1
BAB I
PEMBAHASAN
KONGRUENSI
Sifat – sifat Dasar
Defenisi 1.1
Ditentukan a,b,m Z
a disebut kongruen dengan b modulo m ata ditulis a b (mod m) jika (a – b) habis dibagi m yaitu m" (a-b). Jika (a – b) tidak habis dibagi m yaitu m (a-b) maka a b (mod m), dibaca a tidak kongruen dengan b modulo m.
Maka:
a b (mod m) jika dan hanya jika m" (a-b)
Contoh:
25 1 (mod 4) sebab (25 – 1) habis dibagi oleh 4
8 4 (mod 2) sebab (8 – 4) habis dibagi oleh 2
5 -4 (mod 9) sebab (5 – (– 4) ) habis dibagi oleh 9
31 5 (mod 6) sebab (31 – 5) tidak habis dibagi oleh 6
Teorema 1.2
a b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan k sehingga a=mk+b
Bukti:
Jika m > 0 maka m" (a-b) jika dan hanya jika a b (mod m). m" (a-b) ada bilangan k sehingga (a – b) = mk , sama artinya dengan a=mk+b. Sehingga a b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan k sehingga a=mk+b.
Contoh:
26 4 (mod 11) sama artinya dengan 26 = 11 . 2 + 4
53 5 (mod 8) sama artinya dengan 53 = 8 . 6 + 5
Jika a dan m bilangan – bilangan bulat dan m . 0 maka a dapat dinyatakan sebagai a = mq + r dengan 0 r < m. Ini berarti bahwa a – r = mq yaitu a r (mod m) Karena 0 r < m maka ada m buah pilihan r yaitu 1, 2, 3,..., (m – 1). Jadi setiap bilangn bulat kongruen modulo m.
Teorema 1.3
Pada a r (mod m) dengan 0 r < m maka r disebut residu terkecil dari a modulo m. untuk kongruen ini {0,1,2,3,…, (m – 1)} disebut himpunan residu terkecil modulo m.
Contoh:
Residu terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1
Residu terkecil dari 34 modulo 5 adalah 4
Walaupun 34 9 modulo 5 tetapi 9 bukan residu terkecil dari 54 modulo 5.
Defenisi 1.4
Pada a r (mod m) dengan 0 r < m maka r disebut residu terkecil dari a modulo m. untuk kongruen ini {0,1,2,3,…, (m – 1)} disebut himpunan residu terkecil modulo m.
Contoh:
Himpunan residu terkecil modulo 5 adalah {0,1,2,3,4}
Teorema 1.5
a b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.
Bukti:
Jika a b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m. Maka a r (mod m) dan b r (mod m) dengan r adalah residu terkecil modulo m atau 0 r < m.
a r (mod m) berarti jika a memiliki sisa r jika dibagi m maka a = mq + r untuk suatu q
b r (mod m) berarti jika a memiliki sisa r jika dibagi m maka b = mt + r untuk suatu t
Dari kedua persamaan diperoleh bahwa:
a – b = m (q – t) brarati m" (a-b) atau a b (mod m)
Contoh:
Jika n 7 (mod 8) maka n = 8k + 7 untuk suatu bilangan k dan n dibagi 8 bersisa 7. Misalnya 47 7 (mod 8) maka 8" (47-7) atau (47 – 7) = 8.5 sehingga 47 = 8.5 + 7
14 9 (mod 5)
14 4 (mod 5) berarti 14 = 5.2 + 4
9 4 (mod 5) berarti 9 = 5.1 + 4
Defenisi 1.6
Himpunan bilangan bulat r1, r2, r3,….., rm disebut sistem residu lengkap modulo m bila dan hanya bila setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara r1, r2, r3,….., rm.
Contoh:
{45, -9, 12, -22, 24} adalah sistem residu lengkap modulo 5.
Bukti:
Kita ketahui bahwa himpunan residu terkecil modulo 5 adalah {0,1,2,3,4}
45 0 (mod 5)
-9 1 mod 5
12 2 mod 5
-22 3 mod 5
24 4 (mod 5)
Teorema 1.7
Ditentukan a,b, c, x Z. Kongruensi memenuhi sifat – sifat:
Simetris
a b mod m b a mod m
Refleksi
a a mod m untuk semua a Z
Transitif
a b mod m dan b c mod m a c mod m
a b mod m ax bx mod m
a b mod m dan c d mod m a+c b+d mod m
a b mod m dan c d mod m ac bd mod m
a b mod m ac bc mod mc
a b mod m dan d "m a b mod d
Defenisi 1.8
Ditentukan f adalah suatu fungsi polynomial dengan koefisien bilangan bulat jika a b mod m maka fa fb mod m.
Bentuk polinomial adalah fx p0xn+p1xn-1+ +pn
dengan p = 1, 2, 3,…, n
fa p0an+p1an-1+ +pn
fb p0bn+p1bn-1+ +pn
sehingga fa-fb=p0(an-bn)+p1(an-1-bn-1)+ +pn(a-b)
Selanjutnya
a b mod m dan a b mod m a2 b2 mod m m" (a2-b2)
a b mod m a2 b2 mod m a3 b3 mod m m" (a3-b3)
Karena
m a-b m pn-1(a-b)
m (a2-b2) m pn-2(a2-b2)
m (an-bn) m p0(an-bn)
jadi m" fa-fb fa-fb mod m
Contoh:
1. fx=x2-3x+5 maka f5=-3 mod 2
Penyelesaian
f5=-3 mod 2 sebab 2 (5—3 atau 2" 5+3 atau 2" 8
f5=52-35+5=15
f-3=-32-3-3+5=23
f5-f-3=15-23=-8
2 8 2 f5-f-3 f5 f-3 mod 2
2. . fx=2x3-x2+4x+1 maka f-2=1 mod 3
Penyelesaian
f-2=1 mod 3 sebab 3 (-2-1 atau 3"-3
f-2=2(-2)3-(-2)2+4-2+1=-27
f1=2(1)3-(1)2+41+1=6
f-2-f1=-27-6=-33
3-33 3 f-2-f1 f-2 f1 mod 3
Defenisi 1.9
Jika x y mod m maka y disebut residu dari x modulo m
Defenisi 1.10
Suatu sistem (x1, x2,…, xm) disebut residu yang lengkap modulo m jika untuk setiap (0 y < m) ada satu dan hanya satu xi (0 y < m) sehingga y xi mod m atau xi y mod m
Contoh:
6,7,8,9,10 adalah suatu sistem residu yang lengkap modulo 5, sebab untuk setiap y (0 y < 5) ada satu dan hanya satu x anggota 6,7,8,9,10
10 0 mod 5
9 4 mod 5
8 3 mod 5
7 2 mod 5
6 1 mod 5
Teorema 1.11
Jika x y mod m m" x-y maka x,m=(y,m)
Defenisi 1.12
Suatu himpunan bilangan bulat (x1, x2,…., xm) disebut suatu sistem residu tereduksi modulo m jika dan hanya jika :
(x1, m) = 1 dimana 1< i < k
xi xj mod m untuk setiap i j
Jika (y, m) = 1 maka y xi mod m untuk i=1,2,3,4,….
Contoh:
Buktikan bahwa {1,5} dan {17,91} adalah suatu sistem residu tereduksi mod 6
Jawab:
{1,5} adalah suatu sistem residu tereduksi mod 6, sebab
(1, 6) = 1 dan (5, 6) = 1
5 1 mod 6
(7, 6) = 1 maka 7 1 mod 6
(11, 6) = 1 maka 11 5 mod 6
(13, 6) = 1 maka 13 7 mod 6
{17,19} adalah suatu sistem residu tereduksi mod 6, sebab
(17, 6) = 1 dan (19, 6) = 1
19 17 mod 6
(23, 6) = 1 maka 23 17 mod 6
(25, 6) = 1 maka 25 19 mod 6
(29, 6) = 1 maka 29 23 mod 6
Defenisi 1.13
Ditentukan m Z+
Jika m prima, maka setiap bilangan bulat yang lebih kecil dari m relatif prima terhadap m. Dengan kata lain, m=m-1 hanya jika m prima.
Jika m = pq adalah bilangan komposit dengan p dan q prima, maka m= p. (q) = (p – 1)(q – 1).
Jika p bilangan prima dan k > 0, maka (pk) = pk – pk-1 = pk-1(p – 1) .
Untuk n = 1, 2, …, 10, fungsi Euler adalah
(1) = 0 (6) = 2
(2) = 1 (7) = 6
(3) = 2 (8) = 4
(4) = 2 (9) = 6
(5) = 4 (10) = 4
Banyaknya residu di dalam suatu sistem residu tereduksi modulo m disebut fungsi Euler dari m dan dinyatakan dengan (m).
Contoh:
Tentukan (21).
Jawab :
Karena 21 = 7 3, (21) = (7) (3) = 6 2 = 12 buah bilangan bulat yang relatif prima terhadap 21, yaitu 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20.
Tentukan (16).
Jawab:
Karena (16) = (24) = 24 – 23 = 16 – 8 = 8, maka ada delapan buah bilangan bulat yang relatif prima terhadap 16, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Teorema 1.14
Jika (a, m) = 1 maka a m 1 mod m
Contoh:
Untuk m = 4, (4) = 2, sehingga:
3 4=32 1 mod 4 (sebab (3, 4) = 1)
9 4=92 1 mod 4 (sebab (9, 4) = 1)
25 4=252 1 mod 4 (sebab (25, 4) = 1)
Tentukan nilai – nilai x yang memenuhi 9101 x mod 5 dan 0 x<5
Jawab:
9 5=94 1 mod 5
9101=9100.9 (94)25.9 mod 5
1. 9 mod 5
9 mod 5
4 mod 5
Jadi, x = 4
Defenisi 1.15
Jika p adalah suatu bilangan prima dan p a, maka ap-1 1 mod p
Bukti:
Karena p adalah suatu bilangan prima p a, maka (p, a) = 1 (jika (p, a) " 1 yaitu p dan a tidak relative prima dan a mempunyai faktor selain 1 dan p, bertentangan dengan sifat p sebagai bilangan prima)
Selanjutnya, karena (p, a) = 1, maka menurut dalil a m 1 mod m
P adalah bilangan prima, berarti dari bilangan – bilangan bulat: 0,1,2,3,…., p – 1
yang tidak relatif prima hanya 0, maka 1,2,3,…, p – 1 merupakan sistem residu tereduksi mod p adalah p=p-1
Contoh:
Carilah nilai x yang memenuhi 2250 x mod 7 dan 0 x<7
Jawab:
Karena 7 adalah bilangan prima maka 7=7-1=6
Kareana 7" 2 dan 7 adalang bilangan prima, maka:
2 7 1 mod 7
26 1 mod 7
2250 (26)4124 mod 7
1. 24 mod 7
1.16 mod 7
16 mod 7
2 mod 7
jadi, x=2
Carilah angka terakhir lambang bilangan basis 10 dari 3600 dan 7175
Jawab:
Untuk mencari angka terakhir dari soal maka y x mod 10
Karena 10 = 2 . 5 dan (2, 5) = 1 maka y x mod 10 dinyatakan dengan
y x mod 2
y x mod 5
Karena 3 1 mod 2 berarti 3600 1, 3, 5, 7, 9 mod 2
5=4 dan 5 3 berakibat 34 1 mod 5
3600 34150 1 mod 5 1, 6, 11, 16, 21 mod 5
3600 1 mod 2
3600 1 mod 5
Sehingga
3600 1 mod 10
Jadi, angka terakhir lambing bilangan basis 10 dari 3600 adalah 1
Karena 7 1 mod 2 berarti 7175 1, 3, 5, 7, 9 mod 2
5=4 dan 5 7 berakibat 74 1 mod 5
7175 744373 1. 73 mod 5 1.7.7.7 mod 5
7175 1.2.2.2 mod 5
7175 8 mod 5
7175 3 mod 5
7175 3, 8, 13, 18, 23 mod 5
Sehingga
7175 3 mod 2
7175 3 mod 5
7175 3 mod 10
Jadi, angka terakhir lambing bilangan basis 10 dari 7175adalah 3
