360° < > 32
135 360 x
=
=
x 32
32 × 135 360
x = 12 La frecuencia relativa del puntaje 70 es: 5 40
∴
Número de alumnos que participan en el folclore = 12
Rpta.: B
Luego:
Resolución
En porcentaje será: 5 5 × 100% 40 2
=
25 % = 12, 5% 2
9
Del gráfico:
Promedio de vuelos diarios: x
Rpta.: E
x
= 10 + 15 + 25 + 20 + 30 + 35 + 25 7
x
∴
Resolución
= 160 = 22, 86
Del gráfico del ejercicio 11
7
• Producción total en:
El promedio de vuelos diarios es 22,86
enero = 60 + 80 + 100 = 240
Rpta.: B Resolución
12
febrero = 80 + 80 + 60 = 220 Entre enero y febrero:
10
• Del cuadro:
La produción disminuye en: 240 - 220 = 20
− Venta de “Nivea” en: enero = 400
Hallamos: Qué porcentaje de 240 es 20:
febrero = 500 El aumento fue de: 500 − 400 = 100
Sea “x” el porcentaje:
Hallamos:
Qué porcentaje de 400 es 100
x · 240 = 20 100 x = 8,33
Sea “x” el porcentaje:
x% de 400 = 100 x · 400 = 100 100
∴
Rpta.: C
La venta aumentó en 25%
Resolución
11
Del gráfico:
Producción de “ACE” en: enero = 60 febrero = 80 El aumento fue de: 80 − 60 = 20 Luego: El aumento con respecto a la producción de enero será: Aumento Producción de enero
∴
La producción disminuye en 8, 33%
Rpta.: A
x = 25
∴
x% de 240 = 20
1
=
20 60 3
=
1 3
El aumento de la producción de ACE es:
1 3
Rpta.: B
CAPÍTULO N° 12 PROBABILIDADES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(496, 497, 498) NIVEL I
E = {A1; A2; A3; A4; A5; R1; R2; R3; R4}
1
Resolución
Espacio muestral: E = {c; s}
→
n(E) = 2
n( A )
1 = n(E) 2
A = {R1; R2; R3; R4}
Rpta.: A
Espacio muestral E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(E) = 6 Suceso A: obtener el “5” en la cara superior A = {5}
P( A ) =
n( A )
Resolución
n(E)
=
1 6
Rpta.: D
3
Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(E) = 6 Suceso A: obtener un número par. A = {2; 4; 6} n(A) = 3
∴
n(A) = 4
∴
Pb A g =
P( A ) =
Resolución
n( A ) n (E)
3 6
= =
Resolución
1 2
Rpta.: D
# de resultados favorables = 1 P (A ) =
∴
P (A ) =
Resolución
30 50
3 5
=
Rpta.: C
8
• # de resultados posibles: 6 blancas + 3 rojas + 4 negras = 13 bolas Suceso A: sale bola blanca
Pb A g =
Suceso A: obtener un número mayor que 4 A = {5; 6} → n(A) = 2
Resolución
Resolución
1 50
II) # de resultados posibles = 20 hombres + 30 mujeres = 50 personas Suceso B: que salga elegida una mujer # de resultados favorables = 30
∴
Pb A g =
7
Suceso A: que salga elegida Andrea.
Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(E) = 6
∴
Rpta.: E
• # de resultados favorables: 6 bolas blancas
4
2 6
4 9
I) # de resultados posibles = 50 mujeres
∴
n(A) = 1
∴
2
Resolución
n(E) = 9
Suceso A = extraer canica roja.
Suceso A: obtener cara: A = {c} → n(A) = 1 Luego: P( A ) =
6
Resolución
=
5
1 3
Rpta.: A
6 13
Rpta.: A
9
• # de resultados posibles: 500 boletos Suceso A: sale premiado Manuel • # de resultados favorables: 20 boletos
De la figura:
∴
Pb A g =
200 500
=
1 25
Rpta.: C
Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5} n(E) = 5
Resolución
Suceso A: obtener número par A = {2; 4} → n(A) = 2
• # de resultados posibles: 8 verdes + 12 amarillas + 4 azules = 24 canicas
∴
Pb A g =
2 5
Rpta.: D
10
Suceso A: la canica es verde o azul. • Resultados favorables: 8 verdes + 4 azules = 12 canicas
∴
Pb A g =
12 24
=
1 2
Rpta.: D
Resolución
B) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
11
Suceso B: obtener número impar
Suceso A: la bola sale roja o azul
Pb A g =
9 9
=1
→
B = {1; 3; 5}
• # de resultados favorables : 6 rojas + 3 azules = 9 bolas
∴
n(E) = 6
• # de resultados posibles: 6 rojas + 3 azules = 9 bolas
Rpta.: D
3 6
P bB g =
∴
=
1 2
C) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(E) = 6
Resolución
12
Suceso C: obtener número primo
Un suceso es seguro cuando el suceso es igual al espacio muestral, es decir, la probabilidad es 1. A) • # de resultados posibles: 3 rojas + 2 amarillas = 5 bolas
P (C ) =
B)
C)
• # de resultados posibles: 5 verdes + 2 amarillas = 7 bolas Suceso B: sale bola blanca
n(D) = 5
E) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(E) = 6
Suceso E: obtener número mayor que 6.
• # de resultados posibles: 4 bolas negras Suceso C: sale bola negra
Vemos que “E” no tiene elementos.
∴
Suceso E es un suceso imposible
Rpta.: E
Pb C g =
∴
Suceso C = suceso seguro
=1 15
Resolución
En un evento imposible, el suceso no tiene elementos, entonces el número de elementos del suceso es cero.
• # de resultados posibles: 3 bolas verdes Suceso D: sale bola amarilla • # de resultados favorables: ninguno
Si:
n(A) = 0
Pb A g =
∴
P(A) = 0
Suceso D = suceso imposible
Rpta.: C Resolución
→
5 6
PbD g =
∴
Suceso imposible
n(E) = 6
D = {1; 2; 3; 4; 5}
• # de resultados favorables: 4 bolas negras
D)
1 2
Suceso D: obtener número menor que 6
3 5
4 4
=
• # de resultados favorables = ninguno
3 6
n(C) = 3
D) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• # de resultados favorables: 3 bolas Pb A g =
→
C = {2; 3; 5}
∴
Suceso A: sale bola roja
n(B) = 3
13
nb A g nbE g
=
0 nbE g
=0
Rpta.: C
Un evento o suceso es seguro si el espacio muestral es igual al suceso.
Resolución
Es decir: n(E) = n(A)
• # de resultados posibles: 52 naipes
Donde:
∴
Pb A g =
Resolución
Suceso A: obtener “as” de trébol
nb A g
• # de resultados favorables: 1 naipe
nbEg
Rpta.: B
P(A) = 1
14
A) Espacio muestral: E ={1; 2; 3; 4; 5; 6} n(E) = 6
Suceso A: obtener el 6
→
A = {6}
∴
Pb A g =
1 6
∴
Pb A g =
Resolución
16
1 52
Rpta.: D
17
• # de resultados posibles: 52 naipes Suceso A: que salga carta de espada. • # de resultados favorables: 13 naipes
n(A) = 1
1
∴
Pb A g =
13 52 4
=
1 4
Rpta.: B
Resolución
18
• # de resultados posibles: 52 cartas
• Primera vez: E = {C; S}
Suceso A: que salga el número 1
Pb A g =
4 52
=
13
1 13
→
→
A = {S}
Rpta.: B
n(A) = 1
1 2
Pb A g =
• Segunda vez: E = {C; S} Resolución
19
• # de resultados favorables: 26 cartas 1
Pb A g =
=
2
Resolución
1 2
Rpta.: C
* Como en el mazo de naipes hay 4 ases, tenemos que: • # de resultados favorables: 52 − 4 = 48 cartas Pb A g =
= 12
Rpta.: D
13
13
Resolución
21
P b A; B g = G
F 1 I F 1 I = · H 2 J K GH 2 J K
A = {(5; C)}
→
Pb A g =
P bB g =
Rpta.: D
22
Espacio muestral:
R|b1; Cg; b1; S g; b 2; Cg; b 2; Sg ; b 3; Cg; b 3; S g E=S |Tb 4; Cg; b 4; Sg ; b 5; C g; b 5; Sg ; b 6; Cg; b 6; Sg
4
n(E) = 2
1 4
→
n(E) = 2
1 2
∴
Pb A; B; C g =
1 I F G 1 I F 1 I · F = · H 2 J K GH 2 J K GH 2 J K
1 8
Rpta.: C
25
• # de resultados posibles: 20 tarjetas
U| V |W
Suceso A: obtener tarjeta mayor que cinco • # de resultados favorables: 15 tarjetas 3
n(A) = 3
=
→
1 2
PbC g =
∴
Pb A g =
15 20 4
A = {(2; S) ; (4; S) ; (6; S)}
1
1 2
Resolución
Suceso A: obtener par en el dado y sello en la moneda.
Pb A g =
Rpta.: B
Suceso C: obtener cara C = {C} → n(C) = 1
n(E) = 12
∴
1 4
n(A) = 1
• Tercera vez: E = {C; S}
n(A) = 1
1 12
3 12
→
A = {C}
Suceso A: obtener el número cinco y cara.
Resolución
∴
Suceso B = obtener sello. B = {S} → n(B) = 1
n(E) = 12
Pb A g =
P bB g =
• Segunda vez: E = {C; S}
Rb1; C g; b1; S g; b 2; C g; b 2; S g; b 3; C g U | | Espacio : E = Sb 3; S g; b 4; Cg b ; 4; S g; b 5; C g V muestral | 5; S ; 6; C ; 6; S | |Tb g b g b g |W
∴
1 2
Suceso A: obtener cara.
Suceso A: sacar carta que no sea “as”
∴
n(B) = 1
24 • Primera vez: E = {C; S} → n(E) = 2
• # de resultados posibles: 52 cartas
12
n(E) = 2
Resolución
20
48 52
→
B = {S}
Suceso A: obtener una carta negra
∴
→
Suceso B: obtener sello.
• # de resultados posibles: 52 cartas
26 52
n(E) = 2
Suceso A: obtener sello.
• # de resultado favorables: 4 cartas
∴
23
Resolución
Resolución
=
3 4
Rpta.: B
26
# de resultados posibles: 36 combinaciones
Rpta.: A
Suceso A: obtener 5 en el blanco y 2 en el negro. O sea, obtener la combinación: (5; 2) • # de resultados favorables: 1 combinación
∴
Pb A g =
1 36
Rpta.: E
27
Resolución
• # de resultados posibles: 36 combinaciones Suceso B: obtener dos números que sumen 7
Suceso A: escoger un número que sea divisible por 6 ó 8 A = {6; 8; 12; 16; 18; 24; 30; 32; 36; 40; 42; 48} n(A) = 12
B = {(3; 4);(4; 3);(1; 6);(6; 1);(2; 5);(5; 2)} • # de resultados favorables: 6 combinaciones 1
∴
Pb B g =
6 36
=
6
1 6
Rpta.: D
Pb A g =
∴
Resolución
12 50
= 0, 24
Rpta.: C
32
• # de resultados posibles: 36 combinaciones
28
Resolución
Suceso A: obtener una suma mayor que diez.
1° disco: E = {A; B; C}
→
A = {(5; 6);(6; 5);(6; 6)}
n(E) = 3
n(A) = 3
Suceso M = que la aguja marque la letra B
→
M = {B}
• # de resultados favorables: 3 combinaciones
n(M) = 1
1
1 3
PbMg =
Pb A g =
∴
→
N = {4}
n(N) = 1
Pb Ng =
∴
F 1 I F 1 I 1 PbM; Ng = G J · G J = H 3 K H 4 K 12
Resolución
Resolución
Rpta.: D A
→
R 2; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 14; 15; 16; 18; U =S V T 20; 22; 24; 25; 26; 28; 30 W n(A) = 18
n(E) = 6 3
Suceso A: obtener puntaje mayor que dos A = {3; 4; 5; 6}
=
3
Resolución
→
n(A) = 4
∴
2 3
Rpta.: C
30
• # de resultados posibles: 8 fichas negras + 5 fichas blancas = 13 fichas Suceso A: extraer ficha negra • # de resultados favorables: 8 fichas
∴
Pb A g =
Resolución
Pb A g =
18 30 5
2
Pb A g =
33
Suceso A: sale una bola par o múltiplo de cinco
Espacio muestral:
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
∴
Rpta.: C
n(E) = 30
29
4 6
1 12
Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4 ..... ; 29; 30}
1 4
=
12
2° disco: E = {1; 2; 3; 4} → n(E) =4 Suceso N: que la aguja marque el 4
3 36
8 13
Rpta.: D
31
Espacio muestral
R1; 2; 3; ... ; 5; 6 ; 7 ; 8 ; ... ; 9; ... 12 ; U |13; ...; 16 ; 17; 18 ; .... ; 24 ;... | || || E = S... ; 30 ; 31; 32 ; .... ; 36 ; ... V |... ; 40 ; 41; 42 ; ... ; 48 ; ... | | | |T 49; 50 |W n(E) = 50
=
3 5
Rpta.: D
CAPÍTULO N° 13 ELEMENTOS DE COMBINATORIA EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(526, 527, 528) NIVEL I
3 · (x! + 30) = 5 · (x! – 30)
Resolución 1 Desarrollamos parcialmente 64! y 33! 64! × 32! 33! × 63!
64 × 63! × 32! 33 × 32! × 63!
=
=
3x! + 90 = 5x! – 150 90 + 150 = 5x! – 3x! 240 = 2x!
64 33
240 = x! 2
Rpta.: A Resolución
120 = x!
2
Sabemos: 120 = 5!
Desarrollamos parcialmente 28! ; 30! y 26!
5! = x!
28! × 25! × 30! 28 × 27! × 25! × 30 × 29! = 29! × 27! × 26! 29! × 27! × 26 × 25!
∴
28 × 30 26 13
=
Hallamos x!:
420 13
16 · x! = 96 x! =
Rpta.: D Resolución 3 Desarrollamos parcialmente el primer miembro de la ecuación: x · (x – 1) · (x – 2)! = 56(x – 2)! x · (x – 1) = 56 x · (x – 1) = 8 · 7
∴
x=8
Rpta.: B
x=4
x! = 6 Luego, hallamos x!!: x!! = 6! = 720
∴
Rpta.: A
x!! = 720
Resolución
7
⇒
x!x! = 22
x! = 2
Reemplazando “x! = 2”, obtenemos: x !x!
x!
Resolución
=2
2
2
= 24 = 16
Rpta.: E
8
Sabemos que: 7! = 5040 Comparamos términos:
x! = 4!
∴
96 16
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
Resolución 4 Pasamos la incógnita al primer miembro de la ecuación: –2x! + 5x! = 72 3x! = 72 72 x! = 3 x! = 24 Sabemos que: 24 = 4!
Rpta.: C
6
Resolución
14
=
x=5
(x + 1)! = 5040
Rpta.: E
(x + 1)! = 7! Resolución
x+1=7
5
Hacemos productos cruzados:
⇒
x=6
Luego:
x! + 30 5 = x! − 30 3
(x – 1)! = (6 – 1)! = 5! =
120
Rpta.: A
Resolución
9
Resolución
13
Para formar números impares, la última cifra deberá ser impar, o sea deben terminar en 5 ó 7. El resto de cifras serán 3 cifras diferentes.
Sabemos que: 5! = 120 Comparamos términos: (4x – 3)! = 120 (4x – 3)! = 5!
valor (5 ó 7) valor valores valores
4x – 3 = 5 4x = 5 + 3 4x = 8 x=
8 4
Entonces, por el principio de multiplicación, tenemos:
⇒
2 × 1 × 2 × 3 = 12
x=2
∴
Se podrán formar 12 números impares
Reemplazamos el valor de “x = 2”, obteniendo: Resolución
1 x + 4 ! = 1 ⋅ 2+ 4 ! 2 2 = (1 + 4)! = 5! = 120 Resolución
14
Rpta.: A
n n Ca = Cb ⇒
10
n n C8 = C3 ⇒
8+3=n
= Resolución
Rpta.: D
Un número cualquiera tendrá 4 cifras diferentes, además de la penúltima cifra, que siempre será 8.
=
1×1×2×3=6
Tipos de segundo: 4
•
Tipos de postre: 3
16
9
9!
C5 = 5!(9 − 5)! =
9 × 8 × 7 × 6× 5! 5! × 4!
9 8 7 6 = × × × =
3 × 4 × 3 = 36 Podrá atender 36 menús diferentes
Rpta.: B
Entonces, tenemos:
El número de menús que se formarán, será:
∴
×
3000 × 2999 × 2998! 2998! × 2!
Se tiene que seleccionar 5 alumnos de un total de 9 alumnos, o sea hacer una combinación de 9 elementos tomados de 5 en 5.
Aplicamos el principio de multiplicación: •
15
2999000
Resolución
Rpta.: B
12
Tipos de sopa: 3
Rpta.: B
2 × 1000 × 2999 1× 2
=
Por el principio de multiplicación, tenemos:
•
22 × 21! = 22 21! × 1!
1000
2 = 3
valor valor (siempre será 8) valores valores
Resolución
2n
C21 .
2 3000 2 3000! = × C 2998 3 3 2998! × (3000 − 2998) !
11
Se pueden formar 6 números
n = 11
22! 2n 2(11) 22 C21 = C21 = C21 = 21! × (22 − 21) !
P5 = 5! Se pueden formar 120 números
⇒
Reemplazando “n = 11”, hallamos
Entonces por el principio de multiplicación, el número total de permutaciones “P” será 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, es decir:
∴
a+b=n
Luego:
valor valores valores valores valores
Resolución
Rpta.: C
Aplicamos la propiedad de números com-binatorios complementarios.
Un número cualquiera tendrá 5 cifras diferentes:
∴
← impares
24
Rpta.: D
∴
126
Se pueden hacer 126 selecciones.
Rpta.: C
Resolución
17
De un total de 8 cajas, se desea formar grupos de 6, o sea hacer una combinación de 8 elementos tomados de 6 en 6.
Resolución 3 I. Cálculo de “n”: n
V2 = 6
Entonces, tenemos: 8!
8
C6 = 6!(8 − 6)! = ∴
n! =6 (n − 2)!
8 × 7 × 6! 56 = = 28 6! × 2! 2
n × (n − 1) × (n − 2)! =6 (n − 2)!
Se pueden tomar las cajas de 28 formas distintas.
Rpta.: D Resolución I.
n × (n – 1) = 3 × 2
18 n=3
Cálculo de “m”. m
II.
V 2 = 30
Cálculo de
2(3 )
2n
m! = 30 ( m − 2 )!
2n
Cn+1 : 6!
6
Cn+1 = C3+1 = C4 = 4!(6 − 4)!
m × (m − 1) × (m − 2)! = 30 (m − 2)!
=
6 × 5 × 4! 30 = = 15 4! × 2! 2
Rpta.: A
m × (m – 1) = 6 × 5 Resolución m=6 II.
4
x
C4 = x − 3
Cálculo de “n”.
x! 4! ⋅ ( x − 4 ) !
n
C7 = 8
= x−3
x! = 4! · (x – 4)! · (x – 3)
n! =8 ( 7! × n − 7)!
x! = 4! · (x – 3) · (x – 4)!
II.
n! = 8 × 7! × (n – 7)!
x! = 4! · (x –3)!
n! = 8! × (n – 7)!
x·(x – 1)·(x – 2)·(x – 3)! = 4! · (x – 3)!
n=8
x · (x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2 × 1
Cálculo de “m + n”.
x(x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2
m+n=6+8
∴
∴
Rpta.: A
m + n = 14
NIVEL II Resolución 1 Desarrollamos parcialmente (x – 3)! (x – 3) · (x – 4)! = 17(x – 4)! x – 3 = 17 x = 17 + 3 ⇒ x = 20 Resolución
Resolución
5
x! x! + = x +1 ( ) ( 3! x − 3 ! 4! x − 4) !
Rpta.: D
4!(x − 4)! x! + 3! (x − 3)! x! = x +1 3!( x − 3)! 4!( x − 4)! 4!
2
3 × 6 × 8 × n! = 6! 4 × 3 ×2 ×1
(3! ( x − 4) ! x!) + ( 4 + ( x − 3) ) 3! (x − 4 ) ! 4! (x − 3) !
6 × n! = 6! 6 × n! = 6 × 5! n=5
(x − 3 )!
4 ⋅ 3 ! ( x − 4 ) ! x! + 3! ( x − 3 ) ⋅ ( x − 4 ) ! x! 3! (x − 3 ) ! 4! (x − 4 ) !
Desarrollando tenemos:
∴
Rpta.: E
x=4
x!( x + 1) = x +1 4!( x − 3) !
Rpta.: C
= x +1
= x +1
x! = 4!(x – 3)! x · (x – 1)(x – 2)(x – 3)! = 4!(x – 3)! x(x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2 × 1 x(x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2
∴
Rpta.: D
x=4
Por el principio de multiplicación: Total de números de 3 cifras formados = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35
6
Resolución
La expresión dada se puede escribir así: n
C2 = n C3 n
n! 2! (n − 2 )!
Rpta.: D
9
Resolución
n
4C2 = 3C3 4⋅
3
VR5 = 35 = 243
∴
3 4
Sabemos que:
= 3⋅
n! 3! (n − 3 )!
x
V 3 = x ( x − 1)( x − 2)
3 factores
2
x
4 3 = 2 × 1× (n − 2) ×( n − 3) ! 3 × 2 × 1× ( n − 3) !
2 n− 2
=
V 4 = x ( x − 1)( x − 2)(x − 3)
4 factores
1 2
4=n–2 n=6
1=x–3
Rpta.: B
x
1+3=x
∴
7 x
5C5 = 3C3
Rpta.: C
x=4
10
Resolución
Sabemos que:
x! x! 5⋅ = 3⋅ 5!( x − 5)! 3!( x − 3) !
x
V 4 = x ( x −1)( x − 2)(x − 3)
5 3 = 5×4 × 3!( x − 5)! 3!( x − 3)( x − 4)( x − 5) !
4 factores x −1
4V 3
1 3 = 4 (x − 3)( x − 4)
= 4 ⋅ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)
3 factores
Igualando:
(x – 3)(x – 4) = 4 · 3
x
x −1
V 4 = 4V 3
x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 4(x – 1)(x – 2)(x – 3)
x − 3 = 4 x − 4 = 3 Resolución
x
x(x – 1)(x – 2) = x(x – 1)(x – 2)(x – 3)
⇒
4+2=n
Resolución
x
V3 = V4
Igualando:
x=7
Rpta.: C
x=4 Luego, reemplazamos “x = 4” en: x +1
8
4 +1
5
5!
120
Cx −1 = C4−1 = C3 = 3!(5 − 3)! = 6 ⋅ 2 =
Sea el número de 5 cifras: abcde . Como no se dice nada sobre si no se deben repetir las cifras, vemos que es: Variación con repetición: Entonces:
∴
x +1
Cx −1 = 10
Rpta.: A
120 12
15
Resolución
11
Resolución
Según el esquema:
Sabemos que:
Forma en la que van sentados en fila.
n k
V =
6
× 5× 4
"k" factores
Donde:
∧
n=6
k=3
Reemplazamos estos valores en: 2n 2(6 ) 12 Vk −1 = V3−1 = V2 = 12× 11= 132 2n Vk −1 = 132 Rpta.: D
∴
Por el principio de multiplicación, tenemos 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Resolución x 4
V ⋅V =
x −4 3
x! ( x − 7 )!
Resolución
∴
12
=
Podrán sentarse de 120 formas diferentes
Rpta.: D
( x − 4)! x! ⋅ ( x − 4)! ( x − 4 − 3)!
16
Resolución
Sabemos que:
= V
x 7
x
Rpta.: B
• Variación de “x” elementos tomados de 4 en 4 = V 4 x
• Variaciones de “x” tomados de 6 en 6 = V 6
13
Según el enunciado:
Sea “n” el número de elementos. Donde:
x 4 x 6
V = V
• Número de variaciones de cierto número de elementos (n), n
tomados de 6 en 6; es: V6 • Número de variaciones de los mismos elementos (n), n tomados de 5 en 5; es: V 5
1 2
2 × 1 = (x – 4)(x – 5)
n
2 = x − 4 x 1 = x − 5
(n – 5)!= (n – 6)!
∴
⇒
Rpta.: E 14
Según el enunciado, se tiene que ocupar 5 butacas numeradas con 4 personas, o sea hacer una variación de 5 butacas tomadas de 4 en 4 personas.
Rpta.: B
17
Resolución
n=6
=6
x=6
(n – 5)(n – 6)! = (n – 6)!
Según el enunciado, se pueden repetir las cifras, o sea es una variación con repetición de 5 elementos, tomados de 3 en 3. 5
VR3 = 53 = 125 ∴
Se pueden formar 125 números
Rpta.: B
5
V 4 = 5× 4 × 3 × 2 = 120 ∴
=
2 = (x – 4)(x – 5)
n! n! = ( x − 6) ! ( n − 5 ) !
Resolución
( X − 6 )! ( X − 4 )!
2(x – 6)! = (x – 4)(x – 5)(x – 6)!
V 6 = V5
n–5=1
=
2(x – 6)! = (x – 4)!
Según el enunciado, tenemos: n
x! ( x − 4)! x! ( x − 6)!
Se podrán ocupar las butacas de 120 maneras diferentes
Rpta.: B
