METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan persamaan (=).
≤
tapi juga oleh pertidakasamaan
Fungsi kendala dengan pertidaksamaan
surplus variable, tidak ada slack variables.
≥
dan/atau
mempunyai
≥
Surplus variable tidak bisa
menjadi variabel basis awal. Dengan demikian harus ditambahkan satu variabel baru yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal. Variabel yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal hanya slack variables dan artificial variables (variabel variables (variabel buatan).
1. Jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≤ maka variabel basis awal semuanya adalah slack variables. Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan cara yang sudah diperkenalkan sebelumnya. 2. Jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan
≥
dan/atau
≤
maka variabel basis awal adalah slack variables dan/atau variabel buatan.
Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini
dilakukan dengan memilih antara metode Big M, Dua Fase atau Dual Simpleks. 3. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan persamaan maka variabel
buatan
akan
ditemukan
pada
variabel
basis
awal.
Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini hanya dapat dilakukan dengan memilih antara metode Big M atau Dua Fase.
Kita akan bahas metode Big M dalam sub bab ini. Perbedaan metode Big M dengan primal simpleks biasa (teknik penyelesaian yang sudah dipelajari sebelumnya), terletak pada pembentukan tabel awal. fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan
≥,
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
Jika
perubahan dari
bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu variabel surplus. Variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis awal, karena koefisiennya bertanda negatif.
Sebagai variabel basis pada solusi awal,
harus ditambahkan satu variabel buatan.
Variabel buatan pada solusi
optimal harus bernilai 0, karena variabel ini memang tidak ada. Teknik yang digunakan untuk memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimal adalah dengan cara berikut: •
Penambahan variabel buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki variabel slack, menuntut penambahan variabel buatan pada fungsi tujuan.
•
Jika fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M; jika fungsi tujuan adalah minimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien -M.
•
Karena koefisien variabel basis pada tabel simpleks harus bernilai 0, maka variabel buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variabel buatan tersebut.
Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk Umum Min. z = 4 x1 + x2
Terhadap:
3x 1 + x2 = 3
4x1 + 3x2
≥
6
x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 Bentuk Baku: Min. z = 4 x1 + x2
Terhadap:
3x 1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 - s1 = 6
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 2
x1 + 2x2 + s2 = 4 x1, x2, s1, s2 ≥ 0
Kendala 1 dan 2 tidak mempunyai slack variables, sehingga tidak ada variabel basis awal.
Untuk berfungsi sebagai variabel basis awal,
pada kendala 1 dan 2 ditambahkan masing-masing satu variabel buatan
1
(artificial variable). Maka bentuk baku Big M-nya adalah: Min. z = 4 x1 + x2 + MA1 + MA2
Terhadap:
3x 1 + x2 + A1 = 3
4x1 + 3x2 - s1 + A2 = 6 x1 + 2x2 + s2 = 4 x1, x2, s1, s2 ≥ 0
1. Nilai A1 digantikan dari fungsi kendala pertama. A1 = 3 - 3x1 - x2 MA1 berubah menjadi M(3 - 3x1 - x2)
3M-3Mx1-Mx2
2. Nilai A2 digantikan dari fungsi kendala ketiga. A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + s1 MA2 berubah menjadi M(6 - 4x1 - 3x2 + s1) 6M- 4Mx1 - 3Mx2 + Ms1
3. Fungsi tujuan berubah menjadi Min z = 4x1 + x2 + 3M-3Mx1-Mx2 +6M-4Mx1-3Mx2+Ms1 = (4 -7M)x1+(1 - 4M)x2 + Ms1 +9M
S2
1
2
0
0
0
1
4
5. Perhitungan iterasinya sama dengan simpleks sebelumnya.
Iterasi-0 VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
Rasio
z
-4 +7M
-1 +4M
-M
0
0
0
9M
-
A1
3
1
0
1
0
0
3
1
A2
4
3
-1
0
1
0
6
3/2
S2
1
2
0
0
0
1
4
2
Iterasi-1 VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
Rasio
z
0
(1 +5M)/3
-M
(4-7M)/3
0
0
4+2M
-
X1
1
1/3
0
1/3
0
0
1
3
A2
0
5/3
-1
-4/3
1
0
2
6/5
S2
0
5/3
0
-1/3
0
1
3
9/5
Iterasi-2 VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
Rasio
z
0
0
1/5
8/5 – M
-1/5 – M
0
18/5
-
X1
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
25/3
X2
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5
-
S2
0
0
1
1
-1
1
1
1
Iterasi-3
optimal
VB
X1
X2
S1
A1
A2
S2
Solusi
z
0
0
0
7/5-M
-M
-1/5
17/5
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 4
1
1
X1
1
0
0
2/5
0
-1/5
2/5
X2
0
1
0
-1/5
0
3/5
9/5
Dari kendala-3 diperoleh: A2 = 27 - 0.09x1 - 0.6x2 + s2 Maka fungsi tujuan tahap-1 menjadi: Min A = (90 - x1 - x2) + (27 - 0.09x1 - 0.6x2 + s2) =117 - 1.09x1 - 1.6x2 + s2 Solusi awal VB X1 A
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Rasio
1.09
1.6
0
-1
0
0
0
117
1
1
0
0
0
1
0
90
90
0.001 0.002
1
0
0
0
0
0.9
450
A1 S1
X2
-
A2
0.09
0.6
0
-1
0
0
1
27
45
S3
0.02
0.06
0
0
1
0
0
4.5
75
Iterasi1 VB X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Rasio
A
0.85
0
0
-11/3
0
0
-8/3
45
A1
0.85
0
0
10/6
0
1
-10/6
45
S1
0.0007
0
1
1/300
0
0
-1/300
X2
0.15
1
0
-10/6
0
0
10/6
S3
0.011
0
0
0.1
1
0
-0.1
Iterasi2
52.94
0.81 1157.14 45
300
1.8 163.634
optimal
VB X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
A
0
0
0
-4.8708
0
-1
-1.4625
0
X1
1
0
0
17/12
0
20/17
-17/12
52.94
S1
0
0
1 0.0023417
0 0.0008
X2
0
1
0
-1.7542
0
S3
0
0
0
0.09358
1 0.01294 -0.084417 1.21766
-3/17
-0.0023 0.772942 1.7542
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 6
37.059
Tahap 2 Min z = 2 x1 + 5.5 x2 Terhadap:
tabel optimal tahap pertama
Dari tabel optimal tahap 1 diperoleh: X1 = 52.94 – 17/12s2 X2 = 37.059 + 1.7542s2 Maka fungsi tujuan adalah: Min z = 2(52.94 – 17/12s2) + 5.5 (37.059 + 1.7542s2) = -17/6s2 + 9.6481s2 + 309.7045 = 6.814767s 2 + 309.7045 Solusi awal VB
optimal.
X1
X2
S1
S2
S3
NK
z
0
0
0
-6.814767
0
309.7045
X1
1
0
0
17/12
0
52.94
S1
0
0
1
0.0023417
0
0.772942
X2
0
1
0
-1.7542
0
37.059
S3
0
0
0
0.09358
1
1.21766
Tabel di atas sudah optimal. Solusi optimalnya adalah: X1 = 52.94; x2 = 37.059; dan z = 309.7045
METODE DUAL SIMPLEKS Metode dual simpleks digunakan jika tabel optimal tidak layak. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan pertidaksamaan
≥
dan tidak ada =
dalam bentuk umum PL, maka metode dual simpleks dapat digunakan. Kita selesaikan contoh di bawah ini.
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
Terhadap
90x 1 + 20x2 + 40x3
30x1 + 80x2 + 60x3
≥
≥
200
180
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 7
10x1 + 20x2 + 60x3 x1, x2, x3
≥
150
≥
0
semua kendala menggunakan pertidaksamaan pertidaksamaan
≥
≥.
dapat diubah ke pertidaksamaan
≤
Kendala dengan dengan mengalikan
pertidaksamaan dengan -1. Bentuk umum PL di atas berubah menjadi:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
Terhadap
-90x 1 - 20x2 - 40x3
-30x1 - 80x2 - 60x3
≤
-10x1 - 20x2 - 60x3
≤
x1, x2, x3
≥
≤
-200
-180 -150
0
Semua fungsi kendala sudah dalam bentuk pertidaksamaan ≤, maka kita kita hanya perlu menambahkan variabel slack untuk mengubah bentuk umum ke bentuk baku/standar.
Variabel slack akan berfungsi sebagai
variabel basis awal. Bentuk Baku/standar: Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Terhadap
-90x 1 - 20x2 - 40x3 + s1 = -200
-30x1 - 80x2 - 60x3 + s2 = -180 -10x1 - 20x2 - 60x3 + s3 = -150 x1, x2, x3, s1, s2, s3
VB
X1
X2
X3
S1
≥
0
S2 X3
S3
NK
Tabel di atas optimal tapi tidak layak (ingat, untuk fungsi tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua koefisien baris tujuan sudah negatif atau 0). Untuk membuat tabel tersebut layak, kita harus gunakan metode
dual
simpleks.
Langkah-langkah
penyelesaian
simpleks
menggunakan metode dual adalah: 1. Tentukan baris pivot.
Baris pivot adalah baris dengan nilai kanan
negatif terbesar. Jika negatif terbesar lebih dari satu, pilih salah satu sembarang. 2. Tentukan kolom pi
S3
-10
-20
-60
0
0
1
-150
Rasio
21/90
18/20
15/40
0
0
0
-
Iterasi-1: VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
0
-40/9
-9
-7/30
0
0
140/3
X1
1
2/9
4/9
-1/90
0
0
20/9
S2
0
-220/3
-140/3
-1/3
1
0
-340/3
S3
0
-160/9
-500/9
-1/9
0
1
-1150/9
Rasio
-
0.0485
0.19286 0.7
-
-
Iterasi-2 VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
0
0
-611/99
-0.213131
-2/33
0
53.535
X1
0
0
10/33
0.0303
1/330
0
1.8788
X2
0
1
7/11
1/220
-3/220
0
17/11
S3
0
0
-44.2424
-0.0303
-0.02424 1
-100.3030
Rasio
-
-
0.139498
2.500
0
-
Iterasi-3
7.0340
optimal
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Z
0
0
0
-0.208934
-0.0572
-0.13948 67.52628
X1
1
0
0
0.00000014 0.00286
X2
0
1
0
0.0041127 -0.013986 0.01438 0.102818
X3
0
0
1
0.00068
0.00055
NK
0.006848 1.19173
-0.0226
2.267
KASUS KHUSUS DALAM SIMPLEKS Ada beberapa kasus khusus dalam simpleks.
Kadang kala kita
akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat kelayakan tidak pernah dapat dipenuhi.
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 10
Adakalanya juga
solusi yang dihasilkan antara satu iterasi dengan iterasi berkutnya tidak berbeda.
Kasus khusus ini terdiri dari solusi optimal lebih dari satu,
degeneracy , solusi tidak terbatas dan solusi tidak layak.
Dua terakhir
dapat terjadi karena kesalahan baik dalam perhitungan iteratif ataupun dalam pembentukan model atau formulasi permasalahan.
Solusi Optimal Lebih dari satu Ketika fungsi objektif paralel terhadap pembatas yang dipenuhi dalam
arti
persamaan
oleh
solusi
optimal,
fungsi
objektif
akan
mengasumsikan nilai optimal sama pada lebih dari satu titik solusi. Kondisi seperti ini kita kenal dengan solusi optimal lebih dari satu (alternative optima). Perhatikan kasus berikut: Maks z = 2x1 + 4x2
Terhadap
1x+
2x2
x1 + x2 x1, x2
≤
≤
≥
5
4
0
Tabel awal VB
X1
X2
S1
S2
Solusi
Rasio
Z
-2
-4
0
0
0
-
S1
1
2
1
0
5
5/2
S2
1
1
0
1
4
2
Iterasi – 1 VB Z X2
X1
X2
S1
S2
Solusi
Rasio
0
0
2
0
10
1/2
1
1/2
0
5/2
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 11
S2
½
0
-1/2
1
3/2
Perhatikan nilai baris z untuk variabel x1 juga menjadi nol saat x2 berubah menjadi variabel masuk.
Jika iterasi tersebut kita lanjutkan dengan
memilih x1 sebagai variabel masuk, maka akan didapatkan tabel hasil iterasi kedua berikut:
Iterasi-2 VB
X1
X2
S1
S2
Solusi
Z
0
0
2
0
X2
0
1
1
-12
X1
1
0
-1
2
Rasio 10
5/221 3/2
21 2
Maks z = 3x1 + 9x2
Terhadap
1x+
4x2
≤
8
x1 + 2x2
≤
4
x1, x2
≥
0
Penyelesaian simpleks kasus di atas adalah: VB
X1
X2
1
X2
0
1
0
-1/2
2
X1
1
0
1
2
0
Melihat pembatas yang redundan sangat mudah menggunakan solusi grafik. Garis dari fungsi pembatas yang redundan melewati hanya salah satu titik pada daerah penyelesaian yaitu solusi optimal, dan hal ini sebenarnya tidak berarti dalam penentuan solusi optimal. Karena tanpa garis fungsi pembatas itupun, solusi optimal sudah dapat diidentifikasi menggunakan fungsi pembatas yang lain. Dari sudut pandang teoritis, degeneracy mempunyai implikasi dua.
Pertama, berhubungan dengan fenomena pengulangan.
Iterasi 1
dan 2 di atas hanya merupakan pengulangan yang memberikan nilai tujuan sama, yaitu 18.
Secara umum dapat diterima, pada kasus ini
prosedur simpleks akan terus berulang tanpa ada akhir tapi tidak memperbaiki solusi.
Kedua, meskipun variabel basis dan non basis
berbeda pada setiap iterasi, tetapi nilai semua variabel dalam iterasi adalah sama, yaitu x1 = 0, x2 = 2, s1 = 0, s2 = 0 dan z = 18.
Solusi Tidak Terbatas Ada kalanya kita menemukan nilai variabel meningkat tak terbatas tanpa melanggar pembatas, artinya ruang solusi tidak terbatas paling tidak untuk satu arah.
Sebagai akibatnya, nilai tujuan akan
meningkat (untuk kasus maksimisasi) atau menurun (untuk kasus minimisasi) tanpa ada batas.
Dalam kasus kita sebut ruang solusi dan
nilai tujuan optimum tidak terbatas. Solusi tidak terbatas hanya mengindikasikan satu hal, yaitu model myang dibangun salah.
Mendapatkan keuntungan yang tidak
terbatas misalnya tentunya tidak masuk akal.
Salah satu yang paling
umum yang menyebabkan solusi tidak terbatas adalah tidak memasukan
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 14
pembatas yang bukan redundan pada model atau parameter (konstanta) beberapa pembatas tidak dihitung dengan benar.
Perhatikan kasus
berikut: Maks z = 2x1 + x2
Terhadap
1x-
x2
2x1
≤
x1, x2
≤
10
40 ≥
0
iterasi-0 VB
X1
X2
S1
S2
Solusi
Rasio
Z
-2
-1
0
0
0
S1
1
-1
1
0
10
10
S2
2
0
0
1
40
20
Iterasi-1 VB
X1
X2
S1
S2
Solusi
Rasio
Z
0
-1
0
1
40
S1
0
-1
1
-1/2
-10
X1
1
0
0
½
20
Jika iterasi itu diteruskan, tidak akan pernah berhenti. meningkat terus.
Pada tabel awal
Nilai z akan
sebenarnya kita sudah dapat
mengidentikasi bahwa nilai tujuan akan meningkat terus tanpa ada batas dengan memperhatikan koefisien pembatas kolom x2 yang bernilai -1 dan 0. Nilai koefisien pembatas ini menunjukkan bahwa x2 dapat dinaikkan tanpa ada batas, sehingga nilai z juga akan meningkat tanpa ada batas.
Solusi Tidak Layak Jika pembatas tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, maka kita berhadapan dengan solusi tidak layak.
Solusi tidak layak tidak akan
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 15
pernah terjadi jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≤ (asumsikan nilai kanan adalah positif), karena variabel slack selalu memberikan solusi layak.
Solusi optimal dapat terjadi jika fungsi
pembatas ada yang menggunakan pertidaksamaan
≥,
kita menggunakan
variabel buatan sebagai variabel basis awal, dimana variabel buatan berdasarkan desainnay tidak memberikan solusi layak bagi model awal. Meskipun dalam prosedur iterasinya kita memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimum, hal ini hanya akan terjadi jika model mempunyai ruang solusi layak.
Sering juga terjadi, minimum satu
variabel
pada
buatan
bernilai
positif
solusi
optimum.
Hal
ini
mengindikasikan bahwa permasalahan tidak mempunyai solusi layak. Dari sudut pandang praktikal, solusi tidak layak terjadi karena model tidak diformulasikan dengan benar, dimana beberapa pembatas saling bertentangan.
Hal lain yang menyebabkan solusi tidak layak
adalah bahwa pembatas tidak dimaksudkan untuk dipenuhi secara bersamaan. Perhatikan kasus berikut: Maks z = 3x1 + 2x2
Terhadap
2x 1 + x2
≤
3x1 + 4x2 x1, x2
≥
2 ≥
12
0
Solusi awal dengan metode M besar VB Z
X1
X2
S1
S2
A1
Solusi
Rasio
-3-3M
-2-4M
M
0
0
-12M
S1
2
1
1
0
0
2
2
A1
3
4
0
-1
1
12
3
Iterasi-1 VB Z
X1 1+5M
X2
S1 0
S2 M
2+4M
A1
Solusi 0
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 16
4-4M
Rasio
X2
2
1
1
0
0
2
A1
-5
0
-1
-4
1
4
