Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a adalah bilangan bulat positif lainnya sehingga (a,m)=1. Maka, menurut Teorema Euler, ada eksponen e sehingga a^e ≡1 (mod m), yaitu, e= φ (m). Secara u...
dgrfDeskripsi lengkap
Full description
penerapan teori bilangan dalam kriptografi sederhana untuk pramukaFull description
Deskripsi lengkap
TEORI BILANGAN KEKONGRUENAN
teori bilanganFull description
teori bilanganDeskripsi lengkap
TEORI BILANGAN BILANGAN RISTIA APRIANA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN TAHUN TAHUN AJARAN AJARAN 2013/2014
INDUKSI MATEMATIK Tujuan Umum
Memahami metode pembuktian dengan induksi matematik dan terampil menerapkannya. Tujuan Tu juan Khusus
Diharapkan mahasiswa dapat: 1. Menuliskan Menuliskan algori algoritma tma pembukti pembuktian an dengan dengan induksi induksi matemati matematik. k. 2. Menentuka Menentukann basis basis untuk induksi induksi dalam dalam suatu suatu pembukt pembuktian. ian. 3. Menentuka Menentukann langkah langkah induksi induksi dalam dalam pembuktia pembuktian. n. 4. Terampi Terampill menggunakan menggunakan langkah-lan langkah-langkah gkah pembuktian pembuktian dengan dengan induksi matematik. matematik. 1.1Pembuktian dengan Induksi Matematik
Salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika adalah nduksi Matematik. Metode ini digunakan untuk memberikan teorema-teorema yang berlaku pada bilangan asli. Sebagai !ontoh "ika ada bentuk kesamaan sebagai berikut: 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n =
1 2
n$ n + 1#
%pakah penyataan tersebut selalau benar untuk setiap bilangan asli n& 'ara pembuktian kesamaan tersebut dapat dilakukan dengan memandang ruas kiri sebagai deret aritmatika sebagai berikut: (ada ruas kiri : 1 ) 2 ) 3 ) 4) . . . ) n Suku pertama $a# : **. +eda $b# :..... 1 ,umlah n suku pertama $S n# 2 n[ 2a + $n − 1#b]
1
1
2 2 1
n[ 2 ⋅ ..... + $ n − 1#.....] n[ 2 + n − 1]
2 n[ n + 1] $Sama dengan ruas kanan# arena ruas kiri sama dengan ruas kanan/ maka kesamaan tersebut terbukti benar. Selain !ara tersebut/ pembuktian dapat dilakukan dengan bukti 0ormal yaitu dengan induksi matematik.
angkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah: 1. Memisalka Memisalkann suatu kesamaan kesamaan yang diketahui diketahui sebagai sebagai suatu suatu pernyataan pernyataan atau atau preposisi preposisi p$n# yang akan dibuktikan kebenarannya kebenarannya untuk setiap setiap bilangan n. 2. emudi emudian an lan"ut lan"utkan kan dengan dengan:: angkah i: Tu"ukkan Tu"ukkan pernyataan pernyataan tersebut benar untuk n 1 atau p$1# benar. angkah angkah ii: Dimisal Dimisalkan kan bahwa bahwa p$n# benar/ benar/ tun"ukka tun"ukkann bahwa p$n)1# p$n)1# benar. benar. ,ika langkah i dan ii benar/ dapat disimpulkan p$n# benar untuk setiap bilangan asli n. • •
(ada pembuktian dengan induksi matematik/ langkah i disebut basis $dasar# untuk insuksi dan langkah ii disebut langkah indukti0/ yaitu suatu bentuk implikasi "ika p$n# benar maka p$n)1# benar benar untuk setiap bilangan asli asli n. Contoh 1:
+uktikan dengan induksi matematik bahwa: 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n =
1 2
n$ n + 1#
+erlaku untuk setiap bilangan asli n. Bukti: 1
Dimisalkan p$n# : 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n = 2 n$n + 1# i. ii. ii.
ntuk n 1/ p$n# adalah 1 11
1 ⋅1$1 + 1# 2
** (benar)
Dimi Dimisal salka kann p$n# p$n# ben benar ar.. Sel Selan an"u "utn tnya ya tun tun"u "ukk kkan an bbah ahwa wa p$n p$n)1 )1#/ #/ yyai aitu tu 1 + 2 + 3 + ... + n + $n + 1# =
arena i dan ii benar/ maka terbukti p$n# benar. atau 1 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n = n$n + 1# benar untuk setiap bilangan asli n. 2 Contoh :
+uktikan dengan induksi matematik bahwa: 1 1⋅ 2
+
1 2⋅3
+
1
1
+ ..... +
3⋅ 4
n $n + 1#
=
n n +1
+erlaku untuk setiap bilangan asli n. Bukti:
Dimisalkan p$n# :
1 1⋅ 2
+
1 2⋅3
+
1 3⋅ 4
1
+ ..... +
=
n
n$n + 1# n + 1 1 1 = 1⋅ 2 1 + 1 1 1 = 2 2
i.
ntuk n 1/ p$n# adalah
ii.
** $benar# Dimisalkan p$n# benar. Selan"utnya akan ditun"ukkan bahwa p$n)1# benar/ yaitu 1 1⋅ 2
+
1 2⋅3
+
1 3⋅ 4
+ ..... +
1 n$ n + 1#
+
1 $n + 1#$ n + 2#
= = = =
n n +1
+
1 $ n + 1#$n + 2#
n $ n + 2# + 1 $n + 1#$n + 2# n 2 + 2n + 1 $n + 1#$n + 2# n +1 n+2
ni menun"ukkan bahwa p$n)1# benar. arena i dan ii benar/ maka terbukti p$n# benar atau 1 1 1 1 n + + + ..... + = benar untuk setiap bilangan asli n. 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n$n + 1# n + 1
Contoh !:
+uktikanlah dengan menggunakan induksi matematik bahwa: