KUIS I M.Kuliah Waktu Wa ktu 1A. Soal:
: Te Teori ori Bilangan : 40 menit
Buktikan bahwa n 2 ≤ 2n, untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.
Jawab:
Bukti: Misalkan P(n) ≡ n2 ≤ 2n. i. P (4) ≡ 42 ≤ 24 16 ≤ 16, maka P (4) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan bilangan asli k ≥ 4 aitu, P (k) ≡ k2 ≤ 2k harus !itun"ukkan bahwa P (k#1) benar aitu, ⟺
P (k#1) ≡ (k#1)2 ≤ 2 (k#1). $al ini !apat !itun"ukkan sebagai berikut: (k#1)2 % k2#2k#1 & k2# k2 & 2k2≤ 2k. 2 & 2k2≤ 2k#1 (k#1)2 ≤ 2k#1 'a!i, P (k#1) benar. elan"utna !ari langkahlangkah i !an ii !apat !isimpulkan bahwa n 2 ≤ 2n, untuk setiap bilangan asli n ≥ 4. 1B. Soal: Buktikan bahwa: n * # 2n habis !ibagi *, untuk setiap n bilangan bil angan bulat p+siti. Jawab:
Bukti: Misalkan P(n) ≡ n*#2n habis !ibagi *, untuk setiap n bilangan bulat p+siti. i. -ang -angka kahh 1: 1: unt untuk uk n%1 n%1 mak makaa P(1 P(1)) ≡ 1 *#2.1 % P(1) ≡ * habis !ibagi *, P(1) benar. ii. -angkah -angkah 2: sums sumsikan ikan P(k) P(k) benar untuk untuk suatu suatu bilangan bilangan asli k / 1 aitu, P (k) ≡ k* # 2k habis !ibagi *, untuk setiap k bilangan bulat p+siti benar. $arus !itun"ukkan bahwa P(k#1) benar aitu, P(k#1) ≡ (k#1)* # 2(k#1) habis !ibagi *, untuk setiap k bilangan bulat p+siti. $al ini !apat !itun"ukkan sebagai berikut: * 0 k* # 2k * 0 k* # 2k # *(k 2 # k# 1) (Bilangan kelipatan *) ⟺
⟺
* 0 k* # 2k #*k2#*k #*
⟺
* 0 k* #*k2 # *k #1#2k #2
1
⟺
* 0 (k* #*k2 # *k #1) #2(k #1)
⟺
* 0 (k#1)* #2(k #1).
'a!i, P (k#1) benar. elan"utna !ari langkahlangkah i !an ii !apat !isimpulkan bahwa n * # 2n habis !ibagi *, untuk setiap n bilangan bulat p+siti. A. Soal: Buktikan bahwa "ika a 0 (b1) maka a 0 Jawab:
(b 4 1).
Bukti: $al ini !apat !itun"ukkan sebagai berikut: a 0 (b1) a 0 (b1)(b#1)(b2#1) (bilangan kelipatan (b1)) ⟹ a 0 (b1) (b*#1) ⟹
⟹
a 0 (b41) terbukti.
aitu bahwa "ika a 0 (b1) maka a 0 (b 4 1). B. Soal: Buktikan bahwa: n 3 n Jawab:
habis !ibagi +leh untuk n bilangan sli.
Bukti: Misalkan P(n) ≡ n n habis !ibagi , untuk setiap n bilangan asli. i. P(1) ≡ 1 1 % 11 % habis !ibagi +leh , maka P(1) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k / 1 aitu, P(k) ≡ k k habis !ibagi , untuk setiap k bilangan bulat p+siti. harus !itun"ukkan bahwa P(k#1) benar aitu, P(k#1) ≡ (k#1) (k#1) habis !ibagi , untuk setiap k bilangan bulat p+siti. $al ini !apat !itun"ukkan sebagai berikut: 0 k k ⟹ 0 k k # (k4 #2k*#2k2#k) #11 (bilangan kelipatan ) ⟹
* 0 k # k4 #1k* #1k2#k #1 k 1
⟹
* 0
⟹
* 0 (k#1)2 3 (k#1)
(k#1)2
(k#1)
'a!i, P(k#1) benar. elan"utna !ari langkahlangkah i !an ii !apat !isimpulkan bahwa n n habis !ibagi , untuk setiap n bilangan bulat p+siti. !A. Soal: Buktikan bahwa hasil kali !ua bilangan bulat
2
berurutan habis !ibagi !ua.
Jawab:
Bukti: Misalkan Misalkan P(n) ≡ n(n 3 1) atau P(n) ≡ (n2 3 n) habis !ibagi 2, untuk setiap n bilangan asli. i. P(1) ≡ 12 1 % 11 % habis !ibagi +leh 2, maka P(1) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k / 1 aitu, P(k) ≡ k2 k habis !ibagi 2, untuk setiap k bilangan bulat p+siti. $arus !itun"ukkan bahwa P(k#1) benar aitu, P(k#1) ≡ (k#1)2 (k#1) habis !ibagi 2, untuk setiap k bilangan bulat p+siti. $al ini !apat !itun"ukkan sebagai berikut: 2 0 k2 k 2 0 k2 k # 2k 1 #1 (bilangan kelipatan 2) ⟹
⟹
2 0 k2 #2k #1 k 1
⟹
* 0 (k#1)2
⟹
* 0 (k#1)2 3 (k#1)
(k#1)
'a!i, P(k#1) benar. elan"utna !ari langkahlangkah i !an ii !apat !isimpulkan bahwa n 2 n habis !ibagi 2, untuk setiap n bilangan bulat p+siti. !B. Soal: Buktikan bahwa hasil kali tiga Jawab:
bilangan bulat berurutan habis !ibagi tiga
Bukti: Misalkan P(n) ≡ (n 3 1).n.(n#1) atau P(n) ≡ (n* 3 n) habis !ibagi *, untuk setiap n bilangan asli. i. P(1) ≡ 1* 1 % 11 % habis !ibagi +leh *, maka P(1) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k / 1 aitu, P (k) ≡ k* k habis !ibagi *, untuk setiap k bilangan bulat p+siti. harus !itun"ukkan bahwa P(k#1) benar aitu, P (k#1) ≡ (k#1)* (k#1) habis !ibagi *, untuk setiap k bilangan bulat p+siti. $al ini !apat !itun"ukkan sebagai berikut: * 0 k* k * 0 k* k # *(k2 # k) 1 #1 (bilangan kelipatan *) ⟹
⟹
* 0 k* #*k2 #*k #1 k 1
*
⟹
* 0 (k#1)* (k#1)
⟹
* 0 (k#1)* 3 (k#1)
'a!i, P(k#1) benar. elan"utna !ari langkahlangkah i !an ii !apat !isimpulkan bahwa n * n habis !ibagi *, untuk setiap n bilangan bulat p+siti. 4A. Soal: Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku :
1 1.2
1
+
2.*
+
1 *.4
+
n
1
... +
=
n( n + 1)
n +1
Jawab:
1
≡ 1.2
+
1 2.*
+
1 *.4
+
... +
1 n( n + 1)
n =
n +1
Misalkan P(n) -angkah 1 : 5un"ukkan bahwa P(1) benar 1
1
=
1(1 + 1)
1 2
2 +1
=
1 2
benar Maka P(1) benar -angkah 2 : iasumsikan P(k) benar untuk setiap bilangan asli k, aitu: 1
≡ 1.2
+
1 2.*
+
1 *.4
+
... +
k
1 k ( k + 1)
=
k + 1
P(k) benar kan !ibuktikan bahwa P(k#1) benar, aitu: 1
≡ 1.2
+
1 2.*
+
1 *.4
+
... +
1
k ( k + 1)
P(k#1) k
≡
k + 1
+
1 (k + 1)(k + 2)
=
k ( k + 1)(k + 2) + ( k + 1)
≡
( k + 1)(k + 1)(k + 2)
=
4
+
1 k + 1( k +
2)
=
k + 1 k + 2
benar
≡
≡
(k 2
k )(k +
+
2) + (k + 1)
=
(k + 1)(k + 1)(k + 2)
(k *
+
2k 2
+
k
2
+
2k + k + 1)
=
(k + 1)(k + 1)(k + 2) (k *
+
*k 2
+
*k + 1)
≡ (k + 1)(k + 1)(k + 2)
( k + 1)(k + 1)(k + 1)
≡ (k + 1)(k + 1)(k + 2)
=
=
(k + 1) ( k + 2)
'a!i P(k#1 ) Benar. ari langkah 1 !an 2 !isimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
4B. Soal: Buktikan bahwa Jawab:
1 * # 2* # ** #7# n* % 8 n2 (n # 1)2 untuk n bilangan sli
9ita menggunakan prinsip in!uksi matematika untuk membuktikan bahwa 3
1
3
2
3
+ 2 + 3 + … +n =
2 2 n ( n +1 )
untuk semua n
4
3
1
=
1
2
N
ϵ
2
( 1+ 1 )
i.
-angkah 1: ntuk n%1, kita puna
ii.
-angkah 2: ekarang asumsikan untuk suatu m 3
3
2
3
P ( m) ≡ 1 +2 + 3 +… + m =
. benar.
4
N
ϵ
.
m2 ( m + 1 )2 4
maka 3
1
3
2
3
3
+ 2 + 3 + … + m +( m+ 1 ) =
m2( m+1 )2 4
¿
m2 ( m + 1 )2 4
3
+( m+ 1) +
4
3
(m+ 1) 4
¿
m2 ( m + 1 )2 + 4 ( m + 1 )( m+ 1 )2 4 2
2
(m + 1) ( m + 4 m+ 4 ) ¿ 4
2
2
(m + 1) (m + 2 ) ¿ 4
ehingga ber!asarkan prinsip in!uksi matematik, klaim kita terbukti.
6
KUIS II
M.9uliah ;aktu
: 5e+ri Bilangan : 4 menit
1A. Soal: Buktikan bahwa:
'ika p !an r bilangan sli !engan p / r maka (p, r1) # (p, r) % (p # 1, r).
Jawab:
Bukti: r
'ika p !an a!alah bilanganbilangan asli !engan p / r, maka:
( − )+( )=( + ) p
r
p r
1
p
1
r
Bukti:
(−)() p
r
1
+ p = r
p! p! + ( p −r + 1 ) ! ( r −1) ( p −r ) ! r !
engan menamakan penebut, an mengingat: (p r#1)< % (p#1 3 r)< % (p 3 r)< (p #1 r). p−r
¿
p −r + 1 ! (¿) ( r − 1 ) !
¿
( )()
p + p = p ! ¿ r −1 r
p −r
¿ p −r + 1 ! (¿) ( r −1 ) ! r ¿ p!r ¿ ¿ p −r
¿ p −r + 1 ¿ p ! r + p ! ( p −r + 1 ) ¿ ¿
=
p −r
¿ p−r + 1 ¿ p ! ( r + p − r + 1 ) ¿ ¿ ¿
p ! ( p + 1 ) ( p + 1 −r ) ! r!
¿
( p + 1 ) ! ( p + 1 −r ) ! r !
( )
¿ p + 1 r
ehingga:
( − )+( )=( + ) terbukti. p
r
1
p r
p
1
r
1B. Soal: Buktikan te+rema Bin+mial< Jawab: Teorema Binomial:
()() () ()
()
()
( 1 + a )n= n + n a + n a + n a + … + n ak + …+ n a n 2
0
1
2
3
k
3
n
ntuk setiap bilangan asli n. Bukti:
9ita buktikan !engan in!uksi matematik. n
=
1
1
maka ( 1 + a ) =
()()=+ 1
+
1
a
, benar.
ii. iasumsikan bahwa pernataan benar untuk
n =m
i. ntuk
0
1
( )( ) ( ) ( )
a
1
()
, aitu:
()
( 1 + a )m = m + m a + m a + m a +… + m a k + … + m am 2
0
1
2
3
k
3
elan"utna akan !itun"ukkan benar untuk n =m+ 1 >
m
( 1 + a ) m + = ( 1 + a )m ( 1 + a ) 1
[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]
¿ m + m a + m a + m a + … + m ak +… + m a m +(1 + a ) 2
0
1
2
3
k
3
m
¿ m + m a + m a + …+ m am + m a + m a + … + m am + 2
0
1
2
m
2
( ) [( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
0
¿ m + m + m a + m + m a2 + … + 0
0
1
1
( ) ( ) ( )
2
m
1
[ ( ) ( )] ( )
m + m m+ m a a m −1 m m
( ) ( )
¿ k + 1 + k + 1 a + k + 1 a + … + m+ 1 ak + m + 1 a m+ 0 1 1 k m +1 2
1
m +1
1
ari langkahlangkah 1 !an 2 !apat !isimpulkan bahwa te+rema terbukti benar untuk setiap bilangan asli n.
?
. A1 Soal:
Benar atau salah pernataan berikut ini, "ika benar buktikan, "ika salah beri @+nt+h penangkalna: 'ika (a,b) % (a,@) maka Aa,b % Aa,@.
Jawab: alah.
C+nt+h: (*,) % (*,=) % 1, tetapi A*, D A*,=, aitu: A*, % 1 !an A*,= % 21. Benar atau salah pernataan berikut ini, "ika benar buktikan, "ika salah beri @+nt+h penangkalna: (a, b) 0 Aa, b. Jawab: Benar.
. A Soal:
Misalkan (a, b) % ! maka !0a !an !0b !an karena a0 Aa, b maka !0Aa,b. 'a!i (a, b)0 Aa, b. . B1 Soal: Benar atau salah pernataan berikut ini,
"ika benar buktikan, "ika salah beri @+nt+h penangkalna: B1. (a,b) % Aa,b "ika !an hana "ika a % b. Jawab: Benar. Misalkan (a, b) % t maka t0a !an t0b. karena (a, b) % Aa, b, maka Aa, b % t, sehingga a0t !an b0t. selan"utna, karena t0a !an a0t maka a % t. !emikian pula karena t0b !an b0 t maka b % t. karena a % t !an b % t maka a % b. sebalikna, "ika a % b maka (a, a) % Aa, a % a.
. B. Soal: Benar atau salah pernataan berikut ini, "ika
benar buktikan, "ika salah beri
@+nt+h penangkalna: B2. Aa,b 0 (a,b) Jawab: alah.
C+nt+h: ambil a % * !an b % =, maka A*, = % 21 !an (*, =) % 1 !an 21 ti!ak membagi 1. *.
A. Soal : pakah ? merupakan bilangan primaE 'elaskan< Jawab: ? merupakan bilangan prima, !apat !iseli!iki !engan !engan men@+ba
membagi ? !engan akt+rakt+r bilangan prima p ang !iambil !ari 1&p& √ 509 1&p&22, aitu: p % 2, *, , =, 11, 1*, 1=,1?. 5ernata ti!ak a!a nilai p ang habis membagi ?, maka ? merupakan bilangan prima. ⟺
!. B. Soal: pakah 46= merupakan bilangan primaE 'elaskan Jawab: 46= merupakan bilangan prima, !apat !iseli!iki !engan !engan men@+ba
membagi 46= !engan akt+rakt+r bilangan prima p ang !iambil !ari 1&p& √ 4567 1&p&6>, aitu: p % 2, *, , =, 11, 1*, 1=,1?, 2*, 2?, *1, *=, 41, 4*, 4=, 1, *, =, 61, 6=. 5ernata ti!ak a!a nilai p ang habis membagi 46=, maka 46= merupakan bilangan prima. ⟺
1
'ika p suatu bilangan prima ang lebih !ari *, tun"ukkan bahwa p 2#2 a!alah bilangan k+mp+sit.
4. A.B Soal:
Jawab:
kan !ibuktikan bahwa p 2 # 2 bilangan k+mp+sit (bilangaan selain 1 ang memiliki akt+r lebih !ari !ua buah). n!aikan p 2 # 2 bilangan prima. Maka p 2 # 2 mestilah bilangan gan"il, (karena hana bilangan 2 bilangan prima ang genap). 9arena p2 # 2 bilangan gan"il maka p 2 pasti bilangan gan"il. p 2 gan"il "ika !an hana "ika p gan"il. Misalkan p bilangan gan"il maka p !apat !itulis men"a!i p%2n 3 1, n ¿ 2 Maka: p 2 # 2 % (2n 3 1) 2 3 1 ⟺
p 2 # 2 % (4n2 3 4n # 1) 3 1
⟺
p 2 # 2 % 4n2 3 4n #
⟺
p 2 # 2 % 4(n2 3n),
4(n2 3 n) bukan bilangan prima, ti!ak a!a bilangan prima ang memiliki akt+r bilangan 4. engan !emikian 4(n2 3 n) mestilah suatu bilangan k+mp+sit. 'a!i p 2 # 2 mestilah bilangan k+mp+sit untuk p bilangan prima ang lebih besar !ari *.
11
Kui" I# $%&'U(&% Kui" III)
M.9uliah ;aktu
: 5e+ri Bilangan : 4 menit
1A. Soal: Buktikanlah bahwa "ika 2 n 3 1 suatu bilangan prima maka n suatu bilangan
prima pula. Jawab:
ibuktikan ber!asarkan k+ntrap+sisina, akni p% 2n 3 1 suatu bilangan prima F% n suatu bilangan prima. q⟶ p ≡ 'ika n suatu bilangan k+mp+sit maka 2 n 3 1 bilangan k+mp+sit pula. 9arena n suatu bilangan k+mp+sit maka n % ab !engan 1 & a & n !an 1 & b & n sehingga: 2n 3 1 % 2 ab 3 1 % (2a 1) (2(b1)a # 2(b2)a # 7 # 1). 5ampak pa!a kesamaan ini bahwa 2 n 3 1 a!alah suatu bilangan k+mp+sit. 1B. Soal: 'ika p
suatu bilangan prima gan"il ang ti!ak sama !engan , buktikanlah bahwa p21 atau p2#1 terbagi +leh 1. Jawab:
mbil bilangan prima p ang berbentuk k#1, k#2, k#*, atau k#4, Misalkan p % k#1, maka p 21 % k (k#2). ntuk k genap maupun gasal (asalkan penggantian k pa!a pengambilan awal ta!i membentuk bilangan prima) nilai k pa!a pengambilan awal !imasukkan ke bentuk k (k#2) selalu terbagi +leh 1.
A. Soal: 5e+rema
4. ini !apat !iperluas untuk bilangan bilangan a 1, a2, a*, 7,an maka pGai untuk suatu i % 1, 2, *, 77,n Jawab: Bukti:
engan in!uksi matematik pa!a n, aitu banakna akt+r. ntuk n % 1, aitu pGa 1, "elas benar. ntuk n % 2, aitu pGa 1a2, karena p suatu bilangan prima, maka menurut te+rema 4. pGa1 atau pGa2. iambil hip+tesis in!uksi untuk t !engan 2 & t & n, aitu p bilangan prima !an pGa 1 a2a*7 at maka pGak, untuk 2 & k& t. Pan!ang pGa 1a2a*7. n atau !apat !itulis sebagai pG (a 1a2a*7an1) (an), maka menurut 5e+rema 4. !iper+leh p Ga 1a2a* 7. an1 atau pGan.(terbukti) 12
'ika pGa1a2a*77..an2an1, "uga menurut te+rema 4. lagi !iper+leh bahwa pG a1a2a*77..an2 atau pGan1 'ika pGan1, maka te+rema terbukti 'ika pGa1a2a*7.an2 a1, maka menurut te+rema 4. lagi !iper+leh bahwa pGa 1a2a*7.an2 atau pGan1 'ika pGan1, maka te+rema terbukti 'ika pGa1a2a*7an2 maka pr+ses seperti !iatas !apat !iteruskan ber!asarkan hip+tesis ang !iambil, maka pr+ses tersebut akan berakhir. Berarti bilangan prima p membagi salah satu !ari a 1, a2, a*,7,an. 'ika pa!a te+rema 4. !iambil kasus p, F, !an r masing 3masing bilangan prima !an pGFr maka pGF atau pGr aitu p % F atau p % r. karena p, F, r masing3 masing bilangan prima, kasus tersebut !apat !iperluas sebagai berikut: 'ika p, F 1, F2, F*, 7 Fn semuana bilangan prima !an pGF 1.F2.F* 7 Fn maka p % Fk untuk suatu k !engan 1≤ k≤ n. a
≡
b(m+! m )
'ika
!A. Soal:
!engan !Gm !an !Ga buktikan !Gb.
Jawab: Bukti : a
≡
b(m+! m )
'ika
maka mG(a 3 b), sama artina a % km # b
ari !Gm sama artina m % k 1 ! ari !Ga sama artina a % k 2 ! ari a % km # b !apat kita substitusikan a !an m ke!alam persamaan tersebut rtina a % km # b k2 ! % k (k1 !) # b b % k (k1!) # k2 ! b % (kk1 # k2) ! ari b % (kk1 # k2) ! atau b % k* !, ini menun"ukan bahwa a
≡
b(m+! m )
'ika
!engan !Gm !an !Ga buktikan !Gb 7
terbukti.
B Soal: Teorema 4.*:
alam suatu barisan bilangan prima, "ika p n menatakan bilangan prima ke n maka: Pn ≤ Jawab:
Bukti:
1*
engan menggunakan in!uksi matematik pa!a n. ntuk n % 1 !iper+leh p 1 ≤ 2 aitu p 1 ≤ 2. Benar, sebab bilangan prima pertama a!alah 2. elan"utna sebagai hip+tesis, te+rema !iasumsikan benar untuk n % k, aitu: P k ≤ 2
2
0
k −1
2
kan !ibuktikan bahwa te+rema benar untuk n % k # 1, aitu p k#1≤ Perhatikan bahwa:
2
k −1 +1
2
Pk#1 ≤ (p1 p2 p*77.pk) # 1 2
Pk#1≤ H
2
Pk#1≤ H
2
0
2
1
2
(
)(
+ + 2 + 2 + … + 2k −
1 2
2
2
3
2
2
)(
2
2
3
)7 (
2
2
k −1
)I # 1
1
I#1
Mu!ah !itun"ukkan bahwa 1 # 2 # 2 2 # 2* # 7. #2 k1 % 2k 3 1, aitu suatu !eret ge+metri !engan rasi+ 2. ehingga !iper+leh: P k#1 ≤ ( 2 # 1) 2
9arena
2
k −1
k −1
2
Pk#1 ≤
/ 1 untuk setiap bilangan asli k, maka keti!aksamaan itu men"a!i: 2
2
−1
2
2
#
2
2
k −1
k
2
Pk#1 ≤ 9arena te+rema benar untuk n % 1 !an benar untuk n % k !an telah !itun"ukkan benar untuk n % k # 1, maka te+rema benar untuk setiap bilangan asli n. Memperhatikan te+rema ini, maka bilangan prima ke (n#1). aitu P n≤ 2 . 2
2
n
n
2
ehingga banakna bilangan prima ang lebih ke@il !ari ti!ak kurang !ari ( n # 1) buah. 'a!i untuk n≥ 1, maka a!a paling se!ikit n#1 buah bilangan prima ang lebih ke@il !ari 2 . 2
n
!A. Soal: 'ika a J b (m+! m) !engan Jawab:
!0m !an !0a maka buktikan bahwa !0b.
⟺
a J b (m+! m) a%km # b , k bilangan bulat ..................................................... (1) !0m m%k1 ! , k1 bilangan bulat ....................................................................... (2) !0a a%k2 ! , k2 bilangan bulat ......................................................................... (*) akan !ibuktikan: !0b ⟺
⟺
14
a%km # b k2 ! %k (k1 !) # b k2 ! %k k1 ! # b b % (k2 kk1)!, karena k1 !an k2 bilangan bulat maka k 1k2 bilangan bulat (siat tertutup). Maka !0b 'a!i, 'ika a J b (m+! m) !engan !0m !an !0a maka buktikan bahwa !0b. !B. Soal: 'ika a J b (m+! m) maka (a,m) % (b,m). Jawab: ⟺
a J b (m+! m) a%km # b , k bilangan bulat ....................................................... (1) n!aikan (a,m)%@, !enga @ angg+ta bilangan bulat, maka @ Ga !an @ Gm. @ Ga a%k1 @ , k 1 bilangan bulat. ........................................................................ (2) @ Gm m%k2 @ , k2 bilangan bulat........................................................................ (*) ⟺
⟺
n!aikan !an (b, m) %!, !engan ! angg+ta bilangan bulat, maka !Gb !an !Gm (b,m) % ! ⟺ ! 0 b !an ! 0 m. ! Gb (4) ! Gm ()
⟺
b%k* ! , k * bilangan bulat. .......................................................................
⟺
m%k4 ! , k4 bilangan bulat........................................................................
kan !ibuktikan bahwa @%!. a%km # b a%k k4 ! # k* ! a !Ga ................................................................(6) a % km # b (k k4#k*)! % km#k* ! ⟺ km % (k k4#k*k*)! ⟺
⟺
%
(k
k4#k*)!
⟺
⟺
⟺
km % (k k4)! m%k4! !Gm ..........................................................................(=) ari (6) !an (=) maka ! kelipatan !ari a !an m. 5etapi @ KPB !ari a !an m maka c≥ d . ................................................................................................................... (>) a%km # b k1 @ % k(k2 @) # b b % (k1kk2)@ @Gb ..............................................................(?) a % km # b ⟺
⟺
1
k1 @ % km#(k1kk2)@
⟺
km % (k1k1#kk2)@
⟺
⟺
⟺
km % (kk2)@ m%k2@ @Gm ...........................................................................(1) ari (?) !an (1) maka @ kelipatan !ari b !an m. 5etapi ! KPB !ari b !an m maka c≤d . .................................................................................................................. (11) ari c ≥ d !an c ≤ d , maka @ % ! maka ini menun"ukan bahwa (a,m) % (b,m) 'ika a J b (m+! m) maka (a,m) % (b,m), terbukti. 4A. Soal: 5entukan sisa "ika 2 : = !an 41= : = Jawab:
Menghitung sisa !ari 2 : = 2* % 1 (m+! =) 2*(1>) % 11> (m+! =) 24 .2 % 1. 2 (m+! =) 2 % 2 (m+! =) 'a!i 2 : = sisa 2.
Menghitung sisa !ari 41 = : = 41 % 1 (m+! =) 41= % (1)= (m+! =) 41 % 1 (m+! =) 41 % 6 (m+! =) 'a!i 41= : = sisa 6. 4B. Soal: 5entukan sisa "ika (1 # 2 # * # ...# 1 ) : 4 Jawab:
1 ≡ ≡ ? ≡ 1* ≡ 1= ≡ 21 ≡ 2 ≡ 2? ≡ ** ≡ *= ≡
41 ≡ .... ≡ ?= (m+! 4)
2 ≡ 6 ≡ 1 ≡ 14 ≡ 1> ≡ 22 ≡ 26 ≡ * ≡ *4 ≡ *> ≡
42 ≡ .... ≡ ?> (m+! 4)
* ≡ = ≡ 11 ≡ 1 ≡ 1? ≡ 2* ≡ 2= ≡ *1 ≡ * ≡ *? ≡
4* ≡ .... ≡ ?? (m+! 4)
≡ 4 ≡ > ≡ 12 ≡ 16 ≡ 2 ≡ 24 ≡ 2> ≡ *2 ≡ *6 ≡ 4 ≡ 44 ≡ .... ≡ 1 (m+! 4) ehingga (1#2#*#...#1) ≡ 1#2#* (m+! 4) 16
≡
1#2#* (m+! 4)
≡
2 (m+! 4) 'a!i (1 # 2 # * # ...# 1): 4 bersisa 2.
1=
