MATEMATICA 5° SECUNDARIA COVEÑAS SOLUCIONARIO

Quinto Año de Secundaria

Solucionario quinto año de educación secundaria

-1-

CAPÍTULO 2 ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36) Factorial de un número Resolución

NIVEL I Resolución

1 (n + 3 )! · = 10 3 (n + 1)!

1

E = (n + 2)! – 2(n+1)!

(n + 3)! = 30(n + 1)!

E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]

∴

7

E = n(n + 1)!

(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!

Rpta.: D

(n + 3)(n + 2) = 30 Resolución

2

7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 ! = = M= 6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 ! 42 − 2 M= 6−2

E=

M = 10

Rpta.: E

4 4 E= = 3!· 4 · 5 5!

x–1=5

∴ Resolución

E=

n +1 1 n + 1− 1 − = (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! E=

∴

n (n + 1)!

(n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1] (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)!

R=

n!n n!· n · n n! n2 = = (n − 1)! n(n − 1)! n!

n!

E=

Rpta.: B

(n + 2)(n + 1)n! = 6

E=

n+1 m+1

Rpta.: B

11

R=

11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8! = 121· 8! 121· 8!

R=

11· 10· 9 + 10· 9 + 9 121

n!

Resolviendo: n=1

m!(n + 1)! m!(n + 1) n! = (m + 1)! n! (m + 1)m! n!

Resolución

(n + 1)(n + 2) = 6

∴

10

∴

6 à

3

3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)! 3x + 6 = 5x ∴ x=3 Rpta.: B

Rpta.: D

R=

R = n2

Rpta.: B

9

x!

Resolución

∴

x=6

(x − 1)! (x + 2 ) = 5

5

(n + 2)! = 6

(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880

(x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72

4

1 1 (n + 1) 1 − = − n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)!

Resolución

8

(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880

Rpta.: E

E=

Resolución

Rpta.: B

(x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880

3

1 1 1 1 = = = 4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5

Resolución

Resolución

n=3

(x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880

∴ Resolución

∴

∴

Rpta.: A -2-

R=9

Rpta.: B


Resolución

Resolución

12

 (n + 1)!  (n + 3 )! 2 =6 −  n!  (n + 2)! 2· (n + 1)n! n!

−

(n + 3)(n + 2)! = 6 (n + 2)!

P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2

2n + 2 – n – 3 = 6 ∴ Resolución

n=7

∴

Rpta.: C Resolución

13

( x − 5)!

(x + 6 )! − (x + 2)! = 44 x! ( x + 4)!

( x − 3)!

x=2

4 =

( x − 2)!

x–2 = 2x – 8 ∴

Rpta.: D Resolución

14

x=6

( x − 2)!+ (x − 1)! = 720

(n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2

(x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x

x

(n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2

(x–2)!(1+x–1) = 720 x

[(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n

(x–2)! = 6!

[(n–1)!]2[n] = 36n

x–2= 6 ∴

(n–1)! = 6 Resolución

(n–1)! = 3! Rpta.: C

n (n − 1)(n − 2)!

(n − 2)!

n2 + 6n + 9 = 25 ∴ Resolución

− n2 = n2 − n − n2

∴ Resolución

6

n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25

1

n! R= − n2 (n − 2)! R=

Rpta.: B

(n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25 (n + 2 ) (n + 2 )!

NIVEL II Resolución

x=8

(n + 4)! − (n + 3)! = 25 (n + 2)! (n + 2)!

(n – 1) = 3 n=4

Rpta.: D

5

(n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2

∴

Rpta.: C

2 ( x − 4 )!

1 2 = x−4 x−2

(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44 8x + 28 = 44 ∴

P=n

2 ( x − 4 )! ( x − 5)! = ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )!

( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44 x! (x + 4 )!

Resolución

3

(n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)! P= ( ) n! (n − 3)! (n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)! P= ( ) n! (n − 3)!

R = –n

Rpta.: D

2

n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1) = = M=  (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)!

n· n· n! n· n· n (n − 1)! M= = (n − 1)! (n − 1)!

∴

Rpta.: C

7

 (n + 1)!+ n!   (2n + 3)!  A=   + 2n 1)!+ (2n + 2)!   (n + 2)!  (    (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! (n + 1)n!+ n! A= · (n + 2)(n + 1·) n! (2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)!

=

=

M = n3

n=2

Rpta.: C

n!  n + 2 

(2n + 1)!  2n + 3 

·

( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)! ( n + 2 )(n + 1)n!

2 (n + 1) n +1

∴ -3-

A=2

Rpta.: B

Resolución

8

(13· 12)2 (11!)2

(n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10! (n + 6 )!+ (n + 5 )!

2

(12 + 1) (11!)

∴ Resolución (119! n=4

Rpta.: A

(5!)x!! = (5!!23!)24

5!)x!!

= (5!!)23!· 24

(119! 120)x!! =(5!!)24!

Rpta.: E

(120!)x!! = (5!!)24!

9

(5!!)x!! = (5!!)24!

R=

(a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)! (a!!+ 1)! (a!!+ 1)!

R=

(a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2) (a!!+ 1)!

x!! = 24!

R = a!!

x!! = 4!! ∴

Resolución

∴ Resolución

1

12

(119!)x!!

(n + 6)! = 10!

n + 6 = 10 Resolución

13· 12· 11· 10! 10! (1+ 11)

(12)2 – 13· 11

(n + 7 )! (n + 5)! = 10! (n + 5)! [n + 6 + 1]

∴

−

(13· 12)2 − 13· 12· 11 12 (13 )2

(n + 7)!(n + 5)! = 10! (n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)!

(n + 7)(n + 6)! = 10! (n + 7 )

2

Rpta.: B

10

x=4

13

5 5 5 = = 5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1) 5 1 4 4 = = = 3!· 25 3· 2· 1· 5 5· 4· 3· 2· 1 5!

E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!!

Rpta.: B

Rpta.: D

E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!! Resolución

E = (n!!–1)! n!! – n!!!

(n + 2)!

E = n!!! – n!!! ∴ Resolución

E=0

Rpta.: C

n!

14 = 5+

(n + 12)! (11+ n)!

(n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)! n! (n + 11)!

11

(13!)2 13! − 2 2 10!+ 11! (12!) + 2 (12!11!) + (11!) (13!)2 − 13! (12!+ 11!)2 10!+ 11! (13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10! (12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10!

(n+2)(n+1) = 5+n+12 n2 + 3n+2 = 5+n+ 12 n2 + 2n = 15 ∴ n=3 ∴

Suma valores = 3

Rpta.: C

ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46) NIVEL I Resolución

Resolución

1

2

5 pantalones

3 blusas

N° maneras = 5 × 3 N° maneras = 6 × 4 ∴

N° maneras = 24

∴

Rpta.: D

-4-

N° maneras = 15

Rpta.: C


Resolución

3

Resolución

5 ...................← Personas 5 --------------← asientos

V2m = 20 m (m − 1) (m − 2 )!

m! = 20 ( m − 2 )!

(m − 2)!

N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1

= 20

∴

m(m–1) = 4 × 5 ∴ Resolución A B C

9

m=5

Rpta.: C

Resolución

N° maneras = 120

Rpta.: C

10

4 ← asientos

D

N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3 ∴ Resolución

N° maneras = 360

Una persona debe estar fija y las otras 4 las permutamos.

Rpta.: B

N° maneras = 4!

5

∴

3 : anillos: 4 : dedos

Resolución

N° maneras = 4· 3· 2 ∴ Resolución

N° maneras = 24

11

N° maneras = 1· 3· 2· 1

6

∴

6 : invitadas

Resolución

N° maneras =

C10 6

∴

10· 9· 8· 7 = 1· 2· 3· 4

C84 =

N° maneras = 210

7

N° maneras = 6

Rpta.: D

12

8· 7· 6· 5 1· 2· 3· 4

Rpta.: B

∴ Resolución

n   = 15  4

N° cuadriláteros = 70

Rpta.: B

13

N = abc números: {1; 2; 3; 4; 5}

n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 ) 1· 2· 3· 4

N° maneras = 5· 4· 3

= 15

∴

n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3 ∴ Resolución

Rpta.: B

N = a b c d > 6000 6523

Rpta.: C

10 : amigas

Resolución

N° maneras = 24

n=6

Resolución Rpta.: B

N° maneras = 60

Rpta.: D

14

 n + 1  n   :  ... (1)  n   n − 1

8

Entonces:

C5x + C6x = 28

 n + 1  n + 1   n + 1  = =  = n+1  n   n + 1− n   1 

C5x + C6x = C6x +1 = 28

( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28

n  n    n  = = =n  n − 1  n − (n − 1)   1 

1· 2· 3· 4· 5· 6

(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3 ∴

x=7

En (1):

Rpta.: C

∴

-5-

n+1 n

Rpta.: D

Resolución

Resolución

15

(p + q)! = (p + q)!  p + q  = p p! q!  p! (    p + q) − p  !

C5x = 21 x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 ) 1· 2·3· 4· 5

= 21

Además:

 p + q  p + q   p + q  = =   q   (p + q) − q   p 

x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3 ∴

x=7

Rpta.: E ∴


7

1

Son equivalentes I y II

Resolución

Rpta.: B

8

4 : biólogos → se escogen 2 3 : químicos → se escogen 2 5 : matemáticos → se escogen 3

De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos N° maneras = 9· 9 = 81 Quitamos los 9 caminos de ida. N° maneras = 81 – 9 ∴ Resolución

N° maneras = 72

N° maneras = C42 · C32 · C53  4·3  3·2  5·4·3 

N° maneras =  1· 2  ·  1· 2  ·  1· 2 · 3       

Rpta.: B

∴ N° maneras = 180

2

Rpta.: C

N° maneras = 7· 6 · 5 ∴ N° maneras = 210 Resolución

Rpta.: D

Resolución

x   = 0 ..... (1)  10 

3

Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Se sabe que:

N = a bc d e

 m  =0 n

↓ ↓↓ ↓ ↓

98765

N° formas = 9· 8·7· 6· 5 ∴

N° formas = 15120

Resolución

9

⇔ m0

En (1): x < 10 Rpta.: C

x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9

4

∴

L I B R O → 5 letras

Producto: 9!

Rpta.: D

N° palabras = 5! ∴

N° palabras = 120

Resolución C25 2 =

Rpta.: B

Resolución

− 1  n + 1  n   n   n + Q= + + +  2 1 n 1 n −        − 1

5

25· 24 1· 2

∴ Resolución

Se sabe que:

N° partidos = 300

 m  m   =   n   m − n

Rpta.: D

n + 1  n + 1  m  n   n  =  y  =   n − 1  2   n − 1  1 

6

Luego:

N° diagonales = C82 − N° lados

 (n + 1)n   n + 1  n   + n Q = 2   +   = 2  2 1 1 · 2        

8 ·7

N° diagonales = 1· 2 − 8 ∴

10

N° diagonales = 20

∴

Rpta.: B -6-

Q = n2 + 3n

Rpta.: B


Resolución

11

Resolución

12

 n  n −1   +  = 99  n + 1  n − 2 

Se sabe que:

 m  =0 ⇔ m < k k 

N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1 ∴ N° maneras = 120

 n   =0  n + 1

Resolución

Luego:

13 → se toma 1

3 : entradas n −1    = 99 (n 1) (n 2) − − −  

n −1  0+  = 99  n − 2

 n − 1   = 99  1 

3 : de fondo → se toma 1 5 : postres

→ se toma 1

N° maneras = C13 · C13 · C15

n – 1 = 99

N° maneras = 3· 3· 5

∴ n = 100

Rpta.: D

∴ N° maneras = 45 BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53) NIVEL I

Resolución A)

1

(x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5 = x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5

B)

(1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 + 7(1)(3a)6 + (3a)7 =1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7

C)

(1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b

4

– 462(1)6b5 +

462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11 = 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9 + 11b10 – b11 6

D)

1  6 5 -1 4 -1 2 3 -1 3 2 -1 4 -1 5 -1 6  x − x  = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x )  

= x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6 4

E)

 2 1  z + 2  = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4 z  

=z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8 6

F)

Rpta.: E

 3 x3   4−  = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 + x 4  

15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6 = 729x

−24

−

729 −17 1215 −10 135 −3 135 4 9 11 1 18 x x x + x − x + x + − 2 16 16 256 512 4096

-7-

Rpta.: A

Resolución A)

2

(x – y)11

Resolución A)

 11 6

t7 = t6+1 =   x11−6 y6

;

(a + b)21

 4

B)

∴ t5 = 5985 a17 b4 10 −9

10

C)

 1 1 a − b  

 10   1     9  a 

;

t10 = t9+1 = 

 −1 b  

D)

7

9

10

C)  7  2 7 − 7  −2   2  t8 = t7+1 =  7  x y    xy 

( )

;

7

∴ t8 = –128x-7y-14 E)

(2a – b)10

 10 

10−10

( −b )10

∴ t11 = b10 F)

 1   1−  xyz  

∴

8  10−8 10 (1) ( −1)8 = 45 coef(t9) = coef(t8+1)=  10 8 

D)

(–a +



12)5 5−4

coef(t5) = coef(t4+1) =  4( −1)   E)

(12)4 = −5·124

(p 2 v 2 –1)14  14 

1

4

 4  4 −1  −1  t2 = t1+1 =   (1)    xyz  1 

;

coef(t8) = coef(t7+1) =  7  (1)14-7(–1)7 = –3432   F)

(2x2y + xy3)8 8 coef(t5) =   (2)8-4 (1)4 = 1120  4

t2 = –4x-1y-1z-1

Resolución

 x 2 y2  −    y x  

 5

t11 = t10+1 =  10  (2a )  

;

(3a + b)6

 6 4 2 coef(t3) =   (3 ) (4 ) = 19440  2

∴ t10 = – 10a-1 b-9  2 2   x y − 2  xy  

1

∴ coef(t2) = – 32

 21

t5 = t4+1 =   a21− 4b4 4

;

(2x – y)4 3 coef(t2) = coef(t1+1) =  1  2 (−1)  

∴ t7 = 462x5y6 B)

3

4

5

(

 2 1 2 −1  3x − x  = 3x − x  

)

5

5

 2 1 2 5 2 4 -1 2 3 -1 2 2 2 -1 3 2 -1 4 -1 5  3x − x  = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x )   5

 2 1 10 7 4 -2 -5  3x − x  = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x  

A) coef(t4) = –90 B) t3 C) No existe el término independiente de x: Resolución

5 12

 2 3  2 − 3xy  x y  

Nos piden:

(

−2 −1

= 2x y

− 3xy

12−k

A)

 12   2  tk+1 =  k   2    x y 

)

3 12

(−3xy )

(x)3k-24 = x-3

3k – 24 = –3

k=7

Luego: tk+1 = t7+1 = t8

3 k

B)

 12 

 12 

tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12   (y)4k-12 = y12

tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12  

4k – 12 = 12

∴ tk+1 = t6+1 = t7 -8-

k=6


C)

 3

 12 

(x)3k-24 = x0

3k – 24 = 0

k=8

(q)15-6k = q9

∴ tk+1 = t8+1 = t9  12 

=

y0

4k – 12 = 0

k=3

∴ tk+1 = t3+1 = t4 Resolución A)

Resolución

(

6

(

 11

=

2x+ 3

2 x+ 3

)

10

10

∴

(q)10-2k = q9

(

2x

)

10

)

10

10  +   1

(

10 – 2k = 9

2x

) ( 3) 9

) ( 3) 8

2

8

3x2)6 6

6 −k

(3x2 )

6

0

2·0

 6

6

2·6

k

 6 k 2k =   (3 ) ( x ) k 

t0+1 =  0  (3 ) (x )  

t1 = 1

t6+1 =  6  (3) ( x )  

t7 = 729x12

Luego: t1 · t7 = 1· 729x12

Como k ∈ ] ∴

∴ No existe el término

Producto de los coeficientes =

(p2 – q3)7 7 −k

−q3

k

Resolución

 7 k 14 −2k =   ( −1) (p ) (q)3k k 

(q)3k = q9

3k = 9

 5

∴

(2 –

Rpta.: D

2

x)11  11

11− 7

t8 = t7+1 =  7  (2)  

k 3 −k  −1

( )

(−3y )5

t6 = – 243y5

Resolución

3

5 tk+1 =   3q

5− 5

t6 = t5+1 =  5  (x )  

k=3

 7 3 14− 2·3 (q)3·3 t3+1 =  3  (−1) (p)  

 3 k 

1

(x – 3y)5

Luego:

∴ t4 = –35p8 q9

729

NIVEL II

( ) ( )

 7 2 tk+1 =  k  p  

 5 1  3q −  q 

2x

(

= 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ...

tk+1 =  k  (1)  

k

1 k= 2

D)

2 x+ 3

(1 +

 10  k 10− 2k −k =   (−1) (p ) (q) k 

C)

(

Resolución

 1 q−   pq 

 10   −1  tk+1 =   q10−k   k  pq 

10

=

k=9  11

B)

)

 10  +  2

tk+1 = t9+1 = t10 =  9  (2p)11-9(q)9   ∴ t10 = 220 p2q9

k=1

7

tk+1 =  k  (2p)11-k(q)k   q9

15 – 6k = 9

∴ t2 = –27q9

(2p + q)11

qk

(−1)k (q)15−6k

 3  3 −1 1 15−6·1 t1+1 =   (3 ) ( −1) (q) 1 

D) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12   y4k-12

3 −k

=  k  (3 )  

tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12  

( −x )7

t8 = –5280x7

   q

∴ Coeficiente = – 5280

-9-

Rpta.: D

Resolución

Resolución

3

n

(2a + b)5

2 x  +   x 2

 5 5−1 1 4 t2 = t1+1 =   (2a ) (b ) = 80 a b 1   ∴

8

Coeficiente = 80

n−k

 n  2  tk+1 =     k x 

Rpta.: C

K

 n  n− 2k x ( x )2k −n  2  =  k  ( 2)    

Para el término independiente: (x)2k-n = x0

Resolución y   3x −  2 

Pero: k + 1 = 4

7

Entonces: n = 2· 3

∴ No hay término central Resolución

Rpta.: E

5

∴ coef(t5) =

y)6

t4 =

–160x3 y3

Resolución 1  x − 2   x 

k=3 n=6

 6  6−8 8−6 15 2 (x ) = x t5 =   ( 2 ) 4  4

Resolución

6 6− 3 ( −y )3 t4 = t3+1 =   (2x ) 3   ∴

n = 2k

Luego: tk+2 = t3+2 = t5

La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos

(2x –

2k – n = 0

4

15 4

Rpta.: C

9 13

 3 x2 1   +5   2 x  

Rpta.: D

6

(

tk + 1 = ( 13k ) 2 −1 x 3

4

2

) (x ) 13 − k

−

1 5

k

26 13k −  13  k −13 tk+1 =   ( 2) x ( ) 3 15 k

k

 4  4 −k  −1   4  k 4 −3k tk+1 =   ( x )  2  =   ( −1) ( x )  x  k  k 

El término indenpendiente:

Del dato: x4-3k = x0

4 – 3k = 0

k=

26 13k − 15

4 3

(x ) 3

Como k ∈ ]

26 13k − =0 3 15

0

tk+1 = t10+1 = t11 Nos piden el t10

∴ No hay término independiente Rpta.: E Resolución

=x

k=9

 13  9−13 t10 =   ( 2) (x ) 9 

7

(2x – 1)5

26 13·9 − 3 15

13

 5 5 −k k  5 5 −k k 5 −k tk+1 =   (2x ) ( −1) =   (2 ) ( −1) ( x ) k  k 

∴

Resolución

 5  5− 2 2 5− 2 = 80x 3 t3 = t2+1 =   (2 ) ( −1) ( x ) 2    5  5−4 ( −1)4 (x )5−4 = 10x t5 = t4 + 1 =   (2 ) 4   Luego:

t3 = 72 t5

80x 3 = 72 10x

∴

x = ±3

Rpta.: C

t10 =

 x + 

715 15 x 16

Rpta.: A

10 120

1  x

k

 120  120−k  1   120  120−2k tk+1 =   (x )  x  =  k x     k   Como es de grado 100 120 – 2k = 100 ∴ - 10 -

k = 10

tk+1 = t10+1 = t11

Rpta.: E

k = 10


Resolución

Resolución

11

 2 0,5   0,4x + x   

(

9 2 tk+1=   0,4x k 

(1 +

9

 3n  3n−k k  3n  k (x ) =   x tk+1 =   (1) k k

9 −k  0,5 k

)

 x   

 3n  k +1 tk+2 =  x  k + 1

 9  9− 2k k − 9 18− 3k =   (2 ) (5 ) ( x ) k 

 3n  2k −4 x t2k-3 =   2k − 4 

Término independiente: (x)18-3k = x0

18 – 3k = 0

k=6

 9  9 −2·6 6 −9 18 −3·6 ( 5) ( x ) Luego: t6+1 =   ( 2)  6 t7 = 0,084

12

x)3n

Rpta.: C

Como los coeficientes son iguales se tiene:  3n   3n   =   k + 1  2k − 4  3k – 3 = 3n ∴

(k + 1) + (2k – 4) = 3n

k = n+1

Rpta.: A

BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO Pág. 58 Resolución

(1− 2x ) t5

5 1 5

 1 1  1 = T4 +1 =  5  (1)5 −4 ( −2x )4 = 5  4 4  4  16x  

  1  1  1  1    5  5 − 1 5 − 2  5 − 3       · 16x 4    1· 2· 3· 4      

 1   1   1    2   2 − 1  2 − 2   1        32x =   ⋅ 32x t4 =  1· 2· 3    16      ∴ Resolución

Resolución

t5 =

E=

E=

−336 4 x 625

6

7

 −3  E=   33 

 −21  4 = 16x  625 

∴

t4 = 2x

( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32) 1· 2· 3· 4· 5· ..... ·33

(−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 ) 1· 2· 3· 4· 5 · ..... · 33

∴

E = –595

Resolución

8

 −15   −15   −15  E= + +   3   4   5 

1

1 2   1 + x3  4   

 −15 + 1  −15  E= +   4   5 

3 1  1  1 −3  1   2   1 2  3  2 t4 = t3+1 =    4   x  =   32x 3      3 

 −14   −15  E= +   4   5  E=

- 11 -

(−14 )(−15)(−16 )(−17 ) 1· 2· 3· 4

1· 2

+

( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 ) 1· 2· 3· 4· 5

∴

2

−3

)

9 tk

1 2

(

 −2   2−1x −3 +1 =   k

−2

k

−2 −k 

)

9 6 − 3k  −2  k + 2  −  (2 ) ( x ) 2  x 2  =  k   

Término indenpendiente:

 1  1 1  2  2 −2 2  2  x −3 9 2 t3 = t2+1 =   x ( −3 ) =   ( ) 2    2 

( )

 1  1    − 1 −9 2 2  9x −3 = 3 t3 =   1· 2 8x

(

Si:

10

−9   1 −3 2x − x   

E = – 9248

Resolución

(x

Resolución

)

t3 =

∴

t3 = (–24)-1

3k =0 2

k=4

Entonces: 3·4

6−  −2  4 +2 (x ) 2 t4+1 = t5 =   (2 )  4

−9

x=3

6−

t5 =

8· 33

( −2)( −3 )( −4 )( −5) 1· 2· 3· 4

∴

(2)6

t5 = 320

CAPÍTULO 3 LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96) NIVEL I Resolución

Resolución 5

log x 2 = 0,4

1

2 5

log a = x

log x =

log 10a = log10 + loga = 1 + loga ∴

log10a = 1 + x

Resolución

Rpta.: E

2

logx = 1

Resolución

Rpta.: B

6

log p = q

1 = logp 3

∴ log 3 p = Resolución

2 2 logx = 5 5

2 5

∴

log p = x log 3 p

5

x 3

p log   = log p − log r r

Rpta.: D

3

∴

p log   = q − log r r

Resolución

loga = m ; logb = n

Rpta.: B

7

 1  = logx + logx-2 = logx – 2logx  x2 

logx + log  log

a 1 a 1 = log   = (loga − logb ) b 2 b 2

∴ log Resolución log

103

a m−n = b 2

Rpta.: B

 1  = –logx  x2 

∴ logx + log  Resolución

8 2

4

log5 3 25 = log5 5 3 =

= 3log10 = 3· 1

∴ log 103 = 3

∴

Rpta.: D

- 12 -

Rpta.: C

log5 3 25 =

2 3

2 2 log5 5 = · 1 3 3

Rpta.: D


Resolución

9

7 4 log 102 + log2 2 − log 5 5

logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103

2log 10 + 7log 2 − 4log 5

= logx–log1000

2

 x  logx–3 = log    1000 

∴ Resolución

Rpta.: E

5

10

log2 a = x

Rpta.: B

Resolución

18

log0,01+ log

0,0081= log10-2 + log

0,3

x + 1 = log2 a + log2 2 ∴

x + 1 = log2 2a

5

2+7–4

0.3

= –2log10 + 4 log

Rpta.: D

(0,3)

=–2+4= 2 Resolución

11

Resolución

log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2)

log

2

12

2

log(x2–x) = logx + log(x–1)

216 6 = log

11 63

12 65

=–1

Resolución 0,4

0,4

2

log

0,4

∴ –3

(0,4)3 = x

Resolución

log

15 2 x=  3

−2

x=

(a2 − 2ab + b2 ) = log

(a −b)

Resolución

(a − b) = 2

21

= 3(0,47) =1,41 Resolución

Rpta.: B

22

log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70

2

(a − b)

log35 – log14 = log

Rpta.: E

35 14

5 = log = log5 − log2 2

17

log 35 – log14 = 0,70 – 0,30

log 100 + log 128 − log 625 2

Rpta.: D

75 · 45 = log27 = log33 = 3log3 125

9 4

16

(a −b)

5

log75 – log125 + log45 =

Rpta.: E

= 2 log

3

log3 = 0,47 , log5 = 0,70

Rpta.: D

2 3

(a −b)

5

−4log 2 + 4log 3 − 3log 5

0,4 = x

log x = −2

log

3

–4+4–3

x=3

Resolución

20

log 2−4 − log 3−4 + log 5−3

Rpta.: C

0,064 = x

Resolución

Rpta.: E

 1  1  1  log   − log   + log  2  16  3  81 5  125 

11 12 = : log6 6 3 5

14

3log ∴

Resolución

2

55 = 36

log

2

13

3 2

36 5 36

2

(0,25)(0,125) = log (0,03125) 2 (0,0625 ) 0,0625

2

Rpta.: A

log

2

log (0,5) = log 2−1 = −1log 2

log(x2–x) = logx(x–1)

Resolución

Rpta.: C

19

2

Rpta.: D

∴

(0,3)

log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625

log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)

Resolución

(0,3)4

∴

5

- 13 -

log35 – log14 = 0,40

Rpta.: B

Resolución

23

Resolución log 2 3

1 1 + = log (2) + log (3) 36 36 log 36 log 36 2

243

3

= log (2· 3) = log

36

36

log 2 3

243

6

1 = 2 Resolución

24

∴ 24

26 = 6log

24

2

29

log x

10

Rpta.: B

30 log3

− 10

∴

x=2

log

2

log

2

∴

Resolución

Rpta.: B

26

log (2x + 21) − log x = 2 3

3

 2x + 21 2 log   = log3 3 3 x 

2x + 21 2 =3 x

x=3

Resolución

(I)

log 32 = 5

(II)

log

1= 0

 1 (III) log   = −4 2  16  ∴

Rpta.: A

=2

8 3

Rpta.: A

VVV

32 = 25 ... (V) 1=(2000)0 .... (V) 1 = 2−4 ... (V) 16 Rpta.: D

3

log 27 = a 12

27

log a + logb = log(a + b) log a · b = log(a+b)

a·b = a + b

b b −1

Rpta.: D

∴ a=

2

2000

2

3x 2

2

Resolución

2x + 21 = 9x ∴

Resolución

−4

3 x 2

∴ x=−

5x – 3 = 2x

)

x 1 = 2 2 16

−4 =

(5x − 3) = log 2 2 x

x=1

(

 1  =x 2  16 

2

5x − 3 =2 x

Rpta.: B

1

log (5x − 3) − log x = 1 2

= 2x − 5


25

Rpta.: C

x – 3 = 2x – 5

    1 1 = 6  = 6  log 8 log 3 3log 2 x + +  2    2 2 6 3+x

x=5

Resolución

 1    1 = 6  = 6  log 24 log (8· 3)  2   2 

Resolución

Rpta.: E

= 32

x(x–3) = 10

64 = log

=

= 25

logx (x–3) = log10

2

24

log 25 3

= (3)

logx + log(x–3) = 1

Rpta.: C

log 3 = x log

5·log 2 3

= (3)

∴ 243 Resolución

log 2 3

( )

= 35

log 2 3

1 2

1 = log (36) = log 36 36 2 36

28

log 16 =

log2 24 4log2 2 = log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3

log 16 =

4 ........................... (1) 1 + log2 3

6

a(b–1) = b 6

- 14 -


3log2 3 =a 2log2 2 + log2 3

Pero: log 27 = a 12

3log2 3 =a 2 + log2 3

= log

  10   = 2 log  2   = 2[log 10 − 2log 2] 2 2  2  2 

Reemplazando en (1) log 16 = 6

6

Resolución

1  = 2 log 10 − 2 = 2  − 2   10x  x  

4 2a 1+ 3−a

∴ log 16 =

=

12 − 4a 3+a

Rpta.: E

1023

5

log5

1024

log y 5 

log6

=

 2  10   2log   + log3 3 2   

=

2  2 (log10 − log2) + log3 3

=

2  2 (1− a ) + b 3

Resolución

=

(

2 7+ 5

E=

7+ 5

)(

x=1

Resolución log2 = x

4 11 + 7

0 11 + 7

)(

Rpta.: C

∑ cifras = 11

9

2

2

=

log2 22 + log −1 22 2

( )

log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34 3 3 3

2−2 5−4 ∴ E=0

Resolución

Rpta.: E

10

log 2 = a ∧ log 3 = 2b 5 5

2 [b − 2a + 2] Rpta.: D 3

+

= 3125

3

log

5

6

logx = 0 ∴

E=

2 2 log52 + log3 = [2log5 + log3]  3 3

∴ log 3 752 =

5

log 4 + log 1 4

)

=

logx =

x=

55

Resolución

(

log x = 5

5

∴

2 2 log75 = log 52 · 3 3 3

3

= logy

log (log x ) = log5

5

log 752 =



log y log (log x ) = logy 5 5

log1024 log210 = = 10 Rpta.: B log2 log2

log2 = a ∧ log3 = b

=y

log (log x )  5

log1024 · · · ..... log2 log3 log4 log5 log1023

Resolución

8

(log5 x ) 4

log4

log3

Rpta.: D

Resolución

4

3

2 − 4x x

log y 5

log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 2

 5 = 2log   2 2

2 22

2a 3−a

log2 3 =

52

−

6 11 + 5

11 + 5

x = 100

)

2 = 10x

=

1  2 (log 5 + log 2 ) + log 3  5 5 5 2

=

1  2 (1 + a ) + 2b  2

∴

Rpta.: B

7

(

)

1 1 300 = log 300 = log 102·3   2 5 2 5 1 1 2 = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3] 5  2 5 5 2 5

log

Resolución

5

300 = a + b + 1

11

log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1

 2,5  log 2,5 − log (0,4) = log  2 2 2  0,4 

log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10

- 15 -

Rpta.: E

log

(2 − x )(3 − x ) = log10

x

2

(2 − x )(3 − x ) = 10

x

2

2

x2

2=3

∴

– 6· logx· log2 –

2logx

logx = log24

∴

Resolución

∴

1 log x − 21 = 1− logx 2

Resolución

∴

=

x=3

Resolución log22 x

2

(2

+x

log2 x

=5

)

log x 2

x

6k 7

·23·

32

Rpta.: C

x = 23 Rpta.: E

18 6

 10  xlog x =  6  = 0  x

log[x ]

log x

 10  = log  6   x

logx · logx = 6 log10 − log 6 x   

32

(logx)2 = 6 – logx

2x(1+2x)=23(1+23)

(logx)2 + logx – 6 = 0

Rpta.: C

Resolviendo:

15 log2 x

x=8

Resolución

23·

log a =

17

∴

x

a2 = k

7 6k

Rpta.: A

10x(1+2x) = 5x· 72 5

a

 x3  log  2  = log23 x   

log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72]

2x(1+2x)

log x =

x(x–21) = 100 = 4· 25

14

(1+2x)

x3

logx3 – logx2 = 4log2 – log2

log10x + log(1+2x) = log5x + log72

x

a + log

logx3 – log24 = logx2 – log2

x + log(1+2x) = xlog5 + log72

2x

16

 x2  logx 3 − log16 = log    2   

1 2

10 log x − 21 = log x

∴ x = 25

x2

Resolución

log x − 21 = log10 − logx

10 x

Rpta.: D

a

Rpta.: D

13

x − 21 =

65 8

1 6k = log x 7

x = 16

x =4

1 8

1 2 log a + log a = k 2 x 3 x

x = 16 Luego:

(log2 x )2 = 9

2

Suma =

log

logx = –log2

(2) : logx – 4log2 = 0

10

=2

( )

2

Resolución

– 4log2

(1) : 2logx + 2log2 = 0

log x 2

=0

2 log2

logx

2· x

log x log2  x 2  = log2 29  

= 29

Suma = 8 +

8(log2)2

10

=2

23 = x ⇒ x = 8  log x = ±3  −3 1 2 2 = x ⇒ x = 8 

logx 8log2 − =3 log2 2logx

2(logx)2

log x 2

2

12

log x − 8log

log x 2

+x

log x · log x = 9log 2

Resolviendo: x1 = 7 ∧ x2 = –2 ∴ CS = {7; –2} Rpta.: Resolución

log x 2

x1 = 102

= 1024

∧ x2 = 10-3

Luego: x1 · x2 = 102· 10-3 ∴

+ xlog2 x = 210

- 16 -

x1 · x2 = 10-1

Rpta.: B

6


Resolución

Luego: x3 = 23

19 logn 10

n

log (2x − 1) + log ( x − 1)

∴ x3 = 8

=n

Rpta.: E

log(2x–1)n + log(x–1)n = n

Resolución

n log(2x–1) + nlog(x–1) = n

antilog x = antilog · colog

log(2x–1) + log(x–1) = log10 log(2x–1)(x–1) = log10 x=3

Resolución

∴

Rpta.: E

y = 100

log102 = logy

33

32

6

)

(

6 = antilog · − log 62 2

6

)

= 2-2

x = –1

Rpta.: D

25

Sea: log2x = a

Rsolución

26

(

)

( )

Ln Ln (Ln (Lnx )) = Ln1 Ln(Ln(Lnx )) = 1

Resolviendo: x1 = 4 ∧ x 2 = 23 2

e x= ee

∴ Rpta.: B

Ln[Lnx ] = e1

Lnx = ee

Luego: x1· x2 = 4 ·23 2 ∴ x1· x2 = 83 2

Rpta.: B

Ln Ln (Ln (Lnx )) = 0

2

Resolución

22

Lnx

log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,47

Lnx

Rpta.: D

27 + 42 = Lnx13

Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx

2x = 23· 3

(Lnx)2 + 42 = 13· Lnx

3)

xlog2 = 3log2 + log3

(Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0

x(0,3) = 3(0,3) + 0,47 Rpta.: B

Resolviendo la ecuación de 2do grado: Lnx1 = 7 ∧ Lnx2 = 6 x1 = e7 Lnx1 = 7

23

antilogx· antilogx x = 16

22

x = 104

∴

2

antilogxxx = 16

logx = ± 4

= 16

logx = log104

2

∴ x = 4,5

log2x

a = 16

3 (log x ) − 10· log x + 8 = 0

log(23·

16 +8a = a2 – 8a + 16

16 + 8a = a − 4

2

=2

22x

Resolución

2

x

6

1

3

16 + 8log2 x = log2 x − 4

2

xx

=

2-2 ∴

3 (log x ) + 3 = 10 (log x ) − 5

Resolución

(

· log

3

2

4

4x

21

1 log2 x + log2 x 5 = 1 3 2− log2 x

=

2

6

3 log

antilog x = antilog ( −2)

log2 x + logx 2 5 = 2 − logx 2 3

log2x

6

2

4

2 = logy

2x = 24

2

antilog x = antilog · − log

20

2ab = ab logy

6


4

 (x) x + ab + x − ab = logy  (x + ab)–(x – ab) = ab logy

Resolución

2


Rpta.: B

x + ab − x − ab = ab

Resolución

4

4

(2x–1)(x–1) = 10 ∴

24

Lnx2 = 6

x

x x = 16

x2 = e6

x1· x2 = e7· e6 ∴

x=2

- 17 -

x1· x2 = e13

Rpta.: E

Resolución

Entonces:

28 5

5

1

colog 0,04 = log

5 0,04

5

5

x+y=

∴

Entonces: Resolución

R = 3 2 + 25

R=3

Resolución

11 3

30

log10 + logx2 = log(x+2)

29

log10·x2 = log(x+2)

x2 – y2 = 11

10x2 – x – 2 = 0

x = 10 y

Rpta.: D

1+ 2logx – log(x+2) = 0

Rpta.: C

x log   = log10  y

logx – logy = 1

1 10 ∧ x= 3 3

Por lo tanto: 10 1 x+y = + 3 3

100 = log 52 = 2 5 4 5

= log

antilog 2 = 52 = 25

∴

y=

(10y)2 – y2 = 11

R = 3 colog 0,04 + antilog 2

Resolviendo: x1 = ∴

x = 10y

10x2 = x+2

1 2 ∧ x 2 = − (no) 2 5

 1 C.S =   2 

Rpta.: C

CAPÍTULO 5 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158) Resolución

1

Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, entonces:

•

Se observa que: (–θ)+ x = 180° x – θ = 180° .... (1)

•

Además: (–α) + 90° + β = 180° –α + β = 90° –2α + 2β = 180° .... (2)

•

(17x – 19)° + (13x – 11)° = 180°

x – θ = –2α + 2β

30x – 30 = 180 x=7 Resolución

Igualando 1 y 2 : x = θ + 2β – 2α

Rpta.: C

2

Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativos tenemos:

Resolución

Rpta.: D

3

En la figura se observa que:

- 18 -


•

Entonces se cumple:

Resolución

(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270°

De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:

ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270

(11x + 50°) –(–560°) = 720°

(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0

11x + 610° = 720°

• Aplicando la definición de polinomios identicamente nulo se tiene:

x = 10° Resolución

a − m = 0 → a = m  b − n = 0 → b = n c − p = 0 → c = p 

•

Rpta.: B

8

Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ. •

Luego de acuerdo al enunciado: i) 0° < a < 90°

Finalmente: a b c + + = 1+ 1+ 1 m n p a b c + + =3 m n p

Resolución

7

α = α  β = 7α θ = 13α 

α β θ ii) = = 1 7 13

Rpta.: E

•

Además: θ – β = 360°n 13α – 7α = 360° n

4

α = 60° n n = 0 → α = 0° ¡No! n = 1 → α = 60° ¡Si ! n = 2 → α = 120° ¡No !

Analizando la figura se tiene que:

∴ θ = 13(60°) θ = 780°

Rpta.: A

θ+(–α)+ β = 2 vueltas

Resolución

θ – α + β = 2(360°)

Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, entonces:

θ – α + β = 720° Resolución

Rpta.: A

9

α 19 19 = → α = β ... (1) β 3 3

5

α – β = 360°n ... (2)

Analizando el gráfico observamos que: •

Reemplazando (1) en (2): 19 β − β = 360°n 3 16 β = 360°n 3

→ β = 67,5°n

θ + x = –720° – α + x = –360°

•

Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces:

θ –(–α) = –360°

•

Luego en (1) tenemos:

θ = –360° – α Resolución

n=1 Rpta.: C

α=

6

Dividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° se obtiene:

∴

19 (67,5° ) → α = 427,5° 3 α = 427°30'

Resolución

Rpta.: A

10

Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que:

−3106° 360° 854° 360° 5186° 360° 134° − 9 134° 2 146° 14

α – β = 360°n

Observando los residuos de estas divisiones se concluye que: α y β son coterminales

→ β = 67,5°

Rpta.: A

(7x2 + 1)° – (1 – 3x2)° = 360°n 10x2 = 360n x= 6 n

- 19 -

Para que a tome su mínimo valor, x ∈ \ + tambien debe tomar su mínimo valor, entonces: n=1 → x=6 Finalmente: α = (7·62 + 1)° α = 253°

Resolución 11 Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces: α + β = 600° ... (1) α – β = 360°n ... (2) •

De 1 y 2 : α = 300° + 180° n pero: 400° < α < 600° n = 0 → α = 300° ¡No! n = 1 → α = 480° ¡Si! n = 2 → α = 660° ¡No!

2θ – 3x = 90°

(x2)  →

9θ + 6x = 54° 4θ – 6x = 180° 13θ = 234°

Reemplazando en 1: 3(18°) + 2x = 18° x = –18° Finalmente: E = 18° + (–18°)

•

Resolución

E = 0°

Rpta.: B

14

Siendo α y β ángulos coterminales tal que: β – α = 360° n ... (1) α 1 = → β = 5α ... (2) β 5 Reemplazando 2 en 1: 5α – α = 360°n α = 90°n pero: 100° < α < 200° n = 2 → α = 180°

•

En 1: 480° + β = 600° β = 120° Resolución

(x3)  →

θ = 18° •

Rpta.: D

3θ + 2x = 18°

Rpta.: C

12

En la figura se cumple que:

•

En 2 : β = 5(180°)

x + α° + (–β)° = 180° α° − β° ) x = 180° – (

β = 900°

Rpta.: E

Suplem.(x)

∴ Suplemento (x) = α° – β° Resolución

13

Del enunciado:

3θ + 2x = 18° ... (1) •

En la figura se observa que: 2θ − 3x = 90° ... (2)

•

Rpta.: B

Resolución

1370° 360° 2450° 360° −3310° 360° 290° 3 •

Resolviendo 1 y 2 :

15

Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cada ángulo entre 360°: 290° 6°

290° − 10

Observamos que los residuos son iguales, luego: α, β y θ son coterminales

Rpta.: D

CAPÍTULO 6 SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176) NIVEL I

•

Nos piden: M = 3(54) –4(40) = 162 – 160

Resolución •

1

M=2

36° < > Ag

Ag = 36° ×

10g = 40g 9°

A = 40 •

Rpta.: B

De 1: Resolución

Realizando las conversiones al sistema sexagesimales: 30g ⇔ 30g ×

De 2 : B° <> 60g

2

g B° = 60 ×

9° = 54° 10g

9° = 27° 10g

180° π rad < > = 20° 9 9

B = 54 - 20 -


•

Reemplazando en la expresión pedida: E=

45° + 27° 72° = 20° 20°

E = 3,6 3

Recordemos que: S = 180k

S C R = = =k 180 200 π

→ C = 200k

π2 (2 × 200k + 180k )(2 × 200k − 180k )

π2 (580k )(220k ) 400π k

2 2

=

4

3

→

•

8

De la condición tenemos: S = 2n + 2

(x 3)  →

3S = 6n + 6

C = 3n – 4

(x 2)  →

2C = 6n – 8

S = 45°

En I se tiene que:

540R 400R − = 14 π π

n=5

140R = 14 π

Rpta.: C

R=

5

180R  S = π Sabemos que:  200R C=  π

Reemplazando en la condición dada:

π rad 10

Resolución •

Teniendo en cuenta que: S = 180K ; C = 200K , R = πK

•

Reemplazando en la condición dada: 180K 200K + = 14 6 5

20R =3 π

70K = 14 → K =

3π rad 20

 1  

R=

π rad 5

Resolución

10

6

π 180° rad < > = 3,75° = 3°45' 48 48

1 5

∴ R = π  5

Rpta.: E

Se tiene que:

Rpta.: D

9

200R 180R − =3 π π

Resolución

∴

Rpta.: B

 180R   200R  3  − 2  π  = 14  π   

Nos piden “S” , entonces:

R=

•

Sabemos que:

3S – 2C = 14 ... (I)

2

→

7

Reemplazando en la expresión a reducir tenemos:

Resolución •

S = 9n  C = 10n

Rpta.: C

E=1

(10n) + 4 =

S = 9(5) →

•

3 B=3 5

3 × 45 = 3 27 = 3 5

0

Tenemos que:

6n – 3 = 5n + 2

Resolución

A

3

E = [2R + π] = 1

Reemplazando en la condición dada: 2 (9n) − 9

•

580 × 220 400

Rpta.: A

S C = =n 9 10

•

•

2

P = 319

•

3 B= 5

S C = → 10S = 9C → 10S – 9C = 0 9 10

400 ( πk )

Resolución

A

Resolución

R = πk 

Reemplazando en la expresión pedida:

P=

Nos piden:

Rpta.: C

Resolución

P=

•

•

Rpta.: A

Calculando la suma tenemos: °  360 (360 + 1)  α=  = 64980° 2  

A = 3 A°B’ = 3°45’ →  B = 45 - 21 -

•

•

Expresamos “α” en radianes:  πrad  α = 64980° ×   = 361 πrad  180° 

∴

α = 361 πrad

 πrad  Aˆ = 60° – 12° = 48° <> 48°×  180° 

Rpta.: C

4π Aˆ = rad 15

NIVEL II Resolución •

Resolución

1

Realizando la conversión al sistema sexagesimal tenemos:

•

A + C 12 + 36 = = 1,6 B 30

Expresando la medida de los ángulos del cuadrilatero en el sistema sexagesimal tenemos:  9° 

 xπ 

•

•

•

Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos: ˆ ) + m( D ˆ ) = 360° m( Aˆ )+ m( Bˆ )+ m( C

Rpta.: C

13x + 10+ 95 475 x= 2 2

Reemplazando en la expresión a reducir:

U=

(40000K

2

)

− 32400k 2 π2

(

76 π K 2

2

)

7600K2 π2 = 100 76π2K2

Resolución •

2

Sabemos que: S = 180K C = 200K R = πK

U=

 180° 

ˆ ) =   rad· m( D  = 12x°  15   πrad 

(13x + 10)° + Resolución

Resolución •

45 (x+1)° + 90° + 12x° = 360° 2

45 45 x+ +12x = 270 2 2 → x=5

6

Trabajando en la condición:

120R + 10R = 12 + π π

3

120R + 10Rπ = (12+π)π

C + S 19 = SC 72

10R(12+π) = (12+π)π π rad 10

200K + 180K 19 = 180K·200K 72

∴ R=

380K 19 1 = → K= 36000K2 72 25

Observación:

Rpta.: E

El problema también lo podemos resolver aplicando

π 1 rad Rpta.: A =  25  25

∴ R = π

4

Rpta.: C

180R   200R  4  − 3  π  + 10R = 12 + π  π   

Rpta.: D

En la condición tenemos:

Resolución

45

ˆ ) = 90° m( C

A = 12  B = 30 C = 36 

Reemplazando en lo pedido:

5

m ( Bˆ ) = 25(x + 1)g ·  g  = (x + 1)°  10  2

13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’ A°B’C’’ = 12°30’36’’ →

Rpta.: D

m( Aˆ ) = (13x + 10)°

 9° 

13g90m<> 13,9g <> 13,9g ×  g   10 

•

Se observa que el menor ángulo es A, entonces:

el siguiente método: 4S – 3C + 10R = 12 + π

Del enunciado:

Igualamos los términos que presentan la constantes “π”

ˆ = 180° Aˆ + Bˆ + C α – 12° + α + α + 12° = 180°

10R = π

∴ α = 60°

- 22 -

→ R=

π rad 10


Resolución •

4R 9π + 12 + = 25 R π

De la propiedad de las proporciones notamos que: 2C + S 5π + 9R = 2C − S 5π − 9R

→

10  5π 2  =  9  9R

π R = rad 4

Resolución •

7

→

4R2 – 13Rπ + 9π2 = 0

2C 5π = S 9R

(R – π)(4R – 9π) = 0 Rpta.: B

8

A partir de la condición hallamos el valor de “x”: S C = 9 10

→

x 2 − 1 9x − 2 = 9 10

i)

R=π

ii)

R=

•

Nos piden el mayor valor, entonces

9(180) 9π → S= = 405° 4 4

S = 405°

10x2 – 81x + 8 = 0 1  x = 10  x = 8 

Resolución •

Resolviendo la ecuación dada tenemos:

S + 3 4 S − 18 = 0

Reemplazando tenemos:

(

S = (8)2 – 1 = 63

Resolución

→

7π R= rad 20

1

18 − S = 3 4 S

pero: x ∈ ] → x = 8

 π  R = 63    180 

Rpta.: C NIVEL PREUNIVERSITARIO

(10x – 1)(x – 8) = 0 →

•

→ S = 180°

Rpta.: B

4

S +6

)(

4

)

S −3 =0

i)

4

S = −6 ¡Absurdo!

ii)

4

S = 3 → S = 81°

9 ∴

• Analizando la figura tenemos:

 π  9π rad R = 81 =  180  20

Resolución •

Rpta.: A

2

Reemplazando los datos en la igualdad: S C 3x 2 + x − 8 2x 2 + 5x + 5 = = → 9 10 9 10

12x2 – 35X – 125 =0 −25  ¡No! x= 12  x = 5

(12X +25)(X – 5) = 0 → 

∆APQ (ángulo exterior) x = 20° + y  πrad  x – y = 20° ·    180° 

x–y=

π rad 9

Resolución

10

•

•

Reemplazando el valor de “x” se obtiene: S = 3(5)2 + (5) –8 = 72 ∴

Rpta.: D

 π  2π R = 72   = 5 rad 180 

Resolución

Elevando al cuadrado la condición tenemos:

•

2

 R π 2 +3 2  = [5] R   π  R   π  9π 4R + 2 2 = 25  3 + π  π   R  R

- 23 -

3

A partir de los datos tenemos:

Rpta.: C

•

m( Aˆ ) = m( Bˆ ) → (5x – 3)° < > (7x – 25)g

Resolución

5x − 3 7x − 25 = → x = 15 9 10

•

•

C–S–1=0

ˆ ) = 180° – 72° – 72° = 36° m( C

C–S=1

Resolución

200R 180R − =1 π π

πrad π = rad 180° 5

R=

4

β = a° θ = (a + r)° Además:

1  α + β + θ = 4 (180°)    (a – r)° +a° + (a + r)° = 45°   ∴ a = 15

0

•

20S – 9C = 180

r2 – 31r + 210 = 0

 180R   200R  20   − 9  = 180  π   π 

 r = 21 ¡No!   r = 10

→

R=

∴ α = (15 – 10)° = 5° π  πrad  rad = α = 5°×    180°  36

[1]

=1

11 = 1 ¿Correcto!

5

 x 

g

 y 

∴ 0

•

7

 a  →    60 

0

<> bg

a 60 = b → a = 54b 9 10

Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos:

•

75x 75  5  3 125 =3 − = − 4y 4  162  216 Rpta.: E

π rad Rpta.: C 10

De acuerdo al enunciado se cumple que: aI<>bg

x 5 −y x → ... (I) = =− 162 5 y 162

75x 5 =− 4y 6

R=

Resolución

y x − S C = → 3600 = 100 9 10 9 10

3

S = 18 C = 20

→ 

(20 −18 −1)

xm <> – yll →   < > −  3600   100   

∴

π 10

Comprobando en la condición del problema tenemos:

Rpta.: A


3

Analizando para el caso II : 2S C − − 1= 1 9 10

15 + r = (15 – r)2

Resolución

 S=9 →   C = 10

 2 × 9 10   9 − 10 − 1 = 1   0 0 = 1 ¡Absurdo!

a + r = (a –r)2

(r – 21)(r – 10) = 0

π 20

Pero si reemplazamos en la condición del problema se observa que:

De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ) α = (a – r)°

•

Analizando para el caso I :

m( Bˆ ) = 72°

Rpta.: B

•

I. b = 0 ∧ a ≠ 0  II. a = 1 ∧ b ∈ \

→

Luego:

ˆ ) = 36° × ∴ m( C

•

Recordemos la siguiente propiedad algebraica: ab = 1

m( Aˆ ) = (5×15–3)° = 72°

•

6

Reemplazando en la expresión pedida: E=

54b − 5b = 49 = 7 b

Resolución •

- 24 -

Rpta.: D

8

Analizando la expresión dada tenemos:


α = 14 – (x2 – 4x)

φ=

α = 18 – (x2 – 4x + 4) α = 18 – (x – 2)2 N máximo

π φ = rad 6

mínimo = 0

α máx. = 18° α máx = Resolución •

π rad 10

−60° = 30° −2

Rpta.: C

Resolución •

9

Rpta.: C

10

Aplicando el método explicado en el problema 06 tenemos:

Del gráfico se cumple que: S5 C5 5R5 + + = 2S4 + 2C4 + 2R4 36 40 N π N

a b 120° −  +  φ = 180° b a 

Términos que presentan la constante “π”

a b   b + a  φ = −60°  

Nota: a b + ≥2 b a

−60° φ= N  b máx( + ) b +  



a b + ≤ −2 b a

máx(-)

5R5 = 2R4 π

∴

R=

2π rad 5

→ 5R = 2π

Rpta.: B

CAPÍTULO 7 LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (Pág. 189, 190, 191) NIVEL I

Resolución •

Resolución •

1

2π =

L=α·r π  α = 20° < > rad 9 r = 9m

→ 

L = πm

•

L = (3x + 4)m  α = 2rad L=αr →  r = (2x + 1)m 

L=

π ×2 4

L=

π m 2

Resolución •

3x + 4 = 4x + 2 x=2

En el sector circular AOB:

Rpta.: A

3x + 4 = 2(2x + 1) ∴

π 45° < > rad 4

L AB p = (AOB × OA

2


π × 4r 4

r = 2m

π L = ·9 9

•

En el sector circular COD: LCD p = (COD × OC

Del enunciado tenemos:

Resolución

3

Rpta.: B - 25 -

OA = r = 2m Rpta.: D 4

Analizando la figura:

S1 =

α·r 2 2

i)

π L1 = ·12 = 4πm 3

2α·(2r)2 = 4αr 2 S2 = 2 •

Resolución •

ii)

Nos piden: α·r 2 S1 1 = 2 = S2 4αr 2 8

L2 = m((AOB)·OA π L2 = ·24 = 4πm 6 Nos piden:

Rpta.: E

L1 + L2 = 4π + 4π =

8πm

m((AOB)·(OA )

2

S AOB =

2

π ·(2x)2 2x 3π = 2

→ x2 – 3x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0 ¡No! →  x = 3

∴

Rpta.: C

x=3

Resolución


i)

L AB p = m ( (AOB )·OA

8

•

Del gráfico se obtiene:

i)

S1 =

ii)

S2 = S S2 =

•

L2AB (3)2 9 2 p = = m 2θ 2θ 2θ COD – S1 =

L2CD 9 p − 2θ 2θ

(5)2 9 16 2 − = m 2θ 2θ 2θ

Nos piden:

6

•

S2 = S1

16 2θ = 16 = 4 9 9 3 2θ

π L AB ·12 = 3πm p = 4

Resolución •

Segun la figura se cumple:

ii)

LCD p = m((COD)·OC

i)

L AB p = θ · OA

•

π LCD ·16 = 4πm p = 4 Luego: nos piden:

ii)

•

9

LCD p = θ · OC 4 = θ ·(OA + 2) 4 = θ·OA

+ 2θ 4 = 2 + 2θ

 3 π + 4π  S= ·4 = 14π  2   22  S = 14   = 44m2  7 

Rpta.: A

2 = θ · OA

 L p + LCD p  S =  AB ·BD 2  

Resolución

Rpta.: E

5

En el gráfico se cumple que:

Resolución

L1 = m ( (CAD )·AC

∴

θ=1

Resolución Rpta.: D

•

7

Rpta.: A

10

En el gráfico se verifica que:  L AB p + LCD p  ·AC S ABDC =  2  

Analizamos la figura:

 ( x − 1) + ( x + 1)  9= ·x 2   9 = x2 ∴

- 26 -

x=3

→ x = {–3; 3} Rpta.: D



14 = N θr + 5θ 14 = 4 + 5θ

1

θ = 2rad

• Analizando la gráfica:

•

Reemplazando en (1):

•

En el sector circular COD:

4 = 2· r → r = 2m LCD p = m((COD)·OC

LCD p = θ·(r + 3)

i)

Sector COD: 3L = α · 2r

ii)

π  Sector AOB: 2L =  − α ·r ... (2) 2 

... (1)

Dividendo m · a· m (1) : (2)

Resolución •

α=

→

3π 14

LCD p = 10m •

3L α·2r 3 2α = = →  2L  π 2 π −α  − α r 2 2  3π − 3α = 4α 2

LCD p =2(2 + 3)

Nos piden:

Resolución •

L 10m = = 5 r 2m

Rpta.: B

4

Trasladando los datos al gráfico tenemos:

B

2


ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m) ∴ m(A = m(D = 45° Asom = A

ABD – ASector BAC π

OBC: R2 = r2 + R2 •

–

r2

Además: S ABDC = S

5

2

=5

Asomb. =(4 – π)m2

COD – S

•

(

2

Rpta.: C

Resolución •

5

Analizando la gráfica:

)

2 αD

Rpta.: A

3

En el sector circular AOB: L AB p = m ( (AOB )·OA

•

4 = θ · r ........... (1) •

2

π 2 2 π R − r = (5) 5 5

S ABCD = πm2 Resolución

)

AOB

2π 2 2π 2 ·R ·r S ABCD = 5 − 5 2 2

S ABCD =

(

·2 2 Asomb. = 2 2·2 2 − 4

2

En el sector circular EOF: LEF p = m((EOF)·OE

•

Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferencia: m(BOC = 2m(BAC → m(BOC = 2α° En el sector BOC: πrad   L = 2α°· ·R 180°  

14 = θ · (r + 5)

- 27 -

L=

Resolución

απ R 90

•

90L R= πα

Resolución •

8

En la figura:

Rpta.: B 6

Sea: m(AOB = θrad ; entonces: θ=

L 8 10 → θ= = R r r+2

∴ 8r + 16 = 10r •

Del enunciado: S S

AOB 1 = →S COD 4

Resolución

COD = 4·S

AOB

L AB p ·r

→

L2 =2 L1

=

8·8 = 32m2 2

Rpta.:E

9

θ(a +1) ..... (1) 2 2

S1 =

→ L22 = 4L21

L2 = 2L1

2

• Sea : m( CoD = θ rad = θ rad; luego :

Reemplazando: L22 L2 = 4· 1 2θ 2θ

r = 8m

Luego: Asomb. =

•

→

θ (2a ) − S1 ..... ( 2 ) 2 Dato: S1 = S2 2

Rpta.: C

S2 =

θ (2a ) − S1 2 2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1) 2

Resolución •

S1 =

7

Sea: m(AOB = θrad ; luego:

2 θ (a + 1) = θ ⋅ 2a 2 2 2

a2 + 2a + 1 = 2a2 0 = a2 – 2a – 1

L AB p = θ ·1 = θm LCD p = θ · 3 = 3θm LEF p = θ · 6 = 6θm •

2± 8 2

a=

2±2 2 2

Resolución

Nos piden: S1 4θ 8 2 = =3 = S2 3 27 θ 27 3 2

a=

∴

27 2  3θ + 6θ  S2 =  ·3 = 2 θm  2 

3

2 ± 4 − 4 ( −1) 2

⇒ a=1+ 2 a = 1 + 1,41

Además:  θ + 3θ  2 S1 =  ·2 = 4θm  2 

•

a=

Rpta.:A

a = 1– 2 (absurdo)

o

a = 2,41

10

•

De acuerdo al gráfico:

i)

S1 =

ii)

S2 = S

- 28 -

αx 2 2 DOE – S

BOC

Rpta. E


S2 = •

•

αy 2 αx 2 − 2 2

Asomb. = A

De la condición: S1 = S2 αx 2 αy 2 αx 2 = − 2 2 2 2 2 2 → x =y –x x2 1 = y2 2 ∴

→

(

(

)

OBC

π 2 3 −3 2

2

)

Asomb. = 3π – 2π = πm2

2x2 = y2

Resolución

x 2 = y 2

•

2

Rpta.:D

3

En la figura se cumple que: ABDC = 5

S

Rpta.: C

 2 + LCD p   ·2 = 5 2  

NIVEL PRE-UNIVERSITARIO

•

AOB – A

π 2 3 Asomb. = 2 2

x = 0,71 y

Resolución

Además:

LCD p = 3m

1 •

Analizamos la gráfica:

Además: ABDC = S

S 5=

2 p CD

L

2θ

−

COD – S

AOB

2 p AB

L

2θ

10θ = 32 – 22 → 10θ = 5 θ = 0,5 i)

Resolución

El ∆AOC es equilátero: OA = OC = AC = 12m

•

Rpta.: E

4

Analizamos el siguiente caso general:

m(AOC = m(OAC = m(ACO = 60°

απ

Además:

Asomb. = 180

AC = AD → AD = 12m ii)

iii)

•

En el sector circular AOC: π L AC ·12 = 4πm p = 3

Asomb. =

En el sector circular CAD: π LCD ·12 = πm p = 12

• Aplicando la fórmula anterior tenemos:

Sea 2p el perímetro de la región sombreada, entonces: 2p = AD + LAC p + L CD p = 12 + 4π + π 2p = 5π + 12

Asomb. =

1·π 2 2·π 2 π 8π ·1 + ·2 = + 360 360 360 360

Asomb. =

π 2 m 40


Resolución •

Rpta.: D

2

Revisando la figura tenemos:

•

Del gráfico se obtiene que:

i)

LBC p = 2L1

ii)

S1 =

iii)

S2 = S

∆BOC: equilátero m(OBC = 60°

5

L21 2θ DOE – S L22

(2L1 )

2

S2 = 2 2θ − 2 2θ ( ) ( ) - 29 -

BOC

(R

2

2

απ 2 ·a 360

− r2

)

S2 = •

Resolución

L22 L21 − 4θ θ

•


i)

R + r = 4 ; R·r = 2

De la condición se tiene: →

S1 = S2

3L21 L22 = → 2 4

L21 L22 L21 = − 2θ 4θ θ 6L21 = L22

L1 6 6 L1 = L2 → L = 6 2

Resolución •

8

Rpta.: D

6

(R + r)2 = (4)2

En la figura se observa que:

R2 + 2Rr + r2 = 16

π  m((AOB) =  − θ  rad 2 

R2 + 2(2) + r2 = 16 R2 + r2 = 12

De la condición se tiene que:

(

π   2 − θ · 2 2   S1 = 2S2 → 2

)

π  4  − θ  = θ → 2π – 4θ = θ 2 

∴

θ=

2π 5

Resolución

S

iii)

S1 =

R2 ; 2

S3 =

πr 2 4

S2 =

πR2 ; 4

S4 =

r2 2

ABC =

2

 θ·(1)2   = 2  2 

4 2·4 2 = 16 2

ii)

•

De gráfico se observa que: Asomb. = S

Rpta.:D

ABC –(S1 + S2 + S3 + S4)  R2

7

πr 2

r2 

 R2 

π  r2  π



Asomb. = 16 –  2  1+ 2  + 2  2 + 1      

• Según el enunciado tenemos:



π   R2 + r 2    2 



π  12 



Asomb. =16 –  1+ 2  

2p = 8 a + b + 2x = 8

Asomb. = 16 –  1+    2  2 

a + b = 8 – 2x

Asomb. = 10 – 3π •

πR2

Asomb. = 16 –  2 + 4 + 4 + 2   

Rpta.: A

Además: a + b   8 − 2x  A= x → A =  2 x 2     A = 4x – x2

•

→ N A = 4 – (x – 2)2 Máx

∴

Resolución

Amáx = 4m2

9

De acuerdo a los datos: 2p =

2

L + 2r =

Mín = 0 Rpta.:D

r=

- 30 -

2 −L 2

2


•

•

Además:  2 −L  L ×   L×r 2  S= → S=  2 2 S=

2 L−L 4

2

α= L AB p =α·a →

1  2 −  L −  2 2 → S=   4

 

∴

L−

Resolución

10

2  2 

b a

2

( ) L CD p = α a+b → α =

2

→ mínimo

a2 – ab – b2 = 0

2 2 =0 → L= 2 2

Rpta.: E

a=

a=

• Analizando la figura tenemos: i) S1 =

a a+b

b a = → ab + b2 = a2 a a+b

Por condición: S → máximo Entonces:  L −

Además:

ab 2

ii) S2 =

a (a + b ) 2

−

− ( −b ) ±

( −b) − 4 (1) (−b2 ) 2 (1) 2

 1± 5  b± 5b → a =  2  b 2  

1 + 5  a  2 a 1± 5 = = → b 1 − 5 b 2 ¡No!  2

ab a2 = 2 2

• Nos piden: a2 S2 a = 2 = S1 ab b 2

∴

S2 5 +1 = S1 2

S2 >0 S1

Rpta.:B

NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204)

•

Nivel I Resolución •

Debemos calcular el número de vueltas que da la moneda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.

1

n=

Del enunciado se tiene: Longitud del tramo AB = 18π m = 1 800π cm Número de vueltas = n

longitud del tramo AB 2π ⋅ radio

1800 π cm n= 2π ⋅ 20 cm Resolución •

n=

Por teoría se sabe que:

n=

2 πr

α = 2π rad 

; donde: R = 4r

r = r 

Luego:

Radio de la rueda = 20 cm •

α (R + r )

2π rad (4r + r ) 2π rad r

Resolución

n = 5 Rpta. D

3

Del enunciado se tiene: n = 45

Rpta. C

2

Del enunciado obtenemos el siguiente gráfico con sus respectivos valores.

r Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego: *

- 31 -

Número de vueltas de B =

L 2π ⋅ radio

8= *

L 2π ( 3r )

Calculamos el número de vueltas en el tramo BC

L = 48π r

L Número de vueltas de A = 2π ⋅ radio =

Luego:

nBC =

48π r = 12 2π (2r )

 ángulo que barre    = 12(360°) = 4 320°  la rueda menor  Resolución

∴

•

•

,

Rpta. A Resolución

n1 = 12

L 2π r2

12 =

L 2π (35 cm )

Ahora calculamos el número de vueltas L = 2 640 cm

n=

La longitud que asciende el bloque es L

LT 2π r

Resolución

∴ El bloque ascenderá 26,40 m Resolución

7

 2π (1 cm )  L T = 44 cm + 3   = (44 + 2π ) cm 3  

además

n2 =

Número de vueltas en el tramo AC = 6

En la figura se observa que en cada vértice del triángulo equilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio de circunferencia. Entonces la longitud total recorrida por la rueda será:

n1 · r1 = n3 · r3 n1 = n2

nBC = 2

Rpta. A

4

n1 · 10 cm = 3 · 40 cm

2π r

π (7 cm + 1 cm ) = 2 2π (1 cm )

Además; el número de vueltas durante el tramo AC es igual a la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.

Del gráfico se obtiene: •

α (R + r )

Rpta. C

5

n=

(44 + 2π ) cm

n=8

2π cm

Rpta. E

8

De la figura se obtiene lo siguiente: •

Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación: n2r · 2r = nr · r n2r · 2r = 50 · r

Además:

1=

El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r son iguales, entonces: n2r = n3r = 25

•

Además la rueda de radio 3r es la mayor

3=

L1 = 18π cm

L2 π 2 ( 4 cm ) L2 = 24π cm

Rpta. E Resolución

x = 144 cm

Rpta. E

n=

hA L = 2π (7 cm ) 14π cm

• La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismo número de vueltas (n) • Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:

6

Calculamos el número de vueltas en el tramo AB

nAB =

9

• Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm, entonces:

x = 18π cm + 12 cm + 24π cm

Resolución

El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50π

L • n2 = 2 2π r

L1 2 π (9 cm )

Luego:

•

∴

L1 • n1 = 2π R

n2r = 25

α (R − r ) 2π r

=

n·2=N·8

π (9 cm − 1 cm ) 9 π (1 cm )

hA ⋅ 2 = N⋅ 8 14π

nAB = 4

- 32 -

,

donde N es el número de vueltas de la rueda de 8 cm de radio

N=

hA 56π

. . . (1)


• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetros son iguales, entonces:

Ahora calculamos el número de vueltas

n=

h N = B . . . (2) 6π

hB N= 2π (3 cm )

hA 28 = hB 3

Resolución Datos de la radio =

rueda:

a

long. de recorrido =

bπ

Datos de la 2a rueda: n° de vueltas = N radio =

b

long. de recorrido =

a b

1 2n

N=

La segunda rueda debe dar

•

540° equivalente a una vuelta y media, n =

•

Calculamos la longitud recorrida

•

Resolución

11

n=

L2r = 4πr

n=

L , pero L = L2r = 4πr 2π ⋅ r 4π r n= 2π r = 2

n=

Resolución

12

Rpta. E

14

α (R − r ) 2π r

2π ( 5r − r ) 2π r

Calculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r.

La moneda de radio r da 2 vueltas

L = 3π

Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio del tubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da el cilindro.

Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r de radio (L2r)

∴

3 2


d = 9π2 + 4 cm

1 vueltas 4n

Nivel II

L2r = 2π(2r)

Rpta. B

13

L = 2π r n

1 1  1 = 2  2n  4n

Rpta. D

Resolución

37 144

bπ b =  n= 2π a 2 a   a 1  =  b 2n

  aπ a =  N= 2π b 2 b  aπ 

es equivalente a

∴

Resolución

n=

Graficando tenemos:

n° de vueltas de = n

Pero

Rpta. A

10 1a

2π R

37π (5r ) n = 90 2 π (4r )

• Igualando (1) y (2) se obtiene:

hA h = B 56π 6π

α (R + r )

Resolución

n=4

Rpta. B

15

Se sabe que:

L 2π radio L 1= 2π ⋅ b nb =

Rpta. B

L = 2π b

Además en la pista circular se tiene:

Graficando tenemos:

L1 72° < > 2p 5

a

- 33 -

a

donde: L1 =

2π ⋅a 5

Pero:

L = L1

2πb =

2π a 5

a =5 b Resolución

Resolución

18

Graficando tenemos: Rpta. E

16

M

Tenemos: 1a rueda:

2a rueda:

radio = a n° de vueltas = n longitud = A

A n= 2π a

3a rueda:

radio = b n° de vueltas = N longitud = A

A N= 2π b

radio = x n° de vueltas = n – N longitud = A

A n−N = 2π x

•

Calculamos la distancia recorrida distancia = θ · 1 = θ

•

En el

Luego:

A A A − = 2π a 2π b 2π x

•

1 1 1 − = a b x

ab x= b−a

PMO se tiene:

PM = sen(θ – 90°)

PM = –cosθ

MO = cos(θ – 90°)

MO = senθ

Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces

Rpta. C ∴

x = θ – cos(θ – 90°)

x = θ – secθ

y = 1 + cos(θ – 90°)

y = 1 – secθ

Las coordenadas de P son (θ – senθ; 1 – cosθ) Rpta. C

Resolución Resolución

19

Del enunciado se tiene:

17

• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta • Calculamos el número de vueltas de la rueda menor

L 2 π (50 cm )

n=

n=

L 100π cm

• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor

N=

L 2π (70 cm )

N=

Donde r =

L 140π cm

R+r=R+

L L − = 20 100π cm 140 π cm

L = 220 m

)

2 −1 R =

2R

 3π   α (R + r )   2 ⋅ 2R  n = 2  = 2   2π r   2π 2 − 1 R   

(

L = 7 000π cm m

(

Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es:

L(40π cm) = 20 · 100π cm · 140π cm

L=

)

2 −1 R

Además:

• Del enunciado se tiene:

 22  70  7   

(

n=

Rpta. D

- 34 -

3 2 2 2 −2

)

n se aproxima a 5

Rpta. D


Resolución

Además para que el material llegue al piso 12, el material debe recorrer 11y, luego

20

Sean:

840π cm = 11y

x = número de pisos del edificio.

240 cm = y

y = distancia entre cada piso. Luego:

Luego:

x · y = 48 m

x · y = 48 m x · 2,4 m = 48 m

Calculamos la distancia que sube el material

x = 20

L n= 2π radio 21 =

∴

L 2π (20 cm )

El edificio tiene 20 pisos

Rpta. C

L = 840π cm

CAPÍTULO 8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I. (Pág. 225, 226, 227) NIVEL I

Resolución •

1

•

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Nos piden: M=

(a + 1)2 = (a – 1)2 + (4)2

12 5 − → 13 13

M=

7 13

Rpta.: C

a2 + 2a + 1 = a2 – 2a + 1 + 16

•

4a = 16 → a = 4

Resolución

En la figura:

•


i)

AB2 = 132 – 52

E=

3 5 + 4 4

E=2

Resolución •

2

Rpta.: A

AB = 12 ii)

AM = MB = 6

•

Nos piden:

Del dato se tiene: Cotg A =

3

5 6 E= 5 → 12

5 → C. A 12 → C . O

- 35 -

E = 2 Rpta.: A

Resolución

•

4

•

En la figura se tiene:

i)

AC2

ii)

=

152

+

Nos piden: x 40° = y 10°

82

AC = 17

Resolución

NC2 = 62 + 82

•

Nos piden:

191 17 8 − csc β − tgβ 8 .15 191 = 8 15 = P= = 15 10 5 ctgβ − sec α 75 − 8 8 8

Resolución •


i)

CD2 = 252 – 152

ii)

AB → AB = a· ctgα a

ii)

AHB: cos α =

x x → cos α = AB a·ctgα

•

CD = 20

10

Del gráfico se obtiene: AB → AB = a·ctgθ a

ii)

DBC: tgθ =

BD → BD = a·tgθ a

x = AB – BD = actgθ – atgθ ∴ x = a(ctgθ − tgθ)

3

7 20 + 25 25 = 3 27 = 3 5 125 5


Q = 0,6 Rpta.: E Resolución

1

• Del dato tenemos: senA · SenB =

6

De acuerdo a las R.T. de ángulos complementarios se cumple que:

a b 4 · = c c 9

(4x + 12°) + (3x + 8°) = 90° 7x = 70° →

a·b =

x = 10° Rpta.: C •

Resolución •

De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que: 2x + 17° = x + 34°

Resolución De 1 :

E=

Rpta.: D ∴

8 x + y + 40° = 90°

b a b2 + a 2 + → E= a b ab c2 4 2 c 9

Resolución

x – y = 30° .... 4

•

De 2 :

•

Resolviendo 3 y 4 : x + y = 50° x – y = 30°

    

x = 40° y = 10°

- 36 -

→ E=

E = 1,5

x + y = 50° ... 3 •

4 2 c 9

Nos piden: E=

7

x = 17°

•

Rpta.: E

Nos piden: Q=

•

Rpta.: D

ABC: ctgθ =

BC = 7 •

x = acosα ctgα

i)

iii)

BC2 = 252 – 242

9

ABC: ctgα =

Resolución

5

Rpta.: D

i)

∴

P = 2,5 Rpta.: D

x =4 y

A partir del gráfico se tiene:

NC = 10 •

→

2

En la figura:

9 3 = 4 2

Rpta.: D

4 9


(2a)2 + 22 =

13

Resolución

2

•

4a2 = 9 a=

•

3 2

Resolución •

En el numerador aplicamos las propiedades de las R.T. de ángulos complementarios: K=

Nos piden: tgα =

4 2 → tgα = 3 3 2

cos65° + ctg55° + csc66° cos65° + ctg55° + csc66°

x=1

Rpta.: D

Resolución

3

•

6

Rpta.: D 7

De acuerdo a los datos:

Revisando la figura:

→ cos θ =

12a 13a

→ AB2 = (13a)2 – (12a)2 AB = 5a •

CM: mediana

Además: 2p = 90 5a + 12a + 13a = 90 → a = 3

•

AM = BM = CM

Nos piden: AC = 13a = 13(3) AC = 39

∴ ∆BMC : Isósceles •

En el

ACB :

Resolución •

ctgθ =

1 2

Resolución Rpta.: C

•

Rpta.: C

8

Del dato se cumple que: cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1

sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1

4

De acuerdo a los datos tenemos:

→

90° – 2x + θ = x + 3θ 3x + 2θ = 90°

AC2 = (3a)2 – (a)2

∴ sen 3x = cos 2θ sen 3x – cos 2θ = 0

AC = 2 2 a

•

•

P=

Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces: tgθ =

2 2a → a

•

sen3x − cos 2θ 0 = tg(x + θ) tg(x + θ)

P=0

Rpta.: A

tgθ = 2 2

Rpta.: B Resolución


Resolución •

9


5

Aplicando las propiedades respectivas tenemos: W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70°

W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20°

1 1 W= 1

Rpta.: B

i)

ABC: ctgα =

ii)

ABM: tgθ =

- 37 -

BC → BC = a· ctgα a

BM → BM = a · tgθ a

•

Además: BC = BM + MC

3

22

a · ctgα = a · tgθ + a

sec θ

= 22

3 sec θ = 2 2

→

ctgα = tgθ + 1 ctgα – tgθ = 1

Secθ =

M=1 Resolución •

Rpta.: C •

10

4 3

Nos piden: 2

 7  4  E = 9  − 7  =7−4 3  7  

Revisando la figura:

E=3

Rpta.: C

Resolución

BAF: ctgθ =

ii)

AB = CD → CD = ctgθ

iii)

CDF: tg2θ =

3 → tg2θ · ctgθ = 3 ctgθ

W=3

Rpta.: D

NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución •

•

De acuerdo a los datos tenemos:

i)

cos θ =

AB → AB = ctgθ 1

i)

∴

ii)

AC2 = 522 – 202 AC = 48

•

En el

BCD:

θ 48 → tg θ = 2 ... 1 tg = 2 52 + 20 2 3

De los datos se tiene: a = b

5 CD 5 = → 13 52 13

∴ CD = 20

1

→

3

3− b c

θ 20 tg = ... 2 2 48 − x

c a

•

Igualamos 1 y 2 : 2 20 = → 48 – x = 30 3 48 − x

a c  3a − c  = · b b  a 

x = 18

Rpta.: E

a2 = 3ac – c2 a2 + c2 = 3ac •

Nos piden:

•

4


a c a 2 + c2 U= + → U= c a ac

i) c2 = a2 + b2 ... 1

3ac U= → ac

ii)

Resolución •

Resolución

U=3

Rpta.: B

c2 =

2

De la condición tenemos: 1

22

sec θ

=

c2 13 = ab 6

2

2 →2 2sec θ

1 sec θ 2

•

Igualamos 1 y 2 : a2 + b 2 =

⋅ 2 sec θ = 2 2

- 38 -

13 ab 6

13 ab ... 2 6


6a2 – 13ab + 6b2 = 0

ODC: cos θ =

(2a – 3b)(3a – 2b) = 0 a

3

=  2a – 3b = 0 → b 2   a 2   3a – 2b = 0 → b = 3

•

S = 1 + cosθ [1 + cosθ + cos2θ + ... ] S S = 1 + cosθ · S → S[1 – cosθ] = 1

a <1 b

S=

a b

Además: tgA = 2 ∴ tgA = 3

Resolución

Nos piden: S = 1 + cosθ + cos2 θ + cos3θ + ...

Sea A el menor ángulo, entonces a
•

•

OD → OD = cos3θ cos2 θ

1 1− cos θ

Resolución •

Rpta.: C

7

En el gráfico se tiene: CBD : tgθ =

5

Rpta.: B

BD 1

→ BD = tgθ

1 1 → tgθ = 4 + tgθ 4 + BD tg2θ + 4tgθ = 1

ABC: tgθ =

Del gráfico tenemos:

tg2θ + 4tgθ + 4 = 1 + 4 (tgθ + 2)2 = 5

Rpta.: C E= 5

tgθ =

3 3a = 7 7a

BH = 3a →  CH = 7a

Resolución •

8


BHC:

• En el

(

(3a)2 + (7a)2 = 10 58

)

2

58a2 = 100 · 58 a = 10 •

En el

AHB:

AH = 86 – 7(10) = 16 BH = 3(10) = 30 AB = •

162 + 302 = 34

En el

Nos piden: M=

16 34 50 + = 30 30 30

M=

5 3

Resolución

3 2 EPF : ctgα = 7 2 ctgα =

Rpta.: E

Resolución •

6

De la figura se tiene: OBA: cos θ =

OB → OB = cosθ 1

OCB: cos θ =

OC → OC = cos2θ cos θ

- 39 -

3 7

9


Rpta.: E

Luego trazamos BH

i) OB = OC → R = r 2 + r → R – r = r 2 ii)

O1NB: ctgθ =

BN r 2 = O1N r

•

cos α =

Rpta.: A

ctgθ = 2 Resolución

OHB: senα =

i)

BHC: ctgβ =

ii)

10

Trabajando la figura:

OC, entonces se cumple que:

BH → BH = 12senα 12 OH → OH = 12 cosα 12

HC HC → ctgβ = 12senα BH

HC = 12senα · ctgβ Además: OH + HC = OC, reemplazando: 12cosα + 12senα ctgβ = 13 Dividendo entre “senα” 12cos α 12senα·ctgβ 13 + = senα senα senα

12ctgα + 12ctgβ = 13cscα

En el

OAC : OC2 = 122 + 52

OC = 13

12 =

13csc α − 12ctgβ ctgα

∴

P = 12

Rpta.: C

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244)

(

NIVEL I Resolución •

M=2

1

Reemplazando los valores notables:

Resolución •

2  1 A = 4   + (1) = 3 2

) ( 3)

M= 2− 3 +

Rpta.: B 4

Analizando la figura tenemos:

B = 2 2·2 = 2

∴ A+B=5 Resolución

Rpta.: C

2

De la condición: 1

. [tgα ]ctgα = [2]2 → tgα = 2

Resolución •

MBC : ctgα =

 5 5 E = 2    1   2 

Resolución

E=5

•

Rpta.: E

3

5

A partir del gráfico tenemos: CDA: sen 45° =

CD 2 → CD = b ... 1 b 2

CDB: sen 37° =

3 CD → CD = a ... 2 5 a

Del dato se cumple que: (5x + 8°) + (2x – 2°) = 90° 7x = 84° → x = 12°

•

3k 3 → ctgα = 2k 2


•

Igualamos 1 y 2 : b 3 2 2 3 = · b= a → a 5 2 2 5

M = tg15° + tg60°

- 40 -

Rpta.: C


b 3 2 = a 5

Resolución •

Resolución

Rpta.: C 6

•

Del gráfico se tiene:

i)

ABC: sec37° =

Sean BP = BQ = x ; luego: ii)

38 + x 24 38 + x = → 4+x 7 4+x

ABC: tg74° =

iii)

PQ PBQ: sec 45° = → PQ = 10 2 x

AC  5 → AC = 12   = 15 12 4 AD AC

( 2 ) = 15

ADE : sec30° =

2 AE AD

2 3

Rpta.: E Resolución

ACD: sec45° = → AD = 15

96 + 24x = 266 + 7x → x = 10

•

10

→ AE = 15 2  3   

7

AE = 10 6

Recordemos que: tg75° = 2 + 3

Rpta.: A

ctg75° = 2– 3 P=2+

NIVEL II

→ P=4

3 + 2– 3

Rpta.: B Resolución •

Resolución •

8

1

Analizamos el gráfico:


PHC: sen37° =

PH 3 → PH = 10   = 6 10  5

PHA: csc30° =

PA → PA = 6(2) = 12 6

∴ PA = 12 Resolución

AHB: cos60° =

BH  1 → BH = 8   = 4 8 2

AHC: cos37° =

HC 4 → HC = 10   = 8 10  5

∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8 BC = 12

Rpta.: A

Resolución

9

• Analizando la figura:

B

•

Rpta.: A

2

De los datos tenemos: i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1 3α = 90° – 2β 3α + 2β = 90° ... 1 ii) cos2α · sec(3β – 5°) = 1 2α = 3β – 5° 2α – 3β = –5 ... 2

i)

∆ABC: equilátero

ii)

Trazamos PH

•

•

(× 3) 9α + 6β = 270° 3α + 2β = 90°   → (× 2) 2α – 3β = –5   → 4α – 6β = –10°

AC

13α = 260°

PHC: Notable (30° y 60°) PC = 2 ; PH =

•

AHP: tgθ =

3 5

Resolviendo 1 y 2 :

α = 20°

3 ; HC = 1

En 1 : 3(20°) + 2β = 90°

Rpta.: D

β = 15°

- 41 -

•

iii) 4a + 3a = 28 → a = 4

Reemplazamos en lo pedido: 1 +1 4

N = sen230° + tg245° = N = 1,25

∴ CD = 5(4) → Resolución

Rpta.: E

•

Resolución •

Rpta.: A

6

Analizamos la gráfica

3

Reemplazando los valores notables tenemos:  1 x  +1 5  2 =  1 4 x  −1 2

→

x+2 5 = x−2 4

4x + 8 = 5x – 10 → Resolución •

CD = 20

x = 18

Rpta.: D

4

i)


BHP: senθ = cos θ =

ii) iii)

PH → PH = x·senθ x BH → BH = x·cosθ x

PHA: AH = PH → AH = x·senθ Luego: AH + BH = AB xsenθ + xcosθ = a x=

i) Trazamos: OT

Rpta.. B

AC

OTA es notable (45° y 45°)

ii) El

a senθ + cos θ

Entonces OT = 1 → OA =

2

Resolución •

7


iii) AB = OA + OB AB =

2 +1

iv) BC = AB BC =

2 +1

Rpta.: B 3K

Resolución •

5

4K

Analizamos la figura: •

PBQ notable (37° y 53°): PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K

•

En el

DAQ:

tg37° =

a 3 a → = a + 4K 4 a + 4K

3a + 12K= 4a → a = 12K

Sea: CD = 5a, entonces: i)

•

CED notable(37°; 53°) tgα =

CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a ii)

En el

DEB Notable (45°; 45°)

ABP: 3K 3K 1 = = a 12K 4

tgα = 0,25

DE = 3a; EB = 3a

- 42 -

Rpta.: E


Resolución •

8

•

En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°), entonces asignamos valores convenientes a sus lados:

En el ctgθ =

AQP: 3 +1 3+ 3 → ctgθ = 3 3

Rpta.: D NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución •

•

Trazamos MP

1


AC , entonces:

HP = PC = 8 •

APM: ctgθ =

En el

Resolución •

6 17

Rpta.: A

9

En la figura elegimos convenientemente AM = MC = 5 2

i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces HT

BT (propiedad)

ii) Trazamos TP

AH , entonces:

TPH es notable (37°; 53°) sea: PH = 3 ; PT = 4; TH = 5 •

4 2 BRM: senα = BM BQM: csc β = •

BTH: sec37° =

BM 5

BHC: tg37° =

Reemplazando en lo pedido: P = 5·

4 2 BM · BM 5

P=4 2 Resolución •

Además se cumple:

TPC: ctgα =

BH  5  25 → BH = 5   = 5 4 4

25  3  75 HC → HC =   = 4  4  16 25 4

75 123 16 → ctgα = 64 4

3+

Rpta.: A


10

En la figura se observa que el 60°) , entonces tenemos:

PQC es notable (30° y

•

- 43 -

2

En la figura el DAE es notable (37°; 53°), entonces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16 ; AE = 12; DE = 20

•

En el tgθ =

•

32 → tgθ = 32 1

Resolución •

Resolución

DCF: Rpta.: D

5

Se observa que: sen62° = cos28° Además: cos45° =

2 , luego: 2

tg (3x − 20° )·cos28°

3


2 · cos28° ·

2 · ctg (5x + 30°) 2

=1

tg (3x − 20° )

Simplificando: ctg (5x + 30° ) = 1 tg(3x – 20°) = ctg(5x + 30°) (3x – 20°) + (5x + 30°) = 90° 8x + 10° = 90° → x = 10° • i)

AB  4  12 ABC: sen53° = → AB = 3a   = a 3a  5 5

ii)

AHD: sen37° = cos37° =

Resolución

4 5

•

Rpta.: D 6


12 4 8 a− a= a 5 5 5

3 a HD BHD: tgα = → tgα = 5 HB 8 a 5

tgα = Resolución •

E=0

→ AH = a

iii) HB = AB – AH → HB =

iv)

E = sen40°

– cos50° E = cos50° – cos50°

HD 3 → HD = a a 5

AH a


3 8

Rpta.: C

4


i)

ACB: ctgα =

a b

ii)

PQB: ctgα =

a BQ → BQ = · x b x

iii)

BQ + QC = BC → a+b x =a  b 

∴ PC =

i)

Resolución

BQP Notable (37°; 53°)

•

a x+x=a b

→ x=

2ab a+b

ab a+b

Rpta.: B

7


BQ = 4a ; PQ = 3a ; BP = 5a ii) iii)

PQC Notable(45°; 45°) PQ = QC = 3a

AB = 15 + 20

BQ + QC = BC → 4a + 3a = 7 a=1

AB = 35

∴ BP = 5a = 5(1) → BP = 5

Rpta.: A Rpta.: B

- 44 -


Resolución •

8

•


En el

MHP:

PH = a 3 – a = a

(

)

3 −1

MH = a ∴ ctgθ =

PH a = MH

(

)

3 −1 a

Rpta.: A

ctgθ = 3 − 1

i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos convenientemente los lados: AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2 ii) En el

Resolución •

10

En la figura se observa:

ABC (45°; 45°):

AC = 4 2 → AB = BC = 4 iii) En el

CED(45°; 45°)

CD = 3 2 → CE = ED = 3 iv) En el

BED:

4+3 7 ctgθ = → ctgθ = 3 3

ii) ∆ ABM: Equilátero

Rpta.: C

Resolución •

ABC : AM = MC = BM = 2a

i)

MPC: Notable(30° y 60°)

iii)

9

MC = 2a → MP = a ; PC = a 3

En el gráfico se tiene:

•

• OP = OA = OB

NPC:

En el

(

i) NC2 = (2a ) + a 3 2

OP = 2a • NP2 = (2a)2 – (a2)

ii) cos α =

NP = a 3

∴

)

2

→ NC = 7a

NP 2a → cos α = NC 7a

7 cos α = 2

Rpta.: B

ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252)

Nivel I Resolución

1

De los datos mencionados:

Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°) por paralelas BD = AE = H Ahora:

BCD: ( Resolución)

CD = Htgθ finalmente:

x = H – Htgθ ∴

H

- 45 -

x = H(1–tgθ)

Rpta. D

Resolución

2

ABC

AB = 6Hcotgα

ABD

AB = 7Htgα

. . . (1) . . . (2)

Igualamos: (1) y (2) 7Htgα = 6Hcotα

 1    tgα 

7tgα = 6 

∴ de la figura: AE = H –

(

H− 3

Resolución

)

7 6

Rpta. D

5 En 12h < > 180° 1h < > 15°

H− 3 8+ H− 3

(

Resolución

3 3) 3

(30° y 60°)REA: tg30° =

8+ H− 3

cotgα =

6 7

3

PEA(30° y 60°): PE = (H –

3 = 3

tgα =

)

H=5 3 m

3 3

de 4 a 6 pm

3 3

θ = 30° Rpta. B

3

Graficando:

HOJ (Notable de 30° y 60°) ADC: DC = Hcotg37° BDA: BD = Hcotg45°

Lsombra = Resolución

3

( 3)

∴

Lsombra = 3 m

Rpta. C

6

Piden cotgα = ? luego: DC = BD + 80 Reemplazando: Hcotg37° = Hcotg45° + 80

BCD: (Not de 45° y 45°) CD = 10

4  = H(1) + 80 3

H

4 H – H = 80 3 ∴ Resolución

H = 80 3

H = 240 m

ACD: cotgα =

Rpta. D

4

∴ Resolución

D

90°-a a

a C

6H

7H

a A

6Hcotga

B

- 46 -

7

5 0 2 + 10 10 cotgα = 5 2 +1

Rpta. E


de la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos: Ahora en

ABC: tgθ =

AHC:

x H

ABD = tgθ =

x = Htgθ ...(1)

H x +H

tgθ(x + H) = H ...(2)

Reemplazando (1) en (2) tgθ(Htgθ + H) = H tgθ2 + tgθ – 1 = 0 Resolviendo mediante la fórmula general tenemos: Triángulos rectángulos notables de 30° y 60° x=

 1 17 cos60°   2

∴

x=

17 m 4

tgθ =

Rpta. C ∴

Resolución

−1 + 1 + 4 2

tgθ =

8

5 −1 2

Rpta. E

Del enunciado:

Nivel II Resolución

1

ABD: AB = H ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 = H 3– 9 3= H ∴

H=

Resolución

9 2

(

)

3 +1

H 3 3 BFD: BF = 1,5cotg27°

Rpta. E

BFC: CF = 1,5cotg27°tg53°

9

CF =

4 3 (1,95)   2 3

CF = 3,9 m

Longitud del poste = CF + FD BDC: DC = dcotgθ

∴

BDE: ED = dtgθ piden: EC = ED + DC

Resolución

Resolución

2

Dato: cotgθ =

12 5

entonces:

∴

EC = d(tgθ + cotgθ)

Longitud del poste = 5,4 m

Rpta. C

Rpta. C

10 B q

90 - q

q

de 45° y 45° 50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260senθ

H

A

x

 12   5  + 3K = 4K + 260     13   13 

50 + 260 

q C

H

50 + 240 + 3K = 4K + 100

D

- 47 -

K = 190 . . . (1)

piden:

H = 4K + 260senθ De (1)

Reemplazando:

 5    13 

H = 4(190) + 260  Resolución

∴

H = 860 m

Rpta. B

h csc θ − 1

R=

reemplazando en (2)

x=

3 Resolución

H-h

a

b (H-h)cotgb

otga

Rpta. C

6

De las condiciones tenemos:

h h

hsec θ csc θ − 1

)c (H-h

B

A

de la figura se nota que: α = β Ahora del dato: tgα + tgβ = n N

tgα n tgα = 2 π p piden longitud de AB = (H – h)cotα 2

Resolución

AHB (Not. de 45° ): AH = 24

*

BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° ) x = AH + HC

H−h 2 π (H – h) = π  n 2  n 

∴

*

∴

Rpta. A Resolución

4 a

Del enunciado:

x = 56 m

Rpta. A

7

( 2 - 1)tgq

a a

atgq q

45°

a 2tgq

cotα = 3 cotβ = 4

a

q a 2

t En el triángulo pintado tenemos:

a tgα =

(

)

2 − 1 tgθ a

∴ tgα =

(

Hallamos AD

)

2 − 1 tgθ

AD = AB – DB; aplicando resolución

Rpta. C

AD = 24cotβ – 24cotα reemplazando

Resolución

5

AD = 24 (4) – 24(3)

Del enunciado del problema graficamos:

pero e AD = V · t

Se nota OPQ: cscθ =

R+h R

h = R(cscθ – 1) . . . (1) OPT: secθ =

AD = 24 m

24 = V x 0,8 piden en Km/h:

x R

∴

x = Rsecθ . . . (2) - 48 -

V = 30 m/s

V=

30 m 1Km 3 60 0 s x x 1h s 1000 m

V = 108

Km h

Rpta. A


Resolución

(Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10

8

(Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3 Finalmente: AOB: Teorema de Pitágoras

(

x2 = 102 + 10 3 ∴ ABC(Not de 45°): AB = BC = 28

Resolución

pero RC = AB (por paralelas)

2

x = 20 m

Rpta. B

10

De la figura: AB = AC

PRC:

Ahora

)

PR = 21 m luego:

x = PR + RA ∴

Resolución

x = 21 + 28

x = 49 m

9

Rpta. B

C

N

10

W

10

O 45°

S

10 3 30°

B

( ∆ ABC: isósceles)

E

Además: ∆ ACD: isósceles AC = CD = d

x

PCD: PC = dtgθ

Finalmente:

A

Rpta. C

ÁNGULOS HORIZONTALES (Pág. 258) Resolución

1

Resolución

Del enunciado:

Del enunciado:

PQR: Teorema de Pitágoras

Del gráfico: ∆ PQR: equilátero PQ = PR = QR = 150 km ∴

Distancia de Q a R = 150 km

2

d2 = 962 + 282 ∴

Rpta. A - 49 -

d = 100 m

Rpta. B

Resolución

De la figura:

3

∆NHP: isósceles

NH = HP = d

Luego: NP = 2dcos20° = 74cos20° d = 37 km

PMJ:

Ahora:

Teorema de Pitágoras: d = 37 km = V · t =

x2 = 1002 + 2402 ∴ Resolución

x = 260 m

Rpta. C

∴

4

Resolución

185 km ·t h

t=

t = 12 min

1 60 min h= 5 5

Rpta. C

6

tgα = 3 7 8

3 7

a 1

De la figura

ADB: (Not. de 30° y 60°) AHB: Teorema de Pitágoras:

BD = H 3 ADE: (Not. de 45° y 45°) DE = H

602

Finalmente: Teorema de Pitágoras en

(H 3 )

2

+ (H) + = 24 2

4H2 = 242 Resolución

BDE

2 d   3d 7   + + d  =  8   8  

Luego la altura de la torre es:

2

d = 40

H = 40 3 m

H = 12 m

Rpta. D

Resolución

7

N

5

10 km

O

(

S 40 km

38 °

20 °

Q

N

d

40 km

km 37°

10 km O

R Punto de E Partida (Roberto)

58 °

58° 12°

50

)

M

40 km S

Juana punto de llegada E

N 30 km

P

d

Rpta. B

2

20° 12°

S

S

RSM: Teorema de Pitágoras: d2 = 402 + 402

- 50 -

∴

d = 40 2 km

Rpta. B


Resolución

8 ∆RBB’: Isósceles BB’ = RB = 200 m RFB: (Notable de 30° y 60°) d = 100 m

Rpta. A

CAPÍTULO 9 ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL (Pág. 275; 276; 277; 278) Resolución

NIVEL I

• Resolución •

y=3

x = –2 y=1

•

r=

( −2)2 + (1)2 =

1 5

·

−2 5

x = –7 y = –24

→

r=

M = –2 Rpta.: D

Resolución •

•

( −7 )2 + ( −24 )2 = 25

Nos piden:  3  25   −4  25  E = 8    + 7   −   5  −24   5  7 

2


E = –5 + 20

x = –3 y = –1 r=

( −4)2 + (3)2 = 5

ii) Para “β”

5

Nos piden: M=5

Para“α” x = –4


r=

En la figura se observa: i)

1

3

Resolución 2

2

( −3) + ( −1) = 10

•

→

E = 15

Rpta.: D

4

Del gráfico se tiene: (-5)2 + (y)2 = (13)2 ; y > 0

•

Nos piden: 10 csc θ = −1

y = 12 → csc θ = − 10 Rpta.: A

- 51 -

∴ tgα =

−12 y tgα = → 5 x

Rpta.: B

Resolución •

5

Resolución

Según los datos tenemos:

•

8

Analizando los términos de la expresión dada tenemos: 160° ∈ Q2 → sen160° : (+) 230° ∈ Q3 → cos230° : (–)

 x = −2  r = 13  y = − 13 

(

•

)

2

: (–)

80° ∈ Q1 → ctg80°

: (+)

200° ∈ Q3 → sec200° : (–) 2

− (−2) = −3

300° ∈ Q4 → csc300° : (–) •

Nos piden: 2

Reemplazando tenemos: B=

 13   −3  N = 4  + 9 = 6 + 13  −3  2 −    

N = 19

350° ∈ Q4 → tg350°

( + )(− )(− ) = (+ ) ( + )(− )(− ) (+ )

Rpta.: C

Resolución

6

•

9

De acuerdo al dato:

Del dato tenemos: cos α = ±

θ ∈ Q3 →

3 9 → cos α = ; α ∈ Q4 5 25

•

Cosθ = (–) tgθ = (+)

Reemplazando en lo pedido: E = (–) – (+) = (–)

Resolución x = 3  r = 5  2 2  y = − 5 − 3 = −4

•

B = (+) Rpta.: A

Resolución

•

→

•

Rpta.: C

10

Recordemos que:

Nos piden: A=

3 5 2 − = −4 −4 4

→

A = 0,5

Rpta.: E

∴ Tienen signos diferentes en el: Q2 y Q4 Rpta.: E

Resolución

7 NIVEL II

•

De acuerdo a los datos: α ∈ Q2

Resolución

senα : (+) →  cos α : (−)

•

 tgβ : (+) β ∈ Q3 →  ctgβ : (+)

•


E=

(+ ) + (+ ) = (+ ) (− )·(+ ) (− ) → E = (–)

Rpta.: B

- 52 -

1

Del dato tenemos:


Resolución

 x = 60   y = −11  r = (60 )2 + ( −11)2 = 61 

•

•

2

2

 tgθ + 1 = [3]2  

−11 61 + 60 60

→ K=

5 6

•

Finalmente:

2

Del dato tenemos: tgθ = 2 =

− 2 ; θ ∈ Q3 −1

 x = −1   y = −8  r = ( −1)2 + ( −8 )2 = 65 

 x = −1  y = − 2  r = ( −1)2 + − 2 2 = 3 

Resolución

Nos piden:

•

(

•

sec θ =

)

M = 2secθ · cscθ + 3 3 senθ

M= 3 2 −3 2 → Resolución

M=0

65 → −1

sec θ = − 65

Rpta.: D

5

Factorizando la expresión dada: (5senα + 4)(5senα – 3) = 0

 3  3  − 2 M = 2 +3 3  −1   − 2   3      

•

→ tgθ + 1 = 9

tgθ = 8 ; θ ∈ Q3

Rpta.: E •

Resolución

De la condición:  1+ tgθ + 1  = [2]2 → 1+ tgθ + 1 = 4  

Nos piden: K=

4

4  5senα + 4 = 0 → senα = − 5  5senα − 3 = 0 → senα = 3  5

Rpta.: C

Pero: α ∈ Q2 → senα =

3

3 5

A partir del gráfico se tiene: i) Para “α”: x=7 y = 24 r = 72 + 242 = 25

ii) Para “β”: x = –12 y = –5 r=

•

• 2

( −12)

+ ( −5) = 13

Nos piden:  25  13 R = 2  +  24  −12

Nos piden:

2

→

R=1 Rpta.: A - 53 -

M=

3  4  3 −−  + −  5  5  4

M=

13 20

→

M = 0,65

Rpta.: B

Resolución •

6

A partir del dato tenemos: ctgθ

[tgθ]

= [2]

1 2

senα =

tgθ = 2 →  1 ctgθ = 2 

•

− 2 3

senβ = −

6 3

senθ = −

6 3

=−

6 3

Nos piden: G= −

 6  6 6 + 2 −  + 3 −  3  3   3 

→

G = −2 6 Rpta.: B

Resolución •

Nos piden:  −2  −1  P = 10     5  5 

Resolución •

→

P=4

10

•


•

Nos piden:

Rpta.: B

7

De los datos tenemos: senα < 0 → senα : (–) → α ∈ Q3 ; Q4 secα > 0 → secα : (+) → α ∈ Q1 ; Q4 ∴ α∈Q4

•

Nos piden: E=

(+ ) − (− ) = (+ ) ( − )·( − ) ( + ) →

Resolución •

−3   −1 E= −  10 10  

E = (+)

Resolución

secθ = (–)

•

tgθ = (+)

(–) – (+) = (–)

•

•

4 10

Rpta.: D

1

De los datos tenemos: tgθ < 0 → tgθ : (–)

Reemplazando en lo pedido

Resolución

→α E =

NIVEL PREUNIVERSITARIO

8

De acuerdo al dato: θ ∈Q3

E = 0,4

Rpta.: A

2

secθ = 4 → secθ : (+) Rpta.: C

  

θ∈Q4

9

Del dato tenemos: R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)

•

Además:

• →

α∈Q1 , Q3

sec β = − 3 →

β∈Q2 , Q3

tgα = 2

∴

Nos piden:  − 15   1  A = 16   4   4    A = − 15

α ; β y θ ∈ Q3 - 54 -

Rpta.: D


Resolución •

2

•

De la condición:  1 2 2 

ctgα+1

ctgα+1 2

= [2 ] → [2 ]

ctgα + 1 =3 2

3

Nos piden: csc α =

5 2 5 2 = a + 4 −3 + 4

csc α = 5 2

3

= [2 ]

Resolución

→ ctgα = 5 ; α∈Q3

•

Rpta.: E

5

Analizando la expresión tenemos: 1 − cos α ≥ 0 → senφ < 0

∴

φ ∈ Q3 y Q4

Resolución • •

r=

Rpta.: B •

Resolución •

r= N

Del dato tenemos:

•

–1 < cosθ < 0

–1 < senθ < 0

1 < 2+cosθ < 2

•

2

2< 2–senθ < 3

Resolución

+

Luego:

• →

R = (–)

Nos piden:  2  2  E=  1   −1  →   

0 < –senθ < 1

+

Resolución

)

∴ a = 0 →  y = −1 

Además:

( + )·( − ) = ( − ) (+ ) (+ )

(

2 a2 + 1 → rmin = x = 1

 θ∈Q3

R=

2a2 + 2

mín

tgθ : (+) 

•

(a + 1)2 + (a − 1)2 =

Por condición r es minímo:

3

secθ : (–)  •


y=a–1

26 −1

csc α = − 26

6

x=a+1

Nos piden: csc α =

Rpta.: B

Rpta.: B

E = –2

Rpta.: C

7

Analizamos la figura para calcular las coordenadas de los puntos M y N:

4

En la figura se cumple:

(

(2a –1)2+ (a + 4)2 = 5 2

)

2

5a2 + 4a + 17 = 50 5a2 + 4a – 33 = 0 (5a – 11)(a + 3) = 0 11  5a − 11 = 0 → a = →  5 a + 3 = 0 → a = −3  Pero: 2a – 1< 0 → a < ∴

1 2

•

 3   −5 

Nos piden: k =  ·   −3   −1  k = –5

a = –3 - 55 -

Rpta.: B

Resolución •

•

Tg4θ – 7tg2θ + 1 = 0 tg2θ =

7 ± 49 − 4 2

tg2θ =

14 ± 2 45 4

tgθ =

14 ± 2 9 ⋅ 5 4

tgθ = –

1 2

(

9± 5

(

)

1 3± 5 tgθ = – 2

(

)

5

-2

cos β =

b

1 5

1 •

Nos piden: cosθ · cosβ cos θ ⋅ cos β = −

Nos piden: E=

•

8

Resolución

)

1 2 3± 5 − 2 3± 5

1 8

1

⋅

5

=−

1 40

− 10 20

=

Rpta.: C

10

Q(-14;4) 2 53

Solución 1 4 3+ 5 2 5+3 5 − = 2 3+ 5 3+ 5

 5 + 3 5  3 − 5  E1 =   3 + 5   3 − 5  =   

•

• •

5

ctg

3− 5 2 5−3 5 − =− 2 3− 5 3− 5

 5 − 3 5  3 + 5  E2 = −  =− − 5  3 − 5   3 + 5    

(

E2 = 5

Resolución

tg

)

φ 1 = = 2 tg φ 2

P(-8;15)

⇒

17

senθ + senθ = θ senθ = 0 (NO) senθ + senθ = 0 θ toma cualquier valor

Hacemos tgθ = 7 θ∈ IIIC 1 cos θ = − 8 Luego: 7 − tgθ + tgθ − 7 = tgβ + 2

7− 7 + tgβ = –2

B(6;7)

7

Sen2θ + Senθ = 0

II) senθ < 0 ⇒

•

Rpta.: C

11

Senθ + Senθ = 0

•

2 53 − 7

y’

9

I) senθ > 0

53 − 7 2

1 = 2 53 − 7

4 φ = = 2 2 53 − 14

Resolución

Rpta.: C

(6;0)

P y Q puntos simétricos: Nos piden:

Solución 2 E2 =

•

-14

15

4

a= 4

E1 =

3

A(2;3)

60° 4

C

q 120° -8 8

7

•

o

4 2

∆ABC equilátero: a = 4 P(–2a;4a – 1) = (–8;15)

1

•

Nos piden: E = senθ · cosθ

7 − 7 = tgβ + 2

E=

- 56 -

15 −8 ⋅ = 17 17

−120 289

Rpta.: C

6

x’

MATEMATICA 5° SECUNDARIA COVEÑAS SOLUCIONARIO

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