AKAR PRIMITIF DAN INDEKS 10.1 Order Bilangan Bulat Positif Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a adalah bilangan bulat positif lainnya
. Maka, menurut , yaitu, . Secara sehingga
Teorema Euler, ada eksponen e sehingga umum,
tidak
perlu menjadi terkecil seperti
eksponen. Dengan prinsip pengurutan yang baik, selalu ada setidaknya bilangan eksponen positif. Sebagai contoh, mari kita menghitung sisa-sisa
pangkat dari setiap sisa
positif dari a modulo dan mencari yang terkecil seperti eksponen disetiap kasus. Seperti yang terlihat pada tabel dibawah ini.
Eksponen e positif terkecil sehingga
untuk setiap sisa positif adalah angka yang dilingkari dalam tabel diatas, yaitu, , dan untuk setiap dan . e disebut order modulo , sebuah konsep yang diperkenalkan oleh Gauss . Order Bilangan Bulat positif
. Maka, terdapat eksponen merupakan order dari modulo . Hal ini
Misalkan m dan a bilangan bulat positif sehingga
dinotasikan dengan .
positif
sehingga
yang
Contoh 10.1 Hitunglah dan .
. Untuk mengevaluasi setiap order, kita menghitung sedikitnya sisa dari pangkat dari dan modulo sampai mencapai sisa .
Solusi : Pertama, perhatikan bahwa
1
, , Dengan demikian, adalah eksponen positif sehingga
, sehingga
. Untuk mencari , perhatikan bahwa :
)
Dengan demikian , Jadi, untuk menghitung bilangan bulat positif
.
,
kita harus menghitung
modulo untuk
setiap
.
dan . Kemudian jika dan hanya jika .
Teorema 10.1 Misalkan a adalah sebuah bilangan bulat positif sehingga
. Menurut algoritma pembagian, dan sehingga , dimana . Kemudian,
BUKTI : Misalkan
ada bilangan bulat
, Tetapi,
, sehingga , di mana . Karena adalah bilangan bulat positif sehingga dan , anggap . Dengan demikian, dan karenanya . Sebaliknya, misalkan
. Kemudian untuk beberapa bilangan bulat positif
. Oleh karena itu , 2
Teorema ini memiliki konsekuensi yang sangat berguna dalam menghitung . Akibat 10.1 Misalkan adalah bilangan bulat positif sehingga
. Kemudian . Secara khusus, jika p adalah prima dan , maka
BUKTI : Menurut teorema Euler,
. Oleh karena itu, menurut Teorema 10.1, . Kasus khusus nya adalah ketika .
Jadi, untuk menghitung
, .
,
kita tidak perlu melihat semua pangkat positif dari
tetapi hanya perlu mempertimbangkan pangkat-pangkat positif
dari ,
yang di mana
Contoh 10.2 Hitunglah .
. Faktor-faktor positif d adalah , dan , sehingga hanya ini nilai yang mungkin dari .
Solusi: Pertama, perhatikan bahwa
Kemudian, cari modulo untuk setiap sampai sisanya menjadi :
,
tetapi
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa Akibat 10.2 Misalkan BUKTI: Misalkan
.
. Maka jika dan hanya jika
dan .
Ketika
( ) .
konsekuensi 4.6, ada modulo m. Oleh karena itu,
Artinya ,
.
Jadi, menurut Teorema 10.1, , maka, 3
.
Jadi, menurut
Sebaliknya, misalkan
,
di mana
.
Maka
untuk
suatu
bilangan bulat . Oleh karena itu,
. Anda dapat periksa bahwa . Tetapi, , ketika
Contoh 10.3 Dari Contoh 10.2, kita peroleh
), di mana . Teorema 10.2 Misalkan
dan k sembarang bilangan bulat positif. Maka
.
dan . Kemudian dan , dan bilangan bulat positif sehingga . Ketika,
BUKTI : Misalkan
dimana
menurut Teorema 10.1 , . , , sehingga . Dengan demikian, dan karenanya, . Jadi, . Tetapi , sehingga . Karena
Dengan demikian, dan . Oleh karena itu,
, sehingga:
Contoh 10.4 Dalam Contoh 10.2, kita peroleh bahwa
Teorema 10.2,
.
.
Oleh karena itu, menurut
Untuk mengkonfirmasi hal ini,
perhatikan bahwa:
4
Jadi, , seperti yang diperoleh dengan menggunakan teorema 10.2.
dan sembarang bilangan bulat positif. Maka jika dan hanya jika
Akibat 10.3 Misalkan
BUKTI : Menurut teorema 10.2,
. Hal ini sama dengan jika dan hanya jika
. Contoh : Dari contoh sebelumnya, kita peroleh bahwa
.
Maka,
,
karena
Akar Primitif Misalkan α adalah bilangan bulat positif sehingga primitif modulo jika
.
Maka α adalah akar
.
Contoh 10.6 Tunjukkan bahwa adalah akar primitif modulo !
, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa dan jika . Karena , kita menghitung modulo :
Solusi : Karena
Dengan demikian
, dan karenanya adalah akar primitif modulo .
Akar Primitif Modulo Bilangan Fermat Prima 2 merupakan akar primitif modulo bilangan fermat p rima
.
Contoh 10.7 Tunjukkan bahwa bukan akar primitif modulo sebarang bilangan fermat prima ,
dimana
.
BUKTI: Kita ketahui ketahui bahwa :
5
Maka,
, karena Dengan demikian, bukan akar primitif modulo , untuk Teorema 10.3 Jika
adalah akar primitif modulo
modulo adalah dan relatif prima terhadap . relatif mereka kongruen modulo .
BUKTI: Akan dibuktikan
• Untuk
,
menurut akibat 3.2,
,
maka setidaknya sisa-sisa dari
bilangan
permutasi dari
prima dengan
dan
untuk
bulat positif
tidak ada dua dari
setiap k bilangan bulat
positif. • Untuk menunjukkan bahwa tidak ada dua dari pangkat pertama dari α adalah kongruen modulo m, anggap bahwa
, di mana , .
. Kemudian, berdasarkan Akibat 10.2, . Tapi , jadi . Dengan demikian , tidak ada dua dari pangkat α yang kongruen modulo . Dengan demikian, setidaknya sisa dari Asumsikan lebih lanjut bahwa
modulo adalah dan relatif prima terhadap . . terhadap .
penyusunan kembali
bilangan bulat positif
bilangan bulat positif dan relatif prima Mereka adalah . Dan adalah akar primitif modulo . Yang pertama, pangkat dari yaitu . Setidaknya, sisa modulo dari keenam pangkat dari . Dengan penyusunan tersebut masing-masing adalah kembali, maka sisa sisanya adalah .
Contoh 10.8 Misalkan
Terdapat
6
mempunyai akar primitif, maka ia memiliki akar primitif. Secara khusus, jika adalah sebuah bilangan prima , maka ia mempunyai akar
Akibat 10.4 Jika
akar primitif. BUKTI : Misalkan
menjadi akar primitif modulo
.
Maka, menurut Teorema 10.3,
modulo adalah berbeda dan relatif prima terhadap . Berdasarkan akibat 10.3, jika dan hanya jika , yaitu, adalah akar primitif modulo jika dan hanya jika . Tetapi, terdapat bilangan bulat positif dan relatif prima terhadap . Dengan demikian, memiliki akar primitif. setidaknya, sisa dari
Contoh 10.10 Tentukan akar primitif kongruen modulo . Solusi : Berdasarkan trial and error , kita dapatkan bahwa adalah akar primitif modulo
.
akar primitif , di modulo , yaitu,
Oleh karena itu , berdasarkan akibat 10.5, memiliki
. Dengan demikian, dalam pengurutan dari kecil sampai terbesar. mana
10.2 Menguji Bilangan Prima Kita dapat menggunakan konsep order bilangan bulat untuk menguji bilangan prima. Teorme Lucas’ ditemukan pada tahun 1876, melakukan satu pengujian yang didasarkan pada fakta bahwa bilangan bulat positif n adalah bilangan prima jika dan hanya jika n n 1. Teorema 10.4 (Lucas 'Teorema) Misalkan n bilangan bulat positif. Jika ada x bilangan bulat
positif sehingga
dan
2 (n1) / q
untuk semua
faktor prima q dari n 1 , maka n adalah prima. Bukti : Misalkan
x e ,
dari x n 1 1
,
menurut Teorema 10.1, e | n 1. Akan
ditunjukkan bahwa e n 1 , sehingga diasumsikan bahwa e n 1. Karena e | n 1 ,
n 1 ke untuk beberapa bilangan bulat Kemudian: x
(n 1) / q
x
ke / q
. Misalkan
( xe )
7
(k / q)
q menjadi faktor utama dari .
yang merupakan kontradiksi. Jadi e n 1 , sehingga x n 1 n , karena n 1
x | n n 1 . Dengan demikian, n adalah prima. Contoh 10.11 Dengan menggunakan teorema Lucas ', tunjukkan bahwa
adalah
prima. Solusi: Kita harus memilih x 2 untuk menunjukkan bahwa n memenuhi kondisi uji. Pertama,
perhatikan bahwa :
21116
2
293 293 11 750 750
100 11
216
, Ketika ,
Ketika
2558
70 750 750
1
mod 1117
faktor prima dari n 1 1116 adalah
Karena
2 ( n 1) / q
.
( 250 )11 28
6911 256 256
1069
256 256
1
mod 1117
2 ( n 1) / q
2 372
69 7 256 256
( 2 50 ) 7 2 22 1069
256 256
1
mod 1117
Ketika
2 ( n 1) / q
2 36
93
Dengan demikian, 21116 / q
( 210 ) 3 2 6
331 mod 1117 3 64 1000 64 331
untuk semua faktor prima q dari . Oleh karena
itu, dengan menggunakan teorema Lucas ', adalah prima. Akibat 10.5 Misalkan n bilangan bulat positif ganjil. Jika ada x bilangan bulat positif sehingga
x ( n 1) / 2 1 (mod n ) dan x (n1) / q n untuk semua faktor prima ganjil q dari n 1 , maka n adalah bilangan prima. 8
BUKTI: Karena x ( n 1) / 2
ketika
1 (mod n), x
n 1
atau q adalah
( x ( n 1) / 2 ) 2
(1)
2
1 (mod n)
setiap faktor utama
sehingga x ( n
1) /
q
1 (mod
n)
n 1 . Dengan demikian , kedua
kondisi ini sesuai dengan teorema Lucas ', maka n adalah bilangan prima Contoh 10.12 Dengan menggunakan Akibat 10.5 , tunjukkan bahwa
adalah prima .
Solusi : Kita akan menggunakan x 5 . Karena n 1 = 1212 = 22 · 3 · 101 , faktor prima n 1
adalah dan . Perhatikan bahwa
5( n
1) 2
5606
5 5 100 6
252 ) ( 252
6
4
1069
497 497 1069
1 (mod
1213 )
Ketika q 3,
5( n
1) q
5 404
5
( 252 252 )
100 4
4
625 625
5
4
21 625 625
995 995 (mod 1213 )
Ketika q 101,
5 ( n 1) q
512
510 5 2
( 238)
25 115 (mod 1213)
Dengan demikian , dalam kedua kasus , 5 (n1) / q
, sehingga 1213 adalah prima.
10.3 Akar Primitif untuk Bilangan Prima Berdasarkan konsekuensi 10.4, kita temukan bahwa jika suatu bilangan positif
memiliki akar primitif, maka ia memiliki akar primitif. Contohnya, 8 tidak memiliki akar primitive. Perhatikan bahwa . Agar bilangan bulat positif a menjadi akar primitif . Kemudian modulo 8, maka dan a harus ganjil. Jadi . Jadi . Akibatnya, , oleh karena itu a bukan akar primitif.
9
Terdapat ciri-ciri jenis bilangan bulat positif
yang
memiliki akar primitif. Pertama,
akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan prima memiliki akar primitif. Untuk itu, kita perlu mengetahui dasarnya dengan menggunakan kongruensi polinomial. Setiap merupakan
polinomial dengan koefisien integral. Suatu bilangan bulat adalah sebuah solusi dari jika . Jelas, jika , maka juga solusi modulo m. Contoh 10.13 Tentukan apakah
kongruen polinomial!
Solusi: Fungsi tersebut memiliki dua solusi kongruen modulo13, yaitu 4 d an 10:
Tetapi kongruensi tidak mempunyai solusi. Teorema 10.5 (Teorema Lagrange ) Misalkan
polinomial berderajat Kemudian kongruesi
∑
merupakan sebuah
dengan koefiesien integralnya, dimana . memiliki paling banyak solusi
kongruen modulo .
, , dimana . Karena , kongruensi memiliki solusi unik, berdasarkan konsekuensi 4.6. Jadi, ketika , mempunyai paling banyak 1 solusi. Teorema ini berlaku ketika . Kemudian, anggap itu benar untuk polinomial derajat merupakan polinomial derajat , dimana . Jika Misalkan ∑ i tidak memiliki solusi, maka berikut hasilnya. Jadi kita asumsikan bahwa ia memiliki setidaknya 1 solusi , dimana . Misalkan menjadi hasil bagi dan (bilangan bulat) merupakan sisanya ketika dibagi dengan , dimana adalah polinomial derajat dengan
BUKTI : Ketika
koefisien integral. (Berikut ini berdasarkan Teorema Sisa). Maka,
diperoleh
10
Oleh karena itu,
. Misalkan merupakan dimana . Kemudian dimana derajat
solusi kongruen lainnya dari
ini berarti Dengan demikian setiap solusi dari berbeda dari , merupakan solusi dari Jelas, bahwa setiap solusi dari juga solusi dari Karena derajat menggunakan hipotesis induktif, mempunyai solusi , sehingga paling banyak solusi solusi. Karena
Jadi, dengan induksi, Teorema ini berlaku untuk setiap polinomial berderajat Contoh: Polinomial
berderajat 2 dan kongruen
.
mempunyai paling banyak 2 solusi dari modulo 13.
adalah bilangan prima dan , maka memiliki tepat solusi kongruen modulo . Berdasarkan Teorema Fermat, memiliki tepat solusi modulo , yaitu 1 sampai . Karena ,
Teorema 10.6 Jika
BUKTI:
= ( ) ( + + + + 1 ) = (
)
di mana = + +
+ + 1 adalah polinomial derajat , berdasarkan Teorema Lagrange memiliki paling banyak solusi kongruen . Oleh karena itu, memiliki setidaknya ( 11
=
solusi kongruen. Menurut Teorema Lagrange,
kongruen persis modulo . memiliki paling banyak
x 3
1
1
( x 1)( x 2
x 1 .
)
0 ( mod 13 )!
x 1) dan kongruensi x 3
0 (mod 13) atau x 2
menghasilkan
≡ 0 (
solusi kongruen. Dengan demikian, ia memiliki solusi
Contoh 10.14 Cari solusi yang kongruen dengan 3 Solusi: Karena x
x 1
Karena
x 2
0 (mod 13 ) . x 1 x
2
1
0 (mod 13 ) menyatakan
Kekongruenan x 1 0 (mod13) x 12
( x 4)( x 3) 0 (mod 13 ) ,
x 3 (mod13) atau x 4 9 . Fungsi tersebut tidak memiliki solusi kongruen lainnya. Dengan demikian, kekongruenan yang diberikan memiliki tepat tiga solusi kongruen, yaitu 1, 3 , dan 9. Teorema Lagrange dapat ditulis dalam bentuk berikut : Misalkan
∑
merupakan
dengan koefiesien integralnya. Apabila kongruesi memiliki lebih dari solusi kongruen, maka untuk setiap . sebuah polinomial berderajat
Akibat 10.7 (Teorema Wilson) Jika adalah prima, maka p BUKTI: Misalkan f ( x) ( x 1)( x 2)...( x p 1) x
berderajat x p
1
1
solusi
p 2
dengan
koefisien
1
1 .
integral.
Jelas, f ( x) adalah polinomial Menurut
teorema
Fermat,
0 (mod p ) memiliki p 2 solusi kongruen. Masing-masing juga merupakan
dari
.
f ( x) 0 (mod p) memiliki
solusi
Oleh
karena
itu,
kongruen. Sehingga, setiap koefisien dari
f ( x) harus kongruen dengan 0 modulo . Secara khusus, istilah f (0) harus kongruen dengan 0 modulo . Tetapi,
[ ] (-1) Oleh karena itu,
,yaitu . 12
jika adalah ganjil, maka .Dengan demikian di kedua kasus, diperoleh
Jika
, maka
dan . Misalkan menunjukkan banyaknya sisa kongruen dari order d . Hitung dan untuk setiap , dan ∑ !
Contoh 10.15 Misalkan
atau anyaknya dari kongruen dari order , sisa kongruen dari order , dan tercantum pada tabel berikut. Solusi : Karena
sisa
Dari tabel, diperoleh bahwa,
∑ ∑ Teorema 10.6 Misalkan bilangan prima dan faktor positif positif utama utama dari
. Maka, terdapat
persis kongruen bilangan bulat modulo . BUKTI : Untuk setiap faktor positif dari , misalkan menunjukkan banyaknya sisa
oleh order . Karena ada sisa positif dan masing-masing memiliki suatu order yang unik, sisa positif dari order d agar membentuk partisi dari
positif modulo
himpunan sisa positif. Oleh karena itu,
∑ Tapi, menurut Teorema 8.6,
∑
13
Oleh karena itu,
∑ ∑
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
untuk
setiap
.
Untuk tujuan ini,
harus dipertimbangkan dua kasus. Kasus 1 Misalkan Kasus 2 Misalkan
.
. Kemudian,
.
jelas ,
, sehingga ).
Kemudian harus ada suatu bilangan bulat dari order
modulo
: kongruen , karena
Oleh karena itu, menurut akibat 10.3, bilangan bulat
modulo
.
Selain itu, masing-masing solusi dari
,
.
Karena itu, menurut Akibat 10.6, ini
merupakan solusi kongruen dari kongruensi
dan ord p |
dimana
berdasarkan Teorema 10.1. Tapi, berdasarkan Akibat 10.3, =
.
jika dan hanya jika
bilangan bulat positif dan relatif prima terhadap , maka terdapat tepat ) sisa dari modulo yang memiliki order . Oleh karena itu Karena ada
. Jadi, haruslah untuk semua . Dengan kata lain , ada persis bilangan bulat kongruen ( atau sisa ) dari order modulo p. Dengan demikian, dalam kedua kasus,
Contoh 10.16 Tentukan banyaknya bilangan bulat kongruen order
modulo ,
di mana
. , atau . Misalkan menunjukkan sisa kongruen dari order modulo . Kemudian,
Solusi : Karena
Karena
, berarti ada empat akar primitif p rimitif modulo 13.
14
banyaknya
Akibat 10.8 Setiap bilangan prima
memiliki
akar primitif kongruen
, menurut Teorema 10.6, ada bilangan bulat kongruen dari order modulo . Masing-masing dari mereka, menurut definisi, adalah akar primitif. Oleh karena itu , ada ad a akar primitif modulo .
BUKTI : Karena
Fakta bahwa setiap bilangan prima memiliki akar primitif ditemukan oleh Euler pada tahun 1773. Dia bahkan membuat sebuah daftar akar primitif modulo bilangan prima ≤ 37 .
10.4 Bilangan Komposit Komposit Dengan Akar Primitif Primitif Pada pembahasan yang lalu, telah ditetapkan bahwa setiap bilangan prima mempunyai suatu akar primitif, faktanya, ia mempunyai akar primitif
Didalam contoh 10.9, kita
3
menemukan bahwa 54= 2.3 mempunyai (enam) akar primitif tidak kongruen. Untuk menunjukkannya, kita mulai dengan menunjukkan bahwa mempunyai suatu akar primitif.
Contoh 10.17
Diketahui bahwa
adalah satu-satunya akar primitif modulo .
Ini
; untuk . Dengan demikian, adalah akar primitif modulo dan . Demikian juga, adalah suatu akar primitif modulo dan .
juga suatu akar primitive modulo
Akibat 10.1 Misalkan
akar primitif modulo dari suatu bilangan ganjil prima
. Kemudian
. BUKTI :
Misalkan
.
Asumsikan bahwa
.
). Kita mempunyai ( )
15
Kemudian
Hasil ini
yaitu,
Ini adalah suatu kontradiksi.
Karena α adalah suatu akar primitif. Sehingga ,
Contoh 10.18. Diketahui
adalah
akar primitif modulo 7. Periksa bahwa
. Bukti :
Oleh karena itu, . Perhatikan bahwa
adalah suatu akar primitif modulo suatu kemudian juga atau adalah suatu akar primitif modulo . Jika
Teorema 10.7
bilangan prima ,
BUKTI :
Karena
adalah suatu akar primitif modulo , Misalkan
. Kemudian , jadi tetapi Oleh karena itu, . Karena , jadi . Kemudian untuk setiap bilangan bulat Oleh karena itu, , jadi . Dengan demikian, atau sehingga atau . Kasus 1
Misalkan
. Kemudian maka adalah suatu akar primitif modulo .
Kasus 2
. Kita akan menunjukkan bahwa adalah suatu akar , juga suatu akar primitif modulo . Dimana primitif modulo . Ketika atau . Tetapi, menurut Lemma 10.1, . Jadi Misalkan
. Maka, adalah suatu akar primitif modulo .
16
Teorema ini menunjukkan bahwa kuadrat dari setiap setiap bilangan prima ganjil mempunyai suatu akar primitif.
adalah suatu akar primitif modulo dari dan . Dalam Contoh 10.18, kita menemukan bahwa adalah suatu akar primitif modulo . Walaupun bukan suatu akar primitif modulo , adalah suatu akar primitif modulo . Dapat ditunjukkan bahwa tiap-tiap dari suatu bilangan prima ganjil mempunyai suatu akar primitif. Kita tahu bahwa benar untuk dan . Maka kita akan menunjukkan lagi bahwa benar untuk . Contoh 10.19 Ingat kembali Contoh 10.17 bahwa
Akibat 10.2 Misalkan
). .
suatu
akar primitif modulo suatu bilangan prima ganjil
Kemudian
untuk tiap-tiap bilangan bulat
. BUKTI :
Ketika
,
. Asumsikan adalah benar untuk sebarang bilangan bulat
berdasarkan hipotesis. Kemudian, pernyataan ini adalah benar untuk
Karena
, . Maka,menurut teorema Euler ’s,
Kemudian
Maka,
untuk beberapa bilangan bulat , dengan Sekarang ambil pangkat ke dari kedua persamaan diatas 17
. Dimana
p
2
Ketika
, maka
Dengan demikian, menurut induksi, pernyataan diatas benar untuk setiap bilangan bulat
Teorema 10.8 Setiap perpangkatan
primitif, dimana
dari
suatu bilangan prima ganjil
.
mempunyai
akar
.
BUKTI :
suatu akar primitif modulo . Jika akar primitif modulo , maka . Jika bukan akar primitif modulo , maka menurut Teorema 10.7, adalah akar primitif modulo , dimana dan . Didalam kedua kasus, adalah akar primitif sehingga . (Catatan : jika akar primitif modulo , sehingga . Menurut Lemma 10.2 Misalkan
Untuk setiap bilangan bulat . Kita akan menunjukkan adalah akar primitif modulo Diasumsikan bahwa
, bahwa .
. Then dimana . Ketika
, dengan . Misalkan untuk bilangan bulat . Dimana , yaitu . Jadi , dimana dan . Jika maka,
Yang mana merupaka kontradiksi. Oleh karena itu, dan . Dengan demikian, akar primitif modulo untuk . Akibat 10.3 Kuadrat dari setiap bilangan bulat ganjil adalah kongruen dari modulo .
18
BUKTI :
bilangan bulat ganjil, misalnya untuk setiap bilangan bulat . Maka . Karena , jadi, Misalkan
Teorema 10.9 Bilangan bulat Bilangan bulat tidak mempunyai akar primitif jika
.
BUKTI :
Misalkan mempunyai suatu akar primitif . Maka
. Tetapi,
, maka adalah ganjil. Menurut Lemma 10.4, Akibatnya, , yang merupakan kontradiksi. Maka, tidak mempunyai akar karena
primitif untuk
.
Suatu bilangan bulat positiftidak memiliki suatu akar primitif , jika bilangan tersebut membagi dua bilangan prima ganjil berbeda, atau jika dapat ditulis dalam bentuk dimana
dan p
adalah bilangan prima ganjil.
Akibat 10.5 Bilangan bulat ab tidak memiliki akar primitif jika
dan
BUKTI :
mempunyai suatu akar primitif . Kemudian dan Karena . Misalkan . Karena , keduanya and menurut Misalkan
Teorema 8.5, maka
.
Karena
dan
, =
bulat. Tetapi
, jadi Karena
and ,
[ ] 19
[Catatan : ]
adalah bilangan
Dengan cara yang sama, . Dimana, , yang mana merupakan suatu kontradiksi. Karena adalah suatu akar primitif modulo dan , maka tidak mempunyai akar primitif. Sebagai contoh, tidak punya akar primitif, karena , diman dan . Dimana , tidak mempunyai akar primitif.
TEOREMA 10.10 Suatu bilangan bulat positif tidak tidak mempunyai akar primitif jika jika mempunyai
dua factor bilangan prima ganjil yang berbeda, atau jika berbentuk bilangan prima ganjil dan
, di mana adalah suatu
.
BUKTI :
Suatu bilangan bulat positif
mempunyai dua
faktor bilangan prima prima ganjil berbeda
dan . Kemudian, menurut Lemma 10.5, dan tidak mempunyai akar primitif.
, di mana dan adalah suatu bilangan prima dengan dan , tidak mempunyai
Pada sisi lain, misalkan ganjil. Menurut Lemma 10.5 suatu akar primitif. Contoh 10.21. bilangan bulat
tidak
memiliki akar primitive, karena bilangan
tersebut membagi dua bilangan prima ganjil berbeda.
Teorema 10.11 Bilangan bulat
,
di mana
adalah
suatu bilangan prima ganjil,
mempunyai suatu akar primitif. BUKTI :
Misalkan suatu akar primitif modulo . Maka
Kasus 1 : Misalkan
adalah bilangan ganjil. ( Kita akan menunjukkan bahwa adalah suatu
akar primitif modulo ). Karena
,
karena adalah bilangan ganjil, jadi 20
( 10.3 )
( 10.4 )
Oleh karena itu, menurut kongruensi kongruensi (10.3) dan (10.4),
, yaitu Misalkan . Maka, , Dengan demikian, dan jelas merupakan kontradiksi. Sehingga dan adalah akar primitif modulo . Kasus 2 : Misalkan adalah bilangan genap. Maka, adalah bilangan ganjil, jadi
. yaitu, . Sama seperti pada kasus 1, adalah akar primitif modulo . Dengan demikian,
Selain itu, karena ,
adalah akar primitif. Teorema 10.12 Bilangan bulat positif yang memiliki akar primitif adalah dan
,
dimana adalah bilangan prima ganjil dan adalah bilangan bulat positif.
10.5 Indeks Aljabar Konsep indeks yang analog dengan logaritma diperkenalkan oleh Gauss di Disquisition di Disquisitiones es Arithmeticae Arithmeticae nya. Seperti yang akan kita pelajari, konsep indeks sangat berguna untuk memecahkan kongruensi tertentu dan sisa-sisa komputasi. Misalkan
merupakan akar primitif modulo bilangan bulat positif m . Misalkan
k bilangan bulat positif ≤ 18 dan relatif pr ima ima untuk itu. Kemudian a 5 (mod 18) untuk beberapa
bilangan bulat positif k , di mana 1 k 6 . Sebagai contoh, jika a = 13, maka k = 4 maka 13 ≡ 4
5 (mod 18 ). Oleh karena itu , kita mengatakan bahwa 4 adalah indeks dari 13 ke basis 5 modulo 18 dan membuat definisi sebagai berikut.
21
Indeks
Misalkan m bilangan bulat positif dengan
akar primitif, dan
sehingga (a, m) 1 . Kemudian k bilangan bulat positif sehingga indeks a ke basis
modulo
m . Hal ini dilambangkan dengan
bilangan bulat positif
a disebut
atau .
Perhatikan
bahwa 1 k (m) . Contoh 10.23 Bilangan bulat adalah akar primitif modulo . Akan ditunjukkan bahwa:
51 5 (mod 18)
52 7 (mod 18)
5 3 17 (mod 18 )
5 4 13 (mod 18)
55 11 (mod 18)
5 6 1 (mod 18)
ind5 5 = 1
ind5 7 = 2
ind5 17 = 3
ind5 13 = 4
ind5 11 = 5
ind5 1 = 6
Akibatnya,
Misalkan, kita ambil akar primitif modulo yang berbeda, misalnya . Sehingga,
1 11 11 (mod 18)
11 2 13 (mod 18 )
113 17 (mod 18 )
11 4 7 (mod 18 )
115 5 (mod 18 )
11 6 1 (mod 18)
Akibatnya, ind11 5 = 5
ind11 7 = 4
ind11 17 = 3
ind11 13 = 2
ind11 11 = 1
ind11 1 = 6
Perhatikan bahwa, secara umum, ind5 a ≠ ind11 a . Misalnya, 2 = ind5 7 ≠ ind11 7 =4. Akibatnya, nilai indα a tergantung pada akar primitif (dan modulus m ).
Ditunjukkan dari definisi bahwa, seperti dalam kasus logaritma, indα a adalah bilangan positif eksponen. Perhatikan bahwa,
a a
positif eksponen terkecil, di mana a
(m) .
22
m dan bahwa indα a adalah bilangan
m Untuk melihat bagaimana ind a dan ind b yang terkait, indα a mari kita anggap bahwa anggap bahwa α adalah akar primitif modulo m . Kemudian α ≡ a ( mod m ) dan indα b indα a indα α ≡ b ( mod m ). Karena a ≡ b ( mod m ), α ≡α b m Kemudian, menurut
Misalkan a ≡ b
Corollary 10.2, indα a = indα b . Dengan demikian, a ≡ b ( mod m ) jika dan hanya jika indα a = indα b .
Ingat dari Contoh 10.23 bahwa Karena , ind5 67 = 4. Dengan demikian, ind5 13 = ind5 67. Sebagai contoh ,
indα
Properti α
a ≡ a (mod m ) mengingatkan kita pada properti logaritma, b logb
untuk setiap basis b dan setiap bilangan real positif jika dan hanya jika
ind513 = 4.
b m mengingatkan
. Demikian pula, properti
a
= a
indα a = indα b
kita pada properti logaritmik lainnya yaitu
log b x = log b y jika dan hanya jika x = y . Indeks mematuhi tiga sifat tambahan, analog dengan sifat properti logaritma, yaitu sebagai berikut :
1 0
log
log b xy log b x log b y
log b ( x n ) n log b x
b
Mereka disajikan dalam teorema berikut.
Teorema 10.13 Misalkan m bilangan bulat positif dengan
akar primitif , dan a dan b
merupakan bilangan bulat positif relatif prima terhadap m . Maka :
ind 1 0 (mod
ind (ab ) ind a ind b (mod
ind (a n ) n ind a (mod
( m )) (m ))
( m))
BUKTI :
1.) Ketika ketika
( m )
adalah
1 (mod
akar primitif modulo m, (m) adalah bilangan bulat positif terkecil
m) . Akibatnya, indα1 =
( m)
23
0(mod (m)).
2.) Berdasarkan definisi,
ab ind a
ind a
ind b
≡ a (mod m ) dan ind aind b
Sekali lagi, menurut definisi ab
ind ( ab )
ind ( ab )
ind a b
b (mod m) . Oleh karena itu,
(mod m)
(mod m) .Dengan demikian,
ind a ind b (mod m )
Oleh karena itu, berdasarkan Corollary 10.2, ind (ab ) ind a ind b (mod 3.) berdasarkan definisi, n ind a
ind ( a n )
(a ind a ) n
( m )) .
a n (mod m) . Tetapi
a n (mod m)
Dengan demikian, ind ( a n )
nind a
(mod m)
ind (a n ) n ind a (mod (m )) Contoh 10.24 Periksa bagian (2) dan (3) dari Teorema 10.13 dengan
=5, m =18, a =11, b
=13, dan n =7. Solusi :
Dari contoh 10.23, ind511=5 dan ind513=4. 1.) ind511 + ind513 = 5 + 4 3 (mod 6). [Catatan:
(18)
6. ]. Dengan komputasi secara langsung,
ind5(11 13 ) = ind 517 = 3
ind5 11 + ind513 ( mod 6 ) 2. ) 7 ind511 = 7 5 5 ( mod 6 ) 7 Dengan komputasi secara langsung, ind5 (11 ) = ind5 11 5 ( mod 6 )
24
7 Dengan demikian, 5 (11 ) 7 ind5 11 ( mod 6 ). b Indeks sangat digunakan dalam memecahkan kongruensi dari bentuk ax c (mod m ) dan
ax bx c (mod m) ,dimana (a, m) 1 . Contoh 10.26 Selesaikan kongruensi 8 x 3 (mod 13) 5
Solusi :
Catatan : 2 adalah akar primitif modulo 13. Sehingga, dapat dibuat dalam tabel di bawah ini :
5 Kita mempunyai 8 x 3 (mod 13) . Kalikan ind2 pada kedua ruas :
ind 2 (8 x 5 ) ind 2 3 (mod 12)
Menurut Teorema 10.13, didapatkan
ind 2 8 5 ind 2 x ind 2 3 (mod 12 ) Berdasarkan tabel di atas, maka didapatkan :
3 5 ind 2 x 4 (mod 12) 5 ind 2 x 1 (mod 12)
ind 2 x 5 (mod 12) x 6 (mod 13)
25
KESIMPULAN
Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa :
Misalkan dan bilangan bulat positif sehingga
sehingga yang setiap bilangan bulat positif .
positif
. Maka, terdapat eksponen merupakan order dari modulo , untuk
Misalkan a adalah sebuah bilangan bulat positif sehingga Kemudian
dan .
jika dan hanya jika e | n . . Kemudian adalah prima dan ,
Jika a adalah bilangan bulat positif sehingga
. Secara maka
khusus, jika p
, kita tidak perlu melihat semua pangkat positif dari yang , tetapi hanya perlu mempertimbangkan pangkat-pangkat positif dari , di mana . Untuk menghitung
Misalkan
dan k sembarang bilangan bulat positif. Maka .
dan k sembarang bilangan jika dan hanya jika
Jika
bulat positif. Maka
adalah akar primitif modulo , maka setidaknya sisa-sisa dari modulo adalah permutasi dari bilangan bulat positif dan relatif prima Jika
terhadap m.
Setiap bilangan prima memiliki akar primtif.
Akar primitif suatu bilangan bulat positif tidak unik.
Teorema Lucas . Misalkan
bahwa x n
1
1 (mod
bilangan
n) dan x ( n
1) /
q
bulat positif. Jika ada x bilangan bulat positif
1 (mod
n) untuk semua faktor prima q dari n 1 ,
maka n adalah prima. Misalkan n bilangan bulat positif yang aneh. Jika ada x bilangan bulat positif sehingga x
26
( n 1) / 2
1 (mod n ) dan
x (n 1) / q 1 (mod n )
untuk semua faktor prima ganjil q dari n 1 , maka n adalah bilangan prima.
(Teorema Lagrange ) Misalkan
∑
merupakan sebuah polinomial
dengan koefiesien integralnya, dimana . Kemudian kongruesi memiliki paling banyak solusi kongruen modulo . Jika adalah bilangan prima dan , maka memiliki tepat solusi kongruen modulo . Teorema Wilson. Jika Wilson. Jika adalah prima, maka Misalkan bilangan prima dan faktor positif utama dari . Maka, terdapat persis kongruen bilangan bulat modulo . Setiap bilangan prima memiliki akar primitif kongruen. Jika adalah suatu akar primitif modulo suatu bilangan ganjil prima , kemudian juga atau adalah suatu akar primitif modulo . Setiap dari suatu bilangan prima ganjil mempunyai akar primitif, dimana . Bilangan bulat Bilangan bulat tidak mempunyai akar primitif jika . Kuadrat dari setiap bilangan bulat ganjil adalah kongruen dengan modulo . Bilangan bulat tidak memiliki akar primitif jika dan
Suatu bilangan bulat positif tidak mempunyai akar primitif primitif jika mempunyai dua factor
berderajat
bilangan prima ganjil yang berbeda, atau jika berbentuk di mana bilangan prima ganjil dan
Bilangan bulat
adalah
suatu
.
, di mana adalah suatu bilangan prima ganjil, mempunyai suatu
akar primitif.
Bilangan bulat yang memiliki akar primitif adalah , dimana adalah bilangan prima ganjil dan adalah bilangan bulat positif.
Misalkan m bilangan bulat positif dengan a akar primitif bulat positif relatif prima terhadap terhadap m . Kemudian :
ind 1 0 (mod (m)) ind (ab) ind a ind b (mod ind (a n ) n ind a (mod
27
( m))
(m ))
, dan a dan b bilangan