KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil ‘alamin, segala puja dan puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah Allah !T, !T, karena karena atas limpah limpahan an rahmat rahmat dan karuni karunia"Ny a"Nyalah alah makalah makalah ini dapat dapat kami kami selesaikan# $an shala%at beriring salam buat junjungan alam, nabi besar &uhammad A!, karena atas perjuangan perjuangan beliaulah beliaulah yang telah mengenal dan menghantarka menghantarkan n kepada kepada kita akan kebenaran hakiki le%at risalah ilaihi yang diba%anya, buat kemaslahatan hidup kita di dunia dan di akhirat nantinya, amin yaa robbal ‘alamin# 'cap 'capan an teri terima ma kasi kasih h yang ang tak tak terh terhin ingg gga, a, kami kami ucap ucapka kan n kepa kepada da
(bu (bu Anita nita
Nasution,&#Pd# selaku $osen pembina mata kuliah Teori Teori )ilangan pada *K(P &atematika semester + # alam dan doa dari kami, semoga Allah !T senantiasa membalas semua amal dan kebaikan ibu, dengan balasan kebaikan kebai kan yang dilipat gandakan, Amin yaa robbal ‘alamin# -ika dalam penyusunan, pembuatan, ataupun dalam penulisan makalah ini terdapat kesalahan atau kekeliruan, maka kami dari T(& Penyusun .kelompok (/0 memohon maa1 yang sebesar"besarnya, untuk itu kritik dan saran yang membangun dari semua pihak sangat kami perlukan demi kesempurnaan makalah ini#
Rantauprapat, 2 April +342 !assalam, T(& Penyusun
)A) ( PEN$A5'6'AN
4#4 6atar )elakang Pada perkuliah"perkuliahan sebelumnya, kita telah membahas tentang induksi matematik 7 teorema binomial, keterbagian, basis bilangan bulat, dan 1aktorisasi bilangan bulat, maka untuk kesempatan kali ini kami dari kelompok (( akan melanjutkan pembahasan mengenai 8 $E*EN(( $AN (*AT KEK9NGR'ENAN8 &enurut ukirman .+33:0 konsep si1at"si1at keterbagian dapat dipelajari lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan# &emang kekongruenan merupakan cara lain untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan bulat# $emi memenuhi tugas kelompok, dan untuk kelancaran proses diskusi kelompok mata kuliah ini, maka kami dari kelompok (/ menyiapkan bahan diskusi, berupa makalah yang kami persembahkan ini#
4#+ Tujuan Penulisan 4# 'ntuk mendeskripsikan uraian materi atau bahan diskusi kelompok pada mata Kuliah Teori )ilangan +# 'ntuk &emenuhi Tugas selaku Kelompok ; pada mata Kuliah Teori )ilangan#
4#< &an1aat=Kontribusi Penulisan 4# )agi mahasis%a pada umumnya, dan Tim penyusun .kelompok ;0 pada khususnya, untuk menambah %a%asan tentang konsep"konsep Teori )ilangan terutama pada materi yang akan dibahas# +# )agi peserta diskusi, ebagai bahan $iskusi Kelompok pada mata Kuliah Teori )ilangan,
)A) (( PE&)A5AAN >$E*EN(( $AN (*AT KEK9NGR'ENAN8
$E*EN(( :#4? -ika m suatu bilangan bulat positi1, maka a kongruen dengan b modulo m @ditulis a b.mod m0B, bila m membagi .a"b0# -ika m tidak membagi .a"b0 maka dikatakan bah%a a tidak kongruen dengan b modulo m @ditulis a b .mod m0B# Contoh ? +: 4 mod D sebab .a"b0 terbagi oleh m, .+:"40 +D terbagi oleh D# Contoh ? <3 + mod F sebab .a"b0 terbagi oleh m, .<3"+0 + terbagi oleh F#
Teorema :#4# a b .mod m0bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a mk H b#
)ukti? a b .mod m0 akan ditunjukkan bah%a a mk H b $ari de1enisi 4 diatas didapat bah%a ? a b .mod m0, bila dan hanya bila mI.a"b0# Karena mI.a"b0, maka m J 3 karena mI.a"b0, maka ada bilangan bulat k, sehingga .a"b0 mk .lihat teorema +#4 hal#<<0
Contoh ? -ika +: D .mod F0 maka ada bilangan bulat k <# yaitu +:"D Fk +4 F#< -adi a b .mod m0, bila dan hanya bila a"b mk, untuk setiap bilangan bulat k# Karena a"b mk sama artinya dengan a mk H b, Atau dengan kata lain?
a b .mod m0 bila dan hanya bila a mk H b# Contoh ? +: D .mod F0, sama artinya dengan +: F#< H D, dimana k <
Contoh ? +3 + .mod L0, sama artinya dengan +3 L#+ H +, dimana k +
Teorema :#+# etiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 3,4,+,<,###,.m" 40#
)ukti ? Kita telah mempelajari bah%a jika a dan m bilangan" bilangan bulat, dan m J 3, menurut algoritma pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai ?
a mM H r, dengan 3 r O m
(ni berarti bah%a a"r mM, yaitu a r .mod m0# Karena 3 r O m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu ? 3,4,+,<,###,.m"40# -adi setiap bilangan bulat akan kongruen dengan m dengan tepat satu diantara 3,4,+,<,###,.m"40#
Contoh ? +F r .mod 20, tentukan r, jika 3 r O 2# -a%ab Karena 3 r O 2, maka pilihan untuk r tepat satu diantara 3,4,+,<,D,:,2# aitu <#
$E*EN(( :#+? -ika a r .mod m0 dengan 3 r O m, maka r disebut residu terkecil dari a modulo
m# 'ntuk kekongruenan residu terkecil ini, Q3,4,+,<,###,.m"40 disebut himpunan residu terkecil modulo m#
Contoh ? Residu terkecil dari F4 modulo + adalah 4, sebab sisa dari F4?+ adalah 4# Contoh ? Residu terkecil dari F4 modulo < adalah +, sebab sisa dari F4?< adalah +# Contoh ? Residu terkecil dari .":<0 modulo 43 adalah F, sebab sisa dari .":<0?43 adalah F .ingat residu terkecil dari suatu bilangan adalah bilangan bulat positi10# Contoh Residu terkecil dari
Contoh ? 5impunan residu terkecil dari modulo : adalah Q3#4,+,<,D# 5impunan residu terkecil dari modulo L adalah Q3#4,+,<,###,L# 5impunan residu terkecil dari modulo +D adalah Q3#4,+,<,###,+<#
Kita dapat melihat relasi kekongruenan itu dengan cara yang lain, seperti teorema berikut ini?
Teorema :#< a b .mod m0 bila dan hanya bila a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m#
)ukti ? Akan dibuktikan dari dua sisi, Pertama,
jika a b .mod m0, maka akan ditunjukkan bah%a a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m# Karena a b .mod m0, maka a r .mod m0 dan b r .mod m0, dengan r adalah residu terkecil modulo m atau 3 r O m# elanjutnya, a r .mod m0, berarti a mM H r, dan b r .mod m0, berarti b mt H r, untuk suatu bilangan bulat M dan t, sehingga menurut teorema +#+ hal#
Kedua, jika a dan b memiliki sisa yang sama, maka akan dirunjukkan a b .mod m0# &isalkan? a memiliki sisa r jika dibagi m, berarti a mM H r, dan b memiliki sisa r jika dibagi m, berarti b mt H r, untuk suatu bilangan bulat M dan t, dari kedua persamaan ini diperoleh ? .a"b0 .mM mt0 H .r"r0 .a"b0 m.M t0 Karena M dan t adalah suatu bilangan bulat, maka .M"t0 adalah suatu bilangan bulat, menurut teorema +#4 hal#<< berarti bah%a ? mI.a"b0 atau a b .mod m0# .TerbuktiS0 &enurut teorema"teorema terdahulu, ungkapan"ungkapan berikut mempunyai arti yang sama, yaitu ? 4# n F.mod 0 +# n F H k <# n dibagi bersisa F# $E*EN(( :#< 5impunan bilangan bulat Qr 4, r +, r <,###, r m disebut sistim residu lengkap modulo m, bila setiap elemennya kongruen modulo m, dengan satu dan hanya satu dari 3,4,+,###,.m"40#
Contoh ? 5impunan QD:,"L,4+,"++,+D adalah sistim residu lengkap dari modulo :, dapat diperiksa bah%a ? D: 3.mod :0
"L 4.mod :0 4+ +.mod :0 +< <.mod :0 +D D.mod :0
Contoh ? 5impunan Q3,4,+,<,D merupakan sistim residu lengkap modulo :, sekaligus sebagai himpunan residu terkecil modulo :# Contoh ? 5impunan QD,<,+,4,3 merupakan suatu sistim residu lengkap modulo :# Contoh ? 5impunan Q:,44,2,4,,4: bukan merupan sistim tersidu lengkap modulo 2,sebab : 44 .mod 20 yang dua"duanya berada dalam himpunan tersebut#
>RE6A( EK'(;A6EN(8
Apakah relasi Kekongruenan &odulo suatu bilangan bulat merupakan relasi ekuiUalensi atau tidak V 'ntuk menja%ab pertanyaan diatas, simaklah uraian"uraian berikutS Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positi1 adalah relasi antara bilangan" bilangan bulat# suatu relasi disebut relasi ekuiUalensi jika relasi itu memiliki si1at re1lekti1, simetris, dan transiti1# ekarang akan ditunjukkan bah%a relasi kekongruenan itu merupakan relasi ekuiUalensi#
Perhatikan S -ika m, a, b, dan c adalah bilangan"bilangan bulat dengan m positi1, maka ? a# a a .mod m0, si1at re1lekti1 b# -ika a b .mod m0, maka b a .mod m0, si1at simetris# c# -ika a b .mod m0 dan b c .mod m0, maka a c .mod m0, si1at transiti1#
)ukti ? a# Karena a"a 3#m, maka a a .mod m0# b# -ika a b .mod m0, maka a"b k#m, sehingga b"a ."k0#m, yang berarti bah%a b a .mod m0#
c# a b .mod m0, berarti a"b p#m b c .mod m0, berarti b"c M#m untuk suatu bilangan bulat p dan M, jika kedua persamaan tersebut kita jumlahkan, maka diperoleh? a"c .pHM0#m karena p dan M adalah bilangan"bilangan bulat, maka .p H M0 bilangan bulat, sehingga a c .mod m0#
Karena relasi >8 .kekongruenan0 pada himpunan bilangan bulat memenuhi ketiga si1at tersebut, yaitu re1lekti, simetris, dan transiti1, maka relasi >8 .kekongruenan0 pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi ekuiUalensi# .terbuktiS0# Karena relasi kekongruenan pada bilangan bulat merupakan relasi ekuiUalensi, maka akibatnya himpunan bilangan bulat pada kongruen modulo m ini terpartisi menjadi himpunan"himpunan bagian yang setiap himpunan bagian disebut kelas#
Contoh ? &isalnya kita memperhatikan himpunan bilangan bulat dengan relasi kekongruenan modulo :, maka dengan relasi ini himpunan bagian bilangan bulat terpatisi .terbagi menjadi himpunan"himpunan bagian yang saling asing, dan gabungannya sama dengan himpunan bilangan bulat0 menjadi : kelas, yaitu ? @3B Q###,"43,":,3,:,43,### @4B Q###,"L,"D,4,2,44,#### @+B Q###,","<,+,F,4+,#### @
Keterangan ? Pemberian nama untuk suatu kelas menggunakan nama salah satu anggota kelas tersebut, yang dibubuhi tanda >garis diatasnya8, atau dengan menggunakan tanda >kurung persegi8, seperti contoh diatas#
Relasi kekongruenan mempunyai kemiripan si1at dengan persamaan, sebab relasi kekongruenan dapat dinyatakan sebagai persamaan, yaitu a b .mod m0 sama artinya dengan a b H km, untuk suatu bilangan bulat k# &isalnya ? 4# -ika a b .mod m0, maka .a H c0 .b H c0 .mod m0, untuk setiap bilangan bulat c# +# -ika a b .mod m0, maka ac bc .mod m0, untuk setiap bilangan bulat c#
)ukti ? 4# -ika a b .mod m0, berarti a"b p#m, atau a pm H b, untuk setiap bilangan bulat p, selanjutnya, jika masing"masing ruas ditambahkan dengan bilangan bulat c, maka diperoleh ? a H c pm H b H c atau, .a H c0 " .b H c0 p#m ang berarti bah%a? .a H c0 .b H c0 .mod m0#######.Terbukti S0
Contoh ? -ika 4: < .mod D0, maka ? U 4F : .mod D0, sebab 4: H + 4F, dan < H + : U +4 L .mod D0, sebab 4: H 2 +4, dan < H 2 L U 442 43D .mod D0, sebab 4: H 434 442, dan < H 434 43D# U $an seterusnya#
+# -ika a b .mod m0, berarti a"b p#m untuk setiap bilangan bulat p selanjutnya, jika masing"masing ruas dikalikan dengan bilangan bulat c, maka diperoleh ? c.a " b0 c#p#m atau,
ac bc cp#m karena c dan p masing"masing adalah bilangan bulat, maka c#p juga merupakan suatu bilangan bulat, sehingga diperoleh bah%a ? ac bc .mod m0####.Terbukti S0
contoh ? -ika 43 + .mod D0, &aka ? U :3 43 .mod D0, ebab 43#: :3, dan +#: 43 U 4+3 +D .mod D0, ebab 43#4+ 4+3, dam +#4+ +D U $an seterusnya#
Teorema :#D? -ika a b .mod m0, dan c d .mod m0, maka . a H c0 .b H d0 .mod m0#
)ukti ? -ika a b .mod m0, dan c d .mod m0, akan dibuktikan bah%a . a H c0 .b H d0 .mod m0# Kareana a b .mod m0, berarti a s#m H b, untuk suatu bilangan bulat s# Karena c d .mod m0, berarti c t#m H d, untuk suatu bilangan bulat s# -ika kedua persamaan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh bah%a ? .a H c0 .sm H tm0 H .b H d0 .a H c0 m.s H t0 H .b H d0 .a H c0 " .b H d0 m#.s H t0 5al ini berarti bah%a ? a H c0 .b H d0 .mod m0 .TerbuktiS0 Contoh ?-ika +3 + .mod 20, dan +: 4 .mod 20, maka D: < .mod 20, sebab +3 H +: D:, dan + H 4 <#
Teorema :#: -ika a b .mod m0, dan c d .mod m0, maka aW H cy bW H dy .mod m0, untuk setiap bilangan bulat W dan y#
)ukti ? a b .mod m0, berarti a m#s H b,untuk suatu bilangan bulat s# c d .mod m0, berarti c m#t H d, untuk suatu bilagan bulat t# -ika kedua ruas persamaan pertama dikalikan dengan W, dan kedua ruas persamaan kedua dikalikan dengan y, maka diperoleh ? aW msW H bW cy mty H dy
$engan menjumlahkan kedua persamaan ini, maka diperoleh bah%a ? aW H cy .msW H mty0 H .bW H dy0 aW H cy m.sW H ty0 H .bW H dy0 .aW H cy0 " .bW H dy0 m.sW H ty0
persamaan terakhir ini berarti bah%a ? m I .aW H cy0 " .bW H dy0 sehingga ? .aW H cy0 .bW H dy0 .mod m0# .Terbukti S0
Contoh ? -ika +4 4 .mod D0, dan 42 + .mod F0, maka .+4#< H 42#D0 .4#< H +#D0 .mod F0 .2< H 2<0 .< H 0 .mod F0 4+2 44 .mod F0#
>(*AT KANE6A( .PENG5AP'AN08
Pada persamaan = kesamaan bilangan bulat berlaku si1at kaselasi .penghapusan0, yaitu ? &isalkan a,b,dan c bilangan bulat, jika ab ac, dengan a X 3, maka b c#
Contoh ? -ika <#W <#2, maka W 2
Apakakah pada kekongruenan berlaku si1at yang mirip dengan si1at kaselasi .penghapusan0 tersebut V &isalkan ? jika ab ac .mod m0, dengan a X 3 apakah b c .mod m0 V ambil sebuah contoh ? +D 4+ .mod D0 <# <#D .mod D0 D .mod D0 Akan tetepi, bagaimana dengan contoh berikut ? +D 4+ .mod D0 +#4+ +#2 .mod D0 Apakah 4+ 2 .mod D0V -elas tidak, karena D tidak membagi .4+ 20
$ari kedua contoh diatas, dapat disimpulkan bah%a %alaupun si1at kaselasi .penghapusan0 tidak berlaku sepenuhnya pada relasi kekongruenan, tetapi akan berlaku jika memenuhi syarat seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut ?
Teorema :#2? -ika ac bc .mod m0, dengan .c,m0 4, , maka a b .mod m0# )ukti ? -ika ac bc .mod m0, dengan .c,m0 4, , akan dibuktikan bah%a a b .mod m0# -ika ac bc .mod m0, berarti m I .ac bc0, atau m I c.a b0# Karena m I c.a b0, dengan .c,m0 4, maka m I .a b0 5al ini berarti bah%a a b .mod m0# .Terbukti S0 Contoh ? -ika +#4 D#4 .mod 40, maka + D .mod 40 Contoh ? Tentukan bilangan"bilangan bulat y yang memenuhi perkongruenan
elanjutnya karena .<,F0 4, maka kita dapat membagi < pada ruas"ruas perkongruenan tersebut, ehingga diperoleh ? y : .mod F0 berarti? y : H Fk untuk setiap bilangan bulat k, atau dapat dikatakan bah%a himpunan penyelesaian dari pengkongruenan tersebut adalah Q: H Fk Ik bilangan bulat k#
Kita dapat menghapus .melenyapkan0 suatu 1aktor dari suatu kekongruenan, jika 1aktor tersebut dan bilangan modulonya saling prima, sebaliknya jika 1aktor dan bilangan modulonya tidak saling prima, maka kita harus mengganti bilangan modulonya seperti tampak dalam teorema berikut ?
Teorema :#F? -ika ac bc .mod m0 dengan .c,m0 d,maka a b .mod m=d0#
)ukti ? ac bc .mod m0 berarti m I .ac bc0 atau mI c.a b0, maka m=d I c=d .a"b0# Karena d *P) dari c dan m, maka m=d dan c=d adalah bilangan"bilangan bulat# Karena .c,m0 d, maka .c=d , m=d0 4# Karena .c=d , m=d0 4, dan m=d I c=d .a"b0,maka ? m=d I.a"b0 berarti a b .mod m=d0 .Terbukti S0 Contoh ? Tentukan W yang memenuhi +W D .mod 20
-a%ab +W +#+ .mod 20, karena .+,20 +, maka ? W + .mod <0 atau, W
$A*TAR P'TAKA
ukirman#+332# Pengantar Teori Bilangan#5anggar KeratonYogyakarta# 6imbong,A# $an Prijono,A#+332# Matematika Diskrit #C;#)udi 'tomoY)andung# etia%an,T,)#Stuktur Aljabar #totobaraZ1kip#unej#ac#id0
