PROGRAM PEMBINAAN PENGEMBANGAN PENINGKATAN MUTU PENDIDIKAN BIDANG STUDI MATEMATIKA Dasar-Dasar Dasar-Dasar Teori Bilangan Pada bagian ini dibahas beberapa konsep yang sebelumnya telah dipelajari disekolah dasar seperti factor persekutuan terbesar(FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil(KPK). 1.FPB dan KPK
FPB dari bilangan-bilangan adalah hasil kali semua factor prima dari bilangan-bilangan itu.Jik itu.Jikaa ada factor factor yang sama,ma sama,maka ka yang dipili dipilih h adalah adalah factor factor prima prima dengan dengan pangkat pangkat terkecil. KPK dari bilangan-bilangan adalah hasil kali semua factor prima dari bilangan-bilangan itu.Jik itu.Jikaa ada factor factor yang sama,ma sama,maka ka yang dipili dipilih h adalah adalah factor factor prima prima dengan dengan pangkat pangkat terbesar. Notasi a,b,c,d dan e adalah bilangan-bilangan bulat. a. Bilangan c adalah factor dari a dan b,dinotasikan (a,b)=c. b. Bilangan Bilangan d adalah adalah FPB dari dari a dan b ,dinotasi ,dinotasikan kan FPB(a,b)=d. FPB(a,b)=d. c. Bilangan e adalah KPK dari a dan b ,dinotasikan KPK(a,b)=e. Jika Jika fact factor or pers perseekutu kutuan an dari dari a dan dan b adal adalah ah 1,ma 1,maka ka dika dikattakan akan a dan dan b prima rima relatip,dinotasikan FPB(a,b)=1. Algoritma Pembagian Jika bilangan-bilangan yang akan dicari FPBnya besar,maka perlu suatu cara sistematis untuk untuk mencari mencari FPBnya. FPBnya.Met Metode ode ini dikenal dikenal dengan dengan nama nama algoritma pembagian pembagian atau algoritma Euclides. Jika a dan b dua bilangan bulat dengan a>b>0,maka FPB(a,b) dapat dicari dengan langkahlangkah sebagai berikut.
a = b.q1
+ 1
b = r 1 .q 2
+
r 1
=
r ,0 < r 1
r 2 .q 3
<
r 2 ,0 < r 2 r ,0 < r 3
+ 3
b r
< 1 <
r
. . .r n r n
−
2 =
1 =
−
r n 1 .q n −
r n .q n
+
r n ,0 < r n
1
+
1
<
r n
1
−
Dalam hali ini bilangan a dibagi b (sebab a > b), q i hasil bagi dan r i adalah sisa.Perhatikan pada baris terakhir dari algoritma pembagian,sisanya nol. Contoh: Tentukan FPB(481,299).Karena 481>299,maka 481=299.1+182, 299=182.1+117, 182=117.1+65. 117=65.1+52, 65=52.1+13, 52=13.4
(a
=
481, b = 299, q1
= 1, r 1 = 182)
(b = 299, r 1 = 182, q 2 = 1, r 2 = 117) (……………………………… ). (………………………………..) (……………………………… )
Dari uraian diatas,diperoleh FPB(481,299)=13.Selanjutnya dapat dicari bilangan- bilangan bulat m dan n,sehingga 481m+299n=13 m dan n dapat dicari dengan membalik langkah- langkah(dari bawah keatas)pada algoritma pembagian,yaitu 13=65-52.1 =65-(117-65).1 =65.2-117.1 =(182-117.1).2-117.1 =182.2-117.3 =182.2-(299-182.1).3 =182.5-299.3 =(481-299).5-299.3 =481.5-299.8 Berarti,481.5+299(-8)=13,dengan m=5 dan n=-8.Selanjutnya bagaimana hubungan FPB dan KPK.Jika FPB dari dua bilangan bulat diketahui,mak KPK dapat dicari dengan menggunakan rumus a.b KPK (a, b) = FPB (a, b) Contoh Tentukan KPK(70,49).Dengan algoritma pembagian diperoleh FPB(70,49)=7,sehingga 70.49 KPK (70,49) = = 490 7 2.Persamaan Diophantine
Persamaan
ax+by=c dengan a,b,c bilangan-bilangan bulat dan a ≠ 0,c ≠ 0 disebut persamaan Diophantine,jika penyelesaiannya merupakan bilangan bulat.Penyelesaian yang bulat ada jika FPB(a,b) 2
membagi c. Jika x0 dan y 0 penyelesaian dari ax+by=c,maka penyelesaian umumnya adalah
x
=
x0
+
k .
y
=
y 0
−
k .
b d a d
dengan k bilangan bulat Contoh Tentukan penyelesaian yang bulat dari 23x+29y=25. Mula-mula dicek dulu apakah FPB(23,29) membagi 25.Jelas FPB(23,29) membagi 25,sebab FPB(23,29)=1.Selanjutnya dengan algoritma pembagian diperoleh 29=23.1+6 23=6.3+5 6=5.1+1 5=1.5 langkah-langkah tersebut dibalik,diperoleh 1=6-5 =6-(23-6.3) =6.4-23 =(29-23).4-23 =29.4-23.5 dari hasil tersebut diperoleh 23.(-5)+29.4=1 Kedua ruas dikalikan 25 diperoleh 23(-125)+29.(100)=25 yaitu x0 = −125 dan y 0 = 100 adalah penyelesaian,dan penyelesaian umumnya adalah x=-125+k.25/1 =-125+25k y=100-k.23/1 =100-23k. Untuk setiap k diperoleh banyak penyelesaian. 3.Penyajian Bilangan
Dalam sehari-hari,arti bilangan 347 adalah 347 = 3.10 2 + 4.10 + 7 Secara umum semua bilangan asli dapat ditulis dalam bentuk
a k .10 k + a k 1 .10 k 1 −
−
3
+
............. + a 0
Bilangan dengan basis lain diturunkan sebagai berikut. Contoh Tulis bilangan 187 dengan basis 2. 187 = 93.2 + 1 187 = ( 46.2 + 1).2 + 1 187 = 46.2 2
+ 1.2 + 1
3
+ 1.2 + 1
187 = 23.2
187 = (11.2 + 1).2 3
+ 1.2 + 1
187 = 11.2 4
+ 1.2 + 1
+ 1.2
3
187 = (5.2 + 1).2 4
+ 1.2
3
+ 1.2 + 1
187 = 5.2 5
+ 1.2
4
+ 1.2
3
+ 1.2 + 1
187 = 1.2 7
+
0.2 6
+ 1.2
5
+ 1.2
4
+ 1.2
3
+ 1.2
1
+ 1.2
0
Dengan demikian 187= (10111011) 2 Contoh Dalam basis 2,tentukan 111+11 Jelas 111+11=1010.Ingat 1+1=10. 4.Keterbagian Suatu Bilangan .
Suatu bilangan bulat positip N habis dibagi a.2 jika angka terakhirnya genap. b.4 jika bilangan dengan dua angka terakhir habis dibagi 4 c.3 jika jumlah semua angka habis dibagi 3 d.5 jika angka terakhir 0 atau 5. Akan dicoba membuktikan pernyataan diatas. a.Bilangan N =
a n a n 1 a n 2 ..........a 0 mempunyai arti −
N = a n .10 n
−
+
a n 1 .10 n
N = 10(a n .10 n
−
1
−
+
1
−
+
................... + a 0
a n 1 .10 n −
−
2
+
........... + a1 ) + a 0
Suku pertama habis dibagi 2.Karena itu agar N habis dibagi 2,maka a 0 juga harus habis dibagi 2. b.Tulis N =
a n a n 1 a n 2 ..........a 0 dalam bentuk −
−
4
N = an .10 n
an 1 .10 n
+
1
−
−
N = 100( an .10
n−2
+
+
................... + a2 .10 2
an 1 .10
n −3
−
+
+
a1 .10 + a0
........... + a 2 ) + a1 .10 + a0
Agar N habis dibagi 4,maka a1 .10 + a 0 harus habis dibagi 4. c.Bilangan N dapat ditulis
10
k
−
1
N = an .10 n
+
an 1 .10 n
N = an (10 n
−
1) + a n 1 (10 n
(a n
..... + a1 + a0 )
+
an
1 +
−
−
−
+
................... + a0 1
−
−
−
1) + ....... + a1 (10 − 1) +
1 selalu habis dibagi 3 sehingga supaya N habis dibagi 3,maka (a n + a n 1 + .. + a 0) −
harus habis dibagi 3. d.Bilangan N dapat ditulis
N = a n .10 n
+
N = 10(a n .10
a n 1 .10 n −
n −1
+
1
−
+
a n 1 .10
................... + a 0 n −2
−
+
........... + a1 ) + a0
Jelas N habis dibagi 5,jika a 0 merupakan bilangan 0 atau 5.
Soal Latihan No Soal 1 Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut: a.2378 dan 3977. b.6409 dan 4283.
2
Tentukan bilangan bulat m dan n sehingga a.2378m+3977n=d b.6409m+4283n=d dengan d adalah FPB dari bilangan-bilangan diatas.
3
Carilah penyelesaian yang bulat dari persamaan berikut: a.738x+621y=45 b.121x-88y=572 c.47x-73y=19
4
Tentukan syarat agar suatu bilangan habis dibagi
5
Penyelesaian
a.8 b.9 c.25 d.125 5
Tentukan banyaknya pembagi(factor) dari bilangan a.7056 b.31752
6
Tentukan bentuk rasional dari bilangan berikut a.3,256256……… b.1,4515151…….. c.(0,343434…..).(0,7888888…) d.0,686868……+0,7777…….
7
Tentukan jumlah angka(digit) dari a.10 50 − 25 b.10 76 − 76
8
Tentukan nilai x,y,z dari pembagian bersusun berikut 37 1 = 2+ 1 13 x + a. 1 y + z 82 1 = x + 1 b. 15 y + z
9
Selesaikan pembagian bersusun berikut: 1 6+ 1 6+ 1 6+ a. 1 6+ 1 6+. ... 2
13 + 3 = 2 x + b.
1
x +
1
x + x +
1 .......
Tentukan nilai x
6
1
1+
2
1+ c.
1
1+
2
1+ 1+
1 ............
10
Tentukan banyaknya angka(digit) dari a. 416.5 25 b. 212.5 8
11
Tentukan banyaknya bilangan asli yang lebih kecil dari 1000 dan mempunyai a.digit terakhir 9. b.digit pertamanya 9.
12
a. 2 28 − 1 dapat dibagi oleh dua bilangan antara 120 dan 130.Tentukan jumlah kedua bilangan itu. b.Diketahui
2
2 r
+
1 adalah bilangan prima untuk
r=0,1,2,3,4 dan bukan bilangan prima untuk r=5.Tentukan banyaknya bilangan prima dari 2 32 − 1 13
Sederhanakan bentuk berikut: 1 1 1 1 a. (1 − ).(1 − ).(1 − )............(1 − ) 2 3 4 n 1 1 1 1 b. (1 − 2 ).(1 − 2 ).(1 − 2 ).........(1 − 2 ) 2 3 4 5
14
Diketahui : 1 1 1 1 x = 2 + 2 + 2 + 2 1 3 5 7 1 1 1 1 y = 2 + 2 + 2 + 2 1 2 3 4 Nyatakan y dalam x.
15
+ ......... dan
+ ........
Tentukan banyaknya bilangan bulat positip yang terdiri dari lima angka (digit) dan angkanya hanya 5 dan 6 saja ,serta bilangan itu habis dibagi 9.
7