MODUL 1 BILANGAN BULAT Gatot Muhsetyo
Pendahuluan
Dalam modul Bilangan Bulat ini diuraikan tentang awal pembahasan bilangan sebagai kebutuhan hidup manusia, meliputi bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bilangan bulat. Sebagai Sebagai obyek obyek matematika, matematika, bilanga bilangann bulat dan operasinya operasinya dapat membentuk suatu sistem atau struktur. Uraian berikutnya tentang prinsip induksi matematika sebagai alat pembuktian teorema yang penggunaannya tersebar luas di dalam berbagai topic matematika. Sifat-sifat operasi bilangan bilangan bulat diuraikan kembali sebagai dasar pembicaraan berikutnya, berikutnya, meliputi meliputi sifat komutatif, sifat sifat asosiatif, asosiatif, sifat sifat distributif, distributif, sifat unsur identitas, sifat inversi, dan sifat kanselasi. Pembahasan nduksi matematika dimulai dengan notasi !umlah dan notasi kali beserta sifat-sifat sifat-sifat dan penggunaann penggunaannya, ya, dan dilan!utka dilan!utkann pen!elasa pen!elasann tentang konsep induksi matematika beserta penerapannya untuk membuktikan hubungan-hubungan tertentu. Secara keseluruhan, materi pokok dalam modul ini meliputi bilangan asli, bilangan bilangan cacah, bilanga bilangann bulat, operasi bilanga bilangann bulat dan sifat-sifat sifat-sifatnya, nya, prinsip prinsip urutan yang rapi, bilangan bulat terbesar, sedikit uraian tentang bilangan rasional dan bilangan irasional, notasi !umlah dan notasi kali, dan diakhiri dengan prinsip induksi matematika. Kompetensi Umum
"ompetensi Umum dalam mempela!ari mempela!ari modul ini adalah mahasiswa mampu memahami konsep bilangan bulat, operasi bilangan bulat, sistem bilangan bulat, induksi matematikasifat, dan keterkaitan antara topik-topik bilangan bulat dan induksi matematika.
Kompetensi Khusus
#
"ompetensi "husus dalam mempela!ari mempela!ari modul ini adalah mahasiswa mampu men!e men!elas laskan kan konsep konsep bila bilanga ngann bulat, bulat, konsep konsep operasi operasi bila bilanga ngann bulat bulat dan sifatsifatsifatnya, system bilangan bulat, penggunaan notasi !umlah, penggunaan notasi kali, induksi matematika, serta keterkaitan satu sama lain untuk menyelesaikan masalahmasalah matematika tertentu Susunan Kegiatan Belaa!
$odul # ini terdiri dari dua "egiatan Bela!ar. "egiatan Bela!ar pertama adalah Bilangan Bulat, dan "egiatan Bela!ar kedua adalah nduksi $atematika.. Setiap kegiata kegiatann bela!a bela!arr memua memuatt Uraian, Uraian, %ontoh, %ontoh, &ugas &ugas dan 'atiha 'atihan, n, (ambu-( (ambu-(am ambu bu )awaban &ugas dan 'atihan, (angkuman, dan &es *ormatif. Pada bagian akhir modul # ini ditempatkan (ambu-(ambu )awaban &es &es *ormatif # dan &es &es *ormatif +. Petunu" Belaa!
#. Bacalah Uraian dan %ontoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga nda benar-ben benar-benar ar memaha memahami mi dan mengua menguasai sai materi pemba pembahasa hasan. n. +. "er!akan &ugas dan 'atihan yang tersedia secara mandiri. )ika dalam kasus atau tahapan tertentu tert entu nda mengalami mengalami kesulitan men!awab, maka pela!arilah (ambu-(ambu )awaban &ugas dan 'atihan. )ika langkah ini belum berhasil men!awab permasalahan, maka mintalah bantuan tutor tuto r nda, atau orang lain yang lebih tahu. . "er!akan &es &es *ormatif secara mandiri, dan periksalah &ingkat &ingkat Penguasaan P enguasaan nda dengan cara mencocokkan !awaban nda nda dengan (ambu-(ambu )awaban &es *ormatif. Ulangilah penger!aan &es *ormatif sampai nda benar-ben benar-benar ar merasa merasa mampu mampu menge menger!akan r!akan semua semua soal dengan dengan benar benar..
MODUL 1 K#GIATAN K#GIATAN B#LA$A% 1
BILANGAN BULAT +
U!aian
Pembahasan tentang bilangan bulat integers/ tidak bisa dipisahkan dari uraian tantang bilangan asli natural numbers/ dan bilangan cacah whole members/ karena kreasi tentang bilangan-bilangan ini merupakan proses sosial dan budaya yang berlangsung berurutan dalam waktu ribuan tahun. "ons "onsep ep tentan tentangg bila bilang ngan an dan dan cara cara menc mencac acah ah men mengh ghitu itung ng,, count countin ing/ g/ berkembang berkembang selama selama sekitar sekitar #0.111 tahun, mulai dari dari 2aman prase!arah prase!arah poleolithi poleolithic, c, 3ld Stone ge/ sampai dengan 2aman se!arah sekitar tahun 411 S.$./. Dalam periode atau 2aman 2aman ini, mereka diduga telah emmpela emmpela!ari !ari cara bertani atau bercocok taman, cara berternak, cara menggunak menggunakankal ankaleder, eder, cara mengukur mengukur atau menimbang berat, cara memindahkan barang dengan kereta atau gerobak, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan tradisional, dan cara berhitung. 1& Bilangan Asli
Se!ak periode se!arah, diduga dimulai sekitar tahun 411 S.$., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. $isalnya, mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa sa!a sehingga sifat ini men!adi terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istila istilahh yang yang lebi lebihh sederhan sederhana, a, sifat-s sifat-sifa ifatt persekutu persekutuan an satuan satuan onenes oneness/, s/, duaan duaan twoness/, atau tigaan threeness/ merupakan merupakan sifat persekutuan yang dimilik dimilikii oleh sebarang kumpulan benda untuk menun!ukkan kesamaan kesamaan kuantitas. "eperluan tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga berkeluarga dan dan bermasyara bermasyarakat, kat, terutama teru tama untuk menghitung menghitung mencaca mencacah/ h/ dan mem bandingk bandingkan an !umla !umlahh barang barang atau benda. benda. "eperluan menghitung mencacah, counting/ mendorong orang untuk mencari cara yang mudah, antara lain dengan membuat membuat lambang bilangan bilangan muneral/ dan cara menggunakannya sistem numerasi/. Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan se!umlah atauran untuk menghasilkan lambang-lambang bilangan yang lain. Beberapa peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi antara lain adalah $esir sekitar tahun 111 S.$./, Babylonia sekitar tahun +111 S.$./, 5unani atau 6reek sekitar tahun 711 S.$./, $ayan sekitar tahun 11 S.$./, )epang 8 %hina sekitar tahun +11 S.$./, (omawi sekitar tahun #11 $/, dan
9indu-rab mulai sekitar tahun 11 S.$. di ndia, mengalami perubahan di wilayah timur tengah sekitar tahun :01 $asehi, berkembang di ;ropa dan dipakai di seluruh dunia sampai sekarang/. Dari uraian di atas kita dengan singkat telah melihat per!alanan pengembangan konsep bilangan se!ak pertama kali pada 2aman Poleolithic sampai pada 2aman se!arah. Dengan demikian kita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli counting ? @#, +, , 4, = A 1& Bilangan 'a(ah
Untuk kepentingan masyarakat 2aman pertanian, sebelum 2aman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, men!umlah, dan mengalikan. Seiring dengan perkembangan 2aman, mesyarakat memerlukan sistem bilangan yang dapat memenuhi keperluan lain, yaitu mengurangkan dan membagi. Dengan demikian mereka mempunyai tuntutan peker!aan yang tidak sekedar berhitung aritmetika/ tetapi hal lain yang lebih luas. )ika sebelumnya mereka menerima pernyataan tanpa bukti postulat/ p C adalah suatu bilangan asli p E adalah suatu bilangan asli maka kesulitan akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui pen!umlahan p 8 ? r !ika ada r sedemikian hingga p ? C r "ita bisa melihat kesulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur hipunan bilangan asli dapat dilakukan hanya !ika p lebih dari , artinya himpunan bilangan asli tidak bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami bahwa 8 + ? #, 4 8 ? #, 0 8 4 ? # dan mulai mempertanyakan bagaimana dengan 8 ? F , 4 8 4 ? F, 0 8 0 ? F )awabannya adalah mereka perlu GtambahanH bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol 2ero/, yang diberi makna ? C 1, 4 ? 4 C 1, 0 ? 0 C 1
4
Sekarang kita telah menambahkan unsur baru 1 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan dengan I ? @1, #, +, , 4, =A )& Bilangan Bulat
Dengan berkembangnya masyarakat industri, manusia memerlukan bilangan untuk keperluan pembukuan tingkat lan!ut, antara lain untuk menghitung hutang dan pihutang, serta tabungan dan pin!aman. Pertanyaan yang muncul serupa dengan permasalahan 7 8 : ? F, J 8 #1 ? F, 8 #1 ? F Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam I sehingga mereka dapat melakukan semua pengurangan, atau himpunan baru yang diperoleh bersifat tertutup terhadap pengurangan. )awaban terhadap kesulitan mereka adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari 1 8 #, 1 8 +, 1 8 , 1 8 4, = yang kemudian dilambangkan dengan -#, -+, -, -4, = sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan dengan K ? @=, -+, -#, 1, #, +, , =A Dengan digunakannya garis bilangan untuk menyatakan representasi bilangan, dan memberi makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah kanan nol sebagai bilangan positif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan negatif, maka himpunan bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai K ? @=, -+, -#, 1, #, +, , =A *& Sistem Bilangan Bulat
Untuk keperluan menghitung, orang dapat melakukan pen!umlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian bilangan. pa yang dilakukan oleh orang itu kemudian disebut sebagai suatu operasi. Pada dasarnya suatu operasi adalah mengambil sepasang bilangan untuk mendapatkan bilangan lain yang tunggal. Bilangan yang diperoleh mungkin unsur atau bukan unsur dari himpunan tertentu.
0
De+inisi 1&1
Suatu sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih operasi pada himpunan itu. Notasi
Suatu sistem matematika yang terdiri dari himpunan S dan operasi L ditun!ukkan dengan S, #/ )ika # adalah operasi kedua S, maka S, L, #) adalah sistem matematika yang terdiri dari himpunan S, operasi pertama L, dan operasi kedua #. Berdasarkan pengetahuan yang telah kita pela!ari sebelumnya, beberapa definisi yang terkait dengan sifat operasi adalah De+inisi 1&,
Ditentukan bahwa L adalah suatu operasi pada himpunan S. 3perasi L disebut bersifat a. tertutup !ika p L ? r dan r ∈ S untuk setiap p, ∈ S. b. komutatif !ika p L ? L p untuk setiap p, ∈ S c. assosiatif !ika p L L r/ ? p L /Lr untuk setiap p, , c ∈ S d. mempunyai unsur identitas !ika untuk semua p ∈ S, ada i ∈ S, sehingga p L i ? i L p ? p . disebut unsur identitas operasi L. a. memenuhi sifat inversi invertibel/ !ika untuk semua p ∈ S, ada E ∈ S, sehingga p L E ? E L p ? i. E disebut inversi dari p, dan p disebut inversi dari E. De+inisi 1&)
Ditentukan bahwa L adalah suatu operasi pertama dan ⋕ adalah suatu operasi kedua pada himpunan S. 3perasi L bersifat distributif terhadap # !ika P L #r) = p L / # p L r/ untuk semua p, , r ∈ S. Selan!utnya, sifat-sifat operasi pen!umlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat merupakan aksioma, yaitu #. tertutup p C ∈ K dan p E ∈ K untuk semua p, , ∈ K +. komutatif
p C ? C p dan p E ? E p untuk semua p, ∈ K
7
. assosiatif
p C C r/ ? p C / C r dan p E E r/ ? p E / E r untuk semua p, , r ∈ K
4. mempunyai unsur identitas p C 1 ? p dan p E # ? p untuk semua p ∈ K 0. memenuhi sifat identitas pen!umlahan untuk semua p ∈ K, ada 1 ∈ K sehingga p C 1 ? 1 C p ? p 1 adalah unsur identitas pen!umlahan 7. memenuhi sifat inversi invertibel/ pen!umlahan untuk semua p ∈ K, ada E ∈ K sehingga p C E ? E C p ? 1 E disebut inversi dari p, ditun!ukkan dengan E ? -p :. distributif perkalian terhadap pen!umlahan p C / . r ? p . r C . r J. memenuhi hukum kanselasi !ika p, , r ∈ K, r ≠ 1, dan pr ? r, maka p ? Dalam kaitannya dengan urutan bilangan bulat, kita akan menggunakan himpunan bilangan bulat positif @#, +, , =A, untuk menyatakan hubungan lebih kecil atau lebih besar/ antara dua bilangan bulat. De+inisi 1&*
Ditentukan p, , ∈ K p disebut kurang dari atau disebut lebih dari p/, ditulis p M atau N p, !ika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga 8 p ? r 'ontoh 1&1
a/. 0 N 4 sebab ada bilangan bulat positif # sehingga 0 8 4 ? # b/. + M : sebab ada bilangan bulat positif 0 sehingga : 8 + ? 0 c/. p N 1 untuk setiap p ∈ @#, +, , =A sebab ada bilangan bulat positif p sehingga p 8 1 ? p Dua sifat dasar tentang urutan bilangan bulat yang perlu untuk dipahami adalah #/ ketertutupan bilangan bulat positif p C dan p adalah bilangan-bilangan bulat positif untuk semua bilangan-
:
bilangan bulat positif p dan +/ hukum trikotomi Untuk setiap p ∈ K berlaku salah satu dari p N 1, p ? 1, atau p M 1. 9impunan bilangan bulat disebut suatu himpunan yang terurut karena K mempunyai suatu himpunan bagian yang tertutup terhadap pen!umlahan dan perkalian, serta memenuhi hukum trikotomi untuk setiap bilangan bulat 'ontoh 1&,
Buktikan )ika p M dan r N 1, maka pr M r Bukti Diketahui bahwa p M , maka menurut definisi #.4, 8 p N 1. Selan!utnya, karena 8 p N 1 dan r N 1, maka menurut sifat dasar ketertutupan perkalian urutan bilangan bulat positif, r 8 p/ N 1. $enurut sifat distributif, r 8 p/ ? r 8 rp, dengan demikian r 8 p/ N 1 berakibat r 8 rp N 1. r 8 rp N 1, menurut definisi #.4, rp M r, dan menurut sifat komutattif perkalian, pr M r. 'ontoh 1&)
Buktikan 8#/p ? 8p Bukti 8#/p C #.p ? -# C #/.p ? 1, dan 8p C p ? -p C #.p ? 1, sehingga -#/p C #.p ? -p C #.p. Berdasarkan hukum kauselasi, -#/p ? -p 'ontoh 1&*
Sistem K, Æ/, yaitu sistem bilangan bulat terhadap operasi pen!umlahan, merupakan suatu grup, dan !uga merupakan grup bel sebab operasi Æ terhadap bilangan bulat memenuhi sifat-sifat terhadap assosiatif, mempunyai unsur identitas, dan memenuhi sifat inversi. P!insip U!utan -ang %api ./ell O!de!ing P!in(iple0
Suatu himpunan 9 disebut terurut rapi well ordered/ !ika setiap himpunan bagian dari 9 yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil
J
Perlu diingat kembali bahwa k disebut unsur terkecil suatu himpunan S !ika k kurang dari atau sama dengan E untuk setiap E ∈ S. 'ontoh 1&
a/ S ? @+,0,:A mempunyai unsur terkecil + sebab + O E untuk setiap E ∈ S, yaitu + O +, + O 0, dan + O : b/ $ ? @A mempunyai unsur terkecil sebab O E untuk setiap E ∈ $, yaitu O 'ontoh 1&2
a/ S ? @+,0,:A adalah himpunan yang terurut rapi sebab setiap himpunan bagian dari S yang tidak kosong, yaitu @+A, @0A, @:A, @+,0A, @+,:A, @0,:A dan @+,0,:A mempunyai unsur terkecil berturut-turut adalah +,0,:,+,+,0, dan +. b/ KC adalah himpunan yang terurut rapi sebab tidak ada himpunan bagian dari K C yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil c/ K adalah himpunan yang tidak terurut rapi sebab ada himpunan bagian dari K yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur terkecil, misalnya @1,-#,-+,=A De+inisi 1&
Bilangan riil terbesar EQ adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan E, yaitu EQ adalah bilangan bulat yang memenuhi EQ O E O EQ C # Sebagai catatan perlu diingat kembali bahwa *ungsi fE/ ? EQ disebut dengan fungsi bilangan bulat terbesar, atau !uga disebut dengan fungsi lantai floor function/. *ungsi gE/ ? disebut fungsi atap ceiling function/, dimana adalah bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan E, misalnya + < - = # dan − : < - = −+ Suatu bilangan riil E disebut !asional !ika dan hanya !ika ada bilangan-bilangan bulat a dan b, b ≠ 1, dan E ? a
x
'ontoh 1&3
a/ +<Q ? 1 , :<Q ? + , dan π Q ? b/ 8 +<Q ? 8 # , 8:<Q ? 8
R
c/ #,Q ? #,
-
Q?#
Tugas dan Latihan Tugas
Untuk memperluas wawasan nda tentang sistem numerasi, carilah dan bacalah sumber-sumber pustaka yang memuat se!arah bilangan. Selan!utnya !awablah beberapa pertanyaan berikut #. pa maksudnya sistem numerasi bersifat aditifF +. pa yang disebut dengan sistem numerasi menggunakan nilai tempatF . pa maksudnya sistem numerasi bersifat multiplikasiF 4. Sebutkan beberapa cara menuliskan lambang bilangan dan ter!adi pada sistem numerasi yang mana. 0. Sebutkan basis-basis bilangan yang pernah digunakan. ,&
Latihan
Untuk memperdalam pemahaman nda tentang materi bilangan bulat, ker!akanlah soal-soal latihan berikut #. &un!ukkan bahwa 8p C / ? 8 p/ C 8 / untuk semua p, ∈ K +. &un!ukkan bahwa 8 p./ ? p . -/ untuk semua p, ∈ K . Diketahui p, , r ∈ K, p M , dan r M 1 Buktikan p C r M C r 4. Diketahui p, , r ∈ , p N dan N r &un!ukkan p N r 0. Diketahui % ? @#, -#A Selidiki apakah %, E/ merupakan sistem grup %am4u5!am4u $a6a4an Tugas dan Latihan %am4u5%am4u $a6a4an Tugas
#. Sistem numerasi disebut bersifat aditif !ika nilai bilangan sama dengan !umlah nilai setiap lambang bilangan yang digunakan. %ontoh
#1
$esir "uno 'ambang
೨ ೨ ೨ ೨
⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ∣∣∣
+. Sistem numerasi disebut menggunakan nilai tempat !ika nilai lambang bilangan didasarkan pada tempat atau posisi lambang bilangan, artinya lambang yang sama bernilai berbeda karena posisinya berbeda. %ontoh Babylonia 'ambang r M s >ilai :# # E 71/ C #1 C # Desimal 'ambang 0 0 0 >ilai setiap lambang 0 berbeda karena letaknya yang berbeda 000 bernilai lima bernilai lima puluh bernilai lima ratus . Sistem numerasi disebut multiplikatif !ika mempunyai lambang untuk bilanganbilangan #, +, , =, b 8 #, b, b +, b, b, =, tidak mempunyai lambang nol, dan menggunakan nilai tempat. %ontoh )epang-%hina
'ambang
Ni l ai
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100 ,100 0
ξ
Æ
Ђ
д
)( Һ ƒ
4.Car amenul i s kanl ambangbi l angan ( a)Ac ak,unt uksi s t em numer as iMes i rKuno ( b)Me nda t a r( hor i z ont a l ) ,unt uks i s t e ms i s t e m nume r a s i Ba b yl o ni a ,Yuna ni( gr e e k ) ,Ro ma wi ,Hi nduAr a b ( c )T e ga k( v e r t i ka l ) , unt uks i s t e ms i s t e m nume r a s i J e pa ngChi nada n Ma ya n 5 .Ba s i sbi l a ng a ny a ngpe r na hdi g una ka n ( a )Bas i s10 : s i s t e m nume r a s iJ e pangChi na, Hi nduAr ab ( b)Bas i s20 : s i s t e m nume r a s iMa ya n ( c )Bas i s60 : s i s t e m nume r as iBab yl oni a
##
Ra mbuRa mbuJ a wa banLat i han
1 .– ( p+q)=– 1 ( p+q)=( p+q) ( –1 )=p( – 1 )+q( –1 )=–1 p–1 q=( – 1 ) p+( – 1 ) q 2.p( –q)+pq=p( –q+q)=p. 0=0= –( pq)+( pq) ,s es uaidengans i f at kansel a s i ,p( – q)=– ( pq) 3 .( q+r )–( p+r )=q–pa da l a hpos i t i fs e ba bpqdanq>r,makap–q>0danq–r>0,s ehi ngga( p–q)+( q–r ) >0 p–r=p+0–r=p+( – q+q)–r=( p–q )+( q–r )>0 ,j a dip>r 5 .T abe lpe r ka l i a nda r iuns ur uns urCa da l a h: x 1
1 1
1 1
Da r it a be lpe r ka l i a ndis a mpi ng da pa t di t e nt uka n ba hwa o pe r a s ixbe r s i f a t
t e r 1
1
1
t ut up,be r s i f atas os i a t i f( s e babC ⊂ Z,
me mpun ya iuns uri de nt i t a s1 ,da nme me nuhis i f a ti n ve r s i . %ang"uman
Berdasarkan seluruh paparan pada "egiatan Bela!ar # ini, maka garis besar bahan yang dibahas meliputi Definisi, &eorema, %ontoh, dan 'atihan tentang bilangan bulat, terutama tentang konsep bilangan bulat, sistem bilangan bulat, operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, dan aksioma sifat-sifat operasi pen!umlahan dan perkalian bilangan bulat. Paparan kemudian dilan!utkan dengan prinsip urutan yang rapi serta hubungan dua bilangan bulat sama dengan, lebih dari, kurang dari/, dilengkapi dengan pengertian bilangan bulat terbesar, fungsi lantai, dan fungsi atap. Pada bagian akhir diingatkan kembali pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional.
#. 9impunan bilangan bulat dinyatakan dengan K ? @ =,-+,-#,1,#,+,=A
#+
+. De+inisi 1&1 Suatu sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih operasi pada himpunan itu. . De+inisi 1&, Ditentukan bahwa L adalah suatu operasi pada himpunan S. 3perasi L disebut bersifat a. tertutup !ika p L ? r dan r ∈ S untuk setiap p, ∈ S. b. komutatif !ika p L ? L p untuk setiap p, ∈ S c. assosiatif !ika p L L r/ ? p L /Lr untuk setiap p, , c ∈ S d. mempunyai unsur identitas !ika untuk semua p ∈ S, ada i ∈ S, sehingga p L i ? i L p ? p . disebut unsur identitas operasi L. 4. De+inisi 1&) Ditentukan bahwa L adalah suatu operasi pertama dan ⋕ adalah suatu operasi kedua pada himpunan S. 3perasi L bersifat distributif terhadap # !ika P L #r) = p L / # p L r/ untuk semua p, , r ∈ S. 4. De+inisi 1&* Ditentukan p, , ∈ K p disebut kurang dari atau disebut lebih dari p/, ditulis p M atau N p, !ika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga 8 p ? r 0. De+inisi 1& Bilangan riil terbesar EQ adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan E, yaitu EQ adalah bilangan bulat yang memenuhi EQ O E O EQ C # 7. P!insip U!utan -ang %api ./ell O!de!ing P!in(iple0 Suatu himpunan 9 disebut terurut rapi well ordered/ !ika setiap himpunan bagian dari 9 yang tidak kosong mempunyai unsur terkecil Tes 7o!mati+ 1
#. Skor #1 )ika a,b,c ∈ K, maka buktikan bahwa ac M bc +. Skor #1 Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat positif kurang dari #
#
. Skor #1 &entukan apakah himpunan-himpunan berikut terurut rapi a/ ? @-+,,4A b/ B ? @+<,+, 0 A c/ 9impunan bilangan bulat negative d/ himpunan bilangan cacah e/ himpunan rasional f/ himpunan bilangan riil 4. Skor #1 %arilah nilai-nilai dari a/ 1,#+Q b/ :
+ -
d/ -#
Q
0
Q
0. Skor +1 )ika k adalah suatu bilangan bulat, maka buktikan bahwa E C kQ ? EQ C k untuk setiap bilangan riil E 7. Skor #1 %arilah nilai EQ C -EQ !ika E adalah suatu bilangan riil :. Skor +1 Buktikan bahwa EQ C E C J. Skor #1 Buktikan bahwa
+
# +
Q ? +EQ !ika E adalah suatu bilangan riil
adalah suatu bilangan irasional.
%ocokkanlah !awaban nda dengan (ambu-(ambu )awaban &es *ormatif # yang terdapat di bagian halaman akhir dari modul ini. "emudian perkirakan skor !awaban yang nda ker!akan benar, dan gunakan kriteria berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan nda terhadap pemahaman materi "egiatan Bela!ar #. S"o! a6a4an yang 4ena! Ting"at Penguasaan 8 5555555555555555555555555555555555555 9 1:: ;
1::
&ingkat penguasaan nda dikelompokkan men!adi #4
Baik sekali R1 T - #11 T Baik J1 T - JR T %ukup :1 T - :R T "urang M :1 T pabila nda mencapai tingkat penguasaan J1 T atau lebih, maka nda dapat meneruskan ke "egiatan Bela!ar +. Prestasi nda bagus sekali. )ika tingkat penguasaan nda kurang dari J1T , maka sebaiknya nda mengulangi materi "egiatan Bela!ar # , terutama pada bagian bagian yang belum nda kuasai dengan baik.
MODUL 1 K#GIATAN B#LA$A% ,
P%INSIP DASA% MAT#MATIKA
U!aian
#0
Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat berharga untuk membuktikan hasil-hasil yang terkait dengan bilangan bulat, atau hubungan tertentu yang dapat diperluas berlaku untuk semua bilangan asli. 9asil-hasil yang terkait terutama tentang pen!umlahan, dan hubungan tertentu antara lain dapat berupa ketidaksamaan, keterbagian, atau differensial. Dalam kaitannya dengan hasil pen!umlahan, prinsip induksi matematika melibatkan notasi !umlah summation/ dan notasi kali products/. "edua notasi ini sangat bermanfaat untuk menyederhanakan tulisan sehingga men!adi lebih singkat dan lebih mudah dipahami. 1&1& Notasi $umlah dan Notasi Kali
>otasi !umlah adalah notasi yang dilambangkan dengan ∑, dan notasi kali adalah notasi yang dilambangkan dengan Π , dan didefinisikan sebagai r
∑E
#
= E # + E + + ... E r
i =#
r
E# = E# . E + Π i =#
... E r
9uruf i dari indeks !umlah notasi !umlah atau notasi kali disebut variabel dummy karena dapat diganti oleh sebarang huruf, misalnya r
∑E
r
?
i
i =#
∑E =∑E !
!=#
r
r
r
Π E i ? Π E ! ? !=# i =#
k
k =#
r
∑E
k
k =#
i ? # disebut batas bawah lower limit/ dan i ? r disebut batas atas upper limit/. 'ontoh 1&1 4
a/ ∑ i ? # C + C C 4 ? #1 i =#
4
b/ ∏ i ? # . + . . 4 ? +4 f = # 0
c/ ∑ - ? C C C C ? #0 k = #
d/
0
Π k =#
? . . . . ? +4
-
e/
∑t t =#
+
? #+ C ++ C + ? #4
#7
-
f/ Π t + ? #+ . ++ . + ? 7 t =#
Selan!utnya, indeks !umlah tidak harus dimulai dari #, artinya dapat dimulai dari bilangan bulat selain # asalkan batas bawah tidak melebihi batas atas. 'ontoh 1&, 0
a/ ∑ i ? C 4 C 0 ? #+ i =7
b/ ∑ .+t − #/ ? +.4 8 #/ C +.0 8 #/ C +.7 8 #/ ? +: t =#
4
c/ Π + k ? ++ . + . +4 ? 4 . J . #7 ? 0:+ k = + 4
d/ Π t − #/ ? + 8 #/ 8 #/ 4 8 #/ ? # . + . ? 7 t =+
Beberapa sifat yang terkait dengan notasi !umlah adalah s
#/
∑ tE
i
i = r
? tEr C tErC# C = C tEs ? tEr C ErC# C = C Es/ s
? s
+/
∑ E i = r
i
t
∑E
i
i = r
+ y i / ? Er C yr / C ErC# C yr C #/C = C Es C ys/
? Er C Er C # C = C Es/ C yr C yr C # C = C ys/ s
s
?
∑ i = r
Ei
C
∑y
i
i = r
b
d
b
d
i =a
! = c
i =a
! = c
/ ∑ ∑ Ei y ! ? ∑ Ei ∑
y ! /
b
? ∑ Ei yc C ycC# C = C yd/ i =a
? Ea yc C ycC# C = C yd/ C EaC# yc C yc C# C =Cyd/ C = C E b yc C ycC# C = C yd/ ? Ea C EaC# C = C E b/yc C ycC# C = C yd/
#:
b
4/ ∑ i=a
d
∑
E i y !
!= c
b ? ∑ i = a
E i
b ? ∑ i = a
E i
d ? ∑ ! = c
d ∑ ! = c
y !
d ∑ ! = c
y !
b y ! ∑ i = a
E i
d
b
! = c
i=a
? ∑ ∑ y ! Ei d
b
! = c
i =a
? ∑ ∑ Ei y !
'ontoh 1&) 0
a/
∑ i =-
0
+Ei ? +E C +E4 C +E0 ? +E C E4 C E0/ ? + ∑ Ei i =-
4
b/ ∑ +ai C bi/ ?
+a+ C b+/ C +a C b/ C +a4 C b4/
i=+
? +a+ C +a C +a4/ C b+ C b C b4/ ? +a+ C a C a4/ C b+ C b C b4/
4
4
i=+
i=+
? + ∑ ai C ∑ bi -
-
+
c/ ∑ ∑ i!
? ∑ i . #+ C i . + +/
+
i =#
i =#
! = #
-
? +
∑
0i ? 0 . # C 0 . + C 0 . ? 1
i =#
-
+
d/ ∑ ∑ i! ? ∑ i . !+ C + . !+ C . !+/ +
! = #
i =#
! = #
+
? ∑ ! = #
7 ! +
? 7 . #+ C 7 . + + ? 7 . # C 7 . 4 ? 1
1&, P!insip Indu"si Matemati"a .P!in(iple o+ Mathemati(al Indu(tion0
S adalah suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan asli yang unsurunsurnya memenuhi hubungan. )ika a/ # ∈ S
#J
b/ k ∈ S berakibat k C #/ ∈ S maka S memuat semua bilangan asli, yaitu S ? > Bu"ti<
$isalkan S ⊂ > dan unsur-unsur S memenuhi suatu hubungan, serta a/ dan b/ dipenuhi oleh S. 9arus dibuktikan bahwa S ? >. Untuk membuktikan S ? > digunakan bukti tidak langsung. nggaplah S >, maka tentu ada * ⊂ > dan * ∅ yang mana * ? @t ∈ >V t ∉ SA. "arena * ∅ dan * ⊂ >, maka menurut prinsip urutan rapi Iell 3rdering Principle/, * mempunyai unsur terkecil k, yaitu k ∈ * tetapi k ∉ S. k # sebab # ∈ S, berarti k N #, dan akibatnya k 8 # ∈ >. k adalah unsur terkecil *, maka k 8 # ∉ * sebab k 8 # M k, berarti k 8 # ∈ S. k 8 # ∈ S dan S memenuhi b/, maka k 8 #/ C # ∈ S, atau k 8 # C # ∈ S, yaitu k ∈ S. &er!adi kontradiksi karena k ∉ S dan k ∈ S, !adi S ? > Dalam pernyataan lain, prinsip induksi matematika dapat ditulis dengan Sn/ adalah suatu pernyataan yang memenuhi hubungan untuk satu atau lebih n ∈ >. )ika
a/ S#/ benar b/ Sk/ benar berakibat S k C #/ benar maka Sk/ benar untuk semua n ∈ >.
#R
'ontoh 1&* n
Buktikan untuk sebarang n ∈ K , C
∑i ? # C + C C = C n ?
# +
i =#
n n C #/
n
∑ i ? #+ n n C #/
Bukti Sn/
i =#
S#/ benar sebab untuk n ? # #
n
∑ i =#
i ?
∑i ? # i =#
dan
# +
#
n n C #/ ?
+
#
. # # C #/ ?
+
.+
? # $isalkan Sk/ benar, yaitu untuk n ? k k
∑ i ? # C + C = C k ?
#
k k C #/
+
i =#
9arus dibuktikan Sk C #/ benar, yaitu k +#
∑ i ? #C + C #=C kC k C # ?
# +
i =#
k C#/k C # C#/ ?
# +
k C#/
kC +/ k +#
∑i ? # C + C = C k C k C # ? i =#
# +
kk C #/
# +
kk C #/ C k C #
? k C #/
# +
k C #/ ?k C #/ .
k C +/ ?
# +
k C #/ k C +/
)adi Sn/ benar untuk sebarang n ∈ KC 'ontoh 1& n
Buktikan untuk sebarang n ∈ K , C
∑i
+
i =#
? #+ C ++ C =C n+ ? nn C #/+n C #/<7
n
Bukti Sn/ ?
∑i
+
i =#
? nn C #/+n C #/<7
S#/ benar sebab untuk n ? # n
∑i i =#
#
+
?
∑i i =#
+
? #+ ? # dan
# 7
nn C #/+n C #/ ?
$isalkan Sk/ benar, yaitu untuk n ? k
+1
# 7
. # . + . ? #
# +
k
∑i
+
? #+ C ++ C = C k+ ?
i =#
# 7
kk C #/+k C #/
9arus dibuktikan Sk C #/ benar, yaitu k +#
∑i
+
? #+ C ++ C = Ck+ C k C #/ + ?
#
k +#
∑= i
+
? #+ C ++ C = Ck+ C k C #/+ ?
#
i #
# 7
#
?
#
? ?
7 7 # 7 # 7
7
kk C #/ +k C #/ C k C #/ +
kk C #/ +k C #/
? k C #/ @ ?
k C #/k C +/+k C /
7
i =#
# 7
k +k C #/ C k C #/A
k C #/ @k+k C #/ C7 k C #/A k k C #/ C +k + C k C 7k C7/ k C #/ +k+ C :k C 7/ k C #/k C +/ +k C/
)adi Sn/ benar untuk sebarang n ∈ KC 'ontoh 1&2
Buktikan untuk semua n ∈ KC, dan n ≥ 7, 4n M n+ 8 : Bukti
Sn/ 4n M n+ 8 :, n ≥ 7 S7/ benar sebab untuk n ? 7 4n ? 4 . 7 ? +4, n + 8 : ? 7+ 8 : ? 7 8 : ? #, dan +4 M # $isalkan Sk/ benar, yaitu untuk n ? k 4k M k+ 8 : 9arus dibuktikan bahwa Sk C #/ benar, yaitu untuk n ? k C #, 4k C #/ M k C #/ + 8 : 4k C #/ ? 4k C 4 M k + 8 :/ C 4 4k C 4 M k+ 8 :/ C #, sebab 4 M # 4k C 4 M k+ 8 :/ C +k C #/, sebab +k C # ≥ # untuk nW7 4k C 4 M k+ C +k C #/ 8 :
+#
4k C 4 M k C #/+ 8 : )adi 4n M n+ 8 : untuk semua bilangan bulat n ≥ 7 'ontoh 1&3
Buktikan 7n C + C :+n C # habis dibagi oleh 4 untuk semua n ∈ KC Bukti
Sn/ 7n C + C :+n C # habis dibagi oleh 4 S#/ benar sebab untuk n ? # 7n C + C :+n C # ? 7 C :0 ? 00R ? 4#/ 00R habis dibagi oleh 4 $isalkan Sk/ benar, yaitu untuk n ? k 7k C + C :+k C # habis dibagi oleh 4 9arus dibuktikan bahwa Sk C #/ benar, yaitu untuk n ? k C #, 7 k C C :+kC habis dibagi oleh 4 7k C C :+k C / 8 7k C + C :+k C #/ ? 7k C 8 7k C +/ C :+k C 8 :+k C#/ ? 7k C + 7 8 #/ C : +k C # :+ 8 #/ ? 0 . 7k C + C 4J . : +k C # ? 0 .7k C + C 0 C 4/ . : +k C # ? 07k C + C :+k C #/ C 4 . : +k C # ? 0 . 4E C 4 . : +k C # 7k C C :+k C 8 4E ? 0 . 4E C 4 . : +k C # 7k C C :+k C ? 74E/ C 4 . :+k C # ? 4 7E C :+k C #/ 7k C C :+k C habis dibagi oleh 4 sebab mempunyai faktor 4 )adi 7n C C :+n C habis dibagi oleh 4 untuk semua n ∈ KC
++
Tugas Dan Latihan Tugas
Buktikan dengan induksi matematika #. n M +n untuk semua n ∈ KC +. n 8 n habis dibagi untuk semua n ∈ KC . +n M X untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4 Latihan
Buktikan dengan induksi matematika #. Di dalam barisan harmonis #C
# +
C
#
C
-
# 4
C =
berlaku 9 + n ≥ # C
+.
dE n dE
∑ k =#
+
, untuk setiap bilangan bulat n ≥ 1
? nEn 8 # untuk setiap bilangan bulat n ≥ 1
n
.
n
#
? k k + #/
# #.+
C
# +.-
#
C = C
? n n + #/
n n +#
r
4. ∑ t+ ? #+ C ++ C + C = C r + ? rr C #/+r C #/<7 untuk setiap n ∈ KC t =# s
0.
∑ r = +
# +
r
−#
?
# -
C
# J
C
# #0
C
# +4
C = C
dengan hubungan menggunakan hubungan # s
+
−#
?
# +
# − # s − # s + #
+
# s
+
−#
?
4
8
+s + # +s.s + #/
%am4u5%am4u $a6a4an Tugas
#. Sn/ n M +n S#/ benar sebab untuk n ? # n ?# , +n ? +# ? +, dan # M + $isalkan Sk/ benar, yaitu k M +k 9arus dibuktikan bahwa SkC#/ benar, yaitu k C #/ M + kC# k M +k → k C # M +k C # →
k C # M +k C +k sebab +k W # untuk sebarang k W #/
→
k C # M +.+k
→
k C # M +kC#
)adi n M +n untuk setiap n ∈ KC +. Sn/ n 8 n habis dibagi oleh S#/ benar sebab untuk n ? # n 8 n ? # 8 # ? # 8 # ? 1 dan 1 habis dibagi oleh . $isalkan Sk/ benar, yaitu k 8 k habis dibagi oleh 9arus dibuktikan bahwa Sk C #/ benar, yaitu k C #/ 8 k C #/ habis dibagi oleh k C #/ 8 k C #/ ? k C k+ C k C #/ 8 k C #/ ? k 8 k/ C k + C k/ ? t C k + C k/ ? t C k+ C k/ k C #/ 8 k C #/ habis dibagi sebab mempunyai faktor )adi n+ 8 n habis dibagi untuk setiap n ∈ KC . Sn/ +n M nX untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4 S4/ benar sebab untuk n ? 4 +n ? +4 ? #7, nX ? 4X ? +4, dan #7 M +4 $isalkan Sk/ benar, yaitu + k M kX 9arus dibuktikan bahwa SkC#/ benar yaitu +kC# M k C #/X +k C # ? +k . + M + . k X +kC# M k C #/ . kX sebab k C # W + untuk sebarang k ∈ KC
+4
+kC# M k C #/ X )adi +kC# M k C #/X untuk setiap bilangan asli n %am4u5%am4u $a6a4an Latihan
#. Sn/
9 +n
W # C
9t ? # C
#
94 ? # C
#
+ +
n
untuk setiap bilangan bulat n W 1
+
#
C
#
C
-
C=C # 4
C
# t
? +0<#+
S1/ benar sebab untuk n ? 1 9 +1
$isalkan
? 9# ? #, # C
+
? # C 1, dan # W 1
9 + k benar, yaitu untuk n ? k
k
9 + k ≥ # C
9arus dibuktikan 9 +k +# 9 +k +#
n
? #C
+
9 +k +#
benar, yaitu untuk n ? k C #
W # C k C #/<+ # +
C
?
# -
C=C
9 +k
C
# +
# +
k +#
C k
# +
k +#
C = C
≥ #
C
# # k / C k C = C k +# + + +# +
≥ #
C
k /C +
+k .
# +
k +#
C=C
+
+ k +#
# + k +#
#
C = C
#
k +#
sebab terdapat + n suku masing-
masing tidak kurang dari ≥ # 9 +k +# ≥
)adi
C
k / +
C
# +
# C k C #/<+
9 +n +# ≥ # C n C #/<+ untuk sebarang bilangan bulat n ≥ 1
+0
# +
k +#
dE n
+. Sn/
dE
? nEn-# untuk setiap bilangan bulat n ≥ 1 dE n
S1/ benar sebab
dE 1
?
dE
?
dE
$isalkan Sk/ benar, yaitu
dE k dE
dE # dE
? 1, nEn-# ? 1 . E-# ? 1
? kEk-#
9arus dibuktikan Sk C #/ benar, yaitu dE k dE
dE
? lim
E + ∆E /
∆E
∆E →1 k +#
E + ∆E/
? lim
dE
− E k
k
k +#
dE
? k C #/Ek
, maka
− E k +#
E + ∆E / .E + ∆E/ − E k
k +#
∆E
∆ E →1
E + ∆E/ E + E + ∆E/ . ∆E − E .E k
? lim
k +#
∆E
∆E →1
? lim
dE
k
k
∆E
∆E →1
E + ∆E/ k − E k E + ∆E/ k . ∆E + ? lim E ∆ ∆E E ∆ E →1
? Ek Ek-# C Ek ? kEk C Ek ? k C #/ Ek . %ara # 6unakan hubungan #
? t t + #/
# t
−
# t
+#
untuk mengganti setiap suku deret %ara ini disebut cara teleskopis %ara + 6unakan induksi matematika, tun!ukkan # k + #
C
#
? k + #/k + +/
k + # k + +
4. &un!ukkan bahwa kk C #/+k C #/<7 C k C #/ + ? k C #/k C +/+k C /<7 s
0.
∑ r = +
− ? ? ∑ − # r =+ + r − # r + #
# +
r
s
# #
#
+7
# − # + # − # ∑ + r − # r r r + #
#
s
r =+
# # # # ∑ − + − + r =+ r − # r r r + # s
#
?
# − # + # s # − # ∑ ? ∑ + r = + r − # r + r =+ r r + # s
#
? + # − s + + + − s + # #
#
-
?
4
# #
−
#
+s + # +ss + #/
%ang"uman
Berdasarkan seluruh paparan pada "egiatan Bela!ar + ini, maka garis besar bahan yang dibahas meliputi Definisi, &eorema, %ontoh, dan 'atihan tentang induksi matematika, terutama tentang notasi !umlah dan sifat-sifatnya, notasi kali dan sifatsifatnya, prinsip pertama induksi matematika, dan pernyataan lain induksi matematika. Permasalahan yang ditampilkan berkaitan dengan hubungan !umlah deret, hubungan pertidaksamaan, hubungan keterbagian, dan hubungan diferensial. #. >otasi )umlah dan "ali r
∑E
#
= E # + E + + ... E r
i =#
r
Π E# = E# . E + i =#
... E r
+. Sifat-sifat s
s
a/
∑
?
tE i
i = r
s
∑
t
∑E
i
i = r
+ yi / ?
s
s
∑
b/
b c/ ∑ ∑ Ei y ! ? ∑ ! = c i =a i = a
i = r
E i
b
d/ ∑ i=a
i = r
d
b
d
∑ !=c
E i y !
C
Ei
∑y
i
i = r
d E i ∑ ! = c
d
b
! = c
i =a
y !
? ∑ ∑ Ei y !
. P!insip Indu"si Matemati"a S adalah suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan asli yang unsurunsurnya memenuhi hubungan.
+:
)ika a/ # ∈ S b/ k ∈ S berakibat k C #/ ∈ S maka S memuat semua bilangan asli, yaitu S ? > 4. Pe!nyataan Lain Indu"si Matemati"a Sn/ adalah suatu pernyataan yang memenuhi hubungan untuk satu atau lebih n ∈ > )ika
a/ S#/ benar b/ Sk/ benar berakibat S k C #/ benar maka Sk/ benar untuk semua n ∈ >. Tes 7o!mati+ ,
#. Skor #1 0
%arilah
∑t =+
+. Skor #1 7
∏+
%arilah
k =-
. Skor #0 %arilah
0
7
r =#
s =#
∑ ∑
rs
4. Skor #0 4
-
∑
%arilah
∏ st
s =#
t =#
0. Skor +1 Berdasarkan identitas t
∑ s =#
# s.s + #/
#
# − ? s.s + #/ s
# s +#
, maka dapat ditentukan bahwa
?
7 Skor #1 r
%arilah
∑ k
+
k =#
? #+ C ++ C + C = C r +
:. Skor #1 n
%arilah
∑
m =#
mm C #/ ? #.+ C +. C = C nn C #/
+J
J. Skor 0 #1
%arilah
∑
-+/r
r =1
R. Skor 0 %arilah #.+ C +. C .4 C = C kk C #/ %ocokkanlah !awaban nda dengan (ambu-(ambu )awaban &es *ormatif + yang terdapat di bagian halaman akhir dari modul ini. "emudian perkirakan skor !awaban yang nda ker!akan benar, dan gunakan kriteria berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan nda terhadap pemahaman materi "egiatan Bela!ar +. S"o! a6a4an yang 4ena! Ting"at Penguasaan 8 5555555555555555555555555555555555555 9 1:: ;
1::
&ingkat penguasaan nda dikelompokkan men!adi Baik sekali R1 T - #11 T Baik J1 T - JR T %ukup :1 T - :R T "urang M :1 T pabila nda mencapai tingkat penguasaan J1 T atau lebih, maka nda dapat meneruskan ke $odul +. Prestasi nda bagus sekali. )ika tingkat penguasaan nda kurang dari J1T , maka sebaiknya nda mengulangi materi "egiatan Bela!ar + , terutama pada bagian-bagian yang belum nda kuasai dengan baik.
%am4u5%am4u $a6a4an Tes 7o!mati+ %am4u5%am4u $a6a4an Tes 7o!mati+ 1
#. $isalkan a,b,c ∈ K, a M b dan c N 1, maka sesuai definisi b 8 a N 1. "arena himpunan bilangan bulat positif tertutup terhadap perkalian, c N 1, dan b 8 a N 1 maka cb 8 a/ N 1, atau cb 8 ca N 1, berarti ca M cb atau ac M bc +. $isalkan ada bilangan bulat positif kurang dari #, maka sesuai dengan prinsip urutan yang rapi, KC ⊂ KC dan KC tidak kosong dan mempunyai unsur terkecil a sehingga a M #, dengan a N 1. Selan!utnya a + ? a.a M #.a ? a. "arena a+ N 1, berarti a+ adalah suatu bilangan bulat positif kurang dari a, merupakan kontradiksi. . a/ terurut rapi b/ terurut rapi c/ tidak terurut rapi d/ terurut rapi e/ tidak terurut rapi
+R
f/ tidak terurut rapi 4. a/ 1 b/ 1 c/ 0 d/ -+ 0. Dari EQ O E O EQ C # dapat ditentukan bahwa EQ C k O E C k O EQ C k C #. "arena EQ C k adalah suatu bilangan bulat, maka E C kQ ? EQ C k 7. )ika E adalah suatu bilangan bulat, maka EQ C -EQ ? E 8 E ? 1. )ika E bukan bilangan bulat, maka E ? 2 C r, dimana 2 adalah suatu bilangan bulat dan r adalah suatu bilangan riil dengan 1 M r M #. Dengan demikian dapat ditentukan bahwa EQ C -EQ ? 2 C rQ C -2 8 rQ ? 2 C -2 8 #/ ? -# :. $isalkan E ? EQ C r dengan 1 O r M #. )ika r M #<+/, maka E C #<+/ ? EQ C @r C #<+/A M EQ C # karena r C #<+/ M #. kibatnya, E C #<+/Q ? EQ, berarti +E ? +EQ C +r M +EQ C # karena +r M #. )adi +EQ ? +EQ )ika #<+/ O r M #, maka EQ C # O E C @r C #<+/A M EQ C +, berarti E C #<+/ ? EQ C #. kibatnya +EQ C # O +EQ C +r ? +EQ C r/ ? +E M +EQ C + Sehingga +EQ ? +EQ C #, dan EQ C E C #<+/Q ? EQ C EQ C # ? +EQ C # ? +EQ J. $isalkan + adalah suatu bilangan rasional, maka tentu ada bilangan-bilangan bulat a dan b sehingga + ? a
"arena s + ? +t dan s merupakan bilangan-bilangan bulat, maka s + - s ? s + - t + ? s 8 t/ + !uga merupakan suatu bilangan bulat, dan s + - s ? s + -#/ N 1 karena + N# s + - s M s karena s ? t + , s + ? +t, dan + M +. 9al ini bertentangan dengan pemilihan s sebagai unsur bulat positif terkecil dari S. )adi + adalah irasional
%am4u5%am4u $a6a4an Tes 7o!mati+ ,
6unakan Prinsip nduksi $atematika beserta sifat-sifat notasi !umlah dan kali sehingga diperoleh 0
#. ∑ - = - + - + - + - = #+ t = +
7
+.
∏ + = +.+.+.+ = #7 =+
k
0
7
. ∑ ∑ r =#
s =#
0
rs
=∑
0
.r +
+r +
-r +
4r +
0r +
7r /
r =#
=∑ r =#
1
0
+#r
= +#∑ r r =#