BAB I
PENDAHULUAN
A. Lata Latarr B Bel elak akan ang g Teori bilangan merupakan salah satu cabang matematika yang telah
lama dipelajari.Pada awalnya, keindahan sifat bilangan atau sistem bilangan meru merupa paka kan n suat suatu u daya daya tarik tarik bagi bagi para para paka pakarr-pa paka karr matem matemati atika ka dalam dalam mengem mengemban bangka gkan n konsepkonsep-kon konsep sep dalam dalam teori teori bilang bilangan. an.Sal Salah ah satu satu bagian bagian penting dari keindahan ini adalah konsep bilangan bilangan prima. Suat Suatu u bila bilang ngan an bula bulat, t, n>1 dise disebu butt bila bilang ngan an prim primaa bila bila n hanya mem mempuny punyai ai pem pembagi bagi 1 dan dan n sendiri.ilan sendiri.ilangan gan prima memiliki keunikan keunikan karena sifat-sifatnya sifat-sifatnya yang khas dalam teori bilangan.S bilangan.Sebagai ebagai contoh, contoh, teori fundamental aritmetika atau atau bias biasaa juga juga dise diseb but faktorisasi tunggal yang yang menu menunj njuk ukka kan n bahw bahwaa bila bilang ngan an-bi -bila lang ngan an prim primaa adala adalah h fakt faktor or peny penyus usun un bilangan-bilangan bulat positif.Setiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan penyusun bilangan-bilangan bulat positif.Setiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan secara tunggal sebagai bilangan prima atau hasil perkalian dari bilangan-bilangan prima tanpa memperhatikan urutannya. urutannya. erdasarkan sifat yang dimiliki oleh bilangan bulat dapat didefinisikan fung fungsi si-f -fun ungs gsii khus khusus us yang ang memp mempun uny yai pera perana nan n tert terten entu tu dala dalam m teor teorii bilangan.!ungsi-fungsi khusus tersebut ters ebut sering disebut fungsi aritmetik "fungsi
teori bilangan# yang terdiri atas fungsi tau "
σ
# dan fungsi sigma "
∑
#.
$leh karena itu, dalam makalah ini kami akan membahas lebih dalam tentang
1
% Faktorisasi Tunggal Tunggal dan Fungsi Aritmetik dalam Teori Teori Bilangan& Bilangan & untu untuk k dipresentasikan pada mata kuliah pengenalan teori bilangan. B. Rumu Rumusa san n Mas Masal alah ah 'dap 'dapun un rum rumusan usan masa masala lah h dalam alam makal akalah ah ini ini
berd erdasar asarka kan n
latarbelakang di atas adalah sebagai berikut( 1. agaim agaimana ana faktorisa faktorisasi si tungga tunggall "teorem "teoremaa dasar dasar aritmetika aritmetika## dalam dalam bilangan bilangan prima) *. 'pa yang yang dimaksud dimaksud fungsi fungsi aritmetik aritmetik "fungsi "fungsi khusus khusus dalam teori teori bilangan# bilangan# dan pembagiannya) C. Tujuan juan 'dapun tujuan dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut( 1. +ntuk mengetahui mengetahui faktori faktorisasi sasi tunggal tunggal "teorema "teorema dasar aritmetik aritmetika# a# dalam bilangan prima. *. +ntuk mengetahui mengetahui fungsi fungsi aritmetik aritmetik "fungs "fungsii khusus khusus dalam teori teori bilangan# bilangan# dan pembagiannya.
2
% Faktorisasi Tunggal Tunggal dan Fungsi Aritmetik dalam Teori Teori Bilangan& Bilangan & untu untuk k dipresentasikan pada mata kuliah pengenalan teori bilangan. B. Rumu Rumusa san n Mas Masal alah ah 'dap 'dapun un rum rumusan usan masa masala lah h dalam alam makal akalah ah ini ini
berd erdasar asarka kan n
latarbelakang di atas adalah sebagai berikut( 1. agaim agaimana ana faktorisa faktorisasi si tungga tunggall "teorem "teoremaa dasar dasar aritmetika aritmetika## dalam dalam bilangan bilangan prima) *. 'pa yang yang dimaksud dimaksud fungsi fungsi aritmetik aritmetik "fungsi "fungsi khusus khusus dalam teori teori bilangan# bilangan# dan pembagiannya) C. Tujuan juan 'dapun tujuan dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut( 1. +ntuk mengetahui mengetahui faktori faktorisasi sasi tunggal tunggal "teorema "teorema dasar aritmetik aritmetika# a# dalam bilangan prima. *. +ntuk mengetahui mengetahui fungsi fungsi aritmetik aritmetik "fungs "fungsii khusus khusus dalam teori teori bilangan# bilangan# dan pembagiannya.
2
BAB II PEMBAHASAN
A. Fakt Faktr!s r!sas as!! Tunggal nggal
Telah diketahui bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari dari 1 dapat dapat dinyatak dinyatakan an sebaga sebagaii perkal perkalian ian
dari dari bilang bilanganan- bilangan bilangan prima prima
tertentu. apat dikatakan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor prima "mungkin hanya 1 faktor#.Pada bagian ini dipelajari bahwa hasil kali dari faktor-faktor prima itu adalah adalah tungga tunggal, l, kecuali kecuali hanya hanya berbed berbedaa urutan urutan dari dari faktor faktor-fa -fakto ktorr prima prima tersebu tersebut. t. Pemfak Pemfaktor toran an suatu suatu bilang bilangan an bulat bulat atas faktor faktor-fa -fakto ktorr prima prima yang yang tunggal itu terkenal dengan namaTeorema nama Teorema Dasar Aritmetika (Fundamental Theorem of Arithmetic) dan Arithmetic) dan disebut faktorisai tunggal. ama teorema dasar aritmet aritmetika ika diguna digunakan kan karena karena memberi memberikan kan dasar dasar dalam dalam mengem mengemban bangka gkan n teorema lain dalam aritmetika. Sebelum membicarakan faktorisasi tunggal, teore teorema ma berik berikut ut dike dikemu muka kaka kan n
seba sebagai gai persi persiap apan an untu untuk k
memb membuk ukti tika kan n
faktorisasi tunggal. Terema "."
ika p sutu bilangan prima dan p / ab, a,b ∈ 0, maka p / a atau p / b. Bukt! # Cara I arena p suatu bilangan prima, maka p hanya mempunyai faktor 1 dan p,
sehingga "a,p# 2 1 atau "a,p# 2 p untuk bilangan bulat a sembarang. ika p 3 b maka "a,p# 2 1, jika p / ab dan "a,p# 2 1, maka p / b. 4al ini sesuai dengan teorema 5.16 bahwa jika a / bc dan "a,b# 2 1 maka a / c. arena p 3 b maka dengan cara yang sma dapat dibuktikan p / a.
3
Cara II
ika "a,p# 2 1 maka ada 7, y →
"a7 3 py#b 2 b
∈
0 sehingga a7 3 py 2 1
"sifat distributif perkalian#
→ "a7#b 3 "py#b 2 b "sifat asosiatif perkalian# arena p / ab dan p / p maka p / ab7 dan p / pby. arena p / ab7 dan p / pby maka p / "ab73pby#. arena p / "ab73pby# dan ab7 3 pby 2 b maka p /b. engan jalan yang sama, jika dianggap p 3 b , maka dapat dibuktikan bahwa p / a.Teorema 8.8 dapat diperluas untuk bilangan .......
an
a1
,
a2
,
a3,
.
Terema ".$
ika p suatu bilangan prima dan p /
ai
untuk 1
≤ i
a1
,
a2
,
a3,
.......
an
. 9aka p /
≤ n.
Bukt!#
:nduksi matematika diterapkan pada n, yaitu banyaknya faktor.'mbil bilangan prima p. 1#. +ntuk n 2 1 berarti p /
a1
*#. +ntuk n 2 * beraarti p / atau
p/
a2
, jels benar. a 1 a2
, karena p bilangan prim maka p /
a1
"Teorema 8.8#.
4
;#. 'ndaikan teorema benar untuk n > *, diambil sebagai hipotesis induksi. <#. 'pabila p membagi perkalian sejumlah kurang dari n faktor, maka p membagi paling kurang salah satu dari faktor itu ditulis bahwa * = t = n, yaitu
a1
p prima dan p /
a2
,
,
a3,
.......
.......
an
at
as
maka p /
untuk suatu s
dengan * = s = t.
a1
Pandang p /
an − 1
....... a3,
.# "
an
an− 1
. ika p /
ika p /
. 'tau p / "
an
an
a1
,
a2
a1
atau p /
a1
a3,
.......
#, menurut teorema 8.8 lagi diperoleh bahwa p /
a1
,
atau keadaan lain p /
atau p /
an − 1
an− 1
a1
,
a3,
a2
,
benar, teorema terbukti. ika p /
a2
,
,
a n− 2
.......
a3,
,
#. 9enurut teorena 8.8, p /
an−1
.......
an − 1
a2
,
a2
....... a3,
,
a2
,
an−2
"
,
,
a3,
.
. 9aka teorema terbukti.
ika p /
a1
,
a2
a3,
,
.......
an − 2
, maka proses seperti diatas
dapat diteruskan. erdasarkan hipotesis yang diambil, proses tersebut pasti akan berakhir.engan demikian, bilangan prima p membagi salah satu dari p / a1
,
a2
a3,
,
.......
an
.
'ndaikan Teorema 8.8 diterapkan untuk kasus bahwa p,
q3,
.......
qn
qn
maka menurut Teorema 8.8, p /
semuanya bilangan prima dan p /
q k
q1
,
q2
q1
,
,
q3,
q2
,
.......
untuk suatu k dengan 1 ≤ k ≤
5
q k
n. arena p dan
q k
adalah bilangan- bilangan prima dan p /
q k
bilangan- bilangan prima dan p /
q k
maka p 2
adalah
.
Terema ".%
ika p,
q1
,
q2
q3,
.......
,
q2
,
q3,
qn
maka p 2
qn
.......
q1
semua bilangan prima dan p /
q k
,
untuk suatu k dengan 1 ≤ k ≤ n.
Bukt!#
ika p /
q1
memenuhi sifat p /
q1
,p/
.......
qn
q2
,p/
q2
q2
,
q3,
q1
,
q2
,
q3,
, dan p /
.......
q3,
qn
.......
qn
adalah bilangan prima yang qn
q2
memberikan p 2 ,p2
q3,
memberikan p 2 qn
, menurut Teorema 8.8, p / ,
q3,
, haruslah p 2
q1
. arena p,
adalah bilangan prima, maka jika p /
begitu pun untuk p / qn
,
q2
q1
q1
q2
,
dan seterusnya sampai p /
q1
. engan demkian, diperoleh p 2
.., dan p 2
qn
atau dapat dituliskan p 2
q k
, p 2
untuk 1
≤ k ≤ n. Selanjutnya, kita akan membuktikan ketunggalan dari pemfaktoran dari suatu bilangan bulat positif atas faktor- faktor prima. Teorema ini menyatakan bahwa jika 7 adalah sebarang bilangan bulat positif lebih dari 1, maka 7 dapat ditulis sebagai 7 2
p1
,
p2
.
pn
, dimana
pi
, 1 ≤ j
6
p1
≤ n masing- masing bilangan prima. ?ebih dari itu, jika 7 2 .
pk
dan 7 2
q1 q 2
.
qn
, dimana bilangan
q1 q 2
adalah bilangan prima yang sama dengan
.
q j qn
,
p2
, 1 ≤ j ≤ n dalam urutan
sembarang. Terema ". &
Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu atas faktorfaktor prima adalah tunggal, kecuali urutan dari faktor- faktornya mungkin tidak tunggal. Bukt!#
ita menyelesaikan bukti teorema ini menjadi dua bagian.agian pertama menunjukkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu dapat difaktorkan menjadi faktor prima.agian kedua menjelaskan bahwa faktorisasi itu tunggal. 1# Pandang bilangan bulat m sebarang yang lebih besar dari 1. 'kan ditunjukkan bahwa m dapat dituliskan sebagai perkaian faktor- faktor prima. arena m adalah bilangan yang lebih besar dari satu, maka m mungkin prima atau komposit. 'ndaikan m bilangan prima maka m adalah faktor primanya sendiri. 'ndaikan m bilangan komposit, menurut Teorema 8.; m memliki faktor
p1
, sehingga m 2
p1 p2 m2
dengan 1 =
maka pembuktian selesai. Tetap jika
p1 p2 m2
dengan 1 =
m2
=
m1
m1
m2
= m. jika
m1
komposit maka
prima
m1
2
.
7
m2
ika
m2
maka m2
m2
prima maka pembuktian selesai. Tetapi jika
p3 m3
2
sehingga m 2
p1 p2 p 3 m 3
komposit
m3
dengan 1 =
=
, dan seterusnya.
m k −1
Proses ini akan berakhir pada
p1 p2 p 3
m2
.
pk
pk
yang prima, misalnya
maka
, artinya m adalah hasil kali faktor- faktor prima.
*# 'kan ditunjukan bahwa faktorisasi itu tunggal. 'ndaikan bahwa pemfaktoran m diatas faktor- faktor prima tidak tunggal yaitu ada m 2
p1 p2 p 3 q j
≤
q1 q 2 q 3
dan m 2
p1 ≤ p2 ≤ p3 ≤
/
q1 q 2
..
qs
qs
p I
≤ s@
dengan r
dan
p1 ≤ p2 ≤
/
p1
dan
p2 p3
.
pr
2
≤ qk ≤
.
q1
q1
9enurut Teorema 8.A, r. arena
p1 p2 p 3,
. arena p /
pr
.......
maka
. erdasarkan Teorema 8.A untuk suatu k, 1 ≤ k
q1 ≤ q2 ≤
s. arena
≤ pr
Selanjutnya, jika dipandang
q1
.
semuanya bilangan prima untuk i 2 1,*,;,,r dan j 2 1,*,;,.s
serta
p1
pr
.
2
...
p1
/
q2q3
≤ qs q1
/ m yaitu
pt
≤ p k ≤
q1
.
/
q1 ≤ q1
p1 p2 p 3,
.......
≤ t
untuk suatu t dengan 1 ..
≤ pr
maka haruslah
qs
maka
p1 ≤ q 1
maka
p1
2
q1
pr
.
≤
. arena
. 'kibatnya
.
ika proses diata diulang maka diperoleh ( p q3 q 4 p1 q2 p3 p 4 q 2 dan . r 2 .. s
p3
2
q3
dan
p4 p 5
.
pr
2
q 4 q5
..
qs
8
ika proses ini diteeruskan dan r 2 s maka akan berakhir pada p r 2
qs
dan teorema terbukti. ika r = s maka akan diperoleh 1 2 B r31 Br3* Br3;, Bs . 4al ini mustahil karena B r31 Br3* Br3;, Bs itu masing- masing lebih besar dari 1, sehingga haruslah r 2 s dan p 1 2 B1, p* 2 B*, p; 2 B;, p r 2 Bs. :ni berarti bahwa m hanya dapat dinyatakan sebagai satu hasil kali faktor- faktor prima saja. Cnth Sal Tunjukkan pemfaktoran prima dari A< C Penyelesaian ( Dara pemfaktoran prima dari suatu bilangan adalah menyatakan bilangan itu
sebagai perkalian dua bilangan , sehingga diperoleh dua faktor. Selanjutnya, faktor-faktor
yang
belum
merupakan
bilangan
prima
difaktorkan
lagi.emikian seterusnya sampai diperoleh semua faktornya adalah bilangan prima. arena kemungkinan ada banyak cara dalam setiap langkah memfaktorkan, kemungkinan juga terdapat banyak cara dalam pelaksanaan pemfakoran prima. 9isalnya pemfaktoran prima A< dilakukan dengan cara atau skema yang dikenal dengan nama diagram pohon. Pemfaktoran prima adalah sama yaitu ( a. A< 2 "*# "*# ";# "6# 2 ** ";# "6#@ b. A< 2 ";# "*# "*# "6# 2 ; "**# "6#@ c. A< 2 ";# "6# "*# "*# 2 ";# "6# "**#. adi jelas bahwa pemfaktoran prima dari A< adalah tunggal, kecuali urutan faktornya bisa berbeda. 84
84
2
42
21
2
3
28
3
14
2
7 2
7
9
a
"b#
84
21
3
4
2
7
2
"c# Ealau pun terdapat tiga jenis diagram pohon, tetapu hasil pada pembahasan terdahulu mengenai bilangan bulat tidak terhingga banyaknya dan setiap bilangan bulat tidak terhingga banyaknya dan setiap bilangan bulat dapat difaktorkan atas faktor-faktor prima. Pada sekitar tahun ;FF S9, Guclides membuktikan bahwa banyaknya bilangan prima
adalah tidak terhingga. Teorema Guclides tersebut dapat
dinyatakan sebagai berikut(&jika diberikan sebarang daftar bilangan prima, adalah selalu mungkin membentuk bilangan prima yang baru yang tidak terdapat dalam daftar %. adi, banyaknya bilangan prima adalah tidak terhingga. Terema ".'(
anyaknya bilangan prima adalah tidak terhingga. ukti( 9isalkan bahwa banyaknya bilangan prima adalah terhingga yaitu P 1, P *,P;, Pn dimana P12 *"bilangan prima terkecil# dan Pn adalah bilangan prima terbesar. ari semua bilangan prima itu, dari P 1hinggaPn, dapat dibentuk suatu bilangan bulat positif H dengan jalan mengalikan bersama-sama bilangan prima tersebut lalu ditambah dengan 1 yaitu H2" P 1 P* P;Pn# 31.arena H >1,
10
terdapat dua kemungkinan nilai H, yaitu H mungkin merupakan bilan gan komposit atau prima. 1# ila H bilangan prima, yaitu H2 Pi "1IiIn# maka H/H, yaitu P i / "P1 P* P;Pn #31. arena Pi /Pi maka Pi /"P1.P*. P;. Pi Pn # "berdasarkan teorema %jika ϵ
a,b
0, a/b maka a/bc
∀
c
ϵ
0&#
emudian Pi / "P1 P* P;Pn #31 dan Pi /"P1.P*. P;. PiPn #, maka Pi / ϵ
1"berdasarkan teorema % jika a,b
0, a/b maka a/b3c maka a/c#. terjadi
kontradiksi karena tidak ada bilanganprima yang habis dibagi 1. *# ila H bilangan komposit, maka ada bilangan prima P i "1IjIn# sehingga P j / H "sesuai teorema % jika n
ϵ
03 dan n adalah komposit, maka ada
bilangan prima sehingga P/n %#. arena P j/H, P j /"P1.P*. P;. P jPn #31. engan demikian pula, karena P j / P jmaka P j/"P1.P*. P;. P j Pn # "berdasarkan teorema %jika a,b
ϵ
0, a/b maka a/bc
∀
c
ϵ
0&#
Selanjutnya, karena P j /"P1.P*. P ;. P jPn #31 dan P j /"P1.P*. P ;. P jPn # maka P j /1. Terjadi kontradiksi karena tidak ada bilangan komposit yangmembagi habis 1.adi dapat disimpulkan bahwa banyaknya bilangan prima adalah tidak terhingga. Pada pembuktian teorema Guclides dapat diambil kesimpulan bahwa n
Pn31 I P1P*Pn 31 = Pn 31. Sebagai contoh, jika n2* maka ketidaksamaan 2
tersebut menjadi P; I P1P*
Pn 31 = P 2 31 atau 5I "*#";# 3126=J3121F.
etidaksamaan ini menunjukkan bahwa bilangan prima ke ; kurang dari 1F.Pendekatan ini terlihat masih sangat kasar.Pendekatan yang lebih halus untuk menentukan sebuah batas atas dari barisan P n dinyatakan dalam teorema berikut. Terema ".'' ika dalam barisan bilangan prima, P n menyatakan bilangan prima ke-n, maka Pn I
2
2
n−1
11
Bukt!( Pembuktian menggunakan induksi matematika untuk n, dengan dua langkah,
yaitu( 2
1# +ntuk n21 diperoleh P 1 I
2
1−1
2
0
2
2
2* .hal ini memang benar karena
bilangan prima pertama adalah *. 2
*# iasumsikan bahwa P n I
2
n −1
benar untuk n2k, yaitu P k I
Selanjutnya harus dibuktikan bahwa P n I
Pk31I
2
2
k + 1−1
atau Pk31I
2
2
2
2
Pk31I 2
1+ 2+ 2
#" 2
2
2
+ 23+ … + 2k − 1
#" 2
2
2
2
k −1
.
n −1
benar untuk n2k31, yaitu
k
.
Perhatikan bahwa( Pk31I "P1 P* P;Pk #31 Pk31I K*" 2
2
2
3
2
k −1
#..." 2
#L31
31 2
arisan pangkat yaitu(
1 +2 +2
+ 23+ … + 2k −1 ternyata merupakan suatu
deret geometri dengan rasio *. arisan itu dapat ditulis 2
k
2
deret geometri. adi Pk31I
31. arena
2
2
2
k −1
, sebagai
k −1
>1 untuk setiap
bilangan bulat asli k, ketidaksamaan tersebut menjadi Pk31I 2
2
k −1
3
2
2
1
k −1
2
2
1
2 k
2
3 2
2 k
2
2
k
2 2
;# arena teorema diasumsikan bemar untuk n21 dan benar untuk n2k dan telah ditunjukkan benar juga untuk n2k31, maka teorema benar untuk setiap bilangan asli n. jadi P n I
2
2
n−1
benar untuk setiap bilangan asli n.
Teorema 8.1* +ntuk n ≥ 1 ada paling sedikit n31 buah bilangan prima yang lebih 2
kecil dari
n
2
ukti(
12
9isalkan Pi "i21,*,;,,n# bilangan prima, maka diperoleh P 1 = P* = P; = 2
n
2
= Pn = Pn31 I
B. Fungs! Ar!tmet!k )alam Ter! B!langan erdasarkan sifat yang dimiliki oleh bilangan bulat dapat didefinisikan
fungsi-fungsi khusus yang mempunyai peranan tertentu dalam teori bilangan.!ungsi-fungsi khusus tersebut sering disebut fungsi aritmetik "fungsi teori bilangan#.Pada umumnya, fungsi aritmetik didefinisikan mempunyai daerah asal pada himpunan semua bilangan bulat. 'pabila f suatu fungsi aritmetik, maka f ( 3 M dengan adalah himpunan semua bilangan bulat dan 3 adalah himpunan semua bilangan bulat positif. !ungsi-fungsi khusus tersebut adalah fungsi tau " τ # dan fungsi sigma "N# '. Fungs! Tau De*!n!s! ".+
!ungsi tau
τ
"n# menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n,
untuk n suatu bilangan bulat positif Cnth sal Tentukanlah pembagi bulat positif mulai dari bilangan 1 hingga bilangan 15C Penyelesaian(
τ "1#1
a# Pembagi bulat positif dari 1 adalah 1 sendiri sehingga b# Pembagi bulat positif dari * adalah 1 dan *, sehingga
τ "*#2*
c# Pembagi bulat positif dari ; adalah 1 dan ;, sehingga
τ ";#2*
d# Pembagi bulat positif dari < adalah 1, * dan <, sehingga e# Pembagi bulat positif dari 5 adalah 1 dan 5, sehingga
τ "<#2;
τ "5#2*
f# Pembagi bulat positif dari 8 adalah 1, *, ; dan 8, sehingga
τ
"8#2< engan cara yang sama, dapat diketahui bahwa τ "J#2;, dan
τ "1F#2<,
τ "11#2*,
τ "1*#28,
τ "6#2*,
τ "A#2<,
τ "1;#2*,
τ "1<#2<
τ "15#2<.
13
erdasarkan contoh, dapat diketahui bahwa apabila p suatu bilangan prima, maka
τ
"p#2*. anyaknya pembagi bilangan bulat
positif dari n sering dinyatakan dengan rumus yang menggunakan notasi O "baca@ sigma#. eberapa contoh penggunaan notasi O diberikan dalam contoh berikut. Cnth Sal 3 +¿ a4 2 +¿ a ¿ 1 +¿ a ¿
an=¿ a¿ 4
a¿
¿ ∑ = n 1
6
b¿
n =3 + 4 + 5 + 6 ∑ = n 3
6
c¿
∑= 2=2 +2 +2 +2 +2 +2 n 1
d¿
∑ d =1 + 2+7 +14, jumlahsemua pembagibulat positif 14
d∨ 14
e¿
∑ 1=1 +1 +1 +1, banak semua pembagi bulat positif 14
d ∨ 14
f ¿
∑ f (d )= f ( 1 )+ f ( 2 )+ f ( 3 ) + f ( 6 ) +f ( 9 )+ f (18 )
d ∨18
erdasarkan beberapa contoh notasi O tersebut,
τ "n# dapat
dirumuskan sebagai berikut (
14
τ ( n ) =
1 untukn≥ 1 ∑ ∨ d n
adi
τ ( n)
merupakan penjumlahan dari 1 sebanyak pembagi bulat
positif dari n. Cnth Sal
a# Semua pembagi bulat positif dari ;F adalah 1,*,;,5,8,1F,15,;F, sehingga
∑ 1=1 +1 +1 +1 +1 +1 +1+1= 8
d∨ 30
b# Semua pembagi bulat positif dari *5 adalah 1,5, dan *5, sehingga 1=1 + 1 + 1 =3 ∑ ∨
d 25
c# Semua pembagi bulat positif dari 1* adalah 1,*,;,<,8, dan 1*, sehingga
∑ 1=1 +1 +1 +1 +1 +1=6
d∨ 12
engan cara yang sama dapat diketahui bahwa
∑∨ 1=1,∑∨ 1=1 +1=2, ∑∨ 1=1 +1=2, ∑∨ 1=1 +1 +1=3 d 1
d
d 3
2
d
4
1 =1+ 1+ 1+ 1=4, ∑ 1= 1 + 1=2 ∑∨ 1 =1+1=2, ∑ ∨ ∨ d 5
d 6
d 7
1 = 1 + 1+ 1+ 1=4 danseterusna! ∑ ∨ d 8
erdasarkan contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa jika p suatu bilangan prima, pembagi bulat positifnya hanyalah 1 dan p, sehingga
τ ( p ) =2. arena itu 1 =1 + 1=2 untuk setiap bilangan prima p ! "elanjutna# ∑ ∨ d p
1# Pembagi bulat positif dari p* adalah 1, p dan p *sehingga 15
τ ( p )= 2
∑ 1=1 +1 +1 =3
d∨ p
2
*# Pembagi bulat positif dari p; adalah 1, p, p*, dan p; sehingga 3 τ ( p ) = 1= 1 + 1 + 1 + 1 =4
∑
d∨ p
3
;# Pembagi bulat positif dari p< adalah 1, p, p* , p; dan p< sehingga 4 τ ( p )= 1=1 + 1 + 1 + 1 + 1= 5
∑
d ∨ p
4
erdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa jika k suatu bilangan bulat positif dan p adalah suatu bilangan prima maka
τ ( p ) =k + 1 k
Cnth Sal
τ ( 16 ) # τ ( 32 ) # τ ( 81 ) # τ ( 125 ) # τ ( 128 ) # τ ( 243 ) danτ ( 2401 ) $
Tentukanlah Penyelesaian(
¿ ( a# 18 2 * , sehingga τ 16 )= τ ¿ *< # 2 <3125. <
4al ini dapat diperiksa dengan mencacah semua pembagi bulat positif dari 18 yaitu 1, *, ;, <, A, dan 18. 5 b# ;*2*5, sehingga τ ( 32 )= τ ( 2 ) = 5 + 1= 6 Semua pembagi bulat positif dari ;* adalah 1, *, <, A, 18 dan ;* 4 c# A12 ;< , sehingga τ ( 81 )= τ ( 3 ) =4 + 1= 5 d# 1*525; , sehingga 6
e# 1*A2* , sehingga
τ ( 125 ) = τ ( 5
3
)= 3 + 1 = 4
τ ( 128 ) = τ ( 2
7
)= 7 + 1 = 8
f# *<; 2 ;5 , sehingga g# *
τ ( 243 )= τ (3 )=5 + 1=6 5
τ ( 2401 )= τ ( 7 ) = 4 + 1=5 4
erdasarkan contoh diatas, maka apabila p1
dan p* keduanya
adalah bilangan prima dan n 2 p 1 p*, maka pembagi bulat positif dari n adalah 1, p1, p* dan p1 p* 2 n sehingga
τ ( n ) =4 . ika m 2 p * p ; , maka 1 *
pembagi bulat positif dari m dapat disusun sebagai berikut( 1,
P*,
P** ,
P *;
16
P1
P1 P*
P1 P**,
P1 P*;
P1*
P1* P*,
P1* P**
P1* P*;
Terlihat pada daftar ini bahwa
τ ( m ) 2 "p * p ; #2 ; < 21*. 1 *
Cnth Sal
Tentukanlah
τ ( 648 ) # τ ( 675 ) danτ ( 6125 ) C
Penyelesaian ( τ ( 648 )= τ "*; ;<# 2 ";31# "<31# 2 *F a# b#
τ ( 675 )= τ ";5 5*#2 ";31# "*31# 2 1*
c#
τ ( 6125 ) = τ "5; 6*# 2 ";31# "*31# 2 1*
Terema ".'+
'pabila n2pk Bt dengan p dan B bilangan-bilangan prima yang berlainan dan k, t adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka
τ "n#2 τ "pk Bt# 2 "k31# "t31#.
Bukt!(
Semua pembagi bulat positif dari n2p k Bt dapat disusun daftar sebagai berikut(
17
1,
P,
P* ,
P;
, Pk
B1
PB*
P*B,
P;B*
, Pk B
B*
PB*,
P*B*
P;B*
, Pk B*
.
.
.
.
,.
.
.
.
.
,.
.
.
.
.
,.
Bt
PB t,
P*Bt
P;Bt
, Pk Bt 2 n
Terlihat pada daftar tersebut bahwa ( τ ,n- τ ,/k 0t- ,k1'- ,t1'-. Pada teorema dasar aritmetika, telahdijelaskan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 "nQ1# dapat difaktorkan secara tunggal atas factor-faktor prima. Selanjutnya, n dapat ditulis dalam bentuk kanonik sebagai n2 P1a1P*a* P;a; Pk ak dengan Pi untuk i2 1, *, ,k adalah bilangan-bilangan prima yang berlainan dan a i Q1 untuk setiap i 2 1, *, ;,,k. ila telah diperoleh bentuk kanonik dari s uatu bilangan bulat positif, maka dapat ditentukan banyaknya pembagi bulat positif dari n yaitu
τ "n# yang dijelaskan dalam teorema berikut
Terema ".'2
'pabila bentuk kanonik dari bilangan bulat positif n adalah
Bukt! #
18
'pabila d suatu pembagi bulat positif dari n, maka d2 t 1
t 2
t 3
tk
P1 P 2 P3 … Pk dengan FIt Ia . anyaknya pembagi bulat positif dari n 1 i merupakan hasil kali banyaknya pilihan yang mungkin untuk t i dari "ai31#
pilihan, sehingga diperoleh
a a a a τ "n#2 (¿¿ k + 1) ! (¿¿ 3 +1 )… ¿
(¿¿ 2 + 1 )¿ (¿¿ 1 + 1 )¿ ¿ Humus
τ "n# tersebut sering dinyatakan dengan notasi R "baca@
pi#.Dontoh pemakaian notasi R diberikan sebagai berikut. Cnth Sal 6
p = P % P % P % P % P ∏ =
a¿
i
1
2
3
4
5
i 1
5
f ( n )= f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 5 ) ∏ =
b¿
n 1
n
c¿
∏ ( P + 1 )= ( P + 2 )( P + 2 ) ( P + 2 ) … ( P + 2 ) = i
1
2
n
3
i 1
k
d¿
∏ ( a + 1 )=( a +1 )( a + 1 )( a + 1 ) … ( a + 1 ) = i
1
2
3
k
i 1
19
Cnth Sal
Tentukan
τ "**F5#,
τ "J<5F#, dan
τ "*5*FF#C
Pen3elesa!an #
a# **F5 2 ;* 7 5 7 6 * τ "**F5# 2 τ ";* 7 5 7 6 *# 2 "*31#"131#"*31# 21A. b# J<5F 2 * 7 ;; 7 5* 7 6 τ "J<5F# 2 τ "* 7 ; ; 7 5* 7 6# 2 "131#";31#"*31#"131# 2
Tentukan hasil kali semua pembagi bulat positif dari *< dan 58C Pen3elesa!an #
a# Pembagi bulat positif dari *< adalah 1,*,;,<,8,A,1*, dan *<, sehingga
τ "*<#2A 4asil kali semua pembagi bulat positif dari *< ditulis dengan notasi "*<# yaitu ( "*<# 2 1 7 * 7 ; 7 < 7 8 7 A 7 1* 7 *< 2 "1 7*<#"*71*#";7A#"<78# 2 *< 7 *< 7 *< 7 *< 2 *<< b# Semua pembagi bulat positif dari 58 adalah 1, *, <, 6, A, 1<, *A, dan 58, sehingga
τ "58# 2 A.
4asil kali semua pembagi bulat positif dari 58 adalah ( "58# 2 1 7 * 7 < 7 6 7 A 7 1< 7 *A 7 58 2 "1758#"*7*A#"<71<#"67A# 2 58 7 58 7 58 7 58 2 58 <.
20
ita dapat memeriksa bahwa "*#2*, ";#2;, "5#25, "6#26, dan seterusnya. adi, jika P suatu bilangan prima, maka "p# 2 p, "p;# 2 1
p , "p # 2 p dan "p # 2 p 2 8
<
1F
t
t ( t + 1)
.
Terema ".'4
'pabila n suatu bilangan bulat positif, hasil kali semua pembagi bulat 1
positif dari n adalah "n# 2
d =n ∏ ∨
1 2
n2
τ ( n)
atau dapat ditulis
τ ( n)
d n
Bukt! #
9isalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, ada "yaitu pembagi bulat positif dari n pula# sedemikian sehingga dd2 n. 4al ini mungkin saja terjadi bahwa d2d, yaitu jika n suatu kuadrat sempurna. arena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah
τ "n#, dengan
mengalikan setiap pembagi dari n "misalnya d# dengan membagi pasangannya "misalnya d# sedemikian sehingga dd2 n, maka akan diperoleh bahwa hasil kali semua pembagi bulat positif dari n adalah
d =n ∏ ∨
1 2
τ ( n)
d n
5.
Fungs! S!gma
Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai fungsi tau τ ( n) yang menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n. Pada
21
bagian ini dibahas mengenai fungsi sigma
σ ( n)
yang menyatakan
jumlah semua pembagi bulat positif dari n.
De*!n!s! ".2
ika n suatu bilangan bulat positif, maka
σ ( n) menyatakan jumlah
semua pembagi bulat positif dari n, yakni. σ ( n ) =
d ∑ ∨ d n
Cnth Sal
Tentukan
σ ( 30 ) # σ ( 42 ) danσ ( 48 ) $
Penyelesaian: a# Pembagi bulat positif dari ;F adalah 1, *, ;, 5, 8, 1F, 15, dan ;F sehingga
σ ( 30 ) 2 13*3;353831F3153;F 2 6*.
b# Pembagi bulat positif dari <* adalah 1, *, ;, 8, 6, 1<, *1 dan <* sehingga
σ ( 42 ) 2 13*3;383631<3*13<* 2 J8.
c# Pembagi bulat positif dari
σ ( 48 ) 2 13*3;3<383A31*3183*<3
Cnth Sal
Tentukan
σ ( 2 ) # σ ( 3 ) # σ ( 7 ) danσ ( 11) $
22
Penyelesaian: a# Pembagi bulat positif dari * adalah 1 dan * sehingga
σ ( 2 ) 2 13* 2 ; σ ( 3 ) 2 13; 2
b# Pembagi bulat positif dari ; adalah 1 dan ; sehingga < c# Pembagi bulat positif dari 5 adalah 1 dan 5 sehingga
σ ( 5 ) 2 135 2 8
d# Pembagi bulat positif dari 6 adalah 1 dan 6 sehingga
σ ( 7 ) 2 136 2 A σ ( 11)
e# Pembagi bulat positif dari 11 adalah 1 dan 11 sehingga
2
1311 2 1* Dontoh diatas menunjukkan bahwa jika p suatu bilangan prima,
σ ( p ) 2 p31,
maka
σ ( p ) =1 + p + p t
2
σ ( p
2
)=1 + p + p
σ ( p ) =1+ p + p + p
2
+ p3 + … + pt ! Humus
3
,
2
3
dan ,
σ ( p ) dapat dibentuk dengan t
mengingat rumus jumlah deret geometri. arena itu, perlu dijelaskan mengenai deret geometri sebagai berikut. iketahui suatu barisan geometri a, ar, ar *, ar ;,, ar n-1. 'pabila suku-sukunya dijumlahkan diperoleh suatu deret geometri. eret tersebut adalah a3ar3ar *3ar ;33ar n-1. Suku pertama dari deret ini adalah a dan suku terakhir adalah ar n-1. 'pabila suku-suku ini dijumlahkan diperoleh
a ( 1− r " n= 1− r
n
)
a ( r −1 ) " n= untuk r>1. erdasarkan r −1 n
untuk r=1 atau
rumus jumlah deret geometri, diperoleh 13p3p*3p;33
t + 1
p −1 p= p −1 . t
23
adi, jika p suatu bilangan prima dan t suatu bilangan bulat positif maka
p t + 1 p −1 (¿¿ t )= ! p −1 σ ¿
Cnth ".'"
Tentukan
σ ( 6 ) # σ ( 64 ) # σ ( 125 ) danσ ( 243 ) $
Penyelesaian: a# Pembagi bulat positif dari 8 adalah 1, *, ; dan 8 sehingga
σ ( 6 )
2
13*3;38 2 1*. b# Pembagi bulat positif dari 8< adalah 1, *, <, A, 18, ;* dan 8< sehingga
σ ( 64 )
2 13*3<3A3183;*38< 2 1*6 atau
1
*
;
<
5
σ ( 2
6
2
)
2
7
−1 =¿ 1*6. 2− 1
2 F
σ ( 64 )
8
* 3* 3* 3* 3* 3* 3* 2
c# Pembagi bulat positif dari 1*5 adalah 1, 5, *5 dan 1*5 sehingga
σ ( 125 )
2 1353*531*5 2 158 atau
1
*
σ ( 5
3
2
)
2
4
−1 =¿ 158. 5 −1
5 F
σ ( 125 )
;
5 35 35 35 2
d# Pembagi bulat positif dari *<; adalah 1, ;, J, *6, A1, dan *<; sehingga
σ ( 243 )
F
1
*
2 13;3J3*63A13*<; 2 ;8< atau
;
<
5
; 3; 3; 3; 3; 3; 2
σ ( 243 )
2
σ ( 3
5
)
2
6
−1 =¿ ;8<. 3−1
3
24
'pabila p dan B adalah dua bilanga prima yang berbeda dan n2pB, maka semua pembagi bulat positif dari n adalah 1, p, B dan pB2n, sehingga
σ ( n ) 2
σ ( pq ) 2 13p3B3pB 2 "13p#"13B#. jika m2p *B; dengan p dan
B dua bilangan prima yang berlainan, maka jumlah semua pembagi bulat positif dari m dapat disusun sebagai berikut(
σ ( m ) 2
σ ( p q 2
3
)
2 "13B3B*3B;#3"p3pB3pB*3pB;#3"p*3p*B3p*B*3p*B;#
2 "13p3p*#"13B3B*3B;#
( )( ) 3
4
p − 1 p−1
2
q −1 q −1
adi apabila n 2 pk Bt dengan p dan B keduanya bilangan prima yang berbeda serta k dan t bilangan bulat positif, maka(
σ ( n ) 2
σ ( p q
k t
)
2
(
k + 1
p −1 p −1
)( ) t + 1
q −1 q −1
k
2
σ ( p ) σ ( q
t
)
Cnth Sal
Tentukanlah
σ ( 15 ) # σ ( 225 ) #σ ( 504 ) danσ ( 847 ) $
Penyelesaian: a)
σ ( 15 ) = σ ( 3 & 5 )= σ ( 3 ) & σ (5 )=4 & 6 =24
b)
σ ( 225 )= σ ( 3 & 5 )= σ ( 3 ) & σ ( 5 ) =13 & 31= 403 2
2
2
2
13 ( 8 )=1560
c)
σ ( 504 ) = σ ( 2 & 3 & 7 ) =σ ( 2 ) &σ ( 3 ) & σ ( 7 )=( 15 )¿
d)
σ ( 784 ) = σ ( 2 & 7 )=σ ( 2 ) &σ ( 7 ) =31 & 57 = 1767
e)
σ ( 847 ) = σ ( 7 & 11 ) =σ ( 7 ) & σ ( 11 )=8 & 133=1064.
3
4
2
2
2
3
4
2
2
2
25
Terema ".'"
ika bentuk kanonik dari bilangan bulat positif n adalah k
p ∏ =
k
ai i
maka σ ( n )=
i 1
∏ = i 1
a i+ 1
pi pi −1
Bukt! (
Setiap suku dari perkalian "1 3P3 P1* 3 P 1; 3 3P1a1 # "1 3P*3 P** 3 P *; 3 3P*a* # "1 3P ;3 P;* 3 P ;; 3 3P;a; # "1 3Pk3 Pk * 3 P k ; 3 3Pk ak # berbeda satu sama lain dengan yang lainnya dan masing-masing merupakan pembagian dari n, sehingga 1+ p i
¿ ¿
σ ( n ) =
k
¿ ∏ = i 1
erdasarkan rumus jumlah deret geometri, maka "1 3Pi3 Pi* 3 Pi; 3 ai
3Piai # 2
pi + −1 p i−1 Sehingga k
σ ( n ) =
∏ = i 1
1
ai
p i + −1 1
pi−1
26
Cnth Sal
Tentukanlah
σ "<*#,
σ "<*F# dan
σ "*1;F#
Penyelesaian(
a#
b#
σ
"<*# 2
σ "<*F# 2
"*7;76# 2
2
−1 2− 1 7
2
σ
σ "**757;76 2
2
−1 3−1 7
3
3
−1 2−1 7
2
2
−1 5−1 7
5
2
−1 7− 1 2 J8
7
2
−1 3−1 7
3
2
−1 7− 1 2 1;<<
7
2
c#
σ "*1;F# 2
2
−1 7− 1 7
7
−1 2−1 7
2
σ "*7;7576711# 2
2
−1 3− 1 7
3
2
−1 5−1 7
5
2
−1 11− 1 2 8J1*
11
Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan mengenai definisi τ "n# dan
τ ( n ) =
σ "n#, yaitu jika n suatu bilangan bulat positif, maka
1 danσ ( n )=∑ d dimanad merupakansemua pembagi ∑ ∨ ∨ d n
d n
ulat positif dari n. karena
n d
pembagi bulat positif dari n pula, maka
rumus
σ "n# dapat juga ditulis dalam bentuk (
σ ( n ) =
σ ( n) n =n ∑ 1 #sehingga =∑ 1 ! ∑ n ∨ d ∨ d ∨ d d n
d n
d n
27
Humus
σ ( n ) n
merupakan jumlah kebalikan dari pembagi-pembagi
bulat positif dari n. Cnth Sal
'entukanlah
1 1 # ∑ $ ∑ ∨ d ∨ d d 5
d
12
Penyelesaian( a# Semua pembagi bulat positif dari 5 adalah 1 dan 5 sehingga
σ "5# 2
8 umlah semua kebalikan pembagi-pembagi dari 5 adalah
∑∨ d1 = 11 + 15 = 5 +5 1 = 65 d 5
b# Semua pembagi bulat positif dari 1* adalah 1,*,;,<,8,1*, sehingga σ "1*#2*Aumlah semua kebalikan pembagi dari 1* adalah 1 1 1 1 1 1 1 12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1 σ ( 12 ) 28 = + + + + + = = = ∑ d d d d d d d 12 12 12 ∨
d 12
BAB III
PENUTUP
A. 6es!m/ulan
28
'dapun kesimpulan yang dapat ditarik dari makalah ini adalah sebagai berikut( 1. 4asil kali dari faktor-faktor prima adalah tunggal, kecuali hanya berbeda urutan dari faktor-faktor prima tersebut. Pemfaktoran suatu bilangan bulat atas faktor-faktor prima yang tunggal itu terkenal dengan namaTeorema Dasar Aritmetika (Fundamental Theorem of Arithmetic) dan disebut faktorisai tunggal. ama teorema dasar aritmetika digunakan karena memberikan dasar dalam mengembangkan teorema lain dalam aritmetika.
*. erdasarkan sifat yang dimiliki oleh bilangan bulat dapat didefinisikan fungsi-fungsi khusus yang mempunyai peranan tertentu dalam teori bilangan. !ungsi-fungsi khusus tersebut sering disebut fungsi aritmetik "fungsi teori bilangan#.Pada umumnya, fungsi aritmetik didefinisikan mempunyai daerah asal pada himpunan semua bilangan bulat. 'pabila f suatu fungsi aritmetik, maka f ( 3 M dengan adalah himpunan semua bilangan bulat dan 3 adalah himpunan semua bilangan bulat positif. !ungsi-fungsi khusus tersebut adalah fungsi tau " τ # dan fungsi sigma "N#
a. !ungsi tau
τ "n# menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari
n, untuk n suatu bilangan bulat positif. b. ika n suatu bilangan bulat positif, maka fungsi sigma σ ( n) menyatakan jumlah semua pembagi bulat positif dari n, yakni.
29
σ ( n ) =
d ∑ ∨ d n
B. Saran
emikian yang dapat kami sampaikan dalam makalah ini.9ungkin masih banyak kekurangan yang perlu dibenahi.ami membuka lebar pintu kritik dan saran bagi yang berkenan, untuk pembenahan makalah ini.Sehingga kesalahan yang ada dapat dibenahi, serta menjadi pelajaran untuk pembuatan makalah selanjutnya yang lebih baik lagi.Semoga makalah ini dapat bermanfaat khususnya bagi penyusun, umumnya bagi semua yang berkenan menelaah makalah ini.
DAFTAR PUSTA6A
30
